PEIRAMATIKH_YDRAYLIKH

1

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

1.1 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ, ΠΕΙΡΑΜΑ, ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Η ανάλυση των υδραυλικών αλλά και γενικότερα των φυσικών φαινοµένων

ακολούθησε κατά το παρελθόν και ακολουθεί ακόµη και σήµερα δύο βασικές κατευθύνσεις:

Την εµπειρική και την θεωρητική κατεύθυνση.

Ο εµπειρικός τρόπος ανάλυσης των φαινοµένων ακολουθεί σε γενικές γραµµές τα

παρακάτω στάδια:

α) Παρατήρηση του φαινοµένου. Η παρατήρηση γίνεται κατ’ευθείαν και οι τυχόν

απαιτούµενες µετρήσεις γίνονται κατά την διάρκεια της εξέλιξης του φαινοµένου. Οπως

είναι ευνόητο στην διαδικασία αυτή παρουσιάζονται πολλές τεχνικές δυσκολίες όπως ο

χρόνος και οι µή ελεγχόµενες συνθήκες στις οποίες εξελίσσεται ένα φαινόµενο. Είναι σαφές

πχ. ότι είναι αδύνατο να µετρήσει κανείς την παροχή ενός ποταµού κατά την διάρκεια µιας

πληµµύρας που συµβαίνει τις νυχτερινές ώρες και η προσέγγιση είναι προβληµατική.

β) Επανάληψη της παρατήρησης κάτω από ελεγχόµενες συνθήκες εργαστηρίου, δηλαδή

πειραµατική διαδικασία.

γ) Ταξινόµηση, έλεγχος και επεξεργασία αποτελεσµάτων.

δ) Εξαγωγή ποσοτικών συµπερασµάτων και προσδιορισµός µαθηµατικής σχέσης, συνήθως

αλγεβρικής µορφής, µεταξύ των υπεισερχοµένων µεγεθών.

• Τα µειονεκτήµατα της µεθόδου αυτής είναι το υψηλό κόστος των πειραµατικών εγκατα-

στάσεων και της διαδικασίας διεξαγωγής των πειραµάτων και της επεξεργασίας των

αποτελεσµάτων.

• Πλεονεκτήµατα της µεθόδου είναι η αµεσότητα του ερευνητή µε το υπό µελέτη

φαινόµενο και δυνατότηα κατευθείαν παρατήρησης των ιδιαιτεροτήτων κάθε φαινοµένου.

Ο θεωρητικός τρόπος ανάλυσης ακολουθεί τα παρακάτω στάδια:

α) Φυσικοµαθηµατική ανάλυση του φαινοµένου µε βάση τους νόµους της Φυσικής αφού

γίνουν οι απαραίτητες απλουστευτικές παραδοχές. Τα φυσικά φαινόµενα είναι συνήθως

πολύπλοκα µε αλληλεπιδράσεις αναρίθµητων παραγόντων. Πρέπει λοιπόν να γίνει

αξιολόγη-ση της βαρύτητας που παρουσιάζει ο κάθε παράγοντας και να παραλειφθούν

εκείνοι οι παράγοντες που επιδρούν ελάχιστα ώστε να είναι δυνατή η εξαγωγή κάποιας

µαθηµατικής έκφρασης που να περιγράφει το φαινόµενο ικανοποιητικά.

β) Προσδιορισµός µαθηµατικής έκφρασης που να περιγράφει τις σχέσεις των

εµπλεκοµένων µεγεθών. Η µαθηµατική έκφραση είναι συνήθως µία ή περισσότερες

διαφορικές εξισώσεις.

γ) Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης ή του συστήµατος των διαφορικών εξισώσεων.

Οι διαφορικές εξισώσεις αυτές είναι συνήθως εξισώσεις µε µερικές παραγώγους των

οποίων η αναλυτική επίλυση είναι δυνατή µόνο σε ελάχιστες περιπτώσεις. Ετσι επί αιώνες,

τουλάχιστον στα υδραυλικά προβλήµατα, ο κύριος τρόπος ανάλυσης παρέµεινε ο

πειραµατικός. Τις τελευταίες όµως δεκαετίες, µε την ανάπτυξη των ηλεκτρονικών

υπολογιστών, κατέστη δυνατή η επίλυση πολύπλοκων διαφορικών εξισώσεων µε

αριθµητικές µεθόδους. Με την βοήθεια των αριθµητικών µεθόδων οι διαφορικές εξισώσεις

µετατρέπονται σε αλγεβρικές και µε τον τρόπο αυτό επιτυγχάνεται η επίλυση σύνθετων

προβληµάτων όπως π.χ. η ροή ρευστού γύρω από ένα αντικείµενο πολύπλοκης γεωµετρίας

ή η µετάδοση ενός πληµµυρικού κύµατος µε ταυτόχρονη κίνηση φερτών υλών.

• Ανάµεσα στα πλεονεκτήµατα της µεθόδου µπορεί να θεωρηθεί το µειωµένο κόστος της

ανάλυσης και ευρύτερη ισχύς των αποτελεσµάτων.

2

• Μειονεκτήµατα της µεθόδου είναι ότι οι απλουστευτικές παραδοχές πολλές φορές

αλλοιώνουν σηµαντικά τα αποτελέσµατα µε αποτέλεσµα µη ακριβείς λύσεις.

Επιστηµονικά ορθή είναι η συνδυασµένη χρήση των δύο µεθόδων, δηλαδή η

θεωρητική ανάλυση των φανοµένων µε παράλληλη πειραµατική επιβεβαίωση των

αποτελεσµάτων των υπολογισµών.

Σχηµατικά οι µέθοδοι ανάλυσης φαίνονται στον πίνακα 1.

Πίνακας 1

Σχηµατική παράσταση της µεθοδολογίας ανάλυσης φυσικών φαινοµένων

3

2. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ

2.1 ΜΟΝΑ∆ΕΣ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΑ∆ΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

Σύµφωνα µε τον κλασσικό ορισµό της εννοίας µέτρηση είναι η σύγκριση ενός

µεγέθους µε ένα σταθερό µέγεθος που ονοµάζεται µονάδα.

Οπως φαίνεται από τον ορισµό αυτό, κάθε µετρούµενη ποσότητα χαρακτηρίζεται από

την αριθµητική τιµή και την µονάδα µέτρησης. Για την αποφυγή λαθών είναι απαραίτητη η

τήρηση ορισµένων βασικών αρχών όπως: Η αριθµητική τιµή µιάς φυσικής ποσότητας

δεν έχει έννοια αν δεν συνοδεύεται από την αντίστοιχη µονάδα µετρήσεως. Προφανώς

δεν έχει έννοια η έκφραση: «το µήκος του x τµήµατος είναι 25». Πρόκειται για 25

Angström, 25 m ή 25 έτη φωτός;

Η έννοια της µέτρησης όπως ορίσθηκε παραπάνω αντιστοιχεί στην λεγόµενη σχετική

µέτρηση. Στις σχετικές µετρήσεις χρησιµοποιούνται πρότυπα όργανα όπως π.χ. µέτρα

µήκους, σταθµά, θερµόµετρα, αντιστάσεις, χρονόµετρα κ.τ.λ.

Επειδή είναι αδύνατον σε κάθε περίπτωση η µέτρηση να γίνεται µε σύγκριση την

πρότυπη µονάδα χρησιµοποιείται η έµµεση υπολογιστική µέθοδος. Η µέθοδος αυτή

αποτελεί την απόλυτη µέτρηση που είναι η µέτρηση στην οποία το ζητούµενο µέγεθος

προκύπτει εµµέσως µε υπολογισµό άλλων µεγεθών µη οµοειδών προς το µετρούµενο. Πχ.

για τον υπολογισµό της απόστασης ενός πλανήτου µετράται ο χρόνος µετάβασης και

επιστροφής ηλεκτροµαγνητικού κύµατος γνωστής ταχύτητας. Με τις κατάλληλες υποθέσεις

περί ευθυγράµµου τροχιάς και σταθερότητας της ταχύτητας υπολογίζεται έµµεσα η

απόσταση πλανήτου γής την στιγµή µετρήσεως.

Κάθε φυσική ποσότητα µετρείται µε δική της µονάδα. Γιαυτό απαιτείται ο ορισµός της

µονάδας για κάθε φυσικό µέγεθος. Το χαρακτηριστικό κάθε µονάδας πρέπει να είναι η

σταθερότητα και το αµετάβλητο. Παρακάτω αναφέρονται ο προσδιορισµός ορισµένων

βασικών προτύπων µονάδων και µια σύντοµη ανασκόπηση του ιστορικού τους.

2.1.1 Μονάδες µετρήσεων

Μέτρο

Οταν αρχικώς επεβλήθη το µέτρο ορίσθηκε το το 10-7

της απόστασης του Βόρειου

πόλου από τον Ισηµερινό στον µεσηµβρινό που διέρχεται από το Παρίσι. Αργότερα για τις

ανάγκες µεγαλύτερης ακρίβειας ορίσθηκε η απόσταση 2 χαραγών ενός προτύπου σε

θερµοκρασία 00 C κατασκευασµένου από κράµα Λευκόχρυσου - Ιριδίου το οποίο κατετέθη

στο ∆ιεθνές γραφείο µέτρων και σταθµών των Σεβρών (προάστειο των Παρισίων). Τέλος

στις 14 Νοεµβρίου 1960 ορίσθηκε το µέτρο ώστε να µπορεί να αναπαραχθεί παντού. Το

πρότυπο αυτό µήκος είναι 1650763.73 το µήκος κύµατος στο κενό της ερυθράς

ακτινοβολίας του στοιχείου Κρυπτόν 86 που αντιστοιχεί στην µετάπτωση 5d-2p (ακρίβεια

προτύπου 10-7

).

Χιλιόγραµµο

Για το πρότυπο χιλιόγραµµο έγινε πρασπάθεια να συνδεθεί µε τις µονάδες µήκους. Έτσι

χιλιόγραµµο Kg ορίσθηκε η µάζα νερού όγκου 1000 cm3 στην θερµοκρασία µέγιστης

πυκνότητας (40 C). Στην βάση αυτή του ορισµού κατασκευάσθηκαν πρότυπα από κράµα

Ιριδίου (Ir) - Λευκόχρυσου (Pt) η ακρίβεια µετρήσεως της µάζης είναι 10-6

περίπου. Όπως

και προηγουµένως, για την ευκολότερη αναπαραγωγή των προτύπων αυτών ορίσθηκε σαν

πρότυπο µάζης η µάζα του πυρήνος C12.

4

∆ευτερόλεπτο

Το πρότυπο της µονάδας του χρόνου το δευτερόλεπτο είναι δυσκολότερο να ορισθεί γιατί

είναι αδύνατον να υπάρχει πρότυπο χρόνου (αποτελεί αντικείµενο διαµάχης Φυσικών και

Αστρονόµων). Για τον ορισµό του χρόνου είναι απαραίτητο ένα περιοδικό φαινόµενο

σταθεράς περιόδου. Ετσι στην αρχή ορίσθηκε σαν δευτερόλεπτο (sec) το 1/86400 της µέσης

διάρκειας της ηµέρας, της διάρκειας δηλαδή µεταξή δύο διαδοχικών µεσουρανήσεων σε

έναν τόπο. Το πρότυπο όµως αυτό δεν είναι σταθερό ούτε προσιτό. Τον Οκτώβριο του 1964

ορίσθηκε ως πρότυπο του χρόνου η συχνότης µεταπτώσεως του ατόµου του Cs133 µε τιµή

9192631770 c/s (κύκλοι ανά δευτερόλεπτο) αλλά και αυτή η ακρίβεια δεν θεωρείται

ικανοποιητική. Σήµερα γίνονται προσπάθειες µέσω των λεγοµένων ωρολογίων αµµωνίας,

που στηρίζονται στην συχνότητα αναστροφής, του µορίου αµµωνίας όταν προσπέσει

κβαντική ακτινοβολία ορισµένης ενέργειας. Το µόριο απορροφά 1 quantum ενέργειας και

αναστρέφεται όπως µια οµπρέλλα στον άνεµο. Η ακρίβεια στην περίπτωση αυτή είναι της

τάξεως των 2 αναστροφών ανά 109

s.

2.1.2 Συστήµατα µονάδων µετρήσεων

Οι φυσικές ποσότητες που υπεισέρχονται στα διάφορα φαινόµενα είναι τόσο πολλές

ώστε ο καθορισµός προτύπου µεγέθους για κάθε ποσότητα είναι πρακτικώς αδύνατος.

Ορισµένες φυσικές ποσότητες µπορεί να συσχετισθούν µεταξύ τους άρα και οι αντίστοιχες

µονάδες τους έχουν αριθµητικές σχέσεις µεταξύ τους. Ετσι µπορούµε να διακρίνουµε τα

φυσικά µεγέθη σε βασικά όπου καµία συσχέτιση µεταξύ τους δεν είναι δυνατή και τα

παραγόµενα π.χ. καµία συσχέτιση δεν υπάρχει µεταξύ διαστήµατος και χρόνου ή χρόνου

και µάζας ενός σώµατος. Η ταχύτητα όµως ενός συστήµατος µπορεί να προκύψει από τον

συσχετισµό µήκος και χρόνου.

Συνδυασµοί βασικών µονάδων αποτελούν το σύστηµα µονάδων. Ένα από τα βασικά

συστήµατα µονάδων που χρησιµοποιείται στην φυσική είναι το λεγόµενο σύστηµα CGS

(µήκος σε cm µάζα σε gr, χρόνος σε sec).

Ένα άλλο σύστηµα είναι το Τεχνικό Σύστηµα Μονάδων όπου τα βασίκά µεγέθη είναι

το µήκος µετρούµενο σε m, η δύναµη σε kp και χρόνος σε sec.

Τέλος ένα άλλο σύστηµα είναι το ΜΚS του οποίου οι βασικές µονάδες είναι το µήκος

[L] σε µέτρα (m), η µάζα [M] σε χιλιόγραµµα (kg), ο χρόνος [T] σε δευτερόλεπτα (s).

Η ποικιλία των χρησιµοποιουµένων µονάδων δηµιουργεί συγχίσεις και δυσκολίες

επικοινωνίας µεταξύ των ερευνητών. Σήµερα έχει υιοθετηθεί από το σύνολο των µηχανικών

το διεθνές σύστηµα µονάδων (System International) συντοµογραφικά SI. To διεθνές

σύστηµα µονάδων υιοθετήθηκε το 1954 και τυπικά το 1960 από το ∆ιεθνές Γενικό

Συνέδριο για µέτρα και µετρήσεις. Η Αµερικανική Ενωση Μηχανικών (ΑSCE) υπεστήριξε

το σύστηµα το 1970 υιοθετώντας διπλό σύστηµα µονάδων στις δηµοσιεύσεις. Το ∆.Σ.Μ.

αποτελείται από τέσσερες βασικές µονάδες που είναι οι µονάδες του συστήµατος MKS που

προαναφέρθηκε και δύο συµπληρωµατικές ώστε µε αυτές και τις παράγωγες να

καλύπτονται οι ανάγκες των µετρήσεων (πίνακας 1).

Οι βασικές µονάδες είναι:

1) µήκος σε µέτρα (m),

2) µάζα σε χιλιόγραµµα (kg),

3) χρόνος σε δευτερόλεπτα (sec ) και η

4) θερµοκρασία [θ] σε Κelvin (K).

Oι υπόλοιπες είναι περισσότερο εξειδικευµένες και χρησιµοποιούνται σε γενικότερα

προβλήµατα Φυσικής και Τεχνολογίας και είναι:

5) η ένταση ηλεκτρικού ρεύµατος σε Amper (A) και

6) η ένταση φωτεινής ακτινοβολίας σε κηρία (Cd).

5

Καθιερωµένη αρχή είναι ότι σε κάθε εξίσωση στην οποία δεν αναφέρεται το σύστηµα

µονάδων εννοείται ότι τα µεγέθη εκφράζονται σε µονάδες του συστήµατος SI γιαυτό και το

σύστηµα αυτό λέγεται και σύστηµα των Μηχανικών. Συνοπτικά οι βασικές µονάδες του

∆.Σ. Μονάδων και οι σπουδαιότερες παράγωγές τους στη υδραυλική φαίνονται στούς

πίνακες 1 και 2

Πίνακας 1. Βασικές µονάδες

µήκος µέτρο m [L]

µάζα χιλιόγραµµο kg [M]

χρόνος δευτερόλεπτο sec [T]

θερµοκρασία Κelvin Κ [θ]

ένταση ρεύµατος Amper A [Α]

ένταση φωτισµού κηρίο cd [I]

Πίνακας 2. Παράγωγες µονάδες

δύναµη Newton Ν MLT-2

έργο - ενέργεια Joule J ML2T

-2

ισχύς Watt W ML2T

-3

συχνότητα Herz Hz T-1

επίπεδη γωνία ακτίνιο R L0

πίεση pascal Pa ML-1

T-2

ιξώδες poise P ML-1

T-1

κινηµατικό ιξώδες stokes St L2T

-1

πυκνότητα ρ ML-3

ειδική θερµότητα c LTθ-1

εντροπία S ML 2T

-2θ

-1

ηλεκτ. φορτίο Coulomp C Q

ηλεκτ. τάση Volt V ML2 T

-2Q

-1

ηλ. αντίσταση Ohm Ω ML2 T

-1Q

-2

µαγν. ροή Weber Wb ML2 T

-1Q

-1

φωτισµός Lux lx IL-2

Κάθε φυσική ποσότητα µπορεί να εκφρασθεί µε µια από τις βασικές µονάδες του

συστήµατος ή από τον συνδυασµό αυτών ήτοι µε µια έκφραση της µορφής [MαL

bT

c θ

d]

όπου a,b,c,d είναι πραγµατικοί αριθµοί. Οταν πρόκειται για αδιάστατη ποσότητα a = b = c

= d = 0 και ο συµβολισµός είναι [1]. Οι διαστάσεις των φυσικών µεγεθών υφίστανται τις

ίδιες µεταβολές µε αυτά καθεαυτά τα φυσικά µεγέθη πχ στην εξίσωση :

s gt= 2 2/ (2.1)

προκύπτει:

[ ] [ ][ ] [ ]L LT T L= =−2 2 (2.2)

6

Οι µαθηµατικές πράξεις που είναι δυνατές µεταξύ διαστάσεων των φυσικών µεγεθών είναι

πολλαπλασιασµός, διαίρεση και ύψωση σε δύναµη. Είναι προφανές ότι προσθέσεις και

αφαιρέσεις είναι δυνατές µόνο µεταξύ διασταστικώς οµοίων ποσοτήτων. Η έννοια της

αδιάστατης ποσότητας φαίνεται στο παρακάτω παράδειγµα:

F kF1 2= (2.3)

που σηµαίνει ότι η ποσότητα F1 είναι k φορές η F2 . Οι διαστάσεις του k είναι:

[ ] / [ ] [ ] [ ]L L L= =0 1 (2.4)

Ολοι οι εκθέτες, λογάριθµοι, τριγωνοµετρικές συναρτήσεις είναι αδιάστατες ποσότητες.

2.2 ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

2.2.1 Αξιοπιστία µετρήσεων - σηµαντικά ψηφία

Το αποτέλεσµα κάθε µέτρησης είναι ένας πραγµατικός αριθµός που η ακρίβειά του

εξαρτάται από την ακρίβεια του οργάνου µετρήσεως. Οταν πχ µετρούµε ένα µήκος µε την

χρήση ενός συνειθισµένου µέτρου που φέρει υποδιαιρέσεις χιλιοστού λέµε ότι το µήκος ΑΒ

είναι 0.343 m ή 34.5 cm ή 343 mm. Η ακρίβεια της µέτρησης είναι ακρίβεια χιλιοστού του

µέτρου και εκφράζεται µε το µέγεθος του τελευταίου ψηφίου του αριθµού. Αν µε την

βοήθεια ενός βερνιέρου µπορούµε να µετρήσουµε και δέκατα του χιλιοστού το αποτέλεσµα

της µέτρησης θα γραφόταν 0.3432 m ή 34.52 cm ή 345.2 mm. Η έκφραση «µήκος 300 mm»

έχει µια αβεβαιότητα ως προς την ακρίβεια διότι δεν προσδιορίζεται ακριβώς αν πρόκειται

για 300 102. x mm (ακρίβεια mm) ή 30 102. x cm (ακρίβεια cm) ή 3 102x (ακρίβεια dm).

• Βασικός κανόνας:

Η ακρίβεια αλγεβρικού αθροίσµατος είναι ίση µε την ακρίβεια του όρου που έχει την

µικρότερη ακρίβεια:

372 4 6 7 15. .m m m m+ + =

και όχι

372 4 6 7 1532. . .m m m m+ + =

Αριθµός σηµαντικών ψηφίων είναι ο αριθµός των ψηφίων του αποτελέσµατος της

µέτρησης µέχρι το τελευταίο µετρηθέν µε ακρίβεια ψηφίο. Ο αριθµός σηµαντικών ψηφίων

της έκφρασης 300 102. x είναι 3 ενώ της έκφρασης 30 102. x είναι 2 και της έκφρασης

3 102x είναι 1. Η σχετική ακρίβεια µετράται µε τον αριθµό των σηµαντικών στοιχείων της

µέτρησης.

Οι διάφορες υπηρεσίες συλλογής και επεξεργασίας µετρήσεων έχουν προκαθορισµένη την

απόλυτη και σχετική ακρίβεια για κάθε περιοχή µεγεθών πχ; η U.S.Geological Survey για

τις ηµερήσιες µετρήσεις παροχών χρησιµοποιεί τις παρακάτω ακρίβειες:

q < 1 ft3

/s προσέγγιση 0.01 ft3

/s

1 9 9< <q . 0.1

10 999< <q 1

1000 < q τρία σηµαντικά ψηφία

7

Σύµφωνα µε τα παραπάνω αν οι ηµερήσιες παροχές 5 ηµερών ήσαν :

27, 1060, 2.3 0.98 και 8700 ft3

/s το άθροισµά τους είναι:

27 + 1060 + 2.3 + 0.98 + 8700 = 9790 ft3

/s και όχι 9790.28 ft3

/s.

Η µέτρηση ενός φυσικού µεγέθους µε κάποιο όργανο δίνει µια αριθµητική τιµή η

οποία αναγινώσκεται στην κλίµακα του οργάνου. Οι χαράξεις στην κλίµακα του οργάνου

χρησιµεύουν για τον προσδιορισµό των σηµαντικών ψηφίων της µέτρησης. Στην µέτρηση

π.χ. που φαίνεται στο σχ. (2.1) το αποτέλεσµα είναι 6.4 mm. Από αυτά το 6 αποτελεί το

σύνολο των σηµαντικών ψηφίων της µέτρησης και ο τελευταίος αριθµός 4 λαµβάνεται

συνήθως κατ’εκτίµηση του παρατηρητή.

Οταν πρόκειται για παράγωγα µεγέθη όπως π.χ. το εµβαδόν ενός τετραγώνου µε

πλευρά 6.4 mm προκύπτει 40.96 mm2 δεν µπορεί να θεωρηθεί ορθό διότι θα εσήµαινε ότι το

κατ’εκτίµηση ψηφίο θα ήταν το τελευταίο 0.06 γεγονός που δεν αληθεύει. Συνήθως ως

αριθµός σηµαντικών ψηφίων λαµβάνεται ο αριθµός των σηµαντικών ψηφίων του

παράγονται µε τα λιγώτερα σηµαντικά ψηφία, π.χ. 2.23 x 3.1 = 7.9 αντί του 7.913.

2.2.2 Αύξηση ακρίβειας µετρήσεων - Βερνιέρος

Γραµµικός βερνιέρος είναι όργανο που χρησιµεύει στην αύξηση της ακριβείας της

µετρήσεως µηκών. Περιλαµβάνει µια µικρή κλίµακα δίπλα στην κύρια κλίµακα µέτρησης

(σχ. 2.2). Η κλίµακα διαιρέσεων του βερνιέρου έχει n-1 διαιρέσεις της κυρίας κλίµακας.

Έτσι η κάθε διαίρεση του βερνιέρου είναι µικρότερη από την κανονική κατα 1/n. Συνήθως

είναι n = 10 ώστε οι διαιρέσεις του βερνιέρου είναι κατά 1/10 µικρότερες από τις διαιρέσεις

της κυρίας κλίµακας, µερικές φορές όµως µπορεί να είναι n = 20. Για την µέτρηση ενός

µήκους τίθεται η αρχή της κλίµακας του βερνιέρου ώστε να συµπίπτει µε το τέλος του

µετρυµένου µήκους (σχ. 2.2). Αν η ν-ιοστή διαίρεση του βερνιέρου συµπίπτει µε την

διαίρεση της κύριας κλίµακας τότε η τιµή του µετρουµένου µήκους είναι α +(1/10)ν. Στο

σχήµα είναι α = 7, ν = 7, n = 10 οπότε Μ = 7 + 7/10 = 7.7 mm

Εκτός του ευθυγράµµου βερνιέρου ο οποίος είναι κατάλληλος για την µέτρηση

µηκών, υπάρχει και ο κυκλικός βερνιέρος, κατάλληλος για την µέτρηση γωνιών. Στην

περίπτωση αυτή οι χαραγές ευρίσκονται σε κυκλικό τύµπανο.

Συνηθισµένα όργανα που φέρουν βερνιέρους είναι:

α) ο παχυµετρικός διαβήτης (σχ. 2.3) µε ακρίβεια 0.1 mm ή 0.05 mm.

β) ο µανοµετρικός κοχλίας (σχ. 2.4) στον οποίο το µετρούµενο µήκος τοποθετείται µεταξύ

των επιφανειών Ε και Ε’. Στον κοχλία υπάρχει οµοαξονικά στερεωµένο τύµπανο του

οποίου η περιφέρεια φέρει 50 ή 100 διαιρέσεις. Κατά µία στροφή του κοχλίου το τύµπανο

µετατοπίζεται κατά µήκος κλίµακας διαιρεµένης σε 0.5 ή 1 mm. Το βήµα του κοχλίου, δηλ.

το διάστηµα µετατόπισης σε µια πλήρη στροφή, είναι 0.5 ή 1 mm.

Σχ. 2.1 Μέτρηση µήκους

8

Σχ. 2.2 Μέτρηση µε Βερνιέρο

Σχ. 2.3 Παχυµετρικός διαβήτης

Σχ. 2.4 Μικροµετρικός κοχλίας

9

2.3 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

2.3.1 Είδη σφαλµάτων

Η ακρίβεια µιας µετρήσεως εξαρτάται αφ’ ενός από την ορθότητα της διατάξεως και

την ακρίβεια αναγνώσεως των ενδείξεων των χρησιµοποιουµένων οργάνων.

Τα σφάλµατα που οφείλονται στην διάταξη ή στα όργανα µετρήσεως λέγονται

συστηµατικά σφάλµατα και έχουν συνήθως σταθερή φορά ( + ή - ). Τα συστηµατικά

σφάλµατα είναι δυνατόν να οφείλονται:

• Στην ατέλεια των οργάνων µετρήσεως.

Τέτοια σφάλµατα προκύπτουν κατά την µέτρηση µήκους µε ένα ελαττωµατικό µέτρο ή

µέτρηση βάρους µε ένα µη ακριβή ζυγό.

• Σε εξωτερικά αίτια.

Στην περίπτωση π.χ. που η µέτρηση βάθους νερού στηρίζεται στην αγωγιµότητα του νερού,

σαφώς επηρεάζεται από την µεταβολή της θερµοκρασίας ή της αλατότητας του νερού.

• Στον παρατηρητή.

Π.χ. στην µέτρηση χρονικού διαστήµατος µε χρονόµετρο υπεισέρχεται η ταχύτητα

αντιδράσεως του παρατηρητή.

Τα συστηµατικά σφάλµατα ελέγχονται µε αλλαγή της µεθόδου ή των οργάνων µετρήσεως.

Τα σφάλµατα που οφείλονται στην ανάγνωση των ενδείξεων των οργάνων λέγονται

τυχαία σφάλµατα και αλλοιώνουν το αποτέλεσµα κατά την θετική ή αρνητική κατεύθυνση

(+ και -). Τα τυχαία σφάλµατα οφείλονται:

• Στην περιορισµένη ευαισθησία των οργάνων µετρήσεως

• Σε ατέλειες των αισθητηρίων οργάνων του παρατηρητή

• Στην αστάθεια των εξωτερικών συνθηκών

• Σε πλήθως άλλων αστάθµητων παραγόντων

Τα τυχαία σφάλµατα είναι πρακτικώς αδύνατον να προσδιορισθούν ακριβώς και

υπολογίζονται µε στατιστικές µεθόδους.

2.3.2 Σταστιστική επεξεργασία σφαλµάτων

Κατά την επανάληψη µετρήσεων ενός µεγέθους παρατηρείται ότι οι τιµές που

προκύπτουν διαφέρουν µεταξύ τους.

Εκταση του συνόλου των τιµών λέγεται η µέγιστη διαφορά µεταξύ των.

Μέση τιµή λέγεται ο µέσος όρος των τιµών:

x

xi

N

N

=

∑

(2.5)

αν οι τιµές παρουσιάζουν συχνότητα fi τότε

x

fi

Nxi

N

=

∑

(2.6)

10

Ο µέσος όρος θεωρείται η πιθανότερη τιµή της µέτρησης η οποία δεν ταυτίζεται

απαραίτητα µε την πραγµατική τιµή.

Απόκλιση λέγεται ο µέσος όρος των διαφορών των απολύτων τιµών των τιµών από το

µέσο όρο: N

xi

xNd

−=

∑

(2.7)

∆ιασπορά σ2 λέγεται το µέγεθος :

( )σ2

2

=−∑ xi x

N (2.8)

Τυπική απόκλιση σ λέγεται:

σ =−∑ ( )x x

N

i

2

(2.9)

Υπολογισµός σφάλµατος µετρήσεως

Αν x* είναι η πραγµατική τιµή ενός µεγέθους και κατά την µέτρηση προέκυψε τιµή xi τότε

το σφάλµα µετρήσεως είναι:

ei x xi= −* (2.10)

Το σφάλµα εi µπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό ώστε ei

N∑ = 0 για επαρκή αριθµό

µετρήσεων ( )N >30 .

Στην πράξη η πραγµατική τιµή δεν είναι γνωστή γιαυτό αντί της τιµής αυτής

χρησιµοποιείται πιθανή τιµή της ήτοι η µέση τιµή x οπότε αντί σφάλµατος

χρησιµοποιούµε την έννοια της απόκλισης :

di

xi

x= − (2.11)

Σύµφωνα µε την αρχή των ελάχιστων τετραγώνων του Legendre η πλέον πιθανή τιµή

κάποιου µεγέθους είναι εκείνη για την οποία το άθροισµα των τετραγώνων των σφαλµάτων

των επί µέρους µετρήσεων είναι ελάχιστο.

Μέσο σφάλµα µιας µεµονωµένης παρατήρησης είναι η ποσότητα:

σ = ±∑ ei

N

2 (2.12)

Στην πράξη αντί του σφάλµατος εi γνωρίζουµε την απόκλιση di

Γενικά ισχύει:

ei

di

2 2∑ ≥ ∑ ή e

id

iu2 2 2= +∑∑ (2.13)

όπου u →0 για Ν → ∞

Στην πράξη δεχόµαστε ότι

11

eiN

di

N

2 2

1

∑=

∑

− (2.14)

οπότε µέσο ή κανονικό σφάλµα µιας µεµονωµένης παρατήρησης είναι:

µ = ±∑

−di

N

2

1 (2.15)

Τέλος το µέσο σφάλµα του εξαγόµενου Ν παρατηρήσεων

( )M

diN N N

= ±∑

−= +

2

1

µ (2.16)

οπότε η πιθανότερη τιµή µιας µεµονωµένης παρατήρησης είναι: x ± µ

ενώ η πιθανότερη τιµή ενός µεγέθους είναι: x M±

Κανόνες:

Το κανονικό σφάλµα αθροίσµατος µεταβλητών ισούται µε την τετραγωνική ρίζα του

αθροίσµατος των τετραγώνων των κανονικών σφαλµάτων κάθε µιας.

αν x = y1 + y2

22

21

yyx σσσ +±= x x x= ±σ (2.17)

αν x = y1. y2. ..........

σ σ σx yy

yy

= ± + +

1 1

2

2 2

2... (2.18)

αν x = y1 /y2

σ

σσ

x

y y

y Y

y= ±

+1 12

22 2

2

2

(2.19)

12

3. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ∆ΙΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ KAI ΦΥΣΙΚΗΣ

ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ

3.1 ∆ΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Η αρχή της διαστατικής ανάλυσης µας επιτρέπει γενικά τον έλεγχο της πληρότητας

µιας εξίσωσης που συνδέει διάφορες φυσικές µεταβλητές. Αυτό συµβαίνει επειδή µια

σχέση είναι διαστατικά οµογενής µόνον όταν οι εµπλεκόµενες µεταβλητές υπεισέρχονται µε

συγκεκριµένους συνδυασµούς. Η αναζήτηση της ορθής µορφής µιας εξισώσεως µέσω της

διαστατικής οµογένειας ονοµάζεται διαστατική ανάλυση. Η µέθοδος της διαστατικής

ανάλυσης έχει ευρεία εφαρµογή και είναι πολύ χρήσιµη στην µελέτη σύνθετων φαινοµένων

στα οποία υπεισέρχονται πολλές ανεξάρτητες µεταβλητές.

Η διαστατική ανάλυση από µόνη της δεν µπορεί να δώσει λύση στο πρόβληµα, επιτρέπει

ωστόσο σηµαντικές απλοποιήσεις συνθέτων προβληµάτων και επιτρέπει τον προσδιορισµό

του βαθµού της επίδρασης κάποιων παραγόντων όταν είναι γνωστή η επίδραση άλλων.

επίσης δίνει την κατεύθυνση που πρέπει να λάβει η πειραµατική έρευνα ώστε να

διερευνηθούν καλύτερα οι επιδράσεις κάποιων παραγόντων.

∆ιαδικασία ανάλυσης:

Στις περισσότερες περιπτώσεις το πρόβληµα προς λύση είναι το εξής: Σε ποιό βαθµό µια

ποσότητα εξαρτάται από άλλες ανεξάρτητες µεταβλητές δηλαδή:

q f q q q= ( , , .........),1 2 3 (3.1)

όπου q = η ποσότητα που ενδιαφέρει

q1, q2 ,q3,...., qn = οι ανεξάρτητες µεταβλητές που υπεισέρχονται στο πρόβληµα.

H µορφή της συναρτήσεως f q q q( , , .........),1 2 3 δεν είναι γνωστή. Είναι δυνατόν να είναι

ένα γινόµενο (µονώνυµο), ένα άθροισµα γινοµένων (πολυώνυµο), εκθετικής µορφής κ.τ.λ.

Σύµφωνα µε το θεώρηµα των προσεγγίσεων του Weierstrass κάθε συνεχής συνάρτηση

µπορεί να προσεγγισθεί από σειρά όρων ο καθένας των οποίων είναι γινόµενο σταθερών

όρων και δυνάµεων των ανεξαρτήτων µεταβλητών. Η συνάρτηση f q q q( , , .........),1 2 3

σύµφωνα µε τα ανωτέρω µπορεί να γραφεί:

q f q q q= ( , , .........),1 2 3 = k q q qa a a

1 1

1

2

2

3

3 .....+ k q q qa a a

2 1

1

2

2

3

3 .....+ (3.2)

όπου k1, k2, ... = αδιάστατοι αριθµοί

Σύµφωνα µε την αρχή της διαστατικής οµογένειας όλοι οι όροι του αθροίσµατος πρέπει να

είναι διαστατικά οµογενείς. Με διαστατικούς όρους η Εξ. 3.2 γράφεται:

[ ] [ ....]q q q qa a a= 1

1

2

2

3

3 (3.3)

Η Εξ. (3.3) σηµαίνει ότι οι διαστάσεις του 1ου µέλους είναι ίδιες µε τις διαστάσεις του 2ου

µέλους. Ο σταθερός όρος δεν υπεισέρχεται διότι είναι αδιάστατος.

13

Πρώτη φροντίδα µας είναι να προσδιορισθεί ποιές είναι οι µεταβλητές που

υπεισέρχονται στο πρόβληµα χρειάζεται όµως προσοχή να µην παραλειφθούν ποσότητες

που σε κάποιο πρόβληµα παραµένουν σταθερές πχ στο πρόβληµα της ελεύθερης πτώσης

των σωµάτων στο πεδίο βαρύτητας η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 9.81 m/s2 έχει

σταθερή τιµή αλλά είναι µεταβλητή του προβλήµατος. Αν δεν περιληφθεί στους όρους της

εξίσωσης τότε προκύπτει διαστατική ανοµοιογένεια. Από το άλλο µέρος υπάρχει κίνδυνος

να συµπεριληφθούν µεταβλητές που δεν υπεισέρχονται ουσιαστικά στο πρόβληµα π.χ. να

συµπεριληφθεί το ιξώδες σε µια ροή όπου δεν υπάρχει σχετική διαφοροποίηση των

ταχυτήτων στην κινούµενη µάζα του υγρού. Υπάρχει επίσης ενδεχόµενο µια µεταβλητή

όπως π.χ. η θερµοκρασία να επιδρά σε παράγοντες που έχουν ή δη ληφθεί υπόψη π.χ. στην

πυκνότητα ή στο ιξώδες οπότε δεν πρέπει να υπεισέλθει ως ανεξάρτητη µεταβλητή. Αυτό

είναι απαραίτητο µόνο όταν η θερµοκρασία έχει άµεση επίδραση στο φαινόµενο όπως π.χ.

σε φαινόµενα µεταφοράς θερµότητας.

Εµπειρικοί τύποι µπορεί να χρησιµοποιηθούν χωρίς να είναι πλήρεις µε την φυσική ένοια

να µην περιέχουν δηλαδή όρους που επηρεάζουν το αποτέλεσµα πχ ο τύπος του Manning

που δίνει την παροχή στην περίπτωση της οµοιόµορφης ροής:

Qn

AR S=1 2 3

0

1 2/ / (3.4)

όπου Q = η παροχή

Α = το εµβαδόν της υγρής διατοµής

R = A/P = η υδραυλική ακτίνα της διατοµής

S0 = η κλίση του αγωγού

n = ο συντελεστής Manning

Ο συντελεστής Manning εξαρτάται από την τραχύτητα των τοιχωµάτων. Αυτός ο

τύπος δεν περιλαµβάνει ούτε την πυκνότητα του νερού ούτε το ιξώδες, παράγοντες που

επιδρούν σηµαντικά στην ροή. Τέτοιοι «ατελείς» τύποι έχουν συνήθως εφαρµογή σε

ωρισµένη περιοχή των εµπλεκοµένων µεταβλητών και συνήθως στις περιοχές για τις οποίες

υπάρχει πειραµατική επαλήθευση.

3.1.1 Μέθοδος RAYLEIGH

Η µέθοδος αυτή οφείλεται στον λόρδο Rayleigh (1842-1919) και στηρίζεται στο

θεώρηµα του Weierstrass όπως φαίνεται στα παρακάτω παραδείγµατα:

Παράδειγµα 1ο: Μαθηµατικό εκκρεµές.

Το πρόβληµα του µαθηµατικού εκκρεµούς είναι ένα απλό πρόβληµα µηχανικής και µπορεί

εύκολα να επαληθευθεί η λύση του. Οι µεταβλητές που υπεισέρχονται για τον υπολογισµό

της περιόδου του εκκρεµούς είναι:

α) Το µήκος l του εκκρεµούς.

β) Η µάζα m στο κέντρο αιώρησης του εκκρεµούς.

γ) Η επιτάχυνση της βαρύτητας g

δ) Η γωνία της αποµάκρυνσης από την κατακόρυφο α.

Οι τριβές στον άξονα περιστροφής και οι τριβές στον αέρα δεν λαµβάνονται υπόψη. Η

ζητούµενη σχέση θα έχει την µορφή:

14

),,,( agmlfT = (3.5)

Στην Εξ. (3.5) οι µεταβλητές l, m, g, a είναι ανεξάρτητες µεταβλητές και Τ είναι συνάρτηση

των µεταβλητών αυτών. Κάθε µία από τις µεταβλητές αυτές επιδρά στην τιµή της

συνάρτησης αλλά όχι και στις άλλες π.χ. αν αυξηθεί το µήκος l αυξάνει η περίοδος αλλά δεν

µεταβάλλονται οι υπόλοιπες µεταβλητές. Η Εξ. (3.5) διαστατικά µπορεί να γραφεί:

[ ] [ ]T l m g aa b c d= (3.6)

Με αντικατάσταση των µεταβλητών µε τις διαστάσεις τους η Εξ. (3.6) γίνεται:

[ ] [ ] [ ] [ ]T L M Ta c b c= + −2 (3.7)

Από την Εξ. (3.7) προκύπτει ότι:

a c+ = 0 b = 0 12 =− c και

a = 1 2/

b = 0

c = −1 2/ (3.8)

Η τελική µορφή της Εξ. (3.5) θα είναι:

Tl

gk a k a

l

gad d= + + =( ...) ( )1

1

2

2

1Φ (3.9)

Από την διαστατική ανάλυση προέκυψε ότι η περίοδος του εκκρεµούς είναι ανάλογος

της ρίζης του µήκους l και αντιστρόφως ανάλογος της επιτάχυνσης της βαρύτητας g.

Προέκυψε επίσης ότι είναι ανεξάρτητη της µάζης m. ∆εν προέκυψε από την ανάλυση σε

ποιό βαθµό η περίοδος εξαρτάται από την γωνία απόκλισης α. Από την αλγεβρική λύση του

προβλήµατος προκύπτει ότι για µικρές τιµές του α η Φ(α) = 2π.

Παράδειγµα 2ο: Απώλειες τριβών σε κλειστούς αγωγούς.

Στην πρώτη περίπτωση αντιµετωπίσθηκε ένα πρόβληµα στο οποίο υπήρχε αλγεβρική λύση.

Στην περίπτωση αυτή το πρόβληµα είναι αδύνατο να λυθεί αλγεβρικά και γιαυτό η

διαστατική ανάλυση είναι απαραίτητη.

Θεωρούµε αγωγό κυκλικής διατοµής στον οποίο ρέει νερό σταθερής πυκνότητας και

παροχής. Ζητείται να υπολογισθεί η µεταβολή της πιέσεως ανά µονάδα µήκους του αγωγού

∆p/l. Οι µεταβλητές που υπεισέρχονται στο πρόβληµα είναι:

α) Η διάµετρος του σωλήνα D

β) H µέση ταχύτητα του νερού στον σωλήνα u.

γ) Το ιξώδες του νερού µ.

δ) Η πυκνότητα ρ

Η ζητούµενη σχέση έχει την µορφή:

∆ Φp l D u/ ( , , , )= µ ρ (3.10)

Η αρχή της διαστατικής οµογένειας δίνει:

[ / ] [ ]∆p l D ua b c d

= µ ρ (3.11)

15

Αντικαθιστώντας στην Εξ. (3.11) τις αντίστοιχες διαστάσεις προκύπτει:

[ ] [ ] [ ] [ ]ML T L M Ta b c d c d b c− − + + − + − −=2 2 3

(3.12)

Από την Εξ. (3.12) προκύπτει:

a b c d+ − − = −3 2

c d+ = 1 − − = −b c 2 (3.13)

Στο σύστηµα 3.13 οι άγνωστοι είναι 4 και οι διαθέσιµες εξισώσεις είναι 3. Η λύση του

συστήµατος µε παράµετρο c δίνει:

a c= − −1

b c= −2 d c= −1 (3.14)

Η Εξ. (3.10) γίνεται:

[ / ] [ ( ) ] [ ]∆p lu

D uD

u

DRc

e

c= = −ρ µρ

ρ2 2

(3.15)

Η ποσότητα είναι αδιάστατη και είναι γνωστή ως αριθµός Reynolds (Re ). Τελικά:

∆ Φp l ku

DR k

u

DR

u

DRe

c

e

c

e/ ( ) ( ) .... ( )= + + =− −1

21

2

22

2ρ ρ ρ

∆Φ

p

l

D

uReρ 2

= ( ) (3.16)

Το 2ο µέλος της Εξ. (3.16) µπορεί να προσδιορισθεί πειραµατικά. Αν στην αρχική

θεώρηση, στις µεταβλητές που υπεισέρχονται περιλαµβάνονταν η τραχυτητα των

τοιχωµάτων του σωλήνα k, θα είχαµε 3 εξισώσεις µε 5 αγνώστους και η Εξ. (3.16) θα

έπαιρνε την µορφή:

∆Φ

p

l

D

uR k Deρ 2

= ( , / ) (3.17)

3.1.2 Μέθοδος Buckincham (Θεώρηµα Π)

Η παρούσα µέθοδος οφείλεται στον Buckincham (1867-1940) και στηρίζεται στο

θεώρηµα Π. Το όνοµα του θεωρήµατος προέρχεται από το Ελληνικό γράµµα Π που είναι το

σύµβολο του γινοµένου (product). σύµφωνα µε το θεώρηµα αυτό σε µια συνάρτηση της

µορφής:

f q q q qn( , , ,......... )1 2 3 0= (3.18)

Αν m είναι ο αριθµός των θεµελιωδών µεγεθών και n είναι ο αριθµός των ανεξαρτήτων

µεταβλητών οι µεταβλητές αυτές µπορεί να χωρισθούν σε n-m αδιάστατες οµάδες και η

Εξ. (3.18) µπορεί να γραφεί:

16

Φ Π Π Π( , ,........ )1 2 0n m− = (3.19)

Το πλεονέκτηµα που προκύπτει από την θεώρηση αυτή είναι ότι οι n ανεξάρτητες

µεταβλητές περιορίζονται σε n-m αδιάστατα µονώνυµα.

Ο σχηµατισµός των αδιαστάτων µονωνύµων πρέπει να ακολουθεί τις εξής αρχές:

1) Τα αδιάστατα µονώνυµα πρέπει να έχουν κοινές µεταβλητές τις βασικές διαστάσεις.

2) Η συνάρτηση δεν πρέπει να περιλαµβάνεται στις επαναλαµβανόµενες µεταβλητές.

Παράδειγµα:

Στην προηγούµενη περίπτωση του υπολογισµού των απωλειών φορτίου σε σωλήνα

κυκλικής διατοµής η βασική σχέση είναι:

Φ ∆( / , , , , )p l D u µ ρ (3.20)

Τα ανεξάρτητα µονώνυµα θα είναι:

n m− = − =5 3 2

Αν στο σύστηµα (3.13) η παράµετρος είναι το α προκύπτει:

b a= + 3

c a= − −1

d a= + 2 (3.21)

Με αντικατάσταση στην Εξ. (3.11) προκύπτει:

[ / ] [ ] ( ) ( )∆p l D uDu u

f Rua b a a

e

a

= = =+ − − +3 13 2 3 2

2

µ ρρ

µρµ

ρµ

ή

( )( )

∆Φ

p

l uRe

µρ 2 3

= (3.22)

Από την Εξ. (3.19)

Φ Π Π( , )1 2 0= ή

Φ∆

(( / )

, )µ

ρρ

µp l

u

uD2 3

0= (3.23)

17

3.2 ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

∆ύο συστήµατα ονοµάζονται φυσικώς όµοια σε σχέση µε ωρισµένες φυσικές

ποσότητες όταν ο λόγος των αντιστοίχων ποσοτήτων στα δύο συστήµατα είναι σταθερός.

Αν το χαρακτηριστικό φυσικό µέγεθος είναι το µήκος, τότε τα συστήµατα είναι

γεωµετρικώς όµοια. Αν το χαρακτηριστικό µέγεθος είναι η κίνηση δηλαδή το µήκος και ο

χρόνος, τότε τα συστήµατα παρυσιάζουν κινηµατική οµοιότητα. Τέλος άν έχουµε

οµοιότητα δυνάµεων τα συστήµατα παρουσιάζουν δυναµική οµοιότητα.

H µελέτη της φυσικής οµοιότητας είναι απαραίτητη στην κατασκευή φυσικών

µοντέλων. Η µελέτη σε φυσικά µοντέλα αποτελούν αναπόσπαστο τµήµα της µελέτης

µεγάλων υδραυλικών έργων όπως εκχειλιστές ασφαλείας φραγµάτων, σήραγγες εκτροπής

ποταµών, λιµενικά έργα, κ.ά. Τούτο συµβαίνει διότι κάθε πειραµατισµός είναι εξαιρετικά

δύσκολος στις φυσικές διαστάσεις ενός µεγάλου έργου και το κυριότερο πρέπει να

µελετηθούν ιδιότητες χρήσιµες για την διαστασιολόγηση και την εν γένει κατασκευή του

έργου πριν από την κατασκευή του. Η κατασκευή των φυσικών µοντέλων και η µεταφορά

των αποτελεσµάτων της µελέτης που γίνεται σ’αυτά στο πρωτότυπο γίνεται δυνατή µε τους

νόµους της φυσικής οµοιότητας.

3.2.1 Γεωµετρική οµοιότητα

Γεωµετρική οµοιότητα είναι η οµοιότητα του σχήµατος. Στην οµοιότηα αυτή ο λόγος

του µήκους κάθε τµήµατος στο ένα σύστηµα προς το αντίστοιχο µήκος στο άλλο σύστηµα

είναι σταθερός και ονοµάζεται λόγος οµοιότητας (scale factor). Αν συγκεκριµένα ο λόγος

των µηκών στα δύο συστήµατα είναι:

L L Lr m p= / (3.24)

όπου Lm είναι το µήκος στο οµοίωµα και Lp είναι το αντίστοιχο µνήκος στο προτότυπο, o

λόγος των εµβαδών θα είναι Lr

2 και ο λόγος των όγκων Lr

3 . Αν για κάποιο λόγο ο λόγος

αυτός δεν είναι ο αυτός κατά τις τρείς διαστάσεις, τότε έχουµε την λεγοµένη στρεβλή

γεωµετρική οµοιότητα. Στην στρεβλή γεωµετρική οµοιότητα αν ο λόγος των οριζοντίων

µεγεθών είναι π.χ. Lrx και ο λόγος των κατακορύφων Lry τότε ο λόγος των κατακορύφων

επιφανειών θα είναι L Lrx ry. .

3.2.2 Κινηµατική οµοιότητα

Κινηµατική είναι η οµοιότητα της κίνησης. Αυτό συνεπάγεται οµοιότηα µήκους και

ταυτόχρονα και οµοιότητα χρόνου. Κινηµατική οµοιότητα έχουµε στα µοντέλα απεικόνισης

της κινήσεως των πλανητών. Αν σε ένα τέτοιο µοντέλο (πλανητάριο) ο λόγος των µηκών

είναι Lr αι ο λόγος των διαστηµάτων χρόνου Tr , τότε οι αντίστοιχες ταχύτητες θα έχουν

λόγο L Tr r/ και οι επιταχύνσεις L Tr r/ 2 .

18

3.3.3 ∆υναµική οµοιότητα

∆υναµική οµοιότητα είναι η οµοιότητα δυνάµεων. Αν δύο συστήµατα είναι δυναµικώς

όµοια οι δυνάµεις σε αντίστοιχα σηµεία των δύο συστηµάτων έχουν σταθερό λόγο. Οι

δυνάµεις που ασκούνται σε ένα σύστηµα είναι πολλών ειδών: Υπάρχουν δυνάµεις

βαρύτητας, δυνάµεις πιέσεως, δυνάµεις ελαστικότητας, δυνάµεις ιξώδους, ηλεκτροµαγνη-

τικές δυνάµεις κ.τ.λ. Οι δυνάµεις αυτές είναι δυνατόν να οµαδοποιηθούν στις ακόλουθες

κατηγορίες:

1) ∆υνάµεις αδράνειας: m LV

LL Vα ρ ρ⇒ =3

22 2

(3.25)

2) ∆υνάµεις ιξώδους: VLLL

VA

dz

duµµµ =⇒ 2

(3.26)

3) ∆υνάµεις βαρύτητας: mg L g⇒ ρ 3 (3.27)

4) ∆υνάµεις πιέσεων: ∆ ∆pA pL⇒ 2 (3.28)

5) ∆υνάµεις επιφανειακής τάσεως: σ σl L⇒ (3.29)

6) ∆υνάµεις ελαστικότητας: kA kL2 2⇒ (3.30)

Οι λόγοι των δυνάµεων αυτών δίνουν αδιάστατους αριθµούς γνωστους στην φυσική και

την ρευστοµηχανική όπως:

∆υνάµεις αδράνειας/ ∆υνάµεις ιξώδους = ρL V2 2/ µ

ρµ

VLVL

Re= ⇒ (3.31)

αριθµός Reynolds

∆υνάµεις αδράνειας/ ∆υνάµεις βαρύτητας = rFLg

V

Lg

VgLVL ⇒= ηρρ

2322 / (3.32)

αριθµός Froude

∆υνάµεις πιέσεως/ ∆υνάµεις αδράνειας = pCVpVLpL ⇒∆=∆ 2222 // ρρ (3.33)

ειδική θερµότητα µε σταθερή πίεση

∆υνάµεις αδράνειας/ ∆υνάµεις επιφ. τάσεως = ρ σ σ ρL V L V L W2 2 2/ / ( / )= ⇒ (3.34)

αριθµός Weber

∆υνάµεις αδράνειας/ ∆υνάµεις ελαστικότητας= MachkVkLVL ⇒= )//(/ 222 ρρ (3.35)

Έτσι κατά την κατασκευή ενός δυναµικού µοντέλου είναι δυνατόν να έχουµε έναν ή

περισσότερους από τους αριθµούς αυτούς σταθερούς οπότε µιλάµε για µοντέλα Froude ή

19

µοντέλα Reynolds όταν αντιστοίχως οι αριθµοί Froude και Reynolds διατηρούνται σταθεροί

στο πρωτότυπο και στο µοντέλο.

Συνολική δυναµική οµοιότητα µεταξύ δύο συστηµάτων υπάρχει όταν:

r rF F

F

F

F

F

F

Fm p

gm

gp

pm

pp

vm

vp

/ = = = = − − −∑∑ (3.36)

όπου ΣFm η συνισταµένη των δυνάµεων που δρούν στο µοντέλο και ΣFp η συνισταµένη

των δυνάµεων που δρουν στο πρωτότυπο.

Πλήρης δυναµική οµοιότητα συστηµάτων είναι αδύνατο να επιτευχθεί λόγω της

ύπαρξης των πολλών ειδών δυνάµεων. Η ταυτόχρονη ικανοποίηση των εξισώσεων (3.36)

είναι αδύνατη γιατί δεν υπάρχει ρευστό που να ικανοποιεί όλες τις εξισώσεις αυτές. Σε

πρακτικά όµως υδραυλικά προβλήµατα πολλά είδη δυνάµεων µπορεί να παραλειφθούν και

η δυναµική οµοιότητα µπορεί να περιορισθεί σε οµοιότητα λίγων δυνάµεων, όπως οι

δυνάµεις βαρύτητας ή δυνάµεις συνεκτικότητας οπότε αναφερόµαστε σε µοντέλα Froude η

µοντέλα Reynolds αντιστοίχως. Ακόµα όµως και στην περίπτωση αυτή είναι αδύνατο να

υπάρξει ταυτόχρονη οµοιότητα Froude και Reynolds ταυτοχρόνως. Το γεγονός αυτό

φαίνεται στο παρακάτω παράδειγµα:

Ας υποτεθείότι κατασκευάζουµε το οµοίωµα ενός εκχειλιστή και επιθυµούµε να

ταυτίζονται οι αριθµοί Froude και Reynolds στο οµοίωµα και στο πρωτότυπο.

20

3.3.3.1 ∆υναµική οµοιότητα σε ανοιχτούς αγωγούς

Στους ανοιχτούς αγωγούς είναι φανερό ότι κυριαρχούν οι δυνάµεις βαρύτητας σε

σχέση µε τις συνεκτικές δυνάµεις και τις δυνάµεις ελαστικότητας. Εποµένως για την µελέτη

των φαινοµένων ροής σε ανοιχτούς αγωγούς, ο λόγος δυναµικής οµοιότητας θα είναι ο

λόγος των δυνάµεων βαρύτητας ήτοι ο αριθµός Froude.

F Frm rp= (3.42)

V

g L

V

g L

V

V

g

gLm

m m

p

p p

m

p

m

p

r= ⇒ = (3.43)

δεδοµένου ότι για τον ίδιο τόπο g m= g p o λόγος ταχυτήτων θα είναι:

V

VLm

p

r= (3.44)

ο λόγος χρόνων:

T

T

L V

L V

L

V

L

LLm

p

m m

p p

r

r

r

r

r= = = =/

/ (3.45)

ο λόγος των παροχών:

2/52

rrr

pp

mm

p

m LLLAV

AV

Q

Q=== (3.46)

3.3.3.2 ∆υναµική οµοιότητα σε κλειστούς αγωγούς

Στα προβλήµατα ροής σε κλειστούς αγωγούς υπό πίεση το κριτήριο δυναµικής

οµοιότητας είναι η ισότητα των αριθµών Reynolds διότι στην περίπτωση αυτή κυριαρχούν

οι συνεκτικές δυνάµεις σε σχέση µε τις δυνάµεις βαρύτητας και ελαστικότητας, ισχύει

δηλαδή:

R Rm p= (3.47)

ο λόγος ταχυτήτων προκύπτει:

V L V L V

V L L

m m

m

p p p

p

m

p

r

r r

r

r

ρ

µ

ρ

µµ

ρν

= ⇒ = = (3.48)

όπου ν είναι το κινηµατικό ιξώδες του υγρού.

Για τον χρόνο προκύπτει:

T

T

L V

L V

L

V

Lm

p

m m

p p

r

r

r

r

= = =/

/

2

ν (3.49)

Ο λόγος παροχών θα είναι:

21

Q

Q

A V

A VL

LLm

p

m m

p p

rr

r

r r= = =2 νν (3.50)

22

4. METΡHΣEIΣ Υ∆ΡΑΛΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ

ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

Είναι φανερό ότι τα όργανα µετρήσεων αποτελούν ένα σηµαντικό τµήµα ενός

εργαστηρίου Πειραµατικής Υδραυλικής. Εργαστηριακές µετρήσεις αφορούν στατικά ή

δυναµικά µεγέθη. Για τα στατικά ή βραδέως µεταβαλόµενα µεγέθη απαιτούνται µάλλον

απλά όργανα όπως σταθµήµετρα,, µανοµετρικοί σωλήνες, σωλήνες Pitot, σωλήνες Venturi

κ.τ.λ. Για την µέτρηση δυναµικώς εξελισσόµενων µεγεθών απαιτείται ηλεκτρονικός

εξοπλισµός που περιλαµβάνει σύστηµα λήψεως και καταγραφής των µετρήσεων.

Παρακάτω θα αναπτυχθούν παρατηρήσεις πάνω στην µέτρηση ορισµένων υδραυλικών

µεγεθών καθώς και η χρήση των αντιστοίχων οργάνων µετρήσεων.

4.1 Μετρήσεις στάθµης νερού

Τα όργανα µετρήσεως της στάθµης του νερού είναι τα πιό απλά όργανα που

χρησιµοποιούνται στην υδραυλική. Τέτοια όργανα είναι:

4.1.1 Σταθµήµετρα

Αποτελούνται από µια βαθµολογηµένη κλίµακα που η ανάγνωσή της επιτρέπει τον

απ’ευθείας προσδιορισµό της στάθµης της ελεύθερης επιφάνειας ως προς ένα σηµείο

αναφοράς. Η ακρίβεια ανάγνωσης των ενδείξεων είναι της τάξεως του 1cm.

4.1.2 Πήχυς βυθοµετρήσεων

Είναι µια φορητή κλίµακα που επιτρέπει τον προσδιορισµό της στάθµης του νερού

σε σχέση µε τον πυθµένα. Η ακρίβεια ανάγνωσης είναι και σ’αυτή την περίπτωση της

τάξεως του 1cm.

4.1.3 Νήµα βυθοµετρήσεων

Αντικαθιστά τον πήχυ σε µεγάλα βάθη ή ρεύµατα.. Τα σφάλµατα αναγνώσεως στην

περίπτωση αυτή είναι µεγαλύτερα και είναι της τάξεως των 10 cm.

4.1.4 Σταθµήµετρα µε ακίδα

Αποτελούνται από µιά λεπτή ακίδα που συνδέεται σε µια κλίµακα βαθµολογηµένη

σε χιλιοστά και που διαθέτει βερνιέρο (σχ. 4.1). Το σφάλµα ανάγνωσης υπό οµαλές

συνθήκες µέτρησης είναι της τάξεως του 0.1 cm. H ανάγνωση των ενδείξεων γίνεται

κατεβάζοντας την κλίµακα µέχρι η ακίδα να έλθει σε επαφή µε το νερό. ∆εν πρέπει να

γίνεται η µέτρηση επαναφέροντας την ακίδα προς τα επάνω διότι λόγω των φαινοµένων

επιφανειακής τάσεως µπορεί να προκληθούν σφάλµατα στην µέτρηση. Πολλές φορές

γίνεται χρήση ενός ηλεκτρικού κυκλώµατος που ενεργοποιείται κατά την επαφή της ακίδας

µε το νερό και έτσι αυξάνεται η ακρίβεια της ανάγνωσης. Η ακίδα δεν είναι απαραίτητο να

είναι πολύ αιχµηρή. Είναι προτιµότερο να είναι στρογγυλεµένη µε ακτίνα 0.2 ως 0.3 mm

περίπου.

23

4.1.5 Σταθµήµετρα µε άγκιστρο

Στα σταθµήµετρα αυτά η αρχή λειτουργίας είναι ανάλογη µε τα προηγούµενα.. Στην

περίπτωση αυτή η ακίδα είναι κυρτωµένη προς τα πάνω (σχ. 4.1). Η µέτρηση γίνεται όταν

ανεβάζοντας την κλίµακα η ακίδα εφάπτεται µε την επιφάνεια του νερού.

4.1.6 Σταθµηγράφοι

Τα όργανα αυτά χρησιµοποιούνται για την µέτρηση της στάθµης του νερού αλλά και

για την καταγραφή των µετρήσεων. Η στάθµη µετρείται συνήθως σε κατάλληλα

διαστασιολογηµένο παράλληλο και συγκοινωνούν φρεάτιο για την απόσβεση των

κυµατισµών. Το σύστηµα είναι εφωδιασµένο µε σύστηµα καταγραφής των µετρήσεων.

4.2 Μετρήσεις πιέσεως

4.2.1 Πιεζοµετρικοί σωλήνες

Οι πιεζοµετρικοί σωλήνες είναι ανοιχτοί κατά το ένα άκρο εύκαµπτοι διαφανείς

σωλήνες σταθερής διαµέτρου των οποίων το άλλο άκρο καταλήγει στο σηµείο µέτρησης

(σχ. 4.2). Η πίεση στο σηµείο µέτρησης είναι:

p = ρgh (4.1)

Κατά την ανάγνωση των ενδείξεων ενός πιεζοµετρικού σωλήνα πρέπει να λαµβάνονται

υπόψη τα τριχοειδή φαινόµενα και γιαυτό δεν πρέπει να χρησιµοποιούνται σωλήνες µικρής

διαµέτρου. Στην περίπτωση µετρήσεως πιέσεων σε κινούµενα υγρά χρειάζεται ιδιαίτερη

προσοχή στην διατήρηση αδιατάρακτων των συνθηκών ροής στην περιοχή του σηµείου

µετρήσεως. Τοπικές διαταραχές στην περιοχή αυτή δηµιουργούν υπερπιέσεις και

υποπιέσεις που αλλοιώνουν την πραγµατική τιµή της πιέσεως στην περιοχή αυτή. Η

διάταξη 1 (σχ. 4.3) µετράει την στατική πίεση στο σηµείο 1 ενώ η διάταξη 2 µετράει την

ολική πίεση:

p/ρg+u2 /2g.

4.2.2 Μανόµετρα µε σωλήνα σχήµατος U.

Αν οι αναµενόµενες τιµές της πιέσεως είναι µεγάλες, χρησιµοποιείται µανόµετρο

τύπου U που περιέχει διαφορετικό υγρό µεγαλύτερου ειδικού βάρους από το νερό, συνήθως

υδράργυρο (σχ. 4.4 a). Η τιµή της πιέσεως στα σηµεία Α και Α’ θα είναι:

p + gb ρA =gh ρB ή

p=ρB gh-ρA gb (4.2)

Για τη µέτρηση πολύ χαµηλών πιέσεων χρησιµοποιείται όργανο µε µανοµετρικό υγρό

ειδικού βάρους µικρότερου από το υγρό του δοχείου (σχ. 4.4 b). Από το το σχήµα αυτό

προκύπτει:

p - gb ρA = - gh ρB ή

p= - ρB gh + ρA gb (4.3)

24

Σχ. 4.1 Σταθµηµετρα µε ακίδα

Σχ. 4.2 Πιεζοµετρικοί σωλήνες

Σχ. 4.3 Μέτρηση στατικής και δυναµικής πίεσης

25

4.2.3 ∆ιαφορικά µανόµετρα

Τα διαφορικά µανόµετρα χρησιµοποιούνται κυρίως στην µέτρηση διαφοράς πιέσεων

µεταξύ δύο σηµείων ενός κυκλώµατος ροής ενός υγρού (σχ. 4.5). Στην περίπτωση αυτή η

διαφορά πιέσων είναι:

p p

gh h K hB

a

1 2 1−

= = − =ρ

ρρ

∆ ∆ ∆( ) ' ' (4.4)

Αν το ειδικό βάρος του υγρού είναι µικρότερο από το ειδικό βάρος του υγρού ροής, τότε

χρησιµοποιείται το αντίθετο όργανο µε τον υοειδή σωλήνα αντεστραµµένο (σχ. 4.6). Στην

περίπτωση αυτή ισχύει:

p p

gh h K hB

a

1 2 1−

= = − =ρ

ρρ

∆ ∆ ∆( ) ' ' (4.5)

Η σταθερά K B

A

= −1ρρ

ονοµάζεται µανοµετρική σταθερά.

4.2.4 Μετρητές πιέσεως (pressure transdusers)

Οι µετρητές πιέσεως είναι συστήµατα µετρήσεως της πιέσεως µε ηλεκτρονικό τρόπο και

αποτελούνται από τρία µέρη:

α) Τους αισθήτες, που είναι όργανα τα οποία φέρουν ειδική µεµβράνη της οποίας η

ηλεκτρική αγωγιµότητα εξαρτάται από την εφαρµοζόµενη πίεση. Με κατάλληλη ηλεκτρική

διέγερση η υπό µέτρηση πίεση µετατρέπεται σε ηλεκτρική τάση.

β) Τον ενισχυτή - διεγέρτη ο οποίος ενισχύει την ηλεκτρική τάση.

γ) Τον µετροπέα του αναλογικού σήµατος του µετατροπέα σε ψηφιακό, κατάλληλο για

εγγραφή του σήµατος σε σύστηµα καταγραφής και επεξεργασίας δεδοµένων το οποίο είναι

συνήθως ένας σκληρός δίσκος ηλεκτρονικού υπολογιστή

Οι µετρητές πιέσεως χρησιµοποιούνται στην µέτρηση δυναµικών και γενικά µεταβλητών

στον χρόνο πιέσεων.

4.3 Μετρήσεις ταχύτητας

Ακριβείς µετρήσεις ταχύτητας απαιτούν συνήθως καλό εξοπλισµό. ∆ιατάξεις

κατάλληλες για µετρήσεις υψηλών ταχυτήτων συνήθως αποδεικνύονται ακατάλληλες για

µετρήσεις χαµηλών ταχυτήτων και αντιστρόφως. Επίσης απαιτούνται διαφορετικές

συσκευές για την µέτρηση ταχυτήτων σε ανοιχτούς αγωγούς και άλλες για µετρήσεις

αντίστοιχα σε κλειστούς αγωγούς. Η πιο συνειθισµένη διάταξη µετρήσεως ταχυτήτων είναι

ο σωλήνας Pitot (σχ. 4.6). Ο σωλήνας Pitot αποτελείται από δύο σωλήνες µετρήσεως

πίεσης, τον ένα µε άξονα κάθετο προς την ροή και τον άλλο παράλληλο προς την ροή. Η

διαφορά ∆h των δύο µετρήσεων δίνει την τιµή της δυναµικής πίεσης ήτοι:

∆h p pp

g

V

g

p

g

V

g= − = + − =2 1

2 2

2 2( )ρ ρ

ή

26

V gh= 2 (4.6)

Στην πράξη όλη η κινητική ενέργεια δεν µετατρέπεται σε δυναµική και πρέπει να εισαχθεί

ένας συντελεστής διόρθωσης ο οποίος είναι συνάρτηση του σχήµατος των οπών και της

θέσης τους. Έτσι η εξ. 4.6 γίνεται:

V c gh= 2 (4.7)

Στην περίπτωση που έχουµε σχετικά οµαλή ροή και στην περίπτωση που ο αριθµός

Reynolds στην περιοχή της οπής δεν είναι µικρότερος του 100 µπορούµε να δεχθούµε ότι

c=1. Η συνηθισµένη τιµή του c είναι 0.98 αλλά συνιστάται η βαθµονόµηση κάθε οργάνου

σε πραγµατικές συνθήκες ροής.

Μια άλλη συσκευή µετρήσεως ταχύτητας είναι τα ρευµατόµετρα τα οποία είναι

συσκευές που φέρουν κύπελλα ή πτερύγια καταλλήλου αεροδυναµικού σχήµατος, ώστε οι

τριβές κατά την περιστροφή τους να είναι ελάχιστες. Το σύστηµα των κυπέλλων είναι

στερεωµένο σε έναν περιστρεφόµενο άξονα. Η ταχύτητα στο σηµείο µετρήσεως είναι

ανάλογη της συχνότητας περιστροφής των πτερυγίων. Η συχνότητα αυτή καταγράφεται σε

ηλεκτρονικό όργανο και µε κατάλληλη καµπύλη βαθµονόµησης µας δίδει την ταχύτητα του

νερού στο σηµείο µέτρησης. ήτοι:

V a bn= + (4.8)

όπου n ο αριθµός των στροφών και α και b σταθερές του οργάνου.

Παλαιότερα, αντί ηλεκτρονικής εγγραφής η συσκευή έδινε ηχητικό σήµα ανά τακτά

χρονικά διαστήµατα.

Ακριβέστερα συστήµατα µετρήσεως ταχύτητας είναι η συσκευή «θερµαινοµένου

σύρµατος» (hot weir meter). Η συσκευή αυτή στηρίζεται στην αρχή της αυξήσεως της

θερµοκρασίας σε έναν αγωγό όταν διαρέεται από ηλεκτρικό ρεύµα. Ο αγωγός περιβάλεται

από το κινούµενο ρευστό οπότε µέρος της αναπτυσσοµένης θερµότητας απάγεται από το

ρευστό. Η ταχύτητα απαγωγής είναι ανάλογη µε την ταχύτητα του ρευστού. Έτσι µε

κατάλληλη βαθµονόµηση επιτυγχάνεται η µέτρηση της ταχύττας του ρευστού µε αρκετή

ακρίβεια.

Τέλος από τις πλέον ακριβείς µετρήσεις της σηµειακής ταχύτητας επιτυγχάνεται µε

Laser. To πλεονέκτηµα της µεθόδου είναι ότι δεν διαταράσσεται η ροή στο σηµείο

µέτρησης. Στηρίζεται στις αρχές της συµβολής και περίθλασης του φωτός.

4.4 Μετρήσεις παροχής

4.4.1 Ογκοµετρικές µέθοδοι

Η πιο ασφαλής µέθοδος για την µέτρηση της παροχής προκύπτει από τον ίδιο τον

ορισµό της, ότι δηλ. παροχή είναι ο όγκος του ρευστού που ρέει στην µονάδα του χρόνου.

Έτσι, για σταθερή ροή, µετρώντας τον όγκο του νερού που ρέει σε ορισµένο χρόνο,

προκύπτει κατ’ευθείαν η παροχή. Η µέθοδος αυτή είναι πραγµατοποιήσιµη για µικρές

σχετικά παροχές, διότι απαιτούνται µεγάλες δεξαµενές αποθηκεύσεως του ρευστού. Αν η

χωρητικότητα της διαθέσιµης δεξαµενής είναι της τάξεως του όγκου που ρέει σε ένα λεπτό,

τότε είναι δυνατόν να επιτευχθεί ακρίβεια της τάξεως του 1%. Οι ογκοµετρικές µέθοδοι

χρησιµοποιούνται κυρίως για την βαθµονόµηση και τον έλεγχο ακριβείας άλλων οργάνων

µετρήσεως παροχής.

27

4.4.2 Eργαστηριακές µέθοδοι:

α) Οπές

Οπή στην υδραυλική θεωρείται κάθε άνοιγµα κανονικού σχήµατος που ευρίσκεται στο

τοίχωµα ή στον πυθµένα ενός δοχείου. Σε µια οπή λεπτής στέψης στον πυθµένα ενός

δοχείου (σχ.4.7), η ταχύτητα δίδεται από τον τύπο του Toricelli:

V g h= +2 ( )δ (4.9)

Γενικά η παροχή που διέρχεται από οπές στον πυθµένα ή στα τοιχώµατα ενός δοχείου

υπολογίζεται από την εξίσωση:

Q A gh= µ 2 (4.10)

όπου µ ονοµάζεται συντελεστής παροχής και κυµαίνεται από 0.59 ώς 0.63. Κατά µέσον όρο

το µ λαµβάνεται ισο µε 0.6.

β) Εκχειλιστές

Οι κχειλιστές είναι δυνατόν να είναι λεπτής ή παχειάς στέψης, ορθωγωνικοί, τριγωνικοί

κ.τ.λ. Για του ορθωγωνικούς εκχειλιστές ισχύει γενικά η εξίσωση:

Q C L gHd=2

32 3 2/

(4.11)

όπου Cd = συντελεστής παροχής

Για τους τριγωνικούς ισχύει γενικά η εξίσωση:

Q C tg gHd=8

15 22 5 2θ /

(4.12)

γ) Συσκευές Venturi

Στις συσκευές αυτές η παροχή προσδιορίζεται µε την βοήθεια υποπιέσεων που

προκαλούνται σε στενώσεις σε αγωγούς (σχ. 4.8). Η παροχή γενικά δίδεται από την

εξίσωση:

Q C k g hd= 2 ∆ (4.13)

όπου k εξαρτάται από την γεωµετρία της συσκευής και ονοµάζεται µετρικός συντελεστής.

Περαιτέρω ανάλυση για τους εκχειλιστές και τους µςτρητές Venturi περιέχονται στο

Κεφάλαιο 5.

4.4.3 Μέθοδοι ολοκλήρωσης σηµειακών ταχυτήτων

Αν σε µιά διατοµή Α κάθετη στην διεύθυνση της ροής είναι γνωστή η κατανοµή των

σηµειακών ταχυτήτων, τότε η παροχή που διέρχεται από την διατοµή δίδεται από την

εξίσωση:

Q VdAA

= ∫∫ (4.14)

28

Το ολοκλήρωµα αυτό υπολογίζεται πρακτικά χαράσσοντας τις ισοταχείς και

πολλαπλασιάζοντας το εµβαδόν µεταξύ δύο ισοταχών µε την µέση τιµή της ταχύτητας

µεταξύ των ισοταχών. Πολλές φορές ακολουθούνται εµπειρικοί κανόνες όπως π.χ. για την

µέτρηση παροχών σε ποτάµια διαιρείται η διατοµη σε κατακόρυφες νοητές λωρίδες και ως

µέση ταχύτητα κάθε λωρίδας λαµβάνεται ο µέσος όρος των σηµειακών ταχυτήτων σε βάθη

0.2y και 0.6y µετρούµενα από την επιφάνεια του νερού. Στις λωρίδες µε µικρά βάθη (κάτω

του 1m) ως µέση ταχύτητα λαµβάνεται η σηµειακή ταχύτητα σε βάθος 0.6y. Η παροχή

προκύπτει ίση µε το άθροισµα των γινοµένων των µέσων ταχυτήτων κάθε λωρίδας επί το

εµβαδόν της. Οι σηµειακές ταχύτητες µετρούνται συνήθως µε µυλίσκους.

30

5. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

5.1 ΕΙ∆ΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΠΑΝΩ ΑΠΌ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΑΝΑΒΑΘΜΟ

5.2 Υ∆ΡΑΥΛΙΚΟ ΑΛΜΑ

5.3 ΕΚΧΕΙΛΙΣΤΕΣ: ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΣ ΕΚΧΕΙΛΙΣΤΗΣ ΛΕΠΤΗΣ ΣΤΕΨΗΣ

5.4 ΕΚΧΕΙΛΙΣΤΕΣ: ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΣ ΕΚΧΕΙΛΙΣΤΗΣ

5.5 ΣΥΓΚΛΙΝΩΝ - ΑΠΟΚΛΙΝΩΝ ΑΝΟΙΧΤΟΣ ΑΓΩΓΟΣ (Parshall flume)

5.6 ΚΛΕΙΣΤΟΙ ΑΓΩΓΟΙ - ΤΥΡΒΩ∆ΗΣ ΡΟΗ

5.7 ΚΛΕΙΣΤΟΙ ΑΓΩΓΟΙ - ΣΩΛΗΝΑΣ VENTURI

5.8 ΜΕΛΕΤΗ ΒΡΟΧΟΠΤ.- ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΣΕ ΠΡΟΤΥΠΗ Υ∆ΡΟΛΟΓΙΚΗ

ΛΕΚΑΝΗ

5.9 ΜΕΛΕΤΗ ΚΙΝΗΣΕΩΣ ΦΕΡΤΩΝ ΥΛΩΝ

5.10 ΣΥΣΤΗΜΑ ΛΗΨΕΩΣ - ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ

31

5.1 ΕΙ∆ΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΠΑΝΩ ΑΠΌ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ

ΑΝΑΒΑΘΜΟ

5.1.1 Αντικειµενικός σκοπός

Αντικειµενικός σκοπός της ασκήσεως είναι η µελέτη της µεταβολής της ειδικής και της

ολικής ενέργειας της ροής πάνω από τριγωνικό αναβαθµό.

5.1.2 Σύντοµη θεωρητική ανάλυση του φαινοµένου

Κατά την ροή σε ανοιχτούς αγωγούς η ολική ενέργεια της ροής δηλ η ενέργεια ανά

µονάδα βάρους του υγρού για µικρές κλίσεις πυθµένα δίδεται από την εξίσωση (βλ. Σχ.

5.1.1):

H z yQ

gA= + +

2

22 (5.1.1)

όπου: Η = ολικό φορτίο (m)

z = υψόµετρο του πυθµένα από οριζόντιο σύστηµα αναφοράς (m)

y = βάθος νερού (m)

Q = παροχή (m3 /s)

g = επιτάχυνση της βαρύτητας (m/s2)

A = εµβαδόν υγρής διατοµής (m2)

Σχ. 5.1.1 Γεωµετρικά στοιχεία και γραµµή ενεργείας σε σταθερή ανοµοιόµορφη ροή

32

Ειδική ενέργεια είναι η ποσότητα που ορίζεται από την εξίσωση:

E yQ

gA= +

2

22 (5.1.2)

Σε ορθογωνικούς αγωγούς η Εξ. 5.1.2 γίνεται:

E yq

gy= +

2

22 (5.1.3)

όπου: q = Q/b = παροχή ανά µονάδα πλάτους του αγωγού (m3/s/m = m

2/s)

b = πλάτος του αγωγού (m)

Εάν το ύψος του αναβαθµού είναι σχετικά µεγάλο η ροή κατάντη γίνεται

υπερκρίσιµη. Ετσι σε κάποιο σηµείο του αγωγού η ροή θα είναι κρίσιµη. Εάν γίνει

δεκτό επίσης ότι η ολική ενέργεια παραµένει σταθερή για µικρές µετατοπίσεις κατά

µήκος του άξονα του αγωγού, η ειδική ενέργεια σε ένα σηµείο πάνω στον αναβαθµό θα

είναι:

Ε1 = Ε0 - d (5.1.4)

όπου d = ύψος του αναβαθµού (m)

Οι κρίσιµες συνθήκες εµφανίζονται εκεί όπου η ειδική ενέργεια γίνεται ελάχιστη ήτοι στην

κορυφή του τριγωνικού αναβαθµού. Το κρίσιµο βάθος δίνεται από την εξίσωση:

yq

gc =

2

3 (5.1.5)

Συναρτήσει της ειδικής ενέργειας το κρίσιµο βάθος θα είναι:

y Ec c=2

3 (5.1.6)

5.1.3 Συσκευές

Ο απαραίτητος εξοπλισµός για την άσκηση αυτή είναι:

1) Ενας ανοιχτός αγωγός ορθογωνικής διατοµής και µεταβλητής κλίσεως.

2) Μία εγκατάσταση τροφοδοσίας νερού σταθερού φορτίου µε δυνατότητα µεταβολής της

παροχής.

3) Συσκευές µετρήσεως της παροχής και της στάθµης του νερού ήτοι ένα ολοκληρωτικό

ροόµετρο, χρονόµετρο καθώς και ένα σταθµήµετρο µε ακίδα (Σχ.5.1.2).

5.1.4 Πειραµατική διαδικασία

5.1.4.1 Προκαταρκτική διαδικασία:

α) Ρυθµίζεται η κλίση του αγωγού ώστε να είναι σε οριζόντια θέση.

β) Τοποθετείται και στερεώνεται ο τριγωνικός αναβαθµός στο µέσον περίπου του αγωγού.

γ) Με την βοήθεια του σταθµηµέτρου προσδιορίζεται η σχετική στάθµη του πυθµένα.

δ) Μετράται το πλάτος του αγωγού, προσδιορίζονται τα σηµεία στα οποία θα γίνουν

µετρήσεις των βαθών και στα οποία µετρώνται τα ύψη του αναβαµού και οι µεταξύ τους

αποστάσεις (Σχ. 5.1.3).

33

Σχ. 5.1.2 Γενική πειραµατική διάταξη

5.1.4.2 Εκτέλεση του πειράµατος

Τίθεται σε λειτουργία η αντλία τροφοδοσίας του συστήµατος µε ανοιχτή την ρυθµιστική

δικλείδα του κυκλώµατος. Οταν σταθεροποιηθεί ροή µετράται ο χρόνος που απαιτείται να

διέλθει µια ποσότητα νερού π.χ. 2 κυβικά µέτρα. H παροχή θα είναι Q = V/t όπου V =

όγκος νερού σε m3 και t = χρόνος σε sec.

Με την βοήθεια του σταθµηγράφου µετρώνται οι σχετικές στάθµες της επιφανείας

του νερού στις επιλεγµένες θέσεις (Σχ. 5.1.3). Το βάθος του νερού σε κάθε θέση θα είναι η

διαφορά µεταξύ της σχετικής στάθµης του πυθµένα και της σταθµης της επιφάνειας του

νερού.

Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται για τρείς διαφορετικές τιµές της παροχής. Η

µεταβολή της παροχής γίνεται µε µερικό κλείσιµο της ρυθµιστικής δικλείδας που

ευρίσκεται ανάντη του ροοµέτρου.

5.1.4.3 Παρουσίαση αποτελεσµάτων

Για κάθε σειρά µετρήσεων θα γίνουν δύο γραφικές παραστάσεις. Στην πρώτη θα

απεικονίζονται τα αποτελέσµατα των µετρήσεων σε συστηµα αξόνων οριζόντια

απόσταση- υψόµετρο επιφανείας νερού και ολική ενέργεια ροής και στην δεύτερη σε

σύστηµα ειδική ενέργεια-βάθος ροής (Σχ. 5.1.4, 5.1.5).

5.1.5 Συµπεράσµατα

Να γραφούν οι τυχόν παρατηρήσεις και τα συµπεράσµατα από τα αποτελέσµατα των

πειραµάτων (αιτιολογήσεις τυχόν αποκλίσεων από τα αναµενόµενα θεωρητικά αποτελέ-

σµατα).

34

Σχ. 5.1.3 Προσδιορισµός των σηµείων µετρήσεως

Σχ. 5.1.4 Μηκοτοµή του αγωγού και αποτελέσµατα Σχ. 5.1.5 Καµπύλη ειδικής ενεργείας

των µετρήσεων - βάθους ροής

35

5.2 Υ∆ΡΑΥΛΙΚΟ ΑΛΜΑ


Αντικειµενικός σκοπός της ασκήσεως είναι:

α) Η επιβεβαίωση της θεωρίας ροής µέσω θυροφράγµατος µε σχηµατισµό υδραυλικού

άλµατος.

β) Η εκτίµηση της δυνάµεως που ασκείται στο θυρόφραγµα µε την θεωρία της ειδικής

δυνάµεως.

γ) Η εκτίµηση της απώλειας ενέργειας στο φαινόµενο του υδραυλικού άλµατος.


Κατά τον σχηµατισµό του υδραυλικού άλµατος (Σχ. 5.2.1) η ειδική ενέργεια Ε και η

ειδική δύναµη Μ δίνονται από τις εξισώσεις:

E yq

gy= +

2

22 (5.2.1)

2

22 y

yg

qM += (5.2.2)

όπου: Ε = ειδική ενέργεια (m)

Μ = ειδική δύναµη ανά µονάδα πλάτους (m2)

y = βάθος νερού (m)

Q = παροχή (m3/s)


q = Q/b = παροχή ανά µονάδα πλάτους του αγωγού (m3/s/m = m

2/s)

b = πλάτος του αγωγού (m)

Σχ. 5.2.1 Υδραυλικό άλµα σε ροή κάτω από θυρόφραγµα

36

Η εφαρµογή της θεωρίας της ειδικής ενέργειας και ειδικής δύναµης στη ροή κάτω

από θυρόφραγµα µε σχηµατισµό υδραυλικού άλµατος δίδει:

Ε1 = Ε2 (5.2.3)

F

gM M

ρ= −2 1 (5.2.4)

όπου F = δύναµη ανά µονάδα πλάτους που ασκείται από το θυρόφραγµα στην µάζα

του νερού (Nt/m)

ρ = πυκνότητα του νερού (Kg/m3)

Στο υδραυλικό άλµα ισχύει:

Μ2 = Μ3 (5.2.5)

Από τις Εξ. 5.2.2, 5.2.5 προκύπτει:

( )yy

Fr32

2

2

21 1 8= − + + (5.2.6)

όπου: F u gy q gyr2 2 2 2

3= =/ / (5.2.7)

u2 = µέση ταχύτητα στην διατοµή (2) (Σχ. 5.2.1)

Η απώλεια ενεργείας στο Υδραυλικό άλµα είναι:

dΕ = Ε2 - Ε3 (5.2.8)

Με συνδυασµό των Εξ. 5.2.1, 5.2.5 και 5.2.8 προκύπτει:

32

3

23

4

)(

yy

yydE

−= (5.2.9)

Η Εξ. 5.2.9 δίνει την απώλεια φορτίου ανάντη και κατάντη ενός υδραυλικού

άλµατος σε οριζόντιο αγωγό ορθογωνικής διατοµής και παριστάνει την απώλεια ενεργείας

ανά µονάδα βάρους του κινουµένου ρευστού. Η απώλεια ισχύος του κινουµένου

ρευστού θα είναι:

dIBdE

t

mgdE

t

gVdE

tgQdE= = = =

ρρ (5.2.10)

όπου: Β = βάρος του υγρού (Nt)

m = µάζα του υγρού (Kg)



1) Ενας ανοιχτός αγωγός ορθογωνικής διατοµής και µεταβλητής κλίσεως πυθµένα µε δυνα-

τότητα ελέγχου της ροής στο κατάντη άκρο.

2) Μία εγκατάσταση τροφοδοσίας νερού σταθερού φορτίου µε δυνατότητα ρύθµισης της

παροχής.



4) Ενα θυρόφραγµα.

37




β) Τοποθετείται και στερεώνεται το θυρόφραγµα στο µέσον περίπου του αγωγού και σε

ύψος 4 περίπου cm από τον πυθµένα του αγωγού.

γ) Μετράται το πλάτος του αγωγού και µε την βοήθεια του σταθµηµέτρου προσδιορίζεται η

σχετική στάθµη του πυθµένα.



δικλείδα του κυκλώµατος. Οταν σταθεροποιηθεί ροή µετράται ο χρόνος που απαιτείται να

διέλθει µια ποσότητα νερού π.χ. 2 κυβικά µέτρα. H παροχή θα είναι Q = V/t όπου V =

όγκος νερού σε m3, t = χρόνος σε sec.

Με την βοήθεια του σταθµηγράφου µετρούνται οι σχετικές στάθµες της επιφανείας

του νερού στις επιλεγµένες θέσεις (Σχ. 5.2.3). Το βάθος του νερού σε κάθε θέση θα είναι η

διαφορά µετξύ της σχετικής στάθµης του πυθµένα και της σταθµης της επιφάνειας του

νερού.

Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται για τρείς διαφορετικές τιµές της παροχής. Η

µεταβολή της παροχής γίνεται µε µερικό κλείσιµο της ρυθµιστικής δικλείδας που

ευρίσκεται ανάντη του ροοµέτρου.

Σχ. 5.2.2 Πειραµατική διάταξη

38


Για κάθε σειρά µετρήσεων θα γίνουν τα διαγράµµατα ειδικής ενέργειας-βάθους ροής και

ειδικής δύναµης-βάθους ροής. Επίσης σε κάθε σειρά πειραµάτων θα υπολογισθούν η

απώλεια φορτίου ανάντη και κατάντη του άλµατος καθώς και η δύναµη που ασκείται στο

θυρόφραγµα.


Θα γραφούν οι τυχόν παρατηρήσεις και τα συµπεράσµατα από τα αποτελέσµατα των

πειραµάτων (αιτιολογήσεις τυχόν αποκλίσεων από τα αναµενόµενα θεωρητικά αποτελέ-

σµατα).

Σχ. 5.2.3 ∆ιαγράµµατα ειδικής ενεργείας και ειδικής δυνάµεως

39

5.3 ΕΚΧΕΙΛΙΣΤΕΣ: ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΣ ΕΚΧΕΙΛΙΣΤΗΣ ΛΕΠΤΗΣ

ΣΤΕΨΗΣ



α) Ο καθορισµός της σχέσης του φορτίου ανάντη ενός ορθογωνικού εκχειλιστή και της

αντίστοιχης παροχής.

β) Ο καθορισµός του συντελεστή παροχής.

5.3.2 Σύντοµη θεωρητική ανάλυση

Αν θεωρηθεί ότι η ταχύτητα του νερού ανάντη ενός εκχειλιστή (Σχ. 5.3.1) είναι

µικρή, η εξίσωση Bernoulli δίνει:

u

g

p

gz

u

g

p

gz1

2

11

2

2

22

2 2+ + = + +

ρ ρ (5.3.1)

όπου: p = στατική πίεση (Nt/m2)

u = µέση ταχύτητα (m/s)


z = κατακόρυφη απόσταση από το επίπεδο αναφοράς (m)


Σχ. 5.3.1 Ροή ιδανικού ρευστού πάνω από εκχειλιστή λεπτής στέψης

40

∆εδοµένου ότι p

gz h1

1ρ+ = και p2 = 0 η Εξ. 5.3.1 γίνεται:

u

gh

u

gz1

2

12

2

22 2

+ = + και

u g h zu

g2 2

1

21 2

22

= − +

/

(5.3.2)

H στοιχειώδης παροχή dQ που διέρχεται από την στοιχειώδη διατοµή bdz είναι:

dQ = u b dz (5.3.3)

Η Εξ. 5.3.4 µε ολοκλήρωση γίνεται:

Q b g h zu

gdz b g h

u

g

u

g

h

= − +

= +

−

∫22

2

32

2 22

1

21 2

0

1

23 2

1

23 2/ / /

(5.3.4)

Τα παραπάνω ισχύουν κάτω από τις εξής παραδοχές:

α) Ανάντη του εκχειλιστή η κατανοµή των πιέσεων είναι υδροστατική, ισχύει δηλαδή η

σχέση p = ρ g h.

β) Υπάρχει επαρκής αερισµός της φλέβας κατάντη του εκχειλιστή.

γ) Παραλείπονται ως αµελητέες οι δυνάµεις επιφανειακής τάσεως και ιξώδους.

∆εδοµένου ότι ταχύτητα u1 ειναι µικρή η Εξ. 5.3.4 γίνεται:

2/323

2hgbQ = (5.3.5)

Η Εξ. 5.3.5 ισχύει για ιδανικά ρευστά. Σε πραγµατικά ρευστά ισχύει:

2/323

2hgbCQ d= (5.3.6)


Για ορθογωνικούς εκχειλιστές που καταλαµβάνουν όλο το πλάτος της διατοµής ισχύει

ο προσεγγιστικός τύπος του Rehbock:

C = 0.602 + 0.083h/p (5.3.7)

όπου p = ύψος της στέψης του εκχειλιστή.

Στην περίπτωση πού το πλάτος του εκχελιστή είναι πολύ µικρότερο του πλάτους

του αγωγού ισχύει ο τύπος των Hamilton-Smith:

C = 0.616(1- 0.1h/p) (5.3.8)



41

1) Ενας ανοιχτός αγωγός ορθογωνικής διατοµής και µεταβλητής κλίσεως µε δυνατότητα

ελέγχου της ροής στο κατάντη άκρο.


παροχής.



4) Ενα διάφραγµα πλάτους ίσο µε το πλάτος του αγωγού και ένα αντίστοιχο µε άνοιγµα στο

κέντρο µικρότερο από το πλάτος του αγωγού.




β) Τοποθετείται και στερεώνεται το διάφραγµα στο µέσον περίπου του αγωγού.

γ) Μετράται το πλάτος του αγωγού, το ύψος του διαφράγµατος και µε την βοήθεια του

σταθµηµέτρου προσδιορίζεται η σχετική στάθµη του πυθµένα.



δικλείδα του κυκλώµατος. Οταν σταθεροποιηθεί ροή µετράται στο ολοκληρωτικό

ροόµετρο ο χρόνος που απαιτείται για να διέλθει συγκεκριµένος όγκος νερού π.χ. 2

κυβικά µέτρα νερού. H παροχή θα είναι Q = V/t όπου V = όγκος νερού σε m3 και t =

χρόνος σε sec. Με την βοήθεια του σταθµηγράφου µετρώνται η σχετική στάθµη της

επιφανείας του νερού ανάντη του διαφράγµατος και σε απόσταση 4-5 φορές το φορτίο

του εκχειλιστή δηλαδή της διαφοράς στάθµης µεταξύ στέψης του εκχειλιστή και της

επιφανείας του νερού ανάντη. Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται 8-10 διαφορετικές

τιµές της παροχής. Η µεταβολή της παροχής γίνεται µε την βοήθεια της ρυθµιστικής

δικλείδας που ευρίσκεται ανάντη του ροοµέτρου.

Η παραπάνω διαδικασία επαναλαµβάνεται µε το διάφραγµα που έχει άνοιγµα

µικρότερο του πλάτους του αγωγού.


Πρώτα θα υπολογισθούν οι πειραµατικοί συντελεστές k, n της σχέσης φορτίου -

παροχής του εκχειλιστή ήτοι της εξίσωσης:

Q = C hn (5.3.9)

Ο υπολογισµός θα γίνει µε λογαρίθµιση της Εξ. 5.3.9 :

logQ = logC + n logh (5.3.10)

Είναι προφανές ότι οι ποσότητες logQi και loghi που προέκυψαν από τις

µετρήσεις είναι γραµµικώς εξηρτηµένες και έτσι υπολογίζοντας την ευθεία

παλινδρόµησης υπολογίζονται οι τιµές του k και του n. Αν xi = loghi yi = logQi , η

τιµή του n δίδεται από την εξίσωση:

42

nN x y x y

N x x

i i i i

i i

=−

−∑∑∑

∑∑ 2 2( ) (5.3.11)

όπου Ν ο αριθµός των µετρήσεων.

Από την Εξ. 5.3.6 προκύπτει:

2/323

2/ hgbQCd = (5.3.12)

Θα συγκριθούν οι τιµές των Cd µε τις αντίστοιχες που προκύπτουν από τους

εµπειρικούς τύπους των Rehbock και Hamilton-Smith.

Θα παρασταθεί γραφικά η µεταβολή του Cd µε το φορτίο h.


Να γραφούν οι τυχόν παρατηρήσεις και τα συµπεράσµατα από τα αποτελέσµατα των

πειραµάτων (αιτιολογήσεις τυχόν αποκλίσεων από τα αναµενόµενα θεωρητικά

αποτελέσµατα).

43

5.4 ΕΚΧΕΙΛΙΣΤΕΣ: ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΣ ΕΚΧΕΙΛΙΣΤΗΣ



α) Ο καθορισµός της σχέσης του φορτίου ανάντη ενός τριγωνικού εκχειλιστή και της

αντίστοιχης παροχής.



Αν θεωρηθεί ότι η ταχύτητα του νερού ανάντη ενός εκχειλιστή (Σχ. 5.4.1) είναι

µικρή, η εξίσωση Bernoulli δίνει:

u

g

p

gz

u

g

p

gz1

2

11

2

2

22

2 2+ + = + +

ρ ρ (5.4.1)






Σχ. 5.4.1 Ροή ιδανικού ρευστού πάνω από τριγωνικό εκχειλιστή

44

∆εδοµένου ότι p

gz h1

1ρ+ = και p2 = 0 η Εξ. 5.4.1 γίνεται:

u

gh

u

gz1

2

12

2

22 2

+ = + και

u g h zu

g2 2

1

21 2

22

= − +

/

(5.4.2)

H στοιχειώδης παροχή dQ που διέρχεται από την στοιχειώδη διατοµή είναι (Σχ. 5.4.1):

dQ =b dz(2g(h-z))1/2

(5.4.3)

όπου: b = 2ztan(θ/2)

θ = γωνία του εκχειλιστού

Η Εξ. 5.4.3 µε ολοκλήρωση γίνεται:

( )Q g z h z dz g h

h

= − =∫2 2 28

152 2

1 2

0

5 2tan( / ) tan( / )/

/θ θ (5.4.4)

Τα παραπάνω ισχύουν κάτω από τις εξής παραδοχές:

α) Ανάντη του εκχειλιστή η κατανοµή των πιέσεων είναι υδροστατική, ισχύει δηλαδή η

σχέση p = ρ g h.

β) Υπάρχει επαρκής αερισµός της φλέβας κατάντη του εκχειλιστή.

γ) Παραλείπονται ως αµελητέες οι δυνάµεις επιφανειακής τάσεως και ιξώδους.

Η Εξ. 5.4.4 ισχύει για ιδανικά ρευστά. Σε πραγµατικά ρευστά ισχύει:

Q C g hd=8

152 2 5 2tan( / ) /θ (5.4.5)




1) Ενας ανοιχτός αγωγός ορθογωνικής διατοµής και µεταβλητής κλίσεως µε δυνατότητα

ελέγχου της ροής στο κατάντη άκρο.


παροχής.



4) Ενα διάφραγµα πλάτους ίσο µε το πλάτος του αγωγού µε τριγωνικό άνοιγµα.




β) Τοποθετείται και στερεώνεται το διάφραγµα µε το τργωνικό άνοιγµα στο µέσον περίπου

του αγωγού.

45

γ) Προσδιορίζεται η σχετική στάθµη της γωνίας του τριγωνικού ανοίγµατος.


Τίθεται σε λειτουργία η αντλία τροφοδοσίας του συστήµατος µε ανοιχτή την

ρυθµιστική δικλείδα του κυκλώµατος. Οταν σταθεροποιηθεί ροή µετράται στο

ολοκληρωτικό ροόµετρο ο χρόνος που απαιτείται για να διέλθει συγκεκριµένος όγκος

νερού π.χ. 2 κυβικά µέτρα νερού. H παροχή θα είναι Q = V/t όπου V = όγκος νερού σε m3

και t = χρόνος σε sec. Με την βοήθεια του σταθµηγράφου µετρώνται η σχετική στάθµη της

επιφανείας του νερού ανάντη του διαφράγµατος και σε απόσταση 4-5 φορές το φορτίο

του εκχειλιστή δηλαδή της διαφοράς στάθµης µεταξύ στέψης του εκχειλιστή και της

επιφανείας του νερού ανάντη. Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται 8-10 διαφορετικές τιµές

της παροχής. Η µεταβολή της παροχής γίνεται µε την βοήθεια της ρυθµιστικής δικλείδας

που ευρίσκεται ανάντη του ροοµέτρου.


Πρώτα θα υπολογισθούν οι πειραµατικοί συντελεστές k, n της σχέσης φορτίου -

παροχής του εκχειλιστή ήτοι της σχέσης:

Q = C hn (5.4.6)

Ο υπολογισµός θα γίνει µε λογαρίθµιση της Εξ. 5.3.6 :

logQ = logC + n logh (5.4.7)

Είναι προφανές ότι οι ποσότητες logQi και loghi που προέκυψαν από τις

µετρήσεις είναι γραµµικώς εξηρτηµένες και έτσι υπολογίζοντας την ευθεία

παλινδρόµησης υπολογίζονται οι τιµές του k και του n. Αν xi = loghi yi = logQi η

τιµή του n δίδεται από την εξίσωση:

nN x y x y

N x x

i i i i

i i

=−

−∑∑∑

∑∑ 2 2( ) (5.4.8)

όπου Ν ο αριθµός των µετρήσεων.

Από την Εξ. 5.4.5 προκύπτει:

2/5)2/tan(215

8/ hgbQCd θ= (5.4.9)

Να γίνει γραφική παράσταση της µεταβολής του Cd συναρτήσει του φορτίου h.



πειραµάτων (αιτιολογήσεις τυχόν αποκλίσεων από τα αναµενόµενα θεωρητικά αποτελέσµα-

τα).

46

5.5 ΣΥΓΚΛΙΝΩΝ - ΑΠΟΚΛΙΝΩΝ ΑΝΟΙΧΤΟΣ ΑΓΩΓΟΣ

(Parshall flume)



α) Ο καθορισµός της σχέσης του φορτίου ανάντη ενός συγκλινοντος-αποκλίνοντος αγωγού

και της αντίστοιχης παροχής.



Με την σύγκλιση - απόκλιση ενός ανοιχτού αγωγού είναι δυνατόν να υπολογισθεί η

παροχή από τις µεταβολές του βάθους και της ταχύτητας. Μια τυπική διάταξη φαίνεται στο

Σχ. 5.5.1 Μεταξύ των διατοµών 1 και 2 ισχύει:

Σχ. 5.5.1 Ροή µέσω συγκλίνοντος - αποκλίνοντος αγωγού

47

hu

gh

u

g1

1

2

2

2

2

2 2+ = + (5.5.1)

b h u b h u1 1 1 2 2 2= ή u ub h

b h1 2

2 2

1 1

= (5.5.2)

όπου: h = υψόµετροστάθµης νερού (m)



Από τις Εξ. 5.5.1 και 5.5.2 προκύπτει τελικά:

Q b hg h h

m=

−−2 2

1 2

2

2

1

( ) (5.5.3)

όπου: m =b2h2 /b1h1

Σε πραγµατικά ρευστά ισχύει η εξίσωση:

Q C b hg h h

mr d=

−−2 2

1 2

2

2

1

( ) (5.5.4)

Ο αγωγός προκύπτει πλέον αποτελεσµατικός σαν όργανο µετρήσεως παροχής αν

λειτουργεί σε συνθήκες ελεύθερης ροής. Για την λειτουργία αυτή είναι απαραίτητος ο

σχηµατισµός υδραυλικού άλµατος κατάντη (Σχ. 5.5.1b).

Στην περίπτωση αυτή στην περιοχή του λαιµού σχηµατίζονται κρίσιµες συνθήκες

ροής, οπότε για τον προσδιορισµό της παροχής αρκεί το βάθος ανάντη. Αν q = παροχή ανά

µονάδα πλάτους ισχύει:

h H q gc = =2

3

23 / ή

Q b g H= 2

1 2 3 22 3/ /( / ) =17 2

3 2. /b H (5.5.5)

Για να χρησιµοποιηθεί το h1 αντί του Η εισάγεται ο συντελεστής Cv

Q C C b hr d v= 17 2 1

3 2. / (5.5.6)

Οι δυνατότητες του αγωγού µπορεί να βελτιωθούν µε την εισαγωγή µιάς έξαρσης του

πυθµένα στην περιοχή της σύγκλισης. Στην περίπτωση αυτή προκύπτει ο ευρύτατα

διαδεδοµένος αγωγός, γνωστός µε το όνοµα Parshall flume (Σχ. 5.5.2).

48

5.5.3 Πειραµατικές µετρήσεις

Η Εξ. 5.5.6 µπορεί να γραφεί:

Q Cb hr = 17 2 1

3 2. / (5.5.7)

όπου: C C Cv d=

Στόχος των µετρήσεων είναι να προσδιορισθεί ο συντελεστής C του Parshall flume

που διαθέτει το εργαστηρίο Υδραυλικής. Προς τον σκοπό αυτό τοποθετείται ο αγωγός στον

µεγάλο εργαστηριακό αγωγό ορθογωνικής διατοµής και εν συνεχεία εφαρµόζεται σερά

παροχών (8-10). Σε κάθε τιµή της παροχής µετράται το βάθος του νερού h1 ανάντη του

αγωγού. Τελικά σχηµατίζεται ο πίνακας Q - h13/2

και µε γραµµική παλινδρόµηση

προσδιορίζεται ο συντελεστής :

K Cb= 17 2. (5.5.8)

Ο συντελεστής C θα είναι:

CK

b=

17 2. (5.5.9)



πειραµάτων.

Σχ. 5.5.2 Parshall flume

49

5.6 ΚΛΕΙΣΤΟΙ ΑΓΩΓΟΙ - ΤΥΡΒΩ∆ΗΣ ΡΟΗ


Αντικειµενικός σκοπός της ασκήσεως είναι η µελέτη της ροής και ο

υπολογισµός των απωλειών φορτίου σε κλειστούς αγωγούς σε διάφορες συνθήκες ροής.


Κατά την ροή του νερού ανάντη µέσα σε κλειστό αγωγό (Σχ. 5.6.1) η εξίσωση

Bernoulli δίνει:

u

g

p

gz

u

g

p

gz1

2

11

2

2

22

2 2+ + = + +

ρ ρ (5.3.1)






hf = απώλεια φορτίου από την διατοµή (1) στη διατοµή (2) (m)

Σχ. 5.6.1 Απώλειες φορτίου κατά την ροή σε κλειστό αγωγό.

50

Οταν ο αγωγός είναι οριζόντιος και σταθερής διαµέτρου, ισχύει z1 = z2 και u1 = u2

οπότε:

hf = (p - p )/ρg = h1 - h2 (5.6.2)

Στην στρωτή ροή ισχύει η εξίσωση του Poiseuille:

hf =32µLu / ρgd2 (5.6.3)

όπου: µ = το ιξώδες του νερού (N.s/m2)

L = µήκος του αγωγού (m)

d = διάµετρος του αγωγού (m)

Στην τυρβώδη ροή ισχύει η εξίσωση των Darcy - Weisbach:

hf = λLu2 /2gd (5.6.4)

όπου λ = συντελεστής τριβής Darcy (αδιάστατος)

Το είδος της ροής εξαρτάται από την τιµή του αριθµοιύ Reynolds:

Re = ρud / µ (5.6.5)

Αν Re < 2000 η ροή είναι στρωτή

2000 < Re < 4000 η ροή είναι µεταβατική

4000 < Re η ροή είναι τυρβώδης

Η σχέση µεταξύ συντελεστή τρβής και αριθµού Reynolds στην στρωτή ροή είναι:

λ = 64/ Re (5.6.6)

Στην τυρβώδη ροή σε λείους σωλήνες και για Re < 10x106 είναι:

λ = −031

0 25.

.Re (εξίσωση Blasius) (5.6.7)

Οι Εξ. 5.6.3 και 5.6.4 µπορούν να γραφούν γενικά ως εξής:

hf /L = C un (5.6.8)

Η Εξ. 5.6.8 µε λογαρίθµιση δίνει:

log(hf /L) = logC + nlogu (5.6.9)

Από την Εξ. 5.6.9 προκύπτει ότι η ποσότητα hf/L είναι ανάλογη της ποσότητας

logu. Η τιµή του συντελεστή n χαρακτηριζει το είδος της ροής. Αν n ≅ 1 η ροή είναι

στρωτή. Αν 1.70 < n < 2.00 η ροή είναι τυρβώδης.



1) Ενας κλειστός αγωγός κυκλικής διατοµής διαµέτρου 1-2 cm. 2) Μία εγκατάσταση τροφοδοσίας νερού σταθερού φορτίου µε δυνατότητα ρύθµισης της

παροχής (Σχ. 5.6.1).

3) Συσκευές µετρήσεως της στατικής πίεσης στα άκρα του αγωγού.

4) Ολοκληρωτικό ροόµετρο και χρονόµετρο για την µέτρηση της παροχής.

51



α) Ρυθµίζεται ο αγωγός ώστε να είναι σε οριζόντια θέση.

β) Ελέγχονται οι στάθµες στα πιεζόµετρα που βρίσκονται στα άκρα του αγωγού. Οταν δεν

υπάρχει ροή µεταξύ των πιεζοµέτρων δεν πρέπει να υπάρχει διαφορά στάθµης.

γ) Μετράται το µήκος και η διάµετρος του αγωγού.



δικλείδα του κυκλώµατος. Οταν σταθεροποιηθεί ροή µετράται στο ολοκληρωτικό

ροόµετρο ο χρόνος που απαιτείται για να διέλθει συγκεκριµένος όγκος νερού π.χ. 0.5

κυβικά µέτρα νερού. H παροχή θα είναι Q = V/t όπου V = όγκος νερού σε m3 και t =

χρόνος σε sec.

Μετράται η διαφορά στάθµης h1 - h2 των πιεζοµέτρων στά άκρα του αγωγού. Η

διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται για 8-10 διαφορετικές τιµές της παροχής. Η µεταβολή

της παροχής γίνεται µε την βοήθεια της ρυθµιστικής δικλείδας που ευρίσκεται κατάντη

του ροοµέτρου.

5.4.3 Παρoυσίαση αποτελεσµάτων

Για κάθε τιµή της παροχής θα υπολογισθούν συναρτήσει της απώλειας φορτίου

hf = h1 - h2 η µέση ταχύτητα u και ο αριθµός Reynolds (Εξ. 5.6.2 και 5.6.5).

Θα γίνουν οι παρακάτω γραφικές παραστάσεις:

- ∆ιάγραµµα hf /L - u από όπου θα φαίνεται ποιοτικά το είδος της ροής

- ∆ιάγραµµα log(hf /L) - logu από όπου προκύπτει η τιµή του n της Εξ. 5.6.9. Αν

n ≅ 1 η ροή είναι στρωτή. Αν 1.70 < n < 2.0 η ροή είναι τυρβώδης.

- ∆ιάγραµµα logλ - logRe όπου θα επαληθευθεί η Εξ. 5.6.7 (εξίσωση Blasius).

Παραδείγµατα των παραπάνω διαγραµµάτων φαίνονται στα σχήµατα 5.6.2, 5.6.3 και

5.6.4.




53

5.7 ΚΛΕΙΣΤΟΙ ΑΓΩΓΟΙ - ΣΩΛΗΝΑΣ VENTURI


Αντικειµενικός σκοπός της ασκήσεως είναι η µελέτη της ροής σε σωλήνα Venturi και

ο υπολογισµός του συντελεστού παροχής Cd του οργάνου.


Κατά την ροή του νερού µέσα σε ένα συγκλίνοντα-αποκλίνοντα κλειστό αγωγό

(σωλήνας Venturi), αν δεν ληφθούν υπόψη οι απώλειες φορτίου µεταξύ των διατοµών

1 και 2 η εξίσωση Bernoulli δίνει (Σχ. 5.7.1):

u

gh

u

gh1

2

12

2

22 2

+ = (5.7.1)

όπου: h = πιεζοµετρικό φορτίο (m)


Σχ. 5.7.1 Ροή µέσα από συγκλίνοντα - αποκλίνοντα αγωγό (σωλήνας Venturi).

54

Αν ληφθεί υπόψη η εξίσωση συνεχείας Q = u1 A1 = u2 A2 η Εξ. 5.7.1 δίνει:

QA A

A Ag h=

−

1 2

1

2

2

22 ∆ (5.7.2)

όπου: Α = εµβαδόν της διατοµής του σωλήνος (m2)

∆h = h1 - h2 = διαφορά πιεζοµετρικού φορτίου µεταξύ των διατοµών (1) και (2)

Q = παροχή (m3/s)

Για πραγµατικά υγρά η Εξ. 5.7.2 γράφεται:

Q CA A

A Ag hd=

−

1 2

1

2

2

22 ∆ (5.7.3)

όπου Cd = συντελεστής παροχής που εµπεριέχει τις απώλειες ενεργείας µεταξύ των

διατοµών (1) και (2) καθώς και την επίδραση της ανοµοιόµορφης της διανοµής

της ταχύτητας σε κάθε διατοµή.

Αν τεθεί

kA A

A A=

−

1 2

1

2

2

2 η Εξ. 5.7.3 γράφεται:

Q C k g hd= 2 ∆ (5.7.4)

Ο συντελεστής k εξαρτάται µόνο από την γεωµετρία της συσκευής και ονοµάζεται

µετρικός συντελεστής.



1) Ενας σωλήνας Venturi.


παροχής.

3) Συσκευές µετρήσεως της στατικής πίεσης σε δύο σηµεία του σωλήνα (Σχ. 5.7.1).

4) Ολοκληρωτικό ροόµετρο και χρονόµετρο για την µέτρηση της παροχής.



α) Ρυθµίζεται ο σωλήνας Venturi ώστε να είναι σε οριζόντια θέση.

β) Ελέγχονται οι στάθµες στα πιεζόµετρα που βρίσκονται στα άκρα του σωλήνα. Οταν δεν

υπάρχει ροή µεταξύ των πιεζοµέτρων δεν πρέπει να υπάρχει διαφορά στάθµης.

γ) Μετρούται οι εσωτερικές διάµετροι του σωλήνα.


Τίθεται σε λειτουργία η αντλία τροφοδοσίας του συστήµατος µε ανοιχτή την

ρυθµιστική δικλείδα του κυκλώµατος. Οταν σταθεροποιηθεί ροή µετράται στο

55

ολοκληρωτικό ροόµετρο ο χρόνος που απαιτείται για να διέλθει συγκεκριµένος όγκος

νερού π.χ. 0.5 κυβικά µέτρα νερού. H παροχή θα είναι Q = V/t όπου V = όγκος νερού

σε m3 και t = χρόνος σε sec.

Μετράται η διαφορά στάθµης ∆h = h1 - h2 των πιεζοµέτρων στα δυο

χαρακτηριστικά σηµεία του σωλήνα. Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται για 8 - 10

διαφορετικές τιµές της παροχής. Η µεταβολή της παροχής γίνεται µε την βοήθεια της

ρυθµιστικής δικλείδας που ευρίσκεται κατάντη του ροοµέτρου.


- Θα υπολογισθεί ο µετρικός συντελεστής k συναρτήσει των διαµέτρων των διατοµών (1)

και (2).

- Για κάθε τιµή της παροχής θα µετρηθούν η διαφορά φορτίου ∆h = h1 - h2.

- Θα υπολογισθούν οι ταχύτητες u1 και u2 από την σχέση u = Q/A.

- Θα σχεδιασθεί το διάγραµµα Q - ∆h από όπου υπολογίζεται ο συντελεστής παροχής

Cd . Πράγµατι από την Εξ. 5.7.4 προκύπτει:

Ck g

Q

hd =

1

2 ∆ (5.7.5)

Η κλίση της ευθείας στό διάγραµµα Q - ∆h δίνει την ποσότητα C k gd 2 από όπου

υπολογίζεται οσυντελεστής παροχής του σωλήνα Venturi.




56

5.8 ΜΕΛΕΤΗ ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΗΣ-ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΣΕ ΠΡΟΤΥΠΗ

Υ∆ΡΟΛΟΓΙΚΗ ΛΕΚΑΝΗ


Αντικειµενικός σκοπός της ασκήσεως είναι η µελέτη της σχέσης βροχόπτωσης -

απορροής ήτοι ο υπολογισµός του υδρογραφήµατος απορροής που προκαλεί µια

βροχόπτωση σταθερής έντασης σε πρότυπη λεκάνη απορροής.


5.8.2.1 Σχέση βροχόπτωσης - απορροής

Κάθε σηµείο ενός υδρογραφικού δικτύου του συνόλου δηλαδή των ρευµάτων και

υπορρευµάτων µιας περιοχής ορίζει µια αντίστοιχη λεκάνη απορροής, ήτοι µια περιοχή από

όπου όλες οι επιφανειακές απορροές που προκύπτουν από τα ατµοσφαιρικά

κατακρηµνίσµατα διέρχονται από το σηµείο αυτό. Τοπογραφικά το σηµείο αυτό είναι το

χαµηλότερο σηµείο της λεκάνης απορροής.

Χρόνος συγκεντρώσεως (tc) µιάς λεκάνης απορροής είναι ο χρόνος που απαιτείται για

να φτάσει η πιό αποµακρυσµένη ποσότητα επιφανειακού νερού στην έξοδο της λεκάνης.

Υδρογράφηµα απορροής στην έξοδο µιάς λεκάνης απορροής είναι η γραφική

παράσταση της απορροής συναρτήσει του χρόνου. Η τυπική µορφή ενός υδρογραφήµατος

φαίνεται στο Σχ. 5.8.1. Κατά την έναρξη µιάς βροχόπτωσης, µέρος του νερού διηθείται στο

έδαφος. Οταν το έδαφος κορεσθεί, το περίσσευµα βροχόπτωσης απορρέει επιφανειακά και

προκαλεί απότοµη αύξηση της απορροής όπως φαίνεται στο Σχ. 5.8.1. Το σηµείο της

απότοµης αύξησης είναι και το σηµείο διαχωρισµού της βασικής απορροής.

Σχ. 5.8.1 Τυπικό υδρογράφηµα απορροής

57


Ο απαραίτητος εξοπλισµός για την άσκηση αυτή είναι µια πρότυπη συσκευή

µελέτης Υδρολογιών φαινοµένων µε σύστηµα αυτόνοµης εξυπηρέτησης τύπου

ARMFIELD 3325.

Η λεκάνη αποτελείται από µια ορθογωνική δεξαµενή χαµηλού βάθους διαστάσεων

2x1 m (Σχ. 5.8.2). Η εξοµοίωση της βροχής γίνεται απο µικροσκοπικούς εκτοξευτήρες

που βρίσκονται στο άνω µέρος της δεξαµενής. Η παροχή νερού γίνεται µέσω

φυγοκεντρικής αντλίας και µετράται µε παροχόµετρο πλωτήρος. Η δεξαµενή είναι πλήρης

µε άµµο επιθυµητής κοκκοµετρικής σύστασης και η επιφάνειά της διαµορφώνεται µε

ειδικό εξάρτηµα ώστε να σχηµατίζει δύο επίπεδα που συγκλίνουν στον κεντρικό άξονα

ροής. Η κατά µήκος κλίση ρυθµίζεται µέσω του ειδικού συστήµατος ανάρτησης της

λεκάνης.

Η παροχή απορροής µετρείται µε ειδικό βαθµονοµηµένο εκχειλιστή κατάντη της

δεξαµενής. Η µέση διάµετρος της άµµου για τα πειράµατα βροχοπτώσεως- απορροής

πρέπει να κυµαίνεται µεταξύ 2 - 5 mm.

Σχ. 5.8.2 Πρότυπη υδρολογική λεκάνη

58


5.8.4.1 Προκαταρκτική διαδικασία

Κατ’ αρχάς προσδιορίζεται ο χρόνος συγκεντρώσεως tc της λεκάνης απορροής. Για

τον προσδιορισµό του χρόνου συγκεντρώσεως της λεκάνης εφαρµόζεται βροχή σταθερής

έντασης και µετράται ο χρόνος που απαιτείται ώστε το υδρογράφηµα στην έξοδο της

λεκάνης να λάβει µέγιστη τιµή (Σχ. 5.8.3). Πριν από την διαδικασία µετρήσεως

καταβρέχεται η λεκάνη ώστε οι πόροι της άµµου να είναι κεκορεσµένοι µε νερό.

5.8.4.2 Πειράµατα

Πείραµα 1

Μελέτη βροχοπτώσεως-απορροής όταν ο χρόνος βροχόπτωσης είναι µεγαλύτερος

από τον χρόνο συγκεντρώσεως.

Στην περίπτωση αυτή ρυθµίζεται η παροχή στο ροόµετρο µε πλωτήρα ώστε να είναι

της τάξεως των 15 l/min. Η διάρκεια λειτουργίας της αντλίας τροφοδοσίας (διάρκεια

βροχοπτώσεως) λαµβάνεται µεγαλύτερη από τον χρόνο συγκεντρώσεως (t = 1.5 tc).

Από την έναρξη της λειτουργίας της αντλίας και ανά τακτά χρονικά διαστήµατα (π.χ. 20 s)

λαµβάνονται οι ενδείξεις στο παροχόµετρο εξόδου της λεκάνης. Τελικά σχηµατιζεται το

υδρογράφηµα απορροής το οποίο έχει την µορφή του Σχήµατος 5.8.3.

Πείραµα 2

Μελέτη της σχέσης βροχοπτώσεως-απορροής όταν ο χρόνος βροχόπτωσης είναι

µικρότερος από τον χρόνο συγκεντρώσεως. Και στην περίπτωση αυτή ρυθµίζεται η παροχή

στο ροόµετρο µε πλωτήρα ώστε να είναι της τάξεως των 15 l/min. Η διάρκεια

λειτουργίας της αντλίας τροφοδοσίας (διάρκεια βροχοπτώσεως) λαµβάνεται µικρότερη

από τον χρόνο συγκεντρώσεως (t = 0.5 tc). Κατά τον ίδιο τρόπο σχηµατίζεται το

υδρογράφηµα απορροής το οποίο έχει την µορφή του σχήµατος 5.8.4.

Για τον έλεγχο της ορθότητας των πειραµατικών αποτελεσµάτων είναι δυνατόν να

γίνει έλεγχος του ισοζυγίου µάζης ήτοι ο συνολικός όγκος νερού της βροχοπτώσεως

πρέπει να είναι ίσος µε τον όγκο που υπολογίζεται από το εµβαδόν του προκύπτοντος

υδροφραφήµατος.

7.4.3 Παρουσίαση αποτελεσµάτων

Θα σχεδιασθούν τα υδργραφήµατα των δύο πειραµάτων µε βήµα χρόνου 20 sec.




59

Σχ. 5.8.3 Χρόνος βροχοπτώσεως µεγαλύτερος από τον χρόνο συγκεντρώσεως

Σχ. 5.8.4 Χρόνος βροχοπτώσεως µικρότερος από τον χρόνο συγκεντρώσεως

60

5.9 MΕΛΕΤΗ ΚΙΝΗΣΕΩΣ ΦΕΡΤΩΝ ΥΛΩΝ


Αντικειµενικός σκοπός της ασκήσεως είναι η επιβεβαίωση της θεωρίας της

κινήσεως των φερτών υλών σε ανοιχτούς αγωγούς. Συγκεκριµένα θα ελεγχθεί η ισχύς

των εµπειρικών τύπων του Shields και Mayer-Peter Müller.


Η στερεοπαροχή σε ανοιχτό αγωγό µεγάλου πλάτους είναι δυνατόν να δοθεί από την

εξίσωση του Shields:

q

q S D

s s cr

s

( ) ( )

( )

γ γγ

τ τγ γ

−=

−−0

0 010 (5.9.1)

όπου : γs = ειδικό βάρος των φερτών υλών (kp/m3)

γ = ειδικό βάρος του νερού (kp/m3)

D = διάµετρος των κόκκων (m)

S0 = κλίση πυθµένα

q = παροχή νερού ανά µονάδα πλάτους (m2 /s)

q = όγκος φερτών υλών ανά µονάδα χρόνου και ανά µονάδα πλάτους (m2 /s)

τ0 = συρτική δύναµη κοίτης (Ν/m2) = γR Sf ≅ γR S0

τ0 = γR Sf ≅ γR S0 (5.9.2)

Sf = κλίση της γραµµής ενεργείας

R = υδραυλική ακτίνα

τ0cr = κρίσιµη συρτική δύναµη (συρτική δύναµη πάνω από την οποία αρχίζει η

µετακίνηση των κόκκων του πυθµένα, πίνακας 5.9.1 (Χρυσάνθου, 1993)

ucr = ταχύτητα του νερού κατά την έναρξη της µετακινήσεως των στερεών υλών

του πυθµένα

Πίνακας 5.9.1

Κρίσιµη συρτική δύναµη τocr και κρίσιµη ταχύτητα ucr

Έδαφος τocr (Ν/m2) ucr (m/s)

Μεσαία άµµος 0.2 - 0 .63 mm 2 0.35 - 0.45

Χονδρή άµµος 0.63 - 2.0 mm 6 0.45 - 0.6

Μεσαίο χαλίκι 2 - 20 mm 15 0.6 - 1.25

Χονδρό χαλίκι 20 - 63 mm 45 1.25 - 1.60

Χαλαρή λάσπη 2.5 0.10 - 0.15

Πηλός 12 0.70 - 1.00

Γρασίδι (πολύ χρόνο κάτω από το νερό) 15 1.5

Γρασίδι (προσωρινά κάτω από το νερό) 30 2.0

61

Η κρίσιµη συρτική δύναµη µπορεί να προσδιορισθεί και από το διάγραµµα Shields

(Σχ. 5.9.1) όπου:

uo*= ταχύτητα τριβής η οποία δίδεται από την εξίσωση:

uRS

gRSw

w f

w

f0

0* = = =τρ

γ

ρ (5.9.3)

ν = κινηµατικό ιξώδες του νερού (m2/s)

Σχ. 5.9.1 ∆ιάγραµµα του Shields

Ένας άλλος εµπειρικός τύπος που είναι ευρέως διαδεδοµένος είναι ο τύπος των

Meyer-Peter και Müller (1948):

γγ γ

γγ γ

γγ γ

R S

D

Q

Q

k

k

yS

DA B

g

m

D

s r

s

s s

r

f

s

G

s( ) ( ) ( )

/ /

−=

−= +

−

1 3 2 3

(5.9.4)

όπου: Rs = υδραυλική ακτίνα (m) που επηρεάζει την κίνηση των φερτών υλών και είναι:

Rs =(Qs /Q)y (5.9.5)

y = βάθος ροής (m)

Q = παροχή ολόκληρης της διατοµής (m3 /s)

Qs = παροχή εκείνου του τµήµατος της διατοµής που επηρεάζει την κίνηση των

φερτών υλών ώστε:

Qs /Q = b/P (5.9.6)

όπου b = πλάτος της κοίτης και P = βρεχοµένη περίµετρος

62

ks = τραχύτητα της κοίτης κατά Strickler (m1/3

/s) ήτοι:

kD

s =211

90

1 6

./ (5.9.7)

όπου: D90 = διάµετρος κόκκων (m) κάτωθεν της οποίας οι κόκκοι συνιστούν το 90% του

ολικού βάρους

kr = τραχύτητα κόκκων (m1/3

/s)

kD

r =26

90

1 6/ για 0.5 < (ks /kr) < 1 (5.9.8)

A = αδιάστατη σταθερά = 0.047

B = αδιάστατη σταθερά = 0.25

mG = στερεοπαροχή κοίτης ανά µονάδα πλάτους εκφρασµένη σε βυθισµένο βάρος

(kp/s/m)

γ = ειδικό βάρος εκφραζόµενο σε (kp/m3)

Sr = κλίση της γραµµής ενεργείας λόγω τριβών (η κλίση της γραµµής ενεργείας

υποδιαιρείται στην κλίση λόγω τρβής και την κλίση λόγω µορφής της κοίτης).

f

r

sr S

k

kS 2/3)(= (5.9.9)

Su

k Rf

s s

=2

2 4 3/ (5.9.10)

Επιλύοντας την εξίσωση των Meyer-Peter και Müller ως προς mG προκύπτει:

mR S

B g

A D

B gG

s r s=−

γ

γγ γγ( / )

( )

( / )/ /

/

1 3 1 3

3 2

(5.9.11)

ή

[ ]m g R S DG s r s cr= − − = −8 0047( 251 2 3 2

0 0

3 2( / ) . ) ( )/ / /γ γ γ γ τ τ (5.9.12)

όπου: τ0 = γRs Sr και τ0cr = 0.047 (γs - γ) D

H οριακή κλίση, για την οποία ισχύει mG = 0, δίδεται από την εξίσωση:

SR

crcr

s

=τγ

0 (5.9.13)

63


Ο απαραίτητος εξοπλισµός για την άσκηση αυτή είναι ένας ανοικτός αγωγός

ορθογωνικής διατοµής και µεταβλητής κλίσεως. Ο αγωγός αυτός είναι εφοδιασµένος µε

αντλία τροφοδοτήσεως και δεξαµενή απολήξεως ώστε να δηµιουργείται κλειστό κύκλωµα.

Στην αρχή του αγωγού είναι προσαρµοσµένο σύστηµα τροφοδοσίας φερτών υλών. Στο

κατάντη άκρο του αγωγού µπορεί να τοποθετηθούν κόσκινα για την συγκράτηση των

φερτών υλών. Πριν από την τελική κατάληξη στην δεξαµενή που βρίσκεται κάτω από τον

αγωγό, υπάρχει τριγωνικός εκχειλιστής για την µέτρηση της παροχής (Σχ. 5.9.2).



Γίνεται κατ’αρχάς βαθµονόµηση του τριγωνικού εκχειλειστή και του συστήµατος

εφοδιασµού φερτών υλών. Η βαθµονόµηση του του τριγωνικού εκχειλιστή γίνεται

ογκοµετρικά, υπολογίζεται δηλαδή ο όγκος νερού που έτρεξε σε ωρισµένο χρονικό

διάστηµα και συσχετίζεται µε το αντίστοιχο φορτίο του εκχειλιστή. Ετσι υπολογίζεται η

σχεση που συνδέει το φορτίο µε την παροχή.

Το σύστηµα εφοδιασµού φερτών υλών βαθµονοµείται ζυγίζοντας το βάρος των

φερτών υλών που διέρχεται σε ορισµένο χρονικό διάστηµα όταν το σύστηµα τροφοδοσίας

λειτουργεί. Ετσι σχηµατίζονται πίνακες που µας δίνουν σε κάθε βαθµίδα λειτουργίας του

συστήµατος την στερεοπαροχή.

Σχ. 5.9.2 Πειραµατική διάταξη

64


Πείραµα 1

Στο πείραµα αυτό µετρείται η στερεοπαροχή σε ανοιχτό αγωγό γνωστών

υδραυλικών συνθηκών µε υλικό κοίτης γνωστής κοκκοµετρικής σύστασης. Για τον σκοπό

αυτό τοποθετείται στον πυθµένα του αγωγού άµµος γνωστής κοκκοµετρικής σύνθεσης

πάχους 2 - 3 cm. Εν συνεχεία τίθεται σε λειτουργία η αντλία τροφοδοσίας. Η άµµος που

προέρχεται από την διάβρωση του πυθµένα του αγωγού συλλέγεται σε κόσκινο κατάντη

του αγωγού και αφού ξηραίνεται σε κλίβανο ζυγίζεται. Το βάρος των φερτών υλικών που

πέρασε από το κατάντη πέρας του αγωγού στον αντίστοιχο χρόνο αποτελεί τη µέση

στερεοπαροχή του αγωγού κάτω από τις συγκεκριµένες υδραυλικές συνθήκες. Η τιµή

αυτή της στερεοπαροχής συγκρίνεται µε την αντίστοιχη που προκύπτει από τον τύπο

του Shields. Το πείραµα επαναλαµβάνεται τρείς φορές για διάφορες υδραυλικές συνθήκες.

Πείραµα 2

Στο πείραµα αυτό υπολογίζεται η στερεοπαροχή ισορροπίας. Στερεοπαροχή

ισορροπίας είναι η στερεοπαροχή µε την οποία πρέπει να εφοδιάζεται µια διατοµή

ενός υδαρορρεύµατος ώστε η διάβρωση να είναι ίση µε την πρόσχωση οπότε η τελική

µεταβολή στον πυθµένα είναι µηδενική. Προς τον σκοπό αυτό τίθεται σε λειτουργία η

συσκευή εφοδιασµού φερτών υλών η οποία εφοδιάζει τον αγωγό µε γνωστή στερεοπαροχή

qs . Αν οι υδραυλικές συνθήκες του αγωγού είναι τέτοιες ώστε η διάβρωση να είναι ίση

µε την στερεοπαροχή αυτήν ο πυθµένας του αγωγού παραµένει σταθερός. Για την

επίτευξη σταθερού πυθµένα δοκιµάζονται διάφορες τιµές τις παροχής.


Στο Πείραµα 1 θα σχεδιασθεί το διάγραµµα παροχής - στερεοπαροχής για τις

πειραµατικές τιµές και για τις υπολογισµένες µε τον τύπο των Meyer-Peter και Mtller.

Στο Πείραµα 2 θα υπολογισθεί η στερεοπαροχή ισορροπίας και θα συγκριθεί µε την

ατίστοιχη που προκύπτει από την θεωρία.




65

5.10 Σύστηµα λήψεως - επεξεργασίας δεδοµένων


Αντικειµενικός σκοπός της ασκήσεως είναι η εξοικείωση στην χρήση συστηµάτων

αυτόµατης λήψεως καταγραφής και επεξεργασίας δεδοµένων. Το προς µέτρηση µέγεθος

µετατρέπεται σε αναλογικό σήµα µε την βοήθεια ενισχυτού και στην συνέχεια µε την

χρήση συστήµατος µετατροπής αναλογικών δεδοµένων σε ψηφιακά (A/D) µετατρέπεται

σε ψηφιακό. Τελικά το ψηφιακό σήµα επεξεργάζεται µε την χρήση προσωπικού

υπολογιστή.

Στην παρόν πείραµα θα µελετηθεί η ταχύτητα της µεταβολής του βάθους του νερού σε

µιά δεξαµενή κατά την εκκένωσή της µέσω µιάς οπής. Χρησιµοποιήθηκε ένας έµµεσος

τρόπος µετρήσεως της µεταβολής του βάθους µέσω της µεταβολής της υδροστατικής

πιέσεως στον πυθµένα της δεξαµενής. Η πίεση στον πυθµένα, µέσω ενός αισθήτου και ενός

ενισχυτού, µετατρέπεται σε ηλεκτρικό σήµα. Το αναλογικό αυτό σήµα µπορεί να

µετατραπεί σε ψηφιακό σήµα µέσω "µετατροπέως αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό"

(analog to digital converter).


Κατά την εκκένωση µιάς δεξαµενής πρισµατικής µορφής µέσω µιάς οπής ισχύει:

Q = dV/dt (5.10.1)

όπου: Q = παροχή (m3/s)

V = όγκος νερού (m3)

t = χρόνος (sec)

Η παροχή µέσω µιάς οπής δίνεται από την εξίσωση:

Q C a ghd= 2 (5.10.2)

όπου: Cd = συντελεστής παροχής της οπής

α = εµβαδόν της οπής (m2)

h = πιεζοµετρικό φορτίο (m)

Οταν η δεξαµενή είναι πρισµατική µε οριζόντια διατοµή Α ισχύει:

dV = A dh (5.10.3)

Από τις Εξ. 5.10.1 και 5.10.3 προκύπτει ότι ο χρόνος εκκενώσεως Τ δεξαµενής

βάθους H δίδεται από την εξίσωση:

Tdh

a gh a gH

H

= =∫2

2

20

1 2/ (5.10.4)

H καµύλη της µεταβολής του βάθους νερού µε τον χρόνο δίδεται από την εξίσωση:

hC

gtd

=α 2

2

2 (5.10.5)

66


Η πειραµατική συσκευή αποτελείται από ένα σωλήνα εµβαδού διατοµής Α, ο οποίος

σε ένα σηµείο κοντά στον πυθµένα φέρει οπή γνωστής διαµέτρου. Ο σωλήνας φέρει επίσης

5 οπές όπου είναι προσαρµοσµένοι πλαστικοί σωλήνες διαµέτρου 4 mm και οι οποίοι

καταλή-γουν αντιστοίχως σε ένα µετρητή πιέσεως (pressure transducer).

Το σύστηµα µετρήσεως αποτελείται από τρία τµήµατα, α) τον ή τους αισθήτες (sensors),

β) τον µετατροπέα αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό (A/D converter) και γ) έναν κοινό

προσωπικό Ηλεκτρονικό Υπολογιστή συµβατό µε Υπολογιστή τύπου IBM-AT.

α) Οι αισθήτες είναι όργανα µε την βοήθεια των οποίων το υπό µέτρηση µέγεθος

µετατρέπεται, µέσω ενισχυτού (amplifier), σε ηλεκτρικό σήµα κατάλληλο για επεξεργασία.

Στην προκειµένη περίπτωση το υπό µέτρηση µέγεθος είναι η πίεση και έµεσα το βάθος

νερού. Η µέτρηση της πιέσεως στηρίζεται στη µεταβολή της ηλεκτρικής αντιστάσεως

ωρισµένων υλικών όταν µεταβάλλεται η εφαρµοζόµενη πίεση. Με την κατάλληλη δε

ηλεκτρική διέγερση, η υπό µέτρηση πίεση µετατρέπεται σε ηλεκτρική τάση. Στα σηµεία

µετρήσεως της πιέσεως ανοίγονται οπές κάθετες προς την επιφάνεια του αγωγού και

διαµέτρου 3 - 4 mm. Μέσω σωληνώσεων το νερό φθάνει στο τύµπανο του µετρητού ο

οποίος µε την σειρά του είναι συνδεδεµένος µε ενισχυτή - διεγέρτη. Η παραµόρφωση του

τυµπάνου µετατρέπεται µε την βοήθεια του ενισχυτού σε αναλογικό σήµα το οποίο µε την

σειρά του µετατρέπεται σε ψηφιακό µέσω του µετατροπέα A/D. Οι µετρητές πιέσεως που

χρησιµοποιήθηκαν είναι της εταιρίας KISTLER INSTRUMENTS AG, και είναι

µετατροπείς πιέσεως (piezo-resistive tensosymetric relative pressure transducers). Η

περιοχή µετρήσεων είναι από 0 έως 0.2 bar και η ελάχιστη διέγερση 0.1 mb. Ο

ενισχυτής έχει όριο τάσεων 10 ±1 V και συχνότητα αποκρίσεως 0 -1 kHz. β) Ο µετατροπέας αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό είναι µια κάρτα

τυποποιηµένων ηλεκτρονικών κυκλωµάτων τοποθετηµένη σε µια από τις ειδικές υποδοχές

(slots) που υπάρχουν στον Η/Υ. Ο µετατροπέας σήµατος επικοινωνεί µε το συγκρότηµα

αισθήτης- ενισχυτής µέσω ενός άλλου µηχανικού µετατροπέα µέσω του οποίου ένας

επίπεδος πολυαγωγός (flat cable) µετατρέπεται σε συγκρότηµα ξεχωριστών οµοαξονικών

αγωγών. Ο µετατροπέας A/D είναι 12 bits που αντιστοιχεί σε διακριτική ικανότητα 1/212

=

1/4096. Αν ο µετατροπέας ρυθµισθεί ώστε η µέγιστη τάση που µπορεί να δεχθεί είναι 5

Volts τότε η παραπάνω διακριτική ικανότητα αντιστοιχεί σε τάση 5x1000/4096 = 1.22

mV. Η λειτουργία του Α/D συνίσταται στην µετατροπή ενός αναλογικού σήµατος

(ηλεκτρικής τάσεως) σε ψηφιακό, δηλαδή σε έναν αριθµό, και την αποθήκευση του

αριθµού αυτού στην λειτουργική µνήµη του Η/Υ ή σε κάποιο δίσκο µόνιµης

αποθηκεύσεως δεδοµένων. Εχει την δυνατότητα ταυτόχρονης λήψης σηµάτων από 16

διαφορετικούς αισθήτες µέσω ισαρίθµων διαύλων προσπελάσεως (channels) µε µέγιστη

συχνότητα λήψεως 1000 µετρήσεων /sec. Ο χαρακτηρισµός "ταυτόχρονη λήψη

σηµάτων" δεν ισχύει απόλυτα διπτι ο µετατροπέας "σαρώνει" το σύνολο των διαύλων

οπότε οι διαδοχικές µετρήσεις παρουσιάζουν χρονική επιβράδυνση 1/1000 sec περίπου.

Με κατάλληλη επέµβαση στο λογισµικό πρόγραµµα (software), η συχνότητα λήψεως

µπορεί να µειωθεί κατά βούληση οπότε αυξάνει ο χρόνος που µεσολαβεί από µέτρηση

σε µέτρηση. Ο µετατροπέας µπορεί να δεχθεί τάση από 0-5 Volts και καταναλίσκει

ενέργεια 2.2 Wh/ώρα.

γ) Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής ανήκει στην κατηγορία των προσωπικών

Υπολογιστών και είναι συµβατός µε IBM-AT. Εχει τον επεξεργαστη 80286 της Intel καθώς

και µαθηµατικό επεξεργαστή 80287. Λειτουργεί σε συχνότητες 10 ή 12 MHz και

67

λειτουργεί µε όλες τις παραλλαγές του λειτουργικού συστήµατος MS-DOS. Στον

Υπολογιστή είναι ενσωµατωµένος σκληρός δίσκος (Hard Disk).



Πριν από την διεξαγωγή των πειραµάτων πρέπει να γίνει η βαθµονόµηση των

αισθητών. Η βαθµονόµηση γίνεται στην πειραµατική διάταξη µε ακίνητο νερό

διαφόρων βαθών και ταυτοχρόνως για το σύνολο των αισθητών. Η βαθµονόµηση κάθε

αισθήτου συνίσταται στον προσδιορισµό µιας µονοσήµαντης σχέσεως µεταξύ

πραγµατικού βάθους νερού και του αντιστοίχου αριθµητικού σήµατος που

διαβιβάζεται από τον αισθήτη µέσω του Α/D στον Η/Υ. Τα πραγµατικά βάθη νερού

µετρούνται µε την βοήθεια ειδικού µετρητού ακίδας (point gauge). Ο µετρητής αυτός

αποτελείται από στέλεχος το οποίο µπορεί να κινείται κατακόρυφα και καταλήγει σε

ακίδα. Ο µετρητής είναι εφοδιασµένος µε βερνιέρο για την αύξηση της ακριβείας των

µετρήσεων. Η µέτρηση του βάθους του νερού σε ένα σηµείο γίνεται ως εξής: Με την

βοήθεια του βερνιέρου λαµβάνεται η ένδειξη όταν η ακίδα εγγίζει τον πυθµένα του

αγωγού. Μετακινείται κατόπιν το κατακόρυφο στέλεχος µέχρις ότου η ακίδα µόλις

εγγίζει την επιφάνεια του νερού. Η διαφορά των δύο ενδείξεων είναι το βάθος του νερού

στο σηµείο εκείνο. Η ακρίβεια µετρήσεως βαθών είναι 0.1 mm. Για κάθε βάθος

νερού στην περιοχή των αναµενοµένων βαθών, ήτοι από 0-40 cm, και µε βήµα 3:4 cm

λαµβάνονται µέσω του µετατροπέα Α/D διακόσια (200) σήµατα σε κάθε αισθήτη που

αντιστοιχεί σε χρόνο µετρήσεως 0.4 sec. Στο σύνολο των σηµάτων κάθε αισθήτη εξάγεται

ο µέσος όρος προς αποφυγή της επιδράσεως κάποιου "θορύβου" στην σχέση σήµατος-

βάθους. Σχηµατίζεται έτσι για κάθε αισθήτη πίνακας µε ζεύγη τιµών βάθους-µεγέθους

σήµατος και υπολογίζεται κατόπιν µε την µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων η σχέση

βάθους-σήµατος η οποία είναι, σύµφωνα µε τον κατασκευαστή, γραµµική. Ακολουθεί

αµέσως ο υπολογισµός της ευθείας παλινδροµήσεως καθώς και του συντελεστή

γραµµικής συσχετίσεως. Σε περίπτωση µη-ικανοποιητικού συντελεστή συσχετίσεως η

βαθµονόµηση επαναλαµβάνεται.


Tο πείραµα που θα εκτελεσθεί αφορά την εκκένωση ενός σωλήνα και την καταγραφή

της µεταβολής της πιέσεως σε 5 διάφορα σηµεία του σωλήνα κατά την διάρκεια της

εκκένωσης. Για την εκτέλεση του πειράµατος γεµίζεται ο σωλήνας µε νερό σε κατακόρυφη

θέση. Στην συνέχεια τίθενται σε λειτουργία οι ενισχυτές των µετρητών πιέσεως και ο Η/Υ.

Τίθεται σε λειτουργία το πρόγραµµα του Η/Υ που αφορά την µετατροπή αναλογικών

σηµάτων σε ψηφιακά και αµέσως µετά ανοίγεται η δικλείδα για την εκκένωση του σωλήνα.

Το πείραµα τελειώνει µε την εκκένωση του σωλήνα και την καταγραφή των

αποτελεσµάτων στον σκληρό δίσκο του Η/Υ.

5.10.4.3 Επεξεργασία αποτελεσµάτων

Μετά την εκτέλεση ενός πειράµατος δηµιουργείται στην µνήµη του Η/Υ ένας

πίνακας µε τρεις χιλιάδες n +1 στήλες, όπου n ο αριθµός των αισθητών. Στον πίνακα

αυτόν η πρώτη στήλη είναι ο χρόνος σε µονάδες Η/Υ και οι υπόλοιπες στήλες, µία για

κάθε µετρητή, αποτελούνται από αριθµούς οι οποίοι προέκυψαν από την µετατροπή των

68

σηµάτων του κάθε αισθήτη µέσω του A/D. Η µονάδα µετρήσεως του χρόνου του Η/Υ

δίνεται από τον κατασκευαστή και είναι ίση µε 1/18.3 sec. Με την βοήθεια ενός

προγράµµατος ευρίσκονται οι µέσες τιµές των σηµάτων ανά ωρισµένα χρονικά

διαστήµατα ή χρονικά βήµατα. Οι µέσες αυτές τιµές αντιστοιχούνται µε τις χρονικές

στιγµές που έχουν προκύψει από την µετατροπή του χρόνου Η/Υ σε δευτερόλεπτα. Τα

διαστήµατα ολοκληρώσεως που χρησιµοποιήθηκαν ήταν των εκατό (100) µετρήσεων που

αντιστοιχούν σε χρόνο της τάξεως του ενός δευτερολέπτου

∆οκιµές που έγιναν µε µικρότερα χρονικά διαστήµατα µέχρι και 0.1 sec έδειξαν ότι η

ακρίβεια των αποτελεσµάτων δεν αλλάζει αισθητά ενώ αντιθέτως αυξάνει υπερβολικά ο

χρόνος επεξεργασίας. Οι τιµές των σηµάτων που προέκυψαν από την ολοκλήρωση

µετατρέπονται µε το ίδιο πρόγραµµα σε τιµές βάθους µε την βοήθεια των καµπυλών

βαθµονοµήσεως. Τα τελικά αποτελέσµατα της επεξεργασίας κάθε πειράµατος είναι ένας

αριθµός αρχείων Η/Υ, ένα για κάθε σηµείο µετρήσεως, τα οποία περιέχουν την µεταβολή

του βάθους συναρτήσει του χρόνου.




69

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Hydraulic Laboratory Techniques, U.S Department of the interior Water and Power

Resources Service, Denver, Colorado, 1980.

Lencastre, A., Manuel d’ hydraulique generale, Eyrolles Editions, Paris, 1976.

Massey, B.S., Units, Dimensional Analysis and Physical Similarity, V. Nostrand Rainhold

Co, London, 1971.

Lomax, W.R., Saul, A.J., Laboratory work in Hydraulics, Granada Publishing Ltd, London,

1979.

Κωτσοβίνος, Ν., Εφαρµογές Υδραυλικής, Ξάνθη, 1985.

Σούλης, Ι., Πειραµατική Υδραυλική, Ξάνθη, 1990.

Χρυσάνθου, Β., Σηµειώσεις Τεχνικής Υδρολογίας II, Ξάνθη, 1993.

PEIRAMATIKH_YDRAYLIKH

Documents

Transcript of PEIRAMATIKH_YDRAYLIKH