4-relaciones binarias
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1
Estructuras
Discretas I
Relaciones
Binarias
Universidad Nacional San Agustín
Dra. Norka Bedregal
1
ES
TR
UC
TU
RA
S D
ISC
RE
TAS
I
Dra. Norka Bedregal2
Para el caso especial en que R sea una relación de A en B con, A = B, se dice que, R es una relación en A o una relación binaria sobre A.
Relación Binaria.
Sea A un conjunto. Una relación en A es un subconjunto de A x S .
Es decir:
Ejemplo:
Sea A = {2, a , 3}, los siguientes conjuntos son relaciones en A
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
2
Dra. Norka Bedregal3
Ejemplo:
Sea H = { x / x es un ser humano}
R la relación “es madre de”
¿R es una relación en H. Por qué?
Si Ana es la madre de Luis, decimos que el par (Ana,Luis) ∈∈∈∈ R.
Note que los pares que verifiquen R son un subconjunto de H x H.
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
Dra. Norka Bedregal4
Ejemplo
Sea A = {1; 2; 3; 4}
R = {(1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (4; 2)}
La relación se puede representar por medio de un diagrama
llamado grafo dirigido
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
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Dra. Norka Bedregal5
Para poder construir el grafo dirigido A debe contener un número finito de elementos
Los vértices del grafo
son los elementos A y
las aristas dirigidas
representan los
elementos de R
Ejemplo
Sea A = { a , b , c , d}
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
Dra. Norka Bedregal6
Ejemplo
Sean A = { a , b , c , d} y
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
R puede representarse como matriz donde 1 indica que hay relación
y 0 que no hay relaciónRE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
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Dra. Norka Bedregal7
Si se establece una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen cinco propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación
� Propiedad reflexiva
� Propiedad simétrica
� Propiedad asimétrica
� Propiedad antisimétrica
� Propiedad transitiva
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
Dra. Norka Bedregal8
Es decir una relación es reflexiva si y solamente si todo elemento está relacionado consigo mismo.
Sea R una relación en el conjunto A. R se llama reflexiva si
En consecuencia R no es reflexiva si
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
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Dra. Norka Bedregal9
Ejemplo:
Considere las siguientes relaciones en:
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
Dra. Norka Bedregal10
Es decir una relación es simétrica si y solamente si a está relacionado
con b implica que b está relacionado con a.
Sea R una relación en el conjunto A. R se llama simétrica si para
cada la siguiente implicación es verdadera:
En consecuencia R no es simétrica si existen
tales que:
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
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Dra. Norka Bedregal11
Ejemplo:
Considere las siguientes relaciones en .
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
Dra. Norka Bedregal12
Sea R una relación en el conjunto A. R se llama antisimétrica si para
cada la siguiente implicación es verdadera:
En consecuencia R no es antisimétrica si existen
tales que:
Es decir, una relación es antisimétrica si y
solamente si no hay elementos a y b
distintos tales que, a esté relacionado con b
y b esté relacionado con a.RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
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Dra. Norka Bedregal13
Una relación es antisimétrica cuando sólo cumplen la propiedad simétrica
los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por
distintos elementos.
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
Dra. Norka Bedregal14
Ejemplo:
Considere las siguientes relaciones en .
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
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Dra. Norka Bedregal15
Sea R una relación en el conjunto A. R se llama transitiva si para
cada la siguiente implicación es verdadera:
En consecuencia: R no es transitiva si existen tales que:
Es decir, una relación es transitiva si y solamente si a está relacionado
con b y b está relacionado con c, entonces a está relacionado con c.RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
Dra. Norka Bedregal16
Ejemplo:
Considere las siguientes relaciones en .
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
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Dra. Norka Bedregal17
Dado A = {1, 2, 3} decir a que tipo pertenecen las siguientes
relaciones
� R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}.
� R2 = {(1, 1)}.
� R3 = {(1, 2)}.
� R4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
Dra. Norka Bedregal18
Sea A = {2, 3, 4, 5, 6}
R = {(x, y) / x∈∈∈∈A, y∈∈∈∈A, | x – y | es divisible por 3}
� Escribir por extensión a R.
� Determine qué propiedades cumple esta relación
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
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Dra. Norka Bedregal19
Como casos especiales de las relaciones en un conjunto se define:
� Relaciones de orden: Permite ordenar los elementos a través
de la relación.
� Relación de equivalencia: Permite marcar características
similares entre los elementos de un conjunto
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
Dra. Norka Bedregal20
Si a es un conjunto finito de n elementos, la matriz de la relación identidad IA es la matriz identidad de orden n
Relación identidad:
Dado un conjunto A, se denota por IA a la relación binaria definida por:
babIa A =⇔
Observaciones
� ( ){ }AxxxIR A ∈== /,0
RRR nn o=+1
� Si R esta definida sobre un conjunto finito, entonces es fácil comprobar que:
( ) ( )( )nn RMRM =
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
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Dra. Norka Bedregal21
Relación de Conectividad
Dada una relación R sobre el conjunto finito A, la relación de conectividad se define como:
bRaZnbRa n/+∞ ∈∃⇔
Teorema.
Si R es una relación binaria, entonces.
U∞
=
∞ =1n
nRR
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
Dra. Norka Bedregal22
Relación de Accesibilidad
Dada una relación R sobre el conjunto finito A, la relación de accesibilidad se define como:
bRaINnbRa n/* ∈∃⇔es decir:
∞= RIR A U*
Teorema.
Si R es una relación binaria, entonces.
U∞
=
=1
*
n
nRR
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
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Dra. Norka Bedregal23
Corolario:
Sean R y S relaciones en A, entonces:
Teorema:Sea R una relación definida sobre el conjunto A, entonces R es reflexiva si contiene a la relación identidad
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
Dra. Norka Bedregal24
Teorema:
Sea R una relación definida sobre el conjunto A, entonces:
Corolario:
Sean R y S relaciones en A, entonces:
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
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Dra. Norka Bedregal25
Teorema:
Sea R una relación definida sobre el conjunto A, entonces:
Corolario:
Sean R y S relaciones en A, entonces:
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
Dra. Norka Bedregal26
Teorema:
Sea R una relación definida sobre el conjunto A, entonces R es transitiva si y
sólo si:
RR ⊆2
Corolario:
Sean R y S relaciones transitivas en A, entonces también es transitiva la
relación:
Corolario:
Sean R y S relaciones antisimétricas en A, entonces también es antisimétrica
la relación:
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
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Dra. Norka Bedregal27
TareaSe deja como ejercicio expresar los teoremas y corolarios anteriores en función de la matriz de la relación sobre un conjunto finito.
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
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Dra. Norka Bedregal28
Ejercicio 1.-Determine si los siguientes conjuntos son ejemplos de relaciones en los enteros
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS
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Dra. Norka Bedregal29
Ejercicio 2.-Considere las relaciones del ejercicio (1), indique cuáles si son reflexivas, simétricas, transitivas o antisimétricas
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
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Dra. Norka Bedregal30
RE
LAC
ION
ES
BIN
AR
IAS