Studio di una funzione Schema esemplificativo A cura del prof. Guida.
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Studio di una funzione
Schema esemplificativo
A cura del prof. Guida
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Generalità
Studiare una funzione significa determinarne le proprietà ovveroIl dominio.Il segno.Gli intervalli in cui cresce o decresce.Minimi e massimi relativi.Gli intervalli in cui è concava o convessa.I flessi.Gli asintoti.
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Dominio della funzione
Per ricercare il dominio della funzione f(x) bisogna prima classificare la funzione stessa e in base alle sue caratteristiche ricercare il campo di esistenza.
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Dominio della funzione• Ad esempio, se f(x) è razionale intera il
dominio è R.• Se è razionale fratta occorre trovare gli zeri
x1, x2, … del denominatore. Il dominio è allora R-{x1, x2,…} (reali tranne x1, x2,…).
• Se la funzione è irrazionale algebrica per ogni radicale di indice pari bisogna imporre la non negatività del radicando.
• Se è logaritmica è necessario che l’argomento sia positivo.
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Segno della funzione
Studiare il segno della funzione significa determinare in quali intervalli il suo grafico è situato al di sopra o al di sotto dell’asse delle x.
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Segno della funzione
• Bisogna risolvere la disequazionef(x)>0 per individuare gli intervalli di positività della funzione.
• Le soluzioni della disequazionef(x)<0individuano gli intervalli di negatività della funzione.
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Intersezioni con gli assi
Risolvendo l’equazione
y=0
si individuano gli eventuali punti di intersezione del grafico con l’asse delle x (zeri della funzione f(x)).
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Intersezioni con gli assi
Ponendo
x=0
si trova invece l’eventuale punto/i di intersezione del grafico con l’asse delle y.
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Minimi e massimi relativi
Per trovare i minimi e i massimi relativi di una funzione f(x), derivabile nei punti interni del suo dominio, si possono utilizzare due metodi.
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Minimi e massimi relativi
Primo metodo
Si calcola f’(x) e se ne studia il segno.
• Negli intervalli in cui f’(x)>0 la funzione data è crescente.
• Negli intervalli in cui f’(x)<0 la funzione è decrescente.
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Minimi e massimi relativi
• Se per x<a la funzione è crescente e per x>a la funzione è decrescente, allora in x=a c’è un punto di massimo relativo.
• Se invece la decrescenza precede la crescenza, allora x=a è un punto di minimo relativo.
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Minimi e massimi relativi
• Si calcola infine il valore del minimo o massimo trovato sostituendo il numero reale a alla variabile x nell’espressione della funzione.
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Minimi e massimi relativi
Secondo metodo• Se f(x) è dotata di f’(x) e f”(x) continue in a,
allora la funzione ha un minimo relativo nel punto considerato sef’(a) = 0 e f”(a)>0.
• Se si verifica invecef’(a)=0 e f”(a)<0la funzione ha un massimo relativo in a.
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Concavità e convessità
• Se si verificaf”(a)>0la funzione è concava (ha concavità rivolta verso l’alto).
• Se si verifica invecef”(a)<0la funzione è convessa (ha concavità rivolta verso il basso).
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Punti di flesso
Per trovare i flessi di una funzione f(x), derivabile nei punti interni del suo dominio, si procede in modo analogo a quello già visto per la determinazione di minimi e massimi relativi.
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Punti di flesso
Primo metodo
• Se in x=a si ha il passaggio dalla concavità alla convessità e a appartiene al dominio allora in tale punto si ha un flesso discendente.
• Se invece la convessità precede la concavità allora si ha un flesso ascendente.
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Punti di flesso
Secondo metodoSi determinano le radici a dell’equazione
f”(x)=0.• Si ha un flesso in x=a solo se la prima
derivata, successiva alla seconda, che non si annulla in a è di ordine dispari. In tal caso se in a si annulla la derivata prima il flesso è a tangente orizzontale.
• Altrimenti è un flesso a tangente obliqua.
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Asintoti
Asintoti verticali• Se il dominio della funzione è del tipo
R-{a, b, c,…} (reali tranne a,b,c,….)
bisogna calcolare il limite di f(x) per xa.• Se questo limite è infinito allora c’è
l’asintoto verticale di equazione x=a.• Si ripete il calcolo per gli altri punti b, c, …
nei quali la funzione non è definita.
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Asintoti
• Si procede in modo analogo se il dominio di f(x) è un’unione di intervalli e in qualche estremo inferiore o superiore di tali intervalli la funzione non è definita.
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Asintoti
Asintoti orizzontali• Se il limite di f(x), per x +∞, è il numero
finito l, allora c’è l’asintoto orizzontale di equazioney=l.
• Se tale limite è invece infinito si passa all’esame dell’eventuale asintoto obliquo.
• Analogamente per x -∞.
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AsintotiAsintoti obliqui• Se il limite di f(x)/ x, per x +∞, è infinito
non c’è neppure l’asintoto obliquo.• Se invece tale limite è il numero finito m
allora si calcola il limite di f(x)–mx. Solo se anche questo limite è un numero finito q possiamo dire che esiste, per x +∞, un asintoto obliquo. La sua equazione èy=mx+q.
• Analogamente per x -∞.
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In bocca al lupo!!!