MEHANIKA FLUIDA I to valja zapamtiti

67

HIDARAULIKI PRORAUN CJEVOVODA Hidrauliki proraun cjevovoda se temelji na jednadbi kontinuiteta Q = vA = konst. i modificiranoj Bernoullijevoj jednadbi, koja za strujanje od presjeka 1 prema presjeku 2 cijevi glasi 2 p1 v12 p2 v2 + 1 + z1 + hP hT = + 2 + z2 + hF 2g 2g g g gdje je hP visina dobave pumpe, hT pad visine energije u turbini, a hF ukupna visina gubitaka izmeu promatranih presjeka. Visina hF gubitaka mehanike energije (pretvorbe mehanike energije u unutarnju) se dijeli na linijske gubitke hf i lokalne gubitke hfm, tj. vrijedi hF = hf + hfm . Modeliranje linijskih gubitaka Linijski gubici hf se modeliraju s pomou izraza Darcy-Weissbacha koji glasi pf L v2 8 LQ 2 = = 2 5 hf = g D 2g Dg gdje je faktor trenja koji je odreen eksperimentalno, a u opem je sluaju funkcija Reynoldsova broja vD 4 Q vD 4Q Re = = ili = Re = D D i relativne visine k/D hrapavosti stijenke cijevi. U gornjim izrazima: L je duljina cjevovoda; D je promjer cjevovoda; v je srednja brzina strujanja fluida; Q je protok; je dinamika viskoznost fluida, a = / kinematika viskoznost. Za strujanje u okruglim cijevima se uzima da je ono laminarno do Re=2300, a pri viim Reynodsovim brojevima se uzima da je turbulentno, iako je u podruju Reynoldsova broja od 2300 do priblino 4000 faktor trenja vrlo nepredvidiv, te je pouzdanost prorauna slaba. Za laminarno strujanje postoji analitiko rjeenje za faktor trenja 64 = , za Re5000, a koja glasi 1,325 = 2 k 5,74 ln 3, 7 D + Re0 ,9 Ovaj izraz vrijedi i za hidrauliki glatke cijevi (k/D=0) i za podruje potpuno izraene turbulencije ( Re ). Zavisnost faktora trenja od Reynoldsova broja Re i relativne visine k/D hrapavosti stijenke cijevi je prikazana grafiki Moodyevim dijagramom, prema sljedeoj slici. Uz dijagram su dane neke tipine visine hrapavosti stijenke.

MEHANIKA FLUIDA I to valja zapamtiti

68

Moodyjev dijagram

MEHANIKA FLUIDA I to valja zapamtiti

69

Treba imati na umu da prikazani model linijskih gubitaka vrijedi za strujanje ustaljenim (izobraenim) profilom brzine, gdje je pad tlaka uslijed trenja linearno razmjeran duljini cjevovoda. U odreenim dionicama cjevovoda, npr. ulazni dio cjevovoda prikljuen na veliki spremnik, strujanje iza koljena, ventila, naglog proirenja i slino, strujanje nee biti ustaljenim profilom. U realnim cjevovodima je duljina dionica u kojima je strujanje ustaljenim profilom brzine obino puno vea od duljine dionica s neustaljenim profilom te se prikazani model s dovoljnom tonou moe primijeniti na itavu duljinu cjevovoda. Modeliranje lokalnih gubitaka Lokalni gubici strujanja nastaju pri strujanju kroz koljena, ventile, zasune, filtre, nagla proirenja i slino. Gledajui lokalno u svim nabrojanim situacijama, strujanje je trodimenzijsko, ali se pretpostavlja da su dimenzije prostora u kojem se to strujanje dogaa zanemarivo male u odnosu na ukupnu duljinu cjevovoda pa se takav prostor moe smatrati tokom cjevovodnog sustava, a nastali gubitak lokalnim ili mjesnim. Jasno je da je gubitak mehanike energije vezan uz strujanje pa e i visina lokalnih gubitaka biti razmjerna visini kinetike energije u obliku v2 8Q 2 hfm = K =K 2 4 2g D g gdje je K koeficijent lokalnog gubitka. Usporedbom Darcy-Weissbachove formule s gornjim izrazom moe se rei da se i linijski gubici mogu izraziti koeficijentom gubitka K = L D . U opem je sluaju koeficijent K funkcija Reynoldsova broja i relativne visine hrapavosti stijenke. Kao to i faktor trenja pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja postaje konstantnim tako se i koeficijent lokalnog gubitka moe smatrati konstantnim pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja. Za sluaj da ulazna i izlazna brzina nisu jednake uz koeficijent lokalnog gubitka mora tono stajati na koju visinu kinetike energije se on odnosi, iako se najee koristi najvea visina kinetike energije. Tako je na sljedeoj slici definiran koeficijent lokalnog gubitka naglog proirenja (koji se moe dobiti teorijskim razmatranjima), a s obzirom da ulazna i izlazna brzina nisu jednake definiran je i izraz za visinu lokalnih gubitaka da se zna uz koju visinu kinetike energije se gubici raunaju. D2 K = 1 12 D2 v2 =K 1 hfm 2g2

v1

D1

D2 v2

Posebni sluaj naglog proirenja je utjecanje u veliki spremnik gdje se moe uzeti da je D2 >> D1 te vrijedi da je K=1, kao to je i prije prikazano. Sljedea tablica daje pregled nekih tipinih lokalnih gubitaka. Lokalni gubitak Koeficijent lokalnog gubitka K Ulaz iz spremnika u cijev: otri rubovi 0,50 lijepo zaobljeni rubovi 0,04 Koljeno 90 - veliki radijus luka 0,20 - mali radijus luka 0,70 Kuglasti ventil: potpuno otvoren 0,05 1/3 zatvoren 5,50

MEHANIKA FLUIDA I to valja zapamtiti

70

Ventil s pladnjem potpuno otvoren 10,00 Veza meu faktorom brzine i koeficijentom lokalnog gubitka Pri analizi istjecanja kroz otvore uveden je pojam faktora brzine Cv kojim se uzima u obzir gubitak mehanike energije uslijed trenja. Isti se ti gubici mogu obuhvatiti koeficijentom lokalnog gubitka K. Gledajui sliku moe se pisati izraz za brzinu istjecanja pa 0 v = Cv 2 gh , a modificirana Bernoullijeva jednadba od toke 0 to toke 1 uz postojanje lokalnih gubitaka glasi v2 v2 h= +K h 2g 2g Usporedbom tih izraza slijedi veza izmeu koeficijenta brzine pa 1 Cv i koeficijenta lokalnog gubitka K, oblika K = 2 1 Cv 1 Oito je da za Cv=1 (strujanje bez gubitaka), slijedi K=0.

Ekvivalentna duljina cjevovoda Kod strujanja kroz cijev konstantnog promjera lokalni gubici se mogu zamijeniti ekvivalentnom duljinom cjevovoda. Sljedea slika prikazuje energetsku liniju za strujanje kroz cijev konstantnog promjera s ugraenim ventilom, koja ima skokoviti pad visine energije na mjestu lokalnog gubitka.E.L.

E.L.

L

L Lue

Le

Na desnoj slici je lokalni gubitak ventila zamijenjen ekvivalentnom duljinom Le cjevovoda, tj. cijev je fiktivno produljena da bi pad tlaka u oba sluaja bio isti. Jasno ja da vrijediK v2 L v2 k = e iz ega je Le = D D 2g 2g

MEHANIKA FLUIDA I to valja zapamtiti

71

Postupci prorauna jednostavnih cjevovoda Kategoriji hidrauliki jednostavnih cjevovoda pripadaju svi cjevovodi jednostavne topoloke strukture kod kojih se problem prorauna svodi na postavljanje jedne modificirane Bernoullijeve jednadbe, a koja se za sluaj postojanja pumpe u cjevovodu moe svesti na oblik L 8Q 2 8Q 2 hP = h21 + +K 4 2 (a) D D 4 2 g D ghf h fm

gdje je h21 razliku visina energija na kraju i poetku cjevovoda (razlika geodetskih visina, razlika visina tlakova i razlika visina brzina). Ovom se izrazu pridodaje izraz za faktor trenja (b) 2 k 5, 74 ln 3, 7 D + Re0 ,9 i izraz za Reynoldsov broj 4 Q Re = (c) D to ini osnovni sustav jednadbi za hidrauliki proraun jednostavnih cjevovoda. Iz ovog sustava triju jednadbi mogu se izraunati tri nepoznanice. S obzirom da se radi o sustavu nelinearnih jednadbi one e se u veini sluajeva rjeavati iterativnim postupkom. Ako su npr. zadani protok Q i promjer D cjevovoda proraun se svodi na odreivanje Reynoldsova broja, prema (c) iz kojeg slijedi faktor trenja , prema (b), nakon ega se direktno izrauna traena visina gubitaka mehanike energije, odnosno visina dobave pumpe iz (a). U otvorenim cjevovodnim sustavima visinom dobave pumpe se svladava razliku energija h21 i gubitke trenja, dok u zatvorenim (cirkulacijskim) sustavima pumpa svladava samo gubitke trenja. Uz pretpostavku da su gubici razmjerni kvadratu protoka, potreba za visinom dobave pumpe moe se openito prikazati funkcijom h = h21 + rQ 2 to oznauje parabolu koja se naziva karakteristikom cjevovoda. Sljedea slika lijevo prikazuje primjer dijagrama koji oznauje karakteristiku pumpe (plava krivulja) s ucrtanom karakteristikom cjevovoda (crna krivulja). Crtkana plava krivulja oznauje faktor korisnosti pumpe. Visina dobave pumpe je maksimalna kod nultog protoka, a maksimalni je protok pri nultoj visini dobave pumpe. Radna toka pumpe definirana je presjekom karakteristike pumpe i karakteristike cjevovoda. Pumpu treba izabrati tako da radna toka padne u podruje maksimalnog faktora iskoristivosti pumpe.100 1 200 180 80 0.8 160 140

=

1,325

h/m

h/m

60

0.6

120 100 80 60

40

0.4

20

0.2

40 20

0

0

0.2

Q / m3/s

0.4

0.6

0.8

1

0

0

0

0.5

Q / m3/s

1

1.5

2

MEHANIKA FLUIDA I to valja zapamtiti

72

esto se u praksi radi s paralelno ili serijski spojenim pumpama. U paralelnom radu jednakih pumpi visina dobave je zajednika za sve pumpe, a ukupni protok je jednak zbroju protoka kroz sve pumpe. U serijskom radu pumpi protok je kroz svaku pumpu jednak, a ukupna visina dobave jednaka je zbroju visina dobava svih pumpi. Slika gore desno prikazuje karakteristiku jedne pumpe (plava krivulja), te karakteristike serijskog rada (zelena krivulja) i paralelnog rada (crvena krivulja) dviju takvih pumpi. Ako je poznata geometrija cjevovoda i raspoloiva visina energije za svladavanje gubitaka, a potrebno je odrediti protok, sustav jednadbi (a) do (c) se rjeava iterativnim postupkom. Iterativni postupak zapoinje pretpostavkom o faktoru trenja. Obino se pretpostavlja turbulentno strujanje u reimu potpuno izraene hrapavosti (vrijednost faktora trenja se oita iz Moodyjeva dijagrama ili izrauna iz formule Swamee-Jaina uz pretpostavku Re=). S tom vrijednou se ulazi u izraz (a) te se izraunava protok. S tako izraunatim protokom se rauna Reynoldsov broj iz izraza (c), te se ponovo rauna nova vrijednost faktora trenja iz izraza (b). Nakon toga se postupak ponavlja. Iterativni postupak se smatra zavrenim kada se vrijednost protoka Q prestane mijenjati u prve tri signifikantne znamenke, a najee su potrebne svega dvije ili tri iteracije. Iterativni postupak se prikazuje kroz sljedeu tablicu, koja se popunjava redak po redak Broj iteracije 0 1

Q

Re

Ako je potrebno odrediti promjer D cjevovoda, ponovo se zahtijeva iterativni postupak. Iterativni postupak zapoinje pretpostavljanjem promjera D. Tako se promjer D moe pretpostaviti na nain da uz zadani protok brzina strujanja bude u preporuenim granicama. Za vodovodne sustave je to u granicama od 0,5 do 2 m/s. Iterativni postupak zavrava kada se vrijednost promjera D prestane mijenjati u prve tri signifikantne znamenke. Iterativni postupak se prikazuje kroz sljedeu tablicu, koja se popunjava redak po redak. Broj iteracije 0 1

D , iz (a)

Re, iz (c)

k D

, iz (b)

Hidrauliki proraun cjevovoda nekrunog poprenog presjeka Opisani postupak za hidrauliki proraun cjevovoda krunog poprenog presjeka se moe primijeniti i za proraun cjevovoda nekrunog poprenog presjeka. Proraun se temelji na ekvivalentnom promjeru De, a vrijedi za sluaj turbulentnog strujanja fluida. Ekvivalentni promjer je definiran kao S De = 4 RH = 4 T O

MEHANIKA FLUIDA I to valja zapamtiti

73

gdje je ST plotina poprenog presjeka toka, a O oplakani opseg (duljina linije dodira fluida i stijenke cijevi). Odnos ST O = RH se naziva hidraulikim radijusom. Na sljedeoj slici su definirani ekvivalentni promjeri za neke tipine situacije strujanja fluida. Sluaj strujanja Ekvivalentni promjer Strujanje punim pravokutnim presjekomb a

De =

2ab a+b

Strujanje u otvorenom pravokutnom kanaluc a

De =

4ac a + 2c

Strujanje izmeu dvije koaksijalne cijeviD2

De = D2 D1

Faktor trenja za ustaljeno strujanje kroz cijevi nekrunog presjeka se takoer oitava iz Moodyjeva dijagrama ili rauna iz formule Swamee-Jaina s tim to su Reynoldsov broj v De Re = i relativna visina hrapavosti k definirani na temelju ekvivalentnog De promjera. Srednja brzina v u svim izrazima se definira omjerom protoka i stvarne plotine poprenog L v2 Q . Izraz za visinu linijskih gubitaka glasi hf = u kojem v presjeka toka v = ST De 2 g ponovo oznauje stvarnu srednju brzinu strujanja fluida.

D

1