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FSAB 1101
Synthèse math : Analyse et algèbre Un petit résumé qui suit les sujets de l’examen depuis 2006
Paladin Pierre 17/01/2010
Synthèse math : Analyse et algèbre
17 janvier 2010
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Table des matières
Question 1 : Théorèmes généraux d’analyse et polynôme de Taylor
1.1. Limite
1.2. Théorème de l’étau
1.3. Continuité
1.4. Dérivabilité
1.5. Injectivité, surjectivité, bijectivité
1.6. Théorème des valeurs intermédiaires
1.7. Théorème des accroissements finis
1.8. Théorème de Rolle
1.9. Théorème fondamental
1.10. Théorème de la moyenne (intégration)
1.11. Polynôme de Taylor
1.12. Questions types
Question 2 : Séries
2.1. Convergence d’une série
2.2. Convergence absolue
2.3. Série géométrique
2.4. Série « téléscopante »
2.5. Série entière (Power series)
2.6. Tests de convergence
2.7. Questions types
Synthèse math : Analyse et algèbre
17 janvier 2010
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Question 3 : Equations différentielles
3.1. Classification
3.2. Equation différentielle linéaire homogène d’ordre 1
3.3. Equation différentielle linéaire non-homogène d’ordre 1
3.4. Equation différentielle non-linéaire d’ordre 1 à variables séparables
3.5. Méthode de résolution des problèmes
3.6. Questions types
Question 4 : Calcul matriciel et espaces vectoriels
4.1. Résolution d’un système linéaire
4.2. Opérations matricielles
4.3. Opérations par blocs
4.4. Transposition de matrice
4.5. Inversion de matrice
4.6. Matrices élémentaires
4.7. Notion d’espace vectoriel
4.8. Notion de sous-espace vectoriel
4.9. Suite libre, suite génératrice, base
4.10. Dimension
4.11. Rang d’une matrice
4.12. Questions types
Question5 : Applications linéaires
5.1. Notion d’application linéaire
5.2. Noyau et image
5.3. Propriétés
5.4. Représentation matricielle
5.5. Changement de base
5.6. Questions types
Synthèse math : Analyse et algèbre
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Question 1 : Théorèmes généraux d’analyse et polynôme de Taylor
1.1. Limite
Une fonction f possède une limite L en x=a ssi les limites à droite et à gauche valent toutes les deux L.
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿
lim𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝐿
1.2. Théorème de l’étau
Hypothèses : 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ (𝑥) pour tout x contenu dans un intervalle ouvert contenant a
lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑎 𝑥 = 𝐿
Thèse : lim𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 𝐿
1.3. Continuité
Une fonction f est continue au point a ssi f possède une limite en x=a et que :
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
La composition de deux fonctions continues en a est continue en a.
1.4. Dérivabilité
Une fonction f continue en x=a est dérivable en x=a ssi lim𝑥→𝑎𝑓 𝑥 −𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎 existe.
Dans ce cas, cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et se note f’(a)
Toute fonction dérivable est continue.
1.5. Injectivité / surjectivité / bijectivité
Une application (et donc une fonction) est dite injective si, pour tout y dans son ensemble d’arrivée,
il existe au plus (c-à-d 1 ou 0) un x dans son ensemble de départ tel que f(x)=y
Une application est dite surjective si tout y dans son ensemble d’arrivée appartient à son ensemble
image; il existe au moins un x dans son ensemble de départ tel que f(x)=y
Une application à la fois injective et surjective est dite bijective
1.6. Théorème des valeurs intermédiaires
Hypothèses : soit une fonction f continue sur [a,b]
Soit y un réel compris entre f(a) et f(b) : 𝑓 𝑎 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑏) ou 𝑓(𝑎) ≥ 𝑦 ≥ 𝑓(𝑏)
Hypothèses du corollaire : 𝑦 = 0
f(a) et f(b) sont de signes contraires : 𝑓 𝑎 . 𝑓(𝑏) < 0
Thèse : ∃𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 | 𝑓 𝑐 = 𝑦
Corollaire : ∃𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 | 𝑓 𝑐 = 0
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1.7. Théorème des accroissements finis
Hypothèses : Soit f, une fonction continue sur [a,b]
f est dérivable sur ]a,b[
Thèse : ∃𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏 𝑓 ′ 𝑐 =𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
1.8. Théorème de Rolle
Cas particulier du théorème précédent, utile pour prouver l’existence d’un maximum ou d’un
minimum
Hypothèses : soit f, une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[
f(a)=f(b)
Thèse : ∃𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏 𝑓 ′ 𝑐 = 0
1.9. Théorème fondamental
Première forme :
Hypothèses : Soit f, une fonction continue sur l’intervalle I
Soit un point 𝑝 ∈ 𝐼
Soit la fonction 𝐹 ∶ 𝐼 → ℝ ∶ 𝑥 ↦ 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥
𝑝
Thèse : F est une primitive de f : 𝐹’ 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝐼
Deuxième forme :
Hypothèses : Soit f, une fonction continue sur l’intervalle I
Soit F, une primitive de f sur I
Thèse : 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)𝑏
𝑎
Corollaire :
Hypothèses : Soit f, une fonction continue sur l’intervalle I
Soient g et h, deux fonctions continues et dérivables sur l’intervalle J
Soit la fonction 𝐹 ∶ 𝐽 → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡(𝑥)
𝑔(𝑥)
Thèse : F est dérivable et sa dérivée est donnée par :
𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 . ′ 𝑥 − 𝑓 𝑔 𝑥 . 𝑔′(𝑥)
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1.10. Théorème de la moyenne (intégration)
Hypothèse : soit f, une fonction continue sur [a,b]
Thèse : ∃𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 | 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏 − 𝑎 𝑓(𝑐)𝑏
𝑎
1.11. Polynôme de Taylor
Toute fonction f peut être approximée par un polynôme de Taylor d’ordre n au voisinage du point a
en lequel f est n fois dérivable.
𝑇𝑛 𝑥 ≔ 𝑇𝑛𝑓 ,𝑎 𝑥 ≔
𝑓 𝑘 𝑎
𝑘!
𝑛
𝑘=0
. (𝑥 − 𝑎)𝑘
Reste : Si f est (n+1) fois dérivable sur l’intervalle 𝐼 ∋ 𝑎, alors
∀𝑥 ∈ 𝐼\ 𝑎 , ∃𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑥 𝑅𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑛+1 𝑐
𝑛 + 1 !(𝑥 − 𝑎)𝑛+1
En trouvant une valeur maximale du reste, on obtient un intervalle contenant la valeur exacte de f(x) :
𝑓 𝑥 ∈ [𝑇𝑛 𝑥 − 𝑅𝑛 𝑥 , 𝑇𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛 𝑥 ]
1.12. Questions types
Questions posées depuis 2006, résolutions disponibles sur le forum EPL
Montrer la continuité ou la dérivabilité d’une fonction sur un intervalle donné (2008, 2006)
Calculer la dérivée d’une fonction sur un intervalle donné (2008, 2006)
Déterminer le signe d’une fonction sur un intervalle donné (2008)
Donner le polynôme de Taylor d’une fonction (2008 : juin et aout, 2007 : janvier et juin)
Vérifier que les hypothèses d’un théorème sont satisfaites (2008 :Rolle)
Démonstration par l’absurde en utilisant un des théorèmes (2008 :Rolle)
Utiliser le th. des accroissements finis pour démontrer 1
5< ln
5
4 <
1
4 (2008, mais vu en
cours en 2009, peu de chances de l’avoir)
Utiliser le polynôme de Taylor pour estimer la valeur d’une fonction en un x donné (2007)
Calculer l’erreur commise par cette estimation (2007)
Utiliser le théorème des accroissements finis pour prouver qu’une fonction dérivée nulle
implique une fonction constante (2007)
Utiliser ce résultat pour prouver que la différence de deux primitives d’une même fonction
est une constante (2007)
prouver l’existence d’un nombre réel α tel que 1 < α < 2 et cos 1 - cos 2 = sin α (2007) (utiliser
le théorème des accroissements finis)
prouver qu’une fonction dont la dérivée existe et ne s’annule jamais est injective (2007)
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Question 2 : Séries
2.1. Convergence d’une série
On dit que la série 𝑎𝑛 converge vers la somme s lorsque 𝑎𝑛 = 𝑠∞𝑛=0
Une série numérique est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles est
convergente. (Réponse suffisante à l’examen)
2.2. Convergence absolue
Une série 𝑎𝑛 est absolument convergente lorsque 𝑎𝑛 converge.
Une série absolument convergente est convergente, mais la réciproque n’est pas toujours vraie.
2.3. Série géométrique
Une série est appelée géométrique lorsqu’elle peut être exprimée sous la forme
𝑎 𝑟𝑛−1
∞
𝑛=1
r est appelé la raison de la série
Si a=0, La série converge vers 0 Sinon,
Si |𝑟| < 1,
La série converge vers 𝑎
1−𝑟
Si 𝑟 ≥ 1, La série diverge vers ±∞ (du même signe que a)
Si ≤ −1, La série diverge
2.4. Série « téléscopante »
Une série est dite « téléscopante » lorsque ses sommes partielles se simplifient entre elles
On peut donc exprimer la série 𝑎𝑛 comme 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1
Exemple important :
1
𝑛(𝑛 + 1)=
∞
𝑛=1
1
𝑛−
1
𝑛 + 1
∞
𝑛=1
La somme partielle sn peut s’écrire sous la forme :
𝑠𝑛 = 1 −1
2 +
1
2−
1
3 + ⋯ +
1
𝑛 − 1−
1
𝑛 +
1
𝑛−
1
𝑛 + 1
Qui se simplifie : 𝑠𝑛 = 1 −1
𝑛+1
La série converge donc vers lim𝑛→∞ 𝑠𝑛 = 1
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2.5. Série entière (Power series)
Une série est dite entière lorsqu’elle peut être exprimée sous la forme :
𝑎𝑛(𝑥 − 𝑐)𝑛
∞
𝑛=0
an est une suite de réels appelés coefficients de la série entière
c est un réel appelé centre de convergence de la série
La convergence (ou divergence) de la série dépend alors de x
L’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la série converge est un intervalle centré en x=c appelé
intervalle de convergence, et est égal à ]c-R , c+R[ , avec
𝑅 =1
lim𝑛→∞
𝑎𝑛+1𝑎𝑛
2.6. Tests de convergence
Stratégie pour vérifier si une série est convergente :
A. Vérifier que la série n’appartient pas à un type particulier (géométrique, entière,
téléscopante…)
B. Vérifier que lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 (sinon, la série diverge)
C. 1. Test de comparaison
Si il existe une série convergente 𝑏𝑛 telle que ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑏𝑛 ≥ 𝑎𝑛
Alors 𝑎𝑛 converge
Inversement, si il existe une série divergente 𝑏𝑛 telle que ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑏𝑛 ≤ 𝑎𝑛
Alors 𝑎𝑛 diverge
2. Test du quotient
Calculer, si elle existe, lim𝑛→∞ 𝑎𝑛+1
𝑎𝑛 = 𝐶
Si C< 1, alors la série est absolument convergente (Et donc convergente) Sinon, elle diverge.
3. Test de la racine
Calculer, si elle existe, lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛= 𝐶
Si C<1, alors la série converge (sinon, elle diverge)
D. Vérifier si la série est absolument convergente
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2.7. Questions types
Cette partie de l’examen comporte parfois des sous-questions relatives à la première partie de la
matière
Calculer 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ d’une série (2008 : série géométrique, 2007 : série composée
(géométrique+télescopante))
Déterminer l’intervalle de convergence d’une série entière (2008, 2007)
Donner la définition d’une série convergente (2008, 2006 : absolument convergente)
Utiliser les test de convergence pour montrer qu’une série diverge ou converge (2008 : test
de comparaison, 2006 : test du quotient)
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Question 3 : Equations différentielles
3.7. Classification
3.8. Equation différentielle linéaire homogène d’ordre 1
𝑦′ + 𝑎 𝑥 . 𝑦 = 0
𝑦′
𝑦= −𝑎 𝑥
En changeant de notation : 𝑑𝑦
𝑑𝑥 .𝑦= −𝑎(𝑥)
On multiplie par dx, et on intègre : 1
𝑦𝑑𝑦 = −𝑎 𝑥 𝑑𝑥 (Pas rigoureux, mais permis à l’exam)
ln y = − 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
La solution générale de ce genre d’équation sera toujours de la forme :
𝑦 𝑥 = 𝑘. 𝑒− 𝑎(𝑥)
avec k, un réel constant quelconque.
3.9. Equation différentielle linéaire non-homogène d’ordre 1
La solution générale de ce genre d’équation est égale à la somme de la solution générale de
l’équation homogène associée (yh) et d’une solution particulière de l’équation non-homogène (yp).
𝑦 = 𝑦 + 𝑦𝑝
Pour la solution homogène yh, voir le point précédent
D'ordre 1
Linéaire
Homogène y'+a(x).y=0
Non-homogène
y'+a(x).y=b(x)
Non-linéaire
À variables séparables
y'=a(x).b(y)
À variables non-séparables
Pas vu au cours
D'ordre > 1 Pas vu au cours
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Pour la solution particulière, on pourra en connaitre la forme dans les cas suivants :
b(x) yp
Polynôme de degré n Polynôme de degré n si a(x)≠0 Polynôme de degré n+1 si a(x)=0
𝑘1 cos 𝜃𝑥 + 𝑘2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑥 𝑙1 cos 𝜃𝑥 + 𝑙2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑥
𝑒𝜆𝑥 𝑃 𝑥 P(x) un polynôme de degré n et λ un réel ou un complexe
𝑒𝜆𝑥 𝑄(𝑥) Q(x) un polynôme de degré n ou n+1
Constante, de même que a(x) (Plusieurs fois demandé à l’examen)
𝑏𝑎
Deuxième méthode
Résoudre l’équation homogène associée
𝑦 = 𝑘. 𝑒− 𝑎(𝑥)
Supposer que si k est une fonction de x, yh est une solution de l’équation 𝑦′ + 𝑎 𝑥 . 𝑦 = 𝑏(𝑥)
𝑘(𝑥). 𝑒− 𝑎(𝑥)
′+ 𝑎 𝑥 . 𝑘(𝑥). 𝑒− 𝑎(𝑥) = 𝑏(𝑥)
L’expression se simplifie alors pour donner une expression de k(x)
3.10. Equation différentielle non-linéaire d’ordre 1 à variables séparables
Se résout de la même façon qu’une Equation différentielle linéaire homogène d’ordre 1 :
𝑦′ = 𝑎 𝑥 . 𝑏(𝑦)
En changeant de notation : 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 . 𝑏(𝑦)
On multiplie par dx, et on intègre : 1
𝑏(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 (Pas rigoureux, mais permis à l’exam)
3.11. Méthode de résolution des problèmes
Identifier la quantité recherchée Q (volume, masse,…) et faire un schéma représentant la quantité
initiale, ce qui entre, ce qui sort…
Retranscrire la variation de cette quantité : 𝑑𝑄
𝑑𝑡= 𝑄𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 𝑄𝑠𝑜𝑟𝑡 . Mais évidemment il n'y a pas
toujours les deux. L’un des deux doit dépendre de Q(t).
Mettre l'équation différentielle sous sa forme canonique: 𝑑𝑄
𝑑𝑡 + 𝑎(𝑡). 𝑄(𝑡) = 𝑏(𝑡)
On trouve alors la solution générale de l'équation (homogène+particulière): 𝑄(𝑡) = 𝑄 (𝑡) + 𝑄𝑝(𝑡)
La solution dépend d'une constante, qu’on peut déterminer à l’aide de la condition initiale (Le
problème est alors appelé problème de Cauchy)
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3.12. Questions types
Caractériser une équation différentielle le plus précisément possible (2008)
Donner la solution générale d’une équa. diff. linéaire non-homogène (2008, 2006)
Utiliser des équa. diff. Pour une démonstration (2008)
Mettre en équation un énoncé donné en français (2008)
Donner la solution de cette équation (générale, puis particulière, grâce à une condition
initiale) (2008)
Problème de Cauchy, énoncé en français (voir méthode) (2008, 2007 :janvier et juin,2006)
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Question 4 : Calcul matriciel et espaces vectoriels
4.1. Résolution d’un système linéaire
Tout système linéaire peut se représenter sous la forme matricielle :
𝑎11𝑥1 + ⋯ + 𝑎1𝑛 = 𝑏1
⋮𝑎𝑚1𝑥1 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 = 𝑏𝑚
→
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
𝑏1
⋮𝑏𝑚
On peut appliquer 3 opérations élémentaires sur les lignes de la matrice sans changer le système
qu’elle représente :
Ajouter à une ligne un certain nombre de fois une autre : 𝑙𝑖 → 𝑙𝑖 + 𝑘. 𝑙𝑗
Echanger deux lignes de place : 𝑙𝑖 ↔ 𝑙𝑗
Multiplier une ligne par une constante non nulle : 𝑙𝑖 → 𝑘. 𝑙𝑖 (𝑘 ≠ 0)
Pour résoudre le système, il suffit d’utiliser ces opérations jusqu’à obtenir une matrice réduite de
Gauss-Jordan :
Le nombre d’entrées non nulles précédent le pivot augmente à chaque ligne.
Tous les pivots sont égaux à 1.
Les entrées situées au dessus d’un pivot sont nulles.
La matrice ainsi obtenue contient n+1 colonnes et r lignes non nulles.
Si un pivot se trouve dans la dernière colonne, le système n’admet aucune solution.
Si n>r, il existe une infinité (n-r)uple de solutions.
Si n=r, il existe une solution unique (triviale si le système est homogène).
4.2. Opérations matricielles
Somme de deux matrices : 𝐴 + 𝐵 = 𝐶
N’a de sens que si A et B sont de même genre
C est de même genre que A et B
Chaque entrée de C vaut la somme des entrées de mêmes indices dans A et B :
∀𝑖, 𝑗 ∶ 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 +𝑏𝑖𝑗
Produit d’une matrice par une constante : 𝑘. 𝐴 = 𝐵
B est de même genre que A
Chaque entrée de B vaut le produit de l’entrée de mêmes indices dans A et de la constante :
∀𝑖, 𝑗 ∶ 𝑏𝑖𝑗 = 𝑘. 𝑎𝑖𝑗
Produit de deux matrices : 𝐴𝐵 = 𝐶
A est de genre 𝑚 × 𝑛 et B de genre 𝑛 × 𝑝
𝐶 est de genre 𝑚 × 𝑝
∀ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 ≤ 𝑝 : 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗𝑛𝑘=1
𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴
𝐴𝐵 = 0 ≢ 𝐴 = 0 𝑜𝑢 𝐵 = 0
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4.3. Opérations par blocs
Chaque matrice peut être représentée sous forme de matrice de sous-matrices, appelées blocs :
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎14𝑎24
𝑎34
= 𝐴 𝐵𝐶 𝐷
Les opérations sur des blocs sont identiques à condition que les blocs soient compatibles
Ex : 𝐴 𝐵 𝐶𝐷
= 𝐴𝐶 + 𝐵𝐷 Cela n’a de sens que si AC et BD ont un sens et sont de même genre.
Cas particulier : séparation en lignes ou en colonnes, les plus utilisées
𝐴 =
𝑎1∗
⋮𝑎𝑚∗
= 𝑎∗1 ⋯ 𝑎∗𝑛
4.4. Transposition de matrice
La matrice transposée de 𝐴 est obtenue en écrivant les lignes de 𝐴 en colonnes et se note 𝐴𝑡
Propriétés :
(𝛼𝐴 + 𝛽𝐵)𝑡 = 𝛼𝐴𝑡+𝛽𝐵𝑡
(𝐴. 𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡 . 𝐴𝑡
(𝐴𝑡)𝑡 = 𝐴
4.5. Inversion de matrice
Soit une matrice 𝐴 ∈ 𝐾𝑚×𝑛
A est inversible à gauche si : ∃𝐵 ∈ 𝐾𝑛×𝑚 : 𝐵𝐴 = 𝐼𝑛
A est inversible à droite si : ∃𝐶 ∈ 𝐾𝑛×𝑚 : 𝐴𝐶 = 𝐼𝑚
Si A est inversible à gauche ET à droite :
o A est carrée
o 𝐵 = 𝐶 = 𝐴−1, l’inverse de A
Propriétés :
(𝐴−1)−1 = 𝐴
(𝐴. 𝐵)−1 = 𝐵−1 . 𝐴−1 (Si ces inverses existent)
(𝐴𝑡)−1 = (𝐴−1)𝑡
Une matrice carrée et inversible à gauche est aussi inversible à droite (et inversement).
4.6. Matrices élémentaires
Une matrice élémentaire est obtenue en appliquant une opération élémentaire sur les lignes de la
matrice unité.
Toute matrice élémentaire est inversible.
Appliquer une opération élémentaire sur les lignes de A revient à la multiplier par la matrice
élémentaire correspondante
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4.7. Notion d’espace vectoriel
E est un espace vectoriel si les conditions suivantes sont vérifiées pour tout 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 𝑒𝑡 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾:
E est commutatif pour l’addition.
𝑥 𝛼 + 𝛽 = 𝑥𝛼 + 𝑥𝛽
𝑥 + 𝑦 𝛼 = 𝑥𝛼 + 𝑦𝛼
𝑥 𝛼𝛽 = (𝑥𝛼)𝛽
1. 𝑥 = 𝑥
Les éléments de E sont appelés des vecteurs et ceux de K, des scalaires.
Une combinaison linéaire de vecteurs de E est un vecteur de E
4.8. Notion de sous-espace vectoriel
V est un sous-espace vectoriel (une partie d’un espace vectoriel et un espace vectoriel lui-même) si
les conditions suivantes sont vérifiées :
0 ∈ 𝑉
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 ∶ 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉
∀𝑥 ∈ 𝑉, 𝛼 ∈ 𝐾 ∶ 𝛼𝑥 ∈ 𝑉
Opérations sur les sev. :
Intersection : Si 𝑉1, … , 𝑉𝑛 sont des sev. de E, l’intersection 𝑉1 ∩ … ∩ 𝑉𝑛 est un sev de E.
Somme : Si 𝑉1 , … , 𝑉𝑛 sont des sev. de E, on définit leur somme par
𝑉1 + ⋯ + 𝑉𝑛 = 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑛 𝑣1 ∈ 𝑉1 , … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉𝑛
On dit que des sev. 𝑉1, … , 𝑉𝑛 sont en somme directe lorsque, ∀𝑣1 ∈ 𝑉1, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉𝑛 ,
𝑠𝑖 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑛 = 0
𝑣1 = ⋯ = 𝑣𝑛 = 0
4.9. Suite libre, suite génératrice, base
Soit le sev. engendré par les vecteurs 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 :
𝑠𝑒𝑣 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 = 𝛼1𝑣1 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ∈ 𝐾
𝑣1 , … , 𝑣𝑛 est une suite libre si 𝛼1𝑣1 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 = 0
𝛼1 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 0
𝑣1 , … , 𝑣𝑛 est une suite génératrice de E si 𝑠𝑒𝑣 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 = 𝐸
Une suite génératrice suffit pour décrire un sev.
𝑣1 , … , 𝑣𝑛 est une base de E si elle est libre et génératrice.
Tout espace vectoriel engendré admet une base.
Tout vecteur d’un espace vectoriel s’écrit d’une seule manière comme une combinaison
linéaire de sa base.
Soit V un sev. de E. Toute base de V peut être prolongée en une base de E.
Convention : la suite ( ) est libre et 𝑠𝑒𝑣 = {0}
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4.10. Dimension
Toutes les bases d’un même espace vectoriel E ont le même nombre d’éléments : c’est la dimension
de E.
Soient V et W des sev. de dimension finie :
dim 𝑉 + 𝑊 = dim 𝑉 + dim 𝑊 − dim(V ∩ 𝑊)
4.11. Rang d’une matrice
Soit une matrice 𝐴 ∈ 𝐾𝑚×𝑛
Chaque ligne/colonne de A peut représenter un vecteur
Espace des lignes de A : ℒ 𝐴 = 𝑠𝑒𝑣 𝑎1∗, … , 𝑎𝑚∗ ⊂ 𝐾𝑛
Espace des colonnes de A : 𝒞 𝐴 = 𝑠𝑒𝑣 𝑎∗1 , … , 𝑎∗𝑛 ⊂ 𝐾𝑚
Le rang de la matrice A est égal à la dimension de ces espaces :
dim 𝒞 𝐴 = dim ℒ 𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴
Propriétés :
𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 ≤ min(𝑚, 𝑛)
𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴𝑡
𝑠𝑖 𝐴 = 𝐵𝐶, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 ≤ min 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐵, 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐶
𝑆𝑖 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 = 𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝. 𝑚 , 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 à 𝑔𝑎𝑢𝑐𝑒(𝑟𝑒𝑠𝑝. à 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒)
4.12. Questions types
Etant donnés les dimensions de trois matrices A=BC, montrer que B et C existent (utiliser
opérations par blocs)(2008)
Préciser B et C pour un cas particulier de A (2008)
Donner la relation entre deux sev (2008)
Montrer qu’une matrice est inversible (2008)
Montrer qu’une matrice est un sev. et en donner une base (2008)
Trouver une base pour l’intersection de deux sev. (2008)
Monter qu’une somme de sev. est égale à un espace vectoriel donné (2008)
Discuter le fait qu’un système linéaire admette au moins une solution (2007)
Donner une interprétation géométrique de la discussion (2007)
Montrer qu’un système n’admet pas de solution (raisonnement par l’absurde, utiliser la
transposée) (2007)
Si A=BC et que les dimensions de B et C sont connues, trouver rang A (2006)
Caractériser les lignes d’un matrices de rang 1 (2006)
Si rang A est connu et que A=BC, trouver le genre de B et C (2006)
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Question 5 : Applications linéaires
5.1. Notion d’application linéaire
Soient E et F, des espaces vectoriels sur K
Une application 𝐴 : 𝐸 → 𝐹 est dite linéaire si les conditions suivantes sont vérifiées
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 𝑒𝑡 𝛼 ∈ 𝐾 : 𝐴 𝛼𝑥 = 𝐴 𝑥 𝛼 𝑒𝑡 𝐴 𝑥 + 𝑦 = 𝐴 𝑥 + 𝐴(𝑦)
Une application linéaire bijective (voir 1ère partie) est appelées isomorphisme.
5.2. Noyau et image
Le noyau de l’application linéaire 𝐴 : 𝐸 → 𝐹 est un sev. de E tel que 𝐾𝑒𝑟 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝐸 𝐴 𝑥 = 0
L’espace image de A est un sev. de F tel que 𝐼𝑚 𝐴 = 𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑥 ∈ 𝐸, 𝐴 𝑥 = 𝑦
Nullité de l’A.L. : 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝐴 = dim 𝐾𝑒𝑟 𝐴
Rang de l’A.L. : 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 = dim 𝐼𝑚 𝐴
𝑛𝑢𝑙𝑙 𝐴 + 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 = dim 𝐸
5.3. Propriétés
L’ensemble des solutions pour l’équation linéaire de type A(x)=b est égal à la somme d’une
solution particulière u et du noyau de A : 𝑢 + 𝐾𝑒𝑟 𝐴 = 𝑢 + 𝑣 𝑣 ∈ 𝐾𝑒𝑟 𝐴
A est inversible à gauche si il existe 𝐵: 𝐹 → 𝐸 tel que 𝐵 ∘ 𝐴 = 𝐼𝐸 (A.L. identité : 𝐼𝐸 𝑥 = 𝑥)
A est inversible à droite si il existe 𝐵: 𝐹 → 𝐸 tel que 𝐴 ∘ 𝐵 = 𝐼𝐹
𝐾𝑒𝑟 𝐴 = {0} 𝐼𝑚 𝐴 = 𝐹 ⇕ ⇕
A est injective 𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑢𝑟𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 ⇕ ⇕
𝑛𝑢𝑙𝑙 𝐴 = 0 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝐴 = dim 𝐸 − dim 𝐹 ⇕ ⇕
𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 = dim 𝐸 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 = dim 𝐹 ⇕ ⇕
𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 à 𝑔𝑎𝑢𝑐𝑒 𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 à 𝑔𝑎𝑢𝑐𝑒
5.4. Représentation matricielle
Une application linéaire 𝐴 : 𝐸 → 𝐹 peut être représentée par une matrice (𝐴)𝑒𝑓 dont chaque
colonne est formée par l’image d’un vecteur de la base de E, exprimé dans la base de F
Exemple :
𝐴: ℝ[𝑥]≤2 → ℝ² ∶ 𝐴 𝑃 𝑥 = (𝑃 0 , 𝑃 1 )
Soient 𝑒 = 1, 𝑥, 𝑥2 la base usuelle de ℝ² et 𝑓 = ( 1,0 , 0,1 ) la base usuelle de ℝ[𝑥]≤2
Synthèse math : Analyse et algèbre
17 janvier 2010
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On commence par rechercher l’image de chaque vecteur de 𝑒 :
𝐴 1 = 1,1
𝐴 𝑥 = 0,1
𝐴 𝑥² = 0,1
Puis on exprime les résultats dans la base f :
1,1 = 1. 1,0 + 1. (0,1)
0,1 = 0. 1,0 + 1. (0,1)
0,1 = 0. 1,0 + 1. (0,1)
Enfin, on retranscrit les coefficients sous forme de colonnes d’une matrice
(𝐴)𝑒𝑓 =
1 0 01 1 1
5.5. Changement de base
Pour exprimer un vecteur de E dans une autre base de E, on peut lui appliquer l’A.L. 𝐼𝐸 : 𝐸 → 𝐸 en
exprimant cette dernière dans la nouvelle base, on obtient la matrice de changement de base.
Le principe reste le même que pour la représentation matricielle, mais en utilisant l’application
identité.
5.6. Questions types
Cette partie de l’examen fait souvent référence à la matière sur les espaces vectoriels
Donner la matrice d’une application linéaire par rapport à une base de son espace de départ
et une base de son espace d’arrivée (2008 : janvier, juin et aout, 2007, 2006)
Donner Ker A, Im A une de leurs bases et leur dimension (2008 : janvier, juin et aout, 2007,
2006)
Vérifier (et discuter en fonction de paramètres) qu’une application est linéaire (2008 : juin et
aout)
Donner l’image d’un vecteur quelconque par une application linéaire donnée (2008)
Donner un exemple d’application non linéaire + justifier(2008)
Donner la matrice de 𝐴 : 𝐸 → 𝐸 suivant une base donnée de E (2007)
Démontrer que la somme de deux A.L. vaut l’application identité (2007)
Calculer Ker A, Im A et discuter les interprétations en fonction d’un paramètre (2007)