Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1)...
Transcript of Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1)...
![Page 1: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/1.jpg)
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. БауманаФакультет “Фундаментальные науки”
Кафедра “Высшая математика”
Математический анализМодуль 1. Элементарные функции
и пределы числовых последовательностей
Лекция 1.2
к.ф.-м.н. Семакин А.Н.
![Page 2: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/2.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Рассмотрим бесконечную последовательностьотрезков [a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn], ...
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 2 / 29
![Page 3: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/3.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Рассмотрим бесконечную последовательностьотрезков [a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn], ...
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 2 / 29
![Page 4: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/4.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Рассмотрим бесконечную последовательностьотрезков [a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn], ...
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 2 / 29
![Page 5: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/5.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Рассмотрим бесконечную последовательностьотрезков [a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn], ...
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 2 / 29
![Page 6: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/6.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Рассмотрим бесконечную последовательностьотрезков [a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn], ...
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 2 / 29
![Page 7: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/7.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Рассмотрим бесконечную последовательностьотрезков [a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn], ...
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 2 / 29
![Page 8: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/8.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Рассмотрим бесконечную последовательностьотрезков [a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn], ...
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 2 / 29
![Page 9: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/9.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Рассмотрим бесконечную последовательностьотрезков [a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn], ...
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 2 / 29
![Page 10: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/10.jpg)
Принцип вложенных отрезков
ОпределениеСистема отрезков [a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn], ...называется системой вложенныхотрезков, еслиa1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 3 / 29
![Page 11: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/11.jpg)
Принцип вложенных отрезков
ОпределениеГоворят, что длина вложенных отрезковстремится к нулю, если∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε): |bn − an| < ε.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 4 / 29
![Page 12: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/12.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Расшифровка математических символов:
∀ε > 0 - для любого положительного ε∃n(ε) ∈ N - существует натуральное число n,зависящее от ε, такое что∀n > n(ε) - для любого натурального числа n,превосходящего n(ε)
: - выполняется|bn − an| < ε - модуль разности bn и anменьше ε.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 5 / 29
![Page 13: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/13.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Расшифровка математических символов:∀ε > 0 - для любого положительного ε
∃n(ε) ∈ N - существует натуральное число n,зависящее от ε, такое что∀n > n(ε) - для любого натурального числа n,превосходящего n(ε)
: - выполняется|bn − an| < ε - модуль разности bn и anменьше ε.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 5 / 29
![Page 14: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/14.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Расшифровка математических символов:∀ε > 0 - для любого положительного ε∃n(ε) ∈ N - существует натуральное число n,зависящее от ε, такое что
∀n > n(ε) - для любого натурального числа n,превосходящего n(ε)
: - выполняется|bn − an| < ε - модуль разности bn и anменьше ε.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 5 / 29
![Page 15: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/15.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Расшифровка математических символов:∀ε > 0 - для любого положительного ε∃n(ε) ∈ N - существует натуральное число n,зависящее от ε, такое что∀n > n(ε) - для любого натурального числа n,превосходящего n(ε)
: - выполняется|bn − an| < ε - модуль разности bn и anменьше ε.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 5 / 29
![Page 16: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/16.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Расшифровка математических символов:∀ε > 0 - для любого положительного ε∃n(ε) ∈ N - существует натуральное число n,зависящее от ε, такое что∀n > n(ε) - для любого натурального числа n,превосходящего n(ε)
: - выполняется
|bn − an| < ε - модуль разности bn и anменьше ε.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 5 / 29
![Page 17: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/17.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Расшифровка математических символов:∀ε > 0 - для любого положительного ε∃n(ε) ∈ N - существует натуральное число n,зависящее от ε, такое что∀n > n(ε) - для любого натурального числа n,превосходящего n(ε)
: - выполняется|bn − an| < ε - модуль разности bn и anменьше ε.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 5 / 29
![Page 18: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/18.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Теорема (принцип вложенных отрезков)
Для всякой системы вложенных отрезков[an, bn], n = 1, 2, ... с длинами, стремящимисяк нулю, существует единственная точка d ,которая принадлежит всем отрезкам системы,причем d = sup{an} = inf {bn}.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 6 / 29
![Page 19: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/19.jpg)
Принцип вложенных отрезков
Теорема (принцип вложенных отрезков)Для всякой системы вложенных отрезков[an, bn], n = 1, 2, ... с длинами, стремящимисяк нулю, существует единственная точка d ,которая принадлежит всем отрезкам системы,причем d = sup{an} = inf {bn}.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 6 / 29
![Page 20: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/20.jpg)
Числовая функция
ОпределениеЧисловая функция - это правило,ставящее в соответствие каждому элементунекоторого числового множества X некотороечисло из множества действительных чиселОбозначение: y = f (x)
x - независимая переменнаяy - зависимая переменнаяX = D(f ) - область определения
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 7 / 29
![Page 21: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/21.jpg)
Числовая функция
ОпределениеЧисловая функция - это правило,ставящее в соответствие каждому элементунекоторого числового множества X некотороечисло из множества действительных чисел
Обозначение: y = f (x)
x - независимая переменнаяy - зависимая переменнаяX = D(f ) - область определения
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 7 / 29
![Page 22: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/22.jpg)
Числовая функция
ОпределениеЧисловая функция - это правило,ставящее в соответствие каждому элементунекоторого числового множества X некотороечисло из множества действительных чиселОбозначение: y = f (x)
x - независимая переменнаяy - зависимая переменнаяX = D(f ) - область определения
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 7 / 29
![Page 23: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/23.jpg)
Числовая функция
ОпределениеЧисловая функция - это правило,ставящее в соответствие каждому элементунекоторого числового множества X некотороечисло из множества действительных чиселОбозначение: y = f (x)
x - независимая переменная
y - зависимая переменнаяX = D(f ) - область определения
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 7 / 29
![Page 24: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/24.jpg)
Числовая функция
ОпределениеЧисловая функция - это правило,ставящее в соответствие каждому элементунекоторого числового множества X некотороечисло из множества действительных чиселОбозначение: y = f (x)
x - независимая переменнаяy - зависимая переменная
X = D(f ) - область определения
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 7 / 29
![Page 25: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/25.jpg)
Числовая функция
ОпределениеЧисловая функция - это правило,ставящее в соответствие каждому элементунекоторого числового множества X некотороечисло из множества действительных чиселОбозначение: y = f (x)
x - независимая переменнаяy - зависимая переменнаяX = D(f ) - область определения
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 7 / 29
![Page 26: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/26.jpg)
Числовая функция
ОпределениеГрафиком функции y = f (x) называетсямножество точек (x , f (x)), где x ∈ X .
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 8 / 29
![Page 27: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/27.jpg)
Числовая функция
ОпределениеПусть дана функция y = f (x). Функция,ставящая в соответствие каждому числу y
соответствующее значение x , называетсяфункцией, обратной данной, илиобратной функцией.
Обозначение: x = f −1(y)
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 9 / 29
![Page 28: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/28.jpg)
Числовая функция
ОпределениеПусть дана функция y = f (x). Функция,ставящая в соответствие каждому числу y
соответствующее значение x , называетсяфункцией, обратной данной, илиобратной функцией.Обозначение: x = f −1(y)
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 9 / 29
![Page 29: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/29.jpg)
Числовая функция
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 10 / 29
![Page 30: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/30.jpg)
Числовая функция
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 10 / 29
![Page 31: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/31.jpg)
Числовая функция
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 10 / 29
![Page 32: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/32.jpg)
Числовая функция
ОпределениеПусть даны функции y = f (x) и z = g(y).Функция z = g(f (x)) называется сложнойфункцией или композицией функцийили суперпозицией функций f и g .
Обозначение: (g ◦ f )(x) = g(f (x))
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 11 / 29
![Page 33: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/33.jpg)
Числовая функция
ОпределениеПусть даны функции y = f (x) и z = g(y).Функция z = g(f (x)) называется сложнойфункцией или композицией функцийили суперпозицией функций f и g .Обозначение: (g ◦ f )(x) = g(f (x))
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 11 / 29
![Page 34: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/34.jpg)
Числовая функция
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 12 / 29
![Page 35: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/35.jpg)
Числовая функция
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 12 / 29
![Page 36: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/36.jpg)
Числовая функция
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 12 / 29
![Page 37: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/37.jpg)
Числовая функция
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 12 / 29
![Page 38: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/38.jpg)
Элементарные функции
К основным элементарным функциямотносятся:1) y = xα - степенная функция2) y = ax , a > 0, a 6= 1 - показательнаяфункция3) y = loga x , a > 0, a 6= 1 - логарифмическаяфункция
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 13 / 29
![Page 39: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/39.jpg)
Элементарные функции
К основным элементарным функциямотносятся:
1) y = xα - степенная функция2) y = ax , a > 0, a 6= 1 - показательнаяфункция3) y = loga x , a > 0, a 6= 1 - логарифмическаяфункция
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 13 / 29
![Page 40: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/40.jpg)
Элементарные функции
К основным элементарным функциямотносятся:1) y = xα - степенная функция
2) y = ax , a > 0, a 6= 1 - показательнаяфункция3) y = loga x , a > 0, a 6= 1 - логарифмическаяфункция
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 13 / 29
![Page 41: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/41.jpg)
Элементарные функции
К основным элементарным функциямотносятся:1) y = xα - степенная функция2) y = ax , a > 0, a 6= 1 - показательнаяфункция
3) y = loga x , a > 0, a 6= 1 - логарифмическаяфункция
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 13 / 29
![Page 42: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/42.jpg)
Элементарные функции
К основным элементарным функциямотносятся:1) y = xα - степенная функция2) y = ax , a > 0, a 6= 1 - показательнаяфункция3) y = loga x , a > 0, a 6= 1 - логарифмическаяфункция
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 13 / 29
![Page 43: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/43.jpg)
Элементарные функции
К основным элементарным функциямотносятся:4) y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x -тригонометрические функции
5) y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x ,y = arcctg x - обратные тригонометрическиефункции
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 14 / 29
![Page 44: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/44.jpg)
Элементарные функции
К основным элементарным функциямотносятся:4) y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x -тригонометрические функции5) y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x ,y = arcctg x - обратные тригонометрическиефункции
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 14 / 29
![Page 45: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/45.jpg)
Элементарные функции
ОпределениеФункция называется элементарной, еслиона задана с помощью формулы, содержащейконечное число арифметических операций исуперпозиций основных элементарныхфункций.
Примеры: y = 2x2 + 3x + 5,y = sin(2x),y = tg
√x3 + x2.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 15 / 29
![Page 46: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/46.jpg)
Элементарные функции
ОпределениеФункция называется элементарной, еслиона задана с помощью формулы, содержащейконечное число арифметических операций исуперпозиций основных элементарныхфункций.Примеры: y = 2x2 + 3x + 5,
y = sin(2x),y = tg
√x3 + x2.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 15 / 29
![Page 47: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/47.jpg)
Элементарные функции
Пример функции, которая не являетсяэлементарной:
y =
{x , x ≤ 0,
sin x , x > 0.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 16 / 29
![Page 48: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/48.jpg)
Элементарные функции
Классификация элементарных функций
1) многочлен (полином)Pn(x) = anx
n + an−1xn−1 + ... + a1x + a0
2) рациональная функция(дробно-рациональная функция)y = Pn(x)
Qm(x), где Pn(x) и Qm(x) - полиномы
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 17 / 29
![Page 49: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/49.jpg)
Элементарные функции
Классификация элементарных функций1) многочлен (полином)
Pn(x) = anxn + an−1x
n−1 + ... + a1x + a02) рациональная функция(дробно-рациональная функция)y = Pn(x)
Qm(x), где Pn(x) и Qm(x) - полиномы
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 17 / 29
![Page 50: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/50.jpg)
Элементарные функции
Классификация элементарных функций1) многочлен (полином)Pn(x) = anx
n + an−1xn−1 + ... + a1x + a0
2) рациональная функция(дробно-рациональная функция)y = Pn(x)
Qm(x), где Pn(x) и Qm(x) - полиномы
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 17 / 29
![Page 51: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/51.jpg)
Элементарные функции
Классификация элементарных функций1) многочлен (полином)Pn(x) = anx
n + an−1xn−1 + ... + a1x + a0
2) рациональная функция(дробно-рациональная функция)
y = Pn(x)Qm(x)
, где Pn(x) и Qm(x) - полиномы
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 17 / 29
![Page 52: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/52.jpg)
Элементарные функции
Классификация элементарных функций1) многочлен (полином)Pn(x) = anx
n + an−1xn−1 + ... + a1x + a0
2) рациональная функция(дробно-рациональная функция)y = Pn(x)
Qm(x), где Pn(x) и Qm(x) - полиномы
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 17 / 29
![Page 53: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/53.jpg)
Элементарные функции
Классификация элементарных функций3) иррациональная функция
- это функция,содержащая иррациональностиy = x + 3
√x .
4) трансцендентная функция - это функция,содержащая тригонометрические, обратныетригонометрические, показательные илогарифмические функции.y = x + sin x +
√x
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 18 / 29
![Page 54: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/54.jpg)
Элементарные функции
Классификация элементарных функций3) иррациональная функция - это функция,содержащая иррациональности
y = x + 3√x .
4) трансцендентная функция - это функция,содержащая тригонометрические, обратныетригонометрические, показательные илогарифмические функции.y = x + sin x +
√x
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 18 / 29
![Page 55: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/55.jpg)
Элементарные функции
Классификация элементарных функций3) иррациональная функция - это функция,содержащая иррациональностиy = x + 3
√x .
4) трансцендентная функция - это функция,содержащая тригонометрические, обратныетригонометрические, показательные илогарифмические функции.y = x + sin x +
√x
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 18 / 29
![Page 56: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/56.jpg)
Элементарные функции
Классификация элементарных функций3) иррациональная функция - это функция,содержащая иррациональностиy = x + 3
√x .
4) трансцендентная функция
- это функция,содержащая тригонометрические, обратныетригонометрические, показательные илогарифмические функции.y = x + sin x +
√x
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 18 / 29
![Page 57: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/57.jpg)
Элементарные функции
Классификация элементарных функций3) иррациональная функция - это функция,содержащая иррациональностиy = x + 3
√x .
4) трансцендентная функция - это функция,содержащая тригонометрические, обратныетригонометрические, показательные илогарифмические функции.
y = x + sin x +√x
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 18 / 29
![Page 58: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/58.jpg)
Элементарные функции
Классификация элементарных функций3) иррациональная функция - это функция,содержащая иррациональностиy = x + 3
√x .
4) трансцендентная функция - это функция,содержащая тригонометрические, обратныетригонометрические, показательные илогарифмические функции.y = x + sin x +
√x
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 18 / 29
![Page 59: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/59.jpg)
Числовая последовательность
ОпределениеПусть каждому натуральному числу n постав-лено в соответствие действительное число an.Совокупность чисел a1, a2, ..., an, ... называетсячисловой последовательностью.Обозначение: {an} - числовая последователь-ность с общим членом an.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 19 / 29
![Page 60: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/60.jpg)
Числовая последовательность
ОпределениеПусть каждому натуральному числу n постав-лено в соответствие действительное число an.Совокупность чисел a1, a2, ..., an, ... называетсячисловой последовательностью.
Обозначение: {an} - числовая последователь-ность с общим членом an.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 19 / 29
![Page 61: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/61.jpg)
Числовая последовательность
ОпределениеПусть каждому натуральному числу n постав-лено в соответствие действительное число an.Совокупность чисел a1, a2, ..., an, ... называетсячисловой последовательностью.Обозначение: {an}
- числовая последователь-ность с общим членом an.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 19 / 29
![Page 62: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/62.jpg)
Числовая последовательность
ОпределениеПусть каждому натуральному числу n постав-лено в соответствие действительное число an.Совокупность чисел a1, a2, ..., an, ... называетсячисловой последовательностью.Обозначение: {an} - числовая последователь-ность с общим членом an.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 19 / 29
![Page 63: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/63.jpg)
Числовая последовательность
ОпределениеЧисло an называется n-ым членомпоследовательности и задается формулойan = f (n).
Примеры: an = 1/2n, an = (−1)n · n3.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 20 / 29
![Page 64: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/64.jpg)
Числовая последовательность
ОпределениеЧисло an называется n-ым членомпоследовательности и задается формулойan = f (n).Примеры: an = 1/2n, an = (−1)n · n3.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 20 / 29
![Page 65: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/65.jpg)
Числовая последовательность
Экономический пример:
Допустим, мыоткрываем в банке вклад на 10 тыс. руб. под10% годовых с капитализацией процентов ипериодом капитализации 1 год. Тогдавеличина вклада по годам будет представлятьсобой числовую последовательность a1 = 10,a2 = 10 · 1, 1, a3 = 10 · 1, 12,...,an = 10 · 1, 1n−1,..., где an - размер вклада в течение n-ого года.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 21 / 29
![Page 66: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/66.jpg)
Числовая последовательность
Экономический пример: Допустим, мыоткрываем в банке вклад на 10 тыс. руб. под10% годовых с капитализацией процентов ипериодом капитализации 1 год.
Тогдавеличина вклада по годам будет представлятьсобой числовую последовательность a1 = 10,a2 = 10 · 1, 1, a3 = 10 · 1, 12,...,an = 10 · 1, 1n−1,..., где an - размер вклада в течение n-ого года.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 21 / 29
![Page 67: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/67.jpg)
Числовая последовательность
Экономический пример: Допустим, мыоткрываем в банке вклад на 10 тыс. руб. под10% годовых с капитализацией процентов ипериодом капитализации 1 год. Тогдавеличина вклада по годам будет представлятьсобой числовую последовательность a1 = 10,a2 = 10 · 1, 1, a3 = 10 · 1, 12,...,an = 10 · 1, 1n−1,..., где an - размер вклада в течение n-ого года.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 21 / 29
![Page 68: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/68.jpg)
Числовая последовательность
ОпределениеЧисло a называется пределом последова-тельности {an}, если∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε): |an − a| < ε.
Обозначение: limn→∞
an = a.Здесь a - конечное число, т.е. a 6= ±∞. Поэто-му определенный таким образом предел частоназывают конечным пределом.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 22 / 29
![Page 69: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/69.jpg)
Числовая последовательность
ОпределениеЧисло a называется пределом последова-тельности {an}, если∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε): |an − a| < ε.Обозначение: lim
n→∞an = a.
Здесь a - конечное число, т.е. a 6= ±∞. Поэто-му определенный таким образом предел частоназывают конечным пределом.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 22 / 29
![Page 70: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/70.jpg)
Числовая последовательность
ОпределениеЧисло a называется пределом последова-тельности {an}, если∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε): |an − a| < ε.Обозначение: lim
n→∞an = a.
Здесь a - конечное число, т.е. a 6= ±∞. Поэто-му определенный таким образом предел частоназывают конечным пределом.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 22 / 29
![Page 71: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/71.jpg)
Числовая последовательность
Геометрическая интерпретация предела:
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 23 / 29
![Page 72: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/72.jpg)
Числовая последовательность
Геометрическая интерпретация предела:
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 23 / 29
![Page 73: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/73.jpg)
Числовая последовательность
Геометрическая интерпретация предела:
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 23 / 29
![Page 74: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/74.jpg)
Числовая последовательность
Геометрическая интерпретация предела:
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 23 / 29
![Page 75: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/75.jpg)
Числовая последовательность
Геометрическая интерпретация предела:
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 23 / 29
![Page 76: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/76.jpg)
Числовая последовательность
Геометрическая интерпретация предела:
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 23 / 29
![Page 77: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/77.jpg)
Числовая последовательность
Геометрическая интерпретация предела:
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 23 / 29
![Page 78: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/78.jpg)
Числовая последовательность
Геометрическая интерпретация предела:
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 23 / 29
![Page 79: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/79.jpg)
Числовая последовательность
Геометрическая интерпретация предела:
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 23 / 29
![Page 80: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/80.jpg)
Числовая последовательность
Геометрическая интерпретация предела:
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 23 / 29
![Page 81: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/81.jpg)
Числовая последовательность
Геометрическая интерпретация предела:
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 23 / 29
![Page 82: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/82.jpg)
Числовая последовательность
Геометрическая интерпретация предела:
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 23 / 29
![Page 83: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/83.jpg)
Числовая последовательность
Геометрическая интерпретация предела:
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 23 / 29
![Page 84: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/84.jpg)
Числовая последовательность
ОпределениеЕсли последовательность имеет конечныйпредел, то она называется сходящейся. Впротивном случае она называетсярасходящейся.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 24 / 29
![Page 85: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/85.jpg)
Числовая последовательность
Арифметические свойства конечныхпределов*
Пусть limn→∞
xn = a и limn→∞
yn = b. Тогда
1) limn→∞
(xn + yn) = a + b
2) limn→∞
(xn − yn) = a − b
3) limn→∞
(xn · yn) = a · b4) lim
n→∞(xn/yn) = a/b, если b 6= 0.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 25 / 29
![Page 86: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/86.jpg)
Числовая последовательность
Арифметические свойства конечныхпределов*Пусть lim
n→∞xn = a и lim
n→∞yn = b. Тогда
1) limn→∞
(xn + yn) = a + b
2) limn→∞
(xn − yn) = a − b
3) limn→∞
(xn · yn) = a · b4) lim
n→∞(xn/yn) = a/b, если b 6= 0.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 25 / 29
![Page 87: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/87.jpg)
Числовая последовательность
Арифметические свойства конечныхпределов*Пусть lim
n→∞xn = a и lim
n→∞yn = b. Тогда
1) limn→∞
(xn + yn) = a + b
2) limn→∞
(xn − yn) = a − b
3) limn→∞
(xn · yn) = a · b4) lim
n→∞(xn/yn) = a/b, если b 6= 0.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 25 / 29
![Page 88: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/88.jpg)
Числовая последовательность
Арифметические свойства конечныхпределов*Пусть lim
n→∞xn = a и lim
n→∞yn = b. Тогда
1) limn→∞
(xn + yn) = a + b
2) limn→∞
(xn − yn) = a − b
3) limn→∞
(xn · yn) = a · b4) lim
n→∞(xn/yn) = a/b, если b 6= 0.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 25 / 29
![Page 89: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/89.jpg)
Числовая последовательность
Арифметические свойства конечныхпределов*Пусть lim
n→∞xn = a и lim
n→∞yn = b. Тогда
1) limn→∞
(xn + yn) = a + b
2) limn→∞
(xn − yn) = a − b
3) limn→∞
(xn · yn) = a · b
4) limn→∞
(xn/yn) = a/b, если b 6= 0.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 25 / 29
![Page 90: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/90.jpg)
Числовая последовательность
Арифметические свойства конечныхпределов*Пусть lim
n→∞xn = a и lim
n→∞yn = b. Тогда
1) limn→∞
(xn + yn) = a + b
2) limn→∞
(xn − yn) = a − b
3) limn→∞
(xn · yn) = a · b4) lim
n→∞(xn/yn) = a/b, если b 6= 0.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 25 / 29
![Page 91: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/91.jpg)
Числовая последовательность
Доказательство свойства 1
Дано: limn→∞
xn = a (1)
limn→∞
yn = b (2)
Доказать: limn→∞
(xn + yn) = a + b (3)
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 26 / 29
![Page 92: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/92.jpg)
Числовая последовательность
Доказательство свойства 1Дано:
limn→∞
xn = a (1)
limn→∞
yn = b (2)
Доказать: limn→∞
(xn + yn) = a + b (3)
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 26 / 29
![Page 93: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/93.jpg)
Числовая последовательность
Доказательство свойства 1Дано: lim
n→∞xn = a (1)
limn→∞
yn = b (2)
Доказать: limn→∞
(xn + yn) = a + b (3)
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 26 / 29
![Page 94: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/94.jpg)
Числовая последовательность
Доказательство свойства 1Дано: lim
n→∞xn = a (1)
limn→∞
yn = b (2)
Доказать: limn→∞
(xn + yn) = a + b (3)
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 26 / 29
![Page 95: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/95.jpg)
Числовая последовательность
Доказательство свойства 1Дано: lim
n→∞xn = a (1)
limn→∞
yn = b (2)
Доказать:
limn→∞
(xn + yn) = a + b (3)
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 26 / 29
![Page 96: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/96.jpg)
Числовая последовательность
Доказательство свойства 1Дано: lim
n→∞xn = a (1)
limn→∞
yn = b (2)
Доказать: limn→∞
(xn + yn) = a + b (3)
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 26 / 29
![Page 97: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/97.jpg)
Числовая последовательность
Последовательность {xn + yn} имеет пределa + b, если согласно определению пределачисловой последовательности
∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε):|xn + yn − a − b| < ε. (4)Значит, нам надо найти n(ε), при которомвыполняется неравенство (4).
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 27 / 29
![Page 98: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/98.jpg)
Числовая последовательность
Последовательность {xn + yn} имеет пределa + b, если согласно определению пределачисловой последовательности∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε):
|xn + yn − a − b| < ε. (4)Значит, нам надо найти n(ε), при которомвыполняется неравенство (4).
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 27 / 29
![Page 99: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/99.jpg)
Числовая последовательность
Последовательность {xn + yn} имеет пределa + b, если согласно определению пределачисловой последовательности∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε):|xn + yn − a − b| < ε.
(4)Значит, нам надо найти n(ε), при которомвыполняется неравенство (4).
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 27 / 29
![Page 100: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/100.jpg)
Числовая последовательность
Последовательность {xn + yn} имеет пределa + b, если согласно определению пределачисловой последовательности∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε):|xn + yn − a − b| < ε. (4)
Значит, нам надо найти n(ε), при которомвыполняется неравенство (4).
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 27 / 29
![Page 101: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/101.jpg)
Числовая последовательность
Последовательность {xn + yn} имеет пределa + b, если согласно определению пределачисловой последовательности∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n > n(ε):|xn + yn − a − b| < ε. (4)Значит, нам надо найти n(ε), при которомвыполняется неравенство (4).
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 27 / 29
![Page 102: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/102.jpg)
Числовая последовательность
(1) ⇒
∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):|xn − a| < ε/2.(2) ⇒∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):|yn − b| < ε/2.Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 28 / 29
![Page 103: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/103.jpg)
Числовая последовательность
(1) ⇒∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):
|xn − a| < ε/2.(2) ⇒∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):|yn − b| < ε/2.Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 28 / 29
![Page 104: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/104.jpg)
Числовая последовательность
(1) ⇒∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):|xn − a| < ε/2.
(2) ⇒∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):|yn − b| < ε/2.Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 28 / 29
![Page 105: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/105.jpg)
Числовая последовательность
(1) ⇒∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):|xn − a| < ε/2.(2) ⇒
∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):|yn − b| < ε/2.Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 28 / 29
![Page 106: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/106.jpg)
Числовая последовательность
(1) ⇒∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):|xn − a| < ε/2.(2) ⇒∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):
|yn − b| < ε/2.Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 28 / 29
![Page 107: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/107.jpg)
Числовая последовательность
(1) ⇒∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):|xn − a| < ε/2.(2) ⇒∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):|yn − b| < ε/2.
Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 28 / 29
![Page 108: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/108.jpg)
Числовая последовательность
(1) ⇒∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):|xn − a| < ε/2.(2) ⇒∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):|yn − b| < ε/2.Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)
Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 28 / 29
![Page 109: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/109.jpg)
Числовая последовательность
(1) ⇒∀ε > 0 ∃n1(ε) ∈ N ∀n > n1(ε):|xn − a| < ε/2.(2) ⇒∀ε > 0 ∃n2(ε) ∈ N ∀n > n2(ε):|yn − b| < ε/2.Пусть n(ε) = max{n1(ε), n2(ε)}. (5)Тогда ∀n > n(ε) будут одновременновыполняться неравенства |xn − a| < ε/2 и|yn − b| < ε/2.
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 28 / 29
![Page 110: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/110.jpg)
Числовая последовательность
Следовательно,
|xn + yn − a − b| = |xn − a + yn − b| ≤≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε.Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться, а значит, справедливаформула (3). �
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 29 / 29
![Page 111: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/111.jpg)
Числовая последовательность
Следовательно,|xn + yn − a − b| =
|xn − a + yn − b| ≤≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε.Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться, а значит, справедливаформула (3). �
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 29 / 29
![Page 112: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/112.jpg)
Числовая последовательность
Следовательно,|xn + yn − a − b| = |xn − a + yn − b|
≤≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε.Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться, а значит, справедливаформула (3). �
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 29 / 29
![Page 113: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/113.jpg)
Числовая последовательность
Следовательно,|xn + yn − a − b| = |xn − a + yn − b| ≤≤ |xn − a| + |yn − b|
< ε/2 + ε/2 = ε.Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться, а значит, справедливаформула (3). �
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 29 / 29
![Page 114: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/114.jpg)
Числовая последовательность
Следовательно,|xn + yn − a − b| = |xn − a + yn − b| ≤≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2
= ε.Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться, а значит, справедливаформула (3). �
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 29 / 29
![Page 115: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/115.jpg)
Числовая последовательность
Следовательно,|xn + yn − a − b| = |xn − a + yn − b| ≤≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε.
Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться, а значит, справедливаформула (3). �
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 29 / 29
![Page 116: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/116.jpg)
Числовая последовательность
Следовательно,|xn + yn − a − b| = |xn − a + yn − b| ≤≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε.Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться,
а значит, справедливаформула (3). �
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 29 / 29
![Page 117: Модуль 1. Элементарные функции и пределы ... · 2018-08-30 · 1) y = x - степенная функция 2) y = ax;a >0;a 6= 1 - показательная](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050513/5f9dc7ea45617e5fa347cf9f/html5/thumbnails/117.jpg)
Числовая последовательность
Следовательно,|xn + yn − a − b| = |xn − a + yn − b| ≤≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε.Это означает, что при задании n(ε) поформуле (5) неравенство (4) будетвыполняться, а значит, справедливаформула (3). �
МА, Модуль 1, Лекция 1.2 29 / 29