Studio Di Una Funzione
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Studio di una funzioneSchema esemplificativo
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GeneralitStudiare una funzione significa determinarne le propriet ovveroIl dominio.Il segno.Gli intervalli in cui cresce o decresce.Minimi e massimi relativi.Gli intervalli in cui concava o convessa.I flessi.Gli asintoti.
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Dominio della funzionePer ricercare il dominio della funzione f(x) bisogna prima classificare la funzione stessa e in base alle sue caratteristiche ricercare il campo di esistenza.
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Dominio della funzioneAd esempio, se f(x) razionale intera il dominio R.Se razionale fratta occorre trovare gli zeri a, b, del denominatore. Il dominio allora R-{a, b, }.Se la funzione irrazionale algebrica per ogni radicale di indice pari bisogna imporre la non negativit del radicando.Se logaritmica necessario che largomento sia positivo.
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Segno della funzioneStudiare il segno della funzione significa determinare in quali intervalli il suo grafico situato al di sopra o al di sotto dellasse delle x.
- Segno della funzioneBisogna risolvere la disequazionef(x)>0 per individuare gli intervalli di positivit della funzione.Le soluzioni della disequazionef(x)
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Intersezioni con gli assiRisolvendo lequazionef(x)=0 si individuano gli eventuali punti di intersezione del grafico con lasse delle x (zeri della funzione f(x)).
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Intersezioni con gli assiPonendox=0 (se f(x) ivi definita)si trova invece leventuale punto di intersezione del grafico con lasse delle y.
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Minimi e massimi relativiPer trovare i minimi e i massimi relativi di una funzione f(x), derivabile nei punti interni del suo dominio, si possono utilizzare due metodi.
- Minimi e massimi relativiPrimo metodoSi calcola f(x) e se ne studia il segno.Negli intervalli in cui f(x)>0 la funzione data crescente.Negli intervalli in cui f(x)
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Minimi e massimi relativiSe per xa la funzione decrescente, allora in x=a c un punto di massimo relativo.Se invece la decrescenza precede la crescenza, allora x=a un punto di minimo relativo.
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Minimi e massimi relativiSi calcola infine il valore del minimo o massimo trovato sostituendo il numero reale a alla variabile x nellespressione della funzione.
- Minimi e massimi relativiSecondo metodoSe f(x) dotata di f(x) e f(x) continue in a, allora la funzione ha un minimo relativo nel punto considerato sef(a) = 0 e f(a)>0.Se si verifica invecef(a)=0 e f(a)
- Concavit e convessitSe si verificaf(a)>0la funzione concava (ha concavit rivolta verso lalto).Se si verifica invecef(a)
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Punti di flessoPer trovare i flessi di una funzione f(x), derivabile nei punti interni del suo dominio, si procede in modo analogo a quello gi visto per la determinazione di minimi e massimi relativi.
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Punti di flessoPrimo metodoSe in x=a si ha il passaggio dalla concavit alla convessit e a appartiene al dominio allora in tale punto si ha un flesso discendente.Se invece la convessit precede la concavit allora si ha un flesso ascendente.
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Punti di flessoSecondo metodoSi determinano le radici a dellequazione f(x)=0.Si ha un flesso in x=a solo se la prima derivata, successiva alla seconda, che non si annulla in a di ordine dispari. In tal caso se in a si annulla la derivata prima il flesso a tangente orizzontale.Altrimenti un flesso a tangente obliqua.
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AsintotiAsintoti verticaliSe il dominio della funzione del tipoR-{a, b, c,}bisogna calcolare il limite di f(x) per xa.Se questo limite infinito allora c lasintoto verticale di equazione x=a.Si ripete il calcolo per gli altri punti b, c, nei quali la funzione non definita.
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AsintotiSi procede in modo analogo se il dominio di f(x) ununione di intervalli e in qualche estremo inferiore o superiore di tali intervalli la funzione non definita.
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AsintotiAsintoti orizzontaliSe il limite di f(x), per x +, il numero finito l, allora c lasintoto orizzontale di equazioney=l.Se tale limite invece infinito si passa allesame delleventuale asintoto obliquo.Analogamente per x -.
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AsintotiAsintoti obliquiSe il limite di f(x)/ x, per x +, infinito non c neppure lasintoto obliquo.Se invece tale limite il numero finito m allora si calcola il limite di f(x)mx. Solo se anche questo limite un numero finito q possiamo dire che esiste, per x +, un asintoto obliquo. La sua equazione y=mx+q.Analogamente per x -.
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Esempio di funzione
Per visualizzare alcuni esempi di funzioni e relativi grafici, clicca su questo collegamento