TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO

¿QUÉ ES UNA TRASLACIÓN?

La traslación, es aquella isometrías que permiten desplazar en línea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento se realiza según un vector.

TRASLACIÓN

Para trasladar una figura en el plano cartesiano es necesario señalar el vector de traslación.

El vector de traslación es un par ordenado (x,y), donde x representa el desplazamiento horizontal e y el vertical

EJEMPLO

• El punto A se traslada tres unidades hacia la derecha y 3 unidades haciaabajo, por lo que el vector de traslación se podría representa por el par ordenado (3,-3)

EJEMPLO

El punto A(2,4) se traslada según el vector (4,0)

Para obtener el punto A’ , se deben sumar las coordenadas correspondientes del punto A y el vector, es decir (2,4) + (4,0) = (2+4, 4+0) = (6+4)

EN GENERAL

Si al punto P(x, y) se le aplica una traslación según el vector (a, b), las coordenadas de P’ están dadas por P’(x+a, y+b)

¿QUÉ ES UNA ROTACIÓN?

Las rotaciones, son aquellas isometrías que permiten girar todos los puntos del plano.

En una rotación se identifican 3 elementos:1. Centro de rotación2. Ángulo de rotación3. Sentido de giro: a) horario b) antihorario

EJEMPLO

Efectuar una rotación de 90° en sentido antihorario respecto del origen

OBSERVACIONES

Es importante visualizar que:

A) Un giro de 90° en sentido horario es equivalente a un giro de 270° en sentido antihorario.

B) Un giro de 180° en sentido horario es equivalente a un giro de 180° en sentido antihorario.

EN CONCLUSIÓN

Si rotamos el punto (x, y ) con respecto al origen O (0, 0) en un ángulo de giro de 90º, 180º, 270º, 360º, las coordenadas de lospuntos obtenidos están dados en la siguiente tabla.

SIMETRÍAS

Las simetrías o reflexiones, son aquellas transformaciones isométricas que invierten los puntos y figuras del plano. Esta reflexión puede ser respecto de un punto (simetría central) o respecto de una recta (simetría axial).

SIMETRÍA CENTRAL

Un simetría central de una figura respecto de un punto O es el movimiento que transforma cada punto A de la figura original en el punto A’, de modo que O es el punto medio del segmento AA’

EJEMPLO

Reflejar el cuadrado ABCD en torno al origen

EJEMPLOReflejar el cuadrado ABCD en torno al punto E

OBSERVACIONES

1) Una simetría central respecto de un punto O equivale a una rotación en 180º de centro O.

2) El sentido de la figura no cambia respecto al giro de las manecillas del reloj.

3) Todo punto del plano cartesiano A (x, y ) tiene su simétrico A' (−x, − y) con respecto al origen O (0, 0) .

SIMETRÍA AXIAL

Una simetría axial de una figura es el movimiento que transforma la figura, de manera que cada punto P y su imagen P’ equidisten del eje de simetría y el segmento PP’ sea perpendicular al eje de simetría

EJEMPLO

Reflejar el cuadrado ABCD respecto al eje Y

EJEMPLOReflejar el cuadrado ABCD en torno al eje X

EJEMPLO

EJEMPLO

OBSERVACIONES

1) En una simetría axial, las figuras cambian de sentido respecto del giro de las manecillas del reloj.

2) Todo punto del plano cartesiano A (x, y ) tiene un simétrico

3) A' (x, − y ) con respecto al eje de las abscisas

4) A' (−x, y ) con respecto al eje de las ordenadas.