PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
-
Upload
day-kem-quy-nhon-official -
Category
Documents
-
view
236 -
download
10
Transcript of PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
1/257
Trần Bá HàGiảo viên chuyên Toán
Tu nghiệp tại: Instiỉut de Recherche Pour ưenseignement ơes Mathématiques
Paris-France
Phuoìig phấp
Giải toánTÍCH PHÂN
v ' Dành cho HS lớp 12 chương trình cơ bản vằ nâng cao. ■/" Nâng cao kĩ nãng giải các dạng .bậi thường gập.
Chuẩn bị cho các kì thí quốc gia do Bộ GD&ĐT tổ chức.
3DGMÃ
NHÀXUẤTbAMSẠI1ỌC QDÍCIIA HÀNÚI
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
2/257
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
3/257
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm giúp học sinh tự học, tựbồi dưỡng kiên thức, Ịárịănggiải tọần
tích phân lớp 12 theo chưcmg trình phân ban của bộ giáo đục và đảo
tạo. Chửng tôi biên soạn tập sách: "Phương phấp giải toấn Tích phân". Sách được soạn theo đúng câu trúc của sách giáo khoa phân bán cùa Bộ
giáo dục đào tạo. Tập sách này gồm 2 phần:
Phần 1: Gồm các vân đề cơ bản của Nguyên hàm và tích phân,
trong phần này chứng tôị tành bày các vâỉh đề theo trình tự của sách
giáo khoa, mỗi vẵh đề đều được .trình bày các phần: '
- TÓÌXI tắt K thuyết.
- Các dạng bài tập áp dụng (mỗi dạng đểu có: phương pháp giải,
bài tập áp dụng - bài tập tự luyện (có hướng đẫn - đáp sổ).
- Bài tập tổng hợp.
Phầii 2: Cấc chụyên đề liên quan các vấn đề cơ bấn.'để bổ trợ kíềh
thức và phương pháp giải toán nhằm giúp học sình ĩuỹện tập giải quyết
tốt các vâri đê' ở phần 1. 'r
Râìt mong sự góp ý của độc giả và đổng nghiẹp.để lẩn xuâ't bản sau
được tốt hơn. ■ ■
Mọi ý kiên đóng góp xin liên hệ:- Trung tâm sãeh giáo ãục Ânpha
225C Nguyễn Tri Phương, P.9, Q.5, Tp. HCM.- Công ti sách - thiế t bị giấo ảục Anpha
- 50 Nguyễn VănSăng, Quận Tân Phú, TP.HCM
ĐT: 08.62676463, 38547464.
Email: [email protected] .
Xin trân trọng. cảm
Trần Bá Hà
Giáo viên THPTChyên Lê Quý Đôn-Đà Nang
• Tu:nghiệp.tại:ĩusfịỳutâ£^ểchercỉĩệ
• ■-VV-'’ Pour É^r^ệỉ^ểmeniẩesẶíai^ti^tícịụếs: ■ '■ ^ ' : Páris-Fráhcé
\
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
4/257
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
5/257
PHẦN I: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
VÀ ÚNG DỤNG
§1. NGUYỄN HÀM
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa; cho biựĩi số ý = f(x} Iiên tục trên khoảịig p ' "
F(x) là ngiiyên hànỊ CUá JỆx) trên Đ khi và đẩ khi: F'(x) =̂ f x̂) Vx e D
2. Tính chất CO'bản: ;
+ Nếu F(x) là một ĩ^ỹên- hàrá cùà f(x)§tren Đ::thì F(x) + C cùng là
nguyên hàm của f(x) trên-D (C là hằng số)+ Neu F(x) và G(x) ià các iígụýên hàm của hàm số f(x) ửện -Đthi tồn tại
hằng số c để 0 (x) = F(x) G ; -V :i c; ị :"+-Ký hiệu: ff(x)dx-: F(x) + c (là ho hgùỵêÌỊ̂ ham cuầíhạm sồ f(x))
' '■4í:̂NTếii‘íCx)--y!̂ . A ' '
: . Í Ị ^ x ) ; ^ ' i g ( x ) d x / :•:/‘:-
:-v; • : Ệ:-&ỆíịỂ : •
' •-•••-* ’Neụ ff(x)cbế= F(x) 4 c?thi jf(ax + b)dx = J-'f / ■■ ■}* £.
+ Mọi ham sọ ỉiên ịụể treii D: đều cọ nguyên'hàm trên Đ: : \:
3 . B ả n g c ồ n g t h ứ c n g ụ y ê n h à m ccr : b ầ n : Ị - y f ) ỳ ù .
■'íđx W 'Ệ - S ể : ỷ í 'Ế - ịk - , ' a+i A.’V'V' ■
Jxađx = ■. ■ -T.C (a *̂1). :Ja^dx - ^ & Ế C . .
. J— = l n | x | + C - ' ■■•.'-'-v c lhac ' ■• '
2. -■•■•■ ...■■Vfer-sr- dx:= tanx + c . ■
■- Jsinkxdx - ——coskx t 'G (kr^M))^... •:...k,
. ;}^cosy%}& •ầỊrỉ.̂ .;0'í::u"- •'
.,. - - - 7.d^=,̂ GC>ix.+, c-̂7 ỷy::sư-ỷ'r■£ ‘Ỳ'/'~~À*
4 V̂'T
5
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
6/257
n. CÁC DẠNG TOÁN c ơ BẢN:
Bài 1: Chứng minh: F(x) = ln(x + VX2 + 1 ) là một nguyên hàm cùa:
f(x) = -p= i=trê n R.
Giải:
Dy = R vì X+ Vx2+ ĩ > 0, Vx e R
1 x1 + - ị -F ’(x) = ----y- = = . = .. - = f(x) Vx € R
•XH-Vx2 +1 VX2 + 1
Vậy F(x) = ln(x +Vx2 +1) là một nguyên hàm cùa f(x) trên R.
Bài 2: Chứng minh F(x) = xsinx + cosx là một nguyên hàm của:
f(x) = xcosx trên R.
Giải:
F ’(x) = sinx + xcosx —sinx = xcosx Vx e. R.
Vậy:F(x) = xsinx+ cosx là một nguyên hàm của f(x) = xcosx.
2 ' 1
Bài 3: Chứng minhF(x) = — J= là mội nguyên hàmcủa hàm sô f(x) = ——= yjx xvx
trên (0; co)
Giải;
F '(x) = -2 iV f i ì - 1= - 2 Í - i |x 3 = -± = = f(x), Vx s (0; oo)
—2 1 Vậy F(x) = là một nguyên hàm của f(x) = — Ị-~ AUiu y t l ig u j VII IICUII wua M/VS ----
VX XV X
Bài 4: Chứng minh hàm số F(x) = — Ỉ-T-------- — là một nguyên hàm của3 cos X cos X
hàmsố:f(x) = ^ 4 ^ ưênmiềnD = R \ { - +k7t;keZ}cos X 2
6
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
7/257
Vx ^ — + k7t, ta có:2
•n >y'„\ _ s in x s in x s i n x ( l - COS2 x) s i n 3 x _ .--------- 2 = -------— = 4~ = f(x)COS X COS X COS X COS X
Vậy F(x) là một nguyên hàm của f(x).
Bài 5: Chứng minh F(x) = XIn + 21n(4 - X2) làmôt nguyên hàm của2 - x
hàm số: f(x) = ln 2 + x ữên (-2; 2)2 “■X
Giải:
rp i , 2 + x 4x 4x , 2 + x v ^ ̂_ Ta có: F (x) = ln^— + ■ - = ln^—- = f(x), Vx e (-2; 2)
2 - x 4 - x 4 - X 2 - xDo đó: F(x) là một nguyên hàm của f(x).
Giải:
Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của f(x) = cosxcos3x
Giải:
f(x) = —[cos4x + cos2x]
Jf(x)dx = —J(cos4x + cos2x)đx = —[—sin4x + Ìsin2x] + c. 2 2 4 2
- ™ , V , „ X x -1Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của f(x) =
f(x)= 1-
x + 1
Giải:
2
x + 1
íf(x)dx = J(1 -— -—)dx = X —21n ỊX + 1 1+ c. x + 1
7
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
8/257
Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của f(x) = xe*2.
Giải:
Ixe*2dx = —fe*2d(x2) = —e*2 +c.J 2 J 2
r 2 ' 7CBài 1: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm sô f(x) = cot Xbiêt F( —) = 0.
4
Giải:
1 sm2X
jcot2xdx = j(l + cot2X- l)dx = J(-“ ---- l)dx = -cồíx —X + c
F(x) = -cotx - X+ C; F(—) = 0 o —1 —“ + c = 04 4
Hay c = 1 + —. Vây: F(x) - -cotx - X + 1 + —.4 ' 4
Bài 2: Cho f(x) = sin3x(l + cotx) + cos3x(ĩ + tanx)
Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(—) = 1.4
Giải:
Rút gọn f(x) ta cỏ: f(x) = sinx + cosx
íf(x)dx = sinx —cosx + c => F(x) = sinx —cosx + c
F(—) = SÙI—- cos— +c = l< » c = l4 4 4
Vậy.F(x) = sinx —cosx + 1.Bài 3: Cho f(x) = ----- ------ . Tìm nguyên hàm F(x) biết F(—) = 0.
l + cos2x 3
Giải:
f(x) = — ỉ— = — L _ l + cos2x 2cos X
8
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
9/257
2
F(x) - —tanx + c 2
F ( -) = 0 < » i .V 3 + c = 0 = > c = - — v 3 ' 2 2
Vậy F(x) = itanx - y .
Bài 4: Cho f(x) = — -, F(x) là môt nguyên hàxn của f(x) tìioả: F(2)X —1
TínhF(5).
Giải:
f(x) = —-— => F(x) = ln ỊX—11+ c x -1
F(2) = l o C = 0=> F(x) = In IX—1 í
Do đó F(5) = ln4 = 2In2.
Bàỉ 5: Cho f(x) = Vcos4 x + 4sin2 x .
Tun nguyên hàm F(x) của f(x) biét: F(—) =4 4
Giải:f(x) = yjCOS4 X+ 4(1 - cos2 x) - 2 — cos^ = —(3 —cos2x)
2
F(x) = - (3x - - sin2x) + c
F ( - ) = — - - + c = - - < * c = ~ — 4 8 4 4 8
Do đó F(x) = —(3x - —sin2x) - — .
2 2 8Bài 6:
a) Chung minh F(x) = tanx ln(sinx) + Xlà một nguyên hàm của:
f(x) = (1 + tan^) ln(sìnx) ừên (0; —)2
b) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(—) - — 4 4
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
10/257
a) Vx e (0; —) , F'(x) = — \ —ln(sinx) - - ^ ^ tanx +1 2
Giải:
COS2 X sm xF '(x) = (1 + tan2x) ln(sinx) = f(s)Vậy F(x) là một nguyên hàm cùa f(x)
1 V ^ \ _ TU , _ TU 4 / • 71 V7Ĩ. n _ 7Ĩ
b) F(—) = —tan—ỉn(sin—) + — + c = — 4 4 4 4 4 4
c = - Jn— = ln ^2
Do đó F(x) = tanx ln(srâx) + In V .
Bài 7: Cho f(x) = — .s i n X
Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm
6
f ( x ) = -s i n 2 X
Giải:
F(x) = -cotx + c
ĐỒ thị y = F,(x) đi qua M (- ; 0 )^ > F (-) = 07 6 6
-cot— + c = 0 c = cot—= \Ịầ 6 v 6
Vậy F(x) = -cotx + \/3.
Bài 8: Cho biết F(x) = ——- ỉà nguyên hàm cùa f(x). Tìm. f(x -1) x + 1
f(x) = F'(x) ==Ỉ £ z i í = 2V x + l J ( x + 1 )2
Giải:
Do đó: f(x - 1) =
10
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
11/257
B àil: Tính / ( x - l ^ - ^ d x
Giải:
Đặt u = X2 —2x + 3 => u' = 2(x —1)
J(x - l)ex2~2x+3dx = - Jeuu'dx = - JeMu = ~ e ^ -2x+3 + c.2 2 2
Bài 2: Tính f(l + còtz2x) e^^dx
Giải:
2u = C0t2x => u' = ----- 9— = —2(1 + cot22x)
sin 2x
1(1 + cot22x) eMt2xcLx = ——íea.u'dx = eMt2K+ c
2 2Bài 3: Tínhlxsinxdx
Giải:
Đặt u = X => d u d x
dv = sinxdx n>v = -cosx
Do đỏ: Ịxsinxdx = —xcosx + jcosxdx = —xcosx + sinx + c
Bài 4: Tính J(x - l)exdx
Giải:Đặt: u = X —ĩ => đu = dx
dv = exdx => V = ex
Do đó: J(x —l)exdx = (x —De* —Je*dx = (x —l)ex —e* + c
= (x —2)ex + c.
Bài 5: Tính Jxlnxdx
Giải:
Đặt u = Inx => du = — X
dv = xdx => V = — 2
Dođó: fxlnxdx = — ln x - Ị—dx = — ln x - — + C.■» 2 J2 2 4
Bài 6: Tính jx3(2 - 3x2)8dx
11
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
12/257
Đặt t = (2 —3X2) => dt = -6xdx
Íx3(2 - 3xz)sdx = íx2 (2 - 3x2)8xdx
=
= — t10——t9 + c = — (2- 3x 2)10——(2 -3 x 2)5 +c .180 81 180 81
m. BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ NGUYÊN HÀM
A. BÀI TẬP Tự LUẬN
Bài 1: Cho f(x) = x-v/3-x . Tìm a, b5c để hàm số F(x) = (ax2 + bx + c) V3- X
là một nguyên hàm của f(x).
Giải:Ta có: Dy = (—oo; 3]
F'(x) = (2ax + b) a*2+_bx+c + (12a- 3b)x + 6b- c2^3-X V -X
F(x) là nguyên hàm của f(x) F '(x) = f(x), Vx e Dy
o -õax2 + (12a —3b)x + 6b —c = 2x(3 —x), Vx í 3
r\x 1*4.+ _ 2 u _ 2 _ 12Đông nhât ta có: a = —; b = - —; c = .
5 5 5Bài 2: Cho f(x) = cos4x - sin̂ x. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(—) = 0
Giải:
f(x) = cos^x —sinSc = Sícos ̂—sin2x)(cos2x + sin2*:)
f(x) = cos2x => F(x) = —sin2x + c2
F(—) = 0 —sin— + c = 0 c =6 2 3
Vậy F(x) = -sin2x
Bài 3: Cho f(x) = -■ - * - . Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biếtV5x + 3 -v ỗ x + l
F(0) = 0.
Giải:
12
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
13/257
Giải:
Do đó: F(x) = — v 15
1 1(5x + + (5x +
(5x + 3)z -^5x + ĩ
F(0) = 0 — v ' 15
3 3
32+12 + c = 0
« • — Ĩ3>/3+lT+C = 0 o C = - — —
15*- J 15
Vậy F(x) = — | (̂5x + 3>\/5x + 3 + (5x + l)Võx + lJ - ^.
Bài 4: Tìm hàm số y = f(x) nếu biết:
f ’(x) = ax + Ặ ; f(- l) = 2; f(l) = 4 và f ’(1) = 0.X
Giải:
Ta có: f ’(x) = BX+ \ f(x) = —— —+ cX 2 X
Từ giả thiết ta cỏ:
—+ b + c = 2 2
—- b + c =4 2a + b = 0
Giải hê ta có: a - 1, b = -1 , c = — 2
V 2 1 ^Vâyf(x)= — +■ 2 x 2
Bài 5: Tim hàm số y - f(x) biết ràng: f '(x) = 4 Vx - X và f(4) = 0.
13
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
14/257
Giải,
ỉ '(x) = 4x2-x=>f(x) = 4.“ - — + c3 22
f(4) = 0 O “ - 8 + C = 0 o C = -3
403
Bài 6: Tìm hàm số y - f(x) biết rằng: f ’(x) = ệ/x + X3 + 1 và f(l) = 2.
f'(x) = Xs + X3 +1 => f(x) =” + — + x + c4 43
f(x) = - x \ / x +—X4 + X + C 4 4
f(l) = 2 < » - + - + l + c = 2 « > c = l, 4 4 .
Vây f(x) —— xy/x + — X4 + X+ 1.4 4
Bài 7: Chứng minh F(x) = ịXỉ —ln(l + ỊXI) là một nguyên hàm của:
Giải.
. Khi X > 0: F '(x) —1 —
Giải:
1 X = f(x)1+x 1+x
Tại X = 0:
. Khi X < (
lníi 4-A x ) — = 1 -1 = 0
14
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
15/257
Do đó: F '(0) = 0. Vậy F '(x) =
------ khix>01 + x0 khi X= 0
khi X < 01 —X
Hay: F '(x) - = f(x)l+lxl
Vậy F(x) là một nguyên hàm của f(x).
Bài 8: Tim hàm số y —f(x) biết rằng f '(x) = tanx.sin2x và f(
Giải:
f '(x) = tanx.sừi2x =sm x
cosx
-2sinxẹosx = 2sin2x
1 .o f T(x) = 1 - cos2x => f(x) = X- —sin2x + c
r/ ft V_ 71 71 1 . s-ị _ ft , _ 1f(—) = - » - - - + C = - « C = - -
4 4 4 2 4 2
Vây: f(x) = X- Ỉsin2x - —.2 2
Bài 9: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
, V_ sin X - cos Xa) f(x) = —
sin X+ cos Xb) f(x) = cot2(2x + —)
4
Giải:
a) íf(x)đx = - fã(sm x —cosx) = -In ỉsin X + COSx| + cJ J sin x + cosx
b) f(x) = cot2 Í2x + —ì = ------- -------sin (2x + —)
41 d(2x + —)
Do đó: |f (x)dx= —J------------ — dx-Jdxsin x(2x + —)
íf(x)đx = cot(2x + —) - X+ c.
15
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
16/257
Bài 10: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:cotx
a) f(x) = cot5x; b) f(x) =1 + sin X
Giải:
\ fCos5x ,_ f(l - sin2 x)2 ,, ..a) icot xdx = —~ - d x = ----------- d(sinx)
J J sin X J sin X
= .(ỊtTTT----^ - + ~ \ - ) d ( s ia x )sinx sin X sin x )
= lnỊsinxl +— \ --------- -̂7 — + c.sin X 4sin X
. . r cotx - r cosx . r cosxsừis x ,b) ■ ■dx= -------— ------------------------- — dx= — ------ g— àx
I / 1 1 1 I
Bài 11: Tính 1 =
*sin x(l + sin9 x) ■*sin9 x(l + sin9 x)
_ 1 / d(sin9 x) ì _ _1 / __ Ị _______ 1
9 -^sin9x(l + sin9x)J 9 *^sin9 X 1 + sin9 5 _ 1, sin9X ^= - I n — z +c.
9 1 + sin X
dxrínhl = - 7 = ---------— ----------------v2 + sin X —cos X
Giải:dx _ I dx
yỈ2 - V2cos(x + VãỊ^l-cos(x + —)j
J/X .dx 1 ị- 2 + 8
V sin2(—+ —) ^ sin2(—+ —)2 8 2 8
1 - J
I 1 o tf * +l ì + C.& u s)
Bài 12:. TínhJ= J- ^ T COS X. cos(—+ x)
Giải:
‐ ì sin — = 1 4
! 71 Jsin — cos X cos(x + —)
16
d(sin9 x)
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
17/257
J=
J= V
1 -d(cos(x + —)r 4. n
sin— 4
J 7Ecos(x + —)
•d(cosx)cosx
ln|cos x |- ln cosf x + — + c
J= V In cosx
cos(x + — + c.
Giải:
k = —|(V2x +T - 42x - l)dx
\ J(2x +1)2 d(2x +1) - ị J(2x -1)2 d(2x -1)2 J ■ 2
= —£(2x + l)-\/2x + 1 -( 2 x -l ) \ /2 x - l j + c .
Bài 14: Tính A = J-
dxx l n 5 X
Giải:
Đăt t = Inx => dt = — X
A ' _ r d t 1 n 1 nA - I—T" — ---- —+ C — ------- 7— f"c.
J t 5 4t 4 In X
Bài 15: Tính B = Jx2V 2-x3dx
Giải:
Đặt t —2 - X3 => dt = -3 x2dx o- x2dx = - —dt3
B = - - ft2dt = - Í Ĩ -Ậ + c = - - ( 2 - x3)n/2-x3 + c. s J Q 7
17
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
18/257
dxBài 16: Tính c = f— = _ J(l-x)v/ĩ
Giải:
Đặt t = yjx => t2= X ==>2tdt = dx
Q= Ị 2tdt - g f dt
J (l - t 2)t J (i-t )(l + t)~ 1 + t „ , 1 + Vx
j f— + - Mi - t j
dt
= ln1 - t
+ c = lnl~Vx
Bài 17: Tính D =
+ c.
( x - l ) a
Giãi:
Đặt t = x - l o x = t+ l=>dx = dt
- rf‘ ± £ dt . j t e - 4 4t5 Ji ts t4 t5
dt
D = - - L ~ L _ J _ + C = - 2t 3t 4t
Bài 18: Tính E = /sin3xcos4xdx.
1 2 - J _ + C2(x -1 )2 3(x - 1)3 4(x - 1)4
Giải:E = -jsin2x cos4xd(cosx) =-1(1 - cos^cos^dCcosx)Đặt t = cosx => E = -J(l —t^tMt —j(-t4 + te)dt
E = ——t5+ —t7+ c = ——cos5x + —cos7x + c.5 7 5 7
Bài 19: Tiah I Ịsin X"s/2cosx-ldx.
Giải:Đặt t = 2cosx —1 => dt = —2sinxdx
sinxdx = - —dt 2
3
= - ị h* ảt= -~+ c = - í tJ t+c2 J 2 3 3
2
Hay I = (2cosX- l)V2cosx - 1 4- c.3
18
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
19/257
. tansBài 20: Tính f— -—dx.
J cos X
Đặt t = tanx => đt =
Giải:
dxCOS2 X
f - ^ - d x = fetdt = et +C = etanx+C.J COS X J
Bài 21: Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần hãy tìm họ nguyên
hàm của các hàm số:
a )y= Vxlnx b) y = X.e-x.
Giãi:
a) Đặt u = lnx => du = — X
dv = Vx dx :=> V = W x3
jVxlnxdx = —xVx ln x - —jVxdx
ỊVx In xdx = —xVx In X- —x-s/s + c.J 3 9
b) Đặt u = X=> du = dx
dv = e~*dx => V = - e “*
íxe^đx = —xe-* + Je~*dx = —xe-* —e“* + c = —(x + 1)6“* + c.
Bài 22: Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần hãy tìm họ nguyên
hàm của:
a) y = Xsin— b) y = x^lnSx.
Giải:
a) Đặt u - X=> du = dx
dv = sm ^ dx => V= —2cos(^r)2 2
Íxsin-Ẹdx = —2xcos— +2jcos—dx - —2xcos— + 4s in— + c .2 2 2 2 2
19
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
20/257
b) Đặt u = ln3x => đu = — X
, 21 = X3dv = xd x= >v = — 3
fx2ln3xdx = — ln 3 x -—fx2dx + c = — ln3x- J 3 3 J 3
Bài 23: Đặt In = jxnexdx
a) Chứng minh: In = x“ex- , Vn e N*
b)TmhI2.Giải:
a) I_ = Jxa~1eKdx => (In_j)' = Xn-1.ex
Ta CÓ: [x“ex —nljjJ' = Ĩ.X0"1. ex + e*xn —n.x11-1. Do đó: - nlj ĵ = je^d x = In (đpcm).
b) I3= Jx3exdx11 = xex —10= xex — ex = (x —l)ex + c12= X2ex —2Ij = —2(xex - e*) + cĩ2 = (x2- 2x + 2) ex + c.
Bài 24: Tính J-xdxsin2 X
Giải:
Đặt u = X=> đu = đx
, _ dx „ ^dv = — ị — => V = —cotx sin X
Do đó: f xĉ - _ xcotx + fcotxdx = -scotx + J sin X :
Bài 25: Tính J- f o ^ dx.
= —xeotx + In Isinx ị + c. fln(sin x)
cos2x
Giải:Đặt u = ln(sinx) => du = cotxdx
, dxdv = — r — => V = tanx
cos X
Do đó: x) (Jx _ tan x x) - X+ c, J COS X
;x = ex. X11
d(sin x)
sinx
20
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
21/257
B à i 26 : T í n h ĩ = J-cosx .
Xét 3=1 t
cosx + sinx
sinx
■dx.
Giải:
■đx
'cosx+sinx Ta có: I + J = ídx = X + c
T T _ f C o s x - s i n x , r, (s in x + c o sx ) I . I _ I - J = —— ---- ;----dx= Id--------------------------------------------------=
J cos X + s in X J cos X + s in X
Do đó: I = —(x + In Isinx + cosx I) + c. z
B à i 2 7 : T í n h I = f s i n ^x g+ d x ( a l à h ằ n g s ố) . J COS X
Giải:SŨ1X. COSa + sin a COS X
cos2 Xdx
- d ( c o s x ) f d ( s i n x )
1 + sinx
— c o s a I-------------+ s i n a — — Jl-si:cos2 X S1Ĩ12 X
cos a 1 _ ,------ +—sin a Inc o s x 2 1 —sinX
+ c.
B à i 2 8 : T í n h I = J exl n ( l + e *)d x.
Đ ặ tu = l n ( l + e x)
d v = e xd x
d u =•l + e x
Giải:
■dx
I = e xl n ( l + e*) - p
V = e
x\2(ex) -dx
= e *ln ( l + e*) -
+ e
e*(ex + l ) - e * dx+ e
= e xl n ( l + e*) - e x + f - i — d xJ 1 + e x
= 6*111(1 + e*) - e* + ln(ex + 1) + c = (ex + l ) ln (e x + 1) - e x + c.
21
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
22/257
Bài 29: Tính A = f— JỠỈ1
s i n 4 Xđ x .
Giải:
XétB = f -sin4 X+ cos4 X
Ta có: A + B = Jdx = X + c
A __ f cos4X - sin 4X ,A - B = j ------- — — dx
cos4X + s in 4 X
A r» _ f COs2x , _ f COSA - B = — ------- dx = 2 I——— I * n ^ 2 —s i1 s in 2X
2
cos2x2 - sin2 2x
dx
_ r _______ d(sin2x) _______ _ 1
^(sin2 x-V 2)(sin2x + V2) 2>/2
Bài 30: a) Tim a, b, c để: —— ~ —- = — ------ — x(x -1) X X +1 X —1
sin 2x - >/2
s i n 2 x + -\/2
b) Tinh: r*2 f x -dx. ; •* J x(x2-1 )
Giải:
V x2-2 x - l a b c (a +b + c)x2+ (c-b )x -aa) — ----- ---------------------------------- ----- — ----- -------x(x -1 ) X x + 1 x - 1 x(x + l)(x - 1)
Đồng nhất ta có:a + b + c = l
-b + c = -2
-a = - l
a = 1
b = l
c = —1
.V fX2—2x —1 , fdx r dx f dxb) h s & d x = J T + & / ĩ r r
= In IXI + In IX+ 11- l n | x - l | + c= In x(x +1)X—1
Bài 31: Chóng minh trên đoạn [-2; 2] hàm số F(x) = - ~ V ( 4 - X 2)33
nguyên hàm của f(x) = 2x. V 4-x 2 .
+ c.
+ c.
là một
22
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
23/257
Giải:
Vx e (-2; 2) ta có: F ’(x) = - —.—(4 - X2) 2(-2x)
F '(x) = 2x ^ 4 -x 2 = f(x)
F ,(“ 24) - limF ,(“24) = lim ------------- = Um -( x -2 )V 4 -x 2 =0 == lim —(x - 2)V4 -X 2 = 0 = f'(—2)
_2 / / ._ 2ýỉ ____
F '(21 = lim — ---- -----= lim —(x + 2)^4-X 2 =0 =f'(2)
Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) ừên [-2; 2];
Giải:dx
= 21nIX2 + 5x.+ 6 1+1hỊx + 2| -.lnỊx + 3 | + c.
Bài 33: Tìm một nguyên hàm F(x) cùa hàm sổ f(x) = sin2x. e00̂ x biết rằng:
Ịsin 2xecosSXdx - - |e cos2*đ(cos2 x) = -e005’x+ c
F(x) = - e"*'1 + C = > F (- ) = - l + C = 0 o C = l2
v ậ y F (x )-~ e “**x + 1 .Bài 34: Tim a, b, c để F(x) = (ax2 + bx + c)e“x là một nguyên hàm của hàm số:
f(x) = (—2X2+ 7x —4)e-1.Giải:
F '(x) = {2ax + b)e“x- (ax2+ bx + c)e"x = (-ax2+ (2a - b)x + b - c)e_x
x‘ + 5x + 6
Giải:
23
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
24/257
Bài 35: Cho f(x) = ( W x ~ f )sin2xl - 2 s m x
Tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(0) = 1.
Giải;
\ - ( l -4 s in 2x)sin2x , , _ .f(x)-------- —
---- ------= (1 + 2sin x)sin2x1 —2 SÙI X
f(x) = sin2x + 2sin2xsinx = sin2x + cosx —cos2x
/f(x)dx = ——cos2x + sinx —Ậsữi2x + c = F(x).2 2
F(0) = - - + c = 0c= - 2 2
Vậy F(x) = —cos2x + sinx——sin2x + Ạ.2 2 2
Bài 36: Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx^/cosx biết nguyên hàm
triệt tiêu khi X = n.
Giảiĩ
4
Jf(x)dx = - J(cos x)^d(cos x) = - C0̂ X- + c
3
F(x)= - - C O S X %/cosx + c 4
F ( ,r )= - |( - I )$ = ĩ j + c = - | + c4 4
F(tc) = c = — 4
Bài 37: Chứng minh rằng F(x) = -ỊxVl+x2 + ln(xWl+x2)Ị là một nguyên
hàm của f(x) = VI + X2 .
24
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
25/257
Giải:
F '(x) = — 2
1 +
■v/l + x2 + Vĩ + xVl + X2 x +V ĩ + X2
— Vl + X2 = f(x), Vx € R Vi-t-x2 +-pS— +— L =V l + X2 V l + X2
Vậy F(x) là một nguyên hàm của f(x).
Bài 38: Cho f(x) = sin3x(l + cotx) + cos3x(l + tanx) (0 < X < — )
Tim nguyên hàm F(x) biết F(—) = 0.
Giải: ___ . COSX^I ( s i n x ' i
f(x) = sin X 1 + ——— + COS X 1 + ■^ sinx^ V cosx^
= sin3x + cos3x + sin2xcosx + cos2xsinx = sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + cosx) = sinx + cosx
F(x) = sinx — cosx + c
F(—) = 0 F(x) = sinx - cosx.4
Bài 39: Đê F(x) = (ax + b)ex là nguyên hàm của f(x) = X.ex thì giá trị của a, bbang bao nhiêu?
Giải:F '(x) = (ax + b + a)exĐể F(x) là nguyên hàm của f(x) ta phải có
ía = 1 fa =1F '(x) = f( x )V x e R « (a x + b + a)ex= xex o ị k Ib - -1
Bài 40: Tính I = ị dx
xlnx
„ dxĐặt t = lnx => dt = —
X
1= J— =lnt + c
Giải:
Do đó: Idx
xlnx= l n I n x + c.
25
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
26/257
Bài 41: Cho biết íf(x)dx = ln2x + c tím f(x).Giải:
íf(x)dx = l A + c => F(x) = ln2x => f(x) = F ’(x) = .X
Bài 42: Tim họ nguyên hàm của hàm số f(x) = V x.
Giải:, ọ — ọ _ jVxdx = Jx2d x X 2 +C = — XVX + c.
Bài 43: Cho biết íf(x)dx = — -—- + c tìm f(x). J (x + l f
Giải:
Vì F(x) = — ~ = (x + 1)“2=> F '(x) = —2(x + l)-3(x + 1)2
Hay: f(x) = ~2 -j .(x + 1)
X —XBài 44: Tìm họ nguyên hàm của f(x) = ---- -.
x + 1 ■Giải:
f(x) = 1 ----- — => F(x) = X—2In ỊX+ 1 Ị + c.x + 1
Bài 45: Cho f(x) = sinx + cosx. Tìm nguyên hàm F(x) biết F(—) = -1.2
Giải:F(x) = sinx - cosx + c
F ( j) = - l o l + C = - l o . C = -2
Vậy F(x) = sinx —cosx-2 .
Bài 46: Cho f(x) = sin2x. Tìm nguyên hàm F(x) biết F(—) —0.6
Giải:
f(x) = sití2x => F(x) - - —cos2x + c2
F (- ) = 0« - - -C O S - + c = 0c=—.6 2 3 4
=> F(x) = cos2x + —.• 2 4
26
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
27/257
Bài 47: Cho Jf(x)dx = ex+1“ + c. Tìm f(x).Giải:
Ta có: F(x) = ex+lnx—ê .e11̂ = xex
f(x) = F '(x) = (x + l)ex.
Bài 48: Tìm nguyên hảm của f(x) = -x ~ + ̂ + ̂1 + VxGiải:
f(x) = xVx - 1 => F(x) = — - X+ c.5
Bài 49: F(x) = lnX — 1
X + 1là một nguyên hàm của hàm số nào?
Giải:
F(x) = lnX —1
x + F ' ‐ ( + ) 2Ỉ W X-1 x* - r
x + 1
Vây F(x) là nguyên hàm của f(x) = - f -— X - 1
Bài50: Tình Jesỉn2x.sừi2xdx.
Giải:
Je™1** sin2xdx = Je^M Csin2 x) =e5*2*+ c.
Bàỉ 51: Cho f(x) = ----- ------- Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) thoả F(—) = 73 .1 - COS2x 6
Giải:
„ 1 1f(x) = ----- ----- = ---- — — l “ C0s2x 2sin X
F(x) = - ” COtX*í-C
F(—) = & < = > --.& + c - Vã c= V3+— - — 6 2 2 2
Vậy F(x)“ - —cotx+2 2
Bài 52: Tim nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sưix—COSX ứioả F(—) = 0.sin X + cos X 4
27
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
28/257
ị F
Giải:n, , _ sin X - cos X (sin X+ COSx)'f(x) = r „ =
sin X + cos X sin X + COSX
F(x) = —In Isinx + cosx I + c
F(—) = -ln-v/2 +C = 0 o h ’>/2 = c o c = Ỉln24 2
F(x) = -In sinx + cosx + —ln2.2
Bài 53: Cho Jf(x)đx = Inx +Vx2 + 1
Giải:
ff(x)dx = in------JL= ' + C => F(x) = In----- ?-....
;• x + vx2 + 1 x + vx2+ lF(x) “ -ln(x + Vx2+1)
f(x) = F'(x )= - (x + ̂ xZ + 1)' - 1
Bài 54: Cho f(x) = -
XW x2 +1 Vx2 +1
1sin2 Xcos2 X
f(x) = -
. Tìm nguyên hàm của f(x).
Giả/:
1sin2 Xcos2 X sin2 X COS2 X
F(x) = -cotx + tanx + c. dx
Bài 55: Tính J'
f(x) =
X - 3x + 2
1 1
Giải:
1X - 3x + 2 x - 2 X -1
Jf(x)dx = In i X - 2 1- In IX- 1 1 + c = In
Bài 56: Tính Ịxcosxdx.
X - 2
X —1+ c.
Giải:
íxcosxdx = jxd(sinx) = xsinx - ísinxdx = xsinx + cosx + c.
28
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
29/257
Bài 57: Cho biết F(x) là nguyên hàm của f(x) = — và F(2) = 2 tìm F(-2).
Giải:
f(x) = - => F(x) = In IX —11 + c
X—1F(2) = ìnl + c = c = 2=> F(x) = 2 + In IX- 1 1
F(-2) = 2 + In I-3 Ị = 2 + ln3.
Bài 58: Tính fX-^ -dx.1+ X
Giải:
|xM x= ljdO±iE!) = l ln|1 + x4| + c . + 4 1 + 4 ' 1
Bài 59: Cho biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) = — và đồ ứiị y = F(x)COS X
cắt Ox tại điểm X= — xác định F(x).
Giải:
f(x) = => F(x) = tanx + cCOS X
Đồ thị y = F(x) cắt Oxíại x= — «• F(—) = 0 c = —1
F(x) = tanx—1.Bài 60: Cho biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) = tanx.sin2x thoả
F ( ĩ ) = í . T ì m F ( x ) .4 4
Giẩi:
f(x) = tanx.sin2x = 2sìn2x = 1 - cos2xF(x) = X — —sin2x + c
2
F ( - )= - - - ỉ + c = -4 4 4 2 4
c - —=> F(x) = X - — sín2x + — .2 w 2 2
29
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
30/257
Bài 61: Tìm nguyên hàm của f(x) = sin3x sin2x.Giải:
f(x) - sin3x.sin2x = 2sin4x.cosx
Jf(x)dx = 2jsin4xd(sinx) = —sin5x + c.5
Bài 62: Tính jW x + lđx .
Giải:
Đặt t = Vx+1 o X= t2 - 1 => dx = 2tdt
jW x + ldx = 2 J(t2 - l)t2dt =—t5——t3 + c5 3
=—(x + l)2VxTĨ - —(x + l)Vx + l + c.5 3
Bài 63: Tính h — ^
yjx + l + y j x - l Giải:
c dx rVx + l - V x - 1 27 = 7----- = ------------------ dx = —
Vx+1+VX-1 2 3
3 3"
(x + 1)2 - ( x - 1 ) 2 + c.
Bài 64: Cho jf(x)đx = Inịcoskxị + c . Tim f(x).J£
Giải:
F(x) = -ilnfcoskx! =>f(x) = F'(x) = — [ k kv coskx )
f(x) = tankx.
Bài 65: Tính p ^ Ễ -đ x .VX
Giải:
Đặt u = Vx => -^r = 2đuVX
rsinVx , _ e . ̂ _ Ị— — 7==—dx =2 sin udu = -2 eos u + c = -2 COSVX + c. Vx J
Bài 66: Tính r xdxCOS 2x2
Đặt u = 2s2 du = 4xdx
J— 2X 2 dx = Ặ I = —tanu + c = —tan2x2+ c.J COS 2x 4 J cos u 4 4
30
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
31/257
B. BÀI TẬP Tự LUYỆN
Bài 1: Tìm họ nguyên hảm của các hàni số sau:
a) f(x) = x(l - 2X2)2001
1 b)f(x) =■n/x + 1 + V x-1
c) f(x) = X+ Vx + 1
d) f(x) = -
đ) f(x) = —
e)f(x) =
2x
XW x2 -1
2x
K+ Vx2-1
11 + 8*
Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) f(x) = cos3x.cos3x
sinx
b) f(x) = l + sin2xc) f(x) = (sin6x + cosex)cos4x.
Bài 3: Chứng minh F(x) = — 2
xVx2 + a + aln |x -h/x2+aj
hàm của f(x) = VX2 4- a
Suy ra họ nguyên hàm của g(x) = Vx2 +1.
-3x2+ 3x + 5Bài 4: Cho y = X3 -3 x + 2
a) Um A, B, c để y -(x-1)2
b) Tìm Ỉ1Ọnguyên hàm của y.
B c+— —+ ■x-1 X+ 2
Bài 5: Chứng minh F(x) =
là nguyên hàm của f(x)
X2 X2 ——ln x ---- khi X> 0
khi X = 0
x ln x - —- kid X>04
Bài 6: Tim họ nguyên hàm của f(x) =
khi X= 0
xz -1
là một nguyên
(x + 5x + l)(x - 3x +1)
31
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
32/257
Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của f(x) = tan Ịx + u cot ụx + —J .
Bài 8: Tìm họ nguyên hàm của:
a)f(X) = | ị ^ b ) f (x )= - ^— X -X X -X
\ r / \ — x f / ^— x
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
33/257
F(x) =2>/2
.In tan2(sinx + cosx)
c) F(x) = — sin4x + — sin8x + — + c .32 128 16
Bài 3:Tính F '(x) rút gọn
jVx2 + ldx = — x-v/x2+1 + ln(x + Vx2+1)2 -
Bài 4:
Đồng nhất đa thức ta được A = 3, B - 2 , C - 1
+ c
F(x) = --------+ ln(x - 1)2+ In i X + 2 ị + c.X—1
Bài 5:
Vx>0,F'(x) = x lnx + — —= x lnx = f(x) 2 x 8
F'((T) = lim f - l n x - - Ì = lim
f ̂
Ins- lim —
x-»+4
lim —”— ox->o z= 0 .
Bài 6:
nu* ư u x2- l A x + BPhan tích ------------- ‘ — ---------------------- +*
(x + 5x + l ) ( x - 3x +1) X + 5x +1
Đồng nhất ta có A = —, B = , c = —, D = — 4 8 4 8
F(x) = - —In v 8
X + 5 x + 1
X —3x +1+ c
+ c .
Cx + D
? - 3x +1
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
34/257
s r n f x + —i . c o s i x + —ì s i n Í 2 x + —1 + s in - ^
Bài 7: Biến đỗi f(x) = — I— 3( )— = — ; ;------- -cosỊx + l Ị s inỊ x + l ) sm [2x + | ] - s i n |
cos2x + Ậ
2 -1 I 1 -1 I COS2 x1 1 3cos2x“— COS2 x - — 2 COS2 x-^-2 2 2
= 1 + ------£SEJÉ--------= 1 + .
2 - —(ĩ + tan2x) - - —tan22 2 2
d(tan x)=> jf(x)dx = x + 2 [---- Q^an. ; --------J(l-v 3 ta n x )(l +v3 tanx)
= x + -j=r ịf ------------------------ f t --------1d ( ~ j s tan x)v3 \ l - v 3 ta n x 1 + V3tanxj
_ 1 -1 + v3 tan X _ -X + —In ------- ------------+ c .
3 1 + —v/3 tan X
Bài 8:
. rx4 - 2 , fX2 + l , _ f dxa) -T------dx = ----- — d x - ---- r-—
J X - X •* X ■*x(x -1 )
y2 1 !(= — + 2 1 n |x Ị -- ln x 2 - l + C .
2 2
b) f - J £ _ = L £ ^ _ f * U A ln |x 2- l | - l n y + C.X —X X —1 X 2 I I 11
cl f. xdx - r X+1 dx f dx\/x + l WX + 1
= | ( x + 1)V(k + 1)s — f^ (x + l)s + c.
ư 2
d) f(x) = x2—X +1 =>F(x) = —— — + X+ C.3 2
Bài 9:
F(x) = - 2 cosỊx - — + — sin^x - — + — sin^3x - —'Ị+ c.
34
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
35/257
§2. TĨCH PHÂN
I. TÓM TẮT LÝ TH ƯY Ểr
a ỉiai. số; bất kỳ
thụộc: I. NếiijRi )̂ ỊặỊjn g ^ ạ íiàiii của j'(x) thì tíẹú :̂ Ố’: -F(b) - F(a) được'
• gội là tích phân củá f(x) íừ a đến b vả kýỉủệir: Jf(x)dx = F(x)|b.
-2. Định ty 1 Ghò'hàm! số ỵ ^:f(x) liên tịié^ộng âm trên khoảng I và a, b là haisô thuộc I (a < b);. Diea ticli 'hinh tìiảng ;eong gÌĐfi hạn;bơiUĩỒ thi V = f(x),
j ".;írục Ox yàĩiai đương ihãng x = a, X- 0 là: yỵ/'-' ' ..
í' — ụ- ): : Jf(x)dx. •' - •
3. Tmh chất cũa tích phân:Giả sử f(x) va g(x)"ịíien tục ừên l và ã, b, c ĩã ba số Mtkỳ thuộc I. Khi đóta có: ' . ‘ ,
■; ; | ị r ■■' ,■■:■ ->j\.\-.. •' ỉ. •
/rij- 4-, rjf(x}dx = - Ji( x) d x. . ; ; -Ạ>.! -kềỆ fiì^xỆi-.- i^ lổ íý ■: - 'r - ••i'
- ~ ; . f ' .'iff(xidx (x)dx =TJf( x ) d x f a. ■■'.! b ■ ‘a- ■■■V■ ■■í‘--P; '-i\- ,
b / .b y - i - / : ! ■' ■ -; .; . fkf(x)dxi= k (x)dx vớik (=.R ..
'£-■ Í' ■ ■ ■■ ■■■.V- . O , ' ■¥ :- - ; b r.i^i /V. '■
■- ' • >f (f ( - f ff e )d y :-&;fgffijr ; . I \V:/- , b I-1-
n. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BAN:D ạng J : 7in h | fch rphqn Q c^b âĩ Ịbằn g cTmhfighia . ,
Ị ẳ^Ệíc Ĩ Ị / ị p l í ^ l ^ ỉ^^Q^^Mệu-
1 .'Ệ*;-r-f í ' ' r:̂ ';
iÈÊÊÊẾÈÊÈăÊÈÊÊÊằẾỉầMÊịỉM
35
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
36/257
Bài 1: Tính I = J2 _ 3X + X - 2 x +1 dx.
= —+ ln 2 . 8
ĩ ĂGiải:
I=]H-Ặ+ẶMx+lllH+ỉ-£)2. (Ịx
Bài 2: Tính I = f ,1 VX + 1 + \ X - 1
Giải:
I = - RTĨTĨ - V ĩ^ĩ)(fa= ị í(x+ i y j ĩ ĩ ĩ - (X -2 1 3 1
= —(3>/3 - 2yỈ2 - 1 ) . .3 .
k /2Bài 3: Tínhl = J sin3x.cosxdx0
Giải:
1 31/2 1 f 1 1 'ì 1= — J [sin4x + sin2x]dx = - l - - - cos4x--ậs in2xj
Bài 4: Tính ĩ = "f4- ^ci Kf6 s m 2 x c o s2 x
1 =
Giải:
Ị = - ì + l + S - ^ = - j 3 .3 3
l - c o s 2 x ,
Giải:
Bài 5: Tínlil = f ị COS X
rr. l-c o s2 x 2sin2x nj_ 1T a có : ----- ~Ỷ — = ------- — = 2 t a n X.— -
co s X co s X cor
Do đó : I ~ 2 j tan2 xd(tanx) = —tan3X
0 3
cos2 Xk / 4
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
37/257
7/2
Bài 6: Tính I = J COSxvsin2 xdx. j i / 3
Giải:7c / 2 2 t t / 2 2
I = J COSx(sin x)3dx = J (sin x)3d(sin x)r c / 3 7 t / 3
5
- __ (sinx)3
I3
Bài 7: Tinlil =
k /2o . 3/ ■ 2= —sin XV sin X
«/. 3\ : £ j r ■- --
./» 5 ,/3 5 2 4
j ( £ W F ) d x .
Giải:
I —Je 2xdx+je2dx0. 0
I = - I j e-2*đ(-2x) + 2 jeM Ộ0 0 ^
I = —- e -2x +2.e2 2
= — L + 2 >/ e + - - 22e 2
2e 2
3 4 4
Bài 8: CỈ Jf(x)dx = 3và Jf(u)du = 7 - Tính Jf(t)dt -a 0 3
Giải:
Ta CÓ: |f(x)dx + jf(t)d t = jf(u)du0 3 0
Jf(t)dt = Jf(u)du - jf(x)dx = 7 -3 = 4.3 0 0
m KÍỈ 4 sin3 xBài 9: Tính I = f 4 dx
ị 1 + cosx
37
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
38/257
I = 4 ' f*ạ ■- 00
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
39/257
MBP i111wM
ItsHi
ni n Ệ&B
t z / 4 j z / Z
1= f (cos X- sin x)dx + f (sinx-cosx)dx0 ■ J z / 4
I = (sinx + cosx)|*/4 -( s in x + cosx)|’t/2 = V - 2.
r t / 3 ___ ______________ _ _____________
Bài 3: Tính I = I Vtan2x + cot2x -2 d x .rc/6Giải:
J t / 3 _________________________ x i 3
1= I i/(tan x-co tx)2dx = I |cotx-tanx jdxtc/6 tc/6
t c/ 3 j ĩ / 4 3 t / 3 O —
I = 2 f ịcot2x|đx = 2 f — dx- f C0S —-dx Á U / 6 S ừ l 2 x * /4 S Ì n 2 x
1= 2 lnịsin2x|Ị7C|4-ln|sin2x[|,c/3 =-21n— .
Bài 4: Tính I “ I Vx4 - 2x2 + ldx -2
G/ảĩ:
1= j/(x2-l)2dx= J|x2-l |dx-2 -2
‐
= J(xz- l )dx + j ( l - x 2)dx+j(x2 “ l)dx -2 -1 1
( s > f „ 3 Y ( s V _ X I X X= —— X + X- I + “—-X =4
J-2 V 3 J-1 V3 ) 1Vậy 1 = 4.
I t / 2
Bài 5: Tính I = J (VI+ cos2x - Vl-cos2 xjds —r c / 2
Giải:rc/2
I = y J (Ịcos x| - Ịsin x|)dx- I t / 2
' s/2= yỈ2 J (cosX + sin x)dx 4- J (cosX - sin x)dx
_ - je/2 0
= >/2^(sinx-cosx)|° /2 +(sinx +cosx)p/2j-= >/2(-l + l + 1 -1 ) = 0.
39
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
40/257
Bài 6: Tính I = jjln x| dx.1e
1 eI = J-lnxdx+ Jlnxdx
ỉ 1e
Giải:
Để ý rằng nguyên hàm của lnx là x(lnx - 1)Ị ĩ ie
Do đó: I ——x(lnx -1) Ịị + x(lnx —1) I
^ c o s í x ^ ì ‘
Bài 7: Tính I = f - v ; dx. Vl + sin2x
Giải:
Ta có: Vl + sin2x =yỊ(sìnX+ cosx)2 = Ịsinx + cosxỊ =
* / 4
I= V2 Ị.0 ,
cosíx + —ìl 4j
COS
siní X + — l 4
I t / 4 " ' ' “ I ■ . ịdx=
s“ ( x+ ĩ ]
dX
’ r ■% TU _ 7T TZ . , ^ 7C w Ax e [0 ;- ] — < X + — < — => sừi (x + —) > 0.4 4 4 2 4
Do đó: I = I ■ = lnsinlõ sin(x + —) V, 4
i r / 4
= -ln
7tBài 8: Tính I = jVl + cosxdx.
-v/2 sin X 4-
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
41/257
Bài 9: Tính I = f— JX-1 X —X -1 2
-dx.
Giải:
= 2/ ( ^ - 4 ^ + 3 )= f l f e - ? T ĩ ) fa - 7 *X2 - 4
X +32 1 3
= —ln—. 7 4
■ 4
B àil: Tính I = jmaxjx2 + l;4 x -2 |d x .0
Giải:
Xét f(x) = X2 + 1 - (4x - 2) — X2 - 4x + 3 trên [0, 4]
0 1 3 4Ta CỎ: f(x) + 0 — 0 +
Do đó: maxfx2+ 1, 4x - 2} = X2 + 1 trên [0; 1] u [3; 4]
và maxix2 + 1, 4x - 2}»= 4x - 2 trên [1; 3]1 3 4 a n
Vậy I = J(x2 + l)dx 4- J(4x - 2)dx +J(x2+ l)dx = ——.0 1 z ^
4
Bài2:TứửiI= JmaxỊx2;4x-3|.dx2
Giải:
Xét g(x) = X2 —4x + 3 ữên [2; 4] ta có:
X 1 2 3 4
f(x) o+
— 0 +
41
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
42/257
Do đó: max-Ịx2; 4x - 3} = X2 trên [3, 4]max{x2; 4x —3} = 4x —3 ừên [2, 3}
Í4X-3Hay maxỊx2; 4x - 3} = Ằ 2
xe[2;3]
Xe [3; 4]
3 4 £ 0
I = J(4x - 3)dx +jx2dx = — 2 3 ^3
Bài 3: Tính I = JminỊx;x2Ịdx.0
Để ý: min(x; X2) =
Giải:
xe[0;ĩ]
|x xe[l;3]
\ % X3 1 X2
Do đó: I = Jx2dx+Jxđx = -Ỵ + -^-0 ' 1 0
1 9 _ 1 . = X33 + 2 2 6 ■
1Bài 1: Chứng minh j
0
C0S7ĨX
-l+x l + x
, Vs e [0, 1]
Do đó: ( C0SĩĩX ds < [ ^ = lnỊx+l|* = ln 2. ị 1+x ổ1+x
Bài 2: Chứng minh —- < ị ^ 0
CLX n
4 + 3cos2 X 8
42
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
43/257
Giải:
X e [0, —] => 0 < cos2̂ < 1 => ị ^ - - — -------< — 2 7 4 + 3 cos X 4
Do dó: > f ; - o V j — 4 Í ; - 0 Ì 71,2 J 0J 4 + 3cos?x ế U J
ji/2 J = > J l á f Ị *
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
44/257
m. BÀI TẬP TỔNG HỢP
A. BÀI TẬP Tự LUẬN
B à i 1 : T í n h c á c t í c h p h â n s a u :
e X3 + x 2 - 2 x + l1
a) A = J ( l- x - x 2)2dx b) B= J0 . 1
c ) c = f , f e y _____ _ d ) D = f e W e ' - l d x .0JV x 7 ĩ- V ĩ^ ĩ 0J
Giải:1 ' 1
a) A = JCL+ X2 +x 4- 2 x + 2x3-2 x 2)dx= J(x4+2x3-X 2 -2 x + l)dx 0 0
r _ X 5 X 4 X3 2
5 2 3
30
2e3 + 4e - 1 32e2 2b) B=ị(1+x - | +ẩ )dx =(x +lnx +f" ^
c) c - [— T.-.-V— — . = —[í-v/x + 1 +fVx + l - V ^ I 2 P ;
= ỉ J(x + 1)1/2 d(x +1) + J(x -1 )1/2 d(x -1 )2 Li I
= ỉ[ (x +1 ) ^ /^ ĩ + (x - ĩ ) V^TỊỊ2 = |(3V ã - 2n/2 + 1 ).
d) D = jex>/ex - ld (e x) = lJ[(e‘ - l ) + l]Vex - ld (e x)0 0
* J(e“ - 1)3’2 d(e* _1)+ F _1)1/2 d(e*_1)0 0
- -1)5'2+l(e’ -c Ị= ( l(e‘ -1),^ +1(Í
D = —( e - l) 2 + - (e -1 ) V ẽ-L5 3
44
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
45/257
Bài 2: Tính các tích phânJt/2 ji/2
a) I = I sin2x.sin7xđx b) J = [ sin2 X. COS3xdx.-JC/2 0
Giải:.
a) I = — J (cos5x-cos9x)dx =—p 1s in õ x - -^ 1
X 4
SỈĨ13 X s i n 5
-it/2
i t / 2
_ 2 _ 15
n i z / í b) J = I sin2X(l - sin2 xỊ d(sin x) = —
0 V
Bài 3: Tính các tích, phân sau:2 n/2
a) H = j|X2 + 3x —ề|dx b) K = I ỊcosX —sin xị dx.0 0
Giải:1 2
a) Tacó:H = J(-x2 -3 x + 4jdx+ J(x2+ 3x -4jdx0 1
í X3 3x2= + 4x + 1 ------ 1---------- 4x = ỉ> .
1 3 2 J0 u 2 j i / 4 J t /2
b) K= Ị (cosx -sinx)d x+ J (s inx-co sx)dx0 • i t / 4
= (sinx + cosx)|*/4-(cos x-s inx)['*
= 7 2 - 1 - 1 + V2 = 2 ^ 2 - 2 = 2 (7 2 - 1).
Bài 4: Tính các tích phân2 1
a) L = Jmax|x;x2Ịdx b)K = Jm in|ex;e-X|d x . ‐
Giải:
. X3 3x:2 . ^+ — + — — 4x, 3 2 ,0 ^ ' 1
a) max{x;x2} = , X 0 ̂X
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
46/257
b) min{e*;e-x}= K 1
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
47/257
B ài8: Tìmxthoả: J(2t-4)dt = 5. 0
Giãi:
J(2t-4)dt = 5 ( t2 -4t) |x =5 o x z- 4 x - 5 = 0 o
0 0 1Bài 9: Tim số thực Kthoả: J(ex - e _x)dx = K - —.
-1 eGiảỉ:
j ( e ‘ -e-*)dx = (e‘ + e - f i = l + l - ỉ - e = 2 - ỉ - e
Do đó ta CÓ: K - —= 2 - —- e c > K = 2 - e . e e
Bài 10: Tính các tícỉipMn sau:
a) I = J (é51** + cosxjcosxds b) J = — dx .0 0e +1
Giải:tĩ /2 1C/2
a) 1= j eSÌEXd(sins)+ J0 0
X = -1X = 5
l + cos2x
b)
= e ^ r ' 2 + — X +—sin2xlo 2|_ 2 J 0
_ _ l[jí"| Jt -= e - l + —— = —+ e - l .
2[_2j 4
I . d ( 6 X + l ì I i ll ( 0 -Ị. 2.J= = In e* +1 = In
J e* +1 I llo ^ 2
Bài 11: Tỉnh các tích phân:
a) A = ”? — dx£ l + cos X
t c / 4
b)B= J
0
cos2x
1 + sin 2x
■dx
Giải:
lt/2-dfcos2x + l)
l - y d ( l + s in2x)= i ln | l + s in2;, } 2 J 1 + sin 2x 21 1
= -In 1 + cos X = In 2.
I"'4 = —In 2.lo 2
47
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
48/257
1 + cos2xdx
Bài 12: Tính I =sin X
Giỗ/.*ir/2 J \2
I = f cot4 X. COS2 xdx = f — -r------ 1 cos2 xdx*/4 ,/A sm X ;
= f ( c o t2x —\-----2cot2 x +COS2 X |dxsin2x )
z/2 rc/2/-* \ Ttl 21I = - J cot2 xd(cotx)-2 J — -^----- ljcbs: + J —-
s / 4 J i / A s * n x ' s / 4
f -v-jit/21 = c ot3 x + 2 c o t x + 2 x + 4 x + —s in 2 x
L 8 . 2 l x 2 4 , 4
_ + 71 _j_ 1 2 - 71 n ^ = 5 U ^4 3 ~ 2 ~ 8 ~ 4 8 ~ 12' Bài 13: Tính các tích phân sau:
a) A = J^x + —+ 2dx b) B = jVx3-2 x 2 + xdx.
Giải:
a) A=‘il^ỹdx=?(VI+í)x= p W Ĩ +2^ ĩ 16 ; 2 -
tu/2 6 _
= - —+ 4 - —- 23 3
A = — + 2.3
b) B= ịyjx(x - 1)2 đx = J]x - lj'Vxdx0 0
1 2B —|( l - x) yfxdx + J(x —l) Vxdx
0 1
= J(x1/2 - x 3/2Ịdx+ J(x3/2 - x 1/2)dx
= ± s ^ ~15 15
48
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
49/257
a) I = Jx^(x +1)3dx0
Bài 14: Tính các tích phân sau:
b)J= J.dx
ịx (x + 1)
Giải:
a) 1= J(x + l - l ) ( x + l)3/2 dx = jf(x + l)5/2-( x + l)3/2]dx0 0 J
= ^ ( x + 1)3 Vx+T--g(x + l)2VxT lj
7 5 7 5 35 35
8
2 X2 - K2 + 1 2dx=J.
2 2 24 r ị _4
+ 352 2 1
dx- f- x 1' x2(x + l) ^x2(x+l) j*x2(x + l)
2 J 2 1 2 2 _ ..= p Ề L _ p z l d x . t t . f iz id x
{X+l I X 'x + l ị X
J = ^l n|x + l | - l n | x | - ỉ j
dx
= L n3 -In2 -—-ln 2 + l 2
J = ln3 —21n2 +2
Bài 15: Tính các tích phân\ T _ V dx 2x —3
X + 4x + 4-dx.
Giải:
\ ĩ = 3f x + l ~ x H - 3f X + '*'J x ( x - l ) ( x + l ) ~ J x ( x - l ) ( x + l)
• 1= j f—ỉ — jf—ỉ ------ -—ìdx^ x - 1 x j 2 ' t x - l X + 1J
3 3, x - l 1. x - 11 = In - — - —In ——-
X 2 2 x + l 2
I = ln—-I n— In—+—In— 3 2 2 2 2 3
x ( x - l ) ( x + l )dx
I = —ln 2 - —In 3.2 2
49
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
50/257
b) J= lJ _ 2 ^ d x = | ! í i l ậ l Z dx= 2 Ì - ^ - 7 j r ^ - ĩ +4 X + 4 J (x + 2) 0 X + 2 (x + 2)
“ ( 21“ l*+2l+ 7 ĩ ã ) 1 3' 7 = 2 I n ——
2 6
Bài 16: Tính các tích phân2tĩ
a) A = I Vl + sin xdx0
4
b) B = J|x2-3x + 2|dx.-1
Giải:
X Xsm—+ COS— d x
271 17 - \ 2 2 «
a) A = f J sin—+ cos— dx = f — 0J \ l 2 2 ) J 2 2
= ̂ H ( f - f )*= =2̂ 2 ll^ t f "â
,, . X 71Đătt = — 2 43JI/4
A= V J ỊcostỊdt-ít
r t / 2 3 t i/ 4
= V J costdt- J costdt- i t / 4 t c / 2
= 2 >/2[sint|^4 -sin t|“ 4] = 4,/2.
b) B — J(x2 -3 x + 2^dx+ J(“X2 +3x-2jđx+ J(x2 -3 x + 2jdx - 1 1 2
B = I—— — + 2x3 2
B - H .
^ 3 x 1 Q ' —T- + -T— 2xv 3 2
‐ ^
2
ĩ e / 2
Bài 17: Chứng minh: — < Je"“ *rd x ắ - .2e £ 2
Giải:
-1 < -s in 2X < 0 => e-1 < e~s“2* < e° ĩc/2 it/2 jc/ 2 w/2
j e-1dx< j V sin2xdx< J ld x= — ầ J e-shl2xd x< —. ^
í r:
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
51/257
1 V *Bài 18: Chứng minh: 1 - —< fe'x dx 0 1 > e"*2> e' Do đó:
-X
1 1 1 1 1 1 1Je-Xdx < Je_xSdx < Jdx -e-xỊ < Je_x2dx < 11 - —< Je~0 0 0 0 e 0
9 2
Bài 18: Chứng minh: ~ < íex ”xdx£2.e2.Ve 0
Giải:
Xét f(x) = X2 - Xtrên [0, 2] ta có: < f(x) < 24
Do đỏ: e 4 ̂e**-* < e2 => |e “1/4dx £ |e*2_xđx < Je2dx0 0 0
ọ 24 = 2 0 < cos X ắ 1
rt /2 t t /2
sin2x = 2sinxcosx < 2sinx do đó J sin 2xdx á 2 I sin xdx.0 0
ỉt/2 J20: Chứne minh: —< f --------- 7— < —.Bài20: Chứng minh: —< j
4 0 4+ 3cos2X 8
Giải:
~ , 1 1 1Ta có: —£ ---- —-—T— < — 7 4 + 3cos X 4
D o đ 6 : i í i - o ) s ' f — ^ - s ỉ í i - o ì7^2 J jỊ 4 + 3cos X 4^2 J 1ÍỈ2 1 _ ĩí f dx TU
— ^ I14 J0 4 + 3 c o s2 x 8
;2d x ^ l.
51
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
52/257
Bài 21: Chứng minh:rCOSTCX' 1 + x
dx
Giải:
< In 2.
Ta có:
Do đó:
rCOSTCX
I 1 + X
rCOSTCX
l + xdx
o l1 + x o(x + 1) ox + 1
áln ịx + llị1 =ln2.0
Bài 22: Cho f và g là các hàm số liên tục trên [0,1] và có miền giá trị là [0,1].
Jf(x)g(x)đx < Jf(x)dxlí Jg(x)dxì..0 J lo / V.0 )
Chứng minh:
Giải:
fo á f(x).g(x) á f(x) Ịo < f(x).g(x) < g(x)Ta có: V x e[ 0 #l]=> | ° ẩ f(x )á l [ 0 < g ( x ) < 1
1 1Do đó: Jf(x).g(x)dx < Jf(x)dx
0 01 1Jf(x).g(x)dx < |g(x)dx 0 0
'l I2 f l W1=> Jf(x)g(x)dx < |f(x)dx . |g(x)dx
.0 J lo /Lo
Bài 23: Tính I = JmaxỊx3;4x2-3 x |d x .0
Giải:
Xét f(x) - X3 —(4X2 - 3x) = X3 —4X2 + 3x
f(x) = ^(x2 - 4x + 3)
Vx f(x) > 0: m axfx^x2 —3x} = X3
Vx e [1, 3] => f(x) < 0: max{x3;4x2 —3x} = 4X2—3x1 3
Do đó: I = Jx3dx + j(4x2 -3x)đ xft 1
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
53/257
Bài 24: Cho f(x) = Vx + 2-n/x^T + Vx ~2V x^T . Tính: I = jf(x)dx .1
G/ỏ ỉ;
f(x)= J ( v * - l+ l)7 +yjf jx- l - ĩ f = V x - l+ l + |V x - l- l|
í 2 khi 1< X
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
54/257
a) Xétf(x)sinx
f(x) =
Giảiỉ
Xcos X — sin X
X X“
Xét g(x) —xcosx —sinx => g’(x) = —xsinx
Vx €% %
6 }3
g’(x) < 0 => g(x) nghịch biến
X> — > 0 => g(x) < g(0) = 0 => f (x) < 0 : hàm số f(x) nghìch biến toên 6
% 7C6'"3
maxf(x) = f 6j
3V |2tc
, V 3-73 < v v 3 2ti 7U 2* u 6 J Je n 6
■v/3 n/f sin X 1 ——< —— dx
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
55/257
Bài 29: Tìm tập hợp các giá trị X để j(2t - l)dt = 2.1
Giải: x x •J(2t- 1)dt = 2 (t2 -t) | = 2 x2- x = 2
o x 2-—X —2 = 0 o x = - l v à x = 2.
Bãi 30» Tmh §13-tn CU3. |V?dx.-1
Giải:
1 . __ 1 . . 0 1 2 jVx2dx = J|x|dx = J-xdx + Ịxdx =-1 -1 -1 0 2
2Bài 31: Tính giá trị của j]x-l|dx.
0
-1
Giải:
j|x - l|dx = J(l - x) dx + |(x - 1) dx = x - “̂ j 0 0 1 /
= 1_ I + 2 - 2 - - + 1= 1 .2 2
2Bài 32: Tính giá trị của Jmin (x, X2) dx .0
Giải:1
2 1 2 X3Jmin(x, X2 )dx = Jx2dx + Jxdx =0 0 1 ' ^
jt/3Bài 33: Tính giá trị của Ị |sin x| dx.
-tt/2
+q = — + 20 4 3
Giải:/ 3 0 s / 3 ....
J |sinx|chc = J -sin xđx+ J sinxđx = cosx|_ /2- [/2 -*/2 0
n/3
1‐
= l - ỉ + l = l . 2 2
ì 2-XA
Ị. = ỊỊ 2 6 ■
____ _ | J i / 3cosx|;
55
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
56/257
JlBài 34: Tính giá trị của jV2 + 2cos2xdx .
0Giải:
I = ị\/2 + 2cos2xdx = jyj2 (l + COS2x)dx = j2ịcos xj dxó 0 0
ĨỈ2 Jt — J cosxdx+ J-cosxdx = 2 sinx|* - shix ]*̂0 ĩi/2 J
I = 2[l + 1] = 4.3 4 4
Bài 35: Cho Jf(u)du = 3và Jf(t)dt = 7 thì giá trị Jf(x)dx.0 0 3
Giảừ 4 0 4 3 4
I = Jf (x)dx = Jf(x)dx+ Jf(x)dx =-Jf(x)dx + Jf (t)dt = -3 + 7 = 4.3 3 0 0 0
Bài 36: Tìm Xthoả f— = 1./ t
Giải:
J ^ =lnI C =lnlxl“ ln2 = 12
o lnịxị = ln2 + 1 = lnăe X- 2e (x > 0).
Bài 37: Tim X thoả Jjxị dx =m .0
Giải:
Nếu m > 0 thì I = j]x|đx = Jxdx = — 0 D 2
m~2
I —m ----= mm = 0 V m = 22 f
m 0 2Nêu m
-
8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ
57/257
Bài 38: Cho f = lna. Tìm a? J2x + 1
Giải:
= —In32
1=J 2x +1 2 ' 2x +1 2 1
I = I r a o —ln3 = Ina a = yịs.2
1/2Bài 39: Cho JC087ĩxdx = m +1. Tìm giá trị của m.
0
II2I COSTIxdx = —sừl7CX