Rozwiązywanie ramy statyczne niewyznaczalnej...

MECHANIKA BUDOWLI semestr letni

1 | S t r o n a dr inż. Hanna Weber

EJ EJ EJ

4 6

A B C D

4 4

EJ EJ EJ

A B C D

LwVA

V A

1

V B V C V D

+

-+

1

LwVB+

-

1

LwVC

+

LwVD -

+ 1

P=1x

- -+

LwMA

+-

-LwMB

-LwMC

LwMD-

+

Linie wpływu w belkach statycznie niewyznaczalnych

Zadanie 1.: Dla poniższej belki naszkicuj linie wpływu wszystkich reakcji, momentów podporowych

oraz sił tnących i momentów zginających w przekroju α-α. Za pomocą metody przemieszczeń

wyznaczyć rzędne poszczególnych linii w połowie długości każdego przęsła.

1. Szkice linii wpływowych reakcji i momentów podporowych:



EJ EJ EJ

4 68

EJ EJ EJ

A B C DP=1

x

-

+LwM

-+

-LwT

4 68

2EJ4

=EJ

4EJ4

= EJ

2 4EJ8

=EJ2

2EJ8

=EJ4

4EJ6

=2EJ3

4EJ8

=EJ2

2EJ8

=EJ4

2EJ6

=EJ3

P=1

2 2

1 48

=12

12

2. Szkice linii wpływowych sił tnących i momentów zginających w przekroju α-α.

3. Wyznaczenie rzędnych poszczególnych linii wpływu w połowie długości przęsła AB

- Schemat podstawowy geometrycznie wyznaczalny (wstawiamy blokady obrotu):

- stan f1=1:

- stan f2=1:

- obciążenie siłą skupioną w połowie przęsła AB



P=1

2 2

0,673

0,154

V = 0,63A 0,37

0,37 0,025

V = 0,395B

0,154 0,049 0,049 0,025

V = 0,012DV = -0,037C

0,025 0,025

0,025

0,012

0,012

8 6

Układ równań metody przemieszczeń:

0

0

20222121

10212111

kkk

kkk

Wyznaczenie współczynników układu:

0

2

1

6

7

3

2

2

4

2

3

2

20

10

22

2112

11

k

k

EJEJEJk

kEJ

k

EJEJEJk

Podstawienie współczynników do układu:

006

7

4

02

1

42

3

21

21

EJEJ

EJEJ

Rozwiązanie układu równań:

EJ

EJ

27

2

81

28

2

1

Ostateczny wykres momentów dla układu statycznie niewyznaczalnego: Wykres momentów w poszczególnych punktach wyznaczamy na podstawie wzoru:

Przy obliczaniu momentów przyjęto następujące znaki: moment rozciągający włókna dolne "+", moment rozciągający włókna górne "-":

673,02

1

27

20

81

28

2

EJEJ

EJM A

154,02

1

27

20

81

28

EJEJEJM

LB

154,027

2

481

28

2

EJ

EJ

EJ

EJM

PB 049,0

27

2

281

28

4

EJ

EJ

EJ

EJM

LC

049,027

2

3

2

81

280

EJ

EJ

EJM

PC 025,0

27

2

381

280

EJ

EJ

EJM D

Wyznaczenie wartości sił tnących - rozcinamy układ i zaczepiamy wyznaczone momenty w poszczególnych punktach. Z warunków równowagi dla wyciętych przęseł wyznaczamy wartości sił tnących i reakcji.

iiii MMMM 02

1

1

1 21



0,673

0,587

0,154

0,049

0,025

EJ EJ EJ

A B C D

LwVA

V A

1

V B V C V D

+

-+

1

LwVB+

-

1

LwVC

+

LwVD -

+ 1

P=1x

- -+

LwMA

+-

-LwMB

-LwMC

LwMD-

+

0,63

0,395

0,037

0,012

0,673

0,154

0,049

0,025

Wyznaczenie siły tnącej i momentu zginającego w przekroju α-α

025,0T

054,04025,0154,0 M

Wykres momentów od siły przyłożonej w połowie długości przęsła AB Otrzymane wartości reakcji, momentów i siły tnącej są rzędnymi na odpowiednich liniach wpływu w połowie długości przęsła AB



EJ EJ EJ

A B C DP=1

x

-

+LwM

-+

-LwT

0,054

0,025

1 88

= 1P=1

1

4 4

4. Wyznaczenie rzędnych poszczególnych linii wpływu w połowie długości przęsła BC Wykresy jednostkowe od kątów obrotu są identyczne, więc dla uproszczenia prezentacji je pominięto. -Obciążenie siłą skupioną w połowie przęsła BC Wyznaczenie współczynników od obciążenia zewnętrznego:

1

1

20

10

k

k


016

7

4

0142

3

21

21

EJEJ

EJEJ


EJ

EJ

27

28

840,0

2

1

Wyznaczenie wartości momentów w poszczególnych punktach:

420,0027

280

840,0

2

EJEJ

EJM A

840,0027

280

840,0

EJEJEJM

LB



P=1

2 2

0,420

0,840

V = -0,315A 0,315

0,315 0,519

V = 0,834B

0,840 0,691 0,691 0,346

V = -0,173DV = 0,654C

0,519 0,481

0,481

0,173

0,173

8 6

0,42

0,840,691

0,346

1,236

P=1

0,691

0,481

P=1

0,840

0,519

840,0127

28

4

840,0

2

EJ

EJ

EJ

EJM

PB 691,01

27

28

2

840,0

4

EJ

EJ

EJ

EJM

LC

691,027

28

3

2840,00

EJ

EJ

EJM

PC 346,0

27

28

3

840,00

EJ

EJ

EJM D

Wyznaczenie wartości sił tnących


481,01519,0LT wartość siły tnącej nieskończenie blisko przekroju α-α, dla siły P znajdującej się

po lewej stronie przekroju

519,0481,01PT wartość siły tnącej nieskończenie blisko przekroju α-α, dla siły P znajdującej się

po prawej stronie przekroju

236,14519,084,0 M

Wykres momentów od siły przyłożonej w połowie długości przęsła BC Otrzymane wartości reakcji, momentów i sił tnących są rzędnymi na odpowiednich liniach wpływu w połowie długości przęsła BC.



P=1

4

0,056

0,111

V = 0,042A

0,042

0,042 0,052

V = -0,094B

0,111 0,306 0,306 0,972

V = 0,611DV = 0,441C

0,052 0,052

0,052

0,389

0,389

8 3 3

P=11 68

=

3 3

34

34

5. Wyznaczenie rzędnych poszczególnych linii wpływu w połowie długości przęsła CD Wykresy jednostkowe od kątów obrotu są identyczne, więc dla uproszczenia prezentacji je pominięto. -Obciążenie siłą skupioną w połowie przęsła CD Wyznaczenie współczynników od obciążenia zewnętrznego:

4

3

0

20

10

k

k


04

3

6

7

4

0042

3

21

21

EJEJ

EJEJ


EJ

EJ

3

2

9

1

2

1

Wyznaczenie wartości momentów w poszczególnych punktach:

056,003

20

9

1

2

EJEJ

EJM A

111,003

20

9

1

EJEJEJM

LB

111,003

2

49

1

2

EJ

EJ

EJ

EJM

PB 306,00

3

2

29

1

4

EJ

EJ

EJ

EJM

LC

306,04

3

3

2

3

2

9

10

EJ

EJ

EJM

PC 972,0

4

3

3

2

39

10

EJ

EJ

EJM D




0,056

0,111

0,306 0,972

0,097

0,861

EJ EJ EJ

A B C D

LwVA

V A

1

V B V C V D

+

-+

1

LwVB+

-

1

LwVC

+

LwVD -

+ 1

P=1x

- -+

LwMA

+-

-LwMB

-LwMC

LwMD-

+

0,63

0,395

0,037

0,012

0,673

0,154

0,049

0,025

0,3150,042

0,834 0,094

0,654 0,441

0,1730,611

0,42

0,056

0,84 0,111

0,6910,306

0,346

0,972


052,0PT

097,04052,0111,0 M

Wykres momentów od siły przyłożonej w połowie długości przęsła BC Otrzymane wartości reakcji, momentów i sił tnących są rzędnymi na odpowiednich liniach wpływu w połowie długości przęsła CD. Wykresy linii wpływu uzupełnione o wartości rzędnych policzone w punktach 4 i 5:



EJ EJ EJ

A B C DP=1

x

-

+LwM

-+

-LwT

0,054

0,025

1,236

0,097

0,481

0,519

0,052

EJ EJ EJ

A B C D

-

+LwM

0,054

1,236

0,097

q=6kN/m

4 8 6

EJ EJ EJ

-

+LwM

0,054

1,236

0,097

q=6kN/m

4 2 62 2 2

P =6 2=121 2P =6 4=24 P =6 2=123

Zadanie 2: Na podstawie linii wpływu Mα z zadania 1-go, oszacować wartość ekstremalnego

momentu w zadanym przekroju od obciążenia użytkowego p=6kN/m i porównać z rzeczywistą wartością momentu od tego obciążenia. 1) Wyznaczenie maksymalnego momentu w przekroju α-α rozciągającego włókna dolne.

Obciążamy dodatnie pole linii wpływu obciążeniem użytkowym:

- oszacowanie wartości momentu - sprowadzamy obciążenie do sił skupionych nad wyznaczonymi rzędnymi linii wpływu i nad podporami:

kNmPPPM 66,29236,1240236,10 321)max(



EJ EJ EJ

A B C Dq=6kN/m

4 8 6

6 812

2

=326 812

2

=32

22,12

T =24,59 T =23,41

4

26,86

4

BC

BC

q=6kN/m

- wyznaczenie dokładnej wartości momentu - wykorzystanie metody przemieszczeń. Wykresy od jednostkowych kątów obrotu są takie same jak w zadaniu 1. Obciążenie zewnętrzne - obciążenie użytkowe na środkowym przęśle: Wyznaczenie współczynników od obciążenia zewnętrznego:

32

32

20

10

k

k


0326

7

4

03242

3

21

21

EJEJ

EJEJ


EJ

EJ

19,33

86,26

2

1

Wyznaczenie wartości momentów na końcach przęsła BC w poszczególnych punktach:

kNmEJ

EJ

EJ

EJM

PB 87,263219,33

4

86,26

2

kNmEJ

EJ

EJ

EJM

LC 12,223219,33

2

86,26

4

Wyznaczenie sił tnących na podstawie obliczonych momentów:

0848612,2286,26 BC TM

kNTB 59,24

kNTTR CCY 41,2308659,24

kNmM 5,23459,2424686,26)max( - wartość dokładna max. momentu rozciągającego włókna

dolne w przekroju α-α.



EJ EJ EJ

-

+LwM

0,054 1,236 0,097

1 8

P =6 1=61 P =6 1,5=94

q=6kN/mq=6kN/m

2 1 3 1,51,5

P =6 2=122P =6 1=63 P =6 1,5=96

5P =6 3=18

EJ EJ EJ

A B C D

4 8 6

12

2

=18

q=6kN/mq=6kN/m

6 66 412

2

=86 412

2

=8 6 612

2

=18

EJ EJ EJ

A B C D

-

+LwM

0,054

1,236

0,097

q=6kN/m

6

q=6kN/m

84

2) Wyznaczenie maksymalnego momentu w przekroju α-α rozciągającego włókna górne.

Obciążamy ujemne pole linii wpływu obciążeniem użytkowym:

- oszacowanie wartości momentu - sprowadzamy obciążenie do sił skupionych nad wyznaczonymi rzędnymi linii wpływu i nad podporami:

kNmPPPPPPM 39,2)097,0(18)054,0(120)097,0(00)054,0(0 654321)min(

- wyznaczenie dokładnej wartości momentu - wykorzystanie metody przemieszczeń. Wykresy od jednostkowych kątów obrotu są takie same jak w zadaniu 1. Obciążenie zewnętrzne - obciążenie użytkowe na skrajnych przęsłach: Wyznaczenie współczynników od obciążenia zewnętrznego:

18

8

20

10

k

k



6,54

T =0,84 T =0,84

4

0,197

4

BC

BC

EJ EJ EJ

A B C DP=1

x

-

+LwMBC

+-LwMAB

-+

LwMCD


0186

7

4

0842

3

21

21

EJEJ

EJEJ


EJ

EJ

185,17

198,8

2

1

Wyznaczenie wartości momentów na końcach przęsła BC w poszczególnych punktach:

kNmEJ

EJ

EJ

EJM

PB 197,00185,17

4

198,8

2

kNmEJ

EJ

EJ

EJM

LC 54,60185,17

2

198,8

4

Wyznaczenie sił tnących na podstawie obliczonych momentów:

0854,6197,0 BC TM

kNTB 84,0

kNmM 16,3484,0197,0)min( - wartość dokładna max. momentu rozciągającego włókna

górne w przekroju α-α.

Zadanie 3. Wyznaczyć maksymalny moment przęsłowy od obciążenia użytkowego 6kN/m. Szkice Linii wpływowych momentów zginających w poszczególnych przęsłach:



22,12

T =24,59 T =23,41

x

26,86

BC

BC

q=6kN/m

4

12,099

0,197

A

B

0,197 6,54 6,54 23,728

DC8

V = 15,0748,926

8,926

0,840,84

0,84

V = 8,086

0,84

V = 20,86

15,14

15,14

V = 15,98

q=6kN/m q=6kN/m

6

x1x

Analizując powyższe linie widać, że obciążenie środkowego przęsła powinno dać maksymalny moment na przęśle BC. Ponieważ jest to ta sama belka, wystarczy wykorzystać dane z zadania 2-go pkt.1). Celem zadania jest wyznaczenie maksymalnego momentu na przęśle, więc wyznaczenie ekstremum:

mxxxT 1,40659,24)(

kNmmxM 53,231,459,242

1,4686,26)1,4(

2

Aby uzyskać maksymalny moment na dwóch pozostałych przęsłach, obciążamy dodatnie pola linii wpływu, czyli przęsła skrajne. Wykorzystując dane z z zadania 2-go pkt.2):

EJ

EJ

185,17

198,8

2

1

kNmMPB 197,0

kNmMLC 54,6

Wyznaczenie brakujących momentów na podporach A i D:

kNmEJEJ

EJM A 099,128

185,170

198,8

2

kNmEJ

EJ

EJM D 728,2318

185,17

3

198,80


Wyznaczenie ekstremum na przęśle AB:

mxxxT 51,206074,15)(

kNmmxM 84,651,2074,152

51,26099,12)51,2(

2

Wyznaczenie ekstremum na przęśle CD:

mxxxT 52,2101614,15)1(

kNmmxM 56,1252,214,152

52,2654,6)52,21(

2

Maksymalny moment przęsłowy wystąpi na przęśle BC o wartości 23,53kNm.

Rozwiązywanie ramy statyczne niewyznaczalnej...

Documents

Transcript of Rozwiązywanie ramy statyczne niewyznaczalnej...