Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una...
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Funzioni reali di
una variabile
reale
Funzioni reali di
una variabile
reale
Classificazione di una funzione
Classificazione di una funzione
Rappresentazione di una funzione
Rappresentazione di una funzione
Proprietà specifiche di
alcune funzioni
Proprietà specifiche di
alcune funzioni
Grafici notevoli di funzioni elementari
Grafici notevoli di funzioni elementari
Trasformazioni elementari di
funzioni
Trasformazioni elementari di
funzioni
IniettivaSuriettivabiiettiva
TabulareAnalitica……
PariDispariperiodica
TraslazioniContrazioni RotazioniSimmetrie…….
Classificazione delle
funzioni analitiche
Classificazione delle
funzioni analitiche
algebriche
algebriche
trascendenti
trascendenti
Razionali Irrazionali Intere fratte
logaritmicheesponenzialigoniometriche……
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LE FUNZIONILE FUNZIONILA FUNZIONE LA FUNZIONE
ESPONENZIALEESPONENZIALE EE
LOGARITMICALOGARITMICA
STUDIOSTUDIO
DEL GRAFICODEL GRAFICO
DI UNADI UNA
FUNZIONEFUNZIONE
ESCIESCI
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La Funzione
Esponenziale E
Logaritmica
La Funzione
Esponenziale E
Logaritmica
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PrerequisitiPrerequisiti
• Numeri reali
• Concetto di funzione
• Grafici di funzioni
• Concetti e proprietà fondamentali delle potenze ad esponente reale
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ObiettiviObiettivi
Saper tracciare il grafico di una funzione esponenziale del tipo y=a f(x) e dedurre le relative proprietà esponendo le opportune considerazioni sulla base a
Saper definire la funzione logaritmica e giustificare le relative proprietà
Saper tracciare il grafico di una funzione logaritmica e dedurre le opportune considerazioni al variare di a
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ApplicazioniApplicazioni
Saper risolvere equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche per via algebrica e per via grafica, anche con l’uso di trasformazioni geometriche
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LA FUNZIONE
ESPONENZIALELA FUNZIONE
ESPONENZIALE
Dato un numero reale positivo a per qualunque valore di x è definita la
funzione f:x a x
Tale funzione è detta funzione esponenziale di base a Il suo dominio è l’insieme R dei numeri reali Il suo codominio è l’insieme R+ La sua equazione è : y = a x
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PROPRIETA’ DELLA FUNZIONE
ESPONENZIALEPROPRIETA’ DELLA FUNZIONE
ESPONENZIALE
Distinguiamo due casi: a>1 opp. 0<a<1
Per es. supponiamo che sia a=2
f:x 2x
-2 -1 0 1 2
x y
-2
-1
0
1
2
¼
½
1
2
4
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DeduzioniDeduzioni• possiamo assegnare qualsiasi valore ad x
ottenendo un valore reale di y D=R• la potenza cresce al crescere dell’esponente:
x1 > x2 2x1 > 2x2 funzione crescente
• I valori di y sono tutti positivi C=R+
• I valori di y per x > 0 tendono a diventare grandi quanto si vuole, per x < 0 si avvicinano asintoticamente all’asse x a mano a mano che ci si allontana dall’origine
lim 2x = 0 lim 2x =
x - x +
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0<a<1
per es. a = ½
si ha f: x (1/2)x
- 2 -1 0 1 2
x y
-2
-1
0
1
2
4
2
1
½
¼
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DeduzioniDeduzioni• possiamo assegnare qualsiasi valore ad x
ottenendo un valore reale di y D=R• la potenza decresce al crescere
dell’esponente: x1 > x2 (1/2)x1
< (1/2)x2 funzione decrescente• I valori di y sono tutti positivi C=R+
• I valori di y per x > 0 decrescono indefinitamente , per
x < 0 tendono a diventare grandi quanto si vuole
lim (1/2)x = 0 lim (1/2)x = x + x -
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GeneralizzazioneGeneralizzazione• funzione esponenziale y = a x con a > 1
dominio D= R codominio C=R+
la funzione è crescente lim ax = 0 lim ax = +
x - x + y
1
0 x
• funzione esponenziale y = a x con 0 <a <1
dominio D= R codominio C=R+
la funzione è decrescente lim ax = 0 lim ax = +
x + x - y
1
0 x
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Osservazione
1Osservazione
1
Osservando i due grafici si può notare che ciascuna curva curva è la simmetrica dell’altra
rispetto all’asse y, cioè è ottenuta tramite la trasformazione:
x -x y yche rappresenta la simmetria rispetto all’asse
y
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Definizione di
LogaritmoDefiniz
ione di
Logaritmo
Dati due numeri positivi a e b, con a1si chiama logaritmo in base a del numero b l’esponente a cui si deve elevare la base per ottenere il numero b
x=logab ax=bCiò equivale a dire che l’equazione ax=bammette una ed una sola soluzione.Tale soluzione si chiama logaritmo di b in base a.
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La Funzione LogaritmicaLa Funzione Logaritmica
Sia x un numero positivo qualunque e a 1
esiste il logaritmo di x rispetto alla base a
e
ad ogni valore di x corrisponde uno ed un
solo valore di log a x , quindi:
y = log a x con a > 0 e a 1
si chiama funzione logaritmica di base a
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PROPRIETA’ DELLA FUNZIONE
LogaritmicaPROPRIETA’ DELLA FUNZIONE
Logaritmica
Distinguiamo due casi: a>1 opp. 0<a<1
Per es. supponiamo che sia a=2
y = log 2 x
2
1
0 1
-1
-2
x y
¼
½
1
2
4
-2
-1
0
1
2
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DeduzioniDeduzioni
• Possiamo assegnare alla variabile x solo valori positivi D=R+
• Il valore del logaritmo cresce al crescere dell’argomento x : x 1 > x2 log2 x1 > log2 x2
funzione crescente
• y può assumere qualsiasi valore reale C=R
• I valori di y per x > 1 tendono a diventare grandi quanto si vuole, mentre per valori di x <1 i valori di y risultano negativi e la curva si accosta asintoticamente all’asse y quando x tende a 0
lim log2x = - lim log2x =+
x 0+ x +
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0<a<1
per es. a = ½
si ha y = log1/2x 2
1
0 1
-1
-2
x y
¼
½
1
2
4
2
1
0
-1
-2
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DeduzioniDeduzioni• Possiamo assegnare alla variabile x solo valori positivi
D=R+• il valore del logaritmo decresce al crescere
dell’argomento: x1 > x2 log1/2 x1 < log1/2 x2
funzione decrescente• y può assumere qualsiasi valore reale C=R• I valori di y per x > 1 decrescono indefinitamente,
mentre per valori di x <1 i valori di y risultano positivi e la curva si accosta asintoticamente all’asse y quando x tende a 0
lim log1/2x = - lim log1/2x = +
x + x 0+
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GeneralizzazioneGeneralizzazione
• funzione logaritmica y = log a x
con a > 1 dominio D= R+
codominio C=R la funzione è crescente
lim log a x = - lim log a x = +
x 0 x + y
0 1 x
• funzione logaritmica y = log a x con 0 <a<1dominio D= R+
codominio C=R la funzione è decrescente
lim log a x= + lim log a x =-
x 0 x + y
0 1
x
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Le funzioni
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Prerequisiti Teoria degli insiemi
Relazioni
Insiemi numerici N, Z, Q, R
Rappresentazioni grafiche nel piano cartesiano
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Obiettivi• Definire la funzione.
• Conoscere le rappresentazioni di una funzione.
• Classificare le funzioni.
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Contenuti Definizione di funzione. Rappresentazione di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione inversa. Funzione matematica.
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Definizione Dati due insiemi A e B non vuoti e non
necessariamente distinti, si definisce funzione qualsiasi relazione di A in B che ad ogni elemento di A fa corrispondere uno ed uno solo elemento di B.
f : A B
x y (x, y) f
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Dominio, codominio e immagine
Dominio: insieme A
Codominio: insieme B
Immagine: insieme formato dagli elementi di B che sono i corrispondenti di elementi di A
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LA RELAZIONE NON È UNA FUNZIONE….
quando ci sono elementi A a cui
non corrispondono elementi di B
oppure
quando ci sono elementi A a cui
corrispondono più di un elemento di B
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Rappresentazione grafica
di una funzione
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DeduzionePoichè la funzione è una relazione;
la relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano
si deduce che: la funzione si rappresenta come i prodotti
cartesiani.
![Page 31: Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una funzione Proprietà specifiche di alcune funzioni Grafici.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4b497959361e8b9361/html5/thumbnails/31.jpg)
….. Rappresentazione tabulare (o per
elencazione)Rappresentazione sagittale (o diagramma
a frecce)Rappresentazione mediante diagramma
cartesiano
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La classificazione
delle funzioni
![Page 33: Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una funzione Proprietà specifiche di alcune funzioni Grafici.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4b497959361e8b9361/html5/thumbnails/33.jpg)
Funzioni iniettiveUna funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti fa corrispondere immagini diverse.
f : A B
f (x1) f(x2)
x1 x2
![Page 34: Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una funzione Proprietà specifiche di alcune funzioni Grafici.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4b497959361e8b9361/html5/thumbnails/34.jpg)
Come riconoscerele funzioni iniettive dal grafico:
Ogni elemento del codominio è al più immagine di un elemento di A.
![Page 35: Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una funzione Proprietà specifiche di alcune funzioni Grafici.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4b497959361e8b9361/html5/thumbnails/35.jpg)
•
•
•
• •
•
• •
Ad ogni elemento del codominio arriva al massimo una freccia
A
B
Grafico di funzioni iniettive
![Page 36: Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una funzione Proprietà specifiche di alcune funzioni Grafici.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4b497959361e8b9361/html5/thumbnails/36.jpg)
Funzioni suriettive Una funzione f : A B si dice suriettiva
quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A
f : A f : A B B y y B B x x A A è suriettiva (x, y) è suriettiva (x, y) f f
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•
•
• •
•
•
•
Ad ogni elemento del codominio arriva almeno una freccia
A
B
Grafico di funzioni suriettive
![Page 38: Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una funzione Proprietà specifiche di alcune funzioni Grafici.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4b497959361e8b9361/html5/thumbnails/38.jpg)
Funzioni biiettive Si dice biiettiva una funzione f: A B che è sia iniettiva che suriettiva.
f : A B x1 x2 f (x1) f(x2)
È biiettiva yB xA (x, y) f
![Page 39: Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una funzione Proprietà specifiche di alcune funzioni Grafici.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4b497959361e8b9361/html5/thumbnails/39.jpg)
•
•
•
•
•
•
Da ogni elemento di A parte una freccia
In ogni elemento di B arriva una freccia
Grafico di funzioni biiettive
A
B
![Page 40: Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una funzione Proprietà specifiche di alcune funzioni Grafici.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4b497959361e8b9361/html5/thumbnails/40.jpg)
Perché sono im
portanti le fu
nzioni
biiettive?
Perché sono invertibili
![Page 41: Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una funzione Proprietà specifiche di alcune funzioni Grafici.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4b497959361e8b9361/html5/thumbnails/41.jpg)
Funzione inversaData una funzione iniettiva f: AB si dice
funzione inversa la funzione f-1: B A tale che
se f(x) = y allora f -1(y) = x
e viseversa
se f -1(y) = x allora f(x) = y
![Page 42: Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una funzione Proprietà specifiche di alcune funzioni Grafici.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4b497959361e8b9361/html5/thumbnails/42.jpg)
La funzione matematica
… è una funzione f : A B in cui
A e B sono insiemi numerici
esiste una formula generale, del tipo y = f(x), che permette di calcolare l’immagine di ogni elemento del dominio
![Page 43: Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una funzione Proprietà specifiche di alcune funzioni Grafici.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4b497959361e8b9361/html5/thumbnails/43.jpg)
LE FUNZIONILE FUNZIONISTUDIO DEL GRAFICO
Clic per proseguire
![Page 44: Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una funzione Proprietà specifiche di alcune funzioni Grafici.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062701/5542eb4b497959361e8b9361/html5/thumbnails/44.jpg)
Lo studio di una funzione è un procedimento che coinvolge concetti elevati, conoscenze fortemente correlate. Non si tratta di imparare un meccanismo, ma di seguire una procedura di estrema razionalità, che consiste nel migliorare progressivamente le informazioni, finché abbiamo acquisito tutto quello che occorre per dominarne il comportamento e tracciarne il grafico. Per risolvere tale problema è molto importante avere un continuo controllo sulle informazioni che man mano si acquisiscono.
Clic per proseguireIndietro
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Nello studio di una funzione y = f(x) conviene procedere secondo il
seguente schema:
determinare l’insieme di esistenza della funzione. Esempi
calcolare le coordinate degli eventuali punti d’intersezione con gli assi cartesiani. Esempio
scrivere l’equazione degli eventuali asintoti orizzontali, verticali ed obliqui. Esempio
Trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo e di flesso. Esempio
Tracciare l’andamento del grafico della funzione. Esempio
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Una funzione razionale intera è definita per qualsiasi valore della x.
Esempio. La funzione:
è definita per qualsiasi valore attribuito all’incognita. Pertanto il suo grafico si troverà in tutto il piano cartesiano.
xxy 33
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Una funzione razionale fratta non è definita per i valori della x che annullano il denominatore.
Esempio. La funzione:
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1
12
x
xy
è definita per tutti i valori della x diversi da 1. Pertanto il suo grafico si troverà in tutto il piano cartesiano escluso x=1.
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xxy 22
022 xx 02 xx 20 xx
Una funzione irrazionale quadratica è definita per i valori della x che rendono il radicando non negativo.
Esempio. La funzione:
è definita per valori della x esterni all’intervallo (0;2) e pertanto non ci sarà grafico in tale intervallo. Infatti
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L’’insieme di definizione di una funzione trascendente va stabilito caso per caso.
Esempio. La funzione:
xy log è definita per i valori positivi della x e quindi il suo grafico si troverà nel primo e quarto quadrante
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Per trovare le coordinate dei punti d’intersezione con gli assi cartesiani di una funzione occorre porre y = 0 (punti d’intersezione con l’asse x) e quindi x = 0 (punti d’intersezione con l’asse y). Per esempio, data la funzione:
1
12
2
x
xy
ponendo y = 0 nell’equazione si ottiene x2-1 = 0 e quindi x = ± 1. Pertanto il grafico passa per A(-1; 0) e B(1;0). Ponendo invece x = 0 si ottiene y = -1 e quindi il grafico passa per C(0; -1)
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Per trovare l’eventuale asintoto orizzontale di una funzione bisogna calcolare il limite per x che tende ad infinito della funzione. Se tale limite vale il numero finito k l’asintoto orizzontale sarà y = k. Nel caso in cui tale limite risulta infinito, non esiste asintoto orizzontale e le funzione diverge. Per esempio non ammette asintoto orizzontale la seguente funzione perché il limite suddetto è infinito.
1
2
x
xy
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Per trovare gli eventuali asintoti verticali bisogna calcolare il limite per x che tende ad ognuno di quei valori (supponiamo che sia h) per i quali la funzione non è definita. Se tale limite risulta infinito, la retta x = h è un asintoto verticale. Nell’esempio precedente la funzione ammette la retta x = 1 come asintoto verticale essendo il limite di tale funzione infinito.
Per trovare gli eventuali asintoti obliqui del tipo y = mx + q bisogna calcolare il limite per x che tende ad infinito di f(x)/x (tale numero nel caso in cui risulta finito rappresenta m) e il limite per x che tende ad infinito di f(x) – mx (tale numero nel caso in cui risulta finito rappresenta q). Nel nostro caso la funzione ammette come asintoto obliquo la retta y = x – 1. Infatti i suddetti limiti risultano m = 1 e q = -1.
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Per calcolare i punti di massimo e minimo relativo di una funzione bisogna studiare il segno della derivata prima, ricordandosi che quando essa risulta positiva (negativa) la funzione è crescente (decrescente).
Per calcolare i punti di flesso bisogna studiare il segno della derivata seconda, ricordandosi che quando essa risulta positiva (negativa) la funzione è concava (convessa).
N.B. Per brevità non ci occupiamo delle funzioni non derivabili.
Data la funzione:
xxy 33 calcoliamo la derivata prima:
33 2 xy e ne studiamo il segno:
1101033 22 xxxxX = -1
X = +1
pertanto per x = -1 c’è un punto di massimo relativo e per x = 1 un punto di minimo relativo
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F(x)
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Di conseguenza y(-1) = 2 e y(1) = -2. Quindi la funzione ha un massimo relativo nel punto A(-1;-2) e un minimo relativo nel punto B(1;-2).
Calcoliamo quindi la derivata seconda della funzione e ne studiamo il segno:
006 xxyPertanto la funzione è concava per x>0 e convessa per x<0. Di conseguenza y(0) = 0 e quindi la funzione ha un flesso nel punto C(0;0), cioè nell’origine
Il grafico evidenzia i punti di massimo e minimo relativo e il punto di flesso.
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Come esempio finale trattiamo lo studio completo di una funzione algebrica razionale fratta. Sia data la funzione:
2
3
1x
xy
1. La funzione è definita per x ≠ 1
2. Se x = 0 allora y = 0 e viceversa. Quindi l’unico punto d’intersezione della funzione con gli assi cartesiani è l’origine O(0;0).
3. La funzione non ha asintoti orizzontali perché il limite per x che tende ad infinito è infinito.
La funzione ammette come asintoto verticale la retta di equazione x = 1 perché il limite per x che tende ad 1 della funzione è più infinito sia da destra che da sinistra.
La funzione ammette come asintoto obliquo la retta di equazione y = x + 2 perché il limite per x che tende ad infinito di f(x)/x è 1 e il limite per x che tende ad infinito di f(x) – mx è 2.
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4. Studiamo il segno della derivata prima, che può essere calcolata con facili passaggi algebrici:
31000)1(
)3(3
2
xxxx
xxy
Pertanto (sempre attraverso facili passaggi algebrici), la curva presenta un flesso nell’origine e un minimo nel punto (3;27/4).
La derivata seconda:
41
6
x
xy
Non annullandosi al di fuori dell’origine, ci indica che la funzione non presenta altri flessi
IL grafico della funzione è rappresentato nella successiva diapositiva.
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ANNO 2002
COMPONENTI DEL PROGETTO:
Prof.ssa Anna Maria Luppino
Prof.ssa Rosella Macchioni
Prof. Nino Manerchia
Prof.ssa Antonella Paolillo