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esistencia de

INDICE

CONTROL DE DEFLEXIONES ENVIGAS

2.1. Introduccin................................................................................................................................2

2.1.1. Ecuaciones diferenciales de la curva dede exin................................................................2

2.2. Mtodos de clculo de de exiones.............................................................................................8

2.2.1. De exiones mediante integracin de la Ecuacin del Momento Flexionante......................82.2.2. Mtodo de las reas de Momentos....................................................................................12.2. . Mtodo desu!er!osicin...................................................................................................2"

2. . #lculo de de exiones mediante ta$las....................................................................................2"2.%. De exiones en vigas no !rismticas..........................................................................................2&2.&. De exiones de$ido a cam$io de tem!eratura..........................................................................2'

R

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CONTROL DE DEFLEXIONES ENVIGAS

2.1.Introduccin#uando una viga se carga( el e)e longitudinal inicialmente recto se deforma en

forma curva( llamada cur a de de!e"i#n de la viga. En este ca!*tulo seex!lican mtodos !ara formar la ecuacin de la curva de de exin + !aradeterminar de exiones en !untos es!ec*,cos a lo largo del e)e de la viga. Elclculo de de exiones es esencial !ara el anlisis de vigas estticamenteindeterminadas( seg-n se ex!lica en el !rximo ca!*tulo.

dems( a menudo de$en calcularse la de exin a ,n de com!ro$ar /ue noexcedan los valores mximos !ermisi$les. Esta situacin surge en el dise0o deedi,caciones donde usualmente existe un l*mite su!erior !ara de exiones( +a/ue las grandes de exiones se asocian con una fac ada desagrada$le + conmuc a exi$ilidad en la estructura.

$%&%&% Ecuaci'nes di(erenciales de lacur a de de(le"i#n

ara o$tener las ecuaciones generales de la curva de de exin de una viga( seconsidera l a viga en voladi3o 4 mostrada en la ,gura '51a. 6e toma el origende las coordenadas en el extremo ,)o( con el e)e x dirigido a la derec a + el e)e+ dirigido acia a$a)o. #omo en las ex!licaciones !revias( se su!one /ue el

!lano x+ es un !lano de simetr*a + /ue todas las cargas act-an en este !lano.7uego( el !lano x+ es el !lano de exin. 7a de exin v de la viga en cual/uier!unto m 1 a una distancia x del origen ,gura '51a9 es la traslacin odes!la3amiento9 de este !unto en la direccin +( medida desde el e)e x astala curva de de exin. s*( !ara los e)es /ue emos seleccionado( una de exin

acia a$a)o es !ositiva + una de exin acia arri$a es negativa. #uando v sere!resenta como una funcin en x( se tiene una ecuacin de la curva dede exin.

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El ngulo de rotacin : del e)e de la viga en cual/uier !unto m 1 es el nguloentre el e)e x + la tangente a la curva de de exin ,gura '51$9. Este nguloes !ositivo en el sentido de las manecillas del relo)( siem!re + cuando los e)ex(+ tengan las direcciones indicadas.

R

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#onsidrese a 2asa distancia ds ms adelante so$re la curva + a una distancia x;dx medida!aralela al e)e x9 desde el origen. 7a de exin en este !unto es v;dv ( dondedv re!resenta el incremento en de exin conforme se !asa de m 1 a m 2.

?( + a la distancia desde >? a lacurva es el radio de curvatura @. En la ,gura se a!recia /ue @d:AdsB !or lo/ue la curvatura C igual al reci!roco del radio de curvatura9 est dada !or lasiguiente ecuacin

1E A A

EEE

7os signos convencionales !ara la curvatura se ilustran en la ,gura &5 .>$srvese /ue una curvatura !ositiva corres!onde a un valor !ositivo d: ds( lo/ue signi,ca /ue el ngulo : se incrementa con forme se recorrelongitudinalmente la viga en la direccin x !ositiva.

7a !endiente de la curva de de exin es la 1era derivada dv dx como seg-n loindica el clculo. De la ,gura '51$( se a!recia /ue la !endiente es igual a latangente del ngulo de rotacin :( +a /ue dx es in,nitesimalmente !e/ue0oBluego

=

ora un segundo !unto m locali3ado so$re una curva de

R

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7as ecuaciones '51 + '52 estn $asadas en consideraciones geomtricasBluego( son a!lica$les a cual/uier viga de cual/uier material. dems( no a+restriccin en las magnitudes de las !endientes + de exiones.

Muc as vigas sufren -nicamente !e/ue0as rotaciones cuando se carganB !ortanto( sus curvas de de exin son mu+ !lanas con curvaturas extremadamente!e/ue0as. En estas condiciones el ngulo : es una cantidad mu+ !e/ue0a( !orlo /ue se !ueden acer algunas a!roximaciones /ue sim!li,/uen el tra$a)o. Enla ,gura '51$ se a!recia /ue

#omo cos: G 1 cuando : es !e/ue0o(se o$tiene

or lo tanto( la ecuacin '51resulta

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7uego( !ara !e/ue0as rotaciones de una viga( el ngulo de rotacin + la !endiente soniguales.

Htese /ue el ngulo de rotacin se mide en radianes9.

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Jue es $sicamente la ecuacin diferencial de la curva de de exin de unaviga. Esta ecuacin !uede integrarse en cada caso !articular !ara determinarel ngulo de rotacin : o la deflexin v( siem!re + cuando se cono3ca elmomento exionante M. en resumen( los signos convencionales /ue de$enem!learse en la ecuacin '5K son como siguen 19 los e)es x(+ son !ositivos

acia la derec a + acia a$a)o res!ectivamenteB 29 el ngulo de rotacin : es!ositivo en el sentido de las manecillas del relo) a !artir del e)e xB 9 lade exin v es !ositiva acia a$a)oB %9 el momento exionante M es !ositivocuando !roduce com!resin en la !arte su!erior de la vigaB + &9 la curvaturaes !ositiva cuando la viga se do$la con concavidad acia a$a)o.

6i se cam$ian los signos !ara M o si el e)e + + en consecuencia v9 seconsidera !ositivo acia arri$a( entonces el signo menos en la ecuacion'5Kde$e cam$iarse !or un signo !ositivo. 6i am$os( M(+ se cam$ian de signo laecuacin no se modi,ca.

Diferenciando la ecuacin '5K con res!ecto a x + sustitu+endo entonces lasecuaciones / A 5dL dx +L A dM dx( seo$tiene

Donde L es la fuer3a cortante + / es la intensidad de carga distri$uida. 7ade exin v !uede determinarse resolviendo cual/uiera de las ecuaciones '5K a'58( de!endiendo de la conveniencia matemticas + !referencia !ersonal( lossignos convencionales de M( L.

or sim!licidad de las ex!licaciones su$secuentes( a menudo utili3aremos!rimas !ara denotar diferenciacin.

Mediante esta notacin se !ueden ex!resar la ecuacin diferencial /ue seindicaron( en la siguiente forma

En las secciones siguientes( se em!learn estas ecuaciones !ara determinarde exiones de vigas. El !rocedimiento consiste en integraciones sucesivas delas ecuaciones( evaluando las constantes de integracin resultantes a !artir de

las condiciones de frontera de viga.l o$tener las ecuaciones '51"9 se a!recia /ue son vlidas -nicamente cuando

el material satisface la le+ de ooCe + cuando las !endientes de la curva dede exin son mu+ !e/ue0as.

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limitaciones son satisfactorias !ara muc os fines !rcticos( aun/ue en rarasocasiones !uede ser necesario considerar las de exiones adicionales de$ido a

efectos cortantes vase seccin '.129

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E " )r es i#n e" acta )ar a la cur atur a% *

6i la curva de de exin de una viga tiene grandes !endientes( no es !osi$leem!lear las a!roximaciones dadas !or las ecuaciones a + $ en ve3 de ello( sede$e recurrir a las ex!resiones exactas !ara la curvatura ecuacin '519 + elngulo de rotacin Ec. '52$9. l com$inar tales ex!resiones( se o$tiene.

>$servando de la ,g. '51$ /ue ds 2 Adx2;dv 2 ( o$tiene

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de exiones

$%$%&% De(le"i'nes +ediante inte,raci#n de la Ecuaci#n delM'+ent' Fle"i'nante

7a ecuacin de la curva de de exin en trminos del momento exionante!uede integrarse !ara o$tener la de exin v como una funcin de x. dado /uela ecuacin diferencial es de segundo orden( se re/uiere dos integraciones.

El !rimer !aso en la solucin es formar ecuacin !ara el momento exionante(!rimer !aso en la solucin es formar el e/uili$rio esttico !ara o$tener lasecuaciones. 6i la carga so$re la viga cam$ia re!entinamente seg-n se des!la3a

a lo largo del e)e de la viga( a$r ex!resiones se!aradas !ara el momento encada regin de la viga entre los !untos en /ue ocurren tales cam$ios. aracada una de esas regiones( se sustitu+e la ex!resin de M ma+-scula en laecuacin diferencial. Entonces la ecuacin !uede integrarse !ara o$tener la!endiente v? ( introducindose !ara una constante de integracin medianteeste !roceso. Nna segunda integracin !ro!orciona la de exin v(introducindose otra constante de integracin. 7uego a+ dos constantes deintegracin !ara cada regin de la viga. Estas constantes !ueden evaluarsemediante condiciones

de frontera !ertenecientes a v + v? en os a!o+os de la viga + mediantecondiciones de continuidad so$re v + v? en los !untos donde coinciden lasregiones de integracin. #ada una de estas condiciones !ro!orciona unaecuacin /ue contiene una o ms constantes de integracin. #omo el n-merode condiciones en +. siem!re coincide con el n-mero de constantes( es !osi$leresolver estas ecuaciones !ara las constantes.

Entonces( las constantes evaluadas !ueden sustituirse en las ex!resiones !ara

v ( o$tenindose las ecuaciones ,nales de la curva de de exin. Estos mtodos!ara determinar las de exiones se denominan( a veces mtodo deinte,raci'nes sucesi as% 7os siguientes e)em!los ilustran el !rocedimiento!ara una viga sim!le + !ara una viga en voladi3o.

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E)em!lo 1

Determinar la ecuacin de la curva de de exin !ara una viga sim!le 4 /ueso!orta una carga uniforme de intensidad / ,gura 19.

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Donde # 1 es una constante de integracin. ara evaluar esta constante( seo$serva /ue( !or simetr*a( la !endiente v de la curva de de exin a lamitad del claro es cero. 7uego( tenemos lacondicin

EEQ A "EE E E EE A 2

Jue !uede a$reviarse comoE

EQ 8 9 A "2!licando la condicin a la Ecuacin a9

se o$tieneEEEE1 A

2%Entonces la Ecuacin a9resulta

=

EE EE2

EE E

E2;

4

E EE2

E EE

2

6EE

; EE1

E EQ A P % ; ;K2%' P 129

Huevamente( multi!licando am$os lados de la ecuacin !or dx e integrando( o$tenemos

E E A PEE E

E312

E EE

; 2%

EE

; 2%

; EE2 E 9

7a constante de integracin # 2 !uede evaluarse a !artir de la condicin /ue v = 0 cuando x = 0 ( o sea

(0) = 0!licando esta condicin a la Ecuacin $9 resulta C2 = 0 !or lo /ue la ecuacin !ara la curvade

de exin es

E A 2% 8E P 2 EEEE2 ; EE 9 ' P 1 9

Esta ecuacin !ro!orciona la de exin en cual/uier !unto a lo largo de la viga.

R

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7a de exin mxima O ocurre a la mitad del claro + se o$tiene aciendo x igual a L/2 en Ecuacin

'51 9. El resultado es

&E

E4

= = 384 44444444444

(7 14)7os ngulos de rotacin mximos ocurren en los a!o+os de la viga. En el extremo i3/uierdo( elngulo : a es igual a la !endiente vQB luego( sustitu+endo x = 0 en la Ecuacin '5129( seo$tiene

EE

= (0) = 24 4 4444444444

(7 15)En forma similar( se o$tiene el ngulo : $ en el otro extremo

EE

= ( ) =

24 (7 44444444444

16)Dado /ue la viga + la carga son simtricas res!ecto al !unto medio( los ngulos de rotacin enlosextremos son iguales. >$srvese /ue los ngulos de rotacin se consideran!ositivos cuando los extremos de la viga giran como se muestra en la Figura(

or su!uesto el sentido !ositivo de la !endiente vQ est determinado !or lasdirecciones de los e)es coordenados. ara este e)em!lo( vQ es !ositiva en ela!o+o ( negativa en 4( + cero en el !unto medio.

R

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E)em!lo 2

Determinar la ecuacin de la curva de de exin !ara una viga en voladi3o 4sometida a una carga uniforme de intensidad ,gura 29.

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7a constante de integracin # 1 !uede determinarse a !artir de la condicin de/ue la !endiente de la viga es cero en el em!otramientoB luego( tenemos v(0)= 0 ( lo cual resulta C1 = qL 2 /6.

EQ AK

8 E2

P EEE ; EE2

9 ' P 1'9

7a integracin de esta ecuacinresulta

E EE2E A 2%

8KE2 P %EEE ; EE2 9 ; EE2

7a condicin de frontera so$re la deflexin en el em!otramiento es v(0) = 0 ( lo /ue muest/ueC2 = 0 . 7uego( la ecuacin de la curva de de exin es

E EE2

E A 2% 8KE

2P %EEE ; EE

29 ' P 18 9

El ngulo de rotacin : $ + la de exin O $ en el extremo li$re de la viga seencuentra fcilmente sustitu+endo x = L en las Ecuaciones '51'9 + '5189(como sigue

E E

= ( ) = 6 (7 18 ) 6 6666666666 E E

4

= ( ) = 8 (7 18 ) 8 8888888888

$%$%$% M-t'd' de las .reas deM'+ent's

En esta seccin se considera otro mtodo !ara determinar de exiones devigas. Este mtodo( conocido como +-t'd' del .rea de +'+ent's ( utili3alas !ro!iedades del rea del diagrama de momentos exionantes. El mtodo eses!ecialmente adecuado cuando -nicamente se re/uiere la de exin o el

ngulo de rotacin en un !unto de la viga( !or/ue es !osi$le determinar tales

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cantidades sin encontrar !rimero la ecuacin com!leta de la curva dede exin.

ara ex!licar el mtodo( consideramos un segmento 4 de la curva dede exin de una viga en una regin donde la curvatura es !ositiva ,gura9. Enel !unto la tangente 4Q a la curva de de exin tiene un ngulo de rotacin!ositivo : a a !artir del e)e x( + en el !unto 4 la tangente #Q

R

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tiene un ngulo : $. El ngulo entre las tangentes( denotado !or : $a es igual ala diferencia entre : $+: a

=

(7 35)7uego( : $a re!resenta el ngulo de rotacin de la tangente en 4 con res!ecto ala tangente en . elngulo relativo : $a es !ositivo cuando : $ es ma+or /ue : a como semuestra en la ,gura.

Enseguida( considrese dos !untos m 1 + m2 so$re el e)e de la viga se!arados!or una distancia ds. 7as tangentes a la curva de de exin es tales !untos semuestran en la ,gura como las l*neas m 1! 1 + m2! 2. 7as normales a esas seintersectan en el centro de curvatura con un ngulo d, /ue es igual a ds/p,donde p es el radio de curvatura. or lo cual el ngulo entre las dos tangentestam$in esigual a d. El ngulo d !uede o$tenerse a !artirde la ecuacin

=

E

(

R

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E)em!lo 1Determinar le ngulo de rotacin : $ + la de exin O $ en el extremo li$re 4 de una viga envoladi3o

4 /ue so!orta una carga concentrada Figura9

El diagrama de momento exionante !ara esta viga tiene forma triangular(como se muestra en la !orcin de la ,gura. Ra /ue la rigide3 a exin EI esconstante( el diagrama M/EI tiene la misma forma /ue el diagrama demomento exionante. !artir del !rimer teorema del rea de momentos(sa$emos /ue el ngulo relativo de rotacin ba entre las tangentes en 4 + esigual alnegativo del rea del diagrama M/EI. El rea del diagrama es

1 1EE1 A 2

8E 98PEE 989 AP

E E 2

2 R( !or lotanto( E E 2

= = 1 = 2 22222222222

R

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7a tangente a la curva de deflexin en es ori3ontal : a A "9B !or lo /ue(

E E

2

= 2 2 2222222222

(7 38)El extremo de la viga gira en el sentido de las manecillas del relo)( como se muestra en la,gura.

7a de exin O $ en el extremo li$re !uede o$tenerse a !artir del segundo teorema. 7adesviacin

S$c del !unto 4 desde la tangente en es la misma /ue la de exin O $ eneste caso. El !rimer momento del rea del diagrama M EI( tomando conres!ecto al !unto 4( es

2E 2E 2 2E E E1 A EE1 9 A P 2 E E

9 AP

Del segundo teorema del rea de momentos( o$tenemosO$ A 5J 1 o sea

E E

= 3 3 3333333333

(7 39)Nn valor !ositivo significa /ue tanto la desviacin como la de exin son acia a$a)o.

R

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E)em!lo 2Determinar le ngulo de rotacin : $ + la de exin O $ en el extremo li$re 4 deuna viga en voladi3o

4 /ue so!orta una carga uniforme de intensidad q /ue act-a so$re !arte dela longitud Figura9

El diagrama de momentos exionante consiste en un arco !ara$lico desegundo grado (vase Caso19, apnd !e " # L b$o %&es s'en! a de Ma'e$ a es, a*es +e$e # *os-en o ).El diagrama M EI tiene el mismo !er,l( siem!re + cuando EI sea constante.>$srvese /ue el e)e deformado de la viga es curvo en la regin $a)o la cargauniforme + recto en la !osicin sin carga.

El ngulo de rotacin : $ es igual al ngulo relativo : $a !uesto /ue la tangenteen es ori3ontal. El rea del diagrama M EI es

1EE1 A 8E 98P

E E 2

19 82

9 A

P

E E

K or lo /ue( a !artir del !rimer teorema del rea de momentos( o$tenemos : $ A 5 1 o seaR

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E E

= 6 6 6666666666

(7 40)Este ngulo es igual a la !endiente de la viga a lo largo de la regin sin carga

7a de exin O $ es igual a la desviacin S $c en este caso. En consecuencia( O $ esigual al negativo del !rimer momento del rea del diagrama M EI( tomando conres!ecto a 4. El centroide # del diagrama est a una distancia a/ a !artir dela orilla de la carga( o a una distancia b a/ desde

4. luego( el !rimer momento es E E E E1 A EE1 8E ; 9 A 8P 9

8E ;% K 9 A P 8%E P 9% 2%

Ra /ue b = L # a. la de exin en el extremo es O $ A 5J 1 o sea

E E

=

24 (4 )4 44444444446i a = L, esta ecuacin resulta !ara una viga en voladi3o cargada totalmente

E E

%

= 8 8 8888888888

(7 41)

R

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E)em!lo Determinar le ngulo de rotacin : $ + la de exin O $ en el extremo li$re 4 de una viga envoladi3o

4( con una carga uniforme de intensidad q actuando so$re la mitad derec a de la vigaFigura9

El diagrama de momento exionante consiste en una curva !ara$lica desde 4asta # + una l*nea recta desde # asta . el diagrama M EI tiene el mismo

!er,l( +a /ue EI es constante. ara la evaluacin del rea + el !rimer momentodel diagrama M EI( es conveniente dividir este diagrama en tres !artes cu+asreas son 1( 2 + . Estas !artes son un arco !ara$lico( un rectngulo + untringulo( res!ectivamente( con las reas siguientes

1 E EE 2 EEEE1 A 8 9 8P 9 A2 8 %8

E EE 2 EEEE1 A 2P

8 E E 9 A P

1K 1 E EE 2 EEEE1 A 2

8 9 8P 9 A P

2 444444444444 1666666666666R

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El ngulo de rotacin : $ es igual al negativo del rea del diagrama M EI' EE

= ( 1 + 2 + 3) =

48 (7 42)888888888887a de exin O $ es igual al negativo del !rimer momento del diagrama M EItomando con res!ectoa 4.

= ( 1 1 +

2 2 + 3 2 ) Donde x 1( x2( x son las distintas ori3ontales desde 4 asta los centroides delas reas res!ectivas.

7uego(EE E EE

EEE &E

%1E E %

= 48 ( 8 ) + 16 ( 4 ) + 8 6 86868686868686868686

16 ( 6 ) = 384 (7 43)6 464646464646464646464Este e)em!lo re!resenta como el rea + el !rimer momento de undiagrama M EI com!licado!uede determinarse fcilmente dividiendo el diagrama en !orciones de!ro!iedades conocidas.

$%$%/% M-t'd' de

su)er)'sici#n7as ecuaciones diferenciales de la curva de de exin de una viga Ecuacin '51"9 son ecuaciones diferenciales linealesB esto es( todos los trminos /uecontienen la de exin v + sus derivadas estn elevados a la !rimera !otencia-nicamente. or lo tanto( las soluciones de las ecuaciones !ara variascondiciones de carga !ueden su!er!onerse. 7uego( la de exin de la vigacausada !or varias cargas diferentes /ue act-an simultneamente !uededeterminarse mediante la su!er!osicin de las de exiones ocasionadas !orcada carga actuando en forma se!arada.

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ara el clculo de de exiones mediante el mtodo de su!er!osicin serecomienda el uso de ta$la. Este mtodo ser ex!licado de me)or forma en%Ca !3 o de de4ex ones *ed an'e 'ab as .

2. . #lculo de deflexionesmediante ta$las2. .1 Mtodo de su!er!osicin. 5 !ara e)em!li,car esta idea( considresela viga en voladi3o mostrada en la ,gura '51%.

Esta viga so!orta una carga uniforme de intensidad u so$re una !orcindel claro + una carga

concentrada P que acta so re su e!tre"# $% re& 'u #n ase que se desea ca$cu$ar en e$ e!tre"o

R

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li$re. #uando la carga act-a sola( la defeccin en 4 es E3

EI( como se muestra en el

e)em!lo 1de la seccin anterior Ec '5 T9.

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Mediante este mismo !rocedimiento de su!er!oner elementos de la carga distri$uida!odemos

calcular el ngulo de rotacin U en el extremo i3/uierdo de la viga. 7aex!resin !ara este ngulo

de$ido a una carga concentranda es

EEE 8E ;

E 9KE EE

En esta ex!resin de$emos de rem!la3ar !or 2/ xdx 7( a !or x + $ !or 7 V x B luego

EE2 EE" %1 EE" EE U AW"

EE2 EE9 E P EE9 2E P EE9 A

288"

E)em!lo 1Nna viga en voladi3o 4 est sometida a momentos concentrados M " + 2M"en sus extremos. >$tener ex!resiones !ara los ngulos de rotacin : a + : $ enlos extremos de la viga + la deflexin O en su !unto medio.

R

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Mediante el #aso ' de la

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29/36

Em!e3amos !or considerar un elemento q dx de la carga situada a unadistancia x del a!o+o. Este elemento de carga !roduce una de exin d5 + unngulo d en el extremo li$re iguales a

E EEE9 EE2 98 E

P EE9

=

A

K E EEE9EE2 92

6eg-n se determina del Xru!o & de la

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2.%. Deflexiones en vigas no!rismticas

7os mtodos !resentados en las secciones anteriores !ara el clculo dede exiones de vigas !rismticas esto es( viga con seccin transversalconstante en su longitud 9 !ueden utili3arse tam$in !ara determinarde exiones de vigas no !rismticas.

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El mtodo de integracin !ara vigas no !rismticas de$e reali3arse en muc ocasos con la ecuacin de momentos Ec '51"a9 !referentemente al uso deecuaciones de cortante de cara Ec '51"$ + c9. Estos se de$en a /ue aecuacin de momentos !uede formularse en la siguiente forma sim!le

Donde I x es el momento de inercia de la seccin transversal a una distancia xdesde el origen de coordenadas. 6i el miem$ro derec o de la ecuacin '5&&9!uede integrarse( entonces es facti$le el mtodo de integracin. 6in em$argo(las ecuaciones de cortante + de carga se o$tienen diferenciando la ecuacin

'5&&9( lo /ue nos lleva a ecuaciones diferenciales muc o mas com!licadascuando I x es tam$in una varia$le + de$e diferenciarse.

El segundo mtodo !ara determinar de exiones es el mtodo del rea demomentos. El uso de esto mtodo se e)em!li,ca en la ,gura '52" !ara laviga anali3ada !reviamente. El diagrama del momento exionante !ara laviga se !resenta en la ,gura '52"$ + el diagrama M EI en la ,gura '52"c. 7as reas + !rimeros momentos de las diferentes !orciones de diagramaM EI se usan !aradeterminar los ngulos de rotacin + las de exiones. or e)em!lo( determ*neseel ngulo de rotacin en el a!o+o i3/uierdo + la de exin en el !unto medio. !artir de la simetr*a de la viga( sa$emos /ue la tangente a la curva dede exin en el centro # es ori3ontal. Del !rimer teorema del rea demomentos se in,ere /ue el ngulo de rotacin : a en el a!o+o i3/uierdo en igual

al rea del diagrama M EI entre los !untos + # !or lo tanto este ngulo seo$tiene como sigue

7a deviacin del !unto desde una tangente a la curva de de exin en el!unto #( la cual es igual a la de exin O c en el !unto medio de la viga( seo$tiene tomando el !rimer momento del rea del diagrama M EI entre + #res!ecto al !unto ( de acuerdo con el segundo teorema del rea demomentos. 7uego

Este e)em!lo muestra /ue el em!leo del teorema del rea de momentos !aralas vigas no !rismticas es similar al /ue se utili3a !ara vigas !rismticas.

>tro mtodo !ara determinar de exiones es el mtodo de su!er!osicin. arae)em!li,car este mtodo en una viga no !rismtica( considrese la viga envoladi3o de la ,gura '522 + su!nganse /ue deseamos calcular la de exin O aen el extremo li$re. Esta de exin !uede o$tenerse en 2 !asos. rimero(imaginemos /ue la viga esta sostenida r*gidamente en el !unto #( de modo/ue no gira ni se re exiona en tal !unto. Entonces !odemos calcular lade exin de de$ida a la exin de # como una viga en voladi3o. Ra /ue estaviga tiene una longitud de 7 2 + un momento de inercia I( su de exin O 1 es

R

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dicionalmente( la !arte #4 de la viga tam$in se com!orta como viga envoladi3o ,gura '522$ 9+ contri$u+e a la de exin del !unto . la de exion O c +el ngulo de rotacin : c del extremo li$re de este voladi3o son

7a de exin O c + el ngulo de rotacin : c efect-an una contri$ucin adicionalO2 a la de exin $a)o la carga ( como sigue

or lo tanto( la de exin total del extremoli$re es

7uego( las tcnicas del mtodo de su!er!osicin !ueden ada!tarse fcilmentea ciertos ti!os de vigas no !rismticas( como lo muestra este e)em!lo. 7aeleccin al mtodo a em!learse !ara determinar de exiones de vigas no!rismticas + los detalles de !rocedimiento de!ende del !ro$lemaresolverse + las !referencias del analista.

2.&. Deflexiones de$ido a cam$io detem!eratura

Nn incremento de tem!eratura uniforme !rovoca /ue la longitud de una $arrali$re de restricciones o de una viga se incremente en una cantidad

=

(* )

donde Y es el coe,ciente de ex!ansin trmica( =< es el incremento detem!eratura + 7 es lalongitud de la $arra vanse Fig.252" + Ec. 25229. 6i una viga est a!o+ada enforma tal /ue la ex!ansin longitudinal !uede ocurrir li$remente( como en elcaso de las vigas consideradas en este ca!*tulo( entonces un cam$io detem!eratura no !roducir ning-n esfuer3o en la viga.

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A

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ara encontrar las de exiones( consideremos la deformacin del elemento /uetiene una longitud dx. 7os cam$ios de longitud del elemento en al su!er,ciesinferior + su!erior( son Y < 25$srvese /ue( cuando < 2 es ma+or /ue < 1( la curvatura es negativa + la vigaexiona con concavidad acia arri$a. 7a cantidad Y < 2 V

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momentosB todo lo /ue se re/uiere es reem!la3ar M EI !or Y < 25

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