RELACIONES BINARIAS Nombre: Giménez Christian

C.I: 22323604

PRODUCTO CARTESIANO

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A × B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B.

A × B = { (x,y) / x A ^ y B }

PRODUCTO CARTESIANO Ejemplo: Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 } AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }

Note que A tiene 3 elementos

B tiene 2 elementos A x B tiene 6 elementos.

PRODUCTO CARTESIANO Ejemplo: A = { corazón, trébol, coco, espada }

B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

A x B = { (corazón, 1), (corazón,2),…,(corazón,12), (trébol,1), (trébol,2), …,(trébol,12), …,(espada,12) }

Note que A tiene 4 elementos B tiene 12 elementos A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)

PRODUCTO CARTESIANO

REPRESENTACIÓN EN FORMA DE TABLA Ejemplo: A = { , } B = { , , }

PRODUCTO CARTESIANO

REPRESENTACIÓN EN FORMA DE DIAGRAMA DE VENN Ejemplo: A = { , } B = { , , }

PRODUCTO CARTESIANO

Ejemplo: A = { , } B = { , , }

RELACIÓN ENTRE ELEMENTOS DE CONJUNTOS Hay casos en que no todos los pares

ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada.

RELACIÓN ENTRE ELEMENTOS DE CONJUNTOS Se llama relación entre los conjuntos

A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B.

Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B.

RELACIONES Dado el siguiente diagrama que relaciona los

elementos de A con los de B

b está relacionado

con 1

3 es el correspondiente

de d

CONJUNTOS DE SALIDA Y DE LLEGADA DE UN RELACIÓN A es el conjunto de salida y B es el conjunto

de llegada

DOMINIO DE UNA RELACIÓN

Dom(R) = x / xA (x,y) R

Dom(R) = {b, c, d}

IMAGEN DE UNA RELACIÓN

Im(R) = y / yB (x,y) R

Im(R) = {1, 3, 4}

NOTACIÓN

Si R es una relación entre A y B , la expresión x R y significa que (x,y) R , o sea, que x está relacionado con y por la relación R.

Ej: b R 1 porque (b,1) R

RELACIÓN DEFINIDA EN UN CONJUNTO

Cuando los conjuntos de partida y de llegada de una relación R son el mismo conjunto A, decimos que R es una relación definida en A, o, simplemente, una relación en A.

Una relación R en A es entonces un subconjunto de A2 = A x A

RELACIÓN DEFINIDA EN UN CONJUNTO

Ejemplo:

Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación “es madre de” R es una relación en H. Por qué? Como Ana es la madre de Luis, decimos que el

par (Ana,Luis) R. Note que los pares que verifiquen R son un

subconjunto de H x H.

REPRESENTACIÓN DE UNA RELACIÓN Sea A = { a , b , c , d} y R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }

Para poder construir el grafo dirigido A debe contener un número finito de elementos

Los vértices del grafo son los

elementos A y las aristas dirigidas representan los elementos de R

REPRESENTACIÓN DE UNA RELACIÓN Sea A = { a , b , c , d} y R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }

R puede representarse como matriz donde 1 indica que hay relación y 0 que no hay relación

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO Si establecemos una relación entre los

elementos de un mismo conjunto, existen cinco propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación

Propiedad reflexiva

Propiedad simétrica

Propiedad asimétrica

Propiedad antisimétrica

Propiedad transitiva

PROPIEDAD REFLEXIVA

La propiedad reflexiva dice que todos los elementos de un conjunto están relacionados con si mismo

R es reflexiva si para todo x A, el par (x,x) R

PROPIEDAD SIMÉTRICA La propiedad simétrica dice que si un

elemento está relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero

R es simétrica si siempre que un par (x,y) R, el par (y,x) también pertenece a R

PROPIEDAD SIMÉTRICA

Ejemplo Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes

relaciones en A2 son simétricas

R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)}

S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}

PROPIEDAD ASIMÉTRICA Una relación es asimétrica si ningún par ordenado

de la relación cumple la propiedad simétrica.

PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA

Una relación es antisimétrica cuando sólo cumplen la propiedad simétrica los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos.

PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA

Ejemplo Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes

relaciones en A2 son antisimétricas

R = {(2, 2), (4, 4)}

S = {(2, 4)}

T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}

PROPIEDAD TRANSITIVA La propiedad transitiva dice que si un

elemento está relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero.

R es transitiva si x , y ,z , (x,y) R (y,z) R (x,z) R

PROPIEDAD TRANSITIVA

Ejemplo Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes

relaciones en A2 son transitivas

R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}

S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}