Soluções no Espaço de Estados e Realizações (C. T. Chen, Capítulo 4) Sistemas Lineares.
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Soluções no Espaço de Estados e Realizações
(C. T. Chen, Capítulo 4)
Sistemas Lineares
Solução da descrição entrada-saída
Não há uma forma analítica simples de calcular a convolução
A forma mais simples é calcular numericamente esta equação discretizada, ou seja, calcular
Caso de Sistemas LIT• Neste caso pode-se utilizar a relação para calcular a solução ,
via transformada inversa de Laplace (solução no domínio da frequência)– Se o sistema é distribuído, não será uma função racional de s. Se for
este o caso, exceto em alguns casos especiais é mais simples computar a solução diretamente no domínio do tempo, como em (4.1)
– Se o sistema é concentrado, será uma função racional de s. Neste caso, se também for uma função racional de s, então a solução pode ser obtida tomando-se a transformada de Laplace inversa de . Tal método requer computar os polos, gerar a expansão em frações parciais e usar uma tabela de Transformadas de Laplace, para obter a transformada inversa de cada fração parcial. Em MATLAB usam-se as funções roots (cálculo dos polos) e residue (cálculo dos resíduos nos polos, para fazer a expansão em frações parciais).
• Havendo polos repetidos, a computação da solução pode tornar-se muito sensível a pequenas variações nos dados, como erros causados por arredondamento. Portanto, computar a solução via Transformada de Laplace não é um método viável em computadores digitais, pois sempre haverá erros numéricos
• Um método mais adequado é transformar funções de transferência em equações no espaço de estados, e então calcular sua solução
Solução de Equações de Estado LIT
Sejam as equações no espaço de estados lineares e invariantes no tempo
onde , , , e são matrizes constantes , , , e , respectivamente, é um vetor , é um vetor e é um vetor .
Deseja-se obter a solução excitada pelo estado inicial e a entrada . Tal solução depende da função exponencial de estudada na Seção 3.6.
A função mais importante de é a função exponencial . Dado que a série de Taylor
converge para todos e , tem-se que
Propriedades importantes de
• Para provar (3.54), toma-se (3.53) com e leva-se em conta (3.52). Para calcular , basta diferenciar termo a termo (3.51), obtendo-se
que é o resultado em (3.55).
Verificando que (4.5) é solução de (4.2)
Devemos mostrar que (4.5) satisfaz (4.2) e a condição inicial em . Para , (4.5) se reduz a
e, portanto, (4.5) satisfaz a condição inicial.
Cálculo de e
Tais valores são calculados no domínio do tempo.Para isto basta calcular
Como calcular
Opções para cálculo da inversa de
Exemplo 4.1
𝑠(𝑠+1 )2
Exemplo 4.1
𝑠(𝑠+1 )2
Exemplo 4.2𝑠
(𝑠+1 )2
Discretização
Simples, porém imprecisa
Método exato
Solução de equação no espaço de estados discreta
Solução geral para o caso discreto
Equações de estado equivalentes
Escolhemos como variáveis de estado (corrente no indutor) e (tensão no capacitor).
Equações de estados equivalentes
Autovalores e FT de sistemas equivalentes
Sistemas equivalentes ao estado zero
Exemplo 4.4
Formas canônicas
Forma canônica controlável
Forma de Jordan
Forma de Jordan com coeficientes reais
Realizações de um sistema LTI
Decomposição direta para o caso SISO
Solução de sistemas lineares variantes no tempo
Caso variante
Exemplo
Matriz fundamental
Exemplo 4.9
Prova