1. relasi dan fungsi

MODUL AJAR MATEMATIKA

Kode Modul : MA31RF

Pokok Bahasan : Relasi dan Fungsi

Penyusun : Nur Muchamad

Website : matematika.mdl2.com

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON

2014

http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “RELASI DAN FUNGSI” 1

RELASI DAN FUNGSI

A. Konsep Relasi Dan Fungsi

a. Relasi

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota satu himpunan ke himpunan

lain. Suatu relasi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵adalah pemasangan atau

perkawanan atau korespondensi dari anggota himpunan 𝐴 ke anggota-anggota

himpunan 𝐵.

Contoh Relasi:

1. Relasi “ayah dari”

2. Relasi “satu kurangnya dari”

3. Relasi “kuadrat dari”


b. Fungsi

Suatu relasi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵 disebut fungsi dari 𝐴 ke 𝐵 jika setiap

anggota 𝐴 dipasangkan dengan tepat satu anggota 𝐵.

Jika 𝑓 adalah suatu fungsi dari 𝐴 ke 𝐵, maka:

1. Himpunan 𝐴 disebut Domain (daerah asal),

2. Himpunan 𝐵 disebut Kodomain (daerah kawan), dan

3. Himpunan anggota 𝐵 yang memiliki pasangan di 𝐴 (himpunan 𝐶) disebut Range

atau daerah hasil fungsi 𝑓.

Aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan 𝐴 dengan anggota-anggota

himpunan 𝐵 disebut aturan fungsi 𝑓.

Misalkan diketahui fungsi-fungsi:

𝑓:𝐴 → 𝐵 dibaca “fungsi 𝑓 memetakan setiap anggita himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵”,

dan dinotasikan dengan 𝑓(𝑥).

𝑔:𝐶 → 𝐷 dibaca “fungsi 𝑔 memetakan setiap anggita himpunan 𝐶 ke himpunan 𝐷”,

dan dinotasikan dengan 𝑔(𝑥).

Contoh Soal:

Diketahui himpunan 𝐴 = {1, 2, 3, 4} dan himpunan 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu

fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵 ditentukan oleh 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1.

1. Gambarlah fungsi 𝑓 dengan diagram panah,

2. Tentukan range fungsi 𝑓,

3. Gambarlah grafik fungsi 𝑓.

Penyelesaian:

1. Diagram Panah


2. Dari diagram panah di atas, terlihat bahwa:

𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1

𝑓 1 = 2 1 − 1 = 2 − 1 = 1

𝑓 2 = 2 2 − 1 = 4 − 1 = 3

𝑓 3 = 2 3 − 1 = 6 − 1 = 5

𝑓 4 = 2 4 − 1 = 8 − 1 = 7

Jadi, range fungsi 𝑓 adalah 𝑅𝑓 = {1, 3, 5, 7}

3. Grafik Fungsi 𝑓

c. Menyajikan Relasi dan Fungsi

Jika diketahui himpunan 𝐴 = {0, 1, 2, 5} dan 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu

kurangnya dari” himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵 dapat disajikan dalam diagram panah,

diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.

1. Diagram Panah


2. Diagram Cartesius

3. Himpunan Pasangan Berurutan

𝑅 = { 0,1 , 1,2 , 2,3 , 5,6 }

4. Rumus

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1, di mana 𝑥 ∈ {0, 1, 2, 5} dan 𝑓 𝑥 ∈ {1, 2, 3, 4, 6}

B. Macam-macam Fungsi

a. Fungsi Konstan (Fungsi Tetap)

Suatu fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵yang ditentukan dengan rumus 𝑓(𝑥) disebut sebagai fungsi

konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku 𝑓 𝑥 = 𝐶, di

mana 𝐶 adalah bilangan konstan.

Contoh Soal:

Diketahui 𝑓:𝑅 → 𝑅 dengan rumus 𝑓 𝑥 = 3 dengan domain 𝐷𝑓 = {𝑥| − 3 ≤ 𝑥 ≤ 2}.

Gambarlah grafik fungsi 𝑓(𝑥).

Penyelesaian:

𝑥 −3 −2 −1 0 1 2

𝑓(𝑥) 3 3 3 3 3 3

Grafik:


b. Fungsi Linear

Suatu fungsi 𝑓(𝑥) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh rumus

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, dengan 𝑎 ≠ 0, 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan konstan, dan grafiknya

berupa garis lurus.

Contoh Soal:

Jika diketahui 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3, gambarlah grafiknya!

Penyelesaian:

𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3

𝑥 0 −3/2

𝑓(𝑥) 3 0

Grafik:

c. Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi 𝑓(𝑥) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh rumus

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan 𝑎 ≠ 0, 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah bilangan konstan, dan

grafiknya berupa parabola.

Contoh Soal:

Perhatikan gambar di bawah ini.


Fungsi 𝑓 ditentukan oleh 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3.

Tentukanlah:

a. Domain fungsi 𝑓

b. Nilai minimum fungsi 𝑓

c. Nilai maksimum fungsi 𝑓

d. Range fungsi 𝑓

e. Pembuat nol fungsi 𝑓

f. Koordinat titik balik minimum

Penyelesaian:

a. Domain fungsi 𝑓 adalah 𝐷𝑓 = 𝑥 −4 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑥 ∈ 𝑅

b. Nilai minimum fungsi 𝑓 adalah −4

c. Nilai maksimum fungsi 𝑓 adalah 5

d. Range fungsi 𝑓 adalah 𝑅𝑓 = 𝑦 −4 ≤ 𝑦 ≤ 5,𝑦 ∈ 𝑅

e. Pembuat nol fungsi 𝑓 adalah 𝑥 = −3 dan 𝑥 = 1

f. Koordinat titik balik minimum grafik fungsi 𝑓 adalah (−1,−4)

d. Fungsi Identitas

Suatu fungsi 𝑓(𝑥) disebut sebagai fungsi identitas apabila untuk setiap anggota

domain fungsi berlaku 𝑓 𝑥 = 𝑥 atau setiap anggota domain dipetakan pada dirinya

sendiri. Grafik fungsi identitas berbentuk garis lurus yang melalui titik asal dan

semua titik absis maupun ordinatnya sama.

Contoh Soal:

Fungsi pada 𝑅 didefinisikan sebagai 𝑓 𝑥 = 𝑥 untuk setiap 𝑥.

a. Carilah 𝑓(−2), 𝑓(0), 𝑓(1), dan 𝑓(3)

b. Gambar grafiknya


Penyelesaian:

a. 𝑓 −2 = −2

𝑓 0 = 0

𝑓 1 = 1

𝑓 3 = 3

b. Grafik 𝑓 𝑥 = 𝑥

e. Fungsi Tangga (Bertingkat)

Suatu fungsi 𝑓(𝑥) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi 𝑓(𝑥) berbentuk

interval-interval yang sejajar.

Contoh Soal:

Diketahui fungsi: 𝑓 𝑥 =

−1023

jikajikajikajika

𝑥 ≤ −1−1 < 𝑥 ≤ 22 < 𝑥 ≤ 4𝑥 ≥ 4

Tentukanlah:

a. Nilai dari 𝑓(−2), 𝑓(0), 𝑓(3), dan 𝑓(5)

b. Gambar grafik fungsi 𝑓(𝑥)

Penyelesaian:

a. Nilai 𝑓(𝑥) berbeda tergantung pada interval 𝑥-nya

𝑓 𝑥 =

−1023

jikajikajikajika

𝑥 ≤ −1−1 < 𝑥 ≤ 22 < 𝑥 ≤ 4𝑥 ≥ 4

𝑓 −2 = −1

𝑓 0 = 0

𝑓 3 = 2

𝑓 5 = 3


b. Grafik fungsi 𝑓 𝑥

f. Fungsi Modulus

Suatu fungsi 𝑓(𝑥) disebut sebagai fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini

memetakan setiap bilangan Real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

𝑓:𝑥 → 𝑥 atau 𝑓: 𝑎𝑥 + 𝑏 → 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑓 𝑥 = |𝑥|:

𝑥 = 𝑥−𝑥

jikajika

𝑥 ≥ 0𝑥 < 0

Grafik fungsi modulus (mutlak):

g. Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap

Suatu fungsi 𝑓(𝑥) disebut fungsi ganjil apabila berlaku 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) dan disebut

fungsi genap apabila berlaku 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥). Tetapi apabila 𝑓 −𝑥 ≠ −𝑓(𝑥)dan

𝑓 −𝑥 ≠ 𝑓 𝑥 maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.

Contoh Soal:

Tentukan fungsi 𝑓 di bawah ini apakah termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau

fungsi tidak genap dan tidak ganjil.

1. 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 + 𝑥

2. 𝑓 𝑥 = 3 cos 𝑥 − 5

3. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 8𝑥


Penyelesaian:

1. 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 + 𝑥

𝑓 −𝑥 = 2 −𝑥 3 + −𝑥

𝑓 −𝑥 = 2 −𝑥3 − 𝑥

𝑓 −𝑥 = −2𝑥3 − 𝑥

𝑓 −𝑥 = − 2𝑥3 + 𝑥

𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥

Jadi, fungsi 𝑓(𝑥) merupakan fungsi ganjil.

2. 𝑓 𝑥 = 3 cos 𝑥 − 5

𝑓 −𝑥 = 3 cos −𝑥 − 5

𝑓 −𝑥 = 3 cos𝑥 − 5

𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥

Jadi, fungsi 𝑓(𝑥) merupakan fungsi genap.

3. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 8𝑥

𝑓 −𝑥 = −𝑥 2 − 8 −𝑥

𝑓 −𝑥 = 𝑥2 + 𝑥

Karena 𝑓 −𝑥 ≠ −𝑓(𝑥) dan 𝑓 −𝑥 ≠ 𝑓 𝑥 , maka fungsi 𝑓(𝑥) merupakan

fungsi tidak genap dan tidak ganjil.

C. Sifat-Sifat Fungsi

a. Fungsi Injektif (Satu-satu)

Perhatikan contoh berikut ini.

Misalkan himpunan 𝐴 = {1, 2, 3} dan 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}.

1. Fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵 dinyatakan dengan pasangan terurut 𝑓 = { 1,𝑎 . 2,𝑏 , 3, 𝑐 }.

Diagram panah dari fungsi 𝑓 diperlihatkan pada gambar di bawah.

Tampak bahwa 𝑓 1 = 𝑎, 𝑓 2 = 𝑏, dan 𝑓 3 = 𝑐. Dengan demikian, untuk tiap

anggota 𝐴 yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di 𝐵. Suatu fungsi dengan

tidap anggota himpunan 𝐴 yang berbeda mempunyai peta yang berbeda seperti

itu disebut sebagai fungsi injektif atau fungsi satu-satu.

2. Fungsi 𝑔:𝐴 → 𝐵 dinyatakan dengan pasangan terurut 𝑔 = { 1,𝑎 , 2,𝑏 , 3,𝑏 }.

Diagram panah dari fungsi 𝑔 diperlihatkan pada gambar di bawah.

Tampak bahwa 𝑔 1 = 𝑎, 𝑔 2 = 𝑏, dan 𝑔 3 = 𝑏. Perhatikan bahwa 2 ≠ 3,

tetapi 𝑔 2 = 𝑔 3 = 𝑏. Oleh karena ada anggota yang berbeda di 𝐴 tetapi

mempunyai peta yang sama di 𝐵 maka fungsi 𝑔 bukan fungsi injektif atau bukan

fungsi satu-satu.


Dari uraian di atas, kita dapat mendefinisikan fungsi injektif atau fungsi satu-satu

sebagai berikut.

Definisi:

Fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵 disebut fungsi inhektif atau fungsi satu-satu jika dan hanya jika

untuk setiap 𝑎1 ,𝑎2 ∈ 𝐴 dan 𝑎1 ≠ 𝑎2 berlaku 𝑓(𝑎1) ≠ 𝑓(𝑎2).

Artinya suatu fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵 dikatakan injektif apabila untuk setiap anggota 𝐴 yang

berbeda memiliki peta yang berbeda di 𝐵, atau setiap anggota 𝐴 dipetakan pada tepat

satu anggota 𝐵.

b. Fungsi Surjektif


Misalkan himpunan 𝐴 = {1, 2, 3, 4} dan 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}.

1. Diketahui fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵 dinyatakan dengan pasangan terurut

𝑓 = { 1,𝑎 , 2,𝑏 , 3, 𝑐 , 4, 𝑐 }. Diagram panah dari fungsi 𝑓 diperlihatkan pada

gambar di bawah.

Tampak bahwa daerah hasil fungsi 𝑓 adalah 𝑅𝑓 = {𝑎,𝑏, 𝑐}. Dengan demikian

𝑅𝑓 = 𝐵. Suatu fungsi dengan daerah hasil sama dengan himpunan 𝐵 seperti itu

disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada.

2. Diketahui fungsi 𝑔:𝐴 → 𝐵 dinyatakan dengan pasangan terurut 𝑔 =

{ 1,𝑎 , 2,𝑎 , 3,𝑏 , 4,𝑏 }. Diagram panah dari fungsi 𝑔 diperlihatkan pada

gambar di bawah.

Tampak bahwa daerah hasil fungsi 𝑔 adalah 𝑅𝑔 = {𝑎,𝑏}. Dengan demikian

𝑅𝑔 ⊂ 𝐵. Suatu fungsi dengan daerah hasilnya merupakan himpunan bagian murni

dari himpunan 𝐵 seperti itu disebut fungsi into atau fungsi ke dalam.

Dari uraian di atas, kita dapat mendefinisikan fungsi onto (fungsi kepada) dan fungsi

into (ke dalam) sebagai berikut.

Definisi:

1. Suatu fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵 disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi

kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi 𝑓 sama dengan himpunan 𝐵 atau

𝑅𝑓 = 𝐵.


2. Suatu fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵 disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya

jika daerah hasil fungsi 𝑓 merupakan himpunan bagian murni dari himpunan 𝐵

atau 𝑅𝑓 ⊂ 𝐵.

c. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)


1. Misalkan fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵 dengan 𝐴 = {0, 1, 2} dan 𝐵 = {𝑎,𝑏, 𝑐} dinyatakan

dengan pasangan terurut 𝑓 = { 0,𝑎 , 1,𝑏 , 2, 𝑐 }. Diagram panah fungsi 𝑓

diperlihatkan pada gambar di bawah.

Tampak bahaw fungsi 𝑓 adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif. Fungsi

yang bersifat seperti itu disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.

2. Misalkan fungsi 𝑔:𝐴 → 𝐵 dengan 𝐴 = {3, 4, 5} dan 𝐵 = {𝑝,𝑞, 𝑟, 𝑠} dinyatakan

dengan pasangan terurut 𝑔 = { 3,𝑝 , 4,𝑞 , 5, 𝑟 }. Diagram panah fungsi 𝑔

diperlihatkan pada gambar.

Tampak bahwa fungsi 𝑔 adalah fungsi injektif tetapi bukan fungsi surjektif.

Dalam hal demikian, fungsi 𝑔 bukan fungsi bijektif.

Berdasarkan uraian di atas, kita dapat mendefinisikan fungsi bijektif sebagai berikut.

Definisi:

Fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵 disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi 𝑓 sekaligus

merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif.

D. Aljabar Fungsi

a. Penjumlahan

Penjumlahan 𝑓 dan 𝑔 berlaku 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)

Contoh Soal:

Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 4. Tentukan (𝑓 + 𝑔)(𝑥).

Penyelesaian:

𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)

𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 + (𝑥2 − 4)

𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 + 𝑥2 − 4

𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 − 2


b. Pengurangan

Pengurangan𝑓 dan 𝑔 berlaku 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)

Contoh Soal:

Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 dan 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 1. Tentukan (𝑓 − 𝑔)(𝑥).

Penyelesaian:

𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)

𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + (2𝑥 + 1)

𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 − 2𝑥 − 1

𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 − 1

c. Perkalian

Perkalian𝑓 dan 𝑔 berlaku 𝑓.𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 .𝑔(𝑥)

Contoh Soal:

Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 5 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥. Tentukan (𝑓.𝑔)(𝑥).

Penyelesaian:

𝑓.𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 .𝑔(𝑥)

𝑓.𝑔 𝑥 = 𝑥 − 5 + (𝑥2 + 𝑥)

𝑓.𝑔 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥2 − 5𝑥

𝑓.𝑔 𝑥 = 𝑥3 − 4𝑥2 − 5𝑥

d. Pembagian

Pembagian𝑓 dan 𝑔 berlaku 𝑓

𝑔 𝑥 =

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥 dengan 𝑔(𝑥) ≠ 0

Contoh Soal:

Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2. Tentukan 𝑓

𝑔 (𝑥).

Penyelesaian:

𝑓

𝑔 𝑥 =

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥

𝑓

𝑔 𝑥 =

𝑥2 − 4

𝑥 + 2

𝑓

𝑔 𝑥 =

𝑥 − 2 (𝑥 + 2)

𝑥 + 2

𝑓

𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2

e. Perpangkatan

Perpangkatan𝑓 berlaku 𝑓𝑛(𝑥) = {𝑓 𝑥 }𝑛 = 𝑓 𝑥 × 𝑓 𝑥 × …× 𝑓 𝑥

Contoh Soal:

Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3. Tentukan 𝑓2(𝑥).

Penyelesaian:

𝑓2(𝑥) = {𝑓 𝑥 }2

𝑓2 𝑥 = (𝑥 − 3)2

𝑓2(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥 − 3)

𝑓2 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 − 3𝑥 + 9

𝑓2 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9


f. Domain Alami Suatu Fungsi

Kalau daerah asal (domain) suatu fungsi 𝑓 tidak atau belum ditentukan, maka kita

dapat mengambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan Real yang mungkin

sehingga daerah hasilnya merupakan himpunan bilangan Real. Daerah asal yang

ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami atau domain alami atau

natural domain.

Contoh Soal 1:

Tentukan daerah asal alami (natural domain) dari tiap fungsi berikut ini.

1. 𝑓 𝑥 =4

𝑥+1

2. 𝑔 𝑥 =1

𝑥2−4𝑥+3

3. 𝑝 𝑥 = 4 − 𝑥2

4. 𝑞 𝑥 =5

𝑥2−5𝑥+6

Penyelesaian:

1. 𝑓 𝑥 =4

𝑥+1

Supaya 𝑓(𝑥) bernilai real, maka 𝑥 + 1 ≠ 0 atau 𝑥 ≠ −1.

Jadi, 𝐷𝑓 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑅 dan 𝑥 ≠ −1}.

2. 𝑔 𝑥 =1

𝑥2−4𝑥+3

Supaya 𝑔 𝑥 bernilai real, maka 𝑥2 − 4𝑥 + 3 ≠ 0

𝑥2 − 4𝑥 + 3 ≠ 0

𝑥 − 1 𝑥 − 3 ≠ 0

𝑥 ≠ 1 dan 𝑥 ≠ 3

Jadi, 𝐷𝑔 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑅 dan 𝑥 ≠ 1;𝑥 ≠ 3}.

3. 𝑝 𝑥 = 4 − 𝑥2

Supaya 𝑝 𝑥 bernilai real, maka 4 − 𝑥2 ≥ 0

4 − 𝑥2 ≥ 0

𝑥2 − 4 ≤ 0

𝑥 − 2 𝑥 + 2 ≤ 0 → −2 ≤ 𝑥 ≤ 2

Jadi, 𝐷𝑝 = {𝑥| − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2; 𝑥 ∈ 𝑅}.

4. 𝑞 𝑥 =5

𝑥2−5𝑥+6

Supaya 𝑞(𝑥) bernilai real, maka𝑥2 − 5𝑥 + 6 > 0

𝑥2 − 5𝑥 + 6 > 0

𝑥 − 2 𝑥 − 3 > 0 → 𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3

Jadi, 𝐷𝑞 = {𝑥|𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3; 𝑥 ∈ 𝑅}.


Contoh Soal 2:

Misalkan fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔 ditentukan dengan rumus

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 dan 𝑔 𝑥 = 16 − 𝑥2

Carilah fungsi-fungsi berikut ini, kemudian tentukanlah domain alaminya.

1. 𝑓 + 𝑔 (𝑥)

2. 𝑓 − 𝑔 (𝑥)

3. 𝑓.𝑔 (𝑥)

4. 𝑓

𝑔 𝑥

5. 𝑓3(𝑥)

Penyelesaian:

Fungsi 𝑓 akan bernilai real jika 𝑥 + 1 ≥ 0 atau 𝑥 ≥ −1.

Domain alami fungsi 𝑓 adalah 𝐷𝑓 = {𝑥|𝑥 ≥ −1; 𝑥 ∈ 𝑅}.

Fungsi 𝑔 akan bernilai real jika 16 − 𝑥2 ≥ 0.

16 − 𝑥2 ≥ 0

𝑥2 − 16 ≤ 0

𝑥 − 4 𝑥 + 4 ≤ 0 → −4 ≤ 𝑥 ≤ 4

Domain alami fungsi 𝑔 adalah 𝐷𝑔 = {𝑥| − 4 ≤ 𝑥 ≤ 4; 𝑥 ∈ 𝑅}.

1. 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 + 16 − 𝑥2

Domain alami fungsi 𝑓 + 𝑔 (𝑥) adalah 𝐷𝑓+𝑔 = {𝑥| − 1 ≤ 𝑥 ≤ 4; 𝑥 ∈ 𝑅}

2. 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 − 16 − 𝑥2

Domain alami fungsi 𝑓 − 𝑔 (𝑥) adalah 𝐷𝑓−𝑔 = {𝑥| − 1 ≤ 𝑥 ≤ 4; 𝑥 ∈ 𝑅}

3. 𝑓.𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1. 16 − 𝑥2 = 𝑥 + 1 (16− 𝑥2)

Domain alami fungsi 𝑓.𝑔 (𝑥) adalah 𝐷𝑓 .𝑔 = {𝑥| − 1 ≤ 𝑥 ≤ 4; 𝑥 ∈ 𝑅}

4. 𝑓

𝑔 𝑥 =

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥 =

𝑥+1

16−𝑥2=

𝑥+1

16−𝑥2

Domain alami fungsi 𝑓

𝑔 𝑥 adalah 𝐷𝑓

𝑔

= {𝑥| − 1 ≤ 𝑥 < 4; 𝑥 ∈ 𝑅}

5. 𝑓3 𝑥 = 𝑓 𝑥 3 = 𝑥 + 1 3

= 𝑥 + 1 𝑥 + 1

Domain alami fungsi 𝑓3(𝑥) adalah 𝐷𝑓3 = {𝑥|𝑥 ≥ −1; 𝑥 ∈ 𝑅}.


DAFTAR PUSTAKA

Lestari, Sri dan Diah Ayu K. 2009. Matematika 2 untuk SMA/MA Program Studi IPS Kelas

XI. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 2: Konsep dan Aplikasinya untuk

Kelas XI SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat

Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI

Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Wirodikromo, Sartono. 2003. Matematika 2000 untuk SMU Jilid 3 Kelas 2 Semester 1.

Jakarta: Erlangga.

1. relasi dan fungsi

Education

Transcript of 1. relasi dan fungsi