EJERCICIO 11.Control de Emisiones.Una planta de cemento produce 3,300,000 barriles de cemento por ao. Los hornos emiten 2 libras de polvo por cada barril producido. La planta debe reducir sus emisiones a no ms de 1,000,000 libras anuales. Hay dos dispositivos de control disponibles, A y B. El dispositivo A reducir las emisiones a libra por barril y el costo es de $0.25 por barril de cemento producido. Para el dispositivo B, las emisiones son reducidas a libra por barril y el costo es de $0.40 por barril de cemento producido. Determine el plan de accin ms econmico que la planta debe tomar de modo que mantenga su produccin anual de exactamente 3,300,000 barriles de cemento.Variables Estructurales.:Barriles de cemento producidos por ao que pasan por el dispositivo de control A (barriles).:Barriles de cemento producidos por ao que pasan por el dispositivo de control B (barriles).Funcin Objetivo.Se desea determinar el plan de accin ms econmico para la planta. Por lo tanto de desea minimizar el costo de funcionamiento los dispositivos A y B manteniendo la produccin de barriles de cemento. Restricciones.Restriccin 1: para la cantidad exacta de barriles de cemento que deben producirse en la planta por ao.

Restriccin 2: para la cantidad mxima permitida de emisiones de polvo anuales debido a la fabricacin de barriles de cemento en la planta.

Mtodo SIMPLEX.Se maximiza () debido a que Sujeto a: Se utiliza la variable artificial por ser una igualdad ().Se utiliza la variable de holgura por ser una desigualdad menor o igual a ().Restriccin de no negatividad.Escribimos las ecuaciones en su forma estndar.

Sujeto a:

Como hay 4 variables y 2 restricciones, entonces se trabaja con 2 (4-2=2) variables no bsicas, por ende 2 variables bsicas en el mtodo Simplex.A partir de las ecuaciones anteriores podemos construir la matriz ampliadaX1X2t1s1W

s1111003300000

t10.50.250101000000

R3- MR1 W0.250.4M010

Obligamos que el indicador de la variable t1 sea cero con R3- MR1 como se indica.X1X2s1t1W

s1111003300000

(Sale) 2R2 t10.50.250101000000

W0.25-M0.4-M001-3300000M

(Entra)

La variable que entra en las bsicas es X1 por tener el indicador ms negativo (0.25-M).La variable que sale de las bsicas es t1 por tener el cociente positivo ms pequeo (1000000/0.5 = 2000000).Mtodo de eliminacin Gauss-Jordan sobre la fila 2 pivote (2R2).X1X2s1t1W

R1- R2 s1111003300000

X110.50202000000

R3-(0.25-M )R2 W0.25-M0.4-M001-3300000M

Mtodo de eliminacin Gauss-Jordan sobre las filas 1 (R1- R2) y sobre la fila 3 (R3-(0.25-M )R2).X1X2s1t1W

(Sale) 2R1 s100.51-201300000

X110.50202000000

W00.275-0.5M0-0.5+2M1-500000-1300000M

(Entra)

La variable que entra en las bsicas es X2 por tener el indicador ms negativo (0.275-0.5M).La variable que sale de las bsicas es s1 por tener el cociente positivo ms pequeo (1300000/0.5 = 2600000).Mtodo de eliminacin Gauss-Jordan sobre la fila 1 pivote (2R1).

X1X2s1t1W

X2012-402600000

R2-0.5 R1 X110.50202000000

R3-(0.275-0.5M) R1 W00.275-0.5M0-0.5+2M1-500000-1300000M

Mtodo de eliminacin Gauss-Jordan sobre las filas 2 (R2-0.5 R1) y sobre la fila 3 (R3-(0.275-0.5M) R1).X1X2s1t1W

X2012-402600000

X110-140700000

W00-0.55+M0.61-1215000

Como no hay variables que entren en las bsicas por no tener indicadores negativos, entonces el mtodo Simplex ya alcanz su valor factible ptimo.Barriles de cemento producidos por ao que pasan por el dispositivo de control A (barriles).Barriles de cemento producidos por ao que pasan por el dispositivo de control B (barriles).Valor de la minimizacin de la funcin objetivo ($ por ao).

EJERCICIO 13.Costo de Transportacin.Un vendedor tiene tiendas en Exton y Whyton, y tiene bodegas A y B en otras dos ciudades. Cada tienda requiere del envo de exactamente 15 refrigeradores. En la bodega A hay 25 refrigeradores y en la bodega B hay 10 refrigeradores.Los costos de transportacin para enviar refrigeradores desde los almacenes a las tiendas estn dados en la tabla siguiente:ExtonWhyton

Bodega A$15$13

Bodega B$11$12

Por ejemplo, el costo para enviar un refrigerador desde A a la tienda de Exton es de $15. Cmo debe pedir el vendedor los refrigeradores de modo que los requerimientos de las tiendas se satisfagan, y los costos totales de transportacin se minimicen? Cul es el costo mnimo de transportacin?Variables Estructurales.:Refrigeradoras enviadas hacia la tienda Exton desde la bodega A (refrigeradoras).:Refrigeradoras enviadas hacia la tienda Exton desde la bodega B (refrigeradoras).:Refrigeradoras enviadas hacia la tienda Whyton desde la bodega A (refrigeradoras).:Refrigeradoras enviadas hacia la tienda Whyton desde la bodega B (refrigeradoras).Funcin Objetivo.Se desea determinar el plan de envo de refrigeradoras desde las bodegas hasta las tiendas que permita minimizar el costo de transportacin. Restricciones.Restriccin 1 y 2: cantidad limitada de refrigeradores en las bodegas A y B. Bodega A Bodega BRestriccin 3 y 4: para la cantidad exacta de refrigeradoras requerida en cada una de las tiendas (15 refrigeradoras por tienda) Tienda en Exton Tienda en WhytonMtodo SIMPLEX.Se maximiza () debido a que Sujeto a:Se utiliza la variable de holgura por ser una desigualdad menor o igual a ()Se utiliza la variable de holgura por ser una desigualdad menor o igual a () Se utiliza la variable artificial por ser una igualdad ().Se utiliza la variable artificial por ser una igualdad ().Restriccin de no negatividad.Escribimos las ecuaciones en su forma estndar.

Sujeto a:

Como hay 6 variables y 4 restricciones, entonces se trabaja con 2 (6-4=2) variables no bsicas, por ende 4 variables bsicas en el mtodo Simplex.A partir de las ecuaciones anteriores podemos construir la matriz ampliadaXEAXEBXWAXWBs1s2t1t2W

s110101000025

s201010100010

t111000010015

t200110001015

R5-MR3-MR4 W1511131200MM10

Obligamos que el indicador de las variables t1 y t2 sean cero con R5-MR3-MR4 como se indica.XEAXEBXWAXWBs1s2t1t2W

s110101000025

(Sale) s201010100010

t111000010015

t200110001015

W15-M11-M13-M12-M00001-30M

(Entra)

La variable que entra en las bsicas es XEB por tener el indicador ms negativo (11-M).La variable que sale de las bsicas es s2 por tener el cociente positivo ms pequeo (10/1 = 10).XEAXEBXWAXWBs1s2t1t2W

s110101000025

XEB01010100010

R3-R2 t111000010015

t200110001015

R5-(11-M)R2 W15-M11-M13-M12-M00001-30M

Mtodo de eliminacin Gauss-Jordan sobre las filas 3 (R3- R2) y sobre la fila 5 (R5-(11-M )R2).XEAXEBXWAXWBs1s2t1t2W

s110101000025

XEB01010100010

t1100-10-11005

(Sale) t200110001015

W15-M013-M10-11+M001-110-20M

(Entra)

La variable que entra en las bsicas es XWA por tener el indicador ms negativo (13-M).La variable que sale de las bsicas es t2 por tener el cociente positivo ms pequeo (15/1 = 15).XEAXEBXWAXWBs1s2t1t2W

R1-R4 s1100-1100-1010

XEB01010100010

t1100-10-11005

XWA00110001015

R5-(13-M)R4 W15-M00-12+M0-11+M0-13+M1-305-5M

Mtodo de eliminacin Gauss-Jordan sobre las filas 1 (R1- R4) y sobre la fila 5 (R5-(13-M )R4).XEAXEBXWAXWBs1s2t1t2W

s1100-1100-1010

XEB01010100010

(Sale) t1100-10-11005

XWA00110001015

W15-M00-12+M0-11+M0-13+M1-305-5M

(Entra)

La variable que entra en las bsicas es XEA por tener el indicador ms negativo (15-M).La variable que sale de las bsicas es t1 por tener el cociente positivo ms pequeo (5/1 = 5).XEAXEBXWAXWBs1s2t1t2W

R1-R3 s1100-1100-1010

XEB01010100010

XEA100-10-11005

XWA00110001015

R5-(15-M)R3 W15-M00-12+M0-11+M0-13+M1-305-5M

Mtodo de eliminacin Gauss-Jordan sobre las filas 1 (R1- R3).

XEAXEBXWAXWBs1s2t1t2W

s1000011-1-105

XEB01010100010

XEA100-10-11005

XWA00110001015

W000304-15+M-13+M1-380

Como no hay variables que entren en las bsicas por no tener indicadores negativos, entonces el mtodo Simplex ya alcanz su valor factible ptimo.Refrigeradoras enviadas hacia la tienda Exton desde la bodega A (refrigeradoras).Refrigeradoras enviadas hacia la tienda Exton desde la bodega B (refrigeradoras).Refrigeradoras enviadas hacia la tienda Whyton desde la bodega A (refrigeradoras).Refrigeradoras enviadas hacia la tienda Whyton desde la bodega B (refrigeradoras).Valor de la minimizacin de la funcin objetivo ($).

EJERCICIO 17.Costo de la Mano de Obra.Una compaa paga a sus trabajadores calificados y semicalificados en su departamento de ensamblado $14 y $8 por hora, respectivamente. En el departamento de embarques, a los empleados se les paga $9 por hora y a los aprendices $6 por hora. La compaa requiere al menos de 90 trabajadores en el departamento de ensamblado y 60 empleados en el departamento de embarques. Debido a acuerdos sindicales, deben emplearse al menos el doble de trabajadores semicalificados que de calificados. Tambin, deben contratarse al menos el doble de los empleados de embarques que de aprendices. Utilice el dual y el mtodo simplex para determinar el nmero de trabajadores de cada tipo que la compaa debe emplear, de modo que el total de salarios por hora sea mnimo. Cul es el costo mnimo en salarios por hora?Variables Estructurales.:Trabajadores calificados del departamento de ensamblado (personas).:Trabajadores semicalificados del departamento de ensamblado (personas).:Trabajadores empleados del departamento de embarque (personas).:Trabajadores aprendices del departamento de embarque (personas).Funcin Objetivo.Determinar el nmero de trabajadores de cada tipo que la compaa debe emplear, de modo que el total de salarios por hora sea mnimo. Por ende, debemos calcular el costo mnimo en salario por hora.

Restricciones.Restricciones 1 y 2: cantidad de trabajadores necesario para los departamentos de ensamblado y embarque respectivamente. Departamento de ensamble. Departamento de embarque.Restricciones 3 y4: cantidad de trabajadores necesario para los departamentos de ensamblado y embarque segn los acuerdos sindicales. Departamento de ensamble. Departamento de embarque.Problema Primal.

Sujeto a: Problema Dual.

Sujeto a:Se utiliza la variable de holgura por ser una desigualdad menor o igual a ().Se utiliza la variable de holgura por ser una desigualdad menor o igual a ().Se utiliza la variable de holgura por ser una desigualdad menor o igual a ().Se utiliza la variable de holgura por ser una desigualdad menor o igual a ().Restriccin de no negatividad.Escribimos las ecuaciones en su forma estndar.

Sujeto a:

y1y2y3y4s1s2s3s4W

s110-201000014

(Sale) s21010010008

s30101001009

s4010-2000106

W-90-6000000010

(Entra)

La variable que entra en las bsicas es y1 por tener el indicador ms negativo (-90).La variable que sale de las bsicas es s2 por tener el cociente positivo ms pequeo (8/1 = 8).y1y2y3y4s1s2s3s4W

R1-R2 s110-201000014

y11010010008

s30101001009

s4010-2000106

R5+90R2 W-90-6000000010

Mtodo de eliminacin Gauss-Jordan sobre las filas 1 (R1- R2) y sobre la fila 5 (R5+90R2).y1y2y3y4s1s2s3s4W

s100-301-10006

y11010010008

s30101001009

(Sale) s4010-2000106

W0-60900090001720

(Entra)

La variable que entra en las bsicas es y2 por tener el indicador ms negativo (-60).La variable que sale de las bsicas es s4 por tener el cociente positivo ms pequeo (6/1 = 6).y1y2y3y4s1s2s3s4W

s100-301-10006

y11010010008

R3-R4 s30101001009

y2010-2000106

R5+60R4 W0-60900090001720

Mtodo de eliminacin Gauss-Jordan sobre las filas 3 (R3- R4) y sobre la fila 5 (R5+60R4).y1y2y3y4s1s2s3s4W

s100-301-10006

y11010010008

(Sale) s30003001-103

y2010-2000106

W0090-12009006011080

(Entra)

La variable que entra en las bsicas es y4 por tener el indicador ms negativo (-120).La variable que sale de las bsicas es s3 por tener el cociente positivo ms pequeo (3/3 = 1).y1y2y3y4s1s2s3s4W

s100-301-10006

y11010010008

R3/3 y40003001-103

y2010-2000106

W0090-12009006011080

Mtodo de eliminacin Gauss-Jordan sobre la fila 3 pivote (R2/3).y1y2y3y4s1s2s3s4W

s100-301-10006

y11010010008

y40001001/3-1/301

R4+2R3 y2010-2000106

R5+120R3 W0090-12009006011080

Mtodo de eliminacin Gauss-Jordan sobre las filas 4 (R4+2R3) y sobre la fila 5 (R5+120R3).

y1y2y3y4s1s2s3s4W

s100-301-10006

y11010010008

y40001001/3-1/301

y20100002/31/308

W00900090402011200

Como no hay variables que entren en las bsicas por no tener indicadores negativos, entonces el mtodo Simplex ya alcanz su valor factible ptimo.Trabajadores calificados del departamento de ensamblado (personas).Trabajadores semicalificados del departamento de ensamblado (personas).Trabajadores empleados del departamento de embarque (personas).Trabajadores aprendices del departamento de embarque (personas).Valor de la minimizacin de la funcin objetivo ($ por hora).

EJERCICIO TRANSPORTE.Una compaa tiene cuatro enlatadoras que abastecen a cuatro almacenes y la gerencia quiere determinar la programacin de envo de costo mnimo para su produccin mensual de latas de tomate. La oferta de las enlatadoras, las demandas de los almacenes y los costos de envo por caja de latas de tomate se muestran en la Tabla 1.Costo de envo ($) por carga

Almacn

E (1)F (2)G (3)H (4)Produccin

EnlatadorasA (1)2535366015

B (2)553045386

C (3)40502665114

D (4)6040662711

Demandas1012159

Variables Estructurales.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora A hacia el almacn E.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora A hacia el almacn F.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora A hacia el almacn G.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora A hacia el almacn H.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora B hacia el almacn E.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora B hacia el almacn F.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora B hacia el almacn G.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora B hacia el almacn H.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora C hacia el almacn E.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora C hacia el almacn F.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora C hacia el almacn G.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora C hacia el almacn H.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora D hacia el almacn E.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora D hacia el almacn F.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora D hacia el almacn G.:Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora D hacia el almacn H.Funcin Objetivo.Determinar la cantidad mensual de latas de tomates enviadas de las enlatadoras a los almacenes tal que el costo de envo sea mnimo.

Restricciones.Restricciones relacionadas con la cantidad de produccin disponible de las enlatadoras (oferta).Oferta de la enlatadora A.Oferta de la enlatadora B. Oferta de la enlatadora C. Oferta de la enlatadora D.Restricciones relacionadas con la cantidad de produccin requerida por los almacenes (demanda).Demanda del almacn E.Demanda del almacn F.Demanda del almacn G.Demanda del almacn H.Solucin del Problema de Transporte.El problema de transporte est equilibrado porque el total de oferta es igual al total de demanda. Se determina la solucin factible inicial utilizando el procedimiento llamado regla de la esquina noroeste.

Basados en las condiciones de optimidad y factibilidad la variable no bsica entrante es , mientras que la variable bsica saliente es .

Basados en las condiciones de optimidad y factibilidad la variable no bsica entrante es , mientras que la variable bsica saliente es .

Basados en las condiciones de optimidad y factibilidad la variable no bsica entrante es , mientras que la variable bsica saliente es .

Basados en las condiciones de optimidad y factibilidad la variable no bsica entrante es , mientras que la variable bsica saliente es .

Finalmente, no se puede seguir optimizando y hemos llegado a la solucin final.Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora A hacia el almacn G.Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora B hacia el almacn F.Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora C hacia el almacn E.Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora C hacia el almacn H.Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora D hacia el almacn F.Cantidad mensual de latas de tomate enviadas de la enlatadora D hacia el almacn H.Costo mnimo del transporte ($ al mes).A continuacin se muestra la salida del programa WinQSB 2.0 utilizado en la Investigacin de Operaciones y en particular para la Programacin Lineal con el objetivo de confirmar los resultados obtenidos anteriormente.

EJERCICIO DE AMORTIZACIN DE PRSTAMO.Una deuda de $10,000 se va a saldar en 10 pagos semestrales iguales, con el primer pago dentro de seis meses. El inters es de 8% compuesto semestralmente. Sin embargo, despus de 2 aos la tasa de inters aumentar al 10% compuesto semestralmente. Si la deuda debe pagarse en la fecha que originalmente se convino, encuentre el nuevo pago anual. D su respuesta aproximada al dlar ms cercano.Solucin del Problema.

Tasa compuesta anual para los primeros 4 semestres (2 aos).Tasa compuesta anual para los ltimos 6 semestres (3 aos).Para resolver el problema utilizamos la siguiente tabla que muestra detalladamente el Plan de Amortizacin segn los semestres.Plan de Amortizacin.

Frmulas utilizadas:Pagos fijos semestrales a final de perodo del valor presente. Para los primeros 4 semestres y . Para los ltimos 6 semestres y .Pago de intereses del insoluto al inicio del perodo.Saldo al final del perodo.Insoluto al inicio del perodo.El nuevo pago para los ltimos 6 semestres (3 aos) basados en el plan de amortizacin mostrado anteriormente es de $1273.

EJERCICIO DE TRANSBORDO.En la siguiente figura se representa dos plantas de automviles, un centro de distribucin y dos agencias vendedoras.1120211034514090335421

En trminos de las conexiones por arcos de la figura, los nodos 1 y 2 estn caracterizados slo por arcos salientes, en tanto que el nodo 5 est caracterizado slo por arcos entrantes. Todos los dems nodos poseen arcos entrantes y salientes. A este respecto, los nodos y 7 2 son puntos de oferta pura y el nodo 5 es un punto de demanda pura. Los dems nodos son de transbordo porque la oferta entera (120+110=230) podra pasar a travs de ellos antes de llegar a sus destinos asignados.Lo primero es expresar el modelo como un programa lineal regular y luego, mostramos cmo la formulacin se convierte en forma equivalente en un modelo de transporte.Variables Estructurales.Sea la cantidad enviada de automviles del nodo i al nodo j. El modelo de programacin lineal se representa como se muestra en la siguiente tabla.

Basados en lo anterior procedemos a elaborar la tabla de transbordo directamente para convertir el problema planteado en un problema tpico de transporte.

Donde la cantidad B generalmente se denomina de amortiguamiento (Bulfer) y el costo M es un valor de penalizacin para el costo que se hace tan grande como se desee para evitar su seleccin como una variable bsica en el problema por ser la variable asociada no congruente con la realidad del problema. La oferta total es igual a la demanda total, por lo cual el problema de transporte est equilibrado. Tenemos para nuestro caso que (oferta total) y cuyo valor fue escogido arbitrariamente teniendo la precaucin que fuese lo suficientemente alto en comparacin al resto de los costos. Finalmente, tenemos:

Funcin Objetivo.Determinar la cantidad de automviles enviados desde la planta productora (oferta) a las agencias vendedoras (demanda) tal que el costo de envo total sea mnimo.

Restricciones.Restricciones relacionadas con la cantidad de produccin disponible de las plantas (oferta).Oferta del nodo 1 (oferta pura).Oferta del nodo 2 (oferta pura). Oferta del nodo 3 (oferta transbordo). Oferta del nodo 4 (oferta transbordo).Restricciones relacionadas con la cantidad de produccin requerida por las agencias de venta (demanda).Demanda del nodo 3 (demanda transbordo).Demanda del nodo 4 (demanda transbordo).Demanda del nodo 5 (demanda pura).Solucin del Problema de Transporte.El problema de transporte est equilibrado porque el total de oferta es igual al total de demanda. Se determina la solucin factible inicial utilizando el procedimiento llamado regla de la esquina noroeste.

Basados en las condiciones de optimidad y factibilidad la variable no bsica entrante es , mientras que la variable bsica saliente es .

Basados en las condiciones de optimidad y factibilidad la variable no bsica entrante es , mientras que la variable bsica saliente es .

Finalmente, no se puede seguir optimizando y hemos llegado a la solucin final.Cantidad de automviles llevados del nodo 1 al nodo 4.Cantidad de automviles llevados del nodo 2 al nodo 3.Cantidad de automviles llevados del nodo 3 al nodo 3 (inoperante).Cantidad de automviles llevados del nodo 3 al nodo 4.Cantidad de automviles llevados del nodo 4 al nodo 4 (inoperante).Cantidad de automviles llevados del nodo 4 al nodo 5.Costo mnimo del transporte ($).A continuacin se muestra la salida del programa WinQSB 2.0 utilizado en la Investigacin de Operaciones y en particular para la Programacin Lineal con el objetivo de confirmar los resultados obtenidos anteriormente.