ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji...
Transcript of ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji...
![Page 1: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/1.jpg)
ŠTEVILO PI
SANJA ZAMIDA
![Page 2: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/2.jpg)
ŠTEVILo PI π je enak razmerju med obsegom kroga in
njegovim premerom
π je matematična konstanta
π je ploščina kroga s polmerom 1
π imenujemo jo tudi Arhimedova
konstanta ali Ludolfovo število
![Page 3: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/3.jpg)
π je iracionalno št. (ne da se ga natančno zapisati kot razmerje dveh celih števil (Lambert, 1767)
je transcendentno št. (ne obstaja π je transcendentno št. (ne obstaja polinom s celimi (ali racionalnimi) koeficienti, katerega koren je π(Lindemann,1882)
![Page 4: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/4.jpg)
Zgodovina računanja decimalk
![Page 5: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/5.jpg)
Sumerci
π okrog 2000 let p. n. š. so uporabljali vrednost π=3
π ploščina kroga naj bi bila enaka 1/12 kvadrata njegovega obsegakvadrata njegovega obsega
![Page 6: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/6.jpg)
Egipčani
π 17. stoletje p. n. š.
π prvi ki so opazili da število 3 ne predstavlja tega razmerja,
π približek so dokazali z merjenjemπ približek so dokazali z merjenjem
Na Rhindovem papirusu je izračunana ploščina kroga
ki ima premer 9.
π Ploščina kroga je enaka ploščini osmerokotnika, ki ga dobimo, ko odrežemo kvadratu ABCD vogale.
![Page 7: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/7.jpg)
π Dobimo enakokrake trikotnike s
stranico 3.
π Ploščina celega kvadrata je
enaka 81
π Ploščina vseh štirih odrezkov je
enaka dvojni ploščini kvadrata s
stranico 3 (=18)stranico 3 (=18)
π Ploščina kroga p= π*81/4.
π Po Rhindovem papirusu naj bi bilo to enako 64, torej:
π= 3,16
![Page 8: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/8.jpg)
Grki π Vsako trditev so želeli dokazati, jih izvesti iz
nekaj osnovnih, očitnih resnic-aksiomov.
π Ploščine kroga se je lotil eden največjih umov antike – Arhimed (237-212 p.n.š)
ARHIMED
![Page 9: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/9.jpg)
π Imamo krog polmera a in vanj včrtan pravilni šestkotnik. šestkotnik.
π Obseg šestkotnika je nekoliko manjši kot obseg kroga. Enak je 6a.
π Če bi iz tega približka izračunali π, bi dobili prastarirezultat π = 3.
π Če vzamemo pravilni dvanajstkotnik, dobimo boljši rezultat, ki pa da za število π še vedno premajhno vrednost.
![Page 10: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/10.jpg)
π Arhimed je s včrtanim in očrtanim 24-kotnikom, 48-kotnikom in 96- kotnikom dobil zgornjo in spodnjo oceno za število π:
π Skoraj celih dvatisoč let se znanje
o številu π ni premaknilo bistveno
naprej od Arhimedovih spoznanj.
π V tem času so izračunali precej boljših približkov od Arhimedovih 22/7 , vendar je metoda računanja ostala njegova.
![Page 11: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/11.jpg)
π Od grških matematikov je velja omeniti še Ptolemeja (približno leta 150 p.n.š.).
π Za število π je dal približek 377/120, ki se ujema s pravo vrednostjo π= 3,1415926… že na štiridecimalke .decimalke .
![Page 12: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/12.jpg)
Rimljani - Srednji vek
π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo v Sredozemlju, niso dali matematiki ničesar novega.
π V srednjem veku so ploščino kroga tehtali.V srednjem veku so ploščino kroga tehtali.
π Nekateri učenjaki so z Biblijo v roki dokazovali, da je π = 3, saj je v Bibliji omenjeno starodavno obrtniško navodilo, da je obseg kroga tri krat večji od premera.
π Arabci so prevedli vsa pomembnejša dela (tudi Arhimeda), tako so se ta dela ohranila, saj so jih nato renesančni pisci Evrope prevedli v latinščino.
![Page 13: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/13.jpg)
Indijci
π Indijski matematik Aryabhata, je
izračunal vrednost 3,1416.
π Izvor rezultata ni povsem jasen, ali izhaja iz π Izvor rezultata ni povsem jasen, ali izhaja iz kakšnega neznanega grškega dela, ali pa ga je dobil po Arhimedovi metodi s pomočjo 384-kotnika.
π Indijski matematik Bhaskara (okrog leta 1150), je navedel približek 22/7 (Arhimed) in
![Page 14: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/14.jpg)
Kitajci
π Tudi Kitajci so se ukvarjali z obsegom in ploščino kvadrata.
π Li Hue je v tretjem stoletju po podobni poti kot Arhimed izračunal približek:kot Arhimed izračunal približek:
π Tus Čung Či (5. stoletje) je poznal število πna šest decimalk (3,1415926) in racionalni približek 335/113, ki je dober do šeste decimalke.
![Page 15: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/15.jpg)
Evropa
π Od Arabcev so prevedli klasična grška dela in originalne prispevke islamskih učenjakov.
π Leonardo Fibonaccij, je živel v 13. stoletju. π Leonardo Fibonaccij, je živel v 13. stoletju.
π Šel je po Arhimedovi poti in poiskal točnejše meje za število π, in dal
racionalni približek 864/275=3,1418
(pravilno se ujema na 3 decimalke)
![Page 16: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/16.jpg)
Francija
π V 16. stoletju, so matematiki iskali približek v obliki decimalnega števila in ne več v obliki ulomka.
π Po Arhimedovi metodi je Francois VietePo Arhimedovi metodi je Francois Vietenašel zgornjo in spodnjo mejo za število π. Obe meji sta se ujemali na
devet decimalk natančno
(π=3,141592653)
![Page 17: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/17.jpg)
Nizozemska
π Adriaen van Roomen je našel 15 točnih decimalk. Pri računanju si je pomagal s pravilnimi mnogokotniki z 230 stranicami (1073741824-kotnik).
π V začetku 17. stoletja je živel Ludolfvan Ceulen, ki je izračunal 35 decimalk, po Arhimedovi metodi, s pomočjo mnogokotnika z 262
stranicami.
![Page 18: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/18.jpg)
π Vsi so uporabljali Arhimedovo metodo in zapravljali cela leta za nekaj decimalk.
π Fizik Snell je našel znatno izboljšanje klasične metode za računanje, tako da je v krajšem času in z uporabo 230 -kotnika dobil van Ceulenovih 35 decimalk. decimalk.
![Page 19: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/19.jpg)
Škotska
π Škotski matematik James Gregory je leta 1671 našel neskončno vrsto za funkcijo arkustangens.
π S tem je bilo mogoče dosti lažje
in hitreje izračunati število π na
precejšnje število decimalk.
![Page 20: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/20.jpg)
Švicaπ S pomočjo te metode je tudi švicarski
matematik Leonhard Euler izračunal 128 decimalk (v manj kot 80 urah).
π Uvedel je tudi rabo simbola π za razmerje med obsegom in polmerom kroga. med obsegom in polmerom kroga.
π Pred tem so uporabljali π/δ.
(π= obseg, δ=premer)
![Page 21: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/21.jpg)
Jurij Vega
π Naš najbolj znani matematik.
π 1789 je Vega dosegel tedanji svetovni rekord in izračunal število π na 140 decimalk, od katerih pa decimalk, od katerih pa
zadnje štiri niso bile pravilne.
π Rekord je obdržal 52 let
do leta 1841.
![Page 22: ŠTEVILO PI - wiki.fmf.uni-lj.siwiki.fmf.uni-lj.si/images/e/ef/SteviloPI.pdf · Rimljani - Srednji vek π Rimljani, ki so za Grki prevzeli vodilno politično in gospodarsko vlogo](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012921/5e33c6abca39cf6aa01eb54a/html5/thumbnails/22.jpg)
KRATEK PREGLED