數學本質概念【分數計算】數學本質概念【分數計算】數學本質概念【分數計算】數學本質概念【分數計算】

TKU95ATKU95A0202 陳雅君 陳雅君 0404 李思萱李思萱

壹、關於分數計算• 在短時間內，分數計算的規則可以被很簡單地

教導。 背誦記憶

• 將焦點注意在分數規則和答案的獲得時，會有兩種顯著的危險：

1. 沒有一個規則幫助學生思考關於運算的意義和為何他們要如此做。

2. 當分數計算規則變得相似或易混淆時，則學生的計算優勢很快就會失去。

分數計算策略指導方向： • 開始由簡單的情境問題著手• 以全數的計算連結分數計算的意義• 讓估算和非正式的方法在策略的發展上

扮演重大的角色• 利用模式探究每一種運算之使用

一至九年級【分數計算】綱要結構 • 一年級 ( 無 )• 二年級 2-n-07 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動。 2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數， 並比較不同單位分數的大小。• 三年級 3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數， 並解決同分母分數的比較與加減問題。• 四年級 4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數 的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數 的整數倍的計算。 4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較， 並用來做簡單分數與小數的互換。• 五年級 5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。 5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。 5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。• 六年級 6-n-03 能理解除數為分數的意義及其計算方法，並解決生活中的問題。 6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。• 七年級 7-n-11 能以最大公因數、最小公倍數熟練運用至• 約分、擴分、最簡分數的計算。• 八、九年級 ( 無 )

分數的計算教學順序依分數的型態整理如下：

單位分數真分數等值分數通分擴分 & 約分最簡分數

假分數帶分數 倒數 ( 用於分數的除法 )

貳、分數大小的比較教學策略：藉由具體物或圖示的方式讓學生了

解等值分數之間的等價關係。 1. 分母相同的兩個分數，分子大的分數比較大。 例題： ＞

2. 分子相同的兩個分數，分母小的分數比較大。 例題： ＞

5

35

2

6

1

9

1

叁、等值分數

教學策略：藉由具體物或圖示的方式讓學生了解等值分數之間的等價關係。

例題：

擴分 教學策略：讓學生去歸納擴分時分子與分

母需同乘一數，之後再出幾個題目請學生做擴分練習

。例題： =

觀察得： 分子 4 是由 2 × 2 而得， 分母 10 是由 5 × 2 而得。

5

2

10

4

約分 教學策略：將擴分的概念倒推回來，了解其間的

關係之後，再帶入最簡分數的概念。

例題： = 是 2× 2 、 5× 2 而得

而

= 即 4÷ 2 、 10÷ 2 而得

5

2

10

4

10

4

5

2

最簡分數

教學策略：找不到一個數可以同時去除一個分數的分子和分母時即為互質。

例題： = 為 4÷ 2 、 10÷ 2 而得，

但是找不到一個數 可以同時去除 的分子 2 與分母 5 也就是 2 和 5 互質 因此我們說 是最簡分數。

10

4

5

2

5

2

5

2

肆、分數的加減

一、同分母分數的加減：不需進 ( 退 ) 位 需進 ( 退 ) 位

二、異分母分數的加減：不需進 ( 退 ) 位 需進 ( 退 ) 位

一、同分母分數的加減教學策略：最好可以搭配圖示（畫圓形圖、線段

圖，或是舉出生活中的實例）來做教學。

例題：不需進 ( 退 ) 位

需進 ( 退 ) 位

二、異分母分數的加減教學策略：以投影片為教具可讓學生清楚看見異

分母之間的關係，是不錯的選擇。

例題：不需進 ( 退 ) 位

需進 ( 退 ) 位

伍、分數的乘法一、分數的整數倍：單位分數的整數倍、真

分數的整數倍、帶分數的整數倍。 二、整數的分數倍：整數的單位分數倍、整

數的真分數倍、整數的帶分數倍，其積數可能為整數或分數。

三、分數的分數倍：單位分數的單位分數倍、單位分數的真分數倍、真分數的單位分數倍、真分數的真分數倍。

一、分數的整數倍1. 真分數的整數倍◎ 由連加導入： × 3 是 有 3 個 ×3 ＝ ＋ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝

◎ 用單位分數說明： 是 3 個

3 個 有 3 個，共是 9 個 ， 9 個 是

= 所以 ×3 ＝ = =

◎ 發現法則：分數乘以整數，用整數去乘分數的分子為積的分子，原分母為積的分母（ × 丙 = ）

4

34

3

4

3

4

3

4

3

4

34

333

4

334

9

4

12

4

3

4

1

4

1

4

1

4

1

4

9

4

9

4

9

4

12

4

3

4

33

甲乙

甲丙乙

4

12

一、分數的整數倍2. 帶分數的整數倍

◎ 將帶分數視為整數和真分數的合成結果

例題：求 的 3 倍時，先將 視為 2 +

分別求 2 × 3 = 6 與 × 3 = 後，

再將結果合併成帶分數的形式，亦即 6 ＋ = 6

◎ 將帶分數轉換為假分數

例題：求 的 3 倍時，先將 視為 的三倍 為 × 3 = = 6

4

12

4

12

4

12

4

12

4

1

4

1

4

9

4

3

4

3

4

3

4

9

4

3

二、整數的分數倍1. 整數的單位分數倍2. 整數的真分數倍3. 整數的帶分數倍 其積數可能為整數或分數。

教學策略：整數乘以分數，用整數乘以分數的分子為積的分子，原分母為積的分母

（甲 × = ）乙丙

乙丙甲

三、分數的分數倍1. 單位分數的單位分數倍2. 單位分數的真分數倍3. 真分數的單位分數倍、真分數的真分數倍。 教學策略：上面乘上面 、下面乘下面（ × ＝ ）例題： × = =

教學策略：一般來說，我們會把兩個分數相乘的結果化成最簡單的分數，也就是說，如果發現相乘後分子與分母還有共同的因數時應將它們除掉 ( 亦即約分 ) 。

例題： × = = =

甲乙

丙丁

丙甲丁乙

2

1

2

1

22

11

4

1

3

1

4

312

3

43

31

4

1

陸、分數的除法

一、整數除以整數， 結果為分數的除法問題二、整數除以分數 三、分數除以整數四、分數除以分數

一、整數除以整數， 結果為分數的除法問題

教學策略：可以利用實物、畫圖等方式 讓學生更易建立概念。例題：將 3 公升的水倒入容量 4 公升的水桶，水占水

桶的幾分之幾？　　　　　　　　　算式： 3 ÷ 4 = 公升圖解： 由圖來看， 1 公升的水佔水桶的 ， 3 公升的話就是佔了 3 個 ， 也就是 3 × = ，得知 3 ÷ 4 = ， 亦即整數除以整數，結果為分數的除法問題 乙 ÷ 甲 =

4

3

4公升

佔 4

3

4

1

4

1 4

1

4

3

4

3

甲乙

4公升3公升

二、整數除以分數 教學策略：整數除以分數，等於整數 × 此分數

的倒數（甲 ÷ = 甲 × ）。

例題： 個大餅要 5 元，一個大餅要多少錢？

由圖知，一個大餅等於 4 個 大餅，也就是 5 × 4 = 20 元 所以 20 = 5 ÷ = 5 × 4 = 5 ×

5 ÷ = 5 ×

4

1

乙丙

丙乙

4

1

4

1

4

1

5

三、分數除以整數教學策略：當學生不了解時可以先將分數改成整數

讓學生了解題目的意義，之後再改回分數作計算。例題：把 公尺的繩子，平分成兩段，每段長多少

公尺？ 把 分成兩段，就是把 4 個 平均分成兩份， 1 段就是 ( 4 ÷ 2 ) = 2 個 ，亦即 。 聯繫前面學過的分數乘法的意義， 說明把 平分成兩段，也就是 公尺的 。 所以，可以用乘法計算 ÷ 2 = ×

5

4

5

45

1

5

1

5

2

5

4

5

42

1

2

1

5

4

5

4

四、分數除以分數教學策略：由被除數與除數同乘以一數， 其商不變的道理導入法則 （ ÷ = × ）

6÷3= （ 6×2 ） ÷ （ 3×2 ） =12÷6=26÷3= （ 6×2×4 ） ÷ （ 3×2×4 ） =48÷24=2

例題： ÷ = （ × ） ÷ （ × ） = （ × ） ÷1 = ×

甲乙

丙丁

甲乙

丁丙

3

2

3

2

3

23

2

5

33

5

3

5

3

55

3

3

5

柒、資料來源一、網路 1. http://www.naer.edu.tw:8080/ 林宜臻的數學園地 2. http://www.naer.edu.tw/study/math/ana/book3/ 國小數學教材分析 3. http://content.edu.tw/primary/math/jm_jh/math/s3high/s311.htm 分數的四則運算與等值分數的設計，呂玉琴。 4. http://rcs.wuchang-edu.com/Special/Subject/XXSX/DGJC/211/ 中教育星多媒體教育資源庫& 平台 5. http://menet.math.ecnu.edu.cn/overseas/jshpx_j.htm 教師培訓 6. http://www.wyjh.mlc.edu.tw/winpon/modules.php?name=MyMath 中小學數學學習教材

二、書籍 1. 《中小學數學科教材教法》五南出版社 張英傑、周菊美／譯 2. 《國小數學科教學研究》五南出版社 劉秋木／著

報告完畢

感謝聆聽