1

RÓWNANIA MAXWELLA. FALA PŁASKA

Prawo Faradaya B

S

l dl

n

Przy każdej zmianie w czasie strumienia magnetycznego m w obwodzie zamkniętym (krzywa l) indukuje się siła elektromotoryczna V , równa co do wielkości prędkości zmian strumienia

td

d m

Zaindukowana siła elektromotoryczna V ma taki kierunek, że gdyby zamknięty obwód l był przewodnikiem, to płynący zaindukowany prąd wytwarzałby własny strumień magnetyczny, przeciwstawiający się zmianom strumienia m (reguła Lentza).

2

l

lV

dE

S

Sndm

B

Zapisując siłę elektromotoryczna V:

a strumień magnetyczny m jako:

i stosując twierdzenie Stokesa dochodzi się do równań Maxwella w postaci całkowej i różniczkowej.

tV

d

d m

l S

Snt

l dd

dd

BE

l SS

Snt

lSn ddd

B

EE

t

B

E

3

l S

ISnl dd

JH

Prawo Ampera

mówi o tym, że wirowość pola magnetycznego liczona wzdłuż krzywej zamkniętej l równa się sumie prądów obejmowanych przez krzywą l , uwzględnia się nie tylko prądy związane z ruchem ładunków (prąd przewodzenia i prąd unoszenia) ale także tak zwany prąd przesunięcia. J J J V

J

J E

++

+

++

+ + +++ +

++

+q

-q

SJ

p

Jp

Jd

qSSnS

DD d

t

D

J

d

l S

Snt

l dd

DJH

t

D

JH

; ;

;

4

x

z

y

S

v

D

n

S

ddV

VqSn

D

VV

VV ddD

Prawo Gaussa

D

S

Sn 0d

B

0 B

5

Równania Maxwella w postaci różniczkowej

t

B

E

t

D

JH

D

0 B

t

J

Ostatnie z tych równań nie było wyprowadzone. Mówi ono, że źródłem wektora gęstości prądu jest zmienny w czasie ładunek elektryczny o gęstości objętościowej .

6

Rodzaje ośrodków

ośrodek liniowy - nie zależy od E

D E ,

fEgdy - ośrodek nieliniowy

ośrodek jednorodny - nie zależy od (x, y, z)

gdy = f (x, y, z) – ośrodek niejednorodny

ośrodek izotropowy - jest wielkością skalarną, wtedy D E

11 12 13

21 22 23

31 32 33

zyx

zyx

zyx

z

y

x

z

y

x

EEE

EEE

EEE

E

E

E

D

D

D

333231

232221

131211

333231

232221

131211

gdy (na ogół) D

nie jest równoległe do E

- jest wtedy tensorem

ośrodek anizotropowy D E

;

7

Równania falowe otrzymuje się z równań Maxwella eliminując z równań wiążących dwie różne wielkości (pole elektryczne - pole magnetyczne) jedną z nich.

Zakładamy, że ośrodkiem jest dielektryk idealnym (tzn. stacjonarny, liniowy, izotropowy, o zerowej konduktywności ) nie zawierający ładunków. W ośrodku takim:

Równania falowe

B H D E

J

,

, = 00

- są liczbami niezależnymi od (x,y,z,t).

8

t

H

E

0;

EE

H

t

t

H

E

E E E2Korzystając z tożsamości:

oraz z równań Maxwella:

02

22

t

EE

otrzymujemy:

W analogiczny sposób otrzymuje się równanie falowe dla pola magnetycznego:

02

22

t

HH

9

Fala płaska

Pola HE

i są takie same w dowolnym punkcie płaszczyzny.k

.constrk

.consttvrk

Równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora ;

Płaszczyzna poruszająca się w kierunku k

z prędkością v jest opisana równością:Pole elektryczne i jego drugie pochodne cząstkowe, występujące w równaniu falowym wyrażają się następująco:

tvzkykxktvrk zyx FFE

tvrkkvtzkykxkx xzyx

"22

2

FF

tvrktvrkkkk xyx

""2222 FFF

vtrkvt

"22

2

FF

Zrównania falowego otrzymujemy:

01" 2 vtvrk

F

1

v

10

Fala TEM

F

F

FF

= d

d

0' k

FF

Zastąpimy , przez wyrażenia zawierające

0k

E 0k

H, - fala poprzeczna

tk

H

FF

'

E

FH

k

tk d'1

k

HE

11

Impedancja falowa

H

EfZ - równa jest impedancji właściwej ośrodka

Z

Impedancja falowa próżni Z0 :

1200

00Z

Dla ośrodka materialnego: 0ZZw

w

gdzie: w - stała magnetyczna względna, w - stała elektryczna względna

W przypadku dielektryka w = 1 i impedancja wyraża się wzorem: w

ZZ

0

H

E

y

x

z

12

FALA w OŚRODKACH NIEOGRANICZONYCHWektory zespolone

tt jeωcostx,y,zAx,y,z,tA je)()(

tA jeRe

A

2

ee=

jj tt AA

A A A A

ztiztiE yx sincos20

E

tzyx iiEE jj

0 eej2 yx iiE

j20

Np:

- amplituda zespolona

E = Re ( )E Interpretację fizyczną mają tylko wektory rzeczywiste

13

Fala płaska w dielektryku stratnym

Zakłada się, że dielektryk jest stacjonarny, liniowy, izotropowy, jednorodny, bez ładunków, ale teraz konduktywność .

0,

0,=

HE

EH

EH

E

t

t

02

22

tt

EEE

Zapis rzeczywisty prowadzi do komplikacji w równaniu falowym

14

Przy zapisie zespolonym, różniczkowanie po czasie jest równoważne mnożeniu przez j.

Równanie Maxwella w postaci zespolonej przyjmują postać:

H E H

E H E

j ,

j ,

0

0

keEE r

gdzie,0Po podstawieniu:

EEEE

,Otrzymujemy:

H E H

E H E

j ,

j ,

0

0

15

Odpowiednikami równań falowych są następujące wyrażenia zwane równaniami Helmholtza:

022 EE

022 HH j j - stała propagacji

Z

EkEkH

j

j

ZkHkHE

j

j

j

jZ

Z równań Maxwella otrzymujemy:

H

EfZ

y

z

H

E

x

jest w przypadku fali TEM równa impedancji właściwej ośrodka: Z = Zf

16

Ośrodki małostratne

; tg 1 - tangens kąta stratności

tgj1

1

j

jZ

2Arg;

ZZ

2 1 1

2jj

j

2

;

Przybliżone wyrażenia na impedancję i stałą propagacji wyprowadzono poniżej :

17

Quasi-przewodniki

, tg >> 1

4j

ej

Z

j j2

1

2

18

W quasi-przewodnikach pole elektromagnetyczne maleje bardzo szybko w miarę wnikania do dobrego przewodnika (quasi-przewodnika). Związane z polem elektrycznym prądy przewodzenia płyną praktycznie tylko przy powierzchni przewodnika. Nie wnika on w przewodnik głęboko. Efekt ten nazywa się zjawiskiem naskórkowym. Liczbowo efekt ten charakteryzuje tzw. głębokość wnikania w:

EJ

2w

Jest to odległość na której amplituda fali maleje e - krotnie

19

PED

0

'''''' jjjj

EEEEJ

'''''' jjj

'

''

tg

zasttg''zast

a) q = 0

q = 0

b) +q

-q

Fala w ośrodkach rzeczywistychPrzy bardzo wysokich częstotliwościach opóźnienie polaryzacji nie jest już pomijalne w porównaniu z okresem drgań. Opóźnienie to powoduje, że wektory D i E nie są w fazie, stała staje się zespolona. Urojona część stałej jest związana ze stratami mocy. Powoduje ona przyrost zastępczej konduktywności i tangensa kąta stratności.

20

POLARYZACJA FALI

Polaryzacja liniowaPolaryzacja fali jest liniowa, gdy końce wektorów i w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali zakreślają w funkcji czasu odcinek linii prostej. Dzieje się tak, gdy albo istnieje tylko jedna składowa pola (a druga jest równa zero) albo istnieją obie składowe, które są w fazie lub przeciwfazie.

zik

dla

zxxx ztEix,y,z,t ecos

E

E

H

x

y

|Ex|

Miejsce geometryczne końców wektora E(t)

zyyxx ztEiEitzyx ecos,,, 0

E

x

y

|Ex|

Miejsce geometryczne końców wektora E(t)

Miejsce geometryczne końców wektora H(t)

|Ey|

21

Polaryzacja eliptyczna

Polaryzacja fali jest eliptyczna, gdy końce wektorów i w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku do kierunku rozchodzenia się fali zakreślają w funkcji czasu elipsę. Osie elipsy pokrywają się z osiami układu współrzędnych (osiami Ox i Oy – jeśli fala rozchodzi się w kierunku osi Oz) gdy pola mają obie składowe, przesunięte względem siebie w fazie o .

E

H

2

x

y

|Ex|

Miejsce geometryczne końców wektora E(t)

Miejsce geometryczne końców wektora H(t)

|Ey| tEitEit yyxx sincos)(

E

Z polaryzacją eliptyczną mamy także do czynienia, gdy składowe x–owa oraz y–owa są przesunięte względem siebie o kąt nierówny . Elipsa polaryzacji jest wówczas umieszczona ukośnie w układzie współrzędnych Oxy.

2

dla z = 0

22

Polaryzacja kołowa

Polaryzacja kołowa jest szczególnym przepadkiem polaryzacji eliptycznej. Oprócz przesunięcia w fazie o obu składowych pól wymagana jest teraz

także równość obu składowych pola

2

E

H

i

EEE yx

titiEt yx sincos

E

x

y

|E|

Miejsce geometryczne końców wektora E(t)

Miejsce geometryczne końców wektora H(t)

23

ZALEŻNOŚCI ENERGETYCZNE w POLU ELEKTROMAGNETYCZNYM

Moc strat i energia magazynowana

2E=JEq

qpObjętościowa gęstość mocy strat:

S 1

S 2

S 3 { l

Obliczamy energię We zgromadzoną w małym kondensatorze (obszar V), a następnie gęstość objętościową tej energii we:

SDQ n

SS

21 SdSd2

DD

1

lElU

d= E

ΔVΔVEDUQ

W ne 222

ED

ED

2

1ew

DEw śre

Re

4

1Średnia w czasie gęstość energii:

24

Podobne wzory można wyprowadzić dla gęstości objętościowej energii magnetycznej.

2

IWm

BHw

w

śrm

m

Re4

1

2

1HB

25

Twierdzenie Poyntinga

JD

H

BE

t

t

=

-=

EJB

HD

EEHHE

++=-

tt

HEEHHE

-

0++

tt

BH

DEJEHE

Po scałkowaniu obu stron na obszarze V i zastosowaniu twierdzenia Gaussa otrzymuje się:

VVS

Vtt

V 0ddSdB

HD

EJEHE

26

DED

E

tt 2

1Uwzględniając, że: BHB

H

tt 2

1

S E H= oraz podstawiając: S - jest to wektor Poytinga

V

me

S V

q Vwwt

Vp 0ddSd

SOtrzymujemy twierdzenie Poytinga:

S

meq WWt

P 0Sd

Soraz jego interpretację fizyczną w postaci:

Twierdzenie Poyntinga jest bilansem energetycznym w obszarze V. Mówi ono, że suma strumienia wektora Poyntinga przez powierzchnię ograniczającą ten obszar plus moc tracona w obszarze plus pochodna czasowa energii elektromagnetycznej jest równa zeru.

27

Plazma jest gazem zjonizowanym, makroskopowo obojętnym (tyle samo ładunków dodatnich i ujemnych w danej objętości). Stopień zjonizowania charakteryzuje się przez podanie liczby elektronów - n - na 1m3. Zakłada się, że ośrodek jest bezstratny (zderzenia cząstek sprężyste). Parametrami ośrodka na początek rozważań są 0, 0, = 0. Rozpatruje się drgania harmoniczne, zapis zespolony.

Fala w plazmie

Należy uwzględnić prąd unoszenia o gęstości:eu vJ

związany z ruchem elektronów.

EF 0

0= e

t

vm e

Eevm e

0j 0

eeu venvJ

0

J

n e

mEu 0

2

0j

e0 – ładunek elektronum0 – masa spoczynkowa elektronu

28

Obliczenie gęstości prądu unoszenia a następnie gęstości prądu całkowitego

uwzględniającego prąd przesunięcia t

D

, prowadzi do wniosku, że ośrodek jest

dyspersyjny (wyrażenie na J zależy od częstotliwości). W wyrażeniu na gęstość

prądu całkowitego występuje nowa wielkość - pulsacja własna plazmy p, propor-cjonalna do pierwiastka ze stopnia koncentracji elektronów n.

J

n e

mE

j j

002

0

J E

jp

0

2

1

0

20

m

enp

0

2:gdzie

nf p 9

29

Równania Maxwella w plazmie

EH

HE

EH p

0

j

j

0

2

0 1 ppgdzie: jest zastępczą stałą dielektryczna plazmy

Parametry i Z obliczane są tak jak dla dielektryka : p 0jp

0Z,

Różnica w stosunku do dielektryka polega na tym, że teraz p zachowuje się różnie w różnych zakresach częstotliwości.

30

p

0

0

p

Re

Im

Wnioski:1. Fale o < p są tłumione w plazmie. W przypadku padania fali o takiej z

próżni na warstwę jonosfery ulegnie ona całkowitemu odbiciu.

2. Fale o > p rozchodzą się w plazmie. W przypadku padania fali ukośnie z próżni na jonosferę fala załamana odchyla się od normalnej (gdyż przechodzi do ośrodka rzadszego). Może też ulec całkowitemu odbiciu.

3. Fale o >> p rozchodzą się w plazmie tak jak w próżni, ponieważ p 0. Tylko takie fale (w praktyce - mikrofale) swobodnie przechodzą przez jonosferę i mogą być użyte w telekomunikacji satelitarnej.

31

Prędkość fazowa i grupowa

Poniżej pokazano zmodulowaną w amplitudzie falę o wysokiej częstotliwości.Na rysunku prędkość fazowa vf jest związana z przesuwaniem się stałego punktu sinusoidy w. cz., a prędkość grupowa vg – z przesuwaniem się stałego punktu na obwiedni.

kv f

d

dgv

E, H

z

W plazmie vf . vg = c2

W ośrodkach nie dyspersyjnych vf = vg c

32