TRANSPORTATION PROBLEM
description
Transcript of TRANSPORTATION PROBLEM
TRANSPORTATION PROBLEMTRANSPORTATION PROBLEM
D0104 Riset Operasi ID0104 Riset Operasi I
Kuliah XXIII - XXVKuliah XXIII - XXV
Pendahuluan
Transportation Problem merupakan aplikasi dari Transportation Problem merupakan aplikasi dari programa linier untuk menentukan bagaimana programa linier untuk menentukan bagaimana mendistribusikan bahan, produk dari suatu lokasi mendistribusikan bahan, produk dari suatu lokasi ke lokasi-lokasi yang lain dengan biaya yang ke lokasi-lokasi yang lain dengan biaya yang minimum.minimum.
Metoda penyelesaian transportation problem dapat Metoda penyelesaian transportation problem dapat digunakan dua cara, yaitu :digunakan dua cara, yaitu : Menggunakan metoda simpleks.Menggunakan metoda simpleks. Menggunakan metoda yang khusus untuk Menggunakan metoda yang khusus untuk
transportation problemtransportation problem
Contoh Transportation Problem
TUJUANTUJUANASALASAL
Transportation Model
Ada m sumber dan n tujuan, ai jumlah unit yang tersedia pada tiap sumber dan akan dikirim tujuan. bj merupakan permintaan dari tiap tujuan. cij merupakan biaya transportasi per unit yang dikirim. Model Matematik untuk transportasi sbb :
m
i
n
jijijxcx
1 10
0
,....,2,1;
,....,2,1;
1
1
ij
m
iij
n
jiij
x
njbjx
miax
Obyektif
Pembatas
Kesetimbangan Model TransportasiKesetimbangan Model Transportasi
Pernyataan ini berarti bahwa jumlah yang disuplai dari sumber harus sama Pernyataan ini berarti bahwa jumlah yang disuplai dari sumber harus sama dengan jumlah permintaan pada tujuan.dengan jumlah permintaan pada tujuan.
Pada kenyataannya bahwa jumlah yang disuplai tidak sama dengan Pada kenyataannya bahwa jumlah yang disuplai tidak sama dengan permintaannya, dapat lebih besar atau lebih kecil. Kondisi disebut tidak permintaannya, dapat lebih besar atau lebih kecil. Kondisi disebut tidak setimbang.setimbang.
Kondisi tidak setimbang harus dibuat setimbang dengan menambahkan Kondisi tidak setimbang harus dibuat setimbang dengan menambahkan sumber atau tujuan yang bersifat dummysumber atau tujuan yang bersifat dummy
Jika suplai Jika suplai demand, tambahkan tujuan dummy untuk menerima sejumlah demand, tambahkan tujuan dummy untuk menerima sejumlah ai - ai - bj. Jika demand bj. Jika demand suplai, tambahkan sumber dummy untuk suplai, tambahkan sumber dummy untuk mensuplai sejumlah mensuplai sejumlah bj - bj - ai. ai.
m
ii
m
i
n
jij
n
j
m
iij
n
jj axxb
11 11 11
Teknik Transportasi(Lanjutan)
Biaya dari i ke j
Cara Penyelesaian :
Dengan Tabulasi
SUMBER
T U J U A N
1
2
3
1 2 3 4
b1
b2
b3
Jumlah dari i ke j
a1 a2 a3 a4
Kapasitas
Teknik Transportasi(Metoda Penyelesaian)
Mendapatkan Solusi AwalMendapatkan Solusi Awal Northwest Corner (NWCR)Northwest Corner (NWCR) Least CostLeast Cost Vogel Approximation (VAM)Vogel Approximation (VAM)
Mendapatkan Solusi Optimal (Akhir)Mendapatkan Solusi Optimal (Akhir) Stepping StoneStepping Stone Multiplier (UV Method)Multiplier (UV Method)
Mendapatkan Solusi Awal
Ada Tiga Cara yang dapat digunakan yang Ada Tiga Cara yang dapat digunakan yang tujuannya adalah untuk memperoleh variabel basis tujuannya adalah untuk memperoleh variabel basis (dalam metoda simplex membentuk matrix (dalam metoda simplex membentuk matrix satuan).satuan).
Variabel-variabel basis ini merupakan solusi awal Variabel-variabel basis ini merupakan solusi awal untuk mendapat solusi akhir yang kondisinya untuk mendapat solusi akhir yang kondisinya feasibel dan optimal.feasibel dan optimal.
Pada penyelesaian awal ini bisa saja kondisi sudah Pada penyelesaian awal ini bisa saja kondisi sudah feasibel dan optimal, tapi untuk menyatakan hal feasibel dan optimal, tapi untuk menyatakan hal tersebut harus diuji terlebih dulu.tersebut harus diuji terlebih dulu.
Mendapatkan Solusi AwalMenggunakan Northwest Corner Metoda Northwest Corner (NWCR) merupakan Metoda Northwest Corner (NWCR) merupakan
metoda yang pengisian sel pada tabel penyelesaian metoda yang pengisian sel pada tabel penyelesaian masalah transportasi dimulai dari pojok kiri atas.masalah transportasi dimulai dari pojok kiri atas.
Kemudian dilanjutkan pada sel sebelah kanan atau Kemudian dilanjutkan pada sel sebelah kanan atau bawah bergantung pada kapasitas yang tersedia.bawah bergantung pada kapasitas yang tersedia.
Pengisian sel berakhir pada sel pojok kanan Pengisian sel berakhir pada sel pojok kanan bawah.bawah.
Sel-sel yang terisi merupakan variabel basis yang Sel-sel yang terisi merupakan variabel basis yang jumlahnya adalah : m + n –1 (m = jumlah lokasi jumlahnya adalah : m + n –1 (m = jumlah lokasi sumber, n = jumlah lokasi tujuan).sumber, n = jumlah lokasi tujuan).
Contoh: Pengisian Dengan NWCR
Sebuah perusahaan mempunyai tiga lokasi pabrik yaitu : A, B, C. untuk membuat produknya. Produk yang dibuat ini akan didistribusikan ke empat lokasi pasar, yaitu : P1, P2, P3, P4. Kapasitas dari masing-masing pabriknya dan permintaan dari masing-masing pasar terlihat pada tabel.1 dan biaya angkut per-unit produk ada pada tabel.2
PabrikPabrik KapasitasKapasitas PasarPasar PermintaanPermintaan
AA 100100 P1P1 5050
BB 150150 P2P2 125125
CC 7575 P3P3 100100
P4P4 5050
KeKe
DariDari
P a s a rP a s a r
P1P1 P2P2 P3P3 P4P4
PPaabbrriikk
AA 1010 1515 55 2020
BB 1515 55 1010 55
CC 2525 1010 55 1515
Untuk penyelesaiannya dibuat tabel transportasi sbb :
Contoh: Pengisian Dengan NWCR
10
15
15 5 20
5 10 5
25 10 5 15
A
B
C
P1 P2 P3 P4
75
150
100
50 125 100 50 325
50 5050
75
75 7575
25
25 5050
Total Biaya Distribusi = 50 * 10 + 50 * 15 + 75 * 5 + 75 * 10 + 25 * 5 + 50 * 15= 3250
Contoh: Pengisian Dengan Least-Cost
10
15
15 5 20
5 10 5
25 10 5 15
A
B
C
P1 P2 P3 P4
75
150
100
50 125 100 50 325
125 25
100
25
25
25 5050
Total Biaya Distribusi = 100 * 5 + 125 * 5 + 25 * 5 + 50 * 25 + 25 * 15
= 2875
Contoh: Pengisian Dengan VAM
10
15
15 5 20
5 10 5
25 10 5 15
A
B
C
P1 P2 P3 P4
75
150
100
50 125 100 50 325
Penalti :
Penalti :
5 05 10
5
0
10100
10 5 10
50
5
0
10 5
10
1575
50 50
Contoh: Pengisian Dengan VAM
10
15
15 5 20
5 10 5
25 10 5 15
A
B
C
P1 P2 P3 P4
75
150
100
50 125 100 50 325
100
50
75
50 50
Total Biaya Distribusi = 100 * 5 + 50 * 15 + 50 * 5 + 50 * 5 + 75 * 10= 2500
Mendapatkan Solusi AkhirMendapatkan Solusi Akhir
1. Berawal dari hasil untuk medapatkan solusi awal yang diperoleh menggunakan NWCR, LC, dan VAM dapat ditetapkan variabel-variabel yang termasuk basis.
2. Jumlah variabel basis yang dapat digunakan untuk melanjutkan ketahapan mencari solusi akhir adalah m + n – 1
3. Bila jumlah variabel basisnya kurang dari m + n –1, harus ditambahkan variabel basis dengan meletakan nilai 0 pada variabel non basis dengan nilai biaya paling kecil.
4. Setelah jumlah variabel basis sesuai dengan syarat, maka dapat dilanjutkan dengan menggunakan salah satu metoda (Stepping Stone atau Multiplier).
Lihat Contoh
Solusi Akhir
100
Contoh hasil solusi awal yang jumlah Variabel basisnya kurang dari m + n - 1
10
15
15 5 20
5 10 5
25 10 5 15
A
B
C
P1 P2 P3 P4
75
150
100
50 125 100 50 325
50
75
50 50
Pada tabel diatas ada 5 variabel basis, sehingga kurang satu dari m + n – 1, oleh karena itu perlu ditambahkan 1 variabel dengan meletakan nilai 0 di kotak yang mempunyai ‘cost’ paling kecil
0
Mendapatkan Solusi AkhirMendapatkan Solusi Akhir(Metoda Stepping Stone)(Metoda Stepping Stone)
Dengan menggunakan contoh hasil dari mencari solusi awal Dengan menggunakan contoh hasil dari mencari solusi awal dengan metoda NWCR, ditetapkan 6 variabel basis (ditandai dengan metoda NWCR, ditetapkan 6 variabel basis (ditandai dengan lingkaran warana hijau).dengan lingkaran warana hijau).
Langkah berikut mencari nilai untuk variabel non basis (kotak Langkah berikut mencari nilai untuk variabel non basis (kotak yang belum terisi) dengan cara sebagai berikut :yang belum terisi) dengan cara sebagai berikut :
1.1. Menetapkan nilai Var.Non Basis dengan menggunakan suatu Menetapkan nilai Var.Non Basis dengan menggunakan suatu loop, yang mulai dari kotak var.non basis menuju ke kotak-loop, yang mulai dari kotak var.non basis menuju ke kotak-kotak var. basis dan kembali lagi ke kotak tersebut.kotak var. basis dan kembali lagi ke kotak tersebut.Contoh: Kotak Var. Non Basis (A,P3) mempunyai loop sbb :Contoh: Kotak Var. Non Basis (A,P3) mempunyai loop sbb :
(A,P3) (A,P3) (B,P3) (B,P3) (B,P2) (B,P2) (A,P2) (A,P2) (A,P3)(A,P3)
2.2. Loop dapat bergerak searah jarum jam atau berlawanan jarum Loop dapat bergerak searah jarum jam atau berlawanan jarum jam.jam.
Mendapatkan Solusi AkhirMendapatkan Solusi Akhir(Metoda Stepping Stone)(Metoda Stepping Stone)
3.3. Nilai yang dituliskan pada kotak tersebut dihitung dari Nilai yang dituliskan pada kotak tersebut dihitung dari nilai-nilai ‘cost’ dari kotak yang dilalui loop dengan nilai-nilai ‘cost’ dari kotak yang dilalui loop dengan memperhatikan tanda dari tiap kotak.memperhatikan tanda dari tiap kotak.
4.4. Pada contoh, loop dimulai kotak (A,P4) diberi tanda +, Pada contoh, loop dimulai kotak (A,P4) diberi tanda +, kemudian kotak berikut tandanya -, dan seterusnya kemudian kotak berikut tandanya -, dan seterusnya sampai kembali ke kotak awal.sampai kembali ke kotak awal.
5.5. Contoh : Contoh :
(A,P3) (A,P3) (B,P3) (B,P3) (B,P2) (B,P2) (A,P2) (A,P2) (A,P3) (A,P3)
tandanyatandanya
+ + - - + + - - + +
Mendapatkan Solusi AkhirMendapatkan Solusi Akhir(Metoda Stepping Stone)(Metoda Stepping Stone)
10
15
15 5 20
5 10 5
25 10 5 15
A
B
C
P1 P2 P3 P4
75
150
100
50 125 100 50 325
50 50
75 75
25 50
Nilai Variabel non-basis untuk (A,P3) adalah : 5 – 10 + 5 – 15 = -15.
Penetapan nilai variabel non basis lainnya mengikuti langkah-langkah 1 sampai 5
Mendapatkan Solusi AkhirMendapatkan Solusi Akhir(Metoda Stepping Stone)(Metoda Stepping Stone)
10
15
15 5 20
5 10 5
25 10 5 15
A
B
C
P1 P2 P3 P4
75
150
100
50 125 100 50 325
50 50
75 75
25 50
-15
(A,P4) = (A,P4)(C,P4) (C,P3) (B,P3) (B,P2) (A,P2) (A,P4) = 20 – 15 + 5 – 10 + 5 – 15 = -10
Dan seterusnya untuk variabel non basis lain….
Dari tabel diatas kotak (A,P3) dipilih karena paling negatif untuk pengalokasian baru
-10
-5 -5
30 10
Mendapatkan Solusi AkhirMendapatkan Solusi Akhir(Metoda Stepping Stone)(Metoda Stepping Stone)
10
15
15 5 20
5 10 5
25 10 5 15
A
B
C
P1 P2 P3 P4
75
150
100
50 125 100 50 325
50 50
75 75
25 50
-15 -10
-5 -5
30 10
Jumlah produk yang akan di alokasikan ke kotak (A,P3) berasal dari kotak-kotak yang dilalui loop dengan tanda -.(Pilih nilai terkecil dari kotak-kotak bertanda -)
(A,P3)(+) (B,P3)(-) (B,P2)(+) (A,P2)(-)
Komposisi alokasi yang baru ada pada pada tabel berikut.
Mendapatkan Solusi AkhirMendapatkan Solusi Akhir(Metoda Stepping Stone)(Metoda Stepping Stone)
10
15
15 5 20
5 10 5
25 10 5 15
A
B
C
P1 P2 P3 P4
75
150
100
50 125 100 50 325
50 50
125 25
25 50
Total Biaya = 2500
Langkah berikutnya adalah mengisi kembali kotak-kotak variabel non basis seperti pada langkah-langkah sebelumnya, sampai tidak ada variabel non basis yang bernilai negatif. (Berarti kondisi feasibel dan optimal)
Mendapatkan Solusi AkhirMendapatkan Solusi Akhir(Metoda Stepping Stone)(Metoda Stepping Stone)
Hasil optimalnya adalah
10
15
15 5 20
5 10 5
25 10 5 15
A
B
C
P1 P2 P3 P4
75
150
100
50 125 100 50 325
50
50100
50
50
Total Biaya
2000
25
5 5
10 10
15 0
Kondisi Feasibel dan Optimal
Solusi Akhir Dengan Metoda Multiplier (UV)
1.1. Metoda Multiplier atau UV merupakan salah satu metoda Metoda Multiplier atau UV merupakan salah satu metoda untuk mendapatkan solusi akhir yang feasible dan optimal untuk mendapatkan solusi akhir yang feasible dan optimal dari permasalahan transportasi.dari permasalahan transportasi.
2.2. Metoda ini dapat digunakan bila variabel basis sudah Metoda ini dapat digunakan bila variabel basis sudah ditetapkan (menggunakan metoda NWCR, Least Cost atau ditetapkan (menggunakan metoda NWCR, Least Cost atau VAM).VAM).
3.3. Apabila variabel basis telah ditetapkan, kemudian Apabila variabel basis telah ditetapkan, kemudian ditentukan nilai Ui untuk baris dan Vj untuk kolom.ditentukan nilai Ui untuk baris dan Vj untuk kolom.
i = 1 … m dan j = 1… ni = 1 … m dan j = 1… n
4.4. Tetapkan terlebih dulu salah satu nilai Ui atau Vj sebesar 0Tetapkan terlebih dulu salah satu nilai Ui atau Vj sebesar 0
Solusi Akhir Dengan Metoda Multiplier (UV)
5.5. Nilai Ui dan Vj lainnya ditetapkan berdasarkan rumus Nilai Ui dan Vj lainnya ditetapkan berdasarkan rumus berikut :berikut :
Ui + Vj = CijUi + Vj = CijCij = merupakan nilai ‘cost’ Cij = merupakan nilai ‘cost’ dari kotak variabel basisdari kotak variabel basis
6.6. Setelah semua nilai Ui dan Vj diperoleh, kemudian Setelah semua nilai Ui dan Vj diperoleh, kemudian menetapkan nilai untuk variabel non basis berdasarkan menetapkan nilai untuk variabel non basis berdasarkan rumus :rumus :
Cij – Ui – VjCij – Ui – Vj
Cij =Cij = merupakan nilai ‘cost’ padamerupakan nilai ‘cost’ pada dari kotak variabel non dari kotak variabel non
basis basis
7.7. Bila nilai pada kotak variabel non basis ada yang negatif Bila nilai pada kotak variabel non basis ada yang negatif berarti kondisi belum optimal, kemudian pilih nilai berarti kondisi belum optimal, kemudian pilih nilai variabel non basis yang paling negatif.variabel non basis yang paling negatif.
Solusi Akhir Dengan Metoda Multiplier (UV)
8.8. Berawal dari kotak variabel non basis, buat suatu loop Berawal dari kotak variabel non basis, buat suatu loop tertutup. Loop dapat searah jarum jam atau berlawanan.tertutup. Loop dapat searah jarum jam atau berlawanan.
9.9. Tetapkan tanda + atau – bergantian sesuai dengan kotak Tetapkan tanda + atau – bergantian sesuai dengan kotak yang dilalui loop. Berawal pada kotak variabel non basis yang dilalui loop. Berawal pada kotak variabel non basis dengan tanda +.dengan tanda +.
10.10. Kotak yang bertanda + berarti sejumlah unit ditambahkan Kotak yang bertanda + berarti sejumlah unit ditambahkan pada kotak tersebut. Besarnya unit yang ditambahkan pada kotak tersebut. Besarnya unit yang ditambahkan adalah sama dengan nilai terkecil pada kotak yang adalah sama dengan nilai terkecil pada kotak yang mempunyai tanda negatif.mempunyai tanda negatif.
11.11. Kotak variabel basis yang tidak dilalui loop, nilainya tetap.Kotak variabel basis yang tidak dilalui loop, nilainya tetap.12.12. Ulangi langkah 4 sampai 11, bila masih terdapat nilai Ulangi langkah 4 sampai 11, bila masih terdapat nilai
variabel non basis yang masih negatifvariabel non basis yang masih negatif
Solusi Akhir Dengan Metoda Multipler (UV)
V1= V2= V3= V4=
U1=
U2=
U3=
0
10 15
-10
20
-15
15
10
15
15 5 20
5 10 5
25 10 5 15
A
B
C
P1 P2 P3 P4
75
150
100
50 125 100 50 325
50 50
75 75
25 50
-15 5
0 10
25 10
Loop : (A,P3) (B,P3) (B,P2) (A,P2) (A,P3)
+ - + -
Iterasi I
10
15
15 5 20
5 10 5
25 10 5 15
A
B
C
P1 P2 P3 P4
75
150
100
50 125 100 50 325
V1= V2= V3= V4=
U1=
U3=
U2=
50
25125
25 50
500
10 5
5
Iterasi II
0
0
15
15 5
-5 -15
10 10
Total Biaya
2500
Loop : (B,P4) (C,P4) (C,P3) (B,P3) (B,P4)
+ - + -
0
Kondisi Feasibel, belum Optimal
Iterasi III
10
15
15 5 20
5 10 5
25 10 5 15
A
B
C
P1 P2 P3 P4
75
150
100
50 125 100 50 325
V1= V2= V3= V4=
U1=
U3=
U2=
50
25125
2550
500
10 5
-10
15
0
15
Total Biaya
22500 5
15 15
15 -5
Loop : (C,P2) (B,P2) (B,P4) (C,P4) (C,P2)
+ - + -Kondisi Feasibel, belum Optimal
Iterasi IV
10
15
15 5 20
5 10 5
25 10 5 15
A
B
C
P1 P2 P3 P4
75
150
100
50 125 100 50 325
V1= V2= V3= V4=
U1=
U3=
U2=
50
50100
50
500
10 5
-5
10
0
15
Total Biaya
2000
25
5 5
10 10
15 0
Kondisi Feasibel dan Optimal