Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je...
Transcript of Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je...
![Page 1: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/2.jpg)
Uvod
• Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k)
• Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih pložaja doprinosi najviše unutrašnjoj energiji kristala
• Veličina koja odražava toplotna svojstva tvari je toplotni kapacitet tvari
• Toplotnom kapacitetu tvari doprinose titranja atoma rešetke, ali takođe i vodljivi elektroni (u metalima), magnetno uređenje atomskih dipola (u paramagnetskim kristalima)
• Svi doprinosi mogu se razmatrati odvojeno tako da ćemo se ograničiti na doprinos titranja atoma kristalne rešetke molarnom toplotnom
kapacitetu
![Page 3: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/3.jpg)
• Molarni toplotni kapacitet pri stalnoj zapremini je:
Eksperimentalni rezultati
Vv T
EC
∂∂=exp
E- unutrašnja energija jednog mola tvari
γα += 3exp Tcvα i γ su konstante
na niskim temperaturama na visokim temperaturama
![Page 4: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/4.jpg)
• Dilong i Petit su 1819. godine dali proračun specifičnog toplotnog kapaciteta u okviru klasične fizike i dobili da je pri visokim temperaturama Cv=const.
• Klasična teorija- toplotna titranja atoma oko ravnotežnog položaja- sistem međusobno vezanih LHO
• N atoma- 3N nezavisnih normalnih oscilacija
• U skladu sa molekularno kinetičkom teorijom o ekviparticiji energije u sistemu jednakih čestica u stanju toplotne ravnoteže na temperaturi T po svakom stepenu slobode otpada energija kT/2.
• Srednja energija LHO je kT( doprinos od po kT/2 od kinetičke i potencijalne energije HO)
Klasični proračun-Dilong-Petitov zakon
![Page 5: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/5.jpg)
Klasični proračun-Dilong-Petitov zakon
![Page 6: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/6.jpg)
Molarni toplotni kapacitet na 20 C J/molK
Klasični proračun-Dilong-Petitov zakon
Skoro konstatno
Prema Dilongu i Petitu molarni toplotni kapacitet ne zavisi od temperature
Dilong-Petitov zakon
![Page 7: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/7.jpg)
1907. godine Einstein daje kvantnu teoriju za objašnjenje ponašanja specifičnog toplotnog kapaciteta na niskim T
Titranje N atoma opisuje kao sistem od 3N linearnih kvantnih harmonijskih oscilatora
Einstein daje dvije pretpostavke:
1. Svaki atom u rešetki je nezavisan kvantni oscilator
2. Frekvencija titranja je ista za sve atome
Veliko pojednostavljenje- atomi nisu nezavisni niti su im iste frekvencije titranja
Energetski spektar kvantnog harmonijskog oscilatora je:
Kvantni proračun- Einsteinov model
ωωε ℏℏ
nn +=2
ω- frekvencija titranjan=0,1,2,...
![Page 8: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/8.jpg)
Ovakav sistem neinteragirajućih HO u toplotnoj ravnoteži na temperaturi T i zapremini V se može smatrati statističkim kanonskim asamblom
Vjerovatnoća da će oscilatori biti toplotno pobuđeni u n-to energetsko stanje u odnosu na osnovno stanje ε0 određena je kanonskom f-jom raspodjele:
Kvantni proračun- Einsteinov model
kTn
n
eZ
wε−
= 1 Z- statistička suma (particiona f-ja)
Dobija se iz uslova normiranja∑−
=n
kTn
eZε
Uvrštavanjem izraza za energiju εn dobijamo:
+
++==
−−−∞
=
−−
∑ ...1
2
2
0
2 kTkTkT
n
kTn
kT eeeeeZωωωωω ℏℏℏℏℏ
Izraz u uglatoj zagradi je geometrijski red sa x=e -ħω/kT čija je suma 1/1-x pa dobijamo:
![Page 9: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/9.jpg)
Kvantni proračun- Einsteinov model
kT
kT
e
eZ ω
ω
ℏ
ℏ
−
−
−=
1
2
Srednja energija kanonskog sistema određuje se prema relaciji:
( )T
ZkT
∂∂= ln2ε
kT
kTkTkT
e
eee
TkT ω
ωωω ωωε
ℏ
ℏ
ℏℏℏℏ
−
−−−
−
⋅+=
−−
∂∂=
12
1lnln 22
12
−+=
kTeωωωε
ℏ
ℏℏ
energija osnovnog stanjasrednja energija toplotno pobuđenih HO
![Page 10: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/10.jpg)
Energija kristala kao sistema 3N nezavisnih linearnih kvantnih oscilatora je:
Toplotni kapacitet kristala pri stalnoj zapremini je ( ) :
Ona je uvedena kao temperatura kristala na kojoj bi energija fonona ħω bila jednaka toplotnoj energiji kTE=ħω
U zavisnosti od prirode veze vrijednosti TE idu od (200-300) K
Razmotrićemo Cv u dva temperaturna područja T>>TE i T<<TE
Kvantni proračun- Einsteinov model
1
3
233
−+==
kTe
NNNE ω
ωωεℏ
ℏℏ
2
2
1
3
−
=T
T
T
T
EV
E
E
e
e
T
TNkC
VV T
EC
∂∂=
gdje smo uveli karakterističnu Einsteinovu temperaturu TE= ħω/k
![Page 11: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/11.jpg)
a) Visokotemperaturno područje T>>TE (kT>>ħω )
Možemo izvršiti razvoj u red eksponencijalne funkcije
odakle dobijamo
Za molarni toplotni kapacitet dobija se
Slučaj visokih temperatura odgovara klasičnom posmatranju titranja atoma-dobijen je Dulong- Petiteov zakon.
Kvantni proračun- Einsteinov model
T
Te ETTE +≈1/
constNkT
TNk
T
TT
T
T
TNkc E
E
E
Ev =≈
+=
+
= 3131
3 2
2
.33 constRkNc AV ===
![Page 12: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/12.jpg)
b) Niskotemperaturno područje T<<TE (kT<<ħω )
Možemo uzeti aproksimaciju
Kvantni proračun- Einsteinov model
TTTT EE ee // 1 ≈− i tada dobijamo
TTEv
EeT
TNkc /
2
3 −
=
Ovakva zavisnost specifične toplote od temperature nije u skladu sa eksperimentom.
![Page 13: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/13.jpg)
• Nedostaci
• Einstainova teorija-pokazala je zavisnost Cv od temperature, ali CV sa temperaturom opada puno brže nego što pokazuju eksperimenti
• Einsteinova teorija nije tačna na niskim temperaturama
• Ovo dolazi zbog toga što je Einstein pretpostavio da atomi titraju nezavisno i sa istom frekvencijom
• Einsteinova teorija opisuje Cv samo kvalitativno
Kvantni proračun- Einsteinov model
eksperiment
olovo
![Page 14: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/14.jpg)
• Debye je 1912. godine pretpostavio da se toplotna titranja ma kojeg atoma ne mogu posmatrati kao individualna i nezavisna od titranja drugih atoma rešetke
• Zbog te povezanosti toplotna pobuđenja atoma se prenose od atoma do atoma kristala, pobuđujući kolektivne vibracije koje se kroz kristal prenose poput mehaničkih valova (zvučnih)
• Čvrsto tijelo razmatramo kao sistem od 3N oscilatora od kojih svaki može da osciluje sa 3N različitih frekvencija (α=1,2,...3N)
• Primjenjujemo kanonsku kvantnu ravnotežnu statistiku pa je srednja energija oscilatora data sa:
Kvantni proračun- Debyev model
12 / −+=
kTe αωαα
αωωε
ℏ
ℏℏ
![Page 15: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/15.jpg)
Ukupna srednja energija kristala kao sistema 3N oscilatora je tada
gdje je energija osnovnog stanja kristala, gdje s=1,2,3
označava tri moguće polarizacije – jednu longitudinalnu i dvije transferzalne.
Broj atoma N je veliki što znači da u svakom frekventnom intervalu (ω, ω+dω) ima toliki broj vibracija da promjenu frekvencije možemo smatrati kontinuiranom.
Zato je potrebno uvesti funkciju gustoće stanja g(ω). Označimo sa dN(ω)=g(ω)dω broj normalnih oscilacija čije frekvencije leže unutar
intervala (ω,ω+dω)Tada u gornjoj relaciji sumiranje po α možemo zamijeniti integralom do neke
maksimalne granične frekvencije ωD – Debyeve frekvencije koju mogu imati oscilatori na temperaturi T.
Kvantni proračun- Debyev model
∑∑∑==
==
== −
+=
−−==
N
s
kTs
N
s
kTss
N
s
s ss eE
eE
3
3,2,11
/0
3
3,2,11
/
3
3,2,11 112 α
ωα
αω
αα
αα αα
ωωωεℏℏ
ℏℏℏ
∑==
=N
s
sE3
3,2,11
0 2α
αωℏ
![Page 16: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/16.jpg)
Tada je:
• Uslov normiranja funkcije gustoće je stoga
Za određivanje f-je g(ω) u čvrstom tijelu potrebno je poznavati zavisnost ω od k. Debye bira:
gdje vs označava brzinu zvuka, a s=1,2,3 označava polarizaciju.
Kvantni proračun- Debyev model
( )∑ ∫ −
+=s
kTsss
D
se
dgEE
ω
ωωωω
0/0 1ℏ
ℏ
( ) ( ) NdgdNDD
300
== ∫∫ ωωωωω
Jer je ukupan broj svih normalnih oscilacija u kristalu je 3N
( ) kvk ss =ω
![Page 17: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/17.jpg)
Ovo je veliko pojednostavljenje, jer u ovom slučaju je sredina osim što je neprekidna i izotropna (brzina elastičnih valova ne zavisi od pravca valnog vektora).
Kroz kristal mogu postojati dva transferzalna vala sa brzinom vt (s=1,2) i jedan longitudinalni sa brzinom vs (s=3).
Za svaku od ovih mogućnosti treba odrediti gustoću stanja, a ukupnu funkciju dobiti njihovim sabiranjem
Da bi odredili funkciju g(ωs) moramo poznavati broj valnih vektora po jediničnom intervalu u 1. Brillouinovoj zoni gdje su sadržana sva različita stanja koja zavise od k
Da se podsjetimo.....
Zapremina elementarne ćelije recipročnog prostora data je sa
Kvantni proračun- Debyev model
( ) ( )v
bbbvb
3
321
2π=×=���
gdje je v volumen elementarne ćelije direktne rešetke
![Page 18: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/18.jpg)
U zapremini kristala V ima N ćelija zapremine v tako da je V=Nv. Zato je
Kvantni proračun- Debyev model
( ) ( )V
Nv
vb
33 22 ππ ==
U 1. Brillouinovoj zoni ima N vektora k ( sjetimo se da smo dobili ranije da je broj valnih Vektora u 1. BZ jednak broju ćelija N) pa je zapremina po jednom vektoru k data sa:
( )VN
vb32π=
Pošto je N velik broj, zapremina po jednom k je tako mala da se diskretna raspodjela vektora k u redukovanom području može smatrati neprekidnom. Svako stanje u ovom području jednoznačno je karakterizirano vektorom k.
![Page 19: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/19.jpg)
Broj stanja koja se nalaze u području (k, k+dk) odnosno unutar elementa dk
recipročnog prostora označimo sa . Tada vrijedi proporcija:
Kvantni proračun- Debyev model
( ) kdk��
ρ
( ) 3: : bk dk N d k vρ =� �
Iz gornje proporcije dobijamo
( ) ( )3 3
32b
N Vk dk d k d k
vρ
π= =
� �
Broj stanja u elementu dk naprema broj stanja u elementarnoj ćelijiN jednak je volumenu elementa dk naprema volumen elementarne ćelije vb
( ) kdk��
ρ
![Page 20: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/20.jpg)
Dakle broj valnih vektora po jediničnom intervalu dk u 1. Brillouinovoj zoni je
Broj valova određene polarizacije u zapremini V jednak je (nakon integracije po sfernim koordinatama- k-prostor zamjenjujemo kuglom)
Iz gornje relacije vidimo da je broj valova valnog vektora k čiji je intenzitet iz intervala (k,k+dk) jednak
Kvantni proračun- Debyev model
( ) ( ) ( )2 2
3 3 24
22 2
V V Vk dk dk k dk k dkρ π
ππ π= = =∫ ∫ ∫ ∫
� � �
( ) 222
Vk dk k dkρ
π=
( ) ( ) kdV
kdk���
32πρ =
Vrijedi da je
( ) ( )k dk g dρ ω ω=
![Page 21: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/21.jpg)
Kvantni proračun- Debyev model
• Pa slijedi:
• Pošto imamo tri polarizacije funkcija gustoće stanja je
( ) ( ) 222
dk V dkg k k
d dω ρ
ω ωπ= =
( ) ( ) ( ) ( )3 3
23
1 1
22s l t
s s s
V dkg g k g g
dω ω ω ω
ωπ= =
= = = +∑ ∑
![Page 22: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/22.jpg)
Kvantni proračun- Debyev model
Uzimajući da je ω=vsk- po Debyevoj pretpostavci pomenutoj ranije, dobijamo:
22
2
1;s
s ss
dkk
d vv
ωω
= =
( ) ωωπ
ωω dvv
Vdg
tl
2332
21
2
+=
Dobijamo ukupnu gustoću oscilacija u području ω, ω+dω
Gdje su vl i vt brzina longitudinalnih i transferzalnih valova respektivno
![Page 23: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/23.jpg)
U Debyevoj niskofrekventnoj aproksimaciji ( )za neprekidnu elastičnu izotropnu sredinu, brzine longitudinalnih i transferzalnih valova vl i vt se mogu izraziti srednjom brzinom v prostiranja elastičnih valova kroz kristal preko relacije:
pa imamo da je
Kvantni proračun- Debyev model
( ) ωωπ
ωω dvv
Vdg
tl
2332
21
2
+=
3 3 3
1 2 3
l tv v v+ =
( ) ωωπ
ωω dv
Vdg 2
322
3=
( ) kvk ss =ω
2 dolazi od dvije transferzalne polarizacije
![Page 24: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/24.jpg)
• Kad posljednju relaciju uvrstimo u uslov normiranja f-je gustoće
dobijamo:
Kada ovaj izraz uvrstimo u g(ω) dobijamo:
Kvantni proračun- Debyev model
( ) ( ) NdgdNDD
300
== ∫∫ ωωωωω
32
3
6 DN
Vv ω
π=
( )3
29
D
Ng
ωωω =
Ovo vrijedi samo u niskofrekventnom području (veliko λ) kad valovi prepoznaju sredinu kao neprekidnu.
![Page 25: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/25.jpg)
Da bi procijenili područje primjenjivosti Debyeve aproksimacije uzmimo da je
kristal kocka ivice L, pa je L=Na, gdje je a međuatomsko rastojanje.
Koristeći ranije dobijeni izraz:
slijedi da je minimalna valna dužina elastičnog vala kroz neprekidnu sredinu:
Kvantni proračun- Debyev model
32
3
6 DN
Vv ω
π=
aa
vNa
N
vv
D
62,13
4
6
22 3
1
3
1
3
2min ≈
=
== π
π
πωπλ
Najmanja valna dužina akustičkih valova je malo veća od međuatomskog rastojanjau kristalu (λ>a). U ovom slučaju Debyeva aproksimacija je u dobrom slaganju sa
eksperimentalnim rezultatima za cv. Pri velikim frekvencijama (malo λ) postoji određenorazilaženje.
![Page 26: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/26.jpg)
Energija je sada data sa
Relacijom definiše se tzv. karakteristična temperatura Debyea.
Debyeva temperatura TD se definiše kao ona temperatura pri kojoj je čitav spektar
normalnih oscilacija pobuđen do maksimalne- Debyeve frekvencije ωD
Ako se izvrši smjena izraz za energiju postaje:
Razmotrićemo toplotni kapacitet u dva temperaturna područja T>>TD i T<<TD
Kvantni proračun- Debyev model
∫ −+=
D
kTD e
dNEE
ω
ωωω
ω 0/
3
30 1
9ℏ
ℏ
DD kT=ωℏ
xkT
=ωℏ
∫ −
+=
T
T
xD
D
e
dxx
T
TNkTEE
0
33
0 19
![Page 27: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/27.jpg)
a) Visokotemperaturno područje T>>TD
Kada je T >> TD , možemo izvršiti razvoj u red eksponencijalne funkciju
pa dobijamo:
Molarni toplotni kapacitet je
Vidimo da smo dobili isti rezultat kakav daju i klasična i Einsteinova teorija specifične toplote.
Kvantni proračun- Debyev model
xex +≈1
[ ] NkNkTTT
T
T
TNk
Tx
dxx
T
TNkTE
TT
Ec D
D
T
T
DV
D
333
199
3
3
4
0
33
0 =∂∂=
∂∂=
+
∂∂=
∂∂= ∫
.33 constRkNc AV ===
![Page 28: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/28.jpg)
b) Niskotemperaturno područje (T<<TD)
U ovom području TD/T→∞ pa u izrazu za energiju gornju granicu integrala možemo zamijeniti sa ∞ tj.
U ovim granicama vrijednost integrala je:
Pa je specifični toplotni kapacitet:
Kvantni proračun- Debyev model
∫∞
−
+=
0
33
0 19
xD e
dxx
T
TNkTEE
151
4
0
3 π=−∫
∞
xe
dxx
3
4434
3
4
0 5
12
543
159
=
=
+
∂∂=
DDDV T
TNk
T
TNk
T
TNkE
Tc πππ
![Page 29: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/29.jpg)
Molarni toplotni kapacitet je:
gdje je
U niskotemperaturnom području molarni toplotni kapacitet kristalne rešetke opada sa trećim stepenom temperature što je potpuno u skladu sa eksperimentalno utvrđenim niskotemperaturnim ponašanjem
Kvantni proračun- Debyev model
3
3
4
5
12T
T
TkNc
DAV απ =
= 3
4
5
12
D
A
T
kNπα =
![Page 30: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/30.jpg)
T3-law
0
0
1.0
0.5
0.5 1.0
T/TE
CV/3Nk
Specifični toplotni kapacitet bakra (eksperimentalni rezultati su dati tačkicama),Debyev model (puna linija) i Einsteinov model (isprekidana linija)
![Page 31: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/31.jpg)
Debyev fit za srebro i eksperimentali podaci (crvene tačke)
![Page 32: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/32.jpg)
Vrijednosti Debyeve temperature za različite elemente
• Za različita tijela karakteristična Debyeva temperatura ima različite vrijednosti.
Za većinu kristala je TD u rasponu 200-400 K
![Page 33: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/33.jpg)
Skaliranje T/TD
• Toplotni kapacitet u zavisnosti od temperature za različite elemente na slici 1. No računamo li sa odnosom T/TD tada se dobiva za sva tijela ista ovisnost toplotnog kapaciteta o reduciranjoj temperaturi T/TD što je prikazano na slici 2.
slika 1 slika 2
Primijetiti odstupanje dijamanta
![Page 34: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/34.jpg)
Odstupanja ekpserimenta od Debyeve teorije
• Toplotni kapacitet opada sa sniženjem temperature. Dok temperatura ne padne ispod TD, odstupanja od klasične vrijednosti 3R nisu veća od 5%.
• Ako je Debyeva temperatura niska, tada će se sobne temperature nalaziti u klasičnom području pa će mjerenje toplinskog kapaciteta kristala voditi do Dilong-Petitovog zakona.
• Naprotiv za kristale sa visokom Debyevom temperaturom (kao npr. dijamat) sobne temperature su suviše niske. U tom slučaju moramo na sobnim temperaturama očekivati znatna odstupanja od rezultata klasične teorije.
![Page 35: Uvod - pmf.unsa.ba · Uvod • Na temperaturi T atomi titraju oko ravnotežnih položaja što je opisano disperzionom relacijom ω(k) • Toplotno titranje atoma oko ravnotežnih](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040123/5e02f97cd9e2ea2f20412ac2/html5/thumbnails/35.jpg)
Zaključak
• Klasična teorija – Dilong-Petitov zakon – predviđa da je Cv = const. tj. da ne zavisi od temperature
• Kvantna teorija- Einsteinov model- predviđa da se kristal sastoji od kvantnih harmonijskih oscilatora koji osciluju nezavisno i sa istom frekvencijom (dobro slaganje sa eksperimentom samo u području visokih temperatura. U području niskih T slaganje je samo kvalitativno tj. Cv opada sa temperaturom, ali brže nego što bi trebalo)
• Kvantna teorija- Debyev model- predviđa da oscilatori nisu nezavisni i da titraju različitim frekvencijama. Dobro slaganje sa eksperimentom