Podstawy statystyki dla psychologów - zajęcia 10 - wprowadzenie do wnioskowania statystycznego
Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku...
Transcript of Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku...
![Page 1: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/1.jpg)
O " swiatopogladzie wariacyjnym"Paweł Urbań[email protected] .p l
Katedra Metod Matematycznych Fizyki
Uniwersytet Warszawski
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 1/26
![Page 2: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/2.jpg)
Inaczej√
Podstawy rachunku wariacyjnegodlamatematyków.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26
![Page 3: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/3.jpg)
Inaczej√
Podstawy rachunku wariacyjnegodlamatematyków.
√
Podstawy zasad wariacyjnychdla fizyków.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26
![Page 4: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/4.jpg)
Inaczej√
Podstawy rachunku wariacyjnegodlamatematyków.
√
Podstawy zasad wariacyjnychdla fizyków.√
O pochodzeniu zasad wariacyjnychdladarwinistów.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26
![Page 5: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/5.jpg)
Nazwiska√
Włodzimierz M. Tulczyjew
(Camerino, Neapol),√
Franco Cardin (Padwa),√
Paweł Urbanski (Warszawa).
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 3/26
![Page 6: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/6.jpg)
Podstawowa praca
Włodzimierz M. TULCZYJEW
"The Origin of Variational Principles"Banach Center Publications 59, "Classical andQuantum Integrability", Warszawa 2003
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 4/26
![Page 7: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/7.jpg)
Cel wykładu
Dyskusja z pewnymi utartymi wyobrazeniamizwiazanymi z rachunkiem wariacyjnym.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 5/26
![Page 8: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/8.jpg)
Historia
Galileusz: znalezc taka krzywa łaczaca punktyA i B,by czas staczania sie po niej masy punktowej, podwpływem siły ciezkosci, był najkrótszy.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 6/26
![Page 9: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/9.jpg)
Historia
Galileusz: znalezc taka krzywa łaczaca punktyA i B,by czas staczania sie po niej masy punktowej, podwpływem siły ciezkosci, był najkrótszy.
Galilei, Galileo (1564-1642) "Discorsi edimostrazioni matematiche : intorno a due nuovescienze attenenti alla mecanica & i movimenti locali"In Leida : Appresso gli Elsevirii, 1638.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 6/26
![Page 10: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/10.jpg)
Historia
Galileusz: znalezc taka krzywa łaczaca punktyA i B,by czas staczania sie po niej masy punktowej, podwpływem siły ciezkosci, był najkrótszy.
Galilei, Galileo (1564-1642) "Discorsi edimostrazioni matematiche : intorno a due nuovescienze attenenti alla mecanica & i movimenti locali"In Leida : Appresso gli Elsevirii, 1638.
Brachistochrona odbrachos- krótki i chronos-czas
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 6/26
![Page 11: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/11.jpg)
Historia
Zagadnienie sprowadza sie do znalezienia minimumfunkcjonału
∫ b
a
√
1 + (y′(x))2
2gy(x)dx
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 7/26
![Page 12: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/12.jpg)
Historia
Zagadnienie sprowadza sie do znalezienia minimumfunkcjonału
∫ b
a
√
1 + (y′(x))2
2gy(x)dx
Rozwiazanie (Jakub Bernoulli, Leibniz, Newton):szukana krzywa (brachistochrona) jest fragmentemcykloidy.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 7/26
![Page 13: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/13.jpg)
Stad dla matematyka
Rachunek wariacyjny -
dział matematyki,poswieconyznajdowaniu ekstremówfunkcjonałów.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 8/26
![Page 14: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/14.jpg)
ale dla fizyka
Zasada wariacyjna -opisujepołozenie równowagi układu.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 9/26
![Page 15: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/15.jpg)
ale dla fizyka
Zasada wariacyjna -opisujepołozenie równowagi układu.
Wspólnym zródłem dla zasad wariacyjnych
fizyki jest znana ze statyki
zasada pracy wirtualnej.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 9/26
![Page 16: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/16.jpg)
Dlaczego statyka?
Statyka (w ogólnosci - mechanika)jest tym miejscem, gdzie kształtujasie podstawowe intuicje fizyczne i ich
artykulacja matematyczna,
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 10/26
![Page 17: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/17.jpg)
Dlaczego statyka?
Statyka (w ogólnosci - mechanika)jest tym miejscem, gdzie kształtujasie podstawowe intuicje fizyczne i ich
artykulacja matematyczna,
a potem rozumujemy
przez analogie .
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 10/26
![Page 18: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/18.jpg)
Zasada prac wirtualnych
Konfiguracjaq0 jest punktemrównowagi, jezeli kazda próbawyprowadzenia z niej jestkosztowna- przynajmniej na poczatku
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 11/26
![Page 19: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/19.jpg)
Zasada prac wirtualnych
Konfiguracjaq0 jest punktemrównowagi, jezeli kazda próbawyprowadzenia z niej jestkosztowna- przynajmniej na poczatku
Ukryte załozenia:
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 11/26
![Page 20: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/20.jpg)
Zasada prac wirtualnych
Konfiguracjaq0 jest punktemrównowagi, jezeli kazda próbawyprowadzenia z niej jestkosztowna- przynajmniej na poczatku
Ukryte załozenia:√
mozemy oddziaływac na układ
zmieniajac jego konfiguracje,
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 11/26
![Page 21: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/21.jpg)
Zasada prac wirtualnych
Konfiguracjaq0 jest punktemrównowagi, jezeli kazda próbawyprowadzenia z niej jestkosztowna- przynajmniej na poczatku
Ukryte załozenia:√
mozemy oddziaływac na układ
zmieniajac jego konfiguracje,√
umiemy liczyc koszt (n.p. włozona
prace) tego oddziaływania. Olsztyn, 17.02.2005 – p. 11/26
![Page 22: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/22.jpg)
Składniki matematyczne√
- przestrzen konfiguracji -rozmaitoscrózniczkowaQ,
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 12/26
![Page 23: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/23.jpg)
Składniki matematyczne√
- przestrzen konfiguracji -rozmaitoscrózniczkowaQ,
√
procesy wirtualne - łuki z koncami wQ -zorientowane 1-wymiarowe podrozmaitosci zbrzegiem,
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 12/26
![Page 24: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/24.jpg)
Składniki matematyczne√
- przestrzen konfiguracji -rozmaitoscrózniczkowaQ,
√
procesy wirtualne - łuki z koncami wQ -zorientowane 1-wymiarowe podrozmaitosci zbrzegiem,
√
rodzina dopuszczalnych procesówC.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 12/26
![Page 25: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/25.jpg)
Składniki matematyczne√
- przestrzen konfiguracji -rozmaitoscrózniczkowaQ,
√
procesy wirtualne - łuki z koncami wQ -zorientowane 1-wymiarowe podrozmaitosci zbrzegiem,
√
rodzina dopuszczalnych procesówC.√
koszt procesówW : C → R√
Zakładamy: addytywnosc procesów, kosztów, itp
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 12/26
![Page 26: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/26.jpg)
Kryteria równowagi
Na kazdym łuku wychodzacym zq0 funkcja kosztu(pracy) jest niemalejaca wq0.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 13/26
![Page 27: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/27.jpg)
Kryteria równowagi
Na kazdym łuku wychodzacym zq0 funkcja kosztu(pracy) jest niemalejaca wq0.
Pierwsza nieznikajaca pochodna funkcji kosztów jestdodatnia
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 13/26
![Page 28: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/28.jpg)
Kryteria równowagi
Na kazdym łuku wychodzacym zq0 funkcja kosztu(pracy) jest niemalejaca wq0.
Pierwsza nieznikajaca pochodna funkcji kosztów jestdodatnia
Kryterium rzeduk - badamy pochodne do rzeduk.Standardowok = 1.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 13/26
![Page 29: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/29.jpg)
Najprostszy przypadek
funkcja kosztu jest zadana przezdodatnio jednorodnafunkcje na wektorach stycznych doQ:
ϑ :
�
Q → R, ϑ(av) = aϑ(v), dlaa > 0.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 14/26
![Page 30: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/30.jpg)
Najprostszy przypadek
funkcja kosztu jest zadana przezdodatnio jednorodnafunkcje na wektorach stycznych doQ:
ϑ :
�
Q → R, ϑ(av) = aϑ(v), dlaa > 0.
Koszt procesu
W (c) =
∫
c
ϑ.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 14/26
![Page 31: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/31.jpg)
Najprostszy przypadek
funkcja kosztu jest zadana przezdodatnio jednorodnafunkcje na wektorach stycznych doQ:
ϑ :
�
Q → R, ϑ(av) = aϑ(v), dlaa > 0.
Koszt procesu
W (c) =
∫
c
ϑ.
Kryterium równowagi w punkcieq0:
ϑ(v) > 0 dlav zaczepionych wq0, v ∈
�
q0Q.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 14/26
![Page 32: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/32.jpg)
Przykłady
Układpotencjalny, opisany potencjałem
U : Q → R, ϑ = dU, ϑ(v) = 〈dU, v〉 = v(U)
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 15/26
![Page 33: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/33.jpg)
Przykłady
Układpotencjalny, opisany potencjałem
U : Q → R, ϑ = dU, ϑ(v) = 〈dU, v〉 = v(U)
na przykład sprezynkaU(q) = k2‖q − q0‖
2.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 15/26
![Page 34: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/34.jpg)
Przykłady
Układpotencjalny, opisany potencjałem
U : Q → R, ϑ = dU, ϑ(v) = 〈dU, v〉 = v(U)
na przykład sprezynkaU(q) = k2‖q − q0‖
2.
Niepotencjalnyukład z tarciem
ϑ(v) = %‖v‖.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 15/26
![Page 35: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/35.jpg)
Podsumowanie pierwsze
Opis wariacyjny jest opisem układu z punktuwidzenia jego oddziaływania z innymi układami:
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 16/26
![Page 36: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/36.jpg)
Podsumowanie pierwsze
Opis wariacyjny jest opisem układu z punktuwidzenia jego oddziaływania z innymi układami:
Dwa sprzezone układy(Q, ϑ1) i (Q, ϑ2) o tym samymQ opisywane sa sumaϑ1 + ϑ2
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 16/26
![Page 37: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/37.jpg)
Podsumowanie pierwsze
Opis wariacyjny jest opisem układu z punktuwidzenia jego oddziaływania z innymi układami:
Dwa sprzezone układy(Q, ϑ1) i (Q, ϑ2) o tym samymQ opisywane sa sumaϑ1 + ϑ2
w szczególnosci jeden z układów, np(Q, ϑ2) mozebyc potencjalny.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 16/26
![Page 38: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/38.jpg)
Podsumowanie pierwsze
Opis wariacyjny jest opisem układu z punktuwidzenia jego oddziaływania z innymi układami:
Dwa sprzezone układy(Q, ϑ1) i (Q, ϑ2) o tym samymQ opisywane sa sumaϑ1 + ϑ2
w szczególnosci jeden z układów, np(Q, ϑ2) mozebyc potencjalny.
Układ potencjalny reprezentujesiłe - matematyczniekowektor, zaczepiony w jakims punkcie:f = −dqU .
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 16/26
![Page 39: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/39.jpg)
Podsumowanie pierwsze
Opis wariacyjny jest opisem układu z punktuwidzenia jego oddziaływania z innymi układami:
Dwa sprzezone układy(Q, ϑ1) i (Q, ϑ2) o tym samymQ opisywane sa sumaϑ1 + ϑ2
w szczególnosci jeden z układów, np(Q, ϑ2) mozebyc potencjalny.
Układ potencjalny reprezentujesiłe - matematyczniekowektor, zaczepiony w jakims punkcie:f = −dqU .
q0 jest punktem równowagi układu, jezeli w tympunkcie jest w równowadze z siła zero.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 16/26
![Page 40: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/40.jpg)
Transformacja Legendre’a
Opis dualny: lista sił, z którymi układ jest wrównowadze
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 17/26
![Page 41: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/41.jpg)
Transformacja Legendre’a
Opis dualny: lista sił, z którymi układ jest wrównowadze
Zbiór S nazywany jst zbioremkonstytutywnymukładu.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 17/26
![Page 42: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/42.jpg)
Transformacja Legendre’a
Opis dualny: lista sił, z którymi układ jest wrównowadze
Zbiór S nazywany jst zbioremkonstytutywnymukładu.
Matematycznie - transformacja Legendre’a analizywypukłej.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 17/26
![Page 43: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/43.jpg)
Transformacja Legendre’a
Opis dualny: lista sił, z którymi układ jest wrównowadze
Zbiór S nazywany jst zbioremkonstytutywnymukładu.
Matematycznie - transformacja Legendre’a analizywypukłej.
Kryterium równowagi: dwa układy sa w równowadzew q0, jezeli istnieja siłyf1 ∈ S1, f2 ∈ S2, zaczepionew q0 i bilansujace sie:f1 + f2 = 0.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 17/26
![Page 44: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/44.jpg)
Przykłady
Układ potencjalnyϑ = dU
S = {(q, f) : f = kg(q − q0)}.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 18/26
![Page 45: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/45.jpg)
Przykłady
Układ potencjalnyϑ = dU
S = {(q, f) : f = kg(q − q0)}.
Układ z tarciemϑ(v) = %‖v‖,
S = {(q, f) : ‖f‖ 6 %}.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 18/26
![Page 46: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/46.jpg)
Wiezy
Ograniczenia na procesy (przesniecia wirtualne), naogół w wersji infinitezymalnej
C1 ⊂
�
Q.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 19/26
![Page 47: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/47.jpg)
Wiezy
Ograniczenia na procesy (przesniecia wirtualne), naogół w wersji infinitezymalnej
C1 ⊂
�
Q.
Wynikaja z tego ograniczenia na konfiguracje
C0 = τQ(C1) ⊂ Q.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 19/26
![Page 48: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/48.jpg)
Wiezy
Ograniczenia na procesy (przesniecia wirtualne), naogół w wersji infinitezymalnej
C1 ⊂
�
Q.
Wynikaja z tego ograniczenia na konfiguracje
C0 = τQ(C1) ⊂ Q.
C1 =
�
C0, to wiezyholonomiczne.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 19/26
![Page 49: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/49.jpg)
Wiezy
Ograniczenia na procesy (przesniecia wirtualne), naogół w wersji infinitezymalnej
C1 ⊂
�
Q.
Wynikaja z tego ograniczenia na konfiguracje
C0 = τQ(C1) ⊂ Q.
C1 =
�
C0, to wiezyholonomiczne.
C1 Ã
�
C0, to wiezynieholomiczne.Olsztyn, 17.02.2005 – p. 19/26
![Page 50: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/50.jpg)
Mozliwe dalsze dyskusje√
Rozpatrywac układy, dla których koszt procesuzalezy (infinitezymalnie) nie tylko od jegokierunku, ale od jego kształtu, np. od krzywizny.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 20/26
![Page 51: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/51.jpg)
Mozliwe dalsze dyskusje√
Rozpatrywac układy, dla których koszt procesuzalezy (infinitezymalnie) nie tylko od jegokierunku, ale od jego kształtu, np. od krzywizny.
√
Stosowac kryteria równowagi wyzszych rzedów.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 20/26
![Page 52: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/52.jpg)
Mozliwe dalsze dyskusje√
Rozpatrywac układy, dla których koszt procesuzalezy (infinitezymalnie) nie tylko od jegokierunku, ale od jego kształtu, np. od krzywizny.
√
Stosowac kryteria równowagi wyzszych rzedów.
Prowadzi to do innych reprezentacji sił i do siłwyzszego rzedu.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 20/26
![Page 53: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/53.jpg)
Mozliwe dalsze dyskusje√
Rozpatrywac układy, dla których koszt procesuzalezy (infinitezymalnie) nie tylko od jegokierunku, ale od jego kształtu, np. od krzywizny.
√
Stosowac kryteria równowagi wyzszych rzedów.
Prowadzi to do innych reprezentacji sił i do siłwyzszego rzedu.
Stad raczejprace, a nie siłe nalezy przyjac jakopojecie pierwotne.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 20/26
![Page 54: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/54.jpg)
Podsumowanie drugie
Opiswariacyjnyjest opisem oddziaływania z układemi układów miedzy soba.
.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 21/26
![Page 55: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/55.jpg)
Podsumowanie drugie
Opiswariacyjnyjest opisem oddziaływania z układemi układów miedzy soba.
Jest to przeciwienstwo opisuobserwacyjnego.
.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 21/26
![Page 56: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/56.jpg)
Podsumowanie drugie
Opiswariacyjnyjest opisem oddziaływania z układemi układów miedzy soba.
Jest to przeciwienstwo opisuobserwacyjnego.
Inaczej mówiac, jest to opisfunkcjonalny, w opozycjido opisumorfologicznego.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 21/26
![Page 57: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/57.jpg)
Dynamika
czyli statyka w czasoprzestrzeni (konfiguracje sajednowymiarowymi obiektami w (czaso) przestrzeniM ,
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 22/26
![Page 58: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/58.jpg)
Dynamika
czyli statyka w czasoprzestrzeni (konfiguracje sajednowymiarowymi obiektami w (czaso) przestrzeniM , sparametryzowanymi (na przykład czasem)).
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 22/26
![Page 59: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/59.jpg)
Dynamika
czyli statyka w czasoprzestrzeni (konfiguracje sajednowymiarowymi obiektami w (czaso) przestrzeniM , sparametryzowanymi (na przykład czasem)).
Skonczony odcinek parametrów - przestrzenkonfiguracji wymiary nieskonczonego.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 22/26
![Page 60: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/60.jpg)
Dynamika
czyli statyka w czasoprzestrzeni (konfiguracje sajednowymiarowymi obiektami w (czaso) przestrzeniM , sparametryzowanymi (na przykład czasem)).
Skonczony odcinek parametrów - przestrzenkonfiguracji wymiary nieskonczonego.
Infinitezymalny odcinek parametrów - przestrzenkonfiguracji jest
�
M (połozenia i predkosci).
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 22/26
![Page 61: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/61.jpg)
Dynamika
czyli statyka w czasoprzestrzeni (konfiguracje sajednowymiarowymi obiektami w (czaso) przestrzeniM , sparametryzowanymi (na przykład czasem)).
Skonczony odcinek parametrów - przestrzenkonfiguracji wymiary nieskonczonego.
Infinitezymalny odcinek parametrów - przestrzenkonfiguracji jest
�
M (połozenia i predkosci).
Układypotencjalne, tzn opisywane funkcja nakonfiguracjach.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 22/26
![Page 62: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/62.jpg)
Działanie i siły
Potencjał = działanie,
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 23/26
![Page 63: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/63.jpg)
Działanie i siły
Potencjał = działanie, działanie na konfiguracjachinfinitezymalnych - Lagranzjan
L :
�
M → R.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 23/26
![Page 64: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/64.jpg)
Działanie i siły
Potencjał = działanie, działanie na konfiguracjachinfinitezymalnych - Lagranzjan
L :
�
M → R.
Siła = rózniczka potencjału (działania)
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 23/26
![Page 65: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/65.jpg)
Działanie i siły
Potencjał = działanie, działanie na konfiguracjachinfinitezymalnych - Lagranzjan
L :
�
M → R.
Siła = rózniczka potencjału (działania)w punkcieγ : [a, b] → M jest trójka
(pa, f, pb),
gdziepa ∈
�
γ(a)M, pb ∈�
γ(b)M, to pedy -poczatkowy i koncowy, af jest polem kowektorówwzdłuzγ,
f = E(γ) − operator Eulera-Lagrange’a.Olsztyn, 17.02.2005 – p. 23/26
![Page 66: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/66.jpg)
Działanie i siły cd
Składowaf reprezentuje siły pochodzace od układów"zewnetrznych",a pedy sa naprezeniami miedzy przeszłoscia,przyszłoscia, a terazniejszoscia.
Ped to jest to z przeszłosci ruchu, cojest istotne dla jego przyszłosci
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 24/26
![Page 67: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/67.jpg)
Co sie zazwyczaj robi?
Zapomina sie o brzegu, czyli o pedach i pozostajetylko operator E-L.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 25/26
![Page 68: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/68.jpg)
Co sie zazwyczaj robi?
Zapomina sie o brzegu, czyli o pedach i pozostajetylko operator E-L. W dodatku kładzie sief = 0,czyli traktuje sie układ jak izolowany!!
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 25/26
![Page 69: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/69.jpg)
Co sie zazwyczaj robi?
Zapomina sie o brzegu, czyli o pedach i pozostajetylko operator E-L. W dodatku kładzie sief = 0,czyli traktuje sie układ jak izolowany!!
Zapomina sie o wnetrzu odcinka[a, b] (znowu układizolowany!), a pozostawia tylko pedy.
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 25/26
![Page 70: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/70.jpg)
Uwagi koncowe
Opis wariacyjnyniepasuje do układów izolowanych,
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 26/26
![Page 71: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/71.jpg)
Uwagi koncowe
Opis wariacyjnyniepasuje do układów izolowanych,
jest opisem przez oddziaływanie (mechanikakwantowa!!),
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 26/26
![Page 72: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/72.jpg)
Uwagi koncowe
Opis wariacyjnyniepasuje do układów izolowanych,
jest opisem przez oddziaływanie (mechanikakwantowa!!), nie ma w nim miejsca naobserwable,
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 26/26
![Page 73: Paweł Urbańskiurbanski/Olsztyn2.pdfOlsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 Inaczej √ Podstawy rachunku wariacyjnego dla matematyków. √ Podstawy zasad wariacyjnych dla fizyków. √](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051904/5ff4fd8c2c10c94f7207fc97/html5/thumbnails/73.jpg)
Uwagi koncowe
Opis wariacyjnyniepasuje do układów izolowanych,
jest opisem przez oddziaływanie (mechanikakwantowa!!), nie ma w nim miejsca naobserwable,
jest w opozycji do opisuewolucyjnego, np.
hamiltonowskiego!
Olsztyn, 17.02.2005 – p. 26/26