Tihana Strme čki · 2018-09-06 · Bojan Kova čić Luka Marohni ć Tihana Strme čki REPETITORIJ...

Bojan Kovačić

Luka Marohnić

Tihana Strmečki

REPETITORIJ MATEMATIKE

za studente stručnoga

studija elektrotehnike

1. dio

REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio

© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 1

SADRŽAJ

1. KOMPLEKSNI BROJEVI ................................................................................ 3

1.1. Algebarski oblik zapisa kompleksnoga broja ................................................................3

1.2. Trigonometrijski oblik zapisa kompleksnoga broja .......................................................5

1.3. Eksponencijalni oblik zapisa kompleksnoga broja ........................................................7

2. OSNOVE MATRIČNOGA RAČUNA ................................................................ 8

3. SUSTAVI LINEARNIH JEDNADŽBI ............................................................. 12

4. (RADIJ)VEKTORI ......................................................................................... 13

5. REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE ..................................... 16

5.1. Opći pojmovi ............................................................................................................. 16

5.2. Polinomi i racionalne funkcije .................................................................................... 18

5.3. Trigonometrijske i ciklometrijske funkcije ................................................................. 19

5.4. Harmonijska funkcija ................................................................................................. 20

5.5. Eksponencijalna funkcija ............................................................................................ 22

5.6. Logaritamska funkcija ................................................................................................ 22

5.7. Hiperbolne i area funkcije .......................................................................................... 23

5.8. Nizovi i granične vrijednosti (limesi) nizova .............................................................. 25

5.9. Granične vrijednosti (limesi) funkcije ......................................................................... 26

5.10. Neprekidne funkcije ................................................................................................. 29

6. OSNOVE DIFERENCIJALNOGA RAČUNA ................................................... 30

6.1. Tablica derivacija elementarnih funkcija .................................................................... 32

6.2. Lokalni i globalni ekstremi ......................................................................................... 33

6.3. Neki osnovni poučci diferencijalnoga računa .............................................................. 34

6.4. L'Hôpital–Bernoullijevo pravilo ................................................................................. 35



6.5. Derivacije višega reda ................................................................................................ 35

6.6. Diferencijal funkcije ................................................................................................... 36

6.7. Konveksnost i konkavnost funkcije ............................................................................ 37

6.8. Asimptote na graf realne funkcije ............................................................................... 38

6.9. Ispitivanje tijeka funkcije ........................................................................................... 39

7. DODATAK .................................................................................................... 40

7.1. Formule iz algebre...................................................................................................... 40

7.2. Formule iz planimetrije .............................................................................................. 41

7.3. Formule iz stereometrije ............................................................................................. 41

7.4. Formule iz analitičke geometrije u ravnini .................................................................. 42

7.5. Formule iz trigonometrije ........................................................................................... 43



1. KOMPLEKSNI BROJEVI

1.1. Algebarski oblik zapisa kompleksnoga broja

Algebarski oblik zapisa kompleksnoga broja je z = a + b ⋅ i, pri čemu su a, b ∈ R, a i imaginarna jedinica. Definira se:

• Re(z) := a – realni dio kompleksnoga broja

• Im(z) := b – imaginarni dio kompleksnoga broja.

Skup svih kompleksnih brojeva označava se s C. Ekvivalentno, C = {a + b ⋅ i : a, b ∈ R}.

Grafički prikaz skupa C je Gaussova (kompleksna) ravnina. U toj se ravnini uvodi standardni pravokutni koordinatni sustav u kojemu je os apscisa realna os, a os ordinata imaginarna os.

U tako uvedenom koordinatnom sustavu kompleksnom je broju z = a + b ⋅ i pridružena točka Z = (a, b).

Konjugat broja z je kompleksan broj z a b i= − ⋅ . Točka u Gaussovoj ravnini pridružena

kompleksnom broju z je ( , )Z a b= − . Ta točka je osnosimetrična slika točke pridružene

kompleksnom broju z s obzirom na realnu os i obrnuto.

Konjugiranje kompleksnih brojeva ima sljedeća svojstva:

( )( )( )

( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1

2

1.) 0 ( 0), za svaki ;

2.) ( );

3.) ( , za neki );

4.) , za sve , ;

5.) , za svaki ;

6.) , za sve , ;

7.) , za svaki i svaki ;

8.)

nn

z z z

z z z

z z z b i b

z z z z z z

z z z

z z z z z z

z z z n

z

z

= ⇔ = ∈

= ⇔ ∈

= − ⇔ = ⋅ ∈

+ = + ∈

= ∈

⋅ = ⋅ ∈

= ∈ ∈

C

R

R

C

C

C

C N

11 2 2

2

, za sve , , 0.z

z z zz

= ∈ ≠

C

Apsolutna vrijednost (modul) kompleksnoga broja je nenegativan realan broj r definiran s

r := |z| := [ ] [ ]2 2

Re( ) Im( )z z+ .

Broj r se obično interpretira kao udaljenost točke pridružene broju z od ishodišta O Gaussove (kompleksne) ravnine.



Apsolutna vrijednost ima sljedeća svojstva:

( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

111 2 2

2 2

1.) 0, za svaki ;

2.) 0 ( 0);

3.) , za sve , ;

4.) , za sve , ;

5.) , za sve , , 0;

6.) , za svaki ;

7.) , za svaki i svaki ;

8.)

nn

z z

z z

z z z z z z

z z z z z z

zzz z z

z z

z z z

z z z n

zα

≥ ∈

= ⇔ =

± ≤ + ∈

⋅ = ⋅ ∈

= ∈ ≠

= ∈

= ∈ ∈

⋅

C

C

C

C

C

C N

, za svaki i svaki .z zα α= ⋅ ∈ ∈R C

Za svaki z0 ∈ C i svaki r ≥ 0 grafički prikaz skupa S = {z ∈ C: |z – z0| = r} je kružnica sa

središtem u z0 i polumjerom r.

Jednakost kompleksnih brojeva: Za z1 = a

1 + b

1 ⋅ i i z

2 = a

2 + b

2 ⋅ i, gdje su a

1, b

1, a

2, b

2 ∈ R.

vrijedi: (z1 = z

2) ⇔ ((a

1 = a

2) i (b

1 = b

1)).

Algebarske operacije s kompleksnim brojevima zapisanim u algebarskom obliku: Neka su

z1 = a1 + b1 ⋅ i i z2 = a2 + b2 ⋅ i, pri čemu su a1, b1, a2, b2 ∈ R. Definiramo algebarske operacije

zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja redom s:

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 222 2 2 2 2

2 2 2 2 22

: ( ) ( )

: ( ) ( )

: ( ) ( ) ;

: (uz uvjet 0).

z z a a b b i

z z a a b b i

z z a a b b a b a b i

z z z a a b b a b a bi z

z a b a bz

+ = + + + ⋅

− = − + − ⋅

⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅= = + ⋅ ≠

+ +



1.2. Trigonometrijski oblik zapisa kompleksnoga broja

Pridružimo li kompleksnom broju z točku Z u Gaussovoj (kompleksnoj) ravnini, onda kut

ϕ ∈ [0, 2 ⋅ π⟩ kojega pravac OZ zatvara s pozitivnim dijelom realne osi nazivamo argument

kompleksnoga broja z. Pišemo: ϕ = Arg(z).

Ako je z = a + b ⋅ i algebarski oblik zapisa kompleksnoga broja z, onda je pripadni argument

ϕ jednoznačno odreñen jednadžbama:

2 2

2 2

cos ,

sin .

a a

r a b

b b

r a b

ϕ

ϕ

= =

+ = = +

.

Argument kompleksnoga broja ima sljedeća svojstva:

1.) Za svaki α ∈ R+ ∪ {0} 1 vrijedi jednakost: Arg(z) = Arg(α ⋅ z).

2.) Za svaki α ∈ R– vrijedi jednakost: |Arg(z) – Arg( α ⋅ z)| = π.

3.) Ako je ϕ = Arg(z), onda je Arg( z ) = 2 ⋅ π – ϕ.

Trigonometrijski oblik zapisa kompleksnoga broja z je: z = r ⋅ cis ϕ := r ⋅ (cos ϕ + i ⋅ sin ϕ).

Pritom su r apsolutna vrijednost, a ϕ argument broja z.

Pretvorba oblika zapisa kompleksnih brojeva:

1. Algebarski → trigonometrijski

Ako je z = a + b ⋅ i algebarski oblik zapisa kompleksnoga broja z, algoritam je sljedeći:

Korak 1. Izračunati apsolutnu vrijednost (modul) r iz definicijske jednakosti te veličine.

Korak 2. Odrediti argument ϕ iz gore navedenih trigonometrijskih jednadžbi.

Korak 3. Zapisati: z = r ⋅ cis ϕ.

2. Trigonometrijski → algebarski:

Ako je z = r ⋅ cis ϕ trigonometrijski oblik zapisa kompleksnoga broja z, algoritam je

sljedeći:

Korak 1. Izračunati a = r ⋅ cos ϕ.

Korak 2. Izračunati b = r ⋅ sin ϕ.

Korak 3. Zapisati: z = a + b ⋅ i. Algebarske operacije s kompleksnim brojevima zapisanima u trigonometrijskom obliku:

Zbrajanje i oduzimanje izvode se pretvorbom zapisa pribrojnika iz trigonometrijskoga u

algebarski oblik.

1 S R

+ se označava skup svih strogo pozitivnih realnih brojeva, tj. interval ⟨0, +∞⟩. S R

– se označava skup svih

strogo negativnih realnih brojeva, tj. interval ⟨–∞, 0⟩.



Za z1 = r1 ⋅ cis ϕ1 i z2 = r2 ⋅ cis ϕ2 vrijede formule:

[ ]1 2 1 2 1 2

1 2 1 21 12

1 22 2

( ) cis (φ φ ) mod(2 ) ,

cis(φ φ ), ako je φ φ ; (uz uvjet 0)

cis(2 φ φ ), inače.

z z r r

z rz

z r

π

π

⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅

− ≥= ⋅ ≠

⋅ + −

Potenciranje kompleksnoga broja:

Za z = r ⋅ cis ϕ i svaki n ∈ N vrijedi De Moivrèova formula za potenciranje:

zn = r

n ⋅ cis[(n ⋅ ϕ) mod (2 ⋅ π)].

2

Pretpostavimo da je z ≠ 0. Definiramo 1 1:z

z

− = . Tada vrijedi:

( )1

1: , za svaki (uz uvjet 0).n

nz z n z− −= ∈ ≠N

Korjenovanje kompleksnoga broja:

Za z = r ⋅ cis ϕ i svaki n ∈ N skup svih kompleksnih rješenja jednadžbe xn = z je

φ 2cis : 0, 1, ..., 1n k

S r k nn

π + ⋅ ⋅ = ⋅ = −

.

Svi elementi skupa S tvore vrhove pravilnoga n – terokuta upisanoga u središnju kružnicu

polumjera 1

nr r= .

2 Za svaki ϕ > 0 je2

mod(2 ) : 2ϕ

πϕ π ϕ π⋅

⋅ = − ⋅ ⋅ , gdje je 2

ϕ

π⋅ najveći cijeli broj manji ili jednak

2

ϕ

π⋅.



1.3. Eksponencijalni oblik zapisa kompleksnoga broja

Osnova eksponencijalnoga oblika zapisa kompleksnoga broja je Eulerova formula: ei ⋅ ϕ

= cis

ϕ.

Eksponencijalni oblik zapisa kompleksnoga broja z je z = r ⋅ ei ⋅ ϕ. Pritom su r apsolutna

vrijednost (modul) i ϕ argument kompleksnoga broja z.

Pretvorba oblika zapisa kompleksnih brojeva:

1. Eksponencijalni → trigonometrijski:

Ako je z = r ⋅ ei ⋅ ϕ eksponencijalni oblik zapisa kompleksnoga broja z, onda je pripadni

trigonometrijski oblik zapisa toga broja z = r ⋅ cis ϕ.

2. Trigonometrijski → eksponencijalni:

Ako je z = r ⋅ cis ϕ trigonometrijski oblik zapisa kompleksnoga broja z, onda je pripadni

eksponencijalni oblik zapisa toga broja z = r ⋅ ei ⋅ ϕ.

3. Eksponencijalni → algebarski:

Kompleksan broj zapisan u eksponencijalnom obliku najprije treba zapisati u

trigonometrijskom obliku. Potom se dobiveni trigonometrijski oblik pretvara u algebarski

oblik koristeći algoritam naveden na stranici 4.

4. Algebarski → eksponencijalni:

Kompleksan broj zapisan u algebarskom obliku najprije treba zapisati u

trigonometrijskom obliku koristeći algoritam naveden na stranici 4. Potom se dobiveni trigonometrijski oblik pretvara u eksponencijalni oblik.

Algebarske operacije s kompleksnim brojevima zapisanima u eksponencijalnom obliku:

Zbrajanje i oduzimanje provodi se pretvorbom iz eksponencijalnoga u algebarski oblik.

Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva 1φ1 1

iz r e

⋅= ⋅ i 2φ2 2

iz r e

⋅= ⋅ izvodi se prema

sljedećim formulama:

[ ]1 2

1 2

1 2

(φ φ )mod(2 )

1 2 2

(φ φ )

1 21 12(2 φ φ )

2 2

,

, ako je φ φ ; (uz uvjet 0)

, inače.

i

i

i

z z r e

ez rz

z r e

π

π

⋅ + ⋅

⋅ −

⋅ ⋅ + −

⋅ = ⋅

≥= ⋅ ≠



2. OSNOVE MATRIČNOGA RAČUNA

Realna matrica tipa (r, s) je pravokutna tablica s ukupno r redaka i s stupaca, pri čemu su

r, s ∈ N. Matrica se uobičajeno označava velikim tiskanim slovom: A, B, C, … Skup svih realnih matrica tipa (r, s) označava se s Mr, s(R).

Element matrice A na presjeku i – toga retka i j – toga stupca označava se s aij, za svaki

i ∈ [r] i svaki j ∈ [s].

Realna matrica A je kvadratna matrica reda n (u daljnjem tekstu: matrica reda n) ako A ima

točno n redaka i točno n stupaca, pri čemu je n ∈ N. Skup svih realnih matrica reda n

označava se s Mn(R).

Neka je A matrica reda n. Za svaki i ∈ [n] elementi aii tvore glavnu dijagonalu, a elementi

an–i+1,i tvore sporednu dijagonalu matrice A.

Dvije matrice su meñusobno jednake ako su istoga tipa i ako na istim mjestima imaju meñusobno jednake elemente.

Zbrajanje i oduzimanje matrica definira se isključivo za matrice koje su istoga tipa. Ako su A

i B matrice tipa (r, s), onda je:

1. zbroj matricâ A i B jednak matrici C tipa (r, s) takvoj da je cij = aij + bij, za svaki i ∈ [r] i

svaki j ∈ [s].

2. razlika matricâ A i B jednaka matrici D tipa (r, s) takvoj da je dij = aij – bij, za svaki i ∈ [r]

i svaki j ∈ [s].

Umnožak realnoga broja α i realne matrice A tipa (r, s) je realna matrica B tipa (r, s) takva da

je bij = α ⋅ aij, za svaki i ∈ [r] i j ∈ [s].

Matrice A i B su ulančane ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B.

Množenje matrica definira se isključivo za ulančane matrice. Umnožak matrice A tipa (r, s) i

matrice B tipa (s, t) je matrica C tipa (r, t) takva da je element cij jednak skalarnom umnošku3

i – toga retka matrice A i j – toga stupca matrice B, za svaki i ∈ [r] i svaki j ∈ [t].

Neki posebni tipovi matrica:

1. Nulmatrica tipa (r, s) (oznaka: 0) je matrica tipa (r, s) čiji su svi elementi jednaki 0.

2. Jedinična matrica reda n (oznaka: En) je matrica reda n čiji su svi elementi na glavnoj

dijagonali jednaki 1, a svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki 0.

3. Dijagonalna matrica reda n je matrica reda n čiji su svi elementi izvan glavne dijagonale

jednaki nuli. Ekvivalentno, A ∈ Mn(R) je dijagonalna ako i samo ako za sve i, j ∈ [n]

vrijedi implikacija: (i ≠ j) ⇒ (aij = 0). 4. Gornja trokutasta matrica reda n je matrica reda n čiji su svi elementi ispod glavne

dijagonale jednaki 0. Ekvivalentno, A ∈ Mn(R) je gornja trokutasta ako i samo ako za sve

i, j ∈ [n] vrijedi implikacija: (1 ≤ i < j ≤ n ) ⇒ (aij = 0).

3 Definiciju skalarnoga umnoška vidjeti u poglavlju 4, stranica 13.



5. Donja trokutasta matrica reda n je matrica čiji su svi elementi iznad glavne dijagonale

jednaki 0. Ekvivalentno, A ∈ Mn(R) je donja trokutasta ako i samo ako za sve i, j ∈ [n]

vrijedi implikacija: (1 ≤ j < i < n) ⇒ (aij = 0).

6. Transponirana matrica matrice A tipa (r, s) je matrica B tipa (s, r) takva da je ij jib a= , za

svaki i ∈ [r] i svaki j ∈ [s]. Transponirana matricu uobičajeno se označava s AT.

Transponiranje matrica ima sljedeća svojstva:

1.) (AT)T = A, za svaku matricu A.

2.) (A + B)T = A

T + B

T, za matrice A i B koje su istoga tipa;

3.) (A ⋅ B)T = B

T ⋅ AT

, za matrice A i B koje su ulančane.

A ∈ Mn(R) je simetrična ako za sve i, j ∈ [n] vrijedi jednakost aij = aji. Ekvivalentno,

A ∈ Mn(R) je simetrična ako i samo ako vrijedi jednakost A = AT.

A ∈ Mn(R) je antisimetrična ako za sve i, j ∈ [n] vrijedi jednakost aij = –aji. Ekvivalentno,

A ∈ Mn(R) je antisimetrična ako i samo ako vrijedi jednakost A = –AT. Ako je A

antisimetrična matrica, onda su svi elementi njezine glavne dijagonale jednaki 0.

Determinanta matrice A ∈ M2(R) je realan broj D

2 definiran formulom:

1 1 1 2

2 1 1 2 2 1 2 21

2 1 2 2

: :a a

D a a a aa a

= = ⋅ − ⋅ .

U ovom slučaju kraće kažemo da je D2 determinanta reda 2.

Determinanta matrice A ∈ M3(R) je realan broj D3 definiran formulom:

11 12 13

3 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31

31 32 33

: : ( )

a a a

D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

= = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ .

U ovom slučaju kraće kažemo da je D3 determinanta reda 3.

Vrijednost bilo koje determinante reda 3 može se izračunati i Sarrusovim pravilom:

Korak 1. Uz determinantu dopisati njezina prva dva stupca (u istom poretku kao i u

determinanti.

Korak 2. Izračunati zbroj Z1 svih triju tročlanih umnožaka na dijagonalama sjeverozapad–

jugoistok.

Korak 3. Izračunati zbroj Z2 svih triju tročlanih umnožaka na dijagonalama jugozapad–

sjeveroistok.

Korak 4. Tražena vrijednost determinante jednaka je D = Z1 – Z2.

Napomena: Saarusovo pravilo vrijedi samo za determinante reda 3 i ne može se primjenjivati na računanje determinanti drugih redova.



Pojam determinante definiran je i za matricu proizvoljnoga reda, ali ta definicija izlazi iz

okvira ovoga priručnika i ovdje neće biti navedena.

Vrijednost determinante reda n može se računati i Laplaceovim razvojem. Neka su A ∈ Mn(R) i D njezina determinanta. Odabere se jedan redak/stupac determinante D, npr. i-ti redak.

Elementi toga retka su aik, gdje je k ∈ [n]. Za svaki k ∈ [n] neka je Dik vrijednost determinante

reda n – 1 dobivene izostavljanjem i-toga retka i k-toga stupca iz determinante D. Tada se

determinanta D može izračunati prema formuli:

1

( 1)n

i k

ik ik

k

D a D+

=

= − ⋅ ⋅∑ .

Pri računanju determinanti korisno je primijeniti sljedeća svojstva:

1.) Ako bilo koji redak/stupac determinante tvore isključivo nule, njezina vrijednost je

jednaka nuli.

2.) Ako determinanta sadrži barem dva jednaka retka/stupca, njezina vrijednost je jednaka

nuli.

3.) Zamjenom dvaju redaka/stupaca determinante mijenja se predznak njezine vrijednosti.

4.) Dodavanjem jednoga retka/stupca determinante nekom drugom njezinom retku/stupcu

vrijednost determinante neće se promijeniti. 5.) Pomnoži li se svaki element nekoga retka/stupca determinante nekim realnim brojem

različitim od nule, pa se tako dobiven redak/stupac determinante doda nekom drugom retku/stupcu determinante, vrijednost determinante se neće promijeniti.

6.) Vrijednost determinante bilo koje gornje trokutaste, donje trokutaste ili dijagonalne matrice jednaka je umnošku svih elemenata glavne dijagonale te matrice.

Binet–Cauchyjev poučak: Za A, B ∈ Mn(R)vrijedi jednakost:

det(A ⋅ B) = det(A) ⋅ det(B).

Posebno, za svaki n ∈ N vrijedi jednakost det(An) = [det(A)]n.

Inverz matrice A ∈ Mn(R) je matrica A–1

∈ Mn(R) takva da vrijedi A ⋅ A–1 = A

–1 ⋅ A = En. Ako

matrica A ima inverz, on je nužno jedinstven. Posebno, (En)–1 = En.

Napomena: Pojam inverza matrice nema smisla za matrice koje nisu kvadratne.

Regularna matrica je svaka kvadratna matrica koja ima inverz. Singularna matrica je svaka kvadratna matrica koja nema inverz. Vrijede sljedeći kriteriji:

1.) A ∈ Mn(R) je regularna ako i samo ako je njezina determinanta različita od 0.

2.) A ∈ Mn(R) je singularna ako i samo ako je njezina determinanta jednaka 0.

Invertiranje regularnih matrica ima sljedeća svojstva:

1.) (A–1)

–1 = A, za bilo koju regularnu matricu A.

2.) (A ⋅ B)–1 = B–1 ⋅ A–1, za bilo koje regularne matrice A i B istoga reda.

3.) (A–1)

T = (A

T)

–1, za bilo koju regularnu matricu A.



Elementarne transformacije nad retcima bilo koje matrice A su

– zamjena dvaju redaka;

– množenje jednoga retka realnim brojem različitim od nule; – zbrajanje dvaju redaka i pisanje dobivenoga zbroja u točno jedan od tih dvaju redaka

(umjesto dotičnoga retka);

„Neklasični“ algoritam za odreñivanje inverza regularne matrice A:

Korak 1. Formirati matricu [ ]| nB A E= tipa (n, 2 ⋅ n).

Korak 2. Elementarnim transformacijama nad retcima matrice A svesti matricu B na oblik

[ ]' |nB E X= .

Korak 3. Inverz matrice A je matrica X, tj. A–1

= X.

„Klasični“ algoritam za odreñivanje inverza regularne matrice A reda n:

Korak 1. Izračunati determinantu matrice A.

Korak 2. Za sve i, j ∈ [n] izračunati vrijednost bij definiranu s:

bij = (–1)i + j

⋅ Dij,

pri čemu je Dij determinanta matrice koja se dobije izostavljanjem i–toga retka i j–toga stupca

matrice A.

Korak 3. Formirati matricu ij

B b = ∈ Mn(R).

Korak 4. Odrediti matricu (tzv. adjunktu matrice A) : TA B=∼

.

Korak 5. Inverz matrice A jednak je 1 1

det( )A A

A

− = ⋅∼

.



3. SUSTAVI LINEARNIH JEDNADŽBI

Neka je n ∈ N, n ≥ 2. Linearni sustav reda n je sustav od n linearnih jednadžbi s n (različitih)

nepoznanica. Ovisno o ukupnom broju meñusobno različitih rješenja, linearne sustave reda n dijelimo na:

1.) nemoguće (nemaju niti jedno rješenje); 2.) Cramerove (imaju točno jedno rješenje);

3.) sustave s beskonačno mnogo različitih rješenja.

Za svaki linearni sustav reda n jednoznačno su odreñene sljedeće vrijednosti:

1.) xi := i-ta nepoznanica, za svaki i ∈ [n];

2.) aij := koeficijent uz nepoznanicu xj u i-toj jednadžbi sustava, za sve i, j ∈ [n];

3.) bi := slobodni član u i-toj jednadžbi sustava, za svaki i ∈ [n].

Matrica linearnoga sustava reda n je matrica A ∈ Mn(R) čiji su elementi brojevi aij.

Determinanta linearnoga sustava reda n (oznaka: D) je determinanta matrice sustava.

k-ta pomoćna matrica linearnoga sustava reda n je matrica Ak ∈ Mn(R)koja se dobije kad se k–ti stupac matrice sustava A zamijeni stupcem kojega tvore svi slobodni članovi sustava.

k-ta pomoćna determinanta linearnoga sustava reda n (oznaka: Dk) je determinanta matrice Ak.

Karakterizacija rješivosti linearnih sustava reda n pomoću determinanti:

1.) Linearni sustav reda n je nemoguć ako i samo ako je D = 0 i postoji barem jedan

k ∈ [n] takav da je Dk ≠ 0.

2.) Linearni sustav reda n je Cramerov ako i samo ako je D ≠ 0. 3.) Linearni sustav reda n ima beskonačno mnogo različitih rješenja ako i samo ako

vrijede jednakosti: D = D1 = … = Dn = 0.

Cramerovo pravilo: Rješenje (x1,…, xn) bilo kojega Cramerova sustava reda n odreñeno je

izrazima

kk

Dx

D= , za svaki k ∈ [n].

Homogeni linearni sustav reda n je linearni sustav reda n takav da je bi = 0, za svaki i ∈ [n]. Takav sustav ili ima jedinstveno (trivijalno) rješenje (x1,…, xn) = (0,…,0) ili ima beskonačno

mnogo različitih rješenja.



4. (RADIJ)VEKTORI

Neka je O ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u standardnom euklidskom prostoru

E3. Radijvektor OT��

je bilo koja usmjerena dužina čiji je početak točka O, a kraj točka T.

Svaki radijvektor je jednoznačno odreñen svojom završnom točkom T. Ako je T = (xT, yT, zT),

piše se: ( , , )T T TOT x y z=��

.

Posebno se izdvajaju četiri radijvektora: 0 (0,0,0), : (1,0,0), : (0,1,0), : (0,0,1)i j k= = = =� � � �

.

Skup svih radijvektora u euklidskom prostoru 3E standardno se označava s 3( )V O . Ako se

ne istakne drugačije, pretpostavlja se da su razmatrani radijvektori elementi skupa 3( )V O .

Algebarske operacije s radijvektorima: Za 1 2 3( , , )a a a a=

�

, 1 2 3( , , )b b b b=

�

i α ∈ R operacije

zbrajanja i oduzimanja radijvektora, te množenja radijvektora sa skalarom definirane su s:

1 1 2 2 3 3

1 2 3

: ( , , )

α : (α , α , α )

a b a b a b a b

a a a a

± = ± ± ±

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

� �

�

Duljina radijvektora 1 2 3( , , )a a a a=

�

je nenegativan realan broj 2 2 2

1 2 3:a a a a= + +�

.

Radijvektori i a b� �

su kolinearni ako je jedan od njih nulvektor ( 0�

) ili ako postoji α ∈ R

takav da je = αa b⋅� �

. Ako je α > 0, kolinearni radijvektori imaju isti smjer. Ako je α < 0,

kolinearni radijvektori imaju suprotan smjer. Ekvivalentno, radijvektori i a b� �

su kolinearni

ako i samo ako pravac kroz njihove krajnje točke prolazi ishodištem O.

Ako je = αa b⋅� �

, onda je a bα= ⋅� �

. Pritom su i a b� �

duljine radijvektora, a α apsolutna

vrijednost realnoga broja.

Skalarni umnožak (oznaka: •) dvaju radijvektora 1 2 3( , , )a a a a=

�

i 1 2 3( , , )b b b b=

�

je realan broj s

definiran s

3

1 1 2 2 3 3

1

: : i i

i

s a b a b a b a b a b=

= • = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅∑� �

.

Skalarni umnožak je komutativna binarna operacija (svejedno je u kojemu poretku množimo

radijvektore).

Mjera kuta izmeñu dvaju radijvektora 1 2 3( , , )a a a a=

�

i 1 2 3( , , )b b b b=

�

je realan broj ϕ ∈ [0, π]

odreñen trigonometrijskom jednadžbom:

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

cosa b a b a ba b

a b a a a b b bϕ

⋅ + ⋅ + ⋅•= =

⋅ + + ⋅ + +

� �

� � .



Dva radijvektora su okomita ako zatvaraju kut od 90°, odnosno 2

π radijana. Po definiciji,

nulvektor je okomit na svaki radijvektor.

Dva radijvektora (različita od nulvektora) su okomita ako i samo ako je njihov skalarni

umnožak jednak nuli.

Vektorski umnožak (oznaka: ×) dvaju radijvektora 1 2 3( , , )a a a a=�

i 1 2 3( , , )b b b b=�

je

radijvektor c�

definiran s

( )1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3

: : , ,

i j k

c a b a a a a b a b a b a b a b a b

b b b

= × = = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

� � �

� � �

.

Vektorski umnožak ima sljedeća svojstva:

1.) sinc a b ϕ= ⋅ ⋅� � �

, gdje je ϕ kut izmeñu radijvektora i a b� �

.

2.) Duljina vektorskoga umnoška dvaju radijvektora jednaka je površini usporednika

kojega razapinju ti radijvektori.

3.) Vektorski umnožak dvaju radijvektora je okomit na svaki od tih radijvektora. Ako je

0c ≠� �

, onda se smjer radijvektora c�

odreñuje tako da radijvektori , i a b c� � �

u danom

poretku tvore desni sustav. Praktično, ako srednji prst desne ruke usmjerimo u smjeru

radijvektora a�

, a kažiprst iste ruke u smjeru radijvektora b�

, onda će palac iste ruke

pokazivati smjer vektorskoga umnoška c�

.

4.) Vektorski umnožak dvaju radijvektora jednak je nulvektoru ako i samo ako su ti

radijvektori kolinearni.

5.) Vektorski umnožak je antikomutativan, tj. vrijedi: ( 1) ( )a b b a× = − ⋅ ×� � � �

.

6.) Vektorski umnožak ima svojstvo distributivnosti prema zbrajanju, tj. vrijede

jednakosti:

( ) , ( )a b c a c b c a b c a c a c+ × = × + × × + = × + ×� � � � � � � � � � � � � �

.

Napomena: Vektorski umnožak se definira samo u prostoru 3( )V O .

Mješoviti umnožak triju radijvektora 1 2 3( , , )a a a a=�

, 1 2 3( , , )b b b b=�

i 1 2 3( , , )c c c c=�

je realan

broj M definiran s

1 2 3

1 2 3

1 2 3

:

a a a

M b b b

c c c

= .

Apsolutna vrijednost mješovitoga umnoška triju radijvektora jednaka je obujmu

paralelepipeda razapetoga tim radijvektorima. Obujam tetraedra razapetoga tim



radijvektorima jednak je 1

6M⋅ . Obujam trostrane prizme razapete tim radijvektorima jednak

je 1

2M⋅

Mješoviti umnožak triju radijvektora jednak je nuli ako i samo ako je jedan od radijvektora

nulvektor ili ako su sva tri radijvektora komplanarna (pripadaju istoj ravnini).

Linearna kombinacija dvaju radijvektora 1 2 3( , , )a a a a=

�

i 1 2 3( , , )b b b b=

�

s koeficijentima

α, β ∈ R je radijvektor c�

definiran s

1 1 2 2 3 3: ( , , )c a b a b a b a bα β α β α β α β= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅� � �

Skup radijvektora S je linearno nezavisan ako se niti jedan element toga skupa ne može

prikazati kao linearna kombinacija svih preostalih elemenata toga skupa. Skup radijvektora je

linearno zavisan ako nije linearno nezavisan, tj. ako se barem jedan element toga skupa može

prikazati kao linearna kombinacija svih preostalih elemenata toga skupa.

Jednočlani skup S ⊂ 3( )V O je linearno zavisan ako i samo je { }0S =�

.

Dvočlani skup S ⊂ 3( )V O je linearno zavisan ako i samo ako su njegovi elementi kolinearni.

Tročlani skup S ⊂ 3( )V O je linearno zavisan ako i samo ako je mješoviti umnožak njegovih

elemenata (u bilo kojem poretku) jednak nuli.

Za svaki n ∈ N, n ≥ 4, n-člani skup radijvektora iz skupa 3( )V O je linearno zavisan.



5. REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE

5.1. Opći pojmovi

Neka su X, Y ⊆ R. Realna funkcija jedne realne varijable f : X → Y je svako pridruživanje koje svakom elementu skupa X pridružuje točno jedan element skupa Y. Skup X naziva se

prirodno područje definicije (domena) funkcije f, a skup Y područje vrijednosti (kodomena)

funkcije f. Kad god se ne istakne drugačije, pretpostavlja se da je f realna funkcija jedne

realne varijable.

Svaka funkcija je potpuno odreñena zadavanjem skupova X i Y, te pravila kojim se

elementima skupa X pridružuju elementi skupa Y.

Dvije funkcije f i g su jednake ako istovremeno imaju jednake domene, jednake kodomene i

ako za svaki x∈X vrijedi jednakost f(x) = g(x).

Funkcija f : X → Y je injekcija ako vrijedi implikacija: (f (x1) = f (x

2)) ⇒ (x

1 = x

2).

Funkcija f : X → Y je surjekcija ako za svaki y ∈ Y postoji barem jedan x ∈ X takav da je

y = f (x).

Funkcija f je bijekcija ako je istovremeno i injekcija i surjekcija.

Inverz bijekcije f : X → Y je funkcija f –1 : Y → X takva da za svaki x ∈ X i svaki y ∈ Y

istodobno vrijede jednakosti:

(f –1 � f )(x) = x,

(f � f –1)(y) = y. 4

Pravilo inverza bijekcije f može se odrediti sljedećim algoritmom:

Korak 1. Pravilo funkcije f zapisati u obliku y = f (x). U navedenoj jednakosti napraviti

zamjenu varijabli: umjesto y na lijevoj strani jednakosti pisati x, a umjesto x na desnoj strani

jednakosti pisati y.

Korak 2. Iz prethodne jednakosti izraziti y pomoću x. Dobiveni izraz je pravilo inverza f –1

(s

eventualnim preimenovanjem oznake nezavisne varijable).

Graf funkcije f je skup Γ( f ) := {(x, f (x)): x ∈ X}. On se obično predočava u pravokutnom

koordinatnom sustavu u ravnini tako da se na os apscisa nanose vrijednosti nezavisne varijable x, a na os ordinata nanose vrijednosti f (x).

Ravninska krivulja K je graf neke funkcije ako i samo ako svaki pravac usporedan s osi

ordinata siječe krivulju K u najviše jednoj točki.

Napomena: Ravninske krivulje poput kružnice, elipse, hiperbole i parabole nisu grafovi

funkcija.

4 S � je označena operacija kompozicije funkcija: (f � g)(x) := f [g(x)].



Ravninska krivulja K je graf neke bijekcije ako i samo ako svaki pravac usporedan s osi

apscisa i svaki pravac usporedan s osi ordinata sijeku krivulju K u najviše jednoj točki. Graf inverza bijekcije f može se dobiti zrcaljenjem grafa bijekcije f s obzirom na pravac čija je

jednadžba y = x.

Neka je f : X → Y funkcija sa svojstvom 0 ∈ Y. Nultočka funkcije f je svaki x ∈ X takav da je f (x) = 0. Nultočka se grafički interpretira kao sjecište grafa funkcije f i osi apscisa (osi x).

Funkcija f : X → Y je omeñena odozdo ako postoji barem jedan m ∈ R takav da za svaki

x ∈ X vrijedi f (x) ≥ m.

Funkcija f : X → Y je omeñena odozgo ako postoji barem jedan M ∈ R takav da za svaki

x ∈ X vrijedi f (x) ≤ M.

Funkcija f : X → Y je omeñena ako je omeñena i odozdo i odozgo.

Funkcija f : X → Y je rastuća ako za sve x1, x

2 ∈ X vrijedi implikacija (x

1 < x

2) ⇒

(f (x1) ≤ f (x

2)).

Funkcija f : X → Y je strogo rastuća ako za sve x1, x2 ∈ X vrijedi implikacija

(x1 < x

2) ⇒ (f (x

1) < f (x

2)).

Funkcija f : X → Y je padajuća ako za sve x1, x2 ∈ X vrijedi implikacija

(x1 < x

2) ⇒ (f (x

1) ≥ f (x

2)).

Funkcija f : X → Y je strogo padajuća ako za sve x1, x2 ∈ X vrijedi implikacija

(x1 < x

2) ⇒ (f (x

1) > f (x

2)).

5

Svaka strogo rastuća (strogo padajuća) funkcija je injekcija. (Obratna tvrdnja nije točna.)

Funkcija f : X → Y je parna ako za svaki x∈ X istovremeno vrijede tvrdnje:

1.) (–x) ∈ X;

2.) f (–x) = f (x)

Graf svake parne funkcije je osno simetričan s obzirom na os ordinata (os y).

Funkcija f : X → Y je neparna ako za svaki x∈ X istovremeno vrijede tvrdnje:

1.) (–x) ∈ X; 2.) f (–x) = –f (x).

Graf svake neparne realne funkcije je centralno simetričan s obzirom na ishodište

pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini.

Funkcija f : X → Y je periodična ako postoji barem jedan P ∈ R takav da za svaki x∈ X

istovremeno vrijede tvrdnje:

1.) (x + P) ∈ X; 2.) f (x + P) = f (x).

5 Rastuće i padajuće funkcije jednim imenom nazivamo monotone funkcije. Strogo rastuće i strogo padajuće funkcije jednim imenom

nazivamo strogo monotone funkcije.



Broj P naziva se period funkcije f. Najmanji strogo pozitivan period T (ako postoji) funkcije f

naziva se temeljni period.

5.2. Polinomi i racionalne funkcije

Neka su n ∈ N, an, …, a

0 ∈ R. Polinom stupnja n je funkcija p : R → R definirana s

0

0

( ) ...n

k n

k n

k

p x a x a x a=

= ⋅ = ⋅ + +∑ .

Realan broj an naziva se vodeći koeficijent, a realan broj a

0 slobodni član polinoma p.

Za n = 0 dobiva se konstantna funkcija, za n = 1 linearna funkcija, za n = 2 kvadratna funkcija, a za n = 3 kubna funkcija.

Polinom p takav da za svaki x ∈ R vrijedi p(x) = 0 nazivamo nulpolinom. Njegov se stupanj

obično ne definira.

Svaki polinom neparnoga stupnja ima barem jednu realnu nultočku. Polinom stupnja n koji

ima barem n + 1 različitih nultočaka nužno je nulpolinom.

Kratnost pojedine nultočke polinoma stupnja n je ukupan broj pojavljivanja te nultočke u

popisu svih nultočaka toga polinoma. Pritom su dozvoljena ponavljanja nultočaka.

Osnovni poučak algebre: Neka je p polinom stupnja n ≥ 1 s kompleksnim koeficijentima. Tada jednadžba p(x) = 0 ima barem jedno rješenje koje pripada skupu C. (Općenito, svaki

polinom stupnja n ≥ 1 s koeficijentima iz skupa C ima točno n ne nužno meñusobno različitih

nultočaka koje pripadaju skupu C.)

Ako su x1,…, x

n sva (ne nužno meñusobno različita) rješenja jednadžbe p(x) = 0 u skupu C,

onda vrijedi rastav:

1

1

( ) ( ) ( ) ... ( )n

n k n n

k

p x a x x a x x x x=

= ⋅ − = ⋅ − ⋅ ⋅ −∏ .

Za svaki z ∈ C vrijedi ekvivalencija ( )( )( ( ) 0) 0p z p z= ⇔ = . Ekvivalentno, z ∈ C je rješenje

jednadžbe p(x) = 0 ako i samo ako je i z rješenje te jednadžbe.

Bèzoutov poučak: Neka su svi koeficijenti polinoma p cijeli brojevi, a vodeći koeficijent 1.

Ako jednadžba p(x) = 0 ima rješenje x0 ∈ Z, onda x

0 | a0.6 Ekvivalentno, svi kandidati za

cjelobrojne nultočke polinoma s cjelobrojnim koeficijentima i vodećim koeficijentom 1 su

nužno djelitelji slobodnoga člana toga polinoma.

Algebarske operacije s polinomima svode se na algebarske operacije s potencijama.

6 Simbol | čitati: „dijeli“. Dakle, x

0 | a

0 znači da je a

0 djeljiv s x

0 bez ostatka.



Polinom p je djeljiv polinomom q ako je svaka nultočka polinoma q ujedno i nultočka

polinoma p, pri čemu kratnost te nultočke u odnosu na polinom q mora biti najviše jednaka kratnosti te nultočke u odnosu na polinom p.

Neka su m, n ∈ N takvi da je m < n. Neka su p1 polinom stupnja m čiji je skup nultočaka N

1,

te p2 polinom stupnja n čiji je skup nultočaka N

2. Prava racionalna funkcija je realna funkcija f

definirana pravilom

1

2

pf

p= . (*)

Domena funkcije f je skup R \ N2. Skup svih nultočaka funkcije f je skup N

1 \ N

2.

Pol racionalne funkcije f je svaki element skupa N2. Red pola y ∈ N

2 je k ∈ N takav da je k

jednak kratnosti elementa y u odnosu na polinom p2. Pol y reda k je uklonjiv ako y u odnosu

na polinom p1 ima kratnost jednaku ili veću od k. U suprotnom, pol y je neuklonjiv.

Neprava racionalna funkcija je funkcija f definirana pravilom (*) pri čemu vrijedi m ≥ n.

Takva funkcija uvijek se može napisati kao zbroj polinoma (stupnja m – n) i prave racionalne

funkcije. Prirodno područje definicije, nultočke i polovi pritom se odreñuju kao i kod prave

racionalne funkcije.

5.3. Trigonometrijske i ciklometrijske funkcije

Ako se u točki T = (1, 0) povuče tangenta na središnju jediničnu kružnicu i ta tangenta shvati kao brojevni pravac, onda se tzv. namatanjem pravca na kružnicu svakoj točki pravca (a time

i svakom realnom broju x) može pridružiti jedinstvena točka T' = (x', y').

Funkcija c koja realnom broju x pridružuje broj x' naziva se kosinus i označava sa cos x.

Funkcija s koja realnom broju x pridružuje broj y' naziva se sinus i označava sa sin x.

Koristeći funkcije sinus i kosinus definiraju se funkcije tangens (oznaka: tg) i kotangens

(oznaka: ctg):

sintg ,

cos

cosctg .

sin

xx

x

xx

x

=

=

Osnovna svojstva navedenih funkcija navedena su u sljedećoj tablici.

Naziv funkcije Domena Kodomena Temeljni period (Ne)Parnost

sinus R [–1, 1] 2 ⋅ π neparna

kosinus R [–1, 1] 2 ⋅ π parna

tangens \ (2 1) :

2k k

π ⋅ + ⋅ ∈

R Z

R π neparna

kotangens { }\ :k kπ⋅ ∈R Z R π neparna



Napomena: Funkcije ctg x i 1

tg x nisu jednake jer nemaju jednake domene. Identitet

1ctg

tg x

x= vrijedi za sve \ :

2x k k

π ∈ ⋅ ∈

R Z .

Nijedna od četiri osnovne trigonometrijske funkcije nije bijekcija na svojoj domeni jer nijedna periodična realna funkcija nije injekcija. Meñutim, njihova suženja (restrikcije) na odreñene

intervale jesu bijekcije, pa na tim intervalima postoje pripadni inverzi. Ti inverzi nazivaju se

ciklometrijske ili arkus funkcije. Njihov naziv vezan je uz promatranje duljine pripadnoga

luka središnje jedinične kružnice.

Pregled arkus funkcija i njihovih osnovnih svojstava naveden je u sljedećoj tablici.

Naziv funkcije Oznaka Domena Kodomena Neka svojstva

arkus sinus arcsin [–1, 1] ,

2 2

π π −

omeñena, neparna,

neperiodična, strogo rastuća

arkus kosinus arccos [–1, 1] [0, π] omeñena, parna,

neperiodična, strogo padajuća

arkus tangens arctg R ,

2 2

π π−

omeñena, neparna,

neperiodična, strogo rastuća

arkus kotangens arcctg R ⟨0, π⟩ omeñena, neparna,

neperiodična, strogo padajuća

Neki osnovni identiteti vezani uz trigonometrijske i ciklometrijske funkcije navedeni su u

točki 7.5., stranice 43. – 47.

5.4. Harmonijska funkcija

Neka su A, ω i ϕ realne konstante takve da su A, ω > 0 i ϕ ∈ ⟨–π, π]. Harmonijska funkcija je funkcija f : R → R definirana pravilom

f (x) = A ⋅ sin(ω ⋅ x + ϕ).

Vrijednost A naziva se amplituda, vrijednost ω kružna frekvencija, a vrijednost ϕ fazni pomak

funkcije f.

U ovoj točki pretpostavlja se da su f, f1, …. harmonijske funkcije.

Napomene: 1.) Pretpostavka A, ω > 0 uzima se bez smanjenja općenitosti. Naime, ako vrijedi

A < 0 i/li ω < 0, onda se pripadna harmonijska funkcija svodi na razmatrani oblik primjenom identiteta

sin(–x) = (–1) ⋅ sin x,

sin(π – x) = sin x.



2.) I funkcija g (x) = A ⋅ cos(ω ⋅ x + ϕ) može se razmatrati kao harmonijska funkcija. Da bi se

dobio uobičajeni zapis harmonijske funkcije, primjenjuju se identiteti cos x = sin2

xπ

+

i/ili

cos x = sin2

xπ

−

.

Temeljni period funkcije f jednak je 2

Tπ

ω

⋅= .

Skup svih nultočaka funkcije f je

:f

kN k

π ϕ

ω

⋅ − = ∈

Z .

Ako su xi i x

j dvije uzastopne (susjedne) nultočke funkcije f, onda je

1

2i jx x T− = ⋅ .

Segment , I Tϕ ϕ

ω ω

= − −

naziva se osnovni ili temeljni segment funkcije f. Karakteristične

točke funkcije f na njezinu osnovnu segmentu su:

0 1 2 3 4

3, 0 , , , , 0 , , i , 0

4 2 4

T T TT T A T T A T T

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ω ω ω ω ω

⋅ = − = − + = − + = − + − = − +

.

Funkcija ( ) sin( ) cos( )g x A x B xω ω= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ može se zapisati u obliku harmonijske funkcije

1 1( ) sin( )f x A xω ϕ= ⋅ ⋅ + , pri čemu se veličine A1 i ϕ odreñuju iz jednadžbi:

2 2

1

1 1

,

cos , sin .

A A B

A B

A Aϕ ϕ

= +

= =

Superpozicija funkcija 1 1 1( ) sin( )f x A xω ϕ= ⋅ ⋅ + i

2 2 2( ) sin( )f x A xω ϕ= ⋅ ⋅ + s istom kružnom

frekvencijom ω je funkcija 3 3 3( ) sin( )f x A xω ϕ= ⋅ ⋅ + , pri čemu se veličine A

3 i ϕ

3 odreñuju iz

izraza:

2 2

3 1 2 1 2 1 2

1 1 2 23

1 1 2 2

2 cos( ),

sin sinarctg .

cos cos

A A A A A

A A

A A

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ

ϕ ϕ

= + + ⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ + ⋅=

⋅ + ⋅



5.5. Eksponencijalna funkcija

Neka je a > 0, a ≠ 1, realna konstanta. Funkciju f : R → R+ definiranu pravilom f (x) = a

x

nazivamo eksponencijalna funkcija (s bazom a).

Eksponencijalna funkcija je odozdo omeñena bijekcija koja nema realnih nultočaka. Ta

funkcija nije niti parna niti neparna niti periodička. Vodoravna asimptota7 na njezin graf je

pravac y = 0 (os apscisa).

Za 0 < a < 1 eksponencijalna funkcija je strogo padajuća.

Za a > 1 eksponencijalna funkcija je strogo rastuća.

U primjenama najčešće korištena eksponencijalna funkcija je f1(x) = e

x, gdje je e baza

prirodnoga logaritma. Broj e je iracionalan broj i približno je jednak 2.7182818…, a najčešće

se definira kao granična vrijednost niza8 (an)n∈N čiji je opći član definiran pravilom

11

n

nan

= +

.

Pri računanju vrijednosti eksponencijalne funkcije vrlo često se primjenjuju svojstva potencija

navedena u točki 7.1., stranica 40.

5.6. Logaritamska funkcija

Inverz eksponencijalne funkcije s bazom a je funkcija g : R+ → R definirana pravilom

g(x) = logax. Ta funkcija naziva se logaritamska funkcija (s bazom a).

Logaritamska funkcija je neomeñena bijekcija koja ima točno jednu nultočku x = 1. Ta

funkcija nije niti parna niti neparna niti periodička. Uspravna asimptota na njezin graf je pravac x = 0 (os ordinata).

Za 0 < a < 1 logaritamska funkcija je strogo padajuća.

Za a > 1 logaritamska funkcija je strogo rastuća.

Za a = 10 dobiva se funkcija dekadskoga logaritma (oznaka: log x).

Za a = e dobiva se funkcija prirodnoga logaritma (oznaka: ln x).

Pri računanju vrijednosti logaritamske funkcije vrlo često se primjenjuju svojstva logaritama

navedena u točki 7.1., stranica 40.

7 O asimptotama i njihovoj klasifikaciji vidjeti točku 6.8., stranica 38. 8 O graničnoj vrijednosti niza vidjeti točku 5.8., stranica 25.



5.7. Hiperbolne i area funkcije

Koristeći eksponencijalnu funkciju f (x) = ex definiraju se osnovne hiperbolne funkcije. One

predstavljaju svojevrstan analogon trigonometrijskih funkcija, pri čemu se umjesto središnje jedinične kružnice promatra jednakostranična hiperbola čija je jednadžba x2 – y2 = 1. Njihov

je pregled naveden u sljedećoj tablici.

Naziv hiperbolne funkcije Oznaka Domena Kodomena Pravilo

kosinus hiperbolni

(lančanica)

ch R [1, +∞⟩ 2

x xe e

−+

sinus hiperbolni sh R R

2

x xe e

−−

tangens hiperbolni th R ⟨–1, 1⟩ sh ili

ch

x x

x x

x e e

x e e

−

−

−

+

kotangens hiperbolni cth R \ {0} R \ [–1, 1] ch ili

sh

x x

x x

x e e

x e e

−

−

+

−

Funkcije sh, th i cth, te suženje funkcije ch na interval [0, +∞⟩ su bijekcije. Pripadni inverzi

nazivaju se area funkcije. One predstavljaju svojevrstan analogon ciklometrijskih funkcija, pri čemu se umjesto duljine luka kružnice promatra površina ravninskih likova odreñenih gore

navedenom jednakostraničnom hiperbolom. Njihov je pregled dan u sljedećoj tablici.

Naziv area funkcije Oznaka Domena Kodomena Pravilo

area kosinus hiperbolni arch [1, +∞⟩ [0, +∞⟩ ( )2ln 1x x+ −

area sinus hiperbolni arsh R R ( )2ln 1x x+ +

area tangens hiperbolni arth ⟨–1, 1⟩ R 1 1ln

2 1

x

x

+⋅

−

area kotangens hiperbolni arcth R \ [–1, 1] R \ {0} 1 1ln

2 1

x

x

+⋅

−



Osnovni hiperbolni identiteti:

Za sve dopustive9 x, y ∈ R vrijede sljedeće jednakosti:

2 2

2 2

2

2

. ch sh

. ch sh 1.

1. cth .

th

. ch(2 ) ch sh .

. sh(2 ) 2 sh ch .

2 th . th(2 ) .

1 th

cth 1. cth(2 ) .

2 cth

. ch( ) ch ch sh sh .

. sh( ) sh ch ch sh

xx x e

x x

xx

x x x

x x x

xx

x

xx

x

x y x y x y

x y x y x

±± =

− =

=

⋅ = +

⋅ = ⋅ ⋅

⋅⋅ =

+

+⋅ =

⋅

± = ⋅ ± ⋅

± = ⋅ ± ⋅

1

2

3

4

5

6

7

8

9

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2

2

.

th th . th( )

1 th th

1 cth cth . cth( ) .

cth cth

1. sh ch(2 ) 1 .

2

1. ch ch(2 ) 1 .

2

1. ch ch ch( ) ch( ) .

2

1. sh ch sh( ) sh( ) .

2

. sh sh

y

x yx y

x y

x yx y

x y

x x

x x

x y x y x y

x y x y x y

x y

±± =

± ⋅

± ⋅± =

±

= ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅ +

⋅ = ⋅ + + −

⋅ = ⋅ + + −

⋅ =

10

11

12

13

14

15

16 [ ]1

ch( ) ch( ) .2

x y x y⋅ + − −

9 Vrijednosti x i y su dopustive za izraz I ako je svaki član toga izraza definiran za dotične vrijednosti.



5.8. Nizovi i granične vrijednosti (limesi) nizova

Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N → R. Izraz an := a(n) naziva se opći član niza.

Grafički prikaz niza je skup točaka na brojevnom pravcu.

Realan broj L je granična vrijednost (limes) niza an ako za svaki ε > 0 postoji N ∈ N takav da

vrijedi implikacija: (n ≥ N) ⇒ (|an – L| < ε). U tom se slučaju piše: lim

nn

L a→+∞

= .

Niz koji ima graničnu vrijednost nazivamo konvergentnim. Niz koji nema graničnu vrijednost

nazivamo divergentnim.

Svaki konvergentan niz je omeñen. Svaki omeñeni rastući/padajući niz je konvergentan.10

Za strogo padajući divergentan niz dogovorno pišemo limn

na

→+∞= −∞ . Za strogo rastući

divergentan niz dogovorno pišemo lim nn

a→+∞

= +∞ .

Poučak o sendviču: Neka su (an), (b

n) i (c

n) nizovi takvi da za svaki n ∈ N vrijedi nejednakost

an ≤ b

n ≤ c

n . Tada vrijede sljedeće tvrdnje.

1.) Ako nizovi (an) i (c

n) imaju graničnu vrijednost L ∈ R, onda i niz (b

n) ima graničnu

vrijednost L. 2.) Ako je niz (a

n) divergentan, takva su i ostala dva niza.

Osnovna svojstva konvergentnih nizova: Neka su (an) i (b

n) konvergentni nizovi čije su

granične vrijednosti redom jednake L1 i L

2, pri čemu su L

1, L

2 ∈ R. Tada vrijede sljedeće

jednakosti:

1

1 2

1 2

12

2

1 1

. lim ( ) ;

. lim ( ) ;

. ( 0) lim ;

. ( , 0) lim ( ) ( ) , za svaki ;

. lim , za svaki 0.n

n nn

n nn

n

nn

c c

n nn

a L

n

a b L L

a b L L

a LL

b L

a L a L c

c c c

→+∞

→+∞

→+∞

→+∞

→+∞

± = ±

⋅ = ⋅

≠ ⇒ =

> ⇒ = ∈

= >

1

2

3

4 R

5

10 Definicije svojstava omeñenosti, (strogoga) rasta i (strogoga) pada niza analogne su definicijama istih svojstava za opću realnu funkciju jedne realne varijable.



Neke karakteristične granične vrijednosti nizova:

( )

0

0

. lim 0, za svaki i svaki .

. ( 0) lim .

0, za 0 1;. lim

, za 1 i 0.

. lim 1 .

. lim

kn

mk

k

k mm mn

k mk

k

n

n

n

a

n

n

n

aa k

n

a na

bb

b n

ab a

a b

ae

n

a

→+∞

=

→+∞

=

→+∞

→+∞

→+∞

± = ∈ ∈

⋅

≠ ⇒ = ⋅

< <⋅ =

+∞ > ≠

+ =

∑

∑

1 R N

2

3

4

5

0, za 1;

1, za 1;

, za 1.

. lim 1, za svaki 0.

. lim 1.

n

n

n

n

a

a

a

a a

n

→+∞

→+∞

<

= =

+∞ >

= >

=

6

7

5.9. Granične vrijednosti (limesi) funkcije

Neka je f realna funkcija definirana na intervalu ⟨a, b⟩ osim možda u točki c ∈ ⟨a, b⟩. Ako za

svaki strogo rastući niz (xn) ⊆ ⟨a, b⟩ takav da je lim

nn

x c→+∞

= niz ( ( ))n

f x ima graničnu

vrijednost L1 ∈ R, kaže se da je L1 granična vrijednost (limes) slijeva funkcije f u točki c. Piše

se: 1

lim ( ).x c

L f x→ −

=

Ako za svaki strogo padajući niz (xn) ⊆ ⟨a, b⟩ takav da je limn

nx c

→+∞= niz ( ( ))

nf x ima

graničnu vrijednost L2 ∈ R, kaže se da je L2 granična vrijednost (limes) zdesna funkcije f u

točki c. Pišemo: 2 lim ( ).

x cL f x

→ +=

Ako vrijedi jednakost L1 = L

2 =: L, kaže se da funkcija f ima (obostranu) graničnu vrijednost

((obostrani) limes) L u točki c. Piše se: lim ( ).x c

L f x→

=

Niz ( ( ))n

f x iz gornjih definicija može biti i divergentan. Ako je ( ( ))n

f x strogo padajući

divergentan niz, dogovorno se piše: lim ( )x c

f x→ −

= −∞ (odnosno, lim ( )x c

f x→ +

= −∞ i

lim ( )x c

f x→

= −∞ ). Ako je ( ( ))n

f x strogo rastući divergentan niz, dogovorno se piše:

lim ( )x c

f x→ −

= +∞ (odnosno, lim ( )x c

f x→ +

= +∞ i lim ( )x c

f x→

= +∞ ).



Pri računanju graničnih vrijednosti funkcije primjenjuju se ista pravila kao i kod računanja

granične vrijednosti niza. Ako su f i g funkcije čije su granične vrijednosti (slijeva, zdesna ili

obostrane) u točki c redom jednake L1 i L

2, pri čemu su L

1, L

2 ∈ R,

11 tada vrijede sljedeće

jednakosti:

[ ]

[ ]

{ } [ ]( )1

1 2

1 2

12

2

1 1

( )

. lim ( ) ( ) .

. lim ( ) ( ) .

( ). ( 0) lim .

( )

. ( ( ) 0 za svaki , \ i 0) lim ( ) ( ) , za svaki .

. lim , za svaki 0.

x c

x c

x c

c c

x c

Lf x

x c

f x g x L L

f x g x L L

Lf xL

g x L

f x x a b c L f x L c

a a a

→

→

→

→

→

± = ±

⋅ = ⋅

≠ ⇒ =

> ∈ > ⇒ = ∈

= >

1

2

3

4 R

5

Neka svojstva graničnih vrijednosti funkcije12

:

1.) Za bilo koju realnu funkciju g definiranu na intervalu ⟨a, b⟩ (uključivo i točku

c ∈ ⟨a, b⟩) vrijedi: [ ]( )

lim ( ) lim ( )x c t g c

f x f g t→ →

= .

2.) Ako je 1

lim ( ) 0x c

f x L→

= > i 2

lim ( )x c

g x L→

= , pri čemu su L1, L

2 ∈ R, onda je

2( )

1lim ( ) ( )Lg x

x cf x L

→ = .

3.) Ako je lim ( ) 0x c

f x L→

= > i g bilo koja realna funkcija neprekidna13 u točki c, onda je:

[ ]lim ( )( ) lim ( ) ( )x c x c

g f x g f x g L→ →

= =

� .

4.) Ako je lim ( ) 1x c

f x→

= i lim ( )x c

g x→

= +∞ , onda je [ ]{ }lim ( ) 1 ( )

( )lim ( ) x cf x g x

g x

x cf x e →

− ⋅

→ = .

11 L1 i L2 moraju biti „konkretni“ realni brojevi, odnosno nijedan od njih ne može biti jednak +∞ ili –∞. 12 Sva navedena svojstva vrijede za sva tri tipa granične vrijednosti (slijeva, zdesna i obostrano). Iz tehničkih razloga navedena su samo svojstva za obostrane granične vrijednosti. 13 O neprekidnim funkcijama vidjeti točku 5.10., stranica 29.



Neke karakteristične jednostrane i obostrane granične vrijednosti funkcija:

0

1

0

0

. lim 0, za svaki .

. lim , za svaki .

. lim ( ) , za svaki 0.

. lim .

. lim 1 lim(1 ) .

1 ln. lim , za svaki i svaki

nx

nx

x

x

x

ax

x x

x

x

an

x

an

x

a x a

a

x

aa x e

x

a aa b

b x b

+

→±∞

−

→+∞

→±∞

→ ±

→+∞ →

+

→

= ∈

= +∞ ∈

⋅ = ±∞ ≠

= ±∞

+ = + ⋅ =

−= ∈ ≠

⋅

1 R

2 R

3

4

5

6 R

0

0 0

2 2

0

0.

ln(1 ). lim , za svaki 0.

sin( ). lim lim , za svaki 0.

sin( )

sin( ). lim 0, za svaki 0.

. lim tg , lim tg .

. lim ctg , lim

x

x x

x

x x

x

a x ab

b x b

a x a x ab

b x b x b

a xb

b x

x x

x

π π

→

→ →

→±∞

→ − → +

→ −

+ ⋅= ≠

⋅

⋅ ⋅= = ≠

⋅ ⋅

⋅= ≠

⋅

= +∞ = −∞

= −∞

7

8

9

10

110

0

ctg .

. lim arctg , lim arctg .2 2

. lim arcctg , lim arcctg 0, lim arcctg .2

0, za svaki 1;0, za svaki 0, 1 ;. lim lim

, za svaki 1;

x

x x

x x x

x x

x x

x

x x

x x x

aaa a

a

π π

ππ

→ +

→−∞ →+∞

→−∞ →+∞ →

→+∞ →−∞

= +∞

= − =

= = =

> ∈= =

++∞ >

12

13

14 , za svaki 0, 1 .

. lim lim 0.

. lim th lim cth 1, lim th lim cth 1.

. lim arcth 0.

x x

x x

x x x x

x

a

e e

x x x x

x

−

→−∞ →+∞

→−∞ →−∞ →+∞ →+∞

→±∞

∞ ∈

= =

= = − = =

=

15

16

17



5.10. Neprekidne funkcije

Neka su ⟨a, b⟩ ⊂ R, f : ⟨a, b⟩ → R i c ∈ ⟨a, b⟩14. Funkcija f je neprekidna u točki c ako

vrijedi: lim ( ) lim ( ) ( )x c x c

f x f x f c→ − → +

= = , odnosno ekvivalentno lim ( ) ( )x c

f x f c→

= .

Funkcija f ima prekid u točki c ako nije neprekidna u točki c. Svaka funkcija može biti (ne)prekidna isključivo u onim točkama u kojima je definirana. (U ostalim točkama f nije niti

prekidna niti neprekidna.)

Funkcija f je neprekidna na skupu S ⊆ R ako je neprekidna za svaki x ∈ S.

Ako je S = [a, b⟩, onda je f neprekidna na S ako je istovremeno f neprekidna na ⟨a, b⟩ i

lim ( ) ( )x a

f x f a→ +

= .

Ako je S = ⟨a, b], onda je f neprekidna na S ako je istovremeno f neprekidna na ⟨a, b⟩ i

lim ( ) ( )x b

f x f b→ −

= .

Ako je S = [a, b], onda je f neprekidna na S ako je istovremeno f neprekidna na ⟨a, b⟩, lim ( ) ( ) i lim ( ) ( )x a x b

f x f a f x f b→ + → −

= = .

Sve elementarne funkcije (polinomi, (ne)prava racionalna funkcija, eksponencijalna i logaritamska funkcija, trigonometrijske i ciklometrijske funkcije, hiperbolne i area funkcije

itd.) neprekidne su na svojim prirodnim područjima definicije (domenama).

Neka svojstva neprekidnih funkcija:

1.) Neka su f i g funkcije neprekidne u točki c i neka je α ∈ R. Tada su i funkcije f ± g,

f ⋅ g i α ⋅ f neprekidne u točki c. 2.) Neka su f i g funkcije takve da je g neprekidna u točki c, a f neprekidna u točki g(c).

Tada je i funkcija f � g neprekidna u točki c.

Neka svojstva funkcija neprekidnih na segmentu:

Neka je f funkcija neprekidna na [a, b] ⊂ R.

1.) Postoje jedinstveni m, M ∈ R takvi da za svaki x ∈ [a, b] vrijedi: m ≤ f (x) ≤ M.

(Ekvivalentno, f na segmentu poprima najmanju i najveću vrijednost.)

2.) Za svaki y ∈ [m, M] postoji barem jedan x ∈ [a, b] takav da je y = f (x).

3.) Ako je f (a) ⋅ f (b) < 0, tada postoji barem jedan c ∈ ⟨a, b⟩ takav da je f (c) = 0.

(Ekvivalentno, ako vrijednosti funkcije f na krajevima segmenta [a, b] imaju različite

predznake, onda f ima nultočku u intervalu ⟨a, b⟩.)

14 Umjesto intervala ⟨a, b⟩ mogu se uzeti i intervali ⟨a, +∞⟩ i ⟨–∞, b⟩, kao i cijeli skup R.



6. OSNOVE DIFERENCIJALNOGA RAČUNA

Neka su ⟨a, b⟩ ⊂ R, f : ⟨a, b⟩ → R i c ∈ ⟨a, b⟩.15 Ako postoji granična vrijednost

( ) ( ): lim

x c

f x f cL

x c→

−=

−, kaže se da f ima derivaciju u točki c i pišemo '( ) :f c L= . Vrijednost

derivacije funkcije u točki c geometrijski se interpretira kao koeficijent smjera tangente

povučene na graf funkcije f u točki ( , ( ))T c f c= .

Kaže se da je funkcija f derivabilna na ⟨a, b⟩ ako f ima derivaciju u svakoj točki c ∈ ⟨a, b⟩.

Derivacija funkcije f je pridruživanje koje svakom realnom broju c ∈ ⟨a, b⟩ pridružuje realan

broj '( )f c . Derivacija funkcije može se definirati i izrazom 0

( ) ( )'( ) : lim

x

f x x f xf x

x∆ →

+ ∆ −=

∆.

Domena funkcije 'f je uvijek podskup domene funkcije f.

Osnovna pravila za deriviranje: Neka su f i g funkcije derivabilne na ⟨a, b⟩ i neka je c ∈ R.

Tada vrijedi:

1. (c ⋅ f )' = c ⋅ f '; 2. (f ± g)' = f ' ± g';

3. (f ⋅ g)' = f ' ⋅ g + f ⋅ g';

4.

'

2

' 'f f g f g

g g

⋅ − ⋅=

i posebno

'

2

1 'g

g g

= −

;

5. [(f ◦ g)]' = (f '◦ g) · g' i posebno ( )'

1

1

1

'f

f f

−

−=�

.

Deriviranje implicitno zadane funkcije f (x, y) = 0:

– Članovi koji sadrže samo varijablu x deriviraju se „obično“ po toj varijabli (tj. kao

funkcije varijable x).

– Članovi koji sadrže varijablu y deriviraju se prema gornjim pravilima smatrajući da je

y = y(x) funkcija varijable x. Iz tako dobivenoga izraza treba izraziti y'.

Logaritamsko deriviranje: Za funkciju [ ]

( )( )

g xy f x= vrijedi:

[ ] [ ]( ) ( ) '( )

' ( ) '( ) ln ( )( )

g x g x f xy f x g x f x

f x

⋅= ⋅ ⋅ +

.

Derivacija parametarski zadane funkcije: Ako je funkcija y = y(x) zadana parametarski s

1

2

( ),

( ),

x f t

y f t

=

=, onda je

15Umjesto intervala ⟨a, b⟩ mogu se uzeti i intervali ⟨a, +∞⟩ i ⟨–∞, b⟩ , kao i cijeli skup R.



'

2

'

1

( )'

( )

f ty

f t= .

Jednadžba tangente povučene na ravninsku krivulju y = f (x) u točki ( , ( ))T TT x f x= glasi:

[ ]... '( ) ( ) '( ) .T T T Tt y f x x f x f x x= ⋅ + − ⋅

Duljina navedene tangente jednaka je udaljenosti točke T (dirališta tangente) od sjecišta

tangente t s osi apscisa (osi x).

Jednadžba normale povučene na ravninsku krivulju y = f (x) u točki ( , ( ))T T

T x f x= glasi:

1 1... ( ) .

'( ) '( )T T

T T

n y x f x xf x f x

= − ⋅ + + ⋅

Duljina navedene normale jednaka je udaljenosti točke T od sjecišta normale n s osi apscisa

(osi x).



6.1. Tablica derivacija elementarnih funkcija

Oznake: c – realna konstanta, ∅ – prazan skup.

f domena (Df ) kodomena (K

f ) skup svih nultočaka (N

f ) 'f

a R {a} ∅ 0

x R R {0} 1

xn, za n ∈ N R [0, +∞⟩ {0} n ⋅ xn – 1

2 n x⋅ ,

za n ∈ N

[0, +∞⟩ [0, +∞⟩ {0} 1 2

21

2

n

nxn

− ⋅

⋅⋅⋅

2 1n x⋅ − ,

za n ∈ N

R R {0} 2

2 11

2 1

n

nxn

− ⋅

⋅ +⋅⋅ +

xq, q ∈ R \ N R

+ R

+ ∅ q ⋅ xq – 1

ex

R R+

∅ ex

ax,

za a > 0, a ≠ 1

R

R+

∅ 1

ln

xa

a⋅

ln x

R+

R

{1} 1

x

logax,

za a > 0, a ≠ 1

R+

R

{1} 1

(ln )a x⋅

sin x R [–1, 1] {k ⋅ π : k ∈ Z} cos x

cos x

R

[–1, 1] (2 1) :2

k kπ

⋅ + ⋅ ∈

Z

–sin x

tg x \ (2 1) :

2k k

π ⋅ ⋅ + ∈

R Z

R

{k ⋅ π : k ∈ Z} 2

1

cos x

ctg x

R \ {k ⋅ π : k ∈ Z}

R (2 1) :2

k kπ

⋅ + ⋅ ∈

Z 2

1

sin x−

arcsin x

[–1, 1] , 2 2

π π −

{0} 2

1

1 x−

arccos x

[–1, 1]

[0, π]

{1} –2

1

1 x−

arctg x

R , 2 2

π π−

{0} 2

1

1 x+

arcctg x

R

⟨0, π⟩ 2

π

–2

1

1 x+

sh x R R {0} ch x

ch x R [1, +∞⟩ ∅ sh x

th x

R

⟨–1, 1⟩

{0} 2

1

ch x

cth x

R \{0}

R \ [–1, 1]

∅ 2

1

sh x−

arsh x

R

R

{0} 2

1

1x +

arch x

[1, +∞⟩

[0, +∞⟩

{1} 2

1

1x −

arth x

⟨–1, 1⟩

R

{0} 2

1

1 x−

arcth x

R \ [–1, 1]

R \{0}

∅ 2

1

1 x−



6.2. Lokalni i globalni ekstremi

Neka je f realna funkcija definirana i neprekidna na I = ⟨a, b⟩ ⊂ R16

. f ima strogi lokalni

minimum u točki c ∈ I ako postoji otvoreni interval ⟨č, ć⟩ ⊆ I takav da je c ∈ ⟨č, ć⟩ i takav da

za svaki x ∈ ⟨č, ć⟩ vrijedi f (x) > f(c).

f ima strogi lokalni maksimum u točki c ∈ I ako postoji otvoreni interval ⟨č, ć⟩ ⊆ I takav da je

c ∈ ⟨č, ć⟩ i takav da za svaki x ∈ ⟨č, ć⟩ vrijedi f (x) < f(c).

Strogi lokalni minimum i strogi lokalni maksimum jednim imenom nazivaju se strogi lokalni

ekstremi.

Realna funkcija f : X → Y ima strogi globalni minimum u točki c ∈ X ako za svaki x ∈ X

vrijedi f (x) > f(c). f ima strogi globalni maksimum u točki d ∈ X ako za svaki x ∈ X vrijedi

f (x) < f(d). Strogi globalni minimum i strogi globalni maksimum jednim imenom nazivamo

strogi globalni ekstremi.17

Stacionarna točka funkcije f je svaka nultočka funkcije 'f . Svaki strogi lokalni ekstem je

stacionarna točka, ali neka stacionarna točka ne mora biti strogi lokalni ekstrem.

f ''–test za odreñivanje strogih lokalnih ekstrema na intervalu I = ⟨a, b⟩18:

Neka je f realna funkcija definirana i dva puta derivabilna na intervalu I.

Korak 1. Odrediti pravilo funkcije 'f .

Korak 2. Odrediti pravilo funkcije '' : ( ') '.f f=

Korak 3. Odrediti sve nultočke funkcije 'f koje pripadaju intervalu I.

Korak 4. Za svaku nultočku x0 dobivenu u Koraku 3. odrediti predznak vrijednosti 0''( )f x .

Korak 5. Ako je 0

''( ) 0f x > , onda f u točki x0 ima strogi lokalni minimum.

Ako je 0''( ) 0f x < , onda f u točki x0 ima strogi lokalni maksimum.

Ako je 0

''( ) 0f x = , treba ispitati postoji li derivacija parnoga reda19 (četvrta, šesta, osma, …)

za koju je pripadna vrijednost u točki x0 različita od nule, pa primijeniti zaključivanje

analogno onom za drugu derivaciju. Ako takva derivacija ne postoji, x0 nije strogi lokalni

ekstrem.

Kraj algoritma.

Odreñivanje globalnih ekstrema funkcije definirane na segmentu I = [a, b]:

Korak 1. Odrediti 'f .

Korak 2. Odrediti sve nultočke funkcije 'f koje pripadaju segmentu I.

Korak 3. Za svaku nultočku x0 dobivenu u Koraku 2. izračunati

0( )f x .

16 U obzir dolaze i slučajevi kad je f neprekidna na R ili na ⟨a, +∞⟩ ili na ⟨–∞, b⟩. 17 Riječ strogi može se izostaviti u „običnom“ govoru, pa se najčešće govori „lokalni minimum“, „lokalni maksimum“ itd. 18 Test je valjan i ako je I unija konačno mnogo otvorenih intervala. 19 O derivacijama višega reda vidjeti točku 6.5., stranica 35.



Korak 4. Izračunati f (a) i f (b).

Korak 5. Meñu svim vrijednostima izračunatim u Koraku 3. i Koraku 4. odrediti najmanju, odnosno najveću. Najmanja vrijednost je globalni minimum, a najveća globalni maksimum.

Kraj algoritma.

Odreñivanje intervala monotonosti i strogih lokalnih ekstrema funkcije f:

Neka je f realna funkcija definirana i derivabilna na intervalu I = ⟨a, b⟩20.

Korak 1. Odrediti 'f .

Korak 2. Odrediti sve nultočke funkcije 'f koje pripadaju intervalu I.21

Korak 3. Neka su x1,… x

n sve nultočke dobivene u Koraku 2. označene tako da vrijede

nejednakosti a =: x0 < x1 < … < x

n < x

n + 1 := b. Navedenim točkama podijeliti interval I na

točno n + 1 dijelova.

Korak 5. Iz svakoga dijela dobivenoga u Koraku 4. odabrati točno jednu točku. Neka su te točke redom t

1, …, t

n + 1.

Korak 6. Za svaki k ∈ [n + 1] odrediti predznak broja '( )kf t .

Ako je '( ) 0k

f t > , onda f strogo raste na intervalu ⟨xk – 1

, xk⟩.

Ako je '( ) 0kf t < , onda f strogo pada na intervalu ⟨xk – 1

, xk⟩.

Korak 7. Za svaki k ∈ [n]:

1.) ako 'f mijenja predznak prigodom prijelaza iz intervala ⟨xk – 1

, xk⟩ u interval

⟨xk , xk + 1

⟩, i to iz – u +, onda f ima strogi lokalni minimum u točki xk;

2.) ako 'f mijenja predznak prigodom prijelaza iz intervala ⟨xk – 1

, xk⟩ u interval

⟨xk , xk + 1

⟩, i to iz + u –, onda f ima strogi lokalni maksimum u točki xk;

3.) ako 'f ne mijenja predznak prigodom prijelaza iz intervala ⟨xk – 1

, xk⟩ u interval

⟨xk , xk + 1

⟩, onda f nema strogi lokalni ekstrem u točki xk.

6.3. Neki osnovni poučci diferencijalnoga računa

Fermatov poučak: Neka je f realna funkcija definirana na skupu I ⊆ R. Ako f ima strogi

lokalni minimum u točki c1 ∈ I ili strogi lokalni maksimum u točki c

2 ∈ I, te ako postoje

derivacije 1

'( )f c i 2

'( )f c , tada je 1 2

'( ) '( ) 0f c f c= = . (Ekvivalentno: Ako funkcija f postiže

strogi lokalni ekstrem za x = c, onda ili vrijedi '( ) 0f c = ili f nema derivaciju u točki c.)

Rolleov poučak: Neka je f realna funkcija neprekidna na [a, b] ⊂ R. Ako je f derivabilna na

⟨a, b⟩ i ako je f (a) = f (b), tada postoji barem jedan c ∈ ⟨a, b⟩ takav da je '( ) 0f c = .

20 Dozvoljavaju se slučajevi a = –∞ ili b = +∞, I = R, te slučaj kada je I unija konačno mnogo otvorenih

intervala. 21 Na ovaj korak treba naročito pripaziti ako su i 'f f suženja funkcija koje su inače definirane i derivabilne na

nadskupu intervala I.



Cauchyjev poučak o srednjoj vrijednosti: Neka su f i g realne funkcije neprekidne na [a, b] i

derivabilne na ⟨a, b⟩. Ako za svaki x ∈ ⟨a, b⟩ vrijedi '( ) 0g x ≠ , tada postoji barem jedan

c ∈ ⟨a, b⟩ takav da vrijedi ( ) ( ) '( )

( ) ( ) '( )

f b f a f c

g b g a g c

−=

−.

Lagrangeov poučak o srednjoj vrijednosti: Neka je f realna funkcija neprekidna na [a, b] i

derivabilna na ⟨a, b⟩. Tada postoji barem jedan c ∈ ⟨a, b⟩ takav da vrijedi

( ) ( )'( )

f b f af c

b a

−=

−. (Ekvivalentno: Ako je f neprekidna na [a, b] i derivabilna na ⟨a, b⟩, tada

postoji barem jedan c ∈ ⟨a, b⟩ takav da je tangenta povučena na graf funkcije f u točki ( , ( ))C c f c= usporedna s pravcem kroz točke ( , ( ))A a f a= i ( , ( ))B b f b= .)

6.4. L'Hôpital–Bernoullijevo pravilo

Neka je c ∈ ⟨a, b⟩ ⊂ R. Neka su f i g funkcije derivabilne na ⟨a, b⟩ \ {c} takve da istodobno

vrijedi lim ( ) lim ( ) 0x c x c

f x g x→ →

= = 22 i g'(x) ≠ 0 za svaki x ∈ ⟨c, d⟩ \ {a}. Ako postoji

'( ): lim

'( )x c

f xL

g x→= , onda je i

( )lim

( )x c

f xL

g x→= .

Pomoću ovoga pravila, a uz primjenu odgovarajućih algebarskih transformacija, moguće je

izračunati i granične vrijednosti oblika 0 ⋅ ±∞, 0±∞, 1

±∞ itd.

U odreñenim slučajevima ovo je pravilo moguće primijeniti i višekratno, ali uvijek

provjeravajući jesu li ispunjene pretpostavke uz koje je moguće primijeniti pravilo.

6.5. Derivacije višega reda

Derivacija reda n induktivno se definira s

'( ) ( 1):n n

f f− = , za svaki n ∈ N,

pri čemu je dogovorno (0) :f f= . Praktično se derivacija reda n dobije n-strukim deriviranjem

polazne funkcije f.

U općem je slučaju derivaciju reda n nemoguće odrediti eksplicitnim pravilom.

U nekim je slučajevima podesno primijeniti Leibnizovu formulu:

( ) ( ) ( )

0

( )n

n n k k

k

nf g f g

k

−

=

⋅ = ⋅ ⋅

∑ .

22 Umjesto c i/ili 0 može se uzeti i ±∞.



U toj su formuli n, k ∈ N, k! := 1 ⋅ … ⋅ k = umnožak prvih k prirodnih brojeva23

i

... ( 1):

!

n n n k

k k

⋅ ⋅ − +=

= binomni koeficijent.

Neke karakteristične derivacije višega reda pregledno su navedene u sljedećoj tablici. Pritom

su a, b ∈ R i m, n ∈ N konstante.

f ( )nf

xm

( ) –– 1 , za ;

0, za

m nm m n x m n

m n

⋅…⋅ + ⋅ ≥

<

a x b⋅ + 111 2

1

( 1) (2 1) ;2

n nn

n

k

ak x

− −−

=

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

∏

1

a x b⋅ +

1

( 1) !

( )

n n

n

n a

a x b+

− ⋅ ⋅

⋅ +

ea ⋅ x + b

an ⋅ ea ⋅ x + b

ax

ax ⋅ (ln a)

n

ln(a ⋅ x + b)

1( 1) ( 1)!

( )

n n

n

n a

a x b

−− ⋅ − ⋅

⋅ +

sin(a ⋅ x + b) sin

2

na a x b n

π ⋅ ⋅ + + ⋅

f ( )nf

cos(a ⋅ x + b) cos

2

na a x b nπ

⋅ ⋅ + + ⋅

sh(a ⋅ x + b) sh( ), za parne ;

ch( ), za neparne .

na x b n

aa x b n

⋅ + ∈⋅

⋅ + ∈

N

N

ch(a ⋅ x + b) sh( ), za neparne ,

ch( ), za parne .

na x b n

aa x b n

⋅ + ∈⋅

⋅ + ∈

N

N

6.6. Diferencijal funkcije

Diferencijal funkcije y (oznaka: dy ) je linearna aproksimacija prirasta te funkcije u okolini

neke njezine točke. Definiran je formulom:

dy = y ' ⋅ ∆x (ili, ekvivalentno, dy = y' ⋅ dx) ,

gdje su ∆x prirast varijable x i dx diferencijal varijable x.

Funkciju koja ima diferencijal nazivamo diferencijabilnom.

23

Oznaku k! treba čitati „ka faktorijela“. Dogovorno se uzima 0! = 1.



Neka svojstva diferencijala: Za diferencijabilne funkcije f i g vrijede sljedeće jednakosti.

2

. d 0, za svaki ;

. d( ) d d ;

. d( ) d d ;

d d. d (uz uvjet ( ) 0).

C C

f g f g

f g f g f g

f f g f gg x

g g

= ∈

± = ±

⋅ = ⋅ + ⋅

⋅ − ⋅= ≠

1 R

2

3

4

6.7. Konveksnost i konkavnost funkcije

Neka je I ⊆ R otvoreni interval i neka je f : I → R. f je strogo konveksna na intervalu I ako za

sve x1, x

2 ∈ I vrijedi implikacija: (x1 < x2) ⇒ 1 2 1 2( ) ( )

2 2

x x f x f xf

+ + <

.

Ako je f derivabilna i strogo konveksna na I, te ako je c ∈ I, onda se tangenta povučena na

graf funkcije f u točki ( , ( ))T c f c= nalazi ispod toga grafa.

Neka je f derivabilna na I. Tada je f strogo konveksna na I ako i samo ako je 'f strogo

rastuća funkcija na I.

Funkcija f je strogo konkavna na intervalu I ako za sve x1, x

2 ∈ I vrijedi implikacija:

(x1 < x2) ⇒ 1 2 1 2( ) ( )

2 2

x x f x f xf

+ + >

.

Ako je f derivabilna i strogo konkavna na I, te ako je c ∈ I, onda se tangenta povučena na graf funkcije f u točki ( , ( ))T c f c= nalazi iznad toga grafa.

Neka je f derivabilna na I. Tada je f strogo konkavna na I ako i samo ako je 'f strogo

padajuća na I.

Točka ( , ( ))T c f c= je prijevojna točka (točka infleksije) grafa funkcije f ako postoji strogo

pozitivan realan broj ε takav da je funkcija f konveksna/konkavna na intervalu ⟨c – ε, c⟩, a

konkavna/konveksna na intervalu ⟨c, c + ε⟩.

Odreñivanje prijevojne točke i intervala konveksnosti/konkavnosti funkcije f:

Neka je funkcija f definirana i dvaput derivabilna na intervalu I.24

Korak 1. Odrediti pravilo funkcije ''f .

Korak 2. Odrediti sve nultočke funkcije ''f koje pripadaju intervalu I.25

24

U obzir dolaze i slučaj kad je I unija konačno mnogo otvorenih intervala. 25 Na ovaj korak treba naročito pripaziti ako su i ''f f suženja funkcija koje su inače definirane i derivabilne na

nadskupu intervala I.



Korak 3. Neka su x1, …, x

n sve nultočke dobivene u Koraku 2. označene tako da vrijede

nejednakosti a =: x0 < x

1 < … < x

n < x

n + 1 := b. Navedenim točkama podijeliti interval I na

točno n + 1 dijelova.

Korak 4. Iz svakoga dijela dobivenoga u Koraku 3. odabrati po jednu točku. Neka su te točke redom t

1, …, t

n + 1.

Korak 5. Za svaki k ∈ [n + 1] odrediti predznak broja ''( )kf t .

Ako je ''( ) 0k

f t > , funkcija f je konveksna na intervalu ⟨xk – 1

, xk⟩.

Ako je ''( ) 0kf t > , funkcija f je konkavna na intervalu ⟨xk – 1

, xk⟩.

Korak 6. Za svaki k ∈ [n]:

1.) ako ''f mijenja predznak prigodom prijelaza iz intervala ⟨xk – 1

, xk⟩ u interval

⟨xk , xk + 1

⟩, onda je ( , ( ))k k kT x f x= prijevojna točka grafa funkcije f;

2.) ako ''f ne mijenja predznak prigodom prijelaza iz intervala ⟨xk – 1

, xk⟩ u interval

⟨xk , xk + 1

⟩, onda ( , ( ))k k k

T x f x= nije prijevojna točka grafa funkcije f.

Kraj algoritma.

6.8. Asimptote na graf realne funkcije

Neka je f realna funkcija. Pravac p je asimptota na graf Γ funkcije f ako udaljenost izmeñu p i

točke T ∈ Γ teži prema nuli čim se točka T beskonačno udaljava od ishodišta pravokutnoga

koordinatnoga sustava u ravnini.

Razlikujemo dvije vrste asimptota: uspravne (vertikalne) i kose.

Pravac čija je jednadžba x = c je uspravna asimptota na graf funkcije f ako vrijedi jednakost

lim ( )x c

f x→ +

= ±∞ ili jednakost lim ( )x c

f x→ −

= ±∞ .

Tipičan primjer uspravne asimptote je asimptota koja prolazi neuklonjivim polom racionalne

funkcije.

Kose asimptote mogu biti lijeve i desne.

Lijeve kose asimptote na graf funkcije f su pravci čije jednadžbe imaju oblik y = k ⋅ x + l, gdje

su k i l realni brojevi odreñeni izrazima:

[ ]

( )lim ,

lim ( ) .

x

x

f xk

x

l f x k x

→−∞

→−∞

=

= − ⋅

Ako je k = 0, govori se o lijevoj vodoravnoj asimptoti. Ta asimptota je pravac čija jednadžba

ima oblik y = l.

Desne kose asimptote na graf funkcije f su pravci čije jednadžbe imaju oblik y = k ⋅ x + l, gdje su k i l realni brojevi odreñeni izrazima:



[ ]

( )lim ,

lim ( ) .

x

x

f xk

x

l f x k x

→+∞

→+∞

=

= − ⋅

Ako je k = 0, govori se o desnoj vodoravnoj asimptoti. Ta asimptota je pravac čija jednadžba

ima oblik y = l.

Ako se lijeva kosa asimptota podudara s desnom kosom asimptotom, govori se o (obostranoj)

kosoj asimptoti. Posebno, ako se lijeva vodoravna asimptota podudara s desnom vodoravnom

asimptotom, govori se o (obostranoj) kosoj asimptoti.

6.9. Ispitivanje tijeka funkcije

Obuhvaća odreñivanje sljedećih podataka:

1.) prirodno područje definicije; 2.) nultočke;

3.) sjecište grafa funkcije s osi ordinata;

4.) točke prekida (polovi) funkcije, njihovi redovi i uklonjivost;

5.) (ne)parnost i periodičnost funkcije;

6.) intervali monotonosti;

7.) strogi lokalni (eventualno i globalni) ekstremi;

8.) intervali konveksnosti i konkavnosti;

9.) prijevojne točke;

10.) asimptote;

11.) konstruiranje grafa funkcije f na temelju prethodnih podataka.



7. DODATAK

7.1. Formule iz algebre

Osnovni algebarski identiteti:

1. (x ± y)2 = x

2 ± 2 ⋅ x ⋅ y + y

2.

2. (x ± y)3 = x

3 ± 3 ⋅ x2

⋅ y + 3 ⋅ x ⋅ y2 ± y

3.

3. (x – y) ⋅ (x + y) = x2 – y2.

4. x3 ± y

3 = (x ± y) ⋅ (x2

∓ x ⋅ y + y2).

Potencije imaginarne jedinice: Za svaki k ∈ Z vrijedi:

i4 ⋅k

= 1, i4 ⋅k + 1

= i, i4 ⋅k + 2

= –1, i4 ⋅k + 3

= –i.

Osnovna svojstva eksponencijalne i logaritamske funkcije:

0. 1.

. .

1.

.

. ( ) .

. .

.

m n m n

n

n

mm n

n

m n m n

m

n m n

m n m n

a

a a a

aa

aa

a

a a

a a

a a

+

−

−

⋅

⋅

=

⋅ =

=

=

=

=

=

1

2

3

4

5

6

7

. log 1 0.

. log 1.

. log ( ) log log .

. log log log .

. log ( ) log .

1. log ( ) log .

log. log .

log

a

a

a a a

a a a

y

a a

n

a a

a

b

a

a

x y x y

xx y

y

x y x

x xn

xx

b

=

=

⋅ = +

= −

= ⋅

= ⋅

=

1

2

3

4

5

6

7

Formula za rješenja kvadratne jednadžbe a ⋅ x2 + b ⋅ x + c = 0:

2 2

1 2

4 4,

2 2

b b a c b b a cx x

a a

− + − ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅.

Vièteove formule za rješenja kvadratne jednadžbe a ⋅ x2 + b ⋅ x + c = 0:

1 2 1 2, b c

x x x xa a

+ = − ⋅ = .



7.2. Formule iz planimetrije

Heronova formula za površinu trokuta sa stranicama a, b i c:

( ) ( ) ( ), 2

a b cP s s a s b s c s

+ += ⋅ − ⋅ − ⋅ − = .

Opseg i površina trokuta:

O = a + b + c,

1 1 1

2 2 2a b cP a v b v c v= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .

Opseg i površina usporednika (paralelograma):

O = 2 ⋅ (a + b),

P = a ⋅ b ⋅ sin ϕ,

pri čemu je ϕ kut izmeñu stranica a i b.

Opseg i površina kruga polumjera r:

O = 2 ⋅ r ⋅ π,

P = r2 ⋅ π.

Površina elipse s poluosima a i b:

P = a ⋅ b ⋅ π

7.3. Formule iz stereometrije

Oplošje i obujam kocke stranice a:

O = 6 ⋅ a2,

V = a3.

Oplošje i obujam kugle polumjera r:

2

3

4 ,

4.

3

O r

V r

π

π

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅;

Oplošje i obujam uspravne prizme:

O = 2 ⋅ B + P,

V = B ⋅ h,



pri čemu su B površina osnovke, P površina pobočja, a h visina prizme.

Oplošje i obujam uspravne piramide:

O = B + P,

V = 1

3B h⋅ ⋅ ,

pri čemu su B površina osnovke, P površina pobočja, a h visina piramide.

Oplošje i obujam uspravnoga kružnog valjka:

O = 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ (r + h),

V = r2 ⋅ π ⋅ h,

pri čemu su r polumjer osnovke i h visina valjka.

Oplošje i obujam uspravnoga kružnog stošca:

O = r ⋅ π ⋅ (r + s),

V = 1

3⋅ r2

⋅ π ⋅ h,

pri čemu su r polumjer osnovke, s duljina izvodnice stošca, a h visina stošca.

7.4. Formule iz analitičke geometrije u ravnini

Udaljenost točaka A = (xA, y

A) i B = (x

B, y

B):

2 2( , ) ( ) ( )A B A Bd A B x x y y= − + − .

Oblici jednadžbe pravca:

1.) eksplicitni: y = k ⋅ x + l , pri čemu su k koeficijent smjera i l odsječak na osi ordinata;

2.) implicitni: A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0;

3.) segmentni: 1x y

m n+ = ,

pri čemu su m odsječak na osi apscisa, n odsječak na osi ordinata.

Jednadžba pravca kroz točku T = (č, ć) s koeficijentom smjera k:

y = k ⋅ x + (ć – k ⋅ č).

Jednadžba pravca kroz točke T1 = (č, ć) i T2 = (š, ž):

( )ž ć

y x č ćš č

−= ⋅ − +

−.

Uvjet usporednosti pravaca p… y = k1 ⋅ x + l

1 i q… y = k

2 ⋅ x + l

2 : k1 = k2.



Uvjet okomitosti pravaca p… y = k1 ⋅ x + l

1 i q… y = k

2 ⋅ x + l

2: k

1 ⋅ k

2 = –1.

Udaljenost točke T = (č, ć) od pravca p… A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0:

2 2( , )

A č B ć Cd T p

A B

⋅ + ⋅ +=

+.

Kut izmeñu pravaca p… y = k1 ⋅ x + l

1 i q… y = k

2 ⋅ x + l

2:

2 1

1 2

arctg1

k k

k kϕ

−=

+ ⋅.

Jednadžbe krivulja 2. reda:

1.) kružnica sa središtem u S = (p, q) i polumjerom r:

(x – p)2 + (y – q)

2 = r

2;

2.) elipsa s poluosima a i b, središtem u ishodištu pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini i osnosimetrična s obzirom na obje koordinatne osi :

b2 ⋅ x2 + a2 ⋅ y2 = a2 ⋅ b2 ili 2 2

2 21.

x y

a b+ =

3.) hiperbola s poluosima a i b osnosimetrična s obzirom na obje koordinatne osi:

b2 ⋅ x2

– a2 ⋅ y2

= a2 ⋅ b2

ili 2 2

2 21.

x y

a b− =

4.) parabola s parametrom p > 0, tjemenom u ishodištu pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini i osnosimetrična s obzirom na os apscisa:

y2 = 2 ⋅ p ⋅ x;

7.5. Formule iz trigonometrije26

Osnovni trigonometrijski identitet: cos2α + sin

2α = 1.

Trigonometrijske funkcije u pravokutnom trokutu:

sin cos , tg ctg ,

cos sin , ctg tg .

a a

c b

b b

c a

α β α β

α β α β

= = = =

= = = =

26

Sve oznake u trokutu su standardne.



Izračunavanje svih vrijednosti trigonometrijskih funkcija pomoću vrijednosti jedne od njih:

funkcija sin x cos x tg x ctg x

sin x

–––––––––––

21 sin x± − 2

tg

1 tg

x

x±

+

2

1

1 ctg x±

+

cos x

21 cos x± −

––––––––––– 2

1

1 tg x±

+

2

ctg

1 ctg

x

x±

+

tg x 2

sin

1 sin

x

x±

−

21 cos

cos

x

x

−±

–––––––––– 1

ctg x

ctg x

21 sin

sin

x

x

−± 2

cos

1 cos

x

x±

−

1

tg x

–––––––––––

Osnovne ciklometrijske relacije:

( )( )

2

2 2

2 2

arcsin arccos arctg arcctg ,2

arcsin arccos 1 ,

arcsin arcsin arcsin 1 1 ,

arccos arccos arcsin 1 1 ,

arctg arctg arctg ,1

1arcctg arcctg arcctg .

x x x x

x x

x y x y y x

x y x y x y

x yx y

x y

x yx y

y x

π+ = + =

= −

± = ⋅ − ± ⋅ −

± = ⋅ − ⋅ −

±± =

⋅

⋅± =

±

∓

∓

∓

Točne vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih karakterističnih kutova (∞ := ne postoji)

kut (°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180

kut (rad.)

0 6

π

4

π

3

π

2

π

2

3π⋅

3

4π⋅

5

6π⋅

π

sin x

0

1

2 2

2

3

2

1

3

2

2

2

1

2

0

cos x

1 3

2

2

2

1

2

0 1

2− 2

2−

3

2−

–1

tg x

0 3

3

1

3

∞

3−

–1 3

3−

0

ctg x

∞

3

1

3

3

0

3

3−

–1

3−

∞



kut (°) 210 225 240 270 300 315 330

kut (rad.) 7

6π⋅

5

4π⋅

4

3π⋅

3

2π⋅

5

3π⋅

7

4π⋅

11

6π⋅

sin x 1

2−

2

2−

3

2−

–1 3

2−

2

2−

1

2−

cos x 3

2−

2

2−

1

2−

0 1

2

2

2 3

2

tg x

3

3

1

3

∞

3−

–1

3

3−

ctg x

3

1 3

3

0 3

3−

–1

3−

Pretvorba stupnjeva u radijane: rad.180

x xπ

= ⋅�

Pretvorba radijana u stupnjeve: 180

rad.x xπ

= ⋅

�

.

Predznaci trigonometrijskih funkcija u pojedinim kvadrantima:

I II III IV

sin + + – –

cos + – – +

tg + – + –

ctg + – + –

Površina trokuta:

1 1 1sin sin sin

2 2 2P a b a c b cγ β α= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ .

Sinusov poučak:

2sin sin sin

a b cR

α β γ= = = ⋅

Kosinusov poučak:

a2 = b2 + c2 – 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α,

b2 = a

2 + c

2 – 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos β,

c2 = a

2 + b

2 – 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ.



Tangensov poučak:

tg2 ,

tg2

tg2 ,

tg2

tg2 .

tg2

a b

a b

b c

b c

c a

c a

α β

α β

β γ

β γ

γ α

γ α

++

=−−

++

=−−

++

=−−

Adicijske formule:

sin( ) sin cos cos sin ,

cos( ) cos cos sin sin ,

tg tg tg( ) ,

1 tg tg

ctg ctg 1ctg( ) .

ctg ctg

x y x y x y

x y x y x y

x yx y

x y

x yx y

y x

± = ⋅ ± ⋅

± = ⋅ ⋅

±± =

⋅

⋅± =

±

∓

∓

∓

Formule redukcije:

( ) ( )( ) ( )

sin cos , tg ctg ,2 2

cos sin , ctg tg ,2 2

sin sin , tg ctg ,

cos cos , ctg tg .

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

π π

π π

π π

π π

± = ± =

± = ± =

± = ± = ±

± = − ± = ±

∓

∓ ∓

∓

Formule za trigonometrijske funkcije dvostrukoga argumenta:

[ ]

[ ]

2

2

22 2 2

2

2

2

22

1 2 tg sin 1 cos(2 ) , sin(2 ) 2 sin cos ,

2 1 tg

1 1 tgcos 1 cos(2 ) , cos(2 ) cos sin ,

2 1 tg

1 cos(2 ) 2 tg tg , tg(2 ) ,

1 cos(2 ) 1 tg

1 cos(2 ) ctg 1ctg , ctg(2 )

1 cos(2 ) 2

xx x x x x

x

xx x x x x

x

x xx x

x x

x xx x

x

⋅= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

+

−= ⋅ + ⋅ ⋅ = − =

+

− ⋅ ⋅= ⋅ =

+ ⋅ −

+ ⋅ −= ⋅ =

− ⋅ ⋅

21 tg.

ctg 2 tg

x

x x

−=

⋅



Formule za trigonometrijske funkcije polovičnoga argumenta:

1 cos 1 cos 1 cos sinsin , tg ,

2 2 2 1 cos sin 1 cos

1 cos 1 cos 1 cos sincos ctg .

2 2 2 1 cos sin 1 cos

x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x

− − −= ± = ± = =

+ +

+ + += ± = ± = =

− −

Formule pretvorbe:

1.) umnoška trigonometrijskih funkcija u njihov zbroj:

[ ]

[ ]

[ ]

1sin cos sin( ) sin( ) ,

2

1cos cos cos( ) cos( ) ,

2

1sin sin cos( ) cos( ) .

2

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

⋅ = ⋅ + + −

⋅ = ⋅ + + −

⋅ = ⋅ − − +

2.) zbroja trigonometrijskih funkcija u njihov umnožak:

sin sin 2 sin cos ,2 2

sin sin 2 cos sin ,2 2

cos cos 2 cos cos ,2 2

cos cos 2 sin sin ,2 2

sin( )tg tg ,

cos cos

sin( )tg tg ,

cos cos

sin( )ctg ctg ,

sin sin

ct

x y x yx y

x y x yx y

x y x yx y

x y y xx y

x yx y

x y

x yx y

x y

x yx y

x y

+ −+ = ⋅ ⋅

+ −− = ⋅ ⋅

+ −+ = ⋅ ⋅

+ −− = ⋅ ⋅

++ =

⋅

−− =

⋅

++ =

⋅

sin( )g ctg .

sin sin

y xx y

x y

−− =

⋅



Točne vrijednosti ciklometrijskih funkcija za neke karakteristične vrijednosti:

x arctg x arcctg x

–∞ 2

π−

π

3− –

3

π

5

6π⋅

–1 –

4

π

3

4π⋅

3

3− –

6

π

2

3π⋅

0

0 2

π

3

3

6

π

3

π

1

4

π

4

π

3

3

π

6

π

+∞ 2

π

0

x arcsin x arccos x

–1 2

π−

π

3

2−

3

π−

5

6π⋅

2

2−

4

π−

3

4π⋅

1

2−

6

π−

2

3π⋅

0

0 2

π

1

2

6

π

3

π

2

2

4

π

4

π

3

2

3

π

6

π

1 2

π

0

Tihana Strme čki · 2018-09-06 · Bojan Kova čić Luka Marohni ć Tihana Strme čki REPETITORIJ...

Documents

Transcript of Tihana Strme čki · 2018-09-06 · Bojan Kova čić Luka Marohni ć Tihana Strme čki REPETITORIJ...