國 立 交 通 大 學

理學院碩士在職專班網路學習組

碩士論文

自然科學中的數學概念

Mathematical concept in natural science

研究生李金航

指導教授陳永富教授

中華民國九十八年六月

i

自然科學中的數學概念

研究生李金航 指導教授陳永富教授

國立交通大學理學院碩士在職專班

網路學習組

摘要

我們利用自然科學中一些週期性運動及雙螺旋排列的現象比較不同情況下

軌跡的特性利用不同參數的彈子球檯及李賽羅圖形探索有理數無理數同餘

及完全剩餘系的關係並利用雙螺旋圖形研究輾轉相除法漸近分數與黃金比例

的概念透過自然科學系統的視覺化呈現我們希望學習者可以更欣賞並學習更

進一步的自然科學與數學

ii

Mathematical concept in the natural science

Student Chin Hang Li Advisor Yung-Fu Chen

ABSTRACT

We use some natural phenomenon as the periodic motion and the

dual-spiral phyllotaxis picture to contrast the different behavior of

their curve Explore rational irrational number Residues and complete

residue system by the billiards and the lissajous pictures with different

value of parameter Use the dual-spiral graphs to study the relation

between the approximating fractions and the golden number Through

visualizing the character of natural system we wish students can better

appreciate the distinction and come to gain more sophisticated intuitions

about natural science and mathematics

誌謝

首先要感謝陳永富老師的指導為我開啟了一扇窗讓我見識到科學之美

還有專班許多老師明璋老師的教導讓我在職場上的專業知能有大幅的增進

還要感謝實驗室中那麼多的學長姐及夥伴梁興弛學長給了我許多協助並解決我

許多學習上的問題陸亭樺學姐陳建誠及老大也幫了很多的忙周鴻案則教了

我這小老弟許多人生的啟發

最後要感謝我的父母明軒及惠雯感謝你們在我分身乏術的時侯給予我的

支持感謝明軒一年多來晚上不吵不鬧的配合還有惠雯幫我打理日常生活的大

小事物讓我得以全力以赴我愛你

謝謝大家

iv

目錄

中文摘要 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip i

英文摘要 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip ii

誌謝 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip iii

目錄 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip iv

圖表目錄 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip v

第一章 簡介helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

11 研究動機helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

12 論文架構helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

第二章 數學的基本概念helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

21 何謂曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

22 從同餘出發helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10

23 完全剩餘系的性質helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11

24 尤拉函數的引入helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12

25 有理數與無理數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14

251 無理數的特性helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

252 連分數與輾轉相除法helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16

253 黃金比例與無理數逼近helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17

第三章 週期性軌道的曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20

31 古典粒子的二維週期性運動helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20

311 方形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25

32 二維封閉波動系統的束縛態helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34

321 本徵態與軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34

322 波的干涉helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 39

323 對應於彈子球檯的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 46

324 對應於李賽羅圖形的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 52

第四章 開放式彈子球檯與漸近分數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59

41 圓式彈子球檯內的古典粒子helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59

42 開放式彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64

第五章 結論與展望helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 74

參考文獻 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75

v

圖表目錄

圖 211 直角座標系上的直線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5

圖 212 圓錐曲線與截平面helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7

圖 214 直角座標系上的圓helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8

圖 215 圓與 sin 函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9

圖 251 葉原體移動排列示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19

圖 252 自然界的雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19

圖 311 一維方形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

圖 313 二維方形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

圖 314 一維簡諧運動示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 28

圖 315 二維簡諧運動示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

圖 321 一維 billiard 的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 35

圖 322 波動性干涉示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

圖 323 行進波相化變化示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

圖 324 不同相位差對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 43

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 44

圖 326 不同 mode 對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 48

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 49

圖 329 一維拋物線位能井的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55

圖 411 二維圓形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 61

圖 412 二維開放式圓形 billiardhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 69

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 70

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 71

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形helliphelliphelliphelliphelliphellip 73

表 221 同餘在答數上的表示helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11

表 241 尤拉函數示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13

表 311 (pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24

vi

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 31

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

表 321 二維 billiard 的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 POhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50

表 324 不同 mode 二維 billiard 波函數所組成的 POhelliphelliphelliphelliphelliphellip 51

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 58

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 62

表 412 無理數圓形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 63

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 72

1

第一章緒論

11 研究動機

大至天體運動小至晶格原子振盪自然界中充斥著週期性的運動而

自然科學中粒子模型常用於探討氣體分子簡諧運動則是最常見的週期運

動雙螺旋排列則出現在植物花葉序及晶體微結構中[1-3]其週期性軌道

(periodic orbits PO)彈子球檯李賽羅圖形[4]具有一定的規律隱含了豐

富的數學概念數學上利用幾何和曲線[5-8]表達許多數學上的抽象概念而

同餘與完全剩餘系[9]有理數與無理數等例如 2 為無理數的証明黃

金比例π 的性質無限連分數及輾轉相除法的使用[10-18]

如何藉由簡單視覺化的科學現象及二維週期性軌道圖形[20]了解分

數有理數與無理數是我們的研究動機而粒子與波更是物理學中的重要

課題更進一步能否以駐波波包的形式呈現古典粒子的週期性軌道[21-28]

12 本論文組識

本論文第二章探討基本數論中的幾個概念由同餘概念出發並探討有

理數無理數輾轉相除法漸近分數與黃金比例第三章針對古典粒子與

波型式的彈子球檯李賽羅圖形的運動特性並和有理數無理數比較第

四章則討論特徵長度封閉與開放的圓型彈子球檯與完全剩餘系的關係第

五章則為結論及可能的發展方向

2

第二章 數學的基本概念 自然界的週期性運動對於科學始終是一個令人著迷的問題虎克發現虎克定

律一個彈簧上振盪的小球所受的力和彈簧伸長量成正比克卜勒寫下了宇宙的秘

密敘述天體是循一個軌道的週期性運動牛頓則發現了萬有引力小至蘋果大至

星體都依循著相同的規律成功地解釋天體間的運動狀態更造成當時極大的振

奮為了探討這些週期性運動的數學特性我們先需要一些數學的基本概念

1 何謂曲線

2 同餘的概念

3 完全剩餘系的性質

4 尤拉函數

5 有理數與無理數的概念

21 何謂曲線

數學上最簡單的曲面是平面而平面上最簡單的曲線則是直線及圓[5]幾何學

發展的相當的早早在兩河流域及古埃及時代就有幾何學的發展便是應用尺規

作圖使用簡單的直線及圓規推演其他幾何圖形的性質並廣泛的應用在面積測量

建築及器具製作等相關領域至笛卡克發展了座標系的概念函數與圖形得以結

合以圖形的方式描述函數創建了解析幾何的領域而不同座標系的發展也演

譯了許多不同的函數圖形[6]並以此奠立了物理化學等科學的發展而曲線在自

然界中更是隨處可見無論是蝸牛螺貝羊角上的螺線天體運行軌跡形成的楕

圓雙曲線一個落下物體所形成的直線及拋物線都是曲線的一種[7]

平面中的特定兩點可以決定一條直線(圖 211)利用函數的概念可以延伸得

到一個直線的函數可由兩個特定點決定又稱作兩點式而線上任一點皆需符合

直線方程式

0 1

0 1

y y y yx x x xminus minus

=minus minus

(21)

3

因為直線是具有方向性的線條故一個點加上方向也可以決定一條直線而這個

方式則以斜率表現故直線方程式又可以rdquo點鈄式rdquo表示

( ) ( )0 0y y m x xminus = minus (22)

而斜截式則是點斜式的特例由 y 軸上的截距和斜率決定一條直線

0y y mxminus = (23)

而圓錐曲線的發現(圖 212)在幾何學中是一個重要的發現利用一個立體圓錐體

的模型將平面上的圓楕圓拋物線及雙曲線幾個平面曲線統整在一起四個

曲線都可以視為一個截面與圓錐體相截的曲線若將圓錐體內放入和圓錐體及截

面相切的球體並得切點(圖 213)則可得到平面上圓錐曲線的性質

圓形具有半徑為定值的性質(圖 214)故可利用畢式定理得到其函數圓上一點 和

圓心(x0y0)連線為半徑故可得

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

r rminus minus

+ = (24)

極座標則可以表示為

r c= (25)

楕圓則具有長軸 a短軸 b 兩個軸曲線上一點(xy)可寫成

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

+ = (26)

拋物線則寫成

( ) ( )20 0y y a x xminus = minus (27)

雙曲線的方程式則為

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

minus = (28)

若畫一個單位圓並引入三角函數將 sin(θ)隨θ變化作圖可得 sin 函數的曲

線以一個軌跡為圓曲線的等速率的圓周運動為例可發現其角度隨時間變化而

位置對圓心呈等距的函數關係若將其函數對 x 軸作投影可以發現其 x 軸位置與

時間的關係形成了 sin 函數(圖 215)而這樣的運動即稱作簡諧運動

4

改以極座標表示而 r 與θ具有一特殊的關係則形成所謂的螺旋線(圖 216)其

中阿基米德螺線其半徑隨著角度變大而增大並具有正比的關係可表示成

r a θ= sdot (29)

故在阿基米德螺旋上取θ 為等差數列則對應之半徑 r 將亦呈等差數列

而 Logarithmic spiral 則為

br a e θ= sdot (210)

或改寫為

ln r ba

θ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

5

圖 211 直角座標系上的直線

(xy)

(x0y0)

(x1y1) X軸

Y軸

斜率=m

6

(a)圓 (b)拋物線

(c)楕圓 (d)雙曲線

圖 212 圓錐曲線與截平面

7

切點

切點

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線

8

圖 215 圓與 sin 函數

X軸

Y軸

(x0)

r=1

θ

Sin(θ)

0 5 10 15

1

-1

-05

05

0

θ

Sin(θ)

X軸

Y軸

(x0)

(0y) (xy)

r=c

圖 214 直角座標系上的圓

9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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i

自然科學中的數學概念

研究生李金航 指導教授陳永富教授

國立交通大學理學院碩士在職專班

網路學習組

摘要

我們利用自然科學中一些週期性運動及雙螺旋排列的現象比較不同情況下

軌跡的特性利用不同參數的彈子球檯及李賽羅圖形探索有理數無理數同餘

及完全剩餘系的關係並利用雙螺旋圖形研究輾轉相除法漸近分數與黃金比例

的概念透過自然科學系統的視覺化呈現我們希望學習者可以更欣賞並學習更

進一步的自然科學與數學

ii

Mathematical concept in the natural science

Student Chin Hang Li Advisor Yung-Fu Chen

ABSTRACT

We use some natural phenomenon as the periodic motion and the

dual-spiral phyllotaxis picture to contrast the different behavior of

their curve Explore rational irrational number Residues and complete

residue system by the billiards and the lissajous pictures with different

value of parameter Use the dual-spiral graphs to study the relation

between the approximating fractions and the golden number Through

visualizing the character of natural system we wish students can better

appreciate the distinction and come to gain more sophisticated intuitions

about natural science and mathematics

誌謝

首先要感謝陳永富老師的指導為我開啟了一扇窗讓我見識到科學之美

還有專班許多老師明璋老師的教導讓我在職場上的專業知能有大幅的增進

還要感謝實驗室中那麼多的學長姐及夥伴梁興弛學長給了我許多協助並解決我

許多學習上的問題陸亭樺學姐陳建誠及老大也幫了很多的忙周鴻案則教了

我這小老弟許多人生的啟發

最後要感謝我的父母明軒及惠雯感謝你們在我分身乏術的時侯給予我的

支持感謝明軒一年多來晚上不吵不鬧的配合還有惠雯幫我打理日常生活的大

小事物讓我得以全力以赴我愛你

謝謝大家

iv

目錄

中文摘要 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip i

英文摘要 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip ii

誌謝 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip iii

目錄 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip iv

圖表目錄 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip v

第一章 簡介helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

11 研究動機helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

12 論文架構helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

第二章 數學的基本概念helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

21 何謂曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

22 從同餘出發helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10

23 完全剩餘系的性質helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11

24 尤拉函數的引入helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12

25 有理數與無理數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14

251 無理數的特性helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

252 連分數與輾轉相除法helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16

253 黃金比例與無理數逼近helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17

第三章 週期性軌道的曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20

31 古典粒子的二維週期性運動helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20

311 方形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25

32 二維封閉波動系統的束縛態helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34

321 本徵態與軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34

322 波的干涉helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 39

323 對應於彈子球檯的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 46

324 對應於李賽羅圖形的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 52

第四章 開放式彈子球檯與漸近分數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59

41 圓式彈子球檯內的古典粒子helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59

42 開放式彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64

第五章 結論與展望helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 74

參考文獻 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75

v

圖表目錄

圖 211 直角座標系上的直線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5

圖 212 圓錐曲線與截平面helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7

圖 214 直角座標系上的圓helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8

圖 215 圓與 sin 函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9

圖 251 葉原體移動排列示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19

圖 252 自然界的雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19

圖 311 一維方形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

圖 313 二維方形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

圖 314 一維簡諧運動示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 28

圖 315 二維簡諧運動示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

圖 321 一維 billiard 的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 35

圖 322 波動性干涉示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

圖 323 行進波相化變化示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

圖 324 不同相位差對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 43

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 44

圖 326 不同 mode 對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 48

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 49

圖 329 一維拋物線位能井的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55

圖 411 二維圓形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 61

圖 412 二維開放式圓形 billiardhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 69

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 70

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 71

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形helliphelliphelliphelliphelliphellip 73

表 221 同餘在答數上的表示helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11

表 241 尤拉函數示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13

表 311 (pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24

vi

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 31

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

表 321 二維 billiard 的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 POhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50

表 324 不同 mode 二維 billiard 波函數所組成的 POhelliphelliphelliphelliphelliphellip 51

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 58

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 62

表 412 無理數圓形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 63

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 72

1

第一章緒論

11 研究動機

大至天體運動小至晶格原子振盪自然界中充斥著週期性的運動而

自然科學中粒子模型常用於探討氣體分子簡諧運動則是最常見的週期運

動雙螺旋排列則出現在植物花葉序及晶體微結構中[1-3]其週期性軌道

(periodic orbits PO)彈子球檯李賽羅圖形[4]具有一定的規律隱含了豐

富的數學概念數學上利用幾何和曲線[5-8]表達許多數學上的抽象概念而

同餘與完全剩餘系[9]有理數與無理數等例如 2 為無理數的証明黃

金比例π 的性質無限連分數及輾轉相除法的使用[10-18]

如何藉由簡單視覺化的科學現象及二維週期性軌道圖形[20]了解分

數有理數與無理數是我們的研究動機而粒子與波更是物理學中的重要

課題更進一步能否以駐波波包的形式呈現古典粒子的週期性軌道[21-28]

12 本論文組識

本論文第二章探討基本數論中的幾個概念由同餘概念出發並探討有

理數無理數輾轉相除法漸近分數與黃金比例第三章針對古典粒子與

波型式的彈子球檯李賽羅圖形的運動特性並和有理數無理數比較第

四章則討論特徵長度封閉與開放的圓型彈子球檯與完全剩餘系的關係第

五章則為結論及可能的發展方向

2

第二章 數學的基本概念 自然界的週期性運動對於科學始終是一個令人著迷的問題虎克發現虎克定

律一個彈簧上振盪的小球所受的力和彈簧伸長量成正比克卜勒寫下了宇宙的秘

密敘述天體是循一個軌道的週期性運動牛頓則發現了萬有引力小至蘋果大至

星體都依循著相同的規律成功地解釋天體間的運動狀態更造成當時極大的振

奮為了探討這些週期性運動的數學特性我們先需要一些數學的基本概念

1 何謂曲線

2 同餘的概念

3 完全剩餘系的性質

4 尤拉函數

5 有理數與無理數的概念

21 何謂曲線

數學上最簡單的曲面是平面而平面上最簡單的曲線則是直線及圓[5]幾何學

發展的相當的早早在兩河流域及古埃及時代就有幾何學的發展便是應用尺規

作圖使用簡單的直線及圓規推演其他幾何圖形的性質並廣泛的應用在面積測量

建築及器具製作等相關領域至笛卡克發展了座標系的概念函數與圖形得以結

合以圖形的方式描述函數創建了解析幾何的領域而不同座標系的發展也演

譯了許多不同的函數圖形[6]並以此奠立了物理化學等科學的發展而曲線在自

然界中更是隨處可見無論是蝸牛螺貝羊角上的螺線天體運行軌跡形成的楕

圓雙曲線一個落下物體所形成的直線及拋物線都是曲線的一種[7]

平面中的特定兩點可以決定一條直線(圖 211)利用函數的概念可以延伸得

到一個直線的函數可由兩個特定點決定又稱作兩點式而線上任一點皆需符合

直線方程式

0 1

0 1

y y y yx x x xminus minus

=minus minus

(21)

3

因為直線是具有方向性的線條故一個點加上方向也可以決定一條直線而這個

方式則以斜率表現故直線方程式又可以rdquo點鈄式rdquo表示

( ) ( )0 0y y m x xminus = minus (22)

而斜截式則是點斜式的特例由 y 軸上的截距和斜率決定一條直線

0y y mxminus = (23)

而圓錐曲線的發現(圖 212)在幾何學中是一個重要的發現利用一個立體圓錐體

的模型將平面上的圓楕圓拋物線及雙曲線幾個平面曲線統整在一起四個

曲線都可以視為一個截面與圓錐體相截的曲線若將圓錐體內放入和圓錐體及截

面相切的球體並得切點(圖 213)則可得到平面上圓錐曲線的性質

圓形具有半徑為定值的性質(圖 214)故可利用畢式定理得到其函數圓上一點 和

圓心(x0y0)連線為半徑故可得

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

r rminus minus

+ = (24)

極座標則可以表示為

r c= (25)

楕圓則具有長軸 a短軸 b 兩個軸曲線上一點(xy)可寫成

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

+ = (26)

拋物線則寫成

( ) ( )20 0y y a x xminus = minus (27)

雙曲線的方程式則為

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

minus = (28)

若畫一個單位圓並引入三角函數將 sin(θ)隨θ變化作圖可得 sin 函數的曲

線以一個軌跡為圓曲線的等速率的圓周運動為例可發現其角度隨時間變化而

位置對圓心呈等距的函數關係若將其函數對 x 軸作投影可以發現其 x 軸位置與

時間的關係形成了 sin 函數(圖 215)而這樣的運動即稱作簡諧運動

4

改以極座標表示而 r 與θ具有一特殊的關係則形成所謂的螺旋線(圖 216)其

中阿基米德螺線其半徑隨著角度變大而增大並具有正比的關係可表示成

r a θ= sdot (29)

故在阿基米德螺旋上取θ 為等差數列則對應之半徑 r 將亦呈等差數列

而 Logarithmic spiral 則為

br a e θ= sdot (210)

或改寫為

ln r ba

θ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

5

圖 211 直角座標系上的直線

(xy)

(x0y0)

(x1y1) X軸

Y軸

斜率=m

6

(a)圓 (b)拋物線

(c)楕圓 (d)雙曲線

圖 212 圓錐曲線與截平面

7

切點

切點

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線

8

圖 215 圓與 sin 函數

X軸

Y軸

(x0)

r=1

θ

Sin(θ)

0 5 10 15

1

-1

-05

05

0

θ

Sin(θ)

X軸

Y軸

(x0)

(0y) (xy)

r=c

圖 214 直角座標系上的圓

9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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ii

Mathematical concept in the natural science

Student Chin Hang Li Advisor Yung-Fu Chen

ABSTRACT

We use some natural phenomenon as the periodic motion and the

dual-spiral phyllotaxis picture to contrast the different behavior of

their curve Explore rational irrational number Residues and complete

residue system by the billiards and the lissajous pictures with different

value of parameter Use the dual-spiral graphs to study the relation

between the approximating fractions and the golden number Through

visualizing the character of natural system we wish students can better

appreciate the distinction and come to gain more sophisticated intuitions

about natural science and mathematics

誌謝

首先要感謝陳永富老師的指導為我開啟了一扇窗讓我見識到科學之美

還有專班許多老師明璋老師的教導讓我在職場上的專業知能有大幅的增進

還要感謝實驗室中那麼多的學長姐及夥伴梁興弛學長給了我許多協助並解決我

許多學習上的問題陸亭樺學姐陳建誠及老大也幫了很多的忙周鴻案則教了

我這小老弟許多人生的啟發

最後要感謝我的父母明軒及惠雯感謝你們在我分身乏術的時侯給予我的

支持感謝明軒一年多來晚上不吵不鬧的配合還有惠雯幫我打理日常生活的大

小事物讓我得以全力以赴我愛你

謝謝大家

iv

目錄

中文摘要 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip i

英文摘要 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip ii

誌謝 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip iii

目錄 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip iv

圖表目錄 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip v

第一章 簡介helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

11 研究動機helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

12 論文架構helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

第二章 數學的基本概念helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

21 何謂曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

22 從同餘出發helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10

23 完全剩餘系的性質helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11

24 尤拉函數的引入helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12

25 有理數與無理數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14

251 無理數的特性helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

252 連分數與輾轉相除法helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16

253 黃金比例與無理數逼近helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17

第三章 週期性軌道的曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20

31 古典粒子的二維週期性運動helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20

311 方形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25

32 二維封閉波動系統的束縛態helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34

321 本徵態與軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34

322 波的干涉helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 39

323 對應於彈子球檯的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 46

324 對應於李賽羅圖形的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 52

第四章 開放式彈子球檯與漸近分數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59

41 圓式彈子球檯內的古典粒子helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59

42 開放式彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64

第五章 結論與展望helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 74

參考文獻 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75

v

圖表目錄

圖 211 直角座標系上的直線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5

圖 212 圓錐曲線與截平面helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7

圖 214 直角座標系上的圓helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8

圖 215 圓與 sin 函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9

圖 251 葉原體移動排列示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19

圖 252 自然界的雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19

圖 311 一維方形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

圖 313 二維方形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

圖 314 一維簡諧運動示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 28

圖 315 二維簡諧運動示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

圖 321 一維 billiard 的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 35

圖 322 波動性干涉示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

圖 323 行進波相化變化示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

圖 324 不同相位差對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 43

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 44

圖 326 不同 mode 對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 48

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 49

圖 329 一維拋物線位能井的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55

圖 411 二維圓形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 61

圖 412 二維開放式圓形 billiardhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 69

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 70

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 71

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形helliphelliphelliphelliphelliphellip 73

表 221 同餘在答數上的表示helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11

表 241 尤拉函數示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13

表 311 (pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24

vi

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 31

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

表 321 二維 billiard 的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 POhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50

表 324 不同 mode 二維 billiard 波函數所組成的 POhelliphelliphelliphelliphelliphellip 51

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 58

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 62

表 412 無理數圓形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 63

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 72

1

第一章緒論

11 研究動機

大至天體運動小至晶格原子振盪自然界中充斥著週期性的運動而

自然科學中粒子模型常用於探討氣體分子簡諧運動則是最常見的週期運

動雙螺旋排列則出現在植物花葉序及晶體微結構中[1-3]其週期性軌道

(periodic orbits PO)彈子球檯李賽羅圖形[4]具有一定的規律隱含了豐

富的數學概念數學上利用幾何和曲線[5-8]表達許多數學上的抽象概念而

同餘與完全剩餘系[9]有理數與無理數等例如 2 為無理數的証明黃

金比例π 的性質無限連分數及輾轉相除法的使用[10-18]

如何藉由簡單視覺化的科學現象及二維週期性軌道圖形[20]了解分

數有理數與無理數是我們的研究動機而粒子與波更是物理學中的重要

課題更進一步能否以駐波波包的形式呈現古典粒子的週期性軌道[21-28]

12 本論文組識

本論文第二章探討基本數論中的幾個概念由同餘概念出發並探討有

理數無理數輾轉相除法漸近分數與黃金比例第三章針對古典粒子與

波型式的彈子球檯李賽羅圖形的運動特性並和有理數無理數比較第

四章則討論特徵長度封閉與開放的圓型彈子球檯與完全剩餘系的關係第

五章則為結論及可能的發展方向

2

第二章 數學的基本概念 自然界的週期性運動對於科學始終是一個令人著迷的問題虎克發現虎克定

律一個彈簧上振盪的小球所受的力和彈簧伸長量成正比克卜勒寫下了宇宙的秘

密敘述天體是循一個軌道的週期性運動牛頓則發現了萬有引力小至蘋果大至

星體都依循著相同的規律成功地解釋天體間的運動狀態更造成當時極大的振

奮為了探討這些週期性運動的數學特性我們先需要一些數學的基本概念

1 何謂曲線

2 同餘的概念

3 完全剩餘系的性質

4 尤拉函數

5 有理數與無理數的概念

21 何謂曲線

數學上最簡單的曲面是平面而平面上最簡單的曲線則是直線及圓[5]幾何學

發展的相當的早早在兩河流域及古埃及時代就有幾何學的發展便是應用尺規

作圖使用簡單的直線及圓規推演其他幾何圖形的性質並廣泛的應用在面積測量

建築及器具製作等相關領域至笛卡克發展了座標系的概念函數與圖形得以結

合以圖形的方式描述函數創建了解析幾何的領域而不同座標系的發展也演

譯了許多不同的函數圖形[6]並以此奠立了物理化學等科學的發展而曲線在自

然界中更是隨處可見無論是蝸牛螺貝羊角上的螺線天體運行軌跡形成的楕

圓雙曲線一個落下物體所形成的直線及拋物線都是曲線的一種[7]

平面中的特定兩點可以決定一條直線(圖 211)利用函數的概念可以延伸得

到一個直線的函數可由兩個特定點決定又稱作兩點式而線上任一點皆需符合

直線方程式

0 1

0 1

y y y yx x x xminus minus

=minus minus

(21)

3

因為直線是具有方向性的線條故一個點加上方向也可以決定一條直線而這個

方式則以斜率表現故直線方程式又可以rdquo點鈄式rdquo表示

( ) ( )0 0y y m x xminus = minus (22)

而斜截式則是點斜式的特例由 y 軸上的截距和斜率決定一條直線

0y y mxminus = (23)

而圓錐曲線的發現(圖 212)在幾何學中是一個重要的發現利用一個立體圓錐體

的模型將平面上的圓楕圓拋物線及雙曲線幾個平面曲線統整在一起四個

曲線都可以視為一個截面與圓錐體相截的曲線若將圓錐體內放入和圓錐體及截

面相切的球體並得切點(圖 213)則可得到平面上圓錐曲線的性質

圓形具有半徑為定值的性質(圖 214)故可利用畢式定理得到其函數圓上一點 和

圓心(x0y0)連線為半徑故可得

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

r rminus minus

+ = (24)

極座標則可以表示為

r c= (25)

楕圓則具有長軸 a短軸 b 兩個軸曲線上一點(xy)可寫成

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

+ = (26)

拋物線則寫成

( ) ( )20 0y y a x xminus = minus (27)

雙曲線的方程式則為

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

minus = (28)

若畫一個單位圓並引入三角函數將 sin(θ)隨θ變化作圖可得 sin 函數的曲

線以一個軌跡為圓曲線的等速率的圓周運動為例可發現其角度隨時間變化而

位置對圓心呈等距的函數關係若將其函數對 x 軸作投影可以發現其 x 軸位置與

時間的關係形成了 sin 函數(圖 215)而這樣的運動即稱作簡諧運動

4

改以極座標表示而 r 與θ具有一特殊的關係則形成所謂的螺旋線(圖 216)其

中阿基米德螺線其半徑隨著角度變大而增大並具有正比的關係可表示成

r a θ= sdot (29)

故在阿基米德螺旋上取θ 為等差數列則對應之半徑 r 將亦呈等差數列

而 Logarithmic spiral 則為

br a e θ= sdot (210)

或改寫為

ln r ba

θ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

5

圖 211 直角座標系上的直線

(xy)

(x0y0)

(x1y1) X軸

Y軸

斜率=m

6

(a)圓 (b)拋物線

(c)楕圓 (d)雙曲線

圖 212 圓錐曲線與截平面

7

切點

切點

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線

8

圖 215 圓與 sin 函數

X軸

Y軸

(x0)

r=1

θ

Sin(θ)

0 5 10 15

1

-1

-05

05

0

θ

Sin(θ)

X軸

Y軸

(x0)

(0y) (xy)

r=c

圖 214 直角座標系上的圓

9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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誌謝

首先要感謝陳永富老師的指導為我開啟了一扇窗讓我見識到科學之美

還有專班許多老師明璋老師的教導讓我在職場上的專業知能有大幅的增進

還要感謝實驗室中那麼多的學長姐及夥伴梁興弛學長給了我許多協助並解決我

許多學習上的問題陸亭樺學姐陳建誠及老大也幫了很多的忙周鴻案則教了

我這小老弟許多人生的啟發

最後要感謝我的父母明軒及惠雯感謝你們在我分身乏術的時侯給予我的

支持感謝明軒一年多來晚上不吵不鬧的配合還有惠雯幫我打理日常生活的大

小事物讓我得以全力以赴我愛你

謝謝大家

iv

目錄

中文摘要 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip i

英文摘要 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip ii

誌謝 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip iii

目錄 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip iv

圖表目錄 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip v

第一章 簡介helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

11 研究動機helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

12 論文架構helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

第二章 數學的基本概念helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

21 何謂曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

22 從同餘出發helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10

23 完全剩餘系的性質helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11

24 尤拉函數的引入helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12

25 有理數與無理數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14

251 無理數的特性helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

252 連分數與輾轉相除法helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16

253 黃金比例與無理數逼近helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17

第三章 週期性軌道的曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20

31 古典粒子的二維週期性運動helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20

311 方形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25

32 二維封閉波動系統的束縛態helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34

321 本徵態與軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34

322 波的干涉helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 39

323 對應於彈子球檯的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 46

324 對應於李賽羅圖形的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 52

第四章 開放式彈子球檯與漸近分數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59

41 圓式彈子球檯內的古典粒子helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59

42 開放式彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64

第五章 結論與展望helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 74

參考文獻 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75

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圖表目錄

圖 211 直角座標系上的直線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5

圖 212 圓錐曲線與截平面helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7

圖 214 直角座標系上的圓helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8

圖 215 圓與 sin 函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9

圖 251 葉原體移動排列示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19

圖 252 自然界的雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19

圖 311 一維方形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

圖 313 二維方形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

圖 314 一維簡諧運動示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 28

圖 315 二維簡諧運動示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

圖 321 一維 billiard 的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 35

圖 322 波動性干涉示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

圖 323 行進波相化變化示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

圖 324 不同相位差對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 43

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 44

圖 326 不同 mode 對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 48

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 49

圖 329 一維拋物線位能井的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55

圖 411 二維圓形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 61

圖 412 二維開放式圓形 billiardhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 69

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 70

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 71

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形helliphelliphelliphelliphelliphellip 73

表 221 同餘在答數上的表示helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11

表 241 尤拉函數示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13

表 311 (pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24

vi

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 31

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

表 321 二維 billiard 的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 POhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50

表 324 不同 mode 二維 billiard 波函數所組成的 POhelliphelliphelliphelliphelliphellip 51

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 58

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 62

表 412 無理數圓形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 63

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 72

1

第一章緒論

11 研究動機

大至天體運動小至晶格原子振盪自然界中充斥著週期性的運動而

自然科學中粒子模型常用於探討氣體分子簡諧運動則是最常見的週期運

動雙螺旋排列則出現在植物花葉序及晶體微結構中[1-3]其週期性軌道

(periodic orbits PO)彈子球檯李賽羅圖形[4]具有一定的規律隱含了豐

富的數學概念數學上利用幾何和曲線[5-8]表達許多數學上的抽象概念而

同餘與完全剩餘系[9]有理數與無理數等例如 2 為無理數的証明黃

金比例π 的性質無限連分數及輾轉相除法的使用[10-18]

如何藉由簡單視覺化的科學現象及二維週期性軌道圖形[20]了解分

數有理數與無理數是我們的研究動機而粒子與波更是物理學中的重要

課題更進一步能否以駐波波包的形式呈現古典粒子的週期性軌道[21-28]

12 本論文組識

本論文第二章探討基本數論中的幾個概念由同餘概念出發並探討有

理數無理數輾轉相除法漸近分數與黃金比例第三章針對古典粒子與

波型式的彈子球檯李賽羅圖形的運動特性並和有理數無理數比較第

四章則討論特徵長度封閉與開放的圓型彈子球檯與完全剩餘系的關係第

五章則為結論及可能的發展方向

2

第二章 數學的基本概念 自然界的週期性運動對於科學始終是一個令人著迷的問題虎克發現虎克定

律一個彈簧上振盪的小球所受的力和彈簧伸長量成正比克卜勒寫下了宇宙的秘

密敘述天體是循一個軌道的週期性運動牛頓則發現了萬有引力小至蘋果大至

星體都依循著相同的規律成功地解釋天體間的運動狀態更造成當時極大的振

奮為了探討這些週期性運動的數學特性我們先需要一些數學的基本概念

1 何謂曲線

2 同餘的概念

3 完全剩餘系的性質

4 尤拉函數

5 有理數與無理數的概念

21 何謂曲線

數學上最簡單的曲面是平面而平面上最簡單的曲線則是直線及圓[5]幾何學

發展的相當的早早在兩河流域及古埃及時代就有幾何學的發展便是應用尺規

作圖使用簡單的直線及圓規推演其他幾何圖形的性質並廣泛的應用在面積測量

建築及器具製作等相關領域至笛卡克發展了座標系的概念函數與圖形得以結

合以圖形的方式描述函數創建了解析幾何的領域而不同座標系的發展也演

譯了許多不同的函數圖形[6]並以此奠立了物理化學等科學的發展而曲線在自

然界中更是隨處可見無論是蝸牛螺貝羊角上的螺線天體運行軌跡形成的楕

圓雙曲線一個落下物體所形成的直線及拋物線都是曲線的一種[7]

平面中的特定兩點可以決定一條直線(圖 211)利用函數的概念可以延伸得

到一個直線的函數可由兩個特定點決定又稱作兩點式而線上任一點皆需符合

直線方程式

0 1

0 1

y y y yx x x xminus minus

=minus minus

(21)

3

因為直線是具有方向性的線條故一個點加上方向也可以決定一條直線而這個

方式則以斜率表現故直線方程式又可以rdquo點鈄式rdquo表示

( ) ( )0 0y y m x xminus = minus (22)

而斜截式則是點斜式的特例由 y 軸上的截距和斜率決定一條直線

0y y mxminus = (23)

而圓錐曲線的發現(圖 212)在幾何學中是一個重要的發現利用一個立體圓錐體

的模型將平面上的圓楕圓拋物線及雙曲線幾個平面曲線統整在一起四個

曲線都可以視為一個截面與圓錐體相截的曲線若將圓錐體內放入和圓錐體及截

面相切的球體並得切點(圖 213)則可得到平面上圓錐曲線的性質

圓形具有半徑為定值的性質(圖 214)故可利用畢式定理得到其函數圓上一點 和

圓心(x0y0)連線為半徑故可得

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

r rminus minus

+ = (24)

極座標則可以表示為

r c= (25)

楕圓則具有長軸 a短軸 b 兩個軸曲線上一點(xy)可寫成

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

+ = (26)

拋物線則寫成

( ) ( )20 0y y a x xminus = minus (27)

雙曲線的方程式則為

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

minus = (28)

若畫一個單位圓並引入三角函數將 sin(θ)隨θ變化作圖可得 sin 函數的曲

線以一個軌跡為圓曲線的等速率的圓周運動為例可發現其角度隨時間變化而

位置對圓心呈等距的函數關係若將其函數對 x 軸作投影可以發現其 x 軸位置與

時間的關係形成了 sin 函數(圖 215)而這樣的運動即稱作簡諧運動

4

改以極座標表示而 r 與θ具有一特殊的關係則形成所謂的螺旋線(圖 216)其

中阿基米德螺線其半徑隨著角度變大而增大並具有正比的關係可表示成

r a θ= sdot (29)

故在阿基米德螺旋上取θ 為等差數列則對應之半徑 r 將亦呈等差數列

而 Logarithmic spiral 則為

br a e θ= sdot (210)

或改寫為

ln r ba

θ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

5

圖 211 直角座標系上的直線

(xy)

(x0y0)

(x1y1) X軸

Y軸

斜率=m

6

(a)圓 (b)拋物線

(c)楕圓 (d)雙曲線

圖 212 圓錐曲線與截平面

7

切點

切點

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線

8

圖 215 圓與 sin 函數

X軸

Y軸

(x0)

r=1

θ

Sin(θ)

0 5 10 15

1

-1

-05

05

0

θ

Sin(θ)

X軸

Y軸

(x0)

(0y) (xy)

r=c

圖 214 直角座標系上的圓

9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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iv

目錄

中文摘要 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip i

英文摘要 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip ii

誌謝 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip iii

目錄 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip iv

圖表目錄 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip v

第一章 簡介helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

11 研究動機helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

12 論文架構helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

第二章 數學的基本概念helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

21 何謂曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

22 從同餘出發helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10

23 完全剩餘系的性質helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11

24 尤拉函數的引入helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12

25 有理數與無理數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14

251 無理數的特性helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

252 連分數與輾轉相除法helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16

253 黃金比例與無理數逼近helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17

第三章 週期性軌道的曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20

31 古典粒子的二維週期性運動helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20

311 方形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25

32 二維封閉波動系統的束縛態helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34

321 本徵態與軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34

322 波的干涉helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 39

323 對應於彈子球檯的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 46

324 對應於李賽羅圖形的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 52

第四章 開放式彈子球檯與漸近分數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59

41 圓式彈子球檯內的古典粒子helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59

42 開放式彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64

第五章 結論與展望helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 74

參考文獻 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 75

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圖表目錄

圖 211 直角座標系上的直線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5

圖 212 圓錐曲線與截平面helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7

圖 214 直角座標系上的圓helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8

圖 215 圓與 sin 函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9

圖 251 葉原體移動排列示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19

圖 252 自然界的雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19

圖 311 一維方形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

圖 313 二維方形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

圖 314 一維簡諧運動示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 28

圖 315 二維簡諧運動示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

圖 321 一維 billiard 的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 35

圖 322 波動性干涉示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

圖 323 行進波相化變化示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

圖 324 不同相位差對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 43

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 44

圖 326 不同 mode 對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 48

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 49

圖 329 一維拋物線位能井的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55

圖 411 二維圓形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 61

圖 412 二維開放式圓形 billiardhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 69

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 70

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 71

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形helliphelliphelliphelliphelliphellip 73

表 221 同餘在答數上的表示helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11

表 241 尤拉函數示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13

表 311 (pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24

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表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 31

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

表 321 二維 billiard 的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 POhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50

表 324 不同 mode 二維 billiard 波函數所組成的 POhelliphelliphelliphelliphelliphellip 51

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 58

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 62

表 412 無理數圓形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 63

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 72

1

第一章緒論

11 研究動機

大至天體運動小至晶格原子振盪自然界中充斥著週期性的運動而

自然科學中粒子模型常用於探討氣體分子簡諧運動則是最常見的週期運

動雙螺旋排列則出現在植物花葉序及晶體微結構中[1-3]其週期性軌道

(periodic orbits PO)彈子球檯李賽羅圖形[4]具有一定的規律隱含了豐

富的數學概念數學上利用幾何和曲線[5-8]表達許多數學上的抽象概念而

同餘與完全剩餘系[9]有理數與無理數等例如 2 為無理數的証明黃

金比例π 的性質無限連分數及輾轉相除法的使用[10-18]

如何藉由簡單視覺化的科學現象及二維週期性軌道圖形[20]了解分

數有理數與無理數是我們的研究動機而粒子與波更是物理學中的重要

課題更進一步能否以駐波波包的形式呈現古典粒子的週期性軌道[21-28]

12 本論文組識

本論文第二章探討基本數論中的幾個概念由同餘概念出發並探討有

理數無理數輾轉相除法漸近分數與黃金比例第三章針對古典粒子與

波型式的彈子球檯李賽羅圖形的運動特性並和有理數無理數比較第

四章則討論特徵長度封閉與開放的圓型彈子球檯與完全剩餘系的關係第

五章則為結論及可能的發展方向

2

第二章 數學的基本概念 自然界的週期性運動對於科學始終是一個令人著迷的問題虎克發現虎克定

律一個彈簧上振盪的小球所受的力和彈簧伸長量成正比克卜勒寫下了宇宙的秘

密敘述天體是循一個軌道的週期性運動牛頓則發現了萬有引力小至蘋果大至

星體都依循著相同的規律成功地解釋天體間的運動狀態更造成當時極大的振

奮為了探討這些週期性運動的數學特性我們先需要一些數學的基本概念

1 何謂曲線

2 同餘的概念

3 完全剩餘系的性質

4 尤拉函數

5 有理數與無理數的概念

21 何謂曲線

數學上最簡單的曲面是平面而平面上最簡單的曲線則是直線及圓[5]幾何學

發展的相當的早早在兩河流域及古埃及時代就有幾何學的發展便是應用尺規

作圖使用簡單的直線及圓規推演其他幾何圖形的性質並廣泛的應用在面積測量

建築及器具製作等相關領域至笛卡克發展了座標系的概念函數與圖形得以結

合以圖形的方式描述函數創建了解析幾何的領域而不同座標系的發展也演

譯了許多不同的函數圖形[6]並以此奠立了物理化學等科學的發展而曲線在自

然界中更是隨處可見無論是蝸牛螺貝羊角上的螺線天體運行軌跡形成的楕

圓雙曲線一個落下物體所形成的直線及拋物線都是曲線的一種[7]

平面中的特定兩點可以決定一條直線(圖 211)利用函數的概念可以延伸得

到一個直線的函數可由兩個特定點決定又稱作兩點式而線上任一點皆需符合

直線方程式

0 1

0 1

y y y yx x x xminus minus

=minus minus

(21)

3

因為直線是具有方向性的線條故一個點加上方向也可以決定一條直線而這個

方式則以斜率表現故直線方程式又可以rdquo點鈄式rdquo表示

( ) ( )0 0y y m x xminus = minus (22)

而斜截式則是點斜式的特例由 y 軸上的截距和斜率決定一條直線

0y y mxminus = (23)

而圓錐曲線的發現(圖 212)在幾何學中是一個重要的發現利用一個立體圓錐體

的模型將平面上的圓楕圓拋物線及雙曲線幾個平面曲線統整在一起四個

曲線都可以視為一個截面與圓錐體相截的曲線若將圓錐體內放入和圓錐體及截

面相切的球體並得切點(圖 213)則可得到平面上圓錐曲線的性質

圓形具有半徑為定值的性質(圖 214)故可利用畢式定理得到其函數圓上一點 和

圓心(x0y0)連線為半徑故可得

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

r rminus minus

+ = (24)

極座標則可以表示為

r c= (25)

楕圓則具有長軸 a短軸 b 兩個軸曲線上一點(xy)可寫成

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

+ = (26)

拋物線則寫成

( ) ( )20 0y y a x xminus = minus (27)

雙曲線的方程式則為

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

minus = (28)

若畫一個單位圓並引入三角函數將 sin(θ)隨θ變化作圖可得 sin 函數的曲

線以一個軌跡為圓曲線的等速率的圓周運動為例可發現其角度隨時間變化而

位置對圓心呈等距的函數關係若將其函數對 x 軸作投影可以發現其 x 軸位置與

時間的關係形成了 sin 函數(圖 215)而這樣的運動即稱作簡諧運動

4

改以極座標表示而 r 與θ具有一特殊的關係則形成所謂的螺旋線(圖 216)其

中阿基米德螺線其半徑隨著角度變大而增大並具有正比的關係可表示成

r a θ= sdot (29)

故在阿基米德螺旋上取θ 為等差數列則對應之半徑 r 將亦呈等差數列

而 Logarithmic spiral 則為

br a e θ= sdot (210)

或改寫為

ln r ba

θ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

5

圖 211 直角座標系上的直線

(xy)

(x0y0)

(x1y1) X軸

Y軸

斜率=m

6

(a)圓 (b)拋物線

(c)楕圓 (d)雙曲線

圖 212 圓錐曲線與截平面

7

切點

切點

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線

8

圖 215 圓與 sin 函數

X軸

Y軸

(x0)

r=1

θ

Sin(θ)

0 5 10 15

1

-1

-05

05

0

θ

Sin(θ)

X軸

Y軸

(x0)

(0y) (xy)

r=c

圖 214 直角座標系上的圓

9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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• 第五章pdf

v

圖表目錄

圖 211 直角座標系上的直線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5

圖 212 圓錐曲線與截平面helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7

圖 214 直角座標系上的圓helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8

圖 215 圓與 sin 函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9

圖 251 葉原體移動排列示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19

圖 252 自然界的雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19

圖 311 一維方形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

圖 313 二維方形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

圖 314 一維簡諧運動示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 28

圖 315 二維簡諧運動示意圖helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

圖 321 一維 billiard 的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 35

圖 322 波動性干涉示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

圖 323 行進波相化變化示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

圖 324 不同相位差對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 43

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 44

圖 326 不同 mode 對波包的影響helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 48

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 49

圖 329 一維拋物線位能井的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55

圖 411 二維圓形 billiard 邊界helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 61

圖 412 二維開放式圓形 billiardhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 69

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 70

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 71

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形helliphelliphelliphelliphelliphellip 73

表 221 同餘在答數上的表示helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11

表 241 尤拉函數示意helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13

表 311 (pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24

vi

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 31

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

表 321 二維 billiard 的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 POhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50

表 324 不同 mode 二維 billiard 波函數所組成的 POhelliphelliphelliphelliphelliphellip 51

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 58

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 62

表 412 無理數圓形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 63

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 72

1

第一章緒論

11 研究動機

大至天體運動小至晶格原子振盪自然界中充斥著週期性的運動而

自然科學中粒子模型常用於探討氣體分子簡諧運動則是最常見的週期運

動雙螺旋排列則出現在植物花葉序及晶體微結構中[1-3]其週期性軌道

(periodic orbits PO)彈子球檯李賽羅圖形[4]具有一定的規律隱含了豐

富的數學概念數學上利用幾何和曲線[5-8]表達許多數學上的抽象概念而

同餘與完全剩餘系[9]有理數與無理數等例如 2 為無理數的証明黃

金比例π 的性質無限連分數及輾轉相除法的使用[10-18]

如何藉由簡單視覺化的科學現象及二維週期性軌道圖形[20]了解分

數有理數與無理數是我們的研究動機而粒子與波更是物理學中的重要

課題更進一步能否以駐波波包的形式呈現古典粒子的週期性軌道[21-28]

12 本論文組識

本論文第二章探討基本數論中的幾個概念由同餘概念出發並探討有

理數無理數輾轉相除法漸近分數與黃金比例第三章針對古典粒子與

波型式的彈子球檯李賽羅圖形的運動特性並和有理數無理數比較第

四章則討論特徵長度封閉與開放的圓型彈子球檯與完全剩餘系的關係第

五章則為結論及可能的發展方向

2

第二章 數學的基本概念 自然界的週期性運動對於科學始終是一個令人著迷的問題虎克發現虎克定

律一個彈簧上振盪的小球所受的力和彈簧伸長量成正比克卜勒寫下了宇宙的秘

密敘述天體是循一個軌道的週期性運動牛頓則發現了萬有引力小至蘋果大至

星體都依循著相同的規律成功地解釋天體間的運動狀態更造成當時極大的振

奮為了探討這些週期性運動的數學特性我們先需要一些數學的基本概念

1 何謂曲線

2 同餘的概念

3 完全剩餘系的性質

4 尤拉函數

5 有理數與無理數的概念

21 何謂曲線

數學上最簡單的曲面是平面而平面上最簡單的曲線則是直線及圓[5]幾何學

發展的相當的早早在兩河流域及古埃及時代就有幾何學的發展便是應用尺規

作圖使用簡單的直線及圓規推演其他幾何圖形的性質並廣泛的應用在面積測量

建築及器具製作等相關領域至笛卡克發展了座標系的概念函數與圖形得以結

合以圖形的方式描述函數創建了解析幾何的領域而不同座標系的發展也演

譯了許多不同的函數圖形[6]並以此奠立了物理化學等科學的發展而曲線在自

然界中更是隨處可見無論是蝸牛螺貝羊角上的螺線天體運行軌跡形成的楕

圓雙曲線一個落下物體所形成的直線及拋物線都是曲線的一種[7]

平面中的特定兩點可以決定一條直線(圖 211)利用函數的概念可以延伸得

到一個直線的函數可由兩個特定點決定又稱作兩點式而線上任一點皆需符合

直線方程式

0 1

0 1

y y y yx x x xminus minus

=minus minus

(21)

3

因為直線是具有方向性的線條故一個點加上方向也可以決定一條直線而這個

方式則以斜率表現故直線方程式又可以rdquo點鈄式rdquo表示

( ) ( )0 0y y m x xminus = minus (22)

而斜截式則是點斜式的特例由 y 軸上的截距和斜率決定一條直線

0y y mxminus = (23)

而圓錐曲線的發現(圖 212)在幾何學中是一個重要的發現利用一個立體圓錐體

的模型將平面上的圓楕圓拋物線及雙曲線幾個平面曲線統整在一起四個

曲線都可以視為一個截面與圓錐體相截的曲線若將圓錐體內放入和圓錐體及截

面相切的球體並得切點(圖 213)則可得到平面上圓錐曲線的性質

圓形具有半徑為定值的性質(圖 214)故可利用畢式定理得到其函數圓上一點 和

圓心(x0y0)連線為半徑故可得

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

r rminus minus

+ = (24)

極座標則可以表示為

r c= (25)

楕圓則具有長軸 a短軸 b 兩個軸曲線上一點(xy)可寫成

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

+ = (26)

拋物線則寫成

( ) ( )20 0y y a x xminus = minus (27)

雙曲線的方程式則為

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

minus = (28)

若畫一個單位圓並引入三角函數將 sin(θ)隨θ變化作圖可得 sin 函數的曲

線以一個軌跡為圓曲線的等速率的圓周運動為例可發現其角度隨時間變化而

位置對圓心呈等距的函數關係若將其函數對 x 軸作投影可以發現其 x 軸位置與

時間的關係形成了 sin 函數(圖 215)而這樣的運動即稱作簡諧運動

4

改以極座標表示而 r 與θ具有一特殊的關係則形成所謂的螺旋線(圖 216)其

中阿基米德螺線其半徑隨著角度變大而增大並具有正比的關係可表示成

r a θ= sdot (29)

故在阿基米德螺旋上取θ 為等差數列則對應之半徑 r 將亦呈等差數列

而 Logarithmic spiral 則為

br a e θ= sdot (210)

或改寫為

ln r ba

θ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

5

圖 211 直角座標系上的直線

(xy)

(x0y0)

(x1y1) X軸

Y軸

斜率=m

6

(a)圓 (b)拋物線

(c)楕圓 (d)雙曲線

圖 212 圓錐曲線與截平面

7

切點

切點

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線

8

圖 215 圓與 sin 函數

X軸

Y軸

(x0)

r=1

θ

Sin(θ)

0 5 10 15

1

-1

-05

05

0

θ

Sin(θ)

X軸

Y軸

(x0)

(0y) (xy)

r=c

圖 214 直角座標系上的圓

9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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vi

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 31

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

表 321 二維 billiard 的波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 POhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50

表 324 不同 mode 二維 billiard 波函數所組成的 POhelliphelliphelliphelliphelliphellip 51

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 58

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 62

表 412 無理數圓形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 63

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 72

1

第一章緒論

11 研究動機

大至天體運動小至晶格原子振盪自然界中充斥著週期性的運動而

自然科學中粒子模型常用於探討氣體分子簡諧運動則是最常見的週期運

動雙螺旋排列則出現在植物花葉序及晶體微結構中[1-3]其週期性軌道

(periodic orbits PO)彈子球檯李賽羅圖形[4]具有一定的規律隱含了豐

富的數學概念數學上利用幾何和曲線[5-8]表達許多數學上的抽象概念而

同餘與完全剩餘系[9]有理數與無理數等例如 2 為無理數的証明黃

金比例π 的性質無限連分數及輾轉相除法的使用[10-18]

如何藉由簡單視覺化的科學現象及二維週期性軌道圖形[20]了解分

數有理數與無理數是我們的研究動機而粒子與波更是物理學中的重要

課題更進一步能否以駐波波包的形式呈現古典粒子的週期性軌道[21-28]

12 本論文組識

本論文第二章探討基本數論中的幾個概念由同餘概念出發並探討有

理數無理數輾轉相除法漸近分數與黃金比例第三章針對古典粒子與

波型式的彈子球檯李賽羅圖形的運動特性並和有理數無理數比較第

四章則討論特徵長度封閉與開放的圓型彈子球檯與完全剩餘系的關係第

五章則為結論及可能的發展方向

2

第二章 數學的基本概念 自然界的週期性運動對於科學始終是一個令人著迷的問題虎克發現虎克定

律一個彈簧上振盪的小球所受的力和彈簧伸長量成正比克卜勒寫下了宇宙的秘

密敘述天體是循一個軌道的週期性運動牛頓則發現了萬有引力小至蘋果大至

星體都依循著相同的規律成功地解釋天體間的運動狀態更造成當時極大的振

奮為了探討這些週期性運動的數學特性我們先需要一些數學的基本概念

1 何謂曲線

2 同餘的概念

3 完全剩餘系的性質

4 尤拉函數

5 有理數與無理數的概念

21 何謂曲線

數學上最簡單的曲面是平面而平面上最簡單的曲線則是直線及圓[5]幾何學

發展的相當的早早在兩河流域及古埃及時代就有幾何學的發展便是應用尺規

作圖使用簡單的直線及圓規推演其他幾何圖形的性質並廣泛的應用在面積測量

建築及器具製作等相關領域至笛卡克發展了座標系的概念函數與圖形得以結

合以圖形的方式描述函數創建了解析幾何的領域而不同座標系的發展也演

譯了許多不同的函數圖形[6]並以此奠立了物理化學等科學的發展而曲線在自

然界中更是隨處可見無論是蝸牛螺貝羊角上的螺線天體運行軌跡形成的楕

圓雙曲線一個落下物體所形成的直線及拋物線都是曲線的一種[7]

平面中的特定兩點可以決定一條直線(圖 211)利用函數的概念可以延伸得

到一個直線的函數可由兩個特定點決定又稱作兩點式而線上任一點皆需符合

直線方程式

0 1

0 1

y y y yx x x xminus minus

=minus minus

(21)

3

因為直線是具有方向性的線條故一個點加上方向也可以決定一條直線而這個

方式則以斜率表現故直線方程式又可以rdquo點鈄式rdquo表示

( ) ( )0 0y y m x xminus = minus (22)

而斜截式則是點斜式的特例由 y 軸上的截距和斜率決定一條直線

0y y mxminus = (23)

而圓錐曲線的發現(圖 212)在幾何學中是一個重要的發現利用一個立體圓錐體

的模型將平面上的圓楕圓拋物線及雙曲線幾個平面曲線統整在一起四個

曲線都可以視為一個截面與圓錐體相截的曲線若將圓錐體內放入和圓錐體及截

面相切的球體並得切點(圖 213)則可得到平面上圓錐曲線的性質

圓形具有半徑為定值的性質(圖 214)故可利用畢式定理得到其函數圓上一點 和

圓心(x0y0)連線為半徑故可得

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

r rminus minus

+ = (24)

極座標則可以表示為

r c= (25)

楕圓則具有長軸 a短軸 b 兩個軸曲線上一點(xy)可寫成

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

+ = (26)

拋物線則寫成

( ) ( )20 0y y a x xminus = minus (27)

雙曲線的方程式則為

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

minus = (28)

若畫一個單位圓並引入三角函數將 sin(θ)隨θ變化作圖可得 sin 函數的曲

線以一個軌跡為圓曲線的等速率的圓周運動為例可發現其角度隨時間變化而

位置對圓心呈等距的函數關係若將其函數對 x 軸作投影可以發現其 x 軸位置與

時間的關係形成了 sin 函數(圖 215)而這樣的運動即稱作簡諧運動

4

改以極座標表示而 r 與θ具有一特殊的關係則形成所謂的螺旋線(圖 216)其

中阿基米德螺線其半徑隨著角度變大而增大並具有正比的關係可表示成

r a θ= sdot (29)

故在阿基米德螺旋上取θ 為等差數列則對應之半徑 r 將亦呈等差數列

而 Logarithmic spiral 則為

br a e θ= sdot (210)

或改寫為

ln r ba

θ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

5

圖 211 直角座標系上的直線

(xy)

(x0y0)

(x1y1) X軸

Y軸

斜率=m

6

(a)圓 (b)拋物線

(c)楕圓 (d)雙曲線

圖 212 圓錐曲線與截平面

7

切點

切點

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線

8

圖 215 圓與 sin 函數

X軸

Y軸

(x0)

r=1

θ

Sin(θ)

0 5 10 15

1

-1

-05

05

0

θ

Sin(θ)

X軸

Y軸

(x0)

(0y) (xy)

r=c

圖 214 直角座標系上的圓

9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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1

第一章緒論

11 研究動機

大至天體運動小至晶格原子振盪自然界中充斥著週期性的運動而

自然科學中粒子模型常用於探討氣體分子簡諧運動則是最常見的週期運

動雙螺旋排列則出現在植物花葉序及晶體微結構中[1-3]其週期性軌道

(periodic orbits PO)彈子球檯李賽羅圖形[4]具有一定的規律隱含了豐

富的數學概念數學上利用幾何和曲線[5-8]表達許多數學上的抽象概念而

同餘與完全剩餘系[9]有理數與無理數等例如 2 為無理數的証明黃

金比例π 的性質無限連分數及輾轉相除法的使用[10-18]

如何藉由簡單視覺化的科學現象及二維週期性軌道圖形[20]了解分

數有理數與無理數是我們的研究動機而粒子與波更是物理學中的重要

課題更進一步能否以駐波波包的形式呈現古典粒子的週期性軌道[21-28]

12 本論文組識

本論文第二章探討基本數論中的幾個概念由同餘概念出發並探討有

理數無理數輾轉相除法漸近分數與黃金比例第三章針對古典粒子與

波型式的彈子球檯李賽羅圖形的運動特性並和有理數無理數比較第

四章則討論特徵長度封閉與開放的圓型彈子球檯與完全剩餘系的關係第

五章則為結論及可能的發展方向

2

第二章 數學的基本概念 自然界的週期性運動對於科學始終是一個令人著迷的問題虎克發現虎克定

律一個彈簧上振盪的小球所受的力和彈簧伸長量成正比克卜勒寫下了宇宙的秘

密敘述天體是循一個軌道的週期性運動牛頓則發現了萬有引力小至蘋果大至

星體都依循著相同的規律成功地解釋天體間的運動狀態更造成當時極大的振

奮為了探討這些週期性運動的數學特性我們先需要一些數學的基本概念

1 何謂曲線

2 同餘的概念

3 完全剩餘系的性質

4 尤拉函數

5 有理數與無理數的概念

21 何謂曲線

數學上最簡單的曲面是平面而平面上最簡單的曲線則是直線及圓[5]幾何學

發展的相當的早早在兩河流域及古埃及時代就有幾何學的發展便是應用尺規

作圖使用簡單的直線及圓規推演其他幾何圖形的性質並廣泛的應用在面積測量

建築及器具製作等相關領域至笛卡克發展了座標系的概念函數與圖形得以結

合以圖形的方式描述函數創建了解析幾何的領域而不同座標系的發展也演

譯了許多不同的函數圖形[6]並以此奠立了物理化學等科學的發展而曲線在自

然界中更是隨處可見無論是蝸牛螺貝羊角上的螺線天體運行軌跡形成的楕

圓雙曲線一個落下物體所形成的直線及拋物線都是曲線的一種[7]

平面中的特定兩點可以決定一條直線(圖 211)利用函數的概念可以延伸得

到一個直線的函數可由兩個特定點決定又稱作兩點式而線上任一點皆需符合

直線方程式

0 1

0 1

y y y yx x x xminus minus

=minus minus

(21)

3

因為直線是具有方向性的線條故一個點加上方向也可以決定一條直線而這個

方式則以斜率表現故直線方程式又可以rdquo點鈄式rdquo表示

( ) ( )0 0y y m x xminus = minus (22)

而斜截式則是點斜式的特例由 y 軸上的截距和斜率決定一條直線

0y y mxminus = (23)

而圓錐曲線的發現(圖 212)在幾何學中是一個重要的發現利用一個立體圓錐體

的模型將平面上的圓楕圓拋物線及雙曲線幾個平面曲線統整在一起四個

曲線都可以視為一個截面與圓錐體相截的曲線若將圓錐體內放入和圓錐體及截

面相切的球體並得切點(圖 213)則可得到平面上圓錐曲線的性質

圓形具有半徑為定值的性質(圖 214)故可利用畢式定理得到其函數圓上一點 和

圓心(x0y0)連線為半徑故可得

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

r rminus minus

+ = (24)

極座標則可以表示為

r c= (25)

楕圓則具有長軸 a短軸 b 兩個軸曲線上一點(xy)可寫成

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

+ = (26)

拋物線則寫成

( ) ( )20 0y y a x xminus = minus (27)

雙曲線的方程式則為

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

minus = (28)

若畫一個單位圓並引入三角函數將 sin(θ)隨θ變化作圖可得 sin 函數的曲

線以一個軌跡為圓曲線的等速率的圓周運動為例可發現其角度隨時間變化而

位置對圓心呈等距的函數關係若將其函數對 x 軸作投影可以發現其 x 軸位置與

時間的關係形成了 sin 函數(圖 215)而這樣的運動即稱作簡諧運動

4

改以極座標表示而 r 與θ具有一特殊的關係則形成所謂的螺旋線(圖 216)其

中阿基米德螺線其半徑隨著角度變大而增大並具有正比的關係可表示成

r a θ= sdot (29)

故在阿基米德螺旋上取θ 為等差數列則對應之半徑 r 將亦呈等差數列

而 Logarithmic spiral 則為

br a e θ= sdot (210)

或改寫為

ln r ba

θ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

5

圖 211 直角座標系上的直線

(xy)

(x0y0)

(x1y1) X軸

Y軸

斜率=m

6

(a)圓 (b)拋物線

(c)楕圓 (d)雙曲線

圖 212 圓錐曲線與截平面

7

切點

切點

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線

8

圖 215 圓與 sin 函數

X軸

Y軸

(x0)

r=1

θ

Sin(θ)

0 5 10 15

1

-1

-05

05

0

θ

Sin(θ)

X軸

Y軸

(x0)

(0y) (xy)

r=c

圖 214 直角座標系上的圓

9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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22

76

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2

第二章 數學的基本概念 自然界的週期性運動對於科學始終是一個令人著迷的問題虎克發現虎克定

律一個彈簧上振盪的小球所受的力和彈簧伸長量成正比克卜勒寫下了宇宙的秘

密敘述天體是循一個軌道的週期性運動牛頓則發現了萬有引力小至蘋果大至

星體都依循著相同的規律成功地解釋天體間的運動狀態更造成當時極大的振

奮為了探討這些週期性運動的數學特性我們先需要一些數學的基本概念

1 何謂曲線

2 同餘的概念

3 完全剩餘系的性質

4 尤拉函數

5 有理數與無理數的概念

21 何謂曲線

數學上最簡單的曲面是平面而平面上最簡單的曲線則是直線及圓[5]幾何學

發展的相當的早早在兩河流域及古埃及時代就有幾何學的發展便是應用尺規

作圖使用簡單的直線及圓規推演其他幾何圖形的性質並廣泛的應用在面積測量

建築及器具製作等相關領域至笛卡克發展了座標系的概念函數與圖形得以結

合以圖形的方式描述函數創建了解析幾何的領域而不同座標系的發展也演

譯了許多不同的函數圖形[6]並以此奠立了物理化學等科學的發展而曲線在自

然界中更是隨處可見無論是蝸牛螺貝羊角上的螺線天體運行軌跡形成的楕

圓雙曲線一個落下物體所形成的直線及拋物線都是曲線的一種[7]

平面中的特定兩點可以決定一條直線(圖 211)利用函數的概念可以延伸得

到一個直線的函數可由兩個特定點決定又稱作兩點式而線上任一點皆需符合

直線方程式

0 1

0 1

y y y yx x x xminus minus

=minus minus

(21)

3

因為直線是具有方向性的線條故一個點加上方向也可以決定一條直線而這個

方式則以斜率表現故直線方程式又可以rdquo點鈄式rdquo表示

( ) ( )0 0y y m x xminus = minus (22)

而斜截式則是點斜式的特例由 y 軸上的截距和斜率決定一條直線

0y y mxminus = (23)

而圓錐曲線的發現(圖 212)在幾何學中是一個重要的發現利用一個立體圓錐體

的模型將平面上的圓楕圓拋物線及雙曲線幾個平面曲線統整在一起四個

曲線都可以視為一個截面與圓錐體相截的曲線若將圓錐體內放入和圓錐體及截

面相切的球體並得切點(圖 213)則可得到平面上圓錐曲線的性質

圓形具有半徑為定值的性質(圖 214)故可利用畢式定理得到其函數圓上一點 和

圓心(x0y0)連線為半徑故可得

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

r rminus minus

+ = (24)

極座標則可以表示為

r c= (25)

楕圓則具有長軸 a短軸 b 兩個軸曲線上一點(xy)可寫成

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

+ = (26)

拋物線則寫成

( ) ( )20 0y y a x xminus = minus (27)

雙曲線的方程式則為

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

minus = (28)

若畫一個單位圓並引入三角函數將 sin(θ)隨θ變化作圖可得 sin 函數的曲

線以一個軌跡為圓曲線的等速率的圓周運動為例可發現其角度隨時間變化而

位置對圓心呈等距的函數關係若將其函數對 x 軸作投影可以發現其 x 軸位置與

時間的關係形成了 sin 函數(圖 215)而這樣的運動即稱作簡諧運動

4

改以極座標表示而 r 與θ具有一特殊的關係則形成所謂的螺旋線(圖 216)其

中阿基米德螺線其半徑隨著角度變大而增大並具有正比的關係可表示成

r a θ= sdot (29)

故在阿基米德螺旋上取θ 為等差數列則對應之半徑 r 將亦呈等差數列

而 Logarithmic spiral 則為

br a e θ= sdot (210)

或改寫為

ln r ba

θ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

5

圖 211 直角座標系上的直線

(xy)

(x0y0)

(x1y1) X軸

Y軸

斜率=m

6

(a)圓 (b)拋物線

(c)楕圓 (d)雙曲線

圖 212 圓錐曲線與截平面

7

切點

切點

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線

8

圖 215 圓與 sin 函數

X軸

Y軸

(x0)

r=1

θ

Sin(θ)

0 5 10 15

1

-1

-05

05

0

θ

Sin(θ)

X軸

Y軸

(x0)

(0y) (xy)

r=c

圖 214 直角座標系上的圓

9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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3

因為直線是具有方向性的線條故一個點加上方向也可以決定一條直線而這個

方式則以斜率表現故直線方程式又可以rdquo點鈄式rdquo表示

( ) ( )0 0y y m x xminus = minus (22)

而斜截式則是點斜式的特例由 y 軸上的截距和斜率決定一條直線

0y y mxminus = (23)

而圓錐曲線的發現(圖 212)在幾何學中是一個重要的發現利用一個立體圓錐體

的模型將平面上的圓楕圓拋物線及雙曲線幾個平面曲線統整在一起四個

曲線都可以視為一個截面與圓錐體相截的曲線若將圓錐體內放入和圓錐體及截

面相切的球體並得切點(圖 213)則可得到平面上圓錐曲線的性質

圓形具有半徑為定值的性質(圖 214)故可利用畢式定理得到其函數圓上一點 和

圓心(x0y0)連線為半徑故可得

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

r rminus minus

+ = (24)

極座標則可以表示為

r c= (25)

楕圓則具有長軸 a短軸 b 兩個軸曲線上一點(xy)可寫成

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

+ = (26)

拋物線則寫成

( ) ( )20 0y y a x xminus = minus (27)

雙曲線的方程式則為

( ) ( )2 20 0

2 2 1x x y y

a bminus minus

minus = (28)

若畫一個單位圓並引入三角函數將 sin(θ)隨θ變化作圖可得 sin 函數的曲

線以一個軌跡為圓曲線的等速率的圓周運動為例可發現其角度隨時間變化而

位置對圓心呈等距的函數關係若將其函數對 x 軸作投影可以發現其 x 軸位置與

時間的關係形成了 sin 函數(圖 215)而這樣的運動即稱作簡諧運動

4

改以極座標表示而 r 與θ具有一特殊的關係則形成所謂的螺旋線(圖 216)其

中阿基米德螺線其半徑隨著角度變大而增大並具有正比的關係可表示成

r a θ= sdot (29)

故在阿基米德螺旋上取θ 為等差數列則對應之半徑 r 將亦呈等差數列

而 Logarithmic spiral 則為

br a e θ= sdot (210)

或改寫為

ln r ba

θ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

5

圖 211 直角座標系上的直線

(xy)

(x0y0)

(x1y1) X軸

Y軸

斜率=m

6

(a)圓 (b)拋物線

(c)楕圓 (d)雙曲線

圖 212 圓錐曲線與截平面

7

切點

切點

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線

8

圖 215 圓與 sin 函數

X軸

Y軸

(x0)

r=1

θ

Sin(θ)

0 5 10 15

1

-1

-05

05

0

θ

Sin(θ)

X軸

Y軸

(x0)

(0y) (xy)

r=c

圖 214 直角座標系上的圓

9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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4

改以極座標表示而 r 與θ具有一特殊的關係則形成所謂的螺旋線(圖 216)其

中阿基米德螺線其半徑隨著角度變大而增大並具有正比的關係可表示成

r a θ= sdot (29)

故在阿基米德螺旋上取θ 為等差數列則對應之半徑 r 將亦呈等差數列

而 Logarithmic spiral 則為

br a e θ= sdot (210)

或改寫為

ln r ba

θ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

5

圖 211 直角座標系上的直線

(xy)

(x0y0)

(x1y1) X軸

Y軸

斜率=m

6

(a)圓 (b)拋物線

(c)楕圓 (d)雙曲線

圖 212 圓錐曲線與截平面

7

切點

切點

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線

8

圖 215 圓與 sin 函數

X軸

Y軸

(x0)

r=1

θ

Sin(θ)

0 5 10 15

1

-1

-05

05

0

θ

Sin(θ)

X軸

Y軸

(x0)

(0y) (xy)

r=c

圖 214 直角座標系上的圓

9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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5

圖 211 直角座標系上的直線

(xy)

(x0y0)

(x1y1) X軸

Y軸

斜率=m

6

(a)圓 (b)拋物線

(c)楕圓 (d)雙曲線

圖 212 圓錐曲線與截平面

7

切點

切點

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線

8

圖 215 圓與 sin 函數

X軸

Y軸

(x0)

r=1

θ

Sin(θ)

0 5 10 15

1

-1

-05

05

0

θ

Sin(θ)

X軸

Y軸

(x0)

(0y) (xy)

r=c

圖 214 直角座標系上的圓

9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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22

76

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6

(a)圓 (b)拋物線

(c)楕圓 (d)雙曲線

圖 212 圓錐曲線與截平面

7

切點

切點

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線

8

圖 215 圓與 sin 函數

X軸

Y軸

(x0)

r=1

θ

Sin(θ)

0 5 10 15

1

-1

-05

05

0

θ

Sin(θ)

X軸

Y軸

(x0)

(0y) (xy)

r=c

圖 214 直角座標系上的圓

9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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7

切點

切點

圖 213 切點與平面上的圓錐曲線

8

圖 215 圓與 sin 函數

X軸

Y軸

(x0)

r=1

θ

Sin(θ)

0 5 10 15

1

-1

-05

05

0

θ

Sin(θ)

X軸

Y軸

(x0)

(0y) (xy)

r=c

圖 214 直角座標系上的圓

9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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8

圖 215 圓與 sin 函數

X軸

Y軸

(x0)

r=1

θ

Sin(θ)

0 5 10 15

1

-1

-05

05

0

θ

Sin(θ)

X軸

Y軸

(x0)

(0y) (xy)

r=c

圖 214 直角座標系上的圓

9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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9

圖 216 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸

Y軸

X軸

Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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10

22 從同餘出發

同餘這個概念是由高斯所提出的[89]可以先從幾個簡單的除式問題出發藉

此以了解什麼叫同餘

例 1一群軍士 45 人以一至九為一班依序報數若某軍士番號為 28 則答數為何

多少

因為每數到九就重新循環28divide9=3hellip1或寫成 28=9times3+1所以答數是 1

例 2若答數為 1 者為班長則除了 28 號外還有那些人是班長

由第一題我們知道計有1101933

一 二 三 四 五 六 七 八 九

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

表 221 同餘在答數上的表示

在日常生活中類似的問題很多例如今天是星期一過了 15 日是星期幾

早上八點上課一節課 45 分鐘上了四節課是幾點幾分這些問題本質上都是將總

數除了一個固定的除數求餘數的問題因此產生了同餘的概念以第二題為例

110192833這些數的共同點為除於 9 的餘數相同皆為 1其實同餘就

是餘數相同的數不只是同餘的概念高斯還引進了新的符號讓許多計算有更方

便的方式而同餘的定義為

給定一個正整數 m如果用 m 去除 ab 所得的餘數相同則稱 a 與 b 對模 m 同餘

記作 並讀作 a 同餘 b模 m例 則

若 a 與 b 對模 m 同餘設 得

反之若 設

10 1 37= sdot sdot sdot( )moda b mequiv

3 0 37= sdot sdot sdot

( )10 3 mod 7equiv 1a m q r= + 2b m q r= +

( )1 2a b m q qminus = minus |m a bminus |m a bminus 1 1a m q r= +

11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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76

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11

2 2b m q r= + 1 20 1r r mle le minus 則有 1 2|m r rminus 因 1 2| | 1r r mminus le minus 故 1 2 0r rminus =

即 1 2r r= 於是得到同餘的另一等價定義

在引進了≣符號後在運算上也有了改變首先

若 ( )moda b mequiv ( )modc d mequiv

加法 ( )moda c b d m+ equiv + (27)

減法 ( )moda c b d mminus equiv minus (28)

乘法 ( )modac bd mequiv (29)

除法 ( ) modif ak bk mequiv ( ) 1k m = 同除於 k 時 ( )moda b mequiv (210)

( ) modif ak bk mequiv ( )k m d= 同除於 k 時 mod ma bd

⎛ ⎞equiv ⎜ ⎟⎝ ⎠

(211)

引入的新的符號後同餘的概念更應用在十進位制八進位制等轉換密碼編譯等

領域

23 完全剩餘系的性質

完全剩餘系在同餘理論中是一個非常重要的概念我們也可以從一個簡單的例

子了解完全剩餘系

日 一 二 三 四 五 六

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

表 231 完全剩餘系在月曆上的表示

12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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12

這是某個月份的日曆我們可以將一個月分以 7 天一周作為一個單位可以分成

數周在表內我們可以發現周日的日期分別為4111825號都對模 7 同餘

餘數為 4則我們將4111825稱作模 7 的一個剩餘類即屬於周日為一個

剩餘類一周有七天故可分為周日周一周二周三周四周五周六 7 個

剩餘類再將周日至周六各挑一個數字出來例45678910則

這些整數將涵蓋周日至周六每一類則這樣的整數集合我們即稱作完全剩餘系

由此可知若一個以 m 正整數為模的完全剩餘系具有下列特性

(1)一個完全剩餘系有 m 個整數組成的元素

(2)完全剩餘系的元素關於兩兩不同餘

(3) x 為 m 的完全剩餘系則 也是 m 的完全剩餘系

例 則 為同一類 成為一個完全剩餘系

若 則 發現

各剩餘類的排列不同但仍為一個完全剩餘系這在圓形的 billiard 中具有相當重

要的應用

24 尤拉函數的引入

由上節特性(3) x 為 m 的完全剩餘系則 ax b+ 也是 m 的完全剩餘

系出發在小於 m 的情況下有多少個數符合這樣的性質這時必需引入尤拉函數

尤拉函數表示為 又稱 totient function指的是比 m 來的得小且和 m 互質的

正整數個數例如 有 4 個數 1379 符合則 首先我們從一個表

開始

( ) 1a m = ax b+

2 0123 456 3 3579111315 350 2 461sdot + = =3b =2a =

7m = ( )1815 22 sdot sdot sdot 01 23456

( ) 1a m =

( )mφ

( )10φ ( )10 4φ =

13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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13

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

表 241 尤拉函數示意

設一個質數為 5 時可得到和 5 互質的數有 5-1=4 個

52=25將 25 個數字排列如表可將之分為 5 類分別以 5 餘是餘數為1234

0而 25 的因數是在lt25 的情況下所有 5 的倍數即將餘數為 0 的一類劃去由

完全剩餘系的性質可知和 25 互質的有 5-1=4 類整理歸納可得

當 m p= 為一個質數時則和 p 互質的數有 12hellipp-1可得 ( ) 1p pφ = minus

當 m pα= 是一個質數的α 次方則我們可以得到

( ) ( ) 1 11 1ap p p pp

α αφ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠ (212)

當 ( ) 1n m = ( ) ( ) ( )n m n mφ φ φsdot = sdot (213)

綜合以上三點我們將 m 先化作質因數的標準式

即 iei

i

m p=prod (214)

則 可得當時 0ie gt (215)

例 3 272 2 3= sdot ( ) ( ) ( )3 1 2 172 2 1 2 3 1 3 24φ minus minus= minus sdot sdot minus = 我們將小於 72 所有的互質數

列出如下表

15711131719 23 25 29313537 41 4347 4953555961656771 得計 24 個

而一個圓形 billiard 內存有幾種模式可以以尤拉函數作為驗証

p-1 類

pα-1 項

( ) ( ) 1 11 1iei i

i i i

m p p mp

φ minus ⎛ ⎞= minus = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠prod prod

14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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14

25 有理數與無理數

畢達哥拉斯學派中有一句話說萬物皆數認為萬物皆可以用有單位的數表現

也就是以分數或有理數表現畢氏曾發現不同重量的鎯頭敲擊發出的聲音不同

若一把鎯頭的重量是另一把的一半則會發出兩倍高的聲音高一個八度音程不

僅於鎯頭所有簡單樂器大致都以相同的方式運作無論是敲擊撥絃還是吹管樂

器而在天文中也有類似的現象木星和土星的週期比為 25天王星海王星冥

王星的週期比則為 123在自然界中充斥著許許多多的現象彼此間都存在著簡

單整數比的關係用來表示簡單整數比的數就是有理數

有理數稱作 ratio number在原意是比例的意思數學上即為一個整數 p 和一個非零

整數 q 的比可寫作pq

正是簡單整數比的意義故又稱作分數若將所有有理數

的集合稱作Q 則可寫成

0pQ p Z q Z qq

⎧ ⎫= isin isin ne⎨ ⎬⎩ ⎭

將有理數改以小數的方式表示則可發現為有限小數或是循環小數在此先了解什

麼叫作算術系算術系由皮亞諾公理及五條運算法則組成其中皮亞諾公理[10]是

這樣的

11 是自然數

2 N 是自然數集 a Nisin a 必有一個後繼數 aprime 1a aprime = +

31 不是任何自然數的後繼數

4一個數b Nisin 即 a b 若 a bprime prime= 則 a b=

5歸納法公理任一自然數集 S 若1 Sisin a Sforall isin 1a S+ isin 則 S 包含所有自然

數

15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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15

五條運算法則為

加法交換律 a b b a+ = +

加法結合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

乘法交換律 a b b atimes = times

乘法結合律 ( ) ( )a b c a b ctimes times = times times

加乘分配律 ( )a b c a b a ctimes + = times + times

只要滿足五條公理及五條運算法則的系統則稱為算術系統而標度性在此有重

要的地位我們可以將rdquo1rdquo視為一個單位而單位rdquo1rdquo具有可分性和可加性例分

數qp

當 p q 為整數可將其視為rdquo1rdquo分為 p 等分1 份為1p

再利用可加性得

1p pq q= times 類似的 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

p p p q p q pq q p p q

++ = = 仍是可分性和可加性概念的延伸

251 無理數的特性

然 2 的出現卻造成了深深的震撼希帕索斯為畢達哥拉斯學派卻用畢氏定

理發現了 2 無法以任何簡單整數組成的分數pq

表示我們考慮一個邊長為 1 的直

角三角形我們設斜邊的長度為有理數pq

的最簡分數依畢達哥拉斯定理可得

22 2

2 1 1 2pq

= + = 則 2 22p q= 得 2 p設 2p k= 則 2 24p k= 2 24 2k q= 2 22k q=

得 2 q 則pq

有公因數 2pq

非最簡分數與假設不合故 2 無法以一個最簡分數

表示[11-13]即不具有標度性無法以任何一個具有特定單位的數表示在天文中

也發現水星繞日的軌道無法形成一個封閉的軌道似乎有理數無法完全解釋這個

世界的規律

16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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76

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[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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16

252 連分數與輾轉相除法

有理數和無理數間的關係可以以數學方法表示其中連分數與輾轉相除法

[15-18]是一個簡單方便且類似的方法輾轉相除法的定義是這樣的

若有兩正整數 a 和b用b 除以 a 得商 0a 餘數 r寫成式子 0a a b r= times + 0 r ble lt

若 0r = 則b 可以除盡 a a 和b 的最大公因數為b

若 0r ne 則再用 r 除b 得商 1a 餘數 1r

10 r rle lt 1 1 2b a r r= times +

如果 1r ＝0則 r 可以除盡b 也可以除盡 a r 為 a 和b 的最大公因數倘若 1 0r ne

以 1r 除 r 得商 2a 餘數 2r

2 1 2r a r r= times + 2 10 r rle lt

如此延續由於 1 2 ( 0)b r r rgt gt gt gt ge 疊代最終的結果將找到一個式子其餘式

為 0代表其除數及被除數同餘其故可以找出 ab 的最大公因數即為輾轉相除

法

若換以分數形式操作輾轉相除法以 42879 和 18644 兩數作輾轉相除法為例

42897 5609 12 2 1864418644 186445609

= + = +

1 12 21817 13 3 1585609 3

1817

= + = ++ +

+

12 13 13 7911158

= ++

++

12 13 13 1112

= ++

++

表示成

1 1 1 123 3 11 2

++ + + 或 [ ]23311 2

則稱作連分數通常以

其中 2 123

+ 12 13

3

++

12 13 1311

++

+

稱為 543236 的漸近分數其中第一個漸近

分數比 543236 小第二個漸近分數比 543236 大依序類推

17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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17

253 黃金比例與無理數逼近

在實數系中任一質數的平方根為無理數利用反証法設 p 為一個質數

apb

= 或 2 2pb a= 為一個有理數其中 a 和b 互質的整數若 a 質因數分解為

1 2 na a a a= sdot sdot sdot sdot b 的質因數分解為 1 2 mb b b b= sdot sdot sdot sdot 則 2a 為 2n 個質因數乘積 2b 為 2m

個質因數乘積然 2 2pb a= 左式為奇數個質因數乘積右式為偶數個質因數乘積

彼此矛盾故得証而黃金比例代表的是1

1τ τ

τ+

= 成立時的比值其中

( )1 1 52

τ = + [14]正是一個含有質數平方根的無理數

黃金比例這個無理數在數學及美術中不但具有特殊的角色也反覆的出現在自

然現象中湯普生就以向日葵的排列方向說明黃金比例和費伯納希數列說明植物

花葉序和黃金比例的關係[1-3]在向日葵中每一片花瓣由一葉原體長出而葉原

體會依序排列組成一個弧狀的「生長螺線」因為較早產生的會移的較遠而形成順

逆兩組雙螺線並且可以緊密的互相套合[1-2]

而順逆螺線的數量彼此間具有特定的關係大多數的向日葵順逆螺線的比例為

(3455)有些品種的比例更達到(89144)並且其他植物中也發現了類似現象鳳梨

鱗片形成(813)的雙螺旋排列雲果的毬果則形成(35)的雙螺旋

要了解黃金比例首先我們要了解如何將一個無理數α 以連分數展開因為無理數

無法以分數的方式表示故此連分數將是一個無窮連分數可以表示成

01 2 3

1 1 1 1

n

aa a a α

++ + +sdot sdot sdot

或是[ ]0 1 2 3 na a a a α 在此命n

n

pq 為第 n 個漸近分數則

可以得到前三個漸近分數0

0

pq

1

1

pq

2

2

pq

分別為0

1a

1 0

1

1a aa+

2 1 0 0

2 1

( 1)1

a a a aa a

+ ++

亦可推得1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+

以相同方式將τ 以連分數展開可得11

1τ

τ= + 利用疊代

18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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18

可得11

111

++

+ sdot sdot sdot

或 [ ]111 sdot sdot sdot

分別列出 qn 和 pn

11 235813nq = sdot sdot sdot

1 235813 21np = sdot sdot sdot

其漸近分數則可表示為1 2 3 5 8 13 21 1 1 2 3 5 8 13⎧ ⎫sdot sdot sdot⎨ ⎬⎩ ⎭

若和費伯那希數列比較費氏數例的特性為

1 1F = 2 1F =

1 2n n nF F Fminus minus= +

列出首幾項為 11 235813 sdot sdot sdot 可發現費氏數列相鄰兩數的比值即是黃金比例

的漸近分數

寫成 1( 1)1`

11 1n nn s

F F+minus

⎡ ⎤= sdotsdotsdot⎢ ⎥⎣ ⎦

而向日葵等植物的花葉序(35)(813)(2134)(3455)(89144)都是費伯納希數列的數

項黃金比例的漸近分數而以連分數得到的漸近分數經過証明可以發現幾個

性質

1 1 2

1 2

n n n n

n n n n

p a p pq a q q

minus minus

minus minus

+=

+漸近分數可依循推出

2 2

2

n

n

pq

αlt 2 1

2 1

n

n

pq

α+

+

gt 奇項漸近分數大於真值偶項漸近分數小於真值

3 1

1

n n

n n

p pq q

α α minus

minus

minus lt minus 越後項的漸近分數越逼近真值

4

p Pq Q

α αminus lt minus Q qlt 在不大於 q 的情況下漸近分數為最佳逼近

19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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19

圖 252 自然界的雙螺旋

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

(a)向日葵 (b)松果 (c)鳳梨

圖 251 葉原體移動排列示意圖

20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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20

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbitsPO) 形成特

定的曲線其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[420]最為人們熟悉在此藉由彈

子球檯及李賽羅的曲線圖形探討有理數與週期性軌道的關係然量子力學的發

展波粒二元性及物質波的發現粒子與波之間的關係逐漸浮現故在此進一

步探討以波的形式重現古典粒子週期性軌道

31 古典粒子的二維週期性運動

彈子球的模型在物理及化學中應用的非常早約在 1617 世紀人們就

有空氣是由許許多多的小粒子所組成的概念而後原子分子的概念漸為人所接

受對於氣體溫度與壓力體積間變化的也越發的清楚而此時的熱力學仍停留

在觀察的階段並沒有辦法提出具有預測性完整性的理論解釋然伯努力

(Bernoulli)提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞克勞修斯(Clausius)引入統計

方法提出自由度及平均自由徑的觀念麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的

速度分佈將一個巨觀的系統視為一群粒子的整體表現成功的解釋粒子動

能溫度與壓力之間的關係

由此延伸發展了固液氣態變化的粒子模型物質內電阻係數的粒子模

型粒子能量分佈的探討至此大量統計技巧引入由微觀的粒子出發探討

眾多複雜系統的科學現象促發了統計力學等領域的發展

自然界中最常見的週期性運動便是簡諧運動而李賽羅圖形則是最為奇妙的

一種這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗將鏡子

黏著於音叉末端以光線對準音叉後敲擊音叉經過鏡面的投射可以在屏幕上出

現正弦波的圖形若將兩個已黏著鏡子的音叉以垂直的方式置放則可以獲得

李賽羅圖形這個實驗將無法以視覺感受的聲音以光線和屏幕展現出來故又

稱rdquo看得見的聲音rdquo大量的應用在頻率測量電子學等相關領域

21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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21

311 方形彈子球檯

首先討論一個粒子在一個一維封閉的盒內的狀況其邊界為 (圖

311)粒子位置無法出現在邊界外形成一個無限位能井若彈子球的初速度

為 v 且彈子球與盒壁間的碰撞為彈性碰撞即無能量耗損則彈子球將在邊界

內來回碰撞且速度不變而彈子球的位置 x 和時間 t 的關係(圖 312)(設

時)在第一週期可以兩個方程式表示

1 02 2

3 2 2

Tx vt a t

Tx vt a t T

⎧ = minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus + le lt⎪⎩ (31)

在此引入同餘的觀念可得並類推至其他週期可得

1( mod ) 0 ( mod )2 23( mod ) ( mod )2 2

Tx v t T a t T

Tx v t T a t T T

⎧ = times minus le lt⎪⎪⎨⎪ = minus times + le lt⎪⎩ (32)

形成一個振幅為 週期為 的三角波

一個二維的彈子球檯(圖 313)則可以視為 xy 二個方向垂直且獨立的彈

子球運動則在 x 方向速度為 vx其位置和時間關係將符合上式的三角波函數

週期為 avx在 y 方向速度為 vy其位置時間關係亦要符合三角波函數週

期為 avyxy 兩方向運動的合成則形成了 2 維彈子球檯的圖形

在此考慮 3 個參數 其中ψ 則代表

彈子球出發的起始位置(表 311)試著改變不同的參數比較 billiard 的軌跡是否

有所變化當初始位置不是在原點且兩者互質時則和 x 軸y 軸碰撞的次數

和 有關 p 為和 x 軸方向碰撞的次數q 為和 y 軸碰撞的次數而比值為有

理數時則整個圖形成為一個封閉的圖形或是結束於邊界的端點當 提高

至(513)可發現整個圖形會碰撞邊界更多次但最終仍會形成一個封閉性的週

期性軌道(periodic orbitPO)

2a 2a

v

~2 2a a

minus

( )π φ πminus le le( ) p q φ

2ax minus

=

0t =

y xv v p q=

p q

p q

22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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22

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22

圖 311 一維方形 billiard 邊界

a2-a2

v

23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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23

圖 313 二維方形 billiard 邊界

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

相對時間 (tT)0 1 2 3 4 5

相對位置 (y

a )

-050

-025

000

025

050

第一週期

圖 312 一維彈子球檯位置對時間變化

(a2a2)

(a2-a2)(-a2-a2)

(-a2a2)

v vyvx

x

y

24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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24

表 311(pq) 為有理數之二維 billiard 軌跡

(pq)

(11)

(21)

(32)

Different phase

25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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25

312 二維簡諧運動的李賽羅圖形

若改以一維簡諧運動彈簧的往復運動出發(圖 314)將一個彈簧掛吊一

個質點後自然垂下至整個系統平衡靜止將質點拉離平衡點後放開則質點

會作一個上下的往復運動

依照彈簧的特性可知一質點受力情況遵守虎克定律即 F k x= sdot 二

位能形式為 三位移和時間的關係為一個正弦函數

以彈子球和位能井的形式表示簡諧運動的位能形式為 可視為一

個具有光滑平面的拋物線位能井在邊界 a2 處放入一個彈子球設彈子球不

受摩擦力等影響即無能量耗損球則會沿邊界移動當球離最低點高度極小

則球在 x 的方向的運動形成一個一維的簡諧運動

比較一維 billiard 和簡諧運動的邊界條件和位移可以發現兩個具有幾個特

性一彈子球皆在靠近位能最低點的附近作週期性的運動二位移和時間的

關係無論是三角波還是 sin 波皆為一個固定週期的波函數若考慮二維的簡

諧運動(圖 315)可將一個質點其 x 方向和 y 方向分別接上一個彈簧其 x 方

向的動能位能和 y 方向的動能位能無關形成兩個互相垂直且獨立的簡諧運動

則二維簡諧運動的位能形式(圖 315)為 xy 方向垂直的拋物線圖形可以看到

在四個角落的位能最大在平衡點的位能最小而二維的簡諧運動其位移和時

間的函數可以寫成

( )( )

sin

sinx x

y y y

x A t

y A t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (33)

而這樣的圖形即為李賽羅圖形

設 x qω ω= sdot y pω ω= sdot 則函數可改寫成

( )( )

sin

sinx

y y

x A q t

y A p t

ω

ω φ

⎧ = sdot sdot⎪⎨

= sdot sdot +⎪⎩ (34)

212

U k x= sdot sin( )x A tω= sdot

212

U k x= sdot

26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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26

同樣的我們考慮三個參數 (表 312) 可以發現當起始位置不為 0

及π時pq 分別代表和 x 軸y 軸的接觸次數比例當比例為(11)時整個圖

形呈現一直線或是一個楕圓比較特殊的(pq)=(32)的圖形有兩個圖形雖起始

位置不同但卻是在同一條路徑上若和 billiard 比較可以發現(表 313)李賽

羅圖形在 ( ) p q φ 和 billiard 相同的情況下圖形的方向和形狀有著類似的性質

但和邊界的接觸點不同這是因為兩者都是由兩個互相垂直獨立的周期波所

組合而成

但 p q 比值為無理數時(表 314 表 315)x 軸的碰撞次數和 y 軸的碰撞次數

無法呈一個固定的比例則隨著碰撞次數的增加形成越來越密的軌跡最後佈

滿整個邊界

前面週期波的性質可以解釋在彈子球檯及李賽羅圖形中有理數及無理數會

形成軌跡是否封閉已知一個二維的彈子球檯可視為一個方向為 x 軸一個方

向為 y 軸的二個三角波疊和一個李賽羅圖形則可視為二個正弦波於 x 軸及 y

軸疊和故在此以二個三角波位置隨時間變化為例

首先以時間軸作 x 軸作兩個三角波的比較(圖 316)週期分別是

此時我們可以將其中一個三角波的週期 T 視為一個單位長兩個週期比值為

則另一個波長的週期為p Tq

當 為有理數時由最小公倍數可知當 t p q T= 時

會形成一個循環當 為無理數時由數學定義可知一個無理數無法以單位

長度表示即p Tq

無法由單位長 T 表示這代表p Tq

與 T沒有公倍數在時間

軸上永不重合故無論所經過時間多長皆無法形成一個循環圖形不會出現重

覆

即得到了當 t 形成循環時2 維彈子球檯及李賽羅的軌跡圖形必定重覆也就

是將形成一個封閉的圖形t 無法形成循環時軌跡無法重合必是一個開放的

圖形最終佈滿整個彈子球檯在此可以發現一個古典粒子在有理數的情況下

造成的圖形是具有特定規律的週期性軌道而在無理數的情況下將佈滿整個圖

1

2av 2

2av p

q

pq

pq

( ) p q φ

27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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27

形無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡故後來量子力學中以波動解釋粒

子運動與古典彈子球檯作連結時也特別著重於週期性軌道的研究與發展

28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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28

圖 314 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式

a2 -a2 -a2

a2

θ

29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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29

圖 315 二維簡諧運動示意圖

X軸

Y軸

x

y

x=a2

x=-a2 y=-a2 y=a2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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30

表 312 (pq)為有理數之二維李賽羅軌跡

(11)

(21)

(32)

(513

(pq) Different phase

31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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31

表 313 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(pq) (32)(21)

billiard

李賽羅

(11) (513)

32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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32

表 315 (pq)為無理數之二維李賽羅軌跡

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(pqψ)

t

2213π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

2T 4T 32T 8T 16T

表 314 (pq)為無理數之二維 billiard 軌跡

33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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33

圖 316 二維 billiard 位置隨時間變化

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

相對時間 (tTy)0 1 2 3 4

相對

位置

(x

a y

a )

-050

-025

000

025

050

Tx=25 Ty=1T=2

34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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34

32 二維封閉波動系統的束縛態

馬克思威四條方程式及電磁波概念的確立人們對於波的理解由單純的機

械波進展到不需要介質傳遞的電磁波而有關於邊界內本徵態的了解也更進一

步而後光電效應發現將光視為一個粒子碰撞一個活性大的金屬後可以游離

電子則是光與粒子結合的開端愛因斯坦為此提出了rdquo波粒二元性的概念rdquo即

電磁輻射除了具有波的性質外也同時具有粒子的性質直至德布羅依則更進一

步提出一個物質粒子也具有波動性稱之為rdquo物質波rdquo [21-22]

物質波屬於一種機率波即在某地發現某粒子的機率密度將呈波函數的形式

分佈在電子繞射實驗中可以發現電子在通過晶格狹縫後的電子密度可形

成波的干涉條紋証明了粒子也具有波動的性質至此粒子與波動獲得連結

然粒子性具有明確的位置和速度放入封閉的邊界內會形成特定的軌跡(PO)則

一個波動系統在一個封閉的邊界內波動性會如何呈現[23]是否也具有特定軌

跡

321 本徵態與軌跡

無論是機械波電磁波或是物質波在固定邊界的條件下必需以駐波的形

式才能穩定的存在故必需符合特定的波函數而這些波函數即稱為rdquo本徵態rdquo

兩端固定的琴弦所發出的機械波在無限位能井中電子的物質波或是在一維的

billiard 駐波[24-25]若 x 軸方向的邊界為 0~a則不含時間的波函數(圖 321)

可寫成

( ) 2 sin( )xn

nx xa a

πψ = (35)

35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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35

圖 321 一維 billiard 的波函數

n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

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α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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36

在量子力學物質波的概念中波函數的振幅可代表粒子出現的機率若和古

典彈子球比較在方形的位能井中彈子球因保持等速運動各點發現的機率都

相同而 n 值極小時其本徵態振幅集中在位能井中間和古典情況不同然隨

著 n 值逐漸加大波形逐漸緊密其振幅逐漸平均分佈於位能井內即符合量子

力學在大尺度的情況下其結果與古典粒子在方形位能井內各點的發現機率接近

的假設

改考慮一個二維方形的 billard(表 321)設 x 軸方向的邊界為 0~ay 軸方

向的邊界為 0~a而波在邊界內同樣必需以駐波的形式存在又 xy 方向的波

函數彼此獨立故 2 維波函數表示成

x y x yψ ψ ψ= sdot (36)

2 sin( ) sin( )x y

n mx ya a a

π πψ = sdot (37)

形成一個以 xy 軸對軸的波函數圖形同樣的在(nm)極小時其強度分佈

集中於中間然隨著(nm)值變化整個振幅也漸平均分佈於整個邊界內代表

一個古典粒子在方形 billiard 內的隨機軌跡

若改變不同的邊界條件可知駐波波函數也依不同的邊界條件而有所不同

(表 322)以聲波音律為例畢氏學派就已經發現不同長短大小形狀的物

體產生的聲音高低及音色不同目前已經了解這和不同邊界所擁有的本徵態

有關以圓形的鼓面振動為例給予敲擊時因為邊界是固定的振動需符合邊

界振幅零的邊界條件而形成駐波而不同的駐波形式具有不同的頻率故敲

擊鼓面所發出的聲音並不為單一頻率的振動而是含有數個不同頻率形成所

謂的rdquo音色rdquo但具有較高能量較易觀測的多為低階簡單的駐波形式即為

所謂的rdquo基頻rdquo在樂器上所形成的駐波形式早期多屬於工匠的技巧及經驗累

積經過廣泛的研究才令人對機械波的形成有進一步的認識

37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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37

表 321 二維 billiard 的波函數

Eigenstate (nm) (nm) Eigenstate Intensity Intensity

(00)

(10)

(11)

(12)

(13)

(01)

(02)

(22)

(30)

(2020)

38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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38

表 322 圓形邊界形成鼓面的駐波

(12) (21)

(03) (02)

(11)

IntensityEigenstate(nm)IntensityEigenstate

(00)

39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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39

322 波的干涉

然不同的本徵態如何彼此疊加干涉很早之前人們就已發現粒子在相遇

時要不兩者結合要不兩者分開但兩組不同的水波在相遇時會彼此干涉

並造成亮暗相間的條紋則稱為干涉(圖 322)

數學上所謂的疊加原理表示一個線性函數其變項值相加的函數值=各函數

值的相加即

1 2 1 2( ) ( ) ( ) F x x F x F x+ + = + + (38)

故一個線性的波函數可以視為許多波函數的疊加利用這樣的概念所有的波

形我們都可以利用傅利葉轉換視為許多正弦波疊加而成不同的波函數疊加

在空間上一點形成振幅加成或抵消的效果則稱作建設性干涉與破壞性干涉一

維的方形邊界內由(35)式得可存在的本徵函數若加以疊加得

( )0

0

2 sin sinN M

n

n N

A n n v n n vx x t x tNA a a a a a

π π π πφ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ = sdot + + + minus +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠sum (39)

其中 nA 為每個波函數的振幅 NA則是正交規一化的係數

0

0

22N M

nn N

NA A+

=

= sum (310)

在此若固定時間 t=0即不考慮時間項一個波包可以寫成

( )0

0

2 2sinN M

n

n N

A nA x xNA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (311)

使得一個局部區域有明顯的值則形成一個波包若視一個極狹窄的波包可

以發現其具有明確的位置和速度漸具有粒子的性質

一個波包的形成受到幾個因素影響

一組成正弦波的相位

二組成正弦波的振幅

三組成正弦波的數量(mode)

40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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40

一波包與相位的關係

一個行進波可以視為一個固定的波形其每一點振輻隨著時間改變在此

我們引入複數平面的概念(圖 323)以一個正弦波為例若某一點 P 其振幅為 A

在原地振盪其位置函數可寫為 y=Acos(θ)代入 cos( ) sin( )ie iθ θ θsdot = + 可得

iy A e θ= sdot 其中若其相位隨著時間變化即 tθ ω= sdot 則隨時間函數即為

i ty A e ω φ+= sdot 故隨位置波函數若為 ( )xΨ 則隨時間的波函數則為

( ) ( ) i tx t x e ω φ+Φ = Ψ sdot 其中相位差φ 代表波函數的初始位置相位變化則代表波

函數隨時間的移動變化

若我們在固定時間條件下比較兩個相位分佈不同的波包(圖 324)

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (312)

( )0

0

2 2sinN M

nB n

n N

B nx x BNB a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (313)

其中 0 100N = 20M = normal distributionn nA B= rArr 0Aφ = B rondomφ =

即 Aψ 彼此間的相位差為 0 Bψ 彼此間相位前為隨機分佈可以發現 Aψ 的組

成波會彼此建設性干涉形成的波包會很明顯的局顯在一個區域但是 Bψ 則

無法明顯的形成一個波包並局限在一個小區域中

二波包與振幅的關係

同樣地若比較將兩個同相位的波包其中的 Aψ 振幅成高斯分佈而 Cψ 振

幅為隨機分佈(圖 325)即

( )0

0

2 2sinN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (314)

( )0

0

2 2sinN M

nC n

n N

C nx x CNC a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (315)

normal distributionnA rArr 0Aφ =

41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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41

rondom distributionnC rArr 0Cφ =

可以發現 Cψ 波包的峰值較小分佈的也比較寬甚至有另外的小波峰出

現而 Aψ 波包分佈的較窄振幅的峰值亦較大能量較局限於特定的位置上

形成一個較佳的波包在實驗上以高斯分佈等比重分佈possion 分佈等特定

的分佈方式也會得到較好的結果

而不同相位和不同振幅分佈的圖形比較可以得到一個明顯的差異在同相

位分佈時無論組成波振幅的分佈為何兩個波包必定有峰值是重疊的這是因

為振幅分佈代表各個波函數組成的比例不同的比例組成不同的波包具有不同

的波包寬度而相位差隨機分佈則會造成兩個波包無法重合這是因為相位代

表著每個波函數間彼此的起始位置不同的相位即代表起始位置不同

三波包與 mode 的關係

當二個波包其組成波函數的數量不同時會對波包的形成造成什麼樣的影

響在此取一個波包了方便起見在此取 Dψ 和 Aψ 作比較(圖 326)其中

( )0

0

2 2sinAN M

nA n

n N

A nx x ANA a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (316)

( )0

0

2 2sindN M

nD n

n N

D nx x DND a a

πψ φ+

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sum (317)

normal distributionn nA D= rArr 0A Dφ φ= =

MA=20 MD=10

可以發現若一個波包所組成的 mode 越多則這個波包越是集中反之組

成的 mode 越少則波包的分佈則越寬而波包分佈越寬代表其位置和速度的

不確定性越高反之波包分佈越是局限在一個區域內代表其能量越集中其

位置的不確定性越低如同一個質點在此我們可以視為一個由許多 mode 所組

成的波包將範圍集中於一個非常小的位置上

42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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42

圖 323 行進波相化變化示意

Aeiθ

iAsin(θ)

Acos(θ)

θ P(x0y0)

(x0yt) Δt

圖 322 波動性干涉示意

43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

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43

圖 324 不同相位差對波包的影響

2Aψ

2Bψ

0a 02a 04a 06a 08a x1a

120

(a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 115 110

nAnB

(b) Aψ 的相位分佈 (c) Bψ 的相位分佈

0 0

8 8

44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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44

圖 325 不同振幅分佈對波包的影響

(a)波包振幅與距離關係

(b) Aψ 的振幅分佈 (c) Bψ 的振幅分佈

2Aψ

2Cψ

0 02a 04a 06 08 1a x

120

nA

100 105 110 115 120

n 100 105 110 115

n

nc

45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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45

圖 326 不同 mode 對波包的影響

波包振幅與距離關係

2Aψ

2Dψ

0a 02a 04a 06a 08a 1a x

46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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22

76

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46

323 對應於彈子球檯的波函數

現在將波包的概念引入方形彈子球檯的波函數中若有 m 個波疊加形成波

包nx 為一個特定 Nx 開始則 nx=Nx+mx 則包含時間的波函數則為

( )1

0

1 2 sin( )x

x

x

x

Mim i tx x

mx

N mx e x ea aM

φ ωψ π

minusminus

=

+Φ = sdot sdotsum (318)

若將波包依時間作圖(圖 327)可發現波包依時間在邊界內反覆移動其

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動然值得注意的是在古典彈子球的 billiard

中彈子球本身不會因位置和時間有所改變而波包在靠近 x=0x=a 的邊界時

波包的呈遽烈的振盪且極值會急遽的增大至 2 倍左右這是因為在邊界可視

為入射波和反射波互相干涉疊加當 t=T6可以發現波包的位置在 L3而

無限位能井內的古典粒子在方形的邊界內行彈性碰撞保持等速率的往復運

動一個週期的路徑長為 2L而經過 T6 則通過 2L6 的距離剛好在 L3 的位

置上兩者相互符合

但改以波包方式疊加x 方向疊加的數量比 y 方向疊加的數量為 mxmy=pq

即 mx=pmmy=qm則不含時間的波函數可寫成可依 2 維波函數表示成

0 0

0 0

x y

N pm N qm

x y x y x yn N n N

ψ ψ+ +

= =

Ψ = Ψ sdotΨ = sdotsum sum (319)

含時間的波函數則是

x y x yΦ = Φ sdotΦ (320)

依時間將波包位置畫下可得到(圖 329)此時波包的運動狀態和一個粒子的

運動狀態相同

若我們將波包在二維 billiard 的非時間項取出畫出軌跡圖(表 323)可得

到下表下圖和二維粒子彈子球台的圖形相似但差異在於粒子彈子球台的軌

跡為一狹窄實線代表粒子在軌跡出現的機率為一個連續的分佈但波包形成的

彈子球台軌跡為一個具有寬度且具有亮暗間隔節點的駐波尤其是接近邊界碰

47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

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22

76

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[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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47

撞點及軌跡交會處顯然的節點是由許多波疊加干涉出來的結果而節點的出

現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈這在古典力學和量子力學

中是一個很大的差異至此已成功的將波以疊加的方式組成古典彈子球檯的

軌跡但改變觀察的尺度疊加的波函數數量不同(表 324)可以發現當疊加

的數量較少時得到的軌跡較寬無法呈現直線的軌跡而是以波的狀態呈現

且具明顯的干涉條紋但隨著疊加的數量增加所得到的軌跡寬度越窄也越接

近直線粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上即越接近古典粒子的結果符

合量子力學在大尺度的情況下必需接近古典力學結果的條件也是古典力學與

量子力學得以結合的部分

當疊加的波函數越多能量越是集中於一個點上波長則逐漸縮短可以發

現其波的表現逐漸帶有粒子的性質這便是波粒二重性由德布羅依的公式的

物質波概念可以了解當一個粒子在尺度接近也應呈現波動的形式

而古典軌跡出現與否不在於觀測事物的大小無論是一個固定邊界的機械

波波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波只要數量級夠大疊加的

波函數夠多波動也能和粒子結合呈現粒子性

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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76

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• 第二章pdf
• 第三章pdf
• 第四章pdf
• 第五章pdf

48

圖 327 一維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0T

t=14T

t=12T

t=34T

X=0 X=L

t=16T

t=26T

t=46T

t=56T

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

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[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

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[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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• 第二章pdf
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• 第五章pdf

49

圖 328 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

t=0t=1

t=2 t=3

4

5

6 7

8 9

10 11 12

13

14

15

t=3

t=3

x=ax=0

50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

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[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

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EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

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irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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50

(513)

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

表 323 二維 billiard 波函數所組成的 PO

51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

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22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

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[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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51

表 324 不同 mode 情況下二維 billiard 波函數所組成的 PO

m

(11)

(21)

(32)

10 20 5 15(pq)

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

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期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

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[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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• 第一章pdf
• 第二章pdf
• 第三章pdf
• 第四章pdf
• 第五章pdf

52

324 對應於李賽羅圖形的波函數

若以波的形式探討李賽羅圖形[27-28]會是如何呢一維簡諧運動的位能形

式和 billiard 的無限位能井並不相同但波在邊界內仍是以駐波的形式存在而

在導入一維簡諧運動駐波的波函數前先要了解 Hermite 函數

Hermite 是一個具有強烈特色的數學家一個不會考試的數學家天生跛足

但仍十分樂觀從小的成績就不佳尤其是數學成績不佳非常痛恨學校中呆板

的數學課程卻不放棄繼續升學雖在年輕時就有良好的數學成就卻五次落榜

才考上大學因為跛足無法進入工科學系而就讀文學享富盛名卻因大學成

績不佳無法繼續升學只能在學校擔任助教長達 25 年直至四十九歲巴黎

大學請他擔任教授而後幾乎所有的法國大數學家都是他的門下雖然求學經過

不順利但他的數學成就卻十分驚人而量子力學領域中也廣泛的應用他的數

學成果在拋物線的位能井中駐波是以 Hermite Function 的形式存在

( ) 2 2

( ) 1n

n x xn

dHn x e edx

minus= minus (321)

波函數的形式為

( ) ( )2

21

2

x

n nnx e H x

nψ

π

minus

= sdot sdotsdot

(322)

形成的駐波為(圖 339)

53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

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75

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irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

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[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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53

圖 329 一維拋物線位能井的波函數

n=0

n=2

n=1

n=3

n=5 n=2

n=30

54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

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期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

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[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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54

在一維拋物線的邊界中我們可以發現當 n 值較小時其產生的波函數

峰值集中於中間地帶但當 n 值漸漸加大時其產生的波函數中間部分漸凹兩

端則較高若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較可

以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高在中間地帶的出現機率較低這是

因為粒子在兩側的速度較慢所待時間較長的緣故正好符合 n 值極大的情況

同樣的我們將許多波函數疊加形成波包並將其依時間的變化紀錄可得

到下列圖形可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動但觀察 t=16T

時圖形可發現在 billiard 中波包的位置在 13 處而在拋物線的邊界條件中

則是在 a4 處若比較一維簡諧運動

2sin( )x A tTπ

= sdot (323)

此時2aA =

16

t T= 代入得4ax =

可以發現波包在邊界內並非以等速率作週期性的運動而是行簡諧運動

其運動方式及軌跡如同一個粒子在拋物線邊界內的表現

55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

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期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

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[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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55

圖 3210 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=16

t=14

t=26

t=12

t=56

t=34

t=46

t=T

-a a2 0 a4-a4

56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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56

若在二維拋物線邊界內的波包會有什麼樣的運動狀態首先討論在一個二

維拋物線內的波函數為何首先此邊界為 xy 方向互相獨立的二組拋物線形成

的二維邊界由前可知拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function 因為

xy 方向互相獨立故波函數可視為 xy 方向獨立的波函數疊合(表 325)即

( ) ( ) ( )n mx y x yψ ψΨ = sdot

( ) ( )2 2

2 2

1 1

2 2

x y

n m n mn me H x e H y

n mπ π

minus minus

Ψ = sdot sdot sdot sdot sdotsdot sdot

(324)

在電射光學中也可發現類似的圖形這是因為雷射共振腔中共振用的反

射介質常使用凹面鏡作為共振邊界而凹面鏡的鏡面邊界正是一個二維的拋

物面形成所謂的 TEM

二維的波包因波函數為線性獨立的函數故可以 xy 方向的波包疊加得到(表

326)

Φ=ΨxΨy (325)

可得到在一個 billiard 的邊界條件中粒子行等速運動則干涉疊加後產生的

波包也隨著時間行等速運動形成古典 billiard 的軌跡在一個拋物線的邊界

條件中粒子行簡諧運動則波包也隨著時間行簡諧運動形成李賽羅圖形

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

• 封面pdf
• 摘要pdf
• 誌謝pdf
• 目錄pdf
• 圖表目錄pdf
• 第一章pdf
• 第二章pdf
• 第三章pdf
• 第四章pdf
• 第五章pdf

57

表 325 二維拋物線位能井的駐波函數

(33) (22)

(21)

(11)

(30) (20)

(10) (00)

Intensityeigenstate (nm)Intensityeigenstate (nm)

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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• 誌謝pdf
• 目錄pdf
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• 第五章pdf

58

表 326 二維李賽羅波函數所組成的 PO

(32)

(21)

(11)

(pq) Different phase

59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

• 封面pdf
• 摘要pdf
• 誌謝pdf
• 目錄pdf
• 圖表目錄pdf
• 第一章pdf
• 第二章pdf
• 第三章pdf
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59

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

圓形的彈子球檯與方形的彈子球檯屬於軸對稱的邊界不同具有點對稱的性

質故圓形彈子球檯能表現與方形彈子球檯不同的數學性質然開放性的彈子球

檯其圖形隨著開放的範圍有所改變試以探討無理數中漸近分數尤其是黃金

比例在視覺上的呈現

41 圓形彈子球檯內的古典粒子

若我們改變邊界條件改以一個圓形的彈子球檯[2428]探討彈子球的軌

跡則先假定彈子球在球檯中為彈性碰撞即每次的碰撞不會損失能量可以簡

單的幾何證明彈子球在不同的初始條件下在經過連續的碰撞入射角及反射角

維持一個定值每次的碰撞距離也是固定的將碰撞距離視為圓中的一弦可發

現每弦的圓心角α為定值

在此命pq

α π= 可將 q 視為將圓心均分為 q 等分在圓周上打上 q 個點

而 p 代表每隔幾個點畫上連線(表 411)當 p=1 時隨著 q 的增加可以發現畫

成一個多邊形而且其圖形越接近圓形的邊界引入完全剩餘系的性質我們將

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系而所有的碰撞點組成一個完全

剩餘系則 p q 兩個為互質的整數時代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系表

現在圖形上則仍是一個封閉且完整的路徑

我們也可以計算當給定一個固定 q 值時有幾種圖形的呈現在此我們引入

尤拉函數計算在小於 q 的情況下有幾個 p 值被允許在此因為碰撞點排列可

有順時鐘逆時鐘兩個方向然在圖形表現在並沒有差別故可得

( )2qn φ

=

以 q=11 時為例

( )11 1

52

nminus

= = 計有五種表示

60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

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[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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60

若 pq 的值為無理數(表 412)無法等切割圓時則會發現隨著碰撞次數

的增加軌跡也會越來越密且不形成封閉的路徑但和方形 billiard 不同的事

彈子球隨著不同的初始條件會有不同半徑的同心圓為禁止區域形成包若線的

圓形

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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• 誌謝pdf
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• 圖表目錄pdf
• 第一章pdf
• 第二章pdf
• 第三章pdf
• 第四章pdf
• 第五章pdf

61

圖 411 二維圓形 billiard 邊界

α

α

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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• 第四章pdf
• 第五章pdf

62

(15)

(111) (14) (13) (11)

(411)

(511) (311) (211) (111)

表 411 圓形彈子球檯與完全剩餘系

63

(80 hits)

(160 hits) (40 hits) (20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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• 誌謝pdf
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• 圖表目錄pdf
• 第一章pdf
• 第二章pdf
• 第三章pdf
• 第四章pdf
• 第五章pdf

63

(80 hits)

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α和圓周角比值為無理數

表 412 無理數圓形彈子球檯

64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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64

42 開放式彈子球檯

若我們取一個圓形球檯連續散出彈子球後(圖 412)打開其球檯的邊界

則彈子球會向外散出則越早散出的彈子球離圓心越遠則會形成一個發散狀

的圖形其角度變化可形成一個等差級數其離圓心的半徑變化亦可形成等差級

數引入阿基米德螺旋可以知道其角度變化與半徑成正比故可以發現各個

彈子球其連線將形成阿基米德螺旋

我們先比較一個 close 和 open 的圓形彈子球檯的差異(圖 413)可以發現封

閉的圓形彈子球檯若 pq 為簡單整數比時可以形成一個封閉的圖形而 q 值

漸大時整個圖形越趨近於圓形的邊界而圖形也越單調越不明顯若是 pq 為無

理數時都是呈現一個同心圓狀的圖形但放入一個開放的彈子球檯時圖形則

變的十分複雜而有變化故試以一個開放的彈子球檯對於呈現 q 很大的彈子球性

質比較 q 值很大及無理數時的圖形

首先我們模擬(PQ)其中 Q=890ltPlt45可以發現當(PQ)=(3489)時不

但出現雙螺旋(圖 414)的現象且最為明顯清楚當(PQ)=(3289)時(圖 415)

雖也有雙旋轉的現象但注意中心部分可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

螺旋而接近的(3389)(3589)都無法出現雙螺旋的圖形

探究雙螺旋的圖形效果源來自於花葉序的排列觀察其中葉原體的排列角

度正為黃金比例而開放的圓形彈子球檯彈子球離中心的距離隨時間而改變

與植物花葉離中心遠近依照生長時間長短變化的方式類似若觀察上圖可以發現

出現雙螺旋的 3389 正是黃金比例的漸近分數之一已知漸近分數是一個無理數

在分母不大於 P 的情況下的最佳逼近故當(PQ)為黃金比例的漸近分數時應

呈現雙螺旋的圖形效果

然若 P 選擇的範圍gt45 會如何(圖 416)由圓子彈子球檯中完全剩餘系的性

質可知(PQ)可視以 Q 為模的完全剩餘系可得表示方式的數量為 (89) 2φ 這

是因為一個封閉邊界順時鐘排列和逆時鐘排列並沒有差別(圖 417)即

65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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65

(pq)=(q-pp)然在一個開放的邊界中順逆時鐘排列是不同的排列方式故

圖形會具有對稱但旋轉方向不同的圖形(3489)具有雙螺旋的性質由完全剩

餘系的性質可知(89-3489)=(5589)也具有雙螺旋但旋轉方向不同的性質而費

式數列的特性為

1 2n n nF F Fminus minus= + 經移項可得

2 1n n nF F Fminus minusminus =

可以發現345589皆是費伯納希數列的數項也都具有雙螺旋的視覺特

性若以連分數逼近無理數取漸近分數從性質可知可依次得到不同的漸近分

數 n

n

pq

且 n 越大越是高階的的漸近分數越是逼近無理數的真值

31 2

1 2 3

1 2 3 5 8 13 21 34 89 1 1 2 3 5 8 13 21 55

pp pq q q

⎧ ⎫ ⎧ ⎫sdotsdotsdot = sdotsdotsdot⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

若我們取幾個不同的漸近分數(表 413)比較不同 n 值得到的漸近分數在

開放圓形彈子球檯內的情況可以發現 1漸近分數在點數很多的情況下會

呈現發散狀的直線排列這是因為彈子球本來就是直線的向外發散而雙螺旋則

是因為密集排列造成的視覺感受2若 n 值越大越是接近無理數的漸近分數

在點數高的情況下越能保持雙螺旋的視覺感受當我們取漸近分數

(4181 10946)(圖 418)作圖取 1000 點仍可以發現雙螺旋的圖形符合 n 值越大

漸近分數越逼近無理數圖形也越接近的特性

66

1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

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(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

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EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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1

23

4

5

圖 412 二維開放式圓形 billiard

67

圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

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(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

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第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

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[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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圖 413 二維封閉開放式圓形 billiard 比較

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順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

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圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

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(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

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圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

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[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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68

順螺旋 逆螺旋

圖 414 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

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(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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• 第三章pdf
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69

圖 415 不同(pq)開放式圓形 billiard 圖形

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(789) (889) (989) (1089) (1189) (1289)

(1389) (1489) (1589) (1689) (1789) (1889)

(1989) (2089) (2189) (2289) (2389) (2489)

(2589) (2689) (2789) (2889) (2989) (3089)

(3789) (3889) (3989) (4089) (4189) (4289)

(4389) (4489)

(3189) (3289) (3389) (3489) (3589) (3689)

70

(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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(189) (289) (389) (489) (589) (689)

(8889) (8789) (8689) (8589) (8489) (8389)

圖 416 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

71

(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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(3489) (5589) 向日葵

圖 417 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

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[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

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[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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72

(3489)

(2155)

(1334)

(821)

400 300200100 點數 (pq)

表 413 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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73

圖 418 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形

(418110946)

74

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形都是古典粒子的週期性運動要成形成封閉性的

週期性軌道必需在有理數的條件下才能成立若為無理數的情況下則會形成

開放非封閉的軌跡若是以波的形式疊加亦可形成週期性軌跡且當疊加的數

量越高其軌跡越是接近古典粒子的情況而封閉的圓形彈子球檯圖形則良好

的呈現同餘與完全剩餘系的概念軌跡是由一個連續不間斷的折線所組成而

唯有完全剩餘系可以以一筆畫形成封閉的軌道而開放的圓形彈子球檯則以

視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列其漸近分數與無理數間的關係

在自然科學中有許多奇特的現象具有深刻的數學意涵希望未來能藉由不

同的週期性現象發現更有趣的物理現象及視覺呈現如利用二維及三維擺線

knot晶格拼貼並將抽象的數學概念以具體視覺化的方式和自然科學結合

75

參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

76

[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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參考文獻

[1] IAdlerDBarabe and R V JeanrdquoA History of the Study of Phyllotaxisrdquo Ann Bot(London) 80231-244(1997)

[2] A C Newell and P D Shipman Plants and Fibonacci J Stat Phys 121 56937ndash968(2005)

[3] Chaorong LiXiaona Zhang and Zexian Cao rdquoTriangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on CoreShell MiscstructuresrdquoScience 309909-911(2005)

[4] Thomas B Greenslade Jr rdquoAll about ldquolissajous FiguresrdquoPhys Tea Vol 31(1993)

[5] D HilbertSCohn-VossenGeometry and imagincation1-725-29凡異 [6] Audun HolmeGeometry rdquoOur cultural heritagerdquo87-89246-247rdquoSpringer(2002) [7] Hansen Vagn LundsgaardGeometry in Nature2-5A K OetersLtd(1994) [8] Manfred R rdquoNumber theory in science and communicationrdquo3-540-26596-1 4th

EditionSpringer [9] 張同君rdquo完全剩餘系與費爾馬小定理rdquo數學學習與研究第 3 期44-45(2003) [10] 孟大生rdquo從數學系統中的rdquo標度性rdquo看三次數學危機rdquo大學數學第 22 卷第 3

期157-162(2006) [11] 水木耳rdquo再說 為無理數rdquo數學傳播 32 卷 1 期60-61 [12] 蔡聰明rdquo 為無理數的証明rdquo數學傳播 23 卷 1 期12-23 [13] 張海潮張鎮華rdquo舊題新解-根號 2 是無理數rdquo數學傳播 30 卷 4 期32-33 [14] 莊智仰rdquo代數數與無理數的探討rdquo數學傳播 27 卷 2 期27-31 [15] 林琦焜rdquoEuler(1707-1783)-數學的莎士比亞rdquo數學傳播 26 卷第 2 期39-51 [16] 華羅庚rdquo華羅庚科普著作選集rdquo凡異民 9147-84 [17] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(上)rdquo數學傳播 19 卷 3 期1-11 [18] 蔡聰明rdquo輾轉相除法黃金分割與費氏數列(下)rdquo數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修楊淳青rdquo量子波包之古典行徑rdquo物理雙月刊 24 卷 4 期566-578 [20] Marita Barabash rdquoCycloids billiards lissajou using the computer to visualize

irrational numbers and what can this be good forrdquoInternational Journal of Computers for Mathematical Learning 8333-356(2003)

[21] Ovidio M Bucciand Guiseppe PelosirdquoFrom Wave Theory to Ray Opticsrdquo IEEE Antennas and Propagat MagVol36No435-42(1994)

[22] Chris Eliasmith and Paul Tagard rdquoWaves Particles and Explanatory Coherencerdquo J Phil Sci481-19(1997)

[23] Y F Chen T H Lu K W Su and K F HuangrdquoQuantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems Efficient extension of localized wave functionsrdquo Phys Rev E 72056210(2005)

22

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[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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[24] R W RobinettrdquoVisualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform Simple infinite examplesrdquo Am J Phys 651167-1175(1997)

[25] Y F Chen and K F HaungrdquoLocalization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiardrdquo Phys Rev E 66 046215(2002)

[26] Y F Chen and K F Haung rdquoVortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillatorsrdquo J Phys A367751-7760(2003)

[27] T H Lu Y F Chen and K F Huang ldquoSpatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavitiesrdquo Phys Rev A 77013828(2008)

[28] M C M Wright and C J Ham rdquoPeriodic orbits theory in acoustics spectral fluctuations in circular and annular waveguidesrdquo J Acoust Soc Am 121(4)(2007)

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