5 OLASILIK 5.1. Olasılık Tarihi

5.2. Temel Olasılık Kavramları

5.3. Deneysel Olasılık

5.4. Temel olasılık Teoremleri

5.5. Koşullu (Şartlı) Olasılık

5.6. Bayes Teoremi

5.7. Bağımsızlık:

5.8. Olasılık Fonksiyonları

5.8.1. Kesikli Rasgele Değişkenin Olasılık Dağılımı

5.8.2. Sürekli Rasgele Değişkenin Olasılık Dağılımı

5.9. Beklenen Değer (Expected Value)

5.10. Varyans

2

5.1 Olasılık Tarihi

Şansa bağlı olaylar 17. yüzyıldan bu yana yoğun olarak incelenmektedir. Ünlü

fizikçi Galile fiziksel büyüklüklerin ölçüm hatalarını incelemiş ve bu hataların şansa

bağlı olduğunu varsayarak hatalrın olasılığını hesaplamıştır. Aynı yüzyılda sigorta

hesapları yapılmaya başlanmış ve doğal olayların kanunları oluşturulmaya çalışılırken

şansa bağlı olayların analizi için olasılık hesaplamalarına başvurulmuştur. Bu amaçla

şansa bağlı olayların anlaşılması basit modelleri kurulurken şans oyunlarından

yararlanılmıştır.

Modern olasılık teoroso 1650 lerde Pascal, Fermat, ve Huuygens in

çalışmaları ile oluşmaya başlamıştır. Bu çalışmalar oyun teoroso, olasılık kavramları ve

beklenen değer gibi kavramların doğmasına sebep olmuştur. 16. yüzyılın sonlarına

doğru Bernoulli büyükm sayılar kanunu ele almıştış ve ispatlamıştır. 17. yüzyılın

başlarında De Moivre normal veya Gauss teoremini bulmuştur. 17. yüzyılın

ortalarından itibaren Laplace ve 18 yüzyılın başlarında Gauss ve Poisson’un olasılık

teorisine çok katkıları olmuştur. Laplace merkezi limit teoremini ispatlamış. Gauss

normal kanunu daha ciddi olarak ele almış ve en küçük kareler yöntemini geliştirmiştir.

18. yüzyıl ve 19. yüzyılın başları olasılık teorisinin en yoğun geliştiği dönem olmuştur.

Bu dönemde olasılık teorisi birçok alanda uygulanmaya başlanmıştır. 19. yüzyılda

Tchebyhheff ve Markov olasılık teorisine daha modern bir anlam getiren çalışmalarda

bulundu, 20 yüzyılda ise Kolmogorov, Fisheri Nevmann ve Cramer bu alanda büyük

katkı sağlamış bilim adamlarıdır.

5.2. Temel Olasılık Kavramları

Günlük hayatta olasılık, gelecekteki bir olay için bireylerin umutlarının,

beklentilerinin bir ölçüsüdür. Bu tanıma göre bir olayın ortaya çıkma olasılığını farklı

bireylerin değişik umutları olduğu varsayımından genelleştirmek mümkün değildir.

Bundan ötürü bu tanım bilimsel bir temel oluşturmaz. Bir olayın gerçekleşme olasılığı,

olayın gerçekleşmesi için uygun hallerin tüm olanaklı hallerine oranıdır.

Fiziksel ve sosyal bir olgunun kesin olarak belirlenmesi olanaksız da olsa, bu tür

olgular yeterince gözlendiklerinde belirli bir düzenleri oldukları saptanabilir. Bu

düzenin matematiksel ifadesini elde etmek, olguların gerçekleşmesine ilişkin

yargılarımızı, önermelerimizi sayılaştırmak olasılık teorisinin sunduğu araçlarla

olanaklıdır. Basitçe ifade edersek olasılık, rastlantısal bir olguya ilişkin bir önermenin

3

kesine yada olanaksıza ne kadar yakın olduğunu gösteren bir sayıdır. ‘’0’’ olanaksızı ‘’1’’

ise kesinleşmeyi simgeler. Olasılık, objektif yöntemlerle ve/veya sübjektif süreçte

hesaplanabilir.

Bir olayın sübjektif olasılığı, daha önceki iki tanım da olduğu gibi yalnızca

objektif yöntemlerle değil, sübjektif yargılarının da hesaba katıldığı ve söz konusu

olayın geçerliliğine ya da olabilirliğine ilişkin verilen ve veren kişinin olayın

gerçekleşmesine ilişkin kişisel güveninin derecesini gösteren [0, 1] aralığında reel bir

sayıdır. Sübjektif tanım, piyasaya ilk kez sürülecek olan bir ürünün % 25’ lik Pazar payı

alması, 2015 yılında bir meteorun dünyaya çarpması ya da 20 yıl içerisinde Kuzey

anadolu fay hattı üzerinde merkez üssü İstanbul’ un güneyi ve 7 büyüklüğünde bir

deprem olması gibi gelecekte gerçekleşecek olayların olasılığını hesaplamada

kullanılabilir. Olasılıklar tayin edilirken objektif veri ve veya sübjektif yargıya

başvurulur. Örneğin bir ürünün Pazar payı için olasılık hesaplarken, gelecekteki

müşteri beklentileri gibi sübjektif verilerin yanı sıra geçmişteki benzer ve rakip ürün

gruplarının Pazar payları gibi objektif veriler birleştirerek olasılıklar tayin edebilirler.

Ancak başvurdukları kriterlere, bilgi birikimlerine ve yeteneklerine göre farklı

hesaplama modelleri farklı olasılıklar verebilir, bu nedenle bu tanım sübjektif olasılık

kavramı ile ifade edilir.

Tanım : Bir olayın meydana gelme şansının sayısal değerine olasılık denir ve p ile

gösterilir. Olasılık

10 p

aralığında değerler alabilir. Kesin olaylarda %100 meydana gelme olasılığı 1’ dir.

Tanım : Verilen bir deneyin mümkün olan bütün sonuçlarının oluşturduğu kümeye

“örnek uzay” denir.

Tanım : Eğer bir olay s defa gerçekleşir ve f defa gerekleşmezse ve eğer örnek uzayı

s+f kadar olayların hepsi eşit şansa sahipse bu olaylardaki

başarının olasılığı fs

sp

ve

başarısızlık olasılığı fs

fq

olur.

Bu tanımdan 1

fs

f

fs

sqp elde edilir ve bu sonuç genellenebilir.

4

Tanım : İster denemeden, ister doğrudan elde edilen verilere olay denir. Bu olaylar

birer örnek noktası olarak iE ( event ) ile gösterilirse;

Tek zar atılışında 1 gelmesi 1E

2 gelmesi 2E

.

6 gelmesi 6E

tek sayı gelmesi A , 4’ den küçük gelmesi B ile gösterilsin. iE ’ ler birer olaydır ve A

ve B ise birkaç olayın iE birleşmesinden oluşur. Bu nedenle

iE : basit (elementer) olaylar

A,B: birleşik olaylar olarak adlandırılır.

Örnek: Bir basketbol müsabakasının sonucunda takımlar açısından 3 durum söz

konusudur: MağlubiyetM GalibiyetG BeraberlikB

, ,S M G B

Örnek :

Deney : Tek zar atılışı

Örnek Uzayı : 1,2,3,4,5,6S

Bir başka gösterim ise : 1 2 3 4 5 6, , , , ,S E E E E E E

1 2

3 4

5 6

1 2

3 4 Basit olaylar

5 6

E E

E E

E E

A Olayı: Tek zar atılışı deneyinin sonucunda tek sayı gelmesi

B Olayı: Tek zar atılışı deneyinin sonucunda 4’den küçük sayı gelmesi

1 3 5

1 2 3

, , 1,3,5Birleşik Olaylar

, , 1,2,3

A E E E

B E E E

Tanım : Bu olaylar nokta setlerini oluştururlar ve her basit olay iE için bir nokta

vardır ve bunlar örnek noktası adını alırlar. Örnek noktalarının oluşturduğu sete(

uzaya ) örnek uzayı (S) denilir. Örnek uzayının gösterimi 3 biçimde olur:

5

1. Listeleme

Örnek: Deneme bir metal para ile yapılırsa;

TYS , örnek uzayında iki nokta var.

2. Venn diyagramı

3. Ağaç diyagramı

Ağaç diyagramı çoğunlukla birden çok birlikte veya ardışık gerçekleşen

olayların gösteriminde daha yararlı olur.

Örnek: Deneme iki metal para ile yapılırsa;

TTYTTYYYS ,,,,,,,,

Tanım : Boş küme ile örnek uzay S’de birer olaydır. olayına “olanaksız” olay, S

olayına da “kesin” olay denir.

.E 6

S

.E 1

.E 2 .E 3

E 5

.E 4 B

A

Y

T

I

Y

T

Y

T

YY

YT

TY

TT

6

Bir set içinde tüm eleman ya da olayların olasılıkları toplamı daima;

i) 1 iEp ve

ii) 10 iEp dir.

Örnek uzayı ( seti ) S ile gösterilirse;

nEEES ,...,, 21

n

i

ni EpEpEpEp1

21 1... dir.

Örnek: Deneme iki zar ile yapılırsa örnek uzayı

, ; , 1,2,...,6S i j i j

6,6,...,...,1,2,6,1,...,3,1,2,1,1,1S şeklinde oluşturulur.

Örnek: Çift zar atılışında üst yüzleri toplamının 6 gelmesi olasılığı

S 36 nokta var

36

56 p

Bir metal para atılışında;

TYS , n=2

Örnek: “Y ve T gelmesi eşit olasılıklıdır” varsayımı altında, yani metal para hilesiz ise,

bu iki olayın sonucunun meydana gelme olasılıkları

5,021 pp dir.

Örnek: İki metal para atılışında;

YYTYYTTTS ,,,,,,

4

1, TTp 1 1 1,4 4 2

p Y T

I. II.

zar zar

1 5

2 4

3 3

4 2

5 1

7

Örnek: A,B,C gibi değişik ırktan üç at yarışıyor. A’nın kazanma olasılığı B’ninkinin 2

katı; B’ninki de C’ninkinin 2 katıdır. Her birinin P(A), P(B), P(C) şeklinde ifade edilen

kazanma olasılıklarını bulunuz.

P(C)=p diyelim. P(B)=2p ; P(A)=4p dir. Tüm olasılıklar toplamı 1

olacağından

p+2p+4p=1 p=1/7

P(A)=4/7 P(B)=2/7 P(C)=1/7

Tanım : Şansa Bağlılık

Aynı koşullar altında tekrarlandığında daima aynı sonucu vermeyen, bu

nedenle de deterministik( kesin ) olmayan deneylere şansa bağlı deney denir.

Tanım : Şans değişkeni:

Bir değişken ancak, tanım aralığındaki bir değeri belli bir olasılık değeri ile

alabildiğinde şansa bağlı bir değişkendir

Şans değişkeni => xi x1 x2 … x n => tanım aralığı (örnek uzayı)

0<pi<1 => pi p1 p2 … pn =>∑pi=1

.3. Deneysel Olasılık

Tanım : Eğer n adet denemede başarı sayısı s ve lim n iken başarının nispi

frekansı s/n belli bir limite ulaşırsa, bu değere (s/n) o denemenin başarı olasılığı

denir.

Olasılığın diğer bir saptanma yolu çok sayıda deneyler yapmakla da

mümkündür ve olayın sonuçları defalarca gözlemlenir. Bu şekilde elde edilen başarılı

olay sayısının toplam deney sayısına oranına deneysel olasılık denir. Şansa bağlı bir

deney aynı koşullar altında if keza tekrarlanırsa, bu deneyde ilgilenilen olaya ait

sonuç (sıklık) sayısı af olsun. Deney sayısı yeterince tekrarlanırsa bu oranının belirli

bir değere vardığında durağanlaştığı görülür. İlgilenilen bu a olayının gerçekleşme

olasılığı

n

i

i

a

n f

fap

1

lim)(

biçiminde ifade edilir. Olasılık çoğu kez uzun dönem tekrarlı olay/deneme sonuçlarından elde edilen nispi frekans olarak yorumlanır.

8

5.4. Temel olasılık Teoremleri

1) xp ; x olayının olasılığı gerçek bir sayıdır.

2) 0 1p x

3) Arakesit : Örnek uzayında iki olayın birlikte gerçekleşmesi söz konusu ise iki

olayın oluşturduğu alt sete bu olayların arakesiti (intersection) denir ve 1E ve 2E

gibi iki olayın birleşimi 2EE şeklinde gösterilir.

BA , A ve B şeklinde okunur ve

( )A B x x A x B biçiminde gösterilir.

Genelleme : :iE i : 1, ... ,n değerleri için

1 2

1

...n

i n i

i

E E E E E

’ lerin hepsinde ortak olan noktaları ifade eder.

Tanım : Bir örnek uzayında tanımlanan olaylar birbirini engelleyebilecek nitelikte

olabilir. Birbirini engelleyen olaylar ( mutually exclusive ), aynı anda gerçekleşmesi

mümkün olmayan olaylardır. (ayrık olaylar: disjoint)

Birbirini engelleyen olaylar için kesişim: ji EE dir.

A B ise ApBAp )( + Bp

4) Birleşim : Örnek uzayında iki olaydan herhangi birinin gerçekleşmesi söz konusu

ise iki olayın oluşturduğu alt sete bu olayların birleşimi( union ) denir ve 1E ve 2E

gibi iki olayın birleşimi 21 EE şeklinde gösterilir.

BA , A ya da B şeklinde okunur ve

( )A B x x A x B biçiminde gösterilir.

Birbirini engelleyen olaylarda:

A ve B gibi iki olay birbirini engelliyorsa

Eğer )().()( BPAPBAP ilişkisi geçerli değildir.. Aksi halde iki olay birlikte

gerçekleşebilir.

9

0

p A B p A p B p A B

A B ise

A ve B birbirini engelliyorsa

BA

0BAp

BpApBAp olur

Birlikte gerçekleşebilen olaylarda:

BApBpApBAp

kbaBA

kBA

kkbkaBA

Ancak 0BAp ise biribirini engelleyen iki olay söz konusudur ve

p A B p A p B dir.

Eğer olaylar bağımlı ise yani A ve B birbirini engellemiyorsa

BApBpApBAp

= BpApBpAp .

10

Örnek : Tek zar atılışında; çıkabilecek sonuçların kümesi örnek uzay olup

621 ,...,, EEES dir. A ve B olayları aşağıdaki gibi oluşturulmuş olsun:

A= 421 ,, EEE B= 52 , EE

5421 ,,, EEEEBA

S ı ı ı ı 1 ı

1 2 3 4 5 6

A * * *

B * *

AB={2} intersection( arakesit )

Örnek: Bir sınıfta 10 erkek 20 kız öğrenci vardır. Kızların ve erkeklerin yarısı siyah

gözlüdür. Örnek olarak alınan bir öğrencinin “bir erkek veya siyah gözlü” olması

olasılığını hesaplayınız.

A=Öğrenci erkektir

B=Öğrenci siyah gözlüdür.

AB=Öğrenci erkek veya siyah gözlüdür.

10 1 15 1( ) , ( )

30 3 30 2

5 1( )

30 6

1 1 1 4 2( ) ( ) ( ) ( )

3 2 6 6 3

P A P B

P A B

P A B P A P B P A B

5) 111

upEEpn

i

i

n

i

i populasyon olasılığı 1’ dir.

:iE i : 1, ... ,n

1 2

1

...n

i n i

i

E E E E E

’ lerin herhangi birinde yer alan noktaların

tümü

6) 0p

7) BA ise BpAp

11

)()()( ABpApBp 0)( ABp olduğundan

)()( ApBp ’dır.

Bağımsız üç olayın olasılığı

CpBpApCBAp

Karşılıklı bağımlı üç olayın olasılığı

gdBA

geCA

B gfC

CBA

gfedgefcfgdbgeda

CBACBCABAcba

ggfgegdcba

12

( ) ( ) ( )

( )

p A B C p A p B p C

p A B p A C p B C

p A B C

Genelleme : Yukarıda elde edilen bu sonuç 3’ den fazla olaylar için de genellenebilir.

1 21

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

n

n ii

i i j

i i j

i j k i j k m

i j k i j k m

P A A A P A

P A P A A

P A A A P A A A A

8) )(1)( ApAp SAA AA )(1)( AApSp

9) A-B veya A!B, A ile B nin farkı şeklinde okunur ve

( , )A B A B x x A x B biçiminde gösterilir.

A ve B iki olay olsun. Bu durumda

)()()( BApApBAp

)( BAp

A B

Diğer taraftan, )()( BABAA olduğundan

)()()( BApBApAp olur.

10) Değil Bağıntısı: Bir A olayının meydana gelme olasılığı Ap , aynı olayın

meydana gelmeme olasılığı ise 'Ap ile gösterilirse; 'A olayı, A olayının meydana

gelmemesi durumudur. Bu iki olay arasında şu ilişki mevcuttur.

1' ApAp

ApAp 1' veya '1 ApAp dür.

13

Örnek: 50’ kişilik bir sınıftan 20 kız, 30 erkek öğrenci bulunmaktadır. Rastgele

oluşturulacak 5 kişilik bir çalışma grubu içerisinde, en az 1 tane kız öğrenci bulunması

olasılığı nedir?

Burada 50 kişilik sınıfta 5 kişilik bir alt set seçimi söz konusudur. 50 kişiden

beşerli olanaklı grup oluşturma sayısı

5

52 kadardır.

50 öğrenci içerisinden 5 kişilik gruba hiç kız öğrenci girmemesi, 5

öğrencinin de erkek seçilmesi anlamına gelir ve bu durumunu içeren alt setler ise

5

30 farklı şekilde gerçekleşşebilir.

En az 1 kız öğrenci bulunma olasılığı

543211 xpxpxpxpxpxp veya

01 xp dir.

O halde i

i

ff

temel olasılık teoreminden

5

50

5

30

'Ap dir ve

5

50

5

30

1Ap olarak bulunur.

A , A değil şeklinde okunur. A’nın S’ye göre tümleyenidir ve

( , )A x x S x A biçiminde gösterilir.

EE, olayının tamamlayıcısı olsunp

EpEp 1 dolayısıyla da 1p E p E dir.

14

Çünkü;

1

EpEpSp

EES

Bazı işlem özellikleri :

ABBA

ABBA

CBACBA )()(

CBACBA )()(

)()()( CABACBA

)()()( CABACBA

BABA

AA

De Morgan Kanunları

BA = BA

BA = BA

Eğer A1,A2,........An ikişer ikişer ayrık olaylar ise

)(..........)()()...........( 2121 nn ApApApAAAp

Örnek: Bir bankada yapılan bir araştırmada her 5 kadın müşteriden 3’ünün (A), her 2

erkek müşteriden 1’inin (B) kredi işlemi için bankaya geldiği tespit edilmiştir. Her iki

olaya ilişkin P(A)=3/5 P(B)=1/2 P(A B)=3/10 olasılıkları verildiğine göre

i) P(AUB) iv) )( BAP

ii) )(AP , )(BP v) )( BAP

iii) )( BAP vi) )( ABP

15

i) P(AUB)=P(A)+P(B)- )( BAP =3 1 3 8

5 2 10 10

ii) 3 2

( ) 1 ( ) 15 5

P A P A 2

1)(1)( BPBP

iii) BABA )( BAP = 8 1

1 ( ) 110 5

P A B P A B

iv) 2 1 1 7

( ) ( ) ( ) ( )5 2 5 10

P A B P A P B P A B

v) 3 3 3

( ) ( ) ( )5 10 10

P A B P A B P A P A B

vi) 1 3 2

( ) ( ) ( )2 10 10

P B A P B A P B P A B

BABA )( BAP = 3 7

1 ( ) 110 10

P A B P A B

Örnek: Üç kutu ve içindekiler aşağıdaki biçimde verilmiştir.

I. kutu 10 ampul 4’ü bozuk

II. kutu 6 ampul 1’i bozuk

III. kutu 8 ampul 3’ü bozuk

Kutulardan biri rastgele seçiliyor ve bu kutudan bir ampul alınıyor. Bu

ampulün bozuk olması olasılığı nedir?

Burada iki deneylik bir seri var:

i) üç kutudan birini seçmek

ii) seçilen kutudan bozuk ya da sağlam ampul çekmek

I

II

III

1/3

1/3

1/3

B

B

B

S

S

S

2/5

3/5

1/6

5/6

3/8

5/8

(1/3).(2/5)

(1/3).(1/6)

(1/3).(3/8)

113/360

16

Örnek: I. ve II. torbadaki topların sayısı aşağıdaki gibidir. Rastgele çekilen bir topun,

a. S olması

b. B olması

c. M olması

d. S veya B olması

e. S veya B veya M olması olasılığı nedir?

a. 1 6 1 8

( ) ( ) ( ) ( ) . .2 15 2 18

p S p I S II S P I P S P II P S

b. 18

4.

2

1

15

5.

2

1 BIIBIpBp

c. 18

6.

2

1

15

4.

2

1 MIIMIpMp veya

d. BIIBISIISIpBSp

=18

4.

2

1

15

5.

2

1

18

8.

2

1

15

6.

2

1 veya

e. 1 MpBpSpMBSp

)()(1)( BpSpMp

)(1)( MpBSp

17

5.5. Koşullu (Şartlı) Olasılık

S örnek uzayı içinde E herhangi bir olay olsun. (P(E)>0). E olayının

gerçekleştiği bilindikten sonra, ki bu durumda yeni örnek uzayı E’ye indirgenmiş olur

ve buna indirgenmiş örnek uzayı da denir, A olayının gerçekleşmesi olasılığı ya da bir

başka deyişle E olayı gerçekleşti ise A’nın koşullu olasılığı P(A/E) ile gösterilir.

( ) ( ) ( / )

( )( / )

( )

P E A P E P A E

P A EP A E

P E

Örnek: İki zar birlikte atılıyor; toplam 6 gelmişse zarlardan birinin 2 gelmesi olasılığı

nedir?

1,5,2,4,3,3,4,2,5,16toplam E

)6,2(),5,2(),4,2(,3,2,1,2),2,6(),2,5(),2,4(),2,3(),2,1(2 birizarlardan A

2,4,4,2EA

( ) 2 / 36( / )

( ) 5 / 36

P A EP A E

P E

sayisielemannin'

sayisielemannin')()/(

E

EAEAP

Sonuçlar:

)()/()( EPEAPEAP

)()/()( APAEPAEP da yazılabilir.

18

Tanım : Boole eşitsizliği1 2, ,..., nA A A bir S örnek uzayında olaylarsa

11

( )n n

i i

ii

P A P A

dir.

Örnek: Bir okulun öğrencilerinin %25’i matematikten, %15’i kimyadan ve %10’u

hem matematikten hem kimyadan başarısızdır. Rassal olarak alınan 1 öğrencinin

i)Kimyadan zayıf ise, matematikten de zayıf olması

ii)Matematikten zayıf ise kimyadan da zayıf olması

iii)Kimyadan yada matematikten zayıf olması

olasılıklarını ayrı ayrı hesaplayınız.

M=Matematikten zayıf öğrenciler K=Kimyadan zayıf öğrenciler.

i) ( ) 0.10 2

( )( ) 0.15 3

P C MP M C

P C

ii) ( ) 0.10 2

( )( ) 0.25 5

P C MP C M

P M

iii) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.25 0.15 0.10 0.30P M C P M P C P M C

Koşullu Olasılıkta Çarpım Kuralı

A olayının sonucu B’ yi ya da B olayının sonucu A’ yı etkilediği durumlar da

söz konusudur (birbirini engelliyorsa olmaz)

ABpApBAp /. Ap

BApABp

0

/

1 2 1 2 1 3 1 2

1 2 1

( .......... ) ( ). ( / ). ( / )

( / )

n

n n

P A A A P A P A A P A A A

P A A A A

Örnek: Bir kutuda 12 adet parça vardır. Bunların 4 tanesi arızalıdır. Kutudan 3 tane

parça arka arkaya (yerine konmadan) çekiliyor. Çekilen üç parçanın da sağlam olması

olasılığı nedir?

Birinci parçanın sağlam olması olasılığı: 8/12

Birinci sağlam kalmak koşuluyla ikincisinin sağlam olması olasılığı 7/11

19

İlk ikisi sağlam olmak koşuluyla üçüncüsünün de sağlam olma olasılığı 6/10

dur. Çarpım teorisine göre

( ) ( ) ( / ) ( / )

8 7 6 14. .

12 11 10 55

P I II III P I P II I P III I II

p

Örnek : İçinde 40 tane standarda uygun, 10 tane ise standarda uygun olmayan parça

bulunan bir kutuda

a) İadeli

b) İadesiz örnekleme ile 2 parça alınıyor

A= 1. parça bozuk

B= 2. parça bozuk gösteriyor ise P(A) ve P(B) ne olur?

a) P(A)=1/5=P(B)

b) P(A)=1/5 ve P(B/E)=9/49 49/10)/( EBP

yani burada )(

).()/(

BP

BAPBAP P(B)>0

veya )(

).()/(

AP

BAPABP P(A)>0 şeklinde yazılabilir ve buradan da

)()./()( BPBAPABP şeklinde de yazılabilir.

Örnek: Bir fabrikada bulunan 10 tane makinenin özellikleri aşağıdaki gibidir.

Marka A B Toplam

Yeni 4 3 7

Eski 2 1 3

Toplam 6 4 10

Makinelerden biri şansa bağlı olarak çekildiğinde

a) Makinenin yeni olması

b) Makinenin A makinesinden olma olasılığı

c) Yeni A olma olasılığı

d) Makinenin yeni olduğu biliniyorsa bunun A makinesinden olma olasılığı nedir?

a) P(Y)=7/10

b) P(A)=6/10

c) P(AY)=4/10

d) P(A/Y)=P(AY)/P(Y)=4/7 şeklinde hesaplanır.

20

Örnek:

I. torbadan 1 top çekiliyor ve II. torbaya konuyor. II. torbadan çekilen topun beyaz

olması olasılığı nedir?

A: II. torbadan çekilen topun beyaz gelmesi

B: I. torbadan çekilen topun beyaz ve II. torbadan çekilen topun beyaz gelmesi

C: I. torbadan çekilen topun siyah ve II. torbadan çekilen topun beyaz gelmesi

1B : I. torbadan çekilen topun beyaz gelmesi

1C : I. torbadan çekilen topun siyah gelmesi

A=B+C ... (1)

B= 1B .A ... (2)

C= 1C .A ... (3)

CpBpAp 0CBp B ve C birbirini engelleyen olaylar

6

5

2

1.

3

11.

3

2

/./. 1111

11

CApCpBApBp

ACpABp

21

veya diğer bir çözüm yolu olayların tümünü tanımlamakla mümkündür.

iB : beyaz gelmesi i: 1,2,3

S : siyah gelmesi

olaylar iE I. torbadan

çekilen top

II.torbadan

çekilen top

olasılığı iEp

1E 1B 1B 1/3.1/2=1/6

E 2 1B 3B 1/6(*)

3E 2B 2B 1/6(*)

4E 2B 3B 1/6(*)

5E S 3B 1/6(*)

6E S S 1/6

A: II. torbadan çekilen topun beyaz gelmesi 6

5Ap

Örnek: 1’den 10’a kadar numaralanmış kartlardan iki tane örnek seçiliyor. Toplamın

tek sayı olma olasılığını hesaplayınız.

i)İki kart beraber çekilmişse,

ii)Birinci çekilip yerine konmadan ikinci çekilmişse,

iii)Birinci çekilip yerine konulduktan sonra ikinci çekilmişse,

i)10

452

mümkün durum vardır. Toplamın tek olması için bir kartın numarası tek

ise ötekinin çift olması gerekir. 5 tane tek, 5 tane çift sayı olduğu için, toplamı tek olan

55 =25 tane sayı ikilisi vardır.

P=25 5

45 9

ii)109=90 mümkün durum vardır, 55 =25 tane, ilki çift ikincisi tek 55 =25 tane de

ilki tek ikincisi çift olan sayı ikilisi vardır; yani uygun haller sayısı 25+25=50 dir ve

P=50 5

90 9

iii)Çekileni tekrar koymak şartıyla arka arkaya çekilen 2 kart için 1010=100 değişik

durum vardır. ii) ci soruda olduğu gibi toplamı tek sayı veren ikililerin miktarı

25+25=50 dir ve

P=50 1

100 2

22

Örnek:

a) Ardı arda çekilen (iadesiz) 3 topun M olması olasılığı

1 2 3 1 2 1 3 1 2

6 5 4( ) ( ). ( ) ( ) . .

15 14 13P M M M P M P M M P M M M

b)İadeli çekiliş olursa koşul ortadan kalkar ,

1 2 3 1 2 3

6 6 6( ) ( ). ( ) ( ) . .

15 15 15P M M M P M P M P M

5.6. Bayes Teoremi

S örnek uzayının bir partisyonunu oluşturan E1,E2,...........En olaylarını göz

önüne alalım; Bu olaylar ikişer ikişer ayrıktır ve hepsinin bileşimi S kümesine eşittir.

Diğer herhangi bir olay A olsun.

1 2 ............ nA S A E E E A

1 2 .................. nE A E A E A

Burada iE Akümeleri ikişer ikişer aralarında ayrıktır.

1 2E A E A

1 2( ) ( ) ( ) ............ ( )nP A P E A P E A P E A

Çarpım kuramını uygulayarak

( ) ( ) ( / )i i iP E A P E P A E yerine koyduğumuzda

1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / )n nP A P E P A E P E P A E P E P A E

Öte yandan, Ei’nin A’ya göre şartlı olasılığı

1 1 2 2

( ) ( )( / )

( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / )

i ii

n n

P E A P E AP E A

P A P E P A E P E P A E P E P A E

23

( ) ( ) ( / )i i iP E A P E P A E yerine koyduğumuzda

1 1 2 2

( ) ( ) ( / )( / )

( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / )

i i ii

n n

P E A P E P A EP E A

P A P E P A E P E P A E P E P A E

elde edilir. Buna Bayes Teoremi denir.

Tanım 14: Bayes Teoremi

Olayın sonuçları belli iken neden,sebep, kaynak bulmak için kullanılan

olasılıktır. Amaç A olayının olasılığını bulmak yerine bu A olayının meydana geldiği

örnek uzayının alt kümelerinden herhangi birine ait olasılığın hesaplanmasıdır. Örnek

uzayı parçalara ayrılmıştır ve A olayı bu uzayda tanımlanmıştır.

SEEEEE ni

n

i

..............3211

(örnek uzayı) ve P(Ei)>0 özelliklerini

taşıyan ayrık olayların olasılıkları;

n

i

ii

ii

i

EPEAP

EPEAPAEP

1

)()/(

)()/(/ P(A)>0 şeklinde bulunur.

24

Örnek: Bir fabrikada üretilen mamüllerin %50’si A makinesinde, %30’u B

makinesinda, %20’si de C makinesinde üretilmektedir. Bu makinelerdeki üretimden

A’dakinin %3’ü , B dekinin %4’ü ve C dekinin %5’inin bozuk olduğu bilinmektedir.

a) Bu mamullerden rastgele olarak alınan bir tanesinin bozuk olması olasılığını

hesaplayınız

b) Rastgele olarak alınan mamülün bozuk çıktığını düşünürsek, bu mamülün A

makinesinden üretilmiş olması olasılığı nedir?

a) Bir mamülün bozuk olması olayına X dersek

)/()()/()()/()()( CXPCPBXPBPAXPAPXP

037.005.02.004.03.003.05.0

b)

( ) ( / )( / )

( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

0.5 0.03 0.0150.41

0.037 0.037

P A P X AP A X

P A P X A P B P X B P C P X C

Örnek:Bir şirket yöneticisi kadrosuna çalışanlarından birinin atamasını yapacaktır. Bir

A kişisi başvurursa işi elde etme şansının ne kadar olduğunu merak etmektedir. A,

arkadaşı B başvurmazsa işi elde etme şansının 0,75 olduğunu, B başvurursa şansının

1/3 olduğunu düşünüyor. A arkadaşı B nin işe başvurma şansının 2/5 olduğunu

düşünmektedir. Bu durumda A nın yönetici kadrosuna atanma olasılığını bulunuz.

P(A nın atanması)=2 1 3 3

. . 0,5835 3 5 4

bulunur. Olaylar tanımlayarak

problemi çözelim:

C={A nın işe alınması} D={B nin işe başvurması} olsun.

3 1 2 3( / ) , ( / ) , ( ) , .( )

4 3 5 5P C D P C D P D P D olduğundan istenen

olasılık

25

( ) ( ) ( )

( ). ( / ) ( ). ( / )

2 1 3 3 35. . 0,583

5 3 5 4 60

P C P C D P C D

P D P C D P D P C D

Örnek: Bir fabrikada 3 ayrı makinede üretim yapılmaktadır. I. makine II. makinenin 2

katı, II. ve III. makinelerde ise eşit miktarda üretim yapılmaktadır. I. ve II makinenin

üretimlerinde 0.02, III. makinenin üretiminde ise 0.04’lük hatalı ürün elde

edilmektedir. Bu tezgahlardan bir günde üretilen parçalar toplanarak rassal bir seçim

yapıldığı zaman bu parçanın hatalı olduğu görülürse, bunun I. makinede üretilmiş olma

olasılığı nedir?

A: parçanın hatalı olması E1: 1. makinede üretilmesi

E2: 2. makinede üretilmesi E3: 3. makinede üretilmesi , şeklinde

gösterilirse.

2

1)( 1 EP

4

1)( 2 EP

4

1)( 3 EP

1 11

1 1 2 2 3 3

( / ) ( )( / )

( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )

10.022

0.41 1 10.02 0.02 0.04

2 4 4

P A E P EP E A

P A E P E P A E P E P A E P E

y., bozuk parçanın I. makinede üretilmiş olma olasılığı %40 ‘dır. Burada

kullanılan P(Ei) olasılıklarına deney öncesi (prior) olasılık ve P(Ei/A) olasılığına ise

deney sonrası (posterior) olasılık denir. Bayes teoreminde deney sonrası olasılık deney

önceki olasılıktan daha geçerlidir. Deneyler tekrarlanarak, her bir olay yeni tekrarda

deney sonrası olay, deney öncesi gibi kabul edilerek zincirleme olarak gerçek olasılığa

yaklaşılır.

Parça bozuk ise II.makineden gelme olasılığı?

2 22

( / ) ( ) 0.02(1/ 4)( / )

( / ) ( ) 0.02(1/ 2) 0.02(1/ 4) 0.04(1/ 4)i i

i

P A E P EP E A

P A E P E

26

Örnek: I. kutudan II. kutuya bir top konuyor. II kutudan 1 top çekiliyor.

a) Çekilen top sarı ise I.K çekilip II.K konan topun kırmızı olma olasılığı nedir?

I II

P(IK.IIKK top kımızı/II KÇT sarı)=?

A=IIKÇT sarı B1=IKÇIIKK top kımızı B2= IKÇII KK top sarı

7

4)( 1 BP

7

3)( 2 BP

8

5)/( 1 BAP

8

6)/( 2 BAP

19

10

73.

86

74.

85

74.

85

)()/()()/(

)()/()/(

2211

111

BPBAPBPBAP

BPBAPABP

b) Çekilen top sarı ise I. K çekilip II. kutuya konan topun sarı olma olasılığı nedir?

19

9

73.

86

74.

85

73.

86

)()/()()/(

)()/()/(

2211

222

BPBAPBPBAP

BPBAPABP

1)/()/( 12 ABPABP

4K

3S

2K

5S

S

27

Örnek:

Honda Ford Fiat

girdiği yarış 20 15 15

kazandığı yarış 10 5 10

P(H/kazandı)=?

5.7. Bağımsızlık:

Sonuca ilişkin olasılığı diğer olayların sonucundan etkilenmeyen ve onları

etkilemeyen olaylar bağımsızdır.

Bir denemede bir olayın meydana gelmesi veya gelmemesi öbür denemedeki

olayların olasılığını etkilemediğinde veya onlardan etkilenmediğinde bu olaylar

bağımsız olaylardır.

Eğer bir B olayının meydana gelme olasılığı A olayının meydana gelmesinde

hiçbir etki yapmıyor ise B olayı ile A olayı bağımsız iki olaydır denir. Bir başka deyişle

B olayının olasılığı A şartı ile B’nin olasılığına eşitse yani P(B)=P(B/A) ise, B ile A

bağımsız iki olaydır.

)().()()(

)()/()( BPAPBAP

AP

ABPABPBP

dir.

Yada P(A)=P(A/B)

Bu eşitlik , bağımsız iki olayın birlikte meydana gelme gelmesi olasılığının

herbirinin tek başına meydana gelmesi olasılıkları çarpımına eşit olduğunu ifade eder.

Tanım : Eğer )().()( BPAPBAP ise A ile B bağımsız iki olaydır. Aksi halde

iki olay bağımlıdır.

Örnek: Bir para üç defa atıldığında eş olasılıklı bir sonuçlar uzayı oluşmakta idi

TTTYTTTYTTTYTYYYTYYYTYYYS ,,,,,,,

Aşağıdaki olayları göz önüne alırsak:

A= ilk atış yazı YTTYTYYYTYYYA ,,,

B= ikinci atış yazı TYTTYYYYTYYYB ,,,

C= ilk iki atış yazı YYTYYYC ,

28

2

1

8

4)( AP

2

1

8

4)( BP

2

1

8

4)( CP

YYTYYYBA , 4

1

8

2)( BAP

YYTYYYCA , 4

1

8

2)( CAP

YYTYYYCB , 4

1

8

2)( CBP

4

1)( BAP

4

1

2

1.

2

1)().( BPAP A ve B

bağımsız

4

1)( CAP

8

1

4

1.

2

1)().( CPAP A ve C

bağımlı

4

1)( CBP

8

1

4

1.

2

1)().( CPBP B ve C

bağımlı

Örnek: A’nın hedefi vurma olasılığı 1/4, B’nin hedefi vurma olasılığı 2/5 ise A ile

B’nin ateş etmesi halinde hedefin en az bir defa vurulması olasılığı nedir?

Hedefe isabet A ya da B tarafından olacaktır. O halde;

)()()()( BAPBPAPBAP

iki olay bağımsız olduğundan )().()( BPAPBAP olacağından

)().()()()( BPAPBPAPBAP olacaktır.

20

11

5

2.

4

1

5

2

4

1

Not 1: A,B ve C gibi üç olay bağımsız ise

)().().()( CPBPAPCBAP dir.

Not 2 : A,B ve C gibi üç olay ikişer ikişer bağımsız iseler üçünün birden bağımsız

olması beklenemez.

29

Örnek:

A= Birinci atış yazı YY,YT

B= İkinci atış yazı YY,TY ikişer ikişer bağımsız.

)().()( BPAPBAP

C= Yalnız bir yazı YT,TY ancak üçü birden bağımsız değil

0)()( PCBAP 8

1)().().( CPBPAP

Bağımsızlık kuralları:

Bir olaylar setinde A ve B gibi iki olay aşağıdaki koşullar sağlıyorsa bu

olaylar bağımsız olaylardır.

1) BpApBAp .

2) ApBAp /

3) BpABp /

Örnek: Bir çift zar atılışında 1. zarın 1 ve her iki zarın üst yüzleri toplamının 7 gelmesi

olasılığı

A: birincinin 1 gelmesi

B: üst yüzleri toplamının 7 gelmesi

ABpBp

BApAp

/6

1

/6

1

36

1

6

1.

6

1. BpApBAp

İkiden fazla olayın bağımsızlığı söz konusu olursa aynı koşullar geçerlidir. n adet olay

için bir genellemeye gidilirse; örneğin bir deneme birbirinden bağımsız olarak n defa

tekrarlanırsa, başarı olasılığı her tekrar için p varsayıldığına göre

a) En az bir başarı

b) nk başarı

c) n başarı sağlama olasılıkları

a) A : en az bir başarı

A =0 başarıyı göstersin

Başarı olasılığı p, başarısızlık olasılığı q=1-p dir. Olayların bağımsızlığından dolayı, hiç

başarı sağlamama olasılığı

30

nppppAp 11.....1.1

npAp

ApAp

ApAp

11

1

1

b) n bağımsız denemede k tane başarı söz konusu ise n-k tane de başarısızlık söz

konusudur. O halde k başarı p olasılıkla ve n-k başarısızlık 1-p olasılıkla meydana

gelirken bu olaylar k

nC değişik şekilde ortaya çıkar. O halde k başarının olasılığı

knk ppk

nkp

1.. olur.

c) n tane başarının olasılığı da

pppppnp n .......

Örnek

Lokantada bir grup şapkalı insan yemek yedikten sonra şapkalarını kendilerinin mi diye

bakmadan rastgele aldığında

a) hiç birinin kendi şapkasını almamış olma olasılığı nedir?

Kendi şapkasını alma olasılığı kişinin kendi şapkasını almama olasılığı

1 kişinin 1/n 1 kişinin (n-1)/n

2.kişinin (1/n)(1/n) 2 kişinin ((n-1)/n)((n-1)/n)

… …

n kişinin (1/n)n n kişinin ((n-1)/n)n = (1 – 1/n)n

lim(n→∞) (1 - 1/n)n = e-1 dir.

b) en az birinin kendi şapkasını alma olsaılığı

1/n + 1/n2 + … + 1/nn = ∑i=1(1/ni) = Sn – 1 dir

çünkü, Sn = ∑i=0 1/(1 - (1/n)) dir , veya a şıkkındaki cevapda değil

bağlantısını kullanarak

1- (1/e) dir.

31

5.8. Olasılık Fonksiyonları

Tanım : Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer

olarak düşünülürse böyle bir değişkene rasgele değişken adı verilir.

Rasgele bir değişken ile onun alabileceği değerler simgesel olarak farklı

biçimde gösterilir. Değişken X gibi büyük harflerle, onun alabileceği değerler ise x

gibi küçük harflerle gösterilir. Rasgele değişkenler kesikli veya sürekli olabilmektedir.

5.8.1. Kesikli Olasılık Fonksiyonları

Tanım : Bir rasgele değişken yalnızca sayılabilir sayıda değerler alabiliyorsa kesikli

değişkendir.

Örneğin ;

Bir galerinin herhangi bir ayda satmış olduğu otomobil sayısı

Bir para üç defa atıldığında yazı gelme sayısı

Bir ailenin çocuk sayısı

Bir şirketin hesaplarında bulunan hata sayısı

Bilgisayardaki riskli dosya sayısı

Tanım : Bir rasgele değişken belirli bir aralıktaki bütün değerleri alabiliyorsa süreklidir.

Örneğin;

Bir ailenin yıllık geliri

Bir kimyasal madde üretim partisinde kirlilik oranı

Bir kişinin boy uzunluğu

Bir şişe sodanın ağırlığı

Rasgele bir değişkenin olasılık dağılımı, alabileceği değerlere göre olasılıkların

32

Kesikli Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

X; x1,x2,........değerlerini alan kesikli bir şans değişkeni ise x’in olasılık yoğunluk

fonksiyonu:

( ) 1,2,........

( )0 dd

i iP X x X x ip x

Bu fonksiyon olasılığın herhangi bir noktadaki değerini verir. Diğer bir adı olasılık

yoğunluk fonksiyonudur.

Kesikli Olasılık Yoğunluk fonksiyonunun özellikleri::

i) ( ) 0p x

ii) ( ) 1i

i

p x

Kesikli Olasılık Dağılım Fonksiyonu

X, 1 2 ...x x gibi sıralı 1 2,, ...x x değerlerini alabilen kesikli rasgele değişken

olsun. F(x), X in dağılım fonksiyonu ise bu takdirde

1( ) ( ) ( ) ( )i i i if x P X x F x F x dir.

Dağılım fonksiyonu F(x) ve yoğunluk fonksiyonu f(x) biri diğerinden elde

edilebilir.

f(x) biliniyorsa,

)()(...................)()()( 21 ik xfxXPxXPxXPxF

F(x) biliniyorsa,

)(lim)()(

0hxFxFxf i

hi

33

Örnek : Tek zar atılışı için olasılık dağılım ve yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz.

x 1 2 3 4 5 6

f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

F(x) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6

Örnek: çift zar atılışında üst yüzler arasındaki mutlak fark x değişkeni olsun.

X 0 1 2 3 4 5

p(x) 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36

F(x) 6/36 16/36 24/36 30/36 34/36 36/36

2/36

4/36

6/36

8/36

10/36

1 2 3 4 5

f(x)

x0

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

6/36

16/36

24/36

30/36

36/36

34/36

1 2 3 4 5

F(x)

x

Olasılık Dağılım Fonksiyonu

a

a

34

( 2) ( 2) 8 36 yada

( 2) ( 1)

24 36 16 36

8 36

p X f X

F X F X

(2 4) ( 2) ( 3) ( 4)

8 36 6 36 4 36

18 36 yada

( 4) ( 1)

34 36 16 36

18 36

p X f X f X f X

F X F X

36/34)4()4(

36/4)4()4(

FXP

fXP

5.8.2. Sürekli Olasılık Fonksiyonları

Sürekli Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Bazı uygulamalarda rasgele değişken bir aralıkta ya da birden çok aralıkta

her değeri alabilir. Sürekli rasgele değişkenlere karşılık getirilen olasılıklar

problemi, kesikli rasgele değişkenlerde olduğu gibi düşünülemez. Sürekli rasgele

değişken için tanımlanan olasılık yoğunluk fonksiyonu, kesikli şans

değişkenlerdeki olasılık fonksiyonunun oynadığı rolün benzerini oynar.

X, (-,) aralığında tanımlanan sürekli rasgele değişken olsun. Aşağıdaki koşulları

sağlayan f(x) fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

denir.

1. ( ) 0,f x x

2. ( ) 1f x dx

(f(x) eğrisi altında kalan ve x-ekseni ile sınırlanan alan

1’e eşittir.)

35

x in c ile d arasında bulunma olasılığı;

( ) ( ) ( )P c X d f x dx f x

eğrisi, x-ekseni ve x=c, x=d doğruları ile

sınırlanan alandır.

Örnek: x sürekli bir şans değişkeni olsun ve bunun yoğunluk fonksiyonu şu

şekilde tanımlanmış olsun:

10 2

( ) 2

0 .

x xf x

dh

x in 1 ve 1.5 arasında bulunma olasılığı nedir?

1.51.5 1.5

2

11 1

1 1(1 1.5) ( ) 0.3125

2 4p x f x dx xdx x

1

1

( 1) ( ) 0p x f x dx

Sürekli Olasılık Dağılım Fonksiyonu

Tanım aralığı reel sayılar ekseni, değişim aralığı [0,1] olan ve

)()( ii xxPxF ix

eşitliğini sağlayan fonksiyona olasılık dağılım fonksiyonu denir. Dağılım

fonksiyonu artan(azalmayan) bir fonksiyondur.

X,f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli rasgele değişken olsun. X in

dağılım fonksiyonu

( ) ( ) ( )

x

F x P X x f s ds

olarak tanımlanır.

c d

f(x)

x

36

F(x) F(x)

x xx1 x2 x1 x2

X sürekli bir şans değişkeni ise, F(x) fonksiyonu da bütün x değerleri için

süreklidir.

a) F(x) azalmayan bir fonksiyondur. Yani 1 2x x ise 1 2( ) ( )F x F x dir.

b) lim ( ) 0 lim ( ) 1x x

F x ve F x

(Genellikle F(-)=0 ve F(+)=1

yazılır.)

ve a b olmak üzere herhangi a ve b gerçel sayıları için x in a ile b arasında

bulunma olasılığı;

( ) ( ) ( ) ( )

b

a

P a X b F b F a f x dx dir.

X,f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli rasgele değişken olsun. X in

dağılım fonksiyonu

( ) ( ) ( )

x

F x P X x f s ds

olarak tanımlanır.

( ) ( ) ( )P a X b F b F a dir.

0 1

1

F(x)

x

37

Sürekli X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f ve dağılım

fonksiyonu F olsun. Bu takdirde bütün x değerlerinde yoğunluk fonksiyonundan

dağılım fonksiyonuna geçiş :

( ) ( )

x

F x f x dx

Dağılım fonksiyonundan yoğunluk fonksiyonuna geçiş:

( ) ( ( ))d

f x F xdx

Örnek: Yukarıda verilen örnek için yoğunluk fonksiyonundan dağılım

fonksiyonuna ve dağılım fonksiyonundan yoğunluk fonksiyonuna geçişleri

gösteriniz.

21 1 1( ( )) ( ) 2. ( )

4 4 2

d dF x x x x f x

dx dx

2 2

0 0

1 1 1( ) ( 0) ( )

2 4 4

x x

f x dx xdx x x F x

Örnek: Bir önceki örnekte yer alan x sürekli değişkenine ilişkin dağılım

fonksiyonu aşağıda verilmiştir.

210 2

( ) 4

0 .

x xF x

dh

x in 1 ve 1.5 arasında bulunma

olasılığı nedir?

2 21 1 5(1 1.5) (1.5) (1) (1.5) (1)

4 4 16P X F F

Görüldüğü gibi yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonu sonuçları ilgili olasılık

için her zaman aynı sonucu verir.

38

Sürekli X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) ve dağılım

fonksiyonu F(x) olsun. Bu takdirde bütün x değerlerinde yoğunluk fonksiyonundan

dağılım fonksiyonuna geçiş

f(x) biliniyorsa

( ) ( )

x

F x f x dx

Dağılım fonksiyonundan yoğunluk fonksiyonuna geçiş:

F(X) biliniyorsa

( ) ( ( ))d

f x F xdx

şeklinde gerçekleştirilebilir.

Dağılış fonsiyonu kullanılarak olasılık hesaplama ise aşağıdaki gibi yapılır.

ve a b olmak üzere herhangi a ve b gerçel sayıları için

( ) ( ) ( )P a X b F b F a dir.

X, 1 2 ...x x gibi sıralı 1 2,, ...x x değerlerini alabilen kesikli rasgele değişken

olsun. F(x), X in dağılım fonksiyonu ise bu takdirde 1 1( ) ( )f x F x ve

1( ) ( ) ( ) ( )i i i if x P X x F x F x dir.

5.9. Beklenen Değer (Expected Value)

Aritmetik ortalamanın olasılık fonksiyonu üzerindeki değeridir. x şans

değişkeninin, olasılık dağılışı xp , beklenen değeri xE olsun x bir değişken

olsun.

X kesikli şans değişkeninin beklenen değeri;

x

xpxxE . şeklinde tanımlanır.

x sürekli şans değişkeninin beklenen değeri;

( ) . ( )R

E x x f x dx şeklinde tanımlanır.

39

Örnek: Bir tek zar atılışında x değişkeni zarın üst yüzündeki sayıları gösterirse,

x 1 2 3 4 5 6

P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

xpx. 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6

x

xpxxE 5,36

21. şeklinde elde edilir.

Yorumu: Değişkenin limn

durumunda alacağı değeri gösterir.

Örnek: Belli bir oyun tekrar tekrar oynandığı zaman olanaklı n sayıda meydana

gelebilecek sonuçların olasılıkları

i

in pppp 1,...,, 21 olsun ve karşılıklı

olarak sonuçlara ödenecek tutarlar nGGG ,...,, 21 ise bu oyunun beklenen değeri

veya oyunun sayısı defa tekrarlandığında beklenen iG değeri;

n

i

iinni GpGpGpGpGE1

2211 ....... dir.

Böyle bir oyuna örnek olması açısından; kazanma şansı 3/4 olan bir oyunda,

oyuncu kazandığında 1 lira alır ve kaybettiğinde 3 lira verirse,

Oyunun beklenen değeri;

2211 .. GpGpGE i

= 03.4

11.

4

3 lira

Gerçektende her oyuncu açısından adil bir bahis veya beklenen değeri 0 olarak

tanımlanabilir.

Beklenen değerin özellikleri:

c sabit sayı ve x şans değişkeni ise;

i) xEcxcE ..

ii) ccE

iii) xEcxEcxcxcE .... 2121

= xEcc .21

40

iv) Eğer ix ve jx birbirinden bağımsız ise

jiji xExExxE .).( ji dir.

5.10. Varyans

X şans değişkeninin olasılık dağılışı p(x) ve X kesikli bir değişken ise, X

değişkeninin varyansı

Var(x) = E[(x-µ)2] = E[{x – E(x)}2] = E(x2) – [E(x)]2

Burada E(x) = Σ x P(x)

ve E(x2) = Σ x2 P(x) dir.

x sürekli değişken ise x’in varyansı

2 2 2

2 2

var( ) ( ) ( ) ( ) ( )

var( ) ( ) [ ( )]

R

x x f x dx E x x f x dx

x E x E x

Örnek : Bir tek zar atılışında X değişkeni zarın üst yüzündeki sayıları

göstersin. X’in varyansı aşağıdaki gibi bulunur.

x 1 2 3 4 5 6

2x 1 4 9 16 25 36

( )p x 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

2 ( )x p x 1/6 4/6 9/6 16/6 25/6 36/6

2

2

1 4 9 16 25 36 91( )

6 6 16 6 6 6 6

91 21( ) 15.16 12.25 2.91

6 6

E x

Var x

Varyansın Özellikleri :

c : bir sabit

(x ve y bağımsız ise)

Standart Sapma : Varyansın kareköküdür.