REDUKCIJA SISTEMA NA PROIZVOLJNO IZABRANU TA ČKU

PROIZVOLJAN RAVANSKI SISTEM SILA I SPREGOVA

iFAi MFrr

=)(M

∑= ig FFrr

∑∑ += jigA F MMM )(r

∑= iAgA MM

Redukuje se na redukcionu tačkusvaka sila koja pripada sistemu

Kada se proizvoljna i-tasila, Sl.3, redukuje na tačkuA, dobije se njenoekvivalentno dejstvo, Sl.4, koje čine ista takva sila u tački A i spreg ( )iF

rM

koji može biti izražen prekomomenta sile za redu-iF

r

kcionu tačku A:

REZULTANTA PROIZVOLJNOG RAVANSKOG SISTEMA SILA I SPREGOVA

Da bi se proizvoljan ravanskisistem sila i spregova mogao svesti na rezultantu mora glavni vektor da bude različit od nula vektora 0

rr≠gF

gRg FFF ==′

g

gAR F

hM

=

Napadna linija rezultante, koja je na rastojanju hR od redukcione tačke, nosi naziv “centralna osa ravanskog sistema sila i spregova”.

Određivanje rezultante proizvoljnog ravanskog sistema sila i spregova

Vektor rezultante je istog pravca, smera i intenziteta kao i glavni vektor gR FFrr

=jYiXF ggg

rrr+= jYiXF RRR

rrr+= jYiXF iii

rrr+=

∑== igR FFFrrr

∑==⇒ igR XXX ∑== igR YYY

U cilju dobijanja jednačine centralne ose proizvoljnog ravanskog sistema sila i spregova dobro je prvo izvršiti redukciju sistema na tačku koordinatnog početka O i tako dobiti glavni vektor

gFr

i glavni moment MgO.

Dobijanje jednačine centralne ose

y=kx+n

g

gOR F

hOBM

==

g

gO

g

gO

R

XF

hOKn

MM=

α=

=α

==−

cos

cos

g

gO

g

g

Xx

X

Yy

M−⋅=

α= tank

Jednačina centralne ose zaXg ≠ 0

Ako je glavni moment za redukcionu tačku jednak nuli a onda rezultanta,0rr

≠gF

ima napadnu liniju koja prolazi kroz redukcionu tačku.Ako je glavni moment za redukcionu tačku različit od nule a 0

rr=gF onda sistem

nema rezultantu već se svodi na spreg koji je jednak dobijenom glavnom momentu.

Primer 6.1

U zavisnosti od poznatihveličinaF i a odrediti rezultantui njeno mesto za sistem sila i spregova koji dejstvuje na lakukvadratnu ploču (Sl.1).

Podaci su: ,2,5 321 FFFFF ===.2,1,22 2154 FaFaFFF ==== MM

,345cos45cos 05

0421 FFFFFXXX igR =+−−=== ∑

,645sin45sin 05

043 FFFFYYY igR =++=== ∑

jFiFFR

rrr63 +=

( ) ( ) FFFFR 5363 22 =+=

,32 21532 FaaFaFaFM iOgO =−+⋅+⋅+⋅−==∑ MMM

axy −⋅= 2

2=⇒g

g

X

Y

aXg

gO =⇒M

RAVNOTEŽA PROIZVOLJNOG RAVANSKOG SISTEMA SILA I SPREGOVA

,0rr

=gF 0=gAM ,0,0 ∑∑ ==⇒ ii YX 0=∑ iAM

Dobijeni uslovi ravnoteže su međusobno nezavisni i da dovode do tri nezavisne algebarske jednačine.

Što se tiče ortogonalnogxykoordinatnog sistema (u cilju pisanja prva dvauslova ravnoteže) treba znati da on može biti usvojen bilo kako. Treba ga takoizabrati da dobijene jednačine budu što jednostavnije za njihovo formiranje i rešavanje.

U cilju dobijanja treće (momentne) jednačine treba znati da proizvoljnoizabrana momentna tačka može biti bilo koja tačka u ravni, koja možepripadati materijalnom delu tela ili biti ma gde van njega. Treba je izabratitako da dobijena momentna jednačine bude što jednostavnija za njenoformiranje i rešavanje. Veoma je čest slučaj da se na samom početku rešavanjaproblema pogodnim izborom momentne tačke dobija momentna jednačina u kojoj figuriše samo jedna nepoznata veličina. U takvom slučaju prvo trebarešiti tu nepoznatu pa tek zatim pisati preostale jednačine kako bi se na štolakši način odredile sve tri nepoznate.

Primer 6.2Homogeni štap AB težine P, dužine l, nalazi se u ravnoteži u horizontalnom položaju (Sl.1). Na štap dejstvuje spreg momenta M smera datog na slici. Štap je u tački A zglobno vezan a u tački B se podupire na laki štap BD koji sa horizontalom gradi ugao od 600. Odrediti reakcije veza u zavisnosti od poznatih veličina M, P i l.

⇒=+⋅+⋅−=∑ 060sin2

0MlS

lPM iA

lPS

M

3

32

3

3 −=

⇒=−=∑ 060cos 0SXX Ai

lPXA

M

3

3

6

3 −=

∑ ⇒=+−= 060sin 0SPYY Ai

lPYA

M+=2

1

Primer 6.3Homogeni štap AB težine P, dužine l, koji sa horizontalom gradi ugao β, naslanja se u tački A na gladak vertikalni zid a u tački B na gladak horizontalni pod (Sl.1). Za tačku Dštapa vezano je uže ED koje sa horizontalom gradi ugao α, kako je to na slici prikazano. Odrediti sve reakcije veza u zavisnosti od poznatih veličina α, β, P i l.

0cos2

=⋅−β⋅=∑ MKFl

PM AiK

⇒αβ−β=−= tancossin llKBMBMK( )

αα−β=

ααβ−αβ=

cos

sin

cos

sincoscossin lllMK

( )α−ββα=β=⇒

sin2coscos

2cos P

MK

PlFA

⇒=α−=∑ 0cosSFX Ai

( )α−ββ=

sin2cosP

S

∑ ⇒=α−−= 0sinSPFY Bi

( )α−ββα+=

sin2cossinP

PFB

Primer 6.4 Homogeni štapAB težineG, dužinel, koji sa horizontalom

gradi ugaoα, vezan je u tački Azglobno a za njegovu tačku B

vezano je užeBD koje sahorizontalom gradi ugaoβ (Sl.1).

Na štap dejstvuje i spreg momenta M smera datog na slici. Odreditisve reakcije veza u zavisnosti odpoznatih veličina α, β, G, M i l.

( ) 0sincos2

=−α−β⋅+α⋅−=∑ MlSl

GM iA ( ) ( )α−β+

α−βα=⇒

sinsin2cos

l

GS

M

⇒=β+−=∑ 0cosSXX Ai ( ) ( )α−ββ+

α−ββα=

sincos

sin2coscos

l

GX A

M

∑ ⇒=β+−= 0sinSGYY Ai ( ) ( )α−ββ−

α−ββα−=

sinsin

sin2sincos

l

GGYA

M

Primer 6.5

Poznatih veličinaG i l

Odrediti ugaoα i reakcije u užadima

0=⋅−⋅=∑ QGiD hQhGM

α=α= sin2

3sin lCDhG

( )

α+α=α+= sin21

cos23

60sin 0 llhQ

α+α=α⇒ sin21

cos23

43

sin23

GlGl

α=α cossin3 03033

tan =α⇒=α⇒

4030cos60cos

43

10

10 G

SSGX i =⇒=+−=∑

∑ =+−+= 030sin60sin4

32

01

0 SGSGYi 22

GS =⇒

Primer 6.6 Homogeni štapAB težineG, dužinel, koji sa vertikalom gradiugaoα, uklešten je u tački A a za

njegovu tačku B je vezano užekoje sa vertikalom gradi ugaoβ(Sl.1). Uže je prebačeno preko

idealnog koturaK a na njegovomdrugom kraju je okačen teret

težineQ. Odrediti sve reakcijeveza u zavisnosti od poznatih

veličina α, β, G, Q i l.

Mada to u ovom zadatku ne donosi neku prednost, prvo napišimo momentnu jednačinu za momentnu tačku A

( ) 0sinsin2

=+β+α⋅−α⋅=∑ AiA lQl

GM M ( ) α⋅−β+α⋅=⇒ sin2

sinl

GlQAM

Druga dva uslova ravnoteže odrediće preostale dve nepoznate:

∑ β=⇒=β−= sin0sin QXQXX AAi

∑ ⇒=β+−= 0cosQGYY Aiβ−= cosQGYA

ANALIZA IDEALNOG KOTURA Kotur konačnih dimenzija (Sl.1), težine Q, zglobno vezan sa okolinom u tački O, naziva

se idealnim iz razloga čto je kružnog oblika sa težištem u

centru kruga O i što je zglobno povezan sa okolinom baš u

centru O.

0=⋅−⋅=∑ RGRGM iOGG =⇒

VARINJONOVA TEOREMA ZA PROIZVOLJAN RAVANSKI SISTEM SILA I SPREGOVA

Suma momenata nekog ravanskog sistema sila i spregova za proizvoljno izabranu tačku jednaka momentu njegove rezultante za istu tačku.

∑= iKFK MM R

r

Primer 6.7Za dati sistem sila i spregovakoji dejstvuje na laku kvadratnuploču (Sl.1) u zavisnosti odpoznatih veličinaF i a, prvoodrediti rezultantu, a zatim i njenu napadnu linijuneposrednom primenomVarinjonove teoreme. Podaci su: F1=2F, F2=F3=F i M=Fa.

FFFXXX igR 232 =+=== ∑FFYYY igR 21 ==== ∑

,22 jFiFFR

rrr+=⇒ ( ) ( ) FFFFR 2222 22 =+=

0451arctanarctan ===αR

R

X

Y

M−⋅−=⋅−⇒ aFOHFR 2∑= iOFO MM R

r

aOH22=⇒

aOH

OA =α

=cos

RAVNOTEŽA RAVANSKOG SISTEMA KRUTIH TELA

Preostale reakcije S i FB predstavljaju reakcije unutrašnjih veza, pošto njima međusobno dejstvuju komponente celine između sebe.

Kod problema iz sistema krutih tela uvek senameće pitanje “Kojim redosledom najlakše odrediti sve nepoznate veličine u zavisnosti od poznatih?”

Od svih tih reakcija, one u zglobovima A i E (to su: XA, YA, XE i YE) predstavljaju reakcije spoljašnjih veza, pošto njimadejstvuje okolina na komponente sistema.

Primer 6.8

Odrediti sve reakcije veza i Poznate veličine:P, G, a, M=Ga/4

DK

GF

GFY

E

Ei

2

045sin 0

=⇒

=−=∑

GFFFX KEKi =⇒=−=∑ 045cos 0

40

2

aDKDKF

aGM KiE =⇒=−−=∑ M

02

22

2

24 =⋅−⋅−⋅=∑ AEFaPaSM EiA

aAE 2=GP

S2

2

2+=⇒

0=−+−=∑ SFXX KAi

22

2 PGGX A −−=⇒

Sl.4

Sl.3

Sl.2

GPYGPYY AAi +=⇒=−−=∑ 0

Primer 6.9 Poznate veličine: P, G, R i αOdrediti sve reakcije veza?

Sl.3 0sin =−α=∑ GFY Ei

α=⇒=α−=∑ cot0cos GFFFX DEDi

Sl.4

0sin2

=+⋅−α⋅−=∑ AEiA AEFl

PM M

2cot

α= RAE

2cot

sinsin

2α

α+α=⇒

GRPlAM

Sl.2α=⇒=+−=∑ cot0 GXFXX ADAi

GPYGPYY AAi +=⇒=−−=∑ 0

α=⇒

sinG

FE

Primer 6.10

Poznate veličine: P, G, F, a i bOdrediti ugloveα i β i reakcije veza?

Sl.4

0cos2sin =β⋅+β⋅−=∑ bFbGM iA

β⋅

cos1

.........b G

F2tan =β⇒

GYGYY AAi =⇒=−=∑ 0

FXFXX AAi =⇒=+−=∑ 0

Sl.3

+α⋅−α⋅−=∑ sin2sin aYaPM AiO

GP

F

aaX A 2

2tan

cos

10cos2

+=α⇒

α⋅=α⋅+

Sl.2FXFXX OOi =⇒=+−=∑ 0

GPYGPYY OOi +=⇒=−−=∑ 0

Primer 6.11Poznate veličine: P, G, F i aOdrediti reakcije veza u A i B ?

Sl.2 ⇒=∑ 0iAM

02323

2=⋅+⋅+⋅−⋅− aYaFaP

aG B

FPG

YB 2

3

4

3

4−+=⇒

Sl.3 ⇒=∑ 0iCM

( )12

63 FPGX A

++=⇒

032

=⋅+⋅−⋅ aXaYa

G AA

0=−−+=∑ PGYYY BAi

FP

GYA 2

3

44

3 ++=⇒

Sl.2 0=+−−=∑ FXXX BAi

( )12

63 FPGX B

++−=⇒

ANALIZA LAKOG ŠTAPA

U slučaju da su tela povezana lakim krivolinijskim štapom na čijim su krajevima zglobovi, istim postupkom se dokazuje da laki krivolinijski štap dejstvuje na tela koja povezujereakcijama istog pravca (i to pravca koji prolazi kroz krajnje tačke - zglobove), istog intenziteta a suprotnog smera.

00 =⇒=∑ BAi YM

00 =⇒=∑ Ai YY

ABi XXX =⇒=∑ 0

Sl.3

RAVANSKI SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVAJedna koordinatna osa (na primer y) je paralelna silama dok je osa x upravna na njih.

jYF ii

rr= jYF RR

rr=

∑= iR YY

Za analitičko nalaženje napadne linije rezultante pogodna je Varinjonova teorema

Nezavisnih uslova ravnoteže ravanskog sistema paralelnih sila i spregova ima dva i to:

,0,0 ∑∑ == iAi MY

s obzirom da je ona treća ∑ = 0iX identički zadovoljena.

Primer 6.12Poznate veličine:G, P i lOdrediti sile u užadima AD i BE?

024 2 =⋅+⋅−⋅−=∑ lSl

Gl

PM iA

422

PGS +=⇒

021 =++−−=∑ SSGPYi

PG

S43

21 +=⇒

∑ =⋅−⋅= 0GPiA hGhPM

( ),60cos 0 α−= lhG ( ) ⇒α−−α= 060cos2cos2 llhP

( )[ ] ( )α−=α−−α 00 60cos60cos2cos22 GlllG

( )α−=α⇒ 060cos5cos4

α+α=α⇒ sin2

3cos

2

15cos4

426195

3arctan

5

3tan 0 ′′′≈=α⇒=α⇒

Primer 6.13

Štap BD je dva puta duži i dva puta teži od štapa AB. Odrediti koliki ugao α u ravnotežnom položaju gradi štap BD sa horizontalom?

Uvedimo da je G težina a 2l dužina štapa AB. Shodno tome, težina dužeg štapa BD je P=2G a dužina mu je 4l.

Primer 6.14

U zavisnosti od poznatih veličinaFi a odrediti rezultantu i njeno mestoza zadat sistem paralelnih sila i spregova koji dejstvuje na lakuploču (Sl.1)?

Podaci su: ,121 FFF ==.1,2,2 2143 FaFaFFF ==== MM

FFFFFYY iR 44321 =++−==∑ FFR 4=⇒ jFFR

rr4=⇒

Za nalaženje mesta rezultante (rastojanja hR) koristimo Varinjonovu teoremuza tačku A.

Ona daje jednačinu:

21432 42 MM −+⋅+⋅+⋅−=⋅ aFaFaFhF RR ahR 3=⇒

∑= AiFA MM R

r

Rezultanta dveju paralelnih sila i i položaj njenenapadne linijeu slučaju: 1) da su sile istih smerova i 2) da su sile različitih smerova, neka jeF1>F2

1Fr

2Fr

1)

2)

21 FFFR +=

21 FA

FA

FA MMM R

rrr

+=

qFpF ⋅+⋅−=⇒ 210

1

2

F

F

q

p =⇒

Ovde je napadna linija rezultante bliža napadnoj liniji sile većeg intenziteta

21 FFFR −=Ovde se napadna linija rezultante nalazi se bliže sili većeg intenziteta ali ne između napadnih linija sila

qFpFMMM FB

FB

FB

R ⋅−⋅=⇒+= 21021

rrr

1

2

F

F

q

p =⇒

VARIJANTE NEZAVISNIH USLOVA RAVNOTEŽE ZA RAVANSKE PROBLEMEPROZVOLJAN SISTEM SILA I SPREGOVA

,0,0 ∑∑ == ii YX 0=∑ iAM

,0∑ =iX ,0=∑ iAM 0=∑ iBM

,0=∑ iAM ,0=∑ iAM 0=∑ iCMTreća varijanta

Druga varijanta

Prva varijanta

Primer 6.16 Poznate veličine:P, l i α. Odrediti sve reakcije veza?

α=⇒=⋅α+⋅−=∑ sin2

0sin2

PSlS

lPM iA

α=⇒=α−=∑ cot2

0cosP

XSXX AAi

20sin

PYSPYY AAi =⇒=α+−=∑

Treća varijanta

Druga varijanta

α=⇒=∑ sin2

0P

SM iA

20

2

PYlY

lPM AAiB =⇒=⋅−⋅=∑

α=⇒=∑ cot2

0P

XX Ai

,sin2

0α

=⇒=∑P

SM iA 20

PYM AiB =⇒=∑

∑ =⋅−⋅= 02

lPADXM AiD α=

α=⇒ cot

2tan2

PPX A

Korišćena Varinjonovateorema za

lSlS

MMM

y

SA

SA

SA

yx

⋅α=⋅+==+=sin0

rrr

SAMr

Prva varijanta

PARALELAN SISTEM SILA I SPREGOVA,0∑ =iY 0=∑ iAM

,0=∑ iAM 0=∑ iBMDruga varijanta

Prva varijanta

Primer 6.17

Rešiti primer 6.12 u varijanti korišćenja samo momentnih uslova ravnoteže

0=∑ iAM422

PGS +=⇒

024

31 =⋅+⋅+⋅−=∑

lGlPlSM iB P

GS

4

3

21 +=⇒

SUČELJAN SISTEM SILA

Prva varijanta

Druga varijanta

Treća varijanta

∑∑ == 0,0 ii YX

,0∑ =iX 0=∑ iAM

,0=∑ iAM 0=∑ iBM

Primer 6.18Poznate veličineČ α, β i G

Odrediti sile u užadima AC i BC

Rešimo zadatak analitički u varijantama u kojima se koriste i momentni uslovi ravnoteže.

Treća varijanta

( ) 0sinsin2 =α⋅−β+α⋅=∑ CKGCKSM iK ( )β+αα=⇒

sin

sin2

GS

( ) 0sinsin 1 =β+α⋅−β⋅=∑ CMSCMGM iM ( )β+αβ=⇒

sin

sin1

GS

Druga varijanta

0=∑ iKM 2S⇒

0sinsin 21 =β+α−=∑ SSX i 1S⇒

STATIČKA ODREĐENOST I NEODREĐENOST

Dva puta satatički neodređen proizvo-ljan ravanski sistem sila i spregova

Paralelan ravanski sistem sila koji je jednom satatički neodređen

Dva puta satatički neodređen sučeljan ravanski sistem sila

Problemi ravnoteže u kojima je broj nepoznatih veličina veći odbroja nezavisnih uslovaravnoteže su statički neodređeni.

Problem je onoliko puta statičkineodređen kolika je razlika izmeđubroja nepoznatih veličina i brojanezavisnih uslova ravnoteže.