PEUBAH ACAK KONTINU - stat.ipb.ac.id · • X dikatakan peubah acak kontinu, jika ada sebuah fungsi...
Transcript of PEUBAH ACAK KONTINU - stat.ipb.ac.id · • X dikatakan peubah acak kontinu, jika ada sebuah fungsi...
PENDAHULUAN
• X dikatakan peubah acak kontinu, jika ada sebuah
fungsi non negatif f, yang didefinisikan pada
semua bilangan real, ),,( xMempunyai sifat bahwa untuk sembarang
himpunan bilangan real B
B
dxxfBXP )()(
Fungsi f disebut sebagai fungsi kepekatan peluang
Beberapa Sifat Peubah Acak
Kontinyu
a
a
a
b
a
dxxfaFaXPaXP
lainkatadengan
dxxfaXP
baJika
dxxfbXaP
makabaB
Katakan
dxxfXP
)()(}{}{
0)(}{
)(}{
],[
)()},({1
f.k.p p.a. kontinu
• Syarat pertama bahwa f(x) 0 untuk - ≤ x ≤ +
jelas terpenuhi
•
• Jadi f(x) memenuhi syarat sebagai f.k.p
lainnya untuk ,0
1untuk ,2)(
3
x
xxxf
1))1(0()1
(2
0)(1
2
1
3
1
xdx
xdxdxxf
CONTOH
• Misalkan X adalah sebuah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang sebagai berikut
selainnya
xxxCxf
,0
20),24()(
2
1. Berapa nilai C
2. Tentukan P{X>1}
CONTOH2
• Diketahui suatu fungsi kepekatan peluang
sebagai berikut
Jawab
XPb
XPa
x
xexf
x
}100{.
}15050{.
00
0)(
100/
633.01
100/1}100{
384.01
100/1}15050{.
100/1,100)100(1
)(1
1
100
0
100
0
100/100/
2/32/1150
50
100/
100/150
50
0
100/
0
100/
e
edxeXP
Carasama
eee
dxeXPa
e
dapatkanKita
dxedxxf
xx
x
x
x
x
Fungsi sebaran kumulatif
• Didefinisikan FX(x) sebagai
• FX(x) disebut sebagai fungsi sebaran kumulatif
p.a X
x
X dxxfxXfPxF )()(()(
Fungsi sebaran kumulatif
• 0 ≤ FX(x) ≤ 1
• Jika a > b maka FX(a) FX(b) monoton tidak
turun
•
•
0)(lim
xFXx
1)(lim
xFXx
Fungsi sebaran kumulatif
• X adalah p.a dengan f.k.p
• Fungsi sebaran kumulatifnya adalah
lainnya untuk ,0
1untuk ,2)(
3
x
xxxf
1untuk ,1
1
1untuk ,0)(
2x
x
xxF
SEBARAN PELUANG SERAGAM
• X dikatakan mempunyai sebaran peluang
seragam pada (0,1) jika mempunyai fungsi
kepekatan peluang sebagai berikut :
1
0
1)()(,0)(
,)(
0
101)(
dxxfdxxfdanxf
karenafkpdisebutxfpersamaan
selainnya
xxf
SEBARAN PELUANG SERAGAM
selainnya
xjikaxf
adalahpadaseragamfkp
denganacakpeubahXdemikiandengan
abxdxxfbXaP
baJika
b
a
b
a
0
1
)(
),(
)(}{
,10
SEBARAN PELUANG SERAGAM
• Fungsi sebaran dari fkp seragam pada
interval (α,β) adalah sebagai berikut
x
xx
x
xF
1
0
)(
α β α β
1/(α-β)
1f(x)
F(x)
x x
SEBARAN NORMAL
• X mempunyai sebaran normal, bila
mempunyai fkp sebagai berikut
xexf x ,2
1)(
22 2/)(
f(x) diatas adalah fungsi kepekatan peluang, untuk itu perlu dibuktikan bahwa
Integral dari f(x) diatas bernilai 1
12
1 22 2/)(
dxe x
2
22
2
,,sin,cos
,
2
2
1
2
1
,/)(,
0
2/
0
2/
0
2
0
2/2
2/)(2/2/
2/2/2
2/
2/
2/2/)(
2
22
2222
22
2
2
222
I
maka
e
drredrdreI
makadrdrdydxryrx
polarkoordinatdengan
dydxedydxee
dxedyeI
makadyeImisal
dye
tunjukkanharuskita
dyedxe
xysubstitusi
r
rr
xyxy
xy
y
y
yx
SEBARAN NORMAL
• X menyebar normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2.
Kemudian Y=αX+β akan terdistribusi dengan rata-rata
α μ +β dan ragam α2 σ2.. FKP Y adalah sebagai berikut
})(2
)]([exp{
2
1)(
2
2
yyf
Y
SEBARAN NORMAL
• X menyebar normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2, selanjutnya Z=(X- μ)/ σ, menyebar
dZ=1/ σ dx, dx = σ dz
X= σZ+ μ
maka
dzz
dxz
zfZ
}2/exp{2
1
)}(2
)(exp{
2
1)(
2
2
2
Z menyebar normal baku dengan rata-rata nol dan ragam 1
Fungsi Distribusi Kumulatif pada
Sebaran Normal
• X menyebar normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2, maka fungsi distribusi dari X adalah
)(
)(
)()(
a
aXP
aXPaFX
CoNTOH • Jika X menyabar normal dengan μ=3 dan ragam σ2 =9,
tentukan (1) P(2<X<5), (2) P(X>0), dan (3) P(|X-3|>6)
• Jawab
0456.0
}2{}2{
}3
33
3
3{}
3
39
3
3{
}3{}9{}6|3{|.3
8413.0)1()1(1
}1{}3
30
3
3{}0{.2
3779.0
)3/1()3/2(
}3
2
3
1{}
3
35
3
3
3
32{)52(.1
ZPZP
XP
XP
XPXPXP
ZPX
PXP
ZPX
PXP
Pendekatan Normal untuk Kasus
Binomial
• Jika Sn adalah jumlah yang sukses dari n percobaan
secara independen, setiap percobaan menghasilkan
peluang sukses p, maka untuk sembarang a <b,
njika
abbpnp
npSaP n )()(}
)1({
Contoh• X menunjukkan banyaknya “Head” yang
keluar dari mata uang yang dilempar sebanyak 40 secara fair. Berapa peluang X=20. Dekati dengan sebaran normal
1268.02
1
20
40)20(
1272.0)16.0()16.0(
16.010
2016.0
10
205.20
10
20
)2/1)(2/1(40
205.19
}5.205.19{}20{
40
XP
binomialdengan
XP
XP
XPXP
SEBARAN PELUANG EKSPONENSIAL
Peubah Acak X mempunyai sebaran peluang eksponensial, jika mempunyai kepekatan peluang untuk beberapa
0;1|
}{)(
00
0)(
,0
0
0
aee
dxe
aXPaF
kumulatifdistribusiFungsi
xjika
xjikaexf
aax
ax
x
Sering dipakai untuk menghitung jumlah percobaan (waktu/panjang)
sampai kejadian Spesifik ditemui
CONTOH
• Misalkan lamanya waktu menelpon memiliki distribusi eksponensial dengan λ=0.1. Jika seseorang segera datang saat anda selesai menelpon pada telepon umum. Tentukan peluang a) anda menunggu lebih dari 10 menit, b) antara 10 hingga 20 menit
233.0
|10
1}2010{.2
368.0|10
1}10{.1
21
20
10
20
10
10/10/
10
1
10
10/10/
ee
edxeXP
eedxeXP
xx
xx
Sebaran Laplacian• X peubah acak yang mempunyai sebaran
Laplacian jika mempunyai fungsi kepekatan
peluang,
02/11
02/1
02/12/1
02/1
)(
,2/1
02/1
02/1)(
0
0
0
||
xe
xe
xdxedxe
xdxe
xF
kumulatifsebaranfungsidengan
xe
xe
xexf
x
x
xxx
xx
x
x
x
Fungsi Kepekatan Peluang
Gamma
• X peubah acak mempunyai fkp gamma, maka dengan beberapa parameter (t, λ), λ > 0 dan t > 0, jika kepekatan peluangnya adalah
0,0
0,)(
)(
)(
1
x
xt
xe
xf
tx
dimana
dyyet ty 1
0
)(
• Integral parsial adalah
!)1()(
,1)1(
)1(2.3)......2)(1(
)2()2)(1(
)1()1()(
)1()1(
)1(
)1()(
0
0
2
0
2
0
1
nn
makadxe
karena
nn
nnn
nnn
npengulangadengan
tt
dyyet
dyyteyet
x
ty
tyty
Distribusi Weibull
• X peubah acak mempunyai distribusi weibull,
jika mempunyai fungsi peluang kumulatif
sebagai berikut :
vxvxvx
vx
xf
turunannya
vxvx
vx
xF
exp
0
)(
exp1
0
)(
1
Distribusi Beta
• X peubah acak mempunyai distribusi beta
jika mempunyai fungsi kepekatan peluang
sebagai berikut :
1
0
11
11
)1(),(
dim
0
10)1(),(
1
)(
dxxxbaB
ana
selainnya
xxxbaBxf
ba
ba
Nilai Harapan p.a kontinu
• Tentu saja pada saat menghitung E(X) hanya
selang yang memiliki f(x) tidak nol yang
digunakan.
lainnya untuk ,0
1untuk ,2)(
3
x
xxxf
X p.a. kontinyu dengan fkp f(x)
Maka
.)()( dxxfxXE
Contoh: X p.a. yang mempunyai fkp seragam.
Tentukan nilai harapan X pada selang (a, b)
.0
;1
)(
Selainnya
bxaab
xf
Jawab
2)(2
))((
2)(
1
2
1
)(
1)(
22
2
ab
ab
ababab
ab
a
bx
abdx
ab
xXE
b
a
X p.a. yang mempunyai fkp eksponensial. Tentukan nilai harapan X
Jawab:
00
0
)(
x
xe
xf
x