c3tranhungdaohd.edu.vnc3tranhungdaohd.edu.vn/thd/vn/upload/info/attach/... · 2020. 2. 10. · SỞ...
Transcript of c3tranhungdaohd.edu.vnc3tranhungdaohd.edu.vn/thd/vn/upload/info/attach/... · 2020. 2. 10. · SỞ...
SỞ GD & ĐT HÀ NỘI
Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO
HÀ ĐÔNG
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2
MÔN: TOÁN LỚP 11
A . NỘI DUNG ÔN TẬP LÝ THUYẾT: GỒM 2 PHẦN
• ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11: Gồm các nội dung: cấp số cộng, cấp số nhân, giới hạn
dãy số và giới hạn hàm số.
• HÌNH HỌC 11: gồm các nội dung: đường thẳng và mặt phẳng sog song, hai mặt
phẳng song song, véc tơ trong không gian.
I . ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
CẤP SỐ CỘNG
• TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng un+1 = un + d, n N* (d: công sai)
2. Số hạng tổng quát: 1 ( 1)= + −nu u n d với n 2
3. Tính chất các số hạng: 1 1
2
− ++= k k
k
u uu với k 2
4. Tổng n số hạng đầu tiên: 11 2
( )...
2
+= + + + = n
n n
n u uS u u u =
12 ( 1)
2
+ −n u n d
• BÀI TẬP:
DẠNG 1: Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng.
DẠNG 2: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng.
Phương pháp:
• Dãy số ( )nu là một cấp số cộng 1+ − =n nu u d không phụ thuộc vào n và d là công sai.
• Ba số , ,a b c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng 2 + =a c b .
• Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường
biểu diễn giả thiết của bài toán qua 1u và d .
CẤP SỐ NHÂN
• LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa:(un) là cấp số nhân un+1 = un.q với n N* (q: công bội)
2. Số hạng tổng quát: 1
1.−= n
nu u q với n 2
3. Tính chất các số hạng: 2
1 1.− +=k k ku u u với k 2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1
1
(1 )1
1
= =
− = −
n
n
n
S nu vôùi q
u qS vôùi q
q
• BÀI TẬP
DẠNG 1: Xác định cấp số nhân vafcacs yếu tố của cấp số nhân.
DẠNG 2: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân.
Phương pháp:
• Dãy số ( )nu là một cấp số nhân 1+ =n
n
uq
u không phụ thuộc vào n và q là công bội.
• Ba số , ,a b c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân 2 =ac b .
• Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường
biểu diễn giả thiết của bài toán qua 1u và q .
GIỚI HẠN DÃY SỐ
• LÝ THUYẾT TÓM TẮT
GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC
1.Giới hạn đặc biệt:
1
lim 0n n→+
= ; 1
lim 0 ( )kn
kn
+
→+=
lim 0 ( 1)n
nq q
→+= ; lim
nC C
→+=
2.Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
• lim (un + vn) = a + b
• lim (un – vn) = a – b
• lim (un.vn) = a.b
• lim n
n
u a
v b= (nếu b 0)
b) Nếu un 0, n và lim un= a
thì a 0 và lim nu a=
c) Nếu n nu v ,n và lim vn = 0
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim nu a=
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1
1
u
q−( )1q
1. Giới hạn đặc biệt:
lim n = + lim ( )kn k += +
lim ( 1)nq q= +
2. Định lí:
a) Nếu lim nu = + thì 1
lim 0nu=
b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim n
n
u
v=
0
c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0
thì lim n
n
u
v =
. 0
. 0n
n
neáu av
neáu av
+ −
d) Nếu lim un = +, lim vn = a
thì lim(un.vn) = 0
0
neáu a
neáu a
+ −
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng
vô định: 0
0,
, – , 0. thì phải tìm
cách khử dạng vô định bằng cách:
+ nhân chia với biểu thức liên hợp
+ chia cả tử và mẫu cho n có số mũ cao
nhất.
…..
• BÀI TẬP: gồm 2 dạng cơ bản
DẠNG 1: Tính giới hạn dãy số bằng định nghĩa.
DẠNG 2: Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý, các giới hạn cơ bản.
Phương pháp:
• Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
• Khi tìm ( )
lim( )
f n
g n ta thường chia cả tử và mẫu cho kn , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và
mẫu.
• Khi tìm lim ( ) ( ) −
k mf n g n trong đó lim ( ) lim ( )= = +f n g n ta thường tách và sử dụng
phương pháp nhân lượng liên hơn.
+ Dùng các hằng đẳng thức:
( )( ) ( )( )3 32 23 3 3;a b a b a b a b a ab b a b− + = − − + + = −
GIỚI HẠN HÀM SỐ
• LÝ THUYẾT TÓM TẮT
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
0
0limx x
x x→
= ; 0
limx x
c c→
= (c:
hằng số)
2. Định lí:
a) Nếu0
lim ( )x x
f x L→
= và 0
lim ( )x x
g x M→
=
thì: 0
lim ( ) ( )x x
f x g x L M→
+ = +
0
lim ( ) ( )x x
f x g x L M→
− = −
0
lim ( ). ( ) .x x
f x g x L M→
=
0
( )lim
( )x x
f x L
g x M→= (nếu M 0)
b) Nếu f(x) 0 và 0
lim ( )x x
f x L→
=
thì L 0 và 0
lim ( )x x
f x L→
=
c) Nếu 0
lim ( )x x
f x L→
= thì 0
lim ( )x x
f x L→
=
3. Giới hạn một bên:
0
lim ( )x x
f x L→
=
0 0
lim ( ) lim ( )x x x x
f x f x L− +→ →
= =
1. Giới hạn đặc biệt:
lim k
xx
→+= + ; lim k
x
neáu k chaünx
neáu k leû→−
+=
−
limx
c c→
= ; lim 0kx
c
x→=
0
1lim
x x−→= − ;
0
1lim
x x+→= +
0 0
1 1lim lim
x xx x− +→ →= = +
2. Định lí:
Nếu 0
lim ( )x x
f x L→
= 0 và 0
lim ( )x x
g x→
= thì:
0
0
0
lim ( )
lim ( ) ( )lim ( )
x x
x xx x
neáu L vaø g x cuøngdaáu
f x g xneáu L vaø g x traùi daáu
→
→→
+
= −
0
0 0
0
0 lim ( )
( )lim lim ( ) 0 . ( ) 0
( )
lim ( ) 0 . ( ) 0
x x
x x x x
x x
neáu g x
f xneáu g x vaøL g x
g x
neáu g x vaøL g x
→
→ →
→
= = + = − =
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô
định: 0
0,
, – , 0. thì phải tìm cách khử
dạng vô định bằng cách:
+ phân tích thành nhân tử và rút gọn.
+ nhân chia với biểu thức liên hợp.
+ chia cả tử và mẫu cho x có số mũ cao nhất.
+…..
• BÀI TẬP: gồm các dạng bài tập cơ bản sau:
DẠNG 1: Tính giới hạn hàm số bằng định nghĩa hoặc giới hạn tại một điểm xác định.
DẠNG 2: Tính giơis hạn dạng vô định 0
0
DẠNG 3: Tính giơis hạn dạng vô định
DẠNG 4: Tính giơis hạn một bên và dạng vô định khác.
Phương pháp:
1. L = 0
( )lim
( )→x x
P x
Q x với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 (dạng
0
0)
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn hoặc nhân chia với lượng liên hợp của tử,
của mẫu,…
2 . L = ( )
lim( )→x
P x
Q xtrong đó ( ), ( ) →P x Q x , dạng này ta còn gọi là dạng vô định
.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc
nhân lượng liên hợp.
3. Giới hạn một bên :Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương..
4. Dạng – : Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng pp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó biến đổi đưa về dạng
.
5. Dạng 0.:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
II . HÌNH HỌC 11.
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
• LÝ THUYẾT TÓM TẮT:
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( ) , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:
• d và ( ) cắt nhau tại điểm M , kí hiêu ( )= M d hoặc để đơn giản ta kí hiệu
( )= M d (h1)
• d song song với ( ) , kí hiệu d// ( ) hoặc ( ) //d ( h2)
• d nằm trong ( ) , kí hiệu ( )d (h3)
2. Các định lí và tính chất.
( ) • Định lý 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng
và d song song với đường thẳng 'd nằn trong ( )
thì d song song với ( ) .
• Định lý 2:Cho đường thẳng d // ( ) . Nếu mặt
phẳng ( ) đi qua d và cắt ( ) theo giao tuyến
'd thì 'd //d
• BÀI TẬP: gồm 2 dạng cơ bản sau
DẠNG 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
DẠNG 2: Xác định thiết diện song song với đường thẳng.
Phương pháp 1
dùng điều kiện cần và đủ để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) .
Chứng minh d song song với một đường thẳng chứa trong ( )
• Hê quả:Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng
song song với một đường thẳng thì giao tuyến
của chúng ( nếu có) cũng song song với đường
thẳng đó.
d
h1
αM
d
h3
α
d
h2
α
d'
d
h3
α
d'
dβ
α
d'
d
β
α
Phương pháp 2
Cơ sở của phương pháp là dùng định lý phương giao tuyến song song.
- sử dụng định lý 2.
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
• LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) có 3 vị trí tương đối.
( ) / /( ) ( ) cắt ( ) ( ) ( )
2. Định nghĩa hai mp song song: Hai mặt phẳng ( ) và ( ) được gọi là song song với
nhau nếu chúng không có điểm chung.
3. Các định lý:
. Định lí 1: Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song
song với mặt phẳng ( ) thì ( ) song song với ( ) .
Hệ quả: Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b lần lượt song
song với hai đường thẳng a’, b’ nằm trong mặt phẳng ( ) thì mặt phẳng ( ) song
song với mặt phẳng ( ) .
, ( )
( ) / / ( )/ / ', / / '
', ' ( )
=
a b
a b O
a a b b
a b
Lưu ý: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt
phẳng này đều song song với mặt phẳng kia.
. Định lí 2 : (Định lí giao tuyến thứ tư) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt
phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với
nhau.
( ) / / ( )
( ) ( ) / /
( ) ( )
= =
a a b
b
. Định lí 3 : (Định lí Ta-lét trong không gian); định nghĩa hình lăng trụ, hình
hộp, hình chóp cụt,….
• BÀI TẬP: gồm 2 dạng cơ bản:
DẠNG 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song.
DẠNG 2: Xác định thiết diện của ( ) với hình chóp khi biêt ( ) song song với một
mặt phẳng ( ) cho trước.
Phương pháp:
Chứng minh 2 mặt phẳng song song
Phương pháp 1
+ phương pháp chứng minh hai mặt phẳng ( ) và ( ) song song nhau là:
- Bước 1: Chứng minh ( ) chứa hai đường thẳng ,a b cắt nhau lần lượt song song với hai
đường thẳng , a b cắt nhau trong mặt phẳng ( ) .
- Bước 2: Kết luận ( ) ( ) theo điều kiện cần và đủ.
Phương pháp 2
- Bước 1: Tìm hai đường thẳng ,a b cắt nhau trong mặt phẳng ( ) .
- Bước 2: Lần lượt chứng minh a// ( ) và b // ( )
- Bước 3: Kết luận ( ) // ( ) Để xác định thiết dienj khi biết ( ) // ( ) Ta thường sử dụng định lý 2 và hệ quả.
VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
• LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa véctơ và các phép toán
β
α
O
b'
a'
b
a
• Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn
tương tự như trong mặt phẳng: hệ thức trung điểm, trọng tâm, 2 véc tơ cùng
phương,vv…
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. ABCD, ta có:
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt
phẳng.
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , trong đó không cùng
phương. Khi đó: đồng phẳng ! m, n R:
• Cho ba vectơ không đồng phẳng, tuỳ ý.
Khi đó: ! m, n, p R:
3. Tích vô hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian:
•Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho . Khi đó:
+ Với . Qui ước:
+
• BÀI TẬP :gồm các dạng toán thường gặp sau đây:
DẠNG 1: Chứng minh đẳng thức vec tơ.
DẠNG 2: Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một
vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.
+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n R: thì
đồng phẳng
+ Để phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n,
p sao cho:
DẠNG 3: Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian, tính độ dài của đoạn
thẳng, véctơ.
+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở
. Vì vậy để tính độ dài của đoạn ta thực hiện theo các bước sau:
- Chọn ba vec tơ không đồng phẳng so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc
giữa chúng có thể tính được.
+ =AB BC AC
AB AD AC+ =
' '+ + =AB AD AA AC
, ,a b c a vaø b
, ,a b c = +c ma nb
, ,a b c x
= + +x ma nb pc
0 0, ( , ) (0 180 )= = = AB u AC v u v BAC BAC
, 0u v . . .cos( , )=u v u v u v
0 0= =u hoaëc v . 0=u v
. 0⊥ =u v u v
c ma nb= +
, ,a b c
x , ,a b c
x ma nb pc= + +
22 2
a a a a= = MN
, ,a b c
- Phân tích
- Khi đó
DẠNG 4: Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không
gian.
Sử dụng các kết quả
• là bốn điểm đồng phẳng
• là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm bất kì ta có
trong đó .
II . BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1 . cấp số cộng – cấp số nhân.
Bài 1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết u1 + 2u5 = 0 và S4 = 14.
Bài 2. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết u1 + u5 – u3 = 10; u1 + u6
= 17.
Bài 3. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết u7 + u15 = 60 và (u4)² +
(u12)² = 117
Bài 4. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết u1 + u3 + u5 = –12 và
u1u2u3 = 8
Bài 5. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng tăng, biết tổng của chúng bằng 27 và
tổng các bình phương của chúng là 293.
Bài 6. Tìm x sao cho 3 số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng, biết a = 10 – 3x, b
= 3x² + 5, c = 5 – 4x.
Bài 7. Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu là u1 = 1 và công sai d = 1. Tìm n sao cho
tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng 3003.
Bài 8. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết u1 – u3 + u5 = 65; u1 + u7 =
325
Bài 9. Tìm công bội của cấp số nhân (un) là dãy số giảm có u2 – u3 = 768 và u2 – u5 =
1008
Bài 10. Tìm công bội của cấp số nhân hữu hạn có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448
và tổng số các số hạng là 889.
MN ma nb pc= + +
( )22
MN MN MN ma nb pc= = = + +
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 cos , 2 cos , 2 cos ,m a n b p c mn a b np b c mp c a= + + + + +
, , ,A B C D DA mDB nDC = +
, , ,A B C D O
OD xOA yOB zOC= + + 1x y z+ + =
Bài 11. Số số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn. Tổng tất cả các số hạng của nó
lớn gấp 3 lần tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Xác định công bội của cấp số đó.
Bài 12. Tìm 3 số hạng đầu a, b, c của một cấp số nhân, biết rằng a, b + 2, c tạo thành
một cấp số cộng và a, b + 2, c + 9 lập thành một cấp số nhân.
Bài 13. Tìm các số a, b sao cho a, a + 2b, 2a + b là 3 số liên tiếp của cấp số cộng và (b +
1)², ab + 5, (a + 1)² là ba số liên tiếp của cấp số nhân.
Bài 14. Cho cấp số nhân (un) thoả mãn u4 – u2 = 12 và u5 – u3 = 24. Tính u1; q, tổng S5
2 . Giới hạn dãy số.
BÀI 1:Tính các giới hạn sau: (Chia cả tử và mẫu cho na với số mũ a cao nhất Hoặc đặt nhân
tử chung)
1,lim(n2 − n + 1). 2, lim(−n2 + n + 1). 3, lim 8n3n2 2 −−
4, lim 3 3nn21 −+ 5, lim(2n + cosn). 6, lim(2
1n2 − 3sin2n + 5).
7, 8, 9, lim
10, 11, 12,
13,lim– n2 + n – 1
2n2 – 1 14, lim
4n – 1
n + 1 15 lim
16, 17, 18,
Bài 2: Tính các giới hạn sau: (Chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất)
1, 2, 3, ĐS: 0
4, 5, 6,
BÀI 3: Tính các giới hạn sau: (Tử ở dạng vô cùng ±vô cùng; Mẫu ở dạng vô cùng + vô cùng
;bậc của tử và mẫu bằng nhau thì ta chia cho số mũ cao nhất của tử hoặc mẫu)
1, 2, 3,
4, 5, 6,
7, 8, 9,
10, 11, 12,
3 2
2 1lim
4 3
n
n n
+
+ +
2
4
1lim
2 1
n
n n
+
+ +
2
4
1
2 1
n
n n
+
+ +
2
2
2 3lim
3 2 1
n n
n n
− +
+ +
3 2
3
3 2lim
4
n n n
n
+ +
+
4
2lim
( 1)(2 )( 1)
n
n n n+ + +
1n2n
3n2
3 3 +−
−
4 2
3 2
2 3lim
3 2 1
n n
n n
+ −
− +
+ +
−
3 2
2
3 2lim
4
n n n
n
− + +
+
24 2 5lim
3 1
n n
n
1 3lim
4 3
n
n
+
+
14.3 7lim
2.5 7
n n
n n
++
+
1 24 6lim
5 8
n n
n n
+ ++
+12 5
lim1 5
n n
n
++
+
1 2.3 7lim
5 2.7
n n
n n
+ −
+ 1
1 2.3 6lim
2 (3 5)
n n
n n+
− +
−
2
2
4 1 2 1lim
4 1
n n
n n n
+ + −
+ + +
2
2
3 4lim
2
n n
n n
+ − −
+ +
32 6
4 2
1lim
1
n n
n n
+ −
+ +
2
2
4 1 2lim
4 1
n n
n n n
+ +
+ + +
(2 1)( 3)lim
( 1)( 2)
n n n
n n
+ +
+ +
2 2
2
4 4 1lim
3 1
n n n
n n
− − +
+ +
+ +2lim( 3 )n n n − − +2lim( 2 2013)n n n ( )2lim n n n− −
+ − +2lim( 1 5)n n + − +2lim( 2013 5)n n 2lim 2 1n n n
+ − −
13, 14,
15, 16,
17, 18,
Bài 4: Tính các giới hạn sau :
1, lim(n2 − n + 1). 2, n n
n n
3 4 1lim
2.4 2
− + +
3, lim7.4 2 2.5
3 4.5
n n n
n n
− +
−
4) lim(−n2 + n + 1). 5, . 6. .
7, . 8, . 9, .
10, . 11, . 12,
.
13, . 14, . 15, .
16, . 17, .
18, .
19, 2 2 2 2
[2 5 8 ... (3 1)].2nlim
1 2 3 ...
n
n
+ + + + −
+ + + +
3. giới hạn hàm số.
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu khác 0 thì giới hạn bằng f(a).
+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu bằng 0 tử khác 0 thì giới hạn bằng .
1, 3xlim→
(x2 + x). 2,x 1
xlim
x 1→ − 3,
2 2lim 2n n n
+ − +
3 3lim 2 1n n n
− + −
2 4lim 1 3 1n n n + − + +
2 2
2
4 4 1lim
3 1
n n n
n n
− − +
+ −
2 2
1lim
2 4n n+ − +
2
2
4 1 2 1lim
4 1
n n
n n n
+ − −
+ + −
4
2lim
( 1)(2 )( 1)
n
n n n+ + + 3 2
2 1lim
4 3
n
n n
+
+ +
2
2
4 1 2 1lim
4 1
n n
n n n
+ + −
+ + +
2
2
3 4lim
2
n n
n n
+ − −
+ +
32 6
4 2
1lim
1
n n
n n
+ −
+ +
2
2
4 1 2lim
4 1
n n
n n n
+ +
+ + +
2 2
2
4 4 1lim
3 1
n n n
n n
− − +
+ +
2
2
4 1 2 1lim
4 1
n n
n n n
+ − −
+ + −
+ +2lim( 3 )n n n 2 4lim 1 3 1n n n + − + +
2lim 2 1n n n
+ − −
2
2
2coslim
1
n
n +
1 1 1lim ...
1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n
+ + +
− +
1 1 1lim ...
1.3 2.4 ( 2)n n
+ + +
+
2 3
0
1lim
1x
x x x
x→
+ + +
+
4, 5, 6,
7, 8, 9,
10, 11,
Bài 2: Tìm các giới hạn sau: (Khi thay x=a vào f(x) thấy tử =0; mẫu =0 ta rút gọn mất nhân tử rồi thay
tiếp tới khi mẫu khác 0 là xong) còn nếu mẫu =0 tử khác 0 thì kq là
1,
2
x 1
x 1lim
x 1→
−
− 2,
0xlim→
x1
2x
−
3,
2xlim→ 4x
8x2
3
−
−.
4,1x
lim→ 1x
1x4x3 2
−
+− 5,
2x
2x3x2lim
2
2x −
−−
→ 6, ĐS: -8
7, 8, 1x
3x5x3xlim
2
23
1x −
−+−
→ 9,
2 3
1
1lim
1→−
+ + +
+x
x x x
x
10, 9x8x
9x3x5xlim
24
23
3x −−
++−
→ 11, 12,
13, 1x
xx5x4lim
2
56
1x −
+−
→ 14,
21
2 1lim
1 1x x x→
−
− −
15, 31
1 3lim
1 1x x x→
−
− −
16, 2 2x 1
x 2 x 4lim
x 5x 4 3(x 3x 2)→
+ −+
− + − +
Bài 3 Tìm các giới hạn sau: (Một căn bậc 2)
1, 2, 3, x4
35xlim
4x −
−+
→
4, 9x
lim→ 2xx9
3x
−
−
5,
49x
3x2lim
27x −
−−
→ 6,
3x4x
4x7x2lim
231x +−
−++
→
7, 1x
2x3xlim
2
3
1x −
−−
→ 8,
1x
x3x3xlim
32
1x −
−++
→
Bài 4: Tìm các giới hạn sau: (Hai căn Bậc 2)
1, x
x1x1lim
0x
−−+
→ 2,
23x
1xlim
1x −+
−
→ 3,
31x4
x2xlim
2x −+
−+
→
4, 5,3x2
37x2lim
1x +−
−+
→ 6,
1x
xxlim
2
1x −
−
→
7, x51
x53lim
4x −−
+−
→
ĐS:-1/3 8, 9, 3x3
2x3x2lim
1x +
+−+
−→
10, 1x
1x1xlim
2
1x −
−+−+→
11, 0x
lim→ 9x23
11x
+−
−+ 12,
2xlim→ x31x
x22x
−−−
−+
2
1
3 1lim
1x
x x
x→−
+ −
−2
sin4lim
x
x
x→
−
41
1lim
3x
x
x x→−
−
+ −
2
2
1lim
1x
x x
x→
− +
−
2
1
2 3lim
1x
x x
x→
− +
+ 1
8 3lim
2x
x
x→
+ −
−
3 2
2
3 4 3 2lim
1x
x x
x→
− − −
+
2
0
1lim sin
2xx
→
4
3 22
16lim
2x
x
x x→−
−
+3 2
21
1lim
3 2x
x x x
x x→
− − +
− +5
31
1lim
1x
x
x→−
+
+
5 6
21
5 4lim
(1 )x
x x x
x→
− +
−
22
4 1 3lim
4x
x
x→
+ −
−
2
0
1 1limx
x
x→
+ −
2
2 2lim
7 3x
x
x→
+ −
+ −
1
2 2 3 1lim
1x
x x
x→
+ − +
−
15, 16, 17,
18, ax
lim→ 22 ax
axax
−
−+−, với a> 0. ĐS: a1/ 2 19,
1xlim→ x3x3x
1x
32 −++
−
Bài 5: Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp,Đặt nhân
tử, dấu giá trị tuyệt đối)
1, →−xlim (3x3 −5x2 + 7) 2, )32(lim 3 xx
x−
+→ 3, 3lim(2 3 )
xx x
→−
4, →+xlim − +42x 3x 12 . 5, 2lim 3 4
xx x
→− + 6,
→+xlim
−
+
3
2
x 5
x 1
7,
3
2x
2x xlim
x 2→+
−
+ 8,
x
2x 1lim
x 1→+
+
− 9,
4 5
4x
3x 2xlim
5x x 4→−
−
+ +
10,
2
2x
x 1lim
1 3x 5x→−
+
− − 11,
2
2x
3x(2x 1)lim
(5x 1)(x 2x)→−
−
− + 12,
2x
x x 1lim
x x 1→+
+
+ +
13, 2
x
4x 1lim
3x 1→
+
− 14,
→−
−
−
4
x
x xlim
1 2x 15,
2
x
x x xlim
x 10→−
+ +
+
16, 2 3 2
lim3 1x
x x x
x→−
− +
− 17,
→xlim
2x
2x
2 +
+ 18,
3 3 22lim
2 2x
x x x
x→−
+ +
−
119, 4x4x
x2xlim
2
2
2x ++
+
−→ 20,
→
+ −−
2x 1
2 2x 1lim .
2x 3(x 1) 21,
→ − − +2x 1
5lim
(x 1)(x 3x 2)
22, →x 0
lim
−
2
1 1
x x. 23, 24,
−→x 2lim
−
− − 2
1 1
x 2 x 4
25, 26, 27, ĐS:0
28, 29, 30,
Bài 6: Tính các giơi hạn sau:
1) 1
25lim
1 +
−+
−→ x
x
x
2) →
+ −
− +
3
22
2 2 2lim
2 5 2x
x
x x 3)
4) 2
3
9lim
3x
x
x→
−
− 5)
2
1
3 2lim
1x
x x
x→
− +
− 6)
23
3lim
2 3x
x
x x→−
+
+ −
7) 3
21
1lim
1x
x
x→
−
− 8)
2
21
2 3lim
2 1x
x x
x x→
+ −
− − 9)
2
2lim
7 3x
x
x→
−
+ −
10) 2
3
9lim
1 2x
x
x→
−
+ − 11)
4
2 1 3lim
2x
x
x→
+ −
− 12)
1
2 1lim
5 2x
x
x→−
+ −
+ −
13) 2
2
3 2lim
2x
x x
x−→
− +
− 14)
2
x 2
x x 2 2lim
3 x 1→−
+ + −
+ −. 15)
x
x
x1
3 2lim
1+→−
+
+
2
0 2
1 1lim
16 4x
x
x→
+ −
+ −23
3 2lim
3x
x x
x x→−
+ −
+ 0
9 16 7limx
x x
x→
+ + + −
4
3 21
1lim
2x
x
x x x+→
−
− +
2
2
1lim
2 1x
x
x x→+
+
− +
22 1lim
2x
x x
x→
− +
−
2
3 2
2 1lim
3 2x
x
x x→+
+
− +
2
2
2 3 4 1lim
4 1 2x
x x x
x x→
+ + + +
+ + −
2
2
4 2 1 2lim
9 3 2x
x x x
x x x→
− + + −
− +
2
2
(2 1) 3lim
5x
x x
x x→−
− −
−
1
75lim
2
3 23
1 −
+−−
→ x
xx
x
16) ( )x
x x2lim 5→+
+ − 17) ( )2
xlim 2x 1 x→−
+ +
18)
19)
20) 21)
22) 1
1227lim
2
1 +
+−−
−→ x
xx
x 23)
52
3
2
532lim
xxx
xx
x +−
+−
+→
24) hạn ( )x
x x x ac
bx
32
1
2 7 1 2lim
2 1→
+ + − += +
−(a, b là các số nguyên và
a
btối giản), tính a b c+ + .
25) −→
− +
−2
3 4lim
2x
x
x. 26) 20
3 4 2lim
3x
x
x x→
+ −
+ 27) 2 2lim ( 7 1 3 2)
xx x x x
→−− + − − +
.
28) 33 2 2
30
8 6 9 9 27 27limx
x x x x x a
x b→
+ + + − + +=
( ,a b Z và a
b tối giản). Tính giá trị (a+b).
29). 30). 31.
32. 33. 34.
35.
Bài 7 : Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:
1)
2)
3)
4)
4 . Quan hệ song song trong không gian – véctơ trong không gian.
2xlim→ x31x
x22x
−−−
−+
2
15lim
2x
x
x+→
−
− 2
15lim
2x
x
x−→
−
−
2
3
1 3 2lim
3x
x x
x+→
+ −
−
2
1
3 1lim
1x
x x
x→−
+ −
−2
sin4lim
x
x
x→
−
41
1lim
3x
x
x x→−
−
+ −
2
2
1lim
1x
x x
x→
− +
−
2
1
2 3lim
1x
x x
x→
− +
+ 1
8 3lim
2x
x
x→
+ −
−
3 2
2
3 4 3 2lim
1x
x x
x→
− − −
+
3 11( ) 11
2 1
xkhi xf x taïi xx
mx khi x
− = = − +
2
0
( ) 0100 30
3
x m khi x
f x taïi xx xkhi x
x
+
= = + +
+
2
3 1( ) 1
3 1
x m khi xf x taïi x
x x m khi x
+ −= = −
+ + + −
3
2 2
1 31
( ) 11 1
3 3 1
khi xf x taïi xx x
m x mx khi x
−
= =− − − +
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thanng, đáy lớn AB. Gọi M,N lần lượt là
trọng tâmm của tam giác SAB và SCD.
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau : (AMB) và (SCD) ; (SAB) và (SCD) ; (SMN) và
(ABC).
b) Chứng minh MN//(ABC).
c) Giao tuyến của (AMB) với (SCD) cắt SC, SD tại I, J. Chứng minh IN//(ABC).
d) Tìm thiết diện của hình chớp cắt bởi (INJ).
Bài 2 : cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC ; H, K là trọng tâm tam
giác SAB, SBC. Chứng minh :
a) AC//(SIJ) b)HK // (SAC). c) Tìm giao tuyến (BHK) và (ABC).
Bài 3 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm các tam
giác : ABC, A’B’C’, A’CC’. Chứng minh :
a) (IKG)//(BB’C’C).
b) Xác định thiết diện của lẳng trụ cắt bởi (IKG).
c) Gọi H là trung điểm BB’. Chứng minh (AHI) // (A’KG).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M, N, P là trung điểm AB, CD, SA.
Chứng minh :
a) (SBN) // (DPM).
b) Q là điểm thuộc SP, xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua Q và
song song với (SBN).
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp đi qua MN và song song với (SAD)
Bài 5 : Cho tứ diện có các cạnh đều bằng . Chứng minh rằng :
a) b) .
c). hay .
Bài 6 : Cho tứ diện và là trọng tâm tam giác . Chứng minh
.
Bài 7. Cho tứ diện . Gọi là các điểm thỏa nãm còn là các
điểm xác định bởi . Chứng minh ba điểm thẳng hàng
III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 4;1;6; x− . Khi đó giá trị của x là bao nhiêu.
A. 7x = . B. 10x = . C. 11x = . D. 12x = .
ABCD a
0AD CB BC DA+ + + =2
.2
aAB BC = −
AB CD⊥ . 0AB CD =
ABCD I ABC
1 1 1
3 3 3SI SA SB SC= + +
ABCD ,E F ,EA kEB FD kFC= = , ,P Q R
, ,PA lPD QE lQF RB lRC= = = , ,P Q R
Câu 2: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 7; ; 11;x y− . Khi đó giá trị của x và y là
bao nhiêu.
A. 1; 21x y= = . B. 2; 20x y= = . C. 3; 19x y= = − . D. 4; 18x y= = .
Câu 3: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 5; 9; 13; 17;... . Khi đó nu có thể được tính
theo biểu thức nào sau đây.
A. 5 1nu n= + . B. 5 1nu n= − . C. 4 1nu n= + . D. 4 1nu n= − .
Câu 4: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 4; 7; 10; 13;.... Gọi nS là tổng của n số
hạng đầu tiên của cấp số cộng đó ( )1n . Khi đó nS có thể được tính theo công thức nào dưới
đây.
A. 3 1nS n= + . B. 3
.2
n
nS n
=
. C. 3 1
.2
n
nS n
+ =
. D.3 2
.2
n
nS n
+ =
.
Câu 5: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng.
A. 7 3nu n= − . B. 7 3n
nu = − . C. 7
3nu
n= . D. 7.3n
nu = .
Câu 6: Gọi ( )1 2 3 4 5 6 .............. 2 1 2 , 1S n n n= − + − + − + + − − . Khi đó giá trị của S là bao
nhiêu.
A. 0S = . B. 1S = − . C. S n= . D. S n= − .
Câu 7: Một cấp số cộng có 13 số hạng, số hạng đầu là 2 và tổng của 13 số hạng đầu của cấp
số cộng
đó bằng 260. Khi đó, giá trị của 13u là bao nhiêu.
A.13 40u = . B.
13 38u = . C. 13 36u = . D.
13 20u = .
Câu 8: Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng
17; tổng
của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Khi đó, công sai của cấp số cộng đã cho có giá
trị là bao nhiêu
A. 2d = . B. 3d = . C. 4d = . D. 5d = .
Câu 9: Một cấp số cộng có 7 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng
30, còn
tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ sáu bằng 35. Khi đó, số hạng thứ bảy của cấp số cộng
đó có giá trị là bao nhiêu
A.7 25u = . B.
7 30u = . C. 7 35u = . D.
7 40u = .
Câu 10: Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng
thứ
mười hai bằng 23. Khi đó, công sai của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu
A. 2d = . B. 3d = . C. 4d = . D. 5d = .
Câu 11: Một cấp số cộng có 15 số hạng. Biết rằng tổng của 15 số hạng đó băng 225, và số
hạng thứ
mười lăm bằng 29. Khi đó, số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu
A.1 1u = . B.
1 2u = . C. 1 3u = . D.
1 5u = .
Câu 12: Một cấp số cộng có 10 số hạng. Biết rằng tổng của 10 số hạng đó bằng 175, và công
sai 3d =
Khi đó, số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là
A.1 0u = . B.
1 2u = . C. 1 4u = . D.
1 6u = .
Câu 13: Cho một cấp số cộng có 20 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai.
A.1 20 2 19u u u u+ = + . B.
1 20 5 16u u u u+ = + . C. 1 20 8 13u u u u+ = + . D.
1 20 9 11u u u u+ = + .
Câu 14: Cho một cấp số cộng có n số hạng ( )55n k . Đẳng thức nào sau đây là sai.
A.1 2 1n nu u u u −+ = + . B.
1 5 4n nu u u u −+ = + . C. 1 55 55n nu u u u −+ = + . D.
1 1n k n ku u u u − ++ = + .
Câu 15: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 2;8; ;128x . Khi đó giá trị của x là bao
nhiêu.
A. 14x = . B. 32x = . C. 64x = . D. 68x = .
Câu 16: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là ; 12; ; 192x y . Khi đó giá trị của x và y là
bao nhiêu.
A. 1; 144x y= = . B. 2; 72x y= = . C. 3; 48x y= = . D. 4; 36x y= = .
Câu 17: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 5; 9; 27; 81;... . Khi đó nu có thể được tính
theo biểu thức nào sau đây.
A. 13n
nu −= . B. 3n
nu = . C. 13n
nu += . D. 3 3n
nu = + .
Câu 18: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64;... . Gọi nS là tổng của n số
hạng đầu tiên của cấp số nhân đó ( )1n . Khi đó nS có thể được tính theo công thức nào dưới
đây.
A. 14n
nS −= . B. 11 4
.2
n
nS n+ +
=
. C. 4 1
4 1
n
nS −
= −
. D. 4 1
4.4 1
n
nS −
= −
.
Câu 19: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân.
A. 7 3nu n= − . B. 7 3n
nu = − . C. 7
3nu
n= . D. 7.3n
nu = .
Câu 20: Gọi ( ) ( )1
2 4 8 16 32 64 ... 2 2 , 1,n n
S n n−
= − + − + − + − + − + − . Khi đó giá trị của S là
bao nhiêu.
A. 2S n= . B. 2nS = . C. ( )2 1 2
1 2
n
S− −
=−
. D.
( )( )
1 22
1 2
n
S − − = − − −
.
Câu 21: Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Gọi q là
công bội
của cấp số nhân đó thì giá trị của q là bao nhiêu
A. 3q = . B. 3q = − . C. 2q = . D. 2q = − .
Câu 22: Một cấp số nhân có 4 số hạng, số hạng đầu là 3 và số hạng thứ tư là 192. Gọi S là
tổng các số
hạng của cấp số nhân đó, thì giá trị của S là bao nhiêu
A. 390S = . B. 255S = . C. 256S = . D. 256S = − .
Câu 23: Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai.
A.1 15 2 14. .u u u u= . B.
1 5 11. .nu u u u= . C. 1 6 9. .nu u u u= . D.
1 12 4. .nu u u u= .
Câu 24: Cho một cấp số nhân có n số hạng ( )55n k .Đẳng thức nào sau đây là sai.
A.1 2 1. .n nu u u u −= . B.
1 5 4. .n nu u u u −= . C. 1 55 55. .n nu u u u −= . D.
1 1. .n k n ku u u u − += .
Câu 25: Một tam giác có các góc lập thành một cấp số nhân với công bội là 2q = . Khi đó số
đo các góc của tam giác ấy tương ứng là bao nhiêu.
A.30 ;60 ;90 . B. 2 4
; ;5 5 5
. C.
2 4; ;
6 6 6
. D.
2 4; ;
7 7 7
.
Câu 26. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?
A. 1
n. B.
1
n. C.
1n
n
+. D.
sin n
n.
Câu 27. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
A. 4
3
n
. B. 4
3
n
−
. C. 5
3
n
−
. D. 1
3
n
.
Câu 28. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
A. ( )0,999n. B. ( )1,01
n. C. ( )1,01
n. D. ( )2,001
n− .
Câu 29. Dãy số nào sau đây không có giới hạn?
A. ( )0,99n. B. ( )1
n− . C. ( )0,99
n− . D. ( )0,89
n− .
Câu 30. ( )1
3
n
n
−
+ có giá trị là bao nhiêu?
A. 1
3− . B. 1− . C. 0 . D.
1
4− .
Câu 31. 3 4
lim5
n
n
−
có giá trị là bao nhiêu?
A. 3
5. B.
3
5− . C.
4
5. D.
4
5− .
Câu 32. 2 3
lim3
n n
n
+ có giá trị là bao nhiêu?
A. 0 . B. 1. C. 2
3. D.
5
3.
Câu 33. cos 2
lim 4n
n− có giá trị là bao nhiêu?
A. 0 . B. 2 . C. 2 . D. 4 .
Câu 34. 3
4
3 2 1lim
4 2 1
n n
n n
− +
+ + có giá trị là bao nhiêu?
A. 0 . B. + . C. 3
4. D.
2
7.
Câu 35. 4
4
3 2 3lim
4 2 1
n n
n n
− +
+ + có giá trị là bao nhiêu?
A. 0 . B. + . C. 3
4. D.
4
7.
Câu 36. 2 4
4
2 3lim
4 5 1
n n
n n
−
+ + có giá trị là bao nhiêu?
A. 3
4− . B. 0 . C.
1
2. D.
3
4.
Câu 37. 4
4
3 2 4lim
4 2 3
n n
n n
− +
+ + có giá trị là bao nhiêu?
A. 0 . B. + . C. 3
4. D.
4
3.
Câu 38. ( )3 2lim 3 2 5n n− + − có giá trị là bao nhiêu?
A. 3− . B. 6− . C. − . D. + .
Câu 39. ( )4 2lim 2 5n n n+ − có giá trị là bao nhiêu?
A. − . B. 0 . C. 2 . D. + .
Câu 40. 24 5 4
lim2 1
n n
n
+ − +
− có giá trị là bao nhiêu?
A. 0 . B. 1. C. 2 . D. + .
Câu 41. ( )lim 10n n+ − có giá trị là bao nhiêu?
A. + . B. 10 . C. 10 . D. 0 .
Câu 42. 2
2
3 2 4lim
4 5 3
n n
n n
− +
+ − có giá trị là bao nhiêu?
A. 0 . B. 1. C. 3
4. D.
4
3− .
Câu 43. Nếu lim nu L= thì lim 9nu + có giá trị là bao nhiêu?
A. 9L+ . B. 3L+ . C. 9L + . D. 3L + .
Câu 44. Nếu lim nu L= thì 3
1lim
8nu + có giá trị là bao nhiêu?
A. 1
8L +. B.
1
8L +. C.
3
1
2L +. D.
3
1
8L +.
Câu 45. 4
lim1
n
n
+
+ có giá trị là bao nhiêu?
A. 1. B. 2 . C. 4 . D. + .
Câu 46. 2
2
1 2 2lim
5 5 3
n n
n n
− +
+ − có giá trị là bao nhiêu?
A. 0 . B. 1
5. C.
2
5. D.
2
5− .
Câu 47.4
4
10lim
10 2
n
n+ có giá trị là bao nhiêu?
A. + . B. 10000. C. 5000 . D. 1.
Câu 48. 2
1 2 3 ...lim
2
n
n
+ + + + có giá trị là bao nhiêu?
A. 0 . B. 1
4. C.
1
2. D. + .
Câu 49. 3 3
lim6 2
n n
n
+
+ có giá trị là bao nhiêu?
A. 1
6. B.
1
4. C.
3 2
6. D. 0 .
Câu 50. ( )2 2lim 1 3n n n+ − − có giá trị là bao nhiêu?
A. + . B. 4 . C. 2 . D. 1− .
Câu 51. sin 2
lim5
n n
n
+
+ có giá trị là bao nhiêu?
A. 2
5. B.
1
5. C. 0 . D. 1.
Câu 52. ( )3lim 3 4n n− có giá trị là bao nhiêu?
A. − . B. 4− . C. 3 . D. + .
Câu 53. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
A. 2
2
2
5n
n nu
n n
−=
+. B.
1 2
5 5n
nu
n
−=
+. C.
21 2
5 5n
nu
n
−=
+. D.
2
1 2
5 5n
nu
n n
−=
+.
Câu 54. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng +?
A. 2 33nu n n= − . B. 2 33nu n n= − . C. 23nu n n= − . D. 2 34nu n n= − + .
Câu 55. Tổng của cấp số nhân vô hạn ( )
111 1
; ;...; ;...2 4 2
n
n
+−
− có giá trị là bao nhiêu?
A. 1. B. 1
3. C.
2
3− . D.
1
3− .
Câu 56. Tổng của cấp số nhân vô hạn ( )11 1
; ;...; ;...2 4 2
n
n
−− có giá trị là bao nhiêu?
A. 1
3. B.
1
3− . C.
2
3− . D. 1− .
Câu 57. ( )1
lim 3x→−
có giá trị là bao nhiêu?
A. 2− . B. 1− . C. 0 . D. 3 .
Câu 58. ( )2
1lim 2 3x
x x→−
− + có giá trị là bao nhiêu?
A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 6 .
Câu 59. ( )2
2lim 3 5x
x x→
− + có giá trị là bao nhiêu?
A. 15− . B. 7− . C. 3 . D. + .
Câu 60. 4
4
3 2 3lim
5 3 1x
x x
x x→+
− +
+ + có giá trị là bao nhiêu?
A. 0. B. 4
.9
C. 3
.5
D. .+
Câu 61. 4 5
4
3 2lim
5 3 2x
x x
x x→+
−
+ + có giá trị là bao nhiêu?
A. 2
.5
− B. 3
.5
C. .− D. .+
Câu 62.2 5
4
3lim
5x
x x
x x→+
−
+ + có giá trị là bao nhiêu?
A. .+ B. 3. C. 1.− D. .−
Câu 63.4 5
4 61
3 2lim
5 3 1x
x x
x x→
−
+ + có giá trị là bao nhiêu?
A. 1
.9
B. 3
.5
C. 2
.5
− D. 2
.3
−
Câu 64.4 5
4 21
3 2lim
5 3 1x
x x
x x→−
−
− + có giá trị là bao nhiêu?
A. 1
.3
B. 5
.9
C. 3
.5
D. 5
.3
Câu 65. 4 5
41
3lim
5x
x x
x x→−
−
+ + có giá trị là bao nhiêu?
A. 4
.5
B.3 C. 2
.5
D. 2
.7
Câu 66. 1
2lim
1x
x
x−→
+
− có giá trị là bao nhiêu?
A. 1
.2
− B. 1
.2
C. .− D. .+
Câu 67.3
21
10lim
3x
x
x x→−
−
+ có giá trị là bao nhiêu?
A. 3
.2
B. 11
.4
C. 9
.2
D. 11
.2
Câu 68. ( )lim 3 5x
x x→+
+ − − có giá trị là bao nhiêu?
A. 0. B. 3 5.+ C. .− D. .+
Câu 69.4 3 2
4
2 2 1lim
2x
x x x
x x→+
+ − −
− có giá trị là bao nhiêu?
A. 2.− B. 1.− C. 1. D. 2.
Câu 70. ( )2lim 5x
x x x→+
+ − có giá trị là bao nhiêu?
A. 5
.2
B. 5
.2
C. 5. D. .+
Câu 71. ( )2lim 1x
x x x→+
+ − có giá trị là bao nhiêu?
A. .+ B. 0. C. 1
.2
D. 1
.2
Câu 72. 4
1
1lim
1y
y
y→
−
− có giá trị là bao nhiêu?
A. .+ B. 4. C. 2. D. .−
Câu 73.4 4
limy a
y a
y a→
−
− có giá trị là bao nhiêu?
A. .+ B. 32 .a C. 34 .a D. 24 .a
Câu 74. 4
31
1lim
1y
y
y→
−
− có giá trị là bao nhiêu?
A. .+ B. 0. C. 3
.4
D. 4
.3
0. D. 1.
Câu 75: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , I là trung điểm cạnh
SC . Khẳng định nào sau đây SAI?
A. ( )// mpIO SAB .
B. ( ) // mpIO SAD .
C. ( )mp IBD cắt hình chóp .S ABCD theo thiết diện là một tứ giác.
D. ( ) ( ) =IBD SAC IO .
Câu 76:Cho tứ diện ABCD . Gọi 1G và
2G lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD .
Chọn Câu sai :
A. ( )1 2 //G G ABD . B. ( )1 2 //G G ABC .
C. 1BG ,
2AG và CD đồng qui D. 1 2
2
3=G G AB .
Câu 77: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng ( ) qua BD và
song song với SA , mặt phẳng ( ) cắt SC tại .K Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. 2 .=SK KC B. 3 .=SK KC C. .=SK KC D.1
.2
=SK KC
Câu 78: Cho tứ diện ABCD với ,M N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD , ACD
Xét các khẳng định sau:
(I) ( )/ / mpMN ABC . (II) ( )//MN mp BCD .
(III) ( )//MN mp ACD . (IV)) ( )//MN mp CDA .
Các mệnh đề nào đúng?
A. I, II. B. II, III. C. III, IV. D. I, IV.
Câu 79:Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang, //AD BC , 2.=AD BC , M là trung
điểm . Mặt phẳng ( )MBC cắt hình chóp theo thiết diện là
A. tam giác. B. hình bình hành. C. hình thang vuông. D. hình chữ nhật.
Câu 80: Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC . Mặt phẳng ( ) qua và M song
song với AB và CD . Thiết diện của tứ diện cắt bởi ( ) là
A. hình bình hành. B. hình chữ nhật. C. hình thang. D. hình thoi.
Câu 81: Cho hình chóp .S ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt phẳng ( )
tuỳ ý với hình chóp không thể là:
A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Tam giác.
Câu 82:Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Lấy điểm I trên
đoạn SO sao cho 2
3=
SI
SO, BI cắt SD tại M và DI cắt SB tại N . MNBD là hình gì ?
A.Hình thang. B.Hình bình hành.
C.Hình chữ nhật. D.Tứ diện vì MN và BD chéo nhau.
SA
Câu 83:Cho tứ diện ABCD . M là điểm nằm trong tam giác ( ),ABC mp qua M và song song
với AB và CD .Thiết diện của ABCD cắt bởi ( )mp là:
A.Tam giác. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình bình hành.
Câu 84:Cho hình chóp tứ giác .S ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ( )/ / .MN mp ABCD B. ( )/ / .MN mp SAB
C. ( )/ / .MN mp SCD D. ( )/ / .MN mp SBC
Câu 85: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O . M là trung điểm của
OC , Mặt phẳng ( ) qua M song song với SA và BD . Thiết diện của hình chóp vớimặt phẳng
( ) là:
A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình ngũ giác.
Câu 86:Cho tứ diện ABCDcó =AB CD . Mặt phẳng ( ) qua trung điểm của AC và song song
với AB , CD cắt ABCD theo thiết diện là
A.hình tam giác. B.hình vuông. C.hình thoi. D.hình chữ nhật.
.
Câu 87: Một mặt phẳng cắt hai mặt đối diện của hình hộp theo hai giao tuyến là a và b . Hãy
Chọn Câu đúng:
A. a và b song song. B. a và b chéo nhau.
C. a và b trùng nhau. D. a và b cắt nhau.
Câu 88: Giả thiết nào sau đây là điều kiện đủ để kết luận đường thẳng song song với mp
?
A. và . B. và .
C. và . D. .
Câu 89: Cho đường thẳng a nằm trên mp ( ) và đường thẳng b nằm trên mp ( ) . Biết
( ) ( )// .
Tìm câu sai:
A. ( )//a . B. ( )//b .
C. //a b . D. Nếu có một mp ( ) chứa a và b thì
//a b .
Câu 90:Cho hình hộp . ABCD A B C D . Mặt phẳng ( ) AB D song song với mặt phẳng nào trong
các mặt phẳng sau đây?
A. ( )BCA . B. ( )BC D . C. ( ) A C C . D. ( )BDA .
Câu 91: Cho hình hộp . ABCD A B C D . Gọi M là trung điểm của AB . Mặt phẳng ( ) MA C cắt
hình hộp . ABCD A B C D theo thiết diện là hình gì?
A. Hình tam giác. B. Hình ngũ giác. C. Hình lục giác. D. Hình thang.
Câu 92: Cho hình lăng trụ , là trung điểm của . Đặt , ,
. Khẳng định nào sau đây đúng?
a ( )
//a b ( )//b //a b ( )b
( )// mpa ( ) ( )// ( )a =
.ABC A B C M BB CA a= CB b=
AA c =
A. . B. . C. . D.
.
Câu 93: Trong không gian cho điểm và bốn điểm , , , không thẳng hàng. Điều kiện
cần và đủ để , , , tạo thành hình bình hành là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 94: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Đặt ; ; ;
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 95:Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Đặt ,
, . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 96: Cho hình hộp có tâm . Gọi là tâm hình bình hành . Đặt
, , , . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 97:Cho hình hộp . Gọi và lần lượt là tâm của hình bình hành
và . Khẳng định nào sau đây sai?
A. .
B. Bốn điểm , , , đồng phẳng.
C. .
D. Ba vectơ ; ; không đồng phẳng.
Câu 98 :Cho tứ diện . Người ta định nghĩa “ là trọng tâm tứ diện khi
”. Khẳng định nào sau đây sai?
A. là trung điểm của đoạn ( , lần lượt là trung điểm và ).
B. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và .
C. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và .
D. Chưa thể xác định được.
Câu 99 : Cho tứ diện có là trọng tâm tam giác . Đặt ; ; .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
1
2AM b c a= + −
1
2AM a c b= − +
1
2AM a c b= + −
1
2AM b a c= − +
O A B C D
A B C D
0OA OB OC OD+ + + = ODOBOCOA +=+
ODOCOBOA2
1
2
1+=+ ODOBOCOA
2
1
2
1+=+
.S ABCD ABCD SA a= SB b= SC c=
SD d=
a c d b+ = + a b c d+ = + a d b c+ = + 0a b c d+ + + =
ABCD M P AB CD bAB =
AC c= AD d=
( )1
2MP c d b= + − ( )
1
2MP d b c= + −
( )1
2MP c b d= + − ( )
1
2MP c d b= + +
.ABCD A B C D O I ABCD
AC u = 'CA v= BD x = DB y =
( )1
22
OI u v x y= + + + ( )1
22
OI u v x y= − + + +
( )1
24
OI u v x y= + + + ( )1
24
OI u v x y= − + + +
.ABCD A B C D I K ABB A
BCC B
1 1
2 2IK AC A C = =
I K C A
2 2BD IK BC+ =
BD IK B C
ABCD G ABCD
0GA GB GC GD+ + + =
G IJ I J AB CD
G AC BD
G AD BC
ABCD G BCD x AB= y AC= z AD=
( )1
3AG x y z= + + ( )
1
3AG x y z= − + +
C. . D. .
Câu 100: Cho ba vectơ không đồng phẳng. Xét các vectơ
. Chọn khẳng định đúng?
A. Haivectơ cùng phương. B. Haivectơ cùng phương.
C. Haivectơ cùng phương. D. Ba vectơ đồng phẳng.
( )2
3AG x y z= + + ( )
2
3AG x y z= − + +
, ,a b c
2 ; 4 2 ; 3 2x a b y a b z b c= − = − + = − −
;y z ;x y
;x z ; ;x y z
ĐÁP ÁN
Câu 1 Câu2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 7 Câu 9 Câu 10
C B C D A D B B B A
Câu11 Câu
12
Câu
13
Câu
14
Câu
15
Câu
16
Câu
17
Câu
18
Câu 19 Câu 20
B C D C B C B C D D
Câu
21
Câu22 Câu
23
Câu
24
Câu
25
Câu
26
Câu
27
Câu
28
Câu 29 Câu 30
A B C C D C D A B C
Câu31 Câu
32
Câu
33
Câu
34
Câu
35
Câu
36
Câu
37
Câu
38
Câu 39 Câu 40
D B C A C A C C D B
Câu41 Câu
42
Câu
43
Câu
44
Câu
45
Câu
46
Câu
47
Câu
48
Câu 49 Câu 50
D B C B A C C C A C
Câu51 Câu
52
Câu
53
Câu
54
Câu
55
Câu
56
Câu
57
Câu
58
Câu 59 Câu 60
D A D D A D D B C C
Câu61 Câu
62
Câu
63
Câu
64
Câu
65
Câu
66
Câu
67
Câu
68
Câu 69 Câu 70
B D B A B C D A B B
Câu71 Câu
72
Câu
73
Câu
74
Câu
75
Câu
76
Câu
77
Câu
78
Câu 79 Câu 80
D B C D C D C A B A
Câu81 Câu
82
Câu
83
Câu
84
Câu
85
Câu
86
Câu
87
Câu
88
Câu 89 Câu 90
A A D A A C A D C B
Câu91 Câu
92
Câu
93
Câu
94
Câu
95
Câu
96
Câu
97
Câu
98
Câu 99 Câu 100
D D B A A D D D A B