SEBARAN PELUANG BERSAMA

Peubah Acak Yang Menyebar Bersama

Definisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, maka sebaran peluang bersama untuk X dan Y adalah

p(x,y) = P(X=x, Y=y)Yang terdefinisi untuk semua bilangan nyata x dan y. Fungsi dari p(x,y) dinamakan fungsi peluang bersama.

Sifat fungsi peluang bersama p(x,y)

1. p(x,y) ≥ 02.

),(1),(

yxyxp

Contoh 1

Misalkan bahwa 3 bola diambil dari sebuah kantong yang berisi 3 bola merah, 4 putih dan 5 biru. Jika X adalah banyaknya bola merah yang terambil dan Y adalah banyaknya bola putih yang terambil. Carilah fungsi peluang bersama dari X dan Y, p(i,j)=P{X=i,Y=j)

Semua kemungkinan pasangan nilai (x,y) yang mungkin adalah (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), dan (3,0)

f(0,0) menyatakan peluang terambilnya 0 bola merah dan 0 bola putih

Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 12 bola adalah =220

Banyaknya cara mengambil 0 dari 3 bola merah, 0 dari 4 bola putih dan 3 dari 5 bola biru adalah = 10

f(0,0) adalah 10/220

3

12

3

5

0

4

0

3

Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1

Sebaran peluang bersama bagi X dan Y untuk contoh ini dapat dinyatakan dalam rumus berikut

Untuk X=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; 0≤ X+Y ≤3

p(x,y)x

Total Baris0 1 2 3

y

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/220   112/220

2 30/220 18/220     48/220

3 4/220       4/220

Total Kolom 84/220

108/220

27/220 1/220 1

3 4 5

3( , )

12

3

x x x yp x y

Definisi

Untuk dua peubah acak X dan Y, fungsi sebaran peluang kumulatif bersama dari X dan Y adalah

F(a,b) = P{Xa,Yb}Untuk dua peubah acak diskret X dan Y, F(a,b) memiliki bentuk

F(a,b) =

a

x

b

yyxp ),(

Definisi

Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang kontinu dengan fungsi sebaran bersama F(a,b). Jika terdapat fungsi nonnegatif f(x,y) sedemikian hingga

untuk semua bilangan nyata a dan b, maka X dan Y dikatakan peubah acak kontinu yang menyebar bersama.

Fungsi f(x,y) dinamakan fungsi kepekatan peluang bersama.

a bdxdyyxfbaF ),(),(

Contoh

Fungsi kepekatan bersama X dan Y adalah 22 0 ,0( , )

0

x ye e x yf x y

selainnya

Hitung a. P(X>1,Y<1)b. P(X<Y)c. P(X<a)

Jawab.

a. P(X>1,Y<1) =

= =

b. P(X<Y) = =

= =

= 1-2/3 = 1/3

12

0 1

2 x ye e dxdy

dyee xy

1

01

22

1

0

21 2 dyee y 21 1 ee

yxyx

yx dxdyee);,(

22

0 0

22y

yx dxdyee

0

2 )1(2 dyee yy dyedye yy

0 0

32 22

c. P(X<a) = = = 1-e-a

a

xy dydxee0 0

22 dxea

x

0

Sifat dari Fungsi Sebaran Bersama F(a,b)

F(-, -) = F(-, y) = F(x, -) = 0 F(, ) = 1 Jika a2 ≥ a1 dan b2 ≥ b1, maka

F(a2,b2)+F(a1,b1)-F(a1,b2)-F(a2,b1) ≥ 0

 

Sifat dari fungsi kepekatan bersama

1. f(x,y) ≥ 0 untuk semua x, y

2.

1),( dxdyyxf

Contoh

Suatu restoran keluarga melayani dua jenis layanan, yaitu layanan makan di tempat dan layanan drive thru. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, misalkan X adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk melayani pelanggan yang makan di tempat dan Y adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk melayani pelanggan yang memanfaatkan layanan drive thru. Bila fungsi kepekatan bersama dari (X,Y) adalah

selainnya

yxyxyxf0

10,10)(5

6),(

2

1. Buktikan bahwa f(x,y) adalah fungsi kepekatan peluang yang sah

2. Berapa peluang bahwa kedua layanan digunakan tidak lebih dari seperempat waktu layanan restoran ?

Jawab

a.

=

=

1

0

1

0

25

6),( dxdyyxdxdyyxf

1

0

1

0

21

0

1

0 5

6

5

6dxdyyxdxdy

115

6

10

6

5

6

5

6 1

0

21

0 dyyxdx

Peluang bahwa kedua layanan digunakan tidak lebih dari seperempat waktu layanan restoran adalah

=

=

dxdyyxYXP

4/1

0

4/1

0

25

6

4

10,

4

10

dxdyyxdxdy 4/1

0

4/1

0

24/1

0

4/1

0 5

6

5

6

640

7

320

6

220

64/1

0

34/1

0

y

y

x

x

yx

Sebaran Peluang Marginal dan Sebaran Peluang Bersyarat

Definisi

Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret yang menyebar bersama dengan fungsi peluang p(x,y), maka fungsi peluang marginal dari X dan Y adalah dan

y

x yxpxp ),()( x

y yxpyp ),()(

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y), maka fungsi kepekatan marginal dari X dan Y adalah

dan

dyyxfxf x ),()(

dxyxfyf y ),()(

Contoh

Misalkan

Carilah fungsi kepekatan marginal X dan Y.

Jawab

Fungsi kepekatan marginal X adalah

= 2x(1) – 2x(0) = 2x, 0 x 1

2 , 0 1,0 1( , )

0,

x x yf x y

selainnya

11

00

( ) ( , ) 2 2Xf x f x y dy xdy xy

Sedangkan fungsi kepekatan marginal Y adalah

112

0 0

( ) ( , ) 2 1Yf y f x y dx xdx x

Fungsi peluang diskret bersyarat X jika diketahui Y

P(x|y)=P(X=x|Y=y)= dengan syarat py(y)>0

)(

),(

)(

),(

yp

yxp

yYP

yYxXP

y

Contoh

Dari Sebaran bersama berikut

a. P(X=0|Y=1)b. P(X=1|Y=1)c. P(X≥2|Y=1)

p(x,y)x

Total Baris0 1 2 3

y

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/220   112/220

2 30/220 18/220     48/2203 4/220       4/220

Total Kolom 84/220 108/220

27/220 1/220 1

Jawab

a. P(X=0|Y=1) =

P(Y=1) = pY(1) =

= p(0,1) + p(1,1) + p(2,1) + p(3,1) = Sehingga

P(X=0|Y=1) =

( 0, 1)

( 1)

P X Y

P Y

3

0

( ,1)x

p x

40 60 12 112

220 220 220 220

( 0, 1) 40 / 220 40

( 1) 112 / 220 112

P X Y

P Y

b. P(X=1|Y=1) =

c. P(X≥2|Y=1) =

=

( 1, 1) 60 / 220

( 1) 112 / 220

P X Y

P Y

( 2, 1) ( 2, 1) ( 3, 1)

( 1) ( 1)

P X Y P X Y P X Y

P Y P Y

12 / 220 0 12

112 / 220 112

Definisi

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan fungsi kepekatan marginal fx(x) dan fy(y), maka fungsi kepektan bersyarat X jika diketahui Y=y adalah

selainnya

yfyf

yxf

yxf yy

,0

0)(,)(

),(

)|(

Dan fungsi kepekatan bersyarat Y jika diketahui X=x adalah

selainnya

xfxf

yxf

xyf xx

,0

0)(,)(

),(

)|(

Contoh

Misalkan Y adalah peubah acak yang menyatakan banyaknya supply pada mesin soft drink di awal suatu hari dan X adalah banyaknya soft drink yang terjual selama hari tersebut (dengan ukuran galon). Bila X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama sebagai berikut

a. Tentukan fungsi kepekatan bersyarat X jika diketahui Y=y

b. Hitunglah peluang soft drink yang terjual adalah kurang dari ½ gallon jika mesin tersebut berisi 1 galon di awal hari

1/ 2, 0 ,0 2( , )

0,

x y yf x y

selainnya

Jawab

a.00

1 1( ) ( , ) 1/ 2

2 2

yy

Yf y f x y dx dx x y

1, 2

( ) 20,

Y

y x yf y

selainnya

( , ) 1/ 2( | ) 1/

( ) (1/ 2)Y

f x yf x y y

f y y

1/ , 0 2( | )

0,

y x yf x y

selainnya

b. P(X1/2|Y=1) = 1/ 2 1/ 2

1/ 2

00 0

1( | ) 1/ 2

1f x y dx dx x

Peubah Acak yang Bebas (Independent)

Definisi

Misalkan X mempunyai fungsi sebaran Fx(x), Y mempunyai fungsi sebaran Fy(y), dan X dan Ymemiliki fungsi sebaran bersama F(x,y), maka X dan Y dikatakan bebas jika dan hanya jika

F(x,y) = Fx(x) . Fy(y)untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)Jika X dan Y diskret dengan fungsi peluang bersama p(x,y) dan fungsi peluang marginal px(x) dan py(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika

p(x,y) = px(x)py(y)untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)Jika X dan Y kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan kepekatan marginal fx(x) dan fy(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika

f(x,y) = fx(x)fy(y)untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)

Contoh

p(x,y)x

Total Baris0 1 2 3

y

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/2201 40/220 60/220 12/220   112/2202 30/220 18/220     48/2203 4/220       4/220

Total Kolom 84/220

108/220

27/220 1/220 1

Bila X dan Y memiliki Sebaran Peluang Bersama seperti berikut:

Apakah X dan Y bebas?

Jawab.Untuk X=0 dan Y=0, kita dapatkan p(0,0) adalah 10/220, sedangkan pX(0) = 84/220 dan pY(0) = 56/220 sehingga

p(0,0) pX(0).pY(0) X dan Y tidak bebas

Contoh

Apakah X dan Y bebas jika X dan Y memiliki sebaran bersama berikut?

Jawab.

Kita dapatkan sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa X dan Y tidak bebas

1/ 2, 0 ,0 2( , )

0,

x y yf x y

selainnya

1, 0 2

( ) 20,

Y

y yf y

selainnya

22

00

1 1( ) ( , ) 1

2 2Xf x f x y dy dy y

( , ) ( ) ( )X Yf x y f x f y

Theorema

Misalkan X dan Y memiliki kepekatan bersama f(x,y), yang positif jika dan hanya jika axb, cyd, untuk konstanta a, b,c, dan d dan f(x,y) = 0 selainnya, maka X dan Y adalah peubah acak yang bebas jika dan hanya jika

f(x,y) = g(x) h(y)dimana g(x) adalah fungsi nonnegatif dari x dan h(y) adalah fungsi nonnegatif dari y

Contoh

a. Misalkan X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama

Apakah X dan Y bebasJawabf(x,y) positif jika dan hanya jika dan f(x,y) = g(x) h(y) di mana g(x) = 2x dan h(y)=1Sehingga X dan Y adalah peubah acak yang bebas

2 , 0 1,0 1( , )

0,

x x yf x y

selainnya

Misalkan X dan Y memiliki kepekatan bersama

Apakah X dan Y bebasJawabfungsi kepekatan bersama positif jika dan hanya jika , tidak ada konstanta a, b, c, dan d sedemikian hingga fungsi kepekatan positif pada selang a x b, c y d

5 , 0 1( , )

0,

x y xf x y

selainnya

Sehingga Theorema tidak dapat diaplikasikan. Bila kita cek ternyata X dan Y adalah peubah acak yang tidak bebas karena fungsi kepekatan bersamanya tidak sama dengan perkalian fungsi marginal X dan fungsi kepekatan marginal Y.