Bojan Kovačić
Luka Marohnić
Tihana Strmečki
REPETITORIJ MATEMATIKE
za studente stručnoga
studija elektrotehnike
1. dio
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 1
SADRŽAJ
1. KOMPLEKSNI BROJEVI ................................................................................ 3
1.1. Algebarski oblik zapisa kompleksnoga broja ................................................................3
1.2. Trigonometrijski oblik zapisa kompleksnoga broja .......................................................5
1.3. Eksponencijalni oblik zapisa kompleksnoga broja ........................................................7
2. OSNOVE MATRIČNOGA RAČUNA ................................................................ 8
3. SUSTAVI LINEARNIH JEDNADŽBI ............................................................. 12
4. (RADIJ)VEKTORI ......................................................................................... 13
5. REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE ..................................... 16
5.1. Opći pojmovi ............................................................................................................. 16
5.2. Polinomi i racionalne funkcije .................................................................................... 18
5.3. Trigonometrijske i ciklometrijske funkcije ................................................................. 19
5.4. Harmonijska funkcija ................................................................................................. 20
5.5. Eksponencijalna funkcija ............................................................................................ 22
5.6. Logaritamska funkcija ................................................................................................ 22
5.7. Hiperbolne i area funkcije .......................................................................................... 23
5.8. Nizovi i granične vrijednosti (limesi) nizova .............................................................. 25
5.9. Granične vrijednosti (limesi) funkcije ......................................................................... 26
5.10. Neprekidne funkcije ................................................................................................. 29
6. OSNOVE DIFERENCIJALNOGA RAČUNA ................................................... 30
6.1. Tablica derivacija elementarnih funkcija .................................................................... 32
6.2. Lokalni i globalni ekstremi ......................................................................................... 33
6.3. Neki osnovni poučci diferencijalnoga računa .............................................................. 34
6.4. L'Hôpital–Bernoullijevo pravilo ................................................................................. 35
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 2
6.5. Derivacije višega reda ................................................................................................ 35
6.6. Diferencijal funkcije ................................................................................................... 36
6.7. Konveksnost i konkavnost funkcije ............................................................................ 37
6.8. Asimptote na graf realne funkcije ............................................................................... 38
6.9. Ispitivanje tijeka funkcije ........................................................................................... 39
7. DODATAK .................................................................................................... 40
7.1. Formule iz algebre...................................................................................................... 40
7.2. Formule iz planimetrije .............................................................................................. 41
7.3. Formule iz stereometrije ............................................................................................. 41
7.4. Formule iz analitičke geometrije u ravnini .................................................................. 42
7.5. Formule iz trigonometrije ........................................................................................... 43
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 3
1. KOMPLEKSNI BROJEVI
1.1. Algebarski oblik zapisa kompleksnoga broja
Algebarski oblik zapisa kompleksnoga broja je z = a + b ⋅ i, pri čemu su a, b ∈ R, a i imaginarna jedinica. Definira se:
• Re(z) := a – realni dio kompleksnoga broja
• Im(z) := b – imaginarni dio kompleksnoga broja.
Skup svih kompleksnih brojeva označava se s C. Ekvivalentno, C = {a + b ⋅ i : a, b ∈ R}.
Grafički prikaz skupa C je Gaussova (kompleksna) ravnina. U toj se ravnini uvodi standardni pravokutni koordinatni sustav u kojemu je os apscisa realna os, a os ordinata imaginarna os.
U tako uvedenom koordinatnom sustavu kompleksnom je broju z = a + b ⋅ i pridružena točka Z = (a, b).
Konjugat broja z je kompleksan broj z a b i= − ⋅ . Točka u Gaussovoj ravnini pridružena
kompleksnom broju z je ( , )Z a b= − . Ta točka je osnosimetrična slika točke pridružene
kompleksnom broju z s obzirom na realnu os i obrnuto.
Konjugiranje kompleksnih brojeva ima sljedeća svojstva:
( )( )( )
( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1
2
1.) 0 ( 0), za svaki ;
2.) ( );
3.) ( , za neki );
4.) , za sve , ;
5.) , za svaki ;
6.) , za sve , ;
7.) , za svaki i svaki ;
8.)
nn
z z z
z z z
z z z b i b
z z z z z z
z z z
z z z z z z
z z z n
z
z
= ⇔ = ∈
= ⇔ ∈
= − ⇔ = ⋅ ∈
+ = + ∈
= ∈
⋅ = ⋅ ∈
= ∈ ∈
C
R
R
C
C
C
C N
11 2 2
2
, za sve , , 0.z
z z zz
= ∈ ≠
C
Apsolutna vrijednost (modul) kompleksnoga broja je nenegativan realan broj r definiran s
r := |z| := [ ] [ ]2 2
Re( ) Im( )z z+ .
Broj r se obično interpretira kao udaljenost točke pridružene broju z od ishodišta O Gaussove (kompleksne) ravnine.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 4
Apsolutna vrijednost ima sljedeća svojstva:
( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
111 2 2
2 2
1.) 0, za svaki ;
2.) 0 ( 0);
3.) , za sve , ;
4.) , za sve , ;
5.) , za sve , , 0;
6.) , za svaki ;
7.) , za svaki i svaki ;
8.)
nn
z z
z z
z z z z z z
z z z z z z
zzz z z
z z
z z z
z z z n
zα
≥ ∈
= ⇔ =
± ≤ + ∈
⋅ = ⋅ ∈
= ∈ ≠
= ∈
= ∈ ∈
⋅
C
C
C
C
C
C N
, za svaki i svaki .z zα α= ⋅ ∈ ∈R C
Za svaki z0 ∈ C i svaki r ≥ 0 grafički prikaz skupa S = {z ∈ C: |z – z0| = r} je kružnica sa
središtem u z0 i polumjerom r.
Jednakost kompleksnih brojeva: Za z1 = a
1 + b
1 ⋅ i i z
2 = a
2 + b
2 ⋅ i, gdje su a
1, b
1, a
2, b
2 ∈ R.
vrijedi: (z1 = z
2) ⇔ ((a
1 = a
2) i (b
1 = b
1)).
Algebarske operacije s kompleksnim brojevima zapisanim u algebarskom obliku: Neka su
z1 = a1 + b1 ⋅ i i z2 = a2 + b2 ⋅ i, pri čemu su a1, b1, a2, b2 ∈ R. Definiramo algebarske operacije
zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja redom s:
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 222 2 2 2 2
2 2 2 2 22
: ( ) ( )
: ( ) ( )
: ( ) ( ) ;
: (uz uvjet 0).
z z a a b b i
z z a a b b i
z z a a b b a b a b i
z z z a a b b a b a bi z
z a b a bz
+ = + + + ⋅
− = − + − ⋅
⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅= = + ⋅ ≠
+ +
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 5
1.2. Trigonometrijski oblik zapisa kompleksnoga broja
Pridružimo li kompleksnom broju z točku Z u Gaussovoj (kompleksnoj) ravnini, onda kut
ϕ ∈ [0, 2 ⋅ π⟩ kojega pravac OZ zatvara s pozitivnim dijelom realne osi nazivamo argument
kompleksnoga broja z. Pišemo: ϕ = Arg(z).
Ako je z = a + b ⋅ i algebarski oblik zapisa kompleksnoga broja z, onda je pripadni argument
ϕ jednoznačno odreñen jednadžbama:
2 2
2 2
cos ,
sin .
a a
r a b
b b
r a b
ϕ
ϕ
= =
+ = = +
.
Argument kompleksnoga broja ima sljedeća svojstva:
1.) Za svaki α ∈ R+ ∪ {0} 1 vrijedi jednakost: Arg(z) = Arg(α ⋅ z).
2.) Za svaki α ∈ R– vrijedi jednakost: |Arg(z) – Arg( α ⋅ z)| = π.
3.) Ako je ϕ = Arg(z), onda je Arg( z ) = 2 ⋅ π – ϕ.
Trigonometrijski oblik zapisa kompleksnoga broja z je: z = r ⋅ cis ϕ := r ⋅ (cos ϕ + i ⋅ sin ϕ).
Pritom su r apsolutna vrijednost, a ϕ argument broja z.
Pretvorba oblika zapisa kompleksnih brojeva:
1. Algebarski → trigonometrijski
Ako je z = a + b ⋅ i algebarski oblik zapisa kompleksnoga broja z, algoritam je sljedeći:
Korak 1. Izračunati apsolutnu vrijednost (modul) r iz definicijske jednakosti te veličine.
Korak 2. Odrediti argument ϕ iz gore navedenih trigonometrijskih jednadžbi.
Korak 3. Zapisati: z = r ⋅ cis ϕ.
2. Trigonometrijski → algebarski:
Ako je z = r ⋅ cis ϕ trigonometrijski oblik zapisa kompleksnoga broja z, algoritam je
sljedeći:
Korak 1. Izračunati a = r ⋅ cos ϕ.
Korak 2. Izračunati b = r ⋅ sin ϕ.
Korak 3. Zapisati: z = a + b ⋅ i. Algebarske operacije s kompleksnim brojevima zapisanima u trigonometrijskom obliku:
Zbrajanje i oduzimanje izvode se pretvorbom zapisa pribrojnika iz trigonometrijskoga u
algebarski oblik.
1 S R
+ se označava skup svih strogo pozitivnih realnih brojeva, tj. interval ⟨0, +∞⟩. S R
– se označava skup svih
strogo negativnih realnih brojeva, tj. interval ⟨–∞, 0⟩.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 6
Za z1 = r1 ⋅ cis ϕ1 i z2 = r2 ⋅ cis ϕ2 vrijede formule:
[ ]1 2 1 2 1 2
1 2 1 21 12
1 22 2
( ) cis (φ φ ) mod(2 ) ,
cis(φ φ ), ako je φ φ ; (uz uvjet 0)
cis(2 φ φ ), inače.
z z r r
z rz
z r
π
π
⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅
− ≥= ⋅ ≠
⋅ + −
Potenciranje kompleksnoga broja:
Za z = r ⋅ cis ϕ i svaki n ∈ N vrijedi De Moivrèova formula za potenciranje:
zn = r
n ⋅ cis[(n ⋅ ϕ) mod (2 ⋅ π)].
2
Pretpostavimo da je z ≠ 0. Definiramo 1 1:z
z
− = . Tada vrijedi:
( )1
1: , za svaki (uz uvjet 0).n
nz z n z− −= ∈ ≠N
Korjenovanje kompleksnoga broja:
Za z = r ⋅ cis ϕ i svaki n ∈ N skup svih kompleksnih rješenja jednadžbe xn = z je
φ 2cis : 0, 1, ..., 1n k
S r k nn
π + ⋅ ⋅ = ⋅ = −
.
Svi elementi skupa S tvore vrhove pravilnoga n – terokuta upisanoga u središnju kružnicu
polumjera 1
nr r= .
2 Za svaki ϕ > 0 je2
mod(2 ) : 2ϕ
πϕ π ϕ π⋅
⋅ = − ⋅ ⋅ , gdje je 2
ϕ
π⋅ najveći cijeli broj manji ili jednak
2
ϕ
π⋅.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 7
1.3. Eksponencijalni oblik zapisa kompleksnoga broja
Osnova eksponencijalnoga oblika zapisa kompleksnoga broja je Eulerova formula: ei ⋅ ϕ
= cis
ϕ.
Eksponencijalni oblik zapisa kompleksnoga broja z je z = r ⋅ ei ⋅ ϕ. Pritom su r apsolutna
vrijednost (modul) i ϕ argument kompleksnoga broja z.
Pretvorba oblika zapisa kompleksnih brojeva:
1. Eksponencijalni → trigonometrijski:
Ako je z = r ⋅ ei ⋅ ϕ eksponencijalni oblik zapisa kompleksnoga broja z, onda je pripadni
trigonometrijski oblik zapisa toga broja z = r ⋅ cis ϕ.
2. Trigonometrijski → eksponencijalni:
Ako je z = r ⋅ cis ϕ trigonometrijski oblik zapisa kompleksnoga broja z, onda je pripadni
eksponencijalni oblik zapisa toga broja z = r ⋅ ei ⋅ ϕ.
3. Eksponencijalni → algebarski:
Kompleksan broj zapisan u eksponencijalnom obliku najprije treba zapisati u
trigonometrijskom obliku. Potom se dobiveni trigonometrijski oblik pretvara u algebarski
oblik koristeći algoritam naveden na stranici 4.
4. Algebarski → eksponencijalni:
Kompleksan broj zapisan u algebarskom obliku najprije treba zapisati u
trigonometrijskom obliku koristeći algoritam naveden na stranici 4. Potom se dobiveni trigonometrijski oblik pretvara u eksponencijalni oblik.
Algebarske operacije s kompleksnim brojevima zapisanima u eksponencijalnom obliku:
Zbrajanje i oduzimanje provodi se pretvorbom iz eksponencijalnoga u algebarski oblik.
Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva 1φ1 1
iz r e
⋅= ⋅ i 2φ2 2
iz r e
⋅= ⋅ izvodi se prema
sljedećim formulama:
[ ]1 2
1 2
1 2
(φ φ )mod(2 )
1 2 2
(φ φ )
1 21 12(2 φ φ )
2 2
,
, ako je φ φ ; (uz uvjet 0)
, inače.
i
i
i
z z r e
ez rz
z r e
π
π
⋅ + ⋅
⋅ −
⋅ ⋅ + −
⋅ = ⋅
≥= ⋅ ≠
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 8
2. OSNOVE MATRIČNOGA RAČUNA
Realna matrica tipa (r, s) je pravokutna tablica s ukupno r redaka i s stupaca, pri čemu su
r, s ∈ N. Matrica se uobičajeno označava velikim tiskanim slovom: A, B, C, … Skup svih realnih matrica tipa (r, s) označava se s Mr, s(R).
Element matrice A na presjeku i – toga retka i j – toga stupca označava se s aij, za svaki
i ∈ [r] i svaki j ∈ [s].
Realna matrica A je kvadratna matrica reda n (u daljnjem tekstu: matrica reda n) ako A ima
točno n redaka i točno n stupaca, pri čemu je n ∈ N. Skup svih realnih matrica reda n
označava se s Mn(R).
Neka je A matrica reda n. Za svaki i ∈ [n] elementi aii tvore glavnu dijagonalu, a elementi
an–i+1,i tvore sporednu dijagonalu matrice A.
Dvije matrice su meñusobno jednake ako su istoga tipa i ako na istim mjestima imaju meñusobno jednake elemente.
Zbrajanje i oduzimanje matrica definira se isključivo za matrice koje su istoga tipa. Ako su A
i B matrice tipa (r, s), onda je:
1. zbroj matricâ A i B jednak matrici C tipa (r, s) takvoj da je cij = aij + bij, za svaki i ∈ [r] i
svaki j ∈ [s].
2. razlika matricâ A i B jednaka matrici D tipa (r, s) takvoj da je dij = aij – bij, za svaki i ∈ [r]
i svaki j ∈ [s].
Umnožak realnoga broja α i realne matrice A tipa (r, s) je realna matrica B tipa (r, s) takva da
je bij = α ⋅ aij, za svaki i ∈ [r] i j ∈ [s].
Matrice A i B su ulančane ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B.
Množenje matrica definira se isključivo za ulančane matrice. Umnožak matrice A tipa (r, s) i
matrice B tipa (s, t) je matrica C tipa (r, t) takva da je element cij jednak skalarnom umnošku3
i – toga retka matrice A i j – toga stupca matrice B, za svaki i ∈ [r] i svaki j ∈ [t].
Neki posebni tipovi matrica:
1. Nulmatrica tipa (r, s) (oznaka: 0) je matrica tipa (r, s) čiji su svi elementi jednaki 0.
2. Jedinična matrica reda n (oznaka: En) je matrica reda n čiji su svi elementi na glavnoj
dijagonali jednaki 1, a svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki 0.
3. Dijagonalna matrica reda n je matrica reda n čiji su svi elementi izvan glavne dijagonale
jednaki nuli. Ekvivalentno, A ∈ Mn(R) je dijagonalna ako i samo ako za sve i, j ∈ [n]
vrijedi implikacija: (i ≠ j) ⇒ (aij = 0). 4. Gornja trokutasta matrica reda n je matrica reda n čiji su svi elementi ispod glavne
dijagonale jednaki 0. Ekvivalentno, A ∈ Mn(R) je gornja trokutasta ako i samo ako za sve
i, j ∈ [n] vrijedi implikacija: (1 ≤ i < j ≤ n ) ⇒ (aij = 0).
3 Definiciju skalarnoga umnoška vidjeti u poglavlju 4, stranica 13.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 9
5. Donja trokutasta matrica reda n je matrica čiji su svi elementi iznad glavne dijagonale
jednaki 0. Ekvivalentno, A ∈ Mn(R) je donja trokutasta ako i samo ako za sve i, j ∈ [n]
vrijedi implikacija: (1 ≤ j < i < n) ⇒ (aij = 0).
6. Transponirana matrica matrice A tipa (r, s) je matrica B tipa (s, r) takva da je ij jib a= , za
svaki i ∈ [r] i svaki j ∈ [s]. Transponirana matricu uobičajeno se označava s AT.
Transponiranje matrica ima sljedeća svojstva:
1.) (AT)T = A, za svaku matricu A.
2.) (A + B)T = A
T + B
T, za matrice A i B koje su istoga tipa;
3.) (A ⋅ B)T = B
T ⋅ AT
, za matrice A i B koje su ulančane.
A ∈ Mn(R) je simetrična ako za sve i, j ∈ [n] vrijedi jednakost aij = aji. Ekvivalentno,
A ∈ Mn(R) je simetrična ako i samo ako vrijedi jednakost A = AT.
A ∈ Mn(R) je antisimetrična ako za sve i, j ∈ [n] vrijedi jednakost aij = –aji. Ekvivalentno,
A ∈ Mn(R) je antisimetrična ako i samo ako vrijedi jednakost A = –AT. Ako je A
antisimetrična matrica, onda su svi elementi njezine glavne dijagonale jednaki 0.
Determinanta matrice A ∈ M2(R) je realan broj D
2 definiran formulom:
1 1 1 2
2 1 1 2 2 1 2 21
2 1 2 2
: :a a
D a a a aa a
= = ⋅ − ⋅ .
U ovom slučaju kraće kažemo da je D2 determinanta reda 2.
Determinanta matrice A ∈ M3(R) je realan broj D3 definiran formulom:
11 12 13
3 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31
31 32 33
: : ( )
a a a
D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
= = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ .
U ovom slučaju kraće kažemo da je D3 determinanta reda 3.
Vrijednost bilo koje determinante reda 3 može se izračunati i Sarrusovim pravilom:
Korak 1. Uz determinantu dopisati njezina prva dva stupca (u istom poretku kao i u
determinanti.
Korak 2. Izračunati zbroj Z1 svih triju tročlanih umnožaka na dijagonalama sjeverozapad–
jugoistok.
Korak 3. Izračunati zbroj Z2 svih triju tročlanih umnožaka na dijagonalama jugozapad–
sjeveroistok.
Korak 4. Tražena vrijednost determinante jednaka je D = Z1 – Z2.
Napomena: Saarusovo pravilo vrijedi samo za determinante reda 3 i ne može se primjenjivati na računanje determinanti drugih redova.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 10
Pojam determinante definiran je i za matricu proizvoljnoga reda, ali ta definicija izlazi iz
okvira ovoga priručnika i ovdje neće biti navedena.
Vrijednost determinante reda n može se računati i Laplaceovim razvojem. Neka su A ∈ Mn(R) i D njezina determinanta. Odabere se jedan redak/stupac determinante D, npr. i-ti redak.
Elementi toga retka su aik, gdje je k ∈ [n]. Za svaki k ∈ [n] neka je Dik vrijednost determinante
reda n – 1 dobivene izostavljanjem i-toga retka i k-toga stupca iz determinante D. Tada se
determinanta D može izračunati prema formuli:
1
( 1)n
i k
ik ik
k
D a D+
=
= − ⋅ ⋅∑ .
Pri računanju determinanti korisno je primijeniti sljedeća svojstva:
1.) Ako bilo koji redak/stupac determinante tvore isključivo nule, njezina vrijednost je
jednaka nuli.
2.) Ako determinanta sadrži barem dva jednaka retka/stupca, njezina vrijednost je jednaka
nuli.
3.) Zamjenom dvaju redaka/stupaca determinante mijenja se predznak njezine vrijednosti.
4.) Dodavanjem jednoga retka/stupca determinante nekom drugom njezinom retku/stupcu
vrijednost determinante neće se promijeniti. 5.) Pomnoži li se svaki element nekoga retka/stupca determinante nekim realnim brojem
različitim od nule, pa se tako dobiven redak/stupac determinante doda nekom drugom retku/stupcu determinante, vrijednost determinante se neće promijeniti.
6.) Vrijednost determinante bilo koje gornje trokutaste, donje trokutaste ili dijagonalne matrice jednaka je umnošku svih elemenata glavne dijagonale te matrice.
Binet–Cauchyjev poučak: Za A, B ∈ Mn(R)vrijedi jednakost:
det(A ⋅ B) = det(A) ⋅ det(B).
Posebno, za svaki n ∈ N vrijedi jednakost det(An) = [det(A)]n.
Inverz matrice A ∈ Mn(R) je matrica A–1
∈ Mn(R) takva da vrijedi A ⋅ A–1 = A
–1 ⋅ A = En. Ako
matrica A ima inverz, on je nužno jedinstven. Posebno, (En)–1 = En.
Napomena: Pojam inverza matrice nema smisla za matrice koje nisu kvadratne.
Regularna matrica je svaka kvadratna matrica koja ima inverz. Singularna matrica je svaka kvadratna matrica koja nema inverz. Vrijede sljedeći kriteriji:
1.) A ∈ Mn(R) je regularna ako i samo ako je njezina determinanta različita od 0.
2.) A ∈ Mn(R) je singularna ako i samo ako je njezina determinanta jednaka 0.
Invertiranje regularnih matrica ima sljedeća svojstva:
1.) (A–1)
–1 = A, za bilo koju regularnu matricu A.
2.) (A ⋅ B)–1 = B–1 ⋅ A–1, za bilo koje regularne matrice A i B istoga reda.
3.) (A–1)
T = (A
T)
–1, za bilo koju regularnu matricu A.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 11
Elementarne transformacije nad retcima bilo koje matrice A su
– zamjena dvaju redaka;
– množenje jednoga retka realnim brojem različitim od nule; – zbrajanje dvaju redaka i pisanje dobivenoga zbroja u točno jedan od tih dvaju redaka
(umjesto dotičnoga retka);
„Neklasični“ algoritam za odreñivanje inverza regularne matrice A:
Korak 1. Formirati matricu [ ]| nB A E= tipa (n, 2 ⋅ n).
Korak 2. Elementarnim transformacijama nad retcima matrice A svesti matricu B na oblik
[ ]' |nB E X= .
Korak 3. Inverz matrice A je matrica X, tj. A–1
= X.
„Klasični“ algoritam za odreñivanje inverza regularne matrice A reda n:
Korak 1. Izračunati determinantu matrice A.
Korak 2. Za sve i, j ∈ [n] izračunati vrijednost bij definiranu s:
bij = (–1)i + j
⋅ Dij,
pri čemu je Dij determinanta matrice koja se dobije izostavljanjem i–toga retka i j–toga stupca
matrice A.
Korak 3. Formirati matricu ij
B b = ∈ Mn(R).
Korak 4. Odrediti matricu (tzv. adjunktu matrice A) : TA B=∼
.
Korak 5. Inverz matrice A jednak je 1 1
det( )A A
A
− = ⋅∼
.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 12
3. SUSTAVI LINEARNIH JEDNADŽBI
Neka je n ∈ N, n ≥ 2. Linearni sustav reda n je sustav od n linearnih jednadžbi s n (različitih)
nepoznanica. Ovisno o ukupnom broju meñusobno različitih rješenja, linearne sustave reda n dijelimo na:
1.) nemoguće (nemaju niti jedno rješenje); 2.) Cramerove (imaju točno jedno rješenje);
3.) sustave s beskonačno mnogo različitih rješenja.
Za svaki linearni sustav reda n jednoznačno su odreñene sljedeće vrijednosti:
1.) xi := i-ta nepoznanica, za svaki i ∈ [n];
2.) aij := koeficijent uz nepoznanicu xj u i-toj jednadžbi sustava, za sve i, j ∈ [n];
3.) bi := slobodni član u i-toj jednadžbi sustava, za svaki i ∈ [n].
Matrica linearnoga sustava reda n je matrica A ∈ Mn(R) čiji su elementi brojevi aij.
Determinanta linearnoga sustava reda n (oznaka: D) je determinanta matrice sustava.
k-ta pomoćna matrica linearnoga sustava reda n je matrica Ak ∈ Mn(R)koja se dobije kad se k–ti stupac matrice sustava A zamijeni stupcem kojega tvore svi slobodni članovi sustava.
k-ta pomoćna determinanta linearnoga sustava reda n (oznaka: Dk) je determinanta matrice Ak.
Karakterizacija rješivosti linearnih sustava reda n pomoću determinanti:
1.) Linearni sustav reda n je nemoguć ako i samo ako je D = 0 i postoji barem jedan
k ∈ [n] takav da je Dk ≠ 0.
2.) Linearni sustav reda n je Cramerov ako i samo ako je D ≠ 0. 3.) Linearni sustav reda n ima beskonačno mnogo različitih rješenja ako i samo ako
vrijede jednakosti: D = D1 = … = Dn = 0.
Cramerovo pravilo: Rješenje (x1,…, xn) bilo kojega Cramerova sustava reda n odreñeno je
izrazima
kk
Dx
D= , za svaki k ∈ [n].
Homogeni linearni sustav reda n je linearni sustav reda n takav da je bi = 0, za svaki i ∈ [n]. Takav sustav ili ima jedinstveno (trivijalno) rješenje (x1,…, xn) = (0,…,0) ili ima beskonačno
mnogo različitih rješenja.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 13
4. (RADIJ)VEKTORI
Neka je O ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u standardnom euklidskom prostoru
E3. Radijvektor OT����
je bilo koja usmjerena dužina čiji je početak točka O, a kraj točka T.
Svaki radijvektor je jednoznačno odreñen svojom završnom točkom T. Ako je T = (xT, yT, zT),
piše se: ( , , )T T TOT x y z=����
.
Posebno se izdvajaju četiri radijvektora: 0 (0,0,0), : (1,0,0), : (0,1,0), : (0,0,1)i j k= = = =� � � �
.
Skup svih radijvektora u euklidskom prostoru 3E standardno se označava s 3( )V O . Ako se
ne istakne drugačije, pretpostavlja se da su razmatrani radijvektori elementi skupa 3( )V O .
Algebarske operacije s radijvektorima: Za 1 2 3( , , )a a a a=
�
, 1 2 3( , , )b b b b=
�
i α ∈ R operacije
zbrajanja i oduzimanja radijvektora, te množenja radijvektora sa skalarom definirane su s:
1 1 2 2 3 3
1 2 3
: ( , , )
α : (α , α , α )
a b a b a b a b
a a a a
± = ± ± ±
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
� �
�
Duljina radijvektora 1 2 3( , , )a a a a=
�
je nenegativan realan broj 2 2 2
1 2 3:a a a a= + +�
.
Radijvektori i a b� �
su kolinearni ako je jedan od njih nulvektor ( 0�
) ili ako postoji α ∈ R
takav da je = αa b⋅� �
. Ako je α > 0, kolinearni radijvektori imaju isti smjer. Ako je α < 0,
kolinearni radijvektori imaju suprotan smjer. Ekvivalentno, radijvektori i a b� �
su kolinearni
ako i samo ako pravac kroz njihove krajnje točke prolazi ishodištem O.
Ako je = αa b⋅� �
, onda je a bα= ⋅� �
. Pritom su i a b� �
duljine radijvektora, a α apsolutna
vrijednost realnoga broja.
Skalarni umnožak (oznaka: •) dvaju radijvektora 1 2 3( , , )a a a a=
�
i 1 2 3( , , )b b b b=
�
je realan broj s
definiran s
3
1 1 2 2 3 3
1
: : i i
i
s a b a b a b a b a b=
= • = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅∑� �
.
Skalarni umnožak je komutativna binarna operacija (svejedno je u kojemu poretku množimo
radijvektore).
Mjera kuta izmeñu dvaju radijvektora 1 2 3( , , )a a a a=
�
i 1 2 3( , , )b b b b=
�
je realan broj ϕ ∈ [0, π]
odreñen trigonometrijskom jednadžbom:
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cosa b a b a ba b
a b a a a b b bϕ
⋅ + ⋅ + ⋅•= =
⋅ + + ⋅ + +
� �
� � .
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 14
Dva radijvektora su okomita ako zatvaraju kut od 90°, odnosno 2
π radijana. Po definiciji,
nulvektor je okomit na svaki radijvektor.
Dva radijvektora (različita od nulvektora) su okomita ako i samo ako je njihov skalarni
umnožak jednak nuli.
Vektorski umnožak (oznaka: ×) dvaju radijvektora 1 2 3( , , )a a a a=�
i 1 2 3( , , )b b b b=�
je
radijvektor c�
definiran s
( )1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
1 2 3
: : , ,
i j k
c a b a a a a b a b a b a b a b a b
b b b
= × = = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
� � �
� � �
.
Vektorski umnožak ima sljedeća svojstva:
1.) sinc a b ϕ= ⋅ ⋅� � �
, gdje je ϕ kut izmeñu radijvektora i a b� �
.
2.) Duljina vektorskoga umnoška dvaju radijvektora jednaka je površini usporednika
kojega razapinju ti radijvektori.
3.) Vektorski umnožak dvaju radijvektora je okomit na svaki od tih radijvektora. Ako je
0c ≠� �
, onda se smjer radijvektora c�
odreñuje tako da radijvektori , i a b c� � �
u danom
poretku tvore desni sustav. Praktično, ako srednji prst desne ruke usmjerimo u smjeru
radijvektora a�
, a kažiprst iste ruke u smjeru radijvektora b�
, onda će palac iste ruke
pokazivati smjer vektorskoga umnoška c�
.
4.) Vektorski umnožak dvaju radijvektora jednak je nulvektoru ako i samo ako su ti
radijvektori kolinearni.
5.) Vektorski umnožak je antikomutativan, tj. vrijedi: ( 1) ( )a b b a× = − ⋅ ×� � � �
.
6.) Vektorski umnožak ima svojstvo distributivnosti prema zbrajanju, tj. vrijede
jednakosti:
( ) , ( )a b c a c b c a b c a c a c+ × = × + × × + = × + ×� � � � � � � � � � � � � �
.
Napomena: Vektorski umnožak se definira samo u prostoru 3( )V O .
Mješoviti umnožak triju radijvektora 1 2 3( , , )a a a a=�
, 1 2 3( , , )b b b b=�
i 1 2 3( , , )c c c c=�
je realan
broj M definiran s
1 2 3
1 2 3
1 2 3
:
a a a
M b b b
c c c
= .
Apsolutna vrijednost mješovitoga umnoška triju radijvektora jednaka je obujmu
paralelepipeda razapetoga tim radijvektorima. Obujam tetraedra razapetoga tim
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 15
radijvektorima jednak je 1
6M⋅ . Obujam trostrane prizme razapete tim radijvektorima jednak
je 1
2M⋅
Mješoviti umnožak triju radijvektora jednak je nuli ako i samo ako je jedan od radijvektora
nulvektor ili ako su sva tri radijvektora komplanarna (pripadaju istoj ravnini).
Linearna kombinacija dvaju radijvektora 1 2 3( , , )a a a a=
�
i 1 2 3( , , )b b b b=
�
s koeficijentima
α, β ∈ R je radijvektor c�
definiran s
1 1 2 2 3 3: ( , , )c a b a b a b a bα β α β α β α β= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅� � �
Skup radijvektora S je linearno nezavisan ako se niti jedan element toga skupa ne može
prikazati kao linearna kombinacija svih preostalih elemenata toga skupa. Skup radijvektora je
linearno zavisan ako nije linearno nezavisan, tj. ako se barem jedan element toga skupa može
prikazati kao linearna kombinacija svih preostalih elemenata toga skupa.
Jednočlani skup S ⊂ 3( )V O je linearno zavisan ako i samo je { }0S =�
.
Dvočlani skup S ⊂ 3( )V O je linearno zavisan ako i samo ako su njegovi elementi kolinearni.
Tročlani skup S ⊂ 3( )V O je linearno zavisan ako i samo ako je mješoviti umnožak njegovih
elemenata (u bilo kojem poretku) jednak nuli.
Za svaki n ∈ N, n ≥ 4, n-člani skup radijvektora iz skupa 3( )V O je linearno zavisan.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 16
5. REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE
5.1. Opći pojmovi
Neka su X, Y ⊆ R. Realna funkcija jedne realne varijable f : X → Y je svako pridruživanje koje svakom elementu skupa X pridružuje točno jedan element skupa Y. Skup X naziva se
prirodno područje definicije (domena) funkcije f, a skup Y područje vrijednosti (kodomena)
funkcije f. Kad god se ne istakne drugačije, pretpostavlja se da je f realna funkcija jedne
realne varijable.
Svaka funkcija je potpuno odreñena zadavanjem skupova X i Y, te pravila kojim se
elementima skupa X pridružuju elementi skupa Y.
Dvije funkcije f i g su jednake ako istovremeno imaju jednake domene, jednake kodomene i
ako za svaki x∈X vrijedi jednakost f(x) = g(x).
Funkcija f : X → Y je injekcija ako vrijedi implikacija: (f (x1) = f (x
2)) ⇒ (x
1 = x
2).
Funkcija f : X → Y je surjekcija ako za svaki y ∈ Y postoji barem jedan x ∈ X takav da je
y = f (x).
Funkcija f je bijekcija ako je istovremeno i injekcija i surjekcija.
Inverz bijekcije f : X → Y je funkcija f –1 : Y → X takva da za svaki x ∈ X i svaki y ∈ Y
istodobno vrijede jednakosti:
(f –1 � f )(x) = x,
(f � f –1)(y) = y. 4
Pravilo inverza bijekcije f može se odrediti sljedećim algoritmom:
Korak 1. Pravilo funkcije f zapisati u obliku y = f (x). U navedenoj jednakosti napraviti
zamjenu varijabli: umjesto y na lijevoj strani jednakosti pisati x, a umjesto x na desnoj strani
jednakosti pisati y.
Korak 2. Iz prethodne jednakosti izraziti y pomoću x. Dobiveni izraz je pravilo inverza f –1
(s
eventualnim preimenovanjem oznake nezavisne varijable).
Graf funkcije f je skup Γ( f ) := {(x, f (x)): x ∈ X}. On se obično predočava u pravokutnom
koordinatnom sustavu u ravnini tako da se na os apscisa nanose vrijednosti nezavisne varijable x, a na os ordinata nanose vrijednosti f (x).
Ravninska krivulja K je graf neke funkcije ako i samo ako svaki pravac usporedan s osi
ordinata siječe krivulju K u najviše jednoj točki.
Napomena: Ravninske krivulje poput kružnice, elipse, hiperbole i parabole nisu grafovi
funkcija.
4 S � je označena operacija kompozicije funkcija: (f � g)(x) := f [g(x)].
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 17
Ravninska krivulja K je graf neke bijekcije ako i samo ako svaki pravac usporedan s osi
apscisa i svaki pravac usporedan s osi ordinata sijeku krivulju K u najviše jednoj točki. Graf inverza bijekcije f može se dobiti zrcaljenjem grafa bijekcije f s obzirom na pravac čija je
jednadžba y = x.
Neka je f : X → Y funkcija sa svojstvom 0 ∈ Y. Nultočka funkcije f je svaki x ∈ X takav da je f (x) = 0. Nultočka se grafički interpretira kao sjecište grafa funkcije f i osi apscisa (osi x).
Funkcija f : X → Y je omeñena odozdo ako postoji barem jedan m ∈ R takav da za svaki
x ∈ X vrijedi f (x) ≥ m.
Funkcija f : X → Y je omeñena odozgo ako postoji barem jedan M ∈ R takav da za svaki
x ∈ X vrijedi f (x) ≤ M.
Funkcija f : X → Y je omeñena ako je omeñena i odozdo i odozgo.
Funkcija f : X → Y je rastuća ako za sve x1, x
2 ∈ X vrijedi implikacija (x
1 < x
2) ⇒
(f (x1) ≤ f (x
2)).
Funkcija f : X → Y je strogo rastuća ako za sve x1, x2 ∈ X vrijedi implikacija
(x1 < x
2) ⇒ (f (x
1) < f (x
2)).
Funkcija f : X → Y je padajuća ako za sve x1, x2 ∈ X vrijedi implikacija
(x1 < x
2) ⇒ (f (x
1) ≥ f (x
2)).
Funkcija f : X → Y je strogo padajuća ako za sve x1, x2 ∈ X vrijedi implikacija
(x1 < x
2) ⇒ (f (x
1) > f (x
2)).
5
Svaka strogo rastuća (strogo padajuća) funkcija je injekcija. (Obratna tvrdnja nije točna.)
Funkcija f : X → Y je parna ako za svaki x∈ X istovremeno vrijede tvrdnje:
1.) (–x) ∈ X;
2.) f (–x) = f (x)
Graf svake parne funkcije je osno simetričan s obzirom na os ordinata (os y).
Funkcija f : X → Y je neparna ako za svaki x∈ X istovremeno vrijede tvrdnje:
1.) (–x) ∈ X; 2.) f (–x) = –f (x).
Graf svake neparne realne funkcije je centralno simetričan s obzirom na ishodište
pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini.
Funkcija f : X → Y je periodična ako postoji barem jedan P ∈ R takav da za svaki x∈ X
istovremeno vrijede tvrdnje:
1.) (x + P) ∈ X; 2.) f (x + P) = f (x).
5 Rastuće i padajuće funkcije jednim imenom nazivamo monotone funkcije. Strogo rastuće i strogo padajuće funkcije jednim imenom
nazivamo strogo monotone funkcije.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 18
Broj P naziva se period funkcije f. Najmanji strogo pozitivan period T (ako postoji) funkcije f
naziva se temeljni period.
5.2. Polinomi i racionalne funkcije
Neka su n ∈ N, an, …, a
0 ∈ R. Polinom stupnja n je funkcija p : R → R definirana s
0
0
( ) ...n
k n
k n
k
p x a x a x a=
= ⋅ = ⋅ + +∑ .
Realan broj an naziva se vodeći koeficijent, a realan broj a
0 slobodni član polinoma p.
Za n = 0 dobiva se konstantna funkcija, za n = 1 linearna funkcija, za n = 2 kvadratna funkcija, a za n = 3 kubna funkcija.
Polinom p takav da za svaki x ∈ R vrijedi p(x) = 0 nazivamo nulpolinom. Njegov se stupanj
obično ne definira.
Svaki polinom neparnoga stupnja ima barem jednu realnu nultočku. Polinom stupnja n koji
ima barem n + 1 različitih nultočaka nužno je nulpolinom.
Kratnost pojedine nultočke polinoma stupnja n je ukupan broj pojavljivanja te nultočke u
popisu svih nultočaka toga polinoma. Pritom su dozvoljena ponavljanja nultočaka.
Osnovni poučak algebre: Neka je p polinom stupnja n ≥ 1 s kompleksnim koeficijentima. Tada jednadžba p(x) = 0 ima barem jedno rješenje koje pripada skupu C. (Općenito, svaki
polinom stupnja n ≥ 1 s koeficijentima iz skupa C ima točno n ne nužno meñusobno različitih
nultočaka koje pripadaju skupu C.)
Ako su x1,…, x
n sva (ne nužno meñusobno različita) rješenja jednadžbe p(x) = 0 u skupu C,
onda vrijedi rastav:
1
1
( ) ( ) ( ) ... ( )n
n k n n
k
p x a x x a x x x x=
= ⋅ − = ⋅ − ⋅ ⋅ −∏ .
Za svaki z ∈ C vrijedi ekvivalencija ( )( )( ( ) 0) 0p z p z= ⇔ = . Ekvivalentno, z ∈ C je rješenje
jednadžbe p(x) = 0 ako i samo ako je i z rješenje te jednadžbe.
Bèzoutov poučak: Neka su svi koeficijenti polinoma p cijeli brojevi, a vodeći koeficijent 1.
Ako jednadžba p(x) = 0 ima rješenje x0 ∈ Z, onda x
0 | a0.6 Ekvivalentno, svi kandidati za
cjelobrojne nultočke polinoma s cjelobrojnim koeficijentima i vodećim koeficijentom 1 su
nužno djelitelji slobodnoga člana toga polinoma.
Algebarske operacije s polinomima svode se na algebarske operacije s potencijama.
6 Simbol | čitati: „dijeli“. Dakle, x
0 | a
0 znači da je a
0 djeljiv s x
0 bez ostatka.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 19
Polinom p je djeljiv polinomom q ako je svaka nultočka polinoma q ujedno i nultočka
polinoma p, pri čemu kratnost te nultočke u odnosu na polinom q mora biti najviše jednaka kratnosti te nultočke u odnosu na polinom p.
Neka su m, n ∈ N takvi da je m < n. Neka su p1 polinom stupnja m čiji je skup nultočaka N
1,
te p2 polinom stupnja n čiji je skup nultočaka N
2. Prava racionalna funkcija je realna funkcija f
definirana pravilom
1
2
pf
p= . (*)
Domena funkcije f je skup R \ N2. Skup svih nultočaka funkcije f je skup N
1 \ N
2.
Pol racionalne funkcije f je svaki element skupa N2. Red pola y ∈ N
2 je k ∈ N takav da je k
jednak kratnosti elementa y u odnosu na polinom p2. Pol y reda k je uklonjiv ako y u odnosu
na polinom p1 ima kratnost jednaku ili veću od k. U suprotnom, pol y je neuklonjiv.
Neprava racionalna funkcija je funkcija f definirana pravilom (*) pri čemu vrijedi m ≥ n.
Takva funkcija uvijek se može napisati kao zbroj polinoma (stupnja m – n) i prave racionalne
funkcije. Prirodno područje definicije, nultočke i polovi pritom se odreñuju kao i kod prave
racionalne funkcije.
5.3. Trigonometrijske i ciklometrijske funkcije
Ako se u točki T = (1, 0) povuče tangenta na središnju jediničnu kružnicu i ta tangenta shvati kao brojevni pravac, onda se tzv. namatanjem pravca na kružnicu svakoj točki pravca (a time
i svakom realnom broju x) može pridružiti jedinstvena točka T' = (x', y').
Funkcija c koja realnom broju x pridružuje broj x' naziva se kosinus i označava sa cos x.
Funkcija s koja realnom broju x pridružuje broj y' naziva se sinus i označava sa sin x.
Koristeći funkcije sinus i kosinus definiraju se funkcije tangens (oznaka: tg) i kotangens
(oznaka: ctg):
sintg ,
cos
cosctg .
sin
xx
x
xx
x
=
=
Osnovna svojstva navedenih funkcija navedena su u sljedećoj tablici.
Naziv funkcije Domena Kodomena Temeljni period (Ne)Parnost
sinus R [–1, 1] 2 ⋅ π neparna
kosinus R [–1, 1] 2 ⋅ π parna
tangens \ (2 1) :
2k k
π ⋅ + ⋅ ∈
R Z
R π neparna
kotangens { }\ :k kπ⋅ ∈R Z R π neparna
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 20
Napomena: Funkcije ctg x i 1
tg x nisu jednake jer nemaju jednake domene. Identitet
1ctg
tg x
x= vrijedi za sve \ :
2x k k
π ∈ ⋅ ∈
R Z .
Nijedna od četiri osnovne trigonometrijske funkcije nije bijekcija na svojoj domeni jer nijedna periodična realna funkcija nije injekcija. Meñutim, njihova suženja (restrikcije) na odreñene
intervale jesu bijekcije, pa na tim intervalima postoje pripadni inverzi. Ti inverzi nazivaju se
ciklometrijske ili arkus funkcije. Njihov naziv vezan je uz promatranje duljine pripadnoga
luka središnje jedinične kružnice.
Pregled arkus funkcija i njihovih osnovnih svojstava naveden je u sljedećoj tablici.
Naziv funkcije Oznaka Domena Kodomena Neka svojstva
arkus sinus arcsin [–1, 1] ,
2 2
π π −
omeñena, neparna,
neperiodična, strogo rastuća
arkus kosinus arccos [–1, 1] [0, π] omeñena, parna,
neperiodična, strogo padajuća
arkus tangens arctg R ,
2 2
π π−
omeñena, neparna,
neperiodična, strogo rastuća
arkus kotangens arcctg R ⟨0, π⟩ omeñena, neparna,
neperiodična, strogo padajuća
Neki osnovni identiteti vezani uz trigonometrijske i ciklometrijske funkcije navedeni su u
točki 7.5., stranice 43. – 47.
5.4. Harmonijska funkcija
Neka su A, ω i ϕ realne konstante takve da su A, ω > 0 i ϕ ∈ ⟨–π, π]. Harmonijska funkcija je funkcija f : R → R definirana pravilom
f (x) = A ⋅ sin(ω ⋅ x + ϕ).
Vrijednost A naziva se amplituda, vrijednost ω kružna frekvencija, a vrijednost ϕ fazni pomak
funkcije f.
U ovoj točki pretpostavlja se da su f, f1, …. harmonijske funkcije.
Napomene: 1.) Pretpostavka A, ω > 0 uzima se bez smanjenja općenitosti. Naime, ako vrijedi
A < 0 i/li ω < 0, onda se pripadna harmonijska funkcija svodi na razmatrani oblik primjenom identiteta
sin(–x) = (–1) ⋅ sin x,
sin(π – x) = sin x.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 21
2.) I funkcija g (x) = A ⋅ cos(ω ⋅ x + ϕ) može se razmatrati kao harmonijska funkcija. Da bi se
dobio uobičajeni zapis harmonijske funkcije, primjenjuju se identiteti cos x = sin2
xπ
+
i/ili
cos x = sin2
xπ
−
.
Temeljni period funkcije f jednak je 2
Tπ
ω
⋅= .
Skup svih nultočaka funkcije f je
:f
kN k
π ϕ
ω
⋅ − = ∈
Z .
Ako su xi i x
j dvije uzastopne (susjedne) nultočke funkcije f, onda je
1
2i jx x T− = ⋅ .
Segment , I Tϕ ϕ
ω ω
= − −
naziva se osnovni ili temeljni segment funkcije f. Karakteristične
točke funkcije f na njezinu osnovnu segmentu su:
0 1 2 3 4
3, 0 , , , , 0 , , i , 0
4 2 4
T T TT T A T T A T T
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ω ω ω ω ω
⋅ = − = − + = − + = − + − = − +
.
Funkcija ( ) sin( ) cos( )g x A x B xω ω= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ može se zapisati u obliku harmonijske funkcije
1 1( ) sin( )f x A xω ϕ= ⋅ ⋅ + , pri čemu se veličine A1 i ϕ odreñuju iz jednadžbi:
2 2
1
1 1
,
cos , sin .
A A B
A B
A Aϕ ϕ
= +
= =
Superpozicija funkcija 1 1 1( ) sin( )f x A xω ϕ= ⋅ ⋅ + i
2 2 2( ) sin( )f x A xω ϕ= ⋅ ⋅ + s istom kružnom
frekvencijom ω je funkcija 3 3 3( ) sin( )f x A xω ϕ= ⋅ ⋅ + , pri čemu se veličine A
3 i ϕ
3 odreñuju iz
izraza:
2 2
3 1 2 1 2 1 2
1 1 2 23
1 1 2 2
2 cos( ),
sin sinarctg .
cos cos
A A A A A
A A
A A
ϕ ϕ
ϕ ϕϕ
ϕ ϕ
= + + ⋅ ⋅ ⋅ −
⋅ + ⋅=
⋅ + ⋅
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 22
5.5. Eksponencijalna funkcija
Neka je a > 0, a ≠ 1, realna konstanta. Funkciju f : R → R+ definiranu pravilom f (x) = a
x
nazivamo eksponencijalna funkcija (s bazom a).
Eksponencijalna funkcija je odozdo omeñena bijekcija koja nema realnih nultočaka. Ta
funkcija nije niti parna niti neparna niti periodička. Vodoravna asimptota7 na njezin graf je
pravac y = 0 (os apscisa).
Za 0 < a < 1 eksponencijalna funkcija je strogo padajuća.
Za a > 1 eksponencijalna funkcija je strogo rastuća.
U primjenama najčešće korištena eksponencijalna funkcija je f1(x) = e
x, gdje je e baza
prirodnoga logaritma. Broj e je iracionalan broj i približno je jednak 2.7182818…, a najčešće
se definira kao granična vrijednost niza8 (an)n∈N čiji je opći član definiran pravilom
11
n
nan
= +
.
Pri računanju vrijednosti eksponencijalne funkcije vrlo često se primjenjuju svojstva potencija
navedena u točki 7.1., stranica 40.
5.6. Logaritamska funkcija
Inverz eksponencijalne funkcije s bazom a je funkcija g : R+ → R definirana pravilom
g(x) = logax. Ta funkcija naziva se logaritamska funkcija (s bazom a).
Logaritamska funkcija je neomeñena bijekcija koja ima točno jednu nultočku x = 1. Ta
funkcija nije niti parna niti neparna niti periodička. Uspravna asimptota na njezin graf je pravac x = 0 (os ordinata).
Za 0 < a < 1 logaritamska funkcija je strogo padajuća.
Za a > 1 logaritamska funkcija je strogo rastuća.
Za a = 10 dobiva se funkcija dekadskoga logaritma (oznaka: log x).
Za a = e dobiva se funkcija prirodnoga logaritma (oznaka: ln x).
Pri računanju vrijednosti logaritamske funkcije vrlo često se primjenjuju svojstva logaritama
navedena u točki 7.1., stranica 40.
7 O asimptotama i njihovoj klasifikaciji vidjeti točku 6.8., stranica 38. 8 O graničnoj vrijednosti niza vidjeti točku 5.8., stranica 25.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 23
5.7. Hiperbolne i area funkcije
Koristeći eksponencijalnu funkciju f (x) = ex definiraju se osnovne hiperbolne funkcije. One
predstavljaju svojevrstan analogon trigonometrijskih funkcija, pri čemu se umjesto središnje jedinične kružnice promatra jednakostranična hiperbola čija je jednadžba x2 – y2 = 1. Njihov
je pregled naveden u sljedećoj tablici.
Naziv hiperbolne funkcije Oznaka Domena Kodomena Pravilo
kosinus hiperbolni
(lančanica)
ch R [1, +∞⟩ 2
x xe e
−+
sinus hiperbolni sh R R
2
x xe e
−−
tangens hiperbolni th R ⟨–1, 1⟩ sh ili
ch
x x
x x
x e e
x e e
−
−
−
+
kotangens hiperbolni cth R \ {0} R \ [–1, 1] ch ili
sh
x x
x x
x e e
x e e
−
−
+
−
Funkcije sh, th i cth, te suženje funkcije ch na interval [0, +∞⟩ su bijekcije. Pripadni inverzi
nazivaju se area funkcije. One predstavljaju svojevrstan analogon ciklometrijskih funkcija, pri čemu se umjesto duljine luka kružnice promatra površina ravninskih likova odreñenih gore
navedenom jednakostraničnom hiperbolom. Njihov je pregled dan u sljedećoj tablici.
Naziv area funkcije Oznaka Domena Kodomena Pravilo
area kosinus hiperbolni arch [1, +∞⟩ [0, +∞⟩ ( )2ln 1x x+ −
area sinus hiperbolni arsh R R ( )2ln 1x x+ +
area tangens hiperbolni arth ⟨–1, 1⟩ R 1 1ln
2 1
x
x
+⋅
−
area kotangens hiperbolni arcth R \ [–1, 1] R \ {0} 1 1ln
2 1
x
x
+⋅
−
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 24
Osnovni hiperbolni identiteti:
Za sve dopustive9 x, y ∈ R vrijede sljedeće jednakosti:
2 2
2 2
2
2
. ch sh
. ch sh 1.
1. cth .
th
. ch(2 ) ch sh .
. sh(2 ) 2 sh ch .
2 th . th(2 ) .
1 th
cth 1. cth(2 ) .
2 cth
. ch( ) ch ch sh sh .
. sh( ) sh ch ch sh
xx x e
x x
xx
x x x
x x x
xx
x
xx
x
x y x y x y
x y x y x
±± =
− =
=
⋅ = +
⋅ = ⋅ ⋅
⋅⋅ =
+
+⋅ =
⋅
± = ⋅ ± ⋅
± = ⋅ ± ⋅
1
2
3
4
5
6
7
8
9
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2
2
.
th th . th( )
1 th th
1 cth cth . cth( ) .
cth cth
1. sh ch(2 ) 1 .
2
1. ch ch(2 ) 1 .
2
1. ch ch ch( ) ch( ) .
2
1. sh ch sh( ) sh( ) .
2
. sh sh
y
x yx y
x y
x yx y
x y
x x
x x
x y x y x y
x y x y x y
x y
±± =
± ⋅
± ⋅± =
±
= ⋅ ⋅ −
= ⋅ ⋅ +
⋅ = ⋅ + + −
⋅ = ⋅ + + −
⋅ =
10
11
12
13
14
15
16 [ ]1
ch( ) ch( ) .2
x y x y⋅ + − −
9 Vrijednosti x i y su dopustive za izraz I ako je svaki član toga izraza definiran za dotične vrijednosti.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 25
5.8. Nizovi i granične vrijednosti (limesi) nizova
Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N → R. Izraz an := a(n) naziva se opći član niza.
Grafički prikaz niza je skup točaka na brojevnom pravcu.
Realan broj L je granična vrijednost (limes) niza an ako za svaki ε > 0 postoji N ∈ N takav da
vrijedi implikacija: (n ≥ N) ⇒ (|an – L| < ε). U tom se slučaju piše: lim
nn
L a→+∞
= .
Niz koji ima graničnu vrijednost nazivamo konvergentnim. Niz koji nema graničnu vrijednost
nazivamo divergentnim.
Svaki konvergentan niz je omeñen. Svaki omeñeni rastući/padajući niz je konvergentan.10
Za strogo padajući divergentan niz dogovorno pišemo limn
na
→+∞= −∞ . Za strogo rastući
divergentan niz dogovorno pišemo lim nn
a→+∞
= +∞ .
Poučak o sendviču: Neka su (an), (b
n) i (c
n) nizovi takvi da za svaki n ∈ N vrijedi nejednakost
an ≤ b
n ≤ c
n . Tada vrijede sljedeće tvrdnje.
1.) Ako nizovi (an) i (c
n) imaju graničnu vrijednost L ∈ R, onda i niz (b
n) ima graničnu
vrijednost L. 2.) Ako je niz (a
n) divergentan, takva su i ostala dva niza.
Osnovna svojstva konvergentnih nizova: Neka su (an) i (b
n) konvergentni nizovi čije su
granične vrijednosti redom jednake L1 i L
2, pri čemu su L
1, L
2 ∈ R. Tada vrijede sljedeće
jednakosti:
1
1 2
1 2
12
2
1 1
. lim ( ) ;
. lim ( ) ;
. ( 0) lim ;
. ( , 0) lim ( ) ( ) , za svaki ;
. lim , za svaki 0.n
n nn
n nn
n
nn
c c
n nn
a L
n
a b L L
a b L L
a LL
b L
a L a L c
c c c
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
± = ±
⋅ = ⋅
≠ ⇒ =
> ⇒ = ∈
= >
1
2
3
4 R
5
10 Definicije svojstava omeñenosti, (strogoga) rasta i (strogoga) pada niza analogne su definicijama istih svojstava za opću realnu funkciju jedne realne varijable.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 26
Neke karakteristične granične vrijednosti nizova:
( )
0
0
. lim 0, za svaki i svaki .
. ( 0) lim .
0, za 0 1;. lim
, za 1 i 0.
. lim 1 .
. lim
kn
mk
k
k mm mn
k mk
k
n
n
n
a
n
n
n
aa k
n
a na
bb
b n
ab a
a b
ae
n
a
→+∞
=
→+∞
=
→+∞
→+∞
→+∞
± = ∈ ∈
⋅
≠ ⇒ = ⋅
< <⋅ =
+∞ > ≠
+ =
∑
∑
1 R N
2
3
4
5
0, za 1;
1, za 1;
, za 1.
. lim 1, za svaki 0.
. lim 1.
n
n
n
n
a
a
a
a a
n
→+∞
→+∞
<
= =
+∞ >
= >
=
6
7
5.9. Granične vrijednosti (limesi) funkcije
Neka je f realna funkcija definirana na intervalu ⟨a, b⟩ osim možda u točki c ∈ ⟨a, b⟩. Ako za
svaki strogo rastući niz (xn) ⊆ ⟨a, b⟩ takav da je lim
nn
x c→+∞
= niz ( ( ))n
f x ima graničnu
vrijednost L1 ∈ R, kaže se da je L1 granična vrijednost (limes) slijeva funkcije f u točki c. Piše
se: 1
lim ( ).x c
L f x→ −
=
Ako za svaki strogo padajući niz (xn) ⊆ ⟨a, b⟩ takav da je limn
nx c
→+∞= niz ( ( ))
nf x ima
graničnu vrijednost L2 ∈ R, kaže se da je L2 granična vrijednost (limes) zdesna funkcije f u
točki c. Pišemo: 2 lim ( ).
x cL f x
→ +=
Ako vrijedi jednakost L1 = L
2 =: L, kaže se da funkcija f ima (obostranu) graničnu vrijednost
((obostrani) limes) L u točki c. Piše se: lim ( ).x c
L f x→
=
Niz ( ( ))n
f x iz gornjih definicija može biti i divergentan. Ako je ( ( ))n
f x strogo padajući
divergentan niz, dogovorno se piše: lim ( )x c
f x→ −
= −∞ (odnosno, lim ( )x c
f x→ +
= −∞ i
lim ( )x c
f x→
= −∞ ). Ako je ( ( ))n
f x strogo rastući divergentan niz, dogovorno se piše:
lim ( )x c
f x→ −
= +∞ (odnosno, lim ( )x c
f x→ +
= +∞ i lim ( )x c
f x→
= +∞ ).
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 27
Pri računanju graničnih vrijednosti funkcije primjenjuju se ista pravila kao i kod računanja
granične vrijednosti niza. Ako su f i g funkcije čije su granične vrijednosti (slijeva, zdesna ili
obostrane) u točki c redom jednake L1 i L
2, pri čemu su L
1, L
2 ∈ R,
11 tada vrijede sljedeće
jednakosti:
[ ]
[ ]
{ } [ ]( )1
1 2
1 2
12
2
1 1
( )
. lim ( ) ( ) .
. lim ( ) ( ) .
( ). ( 0) lim .
( )
. ( ( ) 0 za svaki , \ i 0) lim ( ) ( ) , za svaki .
. lim , za svaki 0.
x c
x c
x c
c c
x c
Lf x
x c
f x g x L L
f x g x L L
Lf xL
g x L
f x x a b c L f x L c
a a a
→
→
→
→
→
± = ±
⋅ = ⋅
≠ ⇒ =
> ∈ > ⇒ = ∈
= >
1
2
3
4 R
5
Neka svojstva graničnih vrijednosti funkcije12
:
1.) Za bilo koju realnu funkciju g definiranu na intervalu ⟨a, b⟩ (uključivo i točku
c ∈ ⟨a, b⟩) vrijedi: [ ]( )
lim ( ) lim ( )x c t g c
f x f g t→ →
= .
2.) Ako je 1
lim ( ) 0x c
f x L→
= > i 2
lim ( )x c
g x L→
= , pri čemu su L1, L
2 ∈ R, onda je
2( )
1lim ( ) ( )Lg x
x cf x L
→ = .
3.) Ako je lim ( ) 0x c
f x L→
= > i g bilo koja realna funkcija neprekidna13 u točki c, onda je:
[ ]lim ( )( ) lim ( ) ( )x c x c
g f x g f x g L→ →
= =
� .
4.) Ako je lim ( ) 1x c
f x→
= i lim ( )x c
g x→
= +∞ , onda je [ ]{ }lim ( ) 1 ( )
( )lim ( ) x cf x g x
g x
x cf x e →
− ⋅
→ = .
11 L1 i L2 moraju biti „konkretni“ realni brojevi, odnosno nijedan od njih ne može biti jednak +∞ ili –∞. 12 Sva navedena svojstva vrijede za sva tri tipa granične vrijednosti (slijeva, zdesna i obostrano). Iz tehničkih razloga navedena su samo svojstva za obostrane granične vrijednosti. 13 O neprekidnim funkcijama vidjeti točku 5.10., stranica 29.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 28
Neke karakteristične jednostrane i obostrane granične vrijednosti funkcija:
0
1
0
0
. lim 0, za svaki .
. lim , za svaki .
. lim ( ) , za svaki 0.
. lim .
. lim 1 lim(1 ) .
1 ln. lim , za svaki i svaki
nx
nx
x
x
x
ax
x x
x
x
an
x
an
x
a x a
a
x
aa x e
x
a aa b
b x b
+
→±∞
−
→+∞
→±∞
→ ±
→+∞ →
+
→
= ∈
= +∞ ∈
⋅ = ±∞ ≠
= ±∞
+ = + ⋅ =
−= ∈ ≠
⋅
1 R
2 R
3
4
5
6 R
0
0 0
2 2
0
0.
ln(1 ). lim , za svaki 0.
sin( ). lim lim , za svaki 0.
sin( )
sin( ). lim 0, za svaki 0.
. lim tg , lim tg .
. lim ctg , lim
x
x x
x
x x
x
a x ab
b x b
a x a x ab
b x b x b
a xb
b x
x x
x
π π
→
→ →
→±∞
→ − → +
→ −
+ ⋅= ≠
⋅
⋅ ⋅= = ≠
⋅ ⋅
⋅= ≠
⋅
= +∞ = −∞
= −∞
7
8
9
10
110
0
ctg .
. lim arctg , lim arctg .2 2
. lim arcctg , lim arcctg 0, lim arcctg .2
0, za svaki 1;0, za svaki 0, 1 ;. lim lim
, za svaki 1;
x
x x
x x x
x x
x x
x
x x
x x x
aaa a
a
π π
ππ
→ +
→−∞ →+∞
→−∞ →+∞ →
→+∞ →−∞
= +∞
= − =
= = =
> ∈= =
++∞ >
12
13
14 , za svaki 0, 1 .
. lim lim 0.
. lim th lim cth 1, lim th lim cth 1.
. lim arcth 0.
x x
x x
x x x x
x
a
e e
x x x x
x
−
→−∞ →+∞
→−∞ →−∞ →+∞ →+∞
→±∞
∞ ∈
= =
= = − = =
=
15
16
17
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 29
5.10. Neprekidne funkcije
Neka su ⟨a, b⟩ ⊂ R, f : ⟨a, b⟩ → R i c ∈ ⟨a, b⟩14. Funkcija f je neprekidna u točki c ako
vrijedi: lim ( ) lim ( ) ( )x c x c
f x f x f c→ − → +
= = , odnosno ekvivalentno lim ( ) ( )x c
f x f c→
= .
Funkcija f ima prekid u točki c ako nije neprekidna u točki c. Svaka funkcija može biti (ne)prekidna isključivo u onim točkama u kojima je definirana. (U ostalim točkama f nije niti
prekidna niti neprekidna.)
Funkcija f je neprekidna na skupu S ⊆ R ako je neprekidna za svaki x ∈ S.
Ako je S = [a, b⟩, onda je f neprekidna na S ako je istovremeno f neprekidna na ⟨a, b⟩ i
lim ( ) ( )x a
f x f a→ +
= .
Ako je S = ⟨a, b], onda je f neprekidna na S ako je istovremeno f neprekidna na ⟨a, b⟩ i
lim ( ) ( )x b
f x f b→ −
= .
Ako je S = [a, b], onda je f neprekidna na S ako je istovremeno f neprekidna na ⟨a, b⟩, lim ( ) ( ) i lim ( ) ( )x a x b
f x f a f x f b→ + → −
= = .
Sve elementarne funkcije (polinomi, (ne)prava racionalna funkcija, eksponencijalna i logaritamska funkcija, trigonometrijske i ciklometrijske funkcije, hiperbolne i area funkcije
itd.) neprekidne su na svojim prirodnim područjima definicije (domenama).
Neka svojstva neprekidnih funkcija:
1.) Neka su f i g funkcije neprekidne u točki c i neka je α ∈ R. Tada su i funkcije f ± g,
f ⋅ g i α ⋅ f neprekidne u točki c. 2.) Neka su f i g funkcije takve da je g neprekidna u točki c, a f neprekidna u točki g(c).
Tada je i funkcija f � g neprekidna u točki c.
Neka svojstva funkcija neprekidnih na segmentu:
Neka je f funkcija neprekidna na [a, b] ⊂ R.
1.) Postoje jedinstveni m, M ∈ R takvi da za svaki x ∈ [a, b] vrijedi: m ≤ f (x) ≤ M.
(Ekvivalentno, f na segmentu poprima najmanju i najveću vrijednost.)
2.) Za svaki y ∈ [m, M] postoji barem jedan x ∈ [a, b] takav da je y = f (x).
3.) Ako je f (a) ⋅ f (b) < 0, tada postoji barem jedan c ∈ ⟨a, b⟩ takav da je f (c) = 0.
(Ekvivalentno, ako vrijednosti funkcije f na krajevima segmenta [a, b] imaju različite
predznake, onda f ima nultočku u intervalu ⟨a, b⟩.)
14 Umjesto intervala ⟨a, b⟩ mogu se uzeti i intervali ⟨a, +∞⟩ i ⟨–∞, b⟩, kao i cijeli skup R.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 30
6. OSNOVE DIFERENCIJALNOGA RAČUNA
Neka su ⟨a, b⟩ ⊂ R, f : ⟨a, b⟩ → R i c ∈ ⟨a, b⟩.15 Ako postoji granična vrijednost
( ) ( ): lim
x c
f x f cL
x c→
−=
−, kaže se da f ima derivaciju u točki c i pišemo '( ) :f c L= . Vrijednost
derivacije funkcije u točki c geometrijski se interpretira kao koeficijent smjera tangente
povučene na graf funkcije f u točki ( , ( ))T c f c= .
Kaže se da je funkcija f derivabilna na ⟨a, b⟩ ako f ima derivaciju u svakoj točki c ∈ ⟨a, b⟩.
Derivacija funkcije f je pridruživanje koje svakom realnom broju c ∈ ⟨a, b⟩ pridružuje realan
broj '( )f c . Derivacija funkcije može se definirati i izrazom 0
( ) ( )'( ) : lim
x
f x x f xf x
x∆ →
+ ∆ −=
∆.
Domena funkcije 'f je uvijek podskup domene funkcije f.
Osnovna pravila za deriviranje: Neka su f i g funkcije derivabilne na ⟨a, b⟩ i neka je c ∈ R.
Tada vrijedi:
1. (c ⋅ f )' = c ⋅ f '; 2. (f ± g)' = f ' ± g';
3. (f ⋅ g)' = f ' ⋅ g + f ⋅ g';
4.
'
2
' 'f f g f g
g g
⋅ − ⋅=
i posebno
'
2
1 'g
g g
= −
;
5. [(f ◦ g)]' = (f '◦ g) · g' i posebno ( )'
1
1
1
'f
f f
−
−=�
.
Deriviranje implicitno zadane funkcije f (x, y) = 0:
– Članovi koji sadrže samo varijablu x deriviraju se „obično“ po toj varijabli (tj. kao
funkcije varijable x).
– Članovi koji sadrže varijablu y deriviraju se prema gornjim pravilima smatrajući da je
y = y(x) funkcija varijable x. Iz tako dobivenoga izraza treba izraziti y'.
Logaritamsko deriviranje: Za funkciju [ ]
( )( )
g xy f x= vrijedi:
[ ] [ ]( ) ( ) '( )
' ( ) '( ) ln ( )( )
g x g x f xy f x g x f x
f x
⋅= ⋅ ⋅ +
.
Derivacija parametarski zadane funkcije: Ako je funkcija y = y(x) zadana parametarski s
1
2
( ),
( ),
x f t
y f t
=
=, onda je
15Umjesto intervala ⟨a, b⟩ mogu se uzeti i intervali ⟨a, +∞⟩ i ⟨–∞, b⟩ , kao i cijeli skup R.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 31
'
2
'
1
( )'
( )
f ty
f t= .
Jednadžba tangente povučene na ravninsku krivulju y = f (x) u točki ( , ( ))T TT x f x= glasi:
[ ]... '( ) ( ) '( ) .T T T Tt y f x x f x f x x= ⋅ + − ⋅
Duljina navedene tangente jednaka je udaljenosti točke T (dirališta tangente) od sjecišta
tangente t s osi apscisa (osi x).
Jednadžba normale povučene na ravninsku krivulju y = f (x) u točki ( , ( ))T T
T x f x= glasi:
1 1... ( ) .
'( ) '( )T T
T T
n y x f x xf x f x
= − ⋅ + + ⋅
Duljina navedene normale jednaka je udaljenosti točke T od sjecišta normale n s osi apscisa
(osi x).
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 32
6.1. Tablica derivacija elementarnih funkcija
Oznake: c – realna konstanta, ∅ – prazan skup.
f domena (Df ) kodomena (K
f ) skup svih nultočaka (N
f ) 'f
a R {a} ∅ 0
x R R {0} 1
xn, za n ∈ N R [0, +∞⟩ {0} n ⋅ xn – 1
2 n x⋅ ,
za n ∈ N
[0, +∞⟩ [0, +∞⟩ {0} 1 2
21
2
n
nxn
− ⋅
⋅⋅⋅
2 1n x⋅ − ,
za n ∈ N
R R {0} 2
2 11
2 1
n
nxn
− ⋅
⋅ +⋅⋅ +
xq, q ∈ R \ N R
+ R
+ ∅ q ⋅ xq – 1
ex
R R+
∅ ex
ax,
za a > 0, a ≠ 1
R
R+
∅ 1
ln
xa
a⋅
ln x
R+
R
{1} 1
x
logax,
za a > 0, a ≠ 1
R+
R
{1} 1
(ln )a x⋅
sin x R [–1, 1] {k ⋅ π : k ∈ Z} cos x
cos x
R
[–1, 1] (2 1) :2
k kπ
⋅ + ⋅ ∈
Z
–sin x
tg x \ (2 1) :
2k k
π ⋅ ⋅ + ∈
R Z
R
{k ⋅ π : k ∈ Z} 2
1
cos x
ctg x
R \ {k ⋅ π : k ∈ Z}
R (2 1) :2
k kπ
⋅ + ⋅ ∈
Z 2
1
sin x−
arcsin x
[–1, 1] , 2 2
π π −
{0} 2
1
1 x−
arccos x
[–1, 1]
[0, π]
{1} –2
1
1 x−
arctg x
R , 2 2
π π−
{0} 2
1
1 x+
arcctg x
R
⟨0, π⟩ 2
π
–2
1
1 x+
sh x R R {0} ch x
ch x R [1, +∞⟩ ∅ sh x
th x
R
⟨–1, 1⟩
{0} 2
1
ch x
cth x
R \{0}
R \ [–1, 1]
∅ 2
1
sh x−
arsh x
R
R
{0} 2
1
1x +
arch x
[1, +∞⟩
[0, +∞⟩
{1} 2
1
1x −
arth x
⟨–1, 1⟩
R
{0} 2
1
1 x−
arcth x
R \ [–1, 1]
R \{0}
∅ 2
1
1 x−
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 33
6.2. Lokalni i globalni ekstremi
Neka je f realna funkcija definirana i neprekidna na I = ⟨a, b⟩ ⊂ R16
. f ima strogi lokalni
minimum u točki c ∈ I ako postoji otvoreni interval ⟨č, ć⟩ ⊆ I takav da je c ∈ ⟨č, ć⟩ i takav da
za svaki x ∈ ⟨č, ć⟩ vrijedi f (x) > f(c).
f ima strogi lokalni maksimum u točki c ∈ I ako postoji otvoreni interval ⟨č, ć⟩ ⊆ I takav da je
c ∈ ⟨č, ć⟩ i takav da za svaki x ∈ ⟨č, ć⟩ vrijedi f (x) < f(c).
Strogi lokalni minimum i strogi lokalni maksimum jednim imenom nazivaju se strogi lokalni
ekstremi.
Realna funkcija f : X → Y ima strogi globalni minimum u točki c ∈ X ako za svaki x ∈ X
vrijedi f (x) > f(c). f ima strogi globalni maksimum u točki d ∈ X ako za svaki x ∈ X vrijedi
f (x) < f(d). Strogi globalni minimum i strogi globalni maksimum jednim imenom nazivamo
strogi globalni ekstremi.17
Stacionarna točka funkcije f je svaka nultočka funkcije 'f . Svaki strogi lokalni ekstem je
stacionarna točka, ali neka stacionarna točka ne mora biti strogi lokalni ekstrem.
f ''–test za odreñivanje strogih lokalnih ekstrema na intervalu I = ⟨a, b⟩18:
Neka je f realna funkcija definirana i dva puta derivabilna na intervalu I.
Korak 1. Odrediti pravilo funkcije 'f .
Korak 2. Odrediti pravilo funkcije '' : ( ') '.f f=
Korak 3. Odrediti sve nultočke funkcije 'f koje pripadaju intervalu I.
Korak 4. Za svaku nultočku x0 dobivenu u Koraku 3. odrediti predznak vrijednosti 0''( )f x .
Korak 5. Ako je 0
''( ) 0f x > , onda f u točki x0 ima strogi lokalni minimum.
Ako je 0''( ) 0f x < , onda f u točki x0 ima strogi lokalni maksimum.
Ako je 0
''( ) 0f x = , treba ispitati postoji li derivacija parnoga reda19 (četvrta, šesta, osma, …)
za koju je pripadna vrijednost u točki x0 različita od nule, pa primijeniti zaključivanje
analogno onom za drugu derivaciju. Ako takva derivacija ne postoji, x0 nije strogi lokalni
ekstrem.
Kraj algoritma.
Odreñivanje globalnih ekstrema funkcije definirane na segmentu I = [a, b]:
Korak 1. Odrediti 'f .
Korak 2. Odrediti sve nultočke funkcije 'f koje pripadaju segmentu I.
Korak 3. Za svaku nultočku x0 dobivenu u Koraku 2. izračunati
0( )f x .
16 U obzir dolaze i slučajevi kad je f neprekidna na R ili na ⟨a, +∞⟩ ili na ⟨–∞, b⟩. 17 Riječ strogi može se izostaviti u „običnom“ govoru, pa se najčešće govori „lokalni minimum“, „lokalni maksimum“ itd. 18 Test je valjan i ako je I unija konačno mnogo otvorenih intervala. 19 O derivacijama višega reda vidjeti točku 6.5., stranica 35.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 34
Korak 4. Izračunati f (a) i f (b).
Korak 5. Meñu svim vrijednostima izračunatim u Koraku 3. i Koraku 4. odrediti najmanju, odnosno najveću. Najmanja vrijednost je globalni minimum, a najveća globalni maksimum.
Kraj algoritma.
Odreñivanje intervala monotonosti i strogih lokalnih ekstrema funkcije f:
Neka je f realna funkcija definirana i derivabilna na intervalu I = ⟨a, b⟩20.
Korak 1. Odrediti 'f .
Korak 2. Odrediti sve nultočke funkcije 'f koje pripadaju intervalu I.21
Korak 3. Neka su x1,… x
n sve nultočke dobivene u Koraku 2. označene tako da vrijede
nejednakosti a =: x0 < x1 < … < x
n < x
n + 1 := b. Navedenim točkama podijeliti interval I na
točno n + 1 dijelova.
Korak 5. Iz svakoga dijela dobivenoga u Koraku 4. odabrati točno jednu točku. Neka su te točke redom t
1, …, t
n + 1.
Korak 6. Za svaki k ∈ [n + 1] odrediti predznak broja '( )kf t .
Ako je '( ) 0k
f t > , onda f strogo raste na intervalu ⟨xk – 1
, xk⟩.
Ako je '( ) 0kf t < , onda f strogo pada na intervalu ⟨xk – 1
, xk⟩.
Korak 7. Za svaki k ∈ [n]:
1.) ako 'f mijenja predznak prigodom prijelaza iz intervala ⟨xk – 1
, xk⟩ u interval
⟨xk , xk + 1
⟩, i to iz – u +, onda f ima strogi lokalni minimum u točki xk;
2.) ako 'f mijenja predznak prigodom prijelaza iz intervala ⟨xk – 1
, xk⟩ u interval
⟨xk , xk + 1
⟩, i to iz + u –, onda f ima strogi lokalni maksimum u točki xk;
3.) ako 'f ne mijenja predznak prigodom prijelaza iz intervala ⟨xk – 1
, xk⟩ u interval
⟨xk , xk + 1
⟩, onda f nema strogi lokalni ekstrem u točki xk.
6.3. Neki osnovni poučci diferencijalnoga računa
Fermatov poučak: Neka je f realna funkcija definirana na skupu I ⊆ R. Ako f ima strogi
lokalni minimum u točki c1 ∈ I ili strogi lokalni maksimum u točki c
2 ∈ I, te ako postoje
derivacije 1
'( )f c i 2
'( )f c , tada je 1 2
'( ) '( ) 0f c f c= = . (Ekvivalentno: Ako funkcija f postiže
strogi lokalni ekstrem za x = c, onda ili vrijedi '( ) 0f c = ili f nema derivaciju u točki c.)
Rolleov poučak: Neka je f realna funkcija neprekidna na [a, b] ⊂ R. Ako je f derivabilna na
⟨a, b⟩ i ako je f (a) = f (b), tada postoji barem jedan c ∈ ⟨a, b⟩ takav da je '( ) 0f c = .
20 Dozvoljavaju se slučajevi a = –∞ ili b = +∞, I = R, te slučaj kada je I unija konačno mnogo otvorenih
intervala. 21 Na ovaj korak treba naročito pripaziti ako su i 'f f suženja funkcija koje su inače definirane i derivabilne na
nadskupu intervala I.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 35
Cauchyjev poučak o srednjoj vrijednosti: Neka su f i g realne funkcije neprekidne na [a, b] i
derivabilne na ⟨a, b⟩. Ako za svaki x ∈ ⟨a, b⟩ vrijedi '( ) 0g x ≠ , tada postoji barem jedan
c ∈ ⟨a, b⟩ takav da vrijedi ( ) ( ) '( )
( ) ( ) '( )
f b f a f c
g b g a g c
−=
−.
Lagrangeov poučak o srednjoj vrijednosti: Neka je f realna funkcija neprekidna na [a, b] i
derivabilna na ⟨a, b⟩. Tada postoji barem jedan c ∈ ⟨a, b⟩ takav da vrijedi
( ) ( )'( )
f b f af c
b a
−=
−. (Ekvivalentno: Ako je f neprekidna na [a, b] i derivabilna na ⟨a, b⟩, tada
postoji barem jedan c ∈ ⟨a, b⟩ takav da je tangenta povučena na graf funkcije f u točki ( , ( ))C c f c= usporedna s pravcem kroz točke ( , ( ))A a f a= i ( , ( ))B b f b= .)
6.4. L'Hôpital–Bernoullijevo pravilo
Neka je c ∈ ⟨a, b⟩ ⊂ R. Neka su f i g funkcije derivabilne na ⟨a, b⟩ \ {c} takve da istodobno
vrijedi lim ( ) lim ( ) 0x c x c
f x g x→ →
= = 22 i g'(x) ≠ 0 za svaki x ∈ ⟨c, d⟩ \ {a}. Ako postoji
'( ): lim
'( )x c
f xL
g x→= , onda je i
( )lim
( )x c
f xL
g x→= .
Pomoću ovoga pravila, a uz primjenu odgovarajućih algebarskih transformacija, moguće je
izračunati i granične vrijednosti oblika 0 ⋅ ±∞, 0±∞, 1
±∞ itd.
U odreñenim slučajevima ovo je pravilo moguće primijeniti i višekratno, ali uvijek
provjeravajući jesu li ispunjene pretpostavke uz koje je moguće primijeniti pravilo.
6.5. Derivacije višega reda
Derivacija reda n induktivno se definira s
'( ) ( 1):n n
f f− = , za svaki n ∈ N,
pri čemu je dogovorno (0) :f f= . Praktično se derivacija reda n dobije n-strukim deriviranjem
polazne funkcije f.
U općem je slučaju derivaciju reda n nemoguće odrediti eksplicitnim pravilom.
U nekim je slučajevima podesno primijeniti Leibnizovu formulu:
( ) ( ) ( )
0
( )n
n n k k
k
nf g f g
k
−
=
⋅ = ⋅ ⋅
∑ .
22 Umjesto c i/ili 0 može se uzeti i ±∞.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 36
U toj su formuli n, k ∈ N, k! := 1 ⋅ … ⋅ k = umnožak prvih k prirodnih brojeva23
i
... ( 1):
!
n n n k
k k
⋅ ⋅ − +=
= binomni koeficijent.
Neke karakteristične derivacije višega reda pregledno su navedene u sljedećoj tablici. Pritom
su a, b ∈ R i m, n ∈ N konstante.
f ( )nf
xm
( ) –– 1 , za ;
0, za
m nm m n x m n
m n
⋅…⋅ + ⋅ ≥
<
a x b⋅ + 111 2
1
( 1) (2 1) ;2
n nn
n
k
ak x
− −−
=
− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
∏
1
a x b⋅ +
1
( 1) !
( )
n n
n
n a
a x b+
− ⋅ ⋅
⋅ +
ea ⋅ x + b
an ⋅ ea ⋅ x + b
ax
ax ⋅ (ln a)
n
ln(a ⋅ x + b)
1( 1) ( 1)!
( )
n n
n
n a
a x b
−− ⋅ − ⋅
⋅ +
sin(a ⋅ x + b) sin
2
na a x b n
π ⋅ ⋅ + + ⋅
f ( )nf
cos(a ⋅ x + b) cos
2
na a x b nπ
⋅ ⋅ + + ⋅
sh(a ⋅ x + b) sh( ), za parne ;
ch( ), za neparne .
na x b n
aa x b n
⋅ + ∈⋅
⋅ + ∈
N
N
ch(a ⋅ x + b) sh( ), za neparne ,
ch( ), za parne .
na x b n
aa x b n
⋅ + ∈⋅
⋅ + ∈
N
N
6.6. Diferencijal funkcije
Diferencijal funkcije y (oznaka: dy ) je linearna aproksimacija prirasta te funkcije u okolini
neke njezine točke. Definiran je formulom:
dy = y ' ⋅ ∆x (ili, ekvivalentno, dy = y' ⋅ dx) ,
gdje su ∆x prirast varijable x i dx diferencijal varijable x.
Funkciju koja ima diferencijal nazivamo diferencijabilnom.
23
Oznaku k! treba čitati „ka faktorijela“. Dogovorno se uzima 0! = 1.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 37
Neka svojstva diferencijala: Za diferencijabilne funkcije f i g vrijede sljedeće jednakosti.
2
. d 0, za svaki ;
. d( ) d d ;
. d( ) d d ;
d d. d (uz uvjet ( ) 0).
C C
f g f g
f g f g f g
f f g f gg x
g g
= ∈
± = ±
⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ − ⋅= ≠
1 R
2
3
4
6.7. Konveksnost i konkavnost funkcije
Neka je I ⊆ R otvoreni interval i neka je f : I → R. f je strogo konveksna na intervalu I ako za
sve x1, x
2 ∈ I vrijedi implikacija: (x1 < x2) ⇒ 1 2 1 2( ) ( )
2 2
x x f x f xf
+ + <
.
Ako je f derivabilna i strogo konveksna na I, te ako je c ∈ I, onda se tangenta povučena na
graf funkcije f u točki ( , ( ))T c f c= nalazi ispod toga grafa.
Neka je f derivabilna na I. Tada je f strogo konveksna na I ako i samo ako je 'f strogo
rastuća funkcija na I.
Funkcija f je strogo konkavna na intervalu I ako za sve x1, x
2 ∈ I vrijedi implikacija:
(x1 < x2) ⇒ 1 2 1 2( ) ( )
2 2
x x f x f xf
+ + >
.
Ako je f derivabilna i strogo konkavna na I, te ako je c ∈ I, onda se tangenta povučena na graf funkcije f u točki ( , ( ))T c f c= nalazi iznad toga grafa.
Neka je f derivabilna na I. Tada je f strogo konkavna na I ako i samo ako je 'f strogo
padajuća na I.
Točka ( , ( ))T c f c= je prijevojna točka (točka infleksije) grafa funkcije f ako postoji strogo
pozitivan realan broj ε takav da je funkcija f konveksna/konkavna na intervalu ⟨c – ε, c⟩, a
konkavna/konveksna na intervalu ⟨c, c + ε⟩.
Odreñivanje prijevojne točke i intervala konveksnosti/konkavnosti funkcije f:
Neka je funkcija f definirana i dvaput derivabilna na intervalu I.24
Korak 1. Odrediti pravilo funkcije ''f .
Korak 2. Odrediti sve nultočke funkcije ''f koje pripadaju intervalu I.25
24
U obzir dolaze i slučaj kad je I unija konačno mnogo otvorenih intervala. 25 Na ovaj korak treba naročito pripaziti ako su i ''f f suženja funkcija koje su inače definirane i derivabilne na
nadskupu intervala I.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 38
Korak 3. Neka su x1, …, x
n sve nultočke dobivene u Koraku 2. označene tako da vrijede
nejednakosti a =: x0 < x
1 < … < x
n < x
n + 1 := b. Navedenim točkama podijeliti interval I na
točno n + 1 dijelova.
Korak 4. Iz svakoga dijela dobivenoga u Koraku 3. odabrati po jednu točku. Neka su te točke redom t
1, …, t
n + 1.
Korak 5. Za svaki k ∈ [n + 1] odrediti predznak broja ''( )kf t .
Ako je ''( ) 0k
f t > , funkcija f je konveksna na intervalu ⟨xk – 1
, xk⟩.
Ako je ''( ) 0kf t > , funkcija f je konkavna na intervalu ⟨xk – 1
, xk⟩.
Korak 6. Za svaki k ∈ [n]:
1.) ako ''f mijenja predznak prigodom prijelaza iz intervala ⟨xk – 1
, xk⟩ u interval
⟨xk , xk + 1
⟩, onda je ( , ( ))k k kT x f x= prijevojna točka grafa funkcije f;
2.) ako ''f ne mijenja predznak prigodom prijelaza iz intervala ⟨xk – 1
, xk⟩ u interval
⟨xk , xk + 1
⟩, onda ( , ( ))k k k
T x f x= nije prijevojna točka grafa funkcije f.
Kraj algoritma.
6.8. Asimptote na graf realne funkcije
Neka je f realna funkcija. Pravac p je asimptota na graf Γ funkcije f ako udaljenost izmeñu p i
točke T ∈ Γ teži prema nuli čim se točka T beskonačno udaljava od ishodišta pravokutnoga
koordinatnoga sustava u ravnini.
Razlikujemo dvije vrste asimptota: uspravne (vertikalne) i kose.
Pravac čija je jednadžba x = c je uspravna asimptota na graf funkcije f ako vrijedi jednakost
lim ( )x c
f x→ +
= ±∞ ili jednakost lim ( )x c
f x→ −
= ±∞ .
Tipičan primjer uspravne asimptote je asimptota koja prolazi neuklonjivim polom racionalne
funkcije.
Kose asimptote mogu biti lijeve i desne.
Lijeve kose asimptote na graf funkcije f su pravci čije jednadžbe imaju oblik y = k ⋅ x + l, gdje
su k i l realni brojevi odreñeni izrazima:
[ ]
( )lim ,
lim ( ) .
x
x
f xk
x
l f x k x
→−∞
→−∞
=
= − ⋅
Ako je k = 0, govori se o lijevoj vodoravnoj asimptoti. Ta asimptota je pravac čija jednadžba
ima oblik y = l.
Desne kose asimptote na graf funkcije f su pravci čije jednadžbe imaju oblik y = k ⋅ x + l, gdje su k i l realni brojevi odreñeni izrazima:
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 39
[ ]
( )lim ,
lim ( ) .
x
x
f xk
x
l f x k x
→+∞
→+∞
=
= − ⋅
Ako je k = 0, govori se o desnoj vodoravnoj asimptoti. Ta asimptota je pravac čija jednadžba
ima oblik y = l.
Ako se lijeva kosa asimptota podudara s desnom kosom asimptotom, govori se o (obostranoj)
kosoj asimptoti. Posebno, ako se lijeva vodoravna asimptota podudara s desnom vodoravnom
asimptotom, govori se o (obostranoj) kosoj asimptoti.
6.9. Ispitivanje tijeka funkcije
Obuhvaća odreñivanje sljedećih podataka:
1.) prirodno područje definicije; 2.) nultočke;
3.) sjecište grafa funkcije s osi ordinata;
4.) točke prekida (polovi) funkcije, njihovi redovi i uklonjivost;
5.) (ne)parnost i periodičnost funkcije;
6.) intervali monotonosti;
7.) strogi lokalni (eventualno i globalni) ekstremi;
8.) intervali konveksnosti i konkavnosti;
9.) prijevojne točke;
10.) asimptote;
11.) konstruiranje grafa funkcije f na temelju prethodnih podataka.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 40
7. DODATAK
7.1. Formule iz algebre
Osnovni algebarski identiteti:
1. (x ± y)2 = x
2 ± 2 ⋅ x ⋅ y + y
2.
2. (x ± y)3 = x
3 ± 3 ⋅ x2
⋅ y + 3 ⋅ x ⋅ y2 ± y
3.
3. (x – y) ⋅ (x + y) = x2 – y2.
4. x3 ± y
3 = (x ± y) ⋅ (x2
∓ x ⋅ y + y2).
Potencije imaginarne jedinice: Za svaki k ∈ Z vrijedi:
i4 ⋅k
= 1, i4 ⋅k + 1
= i, i4 ⋅k + 2
= –1, i4 ⋅k + 3
= –i.
Osnovna svojstva eksponencijalne i logaritamske funkcije:
0. 1.
. .
1.
.
. ( ) .
. .
.
m n m n
n
n
mm n
n
m n m n
m
n m n
m n m n
a
a a a
aa
aa
a
a a
a a
a a
+
−
−
⋅
⋅
=
⋅ =
=
=
=
=
=
1
2
3
4
5
6
7
. log 1 0.
. log 1.
. log ( ) log log .
. log log log .
. log ( ) log .
1. log ( ) log .
log. log .
log
a
a
a a a
a a a
y
a a
n
a a
a
b
a
a
x y x y
xx y
y
x y x
x xn
xx
b
=
=
⋅ = +
= −
= ⋅
= ⋅
=
1
2
3
4
5
6
7
Formula za rješenja kvadratne jednadžbe a ⋅ x2 + b ⋅ x + c = 0:
2 2
1 2
4 4,
2 2
b b a c b b a cx x
a a
− + − ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅= =
⋅ ⋅.
Vièteove formule za rješenja kvadratne jednadžbe a ⋅ x2 + b ⋅ x + c = 0:
1 2 1 2, b c
x x x xa a
+ = − ⋅ = .
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 41
7.2. Formule iz planimetrije
Heronova formula za površinu trokuta sa stranicama a, b i c:
( ) ( ) ( ), 2
a b cP s s a s b s c s
+ += ⋅ − ⋅ − ⋅ − = .
Opseg i površina trokuta:
O = a + b + c,
1 1 1
2 2 2a b cP a v b v c v= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .
Opseg i površina usporednika (paralelograma):
O = 2 ⋅ (a + b),
P = a ⋅ b ⋅ sin ϕ,
pri čemu je ϕ kut izmeñu stranica a i b.
Opseg i površina kruga polumjera r:
O = 2 ⋅ r ⋅ π,
P = r2 ⋅ π.
Površina elipse s poluosima a i b:
P = a ⋅ b ⋅ π
7.3. Formule iz stereometrije
Oplošje i obujam kocke stranice a:
O = 6 ⋅ a2,
V = a3.
Oplošje i obujam kugle polumjera r:
2
3
4 ,
4.
3
O r
V r
π
π
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅;
Oplošje i obujam uspravne prizme:
O = 2 ⋅ B + P,
V = B ⋅ h,
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 42
pri čemu su B površina osnovke, P površina pobočja, a h visina prizme.
Oplošje i obujam uspravne piramide:
O = B + P,
V = 1
3B h⋅ ⋅ ,
pri čemu su B površina osnovke, P površina pobočja, a h visina piramide.
Oplošje i obujam uspravnoga kružnog valjka:
O = 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ (r + h),
V = r2 ⋅ π ⋅ h,
pri čemu su r polumjer osnovke i h visina valjka.
Oplošje i obujam uspravnoga kružnog stošca:
O = r ⋅ π ⋅ (r + s),
V = 1
3⋅ r2
⋅ π ⋅ h,
pri čemu su r polumjer osnovke, s duljina izvodnice stošca, a h visina stošca.
7.4. Formule iz analitičke geometrije u ravnini
Udaljenost točaka A = (xA, y
A) i B = (x
B, y
B):
2 2( , ) ( ) ( )A B A Bd A B x x y y= − + − .
Oblici jednadžbe pravca:
1.) eksplicitni: y = k ⋅ x + l , pri čemu su k koeficijent smjera i l odsječak na osi ordinata;
2.) implicitni: A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0;
3.) segmentni: 1x y
m n+ = ,
pri čemu su m odsječak na osi apscisa, n odsječak na osi ordinata.
Jednadžba pravca kroz točku T = (č, ć) s koeficijentom smjera k:
y = k ⋅ x + (ć – k ⋅ č).
Jednadžba pravca kroz točke T1 = (č, ć) i T2 = (š, ž):
( )ž ć
y x č ćš č
−= ⋅ − +
−.
Uvjet usporednosti pravaca p… y = k1 ⋅ x + l
1 i q… y = k
2 ⋅ x + l
2 : k1 = k2.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 43
Uvjet okomitosti pravaca p… y = k1 ⋅ x + l
1 i q… y = k
2 ⋅ x + l
2: k
1 ⋅ k
2 = –1.
Udaljenost točke T = (č, ć) od pravca p… A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0:
2 2( , )
A č B ć Cd T p
A B
⋅ + ⋅ +=
+.
Kut izmeñu pravaca p… y = k1 ⋅ x + l
1 i q… y = k
2 ⋅ x + l
2:
2 1
1 2
arctg1
k k
k kϕ
−=
+ ⋅.
Jednadžbe krivulja 2. reda:
1.) kružnica sa središtem u S = (p, q) i polumjerom r:
(x – p)2 + (y – q)
2 = r
2;
2.) elipsa s poluosima a i b, središtem u ishodištu pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini i osnosimetrična s obzirom na obje koordinatne osi :
b2 ⋅ x2 + a2 ⋅ y2 = a2 ⋅ b2 ili 2 2
2 21.
x y
a b+ =
3.) hiperbola s poluosima a i b osnosimetrična s obzirom na obje koordinatne osi:
b2 ⋅ x2
– a2 ⋅ y2
= a2 ⋅ b2
ili 2 2
2 21.
x y
a b− =
4.) parabola s parametrom p > 0, tjemenom u ishodištu pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini i osnosimetrična s obzirom na os apscisa:
y2 = 2 ⋅ p ⋅ x;
7.5. Formule iz trigonometrije26
Osnovni trigonometrijski identitet: cos2α + sin
2α = 1.
Trigonometrijske funkcije u pravokutnom trokutu:
sin cos , tg ctg ,
cos sin , ctg tg .
a a
c b
b b
c a
α β α β
α β α β
= = = =
= = = =
26
Sve oznake u trokutu su standardne.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 44
Izračunavanje svih vrijednosti trigonometrijskih funkcija pomoću vrijednosti jedne od njih:
funkcija sin x cos x tg x ctg x
sin x
–––––––––––
21 sin x± − 2
tg
1 tg
x
x±
+
2
1
1 ctg x±
+
cos x
21 cos x± −
––––––––––– 2
1
1 tg x±
+
2
ctg
1 ctg
x
x±
+
tg x 2
sin
1 sin
x
x±
−
21 cos
cos
x
x
−±
–––––––––– 1
ctg x
ctg x
21 sin
sin
x
x
−± 2
cos
1 cos
x
x±
−
1
tg x
–––––––––––
Osnovne ciklometrijske relacije:
( )( )
2
2 2
2 2
arcsin arccos arctg arcctg ,2
arcsin arccos 1 ,
arcsin arcsin arcsin 1 1 ,
arccos arccos arcsin 1 1 ,
arctg arctg arctg ,1
1arcctg arcctg arcctg .
x x x x
x x
x y x y y x
x y x y x y
x yx y
x y
x yx y
y x
π+ = + =
= −
± = ⋅ − ± ⋅ −
± = ⋅ − ⋅ −
±± =
⋅
⋅± =
±
∓
∓
∓
Točne vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih karakterističnih kutova (∞ := ne postoji)
kut (°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180
kut (rad.)
0 6
π
4
π
3
π
2
π
2
3π⋅
3
4π⋅
5
6π⋅
π
sin x
0
1
2 2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos x
1 3
2
2
2
1
2
0 1
2− 2
2−
3
2−
–1
tg x
0 3
3
1
3
∞
3−
–1 3
3−
0
ctg x
∞
3
1
3
3
0
3
3−
–1
3−
∞
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 45
kut (°) 210 225 240 270 300 315 330
kut (rad.) 7
6π⋅
5
4π⋅
4
3π⋅
3
2π⋅
5
3π⋅
7
4π⋅
11
6π⋅
sin x 1
2−
2
2−
3
2−
–1 3
2−
2
2−
1
2−
cos x 3
2−
2
2−
1
2−
0 1
2
2
2 3
2
tg x
3
3
1
3
∞
3−
–1
3
3−
ctg x
3
1 3
3
0 3
3−
–1
3−
Pretvorba stupnjeva u radijane: rad.180
x xπ
= ⋅�
Pretvorba radijana u stupnjeve: 180
rad.x xπ
= ⋅
�
.
Predznaci trigonometrijskih funkcija u pojedinim kvadrantima:
I II III IV
sin + + – –
cos + – – +
tg + – + –
ctg + – + –
Površina trokuta:
1 1 1sin sin sin
2 2 2P a b a c b cγ β α= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ .
Sinusov poučak:
2sin sin sin
a b cR
α β γ= = = ⋅
Kosinusov poučak:
a2 = b2 + c2 – 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α,
b2 = a
2 + c
2 – 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos β,
c2 = a
2 + b
2 – 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ.
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 46
Tangensov poučak:
tg2 ,
tg2
tg2 ,
tg2
tg2 .
tg2
a b
a b
b c
b c
c a
c a
α β
α β
β γ
β γ
γ α
γ α
++
=−−
++
=−−
++
=−−
Adicijske formule:
sin( ) sin cos cos sin ,
cos( ) cos cos sin sin ,
tg tg tg( ) ,
1 tg tg
ctg ctg 1ctg( ) .
ctg ctg
x y x y x y
x y x y x y
x yx y
x y
x yx y
y x
± = ⋅ ± ⋅
± = ⋅ ⋅
±± =
⋅
⋅± =
±
∓
∓
∓
Formule redukcije:
( ) ( )( ) ( )
sin cos , tg ctg ,2 2
cos sin , ctg tg ,2 2
sin sin , tg ctg ,
cos cos , ctg tg .
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
π π
π π
π π
π π
± = ± =
± = ± =
± = ± = ±
± = − ± = ±
∓
∓ ∓
∓
Formule za trigonometrijske funkcije dvostrukoga argumenta:
[ ]
[ ]
2
2
22 2 2
2
2
2
22
1 2 tg sin 1 cos(2 ) , sin(2 ) 2 sin cos ,
2 1 tg
1 1 tgcos 1 cos(2 ) , cos(2 ) cos sin ,
2 1 tg
1 cos(2 ) 2 tg tg , tg(2 ) ,
1 cos(2 ) 1 tg
1 cos(2 ) ctg 1ctg , ctg(2 )
1 cos(2 ) 2
xx x x x x
x
xx x x x x
x
x xx x
x x
x xx x
x
⋅= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
+
−= ⋅ + ⋅ ⋅ = − =
+
− ⋅ ⋅= ⋅ =
+ ⋅ −
+ ⋅ −= ⋅ =
− ⋅ ⋅
21 tg.
ctg 2 tg
x
x x
−=
⋅
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 47
Formule za trigonometrijske funkcije polovičnoga argumenta:
1 cos 1 cos 1 cos sinsin , tg ,
2 2 2 1 cos sin 1 cos
1 cos 1 cos 1 cos sincos ctg .
2 2 2 1 cos sin 1 cos
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
− − −= ± = ± = =
+ +
+ + += ± = ± = =
− −
Formule pretvorbe:
1.) umnoška trigonometrijskih funkcija u njihov zbroj:
[ ]
[ ]
[ ]
1sin cos sin( ) sin( ) ,
2
1cos cos cos( ) cos( ) ,
2
1sin sin cos( ) cos( ) .
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
⋅ = ⋅ + + −
⋅ = ⋅ + + −
⋅ = ⋅ − − +
2.) zbroja trigonometrijskih funkcija u njihov umnožak:
sin sin 2 sin cos ,2 2
sin sin 2 cos sin ,2 2
cos cos 2 cos cos ,2 2
cos cos 2 sin sin ,2 2
sin( )tg tg ,
cos cos
sin( )tg tg ,
cos cos
sin( )ctg ctg ,
sin sin
ct
x y x yx y
x y x yx y
x y x yx y
x y y xx y
x yx y
x y
x yx y
x y
x yx y
x y
+ −+ = ⋅ ⋅
+ −− = ⋅ ⋅
+ −+ = ⋅ ⋅
+ −− = ⋅ ⋅
++ =
⋅
−− =
⋅
++ =
⋅
sin( )g ctg .
sin sin
y xx y
x y
−− =
⋅
REPETITORIJ MATEMATIKE za studente stručnoga studija elektrotehnike – 1. dio
© B. Kovačić, L. Marohnić i T. Strmečki 48
Točne vrijednosti ciklometrijskih funkcija za neke karakteristične vrijednosti:
x arctg x arcctg x
–∞ 2
π−
π
3− –
3
π
5
6π⋅
–1 –
4
π
3
4π⋅
3
3− –
6
π
2
3π⋅
0
0 2
π
3
3
6
π
3
π
1
4
π
4
π
3
3
π
6
π
+∞ 2
π
0
x arcsin x arccos x
–1 2
π−
π
3
2−
3
π−
5
6π⋅
2
2−
4
π−
3
4π⋅
1
2−
6
π−
2
3π⋅
0
0 2
π
1
2
6
π
3
π
2
2
4
π
4
π
3
2
3
π
6
π
1 2
π
0
Top Related