אלגברית טופולוגיה

שלנק תומר פרופ' הרצאות על מבוסס(80607) אלגברית" בטופולוגיה יסוד "מושגי בקורס

2016 ב' סמסטר העברית, האוניברסיטהnachi.avraham@gmail.com להערות:

נחי

מורן הדר בן־משה, שי ותיקונים: הערות ששלח למי תודה

שם. למצוא ניתן בסיכום שחסרות הוכחות .Allen Hatcher של Algebraic Topology בספר רחב שימוש נעשה זה בסיכום הערה:המחבר: באתר חופשית להורדה זמין הספר

www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html

1

עניינים תוכן

4 סמי־סימפליציאלית הומולוגיה I

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סמי־סימפליציאלי קומפלקס 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . +∆־קומפלקס של גאומטרי מימוש 1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . שרשראות קומפלקס 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סמי־סימפליציאלית הומולוגיה 3

11 הקטגוריות לתורת מבוא II

11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קטגוריה 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פנקטור 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טבעיות העתקות 5.1

16 סינגולרית הומולוגיה III

17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הומוטופיה 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הומוטופית שקילות 6.121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כללית לחבורה ביחס סינגולרית הומולוגיה 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מדויקות סדרות 825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . יחסית סינגולרית הומולוגיה 9

26 והסינגולרית הסמי־סימפליציאלית - ההומולוגיות שקילות IV

26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בריצנטרית חלוקה 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מאייר־ויאטוריס משפט 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מסקנות 11.130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Excision 11.232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מקומית הומולוגיה 11.3

34 סלולארית הומולוגיה V

34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הפרוייקטיבי והמישור יריעות 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CW־קומפלקס 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טובים זוגות 1442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . העתקה של דרגה 1544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סלולארית הומולוגיה 16

48 אקסיומטית בגישה הומולוגיה נספח: VI

49 היסודית החבורה VII

51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הורוויץ משפט 1753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ון־קמפן משפט 1856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מסקנות 18.1

2

60 כיסוי מרחבי VIII

61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אוניברסלי כיסוי מרחב 18.262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הסיב פנקטור 18.365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π1 (X,x0) ∼ CovX הקטגורית השקילות 18.4

66 טנזורית ומכפלה סימפליציאליות קבוצות IX

68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סימפליציאליות קבוצות 1970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טנזורית מכפלה תחת מדויקות סדרות 2071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kunneth משפט 20.174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . האוניברסליים המקדמים משפט 20.2

75 קוהומולוגיה X

76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הקוהומולוגיה על חוגי מבנה 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בקוהומולוגיה יחסית סדרה 2279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . יריעות על אוריינטציה 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פואנקרה דואליות 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קומפקטית הומולוגיה 24.1

86 גבוהות הומוטופיה חבורות XI

87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . יחסית הומוטופיה 2588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . וייטהד משפט 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הסלולארי הקירוב משפט 27

3

I חלק

סמי־סימפליציאלית הומולוגיה

סמי־סימפליציאלי קומפלקס 1

להיות ה־n־ממדי הסטנדרטי הסימפלקס את נגדיר ,n ∈ N לכל הגדרה:

∆n :=

{(t0, t1, ..., tn) ∈ Rn+1 |

n∑i=0

ti = 1, ∀0 ≤ i ≤ n, ti ≥ 0

}⊂ Rn+1

.Rn+1 בתוך הסטנדרטיים היחידה וקטורי n+ 1 של הקמור הוא ה־n־ממדי הסטנדרטי הסימפלקס אחרת, בצורה הערה:

בקואורדינטה 1 כאשר eni = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) כלומר, .eni ידי על Rn בתוך iה־ הסטנדרטי היחידה וקטור את נסמן דוגמאות:.iה־

40 = e11 = {1}

.e21, e

22 הנקודות את המחבר R2 במישור הישר הוא ∆1

.e31, e

32, e

33 הנקודות הם שקודקודיו R3 במרחב המשולש קמור הוא ∆2

.e41, e

42, e

43, e

44 הנקודות הם שקודקודיו R4 במרחב הטטרהדרון קמור הוא ∆3

.∆n−1 סימפלקסים n+ 1 יש ∆n לסימפלקס הערה:

(קטעים). ∆1 סימפלקסים 3 יש (המשולש) ∆2 לסימפלקס למשל כך

העתקות נגדיר ,n ∈ N לכל הגדרה:

δ[n]i : ∆n−1 → ∆n ; 0 ≤ i ≤ n

ידי על

δ[n]i : (t0, t1, ..., tn−1) 7→ (t0, ..., ti−1, 0, ti, ..., tn−1)

בצורה ,∆n בתוך −n־ממדיים) 1 סימפלקסים (שאלו ∆n של השפה סימפלקסי i = 0, ..., n מתוך אחד כל השיכון זה כלומר,הקודקודים. סדר את משמרת (2) לינארית (1) שהיא

כלומר, .iה־ לקודקוד ממול שנמצאת ∆n של השפה כסימפלקס ,∆n−1 הסימפלקס את משכנת δ[n]i כי במוסכמה נשתמש

,0, ..., n הקודקודים מול מתקבלים אלה שיכונים n + 1 כאשר ,δ[n]0 , ..., δ

[n]n ידי על ∆n בתוך פעמים n + 1 משתכן ∆n−1

בהתאמה.

ביחידות. אותה קובעת הקודקודים על כנ"ל לינארית העתקה הגדרת כי לב נשים

מהצורה העתקות עם קבוצות של אוסף הוא אם סמי־סימפליציאלית, קבוצה או +∆־קומפלקס הוא X• כי נאמר הגדרה:

...d[3]−→ X2

d[2]−→ X1d[1]−→ X0

העתקות של משפחה היא d[n] כל כאשר

d[n]i : Xn → Xn−1 ; 0 ≤ i ≤ n

4

,i < j שלכל המקיימות

d[n−1]i ◦ d[n]

j ≡ d[n−1]j−1 ◦ d

[n]i

במרחב ∆n הסימפלקסים אוסף את תייצג Xn לפיו אלגברי בקידוד נשתמש ברקע. טופולוגיה כל ללא אלגברית הגדרה זו הערה:להלן. שנגדיר כפי שלנו, במרחב ה"הדבקה" פעולת את מייצגות d[n]

i והפונקציות שלנו,

+∆־קומפלקס של גאומטרי מימוש 1.1

באיחוד נתבונן +∆־קומפלקס. X• = ...d[3]−→ X2

d[2]−→ X1d[1]−→ X0 יהי ⊔הגדרה:

n∈N(Xn ×∆n)

ידי: על שקילות יחס עליו )ונגדירd

[n]i (x) , α

)∼(x, δ

[n]i (α)

); ∀0≤i≤n, ∀x∈Xn, ∀α∈∆n−1

הטופולוגי, המנה מרחב להיות X• ה־+∆־קומפלקס של הגאומטרי המימוש את נגדיר

|X•| :=

(⊔n∈N

(Xn ×∆n)

)/∼

שרשראות קומפלקס 2

הומומורפיזמים אוסף עם יחד ,A0, A1, A2, ... כלשהן אבליות חבורות של אוסף הוא אם שרשראות, קומפלקס הוא A• כי נאמר הגדרה:.n ∈ N לכל dn−1 ◦ dn ≡ 0 המקיימים ,dn : An → An−1

מהצורה מבנה הוא A• כלומר

A• = ...d3−→ A2

d2−→ A1d1−→ A0

האבלית המנה חבורת את להגדיר ניתן n ∈ N לכל ולכן ,Imdn ⊂ ker dn−1 כי נובע dn−1 ◦ dn ≡ 0 מההנחה כי לב נשים הערה:

Hn (A•) := ker dn/Imdn+1

שרשראות קומפלקס עבורו נגדיר +∆־קומפלקס. X• = ...d[3]−→ X2

d[2]−→ X1d[1]−→ X0 יהי הגדרה:

C• (X•) = ...∂n+1−→ Cn (X•)

∂n−→ Cn−1 (X•)∂n−1−→ ...

∂1−→ C0 (X•)

הבא: באופן n ∈ N לכל המוגדר

5

כלומר, .Xn ידי על שנוצרת האבלית החופשית החבורה להיות Cn (X•) את נגדיר �

Cn (X•) :=

{ ∑x∈Xn

axx | ax ∈ Z

}היא בחבורה הפעולה )כאשר ∑

x∈Xn

axx

)+

( ∑x∈Xn

bxx

)=∑x∈Xn

(ax + bx)x

השפה פונקציות את נגדיר �

∂n : Cn (X•)→ Cn−1 (X•)

היוצרים: על הגדרתן ידי על

Xn 3 x 7→n∑i=0

(−1)id

[n]i (x)

שרשראות. קומפלקס להגדרת בהתאם ,∂n−1 ◦ ∂n ≡ 0 אכן כי נראה

,n ∈ N לכל לו, המתאימות ∂n : Cn (X•)→ Cn−1 (X•) ההעתקות עבור כלשהו. +∆־קומפלקס X• יהי טענה:

∂n−1 ◦ ∂n ≡ 0

גאומטריים. או טופולוגיים באמצעים אותה נוכיח לא השפה. פונקציות מתכונות הנובעת אלגברית טענה שזו לב נשים הערה:

בסקלר: וכפל סכום המכבדות אבליות חבורות בין העתקות ∂n, ∂n−1ש־ בכך ונשתמש כלשהו, a ∈ Xn עבור נחשב הוכחה:

∂n−1 (∂n (x)) = ∂n−1

∑0≤j≤n

(−1)jd

[n]j (x)

=∑

0 ≤ j ≤ n0 ≤ i ≤ n− 1

(−1)i+j

d[n−1]i ◦ d[n]

j (x)

ונקבל: ,i ≥ j ועבור i < j עבור הסכום את נפצל

∂n−1 (∂n (x)) =∑

0≤i<j≤n

(−1)i+j

d[n−1]i ◦ d[n]

j (x) +∑j ≤ i

0 ≤ j ≤ n0 ≤ i ≤ n− 1

(−1)i+j

d[n−1]i ◦ d[n]

j (x)

ולכן ,0 ≤ i′ < j′ ≤ n לתנאי מיתרגם השני בסכום והתנאי ,j′ := i+ 1, i′ := j נכתוב

∂n−1 (∂n (x)) =∑

0≤i<j≤n

(−1)i+j

d[n−1]i ◦ d[n]

j (x)

+∑

0≤i′<j′≤n

(−1)j′−1+i′

d[n−1]j′−1 ◦ d

[n]i′ (x)

.−1 של נוספת אחת בחזקה בדיוק מוכפל השני הסכום כי לב נשים כן כמו .d[n−1]i ◦ d[n]

j ≡ d[n−1]j−1 ◦ d

[n]i כי נזכור כעת

� כנדרש. ,∂n−1 (∂n (x)) = 0 כלומר

6

סמי־סימפליציאלית הומולוגיה 3

נוכל n ∈ N לכל ולכן ,Im∂n ⊂ ker ∂n−1 כי לב נשים שלו. השרשראות קומפלקס C• (X•) ויהי +∆־קומפלקס, X• יהי הגדרה:ידי על n ∈ N לכל ,H∗ (X•) ∈ Ob (GrAb) שלו הסמי־סימפליציאלית ההומולוגיה את להגדיר

Hn (X•) = Hn (C• (X•)) := ker ∂n/Im∂n+1

שקולים שלמרחבים למרות הגאומטרי, במימוש תלויה הסמי־סימפליציאלית ההומולוגיה שהגדרת נובע לכאורה כי לב נשים הערה:שונים. מימושים להיות יכולים טופולוגית

(0∆־סימפלקס): α לנקודה (1∆־סימפלקס) a הצלע קצוות הדבקת ידי על אחת בצורה המעגל את לממש ניתן למשל

•α

a

��

:α, β נקודות לשתי a, b הצלעות קצוות זוג הדבקת ידי על שנייה בצורה אותו לממש ניתן כן כמו

β•

a

EE•α

b

��

במימוש תלויה תהיה לא שההומולוגיה רוצים היינו ולכן טופולוגית, שקולות צורות מניבים אלה גאומטריים מימושים שניהגאומטרי. במימוש תלויה אינה ההומולוגיה כי לקבוע לנו שיאפשר המרכזי המשפט את נוכיח בהמשך הגאומטרי.

חישוביות דוגמאות

הראשון: הגאומטרי המימוש עם במעגל נתבונן דוגמה:

•α

a

��

וכי ,(α הנקודה שהוא יחיד 0∆־סימפלקס יש (שכן C0 = Z{α} = Z כי לב נשים שלו. השרשראות קומפלקס את נכתובהוא השרשראות קומפלקס לכן 1.(a שהוא יחיד 1∆־סימפלקס יש (שכן C1 = Z{a} = Z

0∂2−→ Z ∂1−→ Z ∂0−→ 0

חבורות של מאיזומורפיזמים נתעלם להבא .Z{A} ∼= Z אז יחידון A אם .A איברי ידי על הנוצרת החופשית החבורה להיות Z{A} את נסמן ,A קבוצה 1בהינתן

רגיל. שוויון ונכתוב

7

ההומולוגיות: את נחשב

H0 = ker ∂0/Im∂1 = Z/{α} = ZH1 = ker ∂1/Im∂2 = Z/{a} = Z

H2 = ker ∂2/Im∂3 = {0}/{0} = {0}...

Hn = {0}...

השני: גאומטרי מימוש עם במעגל נתבונן כעת דוגמה:

β•

a

EE•α

b

��

הומולוגיות. אותן את שנקבל ניווכח

השרשראות קומפלקס לכן .C1 = Z{a,b} = Z2 וכי ,C0 = Z{α,β} = Z2 כי לב נשים שלו. השרשראות קומפלקס את נכתובהוא

0∂2−→ Z2 ∂1−→ Z2 ∂0−→ 0

כי לב נשים

∂1 (xa+ yb) = x∂1 (a) + y∂1 (b)

= (α− β)x+ (β − α) y

.dim Im∂1 = 1 ולכן ,dim ker ∂1 = 1 כי לראות קל ולכן ,α = β אם ורק אם אפס זה ביטוי

ההומולוגיות: את מכך נקבל

H0 = ker ∂0/Im∂1 = Z2/Z = Z

H1 = ker ∂1/Im∂2 = Z2/Z = Z

H2 = ker ∂2/Im∂3 = {0}/{0} = {0}...

Hn = {0}...

דוגמה:

β•

γ•

b

??

•α

a

__ c

OO

d

ff

8

השרשראות קומפלקס לכן .C1 = Z{a,b,c,d} = Z4 וכי C0 = Z{α,β,γ} = Z3 כי לב נשים השרשראות. קומפלקס את נכתובהוא

0∂2−→ Z4 ∂1−→ Z3 ∂0−→ 0

:ker ∂1 את נחשב תחילה ה־1־הומולוגיה. את נחשב �

0!= ∂1 (ax+ by + cz + dw)

= x∂1 (a) + y∂1 (b) + z∂1 (c) + w∂1 (d)

= x (γ − α) + y (β − γ) + z (β − α) + w (β − α)

= (−x− z − w)α+ (y + z + w)β + (x− y) γ

אפס: המקדמים שכל היא יתאפס שהביטוי הדרישה ולכן חופשית חבורה זו−x− z − w = 0

y + z + w = 0

x− y = 0

=⇒

x = −z − wy + z + w = 0

x = y

=⇒ x = y = −z − w

ה־1־הומולוגיה את ונקבל ,dim ker ∂1 = 2 לכן

H1 = ker ∂1/Im∂2 = Z4/Z2 = Z2

ולכן ,ker ∂0 = Z3 כי לב נשים תחילה ה־0־הומולוגיה. את נחשב �

H0 = ker ∂0/Im∂1 = Z3/Z2 = Z

מלא: משולש של הבא הגאומטרי במימוש נתבונן דוגמה:

β•

c

��

b

yyγ•

a

$$

N u

•α

.C2 = Z{u} = Z וכן ,C1 = Z{a,b,c} = Z3 כן כמו ,C0 = Z{α,β,γ} = Z3 כי לב נשים השרשראות. קומפלקס את נכתובהוא השרשראות קומפלקס לכן

0∂3−→ Z ∂2−→ Z3 ∂1−→ Z3 ∂0−→ 0

9

כי לב נשים

∂2 (xu) = x∂2 (u) = (b+ a− c)x

.H2 = ker ∂2/Im∂3 = {0} ולכן ,dim ker ∂2 = 0 כי ברור ולכן

זה. מימוש של ההומולוגיה את לחשב כדי הטורוס את גאומטרית לממש נרצה דוגמה:

היא: כזה למימוש דוגמה

α•a //

b

��

•α

b

��

N U

NL

α•

c

77

a// •α

ובכך (b) השמאלית והצלע הימנית הצלע את ומזהים גליל, יוצרים ובכך (a) העליונה והצלע התחתונה הצלע את מזהים כלומר,.(α) יחידה כנקודה מזוהות הפינות שארבעת היא התוצאה טורוס. יוצרים

לכן .C2 = Z{U,L} = Z2 וכן ,C1 = Z{a,b,c} = Z3 כן כמו ,C0 = Z{α} = Z מתקיים השרשראות. קומפלקס את נכתובהוא השרשראות קומפלקס

0∂2−→ Z2 ∂2−→ Z3 ∂1−→ Z ∂0−→ 0

כי לב נשים

∂1 (xa+ yb+ zc) = x∂1 (a) + y∂1 (b) + z∂1 (c)

= (α− α)x+ (α− α) y + (α− α) z

≡ 0

כן, כמו .dim ker ∂1 = 3 ולכן

∂2 (pU + qL) = p∂2 (U) + q∂2 (L)

= (b+ c− a) p+ (c+ b− a) q

= (b+ c− a) (p+ q)

כי מכאן .dim ker ∂2 = 1 כי נובע ולכן

H1 = ker ∂1/Im∂2 = Z3/Z = Z2

כן, כמו עצמו). שלו ההיקף הוא והשני שבמרכזו, החור הוא (אחד חד־ממדיים חורים שני יש לטורוס כלומר,

H2 = ker ∂2/Im∂3 = Z/{0} = Z

10

II חלק

הקטגוריות לתורת מבואכי להראות תאורטי קושי יש אולם לחישוב, קלה זו הומולוגיה הסמי־סימפליציאלית. ההומולוגיה מושג את לבנות כיצד ראינו רקע:תכונות להוכיח יותר קל יהיה עליה - סינגולרית הומולוגיה - אחרת הומולוגיה נבנה הגאומטרי. במימוש תלויה אינה הגדרתההסינגולרית ההומולוגיה את לבנות מנת על הללו. ההומולוגיות סוגי שני בין הקושר המרכזי המשפט את נוכיח מכן ולאחר כנ"ל,

הקטגוריות. מתורת לכלים נזדקק

קטגוריה 4

הבאים: הדברים את הכולל עצם היא C קטגוריה הגדרה:

והמורפיזמים: האובייקטים - אוספים זוג �

(Objects) Ob (C)(Morphisms) Mor (C)

מתאימות: העתקות �

(source) s : Mor (C)→ Ob (C)(target) t : Mor (C)→ Ob (C)

(Identity) Id : Ob (C)→ Mor (C)

להם: מתאים מורפיזמים תת־אוסף X,Y ∈ Ob (C) אובייקטים זוג לכל ונסמן

HomC (X,Y ) = {f ∈ Mor (C) | s (f) = X, t (f) = Y }

העתקה קיימת ,X,Y, Z ∈ Ob (C) אובייקטים שלישיית שלכל כך

◦ : HomC (X,Y )×HomC (Y,Z)→ HomC (X,Z)

הבאות: התכונות שמתקיימות כך

כלומר, .Id (X) ∈ HomC (X,X) מתקיים ,X ∈ Ob (C) לכל הזהות: של אדישות .1

s (Id (X)) = X = t (Id (X))

,f ∈ HomC (X,X) לכל כן כמו

f ◦ Id (X) = f = Id (X) ◦ f

11

f ∈ HomC (X,Y ) , g ∈ לכל ,X,Y, Z,W ∈ Ob (C) רביעייה לכל כלומר אסוציאטיבית, ◦ ההרכבה: של אסוציאטיביות (א),HomC (Y, Z) , h ∈ HomC (Z,W )

(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)

דומה בסימון וכן X,Y, Z ∈ Ob (C) לשלישייה המתאימה ההעתקה ◦XY Z שאם כך ידי על זו אסוציאטיביות לסמן ניתןהבאה: בדיאגרמה שווה העקומים החצים שני תוצאת אז השלישיות, לשאר

HomC(X,Y )×HomC(Y,Z)×HomC(Z,W )◦XYZ //

◦Y ZW

��

◦XYZ◦XZW

%%◦Y ZW ◦XYZ

,,

HomC(X,Z)×HomC(Z,W )

◦XZW

��HomC(X,Y )×HomC(Y,W ) ◦XYZ

// HomC(X,W )

כלליות: דוגמאות

(כלשהן). פונקציות עם קבוצות2 :Set .1

סדר. שומרות פונקציות עם חלקית סדורות קבוצות :poSet �

חוגים. של הומומורפיזמים עם חוגים :Ring .2

חוגים. של הומומורפיזמים עם קומוטטיביים חוגים :CRing �

חוגים. של הומומורפיזמים עם שלמות תחומי :Dom –

חוגים. של הומומורפיזמים עם שדות :Field *

חבורות. של הומומורפיזמים עם חבורות :Grp .3

חבורות. של הומומורפיזמים עם אבליות חבורות :Ab �

,n ∈ N לכל כאשר f = (f0, f1, ...) הם והמורפיזמים ,(A0, A1, ...) אבליות חבורות של סדרות :GrAb –חבורות. של הומומורפיזם fn : An → Bn

f = הם והמורפיזמים שרשראות, מקומפלקסי המתקבלות סמי־סימפליציאליות הומולוגיות סדרות :GrHb –חבורות. של הומומורפיזם fn : Hn → H ′n ,n ∈ N לכל כאשר (f0, f1, ...)

לינאריות. העתקות עם הווקטוריים מרחבים :Vec .4איזומטריות.3 עם מטריים מרחבים :Met .5

איזומטריות. עם שלמים מטריים מרחבים :CMet �

רציפות. העתקות עם טופולוגיים מרחבים :Top .6

מהצורה שרשראות קומפלקסי הם שלה שהאובייקטים קטגוריה :Comp דוגמה:

A• = ...d3−→ A2

d2−→ A1d1−→ A0

אינו כידוע זה ואוסף הקבוצות, כל אוסף הוא האובייקטים אוסף זו, בדוגמה קבוצה. דווקא לאו כלשהו, אוסף להיות האובייקטים אוסף את שהגדרנו לב 2נשים

קבוצה.חח"ע. דווקא לאו שהן 3איזומטריות

12

.n ∈ N לכל dn ◦ dn−1 ≡ 0 ועבור אבליות חבורות A0, A1, ... עבור

שאם כך ,f = (f1, f2, ...) : s (f) → t (f) הכללית מהצורה f ∈ Mor (Comp) איברים הם ,Mor (Comp) המורפיזמיםנסמן

s (f) = A• = ...dA3−→ A2

dA2−→ A1d1A

−→ A0

t (f) = B• = ...dB3−→ B2

dB2−→ B1dB1−→ B0

,n ∈ N לכל אז

fn : An → Bn

מקיימת

dBn ◦ fn ≡ fn−1 ◦ dAn−1

קטגורית. בשפה "רגילים" מבנים של לזיהוי דוגמאות נראה דוגמאות:

ההרכבה את .Mor (BG) = G ומורפיזמים ,Ob (BG) = {?} יחיד אובייקט עם BG קטגוריה נתאים G חבורה לכל .1.(G בחבורה (ככפל g1 ◦ g2 := g1g2 ,g1, g2 ∈ G שלכל כך נגדיר

.G החבורה על להסתכל קטגורית צורה למעשה זו

Mor (P) = {f} יחיד ומורפיזם ,Ob (P) = P אובייקטים עם P קטגוריה נתאים (P,≤) חלקית סדורה קבוצה לכל .2כלומר, .x ≤ y אם ורק אם x, y ∈ P עבור המוגדר

Mor (P) = HomP (x, y) =

{? x ≤ y∅ otherwise

x ≤ x כי x כל עבור מתקבל הזהות מורפיזם .x ≤ z מטרנזיטיביות x ≤ y ≤ z עבור כי מאליה מוגדרת ההרכבה(רפלקסיביות).

קטגורית. בשפה חלקית סדורה קבוצה של זיהוי למעשה זה גם

המורפיזמים עם Ob (Cop) := Ob (C) האובייקטים את להכיל ,Cop שלה ההפוכה הקטגוריה את נגדיר כלשהי. קטגוריה C תהי הגדרה:ידי על fop ∈ Mor (Cop) נגדיר ,f : s (f)→ t (f) עם f ∈ Mor (C) שלכל כך ידי על Mor (C) מתוך המתקבלים Mor (Cop)

.fop : t (f)→ s (f) כלומר ,t (fop) := s (f) , s (fop) := t (f)

ידי על מתקבלת Cop של ההרכבה

fop ◦ gop := (g ◦ f)op

חלקית הסדורה מהקבוצה המתקבלת הקטגוריה היא Pop אז ,P קטגוריה המגדירה חלקית סדורה קבוצה (P,≤) אם דוגמה:.(P,≥)

(כלומר מתהפך הכפל בה Gop מהחבורה המתקבלת הקטגוריה היא (BG)op אז ,BG קטגוריה המגדירה חבורה G אם דוגמה:

.(g1 ·op g2 := g2 · g1

13

פנקטור 5

העתקות: זוג הכולל ,F : C → D המסומן פורמלי עצם הוא Dל־ Cמ־ F פנקטור ,C,D קטגוריות בהינתן הגדרה:

X 7→ F (X) ,Ob (C)→ Ob (D) .1

f 7→ F (f) ,Mor (C)→ Mor (D) .2

המורפיזמים): של להעתקה האובייקטים של ההעתקה בין (הקושרים הבאים התנאים שמתקיימים כך

,f ∈ Mor (C) לכל �

s (F (f)) = F (s (f))

t (F (f)) = F (t (f))

,X ∈ Ob (C) לכל .1

Id (F (X)) = F (Id (X))

,f ∈ HomC (X,Y ) , g ∈ HomC (Y, Z) לכל ,X,Y, Z ∈ Ob (C) לכל .2

F (g ◦ f) = F (g) ◦ F (f) ∈ HomF (C) (F (X) , F (Z))

שמתקיים כך ,s (g) = t (f) , t (g) = s (f) עם g ∈ Mor (C) מורפיזם קיים אם איזומורפיזם, נקרא f ∈ Mor (C) מורפיזם הגדרה:.g ◦ f = Ids(g)=t(f) וגם f ◦ g = Ids(f)=t(g)

סדר שומרות פונקציות הן האיזומורפיזמים PSet בקטגוריה ועל. חח"ע פונקציות הם האיזומורפיזמים Set בקטגוריה דוגמאות:והפתוחות. הרציפות הפונקציות הן האיזומורפיזמים Top בקטגוריה חזק.

כלליות: דוגמאות

מהתכונות חלק או שלה מהמבנה חלק "שוכח" מסוימת, קטגוריה מקבל זה פנקטור השוכח". "הפנקטור הוא בסיסי פנקטור .1יותר. רחבה קטגוריה בתוך תמונה ומחזיר שלה,

כלומר, שעליה. הכפל טבלת את ושוכח חבורה המקבל פנקטור הוא ,Grp→ Set מהצורה מבנה שוכח לפנקטור דוגמההחבורה. איברי אוסף של קבוצתי אובייקט להיות הופך החבורה של האובייקט

התכונה את ושוכח אבלית חבורה המקבל הפנקטור הוא ,Ab→ Grp מהצורה תכונה שוכח לפנקטור נוספת דוגמהאבלית. שהיא

.Z{A} החופשית החבורה את ומחזיר A קבוצה המקבל Set→ Grp פנקטור .2

שלו. ההשלמה מרחב את ומחזיר מטרי מרחב המקבל Met→ CMet פנקטור .3

שלו. השברים שדה את ומחזיר שלמות תחום המקבל Dom→ Field פנקטור .4

המתאימות. הקטגוריות על פועלים פנקטורים כיצד נבין קטגוריאלי, באופן וקבוצה חבורה זיהינו בהן לדוגמאות בהמשך דוגמאות:

14

חבורות. של הומומורפיזם הוא BG1 → BG2 פנקטור חבורות, G1, G2 עבור .1

.G עליה שפועלת קבוצה מגדיר BG→ SET פנקטור חבורה, G עבור .2

(חלש). סדר שומרת פונקציה הוא P1 → P2 פנקטור חלקית, סדורות קבוצות (P1,≤) , (P2,≤) עבור .3

"קטנות". בקטגוריות נתבונן נוספות: דוגמאות

.Mor (C)ב־ מורפיזם מגדיר (1→ 2)→ C פנקטור ,C קטגוריה לכל .1→ 2 יחיד מורפיזם עם ,{1, 2} אובייקטים זוג .1

.Mor (C)ב־ איזומורפיזם מגדיר (1� 2)→ C פנקטור ,C קטגוריה לכל .1� 2 מורפיזמים זוג עם {1, 2} אובייקטים זוג .2

נקרא F op הפנקטור בעוד ,F op : Cop → D לפנקטור ביחס קו־וריאנטי נקרא F : C → D קטגוריות זוג בין פנקטור הגדרה:.F לפנקטור ביחס קונטרא־וריאנטי

מורפיזם ולכל ,F (X) את פשוט X ∈ Ob (Cop) = Ob ((C)) אובייקט לכל מתאים F op : Cop → D קונטרא־וריאנטי פנקטור.(F (f))

op את ,f ∈ Mor (C) מאיזה המתקבל fop ∈ Mor (Cop)

טבעיות העתקות 5.1

,η : F → G הפורמלית מהצורה העתקה היא Gל־ F מ־ טבעית העתקה קטגוריות. בין פנקטורים זוג F,G : C → D יהיו הגדרה:(כלומר f : X → Y אם ,f ∈ Mor (C) שלכל כך ,X ∈ Ob (C) לכל ביחס ηX : F (X)→ G (X) העתקות של אוסף המכילה

ההתחלפות: מתקיימת אז ,(s (f) = X, t (f) = Y

G (f) ◦ ηX ≡ ηY ◦ F (f)

מתחלפת: הבאה הדיאגרמה כלומר,

F (X)

F (f)

��

ηX // G (X)

G(f)

��F (Y )

ηY// G (Y )

בפנקטור ונתבונן ,R מעל n × n הריבועיות המטריצות לחבורת R חוג המעתיק GLn : Ring→ Grp בפנקטור נתבונן דוגמה:.R× שלו ההפיכים האיברים לחבורת R חוג כל המעתיק (−)

×: Ring→ Grp

A ∈ GLn (R) כל המעתיקות detR : GLn (R)→ R× ההעתקות אוסף ידי על ,det : GLn → (−)× טבעית העתקה נגדיר

.detR (A) ∈ R× שלה הדטרמיננטה אל

וכן GLn (f) : GLn (R) → GLn (S) חבורות של הומומורפיזמים שני משרה חוגים של הומומורפיזם f : R → S כלמתקיים ואכן ,f× : R× → S×

f× ◦ detR≡ det

R◦GLn (f)

טבעית. העתקה היא det כלומר

15

III חלק

סינגולרית הומולוגיהשלו. הגאומטרי המימוש את מחזיר +∆־קומפלקס שלכל ,∆+ → Top בפנקטור נתבונן מבוא:

שלו. השרשראות קומפלקס את ומחזיר +∆־קומפלקס המקבל ,∆+ → Comp נוסף בפנקטור נתבונן

כלומר, המתאימות. ההומולוגיה חבורות את ומחזיר שרשראות קומפלקס המקבל Comp→ GrHb בפנקטור נתבונן לבסוףשרשראות, קומפלקס עבור

A• = ...d3−→ A2

d2−→ A1d1−→ A0 7→

את מחזיר הפנקטור

(H0, H1, ...) = (ker d0/Imd1, ker d1/Imd2, ...)

איזומורפיזמים כדי עד תתחלף שהיא כך בדיאגרמה הפנקטורים את להשלים ניתן שקיבלנו. הפנקטורים בדיאגרמת נתבונןטבעיים:

∆+

|−| //

C•

��

Top

CompH∗

// GrAb

הסמי־סימפליציאלית). ההומולוגיה פנקטור H∗ השרשראות, קומפלקס פנקטור C• הגאומטרי, המימוש פנקטור |−| (כאשר.Top→∆+ פנקטור למצוא מספיק כך שלשם ניכר ומהדיאגרמה ,Top→ GrAb פנקטוריאלית להגיע לדעת נרצה

.Top שנסמן הטופולוגיים, המרחבים ובקטגוריית ,∆+ נסמן אותה ה־+∆־קומפלקסים, בקטגוריית נתבונן הגדרה:

הבא: באופן Sing+• () : Top→∆+ סינגולרי פנקטור נגדיר

האובייקטים העתקת �

Ob (Top) 3 X 7→ Sing+• (X) ∈ Ob (∆+)

,n ∈ N שלכל כך ,Sing+n (X) קבוצות אוסף ידי על המוגדרת

Sing+n (X) := HomTop (∆n, X)

.∆n → X מהצורה הרציפות ההעתקות קבוצת זו כלומר,

המורפיזמים העתקת �

Mor (Top) 3 f 7→ Sing+• (f) ∈ Mor (∆+)

העתקות אוסף ידי על מוגדרת ההעתקה אז ,X,Y ∈ Ob (Top) עבור f : X → Y נאמר

Sing+n (f) : HomTop (∆n, X)→ HomTop (∆n, Y )

,n ∈ N לכל המוגדרות

Sing+n (f) (g) := f ◦ g

16

ידי על n ∈ N לכל ,CSing• (X) שלו הסינגולרי השרשראות קומפלקס את נגדיר טופולוגי. מרחב X יהי הגדרה:

CSing• (X) := C•

(Sing+

n (X))

ידי על n ∈ N לכל ,HSing∗ (X) שלו הסינגולרית ההומולוגיה את נגדיר טופולוגי. מרחב X יהי הגדרה:

HSingn (X) := Hn

(CSing• (X)

)ה־n־ית. הסמי־סימפליציאלית ההומולוגיה היא Hn כאשר

בצורה Xn ↪→ Sing+n (|X•|) כלומר .|X•| של הסינגולריים הסימפלקסים בתוך מוכלים X• של הסימפלקסים כי לב נשים הערה:

טבעית.

הומוטופיה 6

.I := [0, 1] ⊂ R כללי באופן מעתה נסמן סימון:

מהצורה רציפה העתקה היא g לבין f בין הומוטופיה רציפות. העתקות f, g : X → Y ויהיו טופולוגיים, מרחבים X,Y יהיו הגדרה:מתקיים: x ∈ X שלכל כך ,H : I ×X → Y

H (0, x) = f (x)

H (1, x) = g (x)

.f ∼ g ונסמן הומוטופיות, f, g כי נאמר g לבין f בין הומוטופיה שקיימת במקרה

שקילות. יחס היא הומוטופיה טענה:

הוכחה:

הומוטופיה היא x ∈ X לכל H (t, x) = f (x) המוגדרת H : I ×X → Y ההעתקה f : X → Y לכל רפלקסיביות: �

לעצמה. f בין

ידי על fל־ הומוטופית g אזי .H : I × X → Y ידי על gל־ הומוטופית f אם ,f, g : X → Y לכל סימטריות: �

.x ∈ X לכל H (t, x) := H (1− t, x) המוגדרת H : I ×X → Y

אזי ,K : I ×X → Y ידי על g ∼ h וכן H : I ×X → Y ידי על f ∼ g אם ,f, g, h : X → Y לכל טרנזיטיביות: �

ידי על f ∼ h

H ? K : I ×X → Y

,x ∈ X לכל המוגדרת

H ?K (t, x) :=

{H (2t, x) 0 ≤ t ≤ 1

2

K (2t− 1, x) 12 < t ≤ 1

�

17

העתקה היא g לבין f בין שרשראות הומוטופיית שרשראות. קומפלקסי A•, B• עבור מורפיזמים f, g : A• → B• יהיו הגדרה:שמתקיים כך ,Hn : An → Bn+1 העתקות אוסף ידי על המוגדרת H : A• → B•+1 מהצורה

fn − gn ≡ ∂Bn+1 ◦Hn +Hn−1 ◦ ∂Anאותן). לחסר ניתן ולכן אבליות, חבורות בין העתקות אוספי הן f, g כי לב (נשים

שרשראות: הומוטופיית של הדיאגרמה את נצייר

· · ·∂A3 // A2

∂A2 //

f2

��g2

��

H2

xx

A1

∂A1 //

f1

��g1

��

H1

xx

A0

∂A0 //

f0

��g0

��

H0

xx

0

0

��· · ·

∂B3

// B2∂B2

// B1∂B1

// B0∂B0

// 0

האמצעיים. שבמסלולים הפונקציות הפרש יהיו במעוינים המסלולים ששני היא והדרישה

שקילות. יחס היא שרשראות הומוטופיית טענה:

הוכחה:

עם f של שרשראות הומוטופיית היא H ≡ 0 המוגדרת H : A• → B•+1 ההעתקה f : A• → B• לכל רפלקסיביות: �

עצמה.

שרשראות הומוטופיית −H אז f, g של שרשראות הומוטופיית H : A• → B•+1 אם ,f, g : A• → B• לכל סימטריות: �

.g, f של

אז בהתאמה, g, h ושל f, g של שרשראות הומוטופיות H,K : A• → B•+1 אם ,f, g, h : A• → B• לכל טרנזיטיביות: �

� .f, h של שרשראות הומוטופיית H +K

מהצורה הסינגולריות ההומולוגיות על f∗ ∈ Mor (GrAb) מורפיזם משרה f : X → Y רציפה העתקה הגדרה:

f∗ : HSing∗ (X)→ H

Sing∗ (Y )

המנה חבורות בין המושרות ההעתקות אוסף ידי על המוגדר

f∗,n : HSingn (X)→ HSing

n (Y )

כלומר שוות, שלהן המושרות ההעתקות אז רציפות), (כפונקציות הומוטופיות f ∼ g אם רציפות. העתקות f, g : X → Y יהיו למה:.f∗ ≡ g∗

,fn ≡ ∂Bn+1 ◦Hn +Hn−1 ◦ ∂An כי נניח .f ∼ 0 המקיימת f : A• → B• תהי .f∗ ≡ 0 אז f ∼ 0 אם כי להראות מספיק הוכחה:.f∗,n ≡ 0 כי ונראה

ההומומורפיזם מהגדרת .a ∈ ker ∂An לאיזה a = [a] המנה חבורת מהגדרת כלומר .a ∈ Hn (A•) = ker ∂An/Im∂An+1 יהימתקיים המושרה

f∗,n (a) = [fn (a)] ∈ Hn (B•) = ker ∂Bn/Im∂Bn+1

כי לב נשים

fn (a) = ∂Bn+1 (Hn (a)) +Hn−1

(∂An (a)

)︸ ︷︷ ︸=0

= ∂Bn+1 (Hn (a)) ∈ Im∂Bn+1 ⊂ ker ∂Bn

� .f∗,n (a) = 0 כלומר

18

Mor (hTop) = מורפיזמים ועם טופולוגיים), (מרחבים Ob (hTop) = Ob (Top) אובייקטים עם hTop בקטגוריה נתבונן הגדרה:ההומוטופיות. הרציפות הפונקציות כל את מזהים hTop בקטגוריה כלומר ההומוטופיה. יחס הוא ∼ כאשר Mor(Top)/∼

אז הומוטופיות, g, g′ : Y → Z וכן הומוטופיות f, f ′ : X → Y אם כי להראות צריך קטגוריה אכן שזו להראות כדי הערה:כתרגיל. זאת נשאיר הומוטופיות. g ◦ f , g′ ◦ f ′ : X → Z

מורפיזמים ועם שרשראות), (קומפלקסי Ob (hComp) = Ob (Comp) אובייקטים עם hComp בקטגוריה נתבונן הגדרה:המורפיזמים כל את מזהים hTop בקטגוריה כלומר השרשראות. הומוטופיית יחס הוא ∼ Morכאשר (hTop) = Mor(Top)/∼

הומוטופיים. שהם שרשראות של

מהצורה הסינגולריות ההומולוגיות על f∗ ∈ Mor (GrAb) מורפיזם משרה f : X → Y רציפה העתקה הגדרה:

f∗ : HSing∗ (X)→ H

Sing∗ (Y )

המנה חבורות בין המושרות ההעתקות אוסף ידי על המוגדר

f∗,n : HSingn (X)→ HSing

n (Y )

מהצורה השרשראות קומפלקסי על f• ∈ Mor (Comp) מורפיזם משרה גם f : X → Y רציפה העתקה הגדרה:

f• : CSing• (X)→ C

Sing• (Y )

השרשרת רכיבי בין המושרות ההעתקות אוסף ידי על המוגדר

f•,n : CSingn (X)→ CSingn (Y )

עבור אז רציפות) כפונקציות (הומוטופיות f ∼ g אם רציפות. העתקות f, g : X → Y יהיו להומוטופיה: האינווריאנטיות משפט

שרשראות). (הומוטופיית f• ∼ g• מתקיים f•, g• : CSing• (X)→ C

Sing• (Y )

,P : CSing• (X)→ C

Sing•+1 (Y ) שרשראות הומוטופיית לבנות נרצה .H : I ×X → Y ההומוטופיה ידי על f ∼ g כי נניח הוכחה:

העתקות אוסף המכילה

Pn : CSingn (X)→ CSingn+1 (Y )

המקיימות

fn − gn ≡ ∂Yn+1 ◦ Pn + Pn−1 ◦ ∂Xn

עבור נבדוק לכן ,Sing+n (X) = HomTop (∆n, X) ידי על שנוצרת האבלית החופשית החבורה היא C

Singn (X) כי נזכור

.Pn (σ) ∈ CSingn+1 (Y ) נגדיר ,σ : ∆n → X מורפיזם לכל כלומר שלה. יוצרים

נסמן: תחילה

{0} ×∆n := [v0, ..., vn]

19

{1} ×∆n := [w0, ..., wn]

ונגדיר

Pn (σ) :=

n∑i=0

(−1)iH ◦ (IdI × σ) |[v0,...,vi,wi,...,wn]∈ C

Singn+1 (Y )

הוא [v0, ..., vi, wi, ..., wn] ⊂ Rn+2 וכן ,H (IdI × σ) (s, t) = H (s, σ (t)) מוגדרת H ◦ (IdI × σ) : I ×X → Y כאשרהללו. הנקודות קמור

,σ : ∆n → X לכל ואכן .fn − gn ≡ ∂Yn+1 ◦ Pn + Pn−1 ◦ ∂Xn אכן כי להראות נרצה

∂Yn+1 (Pn (σ)) =∑j≤i

(−1)i(−1)

jH ◦ (IdI × σ) |[v0,...,vj ,...,vi,wi,...,wn]

+∑j≥i

(−1)i(−1)

j+1H ◦ (IdI × σ) |[v0,...,vi,wi,...,wj ,...,wn]

(∗) = gn − fn − Pn−1

(∂Xn (σ)

)זה. איבר מוציאים כי מסמן wj או vj הסימון כאשר

בו במקרה למעט הפוכים, סימניהם כי זה את זה מבטלים הסכומים זוג i = j עבור כי לב נשים .(∗) השוויון את נסביראז אבל ,H ◦ (IdI × σ) | שאז ,i = j = 0

H ◦ (IdI × σ) |[v0,...,vi,wi,...,wn]= gn ◦ σ

H ◦ (IdI × σ) |[v0,...,vi,w0,...,wn]= −fn ◦ σ

כי לב נשים ,i 6= j עבור כן כמו

Pn−1

(∂Xn (σ)

)=

∑i<j

(−1)i(−1)

jH ◦ (IdI × σ) |[v0,...,vi,wi,...,wj ,...,wn]

+∑i>j

(−1)i−1

(−1)jH ◦ (IdI × σ) |[v0,...,vj ,...,vi,wi,...,wn]

� המבוקש. השוויון את נקבל ב־1− כפל ידי ועל

הומוטופית שקילות 6.1

.hTop בקטגוריה כאובייקטים איזומורפיים הם אם הומוטופית, שקולים X,Y טופולוגיים מרחבים זוג כי נאמר הגדרה:

(ביחס g ◦ f ∼ IdX וכן f ◦ g ∼ IdY שמתקיים כך ,f : X // Y : goo רציפות העתקות זוג קיימות אם אחרות, במיליםההומוטופיה).

.(g עבור (ולהיפך Y לבין X בין הומוטופית שקילות היא f כי נאמר כזה במקרה

Dn → {0} ∈ Rn הקבועה ההעתקה ידי על הומוטופית, שקולים מרחבים (Rn בתוך היחידה דיקס Dn (עבור Dn, {0} ⊂ Rn דוגמה:שני. מצד {0} ↪→ Dn השיכון ידי ועל אחד, מצד

20

,n,m ∈ N לכל כי גם להראות ניתן למשל כך מממד. שמתעלמת תכונה היא הומוטופית ששקילות כך על מצביעה זו דוגמה הערה:הומוטופית. שקולים Rn,Rm

אם: ,X של (Deformation Retract) דפורמציה רטרקט הוא A כי נאמר תת־מרחב. A ⊂ X ויהי טופולוגי מרחב X יהי הגדרה:

המקיימת P : X → A רציפה העתקה קיימת .1

P |A≡ IdA

.(P ◦ ι ≡ IdA אז ,X של כתת־קבוצה A של השיכון ι : A ↪→ X אם אחרת: (בצורה

הבאים: הדברים שמתקיימים כך ,H : I ×X → X רציפה העתקה קיימת .2

(t, a) ∈ I ×A לכל H (t, a) = a (א)

x ∈ X לכל H (0, x) = x (ב)

x ∈ X לכל H (1, x) = P (x) ∈ A (ג)

אחד, בצד הומוטופית שקילות ι : A ↪→ X) הומוטופית שקולים A,X בפרט אז דפורמציה, רטרקט A ⊂ X אם כי לב נשים הערה:שני). בצד הומוטופית שקילות P : X → A

דוגמאות:

העתקות אותן ידי על דפורמציה, רטרקט אפילו היא {0} ⊂ Dn למעשה הומוטופית. שקולים {0} , Dn כי ראינו .1ביניהם. ההומוטופית השקילות את שמגדירות

בצורה החוט את לכווץ ניתן שני ובכיוון טבעי, שיכון יש אחד (בכיוון הומוטופית שקולים חוט עם ובלון חוט בלי בלון .2הבלון). עם שלו החיבור לנקודת רציפה

כללית לחבורה ביחס סינגולרית הומולוגיה 7

נגדיר: X טופולוגי למרחב כלשהי. אבלית חבורה A תהי הגדרה:

חופשיות חבורות מסדרת המורכב השרשראות קומפלקס להיות ,CSing• (X,A) שנסמן ,Aל־ ביחס השרשראות קומפלקס �

מהצורה סופיים סכומים ידי על אחת כל המתקבלות A מעל אבליות

CSingn (X,A) := Cn(Sing+

n (X) , A)

:=

{∑i

aiσi | ai ∈ A, σi ∈ Sing+n (X)

}

רציפה. σi : ∆n → X כלומר ,Sing+n (X) = HomTop (∆n, X) עבור

המורכבת הסינגולרית ההומולוגיה להיות ,HSing∗ (X,A) שנסמן Aל־ ביחס הסינגולרית ההומולוגיה את נגדיר בהתאם, �

הסינגולריות ההומולוגיות מסדרת

HSingn (X,A) := Hn

(CSingn (X,A)

)

.A = Z בחירת עבור מהנוכחית מתקבלת לעיל הסינגולרית ההומולוגיה הערה:

.A מעל ווקטורי מרחב היא HSing∗ (X,A) אז שדה, A אם דוגמה:

21

אזי טופולוגיים, מרחבים של זר איחוד שהוא טופולוגי מרחב X =∐αXα יהי טענה:

CSing• (X) = ⊕αC

Sing• (Xα)

HSing∗ (X) = ⊕αH

Sing∗ (Xα)

מכך ,α 6= β לכל לכן .Sing+n (X) := HomTop (∆n, X) מאיברי הנוצרת החופשית החבורה היא CSingn (X) כי לב נשים הוכחה:

.CSingn (Xα) ∩ CSingn (Xβ) = ∅ ולכן ,Sing+n (∆n, Xα) ∩ Sing+

n (∆n, Xβ) = ∅ נובע Xα ∩Xβ = ש־∅

של זר אוסף היא כלומר ,X של Xα רכיב כל משמרת ∂n : CSingn (X) → C

Singn−1 (X) השפה העתקת ,α לכל כי נובע

� .HSingn,α

(CSingn (Xα)

)הומולוגיה חבורות של זר אוסף היוצרות ,∂n,α : C

Singn (Xα)→ C

Singn−1 (Xα) העתקות

,A אבלית לחבורה ביחס אז ריק, ולא קשיר־מסילתית טופולוגי מרחב X אם טענה:

H0 (X,A) = A

,A אבלית לחבורה ביחס אז שלו, הקשירות רכיבי משפחת היא {Xα}α כי ונניח ריק, לא טופולוגי מרחב X אם מסקנה:

H0 (X,A) = ⊕αH0 (Xα, A) = ⊕αA

ידי על ε : CSing0 (X)→ A חבורות של הומומורפיזם נגדיר הוכחה:

ε

(∑i

aiσi

):=∑i

ai

האוגמנטציה. העתקת מכונה זו העתקה הערה: .Imε = A כי לראות קל

הראשון האיזומורפיזם ממשפט ולכן ,ker ε = Im∂1 כי נובע קשיר־מסילתית X כי מההנחה כי נראה

HSing0 (X | A) = C

Sing0 (X)/ker ε ∼= Imε = A

כי נראה כלומר ,ker ε = Im∂1 כי להראות נותר כך אם

Im∂1 =

{∑i

aiσi |∑i

ai = 0

}

אז ,σ ∈ CSing1 (X) לאיזה ∂1 (σ) := x− y ∈ Im∂1 בהינתן אחד, מצד

ε (∂1 (σ)) = ε (x− y) = 1− 1 = 0

.Im∂1 ⊂ ker ε ולכן ,∂1 (σ) ∈ ker ε כלומר

של שמחיבורים לב נשים .x − y ∈ Im∂1 מתקיים x, y ∈ X שלכל נובע קשיר־מסילתית X מהיות כי לב נשים שני, מצד� .ker ε ⊂ Im∂1 כלומר ,

∑i ai = 0 עם

∑i aiσi מהצורה איבר כל לקבל ניתן כנ"ל נקודות

22

טופולוגי. מרחב X ויהי אבלית חבורה A תהי הגדרה:

לכל המוגדר ,CSing• (X,A) שרשראות קומפלקס להיות Aל־ ביחס X של המצומצם השרשראות קומפלקס את נגדיר �

,n ∈ N

CSingn (X | A) :=

CSingn (X | A) n ≥ 0

A n = −1

0 n < −1

כלומר:

...∂3−→ C

Sing2 (X | A)

∂2−→ CSing1 (X | A)

∂1−→ CSing0 (X | A)

ε−→ A0−→ 0→ ...

.∑i aiσi 7→

∑i ai האוגמנטציה העתקת ε : C

Sing0 (X,A)→ A כאשר

,HSing∗ (X | A) הסינגולרית ההומולוגיה להיות ,Aל־ ביחס X של המצומצמת הסינגולרית ההומולוגיה את נגדיר בהתאם, �

,n ∈ N לכל המוגדרת

HSingn (X | A) := HSing

n

(CSingn (X | A)

)

נראית ה־0 ההומולוגיה עבור התוצאה כי לב נשים אולם השתמשנו. בה הקודמת מההגדרה מהותי באופן שונה אינה זו הגדרה הערההיא הרגילה הסינגולרית ההומולוגיה שכן כוויץ, טופולוגי מרחב X עבור יותר הגיונית

HSing0 (X | A) = C

Sing0 (X)/{0} = A/{0} = A

היא המצומצמת הסינגולרית וההומולוגיה

HSing0 (X | A) = C

Sing0 (X,A)/A = A/A = 0

מדויקות סדרות 8

הומומורפיזמים. fi ועבור אבליות חבורות Ai עבור ...fn+2−→ An+1

fn+1−→ Anfn−→ An−1

fn−1−→ ... סדרה תהי הגדרה:

שלב. בכל מדויקת היא אם מדויקת, סדרה זו כי נאמר .ker fn = Imfn+1 אם ,Anב־ מדויקת סדרה זו כי נאמר

הבאים: במובנים למשל נוחה טרמינולוגיה שזו לכך לב נשים הערה:

.Aב־ מדויקת סדרה היא 0 ↪→ Af−→ B אם ורק אם חח"ע, הוא f : A→ B חבורות של הומומורפיזם �

.Bב־ מדויקת סדרה היא Af−→ B

0−→ 0 אם ורק אם על, הוא f : A→ B חבורות של הומומורפיזם �

כלומר .ker g = Imf וגם על g וגם חח"ע f אם ורק אם מקום), (בכל מדויקת סדרה 0 ↪→ Af−→ B

g−→ C0−→ 0 �

סדרה נקרא כזאת לסדרה הראשון). האיזומורפיזם משפט הוא באמצע השוויון (כאשר C = Img = B/ker g = B/Imf

מדויקת. קצרה

23

אם ורק אם ,Anב־ מדויקת סדרה היא A• = ...dn+2−→ An+1

dn+1−→ Andn−→ An−1

dn−1−→ ... שרשראות קומפלקס �

.Hn (A•) = ker dn/Imdn+1 = 0

שיכון, ι (כלומר: GrAb של אובייקטים A•, B•, C• עבור , 0 ↪→ A•ι↪→ B•

κ−→ C•0−→ 0 מדויקת קצרה סדרה תהי הנחש: למת

.(kerκ = Imι על, κ

מהצורה מדויקת ארוכה סדרה שמתקבלת כך ,∂• : H• (C•)→ H•−1 (A•) העתקה קיימות אזי

...Hn+1 (C•)∂n+1−→ Hn (A•)

ι∗−→ Hn (B•)κ∗−→ Hn (C•)

∂n−→ Hn−1 (A•) ...

הבאה: בדיאגרמה נתבונן הוכחה:

0 � _

��

0� _

��

0 � _

��

0� _

��

0 � _

��· · · ∂A // An+2

ι

��

∂An+2 // An+1

ι

��

∂An+1 // An

ι

��

∂An // An−1

ι

��

∂An−1 // An−2

ι

��

∂An−2 // · · ·

· · · ∂B // Bn+2

κ

��

∂Bn+2 // Bn+1

κ

��

∂Bn+1 // Bn

κ

��

∂Bn // Bn−1

κ

��

∂Bn−1 // Bn−2

κ

��

∂Bn−2 // · · ·

· · · ∂C // Cn+2

0

��

∂Cn+2 // Cn+1

0

��

∂Cn+1 // Cn

0

��

∂Cn // Cn−1

0

��

∂Cn−1 // Cn−2

0

��

∂Cn−2 // · · ·

0 0 0 0 0

בלמה. מההנחה מדויקות האנכיות הסדרות כאשר

הבאה: בצורה ∂n : Hn (C•)→ Hn−1 (A•) העתקות אוסף ידי על ∂• את נגדיר תחילה .1

נשים .κ (b) = c שעבורו b ∈ Bn שקיים נובע על κ מהיות ,c ∈ ker ∂Cn לאיזה [c] ∈ Hn (C•) = ker ∂Cn/Im∂Cn+1 בהינתןהוא האחרון השוויון (כאשר ∂Bn (b) ∈ kerκ = Imι = An−1 כלומר ,κ

(∂Bn (b)

)= ∂Cn (κ (b)) = ∂Cn (c) = 0 כי לב

נגדיר: .ι (a) = ∂Bn (b) שמתקיים כך יחיד a ∈ An−1 קיים ι מחח"ע הראשון). האיזומורפיזם ממשפט

∂n ([c]) = [a]

מתקיים שפה להעתקות שכן ,[a] ∈ Hn−1 (A•) אכן כי לב נשים

∂Bn−1 (ι (a)) = ∂Bn−1

(∂Bn (b)

)= 0

.a ∈ ker ∂An−1 כי נובע ι ומחח"ע

.ι (a) = ∂Bn (b) שנתון נזכור .b הנציג בבחירת תלויה אינה ∂n ([c]) של ההגדרה כי נראה .2

.ι (a′) = ∂Bn (b′) המקיים a′ ∈ An−1 יהי .κ (b′) = c הוא גם המקיים b′ ∈ Bn יהי

a′′ ∈ An−1 שקיים נובע ι ומחח"ע לעיל), (כמו b′′ ∈ kerκ = Imι = An−1 כלומר ,κ (b′′) = 0 ונקבל b′′ := b−b′ נסמן.ι (a′′) = ∂Bn (b′′) שמתקיים כך יחיד

24

כי לב נשים

ι (a′′) = ∂Bn (b′′) = ∂Bn (b)− ∂Bn (b′) = ι (a)− ∂Bn (b′)

כלומר .ι (a′) = ∂Bn (b′) שעבורו a′ ∈ An−1 שקיים נובע ι ומחח"ע

ι (a′′) = ι (a− a′) = ∂Bn (b− b′) ∈ Im∂Bn

כנדרש. ,[∂Bn (b− b′)

]= 0 ∈ Hn−1 (A•) כי נובע ι ומחח"ע ,ι (a′′) = 0 ∈ Hn−1 (B•) כלומר

הבאים: הדברים את להראות יש מדויקת. סדרה מתקבלת אכן כי נראה .3

ker ι∗ = Im∂n+1 להראות יש :Hn (A•)ב־ דיוק �

שעבורו b ∈ Bn+1 קיים ולכן ,ι (a) ∈ ∂Bn+1 כלומר ,a ∈ ker ι∗ יהי .ker ι∗ ⊂ Im∂n+1 נראה תחילה –.∂Cn+1 (κ (b)) = κ

(∂Bn+1 (b)

)= κ (ι (a)) = 0 מתקיים ולכן ,kerκ = Imι כי לב נשים .ι (a) = ∂Bn+1 (b)

.a ∈ Im∂n+1 כלומר ,∂n+1 ([κ (b)]) = [a] כי נובע ∂ מהגדרת כי לב נשים

אבל .∂n+1 ([c]) ∈ Im∂Bn+1 כלומר .c ∈ Cn+1 לכל ι∗ (∂n+1 ([c])) = 0 ∈ Hn (B•) כי להראות צריך –עם b ∈ Bn+1ל־) ι (a) = ∂Bn+1 (b) המקיים a ∈ An+1 עבור ∂n+1 ([c]) = [a] מתקיים ∂n+1 מהגדרת

.(κ (b) = c

.kerκ∗ = Imι∗ להראות יש :Hn (B•)ב־ דיוק �

כלומר ,κ∗ ([b]) = 0 ∈ Hn (C•) = ker ∂Cn/Im∂Cn+1 כלומר ,[b] ∈ kerκ∗ יהי .kerκ∗ ⊂ Imι∗ נראה תחילה –.c ∈ Cn+1ל־ κ (b) = ∂Cn+1 (c) כך אם נכתוב .κ (b) ∈ Im∂Cn+1

ולכן ,κ (b′) = c שמתקיים כך b′ ∈ Bn+1 שיש נובע על κ מהיות

κ(b− ∂Bn+1 (b′)

)= κ (b)− κ

(∂Bn+1 (b′)

)= κ (b)− ∂Cn+1 (κ (b′))

= ∂Cn+1 (c)− ∂Cn+1 (c) = 0

.[b] =[b− ∂Bn+1 (b′)

]∈ Imι∗ לכן .a ∈ Anל־ b−∂Bn+1 (b′) = ι (a) לכן ,b−∂Bn+1 (b′) ∈ kerκ = Imι אז

.κ∗ ◦ ι∗ ≡ 0 ולכן ,κ ◦ ι ≡ 0 ולכן ,kerκ = Imι כי לב נשים אבל .Imι∗ ⊂ kerκ∗ נראה כעת –

� .ker ∂n = Imκ∗ להראות כתרגיל נשאיר :Hn (C•)ב־ דיוק �

יחסית סינגולרית הומולוגיה 9

תת־מרחב. A ⊂ X ויהי טופולוגי מרחב X יהי הגדרה:

להיות Aל־ ביחס X של היחסי השרשראות קומפלקס את נגדיר �

CSing• (A) ↪→ C

Sing• (X) −→ C

Sing• (X)/CSing• (A) := C

Sing• (X | A)

להיות Aל־ ביחס X של היחסית ההומולוגיה את נגדיר �

HSing∗ (X | A) := H

Sing∗

(CSing• (X | A)

)

25

IV חלק

והסינגולרית הסמי־סימפליציאלית - ההומולוגיות שקילות

בריצנטרית חלוקה 10

.⋃i∈I U

oi = X המקיימים ,X של תת־מרחבים אוסף U := {Ui}i∈I ויהי טופולוגי, מרחב X יהי הגדרה:

ידי על n ∈ N לכל ,Sing+,U• (X) ⊂ Sing+

• (X) +∆־קומפלקס נגדיר

Sing+,Un (X) := {σ : ∆n → X | ∃i ∈ I, Imσ ⊂ Ui}

ידי על n ∈ N לכל ,CSing,U• (X) ⊂ CSing• (X) השרשראות קומפלקס את עוד נגדיר

CSing,Un (X) := CSingn (Sing+,Un (X))

.Uiב־ גם שלו מהשפות אחת כל אז ,Imσ ∈ Ui אם כי +∆־קומפלקס, היא Sing+,Un (X) כי לב נשים הערה:

המושרית ההעתקה אם קוואזי־איזומורפיזם, היא f : A• → B• העתקה כי נאמר שרשראות. קומפלקסי זוג A•, B• יהיו מינוח:

איזומורפיזם. היא f∗ : HSing∗ (A•)→ H

Sing∗ (B•) להומולוגיות

.σ := [v0, ..., vn] נכתוב אז ,v0, ..., vn ∈ Rn+1 נקודות n+1 של קמור הוא זה סימפלקס n־ממדי. סימפלקס σ ⊂ Rn+1 יהי הגדרה:.∑j tj = 1, tj ≥ 0 עבור x =

∑j tjvj מהצורה לכתיבה ניתנת x ∈ σ נקודה כל כלומר,

להיות הסימפלקס של הבריצנטר את נגדיר

bσ :=1

n+ 1

∑j

vj

הסימפלקס). של האמצעית הנקודה פשוט זו (גאומטרית

להיות הסימפלקס של הבריצנטרית החלוקה את אינדוקטיבי באופן נגדיר

[bσ, w1, ..., wn]

.σ מפאות אחת של הבריצנטרית לחלוקה שייך [w1, ..., wn] כאשר

מאייר־ויאטוריס משפט 11

קוואזי־איזומורפיזם. הוא CSing,U• (X) ↪→ CSing• (X) השיכון משפט:

.⋃i∈I U

oi = X המקיימים ,X של תת־מרחבים אוסף U := {Ui}i∈I ויהי טופולוגי, מרחב X יהי :1 למה

חלוקות m נבצע שאם כך גדול, מספיק m ∈ N קיים ,σ : ∆n → X כלומר ,σ ∈ CSing• (X) סינגולרי סימפלקס לכל

.CSing,U• הסינגולרי בסימפלקס יהיה בחלוקה סימפלקס כל ,σ של בריצנטריות

הקוטר כי להראות נרצה .∆n =⋃i∈I V

oi המקיים אוסף V := {Vi}i∈I כי ונקבל ,Vi = σ−1 (Ui) נגדיר i ∈ I לכל הוכחה:

בריצנטריות. חלוקות הרבה מבצעים כאשר לאפס שואף הבריצנטרית בחלוקה הסימפלקסים של

26

באינדוקציה זאת נראה .diam(σ) · nn+1 הוא המתקבל הסימפלקס של הקוטר אחת, בריצנטרית חלוקה ביצוע לאחר כי ראה

התת־קטע אורך שווים, קטעים לשני באמצעו σ קטע מחלקים (אם טריוויאלית הטענה n = 1 ממד עבור הסימפלקס. ממד עלכללי באופן כי לב נשים .n ≥ 2 ממד נניח .(diam(σ) · 1

1+1 הוא

diam([u0, ..., un]) = maxi,j{|ui − uj |}

הבריצנטרית, בחלוקה כלשהו סימפלקס [bσ, w1, ..., wn] עבור ולכן

diam([bσ, w1, ..., wn]) = maxi,j,k{|wi − wj | , |bσ − wk|}

מתקיים .[bσ, w1, ..., wn] לסימפלקס המתאימה σ של השפה τ תהי כעת

|wi − wj | ≤n− 1

ndiam(τ) ≤ n

n+ 1diam(τ) ≤ n

n+ 1diam(σ)

מהנקודה רחוקה הכי הנקודה הוא קודקוד שכן ,τל־ המתאים σ של קודקוד v0 עבור |bσ − wk| ≤ |bσ − v0| עבור כי לב נשיםהבריצנטרית.

להציג שניתן כך ,c := 1n

∑nj=1 vj נסמן

bσ =1

n+ 1v0 +

n

n+ 1c

ונקבל

|bσ − wk| ≤∣∣∣∣ 1

n+ 1v0 +

n

n+ 1c− v0

∣∣∣∣ =n

n+ 1|c+ v0| ≤

n

n+ 1diam(σ)

הכל בסך

diam([bσ, w1, ..., wn]) =n

n+ 1diam(τ) ≤ n

n+ 1diam((σ))

N כנדרש.

כי מתקיים σ : ∆n → X שלכל כך ,S : CSing• (X) → C

Sing• (X) שרשראות קומפלקסי של העתקה קיימת :2 למה

.σ של הבריצנטרית בחלוקה נמצא σj שכל כך ,S (σ) =∑j ajσj

H : CSing• (X)→ שרשראות הומוטופיית קיימת כלומר שרשראות. הומוטופיית של במובן S ∼ Id

CSing• (X)

מתקיים כן, כמו

שמתקיים כך ,CSing•+1 (X)

S − IdCSing• (X)

= ∂ ◦H +H ◦ ∂

זו. למה נוכיח לא הערה:B•/A• של ההומולוגיות אם ורק אם קוואזי־איזומורפיזם, הוא A• ↪→ B• שיכון שרשראות. קומפלקסי A•, B• יהיו :3 למה

טריוויאליות.

27

מדויקת קצרה סדרה נקבל הוכחה:

0 ↪→ A• ↪→ B• → B•/A•

הומולוגיות של מדויקת ארוכה סדרה נקבל הנחש ומלמת

...→ HSingn+1 (B•/A•)→ HSing

n (A•)→ HSingn (B•)→ HSing

n (B•/A•)→ HSingn−1 (A•)→ ...

N איזומורפיזמים. הן הארוכה בסדרה ההעתקות כל אם ורק אם ,n ∈ N לכל HSingn (B•/A•) = {0} ולכן

טריוויאליות. CSing• (X)/CSing,U• (X) של ההומולוגיות כל כי להראות די מאייר־ויאטוריס, משפט את להוכיח כדי מסקנה:

ההעתקות: דיאגרמת את ונצייר ,2 מלמה S : CSing• (X)→ C

Sing• (X) בהעתקה ניזכר המשפט: הוכחת

0 // CSing,U• (X)

S��

// CSing• (X)

S��

// CSing• (X)/CSing,U• (X) // 0

0 // CSing,U• (X) // CSing• (X) // CSing• (X)/CSing,U• (X) // 0

לכן .Ui לאיזו במלואם שייכים שלא הסימפלקסים כל את מכיל זה שרשראות קומפלקס .A• := CSing• (X)/CSing,U• נסמן

עבור לכן .(1 (מלמה Sm (α) ≡ 0 שעבורו כך m ∈ N קיים α ∈ An := CSingn (X)/CSing,Un (X) שלכל נובע 1 מלמה

.Sm∗ ([α]) ≡ 0 ∈ HSingn (A•) מתקיים [α] ∈ HSing

n (A•)

להומולוגיות המושרות ההעתקות כי נובע בעבר שהוכחנו מלמה ולכן שרשראות, כהומוטופיית S ∼ Id נובע 2 מלמה שני, מצדכלומר ,0 = Sm∗ ([α]) = Idm∗ ([α]) = [α] כי נקבל הכל בסך .S∗ ([α]) = [α] משמע .S∗ = Id∗ כלומר ממש, שוות

� כנדרש. ,HSingn (A•) = {0}

CSing,{A,B}• ↪→ כי מתקיים שראינו כפי אזי .Ao∪Bo = X המקיימים תתי־מרחבים A,B ⊂ X ויהיו טופולוגי מרחב X יהי הגדרה:

.(U = {A,B} עבור מאייר־ויטוריס (משפט קוואזי־איזומורפיזם הוא CSing• (X)

המדויקת הקצרה מהסדרה כעת

0→ CSing• (A ∩B)→ C

Sing• (A)⊕ CSing• (B)→ C

Sing,{A,B}• (X)→ 0

מדויקת ארוכה סדרה הנחש למת ידי על נקבל ,(kerCSing• ⊕ CSing• = A ∩B כי לב (נשים

...→ HSingn+1 (X)→ HSing

n (A ∩B)→ HSingn (A)⊕HSing

n (B)→ HSingn (X)→ H

Singn−1 (A ∩B)→ ...

מאייר־ויאטוריס. סדרת נקראת זו סדרה

מסקנות 11.1

ה־n־ממדי, היחידה מעגל Sn ⊂ Rn+1 עבור טענה:

HSingm (Sn) =

{Z m = 0 or m = n

0 otherwise

28

מצומצמת: הומולוגיה של (בכתיב

HSingm (Sn) =

{Z m = n

0 otherwise

.(A אבלית חבורה לכל HSing0 (X | A) = A תמיד m = 0 עבור מצומצמת בהומולוגיה שכן

ההומולוגיה. אכן שזו כבר וחישבנו ,S0 = {α, β} ⊂ R ,n = 0 עבור הממד. על באינדוקציה הוכחה:

D+n+1 ⊂ Rn+2 כאשר ,Sn+1 = D+

n+1∪D−n+1 ידי על Sn+1 את לכתוב ניתן כי לב נשים כלשהו. n ≥ 1 עבור הטענה את נניח

התחתונה. ההמיספרה D−n+1 ⊂ Rn+2 העליונה, ההמיספרה

אותה יש הומוטופית שקולים (למרחבים נקודה של הומולוגיה להם יש ולכן כוויצים, מרחבים הן ההמיספרות שתי כי לב נשיםהומולוגיה):

HSingm

(D±n+1

)=

{Z m = 0

0 otherwise

האינדוקציה ומהנחת ,D+n+1 ∩D

−n+1 = Sn כי לב נשים כן כמו

HSingm

(D+n+1 ∩D

−n+1

)= HSing

m (Sn) =

{Z m = 0 or m = n

0 otherwise

.HSingm

(D+n+1

)⊕HSing

m

(D−n+1

)= 0 כי לב נשים עוד

היא Sn+1 = D+ ∪D− ההצגה עבור שמתקבלת מאייר־ויאטוריס סדרת לכן

...→ HSingm (Sn)→ 0→ HSing

m

(Sn+1

)→ H

Singm−1 (Sn)→ 0→ ...

כלומר איזומורפיזם, HSingm

(Sn+1

)→ H

Singm−1 (Sn) כי נובע מדויקת הסדרה ומהיות

HSingm

(Sn+1

)=

{Z m = 0 or m− 1 = n

0 otherwise

� כנדרש.

נקודה). של הומולוגיה להן הייתה (אחרת כוויצות אינן הספרות כל מסקנה:

הומאומורפיים. לא Rn,Rm אז ,n 6= m אם טענה:

הם ולכן הומוטופית, שקולים Rk\ {0} , Sk−1 ובפרט 4,Rk\ {0} של דפורמציה רטרקט הוא Sk−1 כללי באופן כי לב נשים הוכחה:ההומולוגיה. אותה בעלי

כי נובע .f : Rn\ {0} → Rm\ {f (0)} המצומצם בהומאומורפיזם נתבונן הומאומורפיזם. f : Rn → Rm כי בשלילה נניח� הקודמת. למסקנה בסתירה ההומולוגיה, אותה להן יש ולכן הומאומורפיות, Sn−1, Sm−1

שבת. נקודת יש f : Dn → Dn רציפה העתקה לכל היחידה. דיסק Dn ⊂ Rn יהי בראואר) של השבת (נקודת משפט:

.x 7→ x‖x‖ המוגדרת Rk\ {z} → Sk−1 ההעתקה ידי 4על

29

x ∈ Dn נקודה שכל כך ידי על ,g : Dn → Sn−1 העתקה נגדיר שבת. נקודת ללא רציפה f : Dn → Dn כי בשלילה נניח הוכחה:fל־ אם ורק אם היטב מוגדרת g (ההעתקה f (x)ב־ ועובר xמ־ היוצא הישר על שנמצאת Sn−1 על היחידה לנקודה תועתק

.g |Sn−1≡ Id המקיימת g : Dn → Sn−1 רציפה העתקה קיימת שלא נראה .g |Sn−1≡ Id כי לב נשים שבת). נקודת אין

בדיאגרמה נתבונן

Sn−1 �� //

g|Sn−1≡Id

55Dn g // Sn−1

ההומולוגיות סדרת את ונקבל

HSingn−1

(Sn−1

)︸ ︷︷ ︸=Z

→ HSingn−1 (Dn)︸ ︷︷ ︸

=0

→ HSingn−1

(Sn−1

)︸ ︷︷ ︸=Z

� ייתכן. לא וזה האפס, חבורת דרך עוברת שהיא למרות הזהות העתקת היא ,g∗ = Id∗ : Z→ Z המושרית ההעתקה כלומר

Excision 11.2

נתבונן .Ao ∪ Bo = X המקיימים תתי־מרחבים A,B ⊂ X ויהיו טופולוגי, מרחב X יהי ראשונה) גרסה - Excision) משפט:בדיאגרמה:

CSing• (A ∩B)� _

��

// CSing• (B)� _

��

// CSing• (B)/CSing• (A∩B) := CSing• (B,A ∩B)

��

CSing• (A) �

� // CSing• (A) // CSing• (X)/CSing• (A) := CSing• (X,A)

.HSing∗ (B,A ∩B) ∼= H

Sing∗ (X,A) כלומר קוואזי־איזומורפיזם. היא CSing• (B,A ∩B) 99K CSing• (X,A) ההעתקה אזי

בהעתקה נתבונן ,CSing• (B,A ∩B)→ CSing• (X,A) בהעתקה להתבונן במקום הוכחה:

CSing• (B,A ∩B)→ C

Sing,{A,B}• (X)/CSing• (A)

(ממש). איזומורפיזם היא כי לב ונשים

ידי על מנה לקיחת לאחר כי להראות רק נשאר

CSing,{A,B}• (X)/CSing• (X) 7→ C

Sing• (X)/CSing• (A) := C

Sing• (X | A)

קוואזי־איזומורפיזם. נותר

הבאה: בדיאגרמה נתבונן

CSing• (A)

Id��

// CSing,{A,B}• (X)

q

��

// CSing,{A,B}• (X)/CSing• (A) := D•

f��

CSing• (A) // CSing• (X) // CSing• (X)/CSing• (A) := E•

30

קוואזי־איזומורפיזם. היא f שסימנו ההעתקה כי להראות נרצה מאייר־ויאטוריס). (ממשפט קוואזי־איזומורפיזם הוא q כאשר

הבאות: המדויקות הארוכות בסדרות נתבונן

HSingn (A)

∼=��

// HSingn

(CSing,{A,B}• (X)

)∼=��

// HSingn (D•)

��

// HSingn−1 (A)

∼=��

// HSingn−1

(CSing,{A,B}• (X)

)∼=��

HSingn (A) // HSing

n (X) // HSingn (E•) // HSing

n−1 (A) // HSingn−1 (X)

באמצע. איזומורפיזם מספק צד מכל איזומורפיזמים שני של כזה מבנה כי אלגבריים שיקולים בסיס על נראה

:5 באורך מדויקות קצרות סדרות בזוג נתבונן החמישה) (למת טענה:

A

α

��

i // B

β

��

j // C

γ

��

k // D

�

l // E

ε

��A′

i′ // B′j′ // C ′

k′ // D′l′ // E′

על. העתקה γ אזי חח"ע, העתקה ε על, העתקות β, δ אם .1

חח"ע. γ אזי על, העתקה α חח"ע, העתקות β, δ אם .2

איזומורפיזם. γ אז איזומורפיזמים, α, β, δ, ε אם מסקנה: .3

הקודמים). הסעיפים משני מידית 3 (מסקנה כתרגיל 2 את ונשאיר ,1 סעיף את נוכיח הוכחה:

נכתוב על, δ מהיות .d′ := k′ (c′) ∈ D′ נכתוב .c′ ∈ Imγ צ"ל ,c′ ∈ C ′ יהי על. γ כי צ"ל חח"ע, ε וכי על β, δ כי נניח.d ∈ D לאיזה δ (d) = d′

נחשב: .ε (l (d)) = 0 להראות מספיק כי נובע ε מחח"ע .l (d) = 0 כי נראה תחילה

ε (l (d)) = l′ (δ (d)) = l′ (d′) = l′ (k′ (c′)) = 0

אפס. נותנת רצופים שניים הרכבת ולכן מדויקת, הסדרה כי הוא האחרון השוויון כאשר

:γ (c) את נחשב .c ∈ C לאיזה d = k (c) נכתוב אז ,d ∈ ker l = Imk כך אם

k′ (γ (c)) = δ (k (c)) = δ (d) = d′

.d ∈ Imk′ = ker l′ ולכן

נכתוב אז ,c′′ ∈ ker k′ = Imj′ כלומר ,k′ (c′′) = k′ (γ (c)) − k′ (c′) = d′ − d′ = 0 מתקיים .c′′ : γ (c) − c′ נכתוב.b′ ∈ B′ לאיזה c′′ = j′ (b′)

ולכן j′ (β (b)) = γ (j (b)) אבל ,j′ (β (b)) = j′ (b′) = c′′ מתקיים כלומר .b ∈ B לאיזה β (b) = b′ נכתוב על, β מהיות

γ (j (b)) = c′′ = γ (c)− c′ =⇒ c′ = γ (j (b)− c)

� כנדרש. ,c′ ∈ Imγ כלומר

31

הוא Z (כאשר Z ⊂ Ao שמתקיים כך תתי־מרחבים, Z ⊂ A ⊂ X ויהיו טופולוגי, מרחב X יהי שנייה) גרסה - Excision) משפט:אזי הפנים). הוא Ao הסגור,

HSing∗ (X − Z,A− Z) ∼= H

Sing∗ (X,A)

של הראשונה מהגרסה .A ∩B = A− Z וכי X = Ao ∪Bo כי כן וכמו ,Bo = X − Z כי לב ונשים ,B := X − Z נסמן הוכחה:נקבל Excision

HSing∗ (X − Z,A− Z) = H

Sing∗ (B,A ∩B) ∼= H

Sing∗ (X,A)

� כנדרש.

מקומית הומולוגיה 11.3

ביחס היחסית ההומולוגיה להיות x0ל־ ביחס X של המקומית ההומולוגיה את נגדיר .x0 ∈ X ותהי טופולוגי מרחב X יהי הגדרה:כלומר .X − {x0}ל־

HSing∗ (X | x0) := H

Sing∗ (X,X − {x0})

,x0 ∈ U ⊂ X פתוחה סביבה לכל כי נובע Excisionשמ־ לב נשים הערה:

HSing∗ (U | x0) = H

Sing∗ (X | x0)

.(x0 = {x0} ⊂ U מתקיים בהם סבירים במרחבים עוסקים אנו כי ונניח ,Z = X − U, A = X − {x0} לקיחת ידי (על

הומאומורפיות. לא U, V אז n 6= m אם ריקות. ולא פתוחות קבוצות זוג U ⊂ Rm, V ⊂ Rn יהיו טענה:

.(Excision (לפי HSingk (U | x0) ∼= H

Singk (Rm | x0) המקומית בהומולוגיה ונתבונן x0 ∈ U נקבע הוכחה:

ולכן הומוטופית, שקולים Rm − {x0} , Sm−1 כי לב נשים

HSingk (U | x0) ∼= H

Singk (Rm | x0) ∼= H

Singk

(Sm−1

)=

{Z k = m

0 otherwise

כי גם נקבל נימוק מאותו

HSingk (U | x0) ∼=

{Z k = n

0 otherwise

� הומאומורפיות. לא U, V בהכרח ולכן איזומורפיות, לא ההומולוגיות n 6= m אם לכן

המנה, מרחב להיות X מעל A של החרוט את נגדיר תת־מרחב. A ⊂ X ויהי טופולוגי מרחב X יהי טענה:

CAX := (A×I)tX/∼

הטבעי. השיכון ι : A ↪→ X כאשר ,a ∈ A לכל (a, 0) ∼ ι (a) הוא השקילות יחס כאשר

מתקיים, אזי

HSing∗ (X | A) ∼= H

Sing∗ (CAX)

32

הבאה: בדיאגרמה נתבונן .CAX = U ∪ V כי לב ונשים ,U := X ∪A×[0, 1

2

), V := A× I נגדיר הוכחה:

CSing• (CAX)

q

��

// CSing• (X)

��

// CSing• (X | A)

=��

// 0

CSing• (U ∩ V ) // CSing• (U)⊕ CSing• (V ) // CSing,{U,V }• (CAX) // 0

הוא X ↪→ U כי לראות ניתן דומה באופן .A ↪→ A×[0, 1

2

)= U דפורמציה רטרקט יש שכן קוואזי־מורפיזם, הוא q כאשר

קוואזי־איזומורפיזם. הוא CSing• (X)→ CSing• (U) כי נובע לכן דפורמציה. רטרקט

לקודקוד). הכל למשוך אפשר (כי טריוויאליות CSing• (V ) של ההומולוגיות כי עוד לב נשים

קוואזי־איזומורפיזם. CSing• (X | A)→ CSing,{U,V }• (CAX) כי החמישה למת ידי על נקבל הכל בסך

מאיירס־ויאטוריס, ממשפט

HSing∗ (X | A) ∼= H

Sing∗

(CSing,{U,V }• (CAX)

)∼= H

Sing∗ (CAX)

� כנדרש.

33

V חלק

סלולארית הומולוגיה

הפרוייקטיבי והמישור יריעות 12

Uש־ כך ,x0 ∈ U ⊂ X פתוחה סביבה קיימת x0 ∈ X לכל אם n־ממדית, יריעה נקרא X האוסדורף טופולוגי מרחב הגדרה:.Rnל־ הומאומורפית

סגורה. יריעה הוא כי נאמר קומפקטי, והוא יריעה X אם

דיסקרטי. מרחב היא אפס ממד בעלת יריעה הערה:

בראשית. העוברים Cn+1 שבתוך הישרים קבוצת להיות CPn ה־n־ממדי המרוכב הפרוייקטיבי המרחב את נגדיר .n ∈ N יהי הגדרה:בראשית. העוברים Rn+1 שבתוך הישרים קבוצת להיות RPn הממשי הפרוייקטיבי המרחב את נגדיר דומה, באופן

שקולות: צורות בשתי טופולוגי כמרחב זה במרחב להתבונן ניתן

נקודה של 0 6= λ ∈ C בסקלר כפל כן, כמו .0 6= z ∈ Cn+1 נקודה ידי על יחיד באופן נקבע CPn של ישר שכל לב נשים �

ולהגדיר ,0 6= λ ∈ C לכל z ∼ λz שקילות יחס Cn\ {0} על להגדיר נוכל כך אם ישר. אותו את מגדיר 0 6= z ∈ Cnמנה: כמרחב הפרוייקטיבי המרחב את

CPn := Cn+1\{0}/z∼λz

אנטיפודיות נקודות זוג כן כמו .z ∈ Sn ↪→ Cn+1 נקודה ידי על יחיד באופן נקבע CPn של ישר שכל לב נשים �

ולהגדיר ,z ∼ −z שקילות יחס Sn המרוכב היחידה מעגל על להגדיר נוכל כך אם ישר. אותו את מגדירות z,−z ∈ Snמנה: כמרחב המרוכב הפרוייקטיבי המרחב את

CPn := Sn/z∼−z

.RPn עבור לבצע ניתן זהה כמעט טופולוגית בנייה

לפחות שקיים כך z0, z1, ..., zn ∈ C עבור ,[z0 : z1 : ... : zn] שקילות מחלקת של בצורה נכתוב CPn בתוך כללי איבר סימון:.z ∼ λz השקילות יחס מודולו ,zj 6= 0 שעבורו אחד j אינדקס

מהצורה בהכרח הוא אפס, שניהם שלא z0, z1 ∈ C עבור [z0 : z1] ∈ CP1 כללי איבר למשל

[z0 : z1] =

{ [z0z1, 1]

z1 6= 0

[1, 0] z1 = 0

בחלוקה מותרת פעולה ביצענו ,z0 6= 0 בהכרח כלומר ,z1 = 0 ואם ,z1 בסקלר חלוקה של מותרת פעולה ביצענו z1 6= 0 (אם.(z0 בסקלר

n־ממדית. יריעה היא RPn טענה:

2n־ממדית. יריעה היא CPn כי להראות יהיה ניתן דומה באופן הערה:

34

.Rnל־ הומאומורפית סביבה לה שיש להראות נרצה כלשהי. [z0 : z1 : ... : zn] ∈ RPn תהי הוכחה:

.U := {[w0, w1, ..., wn] ∈ CPn | w0 6= 0} סביבה נגדיר .z0 6= 0 כי הכלליות הגבלת ללא נניח .zj 6= 0 עבורו j קייםידי על U → Rn נעתיק אחד בכיוון למשל, .U ≈ Rn כי לראות קל .[z0 : z1 : ... : zn] את המכילה פתוחה סביבה זו

� .(a1, ..., an) 7→ [1 : a1 : ... : an] ידי על Rn → U נעתיק שני ובכיוון ,[w0 : w1 : ... : wn] 7→(w1

w0, w2

w0, ..., wnw0

)היא CPn של ההומולוגיה טענה:

HSing∗ (CPn) ∼=

{Z ∗ = 0, 2, 4, ..., 2n

0 otherwise

ידועה. הטענה זה ובמקרה דיסקרטי, מרחב CP0 = {∗} ,n = 0 עבור .n על באינדוקציה נראה הוכחה:

נגדיר ,0 < M ∈ R לכל .CPn עבור הטענה את באינדוקציה נניח

VM :=

{[z0 : ... : zn+1] |

n+1∑i=0

|zi|2 < M · |z0|2}⊂ CPn+1

WM :=

{[z0 : ... : zn+1] |

n+1∑i=0

|zi|2 > M · |z0|2}⊂ CPn+1

לב ונשים ,CPn+1 בתוך פתוחות קבוצות אלו בסקלר). לכפל ביחס הומוגני התנאי שכן היטב, מוגדרות הקבוצות כי לב (נשיםמהצורה פתוח כיסוי שמתקבל

CPn+1 = W1 ∪ V2

המדויקת הארוכה הסדרה את ולקבל זה, לכיסוי ביחס במאייר־ויאטוריס להשתמש נרצה

...→ HSingk+1

(CPn+1

)→ H

Singk (W1 ∩ V2)→ H

Singk (W1)⊕HSing

k (V2)→ HSingk

(CPn+1

)→ H

Singk−1 (W1 ∩ V2)→ ...

שבסדרה. בהומולוגיות נתבונן

כי לב נשים תחילה

W1 ∩ V2 =

{[z0, ..., zn+1] | |z0|2 <

n+1∑i=0

|zi|2 < 2 |z0|2}

(deviding by |z0|2 6=0) = ≈

{[z0, ..., zn+1] | 1 <

n+1∑i=0

|zi|2 < 2

}≈ S2n+1 ↪→ R2n+2 ≈ Cn+1

נקבל ולכן

HSing∗ (W1 ∩ V2) ∼= H

Sing∗

(S2n+1

) ∼= { Z ∗ = 0, 2n+ 1

0 otherwise

ההעתקה ידי (על דפורמציה רטרקט אפילו למעשה וזה ,CPn ≈ {[z0 : ... : zn+1] | z0 = 0} ⊂ W1 כי לב נשים כן כמוהאינדוקציה מהנחת ולכן ,(t ∈ I לכל z0 7→ tz0

HSing∗ (W1) ∼=

{Z ∗ = 0, 2, 4, ..., 2n

0 otherwise

35

.HSing∗ (V2) = 0 ולכן ,([z0 : 0 : ... : 0] לנקודה (למשל כוויץ מרחב V2 כי לב נשים לבסוף

המדויקת הארוכה הסדרה את נקבל הכל בסך

...→ HSingk+1

(CPn+1

)→ H

Singk

(S2n+1

)→ H

Singk (CPn)→ H

Singk

(CPn+1

)→ H

Singk−1

(S2n+1

)→ ...

אחרת. ואפס ,HSingk

(CPn+1

)= Z מתקיים k = 0, 2, 4, ..., 2n+ 2 שעבור להראות נרצה

אחרת. ואפס ,HSingk (CPn) = Z מתקיים k = 0, 2, 4, ..., 2n עבור כי יודעים

אחרת. ואפס ,HSingk

(S2n+1

)= Z מתקיים k = 0, 2n+ 1 עבור כי יודעים

המקרים: כל את נבחן

כלומר .ker g = Imf וגם על g וגם חח"ע f אם ורק אם מקום), (בכל מדויקת סדרה 0 ↪→ Af−→ B

g−→ C0−→ 0 �

C = Img = B/ker g = B/Imf

הסדרה מתקבלת ,k > 2n+ 2 או כלשהו אי־זוגי k אם �

0→ HSingk

(CPn+1

)→ 0

.HSingk

(CPn+1

)= 0 ולכן

למקרים. נחלק זוגי, k אם �

הסדרה מתקבלת ,k = 2n+ 2 עבור –

0→ 0→ HSingk

(CPn+1

)→ Z→ 0

.HSingk

(CPn+1

) ∼= Z ולכןהסדרה מתקבלת ,0 < k ≤ 2n עבור –

0→ Z→ HSingk

(CPn+1

)→ 0

.HSingk

(CPn+1

)= Z ולכן

הסדרה מתקבלת אז ,k = 0 אם �

0→ Z→ Z→ HSingk

(CPn+1

)→ 0

� .HSing0

(CPn+1

) ∼= Z ולכן

CW־קומפלקס 13

בדיאגרמה מורפיזמים עם באובייקטים נתבונן הגדרה:

A

��

// X

Y

36

מתחלפת הבאה שהדיאגרמה כך ,fY : Y → X tA Y ,fX : X → X tA Y מורפיזמים עם X tA Y אובייקט היא דחיפה

A

��

// X

fX��

YfY

// X tA Y

מורפיזם קיים ,gY : Y → Z ,gX : X → Z מורפיזמים עם Z אובייקט לכל כלומר, זו. לתכונה ביחס אוניברסליות ומתקיימתמתחלפת: הבאה שהדיאגרמה כך ,ϕ : X tA Y → Z יחיד

A

��

// X

fX�� gX

��

YfY //

gY //

X tA Y

ϕ##Z

מהצורה ביניהם מורפיזמים עם אובייקטים אוסף היא בקטגוריה סדרה הגדרה:

X0f0−→ X1

f1−→ X1f2−→ ...

,gk+1 ◦ fk = gk המקיימים gk : Xk → X מורפיזמים עם יחד ,X := colimXn אובייקט הוא קיים, אם הסדרה, של קו־גבול,g′k+1 ◦ fk = g′k המקיימים g′k : Xk → X ′ מורפיזמים עם אובייקט X ′ אם כלומר, זו. לתכונה ביחס אוניברסליות ומתקיימת

.ϕ ◦ gk = g′k המקיים ϕ : X → X ′ יחיד מורפיזם קיים אז

Xk

gk $$

g′k

))

fk // Xk+1

gk+1yy

g′k+1

uu

colimXn

ϕ

��X ′

איזומורפיזם. עד־כדי יחיד הוא קיים, אם קו־גבול, כי לראות ניתן הערה:

הדבקה. העתקות עם שלדים סדרת של כקו־גבול המתקבל טופולוגי מרחב הוא CW־קומפלקס הגדרה:

ביניהם העתקות עם (שלדים) טופולוגיים מרחבים של סדרה זו כלומר,

X−1 ϕ−1

−→ X0 ϕ0

−→ X1 ϕ1

−→ X2 ϕ2

−→ ...

לאיברים 5ϕnα : ∂Dnα → Xn−1 עבור ϕn =

⊔α ϕ

nα מהצורה העתקות איחוד היא ϕn ,n = −1, 0, 1, 2, ... לכל כאשר

.(α ∈ Xn כל לא (אולי α ∈ Xn

הבאים: התנאים מתקיימים כן וכמו

היחידה. דיסק של עותק הוא Dnα כל 5כאשר

37

נקודות. של דיסקרטי מרחב הוא X0 הריקה, הקבוצה הוא X−1 .1

ההדבקה: העתקות דרך דחיפה דיאגרמת באמצעות Xn−1 מתוך מתקבל Xn ,n ≥ 0 לכל .2⊔α ∂D

nα

ϕn

��

� � // ⊔αD

nα

��Xn−1

// Xn

זהו .enα ידי על זו, העתקה תחת Dnα הדיסק של התמונה את נסמן .α ∈ Xn עבור Dn

α → Xn העתקה מספק הדחיפה ריבוע סימון:

.oen

α נסמן Dnα הדיסק של הפנים של התמונה את n־ממדי. תא

.X =⊔ oen

α לכתוב ניתן ולכן למרחב), נוספה היא שבו (התא יחיד תא של בפנים נמצאת Xב־ נקודה שכל לב נשים

נכתוב CW־קומפלקס. של מבנה בעלת היא S2 הספירה דוגמה:

{∗} ⊂ {∗} ⊂ S2

הדיאגרמה ידי על {∗} מתוך מתקבל X2 = S2 כאשר

∂D2 = S1

a2

��

// D2

��{∗} // S2

אחת, כנקודה (D2 הדיסק שפת (בתפקיד היחידה מעגל כל את מזהים כלומר ,ϕ ≡ ∗ ידי על המוגדרת ϕ : S1 → {∗} עבור.S2 הספירה ומתקבלת

,({∗} קבוצות n (עבור {∗} ⊂ ... ⊂ {∗} ⊂ Sn ידי על CW־קומפלקס, בצורת Sn הספירה את לבנות ניתן יותר כללי באופן.Dn לאורך ϕ : Sn−1 → {∗} היא האחרונה ההדבקה כאשר

הבאה: בצורה CW־קומפלקס מבנה X × Y המכפלה מרחב על נגדיר סופיים. CW־קומפלקסים זוג X,Y יהיו הגדרה:

יהיו השלדים

(X × Y )n

:=⋃

m+k=n

Xm × Y k

הבאה: בצורה נבנה ההדבקה העתקות ואת

הדבקה העתקת עם ekβ ∈ Y k ותא ,ϕmα : ∂Dnα → Xn−1 הדבקה העתקת עם emα ∈ Xm תא בהינתן ,m + k = n עבור

בצורה שנזהה היחידה דיסק של בעותק נתבונן ,ϕkβ : ∂Dkβ → Y k−1

Dnαβ∼= Dm

α ×Dkβ

בצורה שנזהה היחידה דיסק של ובשפה

∂Dnαβ∼=(∂Dm

α ×Dkβ

)∪(Dmα × ∂Dk

β

)⊂(Xm−1 × Y k

)∪(Xm × Y k−1

)⊂ (X × Y )

n−1

38

דחיפה דיאגרמת ⊔ונקבלαβ ∂D

nαβ

��

// ⊔αβ D

nαβ

��(X × Y )

n−1 // P

.P אובייקט לאיזה

העתקות קיימות שני, מצד

(X × Y )n−1 → (X × Y )

n

⊔αβ

Dnαβ =

⊔αβ

(Dmα ×Dk

β

)→ (X × Y )

n

.P → (X × Y )n רציפה העתקה יש דחיפה, של האוניברסלית מהתכונה ולכן השפות, איחוד על שמזדהות

וקומפקטיים, האוסדורף הללו המרחבים ועל. חח"ע זו העתקה ולכן יחיד, תא של לפנים שייכת CW־קומפלקס ב־ נקודה כל אבלהומיאומורפיזם. היא זו העתקה ולכן

מהצורה CW־קומפלקס מבנה בעל הוא CPn המרוכב הפרוייקטיבי המישור טענה:

CP0 ⊂ CP1 ⊂ ... ⊂ CPn−1 ⊂ CPn

הטבעים בשיכונים נתבונן .x ∈ Dn עבור x ∼ λx היחס ∼ כאשר CPn−1 ∼= Dn/∼ נכתוב הוכחה:

Sn−1 ↪→ Dn ↪→ Sn

העתקה ונקבל ביחס נחלק לכן היחס. את מכבדים הללו השיכונים ששני לב ונשים ,x ∈ Dn עבור x ∼ λx ביחס נתבונןידי על ϕ : CPn−1 → CPn

CPn−1 ∼= Sn−1/∼ ↪→ Dn/∼ ↪→ Sn/∼ ∼= CPn

הדיאגרמה את נקבל הנ"ל, היחס של המנה העתקת q אם ולכן

∂Dn

q��

// Dn

q

��CPn−1 � �

ϕ// CPn

�

טובים זוגות 14

שלו. תת־מרחב A ⊂ X עם יחד האוסדורף טופולוגי מרחב X עבור ,(X,A) זוג בקיצור נכתוב סימון:

39

,HEP � Homotopy Extension Property המכונה התכונה את מקיים הוא אם ,(Good Pair) טוב זוג נקרא (X,A) זוג הגדרה:כלומר:

H : I ×X → Y הומוטופיה יש 6,f |Aב־ המתחילה H0 : I × A → Y הומוטופיה־חלקית ולכל ,f : X → Y העתקה לכל8.fב־ ומתחילה 7,H0 את המרחיבה יחידה) (לאו־דווקא

.AB := {All the functions B → A} נסמן ,A,B קבוצות זוג עבור הערה:

.A→ BI העתקה להגדיר שקול ,I ×A→ B העתקה להגדיר כי נבחין

הבאה: בצורה בדיאגרמה HEP בתכונה להתבונן ניתן זה בכתיב כך אם

A

��

H0 // Y I

ev0

��X

f//

H

>>

Y

r (a) = a שמתקיים כך ,r : X → A רציפה העתקה יש אם ,X של (Retract) רטרקט הוא A כי נאמר .(X,A) זוג יהי הגדרה:.a ∈ A לכל

איזו ידי על ,I ×X של רטרקט I ×A ∪ {0} ×X אם ורק אם טוב, זוג הוא (X,A) זוג טענה:

r : I ×X → I ×A ∪ {0} ×X

H0 : I × A→ ועבור קנוני, שיכון f : X → I × A ∪ {0} ×X עבור HEP את נפעיל טוב. זוג (X,A) אם ראשון) (כיוון הוכחה:המבוקש. הרטרקט הוא r = H אז .H : I ×X → I ×A ∪ {0} ×X הומוטופיה ונקבל קנוני, שיכון I ×A ∪ {0} ×X

העתקה מתקבלת ,H0 : I × A → Y הומוטופיה־חלקית עם f : X → Y בהינתן סגור.9 תת־מרחב A כי נניח שני) (כיוון,r : I×X → I×A∪{0}×X רטרקט נקבע כעת .A הסגור התת־מרחב לאורך הדבקה ידי על g : I×A∪{0}×X → Y

� המבוקשת. ההומוטופיה היא H := g ◦ r : I ×X → Y ההרכבה כי ונקבל

.n ∈ N לכל טוב זוג (Dn, ∂Dn) =(Dn, Sn−1

)מסקנה:

הגליל את להדביק ניתן {0} נקודה דרך כעת, המלא. הגליל הוא I ×Dn וכי חלול, גליל הוא I × Sn−1 ∪ {0} כי לב (נשיםרטרקט). של בצורה לדפנות המלא

למה:

טוב. זוג(⊔

j∈J Xj ,⊔j∈J Aj

)אז טובים, זוגות j ∈ J ,(Xj , Aj) אם .1

זוג(⋃

n∈NXn, X0

)אז טוב, זוג הוא (Xn+1, Xn) ,n = 0, 1, ... שלכל כך מרחבים, של סדרה X0 ⊂ X1 ⊂ ... אם .2

טוב.

.a ∈ A לכל H0 (0, a) = f (a) 6כלומר

.a ∈ A ולכל t ∈ I לכל H (t, a) = H0 (t, a) 7כלומר

x ∈ X לכל H (0, x) = f (x) 8כלומר

זאת. נוכיח לא סגור. A אז ,X של רטרקט A וכן זוג (X,A) אם כללי 9באופן

40

דחיפה בהינתן אז טוב, זוג (X,A) אם .3

A

��

// A′

��X // X ′

טוב. זוג (X ′, A′) גם

טוב. זוג (X,A) אז CW־קומפלקס, תת־ A ⊂ X CW־קומפלקס, הוא X אם מסקנה:

נכתוב CW־קומפלקס, ה־ הוא X0 ⊂ X1 ⊂ ... ⊂ Xn ⊂ X אם הוכחה:

A := X−1 ⊂ X0 ⊂ X1 ⊂ ... ⊂ X

דחיפה: ריבוע ⊔ונקבלα∈Xn ∂D

nα

��

// ⊔α∈Xn D

n

��Xn−1

// Xn

מכאן בלמה). 2 חלק (לפי טוב זוג (Xn, Xn−1) ולכן בלמה), 1 חלק (לפי טוב זוג(⊔

α∈Xn Dn,⊔α∈Xn ∂D

n)כי לב נשים

� בלמה). 3 חלק (לפי טוב זוג (⋃nXn, A) כי

הומוטופית. שקילות היא X → X/A המנה העתקת אז כוויץ, A אם טוב. זוג (X,A) יהי משפט:

כזאת. לבנות כיצד נראה להטלה). הופכית הייתה לא אם (אפילו כלשהי X/A→ X העתקה שקיימת שמפתיע לב נשים הוכחה:

נקבל .a 7→ ∗ בהעתקה ומסתיימת IdX |A= IdAב־ המתחילה H0 : I × A → X הומוטופיה יש אז כוויץ, A כי נתוןומקיימת ,H (1, ·) = ∗ הקבועה בהעתקה ומסתיימת H (0, ·) = IdXב־ המתחילה H : I × X → X הומוטופיה HEPמ־

הבאות: המושרות בהעתקות נתבונן .t ∈ I לכל H (t, A) ⊂ A

X

q

��

H(t,·) // X

q

��X/A

H(t,·)//

g

<<

X/A

המקיימת (!) g : X/A→ X קיימת ולכן ,H (1, ·) : A 7→ ∗ ההעתקה

g ◦ q = H (1, ·) ∼ H (0, ·) = IdX

q ◦ g = H (1, ·) ∼ H (0, ·) = IdX/A

� כנדרש.

החרוט את הגדרנו הטבעי. השיכון ι : A ↪→ X כאשר ,(a, 0) ∼ ι(a) שקילות יחס נגדיר (A× I) tX המכפלה מרחב על תזכורת:.CAX := (A×I)tX/∼ להיות

41

הומוטופית. שקילות היא CAX → X/A הטבעית ההעתקה אז טוב, זוג (X,A) אם מסקנה:

הדחיפה ידי על טוב זוג הוא (CAX,CA) כי לב נשים הוכחה:

A

��

// X

��CAX // CAX

� הומוטופית. שקילות CAX → CAX/CA ∼= X/A הקודם מהמשפט ולכן כוויץ, מרחב CA אבל

העתקה של דרגה 15

,f∗ = f0, f1, ... מהצורה f∗ : H∗ (Sn)→ H∗ (Sn) העתקה ממנה מושרה .n > 0 עבור רציפה העתקה f : Sn → Sn תהי הגדרה:ואילו ,m 6= n לכל fm ≡ 0 המקיים אבליות חופשיות חבורות של הומומורפיזם fm : Hm (Sn) → Hm (Sn) כאשר

.m = n עבור fn : Z→ Zכך אם נגדיר .d = fn (1) בפרט קבוע. d ∈ Z לאיזה ,σ ∈ Hn (Sn) כל עבור fn (σ) = dσ מהצורה היא כזאת העתקה כל

להיות f של הדרגה את

deg f := fn (1)

תכונות:

.Id∗ (1) = 1 כי ,deg IdSn = 1 .1

.deg f = 0 אז על, שאינה העתקה f : Sn → Sn אם .2

בדיאגרמה נתבונן ,α ∈ Sn\Imf נניח הוכחה:

Snf−→ Sn\ {α} ↪→ Sn

הדיאגרמה את נקבל H∗ מהפנקטור כוויץ), מרחב (זה Hn (Sn\ {α}) = 0 שמתקיים היות

...→ 0→ Z f∗−→ 0→ Z→ 0→ ...

.f∗ ≡ 0 כלומר

.deg f = deg g אז הומוטופיות, העתקות f, g : Sn → Sn אם .3ההומולוגיה). על ההעתקה אותה את משרות הומוטופיות העתקות כי (הראינו

.deg f ◦ g = deg f · deg g אז ,f, g : Sn → Sn אם .4.((f ◦ g)∗ = f∗ ◦ g∗ כי לב (נשים

.deg f = ±1 אז הפיכה, f : Sn → Sn אם (א),(r : (x0, x1, ..., xn) 7→ (−x0, x1, ..., xn) למשל מעתיקה (כלומר כלשהו מישור דרך שיקוף היא r : Sn → Sn אם (ב)

.deg r = −1 אזשהשפה לכך ונדאג בשפתן, מודבקות ∆−n ,∆

+n n־ממדיות המיספרות זוג המכיל כ־+∆־קומפלקס Snב־ (נתבונן

r∗ (∆−n −∆+n ) = ומתקיים ,∆−n−∆+

n ידי על נוצרת Hn (Sn) החבורה .r תחת סימן שמשנה הקואורדינטה היא שלהן.(r∗ (1) = −1 כלומר ,∆+

n −∆−n

42

.deg e = (−1)n+1 אז ,(e : x 7→ −x (כלומר האנטיפודית ההעתקה e : Sn → Sn אם (ג)

שיקופים). n+ 1 של הרכבה היא f כי לב (נשים

.deg f = (−1)n+1 אז שבת, נקודות ללא f : Sn → Sn אם .5

.deg f = deg e = (−1)n+1 ולכן האנטיפודית), להעתקה (הומוטופית f ∼ e כי נראה הוכחה:

,f של שבת נקודות שאין בגלל .t 7→ (1− t) f (x) + tx הנוסחה ידי על הניתן ,f (x) לבין −x בין בישר נתבונן(s, x) 7→ (1−t)f(x)+tx

‖(1−t)f(x)+tx‖ המעתיקה I ×Sn → Sn ההעתקה ולכן בראשית, עובר לא זה ישר x ∈ Sn לכל כי נובע.f ∼ e הומוטופיה היא

אי־זוגי. n אם ורק אם ,Sn על מקום בכל מאפס שונה רציף וקטורי שדה קיים ,n ∈ N לכל טענה:

לכל v (x) ⊥ x מתקיים כלומר כנ"ל. רציף וקטורי שדה היא v : Sn → Sn כי בשלילה נניח זוגי. n נניח ראשון) (כיוון הוכחה:.x ∈ Sn

v 6= 0 (מההנחה מהראשית היוצא 1 בנורמה כווקטור v (x)ב־ נתבונן כאשר ,v : Sn → Sn כהעתקה הווקטורי בשדה נתבונןזוגי). n (כי deg v = (−1)

n+1= −1 כלומר שבת, נקודות ללא v ולכן ,x 6⊥ x תמיד כי ברור ל־1). לנרמל ניתן מקום בכל

סתירה. ,deg v = 1 ולכן ,(t, x) 7→ (1−t)v(x)+tx‖(1−t)v(x)+tx‖ ההומוטופיה ידי על v ∼ IdSn מתקיים שני מצד

ונגדיר ,n = 2k − 1 נכתוב אי־זוגי. n נניח שני) (כיוון

v : (x1, x2, ..., x2k−1, x2k) 7→ (−x2, x1, ...,−x2k, x2k−1)

� .x ∈ Sn לכל ‖v (x)‖ = 1 ומתקיים x ⊥ v (x) כי לראות קל

סופית. f−1 (y) הקבוצה כלשהי, y ∈ Sn שעבור שמתקיים נניח .n > 0 עבור רציפה העתקה f : Sn → Sn תהי הגדרה:לכל f (Ui) ⊂ V כי ונניח בהתאמה, x1, ..., xm של זרות סביבות U1, ..., Um ⊂ Sn יהיו .f−1 (y) = {x1, ..., xm} נכתוב

.i = 1, ...,m לכל f (Ui − xi) ⊂ V − y כי לב נשים .y של כלשהי סביבה V עבור i = 1, ...,m

הבאות: ההעתקות בדיאגרמת נתבונן i = 1, ...,m לכל

Hn (Ui | Ui − xi)∼=

uuki��

f∗ // Hn (V | V − y)

∼=��

Hn (Sn | Sn − xi) Hn

(Sn | Sn − f−1 (y)

)pioo f∗ // Hn (Sn | Sn − y)

Hn (Sn) = Z

∼=

ii

j

OO

f∗ // Hn (Sn) = Z

∼=

OO

מתחלפות. דיאגרמות הם המשולשים שני ולכן טבעיים, מהשיכונים מושרים ki, pi כאשר

בגרסה השמאלי על להסתכל יותר (נוח excisionמ־ נובעים הדיאגרמה של העליון בחצי המופיעים האיזומורפיזמים שני כן כמוהשנייה). בגרסה הימני ועל הראשונה

בהומולוגיה. המדויקת הארוכה מהסדרה נובעים הדיאגרמה של התחתון בחצי המופיעים האיזומורפיזמים שני ולבסוף,

מספר יש ולכן ,Z→ Z מהצורה למעשה הוא שגם ,f∗ : Hn (Ui | Ui − xi)→ Hn (V | V − y) העליון בהומומורפיזם נתבונן.deg f | xi = d להיות ,xiב־ f של המקומית הדרגה את נגדיר .f∗ (1) = d שמקיים d טבעי

,n > 0 עבור רציפה העתקה f : Sn → Sn לכל טענה:

deg f =∑i

deg f | xi

43

נובע excisionמ־ כי לב נשים הוכחה:

Hn

(Sn | Sn − f−1 (y)

) ∼= ⊕iZ.ki, pi ההעתקות ידי על

הישר, בסכום כי נובע ולכן טבעי, שיכון pi אבל .pi (j (1)) = 1 נובע התחתון המשולש מהתחלפות כי לב נשים כעת

j (1) = (1, ..., 1)︸ ︷︷ ︸↪→⊕iZ

=∑i

ki (1)

ולכן ,f∗ (k1 (1)) = deg f | xi מקיימת שבמרכז f∗ ההעתקה כי נובע העליון הריבוע מהתחלפות כעת

f∗ (j (1)) =∑i

deg f | xi

נובע התחתון הריבוע מהתחלפות

deg f = f∗ (1) =∑i

deg f | xi

� כנדרש.

.deg f = d עם f : Sn → Sn העתקה לבנות ניתן ,d ∈ N שלכל נראה דוגמה:

זר מתקבל נקודה. עם Sn\(⋃d

i=1Bi

)את ונזהה ,B1, ..., Bd ⊂ Sn וזרים, פתוחים כדורים d נקבע ,d > 0 אם תחילה

בזר עותק כל המזהה ההעתקה p :∨di=1 S

n → Sn תהי המתאימה. המנה העתקת q : Sn →∨di=1 S

n תהי ספירות. שלעצמו. עם הספירות

היא f מספיק קטנות בסביבות כעת מתאים. iל־ f−1 (y) = xi ∈ Bi מקיים y ∈ Sn כל כמעט .f = p ◦ q בהעתקה נתבונןאו i לכל deg f | xi = 1 כי לדאוג ניתן הצורך, במידת שיקוף עם הרכבה ידי על .deg f | xi = ±1 ולכן הומאומורפיזם,

לבחירתנו. −d או d יהיה deg f =∑i deg f | xi כי נובע הקודמת ומהטענה ,i לכל deg f | xi = −1

סלולארית הומולוגיה 16

אזי: ה־n־ממדיים. התאים קבוצת ,An = {enα | α ∈ Xn} נסמן .X−1 → X0 → X1 → ... CW־קומפלקס X יהי למה:

.1

Hk

(Xn | Xn−1

)=

{⊕AkZ n = k

0 otherwise

,k > n לכל .2

Hk (Xn) = 0

.k > dimX לכל Hk (Xn) = 0 אז ,dimX <∞ אם בפרט,

.ι∗ : Hk (Xn)→ Hk (X) איזומורפיזם משרה ι : Xn ↪→ X השיכון ,k < n לכל .3

44

המדויקות, בסדרות נתבונן CW־קומפלקס. X יהי )הגדרה:Xn+1 | Xn

) 0→ Xn ↪→ Xn+1 → Xn+1

/Xn → 0(Xn | Xn−1

) 0→ Xn−1 ↪→ Xn → Xn/Xn−1 → 0(

Xn−1 | Xn−2) 0→ Xn−2 ↪→ Xn−1 → Xn−1

/Xn−2 → 0

מהלמה), מתקבלים (האפסים בהומולוגיות מדויקות ארוכות סדרות בהתאמה המשרות

Hn+1

(Xn+1 | Xn

) ∂n+1−→ Hn (Xn)→ Hn

(Xn+1

)→ Hn

(Xn+1 | Xn

)︸ ︷︷ ︸=0

Hn

(Xn−1

)︸ ︷︷ ︸=0

→ Hn (Xn)jn−→ Hn

(Xn | Xn−1

) ∂n−→ Hn−1

(Xn−1

)

Hn−1

(Xn−2

)︸ ︷︷ ︸=0

→ Hn−1

(Xn−1

) jn−1−→ Hn−1

(Xn−1 | Xn−2

)הבאה: בדיאגרמה יחד בהומולוגיה הסדרות בשלושת ונתבונן

0

0

''

Hn(Xn+1

) ∼= Hn (X)

55

Hn (Xn)

jn

((

66

... // Hn+1

(Xn+1 | Xn

)∂n+1

77

dn+1 // Hn(Xn | Xn−1

)∂n ((

dn // Hn−1

(Xn−1 | Xn−2

) // ...

Hn−1

(Xn−1

) jn−1

66

0

55

.dn+1 := jn ◦ ∂n+1 ,dn := jn−1 ◦ ∂n כאשר

השרשראות קומפלקס המכונה שרשראות, קומפלקס היא שבמרכז הסדרה ולכן ,∂n ◦ jn = 0 שכן ,dn ◦ dn+1 = 0 כי מתקייםשנסמן ,X CW־קומפלקס של הסלולארי

CCW• (X)

להיות CW־קומפלקס X עבור הסלולארית ההומולוגיה את נגדיר בהתאם,

HCW∗ (X) := H∗

(CCW• (X)

)45

,n ∈ N לכל כלומר,

HCWn (X) := Hn

(CCW• (X)

)

,X CW־קומפלקס לכל משפט:

HCW∗ (X) ∼= H∗ (X)

.Hn (X) ∼= Hn(Xn)/Im∂n+1 כי ונבחין לעיל, בדיאגרמה נתבונן הוכחה:

איזומורפיזם ממנו מושרה וכן ,Im∂n+1∼= Imjn ◦ ∂n+1 = Imdn+1 איזומורפיזם ממנו מושרה כי נובע חח"ע jn מהיות.ker ∂n = ker ∂n ◦ jn = ker dn חח"ע, jn−1 מהיות .Hn (Xn) ∼= Imjn = ker ∂n

� .Hn(Xn)/Im∂n+1∼= ker dn/Imdn+1 איזומורפיזם משרה jn כי מכאן

מסקנות:

היותר. לכל יוצרים k ידי על נוצרת Hn (X) אז n־ממדיים, תאים k עם CW־קומפלקס הוא X אם .1על נוצרת ker dn החבורה תת ולכן יוצרים, k מעל הנוצרת חופשית אבלית חבורה היא Hn

(Xn, Xn−1

)כי לב נשים

.ker dn/Imdn+1 גם כך ולכן יוצרים, k היותר לכל ידי

Hk (X) = ⊕AkZ ולכן אפס, היא dk השפה העתקת אז סמוכים, בממדים תאים לו שאין CW־קומפלקס הוא X אם .2.(X של ה־n־ממדיים התאים קבוצת היא Ak (כאשר

היא CPn של ההומולוגיה .3

H∗ (CPn) ∼=

{Z ∗ = 0, 2, 4, ..., 2n

0 otherwise

ידי על CPn על CW־קומפלקס מבנה להגדיר שניתן לב נשים שכן

∅ →{e0}→ ∅ →

{e2}→ ...→ ∅ →

{e2n}

ההומולוגיה. זו כי נובע 2 ממסקנה ולכן

מתקיים ,enα n־ממדי תא לכל ,dn הסלולארית השפה העתקת עבור CW־קומפלקס. X יהי הסלולארית): השפה (נוסחת משפט

dn (enα) =∑

β∈An−1

dαβen−1β

ההעתקה fαβ : Sn−1α → Sn−1

β עבור ,dαβ = deg fαβ הם והמקדמים n־ממדיים, − ה־1 התאים קבוצת An−1 כאשרההרכבה ידי על המתקבלת

Sn−1α

fαβ

33ϕα // Xn−1

qβ// Xn−1/Xn−1−en−1

β

∼= // Sn−1β

לנקודה). Xn−1 − en−1β ↪→ Xn−1 את המכווצת המנה העתקת היא qβו־ ,enαל־ המתאימה ההדבקה העתקת היא ϕα)

46

סופי. en−1β תאים מספר כוללת ולכן קומפקטית, תמונה עם היא enα של ההדבקה העתקת שכן סופי, תמיד בנוסחה הסכום הערה:

הבאה: המתחלפת בדיאגרמה נתבונן הוכחה:

Hn (Dnα | ∂Dn

α)

Φα∗

��

∼=∂ // Hn−1 (∂Dn

α)

ϕα∗

��

∆αβ∗ // Hn−1

(Sn−1β

)

Hn

(Xn | Xn−1

)dn **

∂n // Hn−1

(Xn−1

)jn−1

��

q∗ // Hn−1

(Xn−1

/Xn−2)

OO

∼=��

Hn−1

(Xn−1 | Xn−2

) ∼= // Hn−1

(Xn−1

/Xn−2 | Xn−2/Xn−2

)הבא: באופן המוגדרות ההעתקות עבור

10.enα של ϕα : ∂Dnα → Xn−1 ההדבקה העתקת את המרחיבה ,enα של האופיינית ההעתקה Φα : Dn

α → X �

המנה. העתקת q : Xn−1 → Xn−1/Xn−2

�

התוצאה לנקודה. Xn−1 − en−1β את המכווצת המנה העתקת qβ : Xn−1

/Xn−2 → Xn−1/Xn−1−en−1

β∼= Sn−1

β �

.en−1β של Φβ האופיינית ההעתקה ידי על Sn−1

β = Dn−1β /∂Dn−1

β למעגל הומאומורפית המתקבלת

.∆αβ := qβ ◦ q ◦ ϕα להיות מוגדרת ∆αβ : ∂Dnα → Sn−1

β �

מתוך מתקבל הוא לכן .x ∈ ∂Dn לכל x ∼ −x השקילות יחס מודולו Dn של (כלשהי) מהמיספרה מתקבל RPn כי לב נשים דוגמה:CW־קומפלקס, מבנה בעל הוא RPn כלומר, הנ"ל. השקילות יחס עבור Sn−1 → RPn−1 המנה העתקת ידי על RPn−1

∅ →{e0}→{e1}→{e2}→ ...→ {en}

.ϕ : Sk−1 → RPk−1 ההדבקה העתקת את נסמן .k = 0, 1, ..., n עבור RPk מבנה בעל הוא תא כל כאשר

ההעתקה דרגת את נחשב ,dk הסלולאריות השפה העתקות את לחשב כדי

Sk−1 ϕ−→ RPk−1 q−→ RPk−1/RPk−2 = Sk−1

המנה. העתקת q עבור

אלה הומאומורפיזמים ושני הומאומורפיזם, היא q ◦ ϕ ההעתקה ,Sk−1\Sk−2 של מההמיספרות אחת לכל מצטמצמים כאשרכי מכאן .(−1)

k דרגה בעלת שהיא ,−Id : Sk−1 → Sk−1 האנטיפודית ההעתקה עם הרכבה כדי עד זהים הם

deg q ◦ ϕ = deg Id + deg (−Id) = 1 + (−1)k

כי נקבל זוגי. k לכל dk = 0 אי־זוגי, k לכל dk = ×2 כלומר

CCW• (RPn) =

{n is even: 0→ Z ×2−→ Z 0−→ ...

×2−→ Z 0−→ Z ×2−→ Z 0−→ Z→ 0

n is odd: 0→ Z 0−→ Z ×2−→ ...×2−→ Z 0−→ Z ×2−→ Z 0−→ Z→ 0

כי מכך נובע

Hk (RPn) =

Z k = 0 and k = n odd

Z/2Z 0 < k < n odd

0 otherwise

.enα על הפתוח הדיסק של הומאומורפיזם היא Φα10

47

VI חלק

אקסיומטית בגישה הומולוגיה נספח:ומורפיזמים תת־מרחב), A ⊂ X (כלומר כאובייקטים (X,A) טופולוגיים מרחבים זוגות עם להיות Pairs הקטגוריה את נגדיר הגדרה:

.f (A) ⊂ B המקיימים אלה f : (X,A)→ (Y,B)

פנקטור היא מוכללת הומולוגיה תורת הגדרה:

H : hTop→ GrAb

11,∂n : Hn (X,A)→ Hn−1 (A) טבעיות העתקות משפחת עם יחד ,n ≥ 0 ,Hn : hTop→ Ab פנקטורים של משפחה הכוללהבאות: האקסיומות שמתקיימות כך השפה, העתקות הנקראות

.Hn (f) = Hn (g) אז הומוטופיות, f, g אם זוגות, של העתקות f, g : (X,A)→ (Y,B) לכל הומוטופיה. .1

השיכון ,U ⊂ Ao המקיימת U ⊂ X עם (X,A) זוג לכל .Excision .2

ι : (X − U,A− U)→ (X,A)

,Hn ידי על ממנו המושרית ההעתקה כי מקיים

Hn (ι) : Hn (X − U,A− U)→ Hn (X,A)

ההומולוגיות. בין איזומורפיזם היא

.n > 0 לכל Hn (P ) = 0 אז ,P = {∗} אם ממד. .3

אז זר), (כאיחוד X =⊔αXα אם אדיטיביות. .4

Hn (X) ∼=⊕α

Hn (Xα)

השיכונים ,(X,A) זוג לכל דיוק. .5

Aι−→ X

κ−→ (X,A)

בהומולוגיה, מדויקת ארוכה סדרה משרים

...→ Hn+1 (X,A)∂n+1−→ Hn (A)

Hn(ι)−→ Hn (X)Hn(κ)−→ Hn (X,A)

∂n−→ Hn−1 (A)→ ...

.H−1 ≡ 0 ,Hk (A) := Hk (A, ∅)11

48

VII חלק

היסודית החבורהכאשר (X,x0) מהצורה מרחבים כלומר מנוקדים, טופולוגיים מרחבים שהם אובייקטים ידי על Top∗ הקטגוריה את נגדיר הגדרה:.f : x0 7→ y0 שמתקיים כך f : (X,x0)→ (Y, y0) רציפות העתקות יהיו המורפיזמים כלשהי. x0 ∈ X וכן טופולוגי מרחב X

H : הומוטופיה היא ,f, g בין מנוקדות העתקות של הומוטופיה .f, g : (X,x0) → (Y, y0) מנוקדות העתקות זוג יהיו הגדרה:.H (t, x0) = y0 ,t ∈ I שלכל כך ,H (1, ·) ≡ g ,H (0, ·) ≡ f המקיימת I × (X,x0)→ (Y, y0)

שקילות. יחס היא מנוקדות העתקות של הומוטופיה הערה:

שקילות־מנוקדות מחלקות שהם מורפיזמים עם מנוקדים, מרחבים של אובייקטים עם להיות hTop∗ הקטגוריה את נגדיר הגדרה:מנוקדות. העתקות של

שהמרחב כך ,+ חדשה נקודה עבור X+ := X t{+} מתקבל ,X טופולוגי שלמרחב כך ,()+ : Top→ Top∗ פנקטור נגדיר סימון:מנוקד. (X+,+)

.(1, 0) לנקודה ביחס מנוקד מרחב כאל S1 למעגל כללי באופן נתייחס הערה:

הבאה: בצורה היסודית החבורה שנקראת π1 (X,x0) חבורה עליו נגדיר .(X,x0) מנוקד מרחב יהי הגדרה:

כלומר, .S1 → (X,x0) מורפיזמים של השקילות־מנוקדות מחלקות אוסף להיות היסודית החבורה של הקבוצה את נגדיר �

π1 (X,x0) := HomhTop∗

(S1, (X,x0)

)ידי על ,? : π1 (X,x0)× π1 (X,x0)→ π1 (X,x0) מהצורה שרשור פעולת נגדיר �

f ? g (t) :=

{f (2t) 0 ≤ t ≤ 1/2

g (2t− 1) 1/2 ≤ t ≤ 1

.(f (1) = x0 = g (0) מתקיים t = 1/2 שבנקודה לב (נשים

.t 7→ x0 ,S1 → (X,x0) הקבועה ההעתקה של השקילות־מנוקדת מחלקת להיות יחידה איבר נגדיר �

.f−1 (t) := f (−t) ,f−1 ∈ π1 (X,x0) ידי על [f ] ∈ π1 (X,x0) של הופכי איבר נגדיר �

ידי על ,f : S1 → (X,x0) נציג לאיזה [f ] ∈ π1 (X,x0) כללי איבר על נחשוב חבורה, מתקבלת שאכן להיווכח כדי הערה:.f (0) = x0 = f (1) הדרישה עם יחד f : I → (X,x0)

ידי על f ? f−1 ∼ f−1?f ∼ x0 שכן הקבועה), ההעתקה x0 (כאשר[f ? f−1

]=[f−1 ? f

]= [x0] אכן כי לב נשים

.H (s, t) = f (s · t) ההומוטופיה

שמתקיים נראה כלומר אסוציאטיביות. מתקיימת מדוע נסביר

(f ? g) ? h =

f (4t) 0 ≤ t ≤ 1/4

g (4t− 2) 1/4 ≤ t ≤ 1/2

h (2t− 1) 1/2 ≤ t ≤ 1

∼

f (2t) 0 ≤ t ≤ 1/2

g (4t− 2) 1/2 ≤ t ≤ 3/4

h (4t− 3) 3/4 ≤ t ≤ 1

= f ? (g ? h)

הומוטופית f (2t) של הפעלה (למשל, הומוטופיות פעולות אלו ההעתקות של ההגדרה תחומי של שמתיחה\כיווץ לראות קל ואכן,.(0 ≤ s ≤ 1 עבור f

(s−2

2 · t)ההומוטופיה ידי על f (4t) להפעלה

49

(מיוצג). פנקטור הוא π1 : hTop∗ → Grp הערה:

אזי ,x0 ∈ U איזו ידי על מנוקד ,X = U t V מהצורה טופולוגי מרחב X יהי טענה:

π1 (X,x0) ∼= π1 (U, x0)

היה ואם ,f (0) = x0 ∈ U (שכן V מ־ איברים בתמונתה להכיל יכולה לא f : S1 → (X,x0) העתקה שכל לב נשים הוכחה:� .f : S1 → (U, x0) למעשה ולכן רציפה), הייתה לא היא אז f (t) ∈ V

,x0, x1 ∈ X לכל אזי קשיר־מסילתית, טופולוגי מרחב X יהי טענה:

π1 (X,x0) ∼= π1 (X,x1)

,γ : π1 (X,x0)→ π1 (X,x1) העתקה נגדיר .γ : x0 x1 מסילה יש X של מקשירות־מסילתית הוכחה:

γ : [f ] 7→[γ ? f ? γ−1

]12

מתקיים שכן הומומורפיזם, זהו תחילה,

γ ([f ? g]) =[γ ? f ? g ? γ−1

]=[γ ? f ? γ−1 ? γ ? g ? γ−1

]=

[γ ? f ? γ−1

]?[γ ? g ? γ−1

]= γ ([f ]) ? γ ([g])

כי על, גם היא חח"ע. היא ולכן ,γ−1 ([f ]) := γ([f−1

])=[γ−1 ? f ? γ

]ידי על הפיכה γ כי לראות קל כן, כמו

� .γ ◦ γ ([f ]) = [f ]

,x0, x1 ∈ X נקודות זוג עבור הערות:

הקצה. נקודות את ששמשמרת הומוטופיה כדי עד γ במסילה תלויה γ : π1 (X,x0)→ π1 (X,x1) ההעתקה .1

,H (·, 0) = x0 וגם H (1, ·) ≡ δ ,H (0, ·) ≡ γ המקיימת H : I × I → X הומוטופיה ויש ,γ, δ : x0 x1 אם כלומר.γ = δ אז ,H (·1) = x1

שכן ,γ−1 = γ−1 מתקיים .2

γ ◦ γ−1 = γ ◦ γ−1 = Idπ1(X,x0) = γ−1 ◦ γ = γ−1 ◦ γ

בשרשור נתבונן ,γ : x0 ! x1 : δ כי נניח .3

π1 (X,x0)

γ?δ=γ?δ

55γ // π1 (X,x1)

δ // π1 (X,x0)

גם תקף f−1 (t) := f (−t) הסימון אבל ,f (0) = x0 = f (1) המקיימות f : I → (X,x0) העתקות עבור רק לשרשור ביחס הופכי איבר הגדרנו 12אמנם

כאלה. שאינן העתקות עבור

50

שכן ,δ ◦ γ = γ ? δ מתקיים כלומר,

δ ◦ γ ([f ]) =[δ ? γ ? f ? γ−1 ? δ−1

]=

[(δ ? γ) ? f ? (γ ? δ)

−1]

= γ ? δ ([f ])

אוטומורפיזם. היא γ : π1 (X,x0)→ π1 (X,x0) אז ,γ : x0 x0 אם .4

קנוני. איזומורפיזם לא הוא γש־ כך על מצביעה זו עובדה הערה:

ומתקבלת יחידה X של היסודית החבורה שכן ,X רק ונכתוב ,(X,x0) פשוטי־קשר מנוקדים מרחבים של בסימון נתרשל מעתה הערה:נקודה. לכל ביחס

הטריוויאלית). החבורה זו (כלומר π1 (X) = 0 אם פשוט־קשר, נקרא X קשיר־מסילתית טופולוגי מרחב הגדרה:

אזי מנוקדים. מרחבים זוג (X,x0) , (Y, y0) יהיו טענה:

π1 (X × Y, (x0, y0)) ∼= π1 (X,x0)× π1 (Y, y0)

Z → X, Z → המתאימים הצמצומים אם ורק אם רציפה היא Z → X×Y העתקה המכפלה, טופולוגיית שמתכונות לב נשים הוכחה:,fX : S1 → X ,fY : S1 → Y לולאות זוג למעשה היא (x0, y0) הוא שבסיסה f : S1 → X × Y לולאה לכן רציפים. Y

בהתאמה. x0, y0 הנקודות הן שבסיסיהן

,I × S1 → Y מנוקדות הומוטופיות זוג היא ,(x0, y0) בבסיס I × S1 → (X × Y ) מנוקדת הומוטופיה זהה, משיקולבהתאמה. x0, y0 בבסיסים I × S1 → X

� .f 7→ (f |X , f |Y ) ידי על π1 (X × Y, (x0, y0))→ π1 (X,x0)× π1 (Y, y0) איזומורפיזם להגדיר ניתן לכן

הורוויץ משפט 17

הראשונה, להומולוגיה היסודית מהחבורה העתקה x0 ∈ X שרירותית לנקודה ביחס נגדיר קשיר־מסילתית. מרחב X יהי הגדרה:

HW : π1 (X,x0)→ H1 (X)

אליה להתייחס ניתן אזי ,f (0) = x0 = f (1) מקיימת f : I → (X,x0) כלומר ,[f ] ∈ π1 (X,x0) בהינתן הבאה: בצורה

השקילות מחלקת להיות HW ([f ]) את כך אם נגדיר .CSing1 (X) הראשון הסינגולרי בקומפלקס f : ∆1 → X העתקה כאל.H1 (X) := ker ∂0/Im∂1 המנה של

.∂f = f (1)− f (0) = x0 − x0 = 0 שאכן לב נשים

העתקה ונגדיר ,H1

(S1) ∼= Z = 〈1〉 המעגל של בהומולוגיה נתבונן קשיר־מסילתית. מרחב X יהי הגדרה:

HW : π1 (X,x0)→ H1 (X)

HW ([f ]) := f∗ (1)

.H הפנקטור ידי על המושרית ההעתקה f∗ : H1

(S1)→ H1 (X) כאשר

51

הומוטופיות העתקות שכן בהומוטופיה, תלויה אינה HW ההעתקה מדוע מדגימה השנייה ההגדרה שקולות. הגדרות אלו הערה:ההומולוגיה. על ההעתקה אותה את משרות

חבורות. של הומומורפיזם HW טענה:

הסימפלקס CSing2 (X) 3 σ : ∆2 → X ותהי ה־2־ממדי, הסימפלקס ∆2 = [v0, v1, v2] יהי .[f ] , [g] ∈ π1 (X,x0) יהיו הוכחה:

.HW (f ? g) : ∆1 → X את מבצעת ואז ,[v0, v2] ∼= ∆1 הצלע על ∆2 את המטיל הסינגולרי

היא σ של השפה כי לב נשים

∂2 (σ) = g − f ? g + f

,f + g − ∂2 (σ) = f ? g ולכן

HW ([f ]) +HW ([g])− ∂2 (σ) = f ? g = HW ([f ] ? [g])

,H1 (X) שבתוך נקבל ולכן ,Im∂2ב־ מחלקים הראשונה בהומולוגיה

HW ([f ]) +HW ([g]) = HW ([f ] ? [g])

� הומומורפיזם. HW כלומר

על. העתקה HW טענה:

.γy : x0 y מסילה נבחר y ∈ X לכל קשיר־מסילתית, X מהיות הוכחה:

נגדיר ,CSing1 (X) 3 σ : ∆1 → X סינגולרי סימפלקס בהינתן כעת,

fσ := γσ(0) ? σ ? γ−1σ(1)

כי הומומורפיזם HW מהיות ונקבל

HW ([fσ]) = HW([γσ(0)

])? HW ([σ]) ? HW

([γ−1σ(1)

])

שכן ,ai = 1 כי גם למעשה להניח ניתן כי לב נשים .ai = ±1 כי הכלליות הגבלת ללא נניח תחילה .∑i aiσi ∈ H1 (X) יהי הוכחה:

.σi + σ−1i − σi ∼ σi ולכן ,∂1

(σi − σ−1

i

)= 0 ועדיין σ−1

i (t) := σi (−t) את לקחת ניתן

שממשיך σl איזשהו בהכרח יש אז ,(σj (0) 6= σj (1) (כלומר לולאה שאינו σj איזשהו יש אם .∑i σi באיבר כך אם נתבונן

שוב ולכן הומומורפיזם), HW (כי בהומולוגיה σi + σj ∼ σi?σj מתקיים אז אבל ,(σi ? σl השרשור שמוגדר (כלומר σi אתלולאות. כולם σi כי הכלליות הגבלת ללא להניח ניתן

γi?σi?γ−1i ∼ γi+σi+ כי לב נשים קשיר־מסילתית). X מהיות (קיימת כלשהי מסילה γi : x0 σi (0) = σi (1) תהי ,i לכל

.γi ? σi ? γ−1i ∼ γi +σi− γi = σi ולכן בהומולוגיה, −γi ∼ γ−1

i כללי באופן אבל הומומורפיזם), HW (כי בהומולוגיה γ−1i

.x0 שבסיסן לולאות כולם σi כי הכלליות הגבלת ללא להניח ניתן לכן

עם לולאה שהוא כלשהו, σ ∈ H1 (X) סינגולרי בסימפלקס להתבונן מספיק ולכן בהומולוגיה,∑i σi ∼ ?iσi הסכום כעת,

� .HW ידי על היסודית מהחבורה מתקבל הוא כלומר ,x0 בסיס

הקומוטטורים חבורת [G : G] כאשר ,Gab := G/[G,G] ידי על המוגדר ,()ab : Grp→ Ab האבליזציה, בפנקטור נתבונן הגדרה:.g, h ∈ G לכל [g, h] := ghg−1h−1

52

הבאה: בסיטואציה נתבונן

π1 (X,x0)

()ab

��

HW // H1 (X)

πab1 (X,x0)

HWab

88

האבליזציה). פנקטור עם מתחלפת אבלית העתקה (כל

כלומר, .x0 ∈ X לכל איזומורפיזם היא HW ab : πab1 (X,x0) → H1 (X) ההעתקה קשיר־מסילתית, X מרחב עבור משפט:.π1 (X,x0) של לאבליזציה איזומורפית H1 (X)

שמתחלפת ψ : H1 (X)→ A העתקה קיימת ,A אבלית חבורה לאיזו ϕ : π1 (X,x0)→ A העתקה שלכל להראות מספיק הוכחה:כלומר: .HW עם

π1 (X,x0)

HW %%

ϕ // A

H1 (X)

ψ

<<

.ψ ([∑i aiσi]) :=

∑i aiϕ (ai) נגדיר

∑i aiσi ∈ ker ∂1 עבור כנ"ל, ϕ בהינתן כך אם

ואכן: היטב. מוגדרת העתקה זו כי הוא להראות שנצטרך מה עיקר .ψ ◦HW ≡ ϕ כי שמתקיים ברור

.σ1, σ2, ... של בסדר תלויה לא ψ כי נובע A מאבליות .1

ואכן ,σ : ∆2 → X לאיזה x := ∂2 (σ) עבור להראות מספיק כך לשם .ψ (x) = 0 אז x ∈ Im∂2 אם .2

ψ (∂2σ) = ψ(ϕγσ|[0,1] − ϕγσ|[0,2] + ϕγσ|[1,2]

)= ϕ

(γσ|[0,1] ? γ

−1σ|[0,2] ? γσ|[1,2]

)� .∆2 הסימפלקס גבי על פשוט לקבועה הומוטופית שהתקבלה והמסילה

מסקנה:

π1 (Tn) ∼=n⊗i=1

π1

(S1) ∼= n⊗

i=1

H1

(S1) ∼= Zn

הוא השני והשוויון מרחבים, מכפלת לגבי קודמת מטענה הוא הראשון השוויון ה־n־ממדי. הטורוס הוא Tn = ×ni=1S1 כאשר

הורוויץ. ממשפט

ון־קמפן משפט 18

מהצורה היא חבורות של דחיפה דיאגרמת כללי, באופן מבוא:

N

ψ

��

ϕ // G

��H // G ∗

NH

53

כאשר ,(Hב־ או Gב־ הוא ai כל כאשר a1a2...am איברים של פורמליות סדרות (כלומר המילים כל היא G ∗NH כאשר

,ϕ (n)ψ (n)−1

= 1 השקילות יחס מודולו וכן 13,H החבורה של כפל או G החבורה של כפל היא מילים על המותרות הפעולות14.n ∈ N לכל ϕ (n)ב־ ψ (n) את להחליף מותר כלומר

היטב). מוגדר שהוא (במידה דחיפות משמר π1 : hTop∗ → Grp הפנקטור משפט:

המקיימות וקשירות־מסילתית, פתוחות קבוצות זוג A,B ⊂ X ויהיו מנוקד, מרחב (X,x0) בהינתן כלומר,

A ∪B = X .1

x0 ∈ A ∩B .2

מסילתית קשירה A ∩B .3

:hTop∗ לקטגוריה מעל הבאה הדחיפה בדיאגרמת נתבונן

(A ∩B, x0)

��

// (A, x0)

��(B, x0) // (A ∪B, x0) = (X,x0)

.(x0 ∈ A ∩B כי מההנחה ,x0 לנקודה ביחס היטב מוגדרת זו שדיאגרמה לב (נשים

שמתקיים כך ,Grp מעל דחיפה דיאגרמת מחזירה π1 הפנקטור הפעלת אזי

π1 (X,x0) ∼= π1 (A, x0) ∗π1(A∩B,x0)

π1 (B, x0)

:Grp מעל דחיפה דיאגרמת היא הבאה הדיאגרמה כלומר,

π1 (A ∩B, x0)

��

// π1 (A, x0)

��π1 (B, x0) // π1 (X,x0)

.x0 הנבחרת לנקודה ביחס היטב מוגדרת תהיה המנוקדים המרחבים של שהדיאגרמה כדי הכרחי 2 תנאי הערה:

A := (−ε, π + ε) , B := קשתות מזוג המורכב שלו כיסוי וניקח ,S1 המנוקד במרחב נתבונן למשל אם כי הכרחי, 3 תנאי.π1

(S1)

= F1 אבל כוויצים), מרחבים (כולם π1 (A ∩B) ∼= π1 (A) ∼= π1 (B) ∼= 0 כי נקבל ,(π − ε, ε)

איזומורפיזם יש כי נראה הוכחה:

π1 (A, x0) ∗π1(A∩B,x0)

π1 (B, x0)Φ−→ π1 (X,x0)

כולן. של השרשור של ההומוטופיה למחלקת לולאות של מילה שליחת ידי על המתקבל

אחת שכל לולאות לשרשור הומוטופית ,x0 שבסיסה X בתוך לולאה כל כלומר, על. היא Φ ההעתקה המשפט, בתנאי למה:.B בתוך כולה או A בתוך כולה מהן

.g0h0g1g2h1h2g0 = g0h0g3h3g0 אז ,g1g2 = g3, h1h2 = h3 אם 13ל

.g0g1ϕ (n)h0 = g0g1ψ (n)h0 אז ,n ∈ N לאותו g = ϕ (n) , h = ψ (n) אם למשל 14למש

54

נראה תחילה .f (0) = x0 = f (1) עם f : I → (X,x0) הנציג על נסתכל כזאת. לולאה [f ] ∈ π1 (X,x0) תהי הוכחה:.Imfi ⊂ B או Imfi ⊂ A כי fi := f |[si−1,si] עבור שמתקיים כך ,0 = s0 < s1 < ... < sn = 1 חלוקה שקיימת

או f ([s− δ, s+ δ]) ⊂ A שמתקיים כך (s− δ, s+ δ) ⊂ I פתוח תת־קטע יש s ∈ I לכל ,f שמרציפות לב נשיםהקטעים קצות את נגדיר כנ"ל. קטעים של סופי במספר I את לכסות ניתן I מקומפקטיות .f ([s− δ, s+ δ]) ⊂ Bאו Imfi ⊂ A מתקיים ואכן ,fi :≡ f |[si−1,si] נסמן .0 = s0 < s1 < ... < sn = 1 נאמר חלוקה, נקודות להיות הללו

.f =Fni=1fi כי עוד לב נשים .1 ≤ i ≤ n לכל Imfi ⊂ B

כעת .Imγi ⊂ A ∩B שמקיימות ,γi : x0 f (si) מסילות יש ולכן ,x0 ∈ A ∩B וכי קשיר־מסילתית A ∩B כי הנחנוכי נקבל

f = Fni=1fi

(homotopic) ∼(f1 ? γ

−11

)?(γ1 ? f2 ? γ

−12

)?(γ2 ? f3 ? γ

−13

)? ... ?

?... ? (γn−2 ? fn−1 ? γn−1) ? (γn−1 ? fn)

N .B בתוך או A בתוך מוכלת וכולה ,x0 שבסיסה לולאה היא שבסוגריים מהמסילות אחת כל אבל

.ker Φ = π1 (A ∩B, x0) כי להראות נותר איזומורפיזם, Φ כי להראות כדי

.f (0) = x0 = f (1) עם f : I → (X,x0) כהעתקה בה נתבונן .[f ] ∈ π1 (X,x0) תהי הגדרה:Imγi ⊂ B או Imγi ⊂ A מתקיים אם ,f של פירוק תיקרא x0 שבסיסן γ1, ..., γk : I → (X,x0) לולאות של סדרה

(הומוטופיה). f ∼Fki=1γi וכן ,1 ≤ i ≤ k לכל

הקודמת בלמה .Φ (γ1...γk) ∼ f המקיימת ,γ1...γk ∈ π1 (A, x0) ∗ π1 (B, x0) מילה הוא כזה פירוק כי לב נשים הערה:כזה. פירוק מציאת באמצעות על, היא Φ כי הראינו

באמצעות לשני מאחד לעבור ניתן אם שקולים, הם δ1, ..., δm ,γ1, ..., γk פירוקים זוג כי נאמר .[f ] ∈ π1 (X,x0) תהי הגדרה:הבאות: מהפעולות המורכבת פעולות סדרת

.γi ? γi+1 בלולאה אותן להחליף ניתן ,(Bב־ מוכלות (או Imγi, Imγi+1 ⊂ A מקיימות עוקבות לולאות זוג אם .1.εε′ במילה אותה להחליף ניתן אז ,(Bב־ מוכלות (או Imε, Imε′ ⊂ A עבור γi = ε ? ε′ אם ולהיפך:

.εב־ γi את להחליף ניתן ,(B בתוך (או A בתוך כולה שנמצאת הומוטופיה ידי על γi ∼ ε אם .2.π1 (B, x0) של לולאה כעל והן π1 (A, x0) של לולאה כעל הן עליה לחשוב מותר ,Imγi ⊂ A ∩B אם .3

השלישית הפעולה ביצוע כן, כמו הלולאה. אותה של חדש פירוק מניבים השנייה, או הראשונה הפעולה ביצוע כי לב נשים הערה:.π1 (A ∩B, x0) מודולו החופשית המכפלה של המנה למרחב ביחס הפירוק איבר של התמונה את משנה לא

שקולים. ,[f ] ∈ π1 (X,x0) לולאה של פירוקים זוג כל למה:

הומוטופיה יש ולכן ,Fki=1γi ∼ f∼Fl

j=1δj כי לב נשים .[f ] ∈ π1 (X,x0) של פירוקים זוג δ1, ..., δm ,γ1, ..., γk יהיו הוכחה:מנוקדת

F : I × I → (X,x0)

F : Fki=1γi F

lj=1δj

אחד שכל כך ,0 = t0 < t1 < ... < tn = 1 ,0 = s0 < s1 < ... < sm = 1 חלוקות זוג שקיימות לב נשיםהכלליות הגבלת ללא נניח 15.F (Rij) ⊂ B או F (Rij) ⊂ A כולו מועתק Rij := [si−1, si] × [tj−1, tj ] מהמלבניםהמלבנים של מניה ניצור .0 = t0 < t1 < ... < t1 = 1 את המעדנת חלוקה 0 = s0 < s1 < ... < sn = 1 כי

.(Rm·n הוא העליון הימני ,R1 הוא התחתון (השמאלי למעלה מלמטה לימין, משמאל R1, R2, ..., Rm·n

מקומפקטיות), (קיימים B לתוך או A לתוך F ידי על מועתק מהם אחד שכל כך קטנים מספיק לריבועים I × I הריבוע חלוקת ידי על אלה חלוקות לקבל 15ניתן

הנ"ל. בריבועים המופיעות הנקודות כל את המעדנת חלוקה יצירת ידי על Rij המלבנים את לקבל ואז

55

לולאה היא F |Imε אזי שלו. הימנית הדופן אל I × I הריבוע של השמאלית מהדופן היוצאת מסילה ε : I → I × I תהיהשמאלית הדופן את ממפה ולכן ,t ∈ I לכל F (t, 0) = x0 = F (t, 1) כלומר מנוקדת, הומוטופיה F (כי x0 שבסיסה

.(x0ל־ הימנית והדופןεr : I → I × I תהי ,r = 0, ...,m · n כל עבור .R1, R2, ..., Rm·n המלבנים ידי על המחולקת I × I בטבלה נתבונן

השאר. מכל R1, ..., Rr את ומפרידה הטבלה, קווי על העוברת השמאלית לדופן הימנית מהדופן המסילהבצורה לתקרה מהרצפה לעבור ניתן כי נראה שלו. התקרה היא ε1 וכי ,I × I הריבוע של הריצפה היא ε0 כי לב נשים

.r על אינדוקטיבית בצורה הומוטופית,המקיימת ,ζv : x0 F (v) מסילה יש ומקשירות־מסילתית ,F (v) 6= x0 מתקיים .Rr הריבוע של קודקוד הוא v יהי

.Imζv ⊂ A ∩B,x0 שבסיסן ללולאות פירוק נקבל ,e := (e0, e1) שנסמן ,Rr של צלע עבור כעת

F |Imεr= Fe∈Imεr

ζe0 ? F |Imεr?ζe1

בצורה εr+1 המסילה אל εr המסילה את להזיז ניתן שכן ,εr ידי על המתקבל לפירוק שקול εr+1 ידי על המתקבל הפירוקN .B בתוך כולה או A בתוך כולה זו כשהומוטופיה ,Rr+1 דרך הומוטופית

אותה של פירוקים זוג w1, w2 כי נובע ,w1, w2 ∈ π1 (A, x0) ∗π1(A∩B,x0)

π1 (B, x0) מילים זוג עבור Φ (w1) = Φ (w2) אם סיכום:

� כנדרש. ,ker Φ = π1 (A ∩B, x0) משמע .π1 (A ∩B, x0) מודולו w1 ∼ w2 כלומר, שקולים. הם ולכן הלולאה,

מסקנות 18.1

.(π1 (X ∩ Y ) = 0 (כי π1 (X ∨ Y ) ∼= π1 (X) ∗ π1 (Y ) אז קשירים־מסילתית, X,Y אם מסקנה:

יוצרים. n על החופשית החבורה היא Fn כאשר ,π1

(∨ni=1 S

1) ∼= Fn מסקנה:

ידי על (CA ←↩ A f−→ X של הדחיפה (כלומר, Cf החרוט את לכסות ניתן ,f : A → X העתקה עם (X,A) זוג עבור מסקנה:.π1 (V ) = 0 ,π1 (U) = π1 (X) שמתקיים לראות וניתן ,V := A× (1/4, 1] ,U := X tf(A) A× [0, 3/4)

דחיפה, דיאגרמת ון־קמפן ממשפט מתקבלת קשירים־מסילתית, X,A אם לכן

π1 (A)

��

π1(f) // π1 (X)

0 π1 (Cf)

כלומר,

π1 (Cf) ∼= π1(X)/N(π1(A))

הנורמלית. התת־חבורה היא N (π1 (A)) כאשר

דחיפה דיאגרמת ידי על מתקבל RP2 כי לב נשים מסקנה:

S1

��

×2 // S1

D2 ∼= CS1 RP2

56

כי הקודמת מהמסקנה ונקבל ,RP2 = C (×2) ולכן

π1

(RP2

) ∼= π1(S1)/N(π1(S1)) = Z/N(Z) = Z/2Z

דחיפה דיאגרמת ידי על מתקבלת S2 כי לב נשים מסקנה:

S1

��

// D2

D2 // S2

.π1

(S2)

= 0 מתקיים ולכן

.n ≥ 2 לכל π1 (Sn) = 0 כי נובע דומה באופן

דחיפה דיאגרמת ידי על מתקבל RP3 כי לב נשים מסקנה:

S2

��

×2 // D3

RP2 RP3

.(π1

(S2)

= 0 (כי π1

(RP3

) ∼= π1

(RP2

)= Z/2Z ולכן

.(0, 1, 2 מממדים התאים כל (כלומר, שלו ה־2־ממדי השלד X2 ויהי לפחות, 2 מממד CW־קומפלקס X יהי משפט:

הומומורפיזם משרה X ↪→ Y השיכון אז 2־ממדיים, תאים הדבקת ידי על X מתוך המתקבל CW־קומפלקס הוא Y אם .1כלומר ,kerπ1 (ι) = N (π1 (X,x0)) הוא זה הומומורפיזם של הגרעין על. שהוא π1 (ι) : π1 (X,x0) → π1 (Y, x0)וכן 2־ממדי, תא איזה של הדבקה העתקת ϕ כאשר ,γ0 ? ϕ ? γ1 ההצמדות ידי על הנוצרת הנורמלית החבורה תת

.γ1 : ϕ (1) x0 ,γ0 : x0 ϕ (0)

X ↪→ Y השיכון אז ,n > 2 לאיזה n־ממדיים תאים הדבקת ידי על X מתוך המתקבל CW־קומפלקס הוא Y אם .2.π1 (ι) : π1 (X,x0)→ π1 (Y, x0) איזומורפיזם משרה

.π1 (ι) : π1

(X2)→ π1 (X) איזומורפיזם משרה ι : X2 ↪→ X השיכון לפחות, 2 מממד קשיר־מסילתית X אם .3

הוכחה:

רצועה באמצעות Y את נרחיב ,ϕα ידי על מודבק e2α תא לכל דפורמציה: כרטרקט Y את המכיל Z מרחב נגדיר תחילה .1

והריצפה ,e2α של קטע איזשהו על מודבקת הימנית הדופן ,x0 עם מזוהה שלה השמאלית הדופן כאשר ,I × I מוארכת

הבאה: בצורה ,γα : x0 ϕα (0) מסילה לאורך מודבקת שלה

57

.(Hatcher, Algebraic Toplog, page 50 מתוך: (האיורשל הנבחר לקטע מודבקת γα למסילה I × I הרצועה כיווץ ידי (על Z של דפורמציה רטרקט הוא Y כי לראות קשה לא

.(e2α

ניתן .B := Z − X עוד נגדיר .A := Z − {yα}α ונגדיר ,e2α של הנבחר לקטע שייכת שלא yα ∈ e2

α נבחר α לכלכוויץ. B וכי ,A של דפורמציה רטרקט הוא X כי לראות

.(π1 (B) = 0 (שכן π1 (Z) ∼= π1(A)/N(π1(A∩B)) כי נובע ,Z = A ∪B הכיסוי עבור ון־קמפן משפט ידי על כעתI × I הרצועות כל בחיתוך ,x0 מעל שנמצאת z0 ∈ A∩B בסיס נקודת נבחר היסודית, החבורה טיפוס את לשנות מבלי.Imδα ⊂ A∩B עם x0ב־ המתחילה מסילה להיות ,δα נציג נבחר ,

[γαϕαγ

−1α

]∈ π1 (A, x0) האיבר ועבור ,e2

αה־ כל של

היות 16.A ∩ B של כיסוי Aα := A ∩ B −{e2β

}β 6=α

נגדיר .δα כל ידי על נוצרת π1 (A ∩B, z0) כי כעת נראה

.δα ידי על נוצרת π1 (Aα, z0) ∼= Z כי נקבל ,e2α − yα ≈ S1 המעגל של דפורמציה רטרקט Aα שמתקיים

של דפורמציה רטרקט Aα שכן ,π1 (Aα) = 0 כי לבסוף נקבל ,e2α במקום enα עבור 1 חלק של להוכחה דומה באופן .2.π1 (A ∩B) = 0 ולכן ,n > ל־2 e2

α − yα ≈ Sn−1

באינדוקציה. להסיק וניתן ,n ∈ N לאיזה X = Xn אז וקשיר־מסילתית, סוף־ממדי X אם .3ולכן קומפקטית, קבוצה Imf כלשהו. x0 ∈ X2 שבסיסה לולאה f : I → X תהי אז סוף־ממדי, אינו X אםולכן ,X2 בתוך ללולאה הומוטופית f כי נובע 2 מחלק כעת, כלשהו. n ∈ Nל־ Xn שלד איזשהו בתוך מוכלת היא

על. העתקה π1

(X2, x0

)→ π1 (X,x0)

.F : I × I → X הומוטופיה ידי על x0 הקבועה להעתקה הומוטופית שהיא f : I → X2 כי נניח חח"ע, להסיק כדיהומוטופית f כי נובע ולכן ,2 חלק לפי חח"ע π1

(X2, x0

)→ π1 (Xn, x0) אבל .n > ל־2 Xn בתוך קומפקטית ImF

� .X2 בתוך הקבועה להעתקה

.Y 0 = {∗} עם ,Y CW־קומפלקס ל־ הומוטופית שקול הוא אז קשיר־מסילתית. CW־קומפלקס X יהי טענה:

יהי כך אם כוויץ.17 הוא עץ כל כי להראות וניתן פורש, עץ יש גרף לכל .X0 הם שקודקודיו גרף הוא X1 כי לב נשים הוכחה:� יחידון. הוא X/T של ה־0 השלד ואכן .X/T ≈ X ולכן טוב, זוג (X,T ) כי לב נשים פורש. עץ T ⊂ X1

כי הכלליות הגבלת ללא ונניח הקודמת), (מהטענה X0 = {x0} כי הכלליות הגבלת ללא נניח סופי, CW־קומפלקס X עבור מסקנה:מתקיים הקודם), המשפט של 3 (מחלק 2־ממדי הוא X

π1

(X1, x0

)= π1

(n∨i=1

S1

)= Fn

CW־קומפלקס, בניית ידי על

S1

��

// D2

��X1 X2 = X

ון־קמפן, וממשפט

Z

��

// 0

��Fn π1 (X,x0) = 〈g1, ..., gn | r1, ..., rk〉

גודל. מכל כיסוי עבור נכונה דומה הוכחה אולם קבוצות, זוג של כיסוי עבור ון־קמפן משפט של גרסה 16הוכחנו

מקשירות־מסילתית (קיימת γv : v0 v כאשר ,H (t, v) = γv (t) ידי על H : I×V → T הומוטופיה ונגדיר ,v0 ∈ V נקבע ,V קודקודים קבוצת עם T 17לעץ

.H : I × T → T לכדי ההגדרה את להרחיב כיצד לראות וקל ,H (1, v) = v וכי H (0, v) = v0 כי ברור .(T של

58

להעתקת המתאימה המילה הוא ri והיחס הדו־ממדיים, התאים מספר הוא k החד־ממדיים, התאים מספר הוא n כאשר.e1i התא של ההדבקה

תלת־ממדיים). חורים g בו שיש התלת־ממדי, הבייגל (כלומר, Mg במשטח נתבונן דוגמה:

ולכן ,{e0}→{e1

1, ..., e12g

}CW־קומפלקס עם אותו לזהות ניתן

π1 (Mg) = 〈a1, b1, a2, b2, ..., ag, bg | [a1, b1] · [a2, b2] · ... · [ag, bg] = 1〉

הקומוטטור. [a, b] := aba−1b−1 כללי באופן כאשר

59

VIII חלק

כיסוי מרחביה

הבא: התנאי שמתקיים כך כיסוי, העתקת המכונה p : X → X העתקה יש אם ,X של כיסוי מרחב הוא X כי נאמר הגדרה:

,α שלכל כך וזרות, פתוחות Uα ⊂ X עבור p−1 (U) =⊔α Uα שעבורה ,x0 ∈ U ⊂ X פתוחה סביבה קיימת x0 ∈ X לכל

הומאומורפיזם. היא p |Uα : Uα → U המצומצמת ההעתקה

.x0 של הסיב נקראת p−1 (U) הקבוצה ,x0 ∈ U ⊂ X מתאימה פתוחה סביבה עם x0 ∈ X לנקודה

כיסוי. העתקת p : X → X ותהי טופולוגיים, מרחבים X,Y יהיו הגדרה:

.p ◦ f = f שמתקיים כך ,f : Y → X העתקה היא f של הרמה רציפה. העתקה f : Y → X תהי

Y

f ��

f // X

X

p

??

כיסוי. העתקת p : X → X תהי ההרמה: למת

γ : I → X הרמה ויחידה קיימת ,p (x0) = x0 שמתקיים כך x0 ∈ X ולכל ,γ (0) = x0 עם γ : I → X מסילה לכל .1.γ (0) = x0 עם

ויחידה קיימת ,p (x0) = x0 שמתקיים כך x0 ∈ X ולכל ,t ∈ I לכל F (0, t) = x0 עם F : I × I → X הומוטופיה לכל .2.(t ∈ I לכל ,F (·t) של הרמה F (·, t) (כלומר, F (0, t) = x0 עם F : I × I → X הומוטפיית־הרמה

שלה. החלקים שני את שמכלילה למה נוכיח ההרמה, למת את להוכיח כדי

קיימת אזי .F (·, 0) של הרמה F (·, 0) נתונה כי ונניח הומוטופיה, F : Y × I → X תהי כיסוי. העתקת p : X → X תהי למה:.F (·, t) של הרמה F (·, t) ,t ∈ I שלכל כך ,F (·, 0) את המרחיבה F : Y × I → X יחידה הומוטופיה

הדיאגרמה: את נקבל ,ι : Y 7→ Y × {0} ↪→ Y × I בשיכון נתבונן אם כלומר,

Y

ι

��

F (·,0) // X

p

��Y × I

F//

∃F<<

X

הוכחה:

מרציפות אזי בכיסוי. זו לנקודה המתאימה סביבה U ותהי ,F (y0, t) ∈ X בנקודה נתבונן .(y0, t) ∈ Y × I תהי קיום: �

.F (Nt × (at, bt)) ⊂ U שעבורה Nt × (at, bt) ⊂ Y × I פתוחה סביבה יש ,F

60

y0 ∈ N פתוחה סביבה קיימת לכן הנ"ל. Nt× (at, bt) מהצורה קבוצות של סופי כיסוי לה יש ולכן קומפקטית, {y0}×IUi כאשר ,F (N × [ti, ti+1]) ⊂ Ui מתקיים ,i שלכל כך ,0 = t0 < t1 < ... < tm = 1 עדינה מספיק חלוקה עם יחד

.N =⋃Nt וכן ,F (y0, ti) לנקודה המתאימה פתוחה סביבה

.N × [0, ti] על F את הגדרנו כי באינדוקציה נניח בטענה. נתונה F (·, 0) תחילה .m על באינדוקציה F את נגדיר כעת,F (y0, ti) של פתוחה סביבה Ui ⊂ Xi יש ולכן ,F (N × [ti, ti+1]) ⊂ Ui כי לב נשים .F (y0, ti) בנקודה נתבונן

הומאומורפיזם. p : Ui → Ui שעבורה

נוכל וכעת .(N ∩ F |−1N×{ti}

(Ui

)בסביבה N את נחליף (אחרת F (N × {ti}) ⊂ Ui כי הכלליות הגבלת ללא נניח

המקומי. מההומאומורפיזם מתקבלת p−1 : Ui → Ui כאשר ,N × [ti, ti+1] על F = p−1 ◦ F להגדירלהגדיר נוכל זה באופן .y0 של כלשהי סביבה N עבור F : N × I → X של הגדרה נקבל שלבים של סופי מספר לאחר

.y0 ∈ Y לכלעל F הגדרת בהכרח אז ,y0, y1 ∈ Y נקודות לזוג מתאימות N0, N1 עבור N0 × I ∩ N1 × I 6= ∅ אם כי לב נשים

.F : Y × I → X כל על ברציפות מוגדרת F ולכן יחידה, החיתוך

ההרמה הומוטופיית את בנינו לעיל .F : I → X פשוט לכתוב נוכל לכן יחידון. Y = {y0} כי נניח תחילה יחידות: �

לכל F (t) של הרמה F ′ (t) וכי ,F ′ (0) = F (0) כי המקיימת נוספת הומוטופיה F ′ : I → X כי נניח .F : I → X.t ∈ I

.tiל־ מתאימה פתוחה סביבה Ui כאשר ,F ([ti, ti+1]) ⊂ Ui ,i שלכל כך ,0 = t0 < t1 < ... < tm = 1 חלוקה נקבעF ([ti, ti+1]) גם כי נובע קשירה [ti, ti+1] מהיות .F |[0,ti]= F ′ |[0,ti] כי באינדוקציה נניח .F (0) = F ′ (0) תחילה,F ′ ([ti, ti+1]) ⊂ Uj גם טיעון מאותו .Uiל־ הומאומורפית פתוחה סביבה Ui לאיזו F ([ti, ti+1]) ⊂ Ui ולכן קשירה,

האינדוקציה. מהנחת F (ti) = F ′ (ti) כי i = j למעשה אבלהמקיים הומאומורפיזם p |Ui : Ui → Ui כי לב נשים אבל

p ◦ F |[ti,ti+1]= F |[ti,ti+1]= p ◦ F ′ |[ti,ti+1]

.I כל על F = F ′ כי נקבל שלבים של סופי מספר לאחר .F |[ti,ti+1]= F ′ |[ti,ti+1] ולכן

� .Y × I כל על יחידה ולכן ,{y0} × I לכל יחידה F כך אם

ההרמה למת של השני החלק (יחידון). טריוויאלי מרחב Y עבור הבאה מהלמה מתקבל ההרמה למת של הראשון החלק מסקנה:Y.יסו = I עבור מתקבל

אוניברסלי כיסוי מרחב 18.2

ופשוט־קשר. קשיר־מסילתית p : X → X כיסוי מרחב קיים מקומית,18 פשוט־קשר קשיר־מסילתית, X טופולוגי למרחב משפט:

המרחב את נגדיר ,x0 ∈ X לאיזו הוכחה:

X := {[γ] | γ : I → X, γ (0) = x0}

.(x0ב־ מתחילות שכולן הומוטופיות של השקילות מחלקות אלו (כאשר

רציפה. כיסוי העתקת p אכן כי ונראה ,X על טופולוגיה נגדיר .[γ] 7→ γ (1) ידי על p : X → X העתקה ונגדיר

,[γ] ∈ X ולכל Uα לכל . {Uα}α∈A מהצורה פשוטות־קשר פתוחות של בסיס X של לטופולוגיה יש כי נובע במשפט מההנחהנגדיר

U [γ]α := {[γ ? δ] | δ : I → Uα, γ (1) = δ (0)}

.Xל־ פתוחות של כבסיס{U

[γ]α

}[γ]∈X

α∈Aבאוסף כך אם להתבונן נרצה .(γ (1) ∈ Uα אם U

[γ]α 6= ∅ כי לב (נשים

פשוטת־קשר. Uש־ כך ,x ∈ U ⊂ X פתוחה סביבה קיימת x ∈ X לכל 18כלומר,

61

.γ ∼ γ′ =⇒ γ ? δ ∼ γ′ ? δ שכן ,U [γ]α = U

[γ′]α אז [γ] = [γ′] אם כי היטב, מוגדר זה אוסף כי לב נשים תחילה �

לטופולוגיה. בסיס אכן שזה נראה �

.U[γ′]α = U

[γ]α אז [γ′] ∈ U [γ]

α אם למה:

ולכן [γ′] = [γ ? δ′] כי נובע [γ′] ∈ U [γ]α מההנחה אז ,[γ ? δ] ∈ U [γ]

α אם אחד, מצד הוכחה:

[γ ? δ] =[γ ? δ′ ? δ′−1 ? δ

]=[γ′ ? δ′−1 ? δ

]∈ U [γ′]

α

N .[γ′ ? δ] = [γ ? δ′ ? δ] ∈ U [γ]α נקבל [γ′] = [γ ? δ′] נסמן שוב אם אז ,[γ′ ? δ] ∈ U [γ′]

α אם שני, ומצד

.[γ3] ∈ U [γ3]α3 ⊂ U

[γ1]α1 ∩U

[γ2]α2 שמתקיים כך α3 יש [γ3] ∈ U [γ1]

α1 ∩U[γ2]α2 שלכל להראות יש בסיס, שזה להראות כדי כעת

α3 ∈ A שיש נובע בסיס {Uα}α∈A מהיות .U [γ2]α2 = U

[γ3]α2 אופן ובאותו ,U [γ1]

α1 = U[γ3]α1 כי נובע [γ3] ∈ U [γ1]

α1 מההנחהולכן ,Uα3

⊂ Uα1∩ Uα2

עם

[γ3] ∈ U [γ3]α3⊂ U [γ3]

α1∩ U [γ3]

α2= U [γ1]

α1∩ U [γ2]

α2

X כי (2) רציפה, כיסוי העתקת היא ,[γ] 7→ γ (1) ,p : X → X (1) כי להראות ונרצה ,X על טופולוגיה הגדרנו כך אם �

פשוט־קשר. X וכי (3) קשיר־מסילתית,

לכן .U [γ1]α = U

[γ]α = U

[γ2]α כי מכך נובע לעיל, שהראינו כפי אז ,[γ] ∈ U [γ1]

α ∩ U [γ2]α תהי קיימת אם כי לב נשים .1

.U [γ1]α ∩ U [γ2]

α = ∅ מתקיים U [γ1]α , U

[γ2]α שונות קבוצות לזוג

אז x1 ∈ Uα אם ,x1 ∈ X עבור כי מכאן

p−1 (Uα) =⊔

[γ:x0 x1]∈X

U [γ]α

רציפה. כיסוי העתקת p כלומרUα כי על והיא פשוט־קשר, Uα כי חח"ע היא אבל הומאומורפיזם. p |p−1(Uα): p

−1 (Uα)→ Uα כי להראות נותרהומאומורפיזם. קיבלנו ולכן רציפה, ההופכית כי גם נובע לעיל מהשוויון קשירה־מסילתית.

אזי .γt (s) :=

{γ (s) 0 ≤ s ≤ tx0 t ≤ s ≤ 1

להיות γt : I → X נגדיר ,[γ] ∈ X בהינתן קשיר־מסילתית. X כי נראה .2

.[γ1] = [γ] ומסתיימת [γ0] = [x0] ושמתחילה γ של הרמה המהווה ,X בתוך מסילה היא t 7→ [γt] ההומוטופיה.[γ] ∼ [x0] כלומר

p∗ := π1 (p) : π1

(X, [x0]

)→ בהעתקה נתבונן .π1

(X, [x0]

)= 0 כי נראה כלומר פשוט־קשר. X כי נראה .3

Imp∗ ⊂ π1 (X,x0) איברי כי לב נשים טריוויאלית. שלה שהתמונה להראות מספיק חח"ע, p∗ מהיות .π1 (X,x0).[x0] בבסיס X של ללולאות הרמה עם ,x0 בבסיס לולאות הם

,[x0]ב־ המתחילה γ של הרמה היא 2 בסעיף שהגדרנו t 7→ γt המסילה ,x0 בבסיס γ לולאה שלכל לב נשים

.π1

(X, [x0]

)= 0 ולכן ,Imp∗ = 0 כלומר .[x0] = [γ] ולכן [γ0] = [γ1] אבל .[γ0] = [x0] , [γ1] = [γ] המקיימת

�

הסיב פנקטור 18.3

,[δ] ∈ X ,[γ] ∈ π1 (X,x0) עבור ,π1 (X,x0)× X → X פעולה נגדיר הגדרה:

[γ] . [δ] = [γ ? δ] ∈ X

62

מתקיים קבוצתית שכן רציפה, פעולה זו הערה:

[γ] .U [δ]α = U [γ?δ]

α

,p הכיסוי העתקת את מכבדת והיא

π1 (X,x0)× p−1 (Uα)→ p−1 (Uα)

,x0 ∈ U ⊂ X פתוחה סביבה יש x0 ∈ X לכל אם חופשית־טופולוגית, נקראת X טופולוגי מרחב על G חבורה של פעולה הגדרה:.g.U ∩ U = ∅ ,g ∈ G שלכל כך

.Uα הפתוחות ידי על חופשית־טופולוגית, היא שהגדרנו הפעולה הערה:

,Xp−→ X מהצורה X של כיסוי מרחבי של האובייקטים את לכלול ,CovX הקטגוריה את נגדיר ,X טופולוגי למרחב ביחס הגדרה:

מתחלפת: הבאה שהדיאגרמה כך העתקה הוא ,f :(X1

p1−→ X)→(X2

p2−→ X)ומורפיזם

X1

p1

f // X2

p2~~X

ומורפיזם עליהן, פועלת G שהחבורה קבוצות של האובייקטים את לכלול , G−Set הקטגוריה את נגדיר ,G לחבורה ביחס הגדרה:מתחלפת: הבאה שהדיאגרמה כך העתקה הוא ,f : A→ B

G×A

G acts on A

��

(·,f) // G×B

G acts on B

��A

f// B

המתאימים הסיבים בין קבוצות של העתקה נגדיר ,γ : x0 x1 מסילה בהינתן ,p : X → X כיסוי מרחב עבור הגדרה:.γ (0) = x0 המקיימת היחידה ההרמה היא γ : I → X כאשר ,γ∗ (x0) := γ (1) ידי על ,γ∗ : p−1 (x0)→ p−1 (x1)

.p−1 (x0) הסיב קבוצת על היסודית החבורה של פעולה למעשה זו

הפוך הפעולה את נכתוב לכן .(γ ? δ)∗ = δ∗ ◦ γ∗ מתקיים , γ : x0 x1, δ : x1 x2 מסילות זוג עבור כי לראות ניתן הערה:כי ונקבל ,x0.γ∗ := γ∗ (x0) = γ (1)

(x0.γ∗) ◦ δ∗ = x0. (γ ? δ)∗

מהצורה קבוצה על חבורה של פעולה נקבל ,x0 x0 ללולאות לעיל ההגדרה את נצמצם אם הגדרה:

π1 (X,x0)× p−1 (x0)→ p−1 (x0)

.γ (0) = x0 המקיימת היחידה ההרמה γ עבור הפוך) (בכתיב x0.γ = γ (1) ידי על המוגדרת

.(x0.γ) .δ = x0. (γ ? δ) כי חבורה של פעולה זו כאמור,

63

הבאה: בצורה ,Fibx0 : CovX → π1 (X,x0)−Set פנקטור נגדיר ,x0 ∈ X עם X למרחב הגדרה:

.Fibx0

(X

p−→ X)

= p−1 (x0) נגדיר ,Xp−→ X אובייקט עבור

Fibx0(f) (x0) := ידי על Fibx0

(f) : p−11 (x0) → p−1

2 (x0) נגדיר ,f :(X1

p1−→ X)→(X2

p2−→ X)

מורפיזם עבור

.f (x0)

שמתקיים כלומר ,π1 (X,x0) -Set מתקבלת אכן כי לב נשים כן כמו .f (x0) ∈ p−12 (x0) ולכן ,p2 ◦ f = p1 כי לב נשים

f ◦ γ : f (x0) יחידה הרמה יש ולכן ,γ : x0 x0.γ יחידה הרמה יש γ : x0 x0 לנציג שכן ,f (x0. [γ]) = f (x0) .γ.f (x0.γ)

,FX,Y : HomC (X,Y )→ HomD (F (X) , F (Y )) העתקה מושרית ,C של X,Y אובייקטים זוג לכל פנקטור. F : C → D יהי הגדרה:

.(X

f−→ Y)7→(F (X)

F (f)−→ F (Y )

)ידי על

על. FX,Y אם מלא F כי ונאמר חח"ע, FX,Y אם נאמן F כי נאמר

נאמן. Fibx0אז קשיר־מסילתית, X אם טענה:

כהעתקות Fibx0(f) = Fibx0

(g) אם כי להראות צריך .f, g :(X1

p1−→ X)→(X2

p2−→ X)

מורפיזמים זוג יהיו הוכחה:

אז ,x0 ∈ p−11 (x0) ⊂ X1 לכל f (x0) = g (x0) אם כי להראות צריך כלומר, .f = g אז ,p−1

1 (x0) → p−12 (x0)

.x ∈ X1 לכל f (x) = g (x)

.γ : x x0 עם שלה היחידה ההרמה γ תהי .γ : p1 (x) x0 מסילה נקבע מסילתית מקשירות .x ∈ X1 יהי

ומתחילות ההפוך, בכיוון γ של הרמות הן ההפוך, בכיוון אותן ניקח אם כי לב ונשים ,f ◦ γ, g ◦ γ : I → X2 בהעתקות נתבונןולכן בהתאמה, f (x) , g (x) בנקודות מסתיימות הן אבל שוות. הן כי נובע ההרמה מיחידות .f (γ (1)) = g (γ (1)) בנקודה

� .f (x) = g (x)

מלא. Fibx0אז מקומית, קשיר־מסילתית X אם טענה:

להראות צריך .π1 (X,x0) -set של מורפיזם f0 : p−11 (x0)→ p−1

2 (x0) ויהי כיסוי, מרחבי זוג X1p1−→ X, X2

p2−→ X יהיו הוכחה:

.f :(X1

p1−→ X)→(X2

p2−→ X)מורפיזם לאיזה f0 = Fibx0

(f) כי

אם שכן היטב מוגדרת זו העתקה כי לב נשים .f (x) := (f0 (x.γ)) γ−1 ונגדיר ,γ : p1 (x) x0 מסילה נבחר ,x ∈ X1 לכלמקיימת π1 (X,x0) 3 ε := δ−1 ? γ : p1 (x) p1 (x) אז ,δ ∼ γ

f0 (x.γ) .γ−1 = f0 (x. (δ ? ε)) .γ−1 = f0 (x.δ) .(ε ? γ−1

)= f0 (x.δ) .δ−1

הקבועה). המסילה f0 ◦ p1 : x0 x0 (כי f (x) = f0 ◦ p1 וכן ,p2 ◦ f = p1 מתקיים בבירור כן כמו

רציפה. f כי להראות ונותר ,Fibx0(f) = f0 מתקיים

מסילה לכל אזי ,γ : x1 x2 מסילה בהינתן שכן הסיבים, על π1 (X,x0) של הפעולה את מכבדת f כי לב נשים תחילהנובע ולכן ,ε := γ−1 ? δ : x2 x0 להגדיר נוכל δ : x1 x0

f (x.γ) = f0 (x. (γ ? ε)) .ε−1 = f0 (x.δ) .ε−1 = f (x) .γ

הומאומורפיזמים מתקבלים אז יחד. גם p1, p2 ידי על שמכוסה p (x) ⊂ N ⊂ X פתוחה סביבה נקבע ,x ∈ X1 בהינתן כעתההעתקה של xב־ רציפות להראות כדי כעת דיסקרטיות. קבוצות S1, S2 עבור p−1

2 (N) ∼= N × S2 ,p−11 (N) ∼= N × S1

רציפה. N × S1 → N × S2 ההעתקה ,N × S1 בתוך נקודה לכל כי להראות יש ,f : p−11 (x0)→ p−1

2 (x0)

בתוך מסילה שכל לב נשים רציפה. היא ולכן a (x, s) = x כי לב נשים .(x, s) 7→ (a (x, s) , b (x, s)) ההעתקה את נכתובההעתקה s ∈ S1 לכל כי נובע הסיבים על π1 (X,x0) של הפעולה את מכבדת f מהיות השני, במשתנה קבועה היא N × S1

� רציפה. ולכן מקומית, קבועה ולכן ,N של קשירות־מסילתית רכיבי על קבועה היא s 7→ b (x, s)

64

והיא ,g.a = b שמקיים g ∈ G קיים a, b ∈ A לכל אם טרנזיטיבית, נקראת G × A → A קבוצה על חבורה של פעולה תזכורת:.A איברי על שונה פרמוטציה משרים שונים g, h ∈ G כל אם נאמנה, נקראת

טרנזיטיבית. π1 (X,x0)× p−1 (x0)→ p−1 (x0) הפעולה קשיר, כיסוי מרחב Xp−→ X עבור טענה:

,γ ∈ π1 (X,x0) כלומר .γ := p ◦ γ : x0 x0 בלולאה נתבונן .γ : x0 y0 מסילה תהי .x0, y0 ∈ p−1 (x0) יהיו הוכחה:� .x0.γ = γ (1) = y0 כי נובע לכן .γ של היחידה ההרמה γ כי ומתקיים

π1 (X, x0) ∼ CovX הקטגורית השקילות 18.4

טבעיים איזומורפיזמים שקיימים כך ,G : D → C פנקטור קיים אם קטגורית, שקילות נקרא F : C → D פנקטור תזכורת:.G ◦ F ∼= IdC ,F ◦G ∼= IdD

Fibx0: CovX → π1 (X,x0)−Set הסיב פנקטור אזי מקומית. ופשוט־קשר קשיר־מסילתית מנוקד, מרחב (X,x0) יהי משפט:

קטגורית. שקילות הוא

הבאה: בצורה מתקבל G : π1 (X,x0)−Set→ CovX ההפוך הפנקטור הערה:

יחס עבור S×X/∼ כיסוי מרחב נגדיר ,π1 (X,x0) של פעולה עם S קבוצה בהינתן אוניברסלי. כיסוי מרחב Xp−→ X נקבע

.(s.γ, x) ∼ (s, x.γ) השקילות

65

IX חלק

טנזורית ומכפלה סימפליציאליות קבוצותאיזומורפיזם קיים ,X ∈ Ob (C) אובייקט שלכל כל A ∈ Ob (C) אובייקט קיים אם מיוצג, נקרא F : C → Set פנקטור הגדרה:

.F (X) ∼= HomC (A,X) טבעי

מקיימת היא אם בילינארית, נקראת f : A×B → C העתקה אבליות. חבורות A,B,C יהיו הגדרה:

f (a+ a′, b) = f (a, b) + f (a′, b)

f (a, b+ b′) = f (a, b) + f (a, b′)

.b, b′ ∈ B ,a, a′ ∈ A לכל

.k ∈ Z לאיזה f (x, y) = kxy מהצורה תמיד היא f : Z× Z→ Z בילינארית העתקה דוגמה:

חבורות. של הומומורפיזם בהכרח אינה בילינארית העתקה הערה:

ידי על hA,B : Ab→ Set פנקטור נגדיר אבליות. חבורות A,B יהיו הגדרה:

hA,B : X 7→ {f : A×B → X | f is bilinear transformation}

טבעי איזומורפיזם קיים X אובייקט שלכל כך ,A ⊗ B המסומנת אבלית חבורה קיימת כלומר, מיוצג. פנקטור הוא hA,B טענה:.HomAb (A⊗B,X) ∼= hA,B (X)

.A,B של הטנזורית המכפלה נקראת A⊗B החבורה

יחס מודולו ,ai ∈ A, bi ∈ B עבור∑i ai ⊗ bi מהצורה הסופיים הפורמליים הסכומים אוסף להיות A ⊗ B את נגדיר הוכחה:

השקילות

(a+ a′)⊗ b ∼ a⊗ b+ a′ ⊗ b

a⊗ (b+ b′) ∼ a⊗ b+ a⊗ b′

.a ∈ A, b ∈ B לכל 0⊗ 0 = a⊗ 0 = 0⊗ b הוא A⊗B של היחידה איבר בפרט

� .− (a⊗ b) := (−a)⊗ b = a⊗ (−b) הוא a⊗ b ∈ A⊗B של הנגדי כן כמו

,A,B,C,D אבליות חבורות עבור טענה:

A⊗B ∼= B ⊗A .1

.(a⊗ b 7→ b⊗ a ההעתקה ידי (על

(A⊕B)⊗ C ∼= A⊗ C ⊕B ⊗ C .2

.((a, b)⊕ c 7→ (a⊗ c, b⊗ c) ההעתקה ידי (על

(A⊗B)⊗ C ∼= A⊗ (B ⊗ C) .3

.((a⊗ b)⊗ c 7→ a⊗ (b⊗ c) ההעתקה ידי (על

66

Z⊗A ∼= A .4

.(n⊗ a 7→ na ההעתקה ידי (על

Z/nZ⊗A ∼= A/nA .5

.(k ⊗ a 7→ a mod n ההעתקה ידי (על

(f ⊗ g) (a⊗ b) = ידי על A ⊗ Bf⊗g−→ C ⊗ D הומומורפיזם משרים ,A

f−→ B,Cg−→ D הומומורפיזמים זוג .6

.f (a)⊗ g (b)

.a⊗ b 7→ f (a, b) ידי על A⊗B → C הומומורפיזם משרה ,f : A×B → C בילינארית העתקה .7

חבורה להיות ,C∗ = A∗ ⊗ B∗ מדורגות אבליות חבורות של טנזורית מכפלה נגדיר מדורגות. אבליות חבורות A∗, B∗ יהיו הגדרה:היא kה־ שברמה מדורגת אבלית

Ck :=⊕i∈Z

Ai ⊗Bk−i

.HSing∗ (X)⊗HSing

∗ (Y ) ↪→ HSing∗ (X × Y ) טבעי שיכון קיים טענה:

הוא הנ"ל השיכון אז ,A = Q,Fp שדה מעל למשל אלא ,Z של דווקא לאו מקדמים עם בהומולוגיה נתבונן אם כן, כמואיזומורפיזם.

איזומורפיזם. הוא הנ"ל השיכון אז בלבד, זוגיים מממדים תאים בעלי CW־קומפלקסים הם X,Y אם כן, כמו

קומפלקס להיות ,C• = A• ⊗ B• שרשראות קומפלקסי של טנזורית מכפלה נגדיר שרשראות. קומפלקסי A•, B• יהיו הגדרה:הוא kה־ שברמה שרשראות

Ck :=

k⊕i=0

Ai ⊗Bk−i

השפה העתקות עם

dC• (ai ⊗ bk−i) := dA (ai)⊗ bk−i + (−1)iai ⊗ dB (bk−i)

שפה, העתקת מתקבלת שאכן נראה

dC• (dC• (a⊗ b)) = dC•

(dA (a)⊗ b+ (−1)

ia⊗ dB (b)

)= dC• (dA (a)⊗ b) + (−1)

idC• (a⊗ dB (b))

= dAdA (a)⊗ b︸ ︷︷ ︸=0

+ (−1)i−1

dA (a)⊗ dB (b) + (−1)i

dA (a)⊗ dB (b) + (−1)ia⊗ dBdB (b)︸ ︷︷ ︸

=0

= (−1)

i−1dA (a)⊗ dB (b) + (−1)

idA (a)⊗ dB (b) = 0

67

סימפליציאליות קבוצות 19

העתקות שהם מורפיזמים עם ,{0 < 1 < ... < n} הסדורות הסופיות הקבוצות כל להיות ∆+ הקטגוריה את שהגדרנו ניזכר הגדרה:הסמי־ הקבוצות אוסף .∆op

+ → Set פנקטור להיות סמי־סימפליציאלית קבוצה הגדרנו בהתאם, חזק. עולות מונוטוניות.∆op

+ − Set קטגוריה היווה סימפליציאליות

מונוטוניות העתקות שהם מורפיזמים עם ,{0 < 1 < ... < n} הסדורות הסופיות הקבוצות כל להיות ∆ הקטגוריה את נגדירקטגוריה הוא הסימפליציאליות הקבוצות אוסף .∆op → Set פנקטור להיות סימפליציאלית קבוצה נגדיר בהתאם, חלש. עולות

.∆− Set

הסינגולרי הקומפלקס ,Sing+• (X) הסינגולרי לקומפלקס (בניגוד Sing• (X) הסינגולרי הקומפלקס ,X טופולוגי למרחב טענה:

סימפליציאלית. קבוצה הוא נקודה), לאותה סמוכים קודקודים זוג המעתיקות ∆n → X העתקות מאפשר Sing• (X)

העתקות אוסף יש n שלכל כך ,X0, X1, ..., Xn, ... קבוצות אוסף סימפליציאלית: לקבוצה מפורשת הגדרה נציג הגדרה:

d[n]i : Xn → Xn−1

s[n]i : Xn → Xn+1

, 0 ≤ i ≤ n

שמתקיים: }כךdidj = dj−1di for i < j

sisj = sj+1si for i ≤ j

disj =

sj−1di for i < j

Id for i = j or i = j + 1

disj = sjdi−1 for i > j + 1

הבאה: בדיאגרמה נתבונן טענה:

Top

Sing+

• () %%

Sing•()// ∆op − Set

��

C• // Comp

∆op+ − Set

C+•

88

.Sing• (X × Y ) ≈ Sing• (X)⊗ Sing• (Y ) מתקיים

קוואזי־איזומורפיזם. היא C• (X × Y )q−→ C• (X)⊗ C• (Y ) כי מתקיים

שלה, הגאומטרי המימוש את נגדיר ,X• ∈ Ob (∆− Set) סימפליציאלית קבוצה בהינתן הגדרה:

|X•| :=⊔nXn×∆n

/∼

f : [n] → [k] (כלומר f : Xk → Xn ולכל (x, α) ∈ Xn ×∆n לכל (f∗ (x) , α) ∼ (x, f∗ (α)) הוא השקילות יחס כאשרf∗ : ∆k → ∆n וכן ,∆k 3 i 7→ f (i) ∈ ∆n הקודקודים את המעתיק השיכון היא f∗ : ∆k → ∆n ובהתאמה חלש), מונוטונית

הקודקודים. על f של הלינארית ההמשכה היא

68

סימפליציאלית. קבוצה ידי ועל סמי־סימפליציאלית קבוצה ידי על ריבוע מתארים כיצד נדגים דוגמה:

לקבל בתקווה בעצמה אותה נכפיל .0, 1 את המחבר e קטע המתארת X0 = {0, 1} , X1 = {e} מהצורה בקס"ס נתבונןהנקודות את המחבר הקטע עם נקודות, ארבע המתארת ,X2

0 = {(0, 0) , (0, 1) , (1, 0) , (1, 1)} , X21 = {(e, e)} ונקבל ריבוע,

ריבוע. קיבלנו לא כלומר .(0, 0) , (1, 1)

מהצורה בק"ס נתבונן מנגד,

X0 = {0, 1} , X1 = {[0, 1] , 0, 1} , X2 = {0, 1, [0, 0, 1] , [0, 1, 1]}

עם i את המחבר המנוון הקטע הוא i ,2 בממד (כלומר, מנוון סימפלקס הוא i וכן ,0, 1 את המחבר הקטע הוא [0, 1] כאשרנכפיל .(0, 0, 1 הם שקודקודיו המנוון המשולש הוא [0, 0, 1] ובהתאם ,i הם שקודקודיו המנוון המשולש הוא i ,3 ובממד עצמה,

.([0, 1] , [0, 1]) מרכזי אלכסון לאורך המודבקים משולשים משני המורכב ריבוע שמתקבל לראות וניתן בעצמה, אותה

הומאומורפיזם קיים אזי לא־מנוונים, סימפלקסים של סופי מספר עם סימפליציאליות קבוצות X,Y יהיו משפט:

|X × Y | ∼= |X| × |Y |

הומוטופיית־ של שקילות מתקיימת המתאימים, השרשראות קומפלקסי עבור טופולוגיים. מרחבים X,Y יהיו אילינברג־זילבר: משפטשרשראות,

CSing• (X × Y ) ≈ CSing• (X)⊗ CSing• (Y )

איזומורפיות). הומולוגיות משרים כלומר קוואזי־איזומורפיים, בפרט הם (ולכן

הבאה: בדיאגרמה נתבונן כלומר,

∆op − Set

C•

��

|−| // TopSing•()oo

Comp

טבעיות, העתקות קיימות אז

∇ : C• (X)⊗ C• (Y )→ C• (X × Y )

∆ : C• (X × Y )→ C• (X)⊗ C• (Y )

שרשראות. הומוטופיית כדי עד לזו זו הופכיות שהן

הנדרש. את מקיימות אכן שהן נוכיח לא אך ,∇,∆ ההעתקות את נתאר הוכחה:

נגדיר ,a ∈ Cp (X) , b ∈ Cq (Y ) עבור

∇ (a⊗ b) :=∑

(µ,ν)∈Shuf(p,q)

Sign (µ, ν) (Sν (a)× Sµ (b))

p של הסדר את שמשמרות ,p + q על הפרמוטציות אוסף זה Shuf (p, q) וכן בהתאמה, p, q באורך וקטורים µ, ν כאשרהאחרונים. q ושל הראשונים

69

כנ"ל פרמוטציה שכן ,|Shuf (p, q)| =(p+qp

)כללי, באופן .Id, (012) , (021) פרמוטציות: שלוש מכיל Shuf (2, 1) (למשל,

Sν = Sνp−1 ◦Sνp−1−1 ◦ ... ◦Sν1−1 ההעתקה היא Sν : [p+ q]→ [p] כן, כמו הראשונים). האיברים p מיקום ידי על נקבעת.Sµ מוגדרת זהה ובאופן ,ν := (ν1, ..., νq) עבור

נגדיר ,a ∈ Xn, b ∈ Yn עבור

∆ (a× b) :=⊕p+q=n

(dp

(a)⊗ dq (b))

.i 7→ i+ p ההעתקה dq : [q]→ [p+ q] וכן ,i 7→ i השיכון dp

: [p]→ [p+ q] כאשר

טנזורית מכפלה תחת מדויקות סדרות 20

הסדרה אזי כלשהי. אבלית חבורה A תהי מדויקת. קצרה סדרה 0→ X → Y → Z → 0 תהי טענה:

0→ X ⊗A→ Y ⊗A→ Z ⊗A→ 0

להלן. בדוגמה שנראה כפי ,X ⊗A בשלב בהכרח לא אך ,Y ⊗A, Z ⊗A בשלבים מדויקת

מדויקת. הסדרה כל את משמר Aב־ הטנזור פנקטור אז (שדה), A = Q או חופשית אבלית חבורה A שבו במקרה

הבאה: בסדרה נתבונן דוגמה:

0→ Z ×2−→ Z 17→1−→ Z/2Z→ 0

אפס. הן ההומולוגיות ולכן מדויקת, קצרה סדרה שזו לראות ניתן

זו: חבורה עם הנ"ל הסדרה את ונטנזר ,Z/2Z בחבורה נתבונן

0⊗ Z/2Z → Z⊗ Z/2Z1⊗1 7→2⊗1−→ Z⊗ Z/2Z

1 7→1−→ Z/2Z⊗ Z/2Z → 0⊗ Z/2Z‖ ‖ ‖ ‖ ‖

0 → Z/2Z×2=0−→ Z/2Z

Id−→ Z/2Z → 0

ההומולוגיות את ונקבל

0→ Z/2Z→ 0→ 0

מדויקות. קצרות סדרות משמרת לא הטנזור פעולת כלומר,

מדויקת, הבאה שהסדרה כך ,F1, F2 חופשיות אבליות חבורות נבחר אבלית. חבורה A תהי הגדרה:

0→ F2 → F1 → A→ 0

הקומפלקס אזי

F• := 0→ F2 → F1 → 0

.A של חופשית רזולוציה נקרא

נגדיר ,B אבלית חבורה לכל שלה. חופשית רזולוציה F• ותהי אבלית, חבורה A תהי הגדרה:

Tor1 (A,B) := H1 (F• ⊗B) = ker (F2 ⊗B → F1 ⊗B)

.A של F• החופשית הרזולוציה בבחירת תלויה אינה → (A,B) הערה:

70

Kunneth משפט 20.1

.n ∈ N לכל חופשית אבלית חבורה Cn כי ונניח שרשראות, קומפלקסי C•, D• יהיו :(Kuneneth) משפט

מדויקת קצרה סדרה מתקבלת אזי

0→⊕p+q=n

Hp (C•)⊗Hq (D•)→ Hn (C• ×D•)→⊕

p+q=n−1

Tor1 (Hp (C•) , Hq (D•))

אלגבריות: עובדות כמה נציג ההוכחה לצורך

מדויקת. קצרה סדרה 0→ A→ X → B → 0 תהי הגדרה:

הבאה, מהצורה לסדרה איזומורפית היא אם מתפצלת, נקראת הסדרה �

0 // A

∼=��

// X

∼=��

// B

∼=��

// 0

0 // A // A⊕B // B // 0

.p : X → B בסדרה הנתונה ההעתקה עבור p ◦ s ≡ IdB שמקיימת s : B → X העתקה הוא הסדרה של חתך �

חתך. לה יש אם ורק אם מתפצלת מדויקת קצרה סדרה :1 למה

מתפצלת. הסדרה אז חופשית אבלית חבורה B אם בפרט,

אבלית. חבורה כל עם הסדרה של טנזור תחת נשמרת התפצלות :2 למה

0→ An → Xn → Bn → 0 ,n ∈ N שלכל ונניח שרשראות, קומפלקסי של מדויקת סדרה 0→ A• → X• → B• → 0 תהי :3 למה,C• קומפלקס לכל אז מתפצלת. סדרה

0→ A• ⊗ C• → X• ⊗ C• → B• ⊗ C• → 0

מדויקת. סדרה היא

(Kunneth משפט (של הוכחה:

ולכן חופשית, אבלית חבורה C0 כי נזכור .C• ⊗D• = C0 ⊗D• זה במקרה .0 ברמה רק מרוכז C• כי תחילה נניח .1נקבל

Hn (C• ⊗D•) ∼= Hn (C0 ⊗D•) ∼= C0 ⊗Hn (D•)

∼= H0 (C•)⊗Hn (D•) ∼=⊕p+q=n

Hp (C•)⊗Hq (D•)

,p0 כלשהי ברמה מרוכז C• אם דומה, באופן .2

Hn (C• ⊗D•) ∼= Hn (Cp0 ⊗D•) ∼= Cp0 ⊗Hn−p0 (D•)

∼= Hp0 (C•)⊗Hn−p0 (D•) ∼=⊕p+q=n

Hp (C•)⊗Hq (D•)

71

קומפלקס הוא C(p) כאשר ,C• =⊕

p≥0 C(p) אזי אפס. הן C• של ∂Cn : Cn → Cn−1 השפה העתקות כל כי נניח .3

כאן. גם מתקיימת הטענה כי נובע 2 מחלק .p ברמה שמרוכז

.Hn (C•) = Zn/Bn כלומר .Zn := ker ∂n ,Bn := Im∂n−1 נסמן ,n ∈ N לכל .4

.0→ Zn → Cn → Bn−1 → 0 מדויקת קצרה סדרה יש n ∈ N שלכל נניח

ולכן חופשית, אבלית עצמה היא ולכן חופשית, אבלית חבורה של תת־חבורה Bn−1 כלומר ,Bn−1 ≤ Cn−1 כי לב נשיםבדיאגרמה: נתבונן מתפצלת. הסדרה

0 // Zn

0

��

// Cn

∂n

��

// Bn−1

0

��

// 0

��0 // Zn−1

// Cn−1// Bn−2

// 0

קומפלקסי של מתפצלת סדרה ונקבל טריוויאליות, שפה העתקות עם שרשראות קומפלקסי כעל B•, Z• על נחשובשרשראות

0→ Z• → C• → B•−1 → 0

מתפצלת סדרה שוב נקבל D• עם נטנזר ואם

0→ Z• ⊗D• → C• ⊗D• → B•−1 ⊗D•−1 → 0

בהומולוגיה ארוכה סדרה ונקבל

...→ Hn (B• ⊗D•)∂n−→ Hn (Z• ⊗D•)→ Hn (C• ⊗D•)→ Hn−1 (B• ⊗D•)

∂n−1−→ Hn−1 (Z• ⊗D•)→ ...

,n ∈ N לכל מדויקת קצרה סדרה וממנה

0→ coker∂n → Hn (C• ⊗D•)→ ker ∂n−1 → 0

.coker, ker מיהם להבין ננסה

טריוויאליות, שפה העתקות עם קומפלקסים B•, Z• כי נזכור .Bn ↪→ Zn מהשיכון המושרית העתקה היא ∂n כי לב נשיםולכן

Hn (B• ⊗D•) ∼=⊕p+q=n

Hp (B•)⊗Hq (D•) ∼=⊕p+q=n

Bp ⊗Hq (D•)

Hn (Z• ⊗D•) ∼=⊕p+q=n

Hp (Z•)⊗Hq (D•) ∼=⊕p+q=n

Zp ⊗Hq (D•)

.Bp ⊗Hq (D•)→ Zp ⊗Hq (D•) ההעתקות של ישר סכום היא ∂n וכן

המדויקת הקצרה בסדרה נתבונן ,p+ q = n עבור .coker את נחשב (א)

0→ Bp → Zp → Hp (C•)→ 0

מימין השלבים בשני מדויקת קצרה סדרה ונקבל Hq (D•) עם נטנזר

0→ Bp ⊗Hq (D•)→ Zp ⊗Hq (D•)→ Hp (C•)⊗Hq (D•)→ 0

72

כי ונקבל

coker (Bp ⊗Hq (D•)→ Zp ⊗Hq (D•)) ∼= Hp (C•)⊗Hq (D•)

כי כנדרש נקבל ולבסוף

coker∂n =⊕p+q=n

Hp (C•)⊗Hq (D•)

המדויקת הקצרה בסדרה נתבונן ,p+ q = n− 1 עבור .ker את נחשב (ב)

0→ Bp → Zp → Hp (C•)→ 0

מהגדרת לכן חופשיות). אבליות שתיהן ולכן ,Bp, Zp ≤ Cp (כי Hp (C•) של חופשית רזולוציה היא כי לב ונשים,Tor1

Tor1 (Hp (C•) , Hq (D•)) = ker (Bp ⊗Hq (D•)→ Zp ⊗Hq (D•))

כי כנדרש נקבל ולבסוף

ker ∂n−1 =⊕p+q=n

Tor1 (Hp (C•) , Hq (D•))

�

להגדיר נוכל ,C•, D• שרשראות קומפלקסי זוג עבור הערה:

Tor1 (C•, D•) :=⊕

p+q=n−1

Tor1 (Cp, Dq)

מדורגות, אבליות חבורות של מדויקת קצרה סדרה מתקבלת כי אומר Kunneth משפט כי נקבל ובכך

0→ H∗ (C•)⊗H∗ (D•)→ H∗ (C• ⊗D•)→ Tor1 (H∗ (C•) , H∗ (D•))

חופשיות. אבליות חבורות Cn, Dn ,n ∈ N שלכל כך שרשראות קומפלקסי זוג C•, D• יהיו מסקנה:

.C• → C ′•, D• → D′• קוואזי־איזומורפיזמים עם שרשראות קומפלקסי זוג C ′•, D′• יהיו

קוואזי־איזומורפיזם. היא C• ⊗ C ′• → D• ⊗D′• אזי

הבאה: הדיאגרמה מתקבלת במשפט, המתקבלת המדויקת הסדרה מטבעיות הוכחה:

0 // H∗ (C•)⊗H∗ (D•)

��

// H∗ (C• ⊗D•)

��

// Tor1 (H∗ (C•) , H∗ (D•))

��

// 0

0 // H∗ (C ′•)⊗H∗ (D′•) // H∗ (C ′• ⊗D′•) // Tor1 (H∗ (C ′•) , H∗ (D′•)) // 0

� איזומורפיזם. האמצעית ההעתקה גם החמיה מלמת ולכן איזומורפיזמים, הן הקיצוניות העתקות

73

.Tor1 (A,B) ∼= Tor1 (B,A) אבליות, חבורות A,B לכל מסקנה:

מתקיים, בהתאמה. A,B של חופשיות רזולוציות F•, G• יהיו הוכחה:

Hn (F•) =

{A n = 0

0 otherwise, Hn (G•) =

{B n = 0

0 otherwise

מדויקת קצרה סדרה Kunneth ממשפט נקבל n = 1 ועבור

0→ (A⊗ 0)⊕ (0⊗B)︸ ︷︷ ︸=0

→ H1 (F• ⊗G•)α−→ Tor1 (A,B)→ 0

איזומורפיזם. α ולכן

� .Tor1 (A,B) ∼= Tor1 (B,A) כי נובע ולכן ,F• ⊗G• ∼= G• ⊗ F• אבל

שטוחה. אבלית חבורה C כי ונניח מדויקת, סדרה 0→ A→ B → C → 0 תהי מסקנה:

,X אבלית חבורה לכל אזי

0→ A⊗X → B ⊗X → C ⊗X → 0

מדויקת. קצרה סדרה

המדויקת הקצרה בסדרה נתבונן הוכחה:

Tor1 (C,X)→ A⊗X → B ⊗X → C ⊗X → 0

� .Tor1 (C,X) = Tor1 (X,C) = 0 כי נובע שטוחה C ומהיות סימטרית Tor1 ומהיות

מדויקת קצרה סדרה מתקבלת טופולוגיים, מרחבים X,Y אם מסקנה:

0→ H∗ (X)⊗H∗ (Y )→ H∗ (X × Y )→ Tor1 (H∗ (X) , H∗ (Y ))→ 0

.H∗ (X × Y ) ∼= H∗ (C• (X)⊗ C• (Y )) באיזומורפיזם ונשתמש ,C• (X) , C• (Y ) הקומפלקסים על Kunneth משפט את נפעיל הוכחה:�

האוניברסליים המקדמים משפט 20.2

מדויקת, קצרה סדרה יש אבלית. חבורה A ותהי טופולוגי, מרחב X יהי משפט:

0→ Hn (X)⊗A→ Hn (X | A)→ Tor1 (Hn−1 (X) , A)→ 0

.Hn (X | A) ∼= Hn (X)⊗A ,A = Q,R,C אם בפרט

נקבל Kunneth ממשפט ולכן ,n ∈ N לכל חופשית אבלית חבורה Cn (X) אפס. ברמה שמרוכז קומפלקס כאל Aל־ נתייחס הוכחה:� .Hn (X | A) הן C• (X)⊗A של ההומולוגיות כי

74

X חלק

קוהומולוגיה,nה־ ברמה להיות ,C• := Hom (C•, A) שרשראות קומפלקס נגדיר אבלית. חבורה A ותהי שרשראות, קומפלקס C• יהי הגדרה:

Cn := HomAb (Cn, A)

,f ∈ HomAb (Cn, A) עבור הבאה: בצורה מתקבלות השפה העתקות כאשר

dn (f) := f ◦ dn+1

הקומפלקס עם מתחילים אם כלומר,

C• = ...d3−→ C2

d2−→ C1d0−→ C0

השרשראות קו־קומפלקס ממנו מתקבל אז ,dn : Cn → Cn−1 מהצורה רמה שמורידות שפה העתקות עבור

Hom (C•, A) = (Hom (C•, A))0 d0−→ (Hom (C•, A))

1 d1−→ (Hom (C•, A))2 d2−→ ...

.dn : f 7→ f ◦ dn+1 המוגדרות ,dn : Hom (C•, A)n → Hom (C•, A)

n+1 מהצורה רמה שמעלות שפה העתקות עבור

,A אבלית לחבורה ביחס נגדיר ,X סימפליציאלית קבוצה עבור הגדרה:

C• (X,A) := Hom (C• (X) , A)

,nה־ ברמה להיות H∗ (X,A) הקוהומולוגיה את ונגדיר

Hn (X,A) := H−n (C• (X) , A)

נסמן ,X טופולוגי מרחב עבור

C•Sing (X,A) := C•(Sing+

• (X) , A)ובהתאם, .C• (X,A) בקיצור נכתוב ולעתים

H∗ (X,A) := H∗

(C•Sing (X,A)

)

,X טופולוגי מרחב עבור דוגמה:

C0 (X,A) = Hom(CSing0 (X) , A

)= HomAb

(CSing0 (X) , A

)= HomSet (X,A)

העתקה ידי על נקבע שלה מורפיזם ולכן ,Xמ־ יוצרים עם חופשית אבלית חבורה CSing0 (X) כי הוא האחרון השוויון (כאשרהיוצרים). על כלשהי

מתקיים כן כמו

75

C1 (X,A) = Hom(CSing1 (X) , A

)= HomAb

(CSing1 (X) , A

)= HomSet ({All paths I → X} , A)

העתקה ידי על נקבע שלה מורפיזם ולכן ,Xמ־ יוצרים עם חופשית אבלית חבורה CSing1 (X) כי הוא האחרון השוויון (כאשרהיוצרים). על כלשהי

d0 (f) : {All paths I → X} → פונקציה f : X → A פונקציה לכל מתאימה ,d0 : C0 (X,A)→ C1 (X,A) השפה העתקת.d0 (f) : γ 7→ f (γ (0))− f (γ (1)) ידי על המוגדרת ,A

נקבל ולכן ,(γ (0) = γ (1) עם γ : I → X מסילות כלומר הלולאות, (כל π0 (X) הוא זו העתקה של הגרעין כי לראות קל

H0 (X,A) = HomSet (π0 (X) , A)

כי נקבל דומה באופן

C2 (X,A) = HomSet ({All triangles in X} , A)

d1 (γ) : {All triangles in X} → פונקציה γ : I → X מסילה לכל מתאימה d1 : C1 (X,A)→ C2 (X,A) השפה והעתקת.d1 (γ) : [0→ 1→ 2→ 0] 7→ γ (0) + γ (1)− γ (2) ידי על [0→ 1→ 2→ 0] מכוון משולש עבור המוגדרת A

הם הסינגולרית וההומולוגיה הסינגולרי השרשראות קומפלקס אם כלומר, קונטרא־וריאנטי. פנקטור היא קוהומולוגיה הערה:מהצורה פנקטורים

Top

CSing•

��

H∗ // GrAb

Comp

מהצורה פנקטורים הם הסינגולרית והקוהומולוגיה הסינגולרי הקו־קומפלקס אז

Topop

C•Sing

��

H∗ // GrAb

Comp

הקוהומולוגיה על חוגי מבנה 21

מדורג. חוג הוא H∗ (X,R) אז חוג, R אם טופולוגי. מרחב X יהי משפט:

מהצורה העתקה נותנת אלכסנדר־ויטני העתקת אבליות. חבורות A,B ויהיו ,X,Y ∈ ∆− Set יהיו למה:

C• (X,A)⊗ C• (Y,B)→ C• (X × Y,A⊗B)

76

העתקה נגדיר ,p+ q = n כל עבור הוכחה:

Cp (X,A)⊗ Cq (Y,B)→ Cn (X × Y,A⊗B)

בילינארית העתקה כלומר,

HomSet (Xp, A)⊗HomSet (Yq, B)→ HomSet (Xn × Yn, A⊗B)

כך אם נגדיר

f ⊗ g 7→ f ∪ g

,(x, y) ∈ Xn × Yn עבור כאשר

f ∪ g (x, y) := f(dp (x)

)⊗ g

(dq

(y))

האחרונים. הקודקודים q+ 1 את המחזירה העתקה היא dqהראשונים, הקודקודים p+ 1 את המחזירה העתקה היא dp כאשר

� שפה. העתקת מתקבלת אכן כי לוודא קשה לא

להעתקה טבעי באופן המתרחבת ,m : R × R → R החוג של הכפל בהעתקת נתבונן חוג. R יהי טופולוגי. מרחב X יהי הגדרה:פילוג). ידי על סכומים ועל ,m (a⊗ b, a′ ⊗ b′) = m (a, a′)⊗m (b, b′) ידי (על m : R⊗R→ R

.∆ (x) = (x, x) ,∆ : X → X ×X האלכסון בהעתקת עוד נתבונן

הבאה: מהצורה דיאגרמה ומתקבלת ,m, ∆ המושרות ההעתקות את ממנו ונקבל ,C• הפנקטור את נפעיל

C• (X,R)⊗ C• (X,R) // C• (X ×X,R⊗R)

m

��C• (X ×X,R)

∆

��C• (X,R)

ההעתקה את p+ q = n לכל מגדירים מהחוג, המושרה הכפל עם יחד אלכסנדר־ויטני, בהעתקת שמוגדרת ∪ הפעולה

Cp (X,R)⊗ Cq (X,R)→ Cn (X,R)

f ⊗ g 7→ f ∪ g

ידי על σ ∈ Sing+n (X) לכל מוגדרת f ∪ g כאשר

f ∪ g (σ) := m(f(dp (σ)

), g(dq

(σ)))

הערות:

77

סימטרי. לא באופן p, q בקואורדינטות תלויה היא כי קומוטטיבית, בהכרח לא הפעולה קומוטטיבי, חוג R אם אפילו �

,f ∈ Cp (X,R) , g ∈ Cq (X,R) עבור ,p+ q = n עבור הבאה, בצורה מתקבלות השפה העתקות כי לראות ניתן �

dn (f ∪ g) = dp+1 (f) ∪ g + (−1)pf ∪ dq+1 (g)

.H∗ (X,R) מעל מדורג חוג של מבנה מגדירה ∪ הפעולה ,R חוג ועבור ,X טופולוגי מרחב עבור מסקנה:

.a ∈ ker dp+1, b ∈ ker dq+1 נציגים עבור ,[a] ∈ Hp (X,R) , [b] ∈ Hq (X,R) יהיו ,p+ q = n עבור הוכחה:

כי ,dn+1 (a ∪ b) = 0 מתקיים כן כמו .a ∪ b ∈ Cn (X,R) כי מתקיים אכן תחילה �

dn+1 (a ∪ b) = dn (a) ∪ b+ (−1)pa ∪ dn (b) = 0 ∪ b+ (−1)

p ∪ 0 = 0

אזי .a′ = a+ dp (α) כי נניח היטב. מוגדרת הפעולה כי נראה �

a′ ∪ b = (a+ dp (α)) ∪ b = a d b+ dp (α) ∪ b

כי ,dp (α) ∪ b ∈ Imdp+1 אבל

dp+1 (α ∪ b) = d (α) ∪ b+ 0 = dp (α) ∪ b

,σ ∈ Sing+n (X) לכל ,p+ q + r = n לכל כלומר אסוציאטיבית, פעולה שזו לראות קל �

(a ∪ b) ∪ h (c) = a ∪ (b ∪ c) (σ)

� כנדרש.

בקוהומולוגיה יחסית סדרה 22

מדויקת קצרה סדרה קיימת כי הראינו תת־מרחב. A ⊂ X ויהי טופולוגי, מרחב X יהי הגדרה:

0→ C• (A)→ C• (X)→ C• (X | A)→ 0

מדויקת, היא הבאה הקצרה הסדרה כי להראות ניתן כלשהי, אבלית חבורה R עבור

0→ Hom (C• (X | A) , R)→ Hom (C• (X) , R)→ Hom (C• (A) , R)→ 0

מהצורה בקוהומולוגיה מדויקת ארוכה סדרה מתקבלת כלומר

...→ Hn−1 (A)→ Hn (X | A)→ Hn (X)→ Hn (A)→ Hn+1 (X | A)→ ...

אבלית חבורה לכל אזי רמה. בכל חופשיים שהם שרשראות קומפלקסי של קוואזי־איזומורפיזם העתקה f : C• → D• תהי משפט:,R

f : Hom (D•, R)→ Hom (C•, R)

קוואזי־איזומורפיזם. היא גם

78

יריעות על אוריינטציה 23

.Rnל־ הומאומורפית Uש־ כך ,x ∈ U ⊂M פתוחה סביבה יש x ∈M לכל אם n־ממדית, יריעה נקרא M טופולוגי מרחב הגדרה:

וקשירה. קומפקטית היא אם סגורה, היא M יריעה כי נאמר

CPn n־ממדית), (יריעה RPn n־ממדית), יריעה הוא ה־n־ממדי (הטורוס Tn := S1 × ... × S1 n־ממדית), (יריעה Sn דוגמאות:2n־ממדית). (יריעה

מתקיים כי נבחין מתאימה. סביבה U ∼= Rn ותהי x0 ∈M תהי סגורה. n־ממדית יריעה M תהי הגדרה:

H∗ (M,M − x0)(1)= H∗ (U,U − x0)

(2)= H∗ (Rn,Rn − x0)

(3)= H∗−1 (Rn − x0)

(4)= H∗−1

(Sn−1

)=

{Z ∗ = n

0 otherwise

Rn − x0 ≈ ההומוטופית השקילות בגלל (4) כוויץ, Rn כי (3) ,U ∼= Rn ההומאומורפיזם בגלל (2) ,Excisionמ־ (1) כאשר.Sn−1

הוא µx0כאשר ,µx0

∈ Hn (M,M − x0) ∼= Z של כלשהי בחירה להיות x0 על אוריינטציה נגדיר ,x0 ∈M נקודה לכל �

ל־1−). או ל־1 מתאים (כלומר החבורה של יוצר

כאשר 20,µB ∈ Hn (M |M −B) ∼= Z של כלשהי בחירה להיות B על אוריינטציה נגדיר 19,B ⊂ M פתוח כדור לכל �

ל־1−). או ל־1 מתאים (כלומר החבורה של יוצר הוא µBאת נסמן .y ∈ B לכל Hn (M,M −B) → Hn (M,M − y) באיזומורפיזם נתבונן ,B ⊂ M פתוח כדור בהינתן �

.µB 7→ µB |y ידי על µB על האיזומורפיזם פעולת

y ∈ B שלכל כך ,µB קיים B ⊂ M פתוח כדור לכל אם גלובלית, היא ,x 7→ µx ,M כל על אוריינטציה כי נאמר �

.µB |y= µy מתקיים

גלובלית. אוריינטציה לה יש אם אוריינטבילית, M כי נאמר �

אוריינטבילית. יריעה מהווה שבעצמו דו־סיבי, כיסוי קיים יריעה לכל טענה:

הבאה, בקבוצה נתבונן n־ממדית. יריעה M תהי הוכחה:

M := {µx | x ∈M, µx is a generator of Hn (M |M − x) ∼= Z}

µB ∈ אוריינטציה עם B ⊂ Rn ⊂ M פתוח כדור לכל הבא: הבסיס ידי על נוצרת להיות טופולוגיה עליה ונגדיר,Hn (M |M −B)

UµB :={µx ∈ M | x ∈ B, µB |x= µx

}.2 בגודל סיב עם כיסוי העתקת זו כי ונקבל ,p : µx 7→ x ,M

p−→M העתקה נגדיר

כי, לב נשים לבסוף,

Hn

(M | M − µx

)∼= Hn (UµB | UµB − µx) ∼= Hn (B | B − x) ∼= Z

� .M 3 µx 7→ µx ∈ Hn

(M | M − µx

)ידי על אוריינטבילית M ולכן

.U ⊂M פתוחה קבוצה עבור U ∼= Rn הזיהוי תחת פתוח כדור הוא B 19כלומר

כוויץ. ולכן כדור B כי ,y ∈ B לכל Hn (M |M −B) ∼= Hn (M |M − y) ∼= Z כי לב 20נשים

79

קשירות. רכיבי שני בעל M אם ורק אם אוריינטבילית M סגורה, n־ממדית יריעה M אם טענה:

.2 מגודל סיב עם כיסוי מרחב הוא כי היותר, לכל קשירות רכיבי שני בעל M כי נובע קשיר, M מהיות כי לב נשים הוכחה:

אוריינטבילי M אבל .p הכיסוי העתקת ידי על Mל־ הומאומורפי מהם אחד כל קשירות, רכיבי שני בעל M אם אחד, בכיווןאוריינטבילי. M ולכן

הפוכה אוריינטציה מייצרת אוריינטציה (כל אוריינטציות שתי בדיוק לו יש כי נובע מקשירות אוריינטבילי, M אם שני, בכיוון� .M של קשירות רכיב מגדירה אוריינטציה כל המקומיות). האוריינטציות כל של ב־1− כפל ידי על

M אז ,2 מאינדקס תת־חבורה אין π1 (M)ל־ אם מזו, יתרה אוריינטבילית. היא אז ופשוטת־קשר, סגורה יריעה M אם מסקנה:אוריינטבילית.

.(π1 (M) של 2 מאינדקס לתת־חבורה מתאים דו־סיבי כיסוי מרחב כי (נזכור

נגדיר, חוג. R ויהי יריעה, M תהי הגדרה:

MR := {αx | x ∈M, αx ∈ Hn (M,M − x; R)}

יוצר). לאו־דווקא αx לעיל, (בניגוד

µB ∈ אוריינטציה עם B ⊂ Rn ⊂ M פתוח כדור לכל הבא: הבסיס ידי על MR על טופולוגיה נגדיר לעיל, דומה באופן,Hn (M |M −B; R)

UαB := {αx ∈MR | x ∈ B, αB |x= αx}

דו־סיבי. לאו־דווקא כיסוי מרחב זה שהפעם אלא ,αx 7→ x הכיסוי העתקת ידי על כיסוי מרחב מתקבל כאן גם

כיסוי תת־מרחב מתקבל r ∈ R לכל לכן .Hn (M,M − x; R) ∼= Hn (M,M − x)⊗R קנוני איזומורפיזם יש כי לב נשים הערה:מהצורה

Mr := {±µx ⊗ r | x ∈M, µx is a generator of Hn (M,M − x) ∼= Z}

כי נקבל לכן דו־סיבי. כיסוי מרחב הוא כלומר ,Mr∼= M אחר מקרה בכל .Mr

∼= M אז בחוג, r = −r אם

MR =⊔

2r=0

Mr

⊔2r 6=0

Mr∼=⊔

2r=0

M⊔

2r 6=0

M

הכיסוי. העתקות של הזר האיחוד היא הכיסוי והעתקת

דוגמה:

MZ = M t M t M t M t ...

איבר יש אם ורק אם R־אוריינטבילית היא לא־אוריינטבילית יריעה .R חוג לכל R־אוריינטבילית היא אוריינטבילית, יריעה מסקנה:Z/2־אוריינטבילית. היא יריעה כל כי נובע בפרט .2r = 0 עם r ∈ R יחידה

חתך. נקראת ,x 7→ αx ∈ Hn (M |M − x; R) מהצורה M →MR רציפה העתקה הגדרה:

החבורה. של יוצר µx כי המקיים x 7→ µx ∈ Hn (M |M − x) חתך היא מהגדרתה, ,M יריעה של אוריינטציה הערה:

80

אזי, חוג. R יהי סגורה. n־ממדית יריעה M תהי משפט:

.i > n לכל Hi (M ; R) = 0 .1

איזומורפיזם. היא Hn (M ; R)→ Hn (M,M − x; R) ∼= R ההעתקה ,x ∈M לכל אז R־אוריינטבילית, היא M אם .2

ותמונתה חח"ע, היא Hn (M ; R)→ Hn (M,M − x; R) ∼= R ההעתקה ,x ∈M לכל אז R־אוריינטבילית, לא M אם .3.{r ∈ R | 2r = 0} היא

.Hn (M ; Z) = 0 אז אוריינטבילית לא היא אם ,Hn (M ; Z) ∼= Z אז אוריינטבילית M אם מסקנה:

אזי, קומפקטית. קבוצה A ⊂M תהי סגורה. n־ממדית ירידה M תהי למה:

.i > n לכל Hi (M,M −A; R) = 0 .1

αA |x= αx שמקיים ,αA ∈ Hn (M |M −A; R) יחיד איבר קיים אז חתך, היא ,x 7→ αx ,M → MR ההעתקה אם .2.x ∈ A לכל

מהלמה. נובעים המשפט חלקי שלושת כי נראה מסקנה:

.i > n לכל Hi (M ;R) = Hi (M,M −M ; R) = 0 שאז ,A = M בחירת ידי על מיד נובע הראשון החלק

ולכן בסקלר, וכפל סכום תחת סגורה קבוצה זו .MR → M החתכים כל קבוצת ΓR (M) תהי והשלישי, השני החלק עבור.[α] 7→ (x 7→ α |x) ,Hn (M ; R)→ ΓR (M) בהומומורפיזם נתבונן .R מעל מודול הוא ΓR (M)

וקשירה אוריינטבילית M יריעה שעבור לב נשים איזומורפיזם. הוא זה הומומורפיזם כי קובע למעשה הלמה של השני החלקיחידה. בנקודה ערכו ידי על נקבע חתך כי מתקיים

של יוצר [µ] |x∈ Hn (M |M − x; R) כי מתקיים x ∈M לכל אם ,M של יסודית מחלקה נקרא [µ] ∈ Hn (M ; R) איבר הגדרה:21.R

יסודית. מחלקה לה קיימת אם ורק אם ואוריינטבילית סגורה היא M יריעה טענה:

המשפט. של 2 מחלק נובעת הטענה ואוריינטבילית סגורה יריעה M אם ראשון, בכיוון הוכחה:

הדיאגרמה ,x ∈ B ⊂ Rn ⊂M פתוח כדור ולכל x לכל כי לב נשים .x 7→ µx := [µ] |x ידי על אוריינטציה נגדיר שני, בכיווןמתחלפת הבאה

Hn (M ; R)

((

// Hn (M,M − x; R)

Hn (M,M −B; R)

55

זו ותמונה ,µל־ המתאימה הלולאה של בתמונה שנמצא x עבור רק µx 6= 0 כי סגורה, אכן M בנוסף אוריינטציה. אכן זו ולכן� קומפקטית. היא

.Hn (M ; R)→ Hn (M |M − x; R) ההעתקה תחת [µ] לתמונת מתייחס [µ] |x הצמצום 21כאשר

81

פואנקרה דואליות 24

מהצורה, בילינארית העתקה נגדיר אפס), הכל (אחרת l ≤ k עבור טופולוגי. מרחב X יהי הגדרה:

Ck (X; R)× Cl (X; R)∩−→ Ck−l (X; R)

,σ : ∆k → X, ϕ ∈ Cl (X; R) שעבור כך

σ ∩ ϕ := ϕ(σ |[v0,...,vl]

)σ |[vl,...,vk]

שמתקיים להראות ניתן טענה:

∂ (σ ∩ ϕ) = (−1)l(∂σ ∩ ϕ− σ ∩ δϕ)

מהצורה, העתקה זו מהעתקה מושרית כי נובע ולכן שרשראות, קומפלקסי של העתקה זו כלומר

Hk (X; R)×H l (X; R)∩−→ Hk−l (X; R)

המתקבלת יסודית מחלקה [µ] ∈ Hn (M ; R) תהי R־אוריינטבילית. סגורה, n־ממדית יריעה M תהי פואנקרה) (דואליות משפט:ההעתקה אזי האוריינטציה. ידי על

Hk (M ; R)σ 7→σ∩[µ]−→ Hn−k (M ; R)

.k לכל איזומורפיזם היא

קומפקטית הומולוגיה 24.1

קומפקטית קבוצה קיימת אם קומפקטי, תומך בעל ϕ כי נאמר .ϕ ∈ Cl (X; R) תהי חוג. R ויהי טופולוגי, מרחב X יהי הגדרה:

.ϕ (σ) ≡ 0 מתקיים ,Imσ ⊂ X −K המקיים(

∆lσ−→ X

)∈ Sing+

l (X) שלכל כך ,K ⊂ X

נסמן דומה, באופן .CSing+

()c (X; R) ידי על קומפקטי, תומך בעלי האיברים את רק המכיל השרשראות קומפלקס את נסמן סימון:

הקומפקטית, הקוהומולוגיה את

H∗c (X; R) := H∗(CSing+

()c (X; R)

)שמתקיים להראות ניתן

C•c (X; R) = colimK⊂XC• (X, X −K)

H∗c (X; R) = colimK⊂XH∗ (X, X −K)

82

,n,m ∈ N לכל Rn ≈ Rm הומוטופית שקילות יש למשל כך להומוטופיה. אינווריאנטי אינו הקומפקטית הקוהומולוגיה פנקטור הערה:בממד, ותלויה שונה שלהם הקומפקטית הקוהומולוגיה עדיין אך

H∗c (Rn) = colimK⊂RnH∗ (Rn, Rn −K)(

Br is compact ball of radius r)

= colimBrH∗ (Rn, Rn −Br)

= colim...H∗ (Rn, Rn −Br) = H∗ (Rn, Rn −Br) =

{Z i = n

0 otherwise

X כי מההנחה כי לב נשים .(Y בתוך פתוח X (כלומר X ↪→ Y פתוח שיכון יש כי ונניח טופולוגיים, מרחבים X,Y יהיו טענה:טבעית הכלה העתקת שיש נובע ,Y בתוך פתוח

colimK⊂XH∗ (Y | X)→ colimK⊂YH

∗ (Y | X)

מהצורה העתקה זו קומפקטית קוהומולוגיה של ומההגדרה

H∗c (X)→ H∗c (Y )

.α ≤ β =⇒ Xα ⊂ Xβ המקיימות מסודרים, אינדקסים עם פתוחות קבוצות {Xα}α עבור טופולוגי, מרחב X =⋃αXα יהי טענה:

.k ∈ N לכל איזומורפיזם היא colimHk (Xα; A)→ Hk (X; A) הטבעית ההעתקה ,A אבלית חבורה לכל אזי

מהצורה, מדויקת ארוכה סדרה יש אזי .M = U ∪V עם פתוחות, U, V ⊂M ויהיו טופולוגי, מרחב M יהי (מאייר־ויאטוריס) טענה:

... // Hkc (U ∩ V )

DU∩V

��

// Hkc (U)⊕Hk

c (V )

DU⊕−DV��

// Hkc (M)

DM

��

// Hk+1c (U ∩ V )

DU∩V

��

// ...

... // Hn−k (U ∩ V ) // Hn−k (U)⊕Hn−k (V ) // Hn−k (M) // Hn−k−1 (U ∩ V ) // ...

סימן. כדי עד המתחלפת

הבאה, בדיאגרמה האיזומורפיזמים את ונקבל Excisionב־ נשתמש קומפקטיות. K ⊂ U, L ⊂ V נקבע הוכחה:

... // Hk (M | K ∩ L)

∼=��

// Hkc (M | K)⊕Hk

c (M | L)

∼=��

// Hkc (M | K ∪ L)

µK∪L∩

��

// ...

Hk (U ∩ V | K ∩ L)

µK∩L∩��

Hk (U | K)⊕Hk (V | L)

µK∩⊕−µL∩��

... // Hn−k (U ∩ V ) // Hn−k (U)⊕Hn−k (V ) // Hn−k (M) // ...

דומה ובאופן קומפקטיות. K ⊂ U, L ⊂ V איזשהן עבור K ∩L בקבוצה מוכלת U ∩ V של קומפקטית קבוצה שכל לב נשיםארוכה סדרה היא הראשונה השורה כי נקבל הדיאגרמה על colim ניקח אם לכן .U ∪ V של קומפקטית קבוצה כל עבור גם

בטענה. כנדרש מדויקת, האחרונה השורה גם ולכן דיוק, משמר colim שכן מדויקת

� כתרגיל). מושארת מתחלפת אכן הדיאגרמה כי (העובדה

83

העתקה נגדיר קומפקטית). דווקא (לאו R־אוריינטבילית n־ממדית, יריעה M תהי הגדרה:

DM : Hkc (M ; R)→ Hn−k (M ; R)

הבאה: בצורה

הבאה, בדיאגרמה נתבונן קומפקטיות, קבוצות K ⊂ L ⊂M עבור

Hn (M | L; R)×Hk (M | L; R)

ι∗

��

ι∗

OO∩

$$Hn−k (M ; R)

Hn (M | K; R)×Hk (M | K; R)

∩

::

,µK ∈ Hn (M | K; R) , µL ∈ Hn (M | L; R) יוצרים קיימים כי נובע יריעות, על אוריינטציה עבור לעיל שהזכרנו מהלמהבהתאמה. K,Lב־ נקודה כל עבור ,M על הנתונה לאוריינטציה המצטמצמים

לכל ι∗ (µL) ∩ α = µL ∩ ι∗ (α) כלומר מתחלפת, הדיאגרמה כן כמו .ι∗ (µL) = µK כי נובע האוריינטציה מיחידות.α ∈ Hk (M | K; R) לכל µK ∩ α = µL ∩ ι∗ (α) כי נקבל הכל בסך .α ∈ Hk (M | K; R)

נקבל colim ניקח ואם ,α 7→ µK ∩ α ,Hk (M | K; R) → Hn−k (M ; R) הומומורפיזם מכך נקבל קומפקטית K לכל לכן.DM : Hk

c (M ; R)→ Hn−k (M ; R) גבולי הומומורפיזם

DM : Hkc (M ; R) → ההעתקה ,k ∈ N לכל אזי R־אוריינטבילית. n־ממדית, יריעה M תהי פואנקרה) (דואליות משפט:

איזומורפיזם. היא Hn−k (M ; R)

פואנקרה. דואליות של הכללה הוא זה משפט ולכן סגורה, יריעה M עבור H∗c (M ; R) = H∗ (M ; R) כי לב נשים הערה:

הוכחה:

הבאות: לעובדות לב נשים הראשון בשלב .1

איזומורפיזם. DM גם אזי איזומורפיזמים, DU , DV , DU∩V ואם פתוחות, קבוצות של איחוד M = U ∪ V אם (א)החמישה. למת ידי על לעיל, שהראינו מאייר־ויאטוריס מדיאגרמת נובעת זו עובדה

איזומורפיזם, DUi : Hkc (Ui) → Hn−k (Ui) ,i לכל וכן ,U1 ⊂ U2 ⊂ ... פתוחות קבוצות עבור M =

⋃i Ui אם (ב)

איזומורפיזם. DM גם אזיכפי טבעי, שיכון Ui ↪→ Ui+1 מהיות .Hk

c (Ui) = colimK⊂UHk (M | K) ,Excision ידי על כי לב נשים

(כאשר colimHkc (Ui) ∼= Hk

c (M) מוגדר לכן .Hkc (Ui) → Hk

c (Ui+1) טבעית העתקה יש לעיל בטענה שהראינונובע קודמת מטענה .({Ui}i של באיחוד קומפקטית קבוצה היא Mב־ קומפקטית קבוצה כי הוא זה איזומורפיזם

.colimHn−k (Ui) ∼= Hn−k (M) כיאיזומורפיזם. DM כלומר ,DM = colimDUi הכל בסך לכן

המשפט. את נוכיח כעת .2

Hk (∆n, ∂∆n)→ להעתקה איזומורפית DM לכן ה־n־ממדי. הפתוח לכדור הומאומורפי הוא אז ,M = Rn אם (א).Id∆nמ־ המתקבל היוצר [∆n] ∈ Hn (∆n, ∂∆n) עבור ∩ [∆n] ידי על הנתונה Hn−k (∆n)

Hn (∆n, ∂∆n) ∼= HomAb (Hn (∆n, ∂∆n) , R) של יוצר כי איזומורפיזם היא ∩ ההעתקה ,k = n במקרהשל יוצר של נציג שזה ,∆n של האחרון הקודקוד הוא ∆n ∩ ϕ ולכן ,ϕ (∆n) = 1 עם ϕ נציג ידי על מתקבל

.H0 (∆n)

84

Vi := ונגדיר ,M =⋃j Bj פתוחים, כדורים של בן־מניה כאיחוד אותו נכתוב כלשהי, תת־יריעה M ⊂ Rn אם (ב)

DVi , DBi∩Vi האינדוקציה מהנחת ולכן וקמורות, פתוחות קבוצות i−1 של איחוד שתיהן Vi, Bi∩Vi אזי .⋃j<iBj

DBi∪Vi כי נובע שהזכרנו הראשונה מהעובדה לכן .Bi ∼= Rn כי איזומורפיזם DBi כן כמו איזומורפיזמים.איזומורפיזם.

העובדה לפי איזומורפיזם DM ולכן איזומורפיזם, DVi כל וכן עולה, איחוד זה כאשר M =⋃i Vi להציג ניתן אבל

שהזכרנו. השנייה

אלא הקודם, במקרה כמו נובעת הטענה ,Ui ∼= Rn פתוחות, קבוצות של בן־מניה או סופי איחוד M =⋃i Ui אם (ג)

פתוחות. בקבוצות נשתמש פתוחים בכדורים להשתמש שבמקוםסגורות. יריעות עבור המשפט את הוכחנו ולכן הנ"ל, מהצורה היא סגורה יריעה כל כעת

.{U ⊂M | U is an open set, and DM is isomorphism} באוסף נתבונן קומפקטיות, לאו־דווקא יריעות עבור (ד)זה, מאוסף קבוצות של להכלה ביחס עולה איחוד כל ולכן הכלה, ידי על חלקי סדר יחס זה אוסף על להגדיר ניתן

מתקיים. המשפט שעבורה U ⊂M מקסימלית פתוחה קבוצה שיש כי נובע צורן של מהלמה המשפט. את יקייםוכן ,B, U ∩B עבור נכון המשפט אזי .x ∈ B ∼= Rn פתוח כדור עם x ∈M − U נבחר אז ,U $M בשלילה אם

� .U למקסימליות בסתירה ,U ∪ V עבור גם נכון ולכן מההנחה, U עבור נכון

85

XI חלק

גבוהות הומוטופיה חבורותהבאה: בצורה πn (X,x0) שלו n מסדר ההומוטופיה חבורת את נגדיר מנוקד. טופולוגי מרחב (X,x0) יהי הגדרה:

כקבוצה, �

πn (X,x0) := [Sn, X]

.γ : x0 x0 המקיימת γ : In → X לולאה של מנוקדת הומוטופיה מחלקת הוא πn (X,x0) של כללי איבר כלומר,

,[α] , [β] ∈ πn (X,x0) שלכל כך ,? דו־מקומית פעולה נגדיר �

[α] ? [β] := [(α ∨ β) ◦ p]

קו את המכווצת ההעתקה p עבור ,Snp−→ Sn ∨ Sn α∨β−→ (X,x0) מהצורה העתקה של הומוטופיה מחלקת זו כאשר

על βו־ הספרה של הראשון העותק על α ביצוע היא α ∨ β וכאשר ספרות, זוג של זר ויוצרת לנקודה Sn של המשווההשני. העותק

הבאה: הנוסחה לפי מתקבלת α ? β כאשר ,[α] ? [β] 7→ [α ? β] השקולה בצורה זו פעולה על להתבונן ניתן

α ? β :=

{α (2s1, s2, ..., sn) s1 ∈ [0, 1/2]

β (2s1 − 1, s2, ..., sn) s1 ∈ [1/2, 1]

הראשונה. ההומולוגיה היא π1 (X,x0) של האבליזציה כי הראינו ,n = 1 עבור הערה:

אבלית. חבורה היא πn (X,x0) כי להראות ניתן ,n ≥ 2 עבור

ידי, על N : πn (X,x0)→ Hn (X) הורוויץ העתקת את נגדיר הגדרה:

N : [α] 7→ α∗ (1)

.αמ־ המושרית ההעתקה היא α∗ : Hn (Sn) ∼= Z→ Hn (X) כאשר

,x0, x1 ∈ X לכל אזי קשיר־מסלתית. טופולוגי מרחב X יהי הגדרה:

πn (X,x0) ∼= πn (X,x1)

.n ≥ 1 לכל

.γ : x0 x1 מסילה נבחר מסילתית מקשירות הוכחה:

היא זו העתקה כי לראות ניתן .[α] 7→[γ−1 ? α ? γ

]ידי על π1 (X,x0) → π1 (X,x1) העתקה נגדיר ,n = 1 עבור כעת,

חבורות. של איזומורפיזם

הבאה: בצורה ,[α] 7→ [γα] מהצורה πn (X,x0)→ πn (X,x1) העתקה נגדיר ,n ≥ 2 עבור

α להיות γα : Sn → X העתקה ונגדיר ,Sn1/2 ↪→ Sn ,1/2 ברדיוס בספרה נתבונן .α |∂Sn= x0 עם α : Sn → X נתונהx1 הערך לבין ∂Sn על המתקבל x0 הערך בין המחברים γ של אופקיים עותקים היא Sn − Sn1/2 הטבעת ובשאר ,Sn1/2 על

.∂Sn1/2 על המתקבל

הבאות: התכונות את מקיימת זו שהעתקה להראות ניתן

86

πn (X,x0) של היחידה איבר 1 עבור ,1γ ∼ γ .1

γ (α ? β) ∼ γα ? γβ .222.[α] ∈ πn (X) ולכל γ : x0 x1, δ : x1 → x2 מסילות זוג כל עבור (γ ? δ)α ∼ γ (δα) .3

ההומוטופיה, ידי על נובעת השנייה התכונה ברורות. השלישית והתכונה הראשונה התכונה

H : I × Sn → X

H (t, (s1, ..., sn)) =

{γα ((2− t) s1, s2, ..., sn) s1 ∈ [0, 1/2]

γβ ((2− t) s1 + t− 1, s2, ..., sn) s1 ∈ [1/2, 1]

.(Hatcher, Algebraic Toplog, page 339 מתוך: (האיור

� איזומורפיזם. משרה היא לכן .γ−1 מתוך המתקבלת ההעתקה ידי על הפיכה, זו העתקה כי לראות קל

.Sn הספרה של ההומוטופיה חבורות של תכונות כמה נזכיר טענה:

.k < n לכל πk (Sn) = 0 .1

πn (Sn) ∼= Z .2

מפתיע) (באופן π3

(S2) ∼= Z .3

יחסית הומוטופיה 25

.x0 את המכיל תת־מרחב A ⊂ X ויהי מנוקד, טופולוגי מרחב (X,x0) יהי הגדרה:

α : In → X לולאות של ההומוטופיה מחלקות להיות ,Aל־ ביחס X של היחסית ההומוטופיה ,πn (X,A, x0) את נגדירהבאה: התכונה את שמקיימות ,(Sn ∼= In הנוחות, (לצורך

הפאה על α ≡ IdA וכי מהפאות, 2n− 1 על α ≡ x0 כי נדרוש .(n ≥ 2 (עבור In−1 של עותקים בדמות פאות 2n יש Inל־.α :

(In, ∂In, ∂In − In−1

)7→ (X,A, x0) בהתאמה מעתיקה α כלומר, הנותרת.

חבורה. מכך מתקבלת כן ועל היחסית, בהומוטופיה גם זהה באופן למעשה מוגדרת πn (X,x0) בחבורה הפעולה כי לראות ניתן

איבר על לחשוב ניתן גם כך ,(Sn, s0) → (X,x0) העתקות של הומוטופיה מחלקת הוא πn (X,x0) של כללי שאיבר כפי הערה:דפורמציה רטרקט יש שכן ,

(Dn, Sn−1, s0

)→ (X,A, x0) העתקות של הומוטופיה מחלקת כעל πn (X,A, x0) של כללי

.s0 הנקודה עם ∂In − In−1 זיהוי ידי על(In, ∂In, ∂In − In−1

)→(Dn, Sn−1, s0

).πn (X,x0) הקבוצה על π1 (X,x0) החבורה של פעולה מגדירה ההעתקה כי גם נובע זו 22מתכונה

87

מדויקת, ארוכה סדרה מתקבלת כלשהי, x0 ∈ A ונקודה A תת־מרחב עם ,X טופולוגי מרחב עבור משפט:

...→ πn (A, x0)ιn−→ πn (X,x0)

κn−→ πn (X,A, x0)∂n−→ πn−1 (A, x0)

ιn−1−→ πn−1 (X,x0)→ ...→ π0 (A, x0)ι0−→ π0 (X,x0)→ 0

כאשר:

.(A, x0) ↪→ (X,x0) מהשיכון המושרית ההעתקה היא ιn �

.(πn (X,x0, x0) ∼= πn (X,x0) כי לב (נשים (X,x0, x0) ↪→ (X,A, x0) מהשיכון המושרית ההעתקה היא κn �

α |In−1 : להעתקה α :(In, ∂In, ∂In − In−1

)7→ (X,A, x0) העתקה של מצמצום המתקבלת ההעתקה היא ∂n �

.(n ≥ 2 כל עבור הומומורפיזם זהו כי לראות (ניתן(In−1, ∂In−1, ∂In−1 − In−2

)7→ (X,A, x0)

.Imι0 = π0 (X,x0) = 0 כי שמתקיים זה במובן מדויקת הסדרה עדיין אך חבורה, של מבנה אין n = 0 השלב עבור הערה:

וייטהד משפט 26

לכל f∗ : πn (X)→ πn (Y ) איזומורפיזם שמשרה העתקה f : X → Y תהי קשירים. CW־קומפלקסים X,Y יהיו (וייטהד) משפט:הומוטופית. שקילות היא f : X → Y אזי .n ≥ 1

.Y של דפורמציה רטרקט הוא X כי מתקיים ,f : X ↪→ Y שיכון של במקרה

מסילתית. קשירים מרחבים של כלשהו זוג (Y,B) יהי CW־קומפלקס. זוג (X,A) יהי למה:

.πm (Y,B) = 0 מתקיים m־ממדיים, תאים X −A בתוך יש שעבורו כזה m ≥ 1 לכל הזוגות: בין הבא הקשר שמתקיים נניח

.X → B להעתקה A־הומוטופית היא (f (A) ⊂ B (כלומר f : (X,A)→ (Y,B) זוגות של העתקה כל אזי

.H |{t}×A≡ H |{0}×A≡ f |A ,t ∈ I שלכל כך ,H (0, ·) = f, H (1, X) ⊂ B עם H : I ×X → Y הומוטופיה יש כלומר,

קשיר. (Y,B) כי הוא π0 (Y,B) = 0 התנאי ,m = 0 עבור הערה:

.Xk−1 → B להעתקה הומוטופית f כי באינדוקציה נניח .X של השלדים X1, X2, X3, ... יהיו הוכחה:

הדחיפה, לאורך Φ שלו ההדבקה בהעתקת נתבונן .ek ∈ Xk −A יהי

∂Dn

��

// Xk−1

��

f // B

��Dn // Xk

f// Y

זו מהומוטופיה .πk (Y,B) = 0 כי מההנחה ,B לתוך Dk∂־הומוטופית היא f ◦ Φ :(Dk, ∂Dk

)→ (Y,B) כי לב ונשים

.Xk−1 tDk מתוך המתקבל Xk−1 ∪{ek}המנה מרחב על f של Xk−1־הומוטופיה מושרית

.Xk → B העתקה על f |Xk ∪IdA של הומוטופיה מכך ונקבל סימולטנית, ek ∈ Xk−A לכל כזאת הומוטופיה מושרית כך אםמתרחבת ההומוטופיה כי נובע טובים, זוגות CW זוגות ומהיות ,Xk שלד כל עבור כזאת הומוטופיה נקבל באינדוקציה לכן

.Xk → B להעתקה

הממדים כל על הומוטופיה לבצע ניתן בן־מניה), (אך אינסופי הממד כאשר הוכחה. הלמה סופי, ממד בעל X −A המרחב אם� .X כל על הומוטופיה ולקבל ,[1/2k, 1/2k+1] הקטע לאורך היא ההומוטופיה kה־ בממד כאשר יחד,

וייטהד) (משפט הוכחה:

88

πn (Y,X) = 0 כי נובע ,n ≥ 1 לכל πn (X) ∼= πn (Y ) מההנחה כי לב נשים שיכון. f : X ↪→ Y בו במקרה נתחיל �

לעיל). המדויקת הסדרה ידי (על n ≥ 1 לכל

הזו ההומוטופיה .Y → X להעתקה הומוטופית היא כי ונקבל ,Id : (Y,X) → (Y,X) עבור הלמה את נפעיל כן אםדפורמציה. רטרקט היא

,Mf בתוך טבעי באופן משתכנים X,Y כי לב נשים .Mf := X×ItY/(x,1)∼f(x) בצילינדר נתבונן הכללי, המקרה עבור �

העתקת r עבור ,X ↪→ Mfr−→ Y ההעתקה היא f : X → Y כי נקבל הכל בסך .Mf של דפורמציה רטרקט Y וכי

דפורמציה. רטרקט

הומוטופית שקילות X ↪→Mf כי להראות די הומוטופית, שקילות f כי להראות כדי ולכן הומוטופית, שקילות r כי ברור.n ≥ 0 לכל πn (Mf , X) = 0 שקול, באופן או ההומוטופיה, חבורות כל על איזומורפיזם היא f∗ כי בהנחה

הגבלת ללא נניח ולכן סלולארית, להעתקה הומוטופית CW־קומפלקסים זוגות של העתקה שכל נראה הבאה בפסקהמהמקרה מתקבל והמשפט CW־קומפלקסים, זוג הוא (Mf , X) זה במקרה אבל סלולארית. העתקה f כי הכלליות

� שיכון. עבור הראשון

הסלולארי הקירוב משפט 27

כאשר ,n ≥ 0 לכל f (Xn) ⊂ Y n אם סלולארית, העתקה נקראת CW־קומפלקסים X,Y עבור f : X → Y העתקה הגדרה:בהתאמה. X,Y של ה־n־ממדיים השלדים אלו Xn, Y n

ידי על המתקבלות וקומפקטיות, קמורות קבוצות של סופי איחוד שהוא K ⊂ Rn תת־מרחב הוא פוליהדרון ,Rn במרחב הגדרה:.∑i aixi ≤ b מהצורה לינאריים אי־שוויונים ידי על המוגדרים תת־מרחבים של סופי חיתוך

f |σi אם ,(Piecewise Linear) PL היא f : A → Rk כי נאמר .A =⋃mi=1 σi סימפלקסים, של איחוד A ⊂ Rn תהי הגדרה:

.i = 1, ...,m לכל לינארית העתקה

.k < n עבור f : In → Z העתקה תהי .W טופולוגי מרחב לאיזה Z := Dk ∪Sk−1 W מהצורה מודבק טופולוגי מרחב Z יהי למה:

המקיימת ft :(In, f−1

(ek))→(Z, ek

)זוגות של הומוטופיה קיימת אזי

f0 ≡ f .1

.t ∈ I לכל ft |f−1(W )≡ f .2

שמתקיים כך ,K ⊂ In פוליהדרון קיים f1 ההעתקה עבור .3

.ek ∼= Dk ∼= Rk זיהוי ידי על PL היא f1 |K וכן ,f1 (K) ⊂ ek (א)

.K ⊃ f−11 (U) עם U ⊂ ek פתוחה קבוצה קיימת (ב)

.k > n לכל πn(Sk)

= 0 מסקנה:

העתקה כעל לחשוב ניתן f : Sn → Sk מנוקדת העתקה כל על .Z = Sk כלומר ,W = {∗} עבור בלמה נשתמש הוכחה:העתקה כל אבל על. אינה בפרט ולכן ,PL שהיא f1 (K) ⊂ ek עבור f ∼ f1 מהלמה ולכן ,f |∂In≡ ∗ עם f : In → Sk

ולכן שרירותית, f אבל .[f ] = 0 ∈ πn(Sk)ולכן הקבועה, להעתקה הומוטופית ,k > n עבור על שאינה Sn → Sk

� .πn(Sk)

= 0

סלולארית. להעתקה הומוטופית CW־קומפלקסים, של f : X → Y העתקה כל הסלולארי: הקירוב משפט

להעתקה הומוטופית היא אז סלולארית, העתקה f |A: A → Y כי ונניח CW־קומפלקסים, זוג (X,A) אם מזו, יתרה.A על f עם המזדהה הומוטופיה ידי על סלולארית

89

n־ממדי תא en ⊂ X ויהי ,f(Xn−1

)⊂ Y n−1 כלומר ,n−1ה־ ברמה סלולארית העתקה f : X → Y כי באינדוקציה נניח הוכחה:

אם גדול. מספיק k לאיזה f (en) ⊂ Y k ולכן קומפקטית), en ⊂ X (כי קומפקטית קבוצה f (en) ⊂ Y כי לב נשים .X של.f (en) עם שנחתך k־ממדי תא ek ⊂ Y נקבע .k > n נניח לכן סיימנו, אז k ≤ n

על f |Xn−1 עם מזדהה זו הומוטופיה כאשר ,f1 (en) $ ek שעבורה f1 להעתקה הומוטופית f |Xn−1∪en כי נובע מהלמה.ek עם נחתכת לא שכלל להעתקה הומוטופית היא ,ek על לא העתקה שזו היות .Xn−1

.k > n עבור ,Y של k־ממדי תא באף כלל פוגעת שלא להעתקה הומוטופית f כי לקבל נוכל דומה תהליך ידי על

f |Xn של המתוארת ההומוטופיה את נקבל ,A ⊂ X עבור סלולארית העתקה f |A: A → Y בו מקרה עבור דומה באופן� .f |Xn−1∪An עם המזדהה

.n ≥ 1 לכל πn (X) = πn(Xn+1

)CW־קומפלקס, X עבור מסקנה:

90