Relasi dan Fungsi

FUNGSI

Perhatikan sekelompok siswa yangsedang menerima pelajaran di suatu kelas.Setiap siswa menempati kursinya masing-masing. Tidak mungkin seorang siswamenempati lebih dari satu kursi. Demikianpula tidak mungkin satu kursi ditempati olehlebih dari satu siswa.

Dengan demikian, ada keterkaitanantara siswa dengan kursi yang ditempati.Menurutmu, apakah hal ini termasuk fungsi?

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:

dapat menjelaskan dengan kata-kata dan menyatakan masalah sehari-hariyang berkaitan dengan relasi dan fungsi;

dapat menyatakan suatu fungsi dengan notasi; dapat menghitung nilai fungsi; dapat menentukan bentuk fungsi jika nilai dan data fungsi diketahui; dapat menyusun tabel pasangan nilai peubah dengan nilai fungsi; dapat menggambar grafik fungsi pada koordinat Cartesius.

2

Kata-Kata Kunci:

relasi fungsi grafik fungsi

Sumber: Dok. P enerbit

32Matematika Konsep dan Aplikasinya 3

a. Sebutkan relasi-relasi yang mungkinantara nama-nama pada silsilahtersebut.

b. Siapakah ayah dari Lisa, Bowo, danAji?

c. Tunjukkan relasi yang memenuhiantara Aditya, Lina, dan Bowo.

d. Sebutkan cucu laki-laki Bapak Sitorusdan Ibu Meri.

A. RELASI

Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kalian harusmenguasai materi himpunan, anggota himpunan, dan himpunanbagian dari suatu himpunan.

1. Pengertian Relasi

Agar kalian memahami pengertian relasi, perhatikan Gambar2.1. di samping.

Gambar 2.1 menunjukkan suatu kumpulan anak yang terdiriatas Tino, Ayu, Togar, dan Nia berada di sebuah toko alat tulis.Mereka berencana membeli buku dan alat tulis.

Tino berencana membeli buku tulis dan pensil, Ayu membelipenggaris dan penghapus, Togar membeli bolpoin, buku tulis, dantempat pensil, sedangkan Nia membeli pensil dan penggaris.

Perhatikan bahwa ada hubungan antara himpunan anak ={Tino, Ayu, Togar, Nia} dengan himpunan alat tulis = {buku tulis,pensil, penggaris, penghapus, bolpoin, tempat pensil}. Himpunananak dengan himpunan alat tulis dihubungkan oleh kata membeli.Dalam hal ini, kata membeli merupakan relasi yangmenghubungkan himpunan anak dengan himpunan alat tulis.

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubunganyang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengananggota-anggota himpunan B.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

1. Bagan berikut menunjukkan silsilahkeluarga Bapak Sitorus dan Ibu Meri.Tanda panah menunjukkan hubunganmempunyai anak.

(Menumbuhkankreativitas)Bentuklah kelompokterdiri atas 4 orang, 2pria dan 2 wanita.Kemudian buatlahrelasi yang meng-hubungkan antaraanggota kelompokmudengan makanan yangdisukai.

Gambar 2.1

33Fungsi

2. Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5} danB = {2, 4, 6, 8, 12}.a. Jika dari A ke B dihubungkan relasi

setengah dari, tentukan himpunananggota A yang mempunyai kawandi B.

b. Jika dari B ke A dihubungkan relasikuadrat dari, tentukan himpunananggota B yang mempunyai kawandi A.

3. Diketahui A = {5, 6, 7, 8} danB = {25, 30, 35, 36, 49, 64}.a. Buatlah dua relasi yang mungkin dari

A ke B.b. Buatlah dua relasi yang mungkin dari

B ke A.4. Diketahui P = {2, 1, 0, 1, 2} dan

Q = {0, 1, 2, 3}.a. Buatlah relasi dari P ke Q.b. Buatlah relasi dari Q ke P.

2. Cara Menyajikan Suatu Relasi

Suatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengandiagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasanganberurutan. Untuk memahami hal tersebut, perhatikan uraian berikutini.

Pengambilan data mengenai pelajaran yang disukai padaempat siswa kelas VIII diperoleh seperti pada tabel berikut.

Tabel 2.1

Tabel 2.1 di atas dapat dinyatakan dengan diagram panah,diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan seperti dibawah ini.

Misalkan A = {Buyung, Doni, Vita, Putri}, B = {IPS, kesenian,keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}, danpelajaran yang disukai adalah relasi yang menghubungkanhimpunan A ke himpunan B.a. Dengan diagram panah

Gambar 2.2 di bawah menunjukkan relasi pelajaran yangdisukai dari himpunan A ke himpunan B. Arah panahmenunjukkan anggota-anggota himpunan A yang berelasidengan anggota-anggota tertentu pada himpunan B.

Nama Siswa Pelajaran yang Disukai

Buyung IPS, KesenianDoni Keterampilan, OlahragaVita IPAPutri Matematika, Bahasa Inggris

(Menumbuhkankreativitas)Amatilah kejadian se-hari-hari di lingkungansekitarmu. Berilah 5contoh kejadian yangmerupakan relasi.Ceritakan pengala-manmu s ecara s ing-kat di depan kelas.


A Bpelajaran yang disukai

Buyung

Doni

Vita

Putri

IPS

Kesenian

Keterampilan

Olahraga

Matematika

IPA

Bahasa Inggris

Gambar 2.2

b. Dengan diagram Cartesius

Relasi antara himpunan A dan B dapat dinyatakandengan diagram Cartesius. Anggota-anggota himpunan Aberada pada sumbu mendatar dan anggota-anggota himpunanB berada pada sumbu tegak. Setiap pasangan anggota himpunanA yang berelasi dengan anggota himpunan B dinyatakandengan titik atau noktah. Gambar 2.3 menunjukkan diagramCartesius dari relasi pelajaran yang disukai dari data pada tabel2.1.

Gambar 2.3

c. Dengan himpunan pasangan berurutan

Himpunan pasangan berurutan dari data pada tabel 2.1sebagai berikut.{(Buyung, IPS), (Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan),(Doni, olahraga), (Vita, IPA), (Putri, matematika), (Putri, bahasaInggris)}.

(Menumbuhkankreativitas)Bentuklah kelompokyang terdiri atas 6orang, 3 pria, dan 3wanita. Tanyakan hobitiap anggota kelom-pokmu. Lalu, sajikandalam diagram panah,diagram Cartesius,dan himpunanpasangan berurutan.

Buyung

Doni

Vita

Putri

Bahasa Inggris

IPA

IPS

MatematikaOlahraga

Keterampilan

Kesenian

A

B

35Fungsi

Diketahui A = {1, 2, 3, 4,5, 6}; B = {1, 2, 3, ..., 12};dan relasi dari A ke Badalah relasi setengahdari. Nyatakan relasitersebut dalam bentuka. diagram panah;b. diagram Cartesius;c. himpunan pasangan

berurutan.

Penyelesaian:

a. Dengan diagram panah

xxxxxxxxxxxx

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

xxxxxx

A Bsetengah dari

Gambar 2.4

b. Dengan diagram Cartesius

21 3 5 7

21

3

5

7

9

11

4

6

8

10

12

4 6 8A

B

Gambar 2.5

c. Dengan himpunan pasangan berurutanMisalkan relasi setengah dari dari himpunan A kehimpunan B adalah R, maka R = {(1, 2), (2, 4), (3, 6),(4, 8), (5, 10), (6, 12)}.



1. Diketahui Sinta suka minum susu dan teh,Ketut suka minum kopi, Ita suka minumteh, dan Tio suka minum sprite. Nyatakanrelasi tersebut dalam bentuka. diagram panah;b. diagram Cartesius;c. himpunan pasangan berurutan.

2. Relasi dari himpunan A ke himpunan Bditunjukkan pada diagram panah berikut.

Indonesia

Malaysia

Filipina

Jepang

India

Kuala lumpurManilaJakartaNew DelhiTokyoSingapuraBangkok

A B

a. Nyatakan relasi yang mungkin darihimpunan A ke himpunan B.

b. Nyatakan relasi dari A ke B dalambentuk diagram Cartesius.

c. Nyatakan relasi dari A ke B dalambentuk himpunan pasanganberurutan.

3. Relasi dari A = {a, e, i, o, u} keB = {b, c, d, f, g, h} dinyatakan sebagaiR = {(a, b), (a, c), (e, f ), (i, d ), (o, g),(o, h), (u, h)}.Nyatakan relasi tersebut ke dalam ben-tuk diagram panah dan diagram Car-tesius.

4. Relasi dari himpunan P ke himpunan Qdisajikan dalam diagram Cartesiusberikut.

21 3 5

21

3

54

6

4 6P

Q

Tentukan relasi yang memenuhi daridiagram tersebut, kemudian nyatakandalam diagram panah dan himpunanpasangan berurutan.

5. Buatlah relasi akar dari darihimpunan P = {2, 3, 4, 5} ke himpunanQ = {1, 2, 4, 9, 12, 16, 20, 25} dengana. diagram panah;b. diagram Cartesius;c. himpunan pasangan berurutan.

B. FUNGSI ATAU PEMETAAN

1. Pengertian F ungsi

Agar kalian memahami pengertian fungsi, perhatikan uraianberikut.

Pengambilan data mengenai berat badan dari enam siswakelas VIII disajikan pada tabel berikut.

37Fungsi

Tabel 2.2

Nama Siswa Berat Badan (kg)

Anik 35Andre 34Gita 30Bayu 35Asep 33Dewi 32

xxxxxx

30 3132 33 3435

A B

Anik Andre Gita Bayu AsepDewi

xxxxxx

berat badan

Gambar 2.6

Gambar 2.6 merupakan diagram panah yang menunjukkanrelasi berat badan dari data pada Tabel 2.2.

Dari diagram panah pada Gambar 2.6 dapat diketahui hal-hal sebagai berikut.a. Setiap siswa memiliki berat badan.

Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai kawan ataupasangan dengan anggota B.

b. Setiap siswa memiliki tepat satu berat badan.Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai tepat satu kawanatau pasangan dengan anggota B.

Berdasarkan uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwarelasi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yangmemasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Relasiyang demikian dinamakan fungsi (pemetaan) . Jadi, fungsi(pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khususyang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggotaB.

Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalaha. setiap anggota A mempunyai pasangan di B;b. setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

(Menumbuhkan inovasi)Bentuklah kelompok yang terdiri atas 2 orang, 1 pria, dan 1 wanita.Cari da n a mati k ejadian-kejadian d i li ngkungan s ekitarmu.Tulislah hal-hal yang t ermasuk fungsi sebanyak 4 buah.Lalu s ajikan h asil t emuanmu d alam d iagram p anah, d iagramCartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Tulislah dalamsebuah laporan dan kumpulkan kepada gurumu.


A B

C

x x xy f x = ( )

Gambar 2.8

Di antara relasi yangdisajikan pada diagrampanah berikut manakahyang merupakan fungsi?Berilah alasannya.

p

q

r

1234

A B

(i)

p

q

r

1234

A B

(ii)Gambar 2.7

Penyelesaian:

(i) Diagram panah pada (i) merupakan fungsi, karenasetiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan diB.

(ii) Diagram panah pada (ii) bukan fungsi, karena terdapatanggota A yaitu p mempunyai empat pasangan di Bdan ada anggota A yaitu q dan r tidak mempunyaipasangan di B.

2. Notasi dan Nilai Fungsi

Diagram di samping menggambarkan fungsi yang memetakanx anggota himpunan A ke y anggota himpunan B. Notasi fungsinyadapat ditulis sebagai berikut.

g : x 6 y atau g : x 6 g(x)dibaca: fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B

Himpunan A disebut domain (daerah asal).Himpunan B disebut kodomain (daerah kawan).Himpunan C B yang memuat y disebut range (daerah hasil).

Dalam hal ini, y = f(x) disebut bayangan (peta) x oleh fungsif. Variabel x dapat diganti dengan sebarang anggota himpunan Adan disebut variabel bebas. Adapun variabel y anggota himpunanB yang merupakan bayangan x oleh fungsi f ditentukan (bergantungpada) oleh aturan yang didefinisikan, dan disebut variabelbergantung.

Misalkan bentuk fungsi f(x) = ax + b. Untuk menentukannilai fungsi untuk x tertentu, dengan cara mengganti (menyubstitusi)nilai x pada bentuk fungsi f(x) = ax + b.

39Fungsi

a. Perhatikan diagram pa-nah pada Gambar 2.9.Tentukan(i) domain;(ii) kodomain;(iii) range;(iv) bayangan dari 1, 2,

3, 4, dan 5 olehfungsi f.

abcde

12345

A Bf

Gambar 2.9

Penyelesaian:

(i) Domain = A = {1, 2, 3, 4, 5}(ii) Kodomain = B = {a, b, c, d, e}(iii) Range = {a, c, e}(iv) Bayangan 1 oleh fungsi f adalah f(1) = a.

Bayangan 2 oleh fungsi f adalah f(2) = a.Bayangan 3 oleh fungsi f adalah f(3) = c.Bayangan 4 oleh fungsi f adalah f(4) = c.Bayangan 5 oleh fungsi f adalah f(5) = e.

b. Diketahui fungsi fdidefinisikan sebagaif(x) = 2x2 3x + 1.Tentukan nilai fungsif(x) untuk(i) x = 2;(ii) x = 3.

Penyelesaian:

(i) Substitusi nilai x = 2 ke fungsi f(x) = 2x2 3x + 1,sehingga f(x) = 2x2 3x + 1 f (2) = 2x2 3 u 2 + 1

= 8 6 + 1 = 3(ii) Substitusi nilai x = 3 ke fungsi f(x),

sehingga diperoleh f(x) = 2x2 3x + 1 f (3) = 2 u (3)2 3 u(3) + 1

= 18 + 9 + 1= 28


1. Di antara diagram panah berikut,manakah yang merupakan fungsi?Berikan alasannya.

A B

(i)

1 52 63 7

A B

(ii)

2 63 95 10


4. Diketahui daerah asal suatu fungsiP = {1, 3, 7, 8} ke himpunan bilanganasli Q dengan relasi setengah dari.a. Tulislah notasi fungsi untuk relasi ter-

sebut.b. Tentukan rangenya.c. Tentukan bayangan 3 oleh fungsi f.

5. Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B himpunanbilangan bulat, relasi berikut ini manakahyang merupakan pemetaan dari A ke B?Berikan alasannya.a. Kurang dari.b. Faktor dari.c. Akar kuadrat dari.d. Dua kurangnya dari.

6. Diketahui fungsi f : xo 4x 1. Tentukannilai fungsi f untuk x = 5, 3, 1, 0, 2, 4,dan 10.

7. Fungsi f didefinisikan sebagaif(x) = 2x + 3.a. Tentukan bayangan x = 1 oleh

fungsi tersebut.b. Tentukan nilai x jika f(x) = 1.

2. Diketahui relasi dari himpunan P = {a,b, c, d} ke himpunan Q = {e, f, g}dengan ketentuan a o e, b o e, c o e,dan c o f. Apakah relasi tersebutmerupakan suatu fungsi? Mengapa?Jelaskan jawabanmu.

3. Di antara relasi dalam himpunan pa-sangan berurutan berikut, tentukanmanakah yang merupakan suatu fungsidari himpunan A = {a, b, c, d} kehimpunan B = {1, 2, 3, 4}. Tentukan puladaerah hasil masing-masing fungsi.a. {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)}b. {(a, 2), (b, 4), (c, 4)}c. {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4)}d. {(a, 1), (b, 4), (c, 1), (d, 4)}e. {(d, 1), (d, 2), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}

A B

(iii)

1 13 35 6

A B

(iv)

2 63 84 12

3. Menyatakan Fungsi dalam Diagram Panah, DiagramCartesius, dan Himpunan Pasangan Berurutan

Kalian telah mempelajari bahwa suatu relasi dapat dinyatakandalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasanganberurutan. Karena fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi,maka fungsi juga dapat dinyatakan dalam diagram panah, diagramCartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 1, 0, 1, 2, 3}. Jika fungsif: A oB ditentukan dengan f(x) = x 2 makaf(1) = 1 2 = 1f(3) = 3 2 = 1f(5) = 5 2 = 3

41Fungsi

a. Diagram panah yang menggambarkan fungsi f tersebut sebagaiberikut.

A B

13

5

2

1

0

1

23

f

Gambar 2.10

b. Diagram Cartesius dari fungsi f sebagai berikut.

1

1

2

2

3

3 4 50 A

B

2

1

Gambar 2.11

c. Himpunan pasangan berurutan dari fungsi f tersebut adalah{(1, 1), (3, 1), (5, 3)}. Perhatikan bahwa setiap anggota Amuncul tepat satu kali pada komponen pertama pada pasanganberurutan.

4. Menentukan B anyaknya P emetaan y ang M ungkin d ariDua Himpunan

Untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin daridua himpunan, perhatikan uraian berikut.a. Jika A = {1} dan B = {a} maka n(A) = 1 dan n(B) = 1.

Satu-satunya pemetaan yang mungkin dari A ke B mempunyaidiagram panah seperti tampak pada Gambar 2.12.

b. Jika A = {1, 2} dan B = {a} maka n(A) = 2 dan n(B) = 1.Pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke B tampak sepertidiagram panah pada Gambar 2.13.

c. Jika A = {1} dan B = {a, b} maka n(A) = 1 dan n(B) = 2.Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada dua, sepertitampak pada diagram panah pada Gambar 2.14.

A B

1 a

Gambar 2.12

A B

12

a

Gambar 2.13


A B

1 ab

A B

1 ab

Gambar 2.14

d. Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a} maka n(A) = 3 dan n(B) = 1.Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada satu,seperti tampak pada diagram panah pada Gambar 2.15.

e. Jika A = {1} dan B {a, b, c} maka n(A) = 1 dan n(B) = 3.Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada tiga, sepertitampak pada diagram panah berikut ini.

f. Jika A = {1, 2} dan B = {a, b} maka n(A) = 2 dan n(B) = 2.Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada empat,seperti tampak pada diagram panah pada Gambar 2.17.

Gambar 2.17

g. Jika A = {1, 2, 3} dan B= {a, b} maka n(A) = 3 dan n(B) = 2.Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada 8, sepertitampak pada diagram panah pada Gambar 2.18.

Gambar 2.18

A B123

xxx

x

x

a

b

A B123

xxx

x

x

a

b

A B123

xxx

x

x

a

b

A B123

xxx

x

x

a

b

A B123

xxx

x

x

a

b

A B

1xxx

23

x

x

a

b

A AB B123

xxx

123

xxx

x

x

a

b

x

x

a

b

A B123

xxx

xa

Gambar 2.15

1 xxxx

a

b

c

A B

1 xxxx

a

b

c

A B

1 xxxx

a

b

c

A B

Gambar 2.16

1

2

xx

xx

a

b

A B

1

2

xx

xx

a

b

A B

1

2

xx

xx

a

b

A B

1

2

xx

xx

a

b

A B

43Fungsi

Dengan mengamati uraian tersebut, untuk menentukanbanyaknya pemetaan dari suatu himpunan A ke himpunan B dapatdilihat pada tabel berikut.

Berdasarkan pengamatan pada tabel di atas, dapat diambilkesimpulan sebagai berikut.

Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = adan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b maka1. banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah

ba;2. banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah

ab.

Banyaknya Anggota

Himpunan A Himpunan B

Banyaknya Pemetaanyang Mungkin dari

A ke B

Banyaknya Pemetaanyang Mungkin dari

B ke A

1 1 1 = 11 1 = 11

2 1 1 = 12 2 = 21

1 2 2 = 21 1 = 12

3 1 1 = 13 3 = 31

1 3 3 = 31 1 = 13

2 2 4 = 22 4 = 22

3 2 8 = 23 9 = 32

Jika A = {bilangan primakurang dari 5} danB = {huruf vokal}, hitung-lah banyaknya pemetaana. dari A ke B;b. dari B ke A, tanpa

menggambar diagrampanahnya.

Penyelesaian:

a. A = {2, 3}, n(A) = 2B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba= 52 = 25

b. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A = ab= 25 = 32



1. Diketahui P adalah himpunan bilangancacah kurang dari 6 dan Q adalahhimpunan bilangan real . Relasi dari Pke Q ditentukan oleh f : x o 3x 5.a. Apakah relasi itu merupakan suatu

pemetaan? Jelaskan.b. Sebutkan daerah asalnya.c. Sebutkan daerah kawannya.d. Sebutkan daerah hasilnya.e. Tentukan f(0), f(2), dan f(4).f. Tentukan nilai x yang memenuhi

f(x) = 25.2. Gambarlah diagram panah yang mungkin

dari himpunan A ke himpunan B darisetiap pemetaan berikut.

a. A = {p, q}, B = {1, 2, 3}b. A = {p, q, r}, B = {1, 2}

3. Jika A = {x|2 < x < 2, x B} danB = {x | x bilangan prima < 8}, tentukana. banyaknya pemetaan dari A ke B;b. banyaknya pemetaan dari B ke A.

4. Suatu fungsi dari A ke B didefinisikansebagai f(x) = 2x + 7. Jika A = {x | 1< x d 5} dan B adalah himpunanbilangan bulat makaa. tentukan f(x) untuk setiap x A;b. gambarlah fungsi f(x) dalam diagram

panah, diagram Cartesius, danhimpunan pasangan berurutan.

C. MENENTUKAN RUMUS FUNGSI JIKANILAINYA DIKETAHUI

Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari caramenentukan nilai fungsi jika rumus fungsinya diketahui. Sekarang,kalian akan mempelajari kebalikan dari kasus tersebut, yaitu jikanilai fungsinya diketahui.

Pada pembahasan ini bentuk fungsi yang kalian pelajarihanyalah fungsi linear saja, yaitu f(x) = ax + b. Untuk bentukfungsi kuadrat dan pangkat tinggi akan kalian pelajari pada tingkatyang lebih tinggi.

Misalkan fungsi f dinyatakan dengan f : x 6 ax + b, dengana dan b konstanta dan x variabel maka rumus fungsinya adalahf(x) = ax + b. Jika nilai variabel x = m maka nilai f(m) = am + b.Dengan demikian, kita dapat menentukan bentuk fungsi f jikadiketahui nilai-nilai fungsinya. Selanjutnya, nilai konstanta a dan bditentukan berdasarkan nilai-nilai fungsi yang diketahui.

Agar kalian mudah memahaminya pelajarilah contoh berikut.

Diketahui suatu fungsif(x) = ax + b, denganf(1) = 3 dan f(2) = 9.Tentukan bentukfungsi f(x).

45Fungsi

Diketahui f fungsi lineardengan f(0) = 5 danf(2) = 9. Tentukanbentuk fungsi f(x).

1. Diketahui suatu fungsi linearf(x) = 2x + m. Tentukan bentuk fungsitersebut jika f(3) = 4.

2. Jika f(x) = ax + b, f(1) = 2, dan f(2) = 1maka tentukana. bentuk fungsi f(x);b. bentuk paling sederhana dari

f(x 1);c. bentuk paling sederhana dari

f(x) + f(x 1).3. Diketahui f(x) = ax + b. Tentukan bentuk

fungsi-fungsi berikut jikaa. f(1) = 3 dan f(2) = 5;b. f(0) = 6 dan f(3) = 5;c. f(2) = 3 dan f(4) = 4.

Penyelesaian:

Karena f fungsi linear, maka f(x) = ax + b.Dengan demikian diperoleh

f(0) = 5f(0) = a (0) + b = 5

0 + b = 5 b = 5

Untuk menentukan nilai a, perhatikan langkah berikut.f(2) = 9f(2) = a (2) + b = 9 2a 5 = 9

2a = 9 + 5 2a = 4

a = 42

a = 2Jadi, fungsi yang dimaksud adalah f(x) = ax + b = 2x 5.


4. Diketahui f(x) = (x + a) + 3 dan f(2) = 7.Tentukana. bentuk fungsi f(x);b. nilai f(1);c. nilai f(2) + f(1);d. bentuk fungsi f(2x 5).

5. Diketahui dua buah fungsi, yaitu

f(x) = 2 2a x dan g(x) = 2 (a 3)x.

Jika f(x) = g(x), tentukana. nilai a;b. bentuk fungsi f(x) dan g(x);c. bentuk fungsi f(x) + g(x);d. nilai f(1), f(2), g(1), dan g(4)


Diketahui suatu fungsidinyatakan d enganf : x o x2 1, untuk xbilangan bulat.a. Tentukan rumus

fungsi f(2x + 2) dannilai-nilainya unt ukx = 2, 1, 0, 1, 2.

b. Tentukan rumusfungsi f(x + a) untuksuatu a bilanganbulat dan tentukannilai perubahanfungsi f(x + a) f(x).

c. Jika x adalah varia-bel pada himpun-an bilangan real,tentukan nilai per-ubahan f ungsif(x) f(x a), untuksuatu a bilanganreal.

D. MENGHITUNG NILAI PERUBAHAN FUNGSIJIKA NILAI V ARIABEL BERUBAH

Kalian telah mempelajari bahwa suatu fungsi f(x) mempunyaivariabel x dan untuk nilai variabel x tertentu, kita dapat menghitungnilai fungsinya. Jika nilai variabel suatu fungsi berubah maka akanmenyebabkan perubahan pada nilai fungsinya.

Misalkan fungsi f ditentukan oleh f : x 6 5x + 3 dengandomain {x/1 d x d 3, x bilangan bulat}. Nilai fungsi darivariabel x adalah

f(1) = 5(1) + 3 = 2;f(0) = 5(0) + 3 = 3;f(1) = 5(1) + 3 = 8;f(2) = 5(2) + 3 = 13;f(3) = 5(3) + 3 = 18;

Jika variabel x diubah menjadi x + 3 maka kita harusmenentukan nilai dari fungsi f(x + 3). Untuk menentukan nilaif(x + 3), terlebih dahulu kalian harus menentukan variabel baru,yaitu (x + 3) sehingga diperoleh nilai-nilai variabel baru sebagaiberikut.

1 + 3 = 20 + 3 = 31 + 3 = 42 + 3 = 53 + 3 = 6

Setelah kalian menentukan nilai-nilai variabel baru, yaitu(x + 3) = 2, 3, 4, 5, 6, tentukan nilai-nilai f(x + 3) berdasarkanpemetaan f : (x + 3) o 5(x + 3) + 3.

Dengan demikian, diperolehf(2) = 5 (2) + 3 = 13;f(3) = 5 (3) + 3 = 18;f(4) = 5 (4) + 3 = 23;f(5) = 5 (5) + 3 = 28;f(6) = 5 (6) + 3 = 33;

Nilai perubahan fungsi dari f(x) menjadi f(x + 3) yaitu selisihantara f(x) dan f(x + 3), dituliskan f(x + 3) f(x).

47Fungsi

Untuk menentukan nilai perubahan fungsi f(x) dapatdinyatakan seperti tabel berikut.

Berdasarkan tabel di atas tampak bahwa untuk semua nilaix domain, nilai perubahan fungsi f(x + 3) f(x) = 15.

Cara lain untuk menentukan nilai perubahan fungsi sebagaiberikut.Tentukan terlebih dahulu fungsi f(x + 3).Diketahui f(x) = 5x + 3 maka

f (x + 3) = 5(x + 3) + 3= 5x + 15 + 3= 5x + 18

Nilai perubahan fungsi dari f(x) menjadi f(x + 3) adalah selisihantara f(x) dan f(x + 3) sebagai berikut.f(x + 3) f(x) = (5x + 18) (5x + 3)

= 5x + 18 5x 3= 15

x 1 0 1 2 3f(x) = 5x + 3 2 3 8 13 18

x + 3 2 3 4 5 6 f(x + 3) = 5(x + 3) + 3 13 18 23 28 33

f(x + 3) f(x) 15 15 15 15 15


1. Fungsi f didefinisikan sebagaif(x) = 2x 6.a. Tentukan rumus fungsi yang paling

sederhana dari f(x + 1), f(2x 1),dan f(x2).

b. Tentukan rumus fungsi untukf(x a) untuk suatu bilangan asli adan tentukan perubahan fungsif(x + a) f(x).

2. Jika fungsi f dirumuskan denganf(x) = 4x + 3, untuk x bilangan real makatentukan rumus fungsi yang paling seder-hana dari f(x 3) dan f(x) f(x 3).

3. Diketahui fungsi f(x) = 2x untuk suatu xbilangan real.a. Apakah fungsi f(x) = f(x)?b. Bagaimana dengan fungsi f(x) = x2?

Apakah f(x) = f (x)?4. Jika f(x) = x + 1 untuk x bilangan ganjil,

apakah fungsi f((x + 2)) = f(x 2)?5. Jika f(x) = 4x 5 untuk x bilangan real

maka tentukan nilai x yang memenuhipersamaan f(x) = f(2x + 1).


E. GRAFIK FUNGSI/PEMETAAN

Suatu pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan Bdapat dibuat grafik pemetaannya. Grafik suatu pemetaan (fungsi)adalah bentuk diagram Cartesius dari suatu pemetaan (fungsi).

Gambarlah grafik fungsif : x 6 x + 3 dengandomaina. {x | 0 d x d 8, x

bilangan bulat};b. {x | 0 d x d 8, x

bilangan real}.

Penyelesaian:

Untuk memudahkan menggambar grafik fungsif : x 6 x + 3, kita buat terlebih dahulu tabel yangmemenuhi fungsi tersebut, sehingga diperoleh koordinattitik-titik yang memenuhi.

a.

Berdasarkan Gambar 2.19, tampak bahwa grafik fungsif : x 6 x + 3, dengan {x | 0 d x d 8, x bilanganbulat}, berupa titik-titik (noktah) saja.

x

y = x + 3

(x, y)

0

3

(0, 3)

1

4

(1, 4)

2

5

(2, 5)

3

6

(3, 6)

4

7

(4, 7)

5

8

(5, 8)

6

9

(6, 9)

7

10

(7, 10)

8

11

(8, 11)

21 3 5 7

21

3

5

7

9

11

4

6

8

10

12

4 6 8X

Y

Gambar 2.19

49Fungsi

b.

Pada Gambar 2.20 tampak grafik fungsi f : x 6 x + 3,dengan {x | 0 d x d 8, x bilangan real}. Titik-titik yangada dihubungkan hingga membentuk kurva/garis lurus.Mengapa?

Gambar 2.20

Fungsi f pada himpunan bilangan real (R) yang ditentukanoleh rumus f(x) = ax + b dengan a, b R dan a z 0 disebutfungsi linear. Grafik fungsi linear berupa suatu garis lurus denganpersamaan y = ax + b. Grafik fungsi linear akan kalian pelajaripada bab selanjutnya.


21 3 5 7

21

3

5

7

9

11

4

6

8

10

12

4 6 8X

Y

1. Di antara grafik berikut manakah yangmerupakan grafik fungsi dari f(x) jikasumbu X adalah daerah asal?

a.

0 X

Y

b.

0 X

Y


c.

0 X

Y

d.

0 X

Y

e.

0X

Y

2. Fungsi f(x) didefinisikan sebagaif(x) = x2 + x dengan domainA = {x | 2 d x d 2, x R} kehimpunan bilangan real R.

a. Gambarlah grafiknya pada bidangCartesius.

b. Berbentuk apakah grafik tersebut?3. Diketahui fungsi f(x) didefinisikan

sebagai f(x) = 2x2 1.a. Gambar grafiknya pada bidang

Cartesius jika x adalah variabel padahimpunan bilangan cacah.Berbentuk apakah grafik tersebut?

b. Gambar grafiknya pada bidangCartesius jika x adalah variabel padahimpunan bilangan real.Berbentuk apakah grafik tersebut?

4. Fungsi f(x) dirumuskan dengan f(x) =

12x dengan domain {x | 1 d x d 12;

x C} ke himpunan bilangan cacah.a. Buatlah tabel pasangan nilai x dan y

yang memenuhi fungsi tersebut.b. Gambarlah grafiknya pada bidang

Cartesius.5. Diketahui fungsi f : x o 3x 5 dengan

domain P = {x | 0 d x d 5, x C} kehimpunan bilangan real.a. Gambarlah grafiknya pada bidang

Cartesius.b. Berbentuk apakah grafik fungsi

tersebut?

F. KORESPONDENSI SATU-SATU

Agar kalian memahami pengertian korespondensi satu-satu,perhatikan Gambar 2.21.

Perhatikan deretan rumah di suatu kompleks rumah (peru-mahan). Setiap rumah memiliki nomor rumah tertentu yang berbedadengan nomor rumah yang lain.

Mungkinkah satu rumah memiliki dua nomor rumah? Ataumungkinkah dua rumah memiliki nomor rumah yang sama? Tentusaja jawabannya tidak. Keadaan sebuah rumah memiliki satunomor rumah atau satu nomor rumah dimiliki oleh sebuah rumahdikatakan sebagai korespondensi satu-satu .

Sumber: Dok. P enerbit

Gambar 2.21

51Fungsi

Contoh lain yang menggambarkan korespondensi satu-satusebagai berikut. Enam orang siswa bermain bola voli dengan nomorpunggung 301 306. TernyataBonar bernomor punggung 301;Asti bernomor punggung 302;Reni bernomor punggung 303;Asep bernomor punggung 304;Buyung bernomor punggung 305;Beta bernomor punggung 306.

Selanjutnya, jika kita misalkan A = {Bonar, Asti, Reni, Asep,Buyung, Beta} dan B = {301, 302, 303, 304, 305, 306} makabernomor punggung adalah relasi dari A ke B.

Relasi bernomor punggung dari himpunan A ke himpunanB pada kasus di atas dapat digambarkan dalam bentuk diagrampanah berikut.

Bonar 301

Asti 302

Reni 303

Asep 304

Buyung

Beta305

306

A Bbernomor punggung

Gambar 2.22

Perhatikan bahwa setiap anggota A mempunyai tepat satukawan di B. Dengan demikian, relasi bernomor punggung darihimpunan A ke himpunan B merupakan suatu pemetaan. Selan-jutnya, amati bahwa setiap anggota B yang merupakan peta (ba-yangan) dari anggota A dikawankan dengan tepat satu anggota A.

Pemetaan dua arah seperti contoh di atas disebut korespon-densi s atu-satu atau perkawanan s atu-satu.Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Korespondensi satu-satu adalah fungsi yang memetakananggota dari himpunan A dan B, dimana semua anggota Adan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggotaA berpasangan dengan tepat satu anggota B dan setiapanggota B berpasangan dengan tepat satu anggota A. Jadi,banyak anggota himpunan A dan B harus sama atau n(A) =n(B).

(Menumbuhkankreativitas)Tulislah k ejadian s e-hari-hari di lingkungansekitarmu yangmerupakan contohkorespondensi satu-satu.Ceritakan hasil temu-anmu secara singkatdi depa n kelas.


Jika kalian mengerjakannya dengan tepat maka kalian akanmenyimpulkan seperti berikut ini.

Jika n(A) = n(B) = n maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan B adalahn! = n u (n 1) u (n 2) u ... u 3 u 2 u 1.n! dibaca : n faktorial.

(Berpikir kritis)Buatlah kelompok terdiri atas 4 orang, 2 pria dan 2 wanita.Untuk menentukan banyaknya korespondensi satu-satu yangmungkin antara h impunan A dan B, buatlah d iagram-diagram panahyang mungkin jika banyak anggota A dan B seperti pada tabel berikut.Salin dan lengkapi tabel berikut. Kemudian, buatlah kesimpulannya.

2 2 2 = 2 u 13 3 6 = 3 u 2 u 14 4 24 = 4 u ... u ... u ...5 5 ........ .... ....

n n ....

Banyak AnggotaHimpunan A =

n(A)

Banyak AnggotaHimpunan B =

n(B)

Banyak KorespondensiSatu-Satu yang Mungkin

antara Himpunan A dan B


1. Di antara diagram panah di bawah ini,manakah yang menunjukkan korespon-densi satu-satu?

A Ba

b

c

xxx

xxx

d

e

f

(i)

A Ba

b

c

xxx

xxxx

defg

(ii)A B

a

c

x

x

x

x

d

f

(iii)

A Babcd

xxxx

xxxx

defg

(iv)

A B

b x xe

(v)2. Jika P = {2, 1, 0, 1, 2}, apakah fungsi

f : P o P yang didefinisikan di bawahini merupakan korespondensi satu-satu?a. f : x 6 xb. f : x 6 x2

53Fungsi

c. f(x) = 2 ,untuk 2, 1,01 ,untuk 1,2

x x

xx

d. f(x) = 2x2 1

3. Diketahui R = {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3} danS = {bilangan cacah}.Suatu pemetaan g : R o S didefinisikansebagai berikut. g : x 6 x2 + 1, untuk x = 3, 2, 1

dan g : x 6 3x + 2, untuk x = 0, 1, 2, 3a. Tentukan daerah hasil pemetaan itu.b. Gambarlah diagram Cartesius peme-

taan itu.c. Nyatakan pemetaan tersebut dalam

himpunan pasangan berurutan.d. Apakah pemetaan tersebut termasuk

korespondensi satu-satu? Mengapa?

4. Di antara dua himpunan berikut ini mana-kah yang dapat dibuat korespondensi satu-satu?a. A = {nama hari dalam seminggu}

B = {bilangan prima antara 1 dan 11}b. P = {a, e, i, o, u}

Q = {lima kota besar di Pulau Jawa}c. A = {nama bulan dalam setahun}

B = {nama hari dalam seminggu}d. C = {bilangan genap kurang dari 10}

D = {bilangan prima kurang dari 10}

5. Berapa banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibuat dari himpunanberikut?a. A = {faktor dari 6} dan

B = {faktor dari 15}b. K = {huruf vokal} dan

L = {bilangan cacah antara 0 dan6}

1. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yangmemasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

2. Suatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengandiagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasanganberurutan.

3. Fungsi (pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalahrelasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengantepat satu anggota B.

(Berpikir Kritis)Coba cek j awaban soal no. 5 pada Uji Kompet ensi 8 denganmenggunakan kalkulator. Tekanlah notasi x! di kalkulator.Apakah hasilnya sama?


4. Jika x anggota A (domain) dan y anggota B (kodomain) makafungsi f yang memetakan x ke y dinotasikan dengan f : x 6 y,dibaca fungsi f memetakan x ke y atau x dipetakan ke y olehfungsi f.

5. Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = a danbanyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b makaa. banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah

ba;b. banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah

ab.6. Jika nilai variabel suatu fungsi berubah maka akan

menyebabkan perubahan pada nilai fungsinya.7. Dua himpunan A dan B dikatakan berkorespondensi satu-satu

jika semua anggota A dan B dapat dipasangkan sedemikiansehingga setiap anggota A berpasangan dengan tepat satuanggota B dan setiap anggota B berpasangan dengan tepatsatu anggota A.

8. Jika n(A) = n(B) = n maka banyak korespondensi satu-satuyang mungkin antara himpunan A dan B adalahn! = n u (n 1) u (n 2) u ... u 3 u 2 u 1.

Setelah mempelajari bab ini, apakah kalian sudah pahammengenai Fungsi? Jika kalian sudah paham, coba rangkum kembalimateri ini dengan kata-katamu sendiri. Bagian mana dari materiini yang belum kamu pahami? Catat dan tanyakan kepada temanmuyang lebih tahu atau kepada gurumu. Kemukakan hal ini secarasingkat di depan kelas.

Kerjakan di buku tugasmu.

A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.

1. A Bxxx

xxx

(i)

123

xy

z

A Bxxx

xxx

(ii)

123

xy

z

A B

xxx

xxx

(iii)

123

xy

z

A Bxxx

xxx

(iv)

123

xy

z

55Fungsi

A Bxxx

xxx

(v)

123

xy

z

Dari diagram panah di atas yangbukan merupakan pemetaan adalah....a. (i) dan (iii)b. (ii) dan (iii)c. (ii) dan (iv)d. (iv) dan (v)

2. Himpunan pasangan berurutan yangmenunjukkan fungsi f : x o 2x + 5dari domain {1, 3, 5, 7} adalah ....a. {(1, 7), (3, 11), (5, 15), (7, 19)}b. {(1, 5), (3, 5), (5, 5), (7, 5)}c. {(1, 2), (3, 7), (5, 9), (7, 11)}d. {(7, 1), (11, 3), (15, 5), (19, 7)}

3. Pada pemetaan {(1, 6), (2, 5), (3, 7),(4, 0), (5, 1)} domainnya adalah ....a. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}b. {1, 2, 3, 4, 5}c. {1, 2, 3}d. {0}

4. Jika f(x) = x2 + 4 maka 29 adalah ba-yangan dari ....a. 2 c. 5b. 3 d. 6

5. Banyaknya pemetaan yang mungkindari himpunan A = {a, i} ke himpunanA sendiri adalah ....a. 2 c. 4b. 3 d. 8

6. A Bx

y

z

xxx

xxxx

pqrs

Di antara pernyataan berikut, yang ti-dak benar adalah ....

a. domain = {x, y, z}b. kodomain = {p, q, r, s}c. r B tidak mempunyai pasangan

di Ad. diagram tersebut menunjukkan ko-

respondensi satu-satu

7. Berikut ini yang merupakan korespon-densi satu-satu adalah ....a. {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}b. {(1, a), (2, c), (3, d)}c. {(1, b), (2, c), (3, b)}d. {(a, b), (c, d), (b, d)}

8. Grafik fungsi ditunjukkan oleh gambar....a.

0X

Y

b.

0 X

Y

c.

0 X

Y

d.

0 X

Y


9. Pada fungsi linear f(x) = ax + bdengan f(1) = 0 dan f(0) = 2, rumusfungsi f(x) = ....a. x 4b. 2x 2c. x + 3d. 2x + 5

10. Jika f(x) = ax + b maka nilaiperubahan fungsi f(x) f(x + 1) = ....a. 0b. 1c. ad. a

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.

1. Diketahui P adalah himpunan bilangangenap kurang dari 100 dan A adalahhimpunan bilangan asli. Relasi dari Pke A ditentukan oleh f : x 6 x2.a. Nyatakan relasi itu dengan himpun-

an pasangan berurutan.b. Apakah relasi itu merupakan suatu

pemetaan? Jelaskan.c. Sebutkan daerah asalnya.d. Sebutkan daerah kawannya.e. Sebutkan daerah hasilnya.f. Tentukan nilai x yang memenuhi

f(x) = 64.

2. a. Buatlah relasi antara himpunan hariSenin sampai dengan hari Sabtu kehimpunan jadwal mata pelajaran dikelasmu. Apakah relasi itu merupa-kan pemetaan? Mengapa?

b. Buatlah relasi dari himpunan jadwalmata pelajaran di kelasmu kehimpunan hari Senin sampai denganSabtu. Apakah relasi itu merupakanpemetaan? Mengapa?

3. DiketahuiK = himpunan warna lampu lalu lintas.L = himpunan titik sudut segitiga ABC.a. Gambarlah diagram panah yang

menunjukkan korespondensi satu-satu dari himpunan K ke L.

b. Berapa banyaknya korespondensisatu-satu yang mungkin terjadi?

4. Diketahui fungsi f dinyatakan denganf : x 6 3x 5, untuk x bilangan real.a. Tentukan rumus fungsi yang paling

sederhana dari f(x + 2), f(2x 1),dan f(x + 5).

b. Tentukan nilai a sehingga f(a + 2)= f(2a 1).

5. Diketahui f fungsi linear denganf(x) = ax + 1 dan f(6) = 4. Tentukana. bentuk fungsinya;b. nilai f(2);c. nilai f(2) + f(2);d. bentuk fungsi f(2x 1).

Relasi dan Fungsi

Documents

Transcript of Relasi dan Fungsi