RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

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Professor: Raimundo AlmeidaI - INTRODUÇÃO

1.1- Objetivo do estudo da Resistência dos Materiais

A construção de prédios e casas a ser executada deve ser suficientemente forte e segura e, ainda, projetada com a maior economia possível de material.

A Resistência dos Materiais surge então com a finalidade de apresentar soluções para atender essas solicitações e para as aplicações práticas ocorridas na construção civil em geral.

1.2 - Conceitos básicos sobre Lei de Newton e geometria das massas

Conhecemos da física a 1ª Lei de Newton: “A resultante das forças que agem sobre um corpo em repouso ou em movimento retilíneo uniforme é nula”. A 2ª Lei de Newton, também chamada Lei do Movimento de Newton, pode ser enunciada: “Quando a resultante das forças que atuam sobre um corpo for diferente de zero, o corpo desloca-se com movimento acelerado. A aceleração é proporcional à resultante e tem a mesma direção e o mesmo sentido da força resultante” ; e a 3ª Lei de Newton: “A toda ação corresponde uma reação igual e de sentido contrário”.

A 1ª e a 3ª Leis, nos levam as condições gerais de equilíbrio de um corpo e por conseguinte as Equações Fundamentais da Estática.

Para um corpo permanecer em equilíbrio é necessário que sejam simultâneamente obedecidas duas condições como consequência da 1ª Lei de Newton, conhecidas como condições gerais de equilíbrio .

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1ª Condição Geral de Equilíbrio: “ O somatório da resultante do sistema de forças que age sobre o corpo deve ser nulo”;

Para se conhecer a 2ª Condição Geral de Equilíbrio, devemos nos recordar da física o conceito de momento de uma força.

Momento de uma força em relação a um eixo de referência, é o produto desta mesma força pela distância em relação ao mesmo, ou seja; M= F.d

Então, podemos enunciar a 2ª Condição Geral de Equilíbrio: “O somatório do momento resultante do sistema de forças que age sobre o corpo, em relação a um ponto qualquer deve ser nulo”.

Escrevendo portanto, as duas Condições de Equilíbrio sob a forma de equações em relação aos eixos coplanares x e y, teremos:

∑ Fx=0;∑ Fy=0;∑ Mz=0;

As equações acima são conhecidas como equações fundamentais da estática.

1.3 – Tipos de Estruturas

A estrutura de uma edificação se divide em infraestrutura e superestrutura.

A infraestrutura é relativa às fundações da edificação, tais como: sapatas (fundação direta), que é utilizada quando o terreno em que se vai construir é considerado com boa resistência e radiers e estacas quando o terreno é considerado com fraca resistência, e ainda as cintas que são elementos estruturais destinados a manter a rigidez da estrutura do prédio e servem para apoiar as alvenarias.

A superestrutura é constituída de lajes, que são elementos destinados a servir de apoio para a passagem, vigas que servem para dar apoio as lajes, e pilares que servem de apoio às vigas. Portanto, o esquema de apoio estrutural em uma edificação funciona da seguinte maneira: as lajes são apoiadas pelas vigas, que por sua vez são apoiadas pelos pilares, e estes pelas sapatas, radiers ou estacas.

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Todos esses elementos são chamados de elementos estruturais.

1.4 – Esforços Solicitantes

Os elementos estruturais, são submetidos portanto a esforços durante o “caminho” que a carga percorre por ocasião de seu funcionamento estrutural. Esses esforços, solicitam de alguma forma os elementos, sendo portanto chamados de Esforços Solicitantes.

Esses esforços, podem ser basicamente:

- esforços de compressão:

- esforços de tração:

- esforço cortante:

- momento fletor:

I I– TRAÇÃO E COMPRESSÃO

2.1- Esforços internos e externos

Admitamos que um corpo é constituído de pequenas partículas ou moléculas, entre as quais estão atuando forças. Estas forças moleculares opõe-se à mudança de forma que forças exteriores tendem a produzir. Se estas forças exteriores são aplicadas no corpo, suas partículas deslocam-se e os deslocamentos mútuos

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continuam até que o equilíbrio entre as forças exteriores e interiores seja estabelecido.

2.2 – Corpos de prova

Tomemos como exemplo uma barra prismática carregada na extremidade, como mostra a figura a seguir.

∑ P

Sob ação dessa carga, manifestar-se-á certo alongamento da barra. O ponto de aplicação da carga mover-se-á, então, para baixo fazendo com que a barra se deforme. Se considerarmos uma seção mn da barra, vamos verificar que se ela está em equilíbrio, o somatório das forças internas no outro sentido deverá ser igual ao valor de P.

A propriedade dos corpos voltarem a forma inicial, após a retirada da carga, é chamada de elasticidade. Diz-se que o corpo é perfeitamente elástico se recupera completamente sua forma original depois da retirada da carga; parcialmente elástico, se a deformação produzida pelas forças exteriores não desaparece completamente depois da retirada da carga.

2.2.1 – Lei de Hooke

Por meio de experiências diretas relativas a à distensão de barras prismáticas, estabeleceu-se, para vários materiais estruturais que o alongamento da barra, entre certos limites, é proporcional à força de tração. Esta relação linear simples entre a força e o alongamento que ela produz foi formulada, primeiramente,

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L

P P

em 1678, pelo cientista inglês Robert Hooke e recebeu seu nome. Adotando-se as notações:

P = força que produz distensão na barra;l = comprimento da barra;A = área da seção transversal da barra;δ = alongamento total da barra;E = constante elástica do material, chamada módulo de elasticidade;

A lei experimental de Hooke pode ser dada pela seguinte equação:

EAlP

..=δ ; (1)

Analisando a equação acima, observamos que o alongamento (δ) da barra é diretamente proporcional à força de tração (P) e ao comprimento da barra (l), e inversamente proporcional à área (A) e ao módulo de elasticidade (E).

Devemos observar também, o conceito de tensão normal (σ).

Quando uma força (P) está agindo sobre uma barra prismática, esta força passa pelo centro de gravidade da seção transversal da barra e ao longo do eixo da barra. Portanto, temos uma força agindo perpendicularmente à seção transversal da peça, levando-nos a uma segunda importante equação da Resistência dos Materiais:

AP=σ ; (2)

Esta força por unidade de área é chamada tensão.

O alongamento da barra por unidade de comprimento, é determinado pela equação:

l

δε = ; (3)

E é chamado de alongamento relativo ou deformação de tração. Empregando-se as equações (1), (2) e (3), a Lei de Hooke pode ser também representada da seguinte forma:

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εΕ=σ . ; (4)

O que nos mostra que o módulo de elasticidade é igual a tensão dividida pelo alongamento relativo, podendo ser facilmente calculada desde que se determinem a tensão e o alongamento correspondente em um ensaio de tração. O alongamento relativo (ε) é um número abstrato, representando a relação entre dois comprimentos (ver equação 3); portanto, da equação (4), conclui-se que o módulo de elasticidade (E) deve ser medido nas mesmas unidades que as tensões (σ), isto é, em quilogramas força por centímetros quadrados por exemplo e este valor depende somente do tipo de material que está se empregando.

Estas mesmas equações, poderão ser utilizados para o caso de compressão de barras prismáticas. Neste caso, δ denotará o encurtamento longitudinal total, ε a deformação de compressão e σ a tensão de compressão. O módulo de elasticidade à compressão é, para a maioria dos materiais estruturais, o mesmo da tração. Nos cálculos, as tensões e as deformações de tração são consideradas positivas e as tensões e deformações de compressão, negativas.

2.2.2 – Exercícios

1- Determinar o alongamento total de uma barra de aço (E=21x105 kgf/cm2) com 60 cm de comprimento, sendo a tensão de tração igual a 1050 kgf/cm2.

Solução:

cmx

lE

l 03,0601021

1050. 5 =⋅=⋅== σεδ

2 – Determine a força de tração numa barra de aço (E=21x105 kgf/cm2)cilíndrica com 3 cm de diâmetro, sendo o alongamento relativo igual a 0,7 x 10-3.

Solução:

253 /14701021107,0 cmkgfxxE =⋅=⋅= −εσ

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07,74314,3 cmA =⋅=

kgfAP 1039307,71470 =⋅=⋅= σ

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3 – Uma barra prismática de aço (E=21x105 kgf/cm2) de 60 cm de comprimento, é distendida de 0,06cm sob a ação de uma força de tração. Achar o valor dessa força, admitindo que o volume da barra seja igual a 400 cm3.

Solução:

001,06006,0 ===

lδε

25 /21001021001,0 cmkgfxE =⋅=⋅= εσ 267,660400 cm

lVA ===

kgfAP 1400767,62100 =⋅=⋅= σ

4 – Um arame com 30 m de comprimento , sujeito a uma força de tração P= 500kgf, alonga-se de 3cm. Determinar o módulo de elasticidade do material, sendo a área da seção transversal do arame igual a 0,25cm2.

Solução:

25 /102025,03

3000500..:;

.. cmkgfx

AlPEentão

EAlP =

⋅⋅===

δδ

5 – Um parafuso de aço (E= 21x105 kgf/cm2), com 50 mm de diâmetro, deve suportar uma carga de tração de 30000kgf. Sabendo que o comprimento inicial da parte carregada é 550 mm, calcular o comprimento final do parafuso.

Solução:

cmcmkgfxcm

cmkgfentãoEAlP 04,0

/1021635,195530000:;

..

252 =⋅

⋅== δδ

mas:

cmcmcmLentãoLL

f

f

04,5504,055:;

=+=

+= δ

6 – O pedestal da figura abaixo, está sujeito às cargas P1= 60000 kgf e P2= 70000kgf. O comprimento da parte superior a é igual a 50 cm e sua seção transversal é quadrada com 7,5 cm de lado. A parte inferior tem b= 75 cm e seção transversal também quadrada com 12,5 cm de lado. Sabendo que o material que compõe o pedestal apresenta módulo de elasticidade igual a 20 x 105 kgf/cm2 , achar o encurtamento total do topo do pedestal.

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P2

P1

a

b

Solução:

- encurtamento devido a carga P1(seção S1)

cmcmkgfxcm

cmkgfentãoEAaP

a

027,0/10205,7

50600001:;..11 2522 =

⋅⋅== δδ

- encurtamento devido ao somatório de P1 e P2 (seção S2)

cmcmkgfxcm

cmkgfentãoEAbPP

b

031,0/10205,12

751300002:;.

).21(2 2522 =⋅

⋅=+= δδ

- encurtamento total

δt = δ1 + δ2 =0,027cm + 0,031 cm = 0,058 cm

7- Uma barra de cobre (E=11x105 kgf/cm2), com 3,00m de comprimento, tem seção transversal circular com diâmetro de 20mm na metade de seu comprimento. Na outra metade do seu comprimento apresenta diâmetro de 15mm de acordo com a figura abaixo. Qual será seu encurtamento total sob uma carga P=2500 kgf ?

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Seção S1

Seção S2

P

a

b

Solução:

cm,cm/kgfxcm,.,

cmkgf:então;E.A

a.P

a10850

10114

021431502500

11252

2=

⋅

⋅=δ=δ

cm,cm/kgfx,.,

cmkgf:então;E.A

b.Pb

193001011

451143

15025002225

2 =⋅

⋅=δ=δ

δt = δ1 + δ2 = 0,1085 cm + 0,1930 cm = 0,3015 cm

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