Poštovani!U zadatku se radi o ulaganjima u četiri projekta A, B, C i D koja svaki neovisno jedan o drugom imaju zadan postotak dobiti koji će ostvariti. Zadan je i ukupan iznos koji je na raspolaganju, kao i maksimalan iznos koji možemo uložiti u svaki projekt. Nadalje, zadani su i udjeli pojedini ulaganja u odnosu na cjelokupno ulaganje. Ukupna dobit dobije se zbrajanjem pojedinačne dobiti od svakog ulaganja. Ako se dobit ostvaruje kao postotak u odnosu na cjelokupno ulaganje, jasno je da ćemo imati četiri varijable odluke.X1 – iznos uložen u AX2 – iznos uložen u BX3 – iznos uložen u CX4 – iznos uložen u DDobit od iznosa uloženog u A računa se kao 0.08*X1, dobit od ulaganja u B kao 0.06*X2, dobit od iznosa uloženog u C kao 0.12*X3, a iznos uložen u D kao 0.1*X4.Znači da će funkcija cilja koju moramo maksimizirati biti:Tmax = 0.08*X1 + 0.06*X2 + 0.12*X3 + 0.1*X4Sada ćemo postaviti uvjete s obzirom na zadane udjele. Rečeno je da iznosi uloženi u A i B ne smiju zajedno biti manji od 25% ukupnog ulaganja. To znači da mora vrijediti:

. Dalje, rečeno je da iznos uložen u C i D pojedinačno ne smije

premašiti 35%. To se ne odnosi na skupnu nego pojedinačnu vrijednost. Vrijedi:

i . Kada te izraze sredimo i riješimo

se nazivnika dobiti ćemo:0.75*X1 + 0.75*X2 – 0.25*X3 – 0.25*X4 >= 0-0.35*X1 – 0.35*X2 + 0.65*X3 – 0.35*X4 <= 0-0.35*X1 – 0.35*X2 – 0.35*X3 + 0.65*X4 <= 0Rečeno je i da postoji gornja granica koju ne smijemo premašiti kod ulaganja i koja je zadana za svaki od projekta. Vrijedi:X1 <= 4500000X2 <= 7500000X3 <= 2000000X4 <= 5000000Također je navedeno da je ukupan iznos koji imamo na raspolaganju 10000000 n.j. tako da zbroj svih iznosa ulaganja ne smije premašiti taj iznos. Ne bi bilo korektno staviti znak točno jednako jer nas to obvezuje da ulažemo cijeli iznos, a ovako imamo izbor. Ako je cilj maksimizirati zaradu, vjerojatno će program izračunati da je optimalno uložiti cijeli iznos.X1 + X2 + X3 + X4 <= 10000000.Vidi se da imamo četiri varijable i osam ograničenja. U programu to izgleda ovako:

Rješenje je:

Vidi se da je najbolje ulagati 4500000 n.j . u projekt A, nula kuna u projekt B, 2000000 kuna u projekt C i 3500000 kuna u projekt D i na taj se način ostvaruje dobit od 950000 kuna.Analiza osjetljivosti ispituje granice kretanja koeficijenta na desnim stranama ograničenja, a koji iznose redom 0, 0, 0, 4500000, 7500000, 2000000, 5000000 i 10000000 a da bi promjenom samo jednog od njih, u novonastalom problemu one varijable koje su u prvom rješenju bile jednake nuli kao X2, da to budu i dalje, a one koje su bile pozitivne da to i ostanu iako sa drugim vrijednostima. U donjem desnom uglu ispod allowable min i max RHS vidimo da se prva nula smije kretati od minus beskonačnost (-M) do 2000000, druga nula od -1500000 do plus beskonačnost, treća nula od -3500000 do nule, koeficijent 45000000 može biti sve od 0 do 4500000, koeficijent 7500000 ide od nule do plus beskonačnost, koeficijent 2000000 može ići od nule do 200000 itd. U gornjem desnom stupcu imamo te granice kretanja za koeficijente u funkciji cilja, a koji su 0.08, 0.06, 0.12 i 0.1. Prvi se koeficijent može kretati od 0.06 do plus beskonačnost, drugi koeficijent 0.06 od -0.0538 do 0.08 i tako dalje. Bitno je znati da se pod promjenom podrazumijeva pojedinačna promjena.U analizi osjetljivosti je bitno odrediti kako se promjenom koeficijenata može utjecati na funkciju cilja. U stupcu ispod shadow price imamo neke vrijednosti koje nam govore za koliko će se promijeniti vrijednost funkcije cilja ako se koeficijenti na desnim stranama ograničenja promijene za jednu jedinicu. Na primjer, ako se prva nula u prvom ograničenju uveća za jednu jedinicu i postane jedan, ciljna se funkcija neće promijeniti jer je uz nju vetana vrijednost nula. To vrijedi i za drugu nulu. Ako se treća nula uveća za jedan, ciljna će se uvećati za 0.04. To se uvećanje odnosi na vrijednost od 950000 nj. Ako bismo pak umanjili spomenute koeficijente za jednu jedinicu, vrijednost ciljne funkcije bi se umanjila za taj iznos. U slučaju povećanja za dvije jedinice, ciljna bi se funkcija promijenila za dvaput toliko. U slučaju da je u tom stupcu negativan broj, uvećanje za jednu jedinicu znači smanjenje vrijednosti ciljne funkcije za određeni broj i obrnuto. To isto vrijedi i za višestruke promjene. U gornjem desnom stupcu ispod reduced cost imamo te iste vrijednosti ali za koeficijente u funkciji cilja, ali vidimo da su oni svi jednaki nuli, tako da njihova promjena ne utječe na ciljnu funkciju. Inače, poznato je da su vrijednosti ispod shadow price rješenja dualnog problema.Dual je po definiciji problem srodan originalu, ali potpuno obrnut. Ako je original minimizacija, dual je maksimizacija i obrnuto. Dual ima onoliko ograničenja koliko original varijabli i onoliko varijabli koliko original ima ograničenja. Naš dual bi imao osam varijabli i četiri ograničenja. Koeficijenti u funkciji cilja i ne desnim stranama ograničenja mijenjanju mjesta, a vrijednost funkcije cilja mora biti ista. Naš dual glasi:Tmin = 0*Y1 + 0*Y2 + 0*Y3 + 4500000*Y4 + 2500000*Y5 + 2000000*Y6 + 5000000*Y7 + 10000000*Y8

Ograničenja su:0.75*Y1 - -0.35*Y2 – 0.35*Y1 + 1*Y4 + 0*Y5 + 0*Y6 + 0*Y7 + 1*Y8 >= 0.080.75*Y1 – 0.35*Y2 – 0.35*Y3 + 0*Y4 + 1*Y5 + 0*Y6 + 0*Y7 + 1*Y8 >= 0.06-0.25*Y1 + 0.65*Y2 – 0.35*Y3 + 0*Y4 + 0*Y5 + 1*Y6 + 0*Y7 + 1*Y8 >= 0.12-0.25*Y1 – 0.35*Y2 + 0.65*Y3 + 0*Y4+ 0*Y5 + 0*Y6 + 1*Y7 + 1*Y8Znakovi na desnim strana ograničenja su uvijek isto okrenuti. Ako je dual minimizacija, znak je veće ili jednako, ako je maksimizacija manje ili jednako. U programu to izgleda ovako:

Rješenje je:

Vidimo da je vrijednost ciljne funkcije ista.Rješenja za graf!Ako su zadane vrijednosti na objema stranama grana tada ako se krećemo od čvora manjeg broja prema čvoru većeg broja promatramo broj bliži manjem čvoru a ako se krećemo od većih čvorova prema manjima gledali bismo broj bliži većem čvoru. Mi tražimo protok od čvora jedan do čvora osam pa gledamo brojke bliže nižem čvoru. Da je kojim slučajem zadan tok od čvora osam do čvora jedan pratili bi samo brojeve bliže višem čvoru. Za početak tražimo bilo koji put od čvora jedan do čvora osam. To je na primjer 1-2-6-7. Biramo granu sa najmanjim brojem bliže nižem čvoru a to je grana 2-5 sa duljinom 3. Na tom putu ostalim granama broj bliži nižem čvoru umanjimo za taj iznos a onaj bliži većem uvećamo.

Slijedeći put od čvora jedan do čvora osam je 1-2-4-5-7. Najkraća grana je duljine 2 od čvora dva do četiri.

Sada gledamo put 1-3-4-5-7. Najkraća grana je duljine 4 od čvora četiri do pet.

Imamo put 1-3-7 sa najkraćom granom duljine 1 između čvorova jedan i tri.

Kada više nema putova od čvora jedan do osam maksimalni protok je jedna zbroju ukinutih grana a to je 3+2+4+1 = 10. Naš program u matričnom obliku pogodnom za rješavanje problema maksimalnog puta izgleda ovako:

Rješenje je:

Minimalan rez siječe one grane kojima je zbroj brojeva bližih nižem čvoru jedna maksimalnom protoku tj. 10. na slici se vidi da je to:

Problem maksimalnog toka može se riješiti i metodom linearnog programiranja. Pretpostaviti ćemo moguće tokove u onim granama kraj čijih se čvorova nalaze pozitivni brojevi. U nekim granama to vrijedi u oba smjera, u nekima ne. Da bi se vidjelo u kojim ćemo granama pretpostaviti tokove, nacrtati ćemo donju sliku:

Naše će varijable biti cjelobrojne:X1 – tok od čvora 1 do 2

X2 – tok od 1 do 3X3 – tok od 3 do 1X4 – tok od 2 do 4X5 – tok od 4 do 2X6 – tok od 2 do 6X7 – tok od 6 do 2X8 – tok od 3 do 4X9 – tok od 4 do 3X10 – tok od 3 do 5X11 – tok od 5 do 3X12 – tok od 3 do 7X13 – tok od 4 do 5X14 – tok od 5 do 4X15 – tok od 4 do 6X16 – tok od 6 do 4X17 – tok od 5 do 7X18 – tok od 6 do 7X19 – početni i završni tok od čvora jedan i do čvora sedam koji mora biti jednak na ulazu i izlazuCiljna je funkcija maksimizirati konačni tok X19, a sve ostale varijable ne ulaze u funkciju cilja odnosno koeficijenti su im jednaki nula. Tmax = 0*X1 + 0*X2 + 0*X3 + 0*X4 + 0*X5 + 0*X6 + 0*X7 + 0*X8 + 0*X9 + 0*X10 + *X11 + 0*X12 + 0*X13 + 0*X14 + 0*X15 + 0*X16 + 0*X17 + 0*X18 + 1*X19Za tokove kroz čvorove su jedini uvjeti da se u čvorovima ne smije ništa zadržavati, dakle zbroj ulaznih i izlaznih grana mora biti nula. Vriejdi:X1 + X2 – X3 – X19 = 0-X1 + X4 – X5 + X6 – X7 = 0X2 – X3 – X8 + X9 – X10 + X11 – X12 = 0X4 – X5 + X8 – X9 – X13 + X14 – X15 + X16 = 0X10 – X11 + X13 – X14 – X17 = 0X6 – X7 + X15 – X16 – X18 = 0X12 + X17 + X18 – X19 = 0Dalje, tok kroz bilo koju granu ne smije biti veći od propisane vrijednosti. Vrijede slijedeći uvjeti koji se neće računati kao ograničenja nego ćemo ih unijeti kao gornje granice u tablici.X1 <= 6, X2 <= 5, X3 <=1, X4 <= 2, X5 <= 1, X6 <= 3, X7 <= 4, X8 <= 6, X9 <= 2X10 <= 7, X11 <= 3, X12 <= 4, X13 <= 6, X14 <= 2, X15 <= 4, X16 <= 2, X17 <= 9, X18 <= 4.Imamo 19 varijabli i 7 ograničenja.

Rješenje je:

Vidi se da jednako prethodnom računu.Pozdrav!