TEMA IV.- PROGRAMACIÓN LINEAL
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TEMA IV.- PROGRAMACIÓN LINEAL
EJEMPLO DE REGIONES FACTIBLES ACOTADAS (CERRADAS)
EJEMPLO:
Representa la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:
0x ; 3y ; 10 yx ; xy 32
Averigua en que puntos se hace máxima y mínima la función yxyxF 34, .
Solución:
Hace máxima la función el punto (4,6).
Hace mínima la función el punto (0,3).
EJEMPLO:
Representa el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:
0x ; 0y ; 10x ; yx ; 62 xy ; 3543 yx
¿En qué punto la función yxyxF 1510, alcanza el valor máximo?
Solución:
La función alcanza el valor máximo en el punto C(1,8).
EJEMPLO:
Maximizar la función yxyxf 2, sujeto a las siguientes restricciones:
0
0
102
82
y
x
yx
yx
.
Solución:
La región factible es la siguiente:
Los vértices de la región factibles son (0,4), (0,10) y (4,2).
La función objetivo es yxyxf 2, , por lo tanto se tiene que:
8804204,0 f
20200102010,0 f
0442242,4 f
Por lo tanto esta función, con las restricciones dadas es máxima en el punto (4,2) y dicho valor
máximo es 0.
EJEMPLO:
Maximizar la función yxyxf , sujeto a las siguientes restricciones:
0
0
632
62
y
x
yx
yx
.
Solución:
La región factible es la siguiente:
Los vértices de la región factible son: A(0,0), B(0,-2), C(6/7,-18/7) y D(6,0).
Como la función objetivo es yxyxf , , se tiene que:
0000,0 f
2202,0 f
7
12
7
18
7
6
7
18,
7
6
f
6060,6 f
Con lo cual, con las restricciones dadas, el máximo valor de la función es 6 y dicho máximo se
alcanza en el punto (6,0)
EJEMPLO:
Maximizar la función yxyxf 42, sujeto a las siguientes restricciones:
0
0
3046
0
122
y
x
yx
yx
yx
.
Solución:
La región factible es la siguiente:
Los vértices de la región factible son: A(3,3), B(3/2,21/4) y C(4,4).
Como la función objetivo es yxyxf 42, , se tiene que:
1812634323,3 f
242134
214
2
32
4
21,
2
3
f
2416844424,4 f
Por lo tanto, con las restricciones dadas, el valor máximo de la función dada es 24, y dicho
valor máximo se encuentra en todos los puntos que unen el segmento de extremos (3/2,21/4) y
(4,4) ambos puntos incluidos.
EJEMPLO DE REGIONES FACTIBLES NO ACOTADAS (NO CERRADAS)
EJEMPLO:
Dada la región del plano determinada por el sistema de inecuaciones siguiente:
0
102
632
6
x
yx
yx
yx
Determinar, si existen, los puntos donde las siguientes funciones, sujetas al conjunto de
restricciones anteriores, alcanzan sus valores máximo y mínimo.
a) yxyxf 3, ; b) yxyxf 2, , c) yxyxf 2, ; d) yxyxf 2, .
Solución:
La región factible es la siguiente:
Como se observa la región factible es no acotada (no cerrada) y los vértices de la región
factible son:
A (6,2) que es el punto de intersección de las rectas 2x-3y=6 y x+2y=10.
B (2,4) que es el punto de intersección de las rectas x+y=6 y x+2y=10.
C (0,0) que es el punto de intersección de las rectas x+y=6 y x=0.
a) Como la función objetivo es yxyxf 3, , tenemos que:
12662362,6 f
161224324,2 f
181806306,0 f
aaaf 3,
3,f
Por lo tanto tenemos que la función no tiene máximo y tiene mínimo en el punto (6,2) y dicho
mínimo vale 12.
Otra forma de ver esto es gráficamente teniendo en cuenta las rectas de nivel.
b) Como la función objetivo es yxyxf 2, , tenemos que:
2462262,6 f
6824224,2 f
121206206,0 f
aaaf 2,
2,f
Por lo tanto tenemos que la función no tiene mínimo y tiene máximo en el punto (6,2) y dicho
máximo vale 2.
Otra forma de ver esto es gráficamente teniendo en cuenta las rectas de nivel.
c) Como la función objetivo es yxyxf 2, , tenemos que:
102122622,6 f
0444224,2 f
6606026,0 f
aaf 2,
2,f
Por lo tanto tenemos que la función no tiene mínimo ni máximo.
Otra forma de ver esto es gráficamente teniendo en cuenta las rectas de nivel.
d) Como la función objetivo es yxyxf 2, , tenemos que:
10462262,6 f
10824224,2 f
121206206,0 f
aaaf 2,
2,f
Por lo tanto tenemos que la función no tiene máximo y tiene infinitos mínimos que son los
puntos (2,4), (6,2) y los infinitos puntos del segmento que une los puntos (2,4) y (6,2).
Otra forma de ver esto es gráficamente teniendo en cuenta las rectas de nivel.
EJEMPLO:
Dada la región del plano determinada por el sistema de inecuaciones siguiente:
0
182
122
x
yx
yx
yx
Determinar, si existen, los puntos donde las siguientes funciones, sujetas al conjunto de
restricciones anteriores, alcanzan sus valores máximo y mínimo.
a) yxyxf 32, ; b) yxyxf 3, , c) yxyxf 3, ; d) yxyxf 2, .
Solución:
La región factible es la siguiente:
Como se observa la región factible es no acotada (no cerrada) y los vértices de la región
factible son:
A (0,0) que es el punto de intersección de las rectas y=x y x=0.
B (4,4) que es el punto de intersección de las rectas y=x y x+2y=12.
C (8,2) que es el punto de intersección de las rectas x+2y=12 y 2x+y=18.
a) Como la función objetivo es yxyxf 32, , tenemos que:
00003020,0 f
2012843424,4 f
2261623822,8 f
aaaf 232,
32,f
Por lo tanto tenemos que la función no tiene mínimo y tiene máximo en el punto (8,2) y dicho
máximo vale 22.
Otra forma de ver esto es gráficamente teniendo en cuenta las rectas de nivel.
b) Como la función objetivo es yxyxf 3, , tenemos que:
0000300,0 f
81244344,4 f
2662382,8 f
aaaf 3,
3,f
Por lo tanto tenemos que la función no tiene máximo y tiene mínimo en el punto (4,4) y dicho
mínimo vale -8.
Otra forma de ver esto es gráficamente teniendo en cuenta las rectas de nivel.
c) Como la función objetivo es yxyxf 3, , tenemos que:
0000030,0 f
164124434,4 f
262242832,8 f
aaaf 33,
3,f
Por lo tanto tenemos que la función no tiene mínimo ni máximo.
Otra forma de ver esto es gráficamente teniendo en cuenta las rectas de nivel.
d) Como la función objetivo es yxyxf 2, , tenemos que:
0000200,0 f
12844244,4 f
12482282,8 f
aaaf 2,
2,f
Por lo tanto tenemos que la función no tiene mínimo y tiene infinitos máximos que son los
puntos (4,4), (8,2) y los infinitos puntos del segmento que une los puntos (4,4) y (8,2).
Otra forma de ver esto es gráficamente teniendo en cuenta las rectas de nivel.
EJEMPLO:
Maximizar la función yxyxf 63, sujeto a las siguientes restricciones:
42
82
63
yx
yx
yx
.
Solución:
La región factible es la siguiente:
Los vértices de la región factible son A(0,2) y B(4,0).
Como la función objetivo es yxyxf 63, , se tiene que:
1212026032,0 f
1201206430,4 f
Por lo tanto, con las restricciones dadas, el máximo valor que toma la función es 12 y dicho
valor máximo se produce en todos los puntos del segmento (0,2) y (4,0), ambos puntos
incluidos.
EJEMPLO:
Maximizar la función yxyxf 3, sujeto a las siguientes restricciones:
0
0
4
255
y
x
yx
yx
.
Solución:
La región factible es la siguiente:
Como la región factible no existe ya que no hay ningún punto que verifique todas las
restricciones no podemos hallar el máximo de esta función con estas restricciones.
EJEMPLO:
Maximizar la función yxyxf 23, sujeto a las siguientes restricciones:
0
0
4
82
123
y
x
yx
yx
yx
.
Solución:
Como la región factible no está acotada superiormente, entonces esta función no alcanza el
máximo ya que, con estas restricciones, su máximo sería infinito.
PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.-
EJEMPLO:
Disponemos de 90.000 metros cuadrados para construir parcelas de 3.000 y 5.000 metros
cuadrados, tipos A y B respectivamente. Los beneficios son de 10.000 € por cada parcela A y
de 20.000 € por cada parcela B. El número máximo de parcelas B es de 120, y el de parcelas A,
150.
Determinar cuántas parcelas de cada tipo necesitamos para obtener beneficios máximos.
Solución:
Sea x el número de parcelas, que necesitamos, de tipo A.
Sea y el número de parcelas, que necesitamos, de tipo B.
La función objetivo, que queremos maximizar, es yxyxB 000.20000.10, .
Las restricciones son las siguientes:
0
0
150
120
000.90000.5000.3
y
x
x
y
yx
0
0
150
120
9053
y
x
x
y
yx
La región factible es la siguiente:
Los vértices de la región factible son (0,0), (0,18) y (30,0).
Como la función objetivo es yxyxB 000.20000.10, , entonces se tiene que:
0000000.200000.100,0 B
000.360000.360018000.200000.1018,0 B
000.3000000.3000000.2030000.100,30 B
Por lo tanto para que los beneficios sean máximos necesitamos 18 parcelas de tipo B y
ninguna parcela de tipo A y dichos beneficios máximos serán de 360.000 €.
EJEMPLO:
Vamos a invertir en dos productos financieros A y B. La inversión en A será, al menos de
3.000 € y no se invertirá en A más del doble que en B. El producto A proporciona un beneficio
del 10% y B del 5%.
Si disponemos de un máximo de 12.000 €, ¿cuánto se debe invertir en cada producto para
maximizar el beneficio?
Solución:
Sean x los euros que vamos a invertir en el producto financiero A.
Sean y los euros que vamos a invertir en el producto financiero B.
La función objetivo, que queremos maximizar, es yxyxB 05,01,0, .
Las restricciones son las siguientes:
0
000.12
2
000.3
y
yx
yx
x
La región factible es la siguiente:
Los vértices de la región factible son (3000,1500), (3000,9000) y (8000,4000).
Como0 la función objetivo es yxyxB 05,01,0, , entonces se tiene que:
37575300150005,030001,01500,3000 B
750450300900005,030001,09000,3000 B
1000200800400005,080001,04000,8000 B
Para que los beneficios sean máximos hay que invertir 8.000 € en el producto A y 4.000 € en el
producto B y dicho beneficio máximo será de 1.000 €.
EJEMPLO:
Se fabrican dos tipos de aparatos A y B en los talleres X e Y. En cada uno de los talleres se
trabajan 100 horas a la semana. Cada aparato A requiere 3 horas del taller X y 1 hora del
taller Y, y cada aparato de B, 1 y 2 horas, respectivamente. Cada aparato A se vende a 100 € y
cada aparato B a 150 €. Calcula el número de aparatos de cada tipo que hay que producir
para que la facturación sea máxima.
Solución:
Sean x el número de aparatos del tipo A que hay que producir.
Sean y el número de aparatos del tipo B que hay que producir.
La función objetivo, que hay que maximizar, es yxyxF 150100, .
Las restricciones son:
0
0
1002
1003
y
x
yx
yx
La región factible es la siguiente:
Los vértices de la región factible son (0,0), (0,50), (20,40) y (100/3,0)
Como la función objetivo es yxyxF 150100, , se tiene que:
000015001000,0 F
75007500050150010050,0 F
800060002000401502010040,20 F
3
100000
3
100000150
3
1001000,
3
100
F
Para que la facturación sea máxima hay que producir 20 aparatos del tipo A y 40 aparatos del
tipo B Y dicha facturación máxima será de 8.000 €.
EJEMPLO:
Tenemos 120 refrescos de naranja y 180 de limón. Se venden en paquetes de dos tipos: los
paquetes de tipo A contienen 3 refrescos de naranja y 3 de limón, y los del tipo B contienen 2
refrescos de naranja y 4 de limón. El beneficio es de 6 € por cada paquete de tipo A y de 5 €
por cada paquete de tipo B. Hallar cuántos paquetes de cada tipo hay que vender para
maximizar los beneficios.
Solución:
Sean x el número de paquetes del tipo A que hay que vender.
Sean y el número de paquetes del tipo A que hay que vender.
La función objetivo, que queremos que sea máxima, nos viene dada por yxyxB 56, .
Las restricciones son:
0
0
18043
12023
y
x
yx
yx
La región factible es:
Los vértices de la región factible son (0,0), (0,45), (20,30) y (40,0).
Como la función objetivo, que queremos maximizar, es yxyxB 56, , se tiene que:
00005060,0 B
22522504550645,0 B
27015012030520630,20 B
2400240054060,40 B
Para que los beneficios sean máximos hay que vender 20 paquetes del tipo A y 30 paquetes del
tipo B y dichos beneficios máximos serán de 270 €.
EJEMPLO:
Una fábrica elabora dos tipos de productos A y B. El tipo A necesita 2 obreros trabajando un
total de 20 horas y se obtiene un beneficio de 1.500 € por unidad. El tipo B necesita 3 obreros
con un total de 10 horas y el beneficio es de 1.000 € por unidad. Si disponemos de 60 obreros y
480 horas de trabajo, determina la cantidad de unidades de A y de B que se deben fabricar
para maximizar el beneficio.
Solución:
Sean x el número de unidades del producto A que hay que fabricar.
Sean y el número de unidades del producto B que hay que fabricar.
La función objetico, que queremos maximizar, es yxyxB 10001500, .
Las restricciones son:
0
0
4801020
6032
y
x
yx
yx
0
0
482
6032
y
x
yx
yx
La región factible es:
Los vértices de la región factible son (0,0), (0,20), (21,6) y (24,0).
Como la función objetivo, que queremos maximizar, es yxyxB 10001500, , se tiene que:
00001000015000,0 B
200002000002010000150020,0 B
37500600031500610002115006,21 B
36000036000010002415000,24 B
Para maximizar los beneficios debemos de fabricar 21 unidades del producto A y 6 unidades
del producto B y dichos beneficios máximos serán de 37.500 €.
EJEMPLO:
Una fábrica de conservas tiene 800 kg de guisantes para conservar en dos tipos de latas. La
lata pequeña contiene 200 gramos y aporta un beneficio de 10 céntimos por lata. La lata
grande contiene 500 gramos y un beneficio de 30 céntimos. Si en el almacén solo disponemos
de 2.000 latas de tamaño pequeño y 1.000 grandes, determina la cantidad de latas de cada
tamañoque tenemos que producir para maximizar el beneficio.
Solución:
Sean x el número de latas pequeñas que hay que producir.
Sean y el número de latas grandes que hay que producir.
La función objetivo, que queremos maximizar, es yxyxB 3,01,0, .
Las restricciones son:
0
0
1000
2000
8005,02,0
y
x
y
x
yx
0
0
1000
2000
800052
y
x
y
x
yx
La región factible es:
Los vértices de la región factible son (0,0), (0,1000), (1500,1000), (2000,800) y (2000,0).
Como la función objetivo, que queremos maximizar, es yxyxB 3,01,0, , se tiene que:
00003,001.00,0 B
300300010003,001.01000,0 B
45030015010003,015001.01000,1500 B
4402402008003,020001.0800,2000 B
200020003,020001.00,2000 B
Para maximizar los beneficios debemos producir 1.500 latas pequeñas y 1.000 latas grandes y
dichos beneficios máximos serán de 450 €.
EJEMPLO:
Un deportista necesita diariamente consumir 36 gramos de una sustancia M, 24 gramos de N
y 8 gramos de P. En la farmacia ha encontrado dos tipos de cápsulas que contienen estas
sustancias. Las cápsulas A tienen 6 gramos de M, 2 gramos de N y 18 gramos de P, y cuestan 3
céntimos por cápsula. Las cápsulas B tienen 3 gramos de M, 4 gramos de N y 18 gramos de P,
y cuestan 4,5 céntimos por cápsula. ¿Cuántas cápsulas de cada tipo necesita para que el coste
sea mínimo?
Solución:
Sean x el número de cápsulas del tipo A que necesita.
Sean y el número de cápsulas del tipo B que necesita.
La función objetivo, que queremos minimizar, es yxyxC 5,43, .
Las restricciones son:
0
0
81818
2442
3636
y
x
yx
yx
yx
0
0
499
122
122
y
x
yx
yx
yx
La región factible es:
Los vértices de la región factible son (0,12), (4,4) y (12,0).
La función objetivo que tenemos que minimizar es yxyxC 5,43, , por lo tanto:
54540125,40312,0 C
30181245,4434,4 C
3603605,41230,12 C
Para que el coste sea mínimo se necesita 4 cápsulas del tipo A y 4 cápsulas del tipo B y dicho
coste mínimo será de 30 céntimos de euro.
EJEMPLO:
Los animales de una granja deben tomar, al menos, 60 miligramos de vitamina A y, al menos,
90 miligramos de vitamina B. Existen dos compuestos con estas vitaminas. El compuesto X
contiene 10 miligramos de vitamina A y 15 miligramos de B, y cada dosis cuesta 0,50 €., El
compuesto Y contiene 10 miligramos de cada vitamina, y cada dosis cuesta 0,30 €. Además, se
recomienda no tomar más de 8 dosis diarias. Calcula qué dosis tiene que tomar para que el
coste sea mínimo.
Solución:
Sean x el número de dosis del compuesto X que tienen que tomar.
Sean y el número de dosis del compuesto Y que tienen que tomar.
La función objetivo, que queremos minimizar, es yxyxC 3,05,0, .
Las restricciones son:
0
0
8
901015
601010
y
x
yx
yx
yx
0
0
8
1823
6
y
x
yx
yx
yx
La región factible es:
Los vértices de la región factible son (6,0), (2,6) y (8,0).
Como la función objetivo, que queremos minimizar, es yxyxC 3,05,0, , se tiene que:
30303,065,00,6 C
8,28,1163,025,06,2 C
40403,085,00,8 C
Para que el coste sea mínimo tienen que tomar 2 dosis del compuesto X y 6 dosis del
compuesto Y y dicho coste mínimo será de 2,8 €.
EJEMPLO:
Una empresa se dedica a elaborar lotes de productos que se venden en los supermercados. En
estos momentos están empaquetando dos lotes diferentes. El lote del tipo A tiene 1 queso y dos
botellas de vino, y su transporte cuesta 0,90 €. El lote B tiene 3 quesos y 1 botella de vino, y
cuesta 1,50 € transportarlo. La empresa dispone de 200 quesos y 100 botellas de vino, y
necesita elaborar, al menos, 10 lotes de tipo A y 25 de tipo B. ¿Cuántos lotes de cada clase han
de elaborar para que los gastos en transporte sean mínimos?
Solución:
Sean x los lotes que se han de elaborar del tipo A.
Sean y los lotes que se han de elaborar del tipo B.
La función objetivo, que queremos minimizar, es yxyxG 5,19,0, .
Las restricciones son:
25
10
1002
2003
y
x
yx
yx
La región factible es:
Los vértices de la región factible son (10,25), (10,190/3), (20,60) y (75/2,25).
La función objetivo, que queremos minimizar, es yxyxG 5,19,0, , por lo tanto:
5,465,379255,1109,025,10 G
1049593
1905,1109,0
3
190,10
G
1089018605,1209,060,20 G
25,715,3775,33255,12
759,025,
2
75
G
Para que los gastos en transporte sean mínimos se han de elaborar 10 lotes del tipo A y 25
lotes del tipo B y dicho gasto mínimo será de 46,5 €.
EJEMPLO:
La tabla siguiente nos muestra la composición de los artículos, A y B, por los elementos M1,
M2 y M3.
A B
M1 2 1
M2 3 2
M3 1 2
Necesitamos, al menos, 45 unidades de M1, 71 de M2 y 25 de M3, y los costes de traslado de A
y B son 50 € y 60 €, respectivamente.
Determinar los artículos que hay que elaborar para que los costes del traslado sean mínimos.
Solución:
Sea x el número de artículos A que hay que elaborar.
Sea y el número de artículos B que hay que elaborar.
La función objetivo, que queremos minimizar, es yxyxC 6050, .
Las restricciones son:
0
0
252
7123
452
y
x
yx
yx
yx
La región factible es:
Los vértices de la región factible son (0,45), (19,7), (23,1) y (25,0).
Como la función objetivo, que tenemos que minimizar, es yxyxC 6050, , se tiene que:
270027000456005045,0 C
137042095076019507,19 C
121060115016023501,23 C
12500125006025500,25 C
Para que los costes sean mínimos hay que elaborar 23 artículos A y 1 articulo B, siendo así los
costes mínimos de 1.210 €.