Szil rds gtan1

SOPRONI EGYETEM FAIPARI MÉRNÖKI KAR

Dr. Szalai József

egyetemi tanár

MŰSZAKI MECHANIKA II.

SZILÁRD TESTEK SZTATIKÁJA

(Rugalmasság- és szilárdságtan)

Jegyzet faipari-, papíripari-, erdő- és környezetmérnök hallgatók számára

3. javított és átdolgozott kiadás

Letölthető az MMTI honlapjáról: http://mechanika.fmk.nyme.hu

Kézirat

Sopron, 2006

2

Bírálók:

Dr. Roller Béla Dr. Thamm Frigyes

a műszaki tudomány doktora a műszaki tudomány kandidátusa

egyetemi tanár ny. egyetemi adjunktus

Ezúton mondok köszönetet Bátki Károlynak a Műszaki Mechanika Tanszék adjunktu-

sának, aki áldozatos munkával vállalta a jegyzet "utolsó" kinyomtatott változatának tartalmi,

stilisztikai, gépelési hibáinak felkutatását és javítását, valamint Busa Donátnak a tanszék de-

monstrátorának a jegyzet képleteinek újraszerkesztéséért. A jegyzet végső formattálását Kará-

csonyi Zsolt nappali doktorandusz végezete 2006 nyarán.

3

Tartalomjegyzék


1. Rugalmasságtani és szilárdságtani alapfogalmak 8

1.1. A rugalmasságtan és a szilárdságtan tárgya és feladata 8

1.2. A feszültség fogalma 9

1.3. Alakváltozás jellemzők 12

1.4. A szilárd anyag viselkedése egyszerű igénybevételek és különböző

igénybevételi módok hatására 14

1.4.1. Terhelési módok 14

1.4.2. A szilárd testek valóságos mechanikai viselkedése 16

1.5. Idealizált anyagtörvények 29

2. Rugalmasságtani alapösszefüggések 33

2.1. A szilárd test alakváltozása 33

2.1.1. Eltolódás 33

2.1.2. Deformációs állapot 34

2.1.3. Fő alakváltozások 38

2.1.4. A deformációs állapot grafikus ábrázolása 42

2.1.5. A teljes alakváltozási folyamat felbontása és értelmezése 49

2.1.6. Geometriai (kinetikai) egyenletek 55

2.1.7. Összeférhetőségi (kompatibilitási) egyenletek 55

2.2. Sztatikai összefüggések 57

2.2.1. Feszültségi állapot 57

2.2.2. Főfeszültségek 61

2.2.3. A feszültségi állapot grafikus ábrázolása 62

2.2.4. Sztatikai egyensúlyi egyenletek 64

2.3. A munka és a potenciális energia 66

2.3.1. Az elemi munka 67

2.3.1.1. A külső elemi munka 67

2.3.1.2. A belső elemi munka 68

2.3.2. A teljes (véges) munka 70

2.3.3. A kiegészítő (konjugált) munka 70

2.3.4. Idegen és saját munka 71

2.3.5. A potenciális (helyzeti) energia 72

2.3.5.1. A külső erők potenciális energiája 74

2.3.5.2. A belső erők potenciális energiája 75

2.3.6. A kiegészítő (konjugált) potenciális energia 76

4

2.4. Anyagtörvények 77

2.4.1. Az anizotrop anyag általános Hooke-törvénye 77

2.4.2. A faanyag általános Hooke-törvénye 81

2.4.3. Az izotrop anyag általános Hooke-törvénye 83

2.4.4. Klimatikus hatások következtében fellépő alakváltozási és feszültségi állapot 85

2.5. A rugalmasságtani feladatok megoldási módszerei 87

2.5.1. Alapegyenletek és kerületi feltételek 87

2.5.2. A Navier-féle egyenletek 89

2.5.3. A Beltrami-féle egyenletek 91

2.5.4. Eltolódás- és feszültségfüggvények 91

2.5.5. Közelítő eljárások, kísérleti módszerek 92

2.5.6. Síkbeli rugalmasságtani feladatok 92

2.6. Munka- és energia tételek 95

2.6.1. A virtuális elmozdulás, virtuális munka, virtuális kiegészítő munka 96

2.6.2. A virtuális munka elve 97

2.6.2.1. A virtuális elmozdulások tétele 97

2.6.2.2. A virtuális erők tétele 98

2.6.3. A potenciális energia állandó-értékűségének tétele 98

2.6.3.1. Az egyensúlyi állapotok osztályozása 100

2.6.4. A kiegészítő potenciális energia minimum tétele 101

2.6.5. A saját munka tétele 102

2.6.6. A munkával és energiával kapcsolatos egyéb tételek 102

3. Tönkremeneteli elméletek 104

3.1. Az izotrop anyagok tönkremeneteli elméletei 105

3.1.1. A Coulomb-féle tönkremeneteli elmélet 106

3.1.2. A Mohr-féle tönkremeneteli elmélet 110

3.1.3. A belső alaktorzulási energia elmélete 112

3.1.4. A tönkremeneteli elméletek elemzése 114

3.2. A természetes faanyag tönkremeneteli kritériuma 115

4. Erőtani méretezés 117

4.1. Az erőtani méretezés fejlődése 119

4.1.1. Egységes (osztatlan) biztonsági tényezős méretezési eljárás 120

4.1.2. Osztott biztonsági tényezős méretezési eljárás 122

4.1.3. Valószínűségelméleti alapon történő méretezési eljárás 123

4.2. A Magyarországon hatályos méretezési eljárások 124

4.2.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési eljárások 125

4.2.2. Fél-valószínűségi módszerrel kiegészített határállapot alapján történő

méretezési eljárás 127

5

4.2.2.1. Erőtani számítás 127

4.2.2.2. A szerkezet határállapotai 128

4.2.2.3. A határállapot jellemzői 129

4.2.2.4. Terhek és hatások 129

4.2.2.5. Az állapotjellemzők mértékadó értékei 131

5. Rudak rugalmasság- és szilárdságtana 132

5.1. A keresztmetszetek jellemzői 133

5.1.1. Síkidomok másodrendű nyomatéka 134

5.1.2. A másodrendű nyomatékok tételei 134

5.1.3. Egyéb keresztmetszeti jellemzők 140

5.2. Húzó és nyomó igénybevétel 141

5.2.1. Prizmatikus rúd tiszta húzása és nyomása 141

5.2.2. Változó keresztmetszetű rudak húzása és nyomása 147

5.2.3. Nyomott felületek érintkezési feszültségei 148

5.2.4. Húzott és nyomott rudak önsúlyának figyelembevétele 149

5.2.4.1. Önsúlyával terhelt húzott rúd 150

5.2.4.2. Egyenletes szilárdságú húzott és nyomott rúd 151

5.2.5. Összetett keresztmetszetű rudak 153

5.2.6. Erőtani méretezés 166

5.2.6.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer 156

5.2.6.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer 157

5.3. Nyíró igénybevétel 158

5.3.1. Prizmatikus rúd tiszta nyírása 158

5.3.2. Közelítőleg tiszta nyírásnak kitett szerkezeti elemek vizsgálata 161

5.3.3. Összetett keresztmetszet nyírása 164




5.4. Hajlító igénybevétel 169

5.4.1. Prizmatikus rúd tiszta hajlítása 169

5.4.2. Változó keresztmetszetű rudak tiszta hajlítása 178

5.4.3. Egyenletes szilárdságú hajlított rudak 178

5.4.4. Összetett keresztmetsztű rudak hajlítása 180

5.4.4.1. A rétegződés merőleges a hajlítónyomaték vektorára 181

5.4.4.2. A rétegződés párhuzamos a hajlítónyomaték vektorával 182

5.4.4.3. Eltérő húzó- és nyomórugalmassági modulusszal rendelkező anyagú

rudak tiszta hajlítása 185


6



5.5. Csavaró igénybevétel 187

5.5.1. Kör (és körgyűrű) keresztmetszetű rudak tiszta csavarása 187

5.5.2. Vékony falú, zárt szelvényű prizmatikus rudak tiszta csavarása 192

5.5.3. Téglalap keresztmetszetű prizmatikus rudak tiszta csavarása 193

5.5.4. Vékony falú, nyitott szelvényű prizmatikus rudak tiszta csavarása 195




5.6. Hajlítás és nyírás 198

5.6.1. A hajlítónyomaték vektora merőleges a keresztmetszet

szimmetriasíkjára 198

5.6.2. A hajlító igénybevétel nyomatékának vektora párhuzamos a keresztmetszet

szimmetriatengelyével 204

5.6.3. Közönséges hajlításnak kitett prizmatikus rúd alakváltozása 208

5.6.3.1. Egyenes hajlításnak kitett rúd alakváltozása 209

5.6.3.2. Ferde hajlításnak kitett rúd alakváltozása 209

5.6.3.3. A közönséges hajlításnak kitett rúd nyírásból származó alakváltozása 213

5.6.4. Összetett keresztmetszet közönséges hajlítása 215

5.6.4.1. A rétegek síkja merőleges a hajlítónyomaték vektorára 216

5.6.4.2. A rétegek síkja párhuzamos a hajlítónyomaték vektorával 216


5.6.5.1. Megengedett méretezésen alapuló méretezési módszer 218


5.7. Hajlítás és normál igénybevétel 220




5.8. Általános összetett igénybevétel 225




5.9. Görbe tengelyű rudak 226

5.9.1. Egyszeresen szimmetrikus keresztmetszetű görbe tengelyű rudak

külső terhelésből származó feszültségeinek meghatározása 228

5.9.2. Görbe tengelyű rudak alakváltozásának számítása 235


7

6. Lemezek rugalmasság- és szilárdságtana 236

6.1. A külső erők hatásvonala beleesik a középfelület síkjába 237

6.2. A külső erők hatásvonala merőleges a középfelület síkjára 238

6.2.1. Hengerpalást felületre deformált, sztatikailag határozott megtámasztású,

téglalap alakú lemez 246

6.3. Erőtani méretezés 247

7. Stabilitási problémák 248

7.1. Hosszú, nyomott rudak kihajlása 249

7.1.1. Karcsú, nyomott rudak rugalmas kihajlása 250

7.1.2. Szerelési és gyártási pontatlanságok következtében fellépő

rugalmas kihajlás 253

7.1.3. Hajlítónyomatékkal is terhelt, karcsú nyomott rudak rugalmas kihajlása 256

7.1.4. Parabolaív alakú tartók rugalmas kihajlása 258

7.1.5. Hosszú, nyomott rudak kihajlása az arányossági határt meghaladó feszültségek

esetén 261




7.2. Hajlított rudak kifordulása 266

7.2.1. Nyújtott téglalap keresztmetszetű, egyenes tengelyű, hajlított rudak kifordulása 266

7.2.2. Nyújtott téglalap keresztmetszetű, körív alakú, hajlított rudak kifordulása 271




8. Egyéb szerkezetek és testek rugalmassági és szilárdsági problémái 272

8.1. Alakváltozások és feszültségek az alkatrészek érintkezési helyének

környezetében 272

8.1.1. Koncentrált erővel terhelt rugalmas féltér 273

8.1.2. A rugalmas félsík feszültségi állapotai 279

8.1.3. Testek érintkezési helyének környezetében fellépő feszültségek 283

8.2. Sztatikailag határozatlan szerkezetek 285

8.2.1. Törzstartó kialakításának módszere 286

8.2.1.1. Többtámaszú, egyenes tengelyű, sztatikailag határozatlan tartók 288

8.2.2. Castigliano II. és Menabrea tételén alapuló módszer 291

Felhasznált és ajánlott irodalom 294

8


1. Rugalmasságtani és szilárdságtani alapfogalmak

A szilárd testek sztatikájában alkalmazásra kerülő fogalmak, absztrakciók egy részével

mint általános mechanikai alapfogalmakkal már korábban megismerkedtünk. Ilyenek voltak pl.

a tér, idő, elmozdulás, erő stb. Ezeken túlmenően természetesen a szilárd testek sztatikájának is

megvannak a speciális alapfogalmai, amelyekkel az alábbiakban foglalkozunk.

1.1. A rugalmasságtan és szilárdságtan tárgya és feladata

A mérnöki gyakorlat szinte minden területén szükség van olyan eljárásokra, amelyek

segítségével meghatározhatók az építmények, berendezések, gépek, azok szerkezeti elemeinek

igénybevétele, teherbíróképessége és alakváltozása annak érdekében, hogy ezek a műszaki léte-

sítmények kielégítő biztonsággal működhessenek, feleljenek meg céljainknak. Ezeknek az eljá-

rásoknak a kidolgozása, elméleti és kísérleti megalapozása a műszaki mechanika feladata.

E feladat jellegéből következik, hogy a sztatikában kiválóan bevált merev test fogalma

olyan absztrakció, amely itt nem alkalmazható. Helyette az alakítható test fogalmát kell beve-

zetnünk. Viselkedésük jellegzetességei szerint az alakítható testeket három nagy csoportba oszt-

hatjuk:

- szilárd testek, melyek mind az alak-, mind a térfogatváltoztatással szemben nagy ellenállást

tanúsítanak, de sohasem tökéletesen merevek,

- folyadékok, amelyek csak a térfogatváltozással szemben ellenállóak, alakjuk kis erőhatásra is

könnyen és jelentős mértékben változik,

- gázok, amelyek alakjukat és térfogatukat már viszonylag kis erőhatásra is jelentősen megvál-

toztatják.

A faipari-, papíripari-, erdő- és környezetmérnökök számára a szilárd testek viselkedé-

sének ismerete a legfontosabb.

A szilárd testek mechanikai viselkedésének pontos leírása is igen nehéz feladat, ezért a

valóságos tulajdonságokat az egyszerűbb matematikai kezelhetőség érdekében ideálisakkal kö-

zelítjük. A szerkezeti elemként használt anyagot mindenek előtt folytonos tömegeloszlásúnak,

azaz kontinuumnak tekintjük. Homogénnek nevezzük az anyagot, ha mechanikai tulajdonságai

minden pontjában azonosak, inhomogénnek, ha eltérőek. Izotrop anyagról beszélünk, ha vala-

mely pontban a felvehető összes irányban azonosak a mechanikai jellemzői. Ha a tulajdonságok

függenek az iránytól, anizotrop anyagról van szó.

Az egyik legfontosabb absztrakció azonban az anyagra ható terhelés és az általa létre-

hozott alakváltozás, illetve az alakváltozási folyamat idealizálása. A legegyszerűbb, ugyanakkor

igen jól használható anyagmodell az ún. rugalmas test, melynek az a jellemzője, hogy a terhelés

9

által létrehozott alakváltozás az erőhatás megszűnésével szintén eltűnik. Ilyen testekből felépí-

tett szerkezetekkel és szerkezeti elemekkel foglalkozik a rugalmasságtan. Ha az erőhatás és az

alakváltozás között lineáris kapcsolatot tételezünk fel, amint az a műszaki gyakorlatban előfor-

duló feltételek mellett sokszor igen jó közelítéssel teljesül, lineáris rugalmasságtanról beszélünk.

Vannak azonban olyan anyagok is, amelyeknek nincs vagy nagyon kicsi a rugalmas alakválto-

zása, és a terhelés hatására maradandó - röviden - maradó alakváltozást szenvednek. Ezeket

képlékeny anyagoknak hívjuk s velük a képlékenységtan foglalkozik.

Hangsúlyozzuk, hogy a fenti ideális tulajdonságok a gyakorlatban tisztán szinte soha-

sem fordulnak elő. A szerkezeti anyagok többsége kis részecskékből, kristályokból, rostokból

áll, melyek önmagukban anizotropok. Makroszkopikus méretekben azonban a részecskék tulaj-

donságainak átlagértéke mutatkozik, s ilyen értelemben - különösen fémeknél és bizonyos mű-

anyagoknál - indokolt a homogén és izotrop feltételezés. A természetben kialakult vagy mester-

ségesen létrehozott, rostos vagy réteges kialakítású anyagok - mint pl. a faanyag, rétegelt leme-

zek, bizonyos műanyagok - általában homogén anizotropoknak, esetleg inhomogén anizotro

pnak tekinthetők. Az alakváltozás szempontjából a valóságos anyagok egyszerre rugalmasan és

képlékenyen is viselkednek, és a két tulajdonság aránya rendkívül változatos lehet. A szerkezeti

anyagok nagy többségére azonban a nagy rugalmas és kismértékű képlékeny alakváltozás jel-

lemző, és ez lehetővé teszi az ideálisan rugalmas lineáris modell alkalmazását.

A rugalmasságtan és a képlékenységtan képezi az alapját a szilárdságtannak, amelynek

segítségével meghatározhatjuk valamely szerkezeti elem teherbíró képességét, vagy adott terhe-

lésnél a tönkremenetellel szembeni biztonságot, illetve a tönkremenetel valószínűségét.

1.2. A feszültség fogalma

Vágjunk ketté egy egyensúlyi erőrendszerrel terhelt testet valamely belső P pontján át

egy síkkal (1.1./a ábra). A merev testek sztatikájában beláttuk, hogy az így felszabadított sík

felületén általában egy megoszló, ún. belső erőrendszernek kell ébrednie a két rész egyensúlyá-

nak biztosítására. Ezt a belső erőrendszert a folytonos anyageloszlás feltételezése miatt folyto-

nosnak tekinthetjük és eredőjét - érdekes módon - sztatikai eszközökkel is számíthatjuk, anélkül,

hogy ismernénk tényleges felületi megoszlását. A B erő, ami a bal oldali testrészen ható, felü-

leten megoszló belső erőrendszer eredője a jobb oldali testrészen ható külső erők eredőjével

egyenlő. A rugalmasságtan egyik feladata éppen az, hogy meghatározzuk ennek a belső erő-

rendszernek a jellegét, minőségét és tényleges megoszlását. Ez a feladat sztatikailag határozat-

lan, hiszen végtelen sokféleképpen lehetne olyan erőrendszert felvenni, melynek eredője éppen

B . A valóságnak megfelelő erőmegoszlást, mint minden sztatikailag határozatlan feladatnál,

csak az alakváltozás figyelembevételével lehet egyértelműen meghatározni.

Jelöljük ki a síkmetszet P pontja körül egy elemi, ∆A nagyságú felületet és tegyük fel,

hogy az ezen ható felületi erőrendszer eredője az elemi nagyságú ∆B erő. A P pont körüli felü-

10

let nagyságának csökkentésével ∆B is

változik. Az A felület minden határon túli

csökkentésével a ∆B / ∆A hányados egy, a

P pontban értelmezett határérték felé tart:

lim∆

∆∆A

n

B

A

dB

dA→= =

0σ , 1.1

melyet a P pont n jelű síkmetszetéhez

tartozó feszültségvektorának nevezünk. A

feszültség kötött vektor, támadáspontja a

vizsgált P pont. (1.1)-ben az n index a

metszősíkra utal. E sík állását a

legegyszerűbben a rá merőleges

egységvektorral ( )n = 1 , a sík

egységnyi normál - vektorával adhatjuk

meg.

1.1 ábra

A feszültségvektor általában a metszősík minden pontjában más és más lesz. Ha a felü-

let valamely pontjának helyvektora ρ , akkor a hozzátartozó belső erőrendszert a

( )σ σ ρn n= 1.2.

vektor-vektor függvény határozza meg. Ha egy n normálisú síkon ismerjük (1.2) konkrét alak-

ját, akkor a belső erőrendszernek a keresztmetszet súlypontjára vonakozó dinámját az alábbi

kifejezésekkel számíthatjuk:

( )B dB dA

A

n

A

= =∫ ∫ σ ρ , 1.3/a

( ) ( ) ( )W dB dAS S

A

S

A

n= − × = − ×∫ ∫ρ ρ ρ ρ σ ρ 1.3/b

A σ n feszültségvektor a felület n normálisával tetszőleges szöget zárhat be, s így álta-

lában felbontható egy normális irányú és egy arra merőleges (tehát a síkba eső) komponensre

(1.1/b. ábra). A normálvektorral párhuzamos

11

σ σnn nn= 1.4

komponenst normálfeszültségnek, a metszősíkkal párhuzamos

σ σnm nm= 1.5

komponenst nyíró- vagy csúsztatófeszültségnek nevezzük. Könnyen beláthatjuk, hogy az m

irány egységvektorát az

( )( )

mn n

nn

n

=× ×

×σ

σ

vektorkifejezéssel számíthatjuk.

A feszültségvektort tehát mindig megadhatjuk komponenseinek összegeként:

σ σn nnn= + σ nmm ⋅ 1.6

A feszültségösszetevők σ nn és σ nm koordinátáinak, illetve a feszültségvektor abszolút

értékének dimenziója az (1.1) definícióinak megfelelően erő/felület, mértékegysége az SI-ben 1

N/m2 = 1 Pa = 1 pascal. Ez az egység a műszaki gyakorlatban nagyon kicsiny mennyiség, cél-

szerű a 106-szorosát használni: 10

6 N/m = 10

6 Pa = 1 MPa = 1 N/mm

2. Az utolsó azonosság

alátámasztja az egyébként nem túlságosan szemléletes MPa használatát, mert mérőszáma azonos

a N/mm2 egység mérőszámával, aminek fizikai értelmezése lényegesen szemléletesebb.

Itt jegyezzük meg, hogy a σ nn és σ nm mennyiségnek megfelelő két indexes jelölés-

módhoz a továbbiakban is konzekvensen ragaszkodunk. Vegyük észre, hogy az első index min-

dig annak a síknak a normálisára utal, amelyhez a feszültségvektor tartozik, a második pedig

arra az irányra, amellyel a feszültségkomponens párhuzamos. Számos szakirodalom σ nn helyett

σ n , σ nm helyettτ nm vagy τ n jelölést használ. A két indexes jelölésmódnak azonban később

sok előnye lesz. Egyelőre csak annyit tartsunk szem előtt, hogy ha a két index megegyezik,

normálfeszültségről, ha különbözik, nyírófeszültségről van szó.

Tétel: Adott pontban az ellentett irányítású síkokhoz tartozó feszültségvektorok egymásnak

ellentettjei.

Bizonyítás: Az akció-reakció elv értelmében, ha a P pont körül felvett ∆A felülethez tartozó

erő a bal oldali testrészen ∆B , akkor ugyanezen felülethez a jobb oldali testrészen, azaz a -n

normálisú felületen - ∆B belső erő tartozik. (1.1) felhasználásával:

σ − → →= − = − + = −n

A An

B

A

B

Alim lim

∆ ∆

∆∆

∆∆0 0

σ .

12

1.3. Alakváltozási jellemzők

Vegyünk fel a szilárd

test va lamely P pontjának szűk

környezetében egy tetszőleges

helyzetű A pontot, melynek

helyét az elemi hosszúságú ∆r

helyvektorral adjuk meg. A

deformáció után az A pont a P

ponthoz képest a ∆r , helyvek-

torú A' pontba kerül. Ha a ∆r

helyvektor hosszát elég

kicsinek vesszük úgy is

fogalmazhatunk, hogy az

alakváltozás során a ∆r vektor

a ∆r , vektorrá transzformá-

lódik (1.2.ábra). A

1.2. ábra

∆ ∆ ∆δ = −r r, 1.8

vektor nyilvánvalóan jellemző a P pont környezetének alakváltozására, ezért torzulásvektornak nevezzük. A torzulásvektor és ∆r hányadosának ∆r →0 átmenettel képzett határértéke a de-

formáció vagy alakváltozási vektor:

lim∆

∆∆r

nr

d

dr→= =

0

δ δ ε ⋅ 1.9

Az n index a ∆r vektorral azonos irányítású n egységvektorra utal.

A deformációvektor (1.9) szerint a nagyon kicsi, de egységnyi hosszúságú irányvektor-

hoz tartozó torzulásvektor. Egy adott n irányhoz a szilárd test minden pontjához rendelhető egy

deformációvektor, amelyet az

( )ε ε ρn n= 1.10

vektor-vektor-függvénnyel adhatunk meg.

13

Az alakváltozási vektort - hasonlóan a feszültségvektorhoz - felbonthatjuk egy n irányú

és egy arra merőleges összetevőre (1.3. ábra):

ε ε εn nn nmn m= + 1.11

A két alakváltozási komponens fizikai

értelmezése céljából vezessük be a

fajlagos hosszváltozás fogalmát, amely

egy l hosszúságú elem deformáció

során elszenvedett λ

hosszváltozásának és eredeti hosszának

hányadosa.

A fajlagos hosszváltozás pozitív, ha az

alakváltozás során az elem hosszabb,

negatív, ha rövidebb lesz. Az 1.3. ábra

alapján határozzuk meg a P pontban

felvett n egységvektor fajlagos

hosszváltozását:

1.3. ábra

λ εε

l=

−≅

+ −=

n n

nnn

nn

,1 1

1 ⋅ 1.12

Határozzuk meg az n és az n , vektorok által bezárt szöget is:

ϕ ϕε

εε≅ =

+=tg nm

nnnm1

. 1.13

A fenti két kifejezésben kihasználtuk azt a megkötést, hogy a szilárd test alakváltozása

csak kicsi lehet, olyan kicsi, hogy az n nn nn, ;≅ +1 ε ε << 1 és tgϕ ϕ≅ összefüggések gya-

korlatilag elfogadhatók.

(1.12) és (1.13) szerint a deformációvektor n irányú vetülete az adott n irányhoz tarto-

zó fajlagos hosszváltozás, n -re merőleges vetülete pedig az n egységvektor deformáció során

szenvedett szögelfordulása. ε nn és ε nm dimenzió nélküli mennyiségek. A szakirodalom sokszor

az ε εnn n= és ε γ γnm = =12 nm

12 n jelölést alkalmazza.

14

1.4. A szilárd anyag viselkedése egyszerű igénybevételek és különböző igénybevételi módok

hatására

A szerkezeti anyagok különböző technikai feltételek mellett mutatott mechanikai visel-

kedésének kísérleti vizsgálata és kutatása a műszaki gyakorlat számára igen nagy jelentőségű,

mert ez képezi az alapját a szilárd anyagok elméleti-mechanikai modellezésének és a

teherbíróképesség kimutatásának. Az anyag szilárdsági jellemzőin azokat a tulajdonságokat

értjük, amelyek az anyagokat a mechanikai igénybevételekkel szemben tanúsított ellenállásuk

(alakváltozás, törés, stb.) szempontjából írják le. Ezeket a tulajdonságoknak és jellemzőknek a

kutatása és meghatározása az anyagtudomány feladata.

1.4.1. Terhelési módok

Az anyagok teherbíróképességét - az anyagminőség mellett - az igénybevételek fajtája

és a terhek jellege határozza meg. Az igénybevételek fajtáival, meghatározásukkal a merev tes-

tek sztatikájában megismerkedtünk.

A terhelés jellege szerint sztatikus és dinamikus terhelésről beszélünk.

- Sztatikus terhelés:

A külső és belső erők a terhelési folyamat alatt minden pillanatban sztatikai egyensúly-

ban vannak, az alakváltozás nagyon lassan megy végbe, az alakváltozási sebesség gyakorlatilag

nulla. A sztatikus terhelés feltétele az, hogy a teher nagyságának változása lassú, azaz a teherát-

adási sebesség kicsi legyen.

Ide tartoznak azok a terhelések, amelyek a szerkezetre úgy adódnak át, hogy nulláról

indulva maximális értéküket lassan és egyenletesen érik el. Ilyen teherátadási módot alkalmaz-

nak pl. az anyagok ún. rövid idejű vagy pillanatnyi sztatikus szilárdságának meghatározásánál.

A sztatikus terhek közé soroljuk azokat a terheket is, amelyek helyüket és nagyságukat hosszú

időn át sem változtatják meg. Ezeket tartós állandó terheknek nevezzük. Ilyen terhelésnek te-

kinthető pl. a szerkezetek önsúlyából származó erő.

- Dinamikus terhelés:

A terhelési folyamat során a külső és belső erők nincsenek sztatikai egyensúlyban, így a

szerkezetben, illetve annak bizonyos részeiben váltakozó előjelű gyorsulások, s ezek következ-

tében rezgés jellegű alakváltozások keletkeznek. Dinamikus terhelésnél a teherátadás sebessége

nem hanyagolható el, sőt bizonyos esetekben végtelen nagynak veendő.

Ide soroljuk azokat a terheléseket, amelyek ütközés- vagy lökésszerűen adódnak át,

azaz a teherátadás pillanatszerűen megy végbe, valamint azokat, amelyek hosszú időn át hatnak,

de nagyságuk az időben viszonylag gyorsan változik. Ez utóbbiakat tartós változó (váltakozó)

15

terhelésnek nevezzük. A változás lehet véletlenszerű (sztochasztikus), poliharmonikus és tiszta

harmonikus (1.4. ábra). A periódikusan változó terheléseknél Fmax ésFmin az igénybevétel felső

és alsó értéke.

A terhelés amplitúdója:

FF F

a =−max min

2

középértéke pedig:

F F FF F

m a= + =+

minmax min

2

1.4. ábra

16

Lüktető terhelésről (igénybevételről) beszélünk, ha

F

Fmin

max

≥ 0

és lengő terhelésről (igénybevételről), ha

F

Fmin

max

<0 .

A sztatikus, a lüktető és a lengő terhelés a méretezési előírások I, II. és III. típusú terhe-

lésnek is nevezik.

1.4.2. A szilárd testek valóságos mechanikai viselkedése

A szilárd testek mechanikai viselkedése szempontjából az alakváltozással és a tönkre-

menetellel kapcsolatos jellemzők a legfontosabbak. Az alakváltozás és a tönkremenetel jellege

és sajátosságai a különböző terhelési módoknak megfelelően rendkívül sokfélék lehetnek.

A szilárd test fizikája keretében megkísérlik az anyag szerkezeti felépítéséből levezetni

annak mechanikai viselkedését. Az elmélet sikeresen értelmezi a mechanikai tulajdonságok

nagy részét, kvantitatív kiértékelésre azonban - az anyag szerkezeti felépítésében mindig megje-

lenő rendellenességek, szabálytalanságok, az ún. diszlokációk miatt - nem alkalmas. E miatt a

mérnöki tudományokban egyelőre a fenomenológiai szemléletmód az uralkodó. A fenomenoló-

giai módszer alkalmazása során lemondunk a jelenség fizikai magyarázatáról és megelégszünk

annak leírásával.

A mechanikai viselkedés - azaz a terhelés módja, jellege, valamint az alakváltozás és a

tönkremenetel közötti kapcsolat - minél pontosabb leírására gondosan megtervezett és nagy-

számú kísérletet kell elvégezni. Ezek kiértékelése után lehet következtetni a különböző anyagok

mechanikai tulajdonságainak minőségi és mennyiségi jellemzőire.

A különböző igénybevételek esetén az erők jellegének megfelelően a szilárdsági tulaj-

donságok vizsgálatához

rövid idejű

- sztatikus

tartós

rövid idejű

- dinamikus

tartós

kísérleteket alkalmaznak.

A következőkben a fenti kísérleti módszerek és lehetőségek közül a legalapvetőbbeket,

illetve a legjellemzőbbeket ismertetjük.

17

A/ Sztatikus, rövid idejű vizsgálatok

E csoportba tartoznak a tudománytörténetileg elsőként elvégzett legegyszerűbb anyag-

vizsgálatok. Az anyagok mechanikai tulajdonságait a belőlük készített próbatesteken határozhat-

juk meg. A kísérlet folyamán a próbatestet alkalmas erőrendszerrel terheljük és mérjük az általa

létrehozott alakváltozást. A vizsgálat eredményeként egy

( )Y Y= δ 1.14

függvényt kapunk, ahol Y - a terhelésnek megfelelő igénybevétel nagysága, δ - a fellépő alak-változás (hosszváltozás, lehajlás, szögelfordulás, stb.) mértéke. Az ( )Y Y= δ függvényt ábrázo-

ló diagramot a próbatest jelleggörbéjének nevezzük.

A próbatest jelleggörbéje általában három részre osztható (1.5. ábra). Az első, 0A sza-

kaszon az igénybevétel nagysága és az általa létrehozott alakváltozás között a kapcsolat jó köze-

lítéssel lineáris.

Ha ezen a tartományon visszavesszük a terhelést, akkor a tehermentesítéshez tartozó jelleggörbe

egybeesik az 0A egyenessel. A test visszanyeri eredeti alakját és méreteit. Ezt a tulajdonságot

rugalmasságnak nevezzük. Nagyon pontos mérésekkel ugyan kimutatható, hogy az alakváltozás

sohasem tűnik el teljesen, egy kis alakváltozás mindig - a legkisebb terhelés után is - marad

vissza, melyet maradó alakváltozásnak nevezünk.

Igy bár tökéletesen rugalmas anyag nincs, a műszaki gyakorlatban a szerkezeti anyago-

kat annak tekintjük, ha a terhelés nem éri el a rugalmassági határt.

A rugalmassági határ az A pontnak megfelelő terhelés, az arányossági határ közelében van,

annál azonban kisebb és nagyobb is lehet. A rugalmassági határnál nagyobb igénybevételnél a

próbatest képlékeny állapotba kerül. Képlékeny állapotban ugyanakkora tehernövekedéshez

lényegesen nagyobb alakváltozás tartozik, mint a rugalmas állapothoz. Bizonyos anyagoknál

található olyan tehernagyság, melyet állandó értéken tartva az alakváltozás az időben folyama-

tosan nő. Ezt a jelenséget folyásnak nevezzük, a hozzá tartozó igénybevételt pedig folyáshatár-

nak. A folyás során keletkező alakváltozás mindig megmaradó alakváltozás. A rugalmassági

határt meghaladó terhelést - pl. a D pontnak megfelelő igénybevételt - visszavéve a tehermente-

sítés vonala az OA egyenessel párhuzamos lesz. A D ponthoz tartozó teljes alakváltozás δ r

rugalmas része eltűnik, csak a folyásból származó marad meg:

δ δ δ= +r m . 1.15

A próbatestet újra terhelve, annak jelleggörbéje gyakorlatilag az előző tehermentesítés vonala

lesz egészen a D pontig. Egy terhelési ciklus tehát megnöveli az anyag arányossági, illetve fo-

18

lyáshatárát. Ezért a jelleggörbének ezt a második, AB részét felkeményedési szakasznak ne-

vezzük. E szakasz végén, a görbe B pontjában a próbatest terhelhetősége eléri a maximumot. A

1.5. ábra

hozzá tartozó igénybevételt törőigénybevételnek nevezzük, jóllehet a próbatest törése nem itt,

hanem a C pontban következik be. A harmadik, BC szakaszon indulnak be és teljesednek ki

azok a folyamatok (belső repedések, helyi keresztmetszetcsökkenés, stb.), melyek lerontják és

végül megszüntetik a külső terheléssel szembeni ellenállást.

A próbatestek jelleggörbéjének tényleges alakja nagyon sok befolyásoló tényező függ-

vénye. Ezek közül legfontosabbak:

- az anyagminőség, az anyagminőség,

- a próbatest geometriai jellemzői,

- az igénybevétel fajtája, jellege,

- a teherátadás sebessége,

- a kísérlet környezeti állapothatározói (hőmérséklet, nedvességtartalom stb.).

A próbatestek jelleggörbéiből az anyag mechanikai viselkedésére következtethetünk, ha

sikerül a próbatest alakjának hatását kiküszöbölni. Az anyagtulajdonságok legfontosabb jellem-

zőinek tárgyalására a húzó-, nyomó- és nyíróigénybevétellel történő, sztatikus, rövid idejű vizs-

gálatokat mutatjuk be.

1. Húzó-vizsgálat

A húzókísérlethez a vizsgálandó anyagból egy kör vagy téglalap keresztmetszetű, A0

területű, L hosszúságú egyenes rudat készítenek, melyet anyagvizsgáló gépben egy időben vál-

19

tozó F=F(t) nagyságú koncentrált erővel terhelünk sztatikusan (az F(t) tehát nulláról indul, az

idővel lineárisan növekszik, a teherátadás sebessége kicsi, de a tönkremenetelig eltelt idő nem

több néhány percnél), úgy, hogy a rúd középső, l0 hosszúságú szakaszának minden keresztmet-

szete F nagyságú húzóigénybevételnek legyen kitéve. A próbatest jelleggörbéjét a bevezetőben

bemutatottaknak megfelelően fel lehet venni. Az anyagtulajdonságok kiértékeléséhez bevezet-

jük a

( ) ( )σ t

F t

A=

0

1.16

látszólagos normálfeszültséget és az

( ) ( ) ( )ε

λt

l t l

l

t

l=

−=0

0 0

1.17

fajlagos hosszváltozást (megnyúlást), ahol l(t) - az eredetileg l0 hosszúságú szakasz F(t)-hez

tartozó, megnyúlt hossza, λ (t) - az l0 szakasz hosszváltozása.

A terhelési folyamat során minden pillanatban hozzárendelhető a névleges feszültséghez

egy fajlagos hosszváltozási érték. Az (1.16) és (1.17) definíciókból következik, hogy a ( )σ σ ε= függvénykapcsolat az (1.14) típusú F = F(λ ) függvénnyel, a próbatest jelleggörbéjé-

vel affin. Ugyanakkor a ( )σ σ ε= nem függ a próbatest geometriai méreteitől, nem szerkezeti,

hanem anyagjellemző, ezért az anyag látszólagos jelleggörbéjének, alakváltozási diagramjának

(húzódiagramjának) nevezzük. A próbatest jelleggörbéje és az anyag látszólagos jelleggörbéje

közötti affinitás miatt a két diagram jellege hasonló, ugyanazokra a szakaszokra bonthatók (1.6.

ábra). Az alakváltozási diagramok jellemző pontjainak meghatározása elvi és gyakorlati szem-

pontból is sok problémát jelenthet, ezért ezeket általában elfogadott, szabványok által rögzített

módszerekkel, eljárásokkal állapítják meg.

Ezen egyezmények szerint:

σ A - az anyag arányossági határa: a 0,0005 mm/mm maradó fajlagos hosszváltozáshoz tartozó

névleges feszültség,

σ R - az anyag rugalmassági határa: a 0,0002 mm/mm maradó fajlagos hosszváltozáshoz tartozó

névleges feszültség,

σ F - az anyag folyáshatára: a 0,002 mm/mm maradó fajlagos hosszváltozáshoz tartozó névleges

feszültség.

Az anyag látszólagos jelleggörbéjének ismeretében a fenti mennyiségeket úgy határoz-

zuk meg, hogy az ε tengelyen felmérjük a keresett határnak megfelelő maradó fajlagos alak-

változás-értéket. Az e pontból kiinduló, a jelleggörbe lineáris szakaszával párhuzamos egyenes

20

és a jelleggörbe metszéspontjához tartozó névleges feszültség adja a keresett jellemzőt (1.6.

ábra).

A felkeményedési szakaszon a görbe legmagasabb pontjának megfelelő σ B feszültséget

az anyag rövid idejű, sztatikus húzószilárdáságnak nevezzük. A húzószilárdság - megállapodás

szerint - a legnagyobb húzóigénybevétel és a kezdeti keresztmetszet-terület hányadosa:

σ B

F

A

N

A= = ⋅max max

0 0

1.18

A húzott próbatest alakváltozása nem egyedül a hosszirányú méretnövekedés, hanem

ezzel egyidőben - a hosszirányra merőlegesen - a keresztmetszet síkjában is fellép hosszúságvál-

tozás, amelyet keresztirányú (harántirányú) fajlagos hosszváltozásnak nevezünk:

( ) ( )ε k t

d t d

d=

− 0

0

, 1.19

ahol a d(t) - a próbatest hossztengelyére merőleges síkban felvett, eredetileg d0 hosszúságú

szakasz F(t) erőhöz tartozó, megváltozott hossza. Húzóigénybevételnél a keresztirányú méretek

kisebbek lesznek. A keresztirányú fajlagos hosszváltozás az alakváltozási diagram kezdeti, line-

áris szakaszán szintén lineáris kapcsolatban van a terhelő erővel, illetve a névleges feszültség-

gel, így a hosszirányú fajlagos alakváltozással is. A folyási tartományban nagysága a hosszirá-

nyú fajlagos hosszváltozásnak a fele lesz. A jelleggörbe B pontjáig a keresztmetszet méretcsök-

kenése a próbatest teljes hosszában azonos. A jelleggörbe harmadik szakaszán azonban a próba-

test egy bizonyos helyen a többi keresztmetszethez képest lényegesen gyorsabban elvékonyo-

dik, behúzódik. Ez a jelenség a kontrakció. A próbatest szakadása a kontrahálódott keresztmet-

szetben következik be. A kontrakció jellemzésére a

ψ =−A A

AC0

0

1.20

mérőszámot vezetjük be, ahol A C - a kontrahált keresztmetszet szakadás után mérhető területe.

Szakadási nyúlásnak nevezzük a fajlagos hosszváltozást a próbatest elszakadásának

pillanatában:

ε CCl l

l=

− 0

0

1.21

ahol l C az eredetileg l 0 hosszúságú rúdszakasz megnövekedett hossza, melyet a két szakadt

rész összeillesztésével mérhetünk.

21

1.6. ábra

Különösnek tűnhet, hogy a σ B húzószilárdság elérése után a jelleggörbe csökkenő

tendenciát mutat. Ennek az az oka, hogy a függőleges tengelyre a húzóerő és az eredeti A 0

keresztmetszet-terület hányadosaként értelmezett, névleges feszültséget mértük fel. Az anyag

valódi jelleggörbéjét úgy kapjuk meg, hogy a fajlagos hosszváltozást a tényleges feszültség

függvényében ábrázoljuk. A tényleges feszültség pedig a húzóerő és a csökkenő keresztmetszet-

terület hányadosa. A kísérletek tanúsága szerint a jelleggörbe lineáris szakaszán a keresztmet-

szeti méretek csökkenése olyan kicsi, hogy a látszólagos és a valódi jelleggörbe gyakorlatilag

egybeesik. Jelentős eltérés a 2. és különösen a 3. szakaszban tapasztalható (1.6. ábra). Különö-

sen bonyolulttá válnak a feszültségi és alakváltozási viszonyok a kontrahálódott keresztmetszet-

ben a szakadás pillanatában. Így a valódi húzószilárdság és a valódi szakadási nyúlás meghatá-

rozásához általában csak közelítő számításokat alkalmaznak.

2/ Nyomó-vizsgálat

Nyomókísérletnél kör vagy derékszögű négyszög keresztmetszetű, d0 minimális szé-

lességű, A 0 területű, L hosszúságú próbatesteket készítenek, melynek alsó és felső homloklap-

22

jára F = F(t) nagyságú, sztatikusan működő nyomóerő hat. Általában igen nehéz olyan kísérleti

körülményeket kialakítani, hogy a próbatest minden keresztmetszete tiszta nyomásra legyen

igénybe véve. Az egyik zavaró hatás abból adódik, hogy a próbatest homlokfelülete és a nyo-

mólapok között jelentős súrlódóerő ébred. A másik zavaró körülmény az, hogy a próbatest

hossztengelye bizonyos terhelésnél meghajlik. Ha a próbatest hosszát úgy vesszük fel, hogy az

ne legyen nagyobb legkisebb keresztmetszeti méretének 2-3-szorosánál ( )1 5 30 0, d L d≤ ≤ ,

akkor a hosszúság középső 2/3-ában az igénybevétel jó közelítéssel tiszta nyomás és a kihajlás

veszélye is minimális lesz. A próbatest jelleggörbéjét felvéve, a húzóvizsgálatnál definiált név-

leges normálfeszültséggel és fajlagos hosszváltozással - a különbség csak annyi, hogy nyomás-

nál mindkettő negatív - megszerkeszthetjük az anyag jelleggörbéjét (1.7. ábra). A görbe jelleg-

zetes pontjait is ugyanúgy kell megkeresni, mint húzóigénybevételnél. Előfordulhat - bizonyos

anyagoknál -, hogy a nyomószilárdságnak megfelelő B pontot nem lehet meghatározni, mert ha

a próbatest anyaga nagy értékű alakváltozásra képes, szétlapul a nyomópofák között anélkül,

hogy eltörne. Nyomáskor a keresztmetszeti méretek megnövekednek. Mivel a súrlódás gátolja a

homlokfelületek harántirányú elmozdulását, a próbatest oldala meggörbül, kidudorodik (a hen-

ger alakú próbatest hordóalakot vesz fel).

1.7. ábra

Az anyag valódi jelleggörbéjét a tényleges normálfeszültség és a fajlagos hosszváltozás

összekapcsolásával nyerjük. A keresztmetszet növekedése miatt a folyáshatárnál nagyobb fe-

szültségeken a valódi jelleggörbe közelebb kerül a koordinátarendszer vízszintes tengelyéhez.

23

3/ Nyíró-vizsgálat

A nyíró kísérlet technikai és elméleti szempontból komoly problémát jelent, mert olyan

próbatest alakot és terhelési módot kialakítani, melynek hatására a próbatest egy bizonyos része

tiszta nyíróigénybevételnek van kitéve és a nyírásból származó nyírófeszültségek eloszlása is

egyenletes, igen nehéz, gyakorlatilag lehetetlen. A vizsgálatok többsége így csak a próbatest - és

nem az anyag - jelleggörbéjének meghatározására alkalmas. Néhány vizsgálati módszernél (pl.

egyenes rúd megcsavarásánál) azonban - bizonyos elvi feltételezések mellett - az anyag jelleg-

görbéjére is fontos következtetéseket tehetünk. A kísérleti tapasztalatok szerint a nyírófeszültség

két szakasz egymással bezárt szögét változtatja meg, azok hosszát nem.

Az anyag jelleggörbéjének felvételénél a vízszintes tengelyre a γ szögváltozást, a függőlegesre

a nyírófeszültséget mérjük (1.8. ábra). Mivel a szögváltozás a keresztmetszet alakját csak eltor-

zítja, de területének nagyságát gyakorlatilag nem változtatja meg, az anyag látszólagos és valódi

jelleggörbéje jó közelítéssel egybeesik. A megállapodás szerint aτ A arányossági határnak a

0,0002, a τ F folyáshatárnak a 0,003 maradó szögváltozáshoz tartozó nyírófeszültséget tekintjük.

A különböző anyagok viselkedésének meghatározásához a sztatikus, rövid idejű vizsgá-

latokat előírás szerint szobahőmérsékleten (20 oC-on) végzik. Az így kapott jelleggörbék alakjá-

tól függően a szerkezeti anyagok két nagy csoportba oszthatók.

- szívós anyagok, amelyek a rugalmas szakasz után még nagy képlékeny tartománnyal rendel-

keznek, a próbatest törését - ha egyáltalán előidézhető - jelentős alakváltozás előzi meg, a tönk-

remenetel két legfontosabb jellemzője a folyáshatár és a látszólagos szilárdság.

- rideg anyagok, amelyek képlékeny tartománya majdnem vagy teljesen hiányzik, a próbatest

alakváltozása a törés pillanatáig viszonylag kicsi és gyakorlatilag rugalmasnak tekinthető. A

törés sok anyagnál már 0,002 mm/mm vagy a 0,003 rad alatt bekövetkezik, így a folyáshatár

nem határozható meg. A tönkremenetel legfontosabb jellemzője s látszólagos szilárdság.

A szívós és rideg anyagok tipikus jellegzetességeinek tanulmányozására vizsgáljuk meg

az 1.9. ábrát, melyen egy kis széntartalmú acél és szürke öntött vas látszólagos jelleggörbéit

láthatjuk húzásnál és nyomásnál (a nyomó jelleggörbét is a pozitív síknegyedben ábrázoltuk). A

kis széntartalmú acél próbatest húzásnál karcsúsodás után szakadt el, nyomásnál olyan nagy

mértékű összenyomódást szenvedett, hogy a nyomószilárdságot nem lehetett meghatározni. A

folyáshatár mindkét igénybevételnél azonos. A szürke öntött vasból készült próbatest kontrakció

nélkül szakadt el húzáskor, nyomásnál csekély összenyomódás után eltörött. A törésig fellépő

deformáció olyan kicsi volt, hogy az egyik igénybevételnél sem lehet folyáshatár tmegha-

tározni. A húzó- és nyomószilárdság között azonban jelentős különbség van.

Az 1.10. ábrán lucfenyő anyag látszólagos húzó és nyomó jelleggörbéjét láthatjuk 12

%-os faanyag-nedvességtartalomnál, rostiránnyal párhuzamosan. Ugyanaz az anyag húzásra

24

ridegen, nyomásra inkább szívósan

viselkedett. A töréshez tartozó

keresztmetszeti alakváltozás mindkét

esetben elég kicsi, ezért a valódi

jelleggörbék alig különböznek a

látszólagosoktól.

A látszólagos húzó és nyomó

jelleggörbék különbözőségéből azonban

nem kell feltétlenül a tényleges viselkedés

eltérő jellegére következtetnünk.

Az 1.11. ábrán hőkezeletlen acél

húzó és nyomó diagramjai láthatók. A

valódi jelleggörbék összehasonlításából

kitűnik, hogy a szilárdság és az

alakváltozási folyamat jellege a két

igénybevételnél majdnem egyforma. Ez a

tulajdonság általában a szívós anyagokra

jellemző.

1.8 ábra

1.9. ábra

25

1.10. ábra 1.11. ábra

B/ Sztatikus, tartós (hosszú idejű) vizsgálatok

A rövid idejű sztatikus anyagvizsgálatok mellett fontos szerepe van azoknak a kutatá-

soknak, amelyek a feszültségi és az alakváltozási jellemzők időbeli lefolyását vizsgálják. A

mechanikának ezt a tudományterületét reológiának nevezik. A reológiai jelenségek, illetve vizs-

gálatok közül két alapvetőt említünk.

Ha a vizsgált anyagban akkora feszültséget hozunk létre, amely rövid idejű sztatikus

vizsgálatok alapján még nem okoz tönkremenetelt - sőt, még a rugalmas tartományon belül van

- és ezt a feszültséget állandó értéken tartjuk, akkor azt tapasztaljuk, hogy a deformáció az idő-

ben folyamatosan növekszik. Az állandó terhelés mellett fellépő alakváltozás-növekedést kú-

szásnak hívjuk. Az 1.12. ábrán különböző feszültségszintekhez tartozó kúszásgörbéket látunk.

Minél nagyobb a feszültség értéke, annál nagyobb a t = 0 pillanathoz tartozó kezdeti deformá-

ció és a kezdeti alakváltozási sebesség. A deformáció sebessége azután az idő múlásával csök-

kenő tendenciát mutat, majd egy bizonyos idő elteltével - a görbék inflexiós pontjához tartozó

26

időpontban - ismét növekszik. A megnövekedett alakváltozási sebesség ezután már viszonylag

rövid idő alatt olyan nagy deformációt hoz létre, hogy a próbatest törik, tönkremegy. Ez az ún.

kúszási törés. A kúszás jelensége az anyag belső súrlódásával, viszkózus tulajdonságaival ma-

gyarázható. Az egyes feszültségszintekhez tartozó kúszás-görbék inflexiós pontjait összekötve

az időtartamszilárdság görbéjét kapjuk. Az időtartamszilárdság az a feszültség, amelyen az

anyag egy adott időpontban tönkremegy. Az 1.12. ábra alapján pl. at 4 időponthoz tartozó

időtartamszilárdság σ 4 . A nulla időponthoz tartozó időtartamszilárdság a sztatikus. rövid idejű

törőszilárdság. Azt a legkisebb feszültséget, amelynél a kúszásgörbe inflexiós pontja a végte-

lenbe esik, sztatikus tartós szilárdságnak nevezzük, hiszen nyilvánvaló, hogy ez a feszültség

soha nem okoz tünkremenetelt. A sztatikus tartós szilárdság kísérleti meghatározása rendkívül

bonyolult és elméletileg sem tökéletesen tisztázott feladat. Egyes szerzők a sztatikus tartós szi-

lárdságnak a sztatikus rövid idejű szilárdság 50-60 %-át javasolják. A reológiai folyamatok

másik alapvető jelensége a feszültségrelaxáció vagy -ernyedés. Ez azt jelenti, hogy a deformáció

állandó értéken tartásához időben csökkenő feszültségre van szükség. A feszültségcsökkenés

sebessége a kezdeti feszültség, illetve az általa létrehozott alakváltozás nagyságától függ és az

idő múlásával fokozatosan csökken. Az 1.13. ábrán különböző deformációkhoz tartozó

feszültségrelaxációs görbéket láthatunk.

1.12. ábra

27

1.13. ábra

C/ Dinamikus, rövid idejű vizsgálatok

A rövid idejű dinamikus igénybevételekhez tartozó anyagjellemzőket ún. ütőkísérletek-

kel vizsgálják, ahol ismert tömeg meghatározott sebességgel ütközik a próbatestnek. Az anyag-

vizsgáló berendezés és a próbatest alakjának kialakításától függően tetszőleges ütő-igénybevétel

valósítható meg. A vizsgálat során a töréshez felhasznált munkát kell mérni, amelyből úgy ka-

punk anyagjellemzőt, hogy értékét elosztjuk a törési keresztmetszet területével. A hányadost

fajlagos ütőmunkának nevezzük:

aW

Atörõ=0

, 1.22

mértékegysége: Nm/m2 = Nm-1.

A fajlagos ütőmunka az anyag szívósságát, illetve ridegségét jellemzi. Nagy fajlagos

ütőmunkánál nem kell azzal számolni, hogy az anyag hajlamos a nagyon veszélyes rideg törés-

re. Az ütőkísérleteket elsősorban az anyagok öregedésének vizsgálatára használják. Öregedésen

az anyagok hosszú időn át való tárolása (esetleg használata) alatt bekövetkező szilárdsági tulaj-

donság-változásokat értünk. Az öregedés egyik legfontosabb következménye éppen az anyagok

ridegebbé válása, ami a fajlagos ütőmunka csökkenésében jelentkezik.

D/ Dinamikus, hosszú idejű vizsgálatok

Tartós változó (váltakozó) terhelés esetén az anyag szintén bizonyos öregedési, kifára-

dási tulajdonságokat mutat. Ezeknek az ún. fárasztó vizsgálatoknak az a célja, hogy megállapít-

28

sák az anyag kifáradási határát, vagy más néven dinamikus tartós szilárdságát. A próbatest és az

ismétlődő terhelés jellegétől függően a vizsgált keresztmetszetben különböző váltakozó igény-

bevételek ébredhetnek. Az alkalmazott igénybevétel felső és alsó értékeinek megfelelő feszült-

ségeket ismétlődő felső és alsó feszültségnek nevezzük és σ fi -fel és σ a

i -val jelöljük. A két

szélső érték számtani közepe a középfeszültség:

σσ σ

ki f

iai

=+

⋅2

1.23

A középfeszültségtől való eltérés a feszültségamplitúdó:

σ σ σ σ σσ σ

ei

fi

ki

ki

ai f

iai

= − = − =−

⋅2

1.24

Az anyag kifáradási

határán azt a σ fi felső

feszültséget értjük, a-

melynek egy hozzá

tartozó σ ai alsó

feszültséggel való

végtelen sok is-

métlődése még éppen

nem okoz tönkremene-

telt. A fárasztóvizsgá-

latnál tehát egy adott

alsó feszültségszinthez

azt a

1.14. ábra

felső feszültséget kell meghatározni, amelyet a próbatest végtelen sok ismétlődés után is elbír.

Ha a terhelés n ismétlési számának függvényében ábrázoljuk azokat a σ fi feszültséggörbéket,

aminél az egyes próbatestek eltörnek, az ún. Wöhler-görbéket kapjuk (1.14. ábra). A görbe

aszimptotikusan közelít egy értékhez, amely éppen a σ Bi kifáradási határ. Mivel minden σ a

i -

hoz más görbe és határérték tartozik, minden anyagnak végtelen sok Wöhler-görbéje van, ami

gyakorlati szempontból igen kényelmetlen. Ha lemondunk a korlátozott ismétlődési számhoz

tartozó kifáradási határ ábrázolásáról és a kifáradási szilárdságokat az ismétlődő középfeszült-

ség, illetve a feszültségamplitúdó függvényében ábrázoljuk, a Smith-féle diagramot kapjuk.

Ebben a diagramban a vízszintes tengelyre a középfeszültséget mérjük, a 45o-os dőlésű egye-

nesre pedig függőleges irányban felfelé és lefelé azokat a feszültségamplitúdókat, amelyeknél a

29

próbatest végtelen ( gyakorlatilag 108) számú ismétlődés után sem megy tönkre (1.15. ábra). A

kifáradási határgörbe megrajzolása még így is nehéz, mert sok különböző jellegű (lüktető, len-

gő) terheléssel hosszú ideig tartó vizsgálatokat kell végezni. Emiatt sokszor megelégednek a

Smith-féle diagram közelítő megszerkesztésével (szaggatott vonal).

1.15. ábra

Az ábra alapján könnyen beláthatjuk, hogy ehhez az anyag folyáshatárán kívül csak egy

lengő és egy lüktető igénybevételhez tartozó kifáradási határt kell meghatározni. A pontos vagy

a közelítő Smith-diagram ismeretében könnyen eldönthetjük, hogy a váltakozó tartós igénybe-

vétel okoz-e tönkremenetelt vagy sem. Ha a változó terhelést jellemző σ ki középfeszültségnek

és a σ ei feszültségamplitúdónak megfelelő pont a határgörbe által körbezárt területre esik, az

anyag tönkremenetele elméletileg csak végtelen idő múlva következik be.

1.5. Idealizált anyagtörvények

A rugalmasság- és szilárdságtani számításokhoz - mint később látni fogjuk - szükség

van a feszültségeket és az alakváltozásokat összekapcsoló ún. anyagi összefüggésekre. Ezeket

az összefüggéseket a kísérletekkel meghatározott alakváltozási diagramok alapján kell felállíta-

ni. Láttuk azonban, hogy az anyagok tényleges viselkedését leíró jelleggörbék nagyon összetet-

30

tek, a teljes alakváltozási görbe, azaz az anyagtörvény csak igen bonyolult függvénnyel, illetve

függvényekkel adható meg. Ilyen összetett függvények azonban az egyébként sem túlságosan

egyszerű szilárdsági számításokat rendkívül megnehezítik, esetleg lehetetlenné teszik. Ezért van

szükség olyan idealizált anyagtörvények megalkotására, amelyek matematikailag egyszerűen

leírhatók, ugyanakkor bizonyos alakváltozási és feszültségi tartományban a valóságos viselke-

dést jól visszaadják.

Az anyagok valóságos viselkedésének tanulmányozásánál láttuk, hogy a két alapvető

tulajdonság a rugalmasság és a képlékenység (idegen szóval plasztikusság), ezek különböző

arányban ugyan, de minden szerkezeti anyagban megtalálhatók. Az idealizálás egyik része ab-

ból áll, hogy a két tulajdonságot szétválasztjuk, függetlenné tesszük egymástól. Ideálisan ru-

galmas az anyag, ha a test a tehermentesítés után teljes mértékben visszanyeri eredeti alakját.

További, de igen fontos egyszerűsítési lehetőség, ha a rugalmas tartományban a feszültség és az

alakváltozás közötti kapcsolatot lineárisnak tekintjük. Ideálisan képlékeny az anyag, ha a test

csak maradó alakváltozást szenved. Ennek legegyszerűbb formájánál az alakváltozási sebesség

arányosan nő a ható feszültséggel. Ideálisan képlékeny anyagnál a folyás csak egy meghatáro-

zott feszültségszinten, a valóságos anyag folyáshatárának megfelelő értéken lép fel. A felkemé-

nyedési szakasz jellemzésére olyan képlékeny anyagmodellt kell választani, amelyben az alak-

változási sebesség nem lineáris, hanem annál bonyolultabb függvénykapcsolatban van a feszült-

séggel. Az idealizálás következő lépésében ezeket az egyszerű alapmodelleket valamilyen mó-

don összekapcsoljuk. Az 1.16. ábrán az alapmodelleket, azok legegyszerűbb kombinációit, illet-

ve a nekik mgfelelő jelleggörbéket láthatjuk:

- lineárisan rugalmas (a. ábrarész),

- lineárisan képlékeny (b. ábrarész),

- lineárisan rugalmas-képlékeny (c. ábrarész),

- ideálisan rugalmas-képlékeny-felkeményedő (d. ábrarész).

A valóságos anyagok jelleggörbéivel összehasonlítva, megállapíthatjuk, hogy az a. áb-

rának megfelelő anyagmodell a rideg anyagok, a d. ábrának megfelelő pedig a szívós anyagok

leírására látszik alkalmasnak.

A műszaki gyakorlatban - akár építészeti, akár gépészeti feladatokról van szó - az alak-

változás általában csak kicsi lehet, mert a nagy deformáció már jóval a törés előtt lehetetlenné

tenné a szerkezet használatát. A megengedett alakváltozás kis mértéke miatt a műszaki szerke-

zetek elemeiben a feszültség szinte sohasem haladja meg a rugalmassági, illetve az arányossági

határt. Ez a tény lehetőséget ad arra, hogy a legegyszerűbb, a lineárisan rugalmas anyagtörvényt

alkalmazzuk a műszaki szerkezetek rugalmasságtani és szilárdsági számításaiban.

A lineáris alakváltozási törvényt, mely szerint az alakváltozás arányos a ható erővel,

Hooke fogalmazta meg először, aki acéldrót húzásnál fellépő alakváltozását vizsgálta. A lineáris

anyagtörvény a normálfeszültséggel és a fajlagos hosszváltozással kifejezve:

31

σ ε= E 1.25

ahol

σ - a vizsgált elem keresztmetszetének pontjaiban ható húzó- vagy nyomófeszültség,

ε - a fajlagos hosszváltozás a normálfeszültség hatásvonalával párhuzamosan,

E - a rugalmassági vagy Young-féle modulusz.

1.16. ábra

A nyomófeszültséget és a neki megfelelő fajlagos hosszúságcsökkenést negatív előjellel

látjuk el. Az anyagjelleggörbék, illetve a lineárisan rugalmas ideális anyagmodell jelleggörbéje

alapján könnyen beláthatjuk, hogy az E rugalmassági modulusz a lineáris szakasz iránytangen-

se:

E tg= = ⋅α σε

. 1.26

Az összefüggésből következik, hogy E feszültségdimenziójú mennyiség. Szerkezeti

anyagok esetén praktikus mértékegysége: Mpa vagy GPa = 103 MPa = 10

9 Pa.

32

A húzó- és nyomóvizsgálatnál láttuk, hogy nemcsak a feszültséggel párhuzamosan,

hanem arra merőlegesen is fellép hosszváltozás. Ez a keresztirányú fajlagos hosszváltozás a

rugalmassági, illetve az arányossági határ alatt arányos a hosszirányú fajlagos hosszváltozással:

ε νεk = − 1.27

ahol ε k - a normálfeszültség hatásvonalára merőleges irányban a fajlagos hosszváltozás,

ν - a harántnyúlási vagy Poisson-tényező, amely dimenzió nélküli szám. A negatív előjel

arra utal, hogy hosszirányú megnyúláshoz (+ε ) keresztmetszeti méretcsökkenés, hosszirányú

rövidüléshez (-ε ) keresztmetszeti méretnövekedés tartozik.

A nyíróvizsgálatok jelleggörbéi alapján bizonyos feszültségszintig a nyírófeszültség és

az általa létrehozott szögváltozás között is alkalmazható a lineáris rugalmasság törvénye:

τ γ= G 1.28

ahol

τ - a vizsgált keresztmetszet adott pontjában ható nyírófeszültség,

γ - a szögváltozás

G - a nyíró-rugalmassági modulusz, ami most is a nyíró alakváltozási jelleggörbe lineáris

szakaszának iránytangenseként értelmezhető, feszültség dimenziójú mennyiség, célszerű mér-

tékegysége: MPa vagy GPa.

Az (1.25), (1.27) és (1.28) összefüggéseket egyszerű Hook-törvényeknek is szokták

nevezni.

A tökéletesen képlékeny, illetve a szívós anyagok mechanikai viselkedését a

képlékenységtan tárgyalja. Teherviselő szerkezetek bizonyos elemeinél előfordulhat, hogy a

keresztmetszet egyes részei képlékeny állapotba kerülnek, ami az egész szerkezet használható-

ságára még nincs káros hatással. Különböző gyártási technológiák során is fontos szerepe lehet

a képlékenységtannak, amennyiben éppen a maradó alakváltozás létrehozása a cél (pl. mélyhú-

zásnál).

33

2. Rugalmasságtani alapösszefüggések 2.1. A szilárd test alakváltozása

2.1.1. Eltolódás

Vegyünk fel a 2.1. ábrán látható K helyzetnek megfelelő, terhelés előtti állapotban a testben

tetszőlegesen egy P és egy A

pontot. Tegyük fel, hogy a test a

terhelés befejeztével a K'-vel

jelölt helyzetbe kerül. A terhelés

előtt a PA pontokat összekötő

egyenes pontjai a terhelés után

valamilyen görbe vonalon

helyezkednek el. Azt mondjuk, a

test alakváltozást szenvedett,

deformálódott. Az alakváltozás

során a test tetszőleges A pontja

az A'-be kerül. A két pontot

összekötő vektort

eltolódásvektor- 2.1. ábra nak nevezzük.

Az ábra alapján:

u = − ⋅ρ ρ, 2.1

Az eltolódásvektor általában a test minden pontján más, azaz a hely függvénye:

( )u u= ⋅ρ 2.2

Ezt a vektor-vektorfüggvényt, amelyben a ρ független változó értelmezési tartománya a test

összes lehetséges pontja, eltolódás-mezőnek nevezzük. A (2.2) függvény a test deformáció so-

rán megváltozott alakját, illetve helyzetét egyértelműen megadja.

A rugalmasságtani feladatok megfogalmazása során felállítható összefüggések - ameny-

nyiben minden körülményt pontosan kivánunk figyelembe venni - általában nem lineárisak és

megoldásuk még egészen egyszerű feladatoknál is áthidalhatatlan nehézségekbe ütközik. A

gyakorlati esetek többségében azonban olyan egyszerűsítő feltételezésekkel élhetünk, amelyek

az alapegyenletek lényeges egyszerűsödéséhez vezetnek. Az egyszerűsítő feltevések éppen az

eltolódásvektorra vonatkozó korlátként fogalmazhatók meg:

a) Csak olyan kis eltolódásokat engedhetünk meg, amelyek nagysága a test geometriai

méreteihez képest kicsinyek.

b) Az eltolódáskomponensek hely szerinti differenciálhányadosai (a ∂ ∂u xx , ∂ ∂u yx

stb), amelyek tulajdonképpen a hosszegységre eső eltolódások) az egységnél lényegesen - leg-

34

alább két nagyságrenddel - kisebbek és ezek egymással való szorzatai és egynél magasabb ren-

dű hatványai is elhanyagolhatók.

A műszaki gyakorlatban felhasznált szilárd testek alakváltozásai általában kielégítik a

fenti megszorításokat.

Az első feltétel megengedi, hogy a sztatikai egyensúlyi egyenleteket a test alakváltozás

előtti helyzetében írjuk fel, azaz mind a terhelő erőket, mind a feszültségeket, illetve ezek táma-

dáspontjait a deformálatlan testben felvett koordinátarendszerben adjuk meg. Ezt az eljárást a

megmerevítés elvének nevezzük.

A második feltétel lehetővé teszi, hogy az eltolódás-függvények hatványsorba fejtésénél

a másod- és az annál magasabb fokú tagok elhanyagolhatók - az egyenletek tehát lineárisak

lesznek - és a deformált testhez kötött koordinátarendszerbeli differenciálást a deformálatlan

testhez kötött koordinátarendszerbelivel helyettesítsük.

A fenti megszorításokat kielégítő elméletet lineáris (vagy klasszikus) rugalmasságtan-

nak nevezzük.

2.1.2. Deformációs állapot

Az 1.3. pontban definiáltuk a test egy P pontjában az n egységvektorral megadott

irányhoz tartozó εn alakváltozási vektort. A kiválasztott pontban azonban az irányvektor végte-

len sokféleképpen vehető fel, s mindegyikhez tartozik egy alakváltozási vektor. Egy adott pont-

ban tehát az irány függvénye:

( )ε εn n n= ⋅ 2.3

Valamely pontban a deformációvektorok összességét a pont alakváltozási (deformációs)

állapotának nevezzük. E végtelen sok deformációvektor megadására természetesen nincs lehető-

ség, a (2.3) függvény konkrét alakjának ismeretében azonban tetszőleges irányhoz meghatároz-

hatjuk a deformációvektort.

Tétel: Egy pont deformációs állapotát a ponton át felvett, egymásra merőleges három irányhoz

tartozó alakváltozási vektor egyértelműen meghatározza.

Bizonyítás: Vegyünk fel egy testben egy elemi nagyságú derékszögű hasábot (2.2. ábra), mely-

nek alapélei a P pontból kiinduló koordinátarendszer tengelyeivel párhuzamos ∆ ∆x xex= ,

∆ ∆y yey= , ∆ ∆z zez= vektorok. A hasáb testátlójához rendelt ∆r vektor iránya és állása

az élhosszak alkalmas megválasztásával tetszőlegesen változtatható: ∆ ∆ ∆ ∆r xe ye zex y z= + + ⋅⋅

Amennyiben∆ ∆r r= elég kicsi, azaz a hasáb A csúcspontját a P pont infinitezimális környeze-

tében vettük fel, a deformáció során - az eltolódás nagyságára vonatkozó korlátozásokat fel-

használva - a hasáb élei és a hasábátló jó közelítéssel egyenesek, a szemközti síkok pedig pár-

huzamosok maradnak. Az eredetileg derékszögű elemi hasáb tehát általános esetben elemi

35

parallelepipedonná deformálódik. Legyen a ∆x , ∆y , ∆z és ∆r vektorok torzulásvektora

∆δ x , ∆δ y , ∆δ z és ∆δ r . A 2.2. ábra alapján az A' pont helyvektorát kétféleképpen is felírhat-

juk:

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆r r x y zr x y z′ = + = + + + + +δ δ δ δ .

Rendezés és ∆r -rel történő osztás után:

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

δ δ δ δr x y z

r r r r= + + ⋅

Képezzük a fenti kifejezés határértékét, ha

∆r → 0

és vegyük figyelembe az (1.9) definíciót:

ε ε ε εn x y z

x

r

y

r

z

r= ⋅ + + ⋅∆

∆∆∆

∆∆

A 2.2. ábráról megállapítható, hogy

2.2. ábra ∆∆x

rnx x= =cosα ,

∆∆y

rny y= =cosα ,

∆∆

z

rnz z= =cosα , 2.4

ahol nx , ny , nz - az r vektor irányába eső n egységvektor iránycosinuszai. Ezekkel a jelölé-

sekkel:

ε ε ε εn x x y y z zn n n= + + , 2.5/a

amelyben ε ε εx y z, , - a P pontbeli koordinátairányokhoz (az ex , ey , ez bázisvektorokhoz)

tartozó deformációvektorok. E három deformációvektor ismeretében (2.5/a) összefüggéssel

tetszőleges irányhoz tartozó alakváltozásvektort meghatározhatunk a tétel állításának megfele-

lően. A (2.5/a) összefüggés a (2.3) függvény konkrét alakja.

A P pontban tetszőlegesen felvett koordinátarendszer tengelyeinek irányaihoz tartozó

deformációvektorokat általános térbeli esetben 3-3 komponenssel adhatjuk meg:

ε ε ε εx xx x xy y xz ze e e= + + ,

ε ε ε εy yx x yy y yz ze e e= + + , 2.5/b

ε ε ε εz zx x zy y zz ze e e= + + .

Az ε ij (i,j = x, y, z) deformációkomponensek indexes jelölésmódját a továbbiakban is követke-

zetesen alkalmazzuk. Könnyű belátni, hogy az első index mindig arra az irányra utal, amelyhez

36

a deformációvektor tartozik, a második index pedig arra a tengelyre, amellyel a deformációkom-

ponens párhuzamos. Az ε ij jelölés térben 9 komponenst szimbolizál. Helyettesítsük be (2.5/b)-t

(2.5/a)-ba:

( ) ( )ε ε ε ε ε ε ε ε ε εn nx x ny y nz z xx x xy y xy z x yx x yy y yz z ye e e e e e n e e e n= + + = + + + + + +

( ) ( ) ( )+ + + = + + + + + +ε ε ε ε ε ε ε ε εzx x zy y zz z z xx x yx y zx z x xy x yy y zy z ye e e n n n n e n n n e

( )+ + +ε ε εxz x yz y zz zn n n ez , 2.5/c

amely ε n komponenseire három skaláregyenletet jelent, amit az indexes jelölésmóddal röviden

megadhatunk:

ε εnji

ij in= ∑⋅

, i,j = x, y, z. ⋅ 2.5/d

A (2.5) kifejezések szerint a deformációvektor komponensei az egységnyi irányvektor

komponenseinek homogén lineáris függvényei. Az ilyen homogén lineáris vektor-

vektorfüggvény együtthatói tenzormennyiséget alkotnak. A (2.5/d) egyenletrendszer ε ij

együtthatóit a tenzor komponenseinek nevezzük.

A matematika a tenzorok és a rajtuk értelmezhető műveletek sok fontos tulajdonságát

derítette fel. Ezek ismerete és az ún. tenzorális jelölésmód alkalmazása lényegesen megkönnyíti

a mechanika és különösen a rugalmasságtan tárgyalását. Mivel a tenzorelmélet szabatos mate-

matikai ismertetésére e tárgy keretein belül nincs lehetőség, a szakirodalomra utalva csupán a

legszükségesebb tudnivalókat mutatjuk be a felmerülő igényeknek megfelelően.

A tenzort az előbbi homogén

lineáris függvénykapcsolaton

túlmenően úgy is definiálhatjuk,

hogy egy tetszőlegesen vá-

lasztott koordinátarendszerbeli

komponensei a koordinátarend-

szer elforgatásakor meghatáro-

zott módon változnak. Vegyünk

egy r dimenziós (r-ed rendű)

tenzort. Ez azt jelenti, hogy a

tenzorális (indexes) jelölésnél r

darab futó indexet használunk,

pl. a i j k l m n.....

, 2.6 1234.... ..r

2.3. ábra

ahol a három dimenziós térben minden futó index három értéket vehet fel, pl. az x, y, z vagy az

1, 2, 3 jelet. (2.6) a tenzor szimbolikus jelölése, a futó indexeknek konkrét jelet adva, a tenzor

egyik elemét, komponensét kapjuk. Ha a tér egy pontjára értelmezünk egy tenzort, akkor annak

komponenseit egy tetszőlegesen választott koordinátarendszerben adhatjuk meg. Jelöljük ezeket

37

a komponenseket (2.6)-tal. A 2.3. ábrának megfelelően vegyünk fel egy újabb koordinátarend-

szert, amely az előzőhöz képest elforgatott helyzetű. Ebben az új (vesszős) koordinátarendszer-

ben a kezdőpontban értelmezett tenzor komponensei a következő kifejezésnek megfelelően

változnak:

a ai j k l m n ijkl mni j,k l m n

i i j j k k l l m m n n' ' ' '... ' ' ..., , ... ,

' ' ' ' ' '...= ∑ β β β β β β , 2.7

ahol β i i i i' 'cos= α - az új koordinátarendszer i' tengelyének a régi koordinátarendszer i-edik

tengelyével bezárt szögének cosinusza. Az iránycosinuszok rendszerét a szemléletesség kedvé-

ért táblázatba foglaltuk:

x y z

x' β x'x = cosα x'x β x'y = cosα x'y β x'z = cosα x'z

y' β y'x = cosα y'x β y'y = cosα y'y β y'z = cosα y'z

z' β z'x = cosα z'x β z'y = cosα z'y β z'z = cosα z'z

2.8

Mint látjuk, a β i'i iránycosinuszok egy 3x3-as mátrixba foglalhatók. Ezek a komponen-

sek azonban nem alkotnak tenzormennyiséget, mert rájuk a (2.7) műveleti szabály értelmét

veszti. A tenzort tehát a következőképpen definiálhatjuk: ha egy számhalmaz elemei a koordiná-

tarendszer elforgatásakor a (2.7) szabály szerint transzformálódnak, akkor az elemek

tenzormennyiséget alkotnak. Könnyen beláthatjuk, hogy egy r dimenziós tenzornak a három

dimenziós térben 3r, a két dimenziós térben 2r komponense van. Az is egyszerűen ellenőrizhető,

hogy egy vektor három komponense is éppen a (2.7) szerint transzformálódik, tehát a vektorok

egy dimenziós tenzorok. A skalár, amelynek értékét a koordinátarendszerforgatás sem változtat-

ja meg, a fentiek értelmében nulla dimenziós tenzornak tekinthető. A két dimenziós tenzorok

elemeit igen szemléletesen egy 3x3-as mátrixba szokták rendezni és a tenzor mátrixreprezentá-

ciójáról beszélnek.

A tenzorok azonban nemcsak matematikai operátorként, hanem fizikai mennyiségként

is kezelhetők. Ha a tér egy pontjában valamilyen fizikai mennyiséget értelmezünk, akkor azt

tenzor-mennyiségként adjuk meg. Az alkalmazott tenzor dimenziója az értelmezendő mennyi-

ség fizikai jellegétől függ. Nulla dimenziós tenzort használunk azoknak a mennyiségeknek a

megadásához, amelyek egyetlen skalárral jellemezhetők (pl. hőmérséklet, nyomás, nedvesség-

tartalom, stb.). Egy dimenziós tenzorra, azaz vektorra van szükség az iránnyal, nagysággal és

értelemmel rendelkező mennyiségekhez (sebesség, gyorsulás, erő, stb.). Vannak azonban olyan

összetett jellegű mennyiségek, amelyek kettő vagy magasabb dimenziószámú tenzorokkal jel-

lemezhetők. Két dimenziós tenzor pl. az alakváltozási, a feszültségi állapot tenzora vagy a me-

rev test tehetetlenségi tenzora, négy dimenziós tenzor a szilárd testeket leíró rugalmas állandók

38

és a szilárdsági jellemzők tenzora. A tenzor fizikai mennyiségként való értelmezése rávilágít a

következő problémára is. A tenzorral jellemzett fizikai mennyiség a koordinátarendszertől füg-

getlenül létezik. Egy tenzor komponenseit azonban mindig valamilyen koordinátarendszerben

kell megadni, reprezentációja mindig valamilyen, általunk többé-kevésbé önkényesen felvett

koordinátarendszerhez kötődik. Ugyanannak a tenzornak a komponensei tehát a különböző ko-

ordinátarendszerekben különbözők. De akármilyen koordinátarendszert is használunk, mindig

ugyanarról a fizikai mennyiségről van szó, tehát a különböző koordinátarendszerekben meg-

adott tenzorkomponensek között meghatározott kapcsolatnak kell lennie. Ezt a kapcsolatot adja

meg a (2.7) transzformációs szabály.

A fenti kitérő után foglalkozzunk ismét az alakváltozásokkal. A (2.5/d) összefüggés

ε ij tenzorát - mivel a komponensek alakváltozási jellemzők - alakváltozási (deformációs)

tenzornak nevezzük. A két dimenziós tenzor mátrixreprezentációja:

[ ] [ ]T ij

xx yz zx

xy yy zy

xz yz zz

ε ε

ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε

≡ ≡

2.9

A komponensek mártixbeli elhelyezkedésének rendszerét könnyen megjegyezhetjük, ha

észrevesszük, hogy az oszlopokban az x, y, z irányokhoz tartozó alakváltozási vektorok kompo-

nensei találhatók. Amennyiben a deformáció- és az irányvektort sor- illetve oszlopmátrixnak

tekintjük, a (2.5/c) összefüggést mátrix alakban is felírhatjuk:

[ ]ε ε ε

ε ε ε

ε ε εε ε ε

nx ny nz

xx yx zx

xy yy zy

xz yz zz

x

y

z

n

n

n

≡

2.5/e

vagy szimbolikus jelöléssel:

ε εn T n= . 2.5/f

Később bizonyítani fogjuk, hogy az alakváltozási tenzor szimmetrikus, azaz ε ij =ε ji ,

mátrixreprezentációban a főátlóra szimmetrikus elemek páronként megegyeznek. Az alakválto-

zási tenzor tehát 6 független adattal jellemezhető.

Tétel: A test egy pontjának alakváltozási állapotát az alakváltozási tenzor, illetve annak kom-

ponensei egyértelműen meghatározzák.

Bizonyítás: A (2.5) jelű összefüggések valamelyikével az alakváltozási állapot bármely irány-

hoz tartozó deformációvektora meghatározható. A (2.5) kifejezések együtthatói pedig éppen a

deformációs tenzor komponenseivel egyeznek meg.

2.1.3. Fő alakváltozások

Az (1.11) összefüggés értelmében az εn deformációvektor általában egy n irány

ε nn és egy erre merőleges m irányú ε nm komponensre bontható. Ha nés m egységvektorok,

39

akkor

( )( )

ε ε

ε ε

ε

ε

nn n

nm n

n T n n

m T n m

= =

= =

,

. 2.10/a,b

Tétel: Adott pont bármely alakváltozási állapota esetén mindig található három, egymásra me-

rőleges irány, amelyekre az a jellemző, hogy a hozzájuk tartozó deformációvektoroknak csak

normális irányú összetevője van.

Bizonyítás: A fenti tétel fizikai szempontból azt jelenti, hogy vannak olyan irányok, amelyek-

nél a deformáció során csak hosszváltozás lép fel, szögváltozás pedig nem. A kérdéses irányban

felvett n i egységvektornak csak a hossza változik meg, az állása nem, a deformációvektor n i

irányú:

ε ε εn i i iin T n= = ,

ahol ε i - az n i rányba eső fajlagos hosszváltozás, melyet az alakváltozási állapot főalakváltozá-

sának nevezünk, az n i irány pedig az alakváltozási állapot fő alakváltozási tengelye vagy más

néven alakváltozási főiránya. A fenti egyenlet kanonikus alakja

( )T E ni iε ε− = 0, 2.11

ahol E - az egységtenzor, melynek mátrixában a főátló elemei eggyel, a többi elem nullával

egyenlő. Az egységtenzort az indexes jelölésmódban a δ ij - Kronecker-delta szimbólummal

adjuk meg (δ ij ha i j= =1 , és δ ij ha i j= ≠0 , ).

(2.11)-nek csak akkor van a triviálistól különböző megoldása, ha együtthatómátrixa

szinguláris, azaz az együtthatómátrix determinánsa nulla:

T Eiε ε− = 0 , 2.12/a

részletesen kiírva:

ε ε ε ε

ε ε ε εε ε ε ε

xx i

xy yy i

xz i

−

−−

=

yx zx

zy

yz zz

0. 2.12/b

A determinánst kifejtve, ε i -re egy harmadfokú egyenletet kapunk, melyet az alakválto-

zási tenzor karakterisztikus egyenletének nevezünk:

ε ε εi i iD D D31

22 3 0− + − = , 2.13

ahol

D xx yy zz iii

1 = + + =∑ε ε ε ε , 2.14/a

D xx yy xy yx xx zz xz zx yy zz yz zy2 = − + − + − =ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

40

= + +ε ε

ε εε εε ε

ε ε

ε εxx yx

xy yy

xx zx

xz zz

yy zy

yz zz

2.14/b

D xx yy zz yx zy xz zx xy yz

zy yz yx xy zz zx yy xz

xx yx zx

xy yy zy

xz yz zz

3 = + + −

− − − =

ε ε ε ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε ε ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε

xx

2.14/c

(2.13)-nak három gyöke van és az alakváltozási tenzor szimmetriája alapján igazolható-

an mindhárom valós. E gyököket előjelhelyes nagyságuk sorrendjében szoktuk elnevezni:

ε ε ε1 2 3≥ ≥ 2.15

(2.14) szerint aD D D1 2 3, , együtthatók az alakváltozási tenzorkomponensek függvé-

nye. Mivel az ε i főalakváltozások a tenzornak, mint fizikai mennyiségnek a jellemzői, értékük

nem függhet attól, hogy a tenzorkomponensek megadására milyen koordinátarendszert haszná-

lunk. A (2.13) karakterisztikus egyenlet együtthatóira a koordinátarendszertől függetlenül min-

dig ugyanazokat az értékeket kell kapnunk. Ezért ezeket az együtthatókat az alakváltozási

tenzor invariánsainak nevezzük.

Az alakváltozási főirányok egységvektorait úgy kapjuk meg, hogy valamelyik, már

kiszámított ε i -t visszahelyettesítjük (2.11)-be, ahonnan az

n n nix iy iz2 2 2 1+ + = 2.16

összefüggés figyelembevételével azn i iránycosinuszai kifejezhetők. Azt, hogy a három főirány

egymásra páronként merőleges, a következőképpen bizonyíthatjuk. Legyen n j és nk valame-

lyik két főirány. Ekkor:

ε ε ε εε εj j j j k k kn T n n T n= = = = é s k .

Szorozzuk meg az első egyenlőséget nk -val a másodikat n j -vel skalárisan, majd vonjuk ki

egymásból a két egyenletet:

( ) ( )n n T n nj k j k k jε ε ε− = .

Az alakváltozási tenzor szimmetriája miatt ( ) ( )T n n T n nj k k jε ε$ = , így az előbbi kifejezés bal

oldala nullával egyenlő:

( )n nj k j kε ε− = 0,

ami ε εj k≠ esetén csak akkor állhat fenn, han nj k⊥ . Haε εj k= , akkor a j,k síkban minden

irány főiránynak tekinthető.

Az alakváltozási főirányok által alkotott három, egymásra merőleges síkot alakváltozási

fősíkoknak nevezzük. A főirányok rendszerét célszerűen koordinátarendszerként is használhat-

juk. Ebben a rendszerben az alakváltozási állapot tenzorkomponensei közül csak az azonos in-

dexűek különböznek nullától. Mátrixreprezentációban:

41

[ ]Tε

εε

ε=

1

3

0

0

0 0

0

0 2 2.17

Ilyenkor a tenzornak csupán

három független komponense van.

A főirányok rendszerében (2.4.

ábra) azonban nem elegendő a

három főalakváltozási komponens

ismerete, azt is tudni kell, hogy egy

önkényesen felvett, x, y, z

koordinátarendszerhez képest az

1,2,3 jelű főtengelyrendszer hogyan

helyezkedik el. A három főirány

megadásához szintén három adatra

van szükség. Az alakváltozási

állapot jellemzése

2.4. ábra tehát minden esetben 6 adattal tör-

ténik.

A főirányok rendszerében az alakváltozással kapcsolatos számítások általában egysze-

rűsödnek. A (2.5/b) összefüggés alakja pl.:

ε ε ε ε ε ε εn n n ne e e n e n e n e= + + = + +1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2.18

E fenti összefüggés használatakor nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy az n irányvektor

komponenseit is a főtengelyrendszerben kell megadnunk (2.5. ábra). Az alakváltozási tenzor

invariáns együtthatóit is egyszerűbben számíthatjuk:

.,, 321332312123211 εεεεεεεεεεεε =++=++= DDD 2.14/d

Az alakváltozási állapotokat a főalakváltozások segítségével osztályoz-hatjuk. Térbeli-

nek nevezzük az alakvál-tozási állapotot,

ha mindhárom főalak-változás különbözik

nullától, síkbelinek, ha csak egy

főalakváltozási komponens nulla és

lineárisnak (egytengelyűnek), ha két

főalakváltozási komponens nulla.

Tétel: Síkbeli alakváltozási állapotban

tetszőleges irányhoz tartozó

deformációvektor benne van az alakválto-

zási fősíkban.

Bizonyítás: Legyenε 3 0= , tehát az alak-

2.5. ábra

42

változási fősík az 1,2 sík (2.6. ábra). A (2.18) összefüggés szerint:

ε ε εεn T n n e n e= = +1 1 1 2 2 2

Az ε 3 0= miatt a deformációvektor e3 irányú összetevője nulla, bárhogyan is választjuk meg

az irányvektort.

Tétel: Lineáris alakváltozási állapotban tetszőleges irányvektorhoz tartozó deformáció-vektor

az alakváltozási főtengelybe esik.

Bizonyítás: Legyen ε ε2 3 0= = , így az alakváltozási főtengely az 1-es irány (2.7. ábra).

(2.18) szerint:

2.6. ábra 2.7. ábra

ε εεn T n n e= = 1 1 1.

A deformációvektore2 é s e3 irányú összetevője nulla. Azt is könnyen megállapíthatjuk, hogy

az α1 félszögű kúppaláston található irányokhoz ugyanaz a deformációvektor tartozik.

2.1.4. A deformációs állapot grafikus ábrázolása

A (2.5) összefüggéseket grafikus módszerek alkalmazásával igen szemléletessé tehetjük

és arra is lehetőség nyílik, hogy a számító eljárást szerkesztéssel helyettesítsük.

Tétel: A test egy pontjának kis környezetében felvett egység sugarú gömb a deformáció során

ellipszoidba megy át.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a szilárd test valamely pontjában ismerjük az alakváltozási állapo-

tot a főirányok rendszerében. A deformáció előtt felvett n n e n e n e= + +1 1 2 2 3 3egységnyi

hosszúságú irányvektor deformáció utánn , -be megy át. Mivelε n az n vektor torzulásvektora

(2.5/e) felhasználásával:

( )n n n T n E T nn, = + = + = +ε ε ε

vagy skaláregyenlet formájában:

( ) ( ) ( )n n n n′ = + ′ = + ′ = +1 1 1 2 2 2 3 3 31 1 1ε ε ε, , . n n

43

Fejezzük ezekből az iránycosinuszokat, majd négyzetre emelés után adjuk össze őket:

( ) ( ) ( )n n n

n n n′

++

′

++

′

+= + + =1

2

1

222

2

232

3

2 12

22

32

1 1 11

ε ε ε, 2.19

A vizsgált pontban felvehető összes egységnyi irányvektor végpontjai egység sugarú

gömbön helyezkednek el. (2.19) szerint pedig a deformálódott egységvektorok, az n′ végpontjai

egy olyan ellipszoidon helyezkednek el, melynek középpontja a vizsgált pont, főtengelyei az

alakváltozási főtengelyekkel egybeesnek, féltengelyeinek hossza 1 1+ ε ε ε, , . 1+ 1+2 3 Ezt

az ellipszoidot alakváltozási ellipszoidnak nevezzük 2.8. ábra). Ha két főalakváltozás megegye-

zik, forgási ellipszoidot, ε ε ε1 2 3= = esetén gömböt kapunk. Síkbeli alakváltozási állapotban

az ellipszoid ellipszissé, lineáris alakváltozási állapotban egyenessé fajul.

Bár az alakváltozási ellipszoid jól szemlélteti az alakváltozási folyamatot ε n vagy n′

szerkesztéssel való meghatározására elég kényelmetlen, ezért a (2.5) összefüggések grafikus

megoldására más módszert alkalmazunk. Ezt a kényelmesen használható szerkesztő eljárást O.

Mohr fejlesztette ki.

Tétel: Síkbeli alakváltozási állapot esetén az alakváltozási fősíkban elhelyezkedő tetszőleges

irányvektorhoz tartozó deformációvektor végpontja egy ε εnn , nm derékszögű koordinátarend-

szerben köríven található.

Bizonyítás: Legyen az irányvektor:n n e n e e= + =1 1 2 2 1 2cosα . A (2.18) összefüggés szerint:

ε ε εn n e n e= +1 1 1 2 2 2 2.20

εn két komponense tehát:

2.8. ábra

44

ε ε αn1 1 1= cos ,

ε ε αn2 2 1= sin .

A 2.9. ábra alapján

egyszerűen beláthatjuk,

hogy ε n végpontja a C pont.

Az elemi geometriából

ismeretes, hogy az ε1 és ε2

sugarú körökből az α

dőlésszögű egyenes által

kimetszett A és B pontokból

a koordinátatengelyekkel

párhuzamosan húzott

egyenesek metszéspontja (a

C-vel jelölt pont) egy ε1 és

ε 2 féltengelyű ellipszisen

2.9. ábra található.

A fentiek alapján tehát az alakváltozási fősíkban elhelyezkedő irányvektorokhoz tartozó

deformációvektorok végpontjai ellipszist alkotnak (ez tulajdonképpen az előző tétel bizonyítása

síkbeli alakváltozási állapot esetén).

Az A és B pontokból húzott, a C pontban metsződő egyenesek merőlegesek egymásra.

A C pont tehát az AB átmérőjű, O12 középpontú Thales-körön helyezkedik el. Rajzoljuk ki

külön a 2.9. ábrának ezt a részét (2.10. ábra), úgy, hogy az irányvektor vízszintes helyzetbe

kerüljön. Ezen az ábrán már szemléletesebben látszik, hogy az ε n vektor n irányú vetületét,

ε nn -t úgy kapjuk,

hogy a C pontot

rávetítjük az OB

egyenesre. Az

ε nm komponens

pedig a C-ből az OB

egyenesre vetített

merőleges hossza.

Az eljárás

2.10. ábra

helyességét geometriailag is könnyen beláthatjuk. Az is megállapítható, hogy míg azα1 szög

nulla és 360o között változik, a C pont egy O12középpontú ( )12 1 2ε ε− sugarú kört fut be

(szimmetriaokokból a teljes körnek csak a felét ábrázoltuk). A középpont helye:

45

( )OO121

2 1 2= +ε ε . Ezt a kört Mohr-féle főkörnek hívjuk. Mivel síkbeli alakváltozási állapot

esetén az alakváltozási állapot síkja fősík, a 2.10. ábrán látható kört az 1,2 fősíkhoz tartozó fő-

körnek nevezzük.

Tétel: Térbeli alakváltozási állapot esetén az alakváltozási fősíkokba eső irányvektorokhoz

tartozó deformációvektorok végpontja a megfelelő fősíkok Mohr-féle főkörén helyezkedik el.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy az irányvektor az 1,2 fősíkban van, azaz n n e n e e= + +1 1 2 2 30 .

Ehhez az irányhoz térbeli alakváltozási állapotban az

ε ε εn n e n e= +1 1 1 2 2 2

deformációvektor tartozik, ami pontosan megegyezik a (2.20) kifejezéssel, ami azzal jár, hogy

az előző tétel levezetésénél alkalmazott gondolatmenet és annak megállapítása most is érvényes.

Ebből pedig az következik, hogy mindhárom fősíkhoz tartozik egy Mohr-féle alakváltozási

főkör. A főkörök középpontja (2.11. ábra) O O O12 13 23, , . A középpontok távolsága az origótól:

( )OOij i j= +12 ε ε , i, j =1,2 vagy 1,3 vagy 2,3 . 2.21

A főkörök sugara:

( )R ij i j= −12 ε ε , i, j =1,2 vagy 1,3 vagy 2,3 . 2.22

Tétel: Valamelyik alakváltozási főiránnyal azonos szöget bezáró irányokhoz tartozó

deformációvektorok végpontjai az ε εnn , nm koordinátarendszerben olyan köríven helyezkednek

el, melynek középpontja megegyezik a másik két főirány által alkotott sík alakváltozási főköré-

nek középpontjával.

46

Bizonyítás: Vizsgáljuk meg azokat az irányvektorokat, amelyek a 3. főiránnyal állandó α 3 szö-

get zárnak be (2.12. ábra):

2.11. ábra

n n e n e n e e e e= + + = + +1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3cos cos cos ,α α α

aholn3 3= =cosα áll. (2.18) szerint

ε ε ε εn n e n e n e= + +1 1 1 2 2 2 3 3 3. 2.23

A 2.12. ábrán látható módon mérjük fel az O pontból kiinduló n irányú, egyenesre az

ε i fő alakváltozásokat, és vetítsük le ezt az egyenest a rajta lévő pontokkal az 1,2 fősíkra. Köny-

nyen beláthatjuk, hogy ε n végpontjának rajta kell lennie a B' ponton át felvett, a 2,3 fősíkkal

párhuzamos sík és az A' ponton át felvett, az 1,3 fősíkkal párhuzamos sík metszésvonalán. Ezek

a síkok ugyanis a koordinátatengelyeket az ε1 1n és ε 2 2n távolságokon metszik, ami (2.23)

első és második komponense. Az ε n vektor C végpontjának helyét úgy kapjuk meg, hogy a

metszésvonalra az 1,2 fősíktól felmérjük az ε 3 3n távolságot.

Jelöljük az AB szakasz felezőpontját O12-vel és határozzuk meg a CO12

távolságot. Az

ábráról leolvashatjuk, hogy

( )CO CD DO C O O DO122 2

122

122

12 12= + = ′ ′ ′ − ′ + O 12

2 és

DO CC′ = ′ =12 3 3ε αcos .

Az OO O12 12′ háromszögben:

( )O O OO12 12 12 31

2 1 2 3′ = = +cos cos ,α ε ε α

Az A'B'C' háromszögben:

( )C O A B′ ′ = ′ ′ = −121

21

2 1 2 3ε ε αsin .

Jelöljük a CO12 távolságot r12 -vel, ekkor az előző összefüggések felhasználásával:

47

( )[ ] ( )( )[ ]r122 1

2 1 2 3

21

2 1 2 3 3

2= − + − −ε ε α ε ε ε αsin cos 2.24

Az összefüggések szerint α 3 =

áll. eseténr12 szintén állandó

érték, azaz a O12 pontból εn

vektor C végpontjához húzható

szakasz hossza független attól,

hogy az α 3 félszögű kúp

melyik alkotójának megfelelő

irányvektorhoz tartozik. r12=

áll. miatt a C pontnak egy O12

középpontú köríven kell

elhelyezkednie.

Szemléletesebb képet kapunk,

ha az OBC háromszöget a papír

síkjában is lerajzoljuk (2.13.

ábra) és azt kiegészítjük a főkö-

rökkel is.

2.12. ábra

Az r12sugár nagyságát könnyen meg is szerkeszthetjük. Húzzuk meg az ε 3 pontban

felállított függőleges egyenessel α 3 szöget bezáró egyenest, melynek az 1,3 főkörrel vett met-

széspontját jelöljük E-vel. Az E pontot az ε1 -gyel összekötő egyenesnek a vízszintessel bezárt

szöge - a Thales-kör és a merőleges szögszárak miatt - szinténα 3 . Az ábráról leolvashatjuk,

hogy

( )[ ] ( )( )[ ]r CO EO FO EF122

122

122

122 2 1

2 1 2 3

21

2 1 2 3 3

2= = = + = − + + −ε ε α ε ε ε αsin cos ,

ami éppen (2.24). Ezzel nemcsak a tételt bizonyítottuk, hanem az r12sugár meghatározásának

szerkesztő módszerét is megismertük.

48

2.13. ábra

Tétel: Tetszőleges n irányhoz tartozó deformációvektor végpontja az ε εnn , nm koordináta-

rendszerben az alakváltozási főkörök által közrezárt területre - határesetben a főkörökre - esik.

Bizonyítás: Az előző tételben bizonyítottuk, hogy azn3 3= =cosα áll. komponensű irányvek-

torokhoz tartozó deformációvektorok végpontja az O12 középpontú, r12 sugarú köríven helyez-

kedik el. A tételt azonban úgy is bizonyíthattuk volna, hogy α1 -et, illetve α 2 -t tekintjük ál-

landónak, végeredményként azt kapva, hogy a deformációvektorok végpontja az O23 közép-

pontú, r23 sugarú, illetve az O13 középpontú, r13 sugarú köríven található. r23 é s r13 nagyságát

az előzőekhez analóg módon szerkesztetjük meg.

Adott α α1 é s 2 szög esetén a deformációvektor C végpontja nyilvánvalóan csak az

r23 és r13sugarú körívek metszéspontjában lehet. Mivel két iránycosinusz a harmadikat - a

(2.16) alapján - meghatározza, az α3 -nak megfelelő r12 sugarú körívnek is át kell mennie az

előző két kör metszéspontján. Az rij sugarak szerkesztési menetéből következik, hogy a körívek

metszéspontja csak a főkörök által határolt terület belsejébe eshet, kivéve azt az esetet, amikor

α i közül valamelyik éppen 90o, az irányvektor tehát valamelyik alakváltozási fősíkban van.

Ebben az esetben - mint korábban bizonyítottuk - a deformációvektor végpontja a fősíknak

megfelelő főkörre esik.

Most már semmi akadálya annak, hogy a (2.5) összefüggéseknek megfelelő szerkesztési

eljárást receptszerűen összefoglaljuk és alkalmazzuk (2.14. ábra).

- Alkalmas léptéket választva felvesszük az ε εnn nm, koordinátarendszert.

- Az ε nn tengelyen felmérjük az ε i főalakváltozásokat, meghatározzuk azok felezőpontjait és

meghúzzuk a főköröket.

- Az ε1 pontban állított függőlegeshez felmérjük az α1 dőlésű egyenest és megkeressük az ε1

ponton átmenő főkörökkel vett metszéspontját.

- Az O23 pontból a fenti metszéspontokon átmenő körívet húzunk.

49

- Megismételjük az utóbbi két lépést az α2 vagy az α3 szögekkel.

2.14. ábra

- A két körív metszéspontja (C pont) az α α α1 2 3, , szögekkel jellemzett irányhoz tartozó

deformációvektor végpontja (a vektor kezdőpontja az origó).

- ε n -nek a koordinátatengelyekkel párhuzamos összetevői ε nn és ε nm .

Már korábban utaltunk rá, hogy a Mohr-féle főkörök - nevüknek megfelelően - teljes

körök. A teljes körökre akkor lenne szükség, ha az irányvektor főtengelyekkel bezárt szögeinek

legalább egyike nagyobb 90o-nál. Szimmetria okokból és azért, mert az ε nm szögváltozás elő-

jele általában szemlélettel is egyszerűen meghatározható, megelégszünk a Mohr-körök felső

felének ábrázolásával.

2.1.5. A teljes alakváltozási folyamat felbontása és értelmezése

Tétel: Szilárd test elegendően kicsiny térfogatelemének általános alakváltozása egy merev testre

jellemző elmozdulásból (transzlációból és rotációból) és egy szorosabb értelemben vett tiszta

deformációból tehető össze.

Bizonyítás: Vegyünk fel a szilárd test egy tetszőleges P pontjának szűk környezetében egy ele-

mi, derékszögű hasábot (2.15. ábra), melynek PA testátlója legyen az r vektor. r -t most is

kicsinek kép-

zeljük, de a korábban alkalmazot ∆ jelet az egyszerűség kedvéért elhagyjuk. A terhelés követ-

keztében a test megváltoztatja helyzetét és alakját. Most nem elégszünk meg az elemi hasáb A

pontjának P-hez viszonyított elmozdulásának vizsgálatával, hanem az A pont abszolút eltolódá-

50

sát (elmozdulását) kívánjuk meghatározni. A deformáció befejeztével a P pont P'-be, az A pedig

A'-be kerül. Korábbi feltételezésünknek megfelelően az A' pont P'-hez viszonyított elmozdulása

most az elemi parallelepipedon átlójaként szemléltethető. Az AA ′ szakasz lesz az A pont elto-

lódásvektora, amely a P pont környezetében felvett A pont helyének, azaz az r vektornak a

függvénye:

2.15. ábra

( )u u r= 2.25

Mivel a testet folytonos anyageloszlásúnak - kontinuumnak - tekintjük, a (2.25) függvényről

feltehetjük, hogy a P pont környezetében folytonos és legalább egyszer differenciálható. Fejtsük

(2.25)-öt MacLaurin-sorba a P pont ( 0r = ) környezetében:

( )u r uu

rrp= + +∂

∂...., 2.26

ahol uP - a P pont eltolódásvektora, ∂∂u

r - pedig a P pontban számított ún. deriváltvektor.

A sorbafejtésnél a szilárd testek alakváltozására vonatkozó feltételezések miatt a magasabb ren-

dű tagok elhanyagolhatók.

A deriválttenzor egy két dimenziós tenzor, melynek elemei az eltolódás-

komponenseknek a helyvektorkomponensek szerinti parciális differenciálhányadosai. Mátrix-

reprezentációban:

[ ] [ ]∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

u

r

u

r

u

r

u

r

u

r r

T Ti

j

x

x

y

x

z

x y

ij

=

=

= =

u

r

u

r

u

r

u

r

u

u

r

x

y

x

z

y

y

y

z

z z

z

51

Ezt a tenzort - mint minden tenzort a Tij = ź(Tij + Tij ) + ź(Tij - Tij ) összefüggésnek megfelelő-

en - egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegére bonthatjuk. Az rx - x, ry - y, rz

- z jelölés bevezetésével a szimmetrikus rész:

[ ] [ ]T

u

x

u

y

u

x

u

z

u

x

u

x

u

y

u

z

u

y

u

x

u

z

u

y

u

z

ij

x x y x z

y x y z

z x z y

ε ε

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= =

+

+

+

+

+

+

u

y

u

z

12

12

y

12

z

12

12

12

2.28

az antiszimmetrikus rész:

[ ] [ ]T ij

u

y

u

x

u

z

u

x

u

x

u

y

u

z

u

y

u

x

u

z

u

y

u

z

x y x z

y x y z

z y z y

zϕ ϕ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ϕ ϕϕ ϕ= =

−

−

−

−

−

−

=

0

0

0

0 -

0 -

12

z y

12

12

12

12

12

x

x 0−

ϕ ϕy

2.29

A tenzorelmélet alapján azonban egy antiszimmetrikus tenzor és egy vektor szorzata két vektor

vektorális szorzataként is értelmezhető a következő azonosság szerint:

T r x rϕ ϕ = , 2.30

ahol

ϕ ϕ ϕ ϕ= + +x x y y z ze e e 2.31

és

ϕ∂∂

∂∂

ϕ∂∂

∂∂

ϕ∂∂

∂∂x

z y x zz

y xu

y

u

z

u

z

u

x

u

x

u

y= −

= −

= −

1

21

21

2, , y

A fenti összefüggések felhasználásával (2.27) három összetevőre bontható:

( ) ( )u r u T T r u T r T r u x r T r u u up p p p= + + = + + = + + = + +ε ϕ ϕ ε ε ϕ εϕ . 2.32

Az első összetevő független r -től, tehát a P pont környezetében felvett bármely pontra ugyan-

akkora, ami azt jelenti, hogy a tetszőleges alakú térfogatelem önmagával párhuzamosan tolódik

el, - a merev testre jellemző - transzlációs mozgást végez. A második tag szintén a merev testre

jellemző elemi mozgás, a rotáció következménye. A forgás tengelye a P' ponton átmenő, ϕ -vel

52

jelölt elemi nagyságú rotáció vektor hatásvonala, az elfordulás szöge pedig ϕ . A térfogatelem

a transzláció és a rotáció során úgy változtatja meg helyét és helyzetét, hogy alakja változatlan

marad, merevtestszerű mozgást végez. Nyilvánvaló, hogy a szűkebb értelemben vett tiszta de-

formációt (2.32) harmadik tagja képviseli.

Az eltolt és elforgatott térfogatelemhez kötött koordinátarendszerben (2.32)-ből a me-

revtestszerű eltolódásösszetevők kiesnek, és a parallelepipedon testátlóját az

r r u′ = + ε 2.33

vektorösszeg adja. Az (1.18) definíció értelmében azonban:

r r u r′− = =ε δ∆ ,

uε tehát a P pontban felvett r irányvektor torzulásvektora. Az (1.9) definíció szerint az r irá-

nyába eső n egységnyi irányvektor deformációvektora:

εδ ε ε

ε εnr

r

rr

u

r

T r

rT

r

rT n= = = = =

→ →lim lim lim lim .

0 0

∆

Ez az összefüggés megegyezik (2.5/e)-vel, ami azt jelenti, hogy az alakváltozási állapot

tenzorának komponensei megegyeznek a (2.28)-ban megadott tenzor komponenseivel. A (2.32)

összefüggés harmadik tagja tehát valóban a szorosabb értelemben vett alakváltozással függ ösz-

sze, amely a korábbiak szerint a deformációs állapottal áll kapcsolatban.

Tétel: Az alakváltozási állapot tenzora szimmetrikus.

Bizonyítás: Az alakváltozási állapot komponenseit (2.28) szerint az eltolódáskomponensek hely

szerinti parciális differenciálhányadosaiként, illetve ezek valamilyen kombinációjaként kapjuk.

(2.28) szerint a mátrix főátlóján kívüli elemek páronként csak a tagok sorrendjében különböz-

nek, így egyenlők, tehát ε εij ji= .

Ezek után határozzuk meg az alakváltozási tenzor komponenseinek fizikai jelentését.

Vegyük fel a P pontban egy

r xe r ye zex y z1 2= = =, r3

oldalélű elemi hasábot. A hasábélek a deformáció befejeztével - a (2.33)-nak megfelelően - az

alábbi vektorokba transzformálódnak:

( ) ( )[ ]r r u r T r E T r x e e exx x yx y zx z′ = + = + = + = + + +1 1 1 1 1 1ε ε ε ε ε ε ,

( )[ ]r y e e exy x yy y zy z′ = + + +2 1ε ε ε ,

( )[ ]r z e e exz x yz y zz z′ = + + +3 1ε ε ε .

Határozzuk meg azr1 vektorú él deformáció során elszenvedett fajlagos hosszváltozá-

sát. A definíció szerint:

53

( )r r

r

x

xxx yx zx

xx xx xx

′ −=

+ + + −≅ + − ≅ + − =1 1

1

2 2 211 2 1 1 1

ε ε εε ε ε .

Hasonlóan kapjuk ε yy és ε zz jelentését is. Az alakváltozási tenzorε ii , azonos indexű

elemei tehát a koordinátarendszer i irányába eső fajlagos hosszváltozásokat képviselik.

Az eredetileg egymásra merőlegesr1 és r2 vektorok által bezárt szög a deformáció so-

rán általában megváltozik, jelöljük a szögváltozást γ xy -nal:

( )γ γ π γxy xy xy

r r

r r≅ = − =

′ ′′ ′

=sin cos 2 1 2

1 2

( ) ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]

=+ + + +

+ + + + + +≅

xy

xy

xx xy yx yy zx zy

xx yx zx xy yy zy

1 1

1 12 2 2 2 2 2

ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε ε

( )( )≅+

+ +≅ + = =

ε ε

ε εε ε ε εxy yx

xx yy

xy xy xy yx1 1

2 2 .

Hasonlóan kapjuk ε εxz zx= és ε εyz zy= jelentését. Az alakváltozási tenzor ε ij , különböző

indexű elemei a koordinátarendszer i,j irányai közötti szögváltozás felével egyenlők:

ε ε γij ji ij i j x y vagy x,= = =12 , , , z vagy y, z.

Az i,j irányok között fellépő teljes szögváltozást (ami a fenti levezetés alapján akkor pozitív, ha

a két irány által bezárt szög kisebb lesz, mint 90o) megfelezzük és az egyiket az i, a másikat a j

irányhoz rendeljük. Ezt az önkényesnek látszó eljárást azért tehetjük meg, mert korábban beve-

zettük a térfogatelem rotációját. A fenti eljárást úgy is fogalmazhatnánk, hogy a teljes alakválto-

zás befejeztével a P' pontban az eredeti x,y,z koordinátarendszert addig forgatjuk, míg az ε ij

szögváltozásokra nem áll fenn a szimmetria. Az elforgatás szögét (2.31) adja. Mivel a test vala-

mely pontjának szűk környezete a transzláció és a rotáció során merev testként viselkedik, a

szűkebb értelemben vett tiszta deformáció jellemzésére az eredeti x,y,z koordinátarendszerhez

képest ϕ -vel elforgatott x´, y´, z´ kordinátarendszert használunk. Ebben a rendszerben az alak-

változási állapot tenzora szimmetrikus, aminek - mint már részben láttuk - sok fontos követ-

kezménye és előnye van.

Vizsgáljuk meg azt is, hogyan változik meg az elemi hasáb térfogata a deformáció so-

rán. A fajlagos térfogatváltozás:

( ) ( )( )ε V

V V

V

r r r r r

r r= ′− =

′ × ′ ′ − ××

≅1 2 3 1 3

1 3

r

r2

2

( )≅

+ + + −= + + =

xyz xyz

xyzD

xx yy zz

xx yy zz

11

ε ε εε ε ε 2.34

54

Ezek szerint a fajlagos térfogatváltozás az alakváltozási tenzor mátrixának főátlójában

található elemeinek összege, az első alakváltozási invariáns.

Egy pontban a deformációs állapotot mindig felbonthatjuk két deformációs állapot ösz-

szegére:

[ ]Txx zx

xy

xz

ε

ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε

=

=

yx

yy zy

yz zz

=

εε

ε

ε ε

ε εε ε

ε ε

xx

xy

xz

T T

0 0

0 0

0 0

0

0

0

.yy

zz

yx zx

zy

yz

+

=

+

1 2

2.35

Könnyen beláthatjuk, hogy a két alakváltozási állapot közül Tε

1

csak térfogatváltozást,

Tε2

pedig térfogatváltozás nélküli szögváltozást okoz.

Ily módon a teljes alakváltozási folyamat négy szemléletes részre bontható fel (2.16.

ábra):

- transzláció (elemi haladó mozgás),

- rotáció (elemi forgó mozgás),

- hosszúságváltozás (térfogatváltozással),

- szögváltozás (térfogatváltozás nélkül).

A valóságban természetesen a teljes alakváltozási folyamat nem elkülönülten egymás

után, hanem egyidőben, egymással párhuzamosan történik. A felbontás csupán az analítikus

számolást könnyíti meg és igen szemléletes.

A rugalmasságtanban szükség szokott lenni az alakváltozási állapot egy másfajta fel-

bontására is. Vezessük be ehhez a következő mennyiséget:

2.16.ábra

55

( )ε ε ε ε εM xx yy zz VD= + + = =1

3

1

3

1

31 , 2.36

melyet közepes hosszváltozásnak nevezünk. Ennek felhasználásával az alakváltozási tenzort a

( )T E T E T TM M

o

ε ε ε εε ε= + − = +~

összefüggésnek megfelelően egy ún. gömb- és egy deviátor tenzorra bonthatjuk. A két tenzor

mátrixreprezentációja:

To

M xx M zx

M

M

ε ε

εε

ε

ε ε ε ε

ε ε ε εε ε ε ε

=

=

−

−−

0 0

0 0

0 0

, T

M

M

yx

xy yy zy

xz yz zz

~

2.37/a,b

Ha csak a gömbtenzornak megfelelő alakváltozási állapot érvényesül, akkor szögválto-

zás nem lép fel és minden irányban azonos a hosszváltozás. A fajlagos térfogatváltozás:

ε ε εVo

M V= =3 , ami megegyezik az eredeti alakváltozási állapotéval. A gömbtenzornak meg-

felelő deformációt dilatációnak nevezzük. A deviátorral megadott alakváltozási állapotban

ε ε ε ε ε ε εV xx M yy M zz M~ .= − + − + − = 0

Az élhosszak ugyan megváltoznak, de oly módon, hogy térfogatváltozás nem lép fel. A deviátor

leglényegesebb hatása a szögváltozás. A deviátornak megfelelő alakváltozást torzulásnak vagy

torzításnak nevezzük.

2.1.6. Geometriai (kinematikai) egyenletek

Az eddigiekben egyetlen egy pont alakváltozási állapotának vizsgálatával foglalkoz-

tunk. Általános esetben a szilárd test pontjainak alakváltozási állapota különbözik egymástól, az

alakváltozási állapot a hely függvénye:

( ) ( ) ( ) ( )T T T x y z x y zij ijε ε ερ ε ρ ε= = = =, , , , .

A fenti összefüggésnek megfelelő tenzor-vektorfüggvényt alakváltozási tenzor-

mezőnek nevezzük. Mivel a tenzort hat skaláradattal jellemezhetjük, az alakváltozási tenzor-

mező megadásához hat független skalár-mező (skalárfüggvény) ismeretére van szükség.

Az előző fejezetben a deformációs állapot tenzorának komponenseit az eltolódás-

mezőből vezettük le, ahol feltételeztük, hogy a deformáció során a test a teret folyamatosan tölti

ki, tehát szakadásmentes marad. Ez maga után vonja azt a követelményt, hogy az eltolódás-

komponensek és az alakváltozási állapot komponensei nem lehetnek egymástól

56

függetlenek. A közöttük fennálló kapcsolat a (2.9) és (2.28) tenzorok egyenlősége alapján írható

fel:

ε∂∂

ε ε∂∂

∂∂

ε∂∂

ε ε∂∂

∂∂

ε∂∂

ε ε∂∂

∂∂

xxx

xy yxx y

yyy

yz zxz y

zzz

xz zxz x

u

x

u

y

u

x

u

y

u

y

u

z

u

z

u

x

u

z

= = = +

= = = +

= = = +

, ,

, ,

, .

1

2

1

2

1

2

2.38/a

E kilenc összefüggést az indexes jelölésmóddal egyetlen egy egyenletbe foglalhatjuk:

ε∂∂

∂∂il

i

j

j

i

u

r

u

r= +

1

2 , i,j = x,y,z . 2.38/b

A (2.38) jelű kifejezéseket geometriai (kinematikai) egyenleteknek nevezzük.

2.1.7. Összeférhetőségi (kompatibilitási) feltételek

Azt, hogy a testben a deformáció során nem keletkeznek folytonossági hiányok, szaka-

dások, más formában is megfogalmazhatjuk. Differenciálhatjuk (2.38/a) második összefüggését

parciálisan x, majd y szerint:

∂ ε∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

12

3

2

3

21

2

2

2

2

2

xy x x

x y

u

x y

u

x y y x y= +

= +

u

x

u .x y

A geometriai egyenletek figyelembevételével:

∂ ε∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε∂

2

12

2

2

2

2

xy xx yy

x y y x= +

.

Hasonló módon még két kifejezést nyerhetünk:

∂ ε∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε∂

2

12

2

2

2

2

yz yy zz

y z z y= +

,

∂ ε∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε∂

2

12

2

2

2

2zx zz xx

z x x z= +

. 2.39/a

A geometriai egyenletekből tehát az eltolódáskomponensek kiküszöbölhetők, pontosab-

ban az alakváltozási komponensek nem függetlenek egymástól, ami magától értetődő, ha meg-

gondoljuk, hogy a hat alakváltozási komponens három eltolódás-komponens függvénye. Az

alakváltozási komponensek közötti kapcsolat szükségességét jól szemléltethetjük, ha a testet a

57

deformáció előtt gondolatban elemi kockákra osztjuk, melyek az alakváltozás után ismételten

összeilleszthetők a deformálódott testté. Ha az egyes elemi kockák deformációit teljesen szaba-

don választanánk meg, akkor a testet általában nem tudnánk hézagmentes kontinuummá össze-

állítani.

A (2.39/a) kifdejezések formája indexes jelölésmódban:

∂ ε∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε∂

2

12

2

2

2

2

ij

i j

ii

j

jj

ir r r r= +

, i, j = x, y, z. 2.39/a

(2.38/a) előzőtől különböző átrendezésével az alakváltozási komponensek között más

kapcsolatot is meghatározhatunk. Indexes jelölésmódban:

∂ ε∂ ∂

∂∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

2ii

j k i

ij

k

ik

j

jk

ir r r r r r= + −

, i, j = x, y, z. 2.40

A (2.29) és (2.40) kifejezéseket összeférhetőségi (kompatibilitási) feltételeknek nevez-

zük. E hatból azonban csak három független (ha nem így lenne, akkor belőlük a hat

deformációkomponens meghatározható lenne), amiről újabb kétszeri differenciálással meg is

győződhetünk.

2.2. Sztatikai összefüggések

2.2.1. Feszültségi állapot

A test valamely pontjában az n normálisú felülethez tartozó σn feszültségvektort az

(1.1) összefüggéssel definiáltunk. A definícióból azonban az is következik, hogy ugyanabban a

pontban egy másik normálisú felülethez általában egy másik feszültségvektor tartozik. A fe-

szültségvektor tehát nemcsak a helynek, hanem az adott pontban felvett sík állásának is függvé-

nye:

( )σ σn n n= . 2.41

Mivel egy pontban végtelen sokféleképpen vehetünk fel egy síkot, a ponthoz végtelen

sok feszültségvektort rendelhetünk. Ezek összességét a pont feszültségi állapotának nevezzük. A

feszültségi állapot tehát a test egy pontjához kapcsolódó fogalom, a feszültségvektort pedig a

pont valamilyen síkjához (annak normálvektorához) rendeljük hozzá.

A feszültségi állapotot akkor tekintjük ismertnek - hiszen végtelen sok vektor megadá-

sára nyilvánvalóan nincs mód - ha tetszőleges síkhoz meg tudjuk határozni a feszültségvektort,

azaz ismerjük a (2.41) függvény konkrét alakját.

Tétel: Egy pont feszültségi állapotát meghatározza az adott ponton át felvett, három, egymásra

merőleges síkhoz tartozó feszültségvektor.

58

Bizonyítás: Vegyünk fel a test vizsgált pontjában egy elemi tetraédert úgy, hogy három éle

essen egybe - az egyébként tetszőlegesen felvett - koordináta-rendszer tengelyeivel (2.17. ábra).

A tetraéder oldallapjainak külső normálisai:

− − −e e ex y z, , é s n n e n e n ex x y y z z= + + = cos cos cos .α α αx x y y z ze e e+ +

Ha az n normálisú oldal területe ∆A n , akkor a tetraéder koordinátasíkokkal egybe-eső oldalai-

nak területe:

∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

A A A n

A A A n

A A A n

x n x n x

y n y n y

z n z n z

= == == =

cos ,

cos ,

cos .

ααα

2.42

Mivel a test külső erők

terhelése alatt áll, a kivágott tetraéder

oldallapjain belső erők ébrednek. Az

oldallapokon ható belső erők eredőjét

úgy számíthatjuk, hogy a P pontban

oldallapnak megfelelő síkhoz tartozó

feszültségvektort megszorozzuk az

oldallap területével. Az így kapott

2.17. ábra belső erővektor támadáspontja az ol-

dallap geometriai középpontjában lesz.

Az elemi tetraéderre ható erők tehát az oldallapokon ható belső erők és a térfogati erő,

melynek vektora 13 f A hn∆ (ahol f - az egységnyi térfogatra jutó erő, h - a tetraéder magassá-

ga), támadáspontja a tetraéder geometriai középpontja. Ha a vizsgált testre ható külső erőrend-

szer egyensúlyi, akkor a tetraéderre ható erőknek is egyensúlyi erőrendszert kell alkotniuk:

01

3= = + + + +− − −∑ F f A h A A A Ai n n n x x y y z z

i

∆ ∆ ∆ ∆ ∆σ σ σ σ .

(2.42) és az ellentétes irányítású síkokhoz tartozó feszültségvektorok közötti kapcsolat

tételének felhasználásával, valamint a h→ 0 határátmenet képzésével a fenti egyensúlyi egyen-

letet a következő alakzatra hozhatjuk:

σ σ σ σn x x y y z zn n n= + + , 2.43/a

amivel a tételt be is bizonyítottuk. (2.43/a) a (2.41) függvénykapcsolat konkrét alakja.

A koordinátasíkokhoz tartozó feszültségvektorokat komponenseikkel is felírhatjuk:

σ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σ

x xx x xy y xz z

yx x yy y yz z

zx x zy y zz z

e e e

e e e

e e e

= + += + += + +

,

,

.y

z

59

E három összefüggést helyettesítsük be (2.43/a)-ba:

( )( ) ( )

σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

n nx x ny y nz z xx x yx y zx z x

xy x yy y zy z y xz x yz y zz z z

e e e n n n e

n n n e n n n e

= + + = + + +

+ + + + + + , 2.43/b

ami σn komponenseire három skaláregyenletet jelent. Indexes jelölésmódban:

σ σnj ij ii

n=∑ , i, j = x, y, z .

A fenti összefüggések alapján megállapíthatjuk, hogy a σn feszültségvektor az n nor-

málvektor komponenseinek homogén, lineáris függvénye. Az alakváltozások tanulmányozása

során azonban már megtanultuk, hogy ilyen esetben a σ ij komponensek tenzormennyiséget

alkotnak. E tenzort feszültségi tenzornak nevezzük. A feszültségi tenzor mátrixreprezentációja:

[ ] [ ]T ij

xx

xy

xz

σ σσ σ σσ σ σσ σ σ

=

yx zx

yy zy

yz zz

2.44

A feszültség- és a normálvektort sor- illetve oszlopmátrixnak tekintve a (2.43/c):

[ ]σ σ σσ σ σσ σ σσ σ σ

nx ny

xx

xy

xz

y

z

n

n

, ,

n

nz

yx zx

yy zy

yz zz

x

=

2.43/d

vagy szimbolikus jelöléssel:

σ σn T n= . 2.43/e

A feszültségi tenzor két indexes jelölésmódjának illetve a kétindexes jelölés értelmezé-

sének megfelelően a (2.44) mátrix főátlójában a normálfeszültségek találhatók, az átlón kívüli

elemek pedig nyírófeszültségek.

Tétel: A feszültségi állapot tenzora szimmetrikus.

Bizonyítás: A 2.17. ábrán felvett elemi tetraéderre ható erők egyensúlyának felírására még nem

használtuk fel a nyomatéki egyenletet. A tétel bizonyítása azonban könnyebb, ha nem a tetraé-

der, hanem a 2.18. ábrán látható elemi hasáb

egyensúlyát vizsgáljuk a nyomatékok szem-

szempontjából. Az elemi hasábra most a

geometriai középpontban ható térfogati erőn

kívül mind a hat oldallapjának középpontjában

belső erők működnek. Ezek vektora a P

pontban az oldallapokkal párhuzamos síkokhoz

tartozó feszültségvektor és az oldallap

60

területének szorzata. A hasáb kicsi geometriai mérete miatt feltehetjük, hogy a párhuzamos ol-

dalakon ébredő belső erők csak előjelben különböznek egymástól. Irjuk fel a nyomatéki egyen-

súlyi egyenletet a hasáb geometriai középpontján átmenő, a z-vel párhuzamos tengelyre. A ten-

gelyre vonatkozó nyomaték definíciója alapján a hasábra

ható erők közül csak a z' tengellyel

párhuzamos síkokon ható erők z' ten-

gelyre merőleges és kitérő komponen-

seinek lesz nyomatéka:

∆y∆z∆xσ-∆x ∆z∆y σ,M0 yxxyz∑ ==

ahonnan:

. σσ yxxy =

2.18. ábra

Hasonló eljárással még két egyenlőséget nyerünk: 2yy22xx2 σσ ,σσ == .

A három egyenlőség indexes jelölésmódban:

σ σij ji= , i,j = x,y,z 2.45

A szimmetria legfontosabb következménye, hogy egy pontban a feszültségi állapot

tenzora hat független adattal jellemezhető.

Az adott n normálvektorú síkhoz tartozó feszültségvektor normális és arra merőleges

irányú komponensét (2.43/e), valamint (1.4) és (1.5) felhasználásával kapjuk:

( )

( )

σ σ

σ σ

σ

σ

nn n

n

n T n n

m T n m

= =

= =

,

.nm

2.46/a,b

Tétel: Egy pontban az n normálvektorú

síkhoz tartozó feszültség k irányra vett

vetülete egyenlő a k normálvektorú

síkhoz tartozó feszültségvektor n irányú

vetületével (reciprocitási tétel).

Bizonyítás: Jelöljük σ nk -val

σ nk irányú vetületét:

( )σ σ σnk nk T n k= = =,

( )= = =T k n nk knσ σ σ , 2.47

61

2.19. ábra

ahol σ kn - a korábbi jelölésmódnak megfelelően a σ k feszültségvektor n irányú vetülete

(2.19. ábra). A fenti összefüggésben a normálvektorokkal való szorzás sorrendjét azért cserél-

hettük fel, mert Tσ szimmetrikus. A tétel azt mondja ki, hogy egy pontban a különböző síkok-

hoz tartozó feszültségvektorok nem

függetlenek egymástól. A σ k vektor

végpontja - a 2.19 ábrának megfelelően - az

n − re emelt, σ nk távolságú egyenesen

van.

Tétel: Egy pontban az egymásra merőleges

síkokhoz tartozó feszültségvektorok nyíró-

összetevőjének a két sík metszésvonalára

merőleges komponense egyenlő (a

nyírófeszültségek dualitás tétele).

Bizonyítás: Alkalmazzuk a reciprocitási

tételt, ha n k⊥ . A 2.20. ábra alapján

azonban megállapíthatjuk, hogy σ nk a σn

feszültségvektor nyírókomponense, σ kn

pedig σ k feszültségvektor nyírókomponen-

Se. Sokszor előfordul, hogy a nyírófeszült-

2.20. ábra séget az n -re merőleges síkban – mint azt

a 2.18. ábrán meg is tettük - nem egy, hanem két komponensre bontjuk. A dualitás tétel csupán

a metsződő élre merőleges nyírófeszültség-komponensek egyenlőséget mondja ki.

Az alakváltozási és feszültségi állapot vizsgálatánál levezetett összefüggések alapján

megállapíthatjuk, hogy a két fizikai állapot között teljes a matematikai analógia. Ez a hasonló-

ság messzemenően kihasználható,ami nemcsak az elméletek megértését, hanem az összefüggé-

sek megjegyzését is jelentősen megkönnyíti. Természetesen sohasem szabad megfeledkezni

arról, hogy a megegyező matematikai és geometriai műveletek mögött alapvetően más fizikai

tartalom húzódik és az automatikusan kapott eredményeket minden esetben a fizikai valóságnak

megfelelően kell értelmezni.

Végül megemlítjük, hogy vannak olyan megállapítások, tételek, amelyek az analógia

miatt mind az alakváltozási, mind a feszültségelméletben érvényesek, mégis csupán az egyik

elméletnél tárgyaljuk őket, mert csak ott van gyakorlati jelentőségük (ilyen pl. a reciprocitási, a

dualitás tétel).

2.2.2. Főfeszültségek

62

Ugyanúgy, mint az alakváltozási állapotnál, a feszültségi állapot vizsgálata során is

megkérdezhetjük, létezik-e olyan sík, amelyhez olyan feszültségvektor tartozik, melynek csak

normális irányú komponense van. Matematikai megfogalmazásban:

σ σ σni i i in T n= = ,

ahol σ i -t a feszültségi állapot főfeszültségeinek, n i -t pedig a feszültségi állapot főirányainak

illetve főfeszültségi irányoknak nevezzük.

A feladat megoldása matematikailag teljesen analóg az alakváltozási állapotnál megis-

merttel, ezért - különösebb magyarázat nélkül - csak a legfontosabb összefüggéseket írjuk fel. A

karakterisztikus egyenlet:

σ σ σi i iS S S31

22 3 0− + − = , 2.48

melynek megoldásai (most is mindhárom valós) adják a főfeszültségek nagyságát, elnevezésük

itt is nagyság szerint történik:

σ σ σ1 2 3≥ ≥ .

A feszültségi invariánsok számítása:

S xx yy zz1 1 2 3= + + = + +σ σ σ σ σ σ ,

2.49/a

Sxx

xy

xx

xz

yy

yz2 1 2 1 3 3 2= + + = + +

σ σσ σ

σ σσ σ

σ σσ σ

σ σ σ σ σ σ

,

yx

yy

zx

zz

zy

zz

2.49/b

Sxx

xy zy

xz

3 1 2 3= =σ σ σσ σ σσ σ σ

σ σ σ

.yx zx

yy

yz zz

2.49/c

Itt is bizonyítható, hogy a feszültségi főirányok egymásra páronként merőlegesek.

A főfeszültség ismeretében a feszültségi állapotok osztályozhatók. Térbeli a feszültségi

állapot, ha egyik főfeszültség sem nulla. Síkbeli, illetve lineáris feszültségi állapotban egy, ill.

két főfeszültség nulla.

A (2.37/a,b) analógiájára a feszültségi állapotot is felbonthatjuk egy gömb- és egy

deviátortenzor összegére, ha bevezetjük

( )σ σ σ σM xx yy zz= + +1

3 mennyiséget:

TM

σ

σσ

σ

0

=

0 0

0 0

0 0 M

M

, [ ]Txx M

M~σ

σ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σ

=−

−

-

yx yz

xy yy zy

xz yz zz M

2.50/a,b

63

A gömbtenzornak megfelelő feszültségállapotot hidrosztatikai feszültségállapotnak

nevezzük. Ennek jellemzője, hogy minden síkjához ugyanakkora normálfeszültség tartozik és

nyírófeszültségek semmilyen síkon nem hatnak. Ilyen feszültségállapot uralkodik pl. a folyadé-

kok belsejében.

2.2.3. A feszültségi állapot grafikus ábrázolása

Tétel: A σ σn T n= transzformáció az n egységvektorok által leírt gömböt ellipszoidba viszi

át.

Bizonyítás: Válasszuk koordinátarendszerként a feszültségi főirányokat. E rendszerben az

n n e n e n e= + +1 1 2 2 3 3 normálisú síkhoz tartozó feszültségvektor: σ σ σ σn n n ne e e= + +1 1 2 2 3 3 .

A feszültségvektor koordinátairányokra eső vetületei:

σ σ σ σ σ σn n nn n n1 1 1 2 2 2 3 3 3= = =, , .

Fejezzük ki ezekből az iránycosinuszokat, emeljük négyzetre az egyenlőségeket és adjuk össze őket:

n n n n n n12

22

32 1

2

12

22

22

32

321+ + = = + +σ

σσσ

σσ

Ez valóban egy olyan ellipszoid egyenlete, melynek főtengelyei egybeesnek a koordiná-

tatengelyekkel (főirányokkal), a féltengelyek nagysága pedig σ 1 , σ 2 , σ 3 . Ez az ellipszoid a

feszültségi ellipszoid. Ne tévesszük szem elől, hogy az analógia ellenére az alakváltozási és

feszültségi ellipszoidot különbözőképpen értelmeztük, ott a transzformáció tenzora T Eε + ,

itt pedig T σ . A feszültségi ellipszoid síkbeli feszültségi állapotban ellipszissé, lineáris fe-

szültségi állapotban egyenessé fajul.

Lehetőség nyílik természetesen a feszültségi állapot Mohr-féle ábrázolására is. A 2.21.

ábrán megrajzoltuk a Mohr-féle feszültségi főköröket és egy adott α 1 , α 3 szögű normálvek-

torhoz megszerkesztettük a feszültségvektort, illetve annak normális- és nyíróirányú komponen-

seit. Az alakváltozási állapotnál megismert, a Mohr-körökkel kapcsolatos minden tétel értelem-

szerűen itt is érvényes.

A feszültségi állapot Mohr-körökkel történő ábrázolása lehetőséget ad arra, hogy a nyí-

rófeszültségi komponensek közül kiválasszuk a legnagyobbakat. A legnagyobb nyírófeszültsé-

geknek - a normálfeszültségek szélső értékeihez hasonlóan - a szilárdsági számításoknál van

fontos szerepe. Az egyes feszültségi fősíkokban ébredő legnagyobb nyírófeszültségi komponen-

64

seket fő nyírófeszültségeknek nevezzük. Az ábráról leolvashatjuk, hogy ezek éppen a főkörök

sugaraival egyenlők:

τ σ σ τ σ σ τ σ σ1 1 2 2 2 3 3 1 3

1

2

1

2

1

2= − = − = −( ), ( ), ( ). 2.51

A fő nyírófeszültségek közül az O13 középpontú főkörhöz, azaz az 1,3 fősíkhoz tartozó

2.21. ábra

A legnagyobb. A 2.19. ábra alapján azt is megállapíthatjuk, hogy a főnyírófeszültségek

azokon a síkokon ébrednek, amelyek normálisai a főfeszültségi síkokba esnek és a főirányokkal

45o-os szöget zárnak be.

2.2.4. Sztatikai egyensúlyi egyenletek

Általános esetben a feszültségi állapot illetve az azt kifejező feszültségi tenzor a testben

felvett pont helyének függvénye:

T T T x y z x y zi j i jσ σ σρ σ ρ σ= = = =( ) ( , , ) ( ) ( , , ) .

A fenti tenzor-vektor-függvényt

feszültségi tenzormezőnek nevezzük, melyet

hat független skalármezővel,

skalárfüggvénnyel adunk meg.

Sokszor igen értékes információt

nyújt, ha ismerjük a test pontjaiban a főfe-

szültségek irányát, mert - mint a Mohr-féle

feszültségi főkörök mutatják - ezekben az

irányokban lépnek fel a normálfeszültségek

szélső értékei, a legnagyobb húzó- és nyomó-

65

feszültségek. A főfeszültségek irányát jól szemléltethetjük az ún. feszültségi trajektóriákkal,

amelyek olyan görbeseregek, melyek valamely pontjukhoz húzott érintője valamelyik főfeszült-

ségi iránnyal esik egybe. A feszültségi trajektóriáknak elsősorban síkbeli feszültségi állapot

esetén van gyakorlati jelentősége. Ilyenkor két főirány beleesik a feszültségi fősíkba, tehát a

trajektóriavonalak is síkgörbék lesznek. A főirányok merőlegességi tételéből következik, hogy a

két főiránynak megfelelő trajektóriasereg vonalai minden pontban merőlegesek egymásra, rövi-

den ortogonálisak. A 2.22. ábrán egy négyzet alakú síklap feszültségi trajektóriáit ábrázoltuk a

két szemközti csúcsot összekötő koncentrált nyomóerőknek megfelelő külső terhelés esetén.

Már a merev testre ható külső és belső erők kapcsolatának vizsgálatánál láttuk, hogy a különbö-

ző keresztmetszetek belső erői (igénybevételei) nem függetlenek egymástól, tehát a belső erők,

illetve belőlük származó feszültségek a helykoordináták függvényében nem változhatnak tetsző-

legesen.

Tétel: A feszültségi tenzormező kompo-

nenseinek hely szerinti változása és a térfogati

erők között a ∂ σ∂

i j

ij

i j rf+ =∑ 0 , i,j=x,y,z 2.52

összefüggés áll fenn.

Bizonyítás: Vágjunk ki az egyensúlyi

2.22. ábra erőrendszerrel terhelt testből egy ∆ x, ∆ y,

∆ z élhosszúságú, elemi, derékszögű hasábot (2.23. ábra) és vegyük száma a rá ható erőket. Az

egyetlen külső erő a térfogati (vagy tömegerő), melynek eredője a hasáb geometriai középpont-

jában hat, vektora f x y z f V∆ ∆ ∆ ∆= , ahol f - a fajlagos (térfogategységre jutó) térfogati

erő. A hasáb oldallapjain belső erők hatnak, amiket a testből való kivágással szabadítottunk fel,

tettünk külsővé. A belső erőket - a korábbiakhoz hasonlóan - úgy számítottuk, hogy az oldallap-

okon ható feszültségvektorokat megszoroztuk az oldal területével.

Az így nyert erővektor támadáspontja az oldallap geometriai középpontja lesz. A hasáb kis mé-

retei miatt feltehetjük, hogy − − −e e ex y z, , normálisú lapjain a P(x,y,z) ponthoz tartozó

feszültségi állapot σ -x , σ -y , σ -z feszültségvektorai működnek. Az ex normálisú oldalon a

P1(x +∆ x,y,z) ponthoz tartozó feszültségi állapot megfelelő feszültségvektora, az ey normálisú

oldalon a P2(x,y+∆ y,z) ponthoz, az ez normálisú oldalon a P

3(x,y,z+∆ z) ponthoz tartozó fe-

szültségi állapot megfelelő feszültségvektorai hatnak. Az elemi hasábra ható, általános térbeli

66

2.23. ábra 2.24. ábra

erőrendszernek egyensúlyi erőrendszert kell alkotnia. Ennek feltétele, hogy az erőrendszer

dinámja eltűnjön: R MS= =0 0, . Az első feltétel:

0 = = + + + +

+ + + + + +

− − −∑R F V x y z y z x y z x z x y z x y

x x y z y z x y y z x z x y z z x y

x y z

i

x y z

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

σ σ σ

σ σ σ

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , ) .

Ha feltesszük, hogy a feszültségvektorok a hely folytonos és legalább egyszer differen-

ciálható függvényei, akkor e vektorok növekvényei:

σ σ ∂ σ∂

σ σ ∂ σ∂

σ σ ∂ σ∂

x xx

y yy

z zz

x x y z x y zx y z

xx

x y y z x y zx y z

yy

x y z z x y zx y z

zz

( , , ) ( , , )( , , )

,

( , , ) ( , , )( , , )

,

( , , ) ( , , )( , , )

.

+ = +

+ = +

+ = +

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

Helyettesítsük be ezeket az előző kifejezésbe és vegyük figyelembe az ellentett irányítású sí-

kokhoz tartozó feszültségvektorok tételét ( ):σ σn n= − −

f Vx y z

xx y z

x y z

yx y z

x y z

zx y z

x y z∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆+ + + =∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

( , , ) ( , , ) ( , , )0

∆ ∆ ∆ ∆V x y z= -vel való osztás után:

∂σ∂

x x y z

x

( , , )+

∂σ∂

y x y z

y

( , , )+

∂σ∂

z x y z

zf

( , , ) + = 0 2.52/b

A vektorösszefüggésnek megfelelő három skaláregyenlet:

67

∂ σ∂

∂ σ∂

∂ σ∂

x x x y x yxx y z

f+ + + = 0 ,

∂ σ∂

∂ σ∂

∂ σ∂

x y y y y zyx y z

f+ + + = 0 , 2.52/c

∂ σ∂

∂ σ∂

∂ σ∂

x z y z z zzx y z

f+ + + = 0 ,

amelyek éppen a (2.52/a) indexjelölésű egyenletbe foglalhatók össze.

A (2.52) jelű egyenleteket, melyek parciális differenciálegyenletek, sztatikai egyensúlyi

(Cauchy-féle) egyenleteknek nevezzük.

Az egyensúlyi feltétel nyomatéki egyenlete a - már korábban bizonyított -

nyírófeszültségkomponensek páronkénti egyenlőségéhez vezet.

Megemlítjük még, hogyha a test nincs nyugalomban, hanem a ráható erőrendszer hatá-

sára gyorsuló mozgást végez, akkor a fenti egyenletek jobb oldalán nem nulla, hanem az egy-

ségnyi térfogatra jutó tehetetlenségi erő szerepel. Ilyenkor a kontinuum mozgásegyenleteiről

beszélünk:

∂σ∂

ρij

iij

j

rf

d u

dt∑ + =

2

2, i,j = x,y,z 2.53

ahol - a test sűrűsége, d2uj /dt2 - az eltolódásvektor j irányú komponensének második idő sze-

rinti deriváltja, azaz a j irányú gyorsuláskomponens.

2.3. A munka és a potenciális energia

A munka, a potenciális energia és néhány, ezekkel kapcsolatos fogalom bevezetése

lehetővé teszi, hogy a testek valóságos viselkedésének figyelembevételével fontos elméleti

megállapításokhoz jussunk. A munkával és energiával kapcsolatos tételek felhasználásával sok

rugalmasságtani feladat viszonylag egyszerűen, a mechanikai jelenségek mélyebb szintű megér-

tése mellett oldható meg.

2.3.1. Az elemi munka

Ha a test valamely pontja a deformáció vagy bármilyen egyéb hatás következtében du

elemi elmozdulást szenved és ebben a pontban F erő hat, akkor az erő elemi munkája alatt a két

vektor skalárszorzatát értjük (2.24. ábra):

( )dW F r r Fdr Fdu= − = =2 1 2.54

Az elemi munka dimenziója: erő x távolság, SI-beli egysége: 1 Nm = 1 J = 1 joule. A

skalárszorzat értelmezése következtében:

dW = Fducosα = Fudu = FduF , 2.54/b

68

ahol Fu - az erővektor du irányú összetevője, duF - pedig az elemi elmozdulásvektor F irányú

összetevője.

A (2.54) összefüggést szimbolikusan is értelmezhetjük, mert elemi munkáról beszélünk

akkor is, ha az F koncentrált erő és a du elemi eltolódás helyett az ún. általánosított erőt és álta-

lánosított elemi elmozdulást használunk, amelyek egymáson munkavégzésre képesek, s szorza-

tuk dimenziója munkajellegű mennyiség. Általánosított erő a koncentrált erő, a koncentrált

nyomaték, a térfogati és felületi erők, az igénybevételek, a feszültségkomponensek, stb, általá-

nosított elemi elmozdulás az elemi eltolódás, az elemi elfordulás, az alakváltozási

tenzorkomponensek, stb. Az általánosított erők lehetnek külső és belső erők, ennek megfelelően

beszélhetünk külső és belső munkáról.

2.3.1.1. A külső elemi munka

Hasson a testre külső erőként koncentrált jellegű, térfogati és felületi terhelés (2.25.

ábra). Az összes külső elemi munka alatt az egyes külső erők elemi munkájának összegét értjük:

dW F du qdudA fdudVk i i

VAi

n

= + + ∫∫∑=1

2.55

ahol

Fi - a test felületének Pi pontjában ható koncentrált jellegű általánosított külső erő,

dui - a Pi pontáltalánosított elemi elmozdulása,

n - a külső általánosított erők száma, ( )q q= ρ - a felületen ható általánosított megoszló erő intenzitása,

( )f f= ρ - az általánosított térfogati erő fajlagos értéke,

( )du du= ρ - a test (felületi és belső) pontjainak általánosított elemi elmozdulása,

A - a test felülete,

V - a test térfogata.

2.3.1.2. A belső elemi munka

A külső terhelés hatására a testen belül is erők lépnek fel. A test valamely valóságos

vagy képzelt keresztmetszetén kelet-kező megoszló erőrendszer eredőjének össztevői az igény-

be-vételek. A síkmetszetre ható erőrendszert a síkmetszet pontjai-ban ható feszültségvektorok-

kal jellemezhetjük. A belső erők elemi munkájának számításánál tehát e-legendő a feszültségek-

nek, mint általánosított erőknek az elemi munkáját meghatározni.

69

2.25. ábra 2.26. ábra

Tétel: A merevtest-szerű elmozdulás során a belső erők összes elemi munkája nulla.

Bizonyítás: A P pont környezetében kivágott elemi hasáb − e x és ex normálisú oldallapjain

ható belső erők eredője - 2.2.4. fejezettel összhangban - σ − x x y z y z( , , )∆ ∆ és

σ x x y z y z( , , )∆ ∆ , támadáspontjuk az S, illetve S' geometriai középpontok. E pontok

helyvektora között a kapcsolat (2.26. ábra):

r r xeS S x' = + ∆

(2.32) segítségével meghatározhatjuk e két pont elemi eltolódásvektorát:

d u du d x rs p S= + ϕ ,

du du d x r du d x r xe du d x r xd x e

du d x r du

S p S p S x p S x

p S s

' ' ( )

.

= + = + + = + + =

= + =

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

∆ ∆A

z utolsó egyenlőségben a ∆xdϕ másodrendűen kicsi mennyiséget elhanyagoltuk. A merev-testszerű elmozdulás során tehát az S és az S' pont elemi eltolódása megegyezik. Ha figyelembe vesszük azt is, hogy ∆ x kis értéke miatt

σ σx (x + x, y , z) (x, y , z) , x∆ ≅

a két oldallapon működő erő elemi munkája:

σ σ σ

σ-x x x

x

(x, y, z) y zd u (x + x, y, z) y zd u (x, y, z) y zd u

(x, y, z) y zd u

S∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆

+ = − +

+ =S S

S

'

.0

Hasonló eredményre jutunk a másik két szemben lévő oldallapon is.

70

Az elemi hasábra ható belső erők elemi munkája merevtest-szerű elmozdulásnál páron-

ként nulla, s ennek következtében az egész testen belül összegzett elemi munka is nullával

egyenlő.

A szűkebb értelemben vett tiszta deformáció során a belső erők elemi munkáját a kö-

vetkezőképpen számíthatjuk. Maradjunk a -ex és ex normálisú felületnél. Az S és S' pontok

elemi eltolódását a tiszta deformáció során a (2.5) összefüggéssel számíthatjuk:

[ ]d u d T r

d u d T r d T r xe d T r xd T e d u xd

S S

S S S x S x S x

=

= = + = + = +

( ),

( ) ( ) ( ) ( ) .' '

ε

ε ε ε ε ε∆ ∆ ∆

A két belső erő elemi munkája a fenti összefüggések figyelembevételével:

[ ][ ]

dW

xd

V

b

x x

x

= − + =

= − − + + = − =

= −

σ σ

σ σ ε σ ε

σ ε

-x x

x -x x

x

(x, y, z) y zdu (x, y, z) y zdu

(x, y, z) y zdu (x, y, z) y z(du (x, y, z) x yd

d

S S'

S S

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆

)

.

Ez az elemi munka azért negatív, mert a belső erő az alakváltozást gátolni igyekszik, tehát a

relatív elmozdulással ellentétes értelmű.

Az elemi hasáb többi oldalán fellépő belső erők elemi munkáját hasonlóan számítjuk,

így a ∆V nagyságú térfogatelemre ható belső erők elemi munkája:

dWb = − + +( ) .σ ε σ ε σ εx x y y z zd d d V∆

A belső erők térfogategységre jutó elemi munkáját fajlagos belső elemi munkának vagy

belső elemi munkasűrűségnek nevezzük:

dwdW

Vd d d db

bx x y y z z i i

i

= = − + + = −∑∆( )σ ε σ ε σ ε σ ε , i=x,y,z 2.56/a

kifejtve: dw d d d d d

d d d db xx xx xy xy xz xz yx yx yy yy

yz yz zx zx zy zy zz zz

= − + + + + ++ + + +

(σ ε σ ε σ ε σ ε σ εσ ε σ ε σ ε σ ε

, 2.56/b

indexes írásmódban:

dwb = −∑ σ εi j i ji j

d , i,j = x,y,z 2.56/c

Ha a fajlagos belső elemi munkát az egész test térfogatára összegezzük, megkapjuk az

összes belső elemi munkát:

71

dWb = − ∑∫ σ εi j i ji jV

d d V,

i,j = x,y,z . 2.57

2.3.2. A teljes (véges) munka

A teljes alakváltozási folyamat során végzett munka a teljes vagy véges munka, amely

az elemi elmozdulások során végzett elemi munkák összege, határátmenetben az általánosított

erőknek az általánosított elmozdulások szerinti határozott integrálja.

Egy koncentrált erő esetén (2.24. ábra):

W dW Fd r F d u Fd uu

S

S

r

r

F

S

S

A

B

A

B

A

B

= = = =∫∫∫ ∫ . 2.58

A testre ható külső erők teljes munkája:

W F d u q d ud A f d ud Vk i i

uVuAi

n

u i

= + + ∫∫∫∫∑∫=1

. 2.59

A testben ébredő belső erők teljes munkája:

W d dVB ij iji jV ij

= − ∑∫∫ σ εε ,

, i,j = x,y,z 2.60

2.3.3. A kiegészítő (konjugált) munka

Az elemi kiegészítő (konjugált) munka az eltolódásvektornak és az elemi nagyságú

erővektornak a skalárszorzata:

dW = udF ~

, 2.61

a teljes kiegészítő (konjugált) munka az elemi kiegészítő munkák összege, határátmenetben az

általánosított elmozdulásnak az általánosított erők szerinti határozott integrálja:

~ ~W = dW =

F

ud FFA

B

∫ . 2.62

Az előző két fejezetben tárgyaltakhoz hasonlóan felírhatjuk a testre ható külső és belső

erők elemi és teljes kiegészítő munkáját.

A külső erők elemi kiegészítő munkája:

dW u d f ud qdA ud f dVk i i

i

n

A V

~,= + +

=∑ ∫ ∫

1

2.63

72

a belső erők elemi kiegészítő munkája:

dW d dVB ij ijijV

~ = − ∑∫ ε σ , i,j = x,y,z . 2.64

A külső erők teljes kiegészítő munkája: ~W u d F ud qdA ud f dVk i i

i

n

F qA fV

= + +=∑∫ ∫∫ ∫∫

1

, 2.65

a belső erők teljes kiegészítő munkája:

~W d d VB ij i j

i jV i j

= − ∑∫∫ ε σε

, i,j = x,y,z . 2.66

A kiegészítő munkának nincsen fizikai tartalma, csupán matematikai szempontból defi-

niálható. Dimenzió szempontjából természetesen munka jellegű mennyiség. A munkatételek

levezetésénél a kiegészítő munkáknak alapvető jelentősége van.

2.3.4. Idegen és saját munka

Ha a munka és kiegészítő munka kifejezéseiben szereplő általánosított erők és elmozdu-

lások egymásnak függvényei, akkor összetartozóknak nevezzük őket, különben nem összetarto-

zók.

Nem összetartozó általánosított erők és elmozdulások esetén a munkavégzést úgy kép-

zelhetjük el, hogy az általánosított erők az elmozdulások kezdetekor már teljes, végleges nagy-

ságukkal hatnak és az elmozdulás időtartama alatt nem változnak. Az elmozdulás nem a vizsgált

erőrendszer hatására, hanem valamilyen más ok következtében lép fel. A kiegészítő munkánál is

hasonlóan gondolkodhatunk, csak ott az általánosított elmozdulást tekintjük a terhelési folyamat

alatt változatlannak. Az ilyen módon keletkező munkát idegen munkának nevezzük. Az erők

jellegétől függően beszélhetünk külső és belső idegen munkáról is.

Az összetartozó általánosított erők és elmozdulások között ok-okozati kapcsolat van. A

kapcsolat minőségét az anyagtörvény írja le. A terhelési folyamatot úgy képzelhetjük, hogy az

általánosított erők nulla értékről indulva folyamatosan - és mindegyik ugyanabban az időpilla-

natban - veszik fel végső értéküket. Ezek az erők a saját maguk által okozott alakváltozáson

végeznek munkát. A kiegészítő munka számításánál ugyanezt a terhelési folyamatot tételezhet-

jük fel, csak ilyenkor az elmozdulást tekintjük oknak és az erőhatást okozatnak. Az így végzett

munkát saját munkának nevezzük.

Ezek után számítsuk ki - az egyszerűség kedvéért - egyetlen erő és a hatásvonalába eső

eltolódás esetén a teljes munkát és a teljes kiegészítő munkát. Az előző definíciók szerint a

73

munka számértéke az erő-eltolódás-függvény és az eltolódástengely közötti terület, a kiegészítő

munka számértéke pedig az erő-eltolódás-függvény és az erő-tengelyt közötti terület (2.27. áb-

ra).

Nem összetartozó erő és elmozdulás esetén (2.27/a ábra), a munka idegen:

W F d u F d u F u u

W u d F u d F u F F

u

u

u

u

F

F

F

F

= = = −

= = = −

∫ ∫

∫ ∫

1 1 1 2 1

1 1 1 2 1

1

2

1

2

1

2

1

2

( ) ,

~( ) .

Összetartozó erő és elmozdulás, a kettő egymásnak tetszőleges függvénye (2.27/b ábra), saját munka:

W F u d u

W u F d F

u

u

F

F

=

=

∫

∫

( ) ,

~( ) .

1

2

1

2

W F u du cuduc

u u u cu u cu u F u F u

W u F dFF

dFc

Fc

F F FF

cF

F

cF u F u

u

u

u

u

u

u

F

F

F

F

F

F

= = =

= − = − = −

= = =

= − = − = −

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ),

~( ) ( ) ( ) ( ).

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

222

12

2 2 1 1 2 2 1 1

222

12

22

11

2 2 1 1

A két utolsó összefüggés alapján általánosan is megfogalmazhatjuk a következő tételt:

Tétel: Összetartozó általánosított erők és elmozdulások esetén a teljes munka és a teljes kiegé-

szítő munka akkor egyenlő, ha az anyagtörvény lineáris és a tehermentes állapothoz nem tarto-

zik kezdeti alakváltozás (elmozdulás).

2.3.5. A potenciális (helyzeti) energia

A testek munkavégző képességét energiának nevezzük. Az energia nagyságát pedig

munkaösszeggel jellemezzük.

74

2.27. ábra

Összetartozó erő és elmozdulás esetén a függvénykapcsolat lineáris: F = cu, ahol

c = áll. (2.27/c ábra), saját munka:

A testek teljes mechanikai energiája kinetikai (mozgási) és potenciális (helyzeti) energi-

ából áll. A szilárdságtanban a testek elemi részecskéinek sebessége - a rezgési folyamatok kivé-

telével - olyan kicsi, hogy a sebesség négyzetével arányos kinetikai energia általában elhanya-

golható és csak a potenciális energiának van gyakorlati jelentősége.

Ha az anyagi pontra ható erő csak az anyagi pont helyének függvénye és egy U(r)

skalárfüggvénynek a negatív gradienseként állítható elő, azaz

75

),rgradU(rd

)rdU()r(FF −=−== 2.67

akkor az erővektorok mezejét (az erőteret) konzervatívnak, az U(u ) skalárfüggvényt pedig po-

tenciálnak vagy potenciális energiának nevezzük (potenciálról általában akkor beszélünk, ha az

anyagi pont tömege egységnyi, illetve az erőt egységnyi tömegre vonatkoztatjuk). Ilyen tulaj-

donsággal rendelkező erőtérben az anyagi pontra ható erő egy rA kezdeti és egy rB végső

helyzetbeli teljes munkája:

.)U(UdUrd)Fd(

)rdu(rdFW AB

u

u

r

r

r

r

B

A

B

A

B

A

−−=−=−== ∫∫∫ 2.68

Konzervatív erőtérben tehát az erő teljes munkája csak a kezdő- és végpontok potenciá-

lis energiájától függ és azok különbségével egyenlő. Ha az U(r ) függvény kielégíti a potenciá-

lis energia kritériumát, akkor (2.67) értelmében az U( r ) + áll. is potenciális energiafüggvényt

ad. Ennek a határozatlanságnak a kiküszöbölésére a potenciális energiát mindig energiakülönb-

ségként adják meg, mégpedig az önkényesen választott, nulla potenciális energiájú helyhez

viszonyítva. A szilárdságtanban a kiinduló koordinátarendszert a deformálatlan testhez kötjük és

ezt a deformálatlan állapotot tekintjük a nulla értékű potenciális energiaszintnek. A deformáció

befejeztével a test pontjainak helyvektorait a kiinduló koordinátarendszerben éppen az )ρ(u

eltolódásvektorok adják meg.

Jóllehet, csak az anyagi test lehet energiahordozó, mégis - az "erő nem más, mint a tes-

tek egymásra hatása" absztrakcióhoz hasonlóan - erők, pontosabban általánosított erők potenciá-

lis energiájáról beszélünk. Ennek megfelelően különbséget teszünk a külső és belső erők poten-

ciális energiája között.

A külső és belső potenciális energia összegét teljes potenciális energiának nevezzük:

U = Uk + Ub . 2.69

2.3.5.1. A külső erők potenciális energiája

A külső erők potenciális energiáján azoknak a testeknek a potenciális energiáját értjük,

amelyek a külső erőket létrehozzák. Fontos feltétel, hogy a testek konzervatív erőtérben helyez-

kedjenek el.

Mivel a külső erők a vizsgált test alakváltozásától függetlenül léteznek és már az alak-

változási folyamat kezdetén végső értékükkel hatnak, a külső általánosított erők és elmozdulá-

sok nem összetartozók. A külső potenciális energia olyan munkaösszeg, amelynél a munkát

idegen munkaként kell számítani. A külső erők mindig olyan alakváltozást hoznak létre, mely-

nek során munkájuk pozitív, ezért potenciális energiájuk csökkenni fog. A (2.68) kifejezés álta-

lánosításaként - a kezdeti potenciális energiát nullának tekintve - a külső erők potenciális ener-

giája a külső erők munkájának -1-szerese:

76

.dVudfdVudqudFWUiu

0

n

1i A V

u

0

u

0

iikk

++−=−= ∫∑ ∫ ∫ ∫∫

=

Mivel Fi, q, f nem függvénye u-nak, az általánosított erők kiemelhetők és az integrálás

elvégezhető:

++

=−=−= ∫∫∑

VA

n

ikk dVufdVuq1i

uFWU 2.70

2.3.5.2. A belső erők potenciális energiája

Belső potenciális energián a vizsgált testben a belső erőknek az alakváltozás során vég-

zett munkájának következtében felhalmozódó energiát értjük. Ebben az esetben a belső erők és

az alakváltozás összefüggőek, tehát a belső erők saját munkáját kell számítani. (2.68) általánosí-

tásaként a belső erők potenciális energiája a belső erők saját munkájának -1-szerese:

U W d dVb b ij ijijV

ij

= − = ∑∫∫1

2 0

ε σε

, i,j=x,y,z 2.71/a

A belső erők munkája negatív, így a belső potenciális energia - a tehermentes állapotot

nulla energiaszintűnek tekintve - pozitív mennyiség.

A belső potenciális energia meghatározásához ismerni kell az anyagtörvényt.

Ha feltesszük, hogy az anyag követi a Hooke-törvényt, akkor az általánosított erők és

elmozdulások között lineáris kapcsolat van, és a belső potenciális energiát (2.71/a) felhasználá-

sával a 2.27. ábra utolsó esetének analógiájára számíthatjuk:

U W dVb b ij ijijV

= − = ∑∫1

2ε σ . 2.71/b

Ez az energiamennyiség ideálisan rugalmas anyag esetén a testben felhalmozódik és a

deformáció megszüntetésével visszanyerhető. Az ideálisan rugalmas anyagot ezzel a feltétellel

is szokták definiálni.

Sokszor szükség van az egységnyi térfogatra (tömegre) vonatkozó belső potenciális

energiára:

udU

dVbb

ij ijij

= = ∑1

2ε σ . 2.72

amit rugalmas potenciálnak nevezünk.

Tétel: A rugalmas potenciál εij deformáció-komponensek szerinti parciális differenciálhányado-

sai a σ ij feszültségkomponensek.

Bizonyítás: A definíció szerint az elemi rugalmas potenciál:

d u db i j i ji j

= ∑ ε σ , i,j = ,y,z .

77

Ideálisan rugalmas test esetén a rugalmas potenciált az anyagtörvény felhasználásával

(2.72) szerint az εij deformációkomponensek egyértelműen meghatározzák, ami azt jelenti,

hogy a dub teljes differenciál:

d uu

dbb

iji j

i j

= ∑∂∂ ε

ε , i,j = x,y,z

A két utolsó összefüggés összehasonlításából adódik, hogy

ijij

b σε

u =∂∂

i,j = x,y,z. 2.73

2.3.6. A kiegészítő (konjugált) potenciális energia

A kiegészítő potenciális energiát hasonló módon definiáljuk, mint a kiegészítő munkát.

A kiegészítő potenciális energia számértéke a kiegészítő munka ellentettje. Közvetlen fizikai

tartalma nincsen.

A teljes kiegészítő potenciális energia a külső és a belső kiegészítő potenciális energia

összege:

U = Uk + Ub. 2.74

A külső erők kiegészítő potenciális energiáját idegen munkaként számítjuk:

=

++−=−= ∫ ∫∫ ∫∫∑

= V

f

0A

q

0

F

0

n

1iiikk dVfdudAqduFduW

~U~ i

kUdVfudAquFuVA

i

n

1ii =

++−= ∫∫∑

=

2.75

A belső erők kiegészítő potenciális energiáját saját munkaként számítjuk. Lineárisan rugalmas

testet feltételezve:

b

V ijijij

V

ε

0 ijijijbb UdVσε

2

1dVdσεW

~U~ ij

===−= ∫∑∫ ∫∑ 2.76

Az egységnyi térfogatra eső belső kiegészítő potenciális energia kiegészítő rugalmas

potenciál:

∑==ij

ijijb

b σε2

1

dV

U~

du~ i,j = x,y,z 2.77

Tétel: A kiegészítő rugalmas potenciál σij feszültségkomponensek szerinti parciális differenci-

álhányadosai az εij alakváltozáskomponensek.

Bizonyítás: Az elemi kiegészítő rugalmas potenciál:

d u db ij i ji j

~ = ∑ ε σ i,j= x,y,z

Ideálisan rugalmas anyagnál a σij feszültségkomponensek a kiegészítő rugalmas poten-

ciált egyértelműen meghatározzák, dub tehát teljes differenciál:

78

d uu

dbb

iji j

ij

~~

= ∑∂∂σ

σ i,j = x,y,z

A két kifejezést összehasonlítva:

∂∂ σ

ε~u b

iji j= i,j = x,y,z 2.78

2.3. Anyagtörvények

2.3.1. Az anizotróp anyag általános Hooke-törvénye

Az ideálisan rugalmas anyag feltételezés azt jelenti, hogy a test valamely pontjában

keletkező feszültségállapot komponensei az időtől függetlenül kizárólag a pillanatnyi és helyi

deformációtól függenek és fordítva. E szerint a feszültségkomponenseket a

σ σ εi j i j k l= ( ) , i,j,k,l = x,y,z 2.79

függvénykapcsolat egyértelműen meghatározza. A függvénykapcsolat konkrét alakját a kísérleti

tapasztalatok alapján lehet kiválasztani. Linearitást is feltételezve (2.79)-ból a függvénykapcsolat konkrét formája úgy alapozha-tó meg, hogy σ ij -t az ε kl =0 hely környezetében Taylor-sorba fejtjük és - kis alakváltozások

feltételezése miatt - a lineáris tagoknál magasabb rendűeket elhanyagoljuk:

σ σ ε σ∂σ∂ε

εij ij ij ijij

k lk lk l= = +

+∑( ) ( ) ...0

0

i,j,k,l = x,y,z . 2.80/a

Ha azt feltételezzük, hogy az alakváltozásmentes állapothoz nem tartozik feszültségál-lapot, akkor σij(0)=0 és (2.80/a) részletesebben kiírt alakja:

σ∂σ∂ε

ε∂σ∂ε

ε∂σ∂ε

ε∂σ∂ε

ε∂σ∂ε

ε

∂σ∂ε

ε∂σ∂ε

ε∂σ∂ε

ε∂σ∂ε

ε

ijij

xxxx

ij

xyxy

ij

xzxz

ij

yxyx

ij

yyyy

ij

yzyz

ij

zxzx

ij

zyzy

ij

zzzz i, j x y z

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

0 0 0 0 0

0 0 0 0

, , ,

2.80/b

Jelöljük a parciális deriváltak nulla helyen vett értékét cijkl -lel, akkor

∂ σ ε∂ ε

i j k l

k lijk lc

( )

=

0

i,j,k,l = x,y,z ,

s így a (2.79) konkrét alakja indexes jelölésmódban:

σ εi j i jk l k lk l

c= ∑ , i,j,k,l = ,y,z 2.81/a

Ha a feszültségi és az alakváltozási tenzor komponenseit egy sor- illetve oszlopmátrixba

rendezzük, akkor a fenti kifejezés mátrixalakja:

79

σσσσσσσσσ

xx

xy

xz

yx

yy

yz

zx

zy

zz

xxxx xxxy xxxz xxyx xxyy xxyz xxzx xxzy xxzz

xyxx xyxy xyxz xyyx xyyy xyyz xyzx xyzy xyzz

xzxx xzxy xzxz xzyx xzyy xzyz xzzx xzzy xzzz

yxxx yxxy yxxz yxyx yxyy yxyz yxzx yxzy yxzz

yyxx yyxy yyxz yyyx yyyy yyyz yyzx yyzy yyzz

yzxx yzxy yzxz yzyx yzyy yzyz yzzx yzzy yzzz

zxxx zxxy zxxz zxyx

c c c c c c c c c

c c c c c c c c c

c c c c c c c c c

c c c c c c c c c

c c c c c c c c c

c c c c c c c c c

c c c c c

=

zxyy zxyz zxzx zxzy zxzz

zyxx zyxy zyxz zyyx zyyx zyyz zyzx zyzy zyzz

zzxx zzxy zzxz zzyx zzyy zzyz zzzx zzzy zzzz

xx

xy

xz

yx

yy

yz

zx

zy

zz

c c c c

c c c c c c c c c

c c c c c c c c c

εεεεεεεεε

2.81/b

(2.81) kilenc skaláregyenletet jelent, amelyben összesen 81 együttható található. A

(2.81) összefüggést az anizotróp anyagok általános Hooke-törvényének nevezzük. A törvény

szerint a feszültségkomponensek a deformációkomponensek homogén lineáris függvényei. Így a

cijkl

együtthatók egy négydimenziós tenzort alkotnak, melyet merevségi tenzornak nevezünk. A

tenzor mátrixreprezentációja (2.81/b) 9x9-es mátrixa. A merevségi tenzor komponenseinek

száma 34 = 81. Ezeket a tenzorkomponenseket, amelyeket bizonyos körülmények fennállása

esetén anyagállandóknak tekinthetünk, minden anyagra kísérletekkel kell meghatározni.

A független tenzorkomponensek száma azonban mindig kevesebb, mint 81. A feszült-

ségi tenzor szimmetriája, azaz σ σij ji= miatt cijkl = cjikl , az alakváltozási tenzor szimmetriája,

azaz ε εkl lk= miatt cijkl = cijlk . Összességében cijkl = cjikl = cijlk = cjilk , ami azt jelenti,

hogy az i,j és k,l indexpárok önmaguk között felcserélhetők, tehát csak az 1,1; 1,2; 1,3; 2,2; 2,3;

3,3 indexpárok kettősei jelentenek különböző komponenseket. A független komponensek száma

így 62 = 36.

Még ez a szám is csökken, ha az anyag rendelkezik rugalmas potenciállal, ami lineári-

san rugalmas anyagnál mindig fennáll. Differenciáljuk (2.73)-at ε kl szerint és használjuk fel

(2.81/a)-t:

∂∂ ε ∂ ε

∂ σ∂ ε

∂ ε

∂ ε

2 uc

cb

ij k l

ij

k l

i jk l k lk l

k li jk l= = =

∑,

írjuk át (2.81/a)-t a σ εk l ijk l ijij

c= ∑ formába, majd differenciáljuk (2.73)-at fordított

sorrendben:

∂∂ε ∂ε

∂σ∂ε

∂ ε

∂ε

2 uc

cb

k l ij

k l

ij

k lij ijij

ijk lij= = =

∑,

Mivel a differenciálás sorrendje közömbös: cijkl = cklij ,

ami azt jelenti, hogy az indexpárok egymással is felcserélhetők. Az eddigi 36 komponensből

hatnál (az ijij indexűeknél) nincs jelentősége a cserének, a fennmaradó 30 pedig páronként

80

egyenlő. Az egymástól független komponensek száma ezek szerint a legáltalánosabb anizotró-

pia esetén 6 + 15 = 21.

Az (2.81) anyagtörvény felhasználásával a (2.72) rugalmas potenciál:

u cb ijk l ij k lijk l

= ∑1

2ε ε , i,j,k,l = x,y,z, 2.82

ami szerint a rugalmas potenciál a deformációkomponensek homogén négyzetes függvénye.

A (2.81/b) mátrixegyenletnek megfelelő 9 skaláregyenletből kifejezhetjük a

deformációkomponenseket a feszültségkomponensek függvényeiként. Az eredményt a követke-

ző indexjelölésű kifejezésbe foglalhatjuk:

ε σij ijkl klkl

s= ∑ , i,j,k,l = x,y,z , 2.83

ami (2.81)-hez hasonlóan 9 skaláregyenletet jelent 81 együtthatóval. Az sijkl komponensek

tenzormennyiséget alkotnak, melyet alakíthatósági tenzornak nevezünk. A (2.83) összefüggés

meghatározásából következik, hogy a merevségi és az alakíthatósági tenzorok egymásnak in-

verzei. Ebből is következik, de a merevségi tenzorkomponenseknél alkalmazott eljáráshoz ha-

sonlóan bizonyítható, hogy sijkl független komponenseinek száma 21.

(2.83) felhasználásával a kiegészítő rugalmas potenciál az

~ ,u sb ijk l ij k lijk l

= ∑1

2σ σ i,j,k,l = x,y,z, 2.84

alakba írható, tehát a kiegészítő rugalmas potenciál a feszültségkomponensek homogén négyze-

tes függvénye.

Az anizotróp anyagok általános Hooke-törvényét sokszor kényelmesebb mátrix alakban

felírni és használni. Ehhez vezessük be be a következők jelöléseket:

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ1 2 3 4 5 6= = = = = = = = =xx yy zz yz zy zx xz xy yx, , , , , .

ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε1 2 3 4 5 6= = = = + = + = +xx yy zz zy yz zx xz xy yx, , , , , . 2.85

Ezekkel a jelölésekkel a (2.81 ) kifejezést a

σ εi i j jj

c= ∑ , i,j = 1,2,...,6. 2.86/a

alakba írhatjuk, amelyben cij-t merevségi mátrixnak nevezzük. A fenti kifejezés mátrix formája:

81

σσσσσσ

εεεεεε

1

2

3

4

5

6

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6

3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6

4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6

5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6

6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6

1

2

3

4

5

6

=

c c c c c c

c c c c c c

c c c c c c

c c c c c c

c c c c c c

c c c c c c

2.86/b

A merevségi tenzor cijkl komponensei és a merevségi mátrix cmn elemei között a kap-

csolatot (2.81/b) alapján (2.85) és (2.86/b) felhasználásával könnyen megállapíthatjuk:

c = c , c = c , c = c , c = c ,

c = c , c = c ,

c = c = c , c = c = c , c = c = c ,

c = c = c , c = c = c ,

c = c = c , c = c = c , c = c = c ,

c = c = c ,

c = c = c , c = c = c , c = c = c ,

c = c = c , c = c = c , c = c

11 xxxx 22 yyyy 33 zzzz 44 yzyz

55 zxzx 66 xyxy

12 21 xxyy 13 31 xxzz 14 41 xxyz

15 51 xxxz 16 61 xxxy

23 32 yyzz 24 42 yyyz 25 52 yyzx

26 62 yyxy

34 43 zzyz 35 53 zzzx 36 63 zzxy

45 54 yzzx 46 64 yzxy 56 65 zxxy= c .

2.87

Hasonlóan jutunk el a Hooke-törvény másik alakjához:

ε σi i j jj

s= ∑ , i,j=1,2,...,6 . 2.88/a

ahol sij az alakíthatósági mátrix. Mátrix formában:

εεεεεε

σσσσσσ

1

2

3

4

5

6

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6

3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6

4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6

5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6

6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6

1

2

3

4

5

6

=

s s s s s s

s s s s s s

s s s s s s

s s s s s s

s s s s s s

s s s s s s

2.88/b

Az alakíthatósági tenzor sijkl komponensei és az alakíthatósági mátrix smn elemei között

a kapcsolat:

82

s = s , s = s , s = s , s = 4s ,

s = 4s , s = 4s ,

s = s = s , s = s = s , s = s = 2s ,

s = s = 2s , s = s = 2s ,

s = s = s , s = s = 2s , s = s = 2s ,

s = s = 2s ,

s = s = 2s , s = s = 2s , s = s = 2s ,

s = s = 4s , s = s = 4s , s = s

11 xxxx 22 yyyy 33 zzzz 44 yzyz

55 zxzx 66 xyxy

12 21 xxyy 13 31 xxzz 14 41 xxyz

15 51 xxzx 16 61 xxxy

23 32 yyzz 24 42 yyyz 25 52 yyzx

26 62 yyxy

34 43 zzyz 35 53 zzzx 36 63 zzxy

45 54 yzzx 46 64 yzxy 56 65 zxxy= 4s .

2.89

A (2.87) és a (2.89) összefüggések szerint a merevségi és az alakíthatósági mátrixok a

főátlóra szimmetrikusak, a független rugalmas állandók száma 21-21. A két mátrix egymásnak

inverze.

Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy a cij és sij elemek nem alkotnak tenzormennyiséget.

Ezért az eredetihez képest egy elforgatott koordinátarendszerben kívánjuk megadni a rugalmas

állandókat, akkor vissza kell térnünk a cijkl , sijkl tenzorokhoz, ezeket a komponenseket kell a

(2.7) szabálynak megfelelően transzformálni és a transzformált komponensekkel kell a (2.87) és

(2.89) kifejezések felhasználásával az elforgatott koordinátarendszernek megfelelő mátrixele-

meket meghatározni.

Ha az anyag egy pontján át felvett különböző irányokhoz tartozó rugalmas tulajdonsá-

gok között valamilyen kapcsolat van, a független tenzorkomponensek száma kisebb lesz 21-nél.

Az anyagok többsége a mechanikai tulajdonságok szempontjából szimmetriát mutat, ami azt

jelenti, hogy a mechanikai jellemzők bizonyos síkokra vagy tengelyekre szimmetrikus irányok-

ban megegyeznek. A szimmetria síkok és tengelyek számától és helyzetétől függően az anyag-

tulajdonságokat leíró tenzorok komponensei közül némelyik nullával lesz egyenlő, néhány pe-

dig a többi függvényeként fejezhető ki. A szimmetria mértékétől függően a tenzorkomponensek

száma lényegesen csökkenhet. Határesetben, izotrop anyagot feltételezve - ahol egy pontban

végtelen sok szimmetriasík vehető fel - a független rugalmas állandók száma 2.

2.4.2. A faanyag általános Hooke-törvénye

A természetes faanyag sajátságos biológiai felépítése következtében anizotróp és inho-

mogén. Első közelítésben az inhomogenitást elhanyagolhatjuk és csak az anizotrópia hatásával

foglalkozunk. A biológiai szerkezetben három irányt különböztetünk meg, amit a testből kivá-

gott elemi hasábon jól szemléltethetünk (2.28. ábra).

A rostok hossztengelyével párhuzamos irányt rostiránynak (longitudinális, jele L), a bélsuga-

rakkal párhuzamos irányt sugáriránynak (radiális, jele R), az évgyűrűk érintőjébe eső, az előző

két irányra merőleges irányt érintőiránynak (tangenciális, jele T) nevezzük. Ezeket az irányokat

83

anatómiai főirányoknak is hívjuk. Az

anatómiai főirányokat, mivel azok

merőlegesek egymásra, célszerűen

kiinduló koordinátarendszerként

használjuk. Az anatómiai főirányok

által alkotott síkoknak is van nevük:

L,R-sík - sugármetszet, L,T-sík -

húrmetszet, R,T-sík - bütümetszet.

Könnyen beláthatjuk, hogy

ezek az anatómiai síkok a rugalmas

tulajdonságok szempontjából

szimmetriasíkok. Ez a három sík me-

2.28. ábra rőleges egymásra, ezért a faanyagot

ortogonálisan anizotropnak, röviden ortotropnak nevezzük. Minden ortotrop anyagnak, így a

faanyagnak is a merevségi vagy az alakíthatósági tenzora - az anatómiai főirányok rendszerében

- kilenc független komponenst tartalmaz. A merevségi és az alakíthatósági mátrix:

[ ]c

c c c

c c c

c c c

c

c

c

ij =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

44

55

66

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

2.90/a

[ ]s

s s s

s s s

s s s

s

s

s

ij =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

44

55

66

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

2.90/b

A rugalmas állandók kísérleti meghatározásánál általában az egyszerű Hooke-

törvénynél megismert E, G és jellegű mennyiségeket mérik, melyeket technikai rugalmas állan-

dóknak nevezünk. Ezekkel a rugalmas tulajdonságok mátrixa:

Merevségi mátrix:

84

[ ]c

E E E

E E E

E E E

G

G

G

ij

LRT TR

R

LT TR

TLT LR RT

LRL RT LT

RLT TL

TRT RL LT

LTL TR RL

RTR TL LR

TLR RL

RT

TL

LR

LR

=

− + +

+ − +

+ + −

10 0 0

10 0 0

10 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

ν νν

ν ν νν

ν ν νν

ν ν νν

ν νν

ν ν νν

ν ν νν

ν ν νν

ν νν

2.91/a

ahol : ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν= 1 - 2 RT TL LR RT TR LT TL RL LR− − −

Az alakíthatósági mátrix:

[ ]s

E E E

E E E

E E E

G

G

G

ij

L

RL

R

TL

T

Lr

L R

TR

T

LT

L

RT

R T

RT

TL

LR

=

− −

− −

− −

10 0 0

10 0 0

10 0 0

0 0 01

0 0

0 0 0 01

0

0 0 0 0 01

ν ν

ν ν

ν ν

2.91/b

ahol

Ei - az i-edik anatómiai főiránnyal párhuzamos normálfeszültséghez tartozó húzó vagy nyomó

rugalmassági modulusz,

Gij - az i-edik anatómiai főiránnyal megegyező normálisú felületen ható, j irányú nyírófeszült-

séghez tartozó nyíró-rugalmassági modulusz,

ν ij - az i-edik anatómiai főiránnyal párhuzamos normálfeszültség következtében a j-edik irány-

ban fellépő harántirányú fajlagos hosszváltozás Poisson-tényezője.

2.4.3. Az izotrop anyag általános Hooke-törvénye

Az izotrop anyag anyagtörvényét levezethetjük az ortotróp anyag merevségi és alakítha-

tósági mátrixainak technikai rugalmas állandókkal kifejezett alakjából. Mivel izotróp anyagnál

minden irányban ugyanazok a rugalmas tulajdonságok érvényesek, a (2.91/a) és (2.91/b)

mátrixokban a nem nulla elemeknél az EL = ER= ET= E, GRT= GTL = GLR= G és

85

ν ν ν ν ν ν νRT TR TL LT LR RL= = = = = = helyettesítést kell elvégezni.

Az izotrop anyagok általános Hooke-törvényét azonban az indexes jelöléssel egysze-

rűbb formában is megadhatjuk. Térjünk vissza az alakváltozási és feszültségi

tenzorkomponensek két indexes jelölésmódjához és írjuk fel az alakváltozásokat a feszültségek

függvényében, (2.91/b) és a fenti helyettesítés felhasználásával:

ε σ ν σ ν σ ε σ

ε ν σ σ ν σ ε σ

ε ν σ ν σ σ ε σ

xx xx yy zz yz yz

yy xx yy zz zx zx

zz xx yy zz xy xy

E E E G

E E E G

E E E G

= − − =

= − − =

= − − =

1 1

21 1

21 1

2

, ,

, ,

, ,

2.92/a

ami végeredményben az izotrop anyag általános Hooke-törvénye hat skaláregyenlet formájában.

Alakítsuk át az első egyenletet a következőképpen:

( )[ ]ε σ ν σ ν σ ν σ ν σ ν σ ν σ ν σ νxx xx xx yy zz xx yy zz xxE E E E E E E ES= + + + − − − = + −1 1

1 1 ,

ahol S1 - az első feszültségi invariáns. Ennek az összefüggésnek az általánosításával (2.92/a) két

indexjelölésű egyenletbe foglalható:

( )[ ]ε ν σ ν ε σii ii ij ijES

G= + − =1

11

21 , , i,j = x,y,z 2.92/b

Az eddigiek alapján úgy tűnik, hogy az izotróp anyagot három technikai állandó - E, G

és ν - jellemzi. Könnyen bizonyíthatjuk azonban, hogy a háromból csak kettő független, azaz a

három mennyiség között valamilyen függvénykapcsolatnak kell lennie. Ennek meghatározásá-

hoz vizsgáljunk egy olyan elemi hasábot, amelyen csak σ σ τxy yx= =

nyírófeszültségkomponensek hatnak (2.29. ábra).

Ábrázoljuk a Mohr-féle körök segítségével a feszültségi és az alakváltozási állapotot.

(2.92/a) első egyenlete és a feszültségi diagram alapján:

( )[ ] ( )[ ]ε ν σ ν σ σ σ ν τ ν τ τ ν τ1 1 1 2 3

11

11

1= + − + + = + − − = +E E E

( ) ( ) ,

(2.92/a) második egyenlete és az alakváltozási diagram alapján:

ε ε σ τ1

1

2

1

2= = =x y x yG G

.

A két kifejezés egyenlőségéből: 21

GE=− ν

. 2.93

86

2.29. ábra

Ez a kapcsolat és a Kronecker-delta lehetővé teszi, hogy (2.92/b) két összefüggését is

egybefoglaljuk:

ε σν

νσij ij ijG

S= −

+

1

2 11 , i,j = x,y,z . 2.92/c

Az általános Hooke-törvény másik alakjának megadásához meg kell határozni (2.92/c)

inverz függvényét. Ehhez adjuk össze (2.92/c) i=j feltételnek eleget tevő egyenleteit:

ε σν

ννν

ννii

iii

i

DG

S S

G

S

G∑ ∑= = −+

= −

+

= −

+11 1 11

2

3

1 21

3

1 2

1 2

1 ,

ahonnan

SG

D1 1

2 1

1 2= +

−( )ν

ν , 2.94

amit (2.92/c)-be helyettesítve kifejezhetjük σ ij -t:

σ εν

νδ ε

νν

δ µε λ δij ij ij ij ij ij ijGD

GG D

D= +−

= +

−= +2

1 22

2

1 221 1

1 i,j=x,y,z 2.95

ahol a technikai rugalmas állandókkal kifejezett µ és λ mennyiségeket Lamé-féle rugalmas

állandóknak nevezzük:

µ λ νν

νν ν

= =−

=− −

GG E

,( )( )

2

1 2 1 1 2 . 2.96

2.4.4. Klimatikus hatások következtében fellépő alakváltozási és feszültségi állapot

A testek kölcsönhatásban állnak környezetük fizikai állapotjellemzőivel. Mechanikai

szempontból a legfontosabb állapotjellemző a környezet (általában a testet körülvevő levegő)

hőmérséklete és páratartalma. A környezet e klímatikus jellemzőinek megváltozása

következtében a test hőmérséklete és - az ún. higroszkópikus anyagoknál - nedvességtartalma

87

megváltozik, ami a testben tetszőlegesen felvett elemi hasábok térfogatváltozásával, illetve

tetszőleges irányítású elemi szakasz hosszváltozásával jár.

A fajlagos hosszváltozás egy adott irányban, ha a hőmérséklet egy To kezdeti értékről

T-re emelkedik, illetve egy wo kezdeti nedvességtartalomről w-re nő:

ε α ε βT

T

T

w

w

w

dT dw= =∫ ∫0 0

, . 2.97/a

ahol α α= ( )T az anyag hőtágulási együtthatója, β β= ( )w pedig nedvességtágulási

együtthatója. α mértékegysége 1/C°, β -é 1/ %, α illetve β a hőmérsékletnek, illetve a

nedvességtartalomnak a függvénye, de ha nem túl nagy a relatív változás, jó közelítéssel

állandónak tekinthetők, így a fajlagos hosszváltozás:

ε α εT wT T w w= − −( ), ( )0 0 2.97/b

Ha a klímaváltozásnak kitett test anyaga

- homogén,

- a hőmérséklet és nedvességtartalom változása minden pontjába ugyanakkora, tehát a

hőmérséklet-változásmező és a nedvességtartalom-változásmező homogén,

- és a külső kényszerek az elmozdulásokat nem gátolják,

a test feszültségmentes marad. Ha a három feltétel közül valamelyik nem teljesül, akkor

klímaváltozás következtében fellépő alakváltozási tenzormező nem lesz kompatibilis. A test

folytonossága csak úgy maradhat meg, ha a belső erők olyan kiegészítő alakváltozási állapotot

hoznak létre, amely a klímaváltozásból származó alakváltozási állapothoz hozzáadódva

kompatibilis alakváltozásmezőt eredményez. Ha nincsen külső, mechanikai terhelés, a

kiegészítő alakváltozási állapot létrehozásához szükséges feszültségi állapot komponenseit saját

feszültségeknek nevezzük.

Külső terhelésnek és klímaváltozásnak is kitett test anyagtörvénye az anizotrópia

legáltalánosabb esetében, mikor minden irányhoz más-más α és β tartozik:

ε σ α βij ijkl klkl

ij ijs T T w w= + − + −∑ ( ) ( ),0 0 , 2.98

ahol αij- a hőtágulási együtthatótenzor, βij - a nedvességtágulási együtthatótenzor. Mindkettő

két dimenziós.

Ha nincsen külső mechanikai terhelés, (2.98)-ban a σ kl feszültségkomponensek

éppen a sajátfeszültségeket adják. Egyébként σ kl a külső terhelésből származó feszültségeknek

és a sajátfeszültségeknek az összege.

Izotróp anyagnál (2.98) az alábbi alakra hozható:

88

[ ]ε σν

νδ α β δij ij ij ijG

ST T w w= −

+

+ − + −1

2 11

0 0( ) ( ) , 2.99/a

mert izotróp anyagnál a hőtágulási és a nedvességtágulási együttható minden irányban ugyanaz, így α αδij ij= és β βδij ij= . Az előző összefüggésekből kifejezhetjük a feszültségeket is:

σ εν

νδ α δ β δij ij ij ij ijG

DT T w w= +

+− − − −

2

1 21

0 0( ) ( ) . 2.99/b

Nem higroszkópos anyagoknál β ij= 0 helyettesítéssel megkapjuk a csak

hőmérsékletváltozás figyelembevételére alkalmas anyagtörvényt.

2.5. A rugalmasságtani feladatok megoldási módszerei

A rugalmasságtan tárgya és fő feladata a rugalmas anyagú testekben keletkező

feszültségek és alakváltozások, pontosabban a Tσ ρ( ) feszültségi és Tε ρ( ) alakváltozási

tenzormezők és az u( )ρ eltolódási vektormező meghatározására.

2.5.1. Alapegyenletek és kerületi feltételek

A feszültségi tenzormező, az alakváltozási tenzormező 6-6 komponensének és az

eltolódási vektormező 3 komponensének skalár függvényeit - összesen 15 ismeretlen függvény -

a rugalmasságtan alapegyenleteinek segítségével határozhatjuk meg. Ezeket az egyenleteket az

előző fejezetekben levezettük, itt csak felsoroljuk őket:

Sztatikai egyensúlyi egyenletek:

∂ σα

i j

ij

i rf+ =∑ 0 , i,j=x,y,z . 2.52

Geometriai egyenletek:

ε∂∂

∂∂ij

i

j

j

i

u

r

u

r= +

1

2 , i,j=x,y,z . 2.38/b

Anyagegyenletek (homogén, izotróp, lineárisan rugalmas anyagot feltételezve):

ε σ νν

σij ij ijG

S= −+

1

2 11 i,j = x,y,z 2.92/c

vagy

89

σ εν

νδij ij ijG

D== +

−

2

1 21 , i,j=x,y,z 2.95

Az egyenletek száma 3 + 6 + 6 = 15.

A feladat egyrészt sztatikailag háromszorosan határozatlan, mert a három sztatikai

egyensúlyi egyenletben - adott terhek esetén - hat ismeretlen feszültségkomponens van,

másrészt kinetikailag háromszorosan túlhatározott, mert a hat geometriai egyenletben - adott

alakváltozások esetén - csak három eltolódáskomponens található. Az anyagegyenletek

megadják a feszültségek és az alakváltozások kapcsolatát, ezért lehet a geometriai

egyenletekben az alakváltozásokat - elvileg - ismertnek tekinteni. A rugalmasságtan alapfeladata

tehát sztatikailag annyiszor határozatlan, ahányszor kinetikailag túlhatározott, így

végeredményben elvileg megoldható. Az általános megoldás alakváltozási tenzormezőjének

természetesen ki kell elégítenie a (2.39) összeférhetőségi egyenleteket.

Az alapegyenletek parciális differenciálegyenletek, így matematikailag végtelen sok

megoldásuk létezik. Ezek közül a lehetséges megoldások közül ki kell választani azt, amelyik

igazodik a konkrét feladathoz, azaz kielégíti a test kerületi feltételeit is.

A kerületi feltételek három csoportba sorolhatók:

a) Geometriai kerületi feltételek, melyek abból adódnak, hogy a test határolófelületének

egy részén az alkalmazott kényszerek hatására az eltolódáskomponensek csak meghatározott

értékűek lehetnek. Így, ha a test felületének bizonyos részein az u0( )*

ρ eltolódásnak kell

teljesülnie, akkor a test u( )ρ eltolódásmezejének a ρ*tartományon ki kell elégítenie az

u u( ) ( )* *

ρ ρ= 0 feltételt.

b) Sztatikai kerületi feltételek, melyek azt fejezik ki, hogy a test felületén az elemi

felületre ható feszültségek eredője egyenlő a felületelemre ható külső teherrel. A test felületi

pontjaiban a feszültségi állapot csak olyan lehet, amely kielégíti a T n qσ ρ ρ ρ( ) ( ) ( )* * *

=

egyenlőséget, ahol n( )*

ρ - a felületi pont érintősíkjának normálvektora, q( )*

ρ - a külső

terhelés egységnyi felületre eső erővektora. Tehermentes felületen q( )*

ρ = 0.

c) Vegyes kerületi feltételekről akkor beszélünk, ha a test felületének egy részén az

eltolódások, másik részén a külső teher van előírva. A gyakorlati esetek többségénél ez a

kerületi feltételfajta fordul elő.

Az alapegyenletek linearitása lehetőséget ad a szuperpozíció elvének alkalmazására,

ami azt jelenti, hogy az egyes részterheléseknek megfelelő megoldások összege megadja a

részterhelések eredőjéhez - azaz az összterheléshez - tartozó megoldást.

Az, hogy mindig létezik az alapegyenleteknek a kerületi feltételeket is kiegyenlítő

megoldása, a probléma fizikai természetéből adódik. Az is bizonyítható, hogy a megoldás

egyértelmű, azaz az - akármilyen módon - megtalált megoldáson kívül más, a feltételeknek

szintén eleget tévő megoldás nincsen.

90

Az alapfeladat megoldásának nehézségét általában az jelenti, hogy az

alapegyenleteknek általános megoldását a kerületi feltétekhez kell igazítani. Ezért bonyolult

alakú testeknél vagy összetett terhelésnél a megoldást matematikailag zárt formában az esetek

többségében nem lehet megadni. Bonyolult sztatikai kerületi feltételek esetén, pl. a St. Venant-

féle elv ad lehetőséget az egyszerűsítésre. Az elv azt mondja ki, hogy a támadási felülettől

elegendő távolságra az erőrendszer hatása független eloszlásának jellegétől, csak eredő

dinámjától függ. Másképpen fogalmazva, a sztatikailag egyenértékű erőrendszerek hatása a

támadási felülettől elegendő távolságra azonos. A pontosabb vizsgálatok és kísérletek azt

mutatták, hogy az eltérés olyan területre (vagy térfogatra) korlátozódik, amelynek méretei

megegyeznek azzal a távolsággal (vagy területtel), amelyen a teherátadás történik.

Az alapegyenletek megoldásánál a legkézenfekvőbb eljárás az egyenletek számának

csökkentése, az ismeretlenek egy részének kiejtésével. Az egyenletek linearitása miatt ez nem

túl nehéz feladat.

2.5.2. A Navier-féle egyenletek

Az alakváltozási jellemzők és a feszültségkomponensek kiejtésével olyan egyenleteket

nyerünk, amelyek csak az eltolódáskomponenseket tartalmazzák ismeretlenként.

A levezetés során a térfogati erőket az általánosság korlátozása nélkül elhanyagolhatjuk.

Mindig található ugyanis a térfogati erőkhöz olyan partikuláris megoldás, amely a homogén

lineáris differenciálegyenletek megoldásához szuperponálható.

Helyettesítsük be az anyagegyenletek (2.95)-ös alakját a (2.52) egyensúlyi egyenletekbe és vegyük figyelembe, hogy σ σij ji= , valamint fj = 0:

2 01Gr

D

rij

jj jj

∂ε∂

λ∂∂∑ ∑+ = ,

majd használjuk fel a (2.38/b) geometriai egyenleteket, figyelembe véve, hogy

Du

r

u

r

u

r

u

rxx yy zzx

x

y

y

z

z

k

kk1 = + + = + + = ∑ε ε ε

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

,

21

22

1

20

0

0

0

2

2

2 2

2

2

2 2

2

2

2

21

Gu

rG

u

r r

u

r r

Gu

rG

u

r r

u

r r

Gu

rG

r

u

r r

u

r

Gu

rG

D

r

i

j

j

j ij

k

j kkjij

i

j

j

i jj

k

i kk

i

j i

j

ij i

k

kk

i

j i

∂∂

∂∂ ∂

λ∂∂ ∂

δ

∂∂

∂∂ ∂

λ∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂

λ ∂∂

∂∂

∂∂

λ∂∂

∑ ∑ ∑∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

+ + =

+ + =

+ + =

+ + =

,

,

,

( ) ,

i,j,k = x,y,z 2.100/a

Laplace-féle differenciáloperátor bevezetésével:

91

∆ = + + = ∑∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

2

2

2

2

2

2

2

2x y z r jj

A (2.100) jelű egyenleteket, amelyek tulajdonképpen az eltolódáskomponensek

függvényében felírt egyensúlyi egyenletek, Navier-féle egyenletekenek nevezzük. Ezekből az

elmozdulásokra vonatkozó kerületi feltételek ismeretében az u eltolódásvektor komponens-

függvényei elvileg meghatározhatók. A kompatibilitási feltételek automatikusan teljesülnek.

A rugalmasságtani feladatoknak azt a megoldási módszerét, melynél az elmozdulások

szerepelnek ismeretlenként, elmozdulás-módszernek nevezzük.

Differenciáljuk (2.100/b)-t ri, azaz a helykoordináták szerint és adjuk össze őket:

Gu

rG

D

r

Gu

rG

D

r

G D G D

G D

D

i

ii ii

i

ii ii

xx yy zz

∆

∆

∆ ∆∆

∆ ∆

∂∂

λ ∂∂

∂∂

λ ∂∂

λλ

ε ε ε

+ + =

+ + =

+ + =+ =

= + + =

∑ ∑

∑ ∑

( ) ,

( ) ,

( ) ,

( ) ,

( ) ,

21

2

21

2

1 1

1

1

0

0

0

2 0

0

2.101

ami a Laplace-féle potenciálegyenlet. A potenciálegyenleteket kielégítő függvényeket

potenciálfüggvényeknek vagy harmonikus függvényeknek nevezzük. D1 helyébe (2.94)-et

helyettesítve kapjuk:

∆ S1 = ∆ ( σ σ σxx yy zz+ + ) = 0 , 2.102

A két utolsó összefüggés szerint a fajlagos hosszváltozások összege (a fajlagos térfogatváltozás)

és a normálfeszültségek összege harmonikus függvény.

Alkalmazzuk (2.100/b)-re a Laplace-féle operátort:

( )

( )

∆ ∆ ∆

∆∆

( ) ,

,

G u GD

r

G u GD

r

ii

ii

+ +

=

+ + =

λ ∂∂

λ ∂∆∂

1

1

0

0

(2.101) figyelembevételével:

∆ ∆ ui = 0 , i = x,y,z ,

tehát az eltolódáskomponensek kielégítik az ún. bipotenciálegyenletet és ezért bipotenciál- vagy

más néven biharmonikus függvények.

92

2.5.3. A Beltrami-féle egyenletek

Azokat az egyenleteket, amelyekben a feszültségkomponensek szerepelnek

ismeretlenként, úgy kapjuk meg, hogy az összeférhetőségi egyenletekben az alakváltozási

komponenseket kifejezzük az anyagtörvény felhasználásával a feszültségekkel és alkalmazzuk

az egyensúlyi feltételt. Az így nyerhető hat differenciálegyenletet Beltrami-féle egyenleteknek

nevezzük. Ezekből a sztatikai kerületi feltételek felhasználásával a feszültségfüggvények elvileg

meghatározhatók. A Beltrami-féle egyenleteket azonban a Navier-egyenletekből is

levezethetjük. Differenciáljuk (2.100/b)-t rj szerint:

Gu

rG

D

r ri

j i j

∆∂∂

λ∂∂ ∂

+ + =( )2

1 0 .

Cseréljük fel ebben az i,j indexeket és az új összefüggést adjuk össze az előzővel:

Gu

r

u

rG

D

r ri

j

j

i i j

∆∂∂

∂∂

λ∂∂ ∂

+

+ + =2 02

1( ) .

(2.38/b) és (2.94) figyelembevételével:

21 2

10

21G

G

G

S

r riji j

∆ε + + −+

=λ νν

∂∂ ∂

.

(2.92/c)-vel és (2.102)-vel:

∆σ iji j

S

r r+

+=1

10

21

ν∂∂ ∂

. i,j = x,y,z 2.103/a

vagy

( )1 02

1+ + =ν ∂∂ ∂

∆ σ i ji j

S

r r , i,j = x,y,z 2.103/b

Az alapegyenletek megoldásának azt a módját, mivel az ismeretlenek feszültség, azaz

erő jellegű mennyiségek, erő-módszernek nevezzük.

(2.103)-ra még egyszer alkalmazva a Laplace-operátort, azt kapjuk hogy

( )1 02

1+ + =ν∂ ∂

∆ ∆ σ∆ ∂

iji j

S

r r ,

ahonnan (2.102) felhasználásával: ∆∆σ ij =0 , i,j = x,y,z .

Tehát a feszültségkomponensek is biharmonikus függvények.

2.5.4. Eltolódás- és feszültségfüggvények

A Navier- és a Bertrami-féle egyenleteknek nincsen általános megoldása. A legtöbbször

célravezető eljárás olyan segédfüggvényeknek a bevezetése, amelyek az eltolódásokkal vagy a

feszültségekkel valamilyen függvénykapcsolatban vannak. Ezekkel a függvényekkel az

93

eltolódás- vagy a feszültségmezőre olyan feltételeket fogalmaznak meg - látszólag önkényesen -

, amelyekkel bizonyos típusú feladatoknál gyorsan és viszonylag egyszerűen eredményt lehet

elérni.

A Navier-egyenletek megoldásánál az eltolódásokra harmonikus és biharmonikus

függvényeket alkalmaznak. A legfőbb nehézséget a rendelkezésre álló függvények alkalmas

kiválasztása, illetve a megoldásnak a kerületi feltételekhez való igazítása okozza. Sokszor

megkönnyíti, illetve egyáltalán lehetővé teszi a megoldást a feladat jellegéhez igazodó,

görbevonalú koordinátarendszer felvétele.

A Beltrami-egyenletek alkalmazásánál olyan, a feszültségekkel kapcsolatos

függvényeket lehet bevezetni, amelyek az egyensúlyi egyenleteket eleve kielégítik Először Airy

javasolt a síkbeli rugalmasságtani feladatokhoz két dimenziós biharmonikus függvényeket.

Három dimenziós esetben Finzi vezetett be olyan feszültségfüggvényrendszert, amelynek

Fij ( σ ) (i,j = x,y,z) függvényei az ún. feszültségfüggvény-tenzor komponenseit alkotják.

2.5.5. Közelítő eljárások, kísérleti módszerek

Az előző módszerek alkalmazásánál számtalan gyakorlati esetben nem lehet a feladat

megoldását zárt formában meghatározni. Ezért sokszor kénytelenek vagyunk közelítő

megoldásokkal megelégedni. Ilyen közelítő módszert dolgozott ki - igen általános érvényű

szempontok alapján - W. Ritz, melyet B.G. Galjorkin pontosság tekintetében lényegesen

megjavított.

A rugalmasságtani feladatok elméleti megoldásának nehézségei, valamint a műszaki

gyakorlat igényei szükségessé teszik a kísérleti módszerek alkalmazását. A fejlett kísérleti

méréstechnika minden olyan területen hasznosan és eredményesen használható, ahol elméleti

számítással - a sok egyszerűsítő feltevés miatt - csak igen pontatlan megállapításokat lehet tenni.

Sokszor előfordul, hogy az elmélet és a kísérlet hibrid alkalmazása vezet a

leggyorsabban a gyakorlat igényeit is kielégítő pontosságú eredményhez. 2.5.6. Síkbeli rugalmasságtani feladatok

A rugalmasságtani feladatok mindig három dimenziósak, mert térbeli kiterjedésű testre

vonatkoznak. Ennek ellenére beszélünk nemcsak három, de két, sőt egy dimenziós feladatokról

is attól függően, hogy a feladat matematikai megfogalmazása, azaz az alapegyenletek, illetve a

bennük szereplő függvények három, kettő vagy egy helykoordinátától függenek-e.

A három dimenziós feladat alacsonyabb dimenziójúvá alakítása akkor lehetséges, ha

- a test alakja, a ható erőrendszer és a kerületi feltételek olyanok, hogy az eltolódási, az

alakváltozási és a feszültségi vektor- és tenzormezők csak két, illetve egy helykoordinátától

függenek,

94

- olyan változókat vezetünk be (általában az alkalmasan megválasztott koordinátarendszer

segítségével), amelyek lehetővé teszik az alapegyenletek és -függvények két- vagy egyváltozós

felírását.

Nagyon sok, a műszaki gyakorlatban felmerülő probléma síkban modellezhető. A két

dimenziós feladat alapegyenleteit a három dimenziós egyenletekből vezethetjük le úgy, hogy

bennük csak a síkbeli állapotnak megfelelő komponenseket tartjuk meg.

A két dimenziós feladat két alapesetre bontható, a síkbeli alakváltozási állapotra és a

síkbeli feszültségi állapotra.

a) Síkbeli alakváltozási állapot

Jellemzője, hogy a test minden pontjában ε ε ε ε εzz zy yz zx xz= = = = =0 0, .

Az anyagtörvény:

( )[ ]( )[ ]

( )

ε ν ν σ νσ

ε ν ν σ νσ

ε σ

ε ν σ σ

xx xx yy

yy yy xx

xy xy

zz xx yy

E

E

G

= + − −

= + − −

=

= + =

11

11

1

2

0

,

,

,

,

2.104/a

vagy megfordítva:

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )

σν ν

ν ε νε

σν ν

ν ε νε

σ ε

σ νν ν

ε ε

xx xx yy

yy yy xx

xy xy

xx xx yy

E

E

G

E

=+ −

− +

=+ −

− +

=

=+ −

+

1 1 21

1 1 21

2

1 1 2

,

,

,

,

2.104/b

Síkbeli alakváltozási állapot olyan (elvileg) végtelen hosszú, állandó keresztmetszetű

rúdban keletkezik, melynek végeit mereven befogjuk és rá a hossztengelyre merőleges

hatásvonalú, állandó teherintenzitású megoszló terhelés hat teljes hossza mentén.

b) Síkbeli feszültségi állapot

Jellemzője, hogy a test minden pontjában:

95

σ σ σ σ σzz zy yz zx xz= = = = =0 0, .

Az anyagtörvény:

( )( )

( )

ε σ ν σ

ε σ ν σ

ε σ

ε ν σ σ

x x x x y y

y y y y zz

x y x y

zz x x y y

E

E

G

E

= −

= −

=

= − +

1

1

1

2

,

,

,

,

2.105/a

vagy megfordítva:

( )

( )

( )

σν

ε νε

σν

ε νε

σ ε

σ νν

ε ε

xx xx yy

yy yy xx

xy xy

zz yy xx

E

E

G

=−

+

=−

+

=

= −−

+

1

12

1

2

2

,

,

,

,

2.105/b

Közelítőleg síkbeli feszültségi állapot jön létre vékony síklemezekben a lemez síkjába

eső hatásvonalú terhelés hatására.

Síkbeli feszültségi állapot a gyakorlatban lényegesen sűrűbben fordul elő, mint síkbeli

alakváltozási állapot.

Az utolsó négy összefüggéscsoport alapján megállapíthatjuk, hogy síkbeli alakváltozási

állapothoz térbeli feszültségi állapot, síkbeli feszültségi állapothoz pedig térbeli alakváltozási

állapot tartozik, ami a harántnyúlási jelenség következménye.

Síkbeli feszültségi állapotban vezessük be az ún. Airy-féle feszültségfüggvényt, melyet

F(x,y)-nal jelöltünk. Ennek az alábbi parciális deriváltjai a síkbeli feszültségi állapot

feszültségkomponenseit adják:

σ ∂∂

σ ∂∂

σ ∂∂ ∂xx yy xy

F

y

F

x

F

x y= = =

2

2

2

2

2

, , . 2.106

Az így definiált feszültségkomponensek az egyensúlyi egyenleteket eleve kielégítik,

amiről a (2.52)-be való behelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk. Alkalmazzuk ezekre a

feszültségkomponensekre a (2.102) kifejezést:

( )∆ ∆ ∆SF

y

F

x

F

x y

F

x

F

y

F

y x

F

x

F

x y

F

y

xx yy1

2

2

2

2

4

2 2

4

4

4

4

4

2 2

4

4

4

2 2

4

42 0

= + = +

=

= + + + = + + =

σ σ ∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

,

2.107/a

96

röviden:

∆∆ F(x,y) = 0.

Ennek a biharmonikus differenciálegyenletnek a megoldása adja azt a függvényt,

amellyel a síkbeli feszültségi állapot komponenseit meghatározhatjuk. Ezek ismeretében az

alakváltozási tenzormező és az eltolódási vektormező az anyagtörvény és a geometriai

egyenletek felhasználásával számítható. A síkbeli feladat tehát egyetlen egy függyvény, az

Airy-féle feszültségfüggvény meghatározására redukálódik.

A feszültségfüggvénynek (2.107/b) szerint biharmonikus függvényt kell választani.

Ilyenek pl.

F(x) = xn , cos(cx), ch(cx),... n = 1,2,... c = áll.

F(y) = yn , cos(cx), ch(cy),... n = 1,2,... c = áll.

F(x,y) = xy , x2y , xy2 , x3y , xy3 ,...

és ezek lineáris kombinációi. A feszültségfüggvény kiválasztásának egyik alapvető szempontja,

hogy a vele számítható megoldásnak ki kell elégítenie a kerületi feltételeket.

2.6. Munka- és energiatételek

A szilárd testek sztatikájának tárgyalását két különböző módon lehet felépíteni. Az

egyik módszernél a sztatikai és geometriai tételekből kiindulva az anyagegyenletek felhasználá-

sával vezethetjük le a szilárdságtani alapösszefüggéseket, így a munka- és energiatételeket is. A

másik esetben a munka- és energiatételeket axiómaként fogadhatjuk el és az anyagegyenletek

felhasználásával vezetjük le a szilárdságtani alapösszefüggéseket, köztük az egyensúlyi és a

geometriai feltételeket.

A munka- energiatételeknek a mechanikában igen fontos szerepük van. Segítségükkel

sok feladat gyorsan és egyszerűen oldható meg. A közelítő megoldások elméleti alapjainak le-

vezetésénél ezek a fő tételek.

A tételek tárgyalása során szükség lesz két definícióra. Geometriailag lehetséges eltoló-

dás-alakváltozás-rendszernek (röviden alakváltozás-rendszernek) nevezzük az u( )ρ eltolódási

vektormezők és a Tε ρ( ) alakváltozási tenzormezők minden olyan együttesét, amely kielégíti a

geometriai egyenleteket és a geometriai kerületi feltételeket. Sztatikailag lehetséges erő-

feszültségrendszernek (röviden erő-rendszernek) nevezzük a q( )ρ felületi erők, az f ( )ρ térfo-

gati erők és a Tσ ρ( ) feszültségi tenzormezők minden olyan együttesét, amely kielégíti a sztati-

kai egyensúlyi egyenleteket és a sztatikai kerületi feltételeket.

2.6.1. Virtuális elmozdulás, virtuális munka, virtuális kiegészítő munka

97

Hasson a szilárd testre egy egyensúlyi erőrendszer, melyek hatására az megváltoztatja

helyzetét és alakját. Ezután adjunk a testnek egy δ ρu( )-val jelzett elmozdulási vektormezőt,

melyre kössük ki a következő feltételeket:

1) geometriailag lehetséges,

2) elemien (differenciálisan) kicsi,

3) végtelen kicsi idő alatt megy végbe, s ennek következtében az elmozdulás alatt

a külső és belső erőket állandónak tekintjük.

A fenti feltételeknek eleget tévő elmozdulást virtuálisnak nevezzük. A δ jel a matema-

tikában a variációnak nevezett művelet jele és azt fejezi ki, hogy egy függvényt (jelen esetben

az eltolódásfüggvényt) úgy változtatjuk meg, hogy hozzáadunk egy differenciálisan kicsi függ-

vényt (virtuális elmozdulást).

A virtuális elmozdulás vektormezője (röviden a virtuális elmozdulásrendszer) a ható

erőktől teljesen független, a két rendszer nem összetartozó, ugyanakkor a virtuális

elmozdulásrendszer definíciójának a tényleges elmozdulásrendszer is eleget tesz, ha elég kicsi.

A virtuális munka az erőknek a virtuális elmozdulás során végzett munkája.

Az összes külső erő virtuális munkáját és a belső erők virtuális munkáját a (2.55) és a

(2.57) üsszefüggések adják annyi változtatással, hogy bennük a d jel helyébe δ -t kell írni. Ez a

jelölésbeli különbség nagyon fontos tartalmi változtatást von maga után, mert ott a d jel az

elmozdulásfüggvénynek, mint független változónak a növekményét (differenciálját) jelenti, a δ

jel alatt pedig az elmozdulásfüggvény variációja, egy hozzáadott elmozdulásfüggvény szerepel.

Képzeljük el újra az egyensúlyi erőrendszerrel terhelt szilárd testet, amelyen a külső és

belső erőrendszer - értelemszerűen - sztatikailag lehetséges. Változtassuk most meg ezt az álla-

potot úgy, hogy nem az elmozdulásokat, hanem az erőket variáljuk, ügyelve arra, hogy a variált

erőrendszer is sztatikailag lehetséges legyen. A virtuális kiegészítő munkán virtuális erőrend-

szernek a tényleges elmozdulás során végzett munkáját értjük. A külső és belső erők virtuális

kiegészítő munkáját a (2.63) és (2.64) összefüggésekkel számíthatjuk a d→ δ helyettesítés

után. A két kifejezés között a különbség az, hogy ott a ténylegesen ható erőknek, mint független

változóknak a növekménye (differenciálja), itt pedig az erőrendszer variációja, azaz egy hozzá-

adott erőrendszer szerepel.

2.6.2. A virtuális munka elve

A virtuális munka elve a mechanika alapvető fontosságú axiómája, amely eddig minden

esetben igaznak bizonyult és belőle a mechanika minden fontos tétele levezethető.

98

Az elv azonban nemcsak a mechanikai tételek levezetésére használható, hanem rugal-

mas anyagú szerkezetek, különösen sztatikailag határozatlan szerkezetek alakváltozása közvet-

len meghatározására is. Ezen túlmenően a virtuális munka elve variációs elvként való megfo-

galmazásban a rugalmasságtan közelítő módszereinek alapjául szolgál.

2.6.2.1. A virtuális elmozdulások tétele

Tétel: A szilárd testre ható, sztatikailag lehetséges erőrendszernek bármely virtuális

elmozdulásrendszeren végzett virtuális munkája nulla:

,0δWδW bk =+ 2.108/a

részletesen kiírva:

0dVδεσdVuδfdAuδquδFV ij

ijij

VAiii =−++ ∫∑∫∫∑ 2.108/b

A tételt axiómaként fogadjuk el.

Mivel a sztatikailag lehetséges erő-rendszer kielégíti az egyensúlyi egyenleteket és a

sztatikai kerületi feltételeket, a virtuális elmozdulások tétele az egyensúly feltételét fejezi ki.

A virtuális elmozdulás-rendszer és a ható erő-rendszer - a definíció értelmében - nem

összefüggő, anyagtörvény nem kapcsolja össze őket, ezért a virtuális elmozdulások tétele az

anyag szilárdsági tulajdonságaitól függetlenül, minden nyugalomban lévő testre érvényes. Ezen

túlmenően nagy alakváltozások esetén is alkalmazható.

Merev testre alkalmazva az elv speciális formája a sztatikában már megismert δ Wk = 0,

hiszen a belső erők munkát nem végeznek.

A virtuális elmozdulások tételéből levezethetők az egyensúlyi egyenletek. A tétel annyi

független egyenlet felírását teszi lehetővé, amennyi egymástól független virtuális elmozdulás-

rendszer képzelhető el, azaz amennyi a test szabadságfoka. Merev test esetében ez hat egyenle-

tet jelent (az F = 0 és az M = 0 összefüggéseknek megfelelő hat skaláregyenletet), szilárd test

esetében az egész test egyensúlyát - az elemi részek végtelen nagy száma miatt - algebrai egyen-

let helyett differenciálegyenletek (a (2.52) összefüggések) fejezik ki.

2.6.2.2. A virtuális erők tétele

Tétel: Szilárd test geometriailag lehetséges alakváltozás rendszerén bármely virtuális

erőrendszer virtuális kiegészítő munkája nulla:

99

δ Wk + δ Wb = 0 , 2.109/a

vagy részletesen kiírva:

.0dVδσεdVfδudAqδuFδuV ij

ijij

VAi

ii =−++ ∫∑∫∫∑r

2.109/b

Bizonyítás: A bizonyításhoz a virtuális elmozdulások tételét használjuk fel úgy, hogy abban a

virtuális elmozdulásrendszer helyébe a tényleges alakváltozás-rendszert, a tényleges erő-

rendszer helyébe pedig a virtuális erő-rendszert helyettesítjük be. Ezt azért tehetjük meg, mert a

virtuális erőrendszer - definíciószerűleg - sztatikailag lehetséges és a kicsi tényleges

elmozdulásrendszer is kielégíti a virtuális elmozdulás-rendszer kritériumait.

A tétel szerint a tetszőleges virtuális erőrendszer virtuális kiegészítő munkája csak ak-

kor nulla, ha az alakváltozás-rendszer geometriailag lehetséges, azaz ha kielégíti a geometriai

egyenleteket és a geometriai kerületi feltételeket. A tétel tehát a kompatibilitás feltételének új

megfogalmazása.

A tétel az anyag szilárdsági tulajdonságaitól függetlenül minden kis elmozdulást végző

testre igaz.

A tételből levezethetők a geometriai egyenletek. Merev test esetén hat független virtuá-

lis erőrendszer képzelhető el (a térbeli erőrendszer ugyanis dinámjával, vagyis három erő- és

három nyomatékösszetevővel jellemezhető). Így három transzlációs és három rotációs össze-

függést kapunk. Szilárd testnél a geometriai egyenletek (a (2.38/b) jelű) differenciálegyenletek

lesznek.

2.6.3. A potenciális energia állandó-értékűségének tétele

Tétel: Lineárisan rugalmas anyagú testek esetén az összes geometriailag lehetséges

alakváltozás-rendszer közül az a ténylegesen megvalósuló, azaz a rendszer egyensúlyi helyzeté-

nek megfelelő, amelynél a (geometriailag lehetséges alakváltozás-rendszer függvényében felírt)

teljes potenciális energia stacionárius.

Bizonyítás: A virtuális elmozdulások tételében δ u , δ ε ij virtuális elmozdulások helyett al-

kalmazzuk egy tényleges alakváltozás geometriailag lehetséges du , dε ij alakváltozás-

növekményeit:

0.dVdεσdVudfdAudqudFV ij

ijij

VAiii =−++ ∫∑∫∫∑ 2.110

majd határozzuk meg a teljes munkát, tehát integráljuk az egyenlet bal oldalát 0-tól a tényleges

alakváltozás-rendszer u , ε ij végértékéig:

100

0dVdεσdVudfdAudqudFV

ε

0 ijijij

v

U

0A

u

0

u

0 iii

iji

=+

++− ∫ ∫∑∫ ∫∫ ∫∫∑ 2.111

Mivel Fi, q és f a külső erőket jelentik, amelyek nem függenek az alakváltozás-rendszertől, il-

letve az elemi elmozdulások mindegyikében végső értékükkel hatnak, (2.111) első három tagja

a külső erők (2.70)-nek megfelelő potenciális energiája. A negyedik tag pedig - lineárisan ru-

galmas anyagot feltételezve - a (2.71/b)-ben megadott belső potenciális energia. (2.111) tehát az

U = Uk + Ub teljes potenciális energiát jelenti. (2.110) bal oldalán ezek szerint az U-nak a nö-

vekménye (differenciálja) áll. Így

dU = 0 , 2.112/a

ami csak akkor állhat fenn, ha

U = Uk + Ub = áll. 2.112/b

A tétel a következőt jelenti. A lineárisan rugalmas anyagú test teljes potenciális energiá-

ja különböző, geometriailag lehetséges alakváltozás rendszereknél eltérő értékeket vesz fel. A

valóságban kialakuló alakváltozás-rendszernél, tehát annál, amelyhez a sztatikailag lehetséges

erő-rendszer tartozik, azonban a teljes potenciális energia stacionárius. A tétel tehát lehetőséget

ad arra, hogy a végtelen sok geometriailag lehetséges alakváltozás-rendszer közül kiválasszuk a

ténylegesen megvalósulót. A tétel csak akkor alkalmazható, ha a külső és belső erőrendszer

konzervatív, az alakváltozásokra viszont semmilyen korlátot nem kell bevezetnünk.

Tétel: Lineárisan rugalmas testek esetén a belső potenciális (rugalmas) energiának egy

elmozduláskomponens szerinti deriváltja egyenlő az elmozdulás helyén ható külső dinám el-

mozdulás irányú vetületével.

Bizonyítás: Hasson a test Pi pontjában Fi koncentrált erő (i = 1,2,...,n) és tegyük fel, hogy a

rendszer teljes potenciális energiája a Pi pontok ui elmozdulásainak függvényben kifejezhető.

Az egyensúlyban lévő testre alkalmazva a potenciális energia állandóságának tételét, írhatjuk: ∂∂

U

u i

= 0, i=1,2,...,n 2.113

ahol ui = u i .

A külső erők potenciálja:

U F u F u F u F uk n n i ii

n

= − + + + = −=∑( ... ) ,1 1 2 2

1

ahol Fi - az Fi erővektornak az u i vektor irányába eső vetülete. Deriváljuk az előző összefüg-

gést az ui elmozdulás szerint:

∂∂U

uFk

ii= − .

Bontsuk fel (2.113)-at a külső és belső potenciális energiák összegére és helyettesítsük be az

utolsó egyenletet:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

U

u

U

u

U

uF

U

ui

k

i

b

ii

b

i

= + = − + = 0,

101

ahonnan

∂∂U

uFb

ii= , 2.114

ami éppen a tétel állítása. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ui nemcsak eltolódás lehet, hanem

szögelfordulás is. Ez esetben a derivált Pi pontban ható nyomatékvektornak a szögelfordulás

tengelyére vett vetületét adja.

A (2.114)-gyel megfogalmazott tételt - első megfogalmazójáról - Castigliano I. tételé-

nek nevezzük.

2.6.3.1. Az egyensúlyi állapotok osztályozása

Egy függvény azokon a helyeken stacionárius,

ahol érintőjének iránytangen-se nulla, azaz a

helyi szélső értékeknél és ott, ahol nulla irány-

tangensű inflexiós pontja van (2.30. ábra).

Ennek alapján a teljes potenciálnak háromféle

stacionárius értéke lehet és ezektől függően

háromféle egyensúlyi állapotot

különböztetünk meg:

a) Stabilis (biztos) egyensúlyi állapotot:

2.30. ábra ∂∂

∂∂

U

u

U

u= >0 0

2

2, ,

a potenciális energiának minimuma van.

b) Indifferens (közömbös) egyensúlyi állapot:

∂∂

∂∂

U

u

U

u= =0 0

2

2, ,

a potenciális energiának nulla iránytangensű inflexiós pontja van.

c) Labilis (bizonytalan) egyensúlyi állapot:

∂∂

∂∂

U

u

U

u= <0 02

2, ,

a potenciális energiának maximuma van.

Olyan testek, illetve szerkezetek esetén, amelynek tagjai jó közelítéssel merevnek te-

kinthetők, a belső potenciális energia hiánya miatt U = Uk. Szerkezetek, különösen mechaniz-

musok egyensúlyi helyzetének meghatározásánál ez a feltevés gyakorlatilag elfogadható. 2.6.4. A kiegészítő potenciális energia minimum tétele

102

Tétel: Lineárisan rugalmas anyagú, kis alakváltozásokat szenvedő testnél az összes

sztatikailag lehetséges erő-rendszer közül az lesz a tényleges, amelynél a (sztatikailag lehetséges

erőrendszer függvényében felírt) teljes kiegészítő potenciális energia minimális.

Bizonyítás: A virtuális elmozdulások tételében most az erő-rendszer helyébe írjunk egy virtuá-

lis erő-rendszert, a virtuális alakváltozási-rendszer helyébe pedig egy tényleges, de kicsi alak-

változás-rendszert:

.0dVdσεdVfdudAqdudFuV ij

ijij

VAiii =−++ ∫∑∫∫∑ 2.116

Integráljuk az egyenlet bal oldalát az általánosított erők szerint, azok 0 és végső értéke között,

vagyis határozzuk meg a kiegészítő munkát. Az első három tag esetében az elmozdulás- és erő-

rendszer nem összefüggő, ezért azok a (2.75)-tel megadott külső kiegészítő potenciális energiát

jelentik. A negyedik tag pedig - lineárisan rugalmas anyagot feltételezve - a (2.76)-nak

megfelelő belső kiegészítő potenciális energia. E szerint (2.116) bal oldalán a teljes kiegészítő

potenciál növekménye szerepel:

dU = dU + dU = 0 k b

~ ~ ~, 2.117/a

ami csak úgy állhat fenn, ha ~ ~ ~U = U + U = k b áll. = minimum 2.117/b

A tételt a következőképpen értelmezhetjük. A lineárisan rugalmas test kiegészítő poten-

ciális energiája különböző, sztatikailag lehetséges erő-rendszerek mellett eltérő értékeket vesz

fel. A valóságban kialakuló, a geometriailag lehetséges alakváltozás-rendszerhez tartozó erő-

rendszer esetén azonban a teljes kiegészítő potenciális energia stacionárius. A probléma fizikai

természetéből adódik, hogy ez a helyi szélső érték csak minimum lehet. A tétel tehát lehetősé-

get ad arra, hogy a számtalan sztatikailag lehetséges erő-rendszer közül meghatározzuk a tény-

legesen létrejöttet. A tétel csak akkor alkalmazható, ha a külső és belső erők konzervatívak és az

alakváltozások kicsinyek.

Tétel: Lineárisan rugalmas anyag esetén a belső kiegészítő potenciális energiának egy külső

dinám szerinti deriváltja egyenlő a dinám támadáspontjában fellépő elmozdulás erő- vagy nyo-

matékvektor irányába eső vetületével.

Bizonyítás: Ha a kiegészítő potenciális energiát a testre ható Fi erők függvényében írjuk fel,

akkor az előző tétel értelmében:

∂∂

~,

U

F i

= 0 i=1,2,...,n , 2.118

ahol Fi = F i

A külső erők kiegészítő potenciális energiája:

~( ... ) ,U F u F u F u F uk n n i i

i

n

= − + + + = −=∑1 1 2 2

1

103

ahol ui az u i elmozdulásnak az Fi irányába eső vetülete. Az utóbbi összefüggések felhaszná-

lásával:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

~ ~ ~ ~,

U

F

U

F

U

Fu

U

Fi

k

i

b

ii

b

i

= + = − + = 0

ahonnan

∂∂

~U

Fub

ii= 2.119

A tétel értelemszerűen az M i koncentrált nyomaték és a ϕ i szögelfordulás nyomaték-

vektor irányú összetevőjére is igaz. A tételt Castigliano II. tételének is nevezik.

A tételből azonnal következik az először Menabrea által alkalmazott tétel. Ha a belső

kiegyenlítő potenciális energia számításánál olyan erők is szerepelnek, amelyek helyén nem

keletkezik elmozdulás, akkor ui = 0 miatt:

∂∂

~.

U

Fb

i

= 0

Menabrea tétele elsősorban a sztatikailag határozatlan szerkezetek ismeretlen kapcsolati

erőinek meghatározására használható, hiszen annyi (2.120) típusú egyenlet írható fel, amennyi

az ismeretlen Fi erők száma.

Lineárisan rugalmas anyagnál ~U b = Ub , így formailag elegendő a belső alakváltozási

energia számítása. Lényeges különbség azonban, hogy a belső potenciális energiát Castigliano I.

tételének alkalmazásánál az adott, illetve ismeretlen elmozdulások függvényében, Castigliano

II. tételének és Menabrea tételének felhasználásával az adott, illetve ismeretlen erők függvényé-

ben kell felírni.

2.6.5. A saját munkák tétele

Tegyük fel, hogy a testet a külső erők sztatikusan terhelik, azaz az erők végső értéküket

nulláról indulva az időben egyenletesen érik el és a teherátadás sebessége olyan kicsi, hogy a

gyorsulások következtében fellépő tehetetlenségi erők a külső terhek mellett elhanyagolhatók. A

terhelési folyamat alatt a test alakváltozást szenved. Sztatikus tehát - a fenti gondolatmenet sze-

rint - az erő- és alakváltozásrendszer összefüggő, a munkát saját munkaként számítjuk.

Lineárisan rugalmas anyagot feltételezve a terhelő erő-rendszer és az alakváltozás-

rendszer között lineáris a kapcsolat. A külső erők saját munkája:

∫∫∑ ++=VAi

iiSk dVuf

2

1dAuq

2

1uF

2

1W . 2.121

A terhelési folyamat alatt a testben belső erők ébrednek, ezek az alakváltozás-rendszerrel szintén összefüggők, munkájuk sajátmunka:

,UdVεσ2

1W b

V ijijij

Sb −=−= ∫ ∑ 2.122

104

ahol az utolsó egyenlőség (2.71/b)-ből következik.

Tétel: Kis alakváltozást végző, lineárisan rugalmas anyagú test sztatikus terhelési folyamata

során a külső saját munka egyenlő a belső potenciális energiával, vagyis a rugalmas alakválto-

zási energiával.

Bizonyítás: Mivel a sztatikus terhelés során a test elemeinek sebessége - s ezzel a mozgási

energiája - elhanyagolhatóan kicsi, a mechanikai energia megmaradásának tételéből következik,

hogy a külső erők saját munkája teljes egészében rugalmas energiává alakul:

WS

k = Ub . 2.123

A tétel nemcsak lineárisan rugalmas testekre igaz. Bármilyen szilárd testre alkalmazha-

tó, ha ismerjük anyagtörvényét. A tétel segítségével meghatározhatjuk a test teljes potenciális energiáját. (2.70) alapján ,

U Wk kS= −2 , így a teljes potenciál:

U = Uk + U

b = b

Sk

Sk

Sk UWW2W −=−=+−

A teljes potenciál tehát mindig negatív érték.

2.6.6. A munkával és energiával kapcsolatos egyéb tételek

Tétel: Lineárisan rugalmas testre ható egyensúlyi erőrendszer idegen munkája egy másik

egyensúlyi erőrendszer által okozott alakváltozáson egyenlő a második erőrendszer első által

okozott alakváltozásához tartozó idegen munkájával.

Bizonyítás: Terheljük sztatikusan a testet 1 jelű erőrendszerrel, majd ennek végső értékét állan-

dó szinten tartva tegyük fel sztatikusan a 2 jelű erőrendszert is. Az egész terhelési folyamat kül-

ső munkája két saját munkából és egy idegen munkából, az 1-es erőrendszernek a 2-es által

okozott alakváltozáson végzett munkájából tevődik össze:

W W W Wk kS

kS

k1 2 1 2 12, .= + +

Cseréljük fel a terhelés sorrendjét. Ebben az esetben a teljes külső munka:

W W W Wk kS

kS

k2 1 2 1 21, = + +

A terhelés sorrendjétől függetlenül, mindkét esetben ugyanakkora rugalmas alakváltozási ener-

gia halmozódik fel a testben, tehát

Ub =W Wk k1 2 2 1, ,= .

Behelyettesítve ide az előző két összefüggést, azonnal adódik:

W = W 12 21 , 2.124/a

ami a kölcsönös idegen munkák azonosságát mondja ki. A tételt Betti-tételnek nevezzük.

A koncentrált erőkön kívül térfogati és felületi erőket is figyelembe véve, a tétel alakja

(2.59) felhasználásával:

W = F u + q u dA + f u dV = W =

= F + q u dA + f u dV

12 2

A

1 2

V

21

2 2 1

A

2 1

V

1 2 1

1

i

i

u

∑ ∫ ∫

∑ ∫ ∫ . 2.124/b

105

Tétel: Lineárisan rugalmas test valamely P1 pontjában jelöljük u12-vel a P2 pontban ható F2 erő

hatására fellépő, F1 irányú elmozduláskomponenst, u21

-gyel pedig a P2 pont F1 erő hatására

keletkező, F2 irányú elmozduláskomponensét (2.31. ábra). Ha F = F1 2 , akkor

u = u12 21 .

Bizonyítás: Terheljük a test P1 és P2 pontját egymás után az F1 és F2 erőkkel, majd fordított

sorrendben, és alkalmazzuk a Betti-tételt:

W = F u = W = F u .121 12

212 21

Ha F = F , akkor u = u 1 2 12 21 . 2.125/a

A tételt Maxwell-féle felcserélhető-ségi

tételnek nevezik és értelmezhető

tetszőleges számú erőre, illetve nyo-

maték-ra. Ha az erők még egységnyiek

is, az elmozdulás-komponenseket α ij -

vel szok-ták jelölni és hatástényezők-

nek nevezni. A hatástényezőkre a

Maxwell-féle felcse-rélhetőségi tétel:

α αij ji= 2.125/b

2.31. ábra

A szilárdságtanban a szerkezeti elemek és a belőlük felépített összetett szerkezetek me-

revségét ezekkel a hatástényezőkkel szokták jellemezni. A (2.125/b) reciprocitási tétel az oka

annak, hogy a merevséget, illetve az alakíthatóságot jellemző mátrixok mindig szimmetrikusak.

3. Tönkremeneteli elméletek

Az I. fejezetben megismert anyagvizsgálatoknál olyan külső terhelést, illetve

igénybevételeket alkalmaztak, amelyek hatására a test egyes pontjai egyszerű - húzás-

nál, nyomásnál lineáris, tiszta nyírásnál síkbeli - feszültségi állapotba kerültek. Láttuk,

hogy a teher értéke nem lehet tetszőlegesen nagy, mert előbb-utóbb elérhetünk egy

olyan határértéket, melynél nagyobbat a vizsgált próbatest nem tud felvenni. Ennél a

külső terhelésnek megfelelő határértéknél a testet tönkrementnek tekintjük. Általános-

ságban a tönkremenetel azt jelenti, hogy megszűnik a szerkezeti elem, s ezzel az egész

szerkezet külső terheléssel szembeni mechanikai ellenállása. A tönkremenetel jellege

sokféle lehet. A legalapvetőbb tönkremeneteli forma a rideg anyagoknál törés, szívós

anyagoknál pedig - a folyáshatár elérésével - olyan nagymértékű alakváltozás, amely

alkalmatlanná teszi a szerkezetet eredeti feladatának ellátására. E két tönkremeneteli

106

forma között számtalan átmenet lehetséges, sőt ugyanazon anyag tönkremenetelének

jellege a külső körülményektől függően is jelentősen változhat.

Az előbb említett anyagvizsgálatoknál mindig olyan igénybevételeket alkalmaz-

tak, melyeknél a tönkremenetelhez tartozó feszültségállapotot egyetlen adattal lehet

jellemezni (pl. az ++ ≡ Bσf húzószilárdsággal, az −− ≡ Bσf nyomószilárdsággal vagy a

Bτt ≡ nyírószilárdsággal). A valóságos szerkezetekben azonban az igénybevételek

általában olyan jellegűek, hogy hatásukat a test pontjaiban összetett (síkbeli és térbeli)

feszültségi állapot ébred. A kísérleti tapasztalatok pedig azt mutatják, hogy az anyag

összetett feszültségi állapotban már akkor is tönkremehet, ha egyetlen feszültségkom-

ponense sem éri el az egyszerű feszültségi állapotoknak megfelelő szilárdságot.

Akármilyen feszültségi állapotot is választunk, azok komponenseit lineárisan növelve,

elérünk egy olyan határállapotot, melynél az anyag tönkrementnek tekinthető. Azt a

feszültségi állapotot, amelynél az anyag éppen tönkremegy, illetve a tönkremenetel

határára kerül, tönkremeneteli határállapotnak nevezzük. Nyilvánvaló, hogy végtelen

sok feszültségi állapot létezik, amelynél az anyag tönkremeneteli határállapotba kerül.

A műszaki gyakorlat számára nagyon fontos ezeknek a tönkremeneteli határál-

lapotoknak az ismerete. Természetesen minden anyagra - de még egyre is - lehetetlen e

végtelen sok határállapotnak a kísérleti meghatározása. Arra van tehát szükség, hogy

egyrészt bizonyos kísérleti eredmények figyelembevételével, másrészt elméleti megfon-

tolások alapján olyan módszereket dolgozzanak ki, melyekkel eldönthető, hogy egy

adott feszültségi állapot a vizsgált anyag szempontjából tönkremenetelinek tekinthető-e

vagy sem. Ezeket az elméleteket tönkremeneteli elméletnek nevezzük. Az egyes elméle-

teket tönkremeneteli (szilárdsági) kritérium formájában fogalmazzák meg azt a feltételt,

amelynek teljesülése esetén az anyag tönkremegy, illetve épen marad.

A tönkremeneteli elméletek általában azt a módszert alkalmazzák, hogy a fe-

szültségi állapotok összehasonlításához egy tipikus, egy kísérlettel viszonylag egysze-

rűen és pontosan meghatározható feszültségi állapotot választanak alapul és valamilyen

elfogadott kritériumot felhasználva, a tényleges feszültségi állapotokat ehhez viszonyít-

ják. Az összehasonlíthatósághoz be kell vezetni az egyenértékű feszültségi állapot fo-

galmát. Egyenértékűek azok a feszültségi állapotok, amelyeknél a tönkremeneteli határ-

állapot fellépésének a valószínűsége azonos, röviden, amelyeknél a tönkremenetel azo-

nos veszélyességű. E definíció matematikai, a gyakorlat igényeit kielégítő megfogalma-

zása nem is olyan egyszerű és az egyes tönkremeneteli elméletek alapjában véve abban

különböznek egymástól, hogy hogyan fogalmazzuk meg az egyenértékű feszültségi ál-

lapot kritériumát. Összehasonlító feszültségi állapotként az egytengelyű húzásnak meg-

felelő lineáris feszültségi állapotot választják, amely viszonylag könnyen és pontosan

kivitelezhető és a tönkremeneteli határállapot feszültségi állapota egy adattal, az f húzó-

szilárdsággal jellemezhető. A tényleges, összetett feszültségi állapot komponensei alap-

107

ján a lineáris feszültségi állapotnak megfelelő egyenértékű feszültségi állapotot számí-

tanak. E fiktív lineáris feszültségi állapotnak egyetlen nem nulla normálfeszültség-

komponensét egyenértékű feszültségnek nevezzük. Lineáris feszültségi állapotban az

anyag akkor megy tönkre, ha a húzófeszültség eléri az +f húzószilárdságot, így a tény-

leges feszültségi állapot akkor nem okoz tönkremenetelt, ha az egyenértékű feszültségi

kisebb, mint a húzószilárdság, illetve határesetben azzal egyenlő. Tönkremenetel tehát

nem lép fel, ha

egyσf ≥+ . 3.1

A )(σσσ ijegyegy ≥ egyenértékű feszültség konkrét függvényalakját az alkalmazott tönk-

remeneteli elmélet szabja meg.

A műszaki mechanika történeti fejlődése folyamán több tönkremeneteli elméle-

tet dolgoztak ki. Ezek egy része már elavultnak tekinthető (pl. a legnagyobb normálfe-

szültség (Galilei) elmélete, a legnagyobb nyúlás (Mariotte, Saint Venant) elmélete, a

legnagyobb nyírófeszültség (Guest) elmélete, a teljes alakváltozási energia (Beltrami

elmélete, stb.), de a műszaki anyagok bővülése és a gyakorlat egyre növekvő igénye ma

is új elméletek kidolgozására készteti a kutatókat.

3.1. Az izotrop anyagok tönkremeneteli elméletei

E fejezetben bemutatjuk azt a három elméletet, amelyet napjainkban az izotróp,

vagy gyakorlatilag izotropnak tekinthető anyagok esetén alkalmaznak. Izotrop anyagnál

nincs jelentősége annak, hogy a feszültségi főirányok milyen állásúak. Elegendő a tény-

leges feszültségi állapot ismerete, amit legegyszerűbben a főfeszültségi rendszerben a

három főfeszültséggel adunk meg.

3.1.1. A Coulomb-féle tönkremeneteli elmélet

Az elmélet - melyet Coulomb, majd Duquet dolgozott ki - alapgondolata az,

hogy egy pont környezetében az anyag tönkremenetele akkor következik be, ha a pon-

ton átmenő valamelyik síkon a ténylegesen ható nyírófeszültség legyőzi a kohézió és a

belső súrlódás ellenállását. Tönkremenetel nem lép fel, ha

nnnm µσcσ −≤ , 3.2

ahol c - az ún. kohézió, ami abban nyilvánul meg, hogy az anyag vizsgált pontjában

felvett valamilyen felülettel párhuzamosan az anyagrészecskék elcsúsztatásához

108

0σ nn = esetén is bizonyos, éppen c nagyságú nyírófeszültségre van szükség. c tehát

feszültség dimenziójú mennyiség, egysége: Pa, µ - a belső súrlódás tényező, dimenzió

nélküli szám, a Coulomb-féle száraz súrlódás analógiájára itt is bevezethetjük a belső

súrlódási kúp félszögét, ρ -t, ahol, µρtg = , nnσ , nmσ - az n normálisú felülethez tarto-

zó feszültségvektor normális- és nyíróirányú komponense.

A feszültségi állapot Mohr-féle ábrázolását jól felhasználhatjuk (3.2) szemlélte-

tésére is (3.1. ábra). A tönkremeneteli határállapotban (3.2)-ben az egyenlőség jel az

érvényes és az összefüggés két egyenest reprezentál. Mindkét egyenes az A0 pontból

indul ki, iránytangensük µ± , a vízszintessel bezárt szögük pedig ρ± . A feszültségi

állapot Mohr-féle ábrázolásának ismeretében azonnal beláthatjuk, hogy azoknál a fe-

szültségi állapotoknál kerül az anyag a tönkremeneteli határállapotba, amelyek 1,3 fő-

köre érinti a két egyenest. Törés illetve megcsúszás akkor nem lép fel, ha a főkörök a

két egyenes által körbezárt terület belsejébe esnek. Tönkremenetel pedig akkor követ-

kezik be, ha a legnagyobb főkör metszi az egyeneseket vagy az A0 ponttól jobbra esik.

Az ábráról azt is megállapíthatjuk, hogy melyik annak a felületnek a normálisa, ame-

lyen a nyírófeszültség elérte a határértéket. A normálisnak az 1-es főiránnyal bezárt

szöge az

3.1. ábra

A0013A1 derékszögű háromszög alapján.

109

ρ2

π2α1 −= , illetve ρ

2

3π2α2π2α 1

'1 +=−= . 3.3

A két normális a 2-es főirányra merőleges. Ezzel a két sík, melyet csúszólapnak neve-

zünk, állása ismert (3.2. ábra).

Az elmélet szerint a

tönkremenetelt úgy képzelhetjük

el, hogy a test P pontjának kö-

zelében két térfogatelem

egymáson megcsúszik. (3.3)

szerint a csúszólapok állása csak

a belső súrlódás nagyságától

függ. A megcsúszás tehát a

feszültségi állapot jellegétől

függetlenül mindig ugyanolyan

dőlésszögű sík mentén

következik be.

3.2. ábra

Az 31111 esinαecosαn += normálisú síkokhoz tartozó feszültségkomponenseket

adott ,σ,σ,σ 321 esetén a (2.43/e) és (1.11) összefüggésekkel számíthatjuk:

13131

12

312

1nm cos2α2

σσ

2

σσαsinσαcosσσ

−−

+=+= ,

131

11311nm sin2α2

σσcosαsinασcosαsinασσ

−−=+−= .

Ezeket (3.2)-be helyettesítve, rendezés és (3.3) felhasználása után megkapjuk a tönkre-

meneteli kritérium egy másik alakját. Ha a

( ) ( ) c2σσµ1σσµ 312

31 ≤−+++ 3.4

reláció teljesül, tönkremenetel nem lép fel.

Az elmélet szerint az anyagnak két szilárdsági jellemzőjét, c-t és µ -t kell is-

merni, illetve ezeket kell kísérlettel meghatározni. Előfordulhat, hogy ismerjük az anyag

húzó- és nyomószilárdságát. Ebben az esetben µ és c értékét a két szilárdsággal is kife-

jezhetjük. Az elmélet értelmében ugyanis e két szilárdságnak megfelelő feszültségi ál-

lapot Mohr-köreinek érintenie kell a ferde helyzetű egyeneseket. A 3.3. ábra 01M02 de-

rékszögű háromszögében:

110

+−

+−

+−+−

+−

−=

−−

+

−==

ff2

ff

2

ff

2

ff

2

f

2

f

tgρµ22

. 3.5/a

Az 010A és az 002A háromszögek hasonlósága alapján:

+−= ff2

1c 3.5/b

A fenti összefüggéseket (3.4)-be helyettesítve a

( )( ) ( )( ) +−+−+− ≤+−+++ f2fffσσffσσ 3131

relációt kapjuk. Osszuk ezt el f--szal és vezessük be a

−

+

=f

fΨ 3.6

jelölést. Ezzel az előző reláció új formája:

31 Ψσσf −≥+ , 3.7

ami egyben megadja az egyenértékű feszültség összefüggését is

31egy Ψσσσ −= . 3.8

Az elmélet elsősorban a szemcsés anyagok vizsgálatánál kerül alkalmazásra, így, ma is

nagy jelentőségű a talajmechanikában és a szemcsés anyagok (gabona, fűrészpor, for-

3.3. ábra

gács) tárolásánál fellépő mechanikai jelenségek vizsgálatánál. Az elmélet abban a két

speciális esetben is alkalmazható, ha c vagy Š nulla. Homoknál és kavicsnál a kohézió

gyakorlatilag nulla, csak a belső súrlódással kell számolni, s a két határegyenes a 3.4.

111

ábrának megfelelően alakul. A másik határesetben csak a kohézió hatását kell figyelem-

be venni (ilyen pl. a puha anyag). Ebben az esetben az elmélet a maximális nyírófe-

szültségek elméletébe megy át (3.4/b. ábra).

3.4. ábra

3.1.2. A Mohr-féle tönkremeneteli elmélet

Hozzunk létre a test valamelyik pontjában egy tetszőleges feszültségi állapotot,

majd növeljük arányosan a feszültségi komponenseket a tönkremenetelig. Rajzoljuk

meg a tönkremenetelhez tartozó feszültségi állapot Mohr-köreit. A vizsgálatot és a szer-

kesztést más jellegű feszültségi állapotok esetén is megismételve O. Mohr arra a követ-

keztetésre jutott, hogy minden anyagnál található egy olyan burkoló görbe, amely a

tönkremeneteli határállapot legnagyobb főköreit kívülről érinti, s amely épp olyan

anyagjellemző, mint bármely más fizikai-mechanikai tulajdonság. Kísérlettel tehát meg-

határozható egy

( )nmnmnm σσσ = 3.9

függvény, melyet tönkremeneteli (Mohr-féle) határgörbének nevezünk. E görbe ismere-

tében könnyen eldönthető a tönkremenetel kérdése. Az anyag mindaddig megőrzi

teherbíróképességét, míg a terhelésnek megfelelő feszültségi állapot legnagyobb főköre

a tönkremeneteli határgörbe belsejébe esik (3.5. ábra). A tönkremenetel határállapotá-

ban itt is értelmezhetők a csúszólapok, ezek helyzetet a feszültségi állapotnak, ponto-

sabban a 1σ és 3σ főfeszültségnek a függvénye.

Sajnos, a Mohr-féle határgörbe kísérleti meghatározása igen körülményes és

költséges - napjainkban egyetlen anyag határgörbéjét sem ismerjük kielégítő pontosság-

gal - ezért megelégszünk a görbe bizonyos szakaszának egyenessel való megközelítésé-

vel. Ezt az egyenest már könnyű meghatározni, mert nem más, mint az egytengelyű

húzó- és nyomószilárdság főköreinek érintője (3.6. ábra).

112

3.5. ábra

3.6. ábra

Az ábra alapján azonnal megállapíthatjuk, hogy amennyiben a tényleges feszült-

ségi állapot főköre a közelítő egyenest az A1A2 szakaszon kívül érinti, akkor a közelítés

a biztonság rovására történik és a közelítő (egyszerűsített) Mohr-elmélet nem alkalmaz-

ható. Szerencsére a gyakorlati esetek többségében a szélső főfeszültségek aránya

0σ

σr

1

3 ≤= , 3.10

ami éppen annak a feltétele, hogy a főkör az A1A2 szakaszon érintse az egyenest. A kö-

zelítő Mohr-elmélet egyenértékű feszültségét az A1M1A2 és az AMA2 háromszögek

hasonlóságának felhasználásával vezethetjük le:

2

σσ

2

f2

σσ

2

f

2

f

2

f2

f

2

f

31

31

++

−−

=+

−−

−

+−

+−

,

ahonnan +−+− −= fσfσff 31 .

(3.6) felhasználásával:

31 Ψσσf −=+ ,

Az egyenlőség éppen a tönkremeneteli határállapot elérését jelenti, tönkremenetel tehát

mindaddig nem lép fel, míg

31 Ψσσf −≥+ . 3.11

s így az egyenértékű feszültség:

31egy Ψσσσ −= . 3.12

113

Ne csodálkozzunk azon, hogy a közelítő Mohr-elmélet és a Coulomb-féle elmé-

let egyenértékű feszültségét ugyanaz az összefüggés adja, hiszen a két elmélet egyene-

sét azonos módon definiáltuk. Nem szabad azonban megfeledkeznünk arról, hogy a

közelítő Mohr-elmélet csak (3.10) fennállása esetén alkalmazható.

A pontos és - korlátai között - a közelítő Mohr-elmélet egyetlen feltevése, hogy

minden anyagnak van határgörbéje. Kísérleti igazolásra nem szorul, hiszen a határgör-

bét csak kísérlettel lehet meghatározni, így az ismert határgörbe az elmélet használható-

ságának bizonyítéka.

3.1.3. A belső alaktorzulási energia elmélete

Az elméletet M.T. Huber, R.E. von Mises és H. Hencky egymástól függetlenül

dolgozta ki (e hármas néven is szokták az elméletet emlegetni) elsősorban olyan szívós

anyagokra, amelyek jól jellemezhető folyáshatárral rendelkeznek. Az elmélet tulajdon-

képpen a képlékeny alakváltozás megindulásának feltételét határozza meg. Alapja az a

feltevés, hogy az anyag tönkremenetele akkor következik be, ha a belső erők fajlagos

torzítási energiája elér egy bizonyos, az anyagra jellemző értéket. Tönkremenetel nem

lép fel, ha

( ) ( )ténylegesutelitönkremeneu ~b

~b ≥ . 3.13

Az alakváltozások és a feszültségek tárgyalása során megmutattuk, hogy mindkét álla-

pot tenzora felbontható egy gömb- és egy deviátortenzorra és megállapítottuk, hogy az

alakváltozás deviátortenzora a térfogatváltozás nélküli alakváltozást jellemzi. Magától

értetődő az az elképzelés, hogy ehhez az alaktorzuláshoz a feszültségi deviátortenzor

által képviselt belső erők tartoznak. A fajlagos belső torzítási energiát (2.72) analógiájá-

ra számíthatjuk:

~ij

ij

~ij

~b εσ

2

1u ∑= , i, j = x, y, z

ahol ~ijσ és ~

ijε a feszültségi és alakváltozási deviátortenzor. Ezek komponenseit

(2.37/b) és (2.50/b) felhasználásával, de a főtengelyek rendszerében a következő mátri-

xok adják:

[ ] [ ]

−−

−==

M3

M2

M1~ij

~σ

σσ00

0σσ0

00σσ

σT ,

ahol

114

( )321M σσσ3

1σ ++=

és

[ ] [ ]

−−

−==

M3

M2

M1~ij

~ε

εε00

0εε0

00εε

εT

ahol

( )321M εεε3

1ε ++=

Az alakváltozási deviátortenzor komponenseit kifejezhetjük a feszültségi

deviátortenzor komponenseivel a (2.92/c) anyagtörvénnyel:

2G

σ

ν1

Sνσ

2G

1ε

~ii

~1~

ii~ii =

+−= , mert 0S~

1 = .

A fenti mennyiségekkel a fajlagos torzítási energia:

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]2

132

322

212M

23

22

21

2M3

2M2

2M1

i

2Mi

i

2~i

~i

i

~i

~i

i

~i

~b

σσσσσσ12G

13σσσσ

4G

1

σσσσσσ4G

1

σσ4G

1σ

4G

1

2G

σσ

2

1εσ

2

1u

−+−+−=−++=

=−+−+−=

=−==== ∑∑∑∑

. 3.14

Az anyagra jellemző belső fajlagos torzítási energiát az egyenértékű feszültségi

állapot felhasználásával az egyenes húzásnak megfelelő += fσ1 és 0σσ 32 == fe-

szültség-komponensekkel (3.14)-ből számíthatjuk:

( ) ( ) ( )[ ] ( )222~b f

6G

1ff

12G

1telitönkremeneu +++ =+=

ezek után (3.13)-at a feszültségekkel is kifejezhetjük:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]213

232

221

2σσσσσσ

12G

1f

6G

1 −+−+−≥+

Innen

( ) ( ) ( )[ ]213

232

221 σσσσσσ

2

1f −+−+−≥+ , 3.15

s ennek megfelelően az egyenértékű feszültség:

115

( ) ( ) ( )[ ]213

232

221egy σσσσσσ

2

1σ −+−+−= . 3.16

A kritérium azonos feltételt szab a folyás megindulására húzás és nyomás ese-

tén, így csak olyan anyagokra használható, melyek folyáshatára húzásnál és nyomásnál

megegyezik.

3.1.4. A tönkremeneteli elméletek elemzése

A tönkremeneteli elméletek, illetve a nekik megfelelő kritériumok alkalmazha-

tóságának legfőbb bizonyítékát a kísérleti eredményekkel való egyezés adja. Ez a

bizonyítási eljárás azonban nem könnyű feladat, mert olyan összetett feszültségi állapot

létrehozása, amely a tervezettet jól követi és a feszültségkomponensek nagysága

egészen a tönkremenetelig pontosan mérhető, rendkívül bonyolult technikát követel,

sőt, bizonyos fajta feszültségi állapotok (pl. a hidrosztatikus húzás állapota) mérési

adatot szolgáltató megvalósítása gyakorlatilag lehetetlen. Olyan elmélet tehát, amelyet

minden feszültségi állapot tartományban ellenőriztek, még nincs. Egyértelműen igazolni

vagy elvetni egyetlen tönkremeneteli elméletet sem lehet. Ez az oka annak, hogy

egyszerre több elmélet is felhasználásra kerül. Adott anyag esetén mindig azt az

elméletet tartják meg, amely az elvégzett kísérleti eredményekkel a leginkább

összhangban van. A legáltalánosabb tönkremeneteli elméletnek a Mohr-elmélet tekinthető, mert -

mint már említettük - a kritériumot a kísérletek alapján meghatározott határgörbének

megfelelően kell megfogalmazni. E tulajdonság egyben az elmélet hátránya is, hiszen a

teljes határgörbe meghatározása igen nehéz és költséges. Ennek ellenére a közelítő

Mohr-elmélet igen széleskörű felhasználásra kerül a kísérletekkel is jól ellenőrzött, a

(3.10) relációnak megfelelő értelmezési tartományban.

A Coulomb-elmélet a Mohr-elmélet azon speciális esetének tekinthető, mikor a

határgörbe két, ferde helyzetű egyenes. A közelítő Mohr-elmélet helyett akkor alkal-

mazzák a Coulomb-elméletet, ha olyan anyag tönkremeneteli vizsgálatáról van szó,

amely húzószilárdságát kísérletileg igen nehéz meghatározni (pl. a szemcsés anyagok-

nál). Az ilyen anyagoknál a kohézió és a belső súrlódási tényező kísérletek alapján tör-

ténő számítása sokkal egyszerűbb és pontosabb.

Mindkét elméletnél kifogásolható, hogy a 2σ főfeszültségnek a tönkremenetel

szempontjából semmilyen szerepe nincs, ami némiképp ellentmond a gyakorlati ered-

ményeknek. Bizonyos vizsgálatok szerint a 2σ főfeszültség változása ( )321 σσσ ≥≥ a

szilárdsági értéket 10-12 %-kal módosítja.

Ez a kifogás a fajlagos alaktorzítási energia elméletével szemben már nem me-

rülhet fel. Ott a három főfeszültség azonos súllyal szerepel. A kritérium levezetésénél

116

elfogadtuk a lineáris anyagtörvényt, amiből az következik, hogy az egyenértékűség kép-

lete elvileg csak az egyenesarányossági határig, illetve közelítőleg a folyáshatárig al-

kalmazható. Az elmélet tehát a folyás megindulásával kapcsolatos tönkremeneteli felté-

telt fogalmazza meg. Az elmélet hátrányai közé sorolható, hogy csak nyomásra és hú-

zásra azonos folyáshatárú anyagokra alkalmazható.

Természetesen napjainkban is dolgoznak ki újabb tönkremeneteli elméleteket

(Balangyin-, Miroljubov-elmélete, stb), amelyek igyekeznek kiküszöbölni a korábbi

elméletek hiányosságait. Ezek alapos kísérleti igazolása azonban még nem történt meg.

3.2. A természetes faanyag tönkremeneteli kritériuma

Anizotróp anyagok tönkremenetele szempontjából nemcsak a feszültségi állapot

komponenseinek nagysága döntő, hanem az is, hogy a feszültségi főtengelyek milyen

helyzetben vannak az anyag szerkezeti szimmetriatengelyeihez képest. Gondoljunk csak

arra például, hogy természetes faanyag esetén a rostokkal párhuzamos irányban ható, a

húzószilárdságnál csak egy kicsit kisebb normálfeszültség még nem okoz tönkremene-

telt, ugyanez a feszültség azonban a rostokra merőleges irányban már biztos szakadást

jelent. A szilárdsági jellemzőket a szimmetriatengelyek (fánál az anatómiai főirányok)

rendszerében a legegyszerűbb megadni, ezért célszerűen a feszültségi állapotot is erre a

rendszerre kell átszámítani.

Természetesen anizotrop anyagokra is többféle tönkremeneteli elméletet dolgoz-

tak ki. Ezek közül a természetes faanyagra az E.K. Askenazi által megfogalmazottat

támasztják alá leginkább a kísérletek. Askenazi bevezetett - az alakíthatósági tenzor

analógiájára - egy tönkremeneteli (szilárdsági) tenzort, melynek komponenseivel defi-

niált a feszültségkomponensek hat dimenziós terében egy tönkremeneteli

(hiper)felületet. Ennek egyenlete:

( ) 0SSσσa 221

2

ijklklijijkl 1

=−−

∑ , i,j,k,l = 1,2,3, ill. faanyagnál L, R, T ,

3.17

ahol

aijkl - a szilárdsági tenzor komponensei, a tenzor négy dimenziós és ugyanolyan szim-

metriát mutat, mint az sijkl alakíthatósági tenzor. Faanyagnál és bármely más ortotrop

anyag esetén az anatómiai vagy szerkezeti főirányok rendszerében a tenzor független

komponenseinek száma 9,

ijσ - a ténylegesen ható feszültségi állapot komponensei az anatómiai főirányok rend-

szerében,

S1, S2 – az első és második feszültségi invariáns.

117

Ha a feszültségi állapot komponensei kielégítik a (3.17) egyenletet, az anyag a

vizsgált pontban éppen a tönkremenetel határán van. Egyszerű átalakítással az épen

maradás feltételének kritériuma:

221

klijijkl

LLLLegyL

SS

σσa

a

1σf

−=≥

∑+ , 3.18

ahol +Lf - a faanyag rostirányú húzószilárdsága.

A szilárdsági tenzor komponenseit a kísérleti vizsgálatok során meghatározható

ún. technikai szilárdságokkal lehet számítani. A tenzorkomponenesek és a technikai

szilárdságok kapcsolata a következő:

+=i

iiii f

1a vagy −=

if

1, i = L, R, T , 3.19/a

( ) +=+++ij

jijijiijijjiijij t

1aaaa vagy −

ijt

1, 3.19/b

( )

( )

><−+=+

<>−+=+

−−−

+++

0σés0σhat

1

f

1

f

1aa

0σés0σha)t

1

f

1

f

1aa

jjii(45)

ijjijjiiiijj

jjii(45

ijjijjiiiijj

3.19/c

( )

( )

−−−=+

−−−=+

−−−−

++++

.t

1

f

1

f

1

f

4aavagy

t

1

f

1

f

1

f

4aavagy

ijji(45)

ij

jjiiiijj

ijji(45)

ij

jjiiiijj

3.19/d

( )

( )

−−=+

−−=+

−−−

+++

,f

1

f

1

r

3aavagy

,f

1

f

1

r

3aavagy

jiijjjiiiijj

jiijjjiiiijj

3.19/e

az utolsó kifejezésben i,j = L, R, T, valamint −+ii f,f - az anatómiai főirányokra eső húzó- és nyomószilárdság,

(45)

ij

(45)

ij f,f −+ - az anatómiai fősíkok átlójának irányába eső húzó- és nyomószilárdság, −+ijij t,t - az i normálisú síkon ható, j-vel párhuzamos hatásvonalú nyírófeszültség tartozó

szilárdság (a + és - jel a nyírófeszültség értelmét jelenti),

118

(45)

ij

(45)

ij t,t −+ - az i,j irányok szögfelezőjével megegyező normálisú síkon ható, az i,j sík-

kal párhuzamos hatásvonalú nyírófeszültséghez tartozó szilárdság, −+ijij r,r - az i és j anatómiai főirányokba eső, két azonos nagyságú húzó- vagy nyomófe-

szültséghez tartozó szilárdság.

Faanyagnál, ahol −+ = ijij tt , a fentiek alapján 27 különböző technikai szilárdságot

kell kísérlettel meghatározni a szilárdsági tenzor komponenseinek megadásához. A

(3.19)-ben fel nem sorolt komponensek nullával egyenlők. A (3.19)-es képletek közül a

tenzor-komponens számítására mindig azt kell alkalmazni, amelyben a technikai szi-

lárdságokat olyan előjelű feszültségkomponensek határozták meg, mind a ténylegesen

ható feszültségkomponensek előjele. Ez az egyik biztosítéka annak, hogy az elméleti

kritérium jól igazodik a kísérleti eredményekhez.

4. Az erőtani méretezés alapelvei

Erőtani méretezéssel (számítással) ellenőrzik, hogy a teherhordó szerkezet a tervezett

élettartam alatt a felvett geometriai méretekkel kellő biztonsággal megfelel-e az erőtani köve-

telményeknek.

Az erőtani követelmények a létesítmény céljából, feladatából és használatának körül-

ményeiből következnek. A teherhordó szerkezetnek egyrészt képesnek kell lennie a terhekkel és

egyéb fizikai hatásokkal szembeni ellenállásra, másrészt a szerkezet viselkedésének (azaz az

előbbi hatásokra való reagálásának) összhangban kell lennie az építmény használhatóságának

feltételeivel.

A kellő biztonság fogalma arra utal, hogy bizonyos kockázatot mindig kell vállalni,

tökéletesen biztos szerkezet nem létezik. A létesítendő szerkezet geometriai felépítése, anyagá-

nak tulajdonságai, viselkedése, terhei kisebb-nagyobb mértékben - kedvező vagy kedvezőtlen

irányban - mindig eltérnek attól, mint amit a tervezés során feltételeznek. A kockázat elfogad-

ható mértékét különböző megoldásokkal, napjainkban általában gazdasági számításokkal kell

megalapozni.

Mivel a teherhordó szerkezetekkel szemben támasztott követelményeket az emberélet és

más jelentős értékek megóvására állították fel, az igazolás módját - minden országban - kötelező

hatósági előírások határozzák meg. Általános törekvés, hogy ezek az előrások, szabványok ne

csak egy országon belül, hanem több országra vagy földrészre, esetleg az egész világra szólóan

egységesek legyenek. Ezek az egységesítési törekvések azonban az egyes országok eltérő mű-

szaki fejlettsége, különböző külső adottságaik és saját hagyományaikhoz való ragaszkodásuk

következtében csak nehezen valósulnak meg.

Az erőtani méretezés két fontos alapfogalmat definiál.

119

A teherviselő szerkezet a külső hatásokra reagálva valamilyen állapotba kerül. Ezt az

állapotot a külső hatások jellegének megfelelő jellemzővel adjuk meg, és állapotjellemzőnek

nevezzük. Az S állapotjellemző lehet skalár-, vektor- vagy tenzormennyiség. A teherviselő

szerkezetek legfontosabb állapotjellemzői a terhelés, az igénybevétel, a feszültség, elmozdulás,

alakváltozás, stb.

Ugyanakkor minden állapotjellemzőhöz tartozik egy olyan határérték, amelynél na-

gyobbat a szerkezet az erőtani követelmények megsértése nélkül nem tud felvenni. Ezt az R-rel

jelölt mennyiséget az adott állapotjellemző korlátjának nevezzük. A szerkezet valamelyik álla-

potjellemzőjének korlátja hasonló szerkezeteken végzett kísérleti vizsgálattal vagy geometriai

alakjából, méreteiből, anyagának tulajdonságaiból, rugalmasságtani vagy egyéb mechanikai

módszerekkel elméletileg is meghatározható.

Az erőtani méretezés alapelve első megközelítésben nyilvánvalóan az lehet, hogy a

szerkezet akkor felel meg az erőtani követelményeknek, ha a tervezett élettartam alatt a vizsgált

állapotjellemző kisebb, mint a neki megfelelő korlát, illetve határesetben éppen egyenlőek:

S ≤ R . 4.1

Az erőtani méretezés folyamata három részre bontható:

1) A terhelő erők és hatások felvétele, meghatározása.

2) A szerkezet sztatikai illetve számító modelljének felvétele és megoldása.

3) Az első két pont alapján számított állapotjellemzők és megfelelő korlátok összehasonlítása.

E három ponthoz kapcsolódó feladatok, illetve ezek megoldási módszereinek, ponto-

sabban a műszaki mechanika, a valószínűségszámítás, a matematikai statisztika, az anyagvizs-

gálati módszerek és a terhekkel kapcsolatos megfigyelések fejlődése következtében a (4.1) relá-

ció két mennyiségének meghatározása újabb és egyre pontosabb eljárásokat dolgoztak ki.

Az erőtani méretezést a megoldandó feladat jellegétől függően tervezésnek vagy ellen-

őrzésnek szokták nevezni. A tervezés az a méretezési feladat, mikor a szerkezetre ható terhek és

az előre megválasztott anyagminőség ismeretében meg kell határozni a (4.1) reláció egyenlőségi

feltételének felhasználásával a szerkezet elemeinek geometriai - általában keresztmetszeti - mé-

reteit. Ellenőrzéskor már minden erőtani mennyiség adott (vagy azért, mert már megépített

szerkezetről van szó, vagy mert a keresett mennyiséget korábbi gyakorlati tapasztalatok alapján

vették fel) és csupán a (4.1) reláció fennállását kell kimutatni. A tervezés és az ellenőrzés erőta-

ni méretezésnek csupán formai és nem elvi különbségét jelentik. Matematikai szempontból

pusztán arról van szó, hogy az alaprelációt milyen formában használjuk. Számítástechnikailag -

különösen összetett keresztmetszetű elemeknél, pl. vasbetonnál, réteges felépítésű szerkezetek-

nél - az ellenőrzés általában könnyebben elvégezhető.

4.1. Az erőtani méretezés fejlődése

120

Az ember építőtevékenysége több ezer éves múltra tekint vissza, ugyanakkor erőtani

méretezésről egészen a XVIII. sz. végéig beszélni nem lehet. E hosszú történelmi szakaszban a

már meglévő és épen maradó építmények geometriai méreteinek utánzásával, esetleg kismérté-

kű változtatásával építkeztek. Természetesen a legtöbb probléma akkor merült fel, mikor a ko-

rábbiakhoz képest új, addig nem alkalmazott szerkezettel próbálkoztak. Ebben az időszakban az

épület tervezője és kivitelezője ugyanaz a személy volt, aki az építkezés minden szakaszában

napról-napra folyamatosan figyelte a teherviselő szerkezet viselkedését, s ha kellett, módosítot-

ta, korrigálta annak erőjátékát.

A tudatos méretezés, tehát az a folyamat, mikor a szerkezet geometriai méreteit előzetes

elméleti megfontolások alapján választották meg, akkor indult el, mikor kialakultak az első

anyagvizsgálatok (Hooke) és kidolgozták a legegyszerűbb teherhordó szerkezeteket, a rudak

mechanikai, szilárdsági viselkedésének alapjait (Navier). A műszaki mechanika ezt követő

gyors fejlődése, eredményeinek kísérleti igazolása, az anyagvizsgálatok elterjedése, a különböző

anyagfajták mechanikai jellemzőinek széles körű kutatása megteremtette az alapját és lehetősé-

gét az elméleti és matematikai szempontból helyes méretezési alapelvek kidolgozásának.

A méretezés egyik alapvető problémáját az jelenti, hogy a (4.1) relációban szereplő

mennyiségek nem határozhatók meg egyértelműen. A tervezés során a szerkezet még nem léte-

zik, így terhei, gyártásának és szerelésének körülményei, geometriai felépítése, anyagának tu-

lajdonságai, viselkedése tökéletes pontossággal nem ismertek. Mind az állapotjellemző, mind

korlátja csak hasonló, korábbi szerkezetekkel és anyagokkal kapcsolatban végzett mérések és

megfigyelések segítségével becsülhető meg. Ez azt jelenti, hogy S és R valószínűségi változó,

melyet statisztikai jellemzőkkel adhatunk meg. E változók sűrűségfüggvényének ismeretében

meghatározható a mennyiségek várható értéke, szórása és egyéb statisztikai jellemzői, illetve,

hogy mekkora valószínűséggel várhatók a középértéktől eltérő tulajdonságok. A problémát az is

nehezíti, hogy S és R mint valószínűségi változók az időnek is függvényei. A 4.1. ábrán bemu-

tatjuk az állapotváltozó és korlátjainak (fiktív, de lehetséges) időbeli változását a tervezett T

élettartam alatt.

121

4.1. ábra

Ha S és R időbeli változását pontosan ismernénk, akkor az erőtani méretezés igen egy-

szerű lenne. A szerkezet akkor nem felel meg az erőtani követelményeknek, ha a két függvény

metszi egymást. A 4.2. ábrán felvázoltuk az állapotjellemző és korlátjainak sűrűségfüggvényét a

tetszőleges t pillanatban. Könnyen beláthatjuk, hogy bár az S(t) é s R(t) várható értékekre

a (4.1) reláció teljesül, de a sűrűségfüggvények egymásba érnek, akkor bizonyos valószínűség-

gel várható, hogy egyedi esetekben az erőtani követelmény nem lesz kielégítve.

Az időben változó sűrűségfüggvények meghatározásához igen nagyszámú kísérleti

adatra van szükség. Az ezzel kapcsolatos problémák az összehasonlítás formáit és lehetőségeit

eleve megszabják.

4.1.1. Egységes (osztatlan) biztonsági tényezős méretezési eljárás

Az erőtani tervezés hatósági szabályozásának kezdeti szakaszán vezették be az ún. egy-

séges (osztatlan) biztonsági tényezős eljárást. A számítás során azt kell kimutatni, hogy az álla-

potjellemzőnek az építmény teljes élettartama alatt fellépő maximumának várható (közép-) érté-

ke nem haladja meg a megfelelő korlát minősítési (normatív) értékének γ e biztonsági tényező-

vel osztott értékét:

SR

Rn

ee≤ =

γ 4.2

ahol

S - az állapotjellemzőnek az élettartam során fellépő legkedvezőtlenebb értéke,

Rn - az állapotjellemzőnek megfelelő korlát ún. minősítési (normatív) értéke, általában az 5 %-

os kedvezőtlen oldali valószínűzégi szinthez tartozó küszöbérték, ami azt jelenti, hogy Rn-nél

kisebb érték előfordulásának valószínűsége 5 %,

γ e - biztonsági tényező, 1-nél mindig nagyobb,

122

Re - a korlát ún. megengedett értéke, az állapotjellemző jellegétől függően megengedett teher,

megengedett igénybevétel, megengedett feszültség, megengedett alakváltozás, stb. (ezért az

eljárást megengedett feszültségen alapuló méretezésnek is nevezik).

4.2. ábra

A biztonsági tényező értékét elvileg valószínűségelméleti alapon lehet meghatározni. A

módszer bevezetésekor - a kísérleti adatok hiányában - becsült, illetve tapasztalati úton származ-

123

tatott tényezőket használtak. A műszaki mechanika fejlődése és az anyagvizsgálatok elterjedése

a biztonsági tényező csökkenését vonja maga után.

Az ezzel a módszerrel meghatározott méretek biztonságosak voltak, de nem lehetett

megmondani, hogy egyben gazdaságosak-e.

Ez a mértezési módszer volt használatos 1950-ig minden országban, sőt sok helyen ma

is ezt alkalmazzák. Az egyes országok előírásai csak a terhelő erők és hatások, valamint a biz-

tonság mértékében különböztek és különböznek.

A módszerrel szemben felmerült legfontosabb kifogás az, hogy a biztonsági tényezőt

egyetlen helyen - az Re számításánál - alkalmazza, ami azt jelenti, hogy mindenféle teherhez és

hatáshoz ugyanakkora biztonságot rendel. Az állapotjellemzők számításához szükséges hatások

azonban különböző pontossággal határozhatók meg. Nyilvánvalóan gazdaságtalan ugyanakkora

biztonsági tényezőt alkalmazni egy olyan hatáshoz, amelyet viszonylag pontosan (kis tévedési

valószínűséggel) lehet számításba venni (ilyen pl. az önsúly), mint egy olyanhoz, amely csak

nagy tévedési lehetőséggel kezelhető (pl. a szélteher, hóteher, stb). E kifogás ellenére az egysé-

ges biztonsági tényezős méretezési eljárás hazánkban is érvényben van. Elsősorban a gépipari

szerkezetek méretezésénél alkalmazzák, ahol a terheket és hatásokat viszonylag nagy pontos-

sággal meg lehet határozni.

4.1.2. Osztott biztonsági tényezős méretezési eljárás

A méretezés elmélet fejlődésének második állomása az osztott biztonsági tényezős eljá-

rás. Abból indul ki, hogy amennyiben a szerkezetet több, eltérő jellegű és szórású hatás éri,

akkor az állapotjellemző meghatározásánál mindegyikhez különböző, bizonytalanságának meg-

felelő nagyságú biztonsági tényezőt lehet alkalmazni. Természetesen a korlátoknak is külön

biztonsági tényezője van. A méretezés alaprelációja:

γγi i

i

n

nHS

RR∑ ≤ = , 4.3

ahol

Si - az építmény várható élettartama alatt fellépő i-edik hatás maximumának várható értéke,

γ i - az i-edik hatás biztonsági tényezője,

γ n - a korlát minősítési értékének biztonsági tényezője,

RH - a korlát határértéke, az állapotjellemző jellegétől függően, határigénybevétel, határfeszült-

ség, határalakváltozás, stb. (ezért az eljárást határállapotra való méretezésnek is nevezik).

A módszer az összes kedvezőtlen körülményt a saját helyén vesz figyelembe. A bizton-

sági tényezők értékét részben tapasztalati úton, részben - megfelelő kísérleti adatok birtokában -

statisztikai módszerekkel határozzák meg. Itt már alkalmaznak bizonyos valószínűségelméleti

124

megfontolásokat is, különösen az anyagokat jellemző határfeszültségek értékeinek megállapítá-

sánál.

Hazánkban 1950 után Korányi Imre és Menyhárd István javaslatára vezeték be - a vilá-

gon elsőként - ezt a módszert, határállapot alapján történő méretezés néven. Ilyen módon kellett

méretezni az építőipari szerkezetek többségét.

4.1.3. Valószínűségelméleti alapon történő méretezési eljárás

Az erőtani méretezés legmodernebb megfogalmazása valószínűségelméleti alapon tör-

ténik. Tegyük fel, hogy ismerjük az S(t) állapotjellemző és R(t) korlátjának f[S(t)] és f[R(t)]

sűrűségfüggvényét a létesítmény teljes élettartama alatt (4.2/a,b ábra). Akkor adott időpillanat-

ban a teherbírási tartalék

Y(t) = R(t) - S(t),

melynek sűrűségfüggvénye f[Y(t)]. E sűrűségfüggvénynek (4.2/c ábra) a negatív abszcisszaten-

gelyhez tartozó görbe alatti területe (az ábrán sraffozott terület) annak valószínűsége, hogy a

vizsgált időpillanatban S(t) > R(t). A terület tehát az erőtani követelmény megszűnésének való-

színűségét adja, másként fogalmazva, a tönkremenetel kockázatát, melyet 1/K-val jelölünk. A

valószínűségelméleten alapuló erőtani méretezés azt mondja ki, hogy a kellő biztonságot a leg-

gazdaságosabban úgy lehet elérni, ha a tönkremenetel kockázata egy (hatóságilag) előírt kocká-

zatnál nem nagyobb, illetve határesetben azzal egyenlő:

4.4

melynek Kelőírt értékét gazdasági

számításokkal kell indokolni.

Vizsgálni kell a határállapot

elérésével keletke-ző kárt, a

helyreállítás költsége-it, az

elmaradt hasznot és egyéb

tényezőket. A 4.3. ábrának

megfelelően a meghibásodás

valószínűségének (a kockázat)

növekedésével csökken a léte-

sítési költség, a szerkezet meg-

hibásodásából, tönkremenete-

4.3. ábra

léből keletkező költség viszont nő. Ez, legalábbis elméletileg, lehetővé teszi a komplex költsé-

gek és az ehhez tartozó Kelőírt

meghatározását. Kazinczy G. már 1942-ben ismertetett egy

125

valószínűségelméleten alalpuló, általános méretezéselméleti elképzelést, mely szerint a törés

valószínűségét normális eloszlás feltételezésével lehet számítani és a szerkezetet úgy kell mére-

tezni, hogy a létesítmény hozama - a karbantartást és felújítást is beleszámítva - optimális le-

gyen. (4.4) számításra alkalmas formájára Mistéth E. az alábbi relációt javasolta*:

P[(R(t) - S(t))≤ 0 ] ≤ 1

K , 0≤ t ≤ T , 4.5

szavakkal kifejezve, a szerkezet kielégíti az erőtani követelményeket, ha a tervezett élettartam

alatt a teherbírási tartalék kimerülésének valószínűsége egy előre megadott 1/K kockázatnál

nem nagyobb. (4.5)-ből következik, hogy a méretezésnél a létesítmény élettartamát mindig fi-

gyelembe kell venni, valamint azt is, hogy tökéletes biztonsággal megépített szerkezet nincsen,

mindig kell valamekkora kockázatot vállalni. A kockázat nagysága a 4.3. ábrának megfelelő

módon számítható vagy hatóságilag előírható. A létesítmény fontosságától és a méretezés céljá-

tól függően 1/K értéke 2.10-2 és 10-5 között változhat.

Ennek a méretezési alapelvnek a gyakorlati alkalmazását a statisztikai adatok hiánya

jelenleg még nem teszi lehetővé. Egyedül Mistéth dolgozott ki olyan eljárást, amelyben (4.4)

reláció igazolásához nincs szükség a sűrűségfüggvényekre, elegendő a valószínűségi változók

várható értékének, szórásának, ferdeségének és csúcsosságának ismerete. A valószínűségelméle-

ten alapuló méretezés szellemét azonban jól tükrözi a hazánkban jelenleg érvényes magasépíté-

szeti méretezési előírás, az ún. fél-valószínűségi módszerrel kiegészített határállapot alapján

történő méretezés. Ez abból a feltételezésből indul ki, hogy a tönkremenetel kockázata az S(t) és

R(t) mennyiségek sűrűségfüggvényeinek ismerete nélkül is megállapítható, ha azok várható

értéke helyett, az Sn-nel és Rn-nel jelölt minősítési (normatív) értéket vesznek alapul, amelyek

az állapotjellemzők és korlátjainak kedvezőtlen oldali 5 %-os túllépési valószínűséghez tartozó

küszöbértékei.

4.2. A Magyarországon hatályos méretezési eljárások

Hazánkban jelenleg az egységes biztonsági tényezős, az ún. megengedett feszültségen

alapuló méretezési eljárást, valamint az osztott biztonsági tényezős és a valószínűségelméleten

alapuló módszer kombinációjaként kialakított - nem túl szerencsés nevű - fél-valószínűségi

módszerrel kiegészített határállapot alapján történő méretezési eljárást (a "fél" szócska nyilván-

valóan arra utal, hogy az erőtani számítás bizonyos elemeit már valószínűségelméleti alapon

kell számítani) engedélyezik, illetve teszik kötelezővé a hatósági előírások.

* Meg kell említenünk, hogy a méretezési alapelvek és eljárások kidolgozásában a magyar kuta-

tók és tudósok mindig kezdeményező és vezető szerepet játszottak. Legfontosabb képviselőik:

Korányi I., Menyhárd I., Kazinczy G., Kármán T., Mistéth E. és mások.

126

4.2.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési eljárás

A méretezés során azt kell kimutatni, hogy a szerkezet tervezett élettartama alatt a külső

erők legkedvezőtlenebb fellépésének várható értéke alapján számított állapotjellemző egyetlen

pontban sem éri el a megfelelő korlát megengedett értékét (4.2 reláció) A megengedett érték a

minősítési érték γ e biztonsági tényezővel való osztása útján nyerhető, illetve az előírások szab-

ják meg. Természetesen nem kell a szerkezeti elemek összes pontjában elvégezni az összeha-

sonlítást, szemlélet és egy kis gyakorlat alapján kiválaszthatók azok az ún. veszélyes vagy kriti-

kus pontok, amelyek az erőtani követelmények kielégítése szempontjából a legveszélyesebbek.

Ezzel az eljárással a leggyakrabban vizsgált állapotjellemző a feszültségi állapot. Meg-

határozzuk a szerkezet kritikus pontjában a tényleges feszültségi állapot komponenseiből vala-

milyen - a vizsgált anyagra alkalmazható - a tönkremeneteli elmélettel az egyenértékű feszültsé-

get és összehasonlítjuk az anyag megengedett feszültségével. A pont a szilárdsági követelmé-

nyek szempontjából megfelel, ha

σ σeg y Mh ú zá s

,m ax( )≤ . 4.6/a

Lineáris feszültségi állapotban (húzásnál vagy nyomásnál) és a tiszta nyírás feszültségi állapo-

tában nem szoktak egyenértékű feszültséget számítani, hanem a feszültségi állapot egyetlen

jellemző feszültségének maximumát hasonlítják össze az igénybevételnek megfelelő feszültség

megengedett értékével. A

σ σm a x m( )(h úz á s ) h úz á s≤ , 4.6/b

σ σmax( nyomá s) (nyomá s)≤ m , 4.6/c

τ τm ax ≤ mm , 4.6/d

relációk teljesülése a szilárdsági követelmény kielégítését jelenti.

Sztatikus (I. típusú) terhelésnél, rideg anyagok esetén a megengedett feszültségeket a

törőszilárdság minősítési értékéből számítjuk:

σσ

γσ

σγ

ττγm

( ) Bh( )

(nyomá s)(nyomá s)

húzá shúzá s

= = =e

mBh

em

Bh

e

, , , 4.7

szívós anyagoknál a folyáshatár minősítési értékét alkalmazzuk:

σσ

γσ

σγ

ττγm

( ) Fh( )

(nyomá s)(nyomá s)

húzá shúzá s

= = =e

mFh

em

Fh

e

, , . 4.8

127

Lüktető (II. típusú) terhelésnél az igénybevétel jellegének megfelelő kifáradási határ minősítési

értékéből számítjuk a megengedett feszültségeket:

σσ

γτ

τγm

( ) Th)

lüktető(lüktető (lüktető)

= =e

mTh

e

, . 4.9

Lengő (III. típusú) terhelésnél szintén az igénybevétel jellegének megfelelő kifáradási határ

minősítési értékéből számítjuk a megengedett feszültségeket:

σσ

γτ

τγm

( ) Th) lengő)

lengő(lengő

= =e

mTh

e

,(

. 4.10

Végezhetünk számításokat természetesen más állapotjellemzőkre is, pl. alakváltozásra,

rezgésekre, stb. Az alaprelációk formailag megegyeznek a (4.6) kifejezésekkel.

A tervező számára a legtöbb gondot a biztonsági tényező meghatározása okozza. Ha

kicsi, akkor szélsőséges körülmények között a szerkezet tönkremehet, túl nagynak választva

pedig a szerkezet túlméretezetté válik, aminek kellemetlen gazdasági következményei lehetnek.

A biztonsági tényezőben igyekeznek mindazon hatásokat figyelembe venni, amelyekre

nincs megbízható adat vagy számítási módszer. A gyakorlati tapasztalatok alapján a legtöbb

szerkezettípusra, anyag- és teherfajtára kialakult a biztonsági tényező, vagy ezen keresztül a

megengedett állapotjellemző, amiket általában hatóságilag írnak elő. Ennek hiányában azt a

módszert szokták alkalmazni, hogy az egyes bizonytalanságokat résztényezőkkel becsülik meg

és a végleges biztonsági tényező ezen résztényezők szorzata:

γ γ γ γ γe = 1 2 3 4... , 4.11

ahol pl.

γ 1 - a szerkezet méretszóródásából adódó résztényező (1,04 - 1,1),

γ 2 - a szerkezeti anyagok szilárdsági tulajdonságainak szóródásából adódó résztényező (1,05)

γ 3- az igénybevétel nagyságának bizonytalanságából származó résztényező (1,2 - 2,0),

γ 4 - az alkalmazott számítóeljárás pontatlanságából származó résztényező, hiszen már korábban

utaltunk arra, hogy viszonylag egyszerű alakú és terhelésű testek rugalmassági problémáit sem

tudjuk teljes pontossággal megoldani, a biztonsági tényező nagyságát a számítás közelítő jelle-

gének mértékében kell felvenni.

További tényezőket jelenthetnek a szerkezet vagy valamelyik elemének rendeltetése,

fontossága, a gyártási, szerelési technológia megbízhatósága, stb.

A fenti módszert azonban nagy körültekintéssel kell alkalmazni, mert γ e -re túl nagy

érték adódhat. Valószínűségi alapon ugyanis belátható, hogy a felsorolt tényezők kedvezőtlen

hatásának egyidejű fellépése meglehetősen ritka.

A magyar szabványok a legtöbb szerkezet esetén előírják a biztonsági tényező értékét,

sőt legtöbbször a megengedett állapotjellemzők nagyságát is.

128

Érdekes módon hazánkban nemcsak a gépekben előforduló szerkezeti elemek, hanem a

közúti és vasúti hidak erőtani méretezését is ezzel a módszerrel kell elvégezni.

4.2.2. Fél-valószínűségi módszerrel kiegészített határállapot alapján történő méretezési eljárás

Ezzel a módszerrel kell méretezni a magas- és mélyépítészeti szerkezeteket 1986. június

1-je, a szabványsorozat hatálybalépése óta. "Az építmények teherhordó szerkezetei erőtani ter-

vezésének általános előírásai" c. szabvány azonosító jele MSZ 15020-86. A figyelembe veendő

terhekkel és hatásokkal az MSZ 15021/1,2-86, a különböző típusú szerkezetekkel a növekvő

sorszámú szabványok foglalkoznak. A faszerkezetekre vonatkozó előírásokat az MSZ 15025-86

tartalmazza.

4.2.2.1. Erőtani számítás

Erőtani számítással kell igazolni, hogy a tervezett teherhordó szerkezet egésze és annak

minden lényeges eleme mind az építés, a kivitelezés, mind pedig a rendeltetésszerű használat

során a tervezett élettartam alatt megfelel az erőtani követelményeknek, és nem teszi lehetetlen-

né a kapcsolódó szerkezetekre érvényes erőtani követelmények kielégítését sem.

Az erőtani követelményeket két alapvető szempont szerint kell megfogalmazni. Egy-

részt meg kell tiltani azoknak a mechanikai, fizikai jelenségeknek, szerkezeti elváltozásoknak,

meghibásodásoknak a fellépését, amelyek a szerkezet használatát, terv szerinti működését aka-

dályozzák vagy lehetetlenné teszik. Másrészt mérlegelve a meghibásodás elkerüléséhez fűződő

érdekeket, az esetleges kárt, a felhasználandó erőforrások nagyságát, meg kell állapítani a meg-

bízhatósági szintet, amelyen a létesítmény gazdaságosan tervezhető és kivitelezhető. Az első

szempont az erőtani követelmények fizikai, mechanikai, a második pedig a valószínűségelméleti

oldala.

A valószínűségelméleti megfontolások alkalmazása, különösen annak tudomásul vétele,

illetve elismerése, hogy bármely kis valószínűséggel is, de előfordulhatnak a tönkremeneteli

követelményeket nem kielégítő szerkezetek, főleg olyan esetekben, mikor a meghibásodás nem

valamilyen elháríthatatlan természeti katasztrófa, hanem emberi tevékenység, mulasztás idézi

elő, sok ember számára elfogadhatatlan. Ez a tervezési szemléletmód azonban nem engedi meg,

csak objektív realitásként figyelembe veszi a szerkezetgyártás, a kivitelezés és az építmény

használata során elkövetett, de nem megengedett és büntetendő emberi hibák és fegyelmezetlen-

ség előfordulási gyakoriságára vonatkozó tapasztalatokat. Az elviselhető költségek erejéig a

teherhordó szerkezetbe beépíti, betervezi a védekezés tartalékait, tehát azt a lehetőséget és ké-

pességet, hogy a szerkezet kisebb mértékű, de egyébként meg nem engedett mulasztások még ne

hozzák használhatatlan vagy nehezen használható állapotba.

129

Az erőtani követelményeket az eltérő biztonsági igények alapján két nagy csoportba

sorolják:

a) A teherbírással kapcsolatos követelmények: Az építmény teherhordó szerkezetének tönkre-

menetelét okozó károsodás nélkül kell hordania a reá ható terheket és el kell viselnie a külső

hatásokat.

b) A használhatósággal kapcsolatos követelmények: Ne forduljanak elő az építmény rendelte-

tésszerű használatát nehezítő vagy korlátozó, fenntartását zavaró és tartósságát, tervezett élettar-

tamát csökkentő jelenségek.

E követelmények kielégítését a tervezés során csak az előírt biztonsággal kell igazolni,

ugyanakkor az elkészült szerkezettől korlátozások, engedélyek nélkül el lehet, el kell várni.

Valamely erőtani követelmény kielégítése igazoltnak tekinthető, ha a vizsgált állapot

mértékadó jellemzője (igénybevétele, feszültsége, elmozdulása, stb.), amelyet a határállapot

bekövetkezését elősegítő terhek és hatások előírt kedvezőtlen értékeiből kell számítani, nem

nagyobb, mint a határállapot megfelelő jellemzője (határigénybevétele, határfeszültsége, határ-

elmozdulása stb.), amelyet az ellenállóképességet növelő szerkezeti paraméterek ugyancsak

előírt kedvezőtlen értékei alapján kell meghatározni. Képletben:

SM ≤ RH . 4.12

4.2.2.2. A szerkezet határállapotai

A határállapotok azok az állapotok, amelyek túllépésekor a teherhordó szerkezet már

nem elégíti ki az erőtani követelményeket. Az erőtani követelményeknek megfelelően ezek is

két csoportok alkotnak:

a) Teherbírási határállapotok: Azok a határállapotok, amelyek túllépése a szerkezet

teherbírásának megszűnéséhez és/vagy tönkremeneteléhez vezetnek:

- a helyzeti állékonyság megszűnése,

- bármilyen jellegű törés,

- a képlékeny alakváltozás megindulása,

- az alaki állékonyság (stabilitás) megszűnése,

mindazon állapotok, amelyeknél az első repedés megjelenése, az anyag folyása, a kapcsolatok-

ban kialakuló elmozdulások vagy maródó alakváltozások halmozódása miatt a szerkezet ren-

deltetésszerűen tovább már nem használható.

b) Használati határállapotok: Azok a határállapotok, amelyek túllépése megnehezíti a szerkezet

rendeltetésszerű használatát, vagy a tervezetthez képest lerövidíti az élettartamot:

- a rendeltetésszerű használatot korlátozó vagy kellemetlen élettani hatást okozó alakváltozá-

sok, elmozdulások, lengések, rezgések, stb. keletkezése, figyelembe véve az esztétikai szem-

pontokat is,

130

- a repedések megengedettnél nagyobb mértékű megnyílása,

- az alaki állékonyság helyi elvesztése, ha az nem vezet a szerkezet teherbírásának

kimerüléséhez.

A határállapot bekövetkezése vagy túllépése rendszerint véletlen jelenség, amelynek

előfordulását egyfelől a véletlen módon kialakuló és ingadozó terhek és hatások, másfelől a

véletlen módon létrejövő és esetleg változó szerkezeti ellenállóképesség befolyásolja.

4.2.2.3. A határállapotok jellemzői

A határállapot megítélése szempontjából a szerkezet

- anyagainak mechanikai, fizikai tulajdonságai és

- geometriai méreteit

kell ismerni és úgy kell megválasztani a szerkezet sztatikai vázát, illetve a számítási modellt,

hogy azok jól tükrözzék az építmény várható viselkedését és tényleges vagy valószínű erőjáté-

kát.

A szerkezet geometriai jellemzőit a terv szerinti, becsült várható értékkel kell figyelem-

be venni.

Az anyagjellemzőket, mint véletlen változókat az erőtani vizsgálatokban előforduló

valószínűségük adott szintjéhez rendelhető értékkel kell alkalmazni. Ezek:

- a minősítési (normatív) érték, az az érték, amelynél kedvezőtlenebb tényleges előfordulását az

anyagonként változó előírások szabályozzák. E minősítési értéket általában az 5 %-os kedvezőt-

len oldali túllépési szinthez szokták rendelni.

- határérték, amely az anyagjellemzőnek a minősítési értéktől való kedvezőtlen eltérését is fi-

gyelembe veszi egy bizonyos - ésszerű - határig. A határértéket a minősítési értékből egy előírt

biztonsági tényezővel való osztással kapjuk. Erről a határértékről feltételezik, hogy kedvezőtlen

irányú túllépése csak 1 o/oo-es eséllyel fordulhat elő. Ha ismert a jellemző sűrűségfüggvénye,

akkor - a biztonsági tényező használata helyett - eleve az 1 o/oo-es kedvezőtlen oldali valószí-

nűségi szinthez tartozó küszöbértéket tekintjük határértéknek.

A teherbírási követelmények kielégítésének ellenőrzésekor mindig az anyagok szilárd-

sági jellemzőinek határértékét, a határfeszültséget kell számításba venni. Ezek nagyságát a vo-

natkozó szabványok tartalmazzák.

4.2.2.4. Terhek és hatások

Az építmények teherhordó szerkezeteinek erőtani számítása során a következő terheket

kell figyelembe venni:

1) Állandó terhek, melyek a szerkezet saját súlyából és a szerkezeten véglegesen és állandóan

működő egyéb terhekből és hatásokból adódnak.

131

2) Esetleges terhek, melyek nevüknek megfelelően nem mindig hatnak. Ezeket is több csoportba

soroljuk:

a) Hasznos terhek, melyek közös jellemzője, hogy az építmény rendeltetésszerű használatának

következtében lépnek fel, a szerkezet létesítésének célja éppen ezeknek a terheknek a hordása:

- födémek, lépcsők, járdák hasznos terhei,

- tárolók hasznos terhei,

- darupályák hasznos terhei,

- egyéb hasznos terhek.

b) Meteorológiai terhek, melyek az építmények rendeltetésétől függetlenül légköri, illetve a

közvetlen környezet hatása következtében szükségszerűen hatnak a szerkezetre:

- hóteher,

- szélteher,

- a hőmérsékletváltozás hatása.

c) Rendkívüli terhek, melyeket a rendeltetésszerű használat során bekövetkezett súlyos üzemza-

var vagy katasztrófális következményű természeti események idéznek elő:

- robbanás hatása,

- vezetékszakadás hatása,

- járművek ütközésének hatása,

- földrengés hatása,

- földcsuszamlás, lavina hatása,

- egyéb rendkívüli terhek.

d) Egyéb esetleges terhek, melyek csoportjába az előzőekben nem érintett, sajátos körülmé-

nyekből adódó terhek sorolhatók:

- porteher,

- jégteher.

A számítások során az egyes terhek az előfordulási valószínűségek meghatározott szint-

jéhez rendelt kétféle nagyság valamelyikével fordulnak elő:

- alapérték, amely a szerkezet élettartama alatt bekövetkező maximális teher várható értéke,

- szélső érték, amely az alapértéktől való kedvezőtlen eltérés bizonyos korlátozott lehetőségét is

figyelembe veszi.

Megbízható statisztikai adatok hiányában elfogadható, hogy az alapérték

- állandó terhek esetén a terv szerinti méretekkel és az átlagos térfogatsúly- vagy súlyadatokkal

számítható teherérték,

- technológiai feltételekkel vagy előírásokkal korlátozott esetleges terhek esetén a rendeltetés-

szerűen lehetséges vagy megengedett teherérték.

A szélső értéket általában az alapérték és a teherhez rendelt biztonsági tényező szorza-

ta adja. A szélső értékről feltételezzük, hogy megegyezik a kedvezőtlen oldali 5 %-os túllépési

132

valószínűséghez tartozó értékkel. Ismert sűrűségfüggvényű teher esetén is ez utóbbi módon

definiáljuk.

Az egyes szerkezetek tervezésére vonatkozó, szabványokba foglalt, a teher alap- és

szélső értékével, illetve a biztonsági tényezővel kapcsolatos előírások a gondosan tervezett,

szokványos módon gyártott és kivitelezett, átlagos jelentőségű, normális körülmények között

üzemelő és végleges jellegű építményekre vonatkozó követelményeknek felelnek meg. Ezektől

eltérő feltételek számításbavétele a következő módosítási tényezők szolgálnak:

- dinamikus tényező, mellyel az esetleges terhek alap- és szélső értékét kell módosítani, ha a

teher dinamikus hatását nem veszik pontosabb számítással figyelembe,

- egyidejűségi tényező, amellyel az esetleges terhek alap- és szélső értékeit kell módosítani ak-

kor, ha a szerkezet fennállási ideje alatt valamely teherfajta egyidejű fellépése a szerkezet több

helyén (nagyobb szakaszán vagy felületén), vagy több teherfajta egyidejű hatása valamely szer-

kezeti elemen kevéssé valószínű,

- rendeltetési tényező, mellyel az egész építmény átlagostól eltérő jelentősége, illetve élettarta-

ma vehető figyelembe.

4.2.2.5. Az állapotjellemzők mértékadó értékei

A szerkezet vizsgált állapotának mértékadó jellemzőit (mértékadó teher, mértékadó

igénybevétel, mértékadó feszültség, mértékadó alakváltozás, stb.) az

SM = G + F1 + α i ii

F∑ 4.13

általános összefüggésnek megfelelő csoportosítással kell meghatározni.

A mértékadó teher - és ebből számítható az összes többi állapotjellemző mértékadó ér-

téke - elvileg mindazon terhek összege, amelyek együttes előfordulásának valószínűsége kb. 1

%.

Statisztikai adatok hiányában a G állandó teherhez hozzá kell adni a legnagyobb hatást

okozó esetleges terhet, az F1-gyel jelölt ún. kiemelt esetleges terhet, a többi esetleges tehernek

már csak az egyidejűleg várható értékét szabad hozzáadni. Ha a mértékadó tehercsoportosítás-

ban több esetleges teher is van, akkor a mértékadó terhelés szempontjából legkedvezőtlenebb

terhet kell kiemelni és teljes értékkel számításba venni, a többi esetleges terhet pedig az egyide-

jűségi tényezővel kell szorozni.

Az egyidejűségi tényező értéke:

α = 0,8

- tárolt anyagok súlyából származó esetleges terheknél,

- darupályák hasznos terheinél,

133

- minden hasznos tehernél akkor, ha annak az előírás szerint meghatározható tartósan ható része

eléri alapértékének legalább 50 %-át;

α = 0

- a rendkívüli terhek esetén, kivéve, ha kiemelt teherként szerepel;

α = 0,6

- minden egyéb esetben.

Általában nincs szükség arra, hogy (4.13) használatakor az összes lehetséges tehercso-

portosítást megvizsgáljuk (bár gépesített számításnál ezt teszik), többnyire szemlélet alapján

eldönthető, hogy melyik terhet kell kiemeltként kezelni. Bonyolult terhelési esetekben is legfel-

jebb csak néhány lehetőséget kell kipróbálni ahhoz, hogy a legnagyobb igénybevételt eredmé-

nyező csoportosítást megtaláljuk.

A teherbírási határállapotok vizsgálatakor - kivéve a fáradási határállapotot -, valamint a

vonatkozó szabványok esetenként előírt egyéb vizsgálatokban a terheket szélső értékükkel kell

figyelembe venni.

A használati határállapotok és a vonatkozó szabványokban előírt egyéb vizsgálatok

során a terheket alapértékükkel kell számításba venni.

Az állandó és esetleges terhek alapértékeit és biztonsági tényezőit a szabvány előírásai

szerint kell felvenni.

A mély- és magasépítészeti szerkezetekkel foglalkozó szabványsorozatnak csak az álta-

lános, a szemléletet bemutató ismérveivel foglalkoztunk. Valamely szerkezet erőtani méretezé-

séhez a vonatkozó szabvány konkrét előírásait, adatait kell figyelembe venni.

5. Rudak rugalmasság- és szilárdságtana

Rúdnak akkor nevezzük a térbeli kiterjedésű testet, ha két geometriai mérete a harma-

dikhoz képest lényegesen (legalább egy nagyságrenddel) kisebb. A hosszabb mérettel párhuza-

mos irányra merőleges síkmetszet a rúd keresztmetszete. A keresztmetszetek geometriai közép-

pontjai (súlypontjai) alkotják a rúd középvonalát (tengelyét). A középvonal alakja szerint be-

szélhetünk egyenes és íves (görbe) tengelyű rudakról. Keresztmetszetük alapján megkülön-

böztetünk állandó és változó keresztmetszetű rudakat. Prizmatikus rúdnak (gerendának) nevez-

zük azt az egyenes tengelyű rudat, melynek keresztmetszete állandó.

Az egyenes tengelyű rudak voltak az első testek, melyeket rugalmasságtani és szilárdságtani

szempontból tudományos alapossággal vizsgáltak. Ezeknek a viszonylag egyszerű alakú testek-

nek a kísérleti és elméleti vizsgálata - melyet elemi rugalmasság- és szilárdságtannak nevezünk -

teremtette meg az alapját a 2. fejezetben tárgyalt rugalmasságtannak. Az elemi rugalmasság- és

szilárdságtan eredményei - annak ellenére, hogy sok közelítő feltevést alkalmaznak - a műszaki

134

gyakorlatban ma is alkalmazhatók. A rugalmasságtan alapegyenleteinek felhasználásával nyert

megoldások legfeljebb csak pontosították, de nem vonták kétségbe a prizmatikus rudak egysze-

rűbb, de a gyakorlat számára nagyon fontos terhelési esetekben az elemi szilárdságtan sokszor

egészen egyszerű szemléleten alapuló eredményeit.

Sztatikai tanulmányainkban megismertük a tetszőleges térbeli külső erőrendszerrel ter-

helt rúd keresztmetszeteiben fellépő igénybevételeket. A legáltalánosabb esetben ezek a húzás,

nyomás, a nyírás, a hajlító- és a csavarónyomaték. Ha az igénybevételek közül csak egy nem

nulla, akkor tiszta, egyébként összetett igénybevételről beszélünk.

5.1. A keresztmetszetek jellemzői

A rugalmasságtani számítások során szükség van a keresztmetszetek különböző jellem-

zőire. A legfontosabb jellemzők érdekes módon egyetlen általános képletbe foglalhatók:

An = x dAn

A∫ , n = 0,1,2,... 5.1

ahol dA - a keresztmetszet síkjából kiválasztott, elemi nagyságú terület (5.1. ábra),

x - a területelem y tengelytől mért távolsága. Az (5.1) definíció a következőt jelenti: A síkido-

mot felosztjuk tetszőleges alakú, de nagyon kicsi területelemekre, az egyes területelemek nagy-

ságát megszorozzuk a vonatkoztatási tengelytől mért távolságnak egy tetszőleges számú (de az

egész síkidomra ugyanakkora) hatványával és az összes lehetséges szorzatot összegezzük. Az

(5.1) kifejezésnek az n = 0,1,2 esetben van nagy gyakorlati jelentősége:

n = 0 x dA dA0

A A

A∫ ∫= =

a síkidom területét kapjuk.

n = 1: x dA xdA1

A A

yS∫ ∫= = ,

ami a sztatikában már megismert

elsőrendű vagy sztatikai nyomaték.

n = 2: x dA = I 2yy

A∫ ,

melyet a síkidom y tengelyre

vonatkozó másodrendű

5.1. ábra. nyomatékának nevezünk.

135

5.1.1. Síkidomok másodrendű nyomatéka

Az 5.1. ábra jelöléseivel többfajta másodrendű nyomatékot is definiálhatunk:

- tengelyre vonatkozó másodrendű nyomaték:

I = y d A y y2

A∫ , I = x dA xx

2

A∫ , 5.2/a

- két, egymásra merőleges tengelyre vonatkozó, ún. deviációs vagy centrifugális másodrendű

nyomaték:

xyxy I xydA yxdA = I == ∫∫AA

5.2/b

- pontra vonatkozó vagy poláris másodrendű nyomaték:

I 0 = ∫ r dAA

2 . 5.2/c

A definíciók alapján beláthatjuk, hogy a tengelyre és a pontra vett másodrendű nyoma-

ték csak pozitív mennyiség lehet. A deviációs nyomaték értékére ilyen megkötés nincs.

Síkidomok másodrendű nyomatékának dimenziója távolság a negyedik hatványon, egy-

sége: m4.

A másodrendű nyomatékot - a sztatikai nyomatékhoz hasonlóan - a definíció megfelelő

képleteinek alkalmazásával lehet számítani olyan matematikai átalakítások bevezetésével, ame-

lyek lehetővé teszik az integrálás konkrét kivitelezését. Néhány alapvető síkidom (téglalap,

háromszög, kör, stb.) másodrendű nyomatékának ismeretében, valamint a másodrendű nyoma-

tékokra vonatkozó tételek felhasználásával viszonylag egyszerűen - az alapdefiníció felhaszná-

lása nélkül - számíthatjuk bonyolult, összetett síkidomok másodrendű nyomatékait.

5.1.2. A másodrendű nyomaték tételei

Tétel: Egy síkidom valamely tengelyre,

pontra vagy tengelyekre vonatkozó

másodrendű nyomatéka egyenlő részeinek

ugyanazon tengelyre, pontra vagy

tengelyekre vonatkozó másodrendű

nyomatékainak összegével (összegzési

tétel).

5.2. ábra

Bizonyítás: A másodrendű nyomaték definíciója lehetővé teszi a következő műveletsort (5.2.

ábra):

136

I y dA y dA y dA y dA y dA

I I I I

xx

A

ii

n

ii

k

ii k

l

ii m

n

xx1 xx xxp xxii

p

= = = + + + =

= + + + =

∫ ∑ ∑ ∑ ∑

∑

= = = + =

=

2 2

1

2

1

2

1

2

21

...

... .

5.3

A tétel helyességét hasonlóan bizonyíthatjuk a másik két fajta másodrendű nyomatékra

is.

A síkidomot természetesen tetszőleges alakú részidomokra bonthatjuk. A felbontás célja

azonban éppen az, hogy a részidomok másodrendű nyomatékait könnyen meghatározhassuk.

Tétel: Egy síkidom tengelyre, pontra vagy tengelyekre vonatkozó másodrendű nyomatéka

egyenlő egy alkalmasan kiegészített síkidom és a kiegészítés ugyanazon tengelyre, pontra vagy

tengelyekre vett másodrendű nyomatékainak különbségével (kiegészítési tétel).

Bizonyítás: Az összegzési tétel matematikai kifeje-

zésének átrendezésével éppen a tétel állítását

igazolhatjuk:

Ixx(eredeti) = Ixx(kiegészített) - Ixx(kiegészítés) . 5.4

Tétel: Ha a síkidom egyes részeit a vonatkoztatási

tengellyel párhuzamo-san eltoljuk, a tengelyre vett

másod-rendű nyomaték változatlan marad.

5.3. ábra

Bizonyítás: A tengellyel való párhuzamos

eltolás sem a részsíkidom területét, sem

annak tengelytől mért távolságát nem

változtatja meg. Így az összegzési tétel

szerint az egész síkidom tengelyre vonatkozó

másodrendű nyomatéka az eltolás

következtében nem változik. Az 5.4. ábrán

látható különböző alakú, de mindig aszéles-

5.4. ábra ségű síkidomok x tengelyre vonatkozó má-

sodrendű nyomatékai megegyeznek.

Tétel: Egy síkidom pontra vonatkozó másodrendű nyomatéka egyenlő a ponton átmenő két,

egymásra merőleges tengelyre vett másodrendű nyomaték összegével.

Bizonyítás: Az 5.1. ábra szerint r2 = x2 + y2, így

I = r dA = (x + y )dA = x dA + y dA = I + I .02

A

2 2

A

2

A

2

A

xx yy∫ ∫ ∫ ∫ 5.5

137

Tétel: Egy síkidom valamely

tengelyre vonatkozó másodrendű

nyomatékát megkapjuk, ha a

síkidom súlypontján átmenő, az

adott tengellyel párhuzamos

tengelyre vonatkozó másodrendű

nyomatékához hozzáadjuk a

síkidom területének és a két tengely

közti távolság négyzetének

szorzatát (Steiner-tétel).

5.5. ábra

Bizonyítás: Az 5.5. ábra jelöléseivel:

I = y dA = ( + t ) dA = ( + 2 t + t )dA =

=

xx2

A

y2

A

2y

2

2

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫+ + = +

η η η

η η ξξ

A

A

y

A

y

A

ydA t dA t dA I At2 2 2 , 5.5/a

hiszen az utolsó előtti egyenlőség második tagjának integrálkifejezése nulla, mert az a síkidom

súlyponton átmenő tengelyre vonatkozó elsőrendű nyomatéka. A tételt Steiner-tételnek nevezik,

jóllehet, több, mint száz évvel korábban Huygens vezette le először.

Hasonlóan bizonyíthatjuk a deviációs és a pontra vonatkozó másodrendű nyomatékok

analóg tételeit.

A deviációs nyomatékokra: I = I + At t ,xy x yξη 5.5/b

a poláris nyomatékokra:

I = I + At = I + A(t + t ) ,0 S r2

S x2

y2

5.5/c

ahol IS - a súlypontra számított poláris

másodrendű nyomaték, I ξη - pedig a súlyponti

tengelyekre vonatkozó deviációs nyomaték, tx,

ty - a súlyponti tengelyek és a velük párhuzamos

tengelyek közötti előjelhelyes távolság, tr - a

súlypont és a vonatkoztatási pont távolsága.

A tétel jelentősége abban áll, hogy ele-

gendő ismerni a síkidomok másodrendű nyoma-

tékát a saját súlypontjukon átmenő tengelyre

vagy tengelyekre, minden más tengelyre a

5.6. ábra másodrendű nyomaték a tétel alkalmazásával

138

számítható. Az (5.5/a,c) összefüggések alapján megállapíthatjuk, hogy a tengelyre vagy a pontra

vonatkozó másodrendű nyomatékok közül a súlyponton átmenő tengelyekre, illetve a súlypont-

ra vonatkozók a lehető legkisebbek. Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy a Steiner-tétel csak ak-

kor alkalmazható, ha a két párhuzamos tengelyrendszer közül az egyik súlyponti. Egy nem

súlyponti tengelyrendszerről egy másik nem súlypontira csak közvetve, a súlypontin keresztül

lehet eljutni.

Tétel: Egy síkidom deviációs nyomatéka nulla, ha a két vonatkoztatási tengely közül legalább

az egyik szimmetriatengely.

Bizonyítás: Az 5.6. ábrának megfelelően az egymáshoz képest szimmetrikus elhelyezkedésű

területelemek elemi deviációs nyomatéka az egyik koordinátapár ellentétes előjele miatt egy-

másnak ellentettjei:

xydA + (-x)ydA = 0 .

A teljes szimmetria miatt minden területelemnek megtalálható a párja, így az egész síkidom

deviációs nyomatéka is nulla.

Tétel: Egy síkidom x,y tengelyrendszerre vonatkozó I = I és I ,I yxxyyyxx másodrendű nyoma-

tékai egy két dimenziós, szimmetrikus tenzort alkotnak, melynek mátrixreprezentációja:

[ ]T

I I

I II

xx yx

xy yy=−

−

0

0

0 0 0

. 5.6

Bizonyítás: Tudjuk, hogy a tenzormennyiségnek az a kritériuma, hogy a koordinátarendszer

forgatásakor meghatározott módon, a (2.7) összefüggésnek megfelelően transzformálódik. Vegyünk fel egy x',y' jelű koordinátarendszert, amely az eredeti x,y-hoz képest α szög-gel van elforgatva. A β

i i, iránycosinuszok (2.8)-nak megfelelő mátrixa:

βi i,

=

cos sin

sin cos

α αα α

0

0

0 0 1

−

.

Ez alapján, de az 5.7. ábra

felhasználásával is meghatározhatjuk

a dA felületelem vesszős

koordinátarendszerbeli koordinátáit:

x' = xcosα + ysinα ,

y' = -xsinα + ycosα .

5.7. ábra

Az x' tengelyre vonatkozó másodrendű nyomaték definíciója értelmében:

139

I = y dA = (-xsin + ycos ) dA =

= sin x dA - 2sin cos xydA + cos y dA =

= I cos + I sin - I sin

x'x'' 2

A

2

A

2 2

A A

2 2

A

xx2

yy2

xy2

∫ ∫

∫ ∫ ∫

α α

α α α α

α α α

5.7/a

vagy a kétszeres szögek felhasználásával:

I =I

2cos +

I

2cos +

I

2sin -

I

2sin +

+ I

2sin +

I

2sin +

I

2os -

I

2cos - I sin =

= I + I

2+

I - I

2cos - I sin2

x'x'xx 2 xx 2 xx 2 xx 2

yy 2 yy 2 yy 2 yy 2xy

2

xx yy xx yy 2xy

α α α α

α α α α α

α α

5.7/b

Hasonló módon vezethetjük le az y' tengelyre vonatkozó és a deviációs másodrendű nyomaté-

kot:

I = x' dA = (xcos + ysin )

= I sin + I cos + I sin =

= I + I

2-

I - I

2cos2 + I sin2

y'y'2

A

2

A

xx2

yy2

xy2

xx yy xx yyxy

∫ ∫ =α α

α α α

α α

dA

5.8

I = x' y'dA = (xcos + ysin )(-xsin + ycos )dA =

= I - I

2sin2 + I cos2

x'y'

A

xx yyxy

∫ ∫ α α α α

α α

A 5.9

Egyszerűen ellenőrizhetjük, hogy a (2.7) általános transzformációs összefüggést a fenti

speciális koordináta-transzformációra alkalmazva, éppen az (5.7), (5.8) és (5.9) kifejezéseket

kapjuk. A másodrendű nyomatékok tehát valóban (5.6)-nak megfelelő tenzormennyiséget alkot-

nak.

A tenzormennyiségekre vonatkozó általános ismereteinket a másodrendű nyomatékok

tenzorára is alkalmazhatjuk. Ha bevezetjük az x' és y' irányok ex' és ey' egységvektorait, akkor

az előbbi, meglehetősen bonyolult skalárösszefüggéseket lényegesebben egyszerűbben felírhat-

juk a (2.10) összefüggések analógiájára:

I = (T e )e

I = (T e )e

I = (T e )e = (T e )e = I .

x'x' I x' x'

y'y' I y' y'

x'y' I x' y' I y' x' y'x'

5.10

140

A másodrendű nyomatékok tenzora síkbeli, így a síkbeli alakváltozási és feszültségi

tenzorokkal kapcsolatban tett megállapítások és összefüggések alkalmazhatók értelemszerűen.

A különböző tenzorok mátrixát összehasonlítva azonnal látjuk, hogy a tengelyre vett másodren-

dű nyomatékoknak a fajlagos hosszváltozások, illetve a normálfeszültségek, a deviációs nyoma-

tékok mínusz egyszeresének pedig a szögváltozások illetve a nyírófeszültségek felelnek meg.

Az analógiából az is következik, hogy a koordinátarendszer forgatása során lesz egy

olyan α szög, amelyhez tartozó irányokban a deviációs nyomatékok értéke nulla. Ezeket a ten-

gelyeket másodrendű nyomatékok főirányainak nevezzük, a hozzájuk tartozó, tengelyekre vett

nyomatékokat pedig fő másodrendű nyomatékoknak. Ezek értékét a karakterisztikus egyenlet-

ből számíthatjuk, melynek invariáns együtthatói:

T = I + I = I

T = I - I

-I I = I I - I ,

T = 0 .

1 xx yy 0

2

xx yx

xy yyxx yy xy

2

3

Az alakváltozási állapot vizsgálatánál bemutatott módszer helyett a másodrendű főirá-

nyokat és a hozzájuk tartozó fő nyomatékokat skalárisan megszorozhatjuk az (5.7)-(5.9) össze-

függés felhasználásával. A főirány helyzetét megadó α szöget (5.9)-ből számíthatjuk, ha azt

egyenlővé tesszük nullával:

tg2 =2I

I - I .xy

xx yy

α 5.11

E szöget visszahelyettesítve az (5.8), (5.9) kifejezésekbe megkapjuk a fő másodrendű nyomaté-

kokat:

[ ] . 4I + )I - (I )I + (I2

1 = I 2

xy2

yyxxyyxx1,2 ± 5.12

A fő másodrendű nyomatékok elnevezésénél az I I1 2≥

relációt kell figyelembe venni. A deviációs nyomatékokra vonatkozó tétel értelmében a szim-

metrikus síkidomok egyik főtengelye a szimmetriatengely. A másik főirány erre merőleges,

akkor is, ha ez a merőleges irány nem szimmetriatengely.

I1 és I

2 ismeretében megrajzolhatjuk a Mohr-féle főköröket is. Gyakorlati jelentősége

csak az 012 középpontú főkörnek van. A főkör felhasználásával tetszőleges α szöggel jellem-

zett irányhoz megszerkeszthetjük a tengelyre vonatkozó és a deviációs nyomatékokat (5.8. áb-

ra).

A szerkesztő eljárás arra is alkalmas, hogy az x,y rendszerben ismert másodrendű nyo-

matékok ismeretében meghatározzuk a főirányok helyzetét és a fő másodrendű nyomatékokat.

Az analógiából és a szerkesztésből is következik, hogy valamely síkidom adott ponton átmenő

141

összes lehetséges tengelye közül az 1-es főtengelyre a legnagyobb, a 2-esre pedig a legkisebb a

másodrendű nyomaték.

5.8. ábra

5.1.3. Egyéb keresztmetszeti jellemzők

Egy A területű síkidom valamely y tengelyre vonatkozó Ixx másodrendű nyomatékának

ismeretében a következő hosszúság jellegű mennyiséget definiálhatjuk:

i =I

A x

xx 5.13

amit a síkidom x tengelyre vonatkozó inerciasugarának nevezünk. Ez hosszúság dimenziójú

mennyiség, egysége: m. Az inerciasugár egy olyan képzeletbeli, végtelen hosszú és elemi szé-

lességű téglalap hossztengelyének az x vonatkoztatási tengelytől mért távolsága, melynek terü-

lete éppen az eredeti síkidom területe. E képzeletbeli síkidom másodrendű nyomatéka az y ten-

gelyre a definíció értelmében Ixx = Ai2x, ebből éppen (5.13)-at kapunk (5.9. ábra).

5.9. ábra

A fő másodrendű nyomatékok felhasználásával (5.13)-ból a fő inerciasugarakat kapjuk.

A korábbiaknak megfelelően

142

i = i =I

A , i = i =

I

A .max 1

1min 2

2 5.14

A másodrendű nyomatékokkal kapcsolatos jellemző az ún. keresztmetszeti tényező is.

Ez nem más, mint a síkidom súlypontján átmenő fő tengelyekre vonatkozó nyomatékoknak és a

síkidom ezen tengelyektől mért legszélső távolságának, a szélső száltávolságnak a hányadosa.

Minden síkidomnak négy keresztmetszeti tényezője van. Általános esetben mind a négy külön-

böző (5.10. ábra), egyszeresen szimmetrikus idomnál kettő, kétszeresen szimmetrikus idomnál

négy azonos (a szélső száltávolságot mindig pozitív mennyiségként értelmezzük):

KI

eK

I

eK

I

eK

I

e11

11

1

12

2

22

2

2

= = = =, ''

, , ''

5.14

Hasonló módon értelmezzük a poláris

keresztmetszeti tényezőt, amely a

síkidom súlypontjára számított poláris

másodrendű nyomaték és síkidom

súlypontból mért legszélső szálának

hányadosa:

KI

eSS=

max

.

5.10. ábra

5.2. Húzó és nyomó igénybevétel

5.2.1. Prizmatikus rúd tiszta húzása vagy nyomása

Terheljünk egy L hosszúságú, A keresztmetszet-területű prizmatikus rudat véglapjain

hossztengelyével párhuzamos (z irány) hatásvonalú, q intenzitású, egyenletesen megoszló erő-

rendszerrel (5.11. ábra). A tetszőlegesen felvett K keresztmetszetben ébredő igénybevételek:

N = N(z) = N = qdA = q dA = qA = á ll.K

A A∫ ∫

TK = T(z) = 0 , MK = M(z) = 0 .

Az igénybevétel tehát a rúd minden keresztmetszetében N nagyságú tiszta húzás.

143

Az elemi rugalmasságtan az alakváltozási és feszültségi állapotmező meghatározását a

rúd alakváltozásának elemzésével kezdi. Ha a terheletlen rúd felületén az 5.11/a,b. ábrának

megfelelően bejelöljük a derékszögű hálózatot, azt tapasztaljuk, pontosabban az alakváltozás

mérésére alkalmas műszerekkel megállapíthatjuk, hogy a terhelés hatására az elemi téglalapok-

nak csupán az élhosszai változnak meg, az élszögek azonban továbbra is derékszögek marad-

nak. A z tengellyel párhuzamos élek megnyúlnak, a z-re merőlegesek pedig megrövidülnek. Az

is megállapítható, hogy a hosszváltozások nagysága az elemi téglalap helyétől függetlenül min-

dig ugyanakkora és a K keresztmetszet az alakváltozás során önmagával párhuzamosan tolódik

el.

5.11. ábra

A fenti alakváltozási tulajdonságok alapján a rúdban felvett, tetszőleges x,y,z koordinátájú elemi

hasáb alakváltozási állapota az

0 = =====

és 0 , 0 , 0

zy yz zx xzyx xy

zzyyxx

εεεεεεεεε ≠≠≠

alakváltozási komponensek jellemzők. Az általános Hooke-törvényből következik, hogy a fe-

szültségi állapot nyírókomponensei nullával egyenlők, a fajlagos hosszváltozásokat pedig nor-

málfeszültségek okozzák. A z irányú normálfeszültséget az 5.11/c. ábrán látható ∆z hosszúságú

144

rúdelem egyensúlyi feltétele alapján meghatározhatjuk. Mivel εzz a keresztmetszet minden

pontjában ugyanekkora, a σzz normálfeszültség eloszlását is egyenletesnek vehetjük. A z irá-

nyú egyensúlyi vetületi egyenlet:

F = 0 = N - dA ,z zz

A

∑ ∫ σ

mivel σ zz nem függ a területelem helyétől, kiemelhető az integráljel elé:

N = dA = A ,zz

A

zzσ σ∫

ahonnan:

=N

A zzσ .

A zzσ feszültségkomponensből származó belső erő a terhelésből származó igénybevétellel

egyensúlyi erőrendszert alkot, nincs szükség a másik két normálfeszültségre: = = 0 .xx yyσ σ

Tiszta húzáskor az egyetlen feszültségkomponens tehát a húzóerővel (rúdtengellyel)

párhuzamos normálfeszültség, melynek eloszlása a keresztmetszeten egyenletes és nagysága a

húzóigénybevétel és a keresztmetszet területének hányadosa. A feszültségi állapot mátrixa:

[ ]TN

Azz

σ

σ=

=

0 0 0

0 0 0

0 0

.

Homogén, izotróp anyagú rúdnál a feszültségi állapot alapján az általános Hooke-

törvénnyel megkapjuk az alakváltozási állapot tenzorának mátrixát:

[ ]T

E

E

E

xx zz

yy zz

zz zz

ε

ε ν σ

ε ν σ

ε σ

=

= −

= −

=

0 0

0 0

0 01

,

ahol E és ν - az anyag rugalmassági

modulusza és Poisson-tényezője.

Mivel minden pontban ugyanazok az

állapotok uralkodnak, homogén

alakváltozási és feszültségi

állapotmezőről beszélünk.

Az 5.12. ábrán a két állapotot

elemi hasábon is ábrázoltuk. Ezek

5.12. ábra alapján vagy a tenzorok mátrixa alap-

145

ján megállapít-hatjuk, hogy a feszültségi állapot lineáris az alakváltozási állapot pedig térbeli. A

nyíró-feszültségek és a szögváltozások hiánya egyben azt jelenti, hogy a főirányok egybeesnek

a koordinátarendszer tengelyeivel.

Ha a külső terhelés értelmét megfordítjuk (és a rúd nem túl hosszú), akkor a rúd igény-

bevétele tiszta nyomás. A fentiekben leírtakhoz képest különbség csak N előjelében lesz, ami

maga után vonja az összes alakváltozási és feszültségi komponens előjelének megváltozását. Jól

szemléltetik a húzás és nyomás közti különbséget az 5.13. ábrán látható feszültségi és alakválto-

zási Mohr-körök.

5.13. ábra

Nyomó igénybevételnél azért kell korlátozni a rúd hosszát, mert L >> vmin esetén, az ún. karcsú

rudaknál a növekvő terhelésnél stabilitási problémák lépnek fel. A karcsú rudak a teljes tönkre-

menetel (törés) előtt jelentősen megváltoztatják alakjukat, kihajlanak, s ilyenkor a keresztmet-

szetek már összetett igénybevételnek vannak kitéve. A karcsú rudak vizsgálatával később fog-

lalkozunk. Tiszta nyomást tételezhetünk fel egészen a tönkremenetelig, ha a rúd hossza nem

nagyobb a legkisebb keresztmetszeti méret kb. 5-szörösénél.

A Mohr-féle feszültségi főkörök alapján könnyen megállapíthatjuk, hogy a rúd hossz-

tengelyével α szöget bezáró normálisú síkon a normálfeszültség mellett nyírófeszültség is fel-

lép (5.14. ábra). Ezek nagysága az 5.13. ábra feszültségi főkörének felhasználásával:

= cos , = sin cos .nn 12

nm 1σ σ α σ σ α α

A ferde metszeteken a normálfeszültség mindig kisebb, mint a merőleges metszeteken. Ezt a

tulajdonságot használjuk ki húzott szerkezeti elemek hossztoldásánál, ha a kapcsolóanyag (a

hegesztési varrat vagy a ragasztóanyag) húzószilárdsága kisebb, mint az összekapcsolandó ele-

146

meké, ugyanakkor megfelelő nagyságú nyírószilárdsággal rendelkezik. Ezt az elvet tükrözik a

ferde átlapolású (5.15/a. ábra) és az ún. bigézett (fűrészfogas) kötésű (5.15/b. ábra) csomóponti

kialakítások.

5.14. ábra

5.15. ábra

Az L hosszúságú rúd teljes hosszváltozását a fajlagos hosszváltozás teljes rúdhosszra

való összegzésével nyerjük:

u dzE

dzN

EAdz

N

EAdz

NL

EAz zz

Lzz

L L L

= = = = = =∫ ∫ ∫ ∫λ εσ

0 0 0 0

. 5.17

előjele N előjelétől függ. A fenti kifejezés

nevezőjében található EA szorzatot a rúd

húzó- (nyomó-) merevségének nevezzük.

A keresztmetszet síkjában egy tet-

szőleges irányban az eredeti v méret megvál-

tozása (5.16. ábra):

5.16. ábra

147

λ ε ξ ε ξ ε ν σ νk k

V

k

V

k zzd d vE

vNv

EA= = = = − = −∫ ∫

0 0

5.18

Húzásnál csökken, nyomásnál növekszik a keresztmetszeti metszet.

Lineárisan rugalmas testet feltételezve a belső erők potenciális energiája és a kiegészítő potenci-

ális energia megegyezik. A ∆ z hosszúságú rúdelemben felhalmozott energiát a (2.76)-os ösz-

szefüggésből a dV = Adz helyettesítéssel nyerjük:

dU dU Adz Adz AE dzA

Edzb b ij ij

ijzz zz zz zz= = = = =∑

1

2

1

2

1

2

1

22 2σ ε σ ε ε σ 5.19

Az L hosszúságú rúdban felhalmozott potenciális energia :

U U dUA

Edz

AL

Edz

V

E

N L

EAb bb zz

L

zz zz= = = = = =∫ ∫1

2

1

2

1

2

1

22

0

2 22

σ σ σ . 5.20

A saját munkák tétele szerint ennek meg kell egyeznie a külső erők saját munkájával.

Az (2.121) összefüggés alapján:

U W qA NNL

EA

N L

EAb kS= = = =1

2

1

2

1

2

2

λ

Ha N-t a jobb oldali rúdvégen ható külső erők eredőjeként értelmezzük, akkor

Castigliano II. tételének alkalmazásával meghatározhatjuk az N hatásvonalával párhuzamos

elmozdulást ( (2.119)-es kifejezés):

u = u =N

=U

N=

1

2

N L

EA

N=

NL

EA ,N z

b

2

∂∂

∂∂

∂

∂

~U b

ami természetesen megegyezik (5.17)-tel.

Ha a rúdvégeken ható külső erő tetszőleges megoszlású, de sztatikailag egyenértékű a

vizsgált, egyenletesen megoszló erőrendszerrel, akkor a St. Venant-elv értelmében csak a rúd-

végek közelében - a keresztmetszeti mérettel kb. azonos távolságon - lesz az alakváltozási és

feszültségi állapot a tárgyalthoz képest eltérő.

Tetszőleges terhelés esetén a rúdvégek közelében kialakuló állapotmező meghatározása elemi

eszközökkel már nem lehetséges, sőt a rugalmasságtan alapegyenleteinek alkalmazásával is

meglehetősen bonyolult feladat, amely a speciális terhelési e-setekben csak közelítéssel oldható

meg.

148

Az 5.17. ábrán a kon-

centrált erővel húzott rúd

feszülségeloszlását láthat-

juk a rúdvégtől különböző

távolságban felvett ke-

resztmetszetekben.

5.17. ábra

5.2.2. Változó keresztmetszetű rudak húzása és nyomása

Ha a rúd keresztmetszete változik - de a keresztmetszetek súlypontjai továbbra is egye-

nest alkotnak -, az előző fejezetben megismert feszültségi állapot bonyolultabbá válik és az ele-

mi rugalmasságtan eszközeivel már nem tárgyalható. A változó keresztmetszetű szakasz pontjaiban a húzó vagy nyomó igénybevétel hatására térbeli feszültségi állapot keletkezik. A hossztengelyre merőleges metszeteken a σ zz normálfe-

szültség mellett σ zy és σ zx nyírófeszültségek is ébrednek, sőt a rúdtengellyel párhuzamos

metszeteken is fellépnek - a nyírófeszültség-komponensek mellett - normálfeszültségek.

Ha a keresztmetszet változása

kismértékű és folytonos (nem ugrásszerű),

akkor a gyakorlat számára kielégítő

pontosságú, ha a feszültségi állapot σ zz

feszültségkomponensét a tiszta húzásnak

vagy nyomásnak megfelelő ösz-

szefüggéssel számítjuk: 5.18. ábra

(z) =N

A(z)zzσ 5.21

és a többi feszültségkomponenst elhanyagoljuk. Az enyhén változó keresztmetszetű rúd hosszá-

nak megváltozását a ∆z hosszúságú elemi szakaszok hosszváltozásának összegzésével kapjuk:

=N

EA(z)0

L

λ ∫ dz 5.22

amelyben elvileg az N igénybevétel is változhat a hossztengely mentén, azaz N = N(z). A fel-

halmozott rugalmas energia a külső erők saját munkájával kifejezve ((5.19) felhasználásával):

149

U = U = W =1

2

A(z)

E=

1

2

N (z)

EA(z)dz b b k

S

0

L 2

0

L~( )σ zz z dz∫ ∫ . 5.23

Ha a keresztmetszet lényegesen és ugrásszerűen változik, akkor a keresztmetszet bizo-

nyos részein a normál-feszültségkomponens igen nagy értéket vehet fel. E feszültségcsúcsok

majdnem mindig az alkatrész felületén, illetve ennek közelében ébrednek, és nagyságuk a felü-

let görbültségétől, a lekerekítési sugártól függ.

A feszültséggyűjtő helyek legnagyobb feszültsége csak hosszadalmas rugalmasságtani

számítással vagy kísérlettel határozható meg. Már számos ilyen vizsgálatot végeztek és ezek

eredményeit a műszaki gyakorlat számára egyszerű formában igyekeztek általánosítani. A kü-

lönböző keresztmetszet-gyengítési esetekben fellépő feszültség maximumát az ún. alaktényező-

vel számíthatjuk:

= zz,max zz,né vlegesσ ασ 5.24/a

ahol a névleges normálfeszültséget a

normáligénybevétel és a tényleges

keresztmetszetterület hányadosaként

számítjuk (mintha tiszta húzás vagy

nyomás lenne). Hasonló elven kapjuk az

y irányú normálfeszültség maximumát:

= yy,max zz,né vlegesσ βσ 5.24/b

α és β a gyengítés jellegétől, illetve

annak geometriai méreteitől függ.

Értéküket műszaki táblázatok vagy

diagramok tartalmazzák. Általános

alapelvként csak annyit jegyezzünk meg,

5.19. ábra

hogy minél kisebb a lekerekítési sugár, annál nagyobbak a feszültségcsúcsok, ezért az alkatré-

szek tervezésénél mindig kerülni kell az éles bevágásokat, sarkokat. Az 5.19. ábrán bemutatjuk

a σ zz és σ yy normálfeszültségek eloszlásának jellegét két különböző gyengítési esetben.

5.2.3. Nyomott felületek érintkezési feszültségei

Ha két test érintkezési felülete síknak tekinthető és ezen a felületen a tiszta nyomásnak

megfelelő körülmények uralkodnak (ilyenek általában a különböző gép- és épületalapozások),

akkor az érintkezés keresztmetszetében, az alaptest és a támasztófelület felszínén ébredő nor-

150

málfeszültségeket a központosan ható nyomóigénybevétel és a nyomott felület hányadosaként

számítjuk (5.20. ábra).

Ha a két test érintkezése nem sík felület mentén,

hanem különböző sugárral jellemezhető görbült

felületi pont(ok)ban történik, akkor az ún.

érintkezési feszültségek eloszlása már nem lesz

egyenletes és mind az eloszlás, mind a

normálfeszültségek nagysága a görbületi sugaraktól

függ (5.21. ábra). E problémakör elméleti

vizsgálatával H. Hertz fog-lalkozott.

Csuklós, csavarozott, szegecselt, szegezett kapcso-

latok, kötések elemeiben az érintkezési felületeken

5.20. ábra - ami mindig egy fél hengerpalást – nyomófeszült-

ségek lépnek fel. A fenti kapcsolatok me-

chanikai szempontból az 5.22. ábrán látható

módon általánosíthatók. A fél

hengerpaláston ébredő normálfeszültségek

megoszlása meglehetősen bonyolult,

számításuk körülményes, ezért a műszaki

gyakorlatban egy fiktív, ún. palástnyomó

feszültséget számítanak. Ennek nagyságát a

kapcsolatra ható normálerőnek és egy fiktív

felületnek, a tényleges érintkezési pa-

lástfelületnek a normálerő hatásvonalára me-

5.21. ábra rőleges síkra vett vetületének hányadosaként

határozzuk meg:

=N

A=

N

dv , p,max

vetület

σ 5.25

ahol d - a csap, szegecs, stb. átmérője, v - a palástfelület magassága.

5.2.4. Húzott és nyomott rudak önsúlyának figyelembevétele

Függőleges helyzetű, egyenes tengelyű rudakban az önsúly húzásra vagy nyomásra

veszi igénybe az egyes keresztmetszeteket. Az önsúly a rúd hossza mentén megoszló terhelés-

ként vehető figyelembe.

151

5.2.4.1. Önsúlyával terhelt húzott rúd

Vizsgáljunk egy L hosszúságú, A keresztmetszet-területű, ρ sűrűségű prizmatikus

rudat az 5.23. ábrának megfelelő, felfüggesztett helyzetben, és határozzuk meg a saját súlya

hatására keletkező normálfeszültségek maximumát és teljes megnyúlását.

Tetszőleges keresztmetszet igénybevétele a keresztmetszet alatti rúdrész súlyával egyenlő:

N(z) = A(L-z)ρg ,

5.22. ábra

ahol g - a nehézségi gyorsulás. A z koordinátájú

keresztmetszet valamelyik pontjában a normál-

feszültség:

g z)-(LA

N(z)=(z) zz =σ .

Azonnal látszik, hogy a legnagyobb normál-

igénybevétel s így a legnagyobb normálfeszültség a

felfüggesztési pontban keletkezik, a z = 0 helyen: N = AL g , = L g .max zz,maxρ σ ρ

Ha a rúd anyagának húzószilárdsága f+ =

σ +B , akkor az a hosszúság, amelynél a saját súlya

alatt elszakad:

L =g

,maxBσ

ρ

5.23. ábra

152

ez az ún. szakadási hossz, ami az anyag minőségére jellemző mennyiség, hiszen nem függ a rúd

keresztmetszeti méreteitől.

A rúd teljes megnyúlását, a z elemi hosszúságú szakaszok megnyúlásának összegzésé-

vel kapjuk:

λρ ρ ρ ρ

= =−

= − = = =∫ ∫ ∫N z

EAdz

L z g

Edz

g

EL z dz

gL

E

gL A

EA

GL

EA

L L L( ) ( )( )

0 0 0

2 2

2 2

1

2.

A rúd tehát saját súlya hatására akkora megnyúlást szenved, mintha a rúdvégeken kon-

centrált erőként saját súlyának fele hatna.

5.2.4.2. Egyenletes szilárdságú húzott és nyomott rúd

Egyenletes szilárdságúnak nevezzük a húzott vagy nyomott rudat, ha a (nem ugrássze-

rűen) változó N = N(z) normáligénybevétel mellett keresztmetszetének geometriai méretei (terü-

lete) úgy módosulnak, hogy minden pontjában ugyanolyan feszültségi állapot, illetve z irányú

normálfeszültség ébred. Az 5.2.1. pontban tárgyalt prizmatikus rúd egyenletes szilárdságú, ez az

eset azonban speciális, mert a normáligénybevétel s ennek megfelelően a keresztmetszet-terület

is állandó.

Vizsgáljunk egy nyomott rudat (oszlopot), melynek felső, szabad, A0 keresztmetszet-

területű végén q intenzitású, egyenletesen megoszló teher hat. A rúd anyagának ρ sűrűségét is

figyelembe véve határozzuk meg, hogyan változzon keresztmetszetének területe, hogy egyenle-

tes szilárdságú legyen.

Válasszunk ki az 5.24. ábrán vázolt oszlopból a z koordinátájú helyen egy ∆z hosszú-

ságú elemet. Ha kikötjük, hogy a keresztmetszet csak kis mértékben változik, akkor az elemi

tartódarab keresztmetszetein ható normálfeszültséget a tiszta nyomás feltételezésével számíthat-

juk.

5.24. ábra 5.25. ábra

153

A legfelső keresztmetszetben ébredő normálfeszültség:

σ σzz 00

0

0

= =N

A=

qA

A= q ,

az egyenletes szilárdság követelménye miatt, minden keresztmetszetben 0-val kell egyenlőnek

lennie a normálfeszültségnek. A z irányú vetületi egyensúlyi egyenlet az alábbi alakot ölti:

F = 0 = A(z) - A(z + z) + gA(z) z .iz 0 0∑ σ σ ρ∆ ∆

Innen:

A(z + z) - A(z)

z= gA(z) .0σ ρ∆

∆

Mindkét oldalra alkalmazva a ∆z 0→ határátmenetet a

d A (z )

d z= g A (z )

0σ ρ

differenciálegyenletet kapjuk. Megoldása:

dA (z)

A (z)lnA (z) = z + A∫ ∫= ∗ρ

σρσ

gdz

g

0 0

,

Az A* integrálási állandót a z = 0, A = A0 kerületi feltételből határozhatjuk meg: A* = lnA

0 .

Ennek belyettesítésével megkapjuk a keresztmetszet-terület z tengely menti változását:

A(z) = A expg

z .00

ρσ

A keresztmetszet-terület tehát exponenciálisan növekszik. Ha a keresztmetszet kör,

akkor az előző összefüggés felhasználásával a sugár változását egyszerűen meghatározhatjuk

(5.25/a. ábra):

r z r( ) =

0 2

expg

z0

ρσ

.

Az "egyenletes szilárdságú oszlop" elvét a természet is ismeri. A növények függőleges

szárai, főleg a zárt állományban növő, hajlításnak kevésbé kitett fatörzsek közelítőleg ilyen ala-

kot vesznek fel. Ez a sudarlósságnak nevezett törzsalak annál inkább szembetűnő, minél na-

gyobb a fa anyagának sűrűsége.

Mesterségesen kialakított oszlopoknál az exponenciális összefüggést követő rúdalak ké-

szítése túlságosan költséges lenne, ezért inkább azt a megoldást választják, hogy az 5.25/b. áb-

rának megfelelően a nyomott oszlopot állandó keresztmetszetű, véges prizmatikus rudakból

rakják össze, úgy, hogy azok kívülről érintsék az elméleti tartóalakot.

154

5.2.5. Összetett keresztmetszetű rudak

A műszaki gyakorlat egyre növekvő igényei és a technikai lehetőségek számos új, spe-

ciális szerkezeti anyagot hoztak létre. Ezek általában inhomogén felépítésűek, eleve kettő, vagy

több, műszaki tulajdonságú anyagrészből, rétegekből állnak. Köztük a legismertebbek a vasbe-

ton, a különböző szálerősítésű műanyagok, a rétegelt ragasztott faelemek, sőt, ilyen anyagnak

tekinthető a korai és késői pászták rétegződésével felépülő természetes faanyag is.

Rugalmasságtani szempontból most is a normáligénybevétel hatására keletkező feszült-

ségeloszlást és alakváltozást kell meghatároznunk. Az alakváltozás jellemzésére általában olyan

mennyiségeket szoktak bevezetni, amelyek az inhomogén szerkezeti elem tulajdonságait egysé-

ges felépítésű, homogénnek tekintett formában írják le. Az összetett szerkezeti felépítésű testek

ilyen rugalmas jellemzőit eredő (vagy effektív) rugalmas állandóknak nevezzük.

A faipari mérnöki gyakorlatban a réteges szerkezetű, összetett keresztmetszetek fordul-

nak elő legsűrűbben (furnérlapok, bútorlapok, rétegelt ragasztott rudak, stb.).

Normáligénybevételnél az eredő rugalmassági modulusz és az eredő Poisson-tényező jellemzi

az alakváltozást. Gyakorlati szempontból két fontos esetet célszerű figyelembe venni.

a) A rétegződés a normáligénybevétel hatásvonalával párhuzamos

Vegyünk egy, az 5.26. ábrán látható módon, rétegekből összeállított prizmatikus rudat,

amelyben az egyes rétegek egymáshoz képest nem tudnak elmozdulni (pl. össze vannak ra-

gasztva). A rétegek száma n, az egyes rétegek keresztmetszetének alakja tetszőleges lehet, a

faipari gyakorlatban azonban általában a téglalap keresztmetszet fordul elő. Az i-edik, homo-

génnek feltételezett réteg geometriai méretei az ábrának megfelelően: vi, s, h, rugalmas állandói:

Ei, νi . Hasson a rúd vs területű véglapjain q intenzitású, egyenletesen megoszló húzó (vagy

nyomó) erő. Határozzuk meg a rúd eredő rugalmas állandóit és a normálfeszültségek kereszt-

metszeten belüli megoszlását.

A szerkezeti kialakításból és a terhelés jellegéből következik, hogy az egyes rétegekben

ébredő normáligénybevételek összege egyenlő a teljes keresztmetszet eredő igénybevételével:

N = qvs = N , ahol v = vii=1

n

ii=1

n

∑ ∑ 5.26

valamint, az egyes rétegek hosszváltozása megegyezik és egyenlő az egységes egésznek tekin-

tett rúd hosszváltozásával: = .eredõ iλ λ

A homogénnek tekintett rúd hosszváltozása:

=Nh

E A eredõ

eredõ

λ 5.27

155

ezzel egyezik meg az egyes rétegek hosszváltozása:

=N h

E A= .i

i

i ieredõλ λ

Kifejezve innen Ni-t és (5.26)-ba helyettesítve:

N = N = E A

=h

E A .ii=1

n eredõ i i

i=1

neredõ

i ii=1

n

∑ ∑ ∑λ λ

h

Ha ezt (5.27)-be helyettesítjük, onnan kifejezhetjük az eredő rugalmassági moduluszt:

E =1

AE A eredõ i i

i=1

n

∑ , 5.28/a

ha a rétegek szélessége azonos:

E =1

v E v eredõ i i

i=1

n

∑ . 5.28/b

Az eredő Poisson-tényezőt abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy a teljes haránt-

irányú hosszváltozás az egyes rétegek harántirányú hosszváltozásainak összege:

= k k iλ λi

n

=∑

1

. 5.29

A homogénnek tekintett rúd keresztirányú hosszváltozása:

= v = - v = - vN

E A k k eredő zz eredő

eredő

λ ε ν ε ν , 5.30

míg az i-ediké:

= v = - v = - vN

E .ki i ki i i zz i i

eredő

λ ε ν ε νA

Ezt (5.29)-be helyettesítve:

= - vE A

= -E A

v k i ieredõ

n

eredõi iλ ν νN N

i i

n

= =∑ ∑

1 1

,

majd (5.30)-cal egyenlővé téve kapjuk:

ν νeredõ i ii=1

=1

v v

n

∑

Az alakváltozási tenzormező homogén a réteges felépítés ellenére. A feszültségi tenzor-

mező viszont csak egy rétegen belül homogén. A feszültségi állapot lineáris, az i-edik réteg

tetszőleges pontjában a feszültségi állapot egyetlen normálfeszültség-komponense:

=N

A=

E A

A h =

N

A

E

E .zzi

i

i

i i

ieredõ

i

eredõ

σ λ 5.32

A maximális feszültség tehát abban a rétegben ébred, amelyiknek a legnagyobb a rugalmassági

modulusza. Egy fiktív feszültségeloszlást láthatunk az 5.26/b. ábrán.

156

5.26. ábra

b) A rétegződés merőleges a normáligénybevétel hatásvonalára

A szerkezeti kialakítás és a terhelés jellegének következtében (5.27. ábra) most minden

rétegben azonos nagyságú az igénybevétel:

N = Ni=qvs ,

a teljes hosszváltozás pedig az egyes rétegek

hosszváltozásának összege:

= .eredõ iλ λi

n

=∑

1

5.33

A homogénnek tekintett rúd hosszváltozása:

=Nh

E A ,eredõ

eredõ

λ 5.34

az i-edik rétegé pedig:

λ =N h

E A=

Nh

E A .i

i i

i i

i

i

Ezt (5.33)-ba helyettesítve: 5.27. ábra

157

= nNh

E A =

N

A

h

E ,eredõ

i

ii=1

ni

ii=1

n

λ ∑ ∑

majd (5.34)-gyel egyenlővé téve kapjuk:

1

E=

1

h

h

E .

eredõ

i

ii=1

n

∑ 5.35

Most az eredő Poisson-tényezőt az előzőhöz hasonló módon nem tudjuk értelmezni.

Könnyen beláthatjuk, hogy amennyiben az egyes rétegek az x,y síkkal párhuzamosan egymás-

hoz képest elmozdulhatnának, akkor mindegyik réteg keresztirányú hosszváltozása más lenne.

A ragasztás azonban a kapcsolódó felületek elmozdulását megakadályozza, ezért ez az x,y sík-

kal párhuzamos elmozdulás részben gátolt. A harántirányú elmozdulás nem lesz egyenletes és

az eredetileg sík oldalfelületek meggörbülnek, miközben az egyes rétegekben különböző fe-

szültségkomponensek ébrednek. Ennek a mechanikai folyamatnak a leírása már csak a rugal-

masságtan alapegyenleteinek alkalmazásával lehetséges.

Ha eltekintünk a keresztirányú alakváltozások következményeitől és a gátolt alakválto-

zás miatt fellépő sajátfeszültségeket elhanyagoljuk, a rúd feszültségi állapotmezejét homogén-

nak tekinthetjük. A feszültségállapot lineáris, a normálfeszültség nagysága:

=N

A=

N

vs= q .zz

i

i

σ 5.36

Az alakváltozási állapotmező csak egy rétegen belül homogén. A z irányú fajlagos hosszválto-

zás az i-edik rétegben:

=h

=Nh

E Ah =

N

E A =

q

E .zzi

i

i

i

i i i i

ελ

5.37

5.2.6. Erőtani méretezés

5.2.6.1. Megengedett feszültségeken alapuló méretezési módszer

Tiszta húzásra vagy nyomásra igénybevett rúd méretezésénél azt kell kimutatni, hogy

σ σmax ≤ m , 5.37

ahol σmax-ot (5.16)-tal számítjuk. Enyhén változó keresztmetszetű és a hossztengely mentén

változó nagyságú normáligénybevételnek kitett rúd esetén a kritikus pontban kell számítani a

maximális normálfeszültséget. A kritikus pont abban a keresztmetszetben van, amelyben a

158

normáligénybevételnek és a tényleges, ún. hasznos keresztmetszet-területnek a hányadosa az

összes lehetséges közül a legnagyobb. E keresztmetszet pontjaiban

σ max =

h

N

A

A kritikus pont helyét sokszor csak próbálgatással lehet meghatározni. Ha a rúd ke-

resztmetszete hirtelen és jelentősen változik, tehát feszültségcsúcsok és összetett feszültségi

állapot kialakulásával kell számolnunk, a rúd anyagi minőségének megfelelő feszültségelmélet-

tel egyenértékű feszültséget kell meghatározni. Az összes lehetséges egyenértékű feszültség

maximumát - σ egy,max-ot - kell (5.37) bal oldalára helyettesíteni.

(5.37) jobb oldalán, a húzásra vagy nyomásra megengedett feszültséget az anyagminő-

ség függvényében táblázatokból választjuk ki.

Ha a szerkezeti elem alakváltozásának is korlátai vannak, akkor a

λ λté n y leges≤ m 5.38

relációnak kell teljesülnie. λ té nyleges -t (5.17)-tel vagy (5.22)-vel számítjuk a keresztmetszet és a

normáligénybevétel jellegétől függően. λm nagyságát a szerkezeti elem rendeltetésétől függően

szabványos előírások tartalmazzák.

Tervezéskor, a leggazdaságosabb megoldást feltételezve, az (5.37) és (5.38) relációk

egyenlőségéből indulunk ki, amelyből már a keresztmetszet szükséges területe számítható. A

keresztmetszet választott alakja és szükséges területének ismeretében geometriai méretei megha-

tározhatók.

5.2.6.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer

E módszerrel általában azt szoktuk kimutatni, hogy

N N ,M H≤ 5.39

tehát, hogy a mértékadó normáligénybevétel kisebb, mint a rúd határ húzó- vagy nyomóereje. A

mértékadó igénybevételt a mértékadó teher alapján számítjuk. Prizmatikus rúd és enyhén válto-

zó keresztmetszetű rúd esetén a határerő:

. A = N HhH σ

σ H - az anyag határfeszültsége húzásnál és nyomásnál, értékét az anyagminőség függvényében

táblázatokból választhatjuk meg.

159

Az alakváltozás akkor megfelelő, ha

.M Hλ λ≤ 5.40

Mλ -et a mértékadó normáligénybevétellel (5.17)-tel vagy (5.22)-vel számítjuk, Hλ pedig

előírt érték.

Összetett feszültségi állapotban (5.39) nem használható. Ilyenkor a mértékadó

normáligénybevétel alapján meghatározzuk a feszültségi állapot komponenseit, ezekből az

egyenértékű feszültséget és ezt hasonlítjuk össze a határfeszültséggel:

egy,max σ σ≤ H 5.41

Tervezéskor most is az (5.39)-(5.41) összefüggések egyenlőségéből indulunk ki.

5.3. Nyíró igénybevétel

5.3.1. Prizmatikus rúd tiszta nyírása

Terheljünk egy A = sh területű, téglalap keresztmetszetű, L hosszúságú rudat az 5.28.

ábrán látható módon két véglapján, valamint alsó és felső határolósíkján a felületekkel párhu-

zamos hatásvonalú és az ellentétes lapokon ellentétes értelmű, q intenzitású, egyenletesen meg-

oszló erőrendszerrel.

A tetszőlegesen felvett keresztmetszet igénybevételei:

N = N(z) = qsz - qsz = 0 ,

T = T(z) = T = qsh = qA = á ll. ,

M = M(z) = qshz - qszh

2 - qsz

h

2= 0 .

K

K

K

A rúd igénybevétele tehát tiszta nyírás.

A rúd felületére rajzolt derékszögű hálózat téglalapjai olyan parallelogrammává defor-

málódnak a terhelés hatására, melynek élhosszai megegyeznek az eredeti téglalapok oldalainak

hosszával. Maga az egész rúd is hossz- és térfogatváltozás nélkül paralellepipedonná deformá-

lódik. Akárhol is választjuk ki a rúdból a térfogatelemet, mindig ugyanazt az alakváltozást kap-

juk, így az alakváltozási és a feszültségi tenzor-mező homogén. Az alakváltozás jellegéből kö-

vetkezik, hogy a tetszőlegesen felvett anyagi pont alakváltozási állapotának tenzorkomponensei

közül csak a ε zy = εyz nem nulla. Ez - az általános Hooke-törvény ismeretében - azt jelenti,

hogy a feszültségi állapotnak csak a σzy = σ yz nyírókomponense tér el a nullától:

= = 2G = 2G ,zy yz zy yzσ σ ε ε

160

ahol G - a nyíró-rugalmassági modulusz.

A nyírófeszültség értékét az 5.28/c. ábrán látható elemi hosszúságú rúddarabra ható

erők egyensúlyából fejezhetjük ki. Az y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:

F T dA T dA T Ay zy

A

zy

A

zy= = − = − = −∫∑ ∫0 σ σ σ ,

ahonnan

= =T

A zy yzσ σ . 5.42

5.28. ábra

161

Tiszta nyíráskor tehát csak nyírófeszültség ébred, melynek eloszlása a keresztmetszetben egyen-

letes, nagysága pedig a nyíróigénybevétel és a nyírt keresztmetszet-terület hányadosa.

A feszültségi és az alakváltozási tenzorok mátrixa:

[ ] [ ]T =

0 0

0 0

0

, T =

0

0

0

.

zyzy

σ εσ

σ

εσ

εσ

0

0

0 0

02

20

zy zyzy

yz

T

AT

A

G

G

=

=

=

=

A feszültségkomponenseket és az elemi hasáb alakváltozását az 5.29. ábrán láthatjuk.

Mindkét állapot síkbeli, Mohr-féle főköreiket az 5.30. ábrán mutatjuk be.

Számítás nélkül is beláthatjuk,

hogy az x irány azonos a 2-es

főiránnyal, az 1-es és a 3-as fő-

irányt pedig az y,z tengelyek x

tengely körüli 45°-os elforgatá-

sával nyerjük. A főirányok

rendszerében a főfeszültségek és

főalakváltozások értékét az 5.30.

ábráról is könnyen megál-

lapíthatjuk:

5.29. ábra

= - = , = - = .1 3 zy 1 3 zyσ σ σ ε ε ε

A rúd teljes alakváltozását jellemezhetjük az

= =2G

=T

2GA yz zy

zyε εσ

5.43/a

Deformáció-komponenssel. Az eredetileg derékszögű hasáb y,z síkban lévő élszögének

5.30. ábra

162

megváltozása:

= = 2 =T

GA ,zy yz zyγ ε ε εzy + 5.43/b

a GA szorzat a rúd nyírómerevsége.

Az elemi rúdban felhalmozott rugalmas energia (2.76) felhasználásával:

. GA

T

2

1=dz2GAε=

= dzσ2G

A= Adzε2σ

2

1= )Adzεσ +εσ (

2

1= dU

22yz

2yzzy zyyz yzzy zyb

5.44/a

Az L hosszúságú rúd rugalmas energiája:

,W= GA

LT

2

1= dz

GA

T

2

1=dU =U

~ = U S

k

22

bbb ∫∫ 5.44/b

ami természetesen megegyezik a külső erők saját munkájával.

5.3.2. A közelítőleg tiszta nyírásnak kitett szerkezeti elemek vizsgálata

Az előző fejezetben tárgyalt, homogén tenzormezőt létrehozó, tiszta nyírásnak nevezett

terhelési eset a gyakorlatban igen ritkán fordul elő. Egy-egy keresztmetszetben ugyan megvaló-

sítható tiszta nyíróigénybevétel, mint pl. az 5.31. ábrán látható terhelési esetben a k = F/M he-

lyen csak F nagyságú nyíróigénybevétel működik, a rúd feszültség- és alakváltozásmezeje azon-

ban nem homogén - mint majd később részletesen is megindokoljuk - a nyírófeszültség ke-

resztmetszeten belüli egyenletes megoszlásának a feltételezése elvileg is kifogásolható.

A tiszta nyírás olyan állapot, amely a

gyakorlatban sohasem valósítható

(vagy valósul) meg tökéletesen. Ennek

ellenére számtalan olyan gyakorlati

feladat fordul elő, amelyet közelítőleg a

tiszta nyírás feltételezésének az ala-

pulvételével oldunk meg. A tiszta nyí-

rás elméletével számítjuk az összes

olyan keresztmetszet feszültségeloszlá-

sát és alakváltozási jellemzőit, ahol a

5.31. ábra nyíróigénybevétel mellett a többi

igénybevétel elhanyagolhatóan kicsi.

Nyíróigénybevétel a legjelentősebb igénybevétel a különböző anyagú testek bizonyos

fajta átalakításánál, megmunkálásánál. Az olló, a lemezolló és az egyéb vágószerszámok az

anyagnak azt a tulajdonságát használják ki, hogy nyírószilárdsága véges. Az 5.32/a,b. ábrán

látható darabolásnál és kivágásnál a tönkremenetel során majd elváló keresztmetszetekben (az

163

ábrán cikk-cakk vonallal jelölve) a nyíróigénybevétel mellett hajlítás és nyomás is fellép, a

tönkremenetel jellege mégis azt bizonyítja, hogy a nyírás a legveszélyesebb igénybevétel. Az

átvágáshoz szükséges erőt a tiszta nyírás feltételezésével számítjuk, azaz a nyírt keresztmetszet

területét szorozzuk az anyag nyírószilárdságával.

5.32. ábra

Ez a megmunkálási technológia a szívós

anyagoknál alkalmazható, amelyeknél a

nyírószilárdság az anyag nyírási folyáshatára.

A nyíróigénybevétel a legfontosabb

igénybevétel bizonyos szerkezeti kapcsola-

tokban is. Ilyen elmozduló kapcsolatok a

különböző csuklók, csapok (5.33/a. ábra) és a

többé-kevésbé hajlítómerevnek tekinthető

szegecselt (5.33/b. ábra), csavarozott (5.33/b.

ábra), szegezett kötések és a hegesztett vagy

ragasztott átlapolások (5.34. ábra). Az utóbbi

két ábrán látható szerkezeti kapcsolatok

rúdjaira (lemezeire) ható erőket (húzó- és

nyomóerő vagy csavaró-nyomaték) az elemek

érintkezési felületein, a kötőelemben ébredő

nyírófeszültségek viszik át. Az ábrák alapján

megállapíthatjuk, hogy a csapok, szege-csek,

csavarok, szegek igénybevétele a nyírás

mellett hajlítónyomaték és a kötő-elemek

felületén palástnyomás is fellép. Az erőtani

5.33. ábra méretezés során általában csak a nyíró- és

164

palást nyomó igénybevételt szokták figyelembe venni.

τ á tl.=F

vs

τ á tl.=F

vs2

τπá tl.=F

d s

τπá tl.=

22

M

d s

τ á tl. =F

A hegesztett

5.34. ábra

Mind a szegecselt, csavarozott, szegezett, mind a ragasztott kapcsolatok lehetnek több-

szörösen átlapoltak. Ilyenkor több párhuzamos ragasztási réteg létezik, a szegecsek, csavarok,

szegek több keresztmetszetben is elnyíródhatnak. Ha n+1 elem kapcsolódik, akkor n-szeres

átlapolásról és n-szer nyírt szegecsről, csavarról, szegről beszélünk.

165

A gyakorlatban a szegecselt, csavarozott, szegezett kötésekben mindig több, szabályo-

san elrendezett, azonos átmérőjű kötőelemet alkalmaznak. Az egyes kötőelemekre ható erők

meghatározásánál azzal az egyszerűsítő feltevéssel szoktak élni, hogy a teljes átadandó erő az

egyes elemeken egyenlően oszlik meg.

Hasonló egyszerűsítéssel élnek a ragasztott, szegecselt, átlapolt kötéseknél, mert az

esetek többségében feltételezik, hogy a nyírófeszültségek eloszlása egyenletes. Ennek megfele-

lően az összefüggések (5.34. ábra) egy átlagos nyírófeszültséget adnak meg.

Többszörösen átlapolt és többszörösen nyírt kötéseknél úgy járunk el a legegyszerűb-

ben, hogy megkeressük a kötőelemnek azt a keresztmetszetét, illetve azt a ragasztási réteget,

amelyre a legnagyobb nyíróigénybevétel esik. Ezt a legnagyobb igénybe-vételt osztva a kötő-

elem, illetve az átlapolás keresztmetszet-területével, megkapjuk az átlagos nyírófeszültséget,

amely a többi nyírt felülethez tartozónál nagyobb. A palástnyomó-feszültség maximu-mának

meghatározásánál is hasonlóan járhatunk el. Hegesztett kötéseknél a hegesztési varrat számítás-

ba vehető területét előírások szabályozzák. Kényesebb szerkezeteknél természetesen alkalmaz-

hatjuk azokat a pontosabb elméleteket, amelyek figyelembe veszik, hogy a kötőelemekre jutó

nyíró- és palástnyomó-erő, illetve az átlapolás hossztengelye mentén a nyírófeszültségek meg-

oszlása nem egyenletes.

5.3.3. Összetett keresztmetszet nyírása

A feladat ugyanaz, mint az ösz-

szetett keresztmetszetű rudak húzásánál.

Meg kell határozni a keresztmetszetben a

feszültségeloszlást, a rúd alakváltozását és

az eredő nyíró-rugalmassági moduluszt. A

gyakorlatban többféle rétegződési és

terhelési eset fordul elő.

a) A nyírási sík és a nyíróerő merőlegesek

a rétegekre

5.35. ábra

Az 5.35. ábrán látható esetben az x,y síkkal párhuzamos keresztmetszetekben a teljes

nyíróerő az egyes rétegekben ébredő nyíróigénybevételek összege lesz:

T = qvs = T ii=1

n

∑ 5.45

ugyanakkor mindegyik réteg ugyanazt az alakváltozást szenvedi:

166

= .yz,eredõ yziγ γ

A homogénnek tekintett rúd szögváltozása:

=T

G A ,yz,eredõ

eredõ

γ

amellyel megegyezik az egyes rétegek szögváltozása:

=T

G A ,yzi

i

i i

γ

ahol Gi - az i-edik réteg nyíró-rugalmassági modulusza,

Ai - az i-edik réteg keresztmetszetterülete,

A = A ii=1

n

∑ - a rúd teljes keresztmetszet-területe.

Fejezzük ki a két utóbbi kifejezésből a nyíróerőket és helyettesítsük be őket (5.45)-be. Az így

kapott egyenlőségből az eredő nyíró-rugalmassági modulusz meghatározható:

G =1

AG A ,eredõ i i

i=1

n

∑ 5.46/a

vagy állandó szélességű rétegek esetén:

G =1

vG v eredõ i i

i =1

n

∑ . 5.46/b

Az egész rúd alakváltozási állapotmezeje homogén, az eltérő rugalmas tulajdonságok

miatt azonban az egyes rétegekben különböző nagyságú nyírófeszültség ébred.

=T

A =

1

AG A = Gi =

T

A

G

G. yzi

i

i iyzi i i yz,eredõ

i

eredõ

σ γ γ 5.47

A legnagyobb nyírófeszültség tehát abban a rétegben ébred, amelynek legnagyobb a nyíró-

rugalmassági modulusza.

b) A nyírási sík merőleges a réte-

gekre, de a nyíróerő a rétegekkel

párhuzamos

Az 5.36. ábra alapján megállapíthat-

juk, hogy a teljes nyíróerő az egyes

rétegek nyíróigénybevételének ösz-

szegével egyenlő, az egyes rétegek

alakváltozásai pedig megegyeznek.

Formailag tehát az a) esettel van

dolgunk. Az eredő nyíró-rugal-

massági moduluszt és a rétegekben

5.36. ábra ébredő nyírófeszültséget az (5.46) és

(5.47) összefüggések adják.

167

c) A nyírási sík párhuzamos a rétegekkel

Az x,y síkkal párhuzamos keresztmetszetek igénybevétele megegyezik és egyenlő a

teljes nyíró-igénybevétellel (5.37. ábra):

T = T = qvs i . 5.48

A rúd felső sarkainak elmozdulása pedig az egyes rétegek felső sarkainak

elmozdulásösszegével egyenlő:

= eredõ ii=1

n

λ λ∑ 5.49

A homogénnek tekintett rúd eredő

elmozdulása:

= v = vT

G A,eredõ yz,eredõ

eredõ

λ γ

az i-edik réteg relatív elmozdulása:

= v = vT

G A .i i yzi i

i

i

λ γ

Ez utóbbi két összefüggést (5.49)-be

helyettesítve, (5.48)-at felhasználva,

megkapjuk az eredő technikai

állandót:

5.37. ábra

. vG

1

v

1=

G

1i

n

1=i iered›∑ 5.50

A rúd feszültségi állapotmezeje homogén, az egyes rétegek γ yzi szögváltozása azon-

ban más és más:

=G

=T

A

1

G=

T

A G yzi

yzi

i

i

i i i

γσ 1

5.51

Annak a rétegnek a legnagyobb a szögváltozása, amelyiknek a legkisebb a nyíró-rugalmassági

modulusza.

5.3.4. Erőtani méretezés

5.3.4.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer

168

Tiszta nyírás vagy a tiszta nyíráshoz közel álló igénybevétel esetén azt kell kimutatni,

hogy τ τmax ≤ m 5.52

ahol τ max - a kritikus keresztmetszet nyírófeszültsége. A kritikus keresztmetszet az a kereszt-

metszet, amelyben a nyíróigénybevétel és a keresztmetszet-terület hányadosa az összes lehetsé-

ges közül a legnagyobb:

τ maxmax

h

=T

A .

A megengedett nyírófeszültséget az anyagminőség függvényében szabványos előírások tartal-

mazzák.

Az Ah keresztmetszetet nem mindig egyszerű meghatározni. Célszerű elképzelni, ho-

gyan nyíródik el a szerkezet a tönkremenetl pillanatában és az egymáson elcsúszó felületek ad-

ják a nyírt keresztmetszetet, melynek területe már könnyen számítható a geometriai adatok alap-

ján.

Tervezéskor az (5.52) összefüggés egyenlőségéből indulunk ki.

Csavarozott, szegecselt, szegezett, átlapolt kötéseknél a szerkezeti szempontok az átla-

polt lemezek számát, vastagságát, az alkalmazandó kötőelemek átmérőjét előre megszabják,

ezért a számítandó vagy ellenőrizendő ismeretlen a kötőelemek száma. Ezt úgy kapjuk meg,

hogy meghatározzuk egyetlen egy, egyszer nyírt kötőelem megengedett nyíróigénybevételét:

T = d

4 ,m m

2

τ π

ahol d - a kötőelem átmérője. Ezután megkeressük azt az átlapolási síkot, amelyre a legnagyobb

nyíróerő jut, ezt Tmax- szal jelölve, a nyírás szempontjából szükséges kötőelemszám:

kT

T .m ax

m

τ ≥

A kötőelemek azonban nemcsak nyírásra, hanem - mint már korábban említettük - palástnyo-

másra is igénybe vannak véve. Mivel a kötőelemek nyírása és palástnyomása nem ugyanazon a

helyen, nem ugyanabban a keresztmetszetben történik, a két igénybevételt egymástól elkülönít-

ve, függetlenül vizsgálhatjuk. A méretezés alapelve ugyanaz, mint nyírásnál. Az egy kötőelem

által felvehető megengedett palástnyomóerő:

N = dv ,m pmσ

ahol d - a kötőelem átmérője, v - a lemez vastagsága. Nm kritikus értékét úgy kapjuk meg, ha a

legvékonyabb, de a legnagyobb normálerőnek kitett lemezt választjuk. Előfordulhat, hogy csak

próbálgatással lehet meghatározni Nm legkisebb értékét. A palástnyomás szempontjából szük-

séges kötőelemszám:

169

k N

N ,max

m

σ ≥

ahol Nmax - a kiválasztott v vastagságú lemezre eső normálerő. Természetesen nemcsak a kötő-

elemeket, hanem a lemezeket is ellenőrizni kell palástnyomásra. Ezt ugyanúgy végezzük, mint a

kötőelemnél, csupán σpm helyébe a lemez megengedett palástnyomó feszültségét helyettesítjük

be.

k τ és k σ közül a nagyobbat kell választani a kapcsolat kialakításához.

5.3.4.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer

A méretek megfelelőek, ha

T T ,M H≤ 5.53

ahol TM - a mértékadó nyíróerő, melyet a mértékadó terhelésből számítunk, TH - a rúd

határnyíróigénybevétele. Tiszta nyíráskor vagy az azt megközelítő esetekben:

T = A ,H H hτ

ahol τ H - a határnyírófeszültség, melyet az anyagminőség függvényében táblázatokból kell

kiválasztani.

Szegecselt, csavarozott, szegezett kapcsolatok méretezésének alapelve ugyanaz, mint megengedett feszültségre való méretezésnél, annyi különbséggel, hogy a τ σm pm, megengedett

feszültségek helyett aτ H , σ pH határnyírófeszültséget és határ palástnyomófeszültséget hasz-

nálunk.

Nyírásra egy kötőelem határereje:

T = d

4H H

2

τ π

a szükséges kötőelemszám:

k =T

T ,M

H

τ

ahol TM - a kötőelem veszélyes keresztmetszetének mértékadó nyíróereje:

Palástnyomásra egy kötőelem határereje:

N = dv ,H pHσ

a szükséges kötőelemszám:

k =N

N ,M

H

σ

NM - a kiválasztott, v vastagságú elemre ható mértékadó nyomóerő. Palástnyomásra a lemezt is

ellenőrizni kell.

170

5.4. Hajlító igénybevétel

5.4.1. Prizmatikus rúd tiszta hajlítása

Terheljünk az 5.38. ábrán látható, tetszőleges keresztmetszetű, prizmatikus rudat vég-

lapjain olyan - egyelőre nem részletezett - megoszló erőrendszerrel, amely hatására tetszőleges

K keresztmetszet igénybevétele:

N = N(z) = 0 ,

T = T(z) = 0 ,

M = M(z) = M = á ll.

K

K

K x

Tetszőleges keresztmetszet igénybevétele tehát tiszta hajlítás. A hajlítónyomaték vektora

M M ex x= , a hajlítás síkja az y,z sík.

A hajlítónyomaték hatására az eredetileg egyenes rúd meggörbül. Az alakváltozással

kapcsolatos megfigyelések és mérések alapján a következőket állapíthatjuk meg:

- A rúd z tengellyel párhuzamos szálai az alakváltozás során síkgörbe alakot vesznek

fel, a görbék síkja párhuzamos egy y', z' -y', z' síkkal, melynek y' tengelye α szöget zár be a

kiinduló koordinátatengely y tengelyével.

- A rúd eredetileg sík keresztmetszetei az alakváltozás után is síkok és önmagukkal

egybevágóak maradnak.

- Az alakváltozás során a keresztmetszetek elfordulnak, de a keresztmetszetre eredetileg

merőleges (z tengellyel párhuzamos) szálak az alakváltozás után is merőlegesek maradnak az

elfordult keresztmetszet síkjára.

Ezeket az alakváltozási jellemzőket először Bernoulli és Navier figyelte meg, illetve

alkalmazta a hajlításból származó feszültségek meghatározásánál. Természetesen további alak-

változási jellemzőket is ki lehet mutatni - pl. hogy egyes, z iránnyal párhuzamos szálak meg-

nyúlnak, mások megrövidülnek, sőt, vannak olyanok is, melyek hossza nem változik -, de a

felsorolt, Bernoulli-Navier-féle megfigyelések, illetve feltételek elegendőek a rúd feszültségi és

alakváltozási állapotának meghatározásához.

Tegyük fel, hogy ismerjük a vesszős koordinátarendszer helyzetét. Ebben az y', z' sík-

ban (a z' tengely azonos a z tengellyel) ábrázoltuk a rudat az 5.38/b,c,d. ábrarészeken az alakvál-

tozás előtti és utáni állapotban. A c. és d. ábrarészeken kiemeltük a rúd egy ∆z hosszúságú da-

rabját, s ennek alakváltozását úgy ábrázoltuk, hogy feltételeztük, éppen az x'z' síkban lévő elemi

szálak nem változtatják meg hosszukat.

A Bernoulli-Navier-féle feltételeket matematikailag a következőképpen fogalmazhatjuk

meg.

171

5.38. ábra

A ∆z hosszúságú rúdelem bal- és jobboldali keresztmetszetének síkja az alakváltozás után ∆ϕ

szöget zár be egymással. Mivel a z tengellyel párhuzamos szálak mindkét keresztmetszetre me-

rőlegesek maradnak, meg kell görbülniük. Legyen ρ a görbületi sugara azoknak a szálaknak,

melyeknek hossza nem változik meg. Egy y' koordinátájú szál fajlagos hosszváltozását a geo-

metriai viszonyok alapján kifejezhetjük:

= =z' - z

z=

( + y' ) - =

y' z'z' zzε ε

ρ ρ∆ϕρ∆ϕ ρ

∆ ∆∆

∆ϕ 5.54

mint látjuk, a fajlagos hosszváltozás az x' koordinátától független. Az elemben tetszőlegesen

kiválasztott hasáb élszögei sem változnak meg, így = = = = = = 0 .z'y' y'z' x'z' z'x' x'y' y'x'ε ε ε ε ε ε

A Poisson-hatás miatt azonban x' és y' irányú hosszváltozással számolnunk kell.

Az általános Hooke-törvény felhasználásával megkapjuk a feszültségkomponenseket.

Szögváltozások hiányában a nyírófeszültség-komponensek mind nullák: = = = = = = 0z'y' y'z' x'z' z'x' x'y' y'x'σ σ σ σ σ σ

A z' normálisú felülethez tartozó normálfeszültség (2.95) alapján:

172

= = E = y' z'z' zz z'z'σ σ ερE

5.55

A normálfeszültség tehát egy adott keresztmetszetben az y' koordinátával lineárisan változik.

Mivel a rúdelemre a z tengelyre merőleges hatásvonalú terhelés nem hat, joggal tehetjük fel,

hogy = = 0 .x'x' y'y'σ σ

A külső terhelés, pontosabban az igénybevétel és a σ z z' ' normálfeszültség kapcsola-

tának meghatározásához használjuk fel a rúdelemre írható egyensúlyi egyenleteket:

F = 0 = dA =E

y' dA =E

y' dA ,iz' z'z'

A

∑ ∫ ∫ ∫σρ ρA A

M = 0 = x dA = x E

y'dA = E

xy'dA ,

E

M = 0 = M cos - y' dA = M E

y' dA .

A

iy z'z'

A

ix' x z'z' x' -2

A

∑ ∫ ∫ ∫

∑ ∫ ∫

σρ ρ

α σρ

A A

A

Az első egyenletből - mivel E és ρ nem lehet nulla - az következik, hogy

y' dA = S = 0 .A

x'∫

Az x' tengelyt tehát úgy kell felvenni, hogy a keresztmetszet sztatikai nyomatéka rá nulla le-

gyen. Ez akkor következik be, ha x' a súlyponton megy át (így vettük fel eleve az x' tengelyt az

5.38/b. ábrán). Ezek szerint az x'y'z' koordinátarendszer az eredetihez képest csak az x tengely

körüli elforgatásban különbözik. A második egyenletbe helyettesítsük be a már ismert y' = -

xsinα + ycosα összefüggést:

0 = x(-xsin + ycos )dA = -sin x dA + cos xydA == -I sin +I cos .2

A A

yy xyα α α α α αA∫ ∫ ∫

ahonnan:

tg =I

I .xy

yy

α

A második egyenlet tehát megadja az x' tengely helyzetét. Ennek x tengellyel bezárt

szöge a keresztmetszet másodrendű nyomatékaitól függ. A harmadik egyenlet jobb oldalának

második tagja a keresztmetszet x' tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatéka. Az egyenlőség-

ből az ismeretlen görbületi sugár kifejezhető:

173

1

=M

EI

x'

x 'x 'ρ 5.57

Prizmatikus rúd tiszta hajlításkor az összefüggés jobb oldalán álló mennyiségek állandók, a

súlyponton átmenő sík elemi szálainak görbületi sugara a rúd hossztengelye mentén állandó, a

rúd tehát körívvé deformálódik, a körívek az y'z' síkkal párhuzamosak. Az EIx'x' szorzatot a rúd

hajlítómerevségének nevezzük. A görbületi sugárra kapott kifejezést helyettesítsük be (5.55)-be:

= =M

Iy' ,z'z' zz

x'

x'x'

σ σ 5.58

Ezzel a keresett függvénykapcsolatot megkaptuk.

Az x' tengelyt a hajlítás tengelyének nevezzük. E tengelyen y' = 0, tehát a hajlítás tenge-

lyének pontjaiban normálfeszültség nem ébred. Normálfeszültség hiányában természetesen az x'

tengelyt metsző szálak nem szenvednek hosszváltozást. A fentiek miatt az x'z' síkot semleges

síknak, a súlyponton átmenő z = z' tengelyt semleges tengelynek nevezzük.

(5.58) alapján a tiszta hajlítás során fellépő normálfeszültség egyenesen arányos a

hajlítónyomaték x' tengelyre eső vetületével, fordítottan arányos a keresztmetszet x' tengelyre

vonatkozó másodrendű nyomatékával és az y' tengely mentén lineárisan változik. A semleges

sík egyik oldalán húzó-, a másik oldalán nyomófeszültségek ébrednek. Az y' koordináta előjele

a normálfeszültségek előjelét is meghatározza. Mivel az x' koordinátától nem függenek a nor-

málfeszültségek, a keresztmetszet síkjára merőlegesen felhordott normálfeszültségek végpontjai

egy ferde síkon helyezkednek el. E feszültségeloszlást az x' tengely irányából nézve, az 5.38/e.

ábrán látható ferde helyzetű egyenest kapjuk. Minden, az y' tengellyel párhuzamos egyenes

mentén ugyanilyen a feszültségeloszlás annyi különbséggel, hogy feszültség csak az egyenesnek

a keresztmetszet kontúrja által közrezárt szakaszán ébredhet.

A normálfeszültséget kifejezhetjük az eredeti koordinátarendszerben is. Helyettesítsük

be (5.58)-ba az Mx' = Mxcosα , az (5.7/a) és az y' = -xsinα + ycosα kifejezéseket:

= =M cos (-xsin + ycos )

I cos + I sin - I sin ,zz z'z'

x

xx2

yy2

xy2

σ σα α α

α α α

használjuk fel (5.56)-ot is, rendezés után:

σ σzz z'z' xyy xy

xx yy xy2

= = MI y - I x

I I - I. 5.59

A fentiekben tárgyalt, általánosnak mondható esetet, tehát amikor a hajlítás tengelye (az

x' tengely) és a hajlítónyomaték vektora (az x tengely) nem esik egy egyenesbe, ferde hajlítás-

nak nevezzük.

A műszaki gyakorlatban azonban a legtöbbször úgy tervezik meg a keresztmetszet alak-

ját, hogy a hajlítónyomaték síkja (az y,z sík) átmegy a keresztmetszet valamelyik súlyponti má-

sodrendű főtengelyén. Ilyenkor Ixy = 0, ezért - az (5.56) összefüggés szerint - α = 0, azaz az

174

x és x' tengelyek egybeesnek, másképpen kifejezve, a hajlítás tengelye és a hajlítónyomaték

vektora egy egyenesbe esik. Ezt a speciális esetet egyenes hajlításnak nevezzük. Egyenes hajlí-

tásnál a normálfeszültséget a

=M

Iyzz

x

xx

σ 5.60

összefüggéssel számítjuk, melyet akár (5.58)-ból, akár (5.59)-ből egyszerűen levezethetünk. A

feszültségeloszlást hasonlóan értelmezzük, mint az általános esetben (5.39. ábra). A normálfe-

szültségek szélső értékei a keresztmetszetben x tengelytől legnagyobb távolságra lévő pontjai-

ban ébrednek. Az ezeken a pontokon átmenő, a rúd hossztengelyével párhuzamos szálakat szél-

ső szálaknak nevezzük. Ha ezek távolsága az x tengelytől ex és e'x , a feszültségek szélső értéke:

σ σ = =M

Ie =

MI

e

=M

K ,max max

x

xx x

x

xx

x

x

x

+ 5.61/a

= =M

Ie' =

MI

e'

=M

K' ,

min maxx

xx x

x

xx

x

x

x

σ σ −

5.61/b

ahol Kx és K'x - a hajlítás tengelyére vonatkozó, (5.14)-gyel definiált, keresztmetszeti tényezők.

Ha a keresztmetszetnek van szimmetriatengelye és a hajlítónyomaték vektora erre merő-

leges, akkor a fentiek értelmében mindig egyenes hajlításról van szó. Ha a hajlítás tengelye is

szimmetriatengely, akkor a normálfeszültségek szélső értéke abszolút értékre megegyezik.

Ferde hajlításnál a normálfeszültségek maximumát (5.58)-cal számíthatjuk, ha y' helyé-

be az x' tengelyhez tartozó szélső száltávolságot helyettesítjük be. Ha szemlélettel is megállapít-

hatók a keresztmetszetnek azok a pontjai, amelyekben a legnagyobb feszültségek ébrednek

(ezek a pontok mindig a kerületen helyezkednek el), akkor a feszültségek szélső értékeinek

meghatározásához (5.59)-et is használhatjuk a pont x és y koordinátájának behelyettesítésével.

A ferde hajlítást azonban visszavezethetjük két egyenes hajlítás szuperpozíciójára is (5.40. áb-

ra). Meghatározzuk a keresztmetszet másodrendű főtengelyeit és a hajlítónyomaték vektorának

e két iránnyal párhuzamos összetevőjét, M1-et és M

2-t, s ezeket külön-külön egyenes hajlítás-

ként kezeljük.

Tetszőleges P pontban, melynek koordinátái ξ és η , a normálfeszültség eredőjét al-

gebrai összegzéssel nyerjük:

= + =M

I-

M

I .zz

1zz

2zz

1

1

2

2

σ σ σ ξ η 5.62

E gondolatmenet lehetőséget ad arra is, hogy meghatározzuk a hajlítás tengelyének

175

5.39. ábra

helyzetét. A hajlítás tengelyén feszültség nem ébred, így (5.62)-őt nullával egyenlővé téve,

megkapjuk a tengely egyenletét a főtengelyek koordinátarendszerében:

=M

M

I

I ,2

1

1

2

η ξ

a tengely iránytangense, azaz az 1-es főiránnyal bezárt szögének tangense:

tg =M

M

I

I=

I

I

M sin

M cos=

I

Itg ,2

1

1

2

1

2

x

x

1

2

ϕββ

β

ahol β - a nyomatékvektor 1-es főtengellyel bezárt szöge. Mivel a definíció értelmében

I1/I2≥ 1 , az előző összefüggésből következik, hogy ϕ β≥ , ami azt jelenti, hogy a hajlítás ten-

gelye mindig az eredő nyomatékvektor és a 2-es főtengely közé esik.

A keresztmetszet egy tetszőleges pontjának feszültségi állapotát a

[ ]T =

0

0

0 = M

Iy'

,

zz z'z' ==x'

x'x'

σ

σ σ

0 0

0 0

0

alakváltozási állapotát a

176

5.40. ábra

[ ]T =

-E

-E

0

.

zz

zz

zz

ε

σ ν

σ ν

σ

0 0

0 0

0E

tenzorok mátrixa reprezentálja. A feszültségi állapot lineáris, az alakváltozás térbeli. A nyírófe-

szültségek és a szögváltozások hiánya következtében az x', y', z' koordinátarendszer egyben a

főirányok rendszere is, sőt, a harántirányú hosszváltozások egyenlősége miatt az x, y, z irányok

is főrendszert alkotnak. Jóllehet a rúd keresztmetszeteinek feszültségeloszlása ugyanaz, a rúd

feszültségi és alakváltozási állapotmezeje nem homogén, hiszen egy keresztmetszeten belül a

normálfeszültség nagysága, s ezzel az összes többi jellemző az y' koordináta függvényében vál-

tozik. A feszültségi és az alakváltozási állapotok Mohr-köreinek átmérője az y' távolsággal ará-

nyosan nő (5.41. ábra).

A semleges sík pontjaiban a feszültségi és alakváltozási tenzorok minden komponense

nulla. A semleges sík a rudat két részre osztja, a húzott és nyomott övre. Egyenes hajlításnál,

177

pozitív hajlítónyomaték esetén az alsó öv a húzott, a felső pedig a nyomott. A Poisson-hatás

következtében a keresztmetszeti méretek is megváltoznak. Mivel a z irányú normálfeszültségek

lineárisan változnak, a keresztirányú méretváltozás is lineárisan változik y'-tel. A húzott övben a

keresztmetszeti méretek csökkennek, a nyomottban növekednek. A keresztmetszet alakja pl.

téglalap esetén az 5.42. ábrán látható módon torzul.

Térjünk még vissza a rúd véglapjainak külső terhelésére. Természetesen az összes ke-

resztmetszet feszültségeloszlása akkor egyezik meg, ha a rúd véglapjait ugyanolyan jellegű

megoszló erőrendszer terheli, mint amilyen a tiszta hajlítás során fellépő feszültségeloszlás. Ha

a véglapokon ható erőrendszer más jellegű, de az előbbivel sztatikailag egyenértékű, akkor - a

Saint Venant-elvnek megfelelően - a véglapok közelének kivételével az egyes keresztmetszetek

feszültségeloszlása a fent leírtakkal egyezik meg.

Az L hosszúságú rúd semleges síkja, illetve semleges tengelye az (5.57)-el számítható

sugarú körívvé deformálódik. Akkor is ideális körívet tételezünk fel, ha a végkeresztmetszetek

terhelése nem a tiszta hajlításnál megállapítottnak felel meg, a rúdvégek közelében kialakuló fe-

szültségtorzulásnak ugyanis az alakváltozásra gyakorolt hatása nem jelentős. A rúd alakválto-

5.41. ábra

zás után felvett alakja, illetve helyzete a

megfogás körülményeitől függ. Az 5.43. ábrán

az egyik végén befogott, az 5.44. ábrán a két

végén alátámasztott tart (rúd) alakváltozását

mutatjuk be.

(5.57) ismeretében tetszőleges z koor-

dinátájú keresztmetszet szögelfordulása és

súlyponteltolódása geometriai meggondolások

alapján számítható.

A dz hosszúságú rúdelemben felhal-

mozott rugalmas energiát most is (2.71/b)

alapján számíthatjuk:

5.42. ábra

178

dU = dU =1

2dV =

1

2dV =

1

2 (

E y'

y' dA)dz =

=1

2

Ey' dA)dz =

1

2

1

2

b b zz zz zz zz

~

( .' ' '

' '

σ ε σ ερ ρ

ρ ρ

A A

A

x x x

x x

EIdz

M

EIdz

∫ ∫

∫ =2

2

2

2

5.63

Az L hosszúságú rúdban felhalmozott rugalmas energia az előző kifejezés z szerinti

integrálásával adódik:

U = U = dU =1

2

M

EI dz =

1

2

M

EI= W b b b

x'2

x'x'

Lx'2

x'x'kS~

∫ ∫0

L . 5.64

5.44. ábra

Szil rds gtan1

Documents

Transcript of Szil rds gtan1