szil peldatar javitott 2017 01 05szt.bme.hu/phocadownload/Tantargyak anyagai/2-1... · BME...

BME, SZILÁRDSÁGTANI ÉS TARTÓSZERKEZETI TANSZÉK

Példatár Szilárdságtan 1. című tantárgyhoz

Összeállította: O. Csicsely Ágnes

BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszék Szilárdságtan I

1/110

A jelenlegi példatár a Kőrössi Tibor, Laki Tamás, Dr. Rusznák György: Szilárdságtani Példatár átdolgozott és kibővített kiadása. A feladatok szerkesztésében és az ábrák rajzolásában Duliskovich Annamária, Fehér Eszter, Nagy Bajnok Tamás, Ridzi Júlia , Zsódi Dóra és Balogh Diána építészmérnök hallgatók vettek részt. Közreműködésüket ezúton is köszönjük!


Központos húzás, nyomás 1/110

1. KÖZPONTOS HÚZÁS, NYOMÁS

A tárgyalt példák megoldásának alapja a Hooke-törvény. E szerint rugalmas állapotban levő anyagok

esetében:

� = � × � Itt

� = ��

- a keresztmetszetben fellépő húzófeszültség, számértékre nézve a központos húzóerő és a húzott elem keresztmetszeti területének hányadosa: dimenziója N/mm2. „E” a vizsgált elem anyagára jellemző

rugalmassági tényező, ugyancsak N/mm2 dimenziójú.

� =

- a fajlagos megnyúlás, vagyis az 1 mm hosszú rúdszakasz alakváltozása. Mint a ∆ teljes megnyúlás és az l eredeti hossz hányadosa, ε dimenzió nélküli arányszám.

A fenti képletekből a következő újabb összefüggések állíthatók elő:

� = �� = �� × �

∆ = � × = �� × = � × � × �

A húzott rúdnak, nemcsak a hossza, hanem a keresztirányú mérete is megváltozik. Ez a méretcsökkenés (harántkontrakció) a keresztmetszet szélességi mérete (körátmérő, négyszög-oldal stb.)

és a keresztirányú fajlagos alakváltozás (��) segítségével számítható. Képlete:

∆ = �� ×

A kétféle fajlagos alakváltozás között a következő összefüggés írható fel:

�� = −� × �

Itt µ az anyagra jellemző, dimenzió nélküli un. Poisson-féle szám, értéke sohasem nagyobb, mint 0,5.

A negatív előjel a kétféle alakváltozás ellentétes jellegére utal.

Ha �� fenti értékét ∆ képletbe betesszük, majd ε helyébe ∆�� - t, ∆ helyébe pedig

�×��×� - t helyettesítünk,

∆� -ra a ∆ -hez hasonló formulát nyerünk:

∆ = −� × �×��×�



A két képlet annyiban tér el egymástól, hogy a hosszirányú alakváltozás az „l” hosszúsággal, a keresztirányú a d keresztmetszeti (szélességi) mérettel arányos, azonkívül az utóbbinál a µ szorzó mutatja

az alakváltozás keresztirányú voltát.

Nagyon ügyeljünk valamennyi képlet használatánál az azonos dimenziókra: célszerű minden tényezőt

N és mm (mm2, mm3) értékkel behelyettesíteni!

Központos nyomáskor mindaddig, amíg a nyomott elem zömöksége következtében kihajlási veszély nincs, a központos húzás és nyomás között számítási szempontból – az előjel – különbségén kívül – semmiféle eltérés nincs, így ezt a terhelési esetet nem kell külön tárgyalni.



1.) Mekkora a maximális húzóerő, amit a rúd fel tud venni? Mekkora a �� hatására keletkező hossz-

és keresztirányú alakváltozás?

A tárgyalt példák megoldásának alapja a Hooke-törvény. E szerint rugalmas állapotban levő anyagok esetében:

��,�,� = 270 �/""#

�� = 206 000 �/""#

� = 0,3

� = 12# × '4 = 113 ""#

Maximális húzóerő hatására a rúd keresztmetszetében létrejövő � éppen ��,�,� nagyságú lesz. Tehát:

)*� = � × ��,�,� = 113 × 270 = 30 510 � = ,-, ./ 01

Ennek az erőnek a hatására a következő alakváltozások keletkeznek:

∆ = ��,�,� × � = 270 × 6000206 000 = 2, 34 55

∆6 = −� × ��,�,� × 6� = −0,3 × 270 × 12206 000 = −0,0047 "" (�89:;<ℎáó68::, @Aö��C9: á:"é;ő)



2.) Mekkora F erő esetén lesz G = -, -4°? (A gerendát tökéletesen merevnek tekintjük)

��,�,� = 300 �/""#

�� = 206 000 �""#

� = 8# × '4 = 50,3 ""#

Megjegyzés: Mindenekelőtt arra a kérdésre adjunk választ, hogy mekkora az α szög fokban adott értéke

radiánban!

0,06° ⟹ 0,06 × '180 = 1,05 × 10KL;<6 = 0,00105 ;<6

Ha ismerjük α szög radiánban mért értékét, akkor számíthatjuk az „A” pont függőleges elmozdulását. (Az egyenlet felírásánál vegyük figyelembe, hogy ha α < 5°40', akkor α (rad) ≈ sin α ≈ tg α.)

∆ = × α = 5000 × 0,00105 = 5,25 mm (nyúlás)

Az A pont függőleges elmozdulását a felfüggesztő huzal megnyúlása okozta, a megnyúlás pedig a huzalban működő F erő hatására jött létre. A megnyúlás ismeretében a Hooke-törvény alapján F

számítható:

) = ∆ × � × � = 5,25 × 206 000 × 50,34000 = 13 599,9 � = 13,6 ��

Ellenőrizzük, hogy nem léptük-e túl a rugalmasság határát:

� = )� = 13 599,950,3 = 270,4 �""# < ��,�,� = 300 �""# V)

Végül „F”-et, mint ismert reakciót ébresztő terhet a „B” pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenletből

számítjuk:

2 × ) = 5 × �� → ) = 52 × �� = ,X 01



3.) Három db 10 mm átmérőjű acélhuzalt az ábrán látható módon együtt terhelünk. A középső huzal

szilárdsága kisebb, mint a két szélsőé. Y − Z diagramjuk adott. Mekkora a huzalok együttes

megnyúlása, ha:

a, � = ,- 01;

b, � = .. 01 ?

Mekkora az együttes teherbírásuk?

�� = 206 000 �/""#

��,�,[ = ��,�,�,[/�� = 300/206 000 = 1,456 × 10KL = 1,456%o

��,�,� = ��,�,�,�/�� = 200/206 000 = 0,9709 × 10KL = 0,9709%o

Rajzoljuk meg a „párhuzamos” rendszer ) − ∆ diagramját!

�[ = 2 × 10# × '4 = 157 ""# �� = 10# × '4 = 78,5 ""#

A középső szál képlékeny, a szélső szálak rugalmas állapotban vannak:

� = ��,�� = 0,9709 × 10KL ) = 157 × 206 000 × 0,0009709 + 78,5 × 200 = 47,1 × 10L � = 47,1 �� ∆ = 0,0009709 × 5000 = 4,854 ""

Mindhárom szál képlékeny állapotban van:

� = ��,[� = 1,456 × 10KL ) = 78,5 × 200 + 157 × 300 = 62,8 × 10L � = 62,8 �� ∆ = 0,001456 × 5000 = 7,282 ""

A rendszer maximális teherbírása (képlékeny állapotban): 62,8 kN



a, ∆ =? , ℎ< ) = 30 �� 30 �� < 47,1 ��, mindhárom huzal rugalmas állapotban van.

Mivel a huzalok területe, hossza egyenlő, és a rugalmassági modulusuk is azonos, ezért egy-egy

huzalra 10 kN erő jut, a közös megnyúlási érték így:

∆ = � × � × � = 10 000 × 5000206 000 × 78,5 = 3,1 "" (9_úáA) b, ∆ =? , ℎ< ) = 55 ��

55 �� > 47,1 ��, a középső huzal képlékeny, a szélső huzalok rugalmas állapotban vannak.

) = �[ + �� = �[ + ��,�,�,� × �� = �[ + 200 × 78,5 = 55 × 10L �

↓

�[ = 39,3 × 10L � = 39,3 �� A másik két huzalra tehát egyenként

)[ = 39,32 = 19,65 �� erő jut Ellenőrzésképpen vizsgáljuk meg ennek az erőnek a hatására ébredő feszültségeket:

�[ = )� = 19 65078,5 = 250,3 �/""# < 300 �/""# V)

A megnyúlás:

∆[ = � × � = 250,3 × 5000206000 = 4, / 55 (nyúlás)

Ami majdnem kétszerese az előzőnek.



4.) Rajzoljuk meg az egyes anyagok Y − Z diagramját!

4.b) Rajzoljuk meg a „párhuzamos” rendszer � − ∆g diagramját!

4.c) � =?, ha ∆g = -, /- h5.

Acél: ��,�,� = 200 �/""# �� = 206 000 �/""# Fa: �i,� = 15,3 �/""# �i = 12 000 �/""#

a, Rajzoljuk meg az egyes anyagok � − � diagramját!

��,� = ��,�,�� = 200206 000 = 9,71 × 10Kj = -, k2/ ‰ �i,� = �i,��i = 15,312 000 = 1,275 × 10KL = /, m2. ‰

b, Rajzoljuk meg a „párhuzamos” rendszer ) − ∆ diagramját!

Az acél képlékeny, a fa rugalmas állapotban van:

� = ��,� = 9,71 × 10Kj ) = 2 × 202 × 200 + 1002 × 9,71 × 10Kj × 12 000= 160 000 + 116 520 = 276 520 �= m24, .m 01 ∆ = 0,000971 × 1000 = -, k2/ 55

Az acél képlékeny, a fa rugalmas határon van:

� = �i,� = 1,275 × 10KL


Központos húzás, nyomás 8/110 ) = 160 000 + 100 × 100 × 15,3 = 313 000 � = ,/, 01

∆ = 0,001275 × 1000 = /, m2. 55 Az acél képlékeny, a fa szakad:

� > �i,� > 1,275 × 10KL ) = 160 000 � = /4- 01

c, ) =?, ha ∆ = 1 "".

Az acél képlékeny, a fa rugalmas állapotban van:

∆� = ∆i → �� = �i, mivel � = i = � = �� = �i = ∆ = 11000 = 10KL ��,�,� = 200 �/""# �i = 10KL × 12 000 = 12 �""# < �i,� = 15,3 �/""# ) = )[pé� + )q[ = ��,�,� × �[pé� + �q[ × �q[ = 160 000 + 12 × 1002 = 280 000 � = m3- 01



5.a) Mennyi a felfüggesztő rudak megnyúlása (rs =? ; ru =? ), ha �/ = - és � = mX 01 .

Adjuk meg a gerenda szögfordulását is!

5.b) Határozzuk meg az erő (�/ =?) nagyságát, hogy a gerenda vízszintes maradjon, ha � = /- 01.

Számoljuk ki a rudakban ébredő feszültségeket is! (Yv =? ; Yw =?)

Acél: ��,�,� = 200 �/""# �� = 206 000 �/""#

�xy# = 12# × '4 = 113 ""#

)*�xy# = 113 × 200 = 22 600 � = 22,6 �� a, Mennyi a felfüggesztett rudak megnyúlása (yz =? ; y{ =? ), ha Fy = 0 és F = 24 kN ? Adjuk meg a

gerenda szögfordulását is!

)� = )3 < )�xy# = 243 = 8 �� < 22,6 �� )� = 2 × )3 < )�xy# = 2 × 243 = 16 �� < 22,6 �� _� = ∆� = ) × � × � = 8 × 10L × 2 000206 000 × 113 = 0,6873 "" _� = ∆� = ) × � × � = 16 × 10L × 4 000206 000 × 113 = 2,749 ""



� ≅ tg � = 2,749 − 0,68736000 = 3,436 × 10Kj ;<6 = 0,01969°

b, Határozzuk meg az erő ()y =?) nagyságát, hogy a gerenda vízszintes maradjon, ha ) = 10 ��. Számoljuk ki a rudakban ébredő feszültségeket is! (�� =? ; �� =?)

_� = _� éA )� = 10 × 2 + )y × 76 )� = 10 × 4 − )y × 16 )� × �� × � = )� × �� × � � × � = á<96ó → )� × � = )� × � (10 × 2 + )y × 7) × 2,006 = (10 × 4 − )y × 1) × 4006 → )y = 6, 6� �� = 11 1111113 = 98,33 �/""# < �� = 200�/""#

)� = 10 × 2 + 6, 6� × 76 = 11, 1� �� = 5 555113 = 49,16 �/""# < �� = 200�/""#

)� = 10 × 4 − 6, 6�6 = 5, 55� ��

Mindkét rúd rugalmas állapotban van.

_� = ∆� = ) × � × � = 11 111 × 2 000206 000 × 113 = 0,9546 "" _� = ∆� = ) × � × � = 5 555 × 4 000206 000 × 113 = 0,9546 ""


Tiszta Nyírás 11/110

2. TISZTA NYÍRÁS

Ha a keresztmetszetre csak nyíróerő hat, és a feszültséget egyenletesen megoszlónak tételezzük fel,

akkor a nyíróerő értéke:

� = �� Itt τ a nyírófeszültség átlagértéke (dimenziója N/mm2), V pedig a nyíróerő. Meg kell említenünk, hogy

ez a képlet nem alkalmas a hajlítással egyidejűleg fellépő nyírófeszültségek számítására, arról

részletesebben majd a „Hajlítás” c. fejezetben lesz szó.

Ki kell térnünk röviden a nyírás okozta szögtorzulásra. A nyírófeszültség (τ), a szögtorzulás (γ) és a rugalmassági tényező, valamint a Poisson-szám függvényeként felírható nyírási rugalmassági tényező (G)

között a Hooke törvényhez hasonló összefüggés áll fenn:

� = � × � → ebben az esetben: � = �2 × ( + �)

Innen számítva a szögtorzulást:

� = �� Tiszta nyírás a valóságban tulajdonképpen nem fordul elő; gyakorlatilag azonban tisztán nyírtnak

tekintjük a csavar- és fakötések egyes elemeit; így az ezekben fellépő feszültséget a � = �� képlettel

számolhatjuk.

Meg kell jegyeznünk, hogy az ebben a fejezetben tárgyalásra kerülő példák a fa- és fémszerkezetek kötési módjainak csak néhány – nem is feltétlenül korszerű – fajtáját ismertetjük. A cél ezúttal a tiszta nyírás számításmódjának megmutatása, nem pedig a fa- és fémkötések részletes tárgyalása volt. Ezekkel részletesebben az Acél és Faszerkezetek tervezése c. tárgy megfelelő fejezetei foglalkoznak.



Csavaros kapcsolatok

A csavaros kötések számításakor meg kell vizsgálni nyírásra a csavarokat, palástnyomásra a csavar és

a lemez közül azt, amelyiknek kisebb a szilárdsága, és húzásra – húzott kapcsolat esetében a lemezt.

Egynyírású Kétnyírású

/A kapcsolat külpontossága miatt, tervezése nem ajánlott!/

A csavarokról elsősorban azt kell megállapítani, hogy egy- vagy kétnyírásúak-e. Az első esetben egy, a második esetben két csavarkeresztmetszet áll ellen a nyíró igénybevételnek.

A csavarpaláston a nyomóerők hatására változó irányú és intenzitású feszültségrendszer ébred. E helyett azonban számolhatunk az átmérő síkjában egyenletesen megoszló feszültségrendszerrel, ha a

szilárdságot is ilyen módon állapítjuk meg.

� = 6 × :

��,� = )� = )6 × :

Az „fu,d” a képletében „d” a csavarátmérő, „t” pedig egynyírású csavar esetében a kisebbik

lemezvastagság (t1), kétnyírású csavarok esetében pedig 2 × :y ill. :#közül a kisebbik méret.

A fenti képletekben a csavarok átmérője névleges mérettel számolandó, ez mindig páros szám.

Húzott lemezek esetében a csavarlyuk-gyengítéseket a teljes keresztmetszetből le kell vonni, ekkor a

lyuk átmérőjét vagyis d+1 mm-es értéket kell figyelembe venni.

A csavarok elrendezésére vonatkozólag a szabályzatok szerkesztési előírásokat tartalmaznak. Ezek figyelembevétele esetén csak a fent tárgyalt vizsgálatokat kell elvégezni, és nincs szükség például a lemez elnyíródásának, vagy a nem egy keresztmetszetben történő elszakadásának vizsgálatára, amelyeket más körülmények között nem lehetne mellőzni.

Fakötések

A fakötéseket szintén minden lehetséges hatásra (húzás, nyomás, nyírás) meg kell vizsgálni. Az esetek sokfélesége miatt azonban itt általános megoldási módszereket nem adunk. A számítások menetét az egyes példák során fogjuk részletesen ismertetni.



1.) Adott anyagmennyiség és csavarkép mellett tervezze meg a csavarok átmérőjét!

Lemezek: ��,�,� = 235 �/""# ��,� = 360 �/""#

Csavar ��,� = 240 �/""# ��,� = 400 �/""#

Egy csavarra jut: ) = )��9 = 3606 = 60 �� erő

Nyírás:

�� = 6#'4 �� = )9 × ��,� = 60 0002 × 240 = 125 ""# → 6 = 12,6 "" → �14 @A<�<;

Palástnyomás:

6�� = ):�� × ��,� = 60 00012 × 360 = 13,9 "" → 6 = 13,9 "" → �14 @A<�<; Alkalmazzunk tehát �14 csavarokat.

Lemez ellenőrzése:

A lemezt mindhárom csavarral gyengített keresztmetszetben megvizsgáljuk:

)iy = 235 × (180 − 15) × 12 × 10KL = X4., , 01 > 360 �� MF )i# = 235 × (180 − 2 × 15) × 12 × 10KL = Xm,, - 01 > 300 �� MF )iL = 235 × (180 − 3 × 15) × 12 × 10KL = ,3-, 2 01 > 180 �� MF



2.) Ellenőrizze a csukló csavarkötését!

Lemezek: ��,�,� = 200 �/""# ��,� = 360 �/""#

Csavar ��,� = 160 �/""# ��,� = 360 �/""#

A csuklóban átadódó erő a „befüggesztett” tartó reakciója:

)� = 4 × 62 = 12,0 �� Az egyes csavarokra ható erő:

)y = 12 × 5040 = 15,0 �� )# = 12 + 15 = 27 ��

Mivel a csavarok egyformák, a legnagyobb erővel ()#) terhelt csavart kell ellenőrizni.

Nyírás:

)�,*� = " × 6#'4 × ��,� = 2 × 12#'4 × 160 × 10KL = 36,19 �� > 27 �� V) Palástnyomás:

)�,*� = 6 × :�� × ��,� = 12 × 5,7 × 360 × 10KL = 24,62 �� < 27 �� NMF Tehát a kapcsolat nem felel meg.

Ismétlésként számítsuk ki a támaszerőket.



3.) Számítsuk ki a vázolt függesztőműves fedélszerkezet kijelölt csomópontjának teherbírását!

Puhafa: ��,� = 1,2 �/""# �p,�,� = 9,7 �/""# �p,��,� = 1,2 �/""# �i,�,� = 6,5 �/""#

Megjegyzés: A kapcsolat összes lehetséges tönkremeneteli módjára kiszámítjuk a határerőt ()*�) és a legkisebb érték lesz a kapcsolat teherbírása.

Húzás:

Húzásra az oszlop csavarral gyengített keresztmetszetét vizsgáljuk meg.

)i,*� = 70 × (200 − 13) × 6,5 = 85 085 � = 85,0 �� Fognyomás: Fognyomásra az egymáshoz nyomódó felületek közül azt vizsgáljuk, amelyiknek a rostirányára

merőleges az igénybevétel - vagyis a gerendát.

)p,��,*� = 2 × 40 × 200 × 1,2 = 19 200 � = 19,2 ��

Nyomás: Rostirányú nyomás éri a függesztő oszlop alsó felét, ezt is megvizsgáljuk. (Általában ez a

tönkremeneteli mód nem mértékadó a fognyomáshoz képest.)

)p,�,*� = 2 × 40 × 200 × 9,7 = 155 200 � = 155,2 �� Nyírás: a, A függesztő oszlop gerendák alatti részén lép fel nyírás, valamint b, a gerendákban egy térbeli felületen.

Vizsgáljuk meg mindkettőt!

a, )�,�,*� = 2 × 200 × 200 × 1,2 = 96 000 � = 96 ��

b, )�,�,*� = 2 × (200 × 150 − 113,1 + 2 × 40 × 150) × 1,2 = 100 529 � = 100,5 ��



A fűzőcsavar által keletkezett lyukat levonjuk a hasznos keresztmetszetből (Acsavar=122*π/4=113,1 mm2)

Teherbírás:

A legkisebb határerő ()*�) a fognyomásra adódott. A kapcsolat terhelhetősége tehát:

)*� = /k 01



4.a) Tervezzük meg a csavarok számát!

4.b) Ellenőrizzük a kapcsolatot!

4.c) Számoljuk ki a „CB” rúd megnyúlását!

Lemezek: ��,�,� = 235 �/""# ��,� = 360 �/""#

Csavar ��,� = 240 �/""# ��,� = 400 �/""# �A = 206 000 �/""#

∑ V� = 0

¡ = 115,2 × 4,0 + 86,4 × 34 = 180 ��

a, Tervezzük meg a csavarok számát! Tiszta nyírásra:

)�� ≤ )*� 180 × 10L ≤ 9 × 2 × 14# × '4 × 240 9 ≥ 2,436 6 → 2 A8; Palástnyomásra:

)�� ≤ )*� 180 × 10L ≤ 9 × 14 × ¤2 × 6 × 36010 × 400 9 ≥ 3,571 6 → 2 A8; A csavarok száma: 2 sor (4db) > 3,571 db

b, Ellenőrizzük a kapcsolatot:

Lemez ellenőrzése húzásra:

)*� = (120 − 2 × 15) × 10 × 235 × 10KL = m//, . 01 > )��y = 180 �� V)

A hevedereket nem kell ellenőrizni, mivel az összvastagságuk nagyobb, mint a lemezé.

c, Számoljuk ki a „CB” rúd megnyúlását!

∆ = ) × � × � = 180 000 × 7000206 000 × (120 × 10) = ., -k2 55


Hajlítás 18

3. HAJLÍTÁS

A különböző hajlítási eseteket csoportosíthatjuk a hajlító nyomaték síkjának helyzete, illetve a tartó anyagának állapota szerint. Az előbbi alapon megkülönböztetünk egyenes és ferde hajlítást az utóbbi alapon pedig rugalmas, rugalmas-képlékeny és képlékeny hajlítást. Vizsgálataink során mindig a két csoportosítás aleseteinek valamiféle kombinációjáról lesz szó. A méretezés, illetve ellenőrzés módja is kétféle lehet, nevezetesen történhet feszültség-összehasonlítással és igénybevétel-összehasonlítással. A

feszültség összehasonlítás csak rugalmas alapon történő méretezés esetében szokták használni.

3.1 Egyenes hajlítás

Egyenes hajlítás rugalmas alapon

Egyenes hajlításról beszélünk, ha a hajlítás síkja illeszkedik valamelyik főtengelyre. A semleges tengely ilyenkor azonos a másik főtengellyel. A keresztmetszet rugalmas viselkedése folytán a feszültség a semleges tengely mindkét oldalán lineárisan változik. A feszültség általános képlete:

� = V�¥� × ¦

- ahol „My” az y tengely körül hajlító ( az y tengelyre merőleges síkban működő) nyomaték;

- „Iy” a súlyponti y tengelyre felírt inercia;

- „z” pedig a vizsgált pont merőleges távolsága az y tengelytől.

Méretezés (ellenőrzés) feszültség-összehasonlítással:

A maximális feszültség a ¦ = ¦�[¡ helyén

� = V�¥� × ¦�[¡ = V�§� - ahol § � = ¨©ª«¬ keresztmetszeti tényező.

A keresztmetszet megfelel ha: ��[¡ ≤ ��

- ahol ��,� az anyag hajlító szilárdága.

Méretezés (ellenőrzés) igénybevétel összehasonlítással:

A maximális nyomaték ellenállás:

V*� = §� × ��

A keresztmetszet megfelel, ha

V�� ≤ V*�


Tiszta hajlítás 19/110

Egyenes hajlítás képlékeny alapon

Az előbbi esettel szemben itt a keresztmetszet már plasztikus állapotban van, a feszültség mindenütt ��-vel egyenlő; a belső erőpár fellépésének feltétele a nyomott húzott felületrészek egyenlősége, a semleges tengely tehát a rugalmas semleges tengellyel párhuzamos területfelező. Ennek ismeretében

számítható a maximális nyomatéki ellenállás:

V*� = �� × �� × ¦�� + �� × �® × ¦® = �� × (¯°��¯ + |°®|)

- ahol, |Sny| és |Sh| a nyomott és húzott részek semleges tengelyre felírt statikai nyomatékának abszolút

értéke.

A keresztmetszet megfelel, ha

V�� ≤ V*� Még néhány szót a főtengelyekről és főinerciákról. Ha ismerjük egy keresztmetszet tetszőleges

(derékszögű) súlyponti tengelykeresztjére felírt tehetetlenségi (Iy, Iz), valamint a terelő nyomatékát, a főinerciákat a következő képlettel számíthatjuk:

¥y,# = ¥� + ¥ª2 ± 12 ³´¥� − ¥ªµ# + ¶�ª#

A főtengelykereszt és az eredeti tengelykereszt megfelelő tengelyei által bezárt szög α; ennek

nagysága:

tg 2· = − 2 × ¶�ª¥� − ¥ª

(Pozitív előjelű az az elfordulás, amellyel az y-tengely pozitív ágát a z-tengely pozitív ágába

forgathatjuk.)

A két főtengely helyzetéről még a következőt kell tudnunk: a maximális inerciájú főtengely az eredeti tengelykereszt nagyobb inerciájú tengelyének α szögnyi elforgatásával jön létre, olyan módon, hogy az eredeti tengelykereszt előjel-viszonyai szerint a terelő nyomaték előjelével ellentétes térnegyedeken haladjon át.



pl.

¥� > ¥ª éA ¶�ª ¸8¦¹:í� ¥� > ¥ª éA ¶�ª 9C»<:í�



1. Mekkora „b” méret esetén felel meg tiszta hajlításra a tartó?

a, rugalmas alapon, ha ¼½� = X-- 015;

b, képlékeny alapon, ha ¼½� = .-- 015

a, rugalmas alapon (��[¡ = ��,�,� a szélső szálban) ��,�,� = 200 �/""#

V�� = V*�

A szükséges keresztmetszeti tényező:

§�� = V��,�,� = 400 × 10¾200 = 2,0 × 10¾ ""L

A keresztmetszeti tényező a tartó adatival:

§ = ¥�¦�[¡

¥� = 112 × 280L × 200 − 112 × 180L × (200 − ) = 365,87 × 10¾ − 97,2 × 10¾ + 486 000 × = 268,67 × 10¾ + 486 000 ×

¦�[¡ = 1802 + 50 = 140

§ = ¥�¦�[¡ = 1,92 × 10¾ + 3471,43 × (""L)

§�� = §

2,0 × 10¾ = 1,92 × 10¾ + 3 471,43 ×

�� = 23,05 "" → ¿�À� = m. 55

b, képlékeny alapon (��[¡ = ��,�,�mindenhol)

V�� = V*�

V*�,¿� = ��,�,� × (¯°��¯ + |°®|)

(A semeleges tengely területfelező, ezért ¯°��¯ = |°®|, azaz a km a hajlítás tengelyére

szimmetrikus)

V*�,¿� = 200 × 2 × ¯°��¯ → °�� = 500 × 10¾2 × 200 = 1 250 000 ""L

A tartó adataival:

° = 200 × 50 × (90 + 25) + × 90 × 45 = 1 150 000 + 4 050 × (""L)

°�� = °


Tiszta hajlítás 22/110 �� = 1250 000 − 115 00004050 = 24,69 "" → ¿�À� = m. 55



2. Mekkorának kell lennie a sugárnak (r), hogy a keresztmetszet adott ¼½� nyomatékra ÁÂ,r,�, feszültséggel éppen megfeleljen

a, rugalmas alapon;

b, képlékeny alapon tiszta hajlításra?

Mekkora a keresztmetszet képlékeny tartaléka?

a, Rugalmas alapon

A szükséges keresztmetszeti tényező:

§�� = V��

A körgyűrű adataival:

§¿�À� = '4 × Ã(1,1 × ;)j − ;jÄ1,1 × ; = '4,4 × ;L × (1,1j − 1) = '4,4 × ;L × (1,46 − 1) = 0,328 × ;L

§�� = §¿�À�

0,328 × ;L = V��,��,�,�

; = Å V��,��0,328 × ��,�,�Æ = /, X. × Å¼½�,ÇgÁÂ,r,�

,

b, Képlékeny alapon

Itt „r” csak a statikai nyomatékban fordul elő.

°��,�� = V��,¿�2 × ��,�,�

A körgyűrű adataival:

°��,qé��ö� = ;# × '2 × 4 × ;3 × ' = 23 × ;L

°��,¿�À� = 23 × ;L × (1,1L − 1,0L) = 0,221 × ;L

°�� = °¿�À�

0,221 × ;L = V��,¿�2 × ��,�,�



; = Å V��,¿�0,442 × ��,�,�Æ = /, ,m × Å¼½�,ÈgÁÂ,r,�

,

Képlékeny tartalék:

V*�,¿� = 0,442 × �� × ;L

V*�,�� = 0,328 × �� × ;L

�é¸. :<;:<é� = V*�,¿�V*�,�� − 1 = ,X, 2. %



3. Ellenőrizze a keresztmetszetet tiszta hajlításra

a, rugalmas alapon;

b, képlékeny alapon!

V�� = 120 ��

�� = 10 �/""#

a, Rugalmas alapon

Lehetőség van nyomaték összehasonlításra és feszültség összehasonlításra egyaránt. Hajtsuk végre mindkettőt

gyakorlásképpen!

¥� = 112 × 300 × 480L − 2 ∗ 112 × 100 × 240L = 2,534 × 10� ""j

§� = ¥�¦�[¡ = 2,534 × 10�240 = 10,56 × 10¾ ""L

V*�,�� = §� × �� = 10,56 × 10¾ × 10 × 10¾ = /-., 4 015 < V�� = 120,0 ��" �)V

Vagy:

��[¡ = V��§� = 120 × 10¾10,56 × 10¾ = //, ,4 1/55m > �� = 10 �/""# �)V


Csak a nyomaték összehasonlításra van mód.

V*�,¿� = �� × ´¯°��¯ + |°®|µ = 10 × 2 × (120 × 300 × 180 + 120 × 100 × 60) × 10K¾= /XX 015 > V�� = 120 ��" V)

Feszültségeloszlás:



4.Számítsa ki a keresztmetszet nyomatéki teherbírását tiszta hajlításra

a, rugalmas alapon;

b, képlékeny alapon!

Rajzoljon normálfeszültség ábrákat!

��,�,� = 200 �/""# a, Rugalmas alapon

� = 100 × 20 + 20 × 200 = 6 000 ""# ¦� = 100 × 20 × 210 + 20 × 200 × 1006 000= 136,67 "" ¥� = 112 × 20L × 100 + 20 × 100 × (83. 3� − 10)# + 112 × 200L × 20 + 20 × 200

× (136,67 − 100)# = 29,53 × 10¾ ""j Vagy:

¥� = 13 × 20L × 100 + 13 × 200L × 20 − 6 000 × (83, 3� − 20)# = 29,53 × 10¾ ""j §� = ¥�¦�[¡ = 29,53 × 10¾

136,67 = 216 068 ""L V*�,�� = §� × ��,�,� = 216 068 × 200 × 10K¾ = X,, m 015


∑ �¡ = 0 egyenlőség miatt a semleges tengely területfelező �2 = 60002 = 3000 "" < = �2 × 20 = 3 00020 = 150 ""


Tiszta hajlítás 27/110 V*�,¿� = ��,�,� × ´¯°��¯ + |°®|µ= 200 × (20 × 100 × (70 − 10) + 50 × 20 × 25 + 150 × 20 × 75) × 10K¾

= 2X 015 Vagy:

V*�,¿� = ��,�,� × 2 × °��¿ = 200 × 2 × ´20 × 150 × 61, 6� µ

Képlékeny tartalék:

� = V*�,¿�V*�,�� − 1 = 74 − 43,243,2 = 2/ %

Normálfeszültségi ábrák: Rugalmas feszültségeloszlás Képlékeny feszültségeloszlás



5. Ellenőrizze a tartót

a) rugalmas állapotban,

b) képlékeny állapotban!

Rajzoljon normálfeszültségi ábrákat!

fs,y,d=235 N/mm2A = 30 × (105 + 120) = 6 750 ""# Zs = −105 × 30 × 15 + 30 × 120 × 606 750 = 25 ""# ¥� = 105 × 30L

3 + 30 × 230L3 − 6750 ×25# = 14,0×10¾ ""j

a., rugalmas állapot − V�[¡ = 15 kNm YÁ = + 15 × 10¾

14 × 10¾ × 55=58,93 1 55m⁄ < ��,�,� = 235 � ""#⁄ ¼� Ys = − 15 × 10¾

14 × 10¾ × 95= − /-/,8 1 55m⁄ < ��,�,� = 235 � ""#⁄ ¼� vagy V*�,�� = 235 × 14 × 10¾

95 = − 34,63 × 10¾�"" < V��=15 k�" V) b., képlékeny állapot �2 = 67502 = 3375 < = 337530 = 112,5 "" ¼��,Èg = 235 × 2 × 30 × 112,5 × 38,75 × 10K¾=61,47kNm > V��=15 ��" ¼�


Ferde hajlítás 29/110

3. FERDE HAJLÍTÁS

Ferde hajlításról beszélünk, ha a hajlítás síkja nem esik egybe egyik fősíkkal sem. (A nyomatékvektor

nem párhuzamos valamelyik főtengellyel.)

Ha a fősíkok és a hozzájuk tartozó inerciák ismertek, akkor a ferde hajlítás kezelhető két egyenes hajlítás összegeként. Ekkor a nyomatékot a fősíkba eső összetevőkre bontjuk. (ha a keresztmetszet szimmetrikus: a keresztmetszet szimmetria tengelye és a rá merőleges tengely lesznek a főtengelyek (y és

z) és a hozzájuk tartó inercia: „Iy”, „Iz”, ekkor Dyz=0)

� = ± V�¥� × ¦ ± Vª¥ª × _ (Ô89:8A<9: � = − V�¥� × ¦ + Vª¥ª × _)

A semleges tengelyt a σ = 0 feltétel alapján határozhatjuk meg. Ekkor:

ÖV_¥_ × ¦Ö = ×V¦¥¦ × _× 0 = + V�¥� × ¦ + Vª¥ª × _

Tehát:

¦ = − Vª × ¥�V� × ¥ª × _ = " × _ Itt

" = − Vª × ¥�V� × ¥ª a semleges tengely iránytangense.

Szerkesztés útján többféleképpen is meghatározható a semleges tengely. Igen egyszerű módszer például a következő:

A keresztmetszet valamelyik oldaléle mentén két pontban meghatározzuk a feszültséget. Az él σ ábráját megrajzolva, megszerkesztethetjük azt a pontot, amelyben a diagram vonala az élt metszi. Ez (mint zérus feszültségű hely) biztosan pontja a semleges tengelynek. Mivel a tengelynek a súlyponton is keresztül kell mennie, így e két ponttal az egyenest egyértelműen meghatároztuk. (Ez a módszer a ferde hajlítás

bármely tárgyalt esetében alkalmazható.)

A feszültség két tagjának az előjelét a képlet

� = − V�¥� × ¦ − Vª¥ª × _



alakja megadja, ha My, Mz, y és Z értékeit előjelesen behelyettesítjük.

Meghatározhatjuk azonban az előjeleket szemlélet alapján is, a két egyenes hajlítást az ábra szerint

külön-külön kezelve. (A negatív előjel nyomást, a pozitív húzást jelent a képletben és a rajzokon is.)

Az ábrákon feltüntettük a pozitív nyomatékvektor irányát is. (Figyeljük meg, hogy előjelzésük nem

azonos a koordinátatengelyekével.)

Meg kell még említeni, hogy ferde hajlítás esetében maximum meghatározása csak akkor egyszerű feladat, ha a képlet mindkét tagja ugyanazon a helyen ad szélsőértéket. Ez a helyzet például négyszögszelvény vagy I tartó esetében. Ezek a vizsgálatánál a feszültségi maximum a következő képlettel

számítható:

�"<Ø = V_¥_ × ¦"<Ø + V¦¥¦ × _"<Ø = V_§_ + V¦§¦ A rugalmas ferde hajlításra igénybevett keresztmetszet is akkor felel meg, ha σ ≤ fÙ. Az igénybevétel-

összehasonlítással történő ellenőrzés ferde hajlítás esetében bonyolultabb, ezért nem fogjuk alkalmazni.



1. a) Határozzuk meg a maximális nyomatékot a rugalmas alapon, ha Á� = /.1/55m b) Határozzuk meg a tartón működő maximális terhet!

a) A főtengelyek ismeretében a

�"<Ø = �6 = ± V_¥_ × ¦ ± V¦¥¦ × _ képlet alkalmazása célszerű.

Az y tengely körüli hajlító nyomaték: (nyomaték a z síkban)

V_ = M × cos 30° = 0,866 M A z tengely körüli hajlító nyomaték: (nyomaték az y síkban)

V¦ = V × A¹9 30° = 0,5 V Keresztmetszet adatok:

¥_ = 180 × 240312 = 207,36 ∗ 106 ""4

¥¦ = 1803 × 24012 = 116,64 ∗ 106 ""4 A maximális feszültségi helyeken a két feszültségi tag előjele azonos:

15 = + 0,866V*�207,36 ∗ 10¾ × 120 + 0,5V*�116,64 ∗ 10¾ × 90 = V*�(0,501 × 10K¾ + 0,386 × 10K¾) VÜ6 = 150,887 × 106�"" = 16,91 ��"

b)

Ý*� = Þßà# = 8,455 ��/"



2. Határozzuk meg Y5sá ábrát!

¥¦ = ¥_ = 1204 × '4 = /4m, 34 × /-4 55X

A feladat látszólag ferde hajlítás. Ha azonban meggondoljuk, hogy a körkeresztmetszetnek valamennyi tengelye főtengely, tehát az is amelynek síkjában a nyomatékok eredője működik, a probléma egyenes

hajlítássá egyszerűsödik.

A maximális nyomatékot kell meghatároznunk. Ez nyilvánvalóan a tartó közepén lesz, mert ott található mindkét teher által létrehozott maximális nyomaték.

V(Ý) = 2,0 × 628 = 9,0 ��"

V()) = 4,0 × 1,5 = 6,0 ��" Eredő nyomaték:

V = â9# + 6# = 10,82 ��"



A hajlítás síkja:

:<9 · = 69 = 0,667 → · = 33,69°

A feszültség maximuma:

��[¡ = 10,82 × 10¾162,86 × 120 = 7,97 �/""#



3. Mekkora h tartómagasság esetén lesz Y5sá = /- 1/55m ? (ãäåsg5sÂ sgsÈæç)

A legnagyobb hajlítófeszültség a tartó középső keresztmetszetében fog fellépni, a keresztmetszeti rajz

szerinti legfelső és legalsó csúcspontjában.

�� = � = 3 × 42 = 6 ��

V"<Ø = 6 × 2,4 − 4 × 1,2 = 9,60��" V_ = 9,60 ∗ @8A 30° = 8,31 ��" ¥_ = 180 ∗ ℎ3

12 §_ = 180 ∗ ℎ26 = 30 ℎ2

V¦ = 9,60 ∗ A¹9 30° = 4,8 ��" ¥¦ = 1803 ∗ ℎ12 §¦ = 1802 ∗ ℎ6 = 5400 ℎ A tartó megfelel, ha

�"<Ø = �6 � = ± V�¥� × ¦ ± Vª¥ª × _ = ± V�§� ± Vª§ª 10 = + 8,31 × 10¾

30 ℎ# + 4,8 × 10¾5400 ℎ / × 5400 × ℎ#

5400ℎ# = 1495800000 + 4,8 × 10¾ × ℎ ℎ2 − 88,89 × ℎ − 27700 = 0 ℎy,# = 88,89 ± â88,89# − 4 × 277002


Ferde hajlítás 35/110 ℎy = 216,71

ℎ# = −127,81 Semleges tengely h=217mm esetén:

¥� = 153,27 × 10¾ ""j

¥ª = 105,46 × 10¾ ""j

tan è = ¥�¥ª × tan · → è = 40°

A tartó megfelel, ha h = 220 mm.



4. Ellenőrizze a tartót rugalmas állapotban, rajzoljon normálfeszültségi ábrákat!

fs,y,d=235 N/mm2 A = 30 × (105 + 120) = 6 750 ""# Zs = −105 × 30 × 15 + 30 × 120 × 606 750 = 25 ""# ¥� = 105 × 30L

3 + 30 × 120L3 − 6750 ×25#

= 14,0×10¾ ""j ¥ª = 30 × 105L

12 + 120 × 30L12 = 3,16 × 10¾ ""j

MEd=15 kNm My=15×cos 35°= 12,3 kNm Mx=15×sin 35°=8,6 kNm Semleges tengely: :»è = 14 × 10¾

3,16 × 10¾ × :» 35° ê = 2m, /,° Ym = − 12,3 × 10¾

14 × 10¾ × 95 − 8,6 × 10¾3,16 × 10¾ ×15=

− /mX,28 1 55m⁄ < ��,�,�= 235 � ""#⁄ ¼� Y/ = + 12,3 × 10¾

14 × 10¾ × 55 + 8,6 × 10¾3,16 × 10¾ ×52,5=48,34+142,88=191,2 1 55m⁄ < ��,�,� = 235 � ""#⁄ ¼�


Külpontos húzás és nyomás 38/110

4. KÜLPONTOS HÚZÁS ÉS NYOMÁS

Ebben a fejezetben a következő eseteket fogjuk tárgyalni:

A húzószilárdsággal rendelkező keresztmetszetek külpontos húzása és nyomása rugalmas és

képlékeny alapon,

A kéz eset a számítás elvi alapját tekintve nem különbözik, lényeges azonban tudni a következőket:

Külpontos igénybevétel esetében a keresztmetszeten fellépő feszültségek eredője a külpontos erővel azonos nagyságú, ellenkező előjelű és vele közös hatásvonalú (ΣV = 0, ΣM = 0. )

A szerkezetek anyagi és állapotbeli tulajdonságait a számításban felvett alapadatok határozzák meg,

de minden esetben azonos alapelv szerint kell végrehajtani a számítást

Ezek után vizsgáljuk meg részletesen az egyes eseteket és a számítások menetét.

4.1 Számítás rugalmas alapon

Keressük a feszültség nagyságát, a semleges tengely helyét és a σ-abrat.

Általános helyzetű döféspont esetében

� = )� + ) × C�¥ª × _; itt „F” a külpontos erő, „A” a keresztmetszet felülete, „Iy” és „Iz” a keresztmetszet inercianyomatékai a

koordináta tengelyeknek választott „y” és „z” főtengelyekre, „ey” és „ez” a döféspont, „Y” és „Z” pedig a vizsgált pont koordinátái. Az egyes tagok előjelét vagy matematikai úton határozzuk meg (ekkor F, ez, ez, „y” és”z”előjele húzó- vagy nyomó- hatás, illetve koordinátarendszerben elfoglalt helyzete szerint állapítható meg) vagy szemlélettel. Ez utóbbi szerint feszültségképlet első (központos hatás) tagja a felület bármely pontjában azonos előjelű (húzó esetén pozitív, nyomó esetben negatív). A második és harmadik (hajlítási) tag előjele pedig megegyezik az első tag előjelével, ha a vizsgált pont a hajlítás semleges tengelyének (a 2. tagnál a „z”, a 3. tagnál az „y”tengely) ugyanarra az oldalára esik, mint a döféspont.

Az egyes tagokból azonos előjelűre adódó keresztmetszeti pontok helye

A súlypontban (mivel itt y=0 és z=0)



�8 = )� A semleges tengelyt az „y” és „z” tengelyekkel való metszéspontjával jellemezhetjük. A két pont

koordinátájának (y0és z0) képlete:

_8 = − ¹¦2C_ ; ¦8 = ¹_2C¦

Itt ¹Ø és ¹_ főinerciasugarak ( iì = ³íîï ; ið = ³íñï ). A negatív előjel arra utal, hogy „"ey" és "yo"

, illetve "ez"és "zó"az „y”, illetve a „z” tengelynek mindig az ellentétes oldalára esik.

A feszültségábrát a semleges tengelyre merőleges alapvonallal rajzoljuk; ez azért célszerű, mert a semleges tengellyel párhuzamos vonalak mentén – mint más igénybevétel esetében is – a feszültség értéke

állandó.

Ha a döféspont valamelyik főtengelyre esik, „ex” vagy „ey” zérus, tehát a háromtagú σ-képlet egyik tagja

kiesik, a semleges tengely pedig merőleges arra a főtengelyre, amelyiken a döféspont van.

Megjegyezzük még, hogy – ha a súlyponti tengelykereszt nem főtengelykereszt – a feszültségképlet hajlítási tagjai helyébe a hajlításnál ismertetett általános képleteket kell tenni. A semleges tengely meghatározásának legegyszerűbb módja ebben az esetben két különböző oldalél zérusfeszültségi pontjának megszerkesztése.

Külön is felhívjuk a figyelmet arra, hogy az eddig tárgyalt képletekben minden adat (kivéve „A”-t és „F”-et) az idom súlypontján átmenő főtengelyekre vonatkozik.

4.2 Számítás képlékeny alapon

Közvetlen megoldóképletek nincsenek; esetenként fel kell írni a ΣM = 0 és ΣN = 0 egyensúlyi feltételeket, hogy az ismeretlenként előforduló adatokból (FRd, döféspont két adata, a semleges tengely két adata) a példában meg nem adott kettőt kiszámítsuk. Az egyenletek felírásának sorrendje azonban nem közömbös; ettől függ ugyanis, hogy kétismeretlenes egyenletrendszert vagy két egyismeretlenes

egyenletet kell-e megoldanunk.

Az egyenletek célszerű felírásmódjára vonatkozólag az egyes példák nyújtanak tájékoztatást.



1. Ellenőrizzük a vázolt keresztmetszetet, határozzuk meg a semleges tengely helyét és rajzoljuk meg a feszültségábrákat. a, rugalmas alapon

b, képlékeny alapon

Az adott döféspontban FEd = 800 kN nagyságú nyomóerő működik.

�6 = 13,0 �/ ""2 a, Rugalmas alapon

Első dolgunk a keresztmetszetre jellemző geometriai adatok (felület, súlypont, tehetetlenségi nyomaték)

meghatározása.

� = 200 × 400 + 2 × 100 × 4002 = 120000 ""# _¦ = 80000 × 200 + 40000 × 133,3120000 = 177,8 ""2 ¥_ = 13 × 200 × 4003 + 2 112 × 100 × 4003 − 120000 × 177,82 = 1540 × 106 ""4

Az ellenőrzés feszültség-összehasonlítással történik. Minthogy a döféspont az egyik főtengelyen van,

a feszültségeket a következő képlettel számíthatjuk :

� = )� + ) × Cª¥� × ¦ C¦ = 177,7 − 100 = 77,7 ""

Az előjeleket szemlélet alapján dönthetjük el.

(A húzás pozitív, a nyomás negatív)



σ1 = fd = − FA − F × ezIy × z = − 800 × 103120000 − 800 × 103 × 77,81,540 × 109 × 177,8 = −13,85 N/mm2

�1 = /,, 3. 155m > �_6 = 13,00 �/""2 tehát a keresztmetszet nem felel meg!

Számítsuk ki a feszültséget a másik szélső szálban is:

�2 = − )� + ) × C¦¥_ × ¦ = − 800 × 103120000 + 800 × 103 × 77,81,540 × 109 × 222,2 = +m, ,/ 155m

Határozzuk meg a semleges tengely helyét.

A semleges tengely merőleges az x tengelyre és a súlyponttól a döfésponthoz képest átellenes oldalon helyezkedik el.

¹_2 = ¥_� = 1,540 × 109120000 = 12833 ""2

¦8 = − ¹_2C¦ = − 1283377,8 = −164,9 ""


A feladatot igénybevétel vagy külpontosság összehasonlítással oldhatjuk meg.

Igénybevétel összehasonlításkor kiszámítjuk, hogy a keresztmetszet az adott döféspontban mekkora határerőt bír el és ezt összehasonlítjuk a megadott mértékadó erővel. A keresztmetszet megfelel, ha a határerő nagyobb a mértékadó erőnél.

Külpontosság összehasonlításkor azt keressük, hogy az adott mértékadó erő a súlyponttól milyen messze működhet, ha az adott külpontosság ennél kisebb, a keresztmetszet megfelel. (Ebben az esetben FEd = FRd)

Általában a külpontosság összehasonlítás kevesebb számítási munkát igényel, mivel a semleges tengely helye alacsonyabb fokú egyenletből határozható meg.



b.1 Igénybevételi összehasonlítás:

Először határozzuk meg a semleges tengely helyét a ΣMö = 0 egyenletből (a döfésponton átmenő

tengelyre felírva)

Számítástechnikai okokból célszerű először a nyomófeszültséget az egész felületen működnek feltételezni, és aztán kivonni a húzófeszültségek nyomatékának kétszeresét.

ΣV� = 0

�6 × 120000 × 77,8 − 2 × �6 × 200 × < × ÷300 − <2ø − 2 × �6 × 2 × <4 × <2 × ù300 − 23 × <ú = 0 121,368 × 10¾ − 1560000 + 2600<# − 1950<# + 4,3<L = 0 4,3<L + 650<# − 1560000< + 121,368 × 10¾ = 0

Innen a=82,15 mm

Az ellenőrzés az FEd mértékadó nyomóerő és az FRd határerő összehasonlításával történik.

FEd számítása a ΣN = 0 egyenletből:

)�6−�6 × � + 2 × �6 × �ℎú¦ó = 0 )�6 = 13,0 × 120000 − 2 × 13,0 × 82,15 × 200 + 241,12 = 13,0 × (120000 − 36200) = /-3k 01 > )�� = 800 ��

Tehát a keresztmetszet megfelel.

Számításunk eredményét ellenőrizhetjük, ha egy másik tengelyre (például a súlyponton átmenő tengelyre) nyomatékot írunk fel:

1089 × 77,8 − 2 × 13,0 × û200 × 82,15 × 181,125 + 2 × 20,54 × 82,152 × 167,43ü = = 84724,2 − 84718 ≅ 0

tehát eredményeink helyesek. (A különbség a kerekítésekből adódik.)

b.2 Külpontosság összehasonlítás:

A semleges tengely helye most a ΣN = 0 egyenletből számíthat

Számítástechnikai okokból most is célszerű a nyomófeszültséget az egész felületen működőnek

feltételezni, és ezután kivonni a húzófeszültségek kétszeresét.

)�6 − �6 × � + 2�6 × �ℎú¦8:: = 0 )�� = �� × � − 2 × �� × �®úªÀii



800 × 1000 = 13,0 × 120000 − 2 × 13,0 × ÷200 × < + 2 × <4 × <2ø 6,5 × <# + 5200< − 760000 = 0

Innen: < = −5200 ± â5200# + 4 × 6,5 × 76000013 = −400 ± 526,3 = 126,23 ""

(a negatív eredmény a feladat szempontjából értelmetlen).

Számítsuk ki a határkülpontosságot a keresztmetszet súlypontjára felírt ΣMý = 0 egyenletből.

V*�,¿� = )�� × C*� = 2 × �� × �®úªÀii × _�¿

V*�,¿� = 800 × 10L × C*� = 2 × 13 × (200 × 126,23 × 159,1 + 2 × 126,23 × 31,562 × 138,05)

V*�,¿� = 118,731 × 10¾ �"" = 118,731 ��"

C*� = V*�,¿�800 × 10L = 148,4 "" > C�� = 77,8 ""

Tehát a keresztmetszet megfelel.



2. Adott a semleges tengely helye. Hol és mekkora nyomóerő működik a keresztmetszeten ha a

keletkező legnagyobb nyomófeszültség

a. rugalmas

b. képlékeny alapon? �6 = 10�/""2 Mivel a semleges tengely merőleges az „y” főtengelyre, a

döféspontnak ezen a tengelyen kell lennie.

a. Rugalmas alapon

� = 80 × 240 + 150 × 120 = 37200 ""#

_A = −80 × 240 × 40 + 150 × 120 × 7537200 = 15,6 "" ¥¦ = 13 × 240 × 803 + 13 × 120 × 1503 − 37200 × 15,62 = = 166910000 = 166,91 × 10¾ ""j ¹¦2 = 16691000037200 = 4486,8 ""2 :8 = 100 − 15,6 = 84,4 "" C¦ = − 4486,884,4 = −53,2 "" −�� = −10 = − )*�37200 − )*� × 53,2166,91 × 10¾ × 95,6 −10 = −0,05735 × 10KL × )*� )Ü6 = −174,2 �� (9_8"óC;ő)

b. Képlékeny alapon

Ebben az esetben először a ΣFþ� = 0 egyenletből FRd − t tudjuk kiszámítani; ezután számítjuk ki a döféspont helyét. A ΣM − et most nem a döfésponton átmenő tengelyre, hanem a súlyponti tengelyre fogjuk felírni.

�)�¡ = 0 �ℎ = 50 × 120 = 6000 ""2 �9_ = 37200 − 6000 = 31200 ""2 )Ü6 = −10 × 31200 + 10 × 6000 = −252 × 103 � = −252 �� (9_8"óC;ő)

ΣM�¿ = 0



Most is először úgy feltételezzük, hogy a nyomófeszültség az egész felületen oszlik el (ennek statikai

nyomatéka a súlypontra zérus), és azután vonjuk le a húzott rész statikai nyomatékának kétszeresét.

V*�,¿� = V� = )*� × C = 2 × 10 × 120 × 50 × 109,4

V*�,¿� = 13,128 × 10¾ �"" = 13,128 ��"

C = V*�)*� = 13,128 ��"252 �� = 0,0521 " = 52,1 ""



3. Milyen Çr távolságban lehet a súlyponttól a vázolt keresztmetszetre működő �½� =X-- 01 nagyságú húzóerő döféspontja, ha a határfeszültség ÁÂ,r,� = /k- 1/55m

a. rugalmas

b. képlékeny alapon?

a. Rugalmas alapon

¥� = 120 × 200L12 − 88 × 168L

12 = 45,23 × 10¾ ""j

� = 120 × 200 − 88 × 168 = 9216 ""# ¹_2 = 45,23 × 106

9216 = 4907,8 ""2 ez-t legegyszerűbben úgy kapjuk meg, hogy, ha a feszültség-

képletbe behelyettesítünk. A döféspont helyéből látható, hogy a felső szál húzott.

190 = + 4000009216 + 400000 × Cª45,23 × 10¾ × 100 190 = 43,4 + 0,8844 × Cª C¦ = 146,60,8844 = 165,8 ""

Számítsuk ki még a feszültséget az alsó szálban is: �< = + 4000009216 − 400000 × 165,845,23 × 106 × 100

= −103,22 �/""2 A semleges tengely helye



¦8 = − ¹_2C¦ = 4907,8165,8 = 29,6 "" b. Képlékeny alapon

)Ü6 = )�6 = 400 ��

�)�¡ = 0

400 × 100L = 190 × 9216 − 2 × 190 × (120 × < − 88 × (< − 16)) 1351040 = 45600< − 33440< + 535040 816000 = 12160< → < = 67,1 ""

ΣV� = 0 V*�,¿� = )�� × C*� = 2 × 190 × (120 × 67,1 × 66,45 − 88 × (67,1 − 16) × 58,45= 103,44 × 10¾ �"" C*� = 103,44 × 10¾

400 × 10L = 258,6 ""



4. A vázolt keresztmetszetre központos nyomóerő és nyomaték működik. Ezek értéke: 1½� = /-- 01; ¼�,½� = +X- 015

Határozzuk meg b méretet, ha a keresztmetszet éppen megfelel

a. rugalmas

b. képlékeny alapon! Á� = /, 1/55m

a. Rugalmas alapon

Első lépésként ismerjük fel a hajlítás síkját! Mivel Mz működik, ezért az „xy” sík lesz a hajlítás síkja. Fontos, hogy helyesen vegyük fel a nyomatékvektor irányát is. Ez nem bonyolult, hiszen a pozitív nyomaték a tengely növekvő irányába mutat. Ezek a megállapítások szükségesek a számítás

végrehajtásához.

A feladat kiírás szerint a keresztmetszet éppen a rugalmas teherbírás határán van, ezért tudjuk, hogy a szélső szálban működő feszültség érték pontosan fd. Ha felírjuk a feszültségszámítás képletét (nyomóerő = -N, ezért a feszültség abszolútértéke akkor lesz maximális, ha a nyomatékot is negatív előjellel vesszük), akkor abban a keresztmetszet területe és inercianyomatéka jelenik meg ismeretlenként. Ezek tartalmazzák a számítandó ismeretlen „b” értéket, amit egyszerű egyismeretlenes egyenletből könnyen

meghatározhatunk.

� = 350

¥ª = × 350L12

−��[¡ = −�� = −13 = − �� − Vª¥ª × _�[¡ = = −100000350 × − 40000000112 × 350L × × 3502 /× 13 = 2244,9 = 172,68 "" → = 180 ""

Számítsuk ki a semleges tengely helyét, hogy megrajzolhassuk a normál feszültségi (σ) ábrát!



C_ = V� = 40000000100000 = 400 "" ¹¦2 = ¥¦� = 112 × 3503 × 180350 × 180 = 10208,33 ""2 _0 = ¹¦2C_ = − 10208,33400 = 25,52 "" +��[¡ = − �� + Vª¥ª × _�[¡ = − 100000180 × 350 + 40000000112 × 350L × 180 × 175 = 9,3 �/""#


Képlékeny számítás esetén abból tudunk kiindulni, hogy a keresztmetszetnek egyensúlyban kell lennie. Tehát akár együtt, akár külön-külön vesszük figyelembe a hatásokat, azokat egyensúlyozni tudjuk.

Képlékeny külpontos nyomás esetén a feszültségábrát két részre bonthatjuk. A középső részen működő normálfeszültségek a nyomóerővel, míg a szélső részeken működő normálfeszültségek a nyomatékkal tartanak egyensúlyt. Ha kiszámoljuk a feszültségi testek térfogatát, akkor a feszültségek eredő erejét kapjuk. A nyomatéki résznél az erőkar a két

feszültségi test súlypontjának távolsága lesz.

¥. � = � × �� − 2 × < × × �� ¥¥. Vª = < × × �� × (350 − <) ¥. 100000 = 350 × × 13 − 2 × < × 13 × ¥¥. 40000000 = < × × 13 × (350 − <) ¥. = 10000013 × (350 − 2 × <) ¥¥. = 4000000013 × (350 − <) × <

10000013 × (350 − 2 × <) = 4000000013 × (350 − <) × < 13 × (350 − 2 × <) × 400 = 13 × < × (350 − <) 1820000 − 10400 × < = 4550 × < − 13 × <#



13 × <# − 14950 × < + 1820000 = 0 <y,# = 14950 ± √14950# − 4 × 13 × 182000026 <y = 138,4 "" → = 140 "" <# = 1011,6 "" (ℎ<"¹A »_ö�)



5. Számítsuk ki Y5sá értékét és rajzoljuk meg a feszültségábrát rugalmas alapon, ha �½� = m-, - 01

Az eddigi feladatokkal ellentétben a döféspont nincs rajta egyik főtengelyen sem, ezért az erőnek mindkét főtengelyre van nyomatéka. Ügyeljünk azonban arra, hogy ezúttal a súlyponti vízszintes és

függőleges tengelyek a keresztmetszetnek nem főtengelyei!

A keresztmetszet szimmetrikus, ismerjük a főtengelyeket: " = 240

√2 = 120√2 "" � = 240#

2 = 28800 ""# ¥ª = 2 × �´120 × √2 µj

36 + ´120 × √2µ#2 × ´40 × √2µ#

= 138,24 × 10¾ ""j ¥_ = ù 136 × ÷120 × â2 ø3 × 120 × â2ú = 46,08 × 106 ""4 C¦ = 120 × √23 = 40â2 "" C_ = 120 × â2 = 120â2 ""

��[¡ = �y = − �� − V�¥� × ¦y − Vª¥ª × _y = − 2000028800 − 20000 × 40 × √246,08 × 10¾ × 40 × √2 − − 20000 × 120 × √2138,24 × 10¾ × 120 × √2 = −0,694 − 1,389 − 4,167 = +6,25 �/""# �# = − �� − V�¥� × ¦# − Vª¥ª × _# = − 2000028800 − 20000 × 40 × √246,08 × 10¾ × 80 × √2 + + 20000 × 120 × √2138,24 × 10¾ × 0 = −0,694 + 2,778 + 0 = 2,084 �/""# �L = − �� − V�¥� × ¦L − Vª¥ª × _L = − 2000028800 − 20000 × 120 × √246,08 × 10¾ × 40 × √2 +



+20000 × 120 × √2138,24 × 10¾ × 120 × √2 = −0,694 − 1,389 +× 4,167 = 2,084 �/""# ¹_2 = ¥_� = 138,24 × 106

28800 = 4800 ""2 ¹_2 = ¥¦� = 46,08 × 106

28800 = 1600 ""2 ¦0 = − ¹_2C¦ = − 4800120 × √2 = −28,28 "" _0 = − ¹¦2C_ = − 160040 × √2 = −28,28 ""

45°-os derékszögű háromszögeknél – ha a döféspont a háromszög egyik csúcspontjaában van – a semleges tengely természetesen párhuzamos a háromszögnek az illető csúcsponttal szemben fekvő

oldalával.

Rajzoljuk meg a feszültségábrát!



6.) Ellenőrizze a tartót, ha δ=90°, α=0°



7.) Ellenőrizze a tartót rugalmas állapotban, ha δ=90°, α=40° !


a) rugalmas állapotban

b) képlékeny állapotban a határ erő és a határ külpontosság összehasonlításával!

9.) Ellenőrizze a tartót rugalmas állapotban, ha δ=45°, α=40° ! fd = 10,7 N/mm2

A keresztmetszet adatai:

� = 300 × 100 + 200 × 100 = 50000 ""#

¦A = 100 × 200 × 200 + 300 × 100 × 5050000= 110 ""

¥_ = 300 × 10033 + 100 × 2003

3 − 50000 × 102 = 361,67 × 106 ""4

¥¦ = 200 × 100312 + 100 × 3003

12 = 241,67 × 106 ""4






a) rugalmas állapot

� = ± Þ©¨© × ¦ = ± Þ©©

�<Aó = − 10 × 106361,67 × 106 × 110 = −3,041 � ""2⁄

= −�"<Ø < 10,7 � ""2⁄

��CAő = + 10 × 106361,67 × 106 × 190

= +5,253 � ""2⁄ = +�"<Ø< 10,7 � ""2⁄

A keresztmetszet rugalmasan megfelel!


� = 50000 ""j

¦A = 110 ""

¥_ = 361,67 × 106 ""4



b) képlékeny állapot

VÜ6,¸ = �6 × ´¯°9_8"8::¯ + |°ℎú¦8::|µ

A semleges tengely területfelező!

�2 = 500002 = 25000 ""2

A területfelező vonal az alsó téglalapban lesz, mivel annak nagyobb a területe, mint a felső résznek. Ha ez a feltételezés rossz, akkor a-ra az alsó téglalap magasságánál nagyobb értéket kapunk. Ekkor már ezt figyelembe véve kellene megismételni a számítást.

< = 25000300 = 83,33 "" < 110"", a feltételezés helyes volt A határnyomaték számítása:

Minden kis téglalapnak vesszük a statikai nyomatékát a semleges tengelyre. Mivel a semleges tengely

félbevágja az alsó téglalapot, ezért a nyomott oldal statikai nyomatéka két részből fog állni.

VÜ6,¸ = 10,7 × (300 × 83,33 × 41,67 + 300 × 16,67 × 8,33 + 100 × 200 × 116,67)= 36,56 × 106 �"" = 36,56 ��" > 10,0 ��" ��! A semleges tengely területfelező, ezért úgy is számolhatunk, hogy a nyomott oldal statikai nyomatékát a

súlypontra kétszer vesszük.

VÜ6,¸ = 2 × �6 × ¯°9_8"8::,A¸¯ VÜ6,¸ = 2 × 10,7 × 300 × 83,33 × 68,33 × 10−6 = 36,56 ��" > 10,0 ��"



7.) Ellenőrizze a tartót rugalmas állapotban, ha δ=90°, α=40°! Á� = /-, 2 1 55m⁄

Nyomatékvektor felbontása: V_ = 10,0 × cos 40° = 7,66 ��" V¦ = 10,0 × sin 40° = 6,428 ��" Semleges tengely: tan è = ¥_¥¦ × tan · = 361,67×106

241,67×106 × tan 40° → è = 51,47°

Feszültségek számítása:

� = ± V�¥� × ¦ ± Vª¥ª × _

Előjelszabály:

�1 = + 7,66 × 106361,67 × 106 × 190 + 6,428 × 106

241,67 × 106 × 50 = +5,354 � ""2⁄ = +�"<Ø


� = 50000 ""#

¦A = 110 ""

¥_ = 361,67 × 106 ""4

¥¦ = 241,67 × 106 ""4



�2 = − 7,66 × 106361,67 × 106 × 110 − 6,428 × 106

241,67 × 106 × 150 = −6,32 � ""2 = −�"<Ø⁄



8.) Ellenőrizze a tartót, ha δ=45°, α=0


b) képlékeny álllapotban a határ erő és a határ külpontosság összehasonlításával! fd=10,7 N/mm2

Külpontosság:

Cª = V� = 7,071 × 10¾7071 = 1000 ""

Semleges tengely:

¦8 = ¥_� × C¦ = 361,67 × 10650000 × 1000 = 7,233 ""

a) rugalmas állapot

� = + �� ± V�¥� × ¦

�<Aó = + 707150000 − 7,071 × 106361,67 × 106 × 110 = −2,01 � ""2 <⁄ 10,7 � ""2⁄

��CAő = + 707150000 + 7,071 × 106361,67 × 106 × 190 = +3,856 � ""2⁄

A keresztmetszet rugalmasan megfelel!


� = 50000 ""j

¦A = 110 ""

¥_ = 361,67 × 106 ""4



b) képlékeny állapot

Erő összehasonlítás: Adott ey, NRd=?

1.) ΣMD=0 → a (semleges tengely a talpban) 10,7 × 50000 × 1000 − 2 × 10,7 × 300 × a × ÷1110 − <2ø = 0

<22 − 1110 × < + 83333,3 = 0< <1 = 77,8 "" < 100 ( ó < �C:é:CC¦éA) <2 = 2142 "" (ℎ<"¹A »_ö�)

2.) ΣFi,x=0 → NRd

�Ü6 = 10,7 × 50000 − 2 × 10,7 × 300 × 77,8 = 35524 � = 35,52��> 7,071 �� ! Külpontosság összehasonlítás:

1.) ΣFi,x=0 → a (semleges tengely a talpban)

7071 = 10,7 × 50000 − 2 × 10,7 × 300 × < → < = 82,23 ""

2.) ΣMs=0 → eyRd

V*�,¿� = 7071 × C*� = 2 × 10,7 × 300 × 82,23 × (110 − 82,232 )

CÜ6 = 5142 "" > C�6 = 1000 "" MF!



9.) Ellenőrizze a tartót rugalmas állapotban, ha δ=45°, α=40°! fd=10,7 N/mm2

A nyomatékvektor felbontása:

V_ = 7,071 × cos 40° = 5,417 ��"

V¦ = 7,071 × sin 40° = 4,545 ��"

C_ = V¦� = 4,5457,071 = 0,6428 "

C¦ = V_� = 5,4177,071 = 0,766 "

Semleges tengely:

_8 = ¥¦� × C_ = 241,67 × 10650000 × 642,8 = 7,52 ""

¦8 = ¥_� × C¦ = 361,67 × 10650000 × 766 = 9,443 ""

Feszültségek számítása:

� = �� ± V�¥� × ¦ ± Vª¥ª × ¦

�1 = + 7,071 × 10350000 + 5,417 × 106

361,67 × 106 × 190 + 4,545 × 106241,67 × 106 × 50 = +3,928 �� ""2⁄


� = 50000 ""j

¦A = 110 ""

¥_ = 361,67 × 106 ""4

¥¦ = 241,67 × 106 ""4



�2 = + 7,071 × 10350000 − 5,417 × 106

361,67 × 106 × 110 − 4,545 × 106241,67 × 106 × 150 = −4,327 �� ""2⁄



10.) Ellenőrizze a tartót


b) képlékeny állapotban a határ erő és a határ külpontosság összehasonlításával! fs,y,d=235 N/mm2

A = 30 × (105 + 120) = 6 750 ""# Zs = −105 × 30 × 15 + 30 × 120 × 606 750= 25 ""# ¥� = 105 × 30L

3 + 30 × 230L3 − 6750 ×25#

= 14,0×10¾ ""j a, rugalmas állapot MEd=7,5 kNm , NEd=+8,66 kN C = 7,5 × 10¾

8,6 × 10L = 866,05 "" YÁ = + 8,66 × 10L

6750 + 7,5 × 10¾14 × 10¾ ×55=+1,28+29,46=30,74 1 55m⁄ < ��,�,� = 235 � ""#⁄ ¼�

Y[ = 8,66 × 10L

6750 − 7,5 × 10¾14 × 10¾ × 95=+1,28-50,89= − Xk, 4/ 1 55m⁄ < ��,�,� = 235 � ""#⁄ ¼�

�æ = 14 × 10¾ × 8,66 × 10L

675 × 7,5 × 10¾ = m, ,k 55



b, képlékeny állapot – Erő összehasonlítás ΣMD=0 0 = 235 × 6750 × 866,05 − 2 × 235 × 30 × < × (866,05 + <2) <#2 − 961,05 < + 97430,625 = 0 < = 107,38 "" < 120 ""

ΣFix= 0 �� = 235 × 6750 − 235 × 2 × 30 × 107,38 = 2m, mm 01 > 8,66 �� = V�� ¼� Külpontosság összehasonlítás: ΣFix=0 8,66 × 10L = 235 × 6750 − 2 × 235 × 30 × < < = 111,89 "" < 120 "" ΣMs=0 8,66 × 10L × C*� = 2 × 235 × 30 × 111,89 × 39,06 Ç�� = 2//., 3 55 > 866,05 "" ¼�



11.Ellenőrizze a tartót rugalmas állapotban!fs,d,y=235 N/mm2

Rajzoljon normálfeszültségi ábrákat!

A = 30 × (105 + 120) = 6 750 ""# Zs = −105 × 30 × 15 + 30 × 120 × 606 750 = 25 ""# ¥� = 105 × 30L

3 + 30 × 230L3 − 6750 ×25#

= 14,0×10¾ ""j ¥ª = 30 × 150L

12 + 120 × 30L12 = 3,16 × 10¾ ""j

ez=709 mm

ez=500 mm

My=7,5×cos 35°= 6,14 kNm Mz=7,5×sin 35°= 4,3 kNm

Semleges tengely :

¦À = −14 × 10¾ × 8,66 × 10L6750 × 6,14 × 10¾ = −2,925 ""

_À = −3,16 × 10¾ × 8,66 × 10L6750 × 4,3 × 10¾ = −0,943 ""

Y/ = 8,66 × 10L

6750 + 6,14 × 10¾14 × 10¾ × 55+ 4,3 × 10¾

3,16 × 10¾ × 52,5= + k4, 3X 1 55m⁄ < ��,�,� = 235 � ""#⁄ ¼� Ym = 8,66 × 10L

6750 − 6,14 × 10¾14 × 10¾ × 95 − 4,3 × 10¾

3,16 × 10¾ × 15= − 4-, 2k 1 55m⁄ < ��,�,� = 235 � ""#⁄ ¼�



12, a, Rajzolja meg a tartó N,V,M ábráját!

b, Ellenőrizze a tartót rugalmas alapon a „K” keresztmetszetben!

c, Ellenőrizze a tartót képlékeny alapon a „K” keresztmetszetben!

Mindkét feladatrészhez rajzoljon normál feszültség ábrát! fs,d,y=235 N/mm2

A= 20×(100+140) =4800 mm2

¦� =100 × 160 × 80 − 80 × 140 × 704800 = 103,33 ""

¥� = 100 × 20L3 + 20 × 140L

3 − 4800 × 36,66= 12,11 × 10¾ ""j NEd= 30kN MEd=22,5 kN eEd=750mm

C = V�

b, rugalmas állapot:

YÁ = + 30 × 10L4800 − 22,5 × 10¾

12,11 × 10¾ ×56,67=+6,25-105,29= − 99,04 1 55m⁄ < ��,�,� = 235 � ""#⁄ ¼� Ys = + 30 × 10L

4800 + 22,5 × 10¾12,11 × 10¾ ×103,33=+6,25+191,98=198,23 1 55m⁄ < ��,�,� = 235 � ""#⁄ ¼�

�- = −12,11 × 10¾4800 × 750 = −,, ,4X 55



c, képlékeny állapot, külpontosság összehasonlítás

ΣFix=0

30 × 10L = 235 × 4800 − 2 × 235 × (20 × 100 + 20 × <) < = 16,81 "" ΣMs=0 MRd,pl=NEd× C*� = 2 × 235 × (20 × 100 × 46,6 + 20 × 16,81 × 28,26) V*�,¿��48,27 ��" > 22,5 ��" = V�� Ç��,Èg = V*�,¿�� = /4//, // 55 > 750 "" ¼� erő összehasonlítás: ΣMD=0 0 = −2 × 235 × (20 × 100 × 796,66 + 20 × < × ÷786,6 − <2ø + 235 × 4800 × 750 < = 13,25 "" ΣFix=0 NRd,pl= 4800× 235 − 2 × 235(20 × 100 + 20 × 13,25) = 4,, X3 01 > 30 �� = V�� ¼�



13, a, Rajzolja meg a tartó N,V,M ábráját!

b, Ellenőrizze a tartót rugalmas alapon a „K” keresztmetszetben!

c, Ellenőrizze a tartót képlékeny alapon a „K” keresztmetszetben!

Mindkét feladatrészhez rajzoljon normál feszültség ábrát! fs,y,d=200 N/mm2

A=2×(20×160+10×120)=8800 mm2 ¥� = 160j

12 − 140 × 120L12 = 34,45 × 10¾ ""j

= 30 × 2#8 = 15 ��"

Mmax= 90+15=105 kNm

b , rugalmas állapot: NEd=-30 kN, MEd= 90 kNm C�� = Þ�à��à = 3000 "" YÁ = − 30 × 10L

8800 − 90 × 10¾34,54 × 10¾ ×80= − 211,86 1 55m⁄ > ��,�,�=200 � ""#⁄ 1¼�

Ys = − 30 × 10L8800 + 90 × 10¾

34,54 × 10¾ ×80= − 3,41 + 208,45=m-., -X 1 55m⁄ > ��,�,� = 200 � ""#⁄ 1¼� �- = −34,54 × 10¾

8800 × 3000 = −/, ,-3 55



c, képlékeny állapot: külpontosság összehasonlítás

ΣFix=0

30 × 10L = 200 × 8800 − 2 × 200 × (20 × 160 + 2 × 10 × <) < = 56,25 "" ΣMs=0 MRd,pl=NEd× C*� = 2 × 200 × (20 × 160 × 70 + 2 × 10 × 56,25 × 31,875) V*�,¿��103,94 ��" > 90 ��" = V�� V) Ç��,Èg = V*�,¿�� = ,X4.55 > 3000 "" ¼� erő összehasonlítás: ΣMD=0 0 = 200 × 8800 × 3000 − 2 × 200 ÷20 × 160 × 3070 + 2 × 10 × < × (3060 − <2)ø < = 55,67 "" ΣFix=0 NRd,pl= 8800× 200 − 2 × 200(20 × 160 + 2 × 10 × 55,67) = ,X, 4X 01 > 30 �� = V�� ¼�



14, Ellenőrizze a megadott tartót a „K” keresztmetszetben rugalmas alapon, rajzoljon részletesen kótázott normálfeszültségi ábrát! fd=26,7 N/mm2

A= 3002-1502=67500 mm2

9� =

300L

2− 150# × 22567500 = 125 ""

¥� = 300j12 − 150j

12 = 632,81 × 10¾""j ¥ª = 632,81 × 10¾ + 300# × ´25 × √2µ# − 150# × ´100 × √2µ#

= 295,31 × 10¾ NK= -20 kN MK=42,43×0,5-20×0,5×√m×0,25=17,68 kNm

¼r = ¼� = 17,68√2 = /m, . 015 C = 12,520 = 0,625 "

¦À = − 632,81 × 10¾67500 × 625 = −15 "" _À = − 295,31 × 10¾

67500 × 625= −7 ""

�y = − 20 × 10L67500 + 12,5 × 10¾

632,81 × 10¾ ×106,07+ 12,5 × 10¾295,31 × 10¾ ×141,42

Y/�7,785 1 55m⁄ < ��,�,� = 26,7 � ""#⁄ ¼� Ym = − 20 × 10L

67500 − 12,5 × 10¾295,31 × 10¾ ×125×√2 = −2, 22k 1 55m⁄ < ��,�,� = 26,7 � ""#⁄ ¼�


Hajlítással egyidejű nyírás 70/110

5. HAJLÍTÁSSAL EGYIDEJŰ NYÍRÁS

Ha a keresztmetszeten nem csak nyomatékok működnek (tiszta hajlítás), hanem nyíróerők is (közönséges hajlítás), szükségünk van nyírófeszültségek ismeretére is. Számításunkat csak a rugalmas

egyenes hajlítás esetében tárgyaljuk, nyíróerő ekkor az y síkban működik.

Az x tengellyel párhuzamos sávok mentén a feszültség átlagos értéke:

� =°� × � × ¥�

(Maximális ott, ahol Sì/b hányados maximumot ad.)

Sì a vizsgált hely feletti (vagy alatti) keresztmetszet-darab statikai nyomatéka a súlyponti „y”

tengelyre; „V” a keresztmetszetre ható nyíróerő; „b” a keresztmetszet dolgozó szélessége a vizsgálat helyén; „Iì” pedig a teljes keresztmetszetnek az y tengelyre felírt inercianyomatéka.

Néhány keresztmetszeti idom esetében a képlet egyszerűbbé válik. Téglalap és háromszög szelvény feszültségi maximuma középmagasságban van, értéke:

��[¡ = 3 × �2 × � (Ugyan ez a ��öªé¿ képlete trapézszelvénynél is, de az itt nem a maximális feszültség, annál néhány százalékkel kisebb.) Kör keresztmetszetnél az maximális érték szintén a középső keresztmetszetben lép fel:

��[¡ = 4 × �3 × � Összetett szelvények feszültségi maximuma a súlypont magasságában van akkor, ha a keresztmetszet

szélességi mérete itt a legkisebb. Ellenkező esetben a feszültségi diagram elemzése ad tájékoztató információt a feszültségi maximum hely megállapításáról. (Ezeket továbbiakban lásd a példáknál.)



1. A vázolt keresztmetszetben �½� = m- 01 nyíróerő működik. Határozzuk meg �5sá értékét és

rajzoljuk meg a nyírófeszültségek ábráját!

A szelvény adatai:

� = 100 × 250 + 120 × 300 = 61000 ""# Súlypont:

_� = 300 × 120 × 60 − 100 × 250 × 125300 × 120 + 100 × 250= −15,82 "" ¥�� = ¥�� − � × _�# = yL × 300 × 120L + yL × 100 ×250L − 61 000 × 15,82# = 678,4 × 10¾ ""j

A nyírófeszültségeket a � = °� × � × ¥�

képlettel számítjuk, három helyen: 1. a nyaknál (a fejlemezben) 2. a nyaknál (a gerincben) 3. a súlypont magasságában

�y = 300 × 120 × 75,82 × 20 × 10L300 × 678,4 × 10¾ = -, m43 1/55m

�y = 300 × 120 × 75,82 × 20 × 10L100 × 678,4 × 10¾ = -, 3-. 1/55m

��[¡,L = 100 × 234,18 × 117,09 × 20 × 10L100 × 678,4 × 10¾ = -, 3-k 1/55m



2. Mekkora a �½� nyíróerőt bír el a vázolt keresztmetszet, ha a tartó anyaga II. osztályú fenyő? (Á�,� =

m, . 1/55m)

Rajzoljuk meg a nyírófeszültségek ábráját! Mivel τ�z� = f�,Ù = 2,5 N/mm# lehet, a nyíróerőt a

következő összefüggésből határozhatjuk meg:

��,� =°� × �*�

× ¥� ¹99C9 �*� =�� × × ¥�°�

Egyenlőre azonban még nem tudjuk, hogy hol lép fel a keresztmetszetben a maximális nyírófeszültség.

Egészítsük ki a két fél háromszöget a szelvény súlypontjával egybeeső súlypontú idomokká. Ezeknek a háromszögeknek a nyíróerő ábrája olyan két, egybevágó parabola, melyeknek a maximális metszéke a háromszögek félmagasságában, jelöléseinkkel a súlypont alatt és felett a

4� , a csúcspontoktól

pedig 3a4� távolságra van.

3

4× < = 3

4 × 160√2 = 84,85 ""

= 2 × 34 × < = 169,7 ""

¥� =1

12× 160j = 54,6 × 10¾ ""j

°� = 84,85# × û80 × √2 −2

3× 84,85ü = 407 280 ""L



�� =2,5 × 169,7 × 54,6 × 10¾

407 280 = 56,875 �� Számítsuk ki még a súlyponti nyírófeszültség értékét is.

°� = (80 × √2)# × 80 × √23 = 482 718 ""L � = 160 × √2 = 226,3 "" � = 56,875 �� ¥� = 54,6 × 10¾ ""j �� = 482718 × 56875226,3 × 54,6 × 10¾ = 2,222 �/""#



3. Mekkora F erővel terhelhető a hajlított tartó? (Rugalmas alapon végezze a vizsgálatot!) Milyen

maximális „a” mélységű repedést tűrhetünk el a gerendában?

��,� = 2,6 �/""#

�� = 13 �/""#

Minthogy a repedés a semleges tengely magasságában van, a hajlítófeszültség számításában nem játszik szerepet, gyakorlatilag érdektelen, mivel σ = 0.

V�[¡ = 2) × 2,4 − F × 1,2 = 3,6F

V*�,�� = �� × Wì = �� × b × h#6 = 13 × 120 × 200#

6 × 10K¾ = 10,4 ��" Mivel 3,6 × ) = 10,4 ��, így ) = 10,4 3,6� = 2,89 ��

„a” számítása:

„a” értékét abból a feltételből számíthatjuk, hogy a megmaradt nyakszélességnek biztosítani kell a felső és alsó tartórész hajlítás közbeni együttdolgozását, azaz a nyaknak fel kell tudnia venni a fellépő

nyírófeszültségeket.

A nyírófeszültség képletben:

� = � = 5,78 �� , = 120 − 2< éA � = �� 2,6 = 120 × 100 × 50 × 5,78 × 10L

(120 − 2<) × 120 × 200L12

= 43,35120 − 2<

< = 51,7 "" ≈ 50 "



4. Ellenőrizzük a tartót hajlításra és nyírásra! (A vizsgálatokat rugalmas alapon végezze!)

Tartó: II. osztályú fenyő

Ék: I. osztályú keményfa

Statikai adatok:

��[¡ = �� = � = 2 × 8 = 16 �� V�[¡ = 8 × 4#

8 = 16 ��" A következő vizsgálatokat kell elvégezni:

a. ellenőrzés hajlításra ¼5sá helyen b. ellenőrzés fognyomásra a gerendában az ½5sá

csúsztatóerő helyen c. ellenőrzés nyírásra a gerendában ½5sá helyen d. ellenőrzés nyírásra az ékben ½5sá helyen

a. �� = 14 �/""#

Itt egy eltérés van a megszokott számítástól. A méretezési szabályzat szerint kapcsolt kétfás tartók esetében: egy csökkentő tényezőt kell figyelembe venni, de azt feltételezve, hogy a tartó az adott

kapcsolattal merevnek tekinthető, ezért ezt a csökkentést elhanyagoljuk.

V*�,�� = �� × Wì = 14 × 200 × 240#6 × 10¾ = 26,88 ��" > 16 ��" V)! b. A két fél tartó egymáshoz képest való csúszását az ékek akadályozzák meg. Ezekben tehát csúsztató-

(nyíró-) erők fognak fellépni. E�z� a szélső ékekben működik. Egy-egy szélső ékre akkora csúsztatóerő jut, amennyi az ék belső (a tartó közepe felé eső) szélétől a tartó közepe irányába számított 640+200=840 mm hosszú és 200 mm széles metszet síkon fellépő csúsztató feszültségek összege. A két rész együttdolgozása

következtében a nyírófeszültségeket a teljes keresztmetszet figyelembevételével számíthatjuk.

a szélső ékeket terhelő szakasz



�y = 1,5 × �y� = 1,5 × 16 000200 × 240 = 0,5 �/""# �# = 1,5 × �#� = 1,5 × (16 000 − 0,84 × 8 000)200 × 240 = 0,29 �/""# ��[¡ = × : × �ái�[� = 200 × (640 + 200) × 0,5 + 0,292 = 66 360 � = 44, ,4 01

A kis τ értékek miatt a keresztmetszeti síkokban fellépő nyírófeszültségek vizsgálatát mellőzhetjük. Az előbbiekben kiszámított E�z� a ékek homlokpontján adódik a gerendáról az ékekre. Magában a

gerendában az E�z� reakciója fog nyomást, illetve nyírást okozni.

A nyomás szempontjából dolgozó felület:

) = 200 × 602 = 6 000 ""# �p,�,� = 13,15 �/""# �*� = 6000 × 13,15 × 10KL = 23, k 01 > ��[¡ V)!

c. A nyírásnak ellenálló gerenda metszék:

) = 640 × 200 = 128 000 ""# ��,� = 2,5 �/""# ��[¡ = 128 000 × 2,5 × 10KL = ,m- 01 > ��[¡ V)!

d. A nyírásnak ellenálló ék-metszék:

) = 200 × 200 = 40 000 ""# ��,� = 2,8 �/""#

��[¡ = 40 000 × 2,8 × 10KL = //m 01 > ��[¡ V)!



5. a)Tervezze meg a tartó gerincének „a” méretét hajlításra rugalmas állapotban! A méretet 5 mm-re kerekítse!

b.) Rajzoljon részletesen kótázott nyírófeszültségi ábrát! fd=21 N/mm2, fv,d=3,0 N/mm2

a.) ¥� = 2 × ù150 × 50L12 + 150 × 50 × 100#ú + < × 150L12

= (153,125 + 0,28125<) × 10¾ V*�,�� = �� × ¥_

¦ ¥_ = VÜ6,C�6 × ¦ 28 × 10¾21 × 125 = (153,125 + 0,28125<) × 10¾ < = 48,15 "" :Cℎá: ssg0sg5s�sç�ó = .- 55 b.) ¥� = (153,125 + 0,28125 × 50) × 10¾ = 167,1875 × 10¾ ""j �y = 150 × 50 × 100 × 28 × 10L167,2 × 10¾ × 150 = 0,84374 �/""# �# = 3 × �y = 2,51�/""#

�, = û150 × 125#2 − 100 × 75#2 ü × 28 × 10¾167,2 × 10¾ × 50 = m, k3, 1

55m < ��,� = 3,0 �""# ¼�



6. a)Rajzolja meg a tartó N,V,M ábráját!

b)Rajzoljon részletesen kótázott normálfeszültségi ábrát a ±M max helyén!

c)Számítsa ki a maximális nyírófeszültség értékét! Rajzolja meg a hozzá tartozó alakhelyes

nyírófeszültségi ábrát!

d) Ellenőrizze a ragasztást is!

A számítást rugalmas alapon végezze! fd= 18,7 N/mm2 , fv,d=1,9 N/mm2 ,Ragasztó: fv,d=3,0 N/mm2

A=50×(160+240+2×80)=28000 mm2 !� = 240 × 50 × 25 + 80 × 100 × 100 + 160 × 50 × 17528000 = 89,29 "" ¥� = 240 × 50L3 + 160 × 150L3 − 80 × 100L3 − 28000 × 39,29# = 120,11 × 10¾ ""j b) +Mmax=21 kNm YÁ = − 21 × 10¾120,11 × 10¾ × 110,71 = −19,36 1 55m⁄ > �� = 18,7 � ""#⁄ 1�¼



Ys = 21 × 10¾120,11 × 10¾ × 89,29 = /., 4/ 1 55m⁄ -Mmax=20kNm YÁ = #�×y�"

y#�,yy×y�" × 110,71 = /3, X, 1 55m⁄ s Ys = − #�×y�"

y#�,yy×y�" × 89,29 = −14,87 1 55m⁄



c) �5sá = m- 01 �5sá = û160 × 50 × 85,71 + 80 × 60,71#2 ü × 20 × 10L

80 × 120,11 × 10¾ = /, 2, 1 55m⁄ < 1,9 �""# ¼�

d) �/ = 160 × 50 × 85,71 × 20 × 10L80 × 120,11 × 10¾ = /, Xm2 1/55m

�m = 240 × 50 × 64,29 × 20 × 10L80 × 120,11 × 10¾ = /, 4-4 1 55m⁄ < 3,0� ""# ⁄ ¼�



7., a) Rajzoljon részletesen kótázott normálfeszültségi ábrát a ±Mmax helyén,rugalmas állapotban! b)Ellenőrizze a tartót képlékeny alapon! c)Számítsa ki a függesztőrúd megnyúlását!

d)Rajzoljon részletesen kótázott nyírófeszültségi ábrát! Ellenőrizze a ragasztást! AD és EC gerendák: fd=16,6 N/mm2 fv,d=1,9 N/mm2 DE függesztőrúd: fs,y,d=235 N/mm2 E=210000N/mm2 Ragasztó: fv,d=3,0 N/mm2 ¥� = 829,56 × 10¾ ""j A=65400 mm2 a) +Mmax= 76 kNm

YÁ = −76

829,56×143,59= − 13,15 1 55m⁄

Ys = + 76829,56×186,41=17,08 1 55m >⁄ 16,6 1 55m⁄ 1�¼ -Mmax= 42,5 kNm YÁ = + 42,5

829,56 ×143,59=7,356 1 55m⁄

Ys = −j#,$

%#�,$¾×186,41= − 9,51 1 55m⁄



b) A/2= 65400/2 =32700 mm2

32700=380×80+2×50×a a=23 mm V*�,¿� = 16,6 × 2 × (380 × 80 × 103,59 + 2 × 50 × 23 × 52,09) = 108,53 × 10¾ ¼��,Èg = /-3, ., 015 > 76 ��" V) c) ∆g = 38 × 10L × 2 × 10L

210000 × 18# × '4= /, Xmm 55

d) Vmax= 47 kN �/ = 380 × 80 × 103,59 × 47 × 10L

380 × 829,56 × 10¾ = -, X4k. 1/55m �m = 380 × 80 × 103,59 × 47 × 10L

100 × 829,56 × 10¾ = /, 23X 1/55m �5sá = (300 × 186,41# − 200 × 136,41#)100 × 829,56 × 10¾ = /, 3kk 1 55m⁄ < 1,9 1 55m ⁄ ¼� �, = 300 × 50 × 161,41 × 47 × 10L

100 × 829,56 × 10¾ = /, ,2m 1/55m �X = 300 × 50 × 161,41 × 47 × 10L

300 × 829,56 × 10¾ = -, X.2m 1/55m



8., a)Hol és milyen hosszon szükséges a „T” alakú keresztmetszet megerősítése? A számítást rugalmas állapot feltételezésével végezze el! Rajzoljon normálfeszültségi ábrát a „T” és „I” keresztmetszethez is! b) Számítsa ki a maximális nyírófeszültség értékét a „T” és az „I” keresztmetszeten!

Rajzoljon nyírófeszültségi ábrákat! c) Milyen hosszon szükséges a megerősítés,ha a számítást képlékeny állapot feltételezésével végzi el? fs,y,d= 235 N/mm2 fv,d=115 N/mm2

a)rugalmas alapon: „T” !� = −120 × 20 × 10 + 20 × 160 × 8020 × (120 + 160) = 41,43 ""

'r ( = 120 × 20L3 + 20 × 160L3 − 5600 × 41,43# = /3, -m × /-4 55X ¼��,Çg( = 235 × 18,02 × 10¾118,57 ×10K¾=,., 2/ 015 < V��=80 k�" Â�ü0ÂéåÇÂ s 5ÇåÇãőÂí)éÂ

¼��,Çg' = 235 × 45,86 × 10¾100 ×10K¾=/-2, 2k 015 > 80 k15 ¼� 'r' = 120 × 200L12 − 100 × 160L12 = X., 344 × /-4 55X 2-x=35,71/40 x=1,11 m l=2×1,11=2,22 m



b) �5sá( = 40 × 10L × 20 × 118,57#218,02 × 10¾ × 20 = /., 41/55m

�5sá' = (120 × 20 × 90 + 20 × 80 × 40) × 40 × 10L45,866 × 10¾ × 20 = /m, m/ 1/55m c)képlékeny alapon: ¼��,Èg = 235 × 2 × 20 × 140 × 48,57 × 10¾ = 4,, km 015 2-x=63,92/40 x=0,40 m l=2×0,4=0,8 m



9., a) Ellenőrizze a K1,K2 és K3 keresztmetszeteket rugalmas alapon! b) Ellenőrizze a K1,K2 és K3 keresztmetszeteket képlékeny alapon! c)Ellenőrizze a ragsztástaz AC rúdon! Mindegyik feladatrészhez rajzoljon alakhelyes feszültségi ábrákat!

d)Számolja ki a DE rúd megnyúlását!



Fa: fd=26 N/mm2 fv,d=3,1 N/mm2 E=14700N/mm2

Ragasztó:

fv,d=3,0 N/mm2

AC rúd:

A=100×(300+400)= 70 000 mm2 !� = −300 × 100 × 50 + 100 × 400 × 20070000 = 92,86 "" ¥� = 300 × 100L3 + 100 × 400L3 − 70000 × 92,86#

= 1629,76 × 10¾ ""j a) „K2” keresztmetszet ellenőrzése N=-76,36 kN M=162 kNm

YÁ = −76,36 × 10L70000 − 162 × 10¾1629,76 × 10¾ ×192,86=

− 20,26 1 55m⁄

Ys = − 76,36 × 10L70000 + 162 × 10¾1629,76 × 10¾ ×307,14=29,44 1 55m⁄ > Á� = 26 1 55m⁄ 1�¼ „K1” km. ellenőrzése:



N= -25,45 kN M=162 kNm YÁ = − 25,45 × 10L70000 − 162 × 10¾1629,76 × 10¾ ×192,86= − /9,53 1 55m⁄

Ys = − 25,45 × 10L70000 + 162 × 10¾1629,76 × 10¾ ×307,14=30,17 1 55m⁄ > Á� = 26 1 55m⁄ 1�¼ „K3” km. ellenőrzése: N= +72 kN M=0 NRd,el=NRd,pl=26×2×50×100×10-3=260kN > 72 kN MF b) „K1” és „K2” km ellenőrzése M= 162 kNm NRd,pl=? ΣMs=0 162 × 10¾ = 2 × 26 × 100 × < × ÷307,14 × [#ø < = 128,18 "" ΣFix=0 1��,Èg = (26 × 70000 − 2 × 26 × 100 × 128,18) × 10KL = //.,, . 01 > 76,36 �� V) c) �ãså = 50,91 × 10L × (300 × 100 × 142,86)100 × 1629,76 × 10¾ = /, ,,k 1 55m⁄ < 3,0 1 55m⁄ ¼� d) ∆g = 72 × 10L × 6 × 10L

14700 × 2 × 50 × 100 = m, k,k 55


Húzószilárdsággal nem rendelkező keresztmetszet 88/110

6. HÚZÓSZILÁRDSÁGGAL NEM RENDELKEZŐ ANYAGOK VIZSGÁLATA KÜLPONTOS NYOMÁSRA

Egyensúly csak abban az esetben képzelhető el, ha a külpontos erő (nyomóerő) nem esik a

keresztmetszet kontúrvonalain kívül. Vagyis döféspontja a keresztmetszet kontúrján belül helyezkedik el.

A feszültségszámítás részletes tárgyalása előtt mondjuk néhány szót a keresztmetszet magidomáról.

Magidom

A magidom határa azon döféspontok mértani helye, amelyekben működő erő esetén a semleges tengely érinti a keresztmetszet konvex burkát. A magidom sarokpontjainak helyét tehát úgy lehet számítani, mint döféspontokat, melyekhez tartozó semleges tengelyek a keresztmetszet burkoló-vonalai.

Minthogy azonban a számítás alapjául szolgáló

�ª,� = − ¥�� × ¦� = − ¹�#¦�

��,� = − ¥ª� × _� = − ¹ª#_�

összefüggésekben �ª,� és z� illetve ��,� és _� egymással felcserélhetők, eljárhatunk úgy is, hogy a

magidom oldalait tekintjük semleges tengelynek: ebben az esetben a keresztmetszet sarokpontjai lesznek

az ezekhez tartozó (ismert helyzetű) döféspontok.

Számítás rugalmas alapon:

Mindenekelőtt meg kell vizsgálnunk, hogy van-e a keresztmetszetnek húzószilárdsága, vagy nincs. Ez csak abban az esetben érdekes, ha a nyomóerő döféspontja a magidomon kívülre esik. Magidomon belüli döféspont esetében mindenütt nyomófeszültség ébred, nincs különbség a húzószilárdsággal rendelkező és nem rendelkező keresztmetszetek között, következésképpen az ott ismertetett összefüggések

változatlanul érvényesek ebben az esetben is.

Ha a döféspont a magidomon kívülre kerül, a keresztmetszet egy része nem dolgozik, a másik része

tisztán nyomófeszültségekkel egyensúlyozza a külső erőt. Az általános összefüggések a következők:

� = )°�� × ¦

��[¡ = )°�� × ¦�[¡

Itt F az erő, S*ì a nyomott felületdarab statikai nyomatéka a két felületrész határvonalára felírva, z

pedig a vizsgált pont merőleges távolsága ugyan ettől az egyenestől nézve.

¸ = ¥��°��



itt p a döféspont (merőleges) távolsága a határvonaltól, I*ì a nyomott felület inercianyomatéka az

adott pontra felírva, S*ì a fentebb is említett nyomott felületdarab statikai nyomatéka a határvonalra

felírva.

Ismét külön fel kell hívnunk a figyelmet arra, hogy ebben a képletcsoportban is minden adat (F kivételével) ugyanarra a tengelyre vonatkozik, ez a tengely ezúttal a határvonal.

Négyszög és háromszögszelvények esetében a képletek egyszerűbbé válnak. Ha a döféspontnak a keresztmetszet dolgozó szélétől (háromszögszelvény esetében a csúcstól) mért távolsága "c", akkor

9é»_A¦ö» A¦C�é9_9é: ¸ = 2@ ��[¡ = 2)��

ℎá;8"A¦ö» A¦C�é9_9é: ¸ = @ ��[¡ = 3)��

A feszültségábra csak a határvonal egyik oldalán helyezkedik el, arra merőleges alapvonallal.

Számítás képlékeny alapon: A feladat megoldása rendkívül egyszerű: mivel � = �� (és mindenütt nyomófeszültség értéket vesz

fel), központos nyomással van dolgunk. A*ì-t úgy kell kialakítani, hogy az adott döféspont a nyomott

keresztmetszet súlypontja legyen (megjegyezzük, hogy ez néha többféleképpen is elvégezhető). Mindezek

után F�z� kiszámítható a következő összefüggésből:

)�[¡ = �� × ��



1. Határozzuk meg a keresztmetszet magidomát!

Először kiszámítjuk a geometriai adatokat:

¦� = 900 × 300 × 150 − 300 × 300 × 150900 × 300 + 300 × 300 = 40 500 000 − 13 500 000270 000 + 90 000 = 27 000 000360 000 = 75 ""

¥� = 900 × 300L3 + 300 × 300L3 − 360 000 × 75# = 8 775 × 10¾ ""j

¥ª = 900 × 300L12 + 300 × 300L12 = 18 900 × 10¾ ""j

¹�# = 8 775 × 10¾360 000 = 24 375 ""#

¹ª# = 18 900 × 10¾360 000 = 52 500 ""# A keresztmetszetet sorra burkoló egyeneseket sorra semleges tengelyeknek tekintve meghatározzuk

a hozzájuk tartozó döféspontokat.

��,y = - �ª,y = − 24 375225 = −/-3, , 55 ��,# = − 52 500450 = −//4, 2 55 �ª,# = - ��,L = − 52 500525 = −/-- 55 �ª,L = − 24 375525 = −X4, X 55 ��,j = - �ª,j = − 24 375375 = −4. 55



Az így kapott döféspontokat összekötve megkapjuk a keresztmetszet magidomát.



2. Mekkora lehet a „D” pontban működő �5sá értéke

a. rugalmas alapon


Rajzolja meg a feszültségábrát is!

�� = 1,5 �/""# a. Rugalmas alapon

Derékszögű négyszögkeresztmetszet esetében a magidom sarokpontjainak a távolsága a keresztmetszet

súlypontjától az adott oldal 1/6 része.

66 = 6006 = 100 "" < 150 ""

A döféspont tehát példánkban a magidomon kívülre esik. @ = 300 − 150 = 150 "" 3@ = 450 "" )�[¡ = �� × b × 3c/2 )�[¡ = 3 × 150 × 600 × 1,5

2 = 202,5 × 10L �= 202,5 ��


)�[¡ = �� × b × 2c

)�[¡ = 2 × 150 × 600 × 1,5 = 270 × 10L �= m2- 01



3. Mekkora lehet a „D” pontban működő �5sá értéke

a. rugalmas alapon


Rajzolja meg a feszültségábrát is!

�� = 1,5 �/""# a. Rugalmas alapon

50 ≤ ¾��¾ , :Cℎá: < 6ö�éA¸89: < "<»¹68"89 Cü �<9

� = 600 × 600 = 360 000 ""# ¥ª = 600 × 600L12 = 10 800 × 10¾ ""j

§ª = 10 800 × 10¾300 = 36 × 10¾ ""j −1,5 = − )�[¡360 000 − )�[¡ × 5036 × 10¾ 54 × 10¾ = 100 × )�[¡ + 50 × )�[¡= 150 × )�[¡ )�[¡ = 54 × 10¾150 = 360 × 10L � = 360 ��


)�[¡ = 2 × 250 × 600 × 1,5 = 450 × 10L �= 450 ��

@ = 300 − 50 = 250 ""



4. Ellenőrizzük a téglapillért az 1-1 és 2-2 keresztmetszetben



a. rugalmas

b. képlékeny alapon

�+ = 16,5 ��/"L �, = 1,35

�� = 1,2 �/""# 1-1 keresztmetszet

�yÞ = 1,35 × 0,51 × 0,51 × 1,5 × 16,5 = 8,69 �� )yÞ = 100 �� yÞ = 100 + 8,69 = 108,69 �� @ = 510 − 255 − 140 = 115 ""

a, Rugalmas alapon

3@ = 3 × 115 = 345 "" < 370 ""

vagy

3706 = 61,7 < 185 − 115 = 70 "" tehát a döféspont a magidomon kívül van

��[¡ = 2 × 108,69 × 10L3 × 115 × 510 = 1,24 �""# > 1,2 �

""# �)V! b, Képlékeny alapon

2@ = 2 × 115 = 230 "" �¨�[¡ = 230 × 510 × 1,2 = 140,8 × 1000 � = 140,8 ��

> 108,69 �� V)! 2-2. keresztmetszet

�#Þ = 1,35 × 0,51 × 0,51 × 2,0 × 16,5 = 11,59 �� )yÞ = 100 �� )#Þ = 25 �� #Þ = 100 + 25 + 11,59 = 136,59 �� C� = 25 × 10L × 175136,59 × 10L = 32,03 "" @ = 255 − 32,03 = 222,97 ""



a, Rugalmas alapon

3@ = 3 × 222,97 = 668,91 "" > 510 "" "D" "<»¹68"89 Cü § = 510L6 = 22110 × 10L ""L

��[¡ = − 136,59 × 10L 510 × 510 − 136,59 × 10L × 32,0322,11 × 10¾ = −0,723 �/""# < −1,2 �/""# V)!


2@ = 2 × 222,97 = 445,94 ""

�#� = 445,94 × 510 × 1,2 = 273 × 1000 � = 273 �� > 136,59 �� V)!



5. Mekkorák a pillérre ható �½� és 1½� erők, ha a feszültségábra a vázlat szerinti?

�� = 1,0 �/""# ¥�� = 900 × 650L3 − 400j3 = 73854,7 × 10¾ ""j

°�� = 900 × 650 × 325 − 400# × 200= 155,2 × 10¾""j

1,0 = �Þ155,2 × 10¾ × 650

�Þ = 155,2 × 10¾ × 1,0650 = 238,8 × 10L� = 238,8 ��

¸ = 73854,7 × 10¾155,2 × 10¾ = 475,9 "" Az eredő nyomatéka egyenlő a komponensek

nyomatékösszegével.

Írjuk fel az egyenletet a teljes keresztmetszet súlypontjára:

�� × 5000 = 238,8 × 10L × (475,9 − 200) �� = 238,9 × 10L × 275,95000 = 13182 � = 13,2 ��



6. a) Tervezze meg a tartó övének „a” méretét hajlításra rugalmas állapotban! A méretet 5 mm-re

kerekítse!

b) Rajzoljon részletesen kótázott nyírófeszültségi ábrát!

�� = 21 � ""#⁄

��,� = 2,6 � ""#⁄

Rugalmas határállapotban a szélső szálban ébredő feszültség:

�� = V�¥� × ¦ Ebből az ismeretlen az inercia:

¥� = V�� × ¦ = 29,25 × 10¾21 × 130 = 181,07 × 10¾ ""j

Az inercia függ a keresett „a” mérettől. Az inercia felírva „a” függvényében:

¥� = 2 × ù< × 50L12 + < × 50 × 105#ú + 50 × 160L12 = 1,123 × 10¾ × < + 17,07 × 10¾

A két egyenletből kifejezhető a keresett méret. Minél nagyobb az inercia, annál kisebb a feszültség, tehát „a”-t

felfelé kell kerekíteni.

< ≥ 181,07 × 10¾ − 17,07 × 10¾1,123 × 10¾

< ≥ 146 "" → s = /.- 55

Ha < = 150 "", akkor az inercia:

¥� = 1,123 × 10¾ × 150 + 17,07 × 10¾ = 185,52 × 10¾ ""j



�y = 150 × 50 × 105 × 15 × 10L185,52 × 10¾ × 150 = -, XmX. 1 55m⁄

�# = 3 × �y = 3 × 0,4245 = /, m2, 1 55m⁄

��[¡ = (150 × 50 × 105 + 80 × 50 × 40) × 15 × 10L185,56 × 10¾ × 50 = /, .,m 1 55m⁄



7. Határozza meg a keresztmetszet magidomát! Határozza meg a feszültségi ábrák alapján a

normálerő nagyságát és helyét!

�� = 1,0� ""#⁄


� = 4 × 510# = 1040400 ""#

_� =−510L2 + 3 × 510L24 × 510# = 127,5 ""

¥ª = 510j3 + 3 × 510j3 − 4 × 510# × 127,5# = 73289,7 × 10¾ ""j

¥� = 510 × 1530L12 + 510 × 510L12 = 157854,7 × 10¾ ""j

¹ª# = ¥ª� = 73289,7 × 10¾1040400 = 70443,8 ""#

¹�# = ¥�� = 157854,7 × 10¾1040400 = 151725 ""#

A magidom meghatározása:

��,y = − ¹ª#_y = − 73289,7 × 10¾1040400 × 382,5 = −184,17 ""

��,# = − ¹ª#_# = − 73289,7 × 10¾1040400 × (637,5 + 255) = − 78,93 ""

�ª,# = − ¹�#¦# = − 157854,7 × 10¾1040400 × (765 + 127,5) = −170,0 ""

��,L = − ¹ª#_L = − 73289,7 × 10¾1040400 × 637,5 = −110,5 ""

�ª,j = − ¹�#¦j = −157854,7 × 10¾1040400 × 765 = −198,33 ""



a) A feszültségi ábra alapján megállapítható, hogy a

keresztmetszet még rugalmas állapotban van. A teljes km.

nyomott, azaz dolgozik, ekkor a döféspont a magidomon belül

helyezkedik el.

A súlypontban a feszültség:

�� = −0,91020 × 637,5 − 0,1 = −0,6625 � ""#⁄

Mivel a súlypontban a feszültség értéke a normálerő és a teljes

terület hányadosa, ezért a normálerőt a következőképpen

számolhatjuk:

� = �� × � = −0,6625 × 1040400 × 10KL = 43k, m4. 01

A szélső szálban a feszültség külpontos nyomás esetén:

−�� = − �� − � × C�¥ª × ¦

−1,0 = −0,6625 − 689,265 × 10L × C�73289,7 × 10¾ × 382,5

Çr = k,, 3m 55

b) A döféspont a magidomon kívül esik, a keresztmetszet

berepedt állapotban van. A normálerő a feszültségek

eredőjeként számolható. A feszültségi test térfogata:

� = 1530 × 420 × (−1,0) × 10L2 = −,m/, , 01

A normálerő a feszültségi test súlypontjában hat. A feszültségi

test súlypontjának távolsága a keresztmetszet szélétől:

@ = 13 × 420 = 140 ""

C� = 382,5 − 140 = mXm, . 55



c) A döféspont a magidomon kívül esik, a keresztmetszet berepedt állapotban van. Az előzőhöz képest az a

különbség, hogy itt a feszültségi test alapja nem téglalap, így a normálerő döféspontjának meghatározására a

¸ = ¥��°��

képletet kell alkalmazni, ahol ¥�� a nyomott keresztmetszet inerciája a határvonalra, °�� a nyomott

keresztmetszet statikai nyomatéka a határvonalra, pedig a döféspont távolsága a határvonaltól.

¥�� = 2 × 510 × 90L3 + 510 × 600L3 = 36967,86 × 10¾ ""j

°�� = 2 × 510 × 90#2 + 510 × 600#2 = 95,931 × 10¾ ""L

¸ = ¥��°�� = 36967,8695,931 = 385,36 ""

C� = 637,5 − 600 + 385,86 = Xmm, 34 55

� = °�� × ��_ = 95,931 × 10¾ × (−1,0)600 × 10KL = −/.k, 33. 01

d) A keresztmetszet képlékeny állapotban van. A feszültségi test súlypontjának meghatározásához az összetett

keresztmetszetek súlypontjának meghatározásánál alkalmazott képletet lehet alkalmazni, mivel a feszültségi

test egy hasáb. A normálerő a feszültségi test térfogata.

� = �� × �� = (−1,0) × 397800 × 10L = −,k2, 3 01

�� = 510 × 510 + (510 − 420) × 1530 = 397800 ""#

¸ = °�� = 95,931 × 10¾397800 = 241,15 ""

C� = 637,5 − (600 − 241,15) = m23, 4. 55 > ��,y A döféspont a magidomon kívül.

e) A keresztmetszet képlékeny állapotban van. A normálerőt szintén úgy kapjuk meg, hogy kiszámoljuk a

feszültségi test térfogatát.

� = �� × �� = 420 × 1530 × (−1,0) × 10L = −4Xm, 4 01

A normálerő a keresztmetszet súlypontjában hat. Mivel a feszültségi test most téglatest, ezért a súlypontjának

távolsága a keresztmetszet szélétől:

4202 = 210 ""

C� = 382,5 − 210 = /2m, . 55 > ��,L A döféspont a magidomon kívül.



8. a) Hol és milyen hosszon szükséges a „T” alakú keresztmetszet megerősítése? A számítást rugalmas állapot

feltételezésével végezze el! Rajzoljon normálfeszültségi ábrát a „T” és az „I” keresztmetszethez is!

b) Számítsa ki a maximális nyírófeszültségi értéket a „T” és az „I” keresztmetszeten! Rajzoljon

nyírófeszültségi ábrákat!

c) Milyen hosszon szükséges a megerősítés, ha a számítást képlékeny állapot feltételezésével végzi el?

�� = 21 � ""#⁄

��,� = 2,6 � ""#⁄




�- = 50 × (150 + 160) = 15500 ""#

¦�- = −50 × 150 × 25 + 50 × 160 × 8015500 = 29,19 ""

¥�- = 150 × 50L3 + 50 × 160L3 − 15500 × 29,19# = 61,31 × 10¾ ""j

¥� = 150 × 260L12 − 100 × 160L12 = 185,57 × 10¾ ""j

a) A megerősítés nélküli keresztmetszet teherbírása:

V*�,��- = 21 × 61,31 × 10¾ × 10K¾130,81 = k, 3X 015 < 15 ��" → meg kell erősíteni a tartót! A megerősített keresztmetszet teherbírása:

V*�,��¨ = 21 × 185,57 × 10¾130 = mk, k3 015 > 15 ��" → ./! A tartót azon a szakaszon kell megerősíteni, ahol 9,84 kNm-nél nagyobb nyomaték ébred.

Ø = 2,0 − 9,847,5 = 0,688 " → 2- h5 b)

��[¡- = 50 × 130,81#2 × 7,5 × 10L61,31 × 10¾ × 50 = /, -X2 1 55m⁄

��[¡¨ = (150 × 130#2 − 100 × 80#2 ) × 7,5 × 10L185,57 × 10¾ × 50 = 1,532

2 = -, 244 1 55m⁄

c)

A határvonal területfelező:



< = 155002 × 50 = 155 "" → a semleges tengely a km. szárában van

A megerősítetlen keresztmetszet teherbírása:

V*�,¿�- = 21 × 2 × 50 × 155 × 53,31 × 10K¾ = /2, ,. 015 > 15 ��" → nem kell megerősítés!


Húzószilárdsággal nem rendelkező keresztmetszet 106/110 9.,Számítsa ki a téglapillérre ható qmax értékét a) rugalmas b)képlékeny alapon! Mindkét esetben rajzoljon feszültségi ábrákat! fd=1,1 N/mm2

a) rugalmas alapon Tételezzük fel,hogy „D” magidomon belül van −1,1 = − 281,28 × 10L510 × 1000 − V100 × 510#6

M=23,7762×106 Nmm Ç = V� = 23,7762 × 10L

281,28 = 3X, ., 55< 5106 = 85 ""

Jó volt a feltételezés! 25sá = V0,72 = 23,770,72 = ,,, -m 01 5⁄

b)képlékeny alapon 281,28×103=100×2c×1,1 c=127,85 mm M=281,28×103×(510/2 -127,85) M=35,76×106Nmm 25sá = Þ�,3# = L$,3¾�,3# = Xk, 42 01/5


Húzószilárdsággal nem rendelkező keresztmetszet 107/110 10., a) határozza meg a feszültségi ábrák alapján a normál erő nagyságát és helyét! b) Rajzolja meg a keresztmetszet alakhelyes magidomát! fd=1,2 N/mm2

a) ¥ª = 250 × 490L

12 + 2 × 120 × 250L12 = 2763,5 × 10¾ ""j

A=250×490+2×120×250=182500 mm2 σSp=-0,7 N/mm2

N=-0,7×182500×10-3=-127,75 kN −1,2 = −0,7 − 127,75 × 10L × C�2763,5 × 10¾ × 245 e=44,15 mm b) 1 = −1,2 × 120 × 2502 × 10KL = −/3 01 e=245-40=205 mm c) ¥�� = 250 × 370L

3 + 2 × 120 × 250L3 = 5471,1 × 10¾ ""j

°�� = 250 × 370#2 + 2 × 120 × 250#

2 = 24,6125 × 10¾ ""L ¸�� = ¥��°�� = 5471,1 × 10¾

24,61 × 10¾ = 222,29 "" e=222,29-125=97,29 mm 1 = �� × °��_�[¡ = −1,2 × 24,6125 × 10¾

370 × 10KL = −2k, 3m 01 d) N=-1,2×(250×370+2×120×250)×10-3=-183 kN

¸ = °�� = 24,6125 × 10¾152500 = 161,4 ""

e=161,4-125=36,4 mm e) N=-1,2×120×250×10-3=-36 kN e=125+60=185 mm


Húzószilárdsággal nem rendelkező keresztmetszet 108/110 11.,Számítsa ki a téglapillér döféspontjaiban működő maximális nyomóerőt a) „D1” döféspontban rugalmas alapon, b) „D2” döféspontban képlékeny alapon! Mindkét feladatrészhez rajzoljon normál feszültségi ábrát! fd=1,2 N/mm2 a) rugalmas alapon D1 magidomon kívül van: 15sá = −1,2 × 400 × 3 × 1002 = −72000� = −2m 01

b) képlékeny alapon D2 a feszültségi test súlypontja 600 × 300 × 150 = 600 × 100 × 50 + 400 × < × ÷100 + <2ø [4# + 100< − 60000 = 0 <y,# = −100 ± √100# + 2 × 60000 = 260,56 mm -460,56 (hamis gyök) 15sá = −1,2 × (600 × 400 + 400 × 260,56) = −413066 � = −X/,, / 01


Húzószilárdsággal nem rendelkező keresztmetszet 109/110 12., Határozza meg a téglapillérre ható Nmax értékét a)rugalmas b)képlékeny állapot feltételezésével! fd=1,1 N/mm2 Mmax=4,5×1×0,5=2,25kNm a)rugalmas állapot −1,1 = −� × 10L

510# − 2,25 × 10¾510L

6 15sá = −m.k, 4X 01

b)képlékeny állapot −� × 10L = −1,1 × 510 × 2 × ù255 − 2,25 × 10¾

� × 10L ú + y

# �# − 143,055� + 1262,25 = 0 �y,# = 143,055 ± â143,055# − 2 × 1262,25 = 277 kN = Nmax

9,11 kN

szil peldatar javitott 2017 01 05szt.bme.hu/phocadownload/Tantargyak anyagai/2-1... · BME...

Documents

Transcript of szil peldatar javitott 2017 01 05szt.bme.hu/phocadownload/Tantargyak anyagai/2-1... · BME...