294

=∂

∂+

∂∂

∂τ∂

ρ+=

∂∂

+∂∂

.0

,1

y

V

x

V

yxd

UdU

y

VV

x

VV

yx

x

y

x

x

(10.49)

Dzięki dokonanym uproszczeniom trzeba do niego dołączyć tylko jedną zależność

dodatkową dla naprężenia turbulentnego ( ).yxVV ′′ρ− Ponadto równania te mają

postać identyczną z równaniami Prandtla, toteż ich zerowy moment jest identycznyco do formy ze związkiem całkowym Karmana (9.43).

*

Zbadamy teraz strukturę turbulentnej warstwy przyściennej dla U = constprzyjmując, że oś x pokrywa się ze ścianką oraz że przepływ nie zależy od zmien-nej x, tzn.:

V V y Vx y= =( ), .0 (10.50)

Przy tych założeniach układ (10.49) redukuje się do równania

,0=∂τ∂y

z którego wynika, że

,const)( 0 =τ=τ y (10.51)

gdzie τ0 oznacza naprężenie na ściance; na mocy (10.38), (10.41) i (10.48) mamy

więc

.0

22 τ=

ρ+µyd

Vdl

yd

Vd (10.52)

W związku z tym, że składnik reprezentujący naprężenie turbulentne jest maływ pobliżu ścianki - i odwrotnie - w dużej odległości od ścianki turbulencja jestw pełni rozwinięta i naprężenia laminarne są małe w porównaniu z turbulentnymi,nasuwa się koncepcja rozbicia równania (10.52) na dwa prostsze równania asymp-totyczne. Pierwsze z nich

0τ=µyd

Vd (10.53)

295

opisywać będzie ruch cieczy w pobliżu ścianki, drugie zaś

0

22 τ=

ρyd

Vdl (10.54)

w dużej odległości od ścianki.Obszar, w którym obowiązuje równanie (10.53) nazywamy p o d w a r s t w ą

l a m i n a r n ą natomiast obszar, w którym ruchem cieczy rządzi równanie (10.54) -r d z e n i e m t u r b u l e n t n y m . Pomiędzy tymi obszarami znajduje się o b s z a rp o ś r e d n i (przejściowy), w którym naprężenia laminarne i turbulentne są tego sa-mego rzędu.

Pomijając istnienie obszaru przejściowego „zszyjemy” rozwiązanie równania(10.53) z rozwiązaniem równania (10.54). Z równania (10.52) i warunku brzegowe-go (9.5) wynika, że rozkład prędkości w podwarstwie laminarnej jest liniowy

.)( 0 yyVµτ

= (10.55)

Zakładając dodatkowo

,yl κ= (10.56)

z równania (10.54) mamy

.1 0

ρτ

κ=

yyd

Vd (10.57)

Po jego scałkowaniu otrzymamy rozkład prędkości w rdzeniu turbulentnym

V yV

y C( ) ln ,= +∗

κ (10.58)

w którym symbol V∗ oznacza prędkość dynamiczną

.0

ρτ

=∗V

Stałą C wyznaczymy z warunku, aby prawe strony (10.55) i (10.58) były sobie rów-ne dla pewnego y = δ

.ln0 δκ

−δµτ

= ∗VC (10.59)

296

Wprowadzając ponadto skalę długości

∗∗

ν=V

L (10.60)

oraz zmienne bezwymiarowe:

,,,∗

∗

∗∗

δ=αν

==η=ϕL

Vy

L

y

V

V (10.61)

uzyskujemy ostatecznie, jako wynik rozwiązania rozpatrywanego zagadnienia, dwiefunkcje postaci:

ϕ η η α= ≤ ≤dla 0 , (10.62)

ϕκ

η ακ

α η α= + − >1 1ln ln dla . (10.63)

Wartości liczbowe stałych κ oraz α muszą być zaczerpnięte z odpowiednich do-świadczeń. Otrzymane rozwiązanie dla:

κ α= =0 4 115. , . (10.64)

oraz wyniki badań eksperymentalnych zostały przedstawione na rys. 10.4.

Rys. 10.4

297

Na rys. 10.4 zaznaczono też wykres funkcji potęgowej

ϕ η= 8 47 1 7. , (10.65)

przybliżającej funkcję (10.63) ÷ (10.64) - często bowiem w celu uproszczenia obli-czeń rozkłady logarytmiczne są aproksymowane uniwersalnymi rozkładami potęgo-wymi, opisywanymi ogólnym wzorem

.)( 1 nnC η=ϕ (10.66)

W warstwie przyściennej „zszytej” z podwarstwy laminarnej i z rdzenia turbu-lentnego o logarytmicznym rozkładzie prędkości, droga mieszania jest łamaną.W rzeczywistości droga mieszania zmienia się w sposób ciągły w poprzek warstwy.Stąd też w wielu obliczeniach droga mieszania aproksymowana jest wielomianemtrzeciego stopnia postaci

( ) ( ) ,2323

1

2

1

δ

−κ+

δ

−κ−

δ

κ=y

ay

ay

l

gdzie 1a , podobnie jak κ , jest stałą empiryczną.

10.5. Przepływy turbulentne w przewodach

Przepływy turbulentne w przewodach o dowolnych przekrojach poprzecznychstanowią jeden z najstarszych działów mechaniki płynów i znajdują się w centrumzainteresowania praktyki inżynierskiej ze względu na swe zastosowania techniczne.Można je zaliczyć do grupy przepływów przyściennych ze względu na obecnośćpowierzchni ograniczających, które wywierają dominujący wpływ na kształt prędko-ści średniej oraz na rozkłady wielkości charakteryzujących turbulencję przepływu.Ścisłe jednak podobieństwo między przepływem w swobodnej warstwie przyścien-nej, a przepływami w przewodach występuje tylko w bliskim sąsiedztwie ścianek.Poza tym obszarem oba rodzaje przepływów różnią się wzajemnie odrębnością wa-runków brzegowych, gdyż poza obszarem warstwy przyściennej przepływ wykazujecechy przepływu potencjalnego (warstwa swobodna), a w przewodzie przepływpotencjalny praktycznie nie występuje (za wyjątkiem odcinka wstępnego - rys. 5.20),ponieważ w centralnej części przewodu zachodzi z reguły interakcja warstw przy-ściennych utworzonych na przeciwległych jego ściankach.

Ze względu na powszechność występowania, najczęściej rozważanym w literatu-rze przedmiotu jest przepływ przez przewody o przekrojach kołowych, w którym -podobnie jak w swobodnej warstwie przyściennej - można wyróżnić kilka stref:

- podwarstwę laminarną znajdującą się w bezpośrednim sąsiedztwie ścianki,- strefę przejściową ujmowaną wraz z obszarem poprzednim wspólną nazwą

warstwy lepkiej (0.3 ÷ 0.4 % średnicy kanału); jest to obszar, w którym lepkość mo-

298

lekularna odgrywa znaczącą rolę w wartości naprężeń stycznych i w którym odbywasię znaczna część zmian prędkości średniej i zmian wielkości charakteryzującychturbulencję przepływu,

- strefę w pełni rozwiniętego przepływu turbulentnego (jej górna granica jestokreślona współrzędną y R = 0.15 ÷ 0.20), tworzącą wraz z warstwą lepką obszar

przyścienny przepływu w przewodzie; obowiązuje w niej logarytmiczne prawo roz-kładu prędkości średniej (10.63),

- turbulentny rdzeń przepływu (80 ÷ 85 % średnicy przewodu), nie znajdujący sięjuż pod bezpośrednim wpływem ścianek przewodu; jego znamiennymi cechami są:nieznaczna zmiana prędkości średniej oraz praktyczna stałość współczynnika lepko-ści turbulentnej w środkowym obszarze kanału.

Rys. 10.5

Porównanie uśrednionych rozkładów prędkości )(yVV = w rurze w przepływie

laminarnym (przykład 8.3) i w przepływie turbulentnym (opartych na wynikachdoświadczeń Nikuradsego) - przedstawia rys. 10.5. Z postaci tych rozkładów pręd-kości możemy łatwo wywnioskować, że składowa normalna gradientu prędkości naściance jest w przypadku przepływu turbulentnego znacznie większa, niż w przypad-ku przepływu laminarnego - co oznacza, że .lam0turb0 τ>>τ

Zakładając, że wzór (10.63) stosuje się do przepływu przewodem osiowosyme-trycznym, dla osi przewodu mamy

.ln1ln1max ακ

−α+νκ

= ∗

∗

VR

V

V (10.67)

299

Ze związku między spadkiem ciśnienia p∆ na odcinku przewodu na długości l,

a naprężeniem stycznym τ0 na ściance

,202

lRRp πτ=π∆

po zastąpieniu p∆ zgodnie ze wzorem (5.22)

,22

2śrV

R

lp

ρλ=∆

obliczamy

82śr

0 λ=ρ

τ

V

i następnie

.8śr

λ=∗

V

V (10.68)

Przepisując wzór (10.67) w postaci

V

V

V

V

V

V

max lnRe

lnś r

ś r

ś r∗

∗=

+ −

1

2

1

κα

κα

i uwzględniając (10.68) otrzymamy wzór P r a n d t l a - K a r m a n a

( )1

λλ= +C Dln Re , (10.69)

gdzie stałe C i D zależą od doświadczalnie wyznaczonych parametrów κ i α orazstosunku ;śrmax VV szczególnym przypadkiem tego wzoru jest zależność (5.27).

Postępując w podobny sposób, przy wykorzystaniu funkcji (10.65), mamy

V

V

V

V

V

V

max .Re

ś r

ś r

ś r∗

∗=

8 47

2

1 7

i następnie po podstawieniu związku (10.68) wyprowadzamy wzór Blasiusa (5.25).Wpływ chropowatości na rozkład prędkości uśrednionej w przekroju poprzecz-

nym rury jest przedstawiany za pomocą zmodyfikowanej funkcji (10.63)

,ln 11 Dk

yC

V

V +=∗

(10.70)

300

gdzie k jest średnią wysokością występów chropowatości. Stąd po przyjęciu dal-szych założeń co do postaci funkcji logarytmicznej, wynikają wzory (5.26), (5.28)oraz (5.29).

10.6. Opór ciał poruszających się w cieczy lepkiej

Rozpatrując element σσσσrd powierzchni ciała opływanego jednorodnym strumie-

niem cieczy lepkiej o prędkości ∞Vr

stwierdzamy, że działa na niego siła normalna -

proporcjonalna do ciśnienia statycznego p oraz siła styczna - proporcjonalna donaprężenia stycznego 0τ . Po obliczeniu wypadkowych tych sił działających na całą

powierzchnię ciała i ich zrzutowaniu na kierunek prędkości ∞Vr

, otrzymamy opór

całkowity X , który można traktować jako sumę oporu ciśnieniowego cX oraz oporu

tarcia X t

X X Xc t= + . (10.71)

W cieczy doskonałej oba te składniki znikały, na mocy paradoksu d’Alembertai braku naprężeń stycznych. W cieczy lepkiej występuje natomiast zarówno opórciśnieniowy, jak i opór tarcia, przy czym ich wielkość zależy od kształtu ciała, chro-powatości jego powierzchni i zakresu liczb Reynoldsa.

W zakresie dużych liczb Reynoldsa, gdy przepływ w strumieniu jednorodnymw nieskończoności jest laminarny (ruch w atmosferze swobodnej), w czołowej częściciała o gładkich ściankach tworzy się laminarna warstwa przyścienna. Charakterprzepływu w środkowej części tego ciała zależy więc zasadniczo od wzajemnegopołożenia punktu utraty stateczności warstwy laminarnej i punktu jej oderwania.Jeśli punkt oderwania warstwy przypada bliżej punktu spiętrzenia niż punkt utratystateczności mówimy o przepływie podkrytycznym, gdy przypada dalej niż punktutraty stateczności - o przepływie n a d k r y t y c z n ym , wreszcie gdy oba te punktypokrywają się - o przepływie k r y t y c z n ym . Liczbę Reynoldsa odpowiadającąprzepływowi krytycznemu nazywamy k r y t y c z n ą l i c z b ą R e y n o l d s a - jestona oznaczana symbolem Rekr .

Rozkład ciśnienia na obwodzie walca w zakresie pod- i nadkrytycznym przed-stawia rys. 10.6, na obwodzie kuli - rys. 10.7. Na podstawie tych rozkładów ciśnieniamożna łatwo wywnioskować, że w zakresie podkrytycznym, gdy warstwa laminarnaodrywa się bez uprzedniego przekształcenia w warstwę turbulentną, opór obu ciałjest większy niż w zakresie nadkrytycznym. W zakresie nadkrytycznym warstwaturbulentna również ulega oderwaniu, jednak punkt jej oderwania jest zawsze prze-sunięty w kierunku przepływu, w porównaniu z punktem oderwania warstwy lami-narnej - wskutek czego rozkład ciśnienia jest bardziej zbliżony do teoretycznegoi w mniejszym stopniu jest zakłócona symetria opływu. Widać to wyraźnie na rysun-kach przedstawiających: podkrytyczny (rys. 10.8) i nadkrytyczny (rys. 10.9) opływ

301

kuli; w przypadku przepływu podkrytycznego występuje bowiem szeroki obszarzastoju, co wyjaśnia dużą asymetrię rozkładu ciśnienia.

Rys. 10.6

Rys. 10.7

Rys. 10.8

302

Rys. 10.9

Przedstawione wyniki zezwalają na sformułowanie ogólnych zasad zmniejszaniaoporu ciał dla przepływów przy dużych liczbach Reynoldsa. Podstawowym proble-mem jest zmniejszenie oporu ciśnieniowego, spowodowanego oderwaniem warstwyprzyściennej i pojawieniem się obszaru zastoju. Toteż korzystne będą wszystkieczynniki zapobiegające oderwaniu warstwy lub też przesuwające punkt oderwaniaw kierunku krawędzi spływu. W zakresie podkrytycznym można to osiągnąć poprzezzwiększenie liczby Reynoldsa, zwiększenie chropowatości ścianek w przedniej czę-ści opływanych ciał i sturbulizowanie strumienia zewnętrznego - aby zapobiec ode-rwaniu laminarnej warstwy przyściennej. W zakresie nadkrytycznym siła oporu za-leży w sposób istotny od oporu tarcia, który może być znacznie zmniejszony w przy-padku występowania możliwie długiej i statecznej laminarnej warstwy przyściennej -przykłady 9.4 i 10.3.

ĆWICZENIA

Przykład 10.1. Wyznaczyć przepływ w płaskiej strudze zatopionej (rys. 9.6) dlazadanego strumienia pędu P, przy założeniu symetrii ruchu.

Po pominięciu gradientu ciśnienia xdpd i naprężenia laminarnego ,yVx∂∂µ

pierwsze równanie układu (10.49) przyjmie postać

.)(yx

x

y

x

xVV

xy

VV

x

VV ′′

∂∂−=

∂∂

+∂∂

(10.72)

Całkowanie wzdłuż zmiennej grubości δ( )x strugi, przy uwzględnieniu symetrii

ruchu 0=

∂∂yx

yV oraz warunków znikania składowych prędkości: ,xV

yV i

yV ′ na

brzegach daje

303

0)(

0

2

=∂∂

∫δ x

x ydx

V

lub w postaci równoważnej

,0)(

0

2 =∂∂ ∫

δ x

xydV

x

gdyż ( )V x xx , ( ) .δ = 0 Wynika stąd zależność analogiczna do zależności (9.67)

.const21

)(

0

2 ==∫δ

PydV

x

x

Dla zamknięcia układu równań skorzystamy z modelu Boussinesqa. Zgodnie zewzorem (10.35) mamy

.y

VVV x

Tyx ∂∂

ν=′′− (10.73)

Uwzględniliśmy tu, że lepkość turbulentna ρµ=νTT

jest funkcją x, natomiast

w przekroju poprzecznym strugi (x = const) jest ona stała. Takie założenie jest słusz-ne wszędzie za wyjątkiem sąsiedztwa brzegów y x= ±δ( ) , gdzie występuje prze-

pływ naprzemienny, tzn. przepływ na przemian laminarny i turbulentny.Równanie (10.72) zapisujemy z uwzględnieniem wzoru (10.73)

2

2

)(y

Vx

y

VV

x

VV x

T

x

y

x

x ∂

∂ν=

∂∂

+∂∂

i następnie wyrażamy składowe prędkości Vx i Vy przez uśrednioną funkcję prądu

:),( yxψ

.,x

Vy

Vyx ∂

ψ∂−=

∂ψ∂

=

Otrzymujemy równanie

,)(3

3

2

22

yx

yxyxy T ∂

ψ∂ν=

∂

ψ∂∂ψ∂

−∂∂ψ∂

∂ψ∂

które po wprowadzeniu zmiennej niezależnej

304

xdxT∫

δ

ν=ζ0

)(

jest identyczne z równaniem dla strugi laminarnej dla ν = 1 (przykł. 9.1)

.3

3

2

22

yyyy ∂

ψ∂=

∂

ψ∂ζ∂ψ∂

−∂ζ∂ψ∂

∂ψ∂

Należy jeszcze określić postać nieznanej funkcji νT x( ). Dla ζ ~ )(xxT

ν otrzy-

mujemy

,)( xCxT

=ν

gdzie C jest stałą wyznaczaną eksperymentalnie.

Przykład 10.2. Wyznaczyć płaski przepływ turbulentny, stacjonarny względemwielkości uśrednionych, w pasie nieograniczonym, zawartym między dwiema ścia-nami równoległymi (rys. 8.8).

W pełnym układzie równań (10.31), odniesionych do płaskiego, stacjonarnegoruchu uśrednionego cieczy lepkiej:

( ) ( )

( ) ( ),

,

,0

yyyxy

y

y

y

x

yxxxx

x

y

x

x

yx

VVy

VVx

Vy

p

y

VV

x

VV

VVy

VVx

Vx

p

y

VV

x

VV

y

V

x

V

′′ρ−∂∂+′′ρ−

∂∂+∆µ+

∂∂

−=

∂

∂+

∂

∂ρ

′′ρ−∂∂+′′ρ−

∂∂+∆µ+

∂∂

−=

∂∂

+∂∂

ρ

=∂

∂+

∂∂

dokonujemy następujących uproszczeń:

( ) ( ) ( ) .0,0,0

,0,0

,0

2

2

=′′ρ−∂∂=′′ρ−

∂∂=′′ρ−

∂∂

=∂

∂=

∂∂

=

yyyxxx

xx

y

VVy

VVx

VVx

x

V

x

V

V

305

Cały układ równań redukuje się więc do równania

,)()(C

yd

yd

xd

xpd=

τ=

gdzie C jest stałą.Zakładając, że wszędzie w rozpatrywanym przepływie naprężenie laminarne jest

pomijalnie małe w porównaniu z naprężeniem turbulentnym - na mocy (10.52) ma-my

.,2

2xVVC

yd

Vdl

yd

d ==

ρ

Po jednokrotnym scałkowaniu powyższego wzoru i przyjęciu l zgodnie z (10.42)dostajemy

( ).

)()( 1222

42

CyCydVd

ydVdy +=κρ=τ

Ze względu na symetrię ruchu uśrednionego musi być (rys. 8.8)

,00

==y

yd

Vd

skąd wynika

.0,0)0( 1 ==τ C

Niech na ściance ( )y h= − naprężenie przybiera szczególną wartość

,)( 0τ=−τ h

wobec czego

.0

hC

τ−=

Otrzymane równanie daje się scałkować jednokrotnie, po czym po uwzględnieniudodatkowego warunku dotyczącego gradientu prędkości na ściance

∞=−= hy

yd

Vd

uzyskujemy

306

.

1

12

h

yh

V

yd

Vd

−−κ

= ∗

Po kolejnym scałkowaniu i wyznaczeniu stałej całkowania z warunku

V V( ) ,max0 =

wzór na rozkład prędkości przybiera ostatecznie następującą postać

−+

−−

κ−=

−

∗ h

y

h

y

V

VV1ln1max ,

w której zgodnie z wynikami doświadczeń należy przyjąć κ = 0.3 ÷ 0.4.

Przykład 10.3. Wyznaczyć turbulentną warstwę przyścienną na gładkiej płytceprzy wykorzystaniu wzoru całkowego Karmana (9.43).

Zakładamy, że turbulentna warstwa przyścienna rozpoczyna się już na krawędzinatarcia płytki: δ( )0 0= i opieramy się na rozkładzie uniwersalnym (10.65)

.,74.871

xVV

Vy

V

V =

ν

= ∗

∗

Na granicy warstwy przyściennej mamy:

y V V= = ∞δ, ,

toteż wzór na rozkład prędkości przybiera ostatecznie postać

V

V

y

∞=

δ

1 7

.

Postępując dalej tak samo jak w przykładzie 9.4, kolejno obliczamy:

,0225.0

,127

4122

δ

ν=

δ=δ

∞∞∗

∗∗

VVV

307

41

2

2

20 0225.0

δ

ν==ρ

τ

∞∞

∗

∞VV

V

V

i wyznaczamy grubość warstwy przyściennej δ( )x z równania różniczkowego

41

0225.0127

δ

ν=δ

∞Vxd

d

w postaci następującej funkcji

,Re

37.037.0)(

5

51

x

xxVxx =

ν

=δ−

∞ (10.74)

gdzie

.Reν

= ∞ xVx

Zatem grubość turbulentnej warstwy przyściennej (δ( )x ~ )x 4 5 rośnie szybciej ze

zmianą współrzędnej x, niż grubość warstwy laminarnej (δ( )x ~ )x1 2 i również

większy jest opór tarcia obu stron płytki, przypadający na jej długość l

.Re074.02 512

00

−∞ρ=τ= ∫ VlxdX

l

(10.75)

Powtarzając obliczenia turbulentnej warstwy przyściennej na płytce w opisanysposób, ale biorąc jako podstawę uniwersalny rozkład logarytmiczny (10.63) z pa-rametrami (10.64), zamiast rozkładu potęgowego otrzymujemy nieco inną formułęwyrażającą opór tarcia

58.22 Re)lg(455.0 −∞ρ= VlX , (10.76)

która przy dużych Re x ( Re x > ⋅1 107 ) lepiej zgadza się z doświadczeniem, niż wzór

poprzedni (rys. 10.4).

Przykład 10.4. Samolot leci z prędkością V = 450 km h w powietrzu, którego

współczynnik lepkości kinematycznej .sm10142.0 124 −− ⋅⋅=ν Korzystając ze wzo-

rów dla płyt płaskich, obliczyć współczynnik oporu tarcia oraz grubość warstwyprzyściennej na krawędzi spływu płata o cięciwie l = 2.40 m.

308

Dla samolotu lecącego z prędkością

V = 450 km h =125m s

liczba Reynoldsa wynosi

;10113.210142.040.2125Re 7

4⋅=

⋅⋅=

ν=

−

lV

Re Re> kr , wobec tego warstwa przyścienna jest burzliwa.

Do obliczenia współczynnika oporu tarcia wykorzystujemy zależność (10.76)

,00267.0)10113.2lg(

455.0Re)lg(455.0

58.2758.2=

⋅==

txc

a grubość warstwy przyściennej na krawędzi spływu wyznaczamy ze wzoru (10.74)

.m030.010113.2

40.237.0

Re

37.0

5 75)( =⋅

⋅==δl

l

Przykład 10.5. Obliczyć opór tarcia gładkiej płyty o cięciwie l = 1 m i rozpięto-ści L = 4 m, ustawionej równolegle do kierunku przepływającej wody o gęstości

ρ = ⋅ −1000 kg m 3 oraz współczynniku lepkości kinematycznej ν = ⋅ ⋅− −1 10 6 1m s2

w temperaturze .K293=T Zadanie rozwiązać, przyjmując prędkość wody równą:

a) ,sm1=∞V

b) .sm20=∞V

a. Dla liczby Reynoldsa

,101100.111Re 6

6⋅=

⋅⋅=

ν= −

∞ lV

mniejszej od Re = ⋅1 107 współczynnik oporu obliczamy ze wzoru (10.75)

.00467.010

074.0

Re

074.05 65

===tx

c

Siła oporu tarcia jest równa

,2

2

σρ

= ∞VcPtx

(10.77)

309

gdzie

,m84122 2=⋅⋅==σ Ll

zatem

.N7.188)1(10002100467.0 2 =⋅⋅⋅⋅=P

b. Dla prędkości sm20=∞V liczba Reynoldsa

Re =⋅

⋅= ⋅

−

20 1

1 102 10

67

jest większa od Re ;= ⋅1 107 do wyznaczenia współczynnika oporu wykorzystujemywięc wzór (10.75)

00269.0)102lg(

455.0Re)lg(455.0

58.2758.2=

⋅==

txc

i następnie po podstawieniu do (10.77) mamy

P = ⋅ ⋅ ⋅ =0 002691

21000 20 8 43042. ( ) N.

Przykład 10.6. Nafta o kinematycznym współczynniku lepkości ν = ⋅ −12 10 6

m s2 1⋅ − oraz gęstości ρ = ⋅ −810 3kg m (przy T = 283 K) opływa gładką nieruchomą

płytę, wstawioną równolegle do kierunku przepływu. Prędkość cieczy w obszarze

niezakłóconym V∞−= ⋅4 5. .m s 1

Obliczyć wartość oraz stosunek naprężeń stycznych

w punktach oddalonych od krawędzi natarcia płyty o x1 0 4= . m i .m2.12 =x

Odległość xkr od krawędzi natarcia punktu, w którym warstwa przyścienna lami-

narna przechodzi w turbulentną wynika ze wzoru

∞

ν=V

x krkr

Re.

Ponieważ dla płyt płaskich ,102.3Re 5kr ⋅= zatem

xkr m=⋅ ⋅ ⋅

=−3 2 10 12 10

4 50 853

5 6..

. .

310

Wynika stąd, że w odległości 1x od krawędzi natarcia warstwa przyścienna jest

laminarna, natomiast w punkcie oddalonym o 2x burzliwa.

W odległości 1x = 0.4 m od krawędzi natarcia liczba Reynoldsa wynosi

,0001501012

5.44.0Re6

1

1=

⋅⋅=

ν=

−∞Vx

x

a naprężenie styczne na powierzchni płyty przy laminarnej warstwie przyściennej,będące wynikiem rozwiązania równania (9.35), jest równe

.mN5.14)5.4(810000150

332.0

Re

332.0 222)(

1

1=⋅=ρ=τ ∞V

x

x

W odległości 2x = 1.2 m od krawędzi natarcia

,0004501012

5.42.1Re62=

⋅⋅= −x

stąd

.mN35)5.4(810000450

0228.0

Re

0228.0 22

5

2

5)(

2

2=⋅=ρ=τ ∞V

x

x

Stosunek naprężeń stycznych

.414.0355.14

)(

)(

2

1 ==τ

τ

x

x