Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U...
-
Upload
vuonghuong -
Category
Documents
-
view
227 -
download
7
Transcript of Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U...
![Page 1: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Teori Statistika I (STK501) – S2 STK
Peubah Acak Ganda
(Bagian II)
Dr. Kusman Sadik, M.Si
Departemen Statistika IPB, 2017/2018
![Page 2: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Transformasi Peubah Acak Ganda : Diskret
![Page 3: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Contoh Kasus (1):
![Page 4: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/4.jpg)
4
![Page 5: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/5.jpg)
5
![Page 6: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Transformasi Peubah Acak Ganda : Kontinu
![Page 7: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Transformasi Peubah Acak Ganda : Kontinu
![Page 8: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U(0, 1),
sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dari
sebaran ini. Apabila didefinisikan Y1 = X1 + X2 dan
Y2 = X1 – X2, tentukan:
a. Fungsi kepekatan bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu
),( 21, 21yyf YY
.
b. Fungsi kepekatan marginal bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu
)( 11yfY
dan )( 22yfY
.
Contoh Kasus (2):
![Page 9: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Karena X U(0, 1), sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh
acak bebas dan identik dari sebaran ini maka fkp bersama
bagi X1 dan X2 adalah:
10dan 10 ;1)().(),( 212121, 2121 xxxfxfxxf XXXX
kemudian didefinisikan bahwa
y1 = h1(x1, x2) = x1 + x2
y2 = h2(x1, x2) = x1 x2
![Page 10: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/10.jpg)
10
y1 = h1(x1, x2) = x1 + x2
y2 = h2(x1, x2) = x1 x2
Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan
di atas, akan diperoleh persamaan berikut:
x1 = h1-1(y1, y2) = (y1 + y2)/2
x2 = h2-1(x1, x2) = (y1 y2)/2
x1/y1 = ½; x1/y2 = ½;
x2/y1 = ½; x2/y2 = -½;
![Page 11: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/11.jpg)
11
x1/y1 = ½; x1/y2 = ½;
x2/y1 = ½; x2/y2 = -½;
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
J
![Page 12: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 adalah
Tyy
yyyyf
Jyyhyyhfyyf
XX
XXYY
),( ;2
1
2
1).1(
2
1}.2/)(,2/){(
)}.,(),,({),(
21
2121,
21
1
221
1
1,21,
21
2121
Persoalan berikutnya adalah menentukan batas nilai bagi y1
dan y2 yaitu T,
![Page 13: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Untuk 0 < x1 < 1
0 < x1 < 1 0 < (y1 + y2)/2 < 1 0 < y1 + y2 < 2
0 < y1 + y2 dan y1 + y2 < 2
y2 > y1 dan y2 < 2 y1
Untuk 0 < x2 < 1
0 < x2 < 1 0 < (y1 y2)/2 < 1 0 < y1 y2 < 2
0 < y1 y2 dan y1 y2 < 2
y2 < y1 dan y2 > y1 2
![Page 14: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/14.jpg)
14
y1
y2
y2 = -y1
y2 = 2 - y1
y2 = y1
y2 = y1 - 2
Sehingga batas nilai bagi y1 dan y2 adalah
y2 > y1 ; y2 < 2 y1 ; y2 < y1 ; dan y2 > y1 2
![Page 15: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/15.jpg)
15
y1
y2
y2 = -y1
y2 = 2 - y1
y2 = y1
y2 = y1 - 2
Sebaran marginal bagi y1 adalah
Untuk 0 < y1 1
12221,1
1
1
1
1
211 2
1),()( ydydyyyfyf
y
y
y
y
YYY
![Page 16: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Untuk 1 < y1 < 2
1
2
2
2
2
2
221,1 22
1),()(
1
1
1
1
211ydydyyyfyf
y
y
y
y
YYY
Sehingga
lainnya ;0
21;2
10;
)(
1
11
11
11
y
yy
yy
yfY
![Page 17: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/17.jpg)
17
y1
y2
y2 = -y1
y2 = 2 - y1
y2 = y1
y2 = y1 - 2
Sebaran marginal bagi y2 adalah
Untuk -1 < y2 0
12
1),()( 2
2
1
2
121,2
2
2
2
2
212
ydydyyyfyf
y
y
y
y
YYY
![Page 18: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Untuk 0 < y2 < 1
2
2
1
2
121,2 12
1),()(
2
2
2
2
212ydydyyyfyf
y
y
y
y
YYY
Sehingga
lainnya ;0
10;1
01;1
)(
2
22
22
22
y
yy
yy
yfY
![Page 19: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut
0 ,)( xexf x
X
sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dan
identik dari fkp ini. Ingin ditentukan fkp p.a. Y = X1/(X1 + X2).
Karena X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dan identik
dari sebaran ini maka fkp bersama bagi X1 dan X2 adalah
0dan 0 ;),( 21
)(
21,2121
21
xxeeexxf
xxxx
XX
Contoh Kasus (3):
![Page 20: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Perlu didefinisikan satu peubah acak lain agar transformasi
terjadi dari ruang berdimensi dua ke ruang berdimensi dua.
Misalkan Z = X1 + X2, sehingga diperoleh sepasang
transformasi yaitu y = x1/(x1 + x2) dan z = x1 + x2.
Trasformasi ini bersifat satu-satu untuk seluruh daerah
fungsi.
y = x1/(x1 + x2) dan z = x1 + x2
Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan
di atas, akan diperoleh persamaan berikut:
x1 = yz
x2 = (1 – y)z
![Page 21: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/21.jpg)
21
x1 = yz
x2 = (1 – y)z
x1/y = z; x1/z = y;
x2/y = - z; x2/z = 1- y;
z
yz
yz
J
1
![Page 22: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. Y dan Z adalah
Tzyze
ze
Jxxfzyf
z
zyyz
XXZY
),( ,
.
).,(),(
))1((
21,, 21
Selanjutnya menentukan batas nilai bagi y dan z yaitu T.
Perhatikan, karena x1 0 dan x2 0, maka
0 y = x1/(x1 + x2) 1 0 y 1
z = x1 + x2 0 z 0
sehingga
0dan 10 ,),(, z yzezyf z
ZY
![Page 23: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/23.jpg)
23
0dan 10 ,),(, z yzezyf z
ZY
Sebaran marginal bagi p.a. Y = X1/(X1 + X2) adalah
0
1dzze z
Dengan demikian, fkp bagi p.a. Y = X1/(X1 + X2) adalah
lainnya ;0
10;1
)(
y
y
yfY
![Page 24: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Contoh Kasus (4):
![Page 25: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/25.jpg)
25
![Page 26: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/26.jpg)
26
![Page 27: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/27.jpg)
27
![Page 28: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Materi Responsi
![Page 29: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai
fkp Eksponensial Negatif dengan = 1, dan didefinisikan
bahwa peubah acak U = (X + Y)/2 dan V = (X – Y)/2.
a. Tentukan fkp bersama fU,V(u, v).
b. Tentukan fkp marginalnya yaitu fU(u) dan fV(v).
Catatan: Sebaran Eksponensial Negatif adalah:
0 ,0 ,)( xexf x
X
Materi Responsi (1)
![Page 30: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai
fkp Normal(0, 1), dan didefinisikan U = X + Y dan V = X – Y.
a. Tentukan fkp bersama fU,V(u, v).
b. Tentukan fkp marginalnya yaitu fU(u) dan fV(v).
c. Tunjukkan bahwa U dan V independen.
d. Hitung peluang P(U < 0, V > 0).
Materi Responsi (2)
![Page 31: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai
fkp Normal(0, 2). Tunjukkan bahwa peubah acak U = X2 + Y2
mempunyai fkp Eksponensial Negatif dengan =1/(22).
Materi Responsi (3)
![Page 32: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Materi Responsi (4)
![Page 33: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Materi Responsi (5)
![Page 34: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Materi Responsi (6)
![Page 35: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Materi Responsi (7)
![Page 36: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Pustaka
1. Casella, B. and R.L. Berger. 2002. Statistical Inference,
2nd Edition. Duxbury.
2. Hogg, R., Mc Kean, and Craig, A. 2005. Introduction to
Mathematical Statistics, 6th Edition. Prentice Hall.
3. Pustaka lain yang relevan.
![Page 37: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Catatan Kuliah
Bisa di-download di
kusmansadik.wordpress.com
![Page 38: Teori Statistika I (STK501) S2 STK · PDF file8 Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U (0, 1), sedangkan X 1 dan X 2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila didefinisikan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012917/5a9ccdb57f8b9a01398b8c6c/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Terima Kasih