Fejleszt matematika (512. vf.) 1

SZMTAN, ALGEBRA BArnyok s szzalkszmts 3.2

Szzalkok kezdknek s haladknak

Arnyok s szzalkszmts2. feladatcsomag

letkor: 1318 v

Fogalmak, eljrsok:

a szzalk fogalma a szzalkszmts alapesetei algebrai kifejezsek egyenletek megoldsa algebrai s grafi kus mdszerek a probl-

mamegoldsban nyitott feladatok modellezsi feladatok

Szzalkszmtssal kapcsolatos helyzetekkel sokfle form-ban s sokfle tartalommal lehet tallkozni az iskolban s a mindennapi letben is. Ennek ellenre a felmrsek szerint ezen a tren a felntt lakossg ismeretei is elg hinyosak itthon s klfldn is. De felmrsek nlkl is tudjuk, hogy sok a gond ebben a tmban, hiszen rendszeresen tallhatk szzalkszmtshoz kapcsolhat hibk pldul a mdiban s a reklmokban is.Ennek egyik oka nyilvnvalan az, hogy a szzalkszmts nem szerepel kell hangsllyal az rkon. De valsznleg az is igaz, hogy a sokszor szraz szmtsok eleve unalmasak, s hamar feledsbe is merlnek.A kvetkez feladatok nemcsak a szzalkszmts alkalma-zsra mutatnak tbb lehetsges szitucit, de remlhetleg rdekess, esetenknt jszerv is teszik a tma feldolgoz-st.

Fejleszt matematika (512. vf.)2

SZMTAN, ALGEBRA BArnyok s szzalkszmts 3.2

A feladatok listja

1. Rhangol I. (arnyos kvetkeztets, sszefggsek alkalmazsa, szmols)

2. Rhangol II. (arnyos kvetkeztets, sszefggsek alkalmazsa, szmols)

3. Feladatok az zleti let vilgbl (sszefggsek keresse, szmols, szvegrts)

4. Nemcsak profi knak! (sszefggslts, sszehasonlts, rendszeralkots)

Mdszertani tancsok

A feladatcsomag kt rhangol feladatlappal indul. Kzlk a msodikat ltalban rdemes akkor is megoldatni a tanu-lkkal, ha egybknt gy tljk meg, hogy a tanulk kell-kppen jrtasak a tmban. Ugyanis az alapvet szmtsok tismtlsn tl a feladatok bevezetst adnak a tovbbiakban is felbukkan nyitott feladatok vilgba, s ezek mg sok he-lyen nem szmtanak hagyomnyos feladatoknak. A nyitott feladatok tpusai kzl a feladatlapokon tbb is szerepel.

A Rhangol I. feladatai kt gyakori hibalehetsget is tr-gyalnak. Az egyik az, hogy a tanulk vals szitucihoz kap-csolhat feladatokban a negatv eredmnyt akkor is elvetik, ha az egybknt a feladat szempontjbl rtkelhet lenne. Itt ezt a negatv rtkknt megjelen vagyoni llapot jelzi, ami termszetesen lehetsges, s adssgot jelent.A msik az utols feladatban megjelen, ktszeri rvltozta-ts utni r eredeti rhoz val viszonyval kapcsolatos. Nem vletlenl kr itt a feladat rajzot is. Ez vizulisan is segt rg-zteni azt a tnyt, hogy az llts nem igaz. A tbbfle mdon vgiggondolt s klnbz mdon reprezentlt tartalmak bi-zonytottan tartsabban maradnak meg.

Fejleszt matematika (512. vf.) 3

SZMTAN, ALGEBRA BArnyok s szzalkszmts 3.2

A Rhangol II. els feladata valsznleg a gyakorls rdeke-sebb lehetsgt knlja a szzalkszmts egyik alapeset-hez. Emellett elgondolkodtat szmadatot is szolgltatnak a szmtott rtkek arrl, milyen sokan vannak azok, akiknek elmaradsuk van a testedzs tern. gy a szmts nem ncl mveletvgzs volt csupn, hanem egy rdekes informci-hoz is juttatja a tanulkat, amirl rdemes elbeszlgetni rvi-den az rn. A feladat msodik rsze nemcsak az ntevkeny feladatvgzst segti, de egyben az elz rszhez kpest ford-tott feladatot is jelent: az sszehasonltshoz ki kell szmolni a megfelel szzalkokat.A lap msodik feladata egy egyszer nyitott feladat (szituci-s). A tanulknak kell megadni azt az adatot, amivel szmol-nak, s k vlasztjk meg az sszehasonlts mdjt is. Ezzel a feladattal gy tbb kamatoskamat-szmts is trtnik. Term-szetesen feladhat lett volna a feladat zrt formban, konkrt kezdeti rtkekkel is, ami a helyes szmts gyors ellenrzst segtette volna. m most mgsem ezt tettk, ugyanis bebizo-nyosodott, hogy a tanulk szvesebben foglalkoznak s job-ban is dolgoznak olyan feladatokkal, amelyeknl a feladat-ksztsben is legalbb valamennyire rszt vehettek. (Ezt a lehetsget mg a tovbbi feladatoknl is kihasznljuk.) A fel-adat megoldsa emellett mg fejleszti a tervszer, tgondolt feladatmegoldst is, hiszen rdemes tolvasni, meggondolni, megtervezni az elindulst. Ugyanis j kiindulsi rtket v-lasztva nyilvnvalan kevesebbet kell szmolni.A feladat tovbbi hozadka a szmrzet fejlesztse, hi-szen tbb pldn tgondolva az adott szzalkos emels hatst, jobban rzkelhet a vgeredmny alakulsa. Ezt a feladatot rdemes csoportmunkban megoldatni: egy cso-portban a tagok megegyeznek arrl, hogy milyen kiindulsi rtkkel szmolnak esetleg ezt a tbbi csoporttal is egyezte-tik , majd a csoporttagok egyms kztt felosztjk, ki melyik szmts(oka)t vgzi el a hrom kzl. rdemes gy dolgozni, hogy minden rtkkel ketten vgzik el ugyanazt a szmtst,

Fejleszt matematika (512. vf.)4

SZMTAN, ALGEBRA BArnyok s szzalkszmts 3.2

egymstl fggetlenl, majd sszehasonltjk az eredmnye-ket.A lap utols feladata egy modellezsi feladat. Ennek megold-shoz elszr rdemes felvzolni a szempontokat, amelyeket fi gyelembe vesznk a tovbbiakban, meggondolni, majd el-vgezni a szksges szmtsokat, ezeket sszevetni a szem-pontokkal, aztn tgondolni ennek alapjn egy j szempont-rendszer kialaktsval egy esetleges j modell ksztst. (V.: modellezsi ciklus, Ambrus G., 2007)

A Feladatok az zleti let vilgbl feladatlap szitucii val-ban az zleti letbl valk, br helyenknt rezheten be-ltztetett feladatrl van sz, azaz a matematikai tartalmat ruhztuk fel egy nagyjbl alkalmas szitucival. Ezt esetleg rdemes megbeszlni a tanulkkal is, hiszen j tisztzni, mi-lyen esetben tekinthetjk (kzel) valsnak a feladatban lert helyzetet, s mikor van sz csupn a matematikai tartalom szvegbe gyazott felismersrl. Ennek tisztzsa, tudato-stsa hozzjrul a matematikai ismeretek valdi gyakorlati problmkban val helyes alkalmazshoz is.A lap feladataiban vltozatos formban jelennek meg a sz-zalkszmts algebrai vonatkozsai. Emellett, ahogyan ez korbban is volt, ms tartalmak is gyakorlsra kerlnek, pl-dul az 1. feladatnl a fggvnyszer gondolkods, a vltoz paramterek vizsglata. Mindhrom feladat jellemzje, hogy megoldsuk sorn keveset kell szmolni, annl tbbet gondol-kodni. Itt klnsen fontos, hogy a klnbz eredmnyek, klnbz megoldsi utak megvitatsra kerljenek.

A Nemcsak profi knak feladatlap tartalmazza vlemnynk sze-rint a legnehezebb, de egyttal a legrdekesebb feladatokat is. Megoldsuk sorn a bevlt szmtsi mdok csak rszben alkalmazhatk, ltalban akkor is csak valamilyen jszer for-mban.Az els feladathoz sajt feladat ksztse is kapcsoldik. En-nek az is clja, hogy a megolds sorn megfi gyelteket tudato-

Fejleszt matematika (512. vf.) 5

SZMTAN, ALGEBRA BArnyok s szzalkszmts 3.2

stsk a tanulk, azaz ne csak a megoldst, de ehhez kapcsol-dan a feladat megfogalmazst is fi gyeljk. Ez nyilvnvalan jobban biztosthat, ha megoldst is krnk a tanulk ltal ksztett feladathoz. gy a feladat nemcsak a problmameg-old kpessget, de a refl ektv, analizl feladatmegoldst is segti.A szzalkos feladatok vilgbl nem maradhatnak ki a rekl-mok. A feladatlap utols feladataknt egy egyetemi hallgat ltal gyjttt gyngyszem kerl tertkre.

Megoldsok, megjegyzsek

1. Rhangol I.1. A tbbfle mdszer a kvetkeztetst s a trtrszszmtst,

kpletalkalmazst jelenti. A c) esetben lehet szmolni gy, hogy elvesszk a szmbl az rtk hatvan szzalkt, de gy is, hogy fi gyelembe vesszk, a megmarad rsz az ere-deti szm 40%-a, s ezt szmoljuk ki.

a) 210 b) 583,33 c) 1402. Ha a megtakartott pnzem 150%-a 30 000 Ft, akkor a

vagyonom kezdetben 20 000 Ft-volt. Ebbl kltttem el a 30 000 Ft-ot, gy a vagyonom 10 000 Ft, azaz 10 000 Ft adssg.

3. A szmot a-val jellve felrhat, hogy 0,7 1,2a = 0,84a, ami nyilvnvalan kisebb, mint 0,9a.

Pldul a kvetkez rajz kszthet:

4. A fi k nem fi gyeltek elgg a matematikarkon. A 20%-os engedmny mindig az aktulis rbl rtend, gy az 5. rleszllts utn a cip ra az eredeti r 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 . 0,328-szorosba kerl.

Fejleszt matematika (512. vf.)6

SZMTAN, ALGEBRA BArnyok s szzalkszmts 3.2

2. Rhangol II.1. A jelzett korosztly ltszma (618) krlbell szmthat

pldul a kvetkez korfa segtsgvel:

Magyarorszg korfja 2008-ban(http://profi tline.hu/nyugdij/Demografi ai-helyzet-korfa)

Ennek alapjn a fi k ltszma krlbell 890 000, a lnyok 925 000 volt 2008-ban. Ez a ltszm jabb eredmnyekkel, pontosabb adatokkal javthat.

Ha krlbell 900 000-t vesznk (a fi atalok szma cskkent az utbbi vekben) mindkt nem esetben, akkor is lthat a nagysgrend az egyes adatokhoz:

Lnyok: 1. 93 600 2. 103 500 3. 198 900 Fik: 1. 179 000 2. 205 200 3. 281 7002. A tglalap alak terlet hosszabbik vagy rvidebb oldalt

25%-kal cskkentve a terlet is gy cskken. Olyan megol-dst is kerestessnk, ahol egy (esetleg tbb) darabot kell kivgni a tglalapbl.

Fejleszt matematika (512. vf.) 7

SZMTAN, ALGEBRA BArnyok s szzalkszmts 3.2

A kivgand rsz terlete 6 105 m2. Ennek egy tglalap kivgsa esetn elvileg brmely kttnyezs szorzatalakja megolds lehet. A szveget fi gyelembe vve inkbb egsz tnyezs felbontsok jnnek szba, s gyelni kell arra is, hogy a kis rsz kivgsnl az oldalak nem lghatnak tl az eredeti tglalap oldalain. Ezrt rdemes vzlatot ksz-teni a tervezett cskkentshez.

A vzlat kapcsn megbeszlhet, hogy olyan megoldsok is szba jhetnek, mint pldul az eredeti fldterlet va-lamelyik rszn egy tanynak megfelel rsz s bektt (utak).

3. Ha a betett sszeget p-vel jelljk, akkor a kamatemels hatsnak vizsglathoz pldul a kvetkez kpletek hasznlhatk az egyes esetekben:

a) , ,p p112001 5 1 0151

12

$ .+` j

b) , ,p p1

4001 5 1 01508

4

$ .+` j

c) , ,p p1

1001 5 1 015$ .+` j

Ha pldul 1 milli forint esetben nzzk a hatst, akkor ez krlbell

a) 15 100 Ft, b) 15 080 Ft c) 15 000 Ft tbbletet jelent ves szinten. Ez j kiindulpontot jelent tovbbi rtkek megvlaszt-

shoz. Lthat, hogy a hromfle kamatszmts ekkora sszegnl mg nem vezet lnyeges klnbsgre.

4. Pldul legyen a betett pnz minden hnap elejn 1000 fo-rint, a havi kamat az ves infl ci ktszeresnek