Pregled predavanja · a d x dt a 1 d x dtn a dx dt a x f x ... Titranje atoma u kristalima ....
Transcript of Pregled predavanja · a d x dt a 1 d x dtn a dx dt a x f x ... Titranje atoma u kristalima ....
Pregled predavanja
Uvod
Linearne diferencijalne jednadžbe
Harmonijski oscilator
Harmonijski oscilator i kružno gibanje
Uvod
Harmonijsko gibanje je poseban oblik
periodičnog gibanja
Periodično gibanje čest je oblik gibanja u
prirodi pa je često predmet proučavanja
fizičara
Rješavanje jednadžbe gibanja harmonijskog
oscilatora olakšava rješavanje cijele klase
fizikalnih problema
Linearne diferencijalne jednadžbe
Javljaju se u različitim poljima fizike, i
u drugim znanostima
Opisuju velik broj fenomena, zato ih i
proučavamo tako detaljno
Najopćenitiji oblik:
Jednostavan sustav čije je gibanje opisano
linearnom diferencijalnom jednadžbom jest
masa na opruzi
)(... 01
11
1 xfxadtdxadtxdadtxda nn
n
nn
n
Harmonijski oscilator
Tijelo se slobodno giba
po podlozi bez trenja
Kada se tijelo pomakne iz
položaja ravnoteže na njeg
dijeluje sila opruge dana
Hookeovim zakonom:
Sila je uvijek usmjerena prema
položaju ravnoteže i suprotnog
je smjera od pomaka
kxF
Titranje tijela obješenog na oprugu
xF kx xma kx
xdvx
dt
Harmonijski oscilator
Znamo zakon sile
Želimo dobiti izraz pomoću kojeg
možemo računati položaj tijela
Pogledajmo još jednom ono što znamo:
Primjenit ćemo drugi Newtonov zakon:
Dobivamo:
dt
dvmkx x
xm
k
dt
dvx
Harmonijski oscilator
Koje je rješenje ove diferencijalne
jednadžbe?
Treba nam funkcija čija će druga derivacija
biti upravo
Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus
ponašaju se upravo na taj način, i možemo
na jednoj od njih izgraditi rješenje
,x mk
Harmonijski oscilator
Konstante gibanja
- amplituda
- početni fazni kut
- kutna frekvencija
Period
Frekvencija gibanja
Faza gibanja
)cos( t
2T
Tf 1
A
Harmonijski oscilator
Rješenje:
Harmonijski oscilator
Do rješenja diferencijalne jednadžbe došlo se
pogađanjem
Ideja je posve prirodna zbog veze između
kružnog gibanja i jednostavnog harmonijskog
gibanja
Harmonijski oscilator i kružno gibanje
Harmonijski oscilator i kružno gibanje
Harmonijski oscilator i kružno gibanje
Akceleracija tijela koje se giba po kružnici
(sila je okomita na brzinu)
R α
h
L
cpar v
r cos 1 cosh R R R
2 4 6
cos 12! 4! 6!
L
2
0 cos 12
2 2 2
0 1 12 2
v tt h R
R
v tL v t R
r
2 2
2
d h va
dt R
Torziono njihalo
Torziono njihalo
Torziono njihalo
Velike amplitude
Matematičko njihalo
Titranje atoma u kristalima
Titranje atoma u kristalima
Titranje atoma u kristalima
Slijedi valna jednadžba
Kristalnu rešetku smatramo kontinuiranim sredstvom
Titranje atoma u kristalima
Titranje atoma u kristalima
Ekvivalentne ako je njihova udaljenost jednaka
Titranje atoma u kristalima
Titranje atoma u kristalima
Titranje atoma u kristalima Linearna rešetka s dva atoma u elementarnoj ćeliji
Proizlazi kvadratna jednadžba
Titranje atoma u kristalima
Linearna rešetka s dva atoma u elementarnoj ćeliji
Titranje atoma u kristalima
Linearna rešetka s dva atoma u elementarnoj ćeliji
Akustička frekvencija
Ekvivalentno rezultatu ćelije s jednim atomom
Titranje atoma u kristalima
Linearna rešetka s dva atoma u elementarnoj ćeliji
Titranje atoma u kristalima
Linearna rešetka s dva atoma u elementarnoj ćeliji
Linearna rešetka s dva atoma u elementarnoj ćeliji
Titranje atoma u kristalima
Titranje atoma u kristalima
Linearna rešetka s dva atoma u elementarnoj ćeliji
Tjerani oscilator
Tjerani harmonički oscilator od harmoničkog oscilatora se razlikuje po tome što na njega djeluje vanjska sila.
.2
2
tFkxdt
xdm
Vanjska sila može imati različite funkcijske ovisnosti o vremenu. Prvo ćemo promatrati najjednostavniji primjer, pretpostavit ćemo da je sila oscilatorna:
tFtF cos0
Treba primijetit da ω nije isto što i ω0. sada ćemo probati riješiti jednadžbu (1) uvrštavajući u nju jednadžbu (2) i dobivamo jedinstveno rješenje:
tCx cos
gdje je C konstanta koju moramo odrediti, a zatim ćemo u jednadžbu (1) uvrstiti dobiveno rješenje i dobit ćemo jednadžbu oblika:
tFtCmtCm coscoscos 0
2
0
2
Sređivanjem te jednadžbe za konstantu C dobivamo:
22
0
0
m
FC
22
0
0
m
FC
Tjerani oscilator
Vrijedi za svaki t
Tjerani prigušeni oscilator
Tjerani prigušeni oscilator
Slučaj rezonancije
C = A
.cos02
2
tFkxdt
dxb
dt
xdm
22222
0
0
)/( mbm
FC
Tjerani prigušeni oscilator
.02
2
kxdt
dxb
dt
xdm
Gušeni harmonički oscilator
Kompleksni brojevi i harmonijsko gibanje
Kompleksni brojevi i harmonijsko gibanje
Kompleksni brojevi i harmonijsko gibanje
Prisilni i gušeni harmonički oscilator
Prisilni i gušeni harmonički oscilator
Prisilni i gušeni harmonički oscilator
Prisilni i gušeni harmonički oscilator
Električni titrajni krug
Električni titrajni krug
Električni titrajni krug
Električni titrajni krug
Električni titrajni krug
Električni titrajni krug
.02
2
kxdt
dxb
dt
xdm
Gušeni harmonički oscilator
Gušeni harmonički oscilator
.02
2
kxdt
dxb
dt
xdm .0
2
2
kxdt
dxb
dt
xdm
U rezonanciji
Gušeni harmonički oscilator
Faktor dobrote
Slabo gušeni oscilator
Proizlazi kvadratna jednadžba
Titranje atoma u kristalima
Linearna rešetka s dva atoma u elementarnoj ćeliji
Titranje atoma u kristalima
Linearna rešetka s dva atoma u elementarnoj ćeliji
Akustička frekvencija
Ekvivalentno rezultatu ćelije s jednim atomom
Titranje atoma u kristalima
Linearna rešetka s dva atoma u elementarnoj ćeliji
Titranje atoma u kristalima
Linearna rešetka s dva atoma u elementarnoj ćeliji
Linearna rešetka s dva atoma u elementarnoj ćeliji
Titranje atoma u kristalima
Titranje atoma u kristalima
Linearna rešetka s dva atoma u elementarnoj ćeliji
Ionski kristali u elektromagnetskom polju
Titranje atoma u kristalima
Čestice M1 imaju +q dok M2 –q naboj
Primjenjujemo dugovalnu aproksimaciju
Zbog velike valne duljine
Ionski kristali u elektromagnetskom polju
Titranje atoma u kristalima
Slijede amplitude ionskog titranja
Ionski kristali u elektromagnetskom polju
Titranje atoma u kristalima
Infracrveni dio spektra
Ionski kristali u elektromagnetskom polju
Titranje atoma u kristalima
Električni dipolni moment u svakoj elementarnoj ćeliji
Ionski kristali u elektromagnetskom polju
Titranje atoma u kristalima
Čestice M1 imaju +q dok M2 –q naboj
Vektor dielektričke polarizacije
Gdje je G koncentracija ćelija u kristalu
Električni pomak
Ionski kristali u elektromagnetskom polju
Titranje atoma u kristalima
Relativna permitivnost ionskog sustava
Ionski kristali u elektromagnetskom polju
Titranje atoma u kristalima
Ovisnost indeksa loma o frekvenciji
Atom izvan vanjskog električnog polja
Neka na atom djeluje linearno polarizirani elektromagnetski val
Ukupna sila na elektron
Titranje atoma u kristalima
Ovisnost indeksa loma o frekvenciji
Titranje atoma u kristalima
Ovisnost indeksa loma o frekvenciji
Titranje atoma u kristalima
Ovisnost indeksa loma o frekvenciji
Titranje atoma u kristalima
Ovisnost indeksa loma o frekvenciji
Titranje atoma u kristalima
Ovisnost indeksa loma o frekvenciji
Titranje atoma u kristalima