2 לינארית אלגברה

דה־שליט אהוד פרופ' הרצאות על מבוסס

(80135) "2 לינארית "אלגברה בקורס

2013 ב' סמסטר העברית, האוניברסיטה

nachi.avraham@gmail.com להערות:

נחי

ותיקונים הערות ששלח מי לכל תודה

1

עניינים תוכן

5 הדואלי והמרחב לינאריים פונקציונאלים I

5 . . . . . . . . . . . . . Hom (V,W ) הלינאריות הטרנספורמציות מרחב 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hom (V,W ) של הבסיס 1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V ∗ הדואלי המרחב 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (מהתרגול) At משוחלפת מטריצה 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לינארי פונקציונאל של גרעין 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (מהתרגול) V = U ⊕W ישר סכום 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T ∗ דואלית לינארית טרנספורמציה 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T ∗ של המטריצה 6.113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מאפסים 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . רפלקסיביות 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . יסודית דוגמה 8.117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הרפלקסיביות משפט 8.2

20 בודדת לינארית טרנספורמציה חקירת II

20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לכסון 921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . עצמי וערך עצמי וקטור 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . עצמיים לווקטורים לכסינות בין הקשר 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . עצמי לערך שקול אפיון 11.123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . עצמי מרחב 11.223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . האופייני הפולינום 1224 . . . . . . . . . . לכסינה) והמטריצה (במידה מטריצות ללכסון אלגוריתם 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פולינומים 1426 . . . . . . . . . . . . . רציונאליות פונקציות של שארית עם חילוק 14.128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . העצמיים הווקטורים אי־תלות 1529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ישר סכום 1631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (מהתרגול) עקבה 1732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (מהתרגול) נילפוטנטיות 1833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אלגברית סגור שדה 1933 . . . . . . . . . . . . אלגברית סגור שדה מעל פולינום 19.0.134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טרנספורמציה על פולינום 2035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המינימלי הפולינום 2135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . המינימלי הפולינום ויחידות קיום 21.135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אחרים מאפסים פולינומים 21.236 . . . . . . . . . . . . . . המינימלי לפולינום האופייני הפולינום בין הקשר 2237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קיילי־המילטון משפט 2341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (מהתרגול) גאומטרי וריבוי אלגברי ריבוי 2443 . . (מהתרגול) אלכסונית בלוקים מטריצת של והמינימלי האופייני הפולינום 25

2

45 פנימית מכפלה מרחבי III

45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הקדמה 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ממשי פנימית מכפלה מרחב 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מאפיינים 27.148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (בממשיים) קושי־שוורץ אי־שוויון 27.248 . . . . . . . . . . . . . . . . . ממשית לממ"פ הקוסינוסים משפט 27.349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מרוכב פנימית מכפלה מרחב 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מאפיינים 28.150 . . . . . . . . . . . . . . . . . מרוכבת לממ"פ הקוסינוסים משפט 28.250 . . . . . . . . . . . . . . . הכללי) (המקרה קושי־שוורץ אי־שוויון 28.352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . המשולש אי־שוויון 28.3.153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מטרי מרחב 28.3.253 . . . . . . . . . . . . . . . . ההפוך המשולש אי־שוויון 28.3.354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כללית פנימית מכפלה 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (גרמיאן) גרם מטריצת 29.155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . גרם־שמידט של האורתוגונליזציה תהליך 3055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אורתונורמליות 30.155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . עזר טענות 30.257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . האורתוגונליזציה תהליך 30.359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פרסוול משפט 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הניצב המשלים 32

62 פנימית מכפלה במרחבי לינאריות טרנספורמציות IV

62 . . . . . . . . . . . . . . . . . פנימית מכפלה במרחב לינארי פונקציונאל 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 7→ ϕv הפונקציה 33.163 . . . . . . . . . . . . . . . . . T ∗ צמודה דואלית לינארית טרנספורמציה 3464 . . . . . . . . . . . . . . . הצמודה הדואלית הט"ל של המטריצה 34.164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 7→ T ∗ הפונקציה 34.266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בולטות דוגמאות 34.367 . . . . . . . . . . . . . . T ∗ של והתמונה T של הגרעין בין הקשר 34.467 . . . . . . . פנימית מכפלה במרחבי טרנספורמציות של מיוחדות משפחות 3567 . . . . . . . . . לעצמה) (צמודה סימטרית/הרמיטית טרנספורמציה 35.170 . . . . . . . . . . . . . . . . אורתוגונלית/אוניטרית טרנספורמציה 35.271 . . . . . . . . . . . . . אורתוגונלית/אוניטרית מטריצה 35.2.173 . . . . . . . . . . לאורתוגונליות/אוניטריות שקול אפיון 35.2.273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . נורמלית טרנספורמציה 35.374 . . . . . . . . . . (מהתרגול) המיוחדות הטרנספורמציות של סיכום 35.475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הספקטרלי הפירוק משפט 35.581 . . . . . . . . . . (מהתרגול) אורתוגונלי/אוניטרי ללכסון אלגוריתם 35.682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (מהתרגול) T־אינווריאנטי תת־מרחב 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (מהתרגול) סימולטני לכסון 3784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (מהתרגול) חיוביות טרנספורמציות 3885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . נורמלית ט"ל של פולארי פירוק 38.1

3

86 בילינאריות תבניות V

86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בילינארית תבנית 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הבילינאריות התבניות קבוצת 39.187 . . . . . . . . . . ומטריצות בילינאריות תבניות בין איזומורפיזמים 39.288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בסיס מעבר מטריצת 39.389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מטריצות בין יחסים 4089 . . . . . . . . . . . . . מטריצה של ודרגה שקילות יחס בין הקשר 40.191 . . . . . . . . . . . . וטרנספורמציות בילינאריות תבניות בין איזומורפיזם 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בילינארית תבנית של דרגה 41.193 . . . . . . . (מהתרגול) בילינארית תבנית של פשוטה ייצוג מטריצת מציאת 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V × V→ z בילינאריות תבניות 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סימטריות בילינאריות תבניות 43.197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . לתת־מרחב ניצב 43.1.199 . סימטרית בילינארית לתבנית מצורפת ריבועית תבנית 43.1.299 . . . . . . . . . . . סימטרית בילינארית תבנית לכסון 43.1.3100 . . . . . . . . . . . אלגברית סגורים שדות מעל לכסון 43.1.4101 . . . (מהתרגול) חפיפה על־ידי סימטרית מטריצה ללכסון אלגוריתם 43.2101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סילבסטר של ההתמדה משפט 43.3

104 ז'ורדן של הקנונית הצורה VI

104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ז'ורדן בלוק 44106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ז'ורדן צורת 45107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ז'ורדן משפט 46107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . נילפוטנטיות 46.0.1107 . . . . . . . . . . . . . . . . . מוכללים ותמונה גרעין 46.0.2110 . . . . . . . . הנילפוטנטי למקרה רדוקציה - ז'ורדן משפט הוכחת 46.1110 . . . . . . מוכללת הגדרה - ופרישה לינארית אי־תלות 46.1.1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סינון 46.1.2113 . . . . . . . . . . . . . הנילפוטנטי המקרה - ז'ורדן משפט הוכחת 46.2116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . צורת־ז'ורדן יחידות 46.3

4

I חלק

הדואלי והמרחב לינאריים פונקציונאלים

Hom (V,W ) הלינאריות הטרנספורמציות מרחב 1

טרנספורמציות T, S : V → W ויהיו ,z מעל וקטוריים מרחבים V,W יהיו שדה, z יהילינאריות.

שזה לראות קל .W ל־ V מ־ הלינאריות הטרנספורמציות קבוצת את Hom (V,W ב־( נסמןוקטורי. מרחב

Hom (V,W ) של הבסיס 1.1

וכי V של בסיס {e1, ..., em} כי ונניח סופיים, ממדים בעלי V,W המרחבים כי נניח.W של בסיס {f1, ..., fn}

.nm שערכו סופי ממד בעל Hom (V,W ) הווקטורי המרחב גם,Eij : V → W טרנספורמציה נגדיר הבאה: בצורה Hom (V,W ) של הבסיס את בנינו

.Eij (el) = δjlfi כאשר ,1 ≤ i ≤ n1 ≤ j ≤ m כאשר

.Eij (el) =

{fi

0

j = l

j 6= lכלומר: קרונקר) של (הדלתא δjl =

{1

0

j = l

j 6= l

של בסיס היא

{Eij (el) = δjlfi|

1 ≤ i ≤ n1 ≤ j ≤ m

}הקבוצה כי הקודם בסמסטר הוכחנו

.Hom (V,W )הבאה: בצורה תיראה Hom (V,W ) של הבסיס מטריצת

[Eij ]n×m =

0 . . . 0 . . . 0...

. . ....

. . ....

0 . . . 1 . . . 0...

. . ....

. . ....

0 . . . 0 . . . 0

, index of 1 is ij

V ∗ הדואלי המרחב 2

השדה. את פורש (0 (למעט סקלר כל כי עצמו, מעל 1 מממד וקטורי מרחב הוא שדה הערה

עוסקים כאשר הוא Hom (V,W ) הלינאריות הטרנספורמציות מרחב של פרטי מקרהמסומן והוא הדואלי" "המרחב נקרה זה מרחב .Hom (V,z) הטרנספורמציות בקבוצת

.V ∗

"פונקציונאל נקראת ,T ∈ Hom (V,z) כלומר ,T : V → z מהצורה טרנספורמציה כללינארי".

5

1 דוגמה

הבא: באופן λ לינארית העתקה נגדיר .{a1, ..., an} הסקלרים ונתונים V = zn יהי

λ

x1...

xn

=

n∑i=1

aixi

.λ ∈ V ∗ ולכן λ : zn → z כי לב נשים

2 דוגמה

סופי. מממד אינו V כי לב נשים .z השדה מעל הפולינומים מרחב V יהיבאופן כלשהו p (x) פולינום על λ לינארית טרנספורמציה ונגדיר כלשהו, סקלר c ∈ z נבחר

.λ (p (x)) = p (c) הבא:.λ ∈ V ∗ ולכן לינארית, טרנספורמציה ושזו סקלר היא שהתוצאה לראות קל

p (x) = הפולינום עבור למשל (כך לינארית טרנספורמציה בהכרח אינו בעצמו פולינום הערההטרנספורמציה תכונות הזה בהקשר אולם (a2 + b2 6= (a+ b)

2 המקרים ברוב ,x2

לפולינום. "מחוץ" תכונות הן λ

מתקיים: כלומר

λ (p (x) + q (x)) = λ (p (x)) + λ (q (x))

וגם:

αλ (p (x)) = λ (αp (x))

.αp (x) = p (αx) מתקיים בהכרח לא אבל

הדואלי המרחב של ובסיס ממד

.z שדה מעל וקטורי מרחב V יהי

השדה מעל וקטורי מרחב היא V ∗ = Hom (V,z) הלינאריים הפונקציונאלים קבוצת .1.z

מתקיים: אזי ,dimV = n סופי מממד מרחב הוא V גם אם .2

dimV ∗ = n (א)

וקטורים קבוצת {e1, ..., en} עבור נגדיר ,V של בסיס {e1, ..., en} כי נניח (ב)ei הווקטור עבור 1 שמקבל e∗i לינארי פונקציונאל נגדיר ei לכל הבא: באופן

אחר. וקטור כל עבור ו-0.e∗j (ei) = δij הפונקציונאל כלומר,

נקראת והיא ,V ∗ של בסיס היא {e∗1, ..., e∗n} הלינאריים הפונקציונאלים קבוצתהדואלי. הבסיס

הוכחה

6

הקודמת. בפסקה שמופיע המשפט של פרטי מקרה היא זו טענה .1

המשפט של 2 סעיף חלקי שני את נוכיח .2

נובע: הקודם מהמשפט dimV = n כי ומהנתון dimz = 1 כי ידוע (א)

dimHom (V,z) = n · 1 = n

.

בעלת קבוצה הגדרנו ולכן משלו, לינארי פונקציונאל התאמנו בבסיס איבר לכל (ב)זו כי להראות נותר בסיס שהיא להוכיח כדי .Hom (V,z) במרחב איברים n

לינארית. תלויה בלתי קבוצה

הלינאריים הפונקציונאלים של הלינארי הצירוף (כלומר,n∑j=1

bje∗j = 0 כי נניח

:{e1, ..., en} הבסיס על הנ"ל הצירוף את נפעיל ה־0). לפונקציונאל שווה

n∑j=1

bje∗j (ei) =

n∑j=1

bjδij = 0⇒ bj = 0

�

דוגמה

.V = R2 המרחב יהי

.e2 =

(01

),e1 =

(10

)סטנדרטי: בסיס שיהיה כך {e1, e2} בסיס נגדיר •

הסטנדרטי: הבסיס של הדואלי הבסיס את נבנהe∗1

(10

)= 1

e∗1

(01

)= 0

⇒ e∗1 = (1, 0)

e∗2

(10

)= 0

e∗2

(01

)= 1

⇒ e∗2 = (0, 1)

הסטנדרטי. לבסיס שווה והוא הדואלי בבסיס שינוי אין כך אם

.f2 =

(11

),f1 =

(10

)אחר: בסיס נגדיר •

7

זה: בסיס של הדואלי הבסיס את נבנהf∗1

(10

)= 1

f∗1

(11

)= 0

⇒ f∗1 = (1,−1)

f∗2

(10

)= 0

f∗2

(11

)= 1

⇒ f∗2 = (0, 1)

{(1,−1) , (0, 1)} הפונקציונאלים הוא

{(11

),

(10

)}הבסיס של הדואלי הבסיס לכן

בסיס מעבר

ויהיו ,V של בסיסים שני (f1, ..., fn) ,(e1, ..., en) יהיו .n סופי ממד וקטורי מרחב V יהיבהתאמה. הדואליים הבסיסים שני (f∗1 , ..., f

∗n) ,(e∗1, ..., e

∗n)

,fj =

n∑i=1

aijei שמתקיים כך הבסיסים, בין המעבר מטריצת A = (aij) תהי

,f∗k =

n∑l=1

blke∗l שמתקיים כך הדואליים, הבסיסים בין המעבר מטריצת B = (blk) תהי

.B = [At]−1 מתקיים אזי

[At]n×m = (aji) מגדירים אז [A]m×n = (aij) אם ככלל א': תזכורת •

.(At)−1 =(A−1

)tאזי והפיכה, ריבועית מטריצה A אם ב': תזכורת •

בסיס. מעבר מטריצות הן כי הפיכות והן ריבועיות, A,B הנוכחי במקרה

הוכחה

.f∗k (fj) = δkj שמתקיים הדואלי הבסיס מהגדרת ידוע ראשית:f∗k (fj) הביטוי את מפורש באופן כעת נחשב

f∗k (fj) =

n∑l=1

blke∗l (fj) =

n∑l=1

blke∗l

(n∑i=1

aijei

)=

n∑l=1

n∑i=1

blkaij e∗l (ei)︸ ︷︷ ︸ =

=δli

n∑i=1

bikaij

ולכן: ,bik = btki מתקיים כי לב נשים כעת

n∑i=1

bikaij =

n∑i=1

btkiaij =[BtA

]kj

.f∗k (fj) = [BtA] כי נובע שביצענו ומהחישוב f∗k (fj) = δkj נובע הדואלי הבסיס מהגדרתב' תזכורת (ראו כמבוקש. ,[Bt] =

[A−1

]כי נובע זה ומביטוי ,[BtA]k×j = δkj כי נסיק

� במשפט).

8

(מהתרגול) At משוחלפת מטריצה 3

המשוחלפת המטריצה אזי ,An×m = (aij) ,A ∈ Mn×m (z) כי נניח משוחלפת: מטריצהAtm×n = (aji) ,At ∈Mm×n (z) היא

:At של תכונות(A+B)

t= At +Bt .1

α (At) = (αAt) מתקיים α ∈ z סקלאר עבור .2(AB)

t= BtAt מתקיים אזי ,B ∈Mm×k (z) ,A ∈Mn×m (z) כי נניח .3

הפיכה, At גם אזי Aהפיכה, כי ידוע וכן ריבועית) (מטריצה A ∈ Mn×n (z) אם .4(At)

−1=(A−1

)tומתקיים

(3 (של הוכחה

(AB)tij = (AB)ji =

m∑l=1

ajlbli =

m∑l=1

(At)lj

(Bt)il

=

m∑l=1

(Bt)il

(At)lj

=(BtAt

)ij

(4 (של הוכחהומזה At

(A−1

)t= I גם כי להראות מספיק At (At)

−1= I כי שברור שמכיוון לב נשים

.(At)−1 =(A−1

)tכי להסיק נוכל

:3 תכונה ע"פ נחשב

At(A−1

)t=(AA−1

)t= It = I

לינארי פונקציונאל של גרעין 4

לינאריים. פונקציונאלים λ, µ : V → z ויהיו ,n 6= 0 ,n סופי מממד וקטורי מרחב V יהיאזי:

dimKerλ = n− 1 .1

כל אזי ,λ (υ0) 6= ש-0 כך כלשהו וקטור υ0 ויהי לינארי פונקציונאל λ 6= 0 כי נניח .2.u ∈ Kerλ ,a ∈ z כאשר ,υ = u+ aυ0 יחידה להצגה ניתן υ ∈ V וקטור

כך c 6= 0 קיים כלומר פרופורציונאליים. µ, λ אם ורק אם Kerλ = Kerµ מתקיים .3.µ = cλ-ש

.λ (υ) 6= ש־0 כך λ ∈ V ∗ לינארי פונקציונאל קיים אזי ,υ 6= 0 ,υ ∈ V יהי .4

הוכחות

כי: מתקיים T : V →W כלשהי טרנספורמציה עבור כי נובע הממדים ממשפט .1

dimV = dimKerT + dim ImT

9

λ 6= 0 עבור (כי dim Imλ = 1 כי שידוע מה ולפי ,dimV = n הסימון לפי נסיקמתקיים: λ : V → z הפונקציונאל שעבור ,(dimz = 1 מתקיים

dimV = dimKerλ+ dim Imλ⇒ dimKerλ = n− 1

,u = υ−aυ0 נגדיר .aλ (υ0) = λ (υ)-ש כך a ∈ z נבחר כלשהו. וקטור υ ∈ V יהי .2.υ = u+ aυ0 שמתקיים ונקבל אגפים נעביר .u ∈ Kerλ כי מיד ונקבל

נסיק: .υ = u+ aυ0 = u′ + a′υ0 כי נניח יחידה: שההצגה נוכיח

u− u′ = (a′ − a) υ0⇓

0 = λ (u− u′) = (a′ − a)λ (υ0) = a′λ (υ0)− aλ (υ0)⇓

a′ = a u = u′

כל ולכן ,µ (υ0) = cλ (υ0) מתקיים אזי ,c 6= 0 עבור µ = cλ כי נניח א': צד .3.Kerλ = Kerµ ומכאן מתאפס, השני הפונקציונאל אמ"מ מתאפס פונקציונאל

c נבחר .λ (υ0) 6= ש-0 כך υ0 כלשהו וקטור נבחר .Kerλ = Kerµ כי נניח ב': צד.c 6= 0 כי גם מתקיים λ (υ0) 6= 0 הבחירה ובגלל ,µ (υ0) = cλ (υ0) שמקיים

נשים .a ∈ z ,u ∈ Kerλ כאשר ,υ = u+ aυ0 אותו נציג כלשהו. וקטור υ ∈ V יהינסיק: .Kerλ = Kerµ נתון כי חד־משמעי u לבחור ניתן כי לב

µ (υ) = µ (u+ aυ0) = µ (u)+aµ (υ0) = 0+aµ (υ0) = acλ (υ0) = cλ (u+ aυ0) = cλ (υ)

,{υ = υ1, υ2, ..., υn} שהתקבל הבסיס את נסמן .V של לבסיס הנתון, υ את נשלים .4.{υ∗1 = υ∗, υ∗2 , ..., υ

∗n} שלו הדואלי הבסיס את ונבנה

פונקציונאל להגדיר כדי שדרוש מה כל את לנו יש הדואלי, הבסיס את שהגדרנו מכיווןוהטווח התחום של הבסיסים ע"י היטב מוגדרת לינארית טרנספורמציה שכל (נזכור

שלה).כמבוקש. ,λ (υ) = λ (υ1) = υ∗1 (υ1) = 1 6= 0 שמתקיים ונקבל ,λ = υ∗1 למשל נבחר

�

10

(מהתרגול) V = U ⊕W ישר סכום 5

U,W ויהיו ,z שדה מעל וקטורי מרחב V יהי וקטוריים: תתי־מרחבים של וחיתוך סכום.V של מרחבים תתי

U +W = {u+ w|u ∈ U,w ∈W} תתי־מרחבים: של סכוםU ∩W = {v|v ∈ U ∧ v ∈W}:תתי־מרחבים של חיתוך

.V מעל תתי־מרחבים הם תתי־מרחבים של חיתוך וגם סכום גם -של שחיתוך ראינו וכן ,W את וגם U את גם שמכיל מינימלי תמ"ו הוא תמ"ו של סכום -

.W ב- וגם Uב־ גם שמוכל מקסימלי תמ"ו הוא תמ"ו

מתקיים אזי ,V של תמ"ו U,W ויהיו ממדי, סוף מ"ו V יהי הממדים: משפט.dim (U +W ) = dimU + dimW − dim (U ∩W )

כל אם U,W של סכום הוא V כי נאמר .V של "תמ U,W ויהיו מ"ו V יהי ישר: סכום.w ∈W ,u ∈ U כאשר ,υ = u+ w להצגה ניתן υ ∈ V וקטור

יחידה. היא υ = u+ w ההצגה אם U,W של ישר סכום הוא V כי נאמר.V = U ⊕W זאת נסמן U,W של ישר סכום הוא V אם

ישר. סכום להגדרת שקולים תנאים 2 קיימים .U,W של סכום הוא V כי נניחיחידה: υ = u+ w שההצגה לטענה השקולים תנאים כלומר,

.0V = 0U + 0W היא 0V את להציג היחידה הדרך .1U ∩W = {0} .2

סכום הוא V ש- מידית מכך נובע אז ,{v1, ..., vn} בסיס V ל- נסמן אם כי לב נשים הערה:.W = span {vk+1, ..., vn} ,U = span {v1, ..., vk} שמוגדרים המרחבים תתי שני של ישר

T ∗ דואלית לינארית טרנספורמציה 6

בהתאמה. הדואליים, המרחבים V ∗,W ∗ ויהיו ,z מעל וקטוריים מרחבים V,W יהיודואלית לינארית טרנספורמציה להגדיר נרצה לינארית, טרנספורמציה T : V → W תהי

.T ∗ : W ∗ → V ∗

מהצורה λ פונקציונאל ומחזירה ,µ : W → z מהצורה µ פונקציונאל מקבלת T ∗ לב: [נשים[.λ : V → z

דואלית לינארית טרנספורמציה v ∈ V וקטור ולכל µ ∈W ∗ לינארי פונקציונאל לכל נגדירכך: ,T ∗

(T ∗ (µ)) (v) =︸︷︷︸def

µ (T (v))

טרנספורמציות של הרכבה היא T ∗ לכן .T ∗ (µ) = µ ◦ T ההגדרה שלפי לב נשים ראשיתבעצמה. לינארית היא ולכן לינאריות,

לינאריות: של התכונות שתי את מקיימת T ש-∗ נוודא

T ∗ (µ1 + µ2) (v) = (µ1 + µ2) (T (v)) = µ1 (T (v))+µ2 (T (v)) = T ∗ (µ1) (v)+T ∗ (µ2) (v)

11

α (T ∗ (µ)) (v) = αµ (T (v)) = µ (T (αv)) = (T ∗ (µ)) (αv)

T ∗ של המטריצה 6.1

An×m = (aij) תהי .W של בסיס {f1, ..., fn} ויהי ,V של בסיס {e1, ..., em} יהיהללו. בבסיסים T : V →W טרנספורמציה המתארת המטריצה

,{f∗1 , ..., f∗n} ,{e∗1, ..., e∗m} הדואליים בבסיסים T ∗ הטרנספורמציה את שמתארת המטריצה אזי.Atm×n = (aji) המטריצה היא

הוכחה

הדואלית: הטרנספורמציה תיראה כיצד נחשב .T (ej) =

n∑i=1

aijfi מתקיים כי לב נשים

(T ∗ (f∗l )) (ej) = f∗l (T (ej)) = f∗l

(n∑i=1

aijfi

)=

n∑i=1

aijf∗l (fi)︸ ︷︷ ︸=δli

= alj

דואלית. לינארית טרנספורמציה מהגדרת נובע הראשון השוויון •

.T (ej) =

n∑i=1

aijfi-ש מכך נובע השני השוויון •

לינארית. טרנספורמציה שזו מכך נובע השלישי השוויון •

רק נשאר ולכן ,f∗l (fi) = δli = 0 כי מתקיים ,l 6= i שלכל מכך נובע הרביעי השוויון •.l = i של המקרה

ולכן: ,(T ∗ (f∗l )) (ej) = alj שמתקיים הוכחנו

T ∗ (f∗l ) =

m∑j=1

alje∗j =

m∑j=1

atjle∗j

�

T ∗ של תכונות

.T ∗1 , T∗2 ובהתאמה ,T1, T2 ∈ Hom (V,W ) יהיו

(T1 + T2)∗

= T ∗1 + T ∗2 .1

αT ∗ = (αT ) ∗ .2

12

ובהתאמה ,S ∈ Hon (W,U) ,T ∈ Hom (V,W ) כלומר .VT−→W

S−→ U יהיו .3

.V ∗T∗←−W ∗ S∗←− U∗

(ST )∗

= T ∗S∗ מתקיים אזי

(3 (של הוכחה

ונחשב: ,v ∈ V ו- ς ∈ U∗ פונקציונאל נבחר

(T ∗S∗ (ς)) (v) = S∗ (ς) (T (v)) = ς (S (T (v))) = ς (ST (v)) =((ST )

∗(ς))

(v)

דואלית. לינארית טרנספורמציה מהגדרת נובעים הראשונים השוויונים שני •

בלבד. סימון שינוי הוא השלישי השוויון •

דואלית. לינארית טרנספורמציה מהגדרת שוב נובע הרביעי השוויון •

�

מאפסים 7

.V של תמ"ו U ⊆ V ויהי מ"ו V יהי שדה, z יהיעל שמתאפסים V של הלינאריים הפונקציונאלים קבוצת הוא ,U0 שנסמן ,U של המאפס

.U כלכלומר:

U0 = {λ ∈ V ∗|∀υ∈U λ(υ) = 0}

דוגמאות

ב־{0}. מתאפסים הפונקציונאלים כל כי ,U0 = V ∗ אזי ,U = {0} אם א.פונקציונאל הוא V ∗ בכל שמתאפס היחיד הפונקציונאל כי ,U0 = {0} אזי ,U = V ∗ אם ב.

ה־0.

המאפס של תכונות

א תכונה

.V ∗ של וקטורי תת־מרחב הוא U0

וקטורי: תת־מרחב להגדרת ששקולים התנאים 3 שמתקיימים נוכיח הוכחה

לו. שייך ה-0 שפונקציונאל מיידית נובע כמאפס U0 של מההגדרה .1נחשב: ,υ ∈ U ויהי λ, µ ∈ U0 יהיו לחיבור: סגירות .2

(λ+ µ) (υ) = λ (υ) + µ (υ) = 0⇒ (λ+ µ) ∈ U0

13

נחשב: ,α ∈ z ויהי υ ∈ U יהי ,λ ∈ U0 יהי בסקלאר: לכפל סגירות .3

λ (αυ) = αλ (υ) = α · 0 = 0⇒ αλ ∈ U0

�

ב תכונה

.λ ∈ V ∗ ויהי U של בסיס {e1, ..., ek} כי נניח ,k סופי מממד תמ"ו U כי נניח. {e1, ..., ek} הבסיס איברי לכל λ (ei) = 0 אמ"מ ,λ ∈ U0 אזי

הוכחה

הבסיס. איברי את גם מאפס הוא בפרט אז ,λ ∈ U0 כי נניח ראשון: בכיוון •

שנציב וקטור כל יאפס גם הוא אזי הבסיס, איברי לכל λ (ei) = 0 כי נניח שני: בכיוון •הבסיס. איברי של צ"ל הוא U-ב וקטור כל כי בו,

�

ג תכונה

.V של בסיס {e1, ..., en} כי ונניח ,n סופי מממד מרחב V כי נניחמהבסיס וקטורים e1, ..., ek כאשר U = span {e1, ..., ek} כך: שמוגדר כלשהו תמ"ו U יהי

.V של.U0 = span

{e∗k+1, ..., e

∗n

}מתקיים אזי

הוכחה

הבסיס באמצעות הפונקציונאל של הפיתוח את נרשום כלשהו. פונקציונאל λ ∈ V ∗ יהי

.λ =

n∑j=1

aje∗j הדואלי:

מתאפס שהפונקציונאל לטענה שקולה למאפס פונקציונאל של השתייכות כי נובע ב מתכונההווקטורים כל על יתאפס λ-ש לדרוש מספיק זה במקרה ולכן התמ"ו, של הבסיס איברי כל על

.e1, ..., ekלב: נשים

λ (ei) =

n∑j=1

aje∗j (ei) =

n∑j=1

ajδji = ai

.a1 = ... = ak = 0 כי ונסיק ,e1, ..., ek הווקטורים על יתאפס λ-ש הדרישה את נצרףש: נובע מכאן

λ =

n∑j=1

aje∗j = a1e

∗1 + ...+ ake

∗k + ak+1e

∗k+1 + ...+ ane

∗n =

= 0 + ...+ 0 + ak+1e∗k+1 + ...+ ane

∗n

� .e∗k+1, ..., e∗n הפונקציונאלים ע"י שנפרש מרחב הוא שהמאפס נסיק ולכן

14

למאפסים הממדים משפט ד: תכונה

.V של תמ"ו U כי ונניח ,n סופי ממד מ"ו V יהיאזי:

dimU + dimU0 = n

הוכחה

.{e1, ..., ek, ek+1, ..., en} כך: V של לבסיס אותו ונשלים {e1, ..., ek} בסיס U-ל נבחרכי נובע 3 שמתכונה לב ונשים ,

{e∗1, ..., e

∗k, e∗k+1, ..., e

∗n

}הדואלי הבסיס את V ל־ נסמן.U0 = span

{e∗k+1, ..., e

∗n

}מכאן: נסיק

dimU︸ ︷︷ ︸=k

+ dimU0︸ ︷︷ ︸=n−k

= dimV︸ ︷︷ ︸=n

�

ה תכונה

.V של תת־מרחבים U2,U1 יהיו

U01 ⊇ U0

2 אז U1 ⊆ U2 אם .1

(U1 + U2)0

= U01 ∩ U0

2 .2

(U1 ∩ U2)0

= U01 + U0

2 .3

הוכחה

בפרט אז U1 ⊆ U2ש־ ומכיוון ,λ(υ) = 0 מתקיים υ ∈ U2 לכל משמע ,λ ∈ U02 יהי .1

.λ ∈ U01 ולכן ,λ(u) = 0 מתקיים u ∈ U1 לכל גם

.U01 ⊇ U0

2 משמע ,λ ∈ U01 אז λ ∈ U0

2 שאם מצאנו

דו־כיוונית. הכלה נוכיח .2ובפרט ,υ ∈ U1 + U2 לכל λ (υ) = 0 מתקיים משמע ,λ ∈ (U1 + U2)

0 כי נניחמתקיים: ולכן .λ ∈ U0

1 ∩U02 כלומר .υ2 ∈ U2 לכל וגם υ1 ∈ U1 לכל גם λ (υ) = 0

(U1 + U2)0 ⊆ U0

1 ∩ U02

.υ2 ∈ U2 לכל וגם υ1 ∈ U1 לכל גם λ(υ) = 0 מתקיים משמע ,λ ∈ U01 ∩U0

2 כי נניחמתקיים: ולכן .λ (υ1 + υ2) = λ (υ1) + λ (υ2) = 0 כי נסיק מלינאריות ולכן

U01 ∩ U0

2 ⊆ (U1 + U2)0

שלבים. בשני נוכיח .3

15

.U01 + U0

2 ⊆ (U1 ∩ U2)0 כי נוכיח ראשית •

אופן באותו .(U1 ∩ U2)0 ⊇ U0

1 כי נובע 1 מטענה ולכן U1 ∩ U2 ⊆ U1 כי לב נשים.(U1 ∩ U2)

0 ⊇ U02 ולכן U1 ∩ U2 ⊆ U2 גם

הוא (U1 ∩ U2)0 ובפרט הדואלי, המרחב של "תמ הוא שהמאפס א בתכונה הוכחנו

להסיק נוכל U01 , U

02 ⊆ (U1 ∩ U2)

0 כי שהוכחנו מכך לחיבור. סגור ולכן תמ"ו.U0

1 + U02 ⊆ (U1 ∩ U2)

ש-0

ממדים. חישוב באמצעות השוויון הוכחת את נשלים •נסיק: הממדים וממשפט ,dimV = n נסמן

dim (U1 ∩ U2)0

= n− dim (U1 ∩ U2) =

= n− [dimU1 + dimU2 − dim (U1 + U2)] =

= [n− dimU1] + [n− dimU2]− [n− dim (U1 + U2)] =

= dimU01 + dimU0

2 − dim (U1 + U2)0

=

= dimU01 + dimU0

2 − dim(U01 ∩ U0

2

)= dim

(U01 + U0

2

)למאפסים. הממדים ממשפט נובע הראשון [השוויון

.dim (V +W ) = dimV+dimW−dim (V ∩W ) הממדים: ממשפט נובע השני השוויון.n של והחסרה תוספת הוא השלישי השוויון

למאפסים. הממדים ממשפט נובע הרביעי השוויוןהנוכחי. במשפט 2 מטענה נובע החמישי השוויוןהמוכר.] הממדים ממשפט נובע השישי השוויון

�

רפלקסיביות 8

V המרחב של V ∗ הדואלי המרחב את הגדרנו .z מעל וקטורי מרחב V ויהי שדה, z יהי.V ∗ = Hom (V,z) הבא: באופן

.V ∗∗ = Hom (V ∗,z) הבא: באופן V ∗ הדואלי המרחב של V ∗∗ הדואלי המרחב את נגדיר

.V הדואלי למרחב שקול V ∗∗ דואלי מרחב כי טעם בזה שאין קובעת הרפלקסיביות תכונתטבעי. איזומורפיזם ביניהם שקיים זה במובן היא השקילות

יסודית דוגמה 8.1

.∀λ∈V ∗φυ (λ) = λ (υ) הבא: באופן φυ : V ∗ → z לינארי פונקציונאל נגדיר .υ ∈ V יהילינארית. טרנספורמציה היא φ כי נוכיח

לחיבור: לינאריות נבדוק

φυ (λ+ µ) = (λ+ µ) (υ) = λ (υ) + µ (υ) = φυ (λ) + φυ (µ)

16

בסקלאר: לכפל לינאריות נבדוק

φυ (αλ) = (αλ) (υ) = αλ (υ) = αφυ (λ)

.αφυ = φαυ וכן φυ + φν = φυ+ν טענה

נחשב:

(φυ + φν) (λ) = φυ (λ) + φν (λ) = λ (υ) + λ (ν) = λ (υ + ν) = φυ+ν (λ)

α (φυ) (λ) = αλ (υ) = λ (αυ) = φαυ

הרפלקסיביות משפט 8.2

.′ (v) = φυ שמוגדרת טרנספורמציה ′ : V → V ∗∗ תהיעל. גם היא ′ אז סופי, מממד V כי ידוע גם אם חח"ע. לינארית טרנספורמציה היא ′

המרחבים בין איזומורפיזם היא ′ הטרנספורמציה סופי מממד V עבור אחרות: במילים.V ∗∗,V

הוכחה

לינארית: טרנספורמציה זו כי נראה .1מתקיים: φ הטרנספורמציה שעבור הוכחנו

φυ + φν = φυ+ν αφυ = φαυ

חיבור: עבור לינאריות מתקיימת ולכן ,φ להיות ′ את הגדרנו

′ (v + u) = ′(v) + ′(u)

בסקלאר: כפל ועבור

′ (αv) = α′ (v)

.Ker(′) = {0} השקולה הטענה באמצעות חח"ע ′ כי נוכיח .2פונקציונאל לכל כלומר, .φv = 0 מתקיים ′ של ההגדרה לפי אזי .′ (v) = 0 כי נניחהוא זה את שמקיים היחיד φ-ה ולכן ,φv (λ) = λ (v) = 0 מתקיים λ ∈ V ∗

.φv = 0 מהצורה ה-0 פונקציונאלמקיימים φ הפונקציונאלים כל שעבורו כלשהו v 6= 0 קיים שאולי לחשוב היה ניתןv ∈ 0 לכל סופי, מממד מרחבים שעבור הוכחנו אולם ,v ∈ Ker(′)-ש כך ,φ(v) = 0

עליו.1 מתאפס שלא כלשהו פונקציונאל קיים.Ker(′) = {0} בהכרח נובע v 6= 0 מהנתון לכן

. לינארי" פונקציונאל של "גרעין בפסקה 1לעיל

17

להסיק ניתן dimV = n שמהנתון כבר ראינו .V ∗∗ = Hom (V ∗,z) כי לב נשים .3.dimV ∗∗ = n נסיק גם הנוכחי במקרה ולכן ,dimV ∗ = n

טרנספורמציה שהיא ,′ : V → V ∗∗ מהצורה לינארית טרנספורמציה קיבלנו כך אםעל. גם היא ולכן שווי־ממד, מרחבים שני בין

מתקיים ′ : V ∗ → z טרנספורמציה עבור כי נובע הממדים ממשפט אחר: באופן,dimKer(′) = 0 ולכן Ker(′) = {0} כי הוכחנו .n = dimKer(′) + dim Im(′)

.dim Im(′) = n כי נובע הממדים משפט של מהמשוואה ולכןעל. טרנספורמציה בהכרח היא הטווח, לממד שווה שלה התמונה שממד טרנספומציה

הללו. המרחבים בין איזומורפיזם היא ולכן ועל, חח"ע היא ′ : V → V ∗∗ כי מצאנו .4�

הערה

ש: כך שווי־ממד שניהם כי ונניח סופי, ממד בעלי וקטוריים מרחבים U,W יהיו

dimU = dimW = n

איזומורפיים. בהכרח הם אזי.{w1, ..., wn} מהצורה W ל־ ובסיס {u1, ..., un} מהצורה U-ל בסיס נבחר נימוק:

טרנספורמציה שזו לראות קל .T (ui) = wi מהצורה T : U → W טרנספורמציה נגדירלינארית.

בטרנספורמציה שמדובר לראות גם קל הבסיס, איברי של צ"ל הוא במרחב וקטור שכל בגללשווים. סופיים מממדים מרחבים שני כל עבור איזומורפיזם מצאנו ולכן ועל, חח"ע שהיא

צריך ולא מספיקה זו טענה ,V ∗∗ לבין V בין איזומורפיזם של קיום להוכיח שכדי לב נשיםשווי־ממד. מרחבים V ו-∗∗ V ש- הראינו כי הרפלקסיביות, משפט את

אלא איזומורפיים, V, V ∗∗ שהמרחבים רק לא יותר: חזקה טענה קובע הרפלקסיביות משפטטבעי. איזומורפיזם שהיא ,′ הטרנספורמציה הוא שלהם שהאיזומורפיזם

1 מסקנה

המרחבים: יהיו

V, V ∗, V ∗∗

W,W ∗,W ∗∗

הטרנספורמציות: ויהיו

T : V →W T ∈ Hom (V,W )T ∗ : W ∗ → V ∗ T ∗ ∈ Hom (W ∗, V ∗)T ∗∗ : V ∗∗ →W ∗∗ T ∗∗ ∈ Hom (V ∗∗,W ∗∗)

.T = T ∗∗ מתקיים ,′W : W →W ∗∗ ,′V : V → V ∗∗ האיזומורפיזמים תחת אזיכלומר:

T ∗∗ (′V (v)) = ′W (Tv)

18

הוכחה

הבא: באופן כללית דואלית לינארית טרנספורמציה שהגדרנו נזכור

(T ∗µ) (v) = µ (Tv)

את הגדרנו וכי ,′ (v) = φυ הבא: באופן ′ האיזומורפיזם את כללי באופן שהגדרנו נזכור וכן.φυ (λ) = λ (v) הבא: באופן φ הטרנספורמציה

זה: לפי נחשב

(T ∗∗′V (v)) (µ) = ′V (v) (T ∗µ) = (T ∗µ) (v) = µ (Tv) = (′W (Tv)) (µ)

דואלית. ט"ל מהגדרת נובע הראשון השוויון.′ האיזומורפיזם מהגדרת נובע השני השוויוןדואלית. ט"ל מהגדרת נובע השלישי השוויון

.′ האיזומורפיזם מהגדרת נובע הרביעי השוויון�

2 מסקנה

.U00 ⊆ V ∗∗ ,U0 ⊆ V ∗ ויהיו תמ"ו, U ⊆ V כי ונניח מ"ו V יהי.U00 = ′ (U) אזי

הוכחה

′ (U) ⊆ U00 כי נראה .1גם ולכן ,λ (v) = 0 מתקיים v ∈ U ולכל λ ∈ U0 לכל מאפס של ההגדרה לפיכי נסיק U00 ⊆ V ש-∗∗ ומכיוון ,′ (v) (λ) ∈ U00 כי מכך נובע .′ (v) (λ) = 0

.v ∈ U לכל ′ (v) ∈ U00

.U00 = ′ (U) כי נראה .2dimU0 = כי נובע למאפסים הממדים ממשפט .dimU = k וכי dimV = n כי נניח

.n− kלמאפסים: הממדים משפט לפי שוב נסיק

dimU0 + dimU00 = dimV ∗

⇓n− k + dimU00 = n

⇓dimU00 = k

איזומורפיזם, היא ′ כי הראינו הרפלקסיביות ובמשפט dimU = k הגדרנו כי לב נשים.k = dimU = dim (′ (U)) ולכן.dimU00 = dim (′ (U)) כי נסיק

שהממדים מכיוון .U00 של תמ"ו הוא ′ (U) ולכן ,′ (U) ⊆ U00 כי א' בצד הוכחנו .3� .U00 = ′ (U) ולכן שווים, המרחבים שווים

19

II חלק

בודדת לינארית טרנספורמציה חקירת

לכסון 9

נסמן אז סופי, מממד במרחבים לרוב נדון זה בהקשר .z מעל וקטורי מרחב V יהי.dimV = n

לינארית. טרנספורמציה T : V → V תהיT זה שבבסיס כך ,V של כלשהו {v1, ..., vn} בסיס קיים אם ללכסון, ניתנת T כי נאמר

הבאה: מהצורה מטריצה כלומר אלכסונית". "מטריצה באמצעות מיוצגתλ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0...

.... . .

...

0 0 . . . λn

מ-0. שונה או שווה להיות יכול λi המקדם כאשר

דוגמה

בזווית וקטורים שמסובבת Tθ : R2 → R2 טרנספורמציה מחפשים אנו וכי ,V = R2 כי נניח.0 ≤ θ < π כאשר ,θ

2:θ בזווית סיבוב שלו הווקטורים על ונפעיל ,R2 של הסטנדרטי הבסיס את נבחר

Tθ

((10

))=

(cos θsin θ

)Tθ

((01

))=

(cos(θ + π

2

)sin(θ + π

2

) ) =

(− sin θcos θ

)

הבאה: מהצורה תיראה הזאת הטרנספורמציה של מטריצה ולכן

[Tθ] =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)

תחומים: בכמה נתבונן הזאת, הטרנספורמציה של הפעולה את להבין כדי

הזהות. העתקת את נקבל θ = 0 עבור .1

הזהות. העתקת מינוס את נקבל θ = π עבור .2

של הפעלה כלומר, עצמי. וקטור קיים לא 0 ≤ θ < π בתחום θאחר כל עבור .3.∀λ∈z Tθv 6= λvש־ כך בזווית, הווקטור את תזיז וקטור כל על Tθ הטרנספורמציה

הבסיס. וקטורי על θ בזווית סיבוב של התוצאה את בקלות ולראות לשרטט 2כדאי

20

עצמי וערך עצמי וקטור 10

מממד בהכרח לא לינארית, טרנספורמציה T : V → V ותהי ,z מעל וקטורי מרחב V יהיסופי.

שמתקיים: כך λ ∈ z קיים אם ,T של עצמי וקטור נקרא ,v 6= 0 ,v ∈ V הווקטור אזי

Tv = λv

שלו. עצמי ערך הוא המתאים λ-ה כי נאמר עצמי, וקטור הוא v-ש במקרההערך עם עצמי, וקטור הוא ,a 6= 0 ,a ∈ z כאשר ,av גם אז עצמי, וקטור v אם כי לב נשים

:λ העצמי

T (av) = aTv = aλv = λav

עצמיים לווקטורים לכסינות בין הקשר 11

של עצמיים מווקטורים כולו שמורכב בסיס V ל- יש אמ"מ לכסינה T : V → V כלשהי ט"ל.T

הוכחה

זה לבסיס ביחס [T ] כלומר, .T של מלכסן בסיס {v1, ..., vn} כי נניח ראשון: כיוון •אלכסונית. מטריצה היא

איברי על הטרנספורמציה של הפעולה הן לבסיס ביחס ייצוג מטריצת של העמודותמתקיים: ולכן הבסיס,

Tvi =

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0...

.... . .

...

0 0 . . . λn

vi = λivi

עצמיים. וקטורים הם הבסיס וקטורי כלומר,

.Tvi = λivi כלומר עצמיים, וקטורים של בסיס {v1, ..., vn} כי נניח שני: כיוון •היא: מהבסיס וקטור על T הטרנספורמציה פעולת כללי באופן

[T ]v1,...,vn vi =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

an1 an2 . . . ann

vi

21

ונסיק: ,Tvi = λivi משמע עצמיים, וקטורים הם הבסיס שווקטורי ההנחה את נצרף

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

an1 an2 . . . ann

0...

vi...

0

= λivi

לכסינה. מטריצה היא {v1, ..., vn} בבסיס [T ] המטריצה ולכן ,aij = λiδij-ש ומכאן�

אמ"מ ,T של עצמי ערך הוא 0 כי נובע עצמי וערך עצמי וקטור שמהגדרת לב נשים הערההפיכה. ואינה חח"ע אינה T משמע ,KerT 6= 0 כלומר .Tv = ש-0 כך v 6= 0 קיים

דוגמה

לא הגרעין (כלומר פתרון קיים

{ax+ by = 0cx+ dy = 0

מהצורה משוואות למערכת תזכורת:

.ad− bc = 0 כלומר ,

∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = 0 אמ"מ: טריוויאלי),

ללכסון. ניתנת

(3 21 1

)המטריצה האם למשל לבדוק נרצה

שמורכב בסיס לה שנמצא הוא ומספיק הכרחי תנאי כי נובע שהוכחנו האחרונה מהטענהעצמיים. מווקטורים כולו

שמתקיים: כך λ וסקלר

(xy

)וקטורים שני נחפש כלומר,

(3 21 1

)(xy

)= λ

(xy

)=

(λxλy

)

.λ נעלם בתוספת x, y נעלמים בשני משוואות מערכת }זו3x+ 2y = λxx+ y = λy⇓{

(3− λ)x+ 2y = 0x+ (1− λ) y = 0

22

תתאפס: שהדטרמיננטה הוא המערכת של לפתרון שקול שתנאי ∣∣∣∣נזכור 3− λ 21 1− λ

∣∣∣∣ = 0

⇓(3− λ) (1− λ)− 2 · 1 = 0

⇓λ2 − 4λ+ 1 = 0

⇓λ1 = 2 +

√3

λ2 = 2−√

3

הווקטורים את נחפש המטריצה. של העצמיים הערכים כל הם λ1, λ2-ש מצאנו כך אםהבסיס. את לבנות כדי )העצמיים

1−√

31

),

(1 +√

31

)הווקטורים כי ונקבל ,x = − (1− λ) y במשוואה למשל נשתמש

בהתאמה. ,2−√

ו־3 2 +√

3 העצמיים הערכים עם עצמיים וקטורים הם

עצמי לערך שקול אפיון 11.1

.λ ∈ z ויהי ט"ל, T : V → V תהי ,n מממד מ"ו V יהי.Ker (T − λI) 6= {0} אמ"מ ,T של עצמי ערך הוא λ אזי

.Ker (T − λI) המרחב הם λ העצמי הערך בעלי העצמיים הווקטורים שקול: באופן

הוכחה

.(T − λI) (v) = T (v)−λv לכן .λI (v) = λv וכן I (v) = v ולכן היחידה, מטריצת היא Iתנאים שאלו ברור ולכן ,Tv − λv = 0 משמע Tv = λvש־ כך v 6= 0 שקיום לב נשים

שקולים.

מסקנה

לדטרמיננטה). (סימון |T − λI| = 0 אמ"מ T של עצמי ערך הוא λ

נימוק

.KerS = {0} אמ"מ הפיכה, S אמ"מ detS 6= 0 כי כלשהי S מטריצה עבור מתקיים ככללהמסקנה. את ונקבל S = T − λI נציב

עצמי מרחב 11.2

.Ker (T − λI) להיות λ של העצמי המרחב את נגדיר ט"ל. T : V → V ותהי λ ∈ z יהי.Vλ נסמן λ של העצמי המרחב את

האופייני הפולינום 12

(במשתנה |T − λI| = 0 הפולינומיאלית המשוואה של פתרונות הם עצמיים שערכים הראינו.(λ

23

המשוואה את ולקבל ב-1− המשוואה את להכפיל ניתן סקלארים, הם עצמיים שערכים בגלל3.|λI − T | = 0 השקולה

ונסמן: האופייני", "הפולינום הדטרמיננטה מחישוב המתקבל לפולינום נקרא

|T − λI| = fT (λ)

פתרון הוא אמ"מ T של עצמי ערך הוא כלשהו λ כי נאמר שהגדרנו, המונח שעל־פי לב נשיםהאופייני. הפולינום של

הערה

.T את מציגים בו מהבסיס מושפע אינו האופייני הפולינום

הערה

4.1 הוא המוביל כשהמקדם ,z-מ מקדמים עם ,n ממעלה פולינום הוא האופייני הפולינום.(−1)

n |T | הוא האופייני הפולינום של החופשי האיבר כמו־כןב-0. הפולינום ערך הוא פולינום כל של החופשי המקדם ככלל, הוכחה:

ונקבל: ,0 האופייני בפולינום נציב

fT (0) = |0− T | = (−1)n |T |

לכסינה) והמטריצה (במידה מטריצות ללכסון אלגוריתם 13

כך הפיכה, P ומטריצה אלכסונית D מטריצה למצוא נרצה .A ∈ Mn (z) מטריצה נתונהשיתקיים:

D = P−1AP

קיימת האם לבדוק נרצה ולפיכך ההעתקה, אותה את מייצגות דומות מטריצות כי הוכחנולכסינה. A בו בסיס שקיים למסקנה שיוביל מה ,A-ל דומה אלכסונית מטריצה

הפתרונות את ונחלץ ,fA (x) = |A− λI| = 0 הפולינומיאלית המשוואה את נפתור .1.λ1, ..., λr העצמיים הערכים שהם שלה,

הפתרונות מספר ולכן לינארית, משוואה ולא פולינום הוא |A− λI| הביטוי כי לב נשיםאינה המטריצה לינאריים לגורמים מתפרק לא הפולינום אם כמו־כן, מראש. ידוע לא

לכסינה.

עצמי שמרחב נזכור לו. המתאים העצמי המרחב את נחפש שמצאנו, עצמי ערך לכל .2.Vλi = Ker (λiI −A) הוא

בסיס שיהוו עצמיים וקטורים לחלץ כדי הומוגניות לינאריות משוואות במערכת נשתמשהעצמי. למרחב

הקבוצה את נקבל כלומר, לו. מתאים עצמי מרחב עצמי ערך לכל נקבל זה בשלב

.|−A| = (−1)n |A| כי 3נזכור

מתוקן". "פולינום מכונה 1 מוביל מקדם עם 4פולינום

24

הבאה: v11 , ..., v1n1︸ ︷︷ ︸

=basis of Vλ1

, v21 , ..., v2n2︸ ︷︷ ︸

= basis of Vλ2

, ..., vr1, ..., vrnr︸ ︷︷ ︸

= basis of Vλr

.r∑i=1

ni ≤ n כלומר וקטורים.6 n היותר לכל מכילה זו קבוצה 5

קיבלנו ולכן המרחב, מממד הוא שגודלה תלויה בלתי קבוצה קיבלנוr∑i=1

ni = n אם .3

לכסינה. והמטריצה עצמיים וקטורים של בסיס

הווקטורים של מהבסיס המעבר מטריצת כלומר .P = [Id]v11 ,...,v

rnr

e1,...,enמטריצה נבחר .4

למרחבים הבסיסים של הווקטורים הם שעמודותיה הסטנדרטי, לבסיס שמצאנו העצמייםהעצמיים.

מהבסיס בחזרה המעבר מטריצת היא שלה וההופכית הפיכה, כמובן זו מטריצהשמצאנו. העצמיים הווקטורים לבסיס הסטנדרטישחיפשנו: האלכסונית D המטריצה את נקבל לכן

P−1AP = [Id]e1,...,env11 ,...,v

rnr

[A]e1,...,ene1,...,en

[Id]v11 ,...,v

rnr

e1,...,en=

=

λ1 · · · 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0...

. . ....

.... . .

.... . .

.... . .

...

0 . . . λ1 0 . . . 0 . . . 0 . . . 00 . . . 0 λ2 . . . 0 . . . 0 . . . 0...

. . ....

.... . .

.... . .

.... . .

...

0 . . . 0 0 . . . λ2 . . . 0 . . . 0...

. . ....

.... . .

.... . .

.... . .

...

0 . . . 0 0 . . . 0 . . . λn . . . 0...

......

......

......

.... . .

...

0 . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . λn

שלא ייתכן וכן לכסינה, תהיה לא המטריצה ולכן למשוואה פתרונות יהיו שלא ייתכן הערה:בסיס. לבנות כדי וקטורים מספיק יהיו שלא כך עצמיים, וקטורים n יהיו

דוגמה

והאינדקס עצמי, מרחב של בסיס כל וקטורי של הפנימי האינדקס את מסמן 1, ..., ni התחתון 5האינדקס

העצמי. לערך ההשתייכות את מסמן 1 ≤ i ≤ r העליוןבמרחב עצמיים וקטורים n-מ יותר שנקבל ייתכן לא ולכן בלתי־תלויים, הם עצמיים שווקטורים נוכיח 6בהמשך

.n מממד

25

מהצורה: היא T של המטריצה .T : R3 → R3 ,V = R3 נניח a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

עצמיים: ערכים למצוא כדי שפיתחנו בנוסחה ∣∣∣∣∣∣נשתמש

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

− λ 1 0 0

0 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 a13a21 a22 − λ a23a31 a32 a33 − λ

∣∣∣∣∣∣ = 0

שלישית: ממעלה פולינום נקבל שורה, לפי הדטרמיננטה של פיתוח אחרי

−λ3 + ...+ λ2 + ...+ λ = 0

באמצעות למצוא ננסה שאותם עצמיים, לערכים מועמדים יהיו זה פולינום של פתרונותלעיל. המטריצה על־ידי שנתונה הלינארית המשוואות מערכת

פולינומים 14

מהצורה: ביטוי הוא z שדה מעל (רב־איבר) פולינום

p (x) = a0xn + a1x

n−1 + ...+ an−1x+ an

.n ∈ N ,ai ∈ z כאשרמתוקן. שהפולינום נאמר a0 = 1 וכאשר מוביל, מקדם מכונה a0 חופשי. מקדם מכונה an

deg p = מסומנת והיא הפולינום, של ביותר הגבוהה החזקה כמעלת מוגדרת הפולינום דרגת.n

מתקיים: ,0 שאינם פולינומים f, g שעבור לראות קל

deg (fg) = deg f + deg g

חיבור פעולות מוגדרות זה במרחב .z [x]-ב z שדה מעל הפולינומים מרחב את נסמןקומוטטיבי. חוג הוא הפולינומים ומרחב בווקטור, וכפל בסקלאר כפל וחיסור,

שארית. עם חילוק פעולת מוגדרת פולינומים ביןפולינומים. של מנות הם שאיבריו שדה הוא הרציונאליות הפונקציות שדה

רציונאליות פונקציות של שארית עם חילוק 14.1

.g 6= ש-0 כך ,z [x]-ב פולינומים f, g יהיו.f = qg + r-ש כך ,z [x]ב־ פולינומים q, r ויחידים קיימים

.deg r < deg g כאשר

הוכחה

26

.deg g = m ,deg f = n נסמן

קיום: נוכיח •.n על באינדוקציה נוכיח n ≥ m אם וסיימנו. r = f ,q = 0 לבחור ניתן n < m אם

נכונה. שהטענה ולהיווכח לחשב קל n = 1 עבורכאלה. q, r קיימים n− 1 שווה או קטנה ממעלה כלשהו פולינום עבור כי נניח

נסמן:

f(x) = a0xn + a1x

n−1 + ...

g(x) = b0xm + b1x

m−1 + ...

הבא: באופן f1 חדש פולינום נגדיר

f1 = f − a0b−10 xn−m · g

או קטנה דרגה בעל הוא f1 שהפולינום קיבלנו ולכן מתבטל, a0xn שהמונום לב נשיםהבא: באופן אותו להציג ניתן האינדוקציה הנחת ולפי ,n− ל-1 שווה

f1 = q1g + r

.deg r < mש־ כךמתקיים: f הפולינום שעבור נקבל

f = f1+a0b−10 xn−m·g = (q1g + r)+a0b

−10 xn−m·g =

(a0b−10 xn−m + q1

)g+r

כמבוקש. ,f1 של r-ל שווה rו־ ,q = a0b−10 xn−m + q1 שקיימים מצאנו לכן

יחידות: נוכיח •כי: נניח

f = q1g + r1 = q2g + r2

deg r1,deg r2 < m-ש כךונקבל: אגפים נעביר

(q1 − q2) g = r2 − r1

deg ((q1 − q2) g) = deg (q1 − q2)+ גם בהכרח ולכן ,deg (r2 − r1) < m ש- ברור7.deg g < m

,q1 = q2 משמע q1−q2 = 0 היא היחידה שהאפשרות נקבל deg g = m שנתון מכיוון� .r1 = r2 גם כי ברור ומכאן

.f (λ) = 0 אמ"מ f את מחלק x− λ הפולינום אזי .λ ∈ z ויהי פולינום f יהי :1 מסקנה

הוכחה

מ־0. שונים פולינומים עבור רק נכונה זו 7נוסחה

27

.g (x) = x− λ הפולינום את נגדירש: כך q, r שקיימים נובע שהוכחנו מהמשפט

f = qg + r = q (x) (x− λ) + r

r בהכרח ולכן ,deg r < 1 כי זה מקרה נסיק deg r < deg g מתקיים המשפט שלפי מכיוון.r ∈ z משמע ,0 ממעלה פולינום

:λב־ הפולינום את נחשב

f (λ) = g (λ) (λ− λ) + r = r

� .f של מחלק (x− λ) כי מתקיים אמ"מ r = 0 לכן

שלטרנספורמציה נובע מכאן שונים. שורשים n היותר לכל יש n מדרגה לפולינום :2 מסקנההעצמיים הערכים כי עצמיים, ערכים n היותר לכל יש n מממד וקטורי במרחב לינארית

.n ממעלה פולינום היא n× n מטריצה של שבמקרה לדטרמיננטה, כפתרונות מתקבלים

הוכחה

בפולינום בלבד אחת פעם אותו לחלק שאפשר לראות וקל לינארי פולינום זה אז n = 1 אםיחיד. שורש היותר לכל לו יש ולכן ,1 ממעלה� .n לכל הטענה את להסיק קל באינדוקציה

העצמיים הווקטורים אי־תלות 15

.1 ≤ i ≤ r ,T (vi) = λivi-ש כך שלה, עצמיים ערכים λ1, ..., λr כי ונניח T : V → V תהילינארית. תלויים בלתי v1, ..., vr הווקטורים אזי

פתרונות n יש האופייני לפולינום כלומר שונים, עצמיים ערכים n בדיוק יש T ל- אם מסקנהללכסון. ניתנת T אזי שונים,

וקטורים n בת קבוצה מהווים הם כי נובע לינארית, בלתי־תלויים העצמיים שהווקטורים מכךאליו שביחס בסיס שקיים ומכאן ו"ע, של בסיס הם ולכן n מממד וקטורי במרחב בת"ל

לכסינה. המטריצהלכל ביחס לכסינה כמובן היחידה מטריצת למשל כך הכרחי. לא אך מספיק תנאי זה הערה:

.λ = 1 יחיד, פתרון לו יש ולכן (λ− 1)n הוא שלה האופייני הפולינום אולם בסיס,

הוכחה

a1, ..., ar הסלארים קיימים כלומר, לינארית. תלויים v1, ..., vr הווקטורים כי בשלילה נניחש: כך ,0 כולם לא

a1v1 + a2v2...+ arvr = 0

.0 שווים הם שבחלקם ייתכן אולם ,0 שווים הסקלארים כל לא אמנם

28

של המינימלי המספר את ,0 אינם שלהם שהמקדמים הווקטורים קבוצת מתוך נבחר.2 ≤ s ≤ r כאשר ,s-ב אותו ונסמן לינארית, שתלויים הווקטורים

ונקבל: מחדש, ונאנדקס התלות משוואת את מחדש נסדר

a1v1 + a2v2...+ asvs = 0

.0 הם המקדמים כל לא כאשרונקבל: T הטרנספורמציה את נפעיל

T (a1v1 + a2v2...+ asvs) = a1T (v1) + a2T (v2) ...+ asT (vs) =

= a1λ1v1 + a2λ2v2 + ...+ asλsvs = 0

ונקבל: ,λ1-ב אותה ונכפיל a1v1 + a2v2...+ asvs = 0 קודם שקיבלנו המשוואה את ניקח

a1λ1v1 + a2λ1v2...+ asλ1vs = 0

ונקבל: מהאחרת אחת המשוואות שתי את נחסר

[a1λ1v1 + a2λ2v2...+ asλsvs]− [a1λ1v1 + a2λ1v2...+ asλ1vs] = 0

a1 (λ1 − λ1) v1 + a2 (λ2 − λ1) v2 + ...+ as (λs − λ1) vs = 0

a2 (λ2 − λ1) v2 + ...+ as (λs − λ1) vs = 0

תלויה קבוצה v1, ..., vs-ש לכך בסתירה לינארית, תלויים v2, ..., vs הווקטורים כי מצאנו� מינימלית.

ישר סכום 16

שלו. מרחבים תתי U1, ..., Ur ויהיו וקטורי, מרחב V יהילכל אם ישר, סכום הוא W = U1 + ...+Ur = {u1 + ...+ ur|ui ∈ Ui} המרחב כי נאמר

.u1 + ...+ ur כסכום יחידה הצגה יש w ∈W.U1 ⊕ ...⊕ Ur נסמן:

.0 + ...+ 0 כסכום יחידה להצגה ניתן ה-0 וקטור אמ"מ ישר סכום הוא W שקולה: הגדרהניתן 0 הווקטור ובפרט יחידה, להצגה ניתן וקטור כל אז ישר, סכום W כי נניח הוכחה:

יחידה. להצגהw = u1 + ... + ur = כי ונניח w ∈ W יהי אז יחידה, להצגה ניתן 0 הווקטור כי נניח

.u′1 + ...+ u′rיחידה, להצגה ניתן ה-0 שווקטור מכיוון .u1−u′1 + ...+ur−u′r = 0 ונקבל: אגפים נעביר

.ui = u′i שבהכרח הרי

עצמי. ערך הוא λ שעבורם הווקטורים כקבוצת Vλ עצמי מרחב הגדרנו תזכורת:

29

.Ker (T − λI) למרחב: ששקול מרחב זה לעיל שהוכחנו וכפי ,Vλ = {v ∈ V |T (v) = λv} כלומר:

סכום הוא Vλ1+ ...+ Vλr הסכום אזי ,T של שונים עצמיים ערכים λ1, ..., λr אם מסקנה:

ישר.להציג ניתן שבה היחידה שהדרך להראות מספיק קודם, שהוכחנו השקול התנאי לפי הוכחה:

.0 + ...+ 0 היא ה-0 וקטור את,v1 + ...+vr = 0 כלומר ,0 שאינם וקטורים באמצעות 0 את להציג ניתן היה לו כי לב נשיםלמשפט בסתירה לינארית, תלויים עצמיים וקטורים קבוצת נקבל ,0 6= vi ∈ Vλi-ש כך

לעיל. שהוכחנו

30

(מהתרגול) עקבה 17

.A = (aij) ונסמן A ∈Mn (z) תהי עקבה:

.(trace) Tr (A) =

n∑i=1

aii להיות A המטריצה של העקבה את ונסמן נגדיר

העקבה: תכונותלינארי: פונקציונאל היא שהעקבה לראות קל .1

.Tr (αA) = αTr (A) וכן Tr (A+B) = Tr (A) + Tr (B)מטריצות: כפל של בהגדרה שימוש תוך זאת נראה .Tr (AB) = Tr (BA) .2

Tr (AB) =

n∑i=1

(AB)ii =

n∑i=1

n∑k=1

aikbki =

n∑k=1

n∑i=1

bkiaik =

n∑i=1

(BA)ii = Tr (BA)

.Tr (A) = Tr (B) אז דומות, מטריצות A,B-ש כך B = P−1AP כי נניח .3:2 תכונה על־סמך זאת נראה

Tr (B) = Tr(P−1AP

)= Tr

(PP−1A

)= Tr (A)

עצמיים. ערכים λi כאשר ,n∑i=1

λi היא שלה העקבה אז לכסינה, מטריצה A אם .4

,fA (x) = xn+ cn−1xn−1 + ...+ c0 הוא A מטריצה של האופייני הפולינום כי נניח טענה:

מתקיים: אזי

cn−1 = −TrA

c0 = (−1)n

detA

31

(מהתרגול) נילפוטנטיות 18

.T r = ש-0 כך r ∈ N קיים אם נילפוטנטית, T טרנספורמציה כי נאמר נילפוטנטיות:.T של הנילפוטנטיות דרגת T r = 0 שעבורו המינימלי r-ל נקרא

.λ = 0 בהכרח אזי ,r מדרגה נילפוטנטית T של עצמי ערך λ אם טענה:.Tv = λv כלומר .λ הנתון העצמי הערך של עצמי וקטור v 6= 0 יהי הוכחה:

כי: לב נשים

T 2v = T (T (v)) = T (λv) = λλv = λ2v

.T rv = λrv מתקיים כללי באופן כי באינדוקציה לראות וקלכי: מהנילפוטנטיות נסיק

T rv = λrv = 0

.λ = 0 כי נסיק עצמי) וקטור הוא (כי v 6= ש־0 ובגלל

32

אלגברית סגור שדה 19

.f (λ) = 0zש־ כך λ ∈ z קיים f ∈ z [x] לכל אם אלגברית, סגור z כי נאמר שדה. z יהיאלגברית.8 סגור שדה הוא C המרוכבים המספרים שדה כי קובע האלגברה של היסודי המשפט

אלגברית סגור שדה מעל פולינום 19.0.1

הבא: באופן לכתיבה ניתן f ∈ z [x] פולינום כל אזי אלגברית, סגור z כי נניח

f (x) = c (x− λ1) (x− λ2) ... (x− λn)

שווים. ובחלקם שונים בחלקם או שווים שונים, 1 ≤ i ≤ n ,λi כאשר

הוכחה

משמע: ,(x− λ1)-ב מתחלק f אז ,f של שורש λ1 אם כי הוכחנו

f (x) = (x− λ1) f1 (x)

.n-מ קטנה ממעלה פולינום f1 כאשרמשמע: ,λ2 שורש קיים f1 (x) לפולינום גם ולפיכך אלגברית, סגור z כי נתון

f (x) = (x− λ1) (x− λ2) f2 (x)

.f1 ממעלת קטנה ממעלה פולינום f2 כאשרכי: ונקבל ,0 ממעלה לפולינום שנגיע עד הלאה נמשיך

f (x) = (x− λ1) (x− λ2) ... (x− λn) c

�

מסקנה

אחד. עצמי ערך לפחות לה יש אזי אלגברית, סגור שדה מעל לינארית טרנספורמציה T אם

יסודית הערה

של אחד מפירוק ביותר שמופיע λ קיים כלומר מ-1, גדול ריבוי עם שורש יש שבו במקרהשלא. וייתכן לכסינה המטריצה כי ייתכן אז הפולינום,

לכסינה: כנ"ל למטריצה דוגמה

S =

(λ 00 λ

)

בקורס. אותה נלמד ולא לינארית אלגברה על מבוססת לא המשפט של 8ההוכחה

33

לכסינה: שאינה כנ"ל למטריצה דוגמה

T =

(λ 10 λ

)

כלומר, .fT (x) = fS (x) = (x− λ)2 הוא האופייני הפולינום הללו המטריצות שתי עבור

.2 בריבוי שורש הוא λשל בסיס יהוו מהמרחב שנבחר תלויים בלתי וקטורים שני כל S המטריצה שעבור לב נשים

לכסינה. היא ולכן עצמיים, וקטוריםולכן תלויים, בלתי עצמיים וקטורים שני אין T שלמטריצה ולראות לחשב ניתן זאת לעומת

לכסינה. לא היא

טרנספורמציה על פולינום 20

פולינום ויהי לינארית, טרנספורמציה T : V → V ותהי ,n סופי מממד וקטורי מרחב V יהימהצורה: כלשהו

h (x) = arxr + ...+ a1x+ a0

וכפל, חיבור פעולות x מקבלת שהיא המשתנה על מבצעת הפולינום פונקציית כי לב נשיםהמטריצות. במרחב גם היטב מוגדרות אלה ופעולות

החופשי למקדם ולהתייחס ,T הטרנספורמציה של המטריצה את בפולינום להציב ניתן לכן.a0I המטריצה כאל a0

למה

מתקיים:

(h+ g) (T ) = h (T ) + g (T )

(hg) (T ) = h (T ) g (T )

על שמופעל משתנים בשני פולינום כי אחד, במשתנה פולינום עבור רק נכונה הלמה הערהמתקיים. תמיד לא זה ואז מטריצות, של מכפלה שמכיל ביטוי להכיל עלול מטריצה

טענה

.h (T ) = ש-0 כך h פולינום קיים כלומר, אותה. שמאפס פולינום קיים T מטריצה לכל

הוכחה

n2-מ יותר שמכילה קבוצה כל ולכן ,n2 מממד הוא n × n המטריצות מרחב כי הוכחנולינארית. תלויה תהיה מטריצות

הבאות: המטריצות n2 + 1 את נבחר מטריצה, A כי נניח

I, A,A2, ..., An2

34

0 כולם לא a0, a1, ..., an2 המקדמים קיימים כי נובע לינארית תלויה זו שקבוצה מהעובדהשמתקיים: כך

a0I + a1A+ ...+ an2An2

= 0

:n2 ממעלה פולינום לכך בהתאם נגדיר

f (x) = a0 + a1x+ ...+ an2xn2

� אותו. מאפסת A-ש ברור הפולינום של מהבנייה

המינימלי הפולינום 21

מתקיים: אם ,T הטרנספורמציה של מינימלי פולינום הוא m (x) כי נאמר

m (T ) = 0 .1

מתוקן פולינום הוא m (x) .2

T על שמתאפס יותר קטנה ממעלה פולינום אין .3

המינימלי הפולינום ויחידות קיום 21.1

.T על שמתאפס פולינום קיים T שלכל לעיל הראינוהמוביל, במקדם חלוקה באמצעות אותו ונתקן זה את שמקיים המינימלי הפולינום את נבחר

.T של מתוקן פולינום ונקבל

יחיד: המינימלי הפולינום כי נוכיחשניהם של הדרגה כי כי נובע מינימלי פולינום מהגדרת מינימליים. פולינומים m,m∗ כי נניח

ל-1. שווה המוביל והמקדם שווה,המונום מתוקנים פולינומים m,m∗-ש מכיוון .m − m∗ כהפרש שמוגדר בפולינום נתבונן.m,m∗ המינימליים הפולינומים מדרגת יותר נמוכה מדרגה פולינום ומתקבל מתבטל, הראשוןנמוכה מדרגה מינימלי פולינום קיבלנו ולכן ,T על מתאפס זה פולינום שגם ברור שני מצד

� .m = m∗-ש מכאן .m,m∗ הפולינומים מדרגת

אחרים מאפסים פולינומים 21.2

.T של המינימלי הפולינום הוא m כי נניח.m|h אם ורק אם T על מתאפס h הפולינום אזי

הוכחה

מתאפסים m,h הפולינומים אז ,h = mg-ש כך g פולינום קיים כלומר ,m|h אם כי ברוריחד. T על

שמתאפס פולינום h וכי T של המינימלי הפולינום הוא m כי נניח ההפוך: הכיוון את נוכיח.T על

35

פולינומים: חילוק נבצע

h = mg + r

deg r < degm כאשרh (T )︸ ︷︷ ︸=0

= m (T )︸ ︷︷ ︸=0

g (T ) + r (T ) ונקבל: T את הפולינומים בין בשוויון נציב

.r (T ) = 0 גם כי ברור ומכאןקטנה מדרגה פולינום מצאנו אחרת ה-0, פולינום שהוא בהכרח deg r < degmש־ מכיוון

המינימלי. הפולינום הוא m-ש לכך בסתירה ,T על שמתאפס יותר� .h = mgש־ מכאן

המינימלי לפולינום האופייני הפולינום בין הקשר 22

.m (x) המינימלי הפולינום של שורש הוא אז fT (x) האופייני הפולינום של שורש הוא λ אם

למה

p (x) כי ונניח ,λ עצמי ערך עם v עצמי וקטור קיים T נתונה טרנספורמציה עבור כי נניחכלשהו. פולינום

מתקיים: אזי

(p (T )) (v) = p (λ) (v)

של עצמי וקטור גם הוא v אזי ,λ עצמי ערך עם T של עצמי וקטור v אם אחרות: במילים.p (λ) עצמי ערך עם p (T )

הלמה) (של הוכחה

ונחשב: ,p (x) = a0 + a1x+ ...+ arxr הפולינום את נסמן

(p (T )) (v) = (a0I + a1T + ...+ arTr) (v) = a0Iv + a1Tv + ...+ arT

rv =

= a0v + a1λv + ...+ arλrv = p (λ) · v

הוכחה

כ־ האופייני הפולינום את (הגדרנו T של עצמי ערך הוא λ משמע ,fT (λ) = 0 כי נניח.(T של העצמיים הערכים קבוצת היא שלו השורשים קבוצת כי והוכחנו |xI − T |

.Tv = λv משמע .λ עצמי ערך עם עצמי וקטור שהוא v 6= 0 שקיים מכאן

.(m (T )) (v) = 0 גם בפרט ולפיכך ,m (T ) = 0 כי מתקיים המינימלי הפולינום מהגדרת.m (λ) (v) = 0 כי נסיק ולכן ,(m (T )) (v) = m (λ) (v) כי נובע שהוכחנו מהלמה

� המינימלי. הפולינום של שורש הוא λ משמע ,m (λ) = 0 בהכרח ולכן v 6= 0 כי נתון

36

קיילי־המילטון משפט 23

לינארית. טרנספורמציה T : V → V ותהי ,n סופי מממד וקטורי מרחב V יהיכלומר: .T על מתאפס fT (x) = |xI − T | האופייני הפולינום אזי

fT (T ) = 0

האופייני הפולינום את מחלק המינימלי הפולינום :1 מסקנה

בפולינום מתחלק הוא אם ורק אם T על מתאפס כלשהו פולינום כי קבעה קודמת טענההמינימלי.

הפולינום כי נובע ,T על מתאפס האופייני הפולינום כי שקובע קיילי־המילטון ממשפט ולכן:T של האופייני הפולינום את מחלק T של המינימלי

fT (x) = m (x) g (x)

שורשים אותם המינימלי ולפולינום האופייני לפולינום :2 מסקנה

המינימלי. הפולינום של שורשים הם האופייני הפולינום של השורשים שכל לעיל הוכחנונובעת האופייני הפולינום של שורשים הם המינימלי הפולינום של השורשים שכל הטענה

.1 ממסקנה

הערה

fT (x) = האופייני הפולינום הגדרת באמצעות קיילי־המילטון משפט את להוכיח שקל נדמה.|xI − T |

.fT (T ) = |TI − T | = 0 טריוויאלית תוצאה נקבל T את x במקום נציב אם לכאורהולכן סקלארי, משתנה מייצג x-ו טרנספורמציה היא T ש- היא שגויה הוכחה שזו לכך הסיבה

משמעות. חסרת x = T ההצבה

תזכורת

מהצורה: n× n ריבועית מטריצה נתונה

B =

b11 b12 . . . b1j . . . b1nb21 b22 . . . b2j . . . b2n...

.... . .

.... . .

...

bi1 bi2 . . . bij . . . bin...

.... . .

.... . .

...

bn1 bn2 . . . bnj . . . bnn

37

גודל מסדר מטריצה של כדטרמיננטה מוגדר והוא ,Bij מסומן B המטריצה של ij-ה המינורהבא: באופן המוגדרת ,(n− 1)× (n− 1)

Bij =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

b11 b12 . . . [b1j ] . . . b1nb21 b22 . . . [b2j ] . . . b2n...

.... . .

.... . .

...

[bi1] [bi2] . . . [bij ] . . . [bin]...

.... . .

.... . .

...

bn1 bn2 . . . [bnj ] . . . bnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣דטרמיננטה שמתקבלת כך (j-ה והעמודה i-ה (השורה מחוקים שבסוגריים האיברים כאשר

.(n− 1)× (n− 1) מטריצה של

הבא: באופן המוגדרת מינורים, הם שאיבריה מטריצה היא B של הצמודה המטריצה

(adjB)ij = (−1)i+j

Bji

adjB =

B11 −B21 . . . (−1)

n+1Bn1

−B12 B22 . . . (−1)n+2

Bn2...

.... . .

...

(−1)n+1

B1n (−1)n+2

B2n . . . (−1)n+n

Bnn

קובעת: קרמר נוסחת

adj (B)B = |B| I

קיילי־המילטון משפט הוכחת

.A מטריצה באמצעות T את בו ונייצג V למרחב כלשהו בסיס נבחרהוא: האופייני הפולינום

fT (x) = |xI −A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x− a11 −a12 . . . −a1n−a21 x− a22 . . . −a2n...

.... . .

...

−an1 −an2 . . . x− ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.fT (x) = |B|-ש כך B = xI −A נסמן הנוחות לצורך

נתבונן כך לשם .adj (B)B = |B| I = fT (x) I שקובעת קרמר בנוסחת להשתמש נרצה.B של הצמודה במטריצה

המטריצה ולכן ,n− 1 מסדר≤ פולינום שמייצגת דטרמיננטה הוא Bij מינור כל כי לב נשיםפולינומים. הם שאיבריה מטריצה היא adj (B) הצמודה

38

מטריצות.9 הם שלו שהמקדמים x-ב כפולינום לבטא ניתן פולינומים שאיבריה מטריצההבא: באופן המצורפת המטריצה את נבטא לכן

adj (B) = Cn−1xn−1 + Cn−2x

n−2 + ...+ C1x+ C0

.n× n מסדר מטריצה היא Ci כאשרקרמר: נוסחת את נפעיל כעת

adj (B)B = fT (x) I⇓

(Cn−1x

n−1 + Cn−2xn−2 + ...+ C1x+ C0

)· (xI −A) = fT (x) I =

fT (x). . .

fT (x)

מטריצות: הן שמקדמיהם פולינומים בין שוויון קיבלנו

Cn−1xn + (−Cn−1A+ Cn−2)xn−1 + ...+ (−C1A+ C0)x+ (−C0A) = fT (x) I

g (x)h (x) = (gh) (x) השוויון קומוטטיבי, תמיד אינו מטריצות שכפל שמכיוון לב נשים.x במקום מטריצה מציבים אם תמיד תקף אינו

השוויון: מתקיים ,h (x) = Dx ,g (x) = Cx כלשהם פולינומים עבור למשל,

(gh) (x) = CDx2 = CxDx = g (x)h (x)

.CDA2 6= CADA-ש ייתכן כלשהי A מטריצה עבור אולם סקלרים, עבור

למה

הפולינומים: יהיו

g (x) =

k∑i=0

Cixi

h (x) =

l∑j=0

Djxj

.n× n מסדר מטריצות הן Ci, Dj המקדמים כאשר.h (x) הפולינום מקדמי עם מתחלפת A כי ונניח ,n× n מסדר A המטריצה ותהי

.ADj = DjA:מתקיים j לכל כלומר,מתקיים: אזי

(gh) (A) = g (A)h (A)

)9למשל:x+ 2 2xx2 3

)=

(0 01 0

)x2 +

(1 20 0

)x+

(2 00 3

)

39

נימוק

(gh) (A) =∑i,j

CiDjAi+j

g (A)h (A) =∑i,j

CiAiDjA

j =∑i,j

CiDjAiAj =

∑i,j

CiDjAi+j

קל .ADj = DjA כי בלמה שנתונה ההנחה באמצעות מוצדק השנייה בשורה השני השוויון� .Ai עבור גם נכונה זו הנחה כי באינדוקציה להוכיח

המשפט: הוכחת את מסיימת זו שלמה לב נשים,h מקדמי עם מתחלפת A-ש שמכיוון לב ונשים ,h (x) = xI − A ,g (x) = adjB נסמן

מתקיים:

g (A)h (A) = (gh) (A) = fT (A) I

.נסיק: ולכן

h (A) = |AI −A| = 0⇒ fT (A) = 0

�

40

(מהתרגול) גאומטרי וריבוי אלגברי ריבוי 24

λ של האלגברי הריבוי .A של ע"ע λ ויהי מטריצה A ∈ Mn (z) תהי אלגברי: ריבויכך ,k המקסימלי הפעמים מספר כלומר, .fA (x) האופייני בפולינום λ של הריבוי הוא

.fA (x) את מחלק (x− λ)k-ש

.µA (λ) מסומן A מטריצה של λ ע"ע של האלגברי הריבויאזי: ,A ∈Mn (z) של שונים ע"ע λ1, ..., λk אם כי לב נשים הערה:

k ≤k∑i=1

µA (λi) ≤ n

מתקיים: אמ"מ לינאריים, שכולם לגורמים מתפרק fA (x) האופייני הפולינום

k∑i=1

µA (λi) = n

הוא λ של הגאומטרי הריבוי .A של ע"ע λ ויהי מטריצה A ∈Mn (z) תהי גאומטרי: ריבויכלומר: .Vλ העצמי המרחב של הממד

dimKer (λI −A) = dimVλ

.γA (λ) מסומן: A מטריצה של λ ע"ע של הגאומטרי הריבויאזי: ,A ∈Mn (z) של שונים ע"ע λ1, ..., λk אם כי לב נשים הערה:

k∑i=1

γA (λi) ≤ n

וקטורים n של בסיס שקיים אומר זה כי ,k∑i=1

γA (λi) = n אמ"מ לכסינה A כי לב נשים

ללכסינות. שקולה טענה וזו בת"ל, עצמיים.A של ע"ע λ ויהי מטריצה A ∈Mn (z) תהי הגאומטרי: לריבוי האלגברי הריבוי בין הקשר

.γA (λ) ≤ µA (λ) מתקיים אזיזאת ונסמן ,γA (λ) = dimKer (λI −A) מתקיים גאומטרי ריבוי של ההגדרה לפי הוכחה:

.dב־של בסיס להיות אותם נשלים אז ,Ker (λI −A) של בסיס v1, ..., vd הווקטורים כי נניח

הווקטורי: המרחב

v1, ..., vd, vd+1, ..., vn

הבא: באופן p מטריצה נגדיר

p = (v1|...|vd|vd+1|...|vn)

41

מעבר מטריצת והיא שבנינו, המרחב של הבסיס ווקטורי הם שלה שהעמודות מטריצה זו.p = [Id]

viei

הסטנדרטי, לבסיס שבנינו v1, ..., vn מהבסיסשמתקיים: לב ונשים B = p−1Ap נסמן

B =

λ 0 . . . 0 ∗

0 λ . . . 0...

......

. . .... ∗

0 0 0 λ...

0 . . . 0 . . . C

נסמן: כאשר עליונה, משולשית בלוקים מטריצת זו כי לב נשים

Dd×d =

λ 0 . . . 00 λ . . . 0...

.... . .

...

0 0 0 λ

Ed×(n−d) =

∗...∗

F(n−d)×d =(0 . . . 0

)מתקיים: כי ידוע זה מסוג במטריצה

|B| = |C| |D|

מקיים: שלה האופייני הפולינום כי נסיק ולכן

fA (x) = fB (x) =

∣∣∣∣xI −D −E0 xI − C

∣∣∣∣ = (x− λ)dfD (x)

כי: ברור ומכאן

d ≤ µA (λ)

A אז (ממש) γA (λ) < µA (λ) אם .A של ע"ע λ ויהי מטריצה A ∈Mn (z) תהי מסקנה:לכסינה. אינה

.k∑i=1

γA (λi) = n אמ"מ לכסינה A שונים, ע"ע λ1, ..., λk שעבור ראינו נימוק:

מהנתון: נסיק

k∑i=1

γA (λi) <

k∑i=1

µA (λi) ≤ n

42

אלכסונית בלוקים מטריצת של והמינימלי האופייני הפולינום 25(מהתרגול)

מינימלית משותפת כפולה קיימת שלמים מספרים זוג לכל מינימלית: משותפת מכפלה.lcm שמסומנת

כל את את ולוקחים ראשוניים לגורמים אותם מפרקים מספרים, שני של lcm לחשב כדיביותר. הגבוהה החזקה בעלי המשותפים הראשוניים הגורמים

למשל:

lcm (12, 18) = lcm(22 · 31, 21 · 32

)= 22 · 32 = 36

פולינומים p, q ∈ z [x] כי נניח בדומה. מוגדרת פולינומים: של מינימלית משותפת מכפלהתנאים: שני המקיים ,r מתוקן פולינום הוא lcm (p, q) אזי מתוקנים.

.(r (מינימליות .r|l אזי , q|l ∧ p|l גם מקיים l ∈ z [x] אם וכן ,q|r ∧ p|r ראשיתמהצורה: אלכסונית בלוקים מטריצת A ∈Mn (z) תהי משפט:

A =

(B 00 C

)

.C ∈Mn−k (z) ,B ∈Mk (z) כאשר,fA, fB , fC הם A,B,C המטריצות של והמינימליים האופייניים הפולינומים כי ונניח

מתקיים: אזי בהתאמה. mA,mB ,mC

fA = fB · fC

mA = lcm (mB ,mC)

הוכחה:הדטרמיננטה: מתכונות נובעת האופייניים הפולינומים על הטענה

fA (x) = |xI −A| =∣∣∣∣ xI −B 0

0 xI − C

∣∣∣∣ = |xI −B| · |xI − C| = fB (x) · fC (x)

המינימליים. הפולינומים על הטענה את נוכיחכי: מתקיים p ∈ z [x] פולינום לכל כי לב נשים ראשית

p (A) =

(p (B) 0

0 p (C)

)

כי: מתקיים לכן

p (A) = 0 ⇔ p (B) = p (C) = 0

43

.mA = l כי להוכיח יש .l = lcm (mB ,mC) הנוחות לצורך נסמן.l (A) = 0 ומכאן ,l (B) = 0 ∧ l (C) = 0 ולכן ,mB ,mC |l מתקיים lcm מהגדרת

כי להראות נותר יחד. מתאפסים lcm (mB ,mC) והפולינום mA שהפולינום מצאנו כך אםהמינימלי. הפולינום הוא lcm (mB ,mC)

,p (B) = 0 ∧ p (C) = ש-0 מכאן .p (A) = 0 המקיים מ-0, שונה פולינום p ∈ z [x] כי נניח.mB ,mC |p ולכן

.deg l ≤ deg p ולכן l|p אז כך אם כי נובע lcm של מתכונהמקיים: A ∈Mn (z) מטריצה של האופייני הפולינום כי נניח הערה:

fA (x) =

k∏i=1

(x− λi)si

ש: כך 1 ≤ ri ≤ si קיימים בהכרח ,mA|fA וגם fA שורשי כל את מכיל mA-ש מכיוון

mA (x) =

k∏i=1

(x− λi)ri

לגורמים מתפרק המינימלי הפולינום אמ"מ לכסינה A אזי .A ∈ Mn (z) תהי משפט:אחד. מריבוי הם השורשים כל כלומר, שונים. לינאריים

שונים) לינאריים לגורמים מתפרק הפ"מ ⇐ (לכסינות הוכחה:אותו דומות ולמטריצות ,D כלשהי אלכסונית למטריצה דומה היא משמע לכסינה, A אם

מינימלי. פולינוםשחלקם גם (ייתכן λi נמצאים שלה שבאלכסון אלכסונית מטריצה היא D אם כי נסיק

הוא: D-ו A של המשותף המינימלי הפולינום אז פעמים), כמה מופיעים

mA (x) = mD (x) =

k∏i=1

(x− λi)

לכסינות) ⇐ שונים לינאריים לגורמים מתפרק (הפ"מ הוכחה:להסיק וקל ,dimKer (BA) ≤ dimKer (A) + dimKer (B) כי נובע סילבסטר ממשפט

כי: באינדוקציה

dimKer

(k∏i=1

Bi

)≤

k∑i=1

dimKer (Bi)

נסיק: ולכן ,mA (x) =

k∏i=1

(x− λi) כי נתון

n = dimKer (mA (A)) = dimKer

(k∏i=1

(A− λi)

)≤

≤k∑i=1

dimKer (A− λi) =

k∑i=1

γA (λi) ≤ n

הגאומטרי. לריבוי באשר לעיל שהראינו כפי לכסינה, A משמע ,k∑i=1

γA (λ) = n ש- מכאן

44

III חלק

פנימית מכפלה מרחבי

הקדמה 26

.R,C השדות מעל וקטוריים במרחבים רק נעסוק זה בנושא שדות: •

(או האורך ,v =

(xy

),v ∈ V וקטור עבור אלה, במרחבים וקטור: של אורך\נורמה •

מהצורה: אי־שלילי ממשי מספר הוא v של הנורמה)

‖v‖ =√x2 + y2

כאשר ,r, θ קוטביות בקואורדינטות v את לבטא נרצה אם קוטביות: קואורדינטות •אז השעון), כיוון (נגד xה־ לציר ביחס הזווית היא θו־ הווקטור של האורך הוא r

הבאה: המעבר נוסחת מתקיימת

x = r cos θ

y = r sin θ

הטריגונומטרית: לזהות לב נשים ההפרש: זווית •

cos (θ1 − θ2) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2

הפרש קוסינוס ,v2 =

(x2y2

),v1 =

(x1y1

)וקטורים שני נתונים אם כי נסיק מכאן

מקיים: θ = θ1 − θ2 שנסמן הזוויות

cos θ = cos (θ1 − θ2) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 =

=x1r1

x2r2

+y1r1

y2r2

=x1x2 + y1y2

r1r2=x1x2 + y1y2‖v1‖ · ‖v2‖

הסקלארית המכפלה ,v2 =

(x2y2

),v1 =

(x1y1

)וקטורים שני נתונים סקלארית: מכפלה •

להיות: מוגדרת שלהם

v1v2 = x1x2 + y1y2

ממשי.] ערך תמיד מחזירה שהיא מכיוון סקלארית נקראת זו [מכפלההווקטור: של האורך היא בעצמו וקטור של הסקלארית המכפלה ששורש לב נשים

√vv =

√xx+ yy =

√x2 + y2 = ‖v‖

כך: v1, v2 הווקטורים שני בין ההפרש זווית קוסינוס את לסמן נוכל זה באופן

cosv1v2 =v1v2

‖v1‖ · ‖v2‖

45

ממשי פנימית מכפלה מרחב 27

.R מעל וקטורי מרחב V יהי(, ) : V × V → R פונקציה קיימת אם ממשי, פנימית מכפלה מרחב הוא V כי נאמראת המקיימת ,(u, v) ∈ R שיסומן ממשי מספר u, v ∈ V וקטורים זוג לכל המתאימה

הבאות: התכונות

הראשון: במשתנה לינאריות .1

(u1 + u2, v) = (u1, v) + (u2, v)

a ∈ R עבור הראשון: במשתנה הומוגניות .2

(au, v) = a (u, v)

סימטריות: .3

(u, v) = (v, u)

חיוביות: .4

∀u 6= 0 (u, u) > 0

סטנדרטית פנימית מכפלה

הבאה: הפונקציה היא V = Rn על סטנדרטית פנימית מכפלה x1

...

xn

,

y1...

yn

= x1y1 + ...+ xnyn

:ai > 0 עבור שמקיימת פונקציה היא הסטנדרטית הפנימית המכפלה של פשוטה הכללה x1

...

xn

,

y1...

yn

=

n∑i=1

aixiyi

46

נוספת דוגמה

,[a, b] הסגור בקטע הרציפות הפונקציות אוסף שזה ,V = C [a, b] על פנימית מכפלההבא: באופן המוגדרת

(f, g) =

bˆ

a

fgdx

הערה

פונקציונאל להגדיר ניתן מסוים. וקטור v0 ∈ V ויהי ,(, ) פנימית מכפלה נתונה כי נניחהבא: באופן T לינארי

T (v) = (v, v0)

מאפיינים 27.1

מתקיים: .1

(0, u) = 0

הוכחה:

(0, u) = (0 + 0, u) = (0, u) + (0, u)

השני, במשתנה גם והומוגנית לינארית הפנימית המכפלה כי מיד נובע מהסימטריות .2בילינארית. היא פנימית מכפלה ולכן

מתקיים: אם לזה זה ניצבים u, v ∈ V וקטורים שני כי מגדירים .3

(u, v) = 0

.u ⊥ v ומסמנים

הבא: באופן v ∈ V וקטור של אורך מגדירים .4

‖v‖ =√

(v, v)

.√x2 + y2-ל זהה הגדרה זו סטנדרטית פנימית מכפלה שעבור לב נשים

הבא: באופן וקטורים שני בין הפרש של זווית מגדירים .5

cosu, v =(u, v)

‖u‖ · ‖v‖

47

(בממשיים) קושי־שוורץ אי־שוויון 27.2

מתקיים: u, v ∈ V לכל אזי 10,R מעל פנימית מכפלה מרחב V כי נניח

|(u, v)| ≤ ‖u‖ · ‖v‖

הוכחה

פנימית: מכפלה תכונות לפי ונחשב ממשי, משתנה t כאשר u+ tv בווקטור נתבונן

0 ≤ ‖u+ tv‖2 = (u+ tv, u+ tv) = (u, u) + (u, tv) + (tv, u) + (tv, tv) =

= (u, u) + 2t (u, v) + t2 (v, v) = ‖u‖2 + 2t (u, v) + t2 ‖v‖2

,c = ‖u‖2 ,b = 2 (u, v) ,a = ‖v‖2 כאשר ,c+ bt+ at2 מהצורה ריבועית פונקציה קיבלנו.0 שלה≤ הדיסקרימיננטה ולכן ,0 ≤ c+ bt+ at2 שמקיימת

מכך: נסיק

(2 (u, v))2 − 4 ‖v‖2 ‖u‖2 ≤ 0⇓

4 (u, v)2 ≤ 4 ‖v‖2 ‖u‖2⇓

|(u, v)| ≤ ‖v‖ ‖u‖

�

ממשית לממ"פ הקוסינוסים משפט 27.3

‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2 ‖u‖ · ‖v‖ · cosuv

הוכחה

פנימית: מכפלה תכונות לפי נחשב

‖u+ v‖2 = (u+ v, u+ v) = (u, u) + (u, v) + (v, u) + (v, v) =

= ‖u‖2 + 2 · (u, v) + ‖v‖2 = ‖u‖2 + 2 ‖u‖ · ‖v‖ (u, v)

‖u‖ · ‖v‖+ ‖v‖2 =

= ‖u‖2 + 2 ‖u‖ · ‖v‖ · cosuv + ‖v‖2

� פיתגורס. משפט את מקבלים ((u, v) = 0 (כלומר ניצבים u, v אם כי לב נשים

פנימית מכפלה מרחב עבור אותו נוכיח זה בשלב אולם ,C מעל פנימית מכפלה במרחב גם נכון זה 10אי־שוויון

ממשי.

48

מרוכב פנימית מכפלה מרחב 28

.C מעל וקטורי מרחב V יהי(, ) : V × V → C פונקציה קיימת אם מרוכבת, פנימית מכפלה מרחב הוא V כי נאמראת המקיימת ,(u, v) ∈ C שיסומן מרוכב מספר u, v ∈ V וקטורים זוג לכל המתאימה

הבאות: התכונות

הראשון: במשתנה לינאריות .1

(u1 + u2, v) = (u1, v) + (u2, v)

a ∈ C עבור הראשון: במשתנה הומוגניות .2

(au, v) = a (u, v)

הרמיטיות:11 .3

(u, v) = (v, u)

חיוביות: .4

∀u 6= 0 (u, u) > 0

מספרים של רק תכונה וזו ,(u, u) = (u, u)-ש נובע במרוכבים המ"פ מהרמיטיות הערהממשי. מספר מחזירה עצמו עם וקטור של הפנימית שהמכפלה מכאן ממשיים.

סטנדרטית פנימית מכפלה

הבאה: הפונקציה היא V = Cn על סטנדרטית פנימית מכפלה z1

...

zn

,

w1

...

wn

= z1w1 + ...+ znwn

.z = x− iy המרוכב המספר להיות ומוגדר מסומן ,z = x+ iy מרוכב מספר של המרוכב 11הצמוד

49

מאפיינים 28.1

הבא: באופן v ∈ V וקטור של אורך מגדירים .1

‖v‖ =√

(v, v)

השני: במשתנה גם לינארית הפנימית המכפלה כי נובע מההרמיטיות .2

(u, v1 + v2) = (v1 + v2, u) = (v1, u) + (v2, u) = (u, v1) + (u, v2)

השני: במשתנה אנטי־הומוגנית היא הפנימית המכפלה כי נובע מההרמיטיות .3

(u, av) = (av, u) = a (v, u) = a(v, u) = a (u, v)

מתקיים: גם וכך

‖au‖ =√

(au, au) =√aa (u, u) = |a|

√(u, u) = |a| · ‖u‖

מרוכבת לממ"פ הקוסינוסים משפט 28.2

‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + 2Re (u, v) + ‖v‖2

הממשי החלק הוא Re (u, v) אז ,(u, v) = x− iyש־ כך (u, v) = x+ iy נסמן אם כאשר.x

הוכחה

פנימית: מכפלה של תכונות לפי נחשב

‖u+ v‖2 = (u+ v, u+ v) = (u, u) + (u, v) + (v, u) + (v, v) =

= ‖u‖2 + (u, v) + (u, v) + ‖v‖2 = ‖u‖2 + (x+ iy) + (x− iy) + ‖v‖2 =

= ‖u‖2 + 2x+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + 2Re (u, v) + ‖v‖2

�

הכללי) (המקרה קושי־שוורץ אי־שוויון 28.3

מתקיים: u, v ∈ V לכל אזי ,z = C או z = R מעל פנימית מכפלה מרחב V כי נניח

|(u, v)| ≤ ‖u‖ · ‖v‖

.u = λv-ש כך λ ∈ z קיים אמ"מ מתקיים ושוויון

50

הוכחה

החלש) השוויון אי של (הוכחה ראשון: חלק12.u =

u

‖u‖הבא: באופן u הווקטור בכיוון היחידה וקטור את ונגדיר נסמן

חדש: וקטור נגדיר

u0 = (v, u) · u =(v, u)

‖u‖· u

‖u‖=

(v, u)

(u, u)· u

נסמן:

w = v − u0 = v − (v, u)

(u, u)· u

:w ⊥ u כי נראה

(w, u) =

(v − (v, u)

(u, u)· u, u

)= (v, u)−

((v, u)

(u, u)· u, u

)=

= (v, u)− (v, u)

(u, u)· (u, u) = (v, u)− (v, u) = 0

עצמו: השוויון אי את נוכיח כעת

0 ≤ ‖w‖2 = (w,w) =

(v − (v, u)

(u, u)· u, v − (v, u)

(u, u)· u)

=

=

(v − (v, u)

(u, u)· u, v

)+

(v − (v, u)

(u, u)· u,− (v, u)

(u, u)· u)

=

=

(v − (v, u)

(u, u)· u, v

)− (v, u)

(u, u)·(v − (v, u)

(u, u)· u, u

)=

=

(v − (v, u)

(u, u)· u, v

)− (v, u)

(u, u)· 0 = (v, v)− (v, u)

(u, u)· (u, v) =

= (v, v)− (u, v)

(u, u)· (u, v) = (v, v)− |(v, u)|2

(u, u)

ש: מכאן

.‖u‖ = ש־1 ולראות לחשב 12קל

51

0 ≤ (v, v)− |(v, u)|2

(u, u)⇓

|(v, u)|2 ≤ (v, v) · (u, u) = ‖v‖2 · ‖u‖2⇓

|(v, u)| ≤ ‖v‖ · ‖u‖

(u = λv אמ"מ מתקיים ממש ששוויון (הוכחה שני: חלקהבאות: השקילויות מתקיימות כי לב נשים

‖w‖ = 0m

v =(v, u)

(u, u)· u

m∃λ ∈ z u = λv

�

המשולש אי־שוויון 28.3.1

מתקיים: u, v ∈ V לכל אזי ,z = R,C מעל פנימית מכפלה מרחב V כי נניח

‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖

.u = λv-ש כך 0 < λ ∈ z קיים אמ"מ מתקיים ושוויון

הוכחה

נחשב:

‖u+ v‖2 = (u+ v, u+ v) = (u, u) + (v, u) + (u, v) + (v, v) =

= ‖u‖2 + 2Re (v, u) + ‖v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2 |(v, u)|+ ‖v‖2 ≤

≤ ‖u‖2 + 2 ‖u‖ · ‖v‖+ ‖v‖2 = (‖u‖+ ‖v‖)2

אז במרוכבים מדובר אם הסימטריה. בגלל בממשיים מדובר אם ברור השלישי השוויוןכי: נובע מההרמיטיות

(v, u) + (u, v) = (v, u) + (v, u) = 2Re (v, u)

שוורץ. קושי מאי־שוויון נובע האחרון האי־שוויון

52

ונקבל: שורש נוציא

‖v + u‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖

.u = λv כי נובע שוורץ קושי מאי־שוויון אז שוויון, מתקיים אם כי לב נשיםגם: נסיק

Re (u, v) = |(u, v)|⇓

Re (λv, v) = |(λv, v)|⇓

Reλ (v, v) = |λ| (v, v)⇓

λ > 0

מטרי מרחב 28.3.2

d מרחק פונקציית כלומר, מטריקה. לה קיימת אם מטרי, מרחב נקראת X כלשהי קבוצההבא: באופן x, y ∈ X זוג לכל שמוגדרת

d (u, v) = ‖u− v‖

הבאות: התכונות את ומקיימת

.u = v אמ"מ מתקיים ושוויון d (u, v) ≥ 0 .1

d (u, v) = d (v, u) .2

d (u,w) ≤ d (u, v) + d (v, w) .3

הערה

מרחבים הם R,C מעל פנימית מכפלה שמרחבי לראות ניתן שהוכחנו, המשולש מאי־שוויוןמטריים.

ההפוך המשולש אי־שוויון 28.3.3

מתקיים: u, v ∈ V לכל אזי ,z = R,C מעל פנימית מכפלה מרחב V כי נניח

‖u+ v‖ ≥ |‖u‖ − ‖v‖|

הוכחה

53

המשולש: מאי־שוויון נסיק .u = (u+ v)− v שמתקיים לב נשים

‖u‖ = ‖(u+ v)− v‖ ≤ ‖u+ v‖+ ‖v‖⇓

‖u‖ − ‖v‖ ≤ ‖u+ v‖

גם: מתקיים כי ידוע הסימטריות מתכונת

‖v‖ − ‖u‖ ≤ ‖u+ v‖

המוחלט: הערך שהוא מביניהם, המקסימום את ניקח ולכן

|‖u‖ − ‖v‖| ≤ ‖u+ v‖

�

כללית פנימית מכפלה 29

(גרמיאן) גרם מטריצת 29.1

בסיס. {e1, ..., en}-ו dimV = n וכי ,z = R,C מעל ממ"פ V כי נניחשניים על הפנימית המכפלה הפעלת הוא שלה הכללי שהאיבר כמטריצה גרם, מטריצת נגדיר

כלומר: הבסיס. מאיברי

aij = (ei, ej)

מהצורה: תיראה A גרם שמטריצת כך

A =

(e1, e1) (e1, e2) . . . (e1, en)(e2, e1) (e2, e2) . . . (e2, en)

......

. . ....

(en, e1) (en, e2) . . . (en, en)

הפנימית: המכפלה את מאפיינת גרם מטריצת למה נסביר

הבא: באופן הבסיס איברי של כצ"ל שמיוצגים u, v ∈ V הווקטורים נתונים כי נניח

u =

n∑i=1

aiei v =

n∑j=1

bjej

שמתקיים: נסיק פנימית מכפלה של וההומוגניות מהלינאריות

(u, v) =

n∑i=1

aiei,

n∑j=1

bjej

=

n∑i=1

n∑j=1

aibj (ei, ej) =

=

n∑i=1

ai (ei, ej)

n∑j=1

bj = (a1, ..., an)A

b1...

bn

54

המתאימה. A גרם מטריצת מהי לקבוע הוא ,(u, v) ערך את לקבוע כדי שנשאר מה כלומר,לב: נשים

סימטרית. נקראת A זה במקרה .At = A ולכן (ei, ej) = (ej , ei) אז z = R אם •

הרמיטית. נקראת A זה במקרה .At = A ולכן (ei, ej) = (ej , ei) אז z = C אם •

גרם־שמידט של האורתוגונליזציה תהליך 30

אורתונורמליות 30.1

.dimV = n-ו ממ"פ V כי נניחוקטורים זוג לכל אם אורתונורמלית, מערכת היא {e1, ..., ek} ⊂ V וקטורים שקבוצת נאמר

מתקיים: ei, ej

(ei, ej) = δij

קרונקר. של הדלתא היא δij כאשרהקבוצה: על דרישות שתי מציב למעשה זה תנאי

ניצבים. יהיו שהם כלומר ,(ei, ej) = 0 יתקיים שונים וקטורים שני שלכל הוא הראשון.‖ei‖ =

√(ei, ei) = 1 ולכן (ei, ei) = 1 כי ,1 תהיה וקטור כל של שהנורמה הוא השני

אורתונורמלי. בסיס היא כי נאמר בסיס, היא {e1, ..., en} האורתונורמלית המערכת אם

עזר טענות 30.2

אורתונורמלית. מערכת {e1, ..., ek} וכי ממ"פ, V כי נניח

1 למה

הבא: באופן המערכת של כצ"ל מיוצג v כלשהו וקטור אם

v =

k∑i=1

aiei

מתקיים: אזי

ai = (v, ei)

הוכחה:

(v, ei) =

k∑j=1

ajej , ei

=

k∑j=1

aj (ej , ei) =

k∑j=1

ajδij = ai

2 למה

55

לינארית. בלתי־תלויה קבוצה היא אורתונורמלית מערכת

מתקיים: כי נובע 1 מטענה .k∑i=1

aiei = 0 כי נניח הוכחה:

ai = (0, ei) = 0 · (0, ei) = 0

3 למה

האורתונורמלית, המערכת על v של הניצבת ההטלה כווקטור u ∈ V את נגדיר ,v ∈ V יהיהבא: באופן

u =

k∑i=1

(v, ei) ei

אזי: ,w = v − u נסמן∀i ei ⊥ w א.

פיתגורס) משפט של (הכללה ‖v‖2 = ‖w‖2 +

k∑i=1

|(v, ei)|2 ב.

ולכן: ,(v, ei) = (u, ei) אז u =

k∑i=1

(v, ei)ei שאם נובע 1 מלמה (א) הוכחה:

(w, ei) = (v − u, ei) = (v, ei)− (u, ei) = 0

(ב) הוכחה:

‖v‖2 = (v, v) = (u+ w, u+ w) =

= (u, u) + (u,w) + (w, u) + (w,w) =

= (u, u) + 0 + 0 + (w,w) = ‖u‖2 + ‖w‖2

שהתקבל: ‖u‖2 האיבר את נחשב

‖u‖2 = (u, u) =

k∑i=1

(v, ei) ei,

k∑j=1

(v, ej) ej

=

=

k∑i.j=1

(v, ei)(v, ej) (ei, ej) =

k∑i.j=1

(v, ei) · (v, ej) · δij =

=

k∑i=1

|(v, ei)|2

56

ש: ומכאן

‖v‖2 = ‖w‖2 +

k∑i=1

|(v, ei)|2

�

(Bessel בסל, (אי־שוויון 4 למה

‖v‖2 ≥k∑i=1

|(v, ei)|2

האחרונה. מהלמה נובע זה אי־שוויון ולכן ‖w‖2 ≥ ש־0 לב נשים

5 למה

בסל באי־שוויון אמ"מ V של אורתונורמלי בסיס היא {e1, ..., ek} האורתונורמלית המערכתמתקיים: כלומר, שוויון. יש

w = u− v = 0

.‖w‖ = ש-0 כךמתקיים: אמ"מ כלומר,

v =

k∑i=1

(v, ei) ei

,v =

k∑i=1

aiei לינארי כצירוף להצגה שניתן v שעבור ראינו 1 בלמה ראשון) (כיוון הוכחה:

.v =

k∑i=1

(v, ei) ei = u השוויון מתקיים

המערכת, של צ"ל הוא v ∈ V כל אזי ,V של אורתונורמלי בסיס {e1, ..., ek} כי נתון אם לכן.u = v מתקיים תמיד ולכן

,‖w‖ = 0 כי נובע 3 שבלמה מהשוויון אזי שוויון, יש בסל באי־שוויון אם שני) (כיוון הוכחה:.V את פורשת האורתונורמלית המערכת ולכן ∀v∈V v ∈ Span {e1, ..., ek} כלומר

בסיס. היא ולכן בת"ל, היא אורתונורמלית מערכת כל כי נובע 2 מלמה�

האורתוגונליזציה תהליך 30.3

המרחב. של בסיס היא אם שלמה, נקראת אורתונורמלית מערכת הגדרה

כלשהו. בסיס v1, ..., vn ויהי פנימית, מכפלה מרחב z = R,C מעל מרחב V יהי משפט

הבא: באופן e1, ..., en וקטורים אינדוקטיבית נגדיר

57

e1 =v1‖v1‖

.1

הבא: באופן e∗k+1 וקטור־עזר נגדיר מוגדרים, e1, ..., ek הווקטורים כי נניח .2

e∗k+1 = vk+1 −k∑i=1

(vk+1, ei) ei

מוגדר: ek+1 והווקטור

ek+1 =e∗k+1∥∥e∗k+1

∥∥שהגדרנו: e1, ..., en המערכת עבור מתקיים אזי

.V של אורתונורמלי בסיס e1, ..., en .1

כי: k לכל מתקיים שלב בכל .2

Span {e1, ..., ek} = Span {v1, ..., vk}

מתקיים 1 ≤ i ≤ k לכל אזי בעצמה, אורתונורמלית מערכת כבר היא v1, ..., vk אם .3.ei = vi

(באינדוקציה) הוכחה

בעיה מעוררת לא ek+1 =e∗k+1

‖e∗k+1‖של k + ה-1 בשלב ההגדרה כי לב נשים ראשון: חלק

ב-0. חלוקה שלהווקטור כי ,vk+1 /∈ Span {v1, ..., vk} מתקיים התהליך הגדרת שלפי היא לכך הסיבה

.v1, ..., vn לבסיס שייך vk+1

בזה. לחלק וניתן ‖vk+1‖ 6= 0 גם ולכן vk+1 6= ש-0 מכאן

.k = 1 עבור הטענה את נוכיח שני: חלקוקטור מקבלים ,e1 = v1

‖v1‖ ומגדירים v1 נתון אם כי מתקיימת, הטענה k = 1 עבור.(e1, e1) = 1 מתקיים הפנימית המכפלה מתכונות כי עצמו, עם אורתונורמלי

אורתונורמלית, מערכת v1 אם וכן ,Span {e1} = Span{

v1‖v1‖

}= Span (v1) מתקיים כמו־כן

.e1 = v1‖v1‖ = v1 אז ,‖v1‖ = 1 מתקיים כלומר

.k + ל-1 נכונותה את גוררת כלשהו k-ל הטענה נכונות כי נוכיח שלישי: חלק.U = Span {e1, ..., ek} ונסמן כלשהו, k עבור נכונה הטענה כי נניח

e∗k+1 = vk+1−k∑i=1

(vk+1, ei) · ei שנגדיר הווקטור עבור כי נובע לעיל שהוכחנו 3 מלמה .1

מתקיים:

e∗k+1 ⊥ U

58

מתקיים: 1 ≤ i ≤ k לכל ולכן

e∗k+1 ⊥ ei

מתקיים: ,e∗k+1 של בסקלר כפולה שהוא ,ek+1 =e∗k+1

‖e∗k+1‖הווקטור עבור שגם ומכאן

ek+1 ⊥ ei

אורתונורמלית. מערכת היא e1, ..., ek, ek+1 המערכת ולכן

.Span (v1, ..., vk) = Span {e1, ..., ek} כי נובע האינדוקציה מהנחת .2האינדוקציה מהנחת ולכן ,ek+1 ∈ Span {e1, ..., ek, vk+1} כי נובע ek+1 מהגדרת

.ek+1 ∈ Span {v1, ..., vk, vk+1} כי נסיק.Span {v1, ..., vk, vk+1} = Span {e1, ..., ek, ek+1} מתקיים לכן

1 ≤ i ≤ k לכל אזי אורתונורמלית, מערכת v1, ..., vk אם כי נובע האינדוקציה מהנחת .3.ei = vi מתקיים

ולכן אורתונורמלית, מערכת שזו בגלל 1 ≤ i ≤ k לכל (vk+1, ei) = 0 כי לב נשיםנסיק:

e∗k+1 = vk+1 −k∑i=1

(vk+1, ei) ei = vk+1

ek+1 = כי נסיק ולכן ,‖vk+1‖ = 1 אז אורתונורמלית למערכת שייך vk+1 ומכיוון� .vk+1

בסיס קיים ממ"פ לכל בסיס, כל על גרם־שמידט תהליך את להפעיל שניתן מכיוון מסקנהיחיד). בהכרח (לא אורתונורמלי.

פרסוול משפט 31

מתקיים: u, v ∈ V לכל אזי ,V ממ"פ של א"נ בסיס e1, ..., en כי נניח

(u, v) =

n∑i=1

(u, ei) (v, ei)

הוכחה

הם: הבסיס וקטורי באמצעות v, u של הייצוגים כי נניח

u =

n∑i=1

aiei

v =

n∑j=1

bjej

59

כי: נובע לעיל הראשונה מהלמה

ai = (u, ei)

bj = (v, ej)

מכך: נסיק

(u, v) =

n∑i=1

aiei,

n∑j=1

bijej

=

n∑i=1

n∑j=1

aibj (ei, ej) =

=

n∑i=1

n∑j=1

aibjδij =

n∑i=1

aibi =

n∑i=1

(u, ei) · (v, ei)

�

הניצב המשלים 32

מ"פ. אותה עם תמ"ו, U כי ונניח ממ"פ, V יהילהיות: מוגדר U של הניצב המשלים

U⊥ ≡ {v ∈ V |∀u ∈ U (u, v) = 0}

.U של הווקטורים לכל שניצבים V ב- הווקטורים כל קבוצת כלומר,

תכונות

תמ"ו הוא U⊥ .1

U ∩ U⊥ = {0} .2

U ⊆ U⊥⊥ .3

הוכחה

אזי: u ∈ U וכי ,v1, v2 ∈ U⊥ כי נניח .1

(u, a1v1 + a2v2) = a1 (u, v1) + a2 (u, v2) = 0 + 0 = 0

.a1v1 + a2v2 ∈ U⊥ ולכן u ∈ U לכל נכון זה שוויון

.v = 0 כי נובע הפנימית המכפלה מאקסיומות .(v, v) = 0 אז ,v ∈ U ∩U⊥ כי נניח .2

.U⊥ לווקטורי שניצבים הווקטורים מרחב הוא U⊥⊥ .3מקיימים v ∈ U⊥ וקטור וכל u ∈ U וקטור שכל להוכיח צריך ההכלה, את להוכיח כדי

.(v, u) = 0השוויון: מתקיים v ∈ U⊥ לכל אזי u ∈ U כי נניח

(v, u) = (u, v) = 0

�

60

מתקיים: ,dimV = n <∞ אם משפט

V = U ⊕ U⊥ .1

dimV = dimU + dimU⊥ .2

U = U⊥⊥ .3

הוכחה

כלומר ,w ⊥ U ,u ∈ U כאשר ,v = u + w מהצורה יחיד פירוק קיים v ∈ V לכל .113.w ∈ U⊥

סכום זה ולכן ,{0} הוא שלהם שהחיתוך נובע 2 מתכונה .V = U + U⊥-ש מכאןישר.

המשפט. של 1 מחלק ישירות נובע .2

.dimU⊥ = n− k כי נובע המשפט של 2 מחלק .dimV = n-ו dimU = k כי נניח .3מתקיים: U בתפקיד U⊥ שכאשר U⊥⊥ לגבי ונסיק המשפט של 2 חלק את שוב נפעיל

.dimU⊥⊥ = n− (n− k) = kנובע הממדים משוויון ולכן ,U ⊆ U⊥⊥ ההכלה את ראינו הניצב המשלים בתכונות

� המרחבים. בין שוויון

.3 בלמה לעיל 13הוכחנו

61

IV חלק

מכפלה במרחבי לינאריות טרנספורמציותפנימית

פנימית מכפלה במרחב לינארי פונקציונאל 33

.(, ) פנימית מכפלה עם מרחב V כי ונניח z = R,C כי נניחמהצורה: טרנספורמציה ונגדיר v0 ∈ V וקטור נקבע

ϕv0 (u) = (u, v0)

ראשונה תכונה

.ϕv0 ∈ V ∗ כלומר לינארי. פונקציונאל היא ϕv0 הטרנספורמציה

הוכחה

ולכן בשדה, סקלרים הם שלה הערכים כי נובע פנימית מכפלה באמצעות ϕv0 של מההגדרהפונקציונאל. זה

הלינאריות: את נוכיח

ϕv0 (u1 + u2) = (u1 + u2, v0) = (u1, v0) + (u2, v0) = ϕv0 (u1) + ϕv0 (u2)

ϕv0 (au) = (au, v0) = a (u, v0) = aϕv0 (u)

שנייה תכונה

הדואלי המרחב של e∗1, ..., e∗n הדואלי הבסיס אזי ,V של אורתונורמלי בסיס e1, ..., en אם

.e∗i = ϕei מקיים V∗

הוכחה

ϕei (ej) = (ej , ei) = δij = e∗i (ej)

במרחב. וקטור לכל מתקיים השוויון ,e1, ..., en בסיס אותו על ϕei = e∗i כי שמצאנו מכיוון

v 7→ ϕv הפונקציה 33.1

.ϕv הפונקציונאל את וקטור לכל שמתאימה זו כלומר ,v 7→ ϕv בפונקציה נתבונן.V ∗ לבין V בין ועל חד־חד־ערכית פונקציה זו

.z = C עבור איזומורפיזם 'קוואזי' והיא z = R עבור איזומורפיזם היא זו פונקציה

62

הבאות: התכונות שתי את מקיימת זו פונקציה למה

ϕv1+v2 (u) = (u, v1 + v2) = (u, v1) + (u, v2) = ϕv1 (u) + ϕv2 (u)

ϕav (u) = (u, av) = a (u, v) = aϕv

הוכחה

בתכונות ונשתמש אגפים נעביר .u ∈ V לכל (u, v1) = (u, v2) כי נניח חח"ע: •.u ∈ V לכל (u, v1 − v2) = 0 כי ונסיק הפנימית, המכפלה

נובע הפנימית המכפלה מתכונות .(v1 − v2, v1 − v2) = 0 ונקבל u = v1− v2 נבחר.v1 = v2 ולכן v1 − v2 = 0 בהכרח כזה במקרה כי

מקרים. בשני נדון על: •התכונות (לפי לינארית טרנספורמציה והיא חח"ע, v → ϕv הפונקציה אזי z = R אם

על. היא ולכן ,(dimV = dimV ∗) שווי־ממד מרחבים בין בלמה) שהזכרנוכלשהו פ"ל λ ∈ V ∗ כי נניח כעת .e1, ..., en אורתוגונלי בסיס נבחר z = C אם

.λ =

n∑i=1

aie∗i הבא: באופן הבסיס של כצ"ל שמתקבל

ונקבל: ,v =

n∑i=1

aiei כצ"ל שמתקבל זה ,v ∈ V מתאים וקטור נבחר

ϕv (u) = (u, v) =

(u,

n∑i=1

aiei

)=

n∑i=1

aiϕei (u) =

n∑i=1

aie∗i (u) = λ (u)

[.e∗i = ϕei שהוכחנו מהתכונה נובע הרביעי [השוויוןזו ולכן ,ϕv = λ-ש כך מתאים v וקטור קיים λ פונקציונאל שלכל מצאנו כך אם

� על. העתקה

14T ∗ צמודה דואלית לינארית טרנספורמציה 34

הבא: בפונקציונאל נתבונן פנימית. מכפלה במרחב ט"ל T : V → V תהי

ϕv (Tu) = (Tu, v)

מתקיים: שעבורו יחיד, v′ ∈ V שקיים נובע הקודם מהמשפט

(Tu, v) = (u, v′)

כטרנספורמציה ביניהם ההתאמה את ונסמן נגדיר ולכן ,v ושל Tu של פונקציה הוא v′ הווקטורהצמודה: הדואלית הלינארית

T ∗v = v′

כך ,T ∗v וקטור v ∈ V לכל מתאימה פנימית, מכפלה שבהינתן טרנספורמציה, קיבלנו.(Tu, v) = (u, T ∗v)-ש

.6 בסעיף שהגדרנו הטרנספורמציה לא זו הזהים, והסימון השם 14למרות

63

לינארית. טרנספורמציה היא T ∗ למה

הוכחה

נחשב:

(u, T ∗ (v1 + v2)) = (Tu, v1 + v2) = (Tu, v1) + (Tu, v2) =

= (u, T ∗v1) + (u, T ∗v2) = (u, T ∗v1 + T ∗v2)

(u, aT ∗v) = a (u, T ∗v) = a (Tu, v) = (Tu, av) = (u, T ∗ (av))

�

הצמודה הדואלית הט"ל של המטריצה 34.1

אזי ,e1, ..., en אורתונורמלי בבסיס [T ] = A = (aij)1≤i,j≤n המטריצה נתונה כי נניחכי: מתקיים

[T ∗] = A∗ = At = (a∗kl)1≤k,l≤n

.a∗kl = alk מתקיים במטריצה איבר לכל כאשר

הוכחה

הנתון: הא"נ בבסיס T, T ∗ הטרנספורמציות את נסמן

Tej =

n∑i=1

aijei

T ∗el =

n∑k=1

a∗klek

ונחשב:

alj =

n∑i=1

aij (ei, el) =

(n∑i=1

aijei, el

)= (Tej , el) =

= (ej , T∗el) =

(ej ,

n∑k=1

a∗klek

)=

n∑k=1

a∗kl (ej , ek) = a∗jl

�

T 7→ T ∗ הפונקציה 34.2

מהצורה פונקציה היא הצמודה, הדואלית הט"ל את T ט"ל לכל שמתאימה "?" הפונקציההמקיימת: ,? : Hom (V, V )→ Hom (V, V )

64

(T + S)∗

= T ∗ + S∗ .1

(aT )∗

= aT ∗ .2

(TS)∗

= S∗T ∗ .3

T ∗∗ = T .4

ועל. חח"ע פונקציה זו .5

הוכחה

.1(u, (T + S)

∗v)

= ((T + S)u, v) = (Tu, v) + (Su, v) =

= (u, T ∗ (v)) + (u, S∗ (v)) = (u, T ∗ (v) + S∗ (v))

.2(u, (aT )

∗(v))

= ((aT )u, v) = a (Tu, v) = a (u, T ∗ (v)) = (u, aT ∗ (v))

.3(u, (TS)

∗(v))

= ((TS)u, v) = (Su, T ∗ (v)) = (u, (S∗T ∗) v)

.4

(u, T ∗∗v) = (T ∗u, v) = (v, T ∗ (u)) = (Tv, u) = (u, Tv)

ולכן ,T ∗∗ = T ו- S∗∗ = S כי נובע 4 מסעיף .T ∗∗ = S∗∗ גם אזי T ∗ = S∗ כי נניח .5חח"ע. והפונקציה T = S

ממדים). משיקולי (למשל על. פונקציה זו כי נובע T = T ∗∗ מהנתון כמו־כן

�

מכונה שהראינו, 3, 4 תכונות את המקיימת Hom (V, V ) על לינארית טרנספורמציה הערהאינוולוציה. 'קוואזי' היא T 7→ T ∗ הפונקציה אינוולוציה.

65

בולטות דוגמאות 34.3

ב-◦90: סיבוב של בטרנספורמציה נתבונן סטנדרטית. מ"פ עם ,V = R2 נגדיר .1

[Tθ] =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)לפי א"נ), בסיס (שהוא הסטנדרטי בבסיס T ∗θ הדואלית הטרנספורמציה את נמצא

הטריגונומטריות: הפונקציות בתכונות ונשתמש ,[T ∗] המטריצה עבור הנוסחה

[T ∗θ ] =

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)= [T−θ]

מתקיים: הזו, הטרנספורמציה עבור כלומר,

(Tθu, v) = (u, T ∗θ v) = (u, T−θv)

גזירות שהן f : R→ R הממשיות הפונקציות כל מרחב להיות V וקטורי מרחב נגדיר .2קומפקטי.15 תומך ובעלות סדר, מכל

להיות: f, g ∈ V של פנימית מכפלה נגדיר

(f, g) =

∞

−∞

fgdx

להיות: D : V → V לינארית טרנספורמציה נגדיר

D (f) =d

dxf

.D∗ = −D המקיימת ,D∗ מתאימה דואלית טרנספורמציה קיימת טענה

לשם ,(D (f) , g) = (g,−D (g)) = − (f,D (g)) שמתקיים להראות צריך הוכחההשקולה: הטענה את נוכיח כך

(D (f) , g) + (f,D (g)) = 0⇔ limR→∞

R

−R

(f ′g + fg′) dx = 0

האינטגרל ולכן ,fg היא הקדומה הפונקציה בחלקים אינטגרציה שלפי לב נשיםהוא:

f (R) g (R)− f (−R) g (−R) = 0

.f =

{0 x /∈ [−R,R]

not 0 x ∈ [−R,R]ש: ∞כך > R ∈ R קיים אם קומפקטי, תומך כבעלת מוגדרת f 15פונקציה

66

T ∗ של והתמונה T של הגרעין בין הקשר 34.4

מתקיים אזי ט"ל, T : V → V כי ונניח ,dimV = n < ∞ סופי מממד ממ"פ V כי נניח.KerT = (ImT ∗)

⊥

הוכחה

,v ∈ V ויהיו ,u, v ∈ V לכל (Tu, v) = (u, T ∗ (v)) כי ונניח ט"ל, T : V → V תהי.u ∈ KerT

.KerT ⊆ (ImT ∗)⊥ כי נראה ראשית .1

כי: נובע u ∈ KerT ש- מכך

(u, T ∗v) = (Tu, v) = (0, v) = 0

KerT ב- וקטור שכל נסיק הניצב המשלים של ההגדרה לפי ולכן ,u ⊥ T ∗ (v)-ש מכאן16.(ImT ל-⊥(∗ שייך

נסיק: ולכן ,[T ∗] = A∗ = At אז A = [T ] אם כי נובע שהוכחנו ממשפט .2

dim ImT ∗ = rankcolumns (A∗) = rankcolumns (At) =

= rankraws (At) = rankcolumns (A) = dim ImT

שמתקיים: ונסיק הממדים משפט את נצרף

dimKerT = n− dim ImT =

= n− dim ImT ∗ = dim (ImT ∗)⊥

ההוכחה, של 1 בחלק שהוכחנו ומההכלה ,dimKerT = dim (ImT ∗)ש-⊥ מכאן

� שווים. הללו המרחבים כי נסיק

פנימית מכפלה במרחבי טרנספורמציות של מיוחדות משפחות 35

לעצמה) (צמודה סימטרית/הרמיטית טרנספורמציה 35.1

כלומר .T = T ∗ אם לעצמה", "צמודה ט"ל היא T : V → V כי נאמר ממ"פ. V יהי.(Tu, v) = (u, Tv)

לעצמה צמודה ט"ל z = C וכאשר "סימטרית", מכונה לעצמה צמודה ט"ל z = R כאשר"הרמיטית". מכונה

.A = At היא: לעצמה צמודה טרנספורמציה של המטריציונית שהמשמעות לב נשים 1 תכונהלעצמה צמודה ט"ל אם ולכן ,aii = aii מתקיים הרמיטית בטרנספורמציה גם בפרט

ממשיים. שלה המטריצה אלכסון איברי

עבור אזי ,λi האיברים נמצאים שלה שבאלכסון כך אלכסונית מטריצה A אם 2 תכונהλi ∈ R אמ"ם הרמיטית היא z = C עבור כמו־כן סימטרית. בהכרח היא z = R

.i לכל

לגביהם. תקפות הניצב המשלים אודות שהוכחנו הטענות ולכן וקטוריים, מרחבים הם והתמונה שהגרעין 16נזכור

67

.|z|2 = zz ,Im (z) = z−z2i ,Re (z) = z+z

2 כי לב נשים 3 תכונהמרוכבים. איברים בעלות למטריצות גם מכך להשליך ניתן

לעצמן: צמודות הן TT ∗ ,T + T ∗ שהטרנספורמציות מכאן נסיק

(T + T ∗)∗

= T ∗ + T ∗∗ = T ∗ + T

(TT ∗)∗

= T ∗∗T ∗ = TT ∗

לעצמה: צמודה T−T∗2i הטרנספורמציה גם מרוכב שבממ"פ לב )נשים

T − T ∗

2i

)∗=T ∗ − T ∗∗

−2i=T ∗ − T−2i

=T − T ∗

2i

באופן ,X,Y טרנספורמציות באמצעות C מעל T טרנספורמציה כל לפרק ניתן מסקנההבא:

T =T + T ∗

2+ i

(T − T ∗

2i

)= X + iY

לעצמן. צמודות ט"ל X,Y לעיל, שהראינו וכפי

הריבועית התבנית

להיות מוגדרת שלה הריבועית שהתבנית בילינארית, תבנית זו .B (u, v) = (Tu, v) נגדיר.Q (u) = B (u, u)

טרנספורמציות של מתכונות הנובעת קשורה, טענה נוכיח וכעת בהמשך, הנושא על נלמדלעצמן. צמודות

אזי: , T = T ∗ או z = C אם ט"ל. T : V → V וכי ממ"פ V כי נניח טענה

∀u∈V (Tu, u) = 0⇒ T ≡ 0

הוכחה

עבור שגם בפרט נובע (Tu, u) = 0 מתקיים V ב- וקטור שלכל מהנתון שימושי: טריק .1.∀w∈V (Tw,w) = 0 מתקיים w = u+ v להיות שמוגדר וקטור כל

מכך: נסיק

(Tw,w) = (T (u+ v) , u+ v) = (Tu+ Tv, u+ v) =

= (Tu, u) + (Tu, v) + (Tv, u) + (Tv, v) = 0 + (Tu, v) + (Tv, u) + 0 =

= (Tu, v) + (Tv, u)

בטענה: שמופיעים התנאים בשני בנפרד נדון

68

ונקבל: iv את v במקום ונציב טריק באותו שוב נשתמש ,z = C אם .2

0 = (Tw,w) = (Tiv, u) + (Tu, iv) =

= i (Tv, u) + i (Tu, v) = i (Tv, u)− i (Tu, v)

(כי שהתקבלה למשוואה ונשווה הראשון, בסעיף שקיבלנו המשוואה את i-ב נכפיל:(0 שוות שתיהן

i (Tu, v) + i (Tv, u) = i (Tv, u)− i (Tu, v)⇓

2i (Tu, v) = 0⇓

(Tu, v) = 0

.T = 0 בהכרח אז ,u, v ∈ V לכל מתקיים שזה מכיוון

ההוכחה: של הראשון בסעיף שקיבלנו המשוואה עבור נסיק ,T = T ∗ נניח .3

0 = (Tu, v) + (Tv, u) = (Tu, v) + (v, T ∗ (u)) =

= (Tu, v) + (v, Tu) = (Tu, v) + (Tu, v)

נסיק שהתקבל מהשוויון ולכן נעלם, המדומה האיבר שלו הצמוד עם מספר של בסכום� .Re (Tu, v) = 0 כי

C-ב לעצמה צמודה טרנספורמציה של שקול אפיון

ט"ל. T : V → V ותהי ,z = C מעל ממ"פ V יהי.∀v∈V (Tv, v) ∈ R אמ"מ T = T ∗ אזי

ראשון) (כיוון הוכחה

אזי: ,T = T ∗ כי נניח

(Tv, v) = (v, T ∗v) = (v, Tv) = (Tv, v)

ממשי. בהכרח הוא שלו לצמוד ששווה מספר

שני) (כיוון הוכחה

.T − T ∗ = 0 שקול ובאופן T = T ∗ שמתקיים להוכיח נרצה .∀v∈V (Tv, v) ∈ R כי נניחמספיק ולכן ,T = 0 ⇐ ∀u∈V (Tu, u) = 0 מתקיים C-ב כי הראינו הקודם במשפט

:((T − T ∗) (v) , v) = 0 כי להראות

((T − T ∗) (v) , v) = (Tv − T ∗v, v) = (Tv, v)− (T ∗v, v) =

= (Tv, v)− (v, Tv) = (Tv, v)− (Tv, v) =(Tv,v)∈R

0

�

69

.λ ∈ R אזי ,v ו"ע עבור T של ע"ע λ וכן T = T ∗ אם מסקנה

לב: נשים .(Tv, v) ∈ R אז T = T ∗ אם כי הוכחנו הוכחה

(Tv, v) = (λv, v) = λ (v, v)

17.λ ∈ R כי נסיק 0 6= (v, v) ∈ R-ש מכיוון

אורתוגונלית/אוניטרית טרנספורמציה 35.2

"אוניטרית" או z = R אם "אורתוגונלית" נקראת T ט"ל. T : V → V ותהי ממ"פ V יהימתקיים: אם ,z = C אם

∀u,v∈V (Tu, Tv) = (u, v)

שקולים אפיונים

שקולים: הבאים התנאים

אורתוגונלית/אוניטרית T .1

אורך) משמרת T (כלומר ∀u∈V ‖Tu‖ = ‖u‖ .2

(T−1 = T ו-∗ הפיכה T (כלומר, T ∗T = I .3

אחר. אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי בסיס כל מעבירה T .4

של פרטי (מקרה אחר. אורתונורמלי לבסיס מסוים אורתונורמלי בסיס מעבירה T .5הקודם). התנאי

כי: נובע נורמה של הגדרה ולפי ,(Tu, Tu) = (u, u) ונקבל u = v נבחר (2⇐ 1) הוכחה

‖Tu‖2 = ‖u‖2 ⇒ ‖Tu‖ = ‖u‖

.(T ∗T )− I = 0 השקולה הטענה את נוכיח (3⇐ 2) הוכחהלב: נשים

((T ∗T )− I)∗

= T ∗T ∗∗ − I∗ = T ∗T − I

לפי ,0 שהיא להראות כדי ולכן לעצמה, צמודה T ∗T − I שהטרנספורמציה מכאן:∀v∈V ((T ∗T − I) (v) , v) = ש-0 להראות מספיק קודם משפט

((T ∗T − I) (v) , v) = ((T ∗T ) (v) , v)− (v, v) = (Tv, Tv)− (v, v) = 0

בהכרח סדר, יחס מוגדר לא המרוכב שבשדה ומכיוון ,∀v∈V (v, v) > 0 היא מרוכבת מ"פ של התכונות 17אחת

.∀v∈V (v, v) ∈ R

70

שמתקיים: לראות קל (1⇐ 3) הוכחה

(Tu, Tv) = ((T ∗T ) (u) , v) = (u, v)

אזי: אורתונורמלי, בסיס e1, ..., en כי נניח (4⇐ 1) הוכחה

(Tei, T ej) = (ei, ej) = δij

אורתונורמלי. לבסיס מעבירה בהכרח הטרנספורמציה לכן

.4 תנאי של פרטי מקרה הוא 5 תנאי (5⇐ 4) הוכחה

אורתונורמלי, לבסיס e1, ..., en האורתונורמלי הבסיס את מעבירה T כי נניח (1⇐ 5) הוכחהאורתונורמלי. בסיס הוא Te1, ..., T en כלומר

,v =

n∑j=1

bjej הא"נ: הבסיס באמצעות אותם נבטא כלשהם, וקטורים u, v ∈ V יהיו

ונקבל: ,u =

n∑i=1

aiei

(Tu, Tv) =

n∑i=1

aiTei,

n∑j=1

bjTej

=

n∑i=1

n∑j=1

aibj (Tei, T ej) =

=

n∑i=1

n∑j=1

aibjδij =

n∑i=1

n∑j=1

aibj (ei, ej) =

n∑i=1

aiei,

n∑j=1

bjej

= (u, v)

�

אורתוגונלית/אוניטרית מטריצה 35.2.1

.AA∗ = AAt = I אם אורתוגונלית/אוניטרית, תיקרא ממשית/מרוכבת An×n מטריצה

דוגמה

נדרוש: אורתוגונלית, תהיה A2×2 שמטריצה כדי ,V = R2 )עבורa bc d

)(a cb d

)=

(1 00 1

)⇓ a2 + b2 = 1

c2 + d2 = 1ac+ bd = 0

71

המקיימות: θ, ϕ הזוויות קיימות ולכן היחידה, מעגל על וקטורים (c, d)-ו (a, b)-ש מכאן

a = cos θ b = sin θ

c = cosϕ d = sinϕ

השלישית: במשוואה נציב

cos θ cosϕ+ sin θ sinϕ = 0⇓

cos (θ − ϕ) = 0

נקבל: ,A במטריצה הפתרונות את נציב אם .θ − ϕ = ±π2 פתרונות: שני שקיימים מכאן

A1 =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)

A2 =

(cos θ sin θsin θ − cos θ

)שיקוף מטריצת היא השנייה והמטריצה ,θ בזווית סיבוב מטריצת היא הראשונה המטריצה

.θ בזווית לישר ביחסהמטריצה בהכרח וקטורים, זוג כל בין (=ניצבות) האורתוגונליות על לשמור כדי כלומר,

לישר. ביחס אותו משקפת או המרחב כל את מסובבת

תכונות

.|detA| = 1 בהכרח אזי אורתוגונלית/אוניטרית, מטריצה A אם 1 תכונה

נחשב: הוכחה

AA∗ = I ⇒ detA · detA∗ = 1

,detA = detA∗ כי נסיק הדטרמיננטה, על משפיע לא וטרנספוז A∗ = At-ש ובגללל-1. מוחלט בערך שוות ששתיהן ומכאן

.|λ| = 1 מקיים T של λ ע"ע כל אזי אורתוגונלית/אוניטרית, מטריצה A אם 2 תכונה

ולכן: אורתוגונלית/אוניטרית, A כי נתון .Tv = λv-ש כך v ו"ע עם ע"ע λ כי נניח הוכחה

(v, v) = (Tv, Tv) = (λv, λv) = λλ (v, v)

אורתוגונלית/אוניטרית. T−1 גם אזי אורתוגונלית/אוניטרית, T אם 3 תכונה

צריך זה במקרה לכן .T ∗ = T−1 הוא לאורתוגונלית/אוניטרית שקול תנאי כי ראינו הוכחה.(T−1

)∗=(T−1

)−1= T להראות

נסיק: T ∗ = T−1 מהנתון

T ∗ = T−1 ⇒ TT ∗ = I ⇒(T−1

)∗= T

72

אורתוגונלית/אוניטרית. TS גם אזי אורתוגונליות/אוניטריות, T, S כי נניח 4 תכונה

הוכחה

(TS)∗

= S∗T ∗ = S−1T−1 = (TS)−1

לאורתוגונליות/אוניטריות שקול אפיון 35.2.2

של אורתונורמלי בסיס מהוות שלה העמודות אמ"מ אורתוגונלית/אוניטרית, היא A מטריצהסטנדרטית. פנימית למכפלה ביחס Cn/Rn

הוכחה

בסיס מעבירה המטריצה אם הוא אורתוגונלית/אוניטרית, היא שט"ל לכך שקול שתנאי ראינואחר. אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי

.Te1, ..., T e2 הן שלה שהעמודות לב ונשים סטנדרטי, בבסיס Cn/Rn במרחב T ט"ל נגדיר� אורתונורמלי. בסיס עצמן אלה עמודות כי נובע שהזכרנו השקול מהתנאי

כי: אורתוגונלית/אוניטרית, T ∗ אמ"מ אורתוגונלית/אוניטרית T ש- לב נשים מסקנה

TT ∗ = I ⇒ T ∗T = I ⇒ T ∗T ∗∗ = I

⇔ אורתוגונלית/אוניטרית A∗ ⇔ אורתוגונלית/אוניטרית A כי להסיק נוכל לכןא"נ. בסיס הן A של השורות ⇔ א"נ בסיס הן A∗ של העמודות

נורמלית טרנספורמציה 35.3

.T ∗T = TT ∗ מתקיים אם נורמלית, נקראת בממ"פ T ט"ל.T ∗T = TT ∗ אז ,A אלכסונית מטריצה באמצעות מיוצגת T שט"ל נתון אם כי לב נשים

ולכן המטריצה, את משנה לא הטרנספורם אלכסונית שהמטריצה שמכיוון היא לכך הסיבה.A∗ = A-ש כך ,A = At

.AA = AA מתקיים ולכן שלה הצמודה עם מתחלפת אלכסונית מטריצה כל כן, כמו

73

(מהתרגול) המיוחדות הטרנספורמציות של סיכום 35.4

נורמלית אורתוגונלית/אוניטרית סימטרית/הרמיטית

T∗T = TT∗ T∗ = T−1 T∗ = T הגדרה2(Tv, Tw) = (T∗ (v) , T∗ (w)) 1(Tv, Tw) = (v, w) (Tv,w) = (v, Tw) מ"פ

6 ניצבים. שונים, ע"ע של 5ו"ע .T∗-ל ע"ע λ⇔T ל- ע"ע λ 4|λ| = 1 ע"ע כל ממשי3 הוא ע"ע כל ע"ע7 סימטרית. T אם R ועל ,C על אלכסונית A קיימת A∗ = A−1 A∗ = A מטריצה

פרטיים מקרים הן אורתוגונלית/אוניטרית וט"ל סימטרית/הרמיטית שט"ל לב נשים הערה:נורמלית. ט"ל של

הוכחות:(Tv, Tw) = (v, T ∗T (w)) =

(v, T−1T (w)

)= (v, w) .1

.‖Tv‖ = ‖v‖ כלומר ,(Tv, T, v) = (v, v) מתקיים: שבפרט לב נשים(Tv, Tw) = (v, T ∗T (w)) = (v, TT ∗ (w)) = (T ∗ (v) , T ∗ (w)) .2

.‖Tv‖ = ‖T ∗ (v)‖ כלומר ,(Tv, Tv) = (T ∗ (v) , T ∗ (v)) מתקיים שבפרט לב נשים.KerT = KerT ∗ גם גורר שקיבלנו שהשוויון גם לב נשים

,λ (v, v) = (λv, v) = (Tv, v) = (v, Tv) = (v, λv) = λ (v, v) אזי: λ של ו"ע v אם .3.λ ∈ R ולכן ,λ = λ-ש ומכאן

ומכאן ,λλ (v, v) = (λv, λv) = (Tv, Tv) = (v, v) אזי: ,λ הע"ע של ו"ע v יהי .4.√λλ = |λ| = 1

נורמלית.א T − λI גם אזי נורמלית, T אם כי לב נשים .T של ע"ע λ יהי .5:2 שבהוכחה המסקנה לפי ככלל מתקיים T)∥∥לכן ∗ − λI) v∥∥ = ‖(T − λI) v‖

יחד. מתאפסים הביטויים ששני ומכאןשמתקיים: כך ,T של שונים ע"ע λ, µ יהיו .6

Tv = λv

Tw = µw ⇒ T ∗w = µw

נחשב:

(Tv,w) = (v, T ∗ (w)) = (v, µw) = µ (v, w)and

(Tv,w) = (λv,w) = λ (v, w)⇓

λ = µ

ניצבים. הם ולכן (v, w) = 0 בהכרח ולכן ,λ 6= µ להנחה בסתירההספקטרלי המשפט .7

המקיימת מתחלפת, ט"ל שזו ולראות לחשב קל ומכאן ,(T − λI)∗ = T ∗ − λI שמתקיים לראות אאפשר

.(T − λI)∗ (T − λI) = (T − λI)∗ (T − λI)

74

הספקטרלי הפירוק משפט 35.5

הבאות: האפשרויות משתי אחת המקיימת T נורמלית טרנספורמציה לכל

.C מעל V פנימית מכפלה במרחב T .1

.V פנימית מכפלה במרחב לעצמה צמודה T .2

שבו אורתונורמלי בסיס קיים כלומר, עצמיים. וקטורים של אורתונורמלי בסיס קייםאלכסונית. המטריצה

לפחות קיים ,C מעל או לעצמה וצמודה R מעל או שהיא לינארית טרנספורמציה לכל 1 למהמ-0. שונה אחד, עצמי וקטור

.fT (x) = |xI − T | האופייני הפולינום של פתרונות הם העצמיים הערכים הוכחהלפחות יש פולינום לכל אלגברית סגור שדה שזה מכיוון אז ,C מעל במרחב הט"ל אם

מתאים. ו"ע עם אחד ע"ע לפחות קיים ולכן אחד, פיתרוןונסמן ,C מעל האופייני הפולינום של השורש את נבחר ,R מעל במרחב הט"ל אם

.λ ∈ C אותועם T ∗ של ע"ע הוא λ כי ידוע כמו־כן .T = T ∗ משמע לעצמה צמודה שהט"ל נתון

ו"ע. אותווקיים האופייני, לפולינום ממשי פתרון קיים ולכן ,λ ∈ R בהכרח ולכן ,λ = λ כי נסיק

מתאים. ו"ע עם אחד ע"ע לפחות

.RT = TR כלומר .T עם המתחלפת ט"ל R ותהי כלשהי, ט"ל T : V → V תהי 2 למהכלומר: .R תחת אינווריאנטיים W = ImT ,U = KerT המרחבים תתי אזי

R (U) ⊆ U

R (W ) ⊆W

נסיק: .u ∈ KerT = U יהי הוכחה

T ◦Ru = R ◦ Tu = 0⇒ Ru ∈ U

נסיק: .Tv = w-ש כך v ∈ V קיים כלומר, .w ∈ ImT = W יהי

Rw = R ◦ Tv = T ◦Rv ∈W

.T ∗T = TT ∗ אז T = T ∗ אם כי לעצמה, צמודה טרנספורמציה היא זו לתכונה דוגמהמתקיים: אז אורתוגונלית/אוניטרית, T אם כן, כמו

TT ∗ = TT−1 = I = T−1T = T ∗T

אזי: ,V בממ"פ ט"ל T תהי 3 למה

KerT ∗ = (ImT )⊥

כלומר:

∀v∈V (Tv, u) = 0⇔ T ∗u = 0

75

אזי: u ∈ KerT ∗ יהי הוכחה

(v, T ∗u) = 0⇒ (Tv, u) = 0⇒ u ⊥ Tv

.KerT ∗ ⊆ (ImT )ש-⊥ ומכאן ,u ∈ (ImT )

⊥ ולכן ,Tv לכל נכון זהשווים: הממדים כי נראה

dimKerT ∗ = n− dim ImT ∗ = n− dim ImT = dim (ImT )⊥

הממדים. ממשפט נובע הראשון [השוויוןש: מכך נובע השני השוויון

dim ImT ∗ = rankcolumns (A∗) = rankcolumns (At) =

= rankraws (At) = rankcolumns (A) = dim ImT

[.V = ImT ⊕ (ImT )ש-⊥ מכך נובע השלישי השוויון

.KerT ∗ = (ImT )⊥ כי נסיק שווים, הממדים וגם KerT ∗ ⊆ (ImT )

ש-⊥ מכיוון

אזי: לעצמה, צמודה ט"ל T אם מסקנה

V = KerT ⊕ ImT

כך ותמונה, הגרעין כסכום V של ייצוג כלומר, .V של אורתוגונלי ישר סכום זה כאשר.(u,w) = 0 מתקיים w ∈ ImT ,u ∈ KerT שלכל

.V = ImT ⊕ (ImT )⊥ גם ובפרט ,V = U ⊕U⊥ מתקיים U ⊆ V תת־מרחב לכל הוכחה

.KerT = KerT ∗ = (ImT )⊥ מתקיים לעצמה צמודה ט"ל שעבור נובע מהלמה

.V = ImT ⊕KerT ונקבל השוויונים שני את נציב

מתקיים: בממ"פ 4 למה

KerT = Ker (T ∗T ) .1

ImT = Im (TT ∗) .2

ש: כך S לעצמה צמודה ט"ל קיימת אזי נורמלית, T אם .3

ImT = ImS

KerT = KerS

אורתוגונלי)18 ישר (סכום V = KerT ⊕ ImT אזי נורמלית, T אם .4

הוכחה

w ∈ ImT ,u ∈ KerT שלכל כך ותמונה, הגרעין כסכום V של ייצוג הוא V של אורתוגונלי ישר 18סכום

.(u,w) = 0 מתקיים

76

.KerT ⊆ Ker (T ∗T ) ולכן ,T ∗T את מאפס הוא אז T את מאפס v ∈ V שאם ברור .1כי: נסיק ,T ∗Tv = 0 כי נניח ההפוך, בכיוון

0 = (T ∗Tv, v) = (Tv, Tv)⇒ Tv = 0

.2

ImT = (KerT ∗)⊥

= (Ker (TT ∗))⊥

= Im (TT ∗)

.3 מלמה נובע הראשון [השוויוןהטענה. של 1 מסעיף נובע השני השוויון

[.3 מלמה נובע השלישי השוויון

לעצמן.19 צמודות T ∗T ,TT ∗ הטרנספורמציות כי מתקיים שתמיד לב נשים .3הטענה של 1, 2 מסעיפים ונקבל S = T ∗T = TT ∗ נגדיר נורמלית, T כי נתון אם לכן

.S של המבוקשות התכונות את

V = KerS⊕ImS מתקיים לעצמה צמודה S ט"ל עבור כי נובע 3 למה של מהמסקנה .4את נסיק 3 בסעיף שהוכחנו והתמונות הגרעינים של ומהשוויון אורתוגונלי), ישר (סכום

המבוקש.

(dimV = n על (באינדוקציה הספקטרלי המשפט הוכחת

תנאי את המקיימת ט"ל T כי נניח מטריצות): של (בשפה להוכחה לא־פורמלית הקדמההמשפט.

באמצעות מיוצגת [T ] המטריצה זה שבבסיס כך א"נ, בסיס שקיים באינדוקציה להראות נרצההבא: באופן λ1, ..., λn הע"ע

[T ] =

λ1 . . .

λk

0

0

λk+1

. . .

λn

.1 שממדו מרחב עבור טריוויאלי באופן נכון המשפט כי נראה 1 בשלב

השמאלי־עליון, הבלוק של האלכסון את שממלאים λ1, ..., λk ע"ע שקיימים נוכיח 2 בשלב20.Vλ עצמי מרחב של בנייה באמצעות

הימני־עליון. הבלוק אל הימני־תחתון מהבלוק חורג שלא V ⊥λ מרחב שקיים נוכיח 3 בשלבבלבד. הימני־תחתון הבלוק מטריצת באמצעות מיוצגים V ⊥λ המרחב וקטורי שכל כלומר,

הבלוק של האלכסון את שממלאים λk+1, ..., λn ע"ע שקיימים באינדוקציה נסיק 4 שלב.V ⊥λ עצמי מרחב של בנייה באמצעות הימני־תחתון,

.(T ∗T )∗ = T ∗T ∗∗ = T ∗T וכן ,(TT ∗)∗ = T ∗∗T ∗ = TT ∗19

.λ1 = ... = λk מתקיים ,λ ע"ע של עצמי מרחב שזהו 20ומכיוון

77

בסיס קיים מנוון באופן ולכן סקלארים, רק מכיל המרחב dimV = 1 שבו במקרה .1מלכסן. אורתונורמלי

,C מעל או לעצמה צמודה גם T ו- R מעל V כאשר ,V בממ"פ נורמלית ט"ל T תהי .2.dimV = n כי ונניח

ע"ע לפחות קיים ולכן האופייני, לפולינום אחד פתרון לפחות שקיים נובע 1 מלמה.Vλ מתאים עצמי מרחב עם λ אחד

.T1 = (T − λI) ט"ל נסמן .Vλ = Ker (T − λI) שמתקיים לב נשים .3

נורמלית: ט"ל היא T1 (א)

T1T∗1 = (T − λI) (T − λI)

∗= (T − λI)

(T ∗ − λI

)=

=(T ∗ − λI

)(T − λI) = (T − λI)

∗(T − λI) = T ∗1 T1

:T1 עם מתחלפת T (ב)

TT1 = T (T − λI) = (T − λI)T = T1T

.V = KerT1 ⊕ ImT1 מתקיים נורמלית, ט"ל עבור ממ"פ שלכל נובע 4 מלמה (ג)אורתוגונלי). ישר (סכום

נסיק KerT = Im (T ∗)ש-⊥ ומכיוון ,Vλ = KerT1 ההגדרה שלפי לב נשים

.V ⊥λ = ImT1 כיתת־מרחב הוא V ⊥λ = ImT1 כי 2 מלמה נסיק T1 עם מתחלפות T, T ש-∗ מכך

כלומר: .T, T ∗ תחת אינווריאנטי

T(V ⊥λ)⊆ V ⊥λ

T ∗(V ⊥λ)⊆ V ⊥λ

לת"מ גם ובפרט ,v ∈ V לכל תקף (Tu, v) = (v, T ∗v) השוויון כי גם לב נשים.V ⊥λ = ImT1

שמתקיים: נסיק מהאינווריאנטיות לכן

T ∗|V ⊥λ =(T |V ⊥λ

)∗לאותה בהתאם ,V ⊥λ הת"מ בתוך מתנהגת הצמודה הטרנספורמציה [כלומר,

המרחב.] כל על שלה ההגדרהעבור גם ובפרט ,V לכל T ∗T = TT ∗ שמתקיים נובע נורמלית T ש- מהנתון

נורמלית. ט"ל היא T |V ⊥λ גם ולכן ,T |V ⊥λ

,Vλ של כלשהו מלכסן אורתונורמלי בסיס e1, ..., ek כי ונניח ,dimVλ = k כי נניח .421.Tei = λei שמתקיים כך

גרם־שמידט. משפט לפי אורתונורמלי, בסיס קיים מ"פ מרחב 21לכל

78

שלכל נובע האינדוקציה ומהנחת ,dimV ⊥λ = n − k < n = dimV כי לב נשיםשל אורתונורמלי בסיס שקיים נסיק מלכסן, אורתונורמלי בסיס יש n מממד< מרחב,ek+1, ..., en הזה הבסיס את נסמן אלכסונית. [T ] |V ⊥λ המטריצה אליו שביחס V ⊥λ

.λk+1, ..., λn שלו הע"ע ואת

:V של מלכסן אורתונורמלי בסיס הוא e1, ..., ek, ek+1, ..., en-ש לב נשיםבחירת לפי מלכסן בסיס זה 1 ≤ i ≤ k עבור כי ,Tei = λiei מתקיים i לכל מלכסן:הנחת לפי מלכסן בסיס זהו k + 1 ≤ i ≤ n ועבור יחיד), λ ע"ע (עם Vλ של הבסיס

האינדוקציה.בסיס זה 1 ≤ i ≤ k עבור כי ,(ei, ej) = δij מתקיים i, j לכל אורתונורמלי:אורתונורמלי בסיס זה k+ 1 ≤ i ≤ n ועבור ,Vλ של הבסיס בחירת לפי אורתונורמלי

האינדוקציה. הנחת לפי

�

למטריצות מסקנה

המטריצה: שעבורה אוניטרית U מטריצה קיימת אזי נורמלית, מטריצה A ∈Mn (C) כי נניח

D = UAU−1 = UAU∗

אלכסונית. מטריצה היא

e1, ..., en שנסמן הסטנדרטי בבסיס ,Cn על מתאימה T ט"ל A באמצעות נגדיר הוכחהסטנדרטית. ומ"פ אורתונורמלי) (שהוא

אחר אורתונורמלי בסיס קיים כי נובע הספקטרלי מהמשפט נורמלית, T ש- מכיווןTεi = כלומר אלכסוני. הוא זה לבסיס ביחס A של שהייצוג כך ,ε1, ..., εn שנסמן

.λiεiאחד א"נ בסיס מעבירה שהיא ומכיוון הבסיס, מעבר מטריצת להיות U את נגדיר

אורתוגונלית/אוניטרית.22 בהכרח היא לאחר,

מסקנות

.λ ע"ע עם T ∗ של ו"ע v אזי ,λ ע"ע עם T של ו"ע v-ו נורמלית ט"ל T אם .1ישירות. אותה נוכיח אך מהמשפט, הטענה את להסיק ניתן הוכחה:

נסיק: .(Sv, Sv) = 0 אזי ,v ∈ KerS-ש כך Sv = ו-0 נורמלית ט"ל S כי נניח

0 = (Sv, Sv) = (v, S∗Sv) = (v, SS∗ (v)) = (S∗ (v) , S∗ (v))⇒ v ∈ KerS∗

וכן נורמלית, S גם אז נורמלית T אם כי לב ונשים ,S = T − λI נציב כעת.S∗ = T ∗ − λI

.Tv = λv ⇔ Sv = 0⇒ S∗ (v) = 0⇔ T ∗ (v) = λv לכן

ניצבים. הם נורמלית, ט"ל של שונים ע"ע להם שיש ו"ע .2.λ 6= µ עבור Tu = µu ,Tv = λv כי נניח הוכחה:

שקול. תנאי שזה לעיל 22הוכחנו

79

.T ∗ (u) = µu ,T ∗ (v) = λv כי נסיק הקודמת מהמסקנהנחשב:

(Tv, u) = (v, T ∗ (u)) = (v, µu) = µ (v, u)

(Tv, u) = (λv, u) = λ (v, u)

.(v, u) = 0 בהכרח λ 6= µ אם ולכן ,λ (u, v) = µ (u, v) שמתקיים מכאן

של הע"ע כל אמ"מ (הרמיטית) T = T ∗ אזי ,C מעל V בממ"פ נורמלית ט"ל T אם .3לעצמם). (צמודים ממשיים T

.|λ| = 1 מקיימים T של הע"ע כל אמ"מ (אורתוגונלית/אוניטרית) T−1 = T ∗ כמו־כן,מתקיים: אליו שביחס א"נ בסיס נבחר הוכחה:

[T ] =

λ1 . . . 0...

. . ....

0 . . . λn

שמתקיים: נובע מהאורתונורמליות

[T ∗] =

λ1 . . . 0...

. . ....

0 . . . λn

בסיס. באותו

.λi = λi מתקיים i שלכל לכך שקולה T = T ∗ שהקביעה ברור מכאן.√λλ = |λ| = ש-1 לכך שקולה TT ∗ = I כלומר ,T−1 = T ∗ הקביעה אופן ובאותו

80

(מהתרגול) אורתוגונלי/אוניטרי ללכסון אלגוריתם 35.6

.A ∈Mn (z) כי נניחלכסינה אינה A אז לא, אם סימטרית. או (z = C (אם נורמלית A האם לבדוק .1

אורתוגונלית/אוניטרית..A המטריצה של λ1, ..., λm העצמיים הערכים את למצוא .2

המתאימים. Vλ1 , ..., Vλm העצמיים המרחבים של בסיס למצוא .3הבסיסים m-מ אחד לכל (zn של סטנדרטית למ"פ (ביחס גרם־שמידט תהליך לבצע .4

.B1, ..., Bm אורתונורמליים בסיסים לקבל כדי שמצאנו,הן שעמודותיה U מטריצה נגדיר .B = {v1, ..., vn} ונסמן B = B1 ∪ ... ∪ Bm נגדיר .5

:B של הווקטורים

U = (v1|...|vn)

מקיימת: זו מטריצה אזי

U−1 = U∗

וגם:

U∗AU =

λ1 . . .

λ1

︸ ︷︷ ︸

×n1

. . . 0

.... . .

...

0 . . .

λ1m . . .

λm

︸ ︷︷ ︸

×nm

.ni = dimVλi כאשר

81

(מהתרגול) T־אינווריאנטי תת־מרחב 36

מתקיים אם T : V → V ט"ל עבור T־אינווריאנטי נקרא V מ"ו של U ת"מ הגדרה:.T (U) ⊆ U

.V של ת"מ U ⊆ V ויהי לכסינה, ט"ל T : V → V ו- z מעל m מממד מ"ו V יהי משפט:שמתקיים: כך ,Vλ1 , ..., Vλm המתאימים המ"ע עם V של הע"ע הם λ1, ..., λm כי נניח

V = Vλ1⊕ ...⊕ Vλm

אזי: T־אינווריאנטי, ת"מ U אם

U = (U ∩ Vλ1)⊕ ...⊕ (U ∩ Vλm)

באינדוקציה) (ראשונה, הוכחה:.(k ≤ m) u = v1 + ...+vk:בצורה העצמיים המרחבים וקטורי עם שמוצג וקטור u ∈ U יהי,vi ∈ (U ∩ Vλi) כי יתקיים i לכל ולכן ,vi ∈ U תמיד שמתקיים k על באינדוקציה נוכיח

כמבוקש..v1 ∈ U בהכרח U 3 u = v1 ∈ Vλ1 שמתקיים מכיוון אז ,k = 1 כי נניחאזי: T־אינווריאנטי ת"מ U-ש מהנתון .k − 1 עבור נכונה הטענה כי נניח

Tu− λku ∈ U

שמתקיים: לב נשים

Tu− λku = (T − λkI)u = (T − λkI) v1 + ...+ (T − λk−1I) vk−1 + (T − λkI) vk =

= (λ1 − λkI) v1︸ ︷︷ ︸∈Vλ1

+ ...+ (T − λk−1I) vk−1︸ ︷︷ ︸∈Vλk−1

+ (λk − λkI)︸ ︷︷ ︸=0

vk

גם מתקיים שקיבלנו מהשוויון ולכן v1, ..., vk−1 ∈ U כי מתקיים האינדוקציה מהנחת� .vk ∈ U גם ולכן ,Tu− λku ∈ U

תתי של ישר סכום הם לכסינות, להעתקות T־אינווריאנטיים שהם תתי־מרחבים מסקנה:העצמיים. המרחבים של T־אינווריאנטיים ה- המרחבים

המינימלי) הפולינום באמצעות (נוספת, הוכחה:ת"מ U ויהי לכסינה), (לאו־דווקא ט"ל T : V → V וכי z מעל מ"ו V כי נניח למה:

.V של T־אינווריאנטי.T של המינימלי הפולינום את מחלק T |U של המינימלי הפולינום אזי

הפולינום mT |U (x)-ו ,V לכל מעל T של המינימלי הפולינום mT (x) נסמן הלמה: הוכחת.T |U של המינימלי

.u ∈ U ⊆ V לכל גם בפרט ולכן mT (T ) = 0 כי מתקיים המינימלי הפולינום הגדרת לפי

.mT (T |U ) = 0 שמתקיים ומכאן ,mT (Tu) = 0 כי נסיק T־אינווריאנטי הוא U-ש מכיווןאת שמאפס אחר פולינום כל מחלק שהוא נובע המינימלי הפולינום של מהמינימליות

.mT (x) |mT |U (x) ולכן הטרנספורמציה,מתפרק שלה המינימלי הפולינום אמ"מ לכסינה כלשהי שטרנספורמציה הוכחנו המשך:

לינאריים. לגורמים מתפרק mT משמע לכסינה T אם ולכן שונים, לינאריים לגורמיםגם מתקיים שקילות אותה לפי ולכן לינאריים, לגורמים מתפרק mT |U גם כי נובע מהלמה

� המתאימים. העצמיים המרחבים של ישר סכום היא משמע לכסינה, T |U כי

82

(מהתרגול) סימולטני לכסון 37

.V → V ט"ל של קבוצה {T1, T2, ...} ותהי ,n מממד מ"ו V יהי מתחלפות: טרנספורמציות.TiTj = TjTi מתקיים i, j לכל אם מתחלפות, כולן הן {T1, T2, ...} כי נאמר

.V → V לכסינות ט"ל של קבוצה {T1, T2, ...} ותהי ,n מממד Vמ"ו יהי סימולטני: לכסוןj שלכל כך ,V של v1, ...vn בסיס קיים אם סימולטני, ללכסון ניתנת {T1, T2, ...} כי נאמר

.Ti של ו"ע הוא vj הווקטור ,i ולכלטרנספומציות של קבוצה {T1, T2, ...} אמ"מ סימולטנית לכסינה {T1, T2, ...} משפט:

מתחלפות.ראשון) (כיוון הוכחה:

כלשהו וקטור v ∈ V ויהי ,v1, ..., vn בסיס לפי סימולטני ללכסון ניתנת {T1, T2, ...} כי נניחכלשהן. Ti, Tj ויהיו ,v = a1v1 + ...+ anvn-ש כך

ונחשב: חזקה) אינו k) Ti (vk) = λki vk ,Tj (vk) = λkj vk הטרנספורמציות: פעולת את נסמן

TiTjv = TiTj

(n∑k=1

akvk

)=

n∑k=1

akTiTjvk =

n∑k=1

akTi(λkj vk

)=

n∑k=1

akλki λ

kj vk

מתקיים בסקלארים כי זהה, תוצאה ולקבל TjTi על החישוב אותו את בדיוק לעשות קלמתחלפות. הטרנספורמציות ולכן ,λkjλ

ki = λki λ

kj

שני) (כיוון הוכחה:כלשהי, Ti ט"ל של מ"ע Vλ ∈ V אם מתחלפות. העתקות קבוצת {T1, T2, ...} כי נניח למה:

בקבוצה. אחרת Tj ט"ל לכל T־אינווריאנטי ת"מ הוא Vλ אזימתקיים: ,Ti של מתאים u ∈ Vλ ולכל j שלכל לב נשים הלמה: הוכחת

Ti (Tj (u)) = Tj (Ti (u)) = Tj (λu) = λTj (u) ∈ Vλ

.dimV = n על באינדוקציה נוכיח המשך:ניתנות כולם שהן ברור ולכן סקלאריות, הן הטרנספורמציות כל כי מתקיים n = 1 עבור

טרנספורמציה. כל של מלכסן בסיס הוא בסיס כל כי סימולטני, ללכסון.dimV = n כי ונניח ,n− 1 ממד≤ כל עבור נכונה הטענה כי נניח

מלכסן בסיס כל כי ברורה, הטענה אז סקלאריות הטרנספורמציות כל אם מקרים: בשני נדוןכולן. את

יש בהכרח T1ל־ .T1 שנסמן סקלארית, שאינה אחת טרנספורמציה לפחות שקיימת נניח(ממש). dimVλ < n שמקיים Vλ מ"ע

T־ לתתי־מרחבים שהוכחנו מהמשפט .j לכל Tj־אינווריאנטי הוא Vλ כי נובע מהלמהלכסינה. טרנספורמציה תהיה עדיין וזו j לכל Tj |Vλ לצמצם שניתן נובע אינווריאנטיים

הקבוצה אזי nמ־ קטן כולן של שהממד שמכיוון נסיק האינדוקציה מהנחתשמלכסן Vλ של v1, ..., vk בסיס קיים משמע סימולטני, ללכסון ניתנת {T1|Vλ , T2|Vλ , ...}

כולן. אתכי כאלה של סופי מספר (יש T1 של Vλ העצמיים המרחבים שאר עבור התהליך על נחזורלכסינה עצמי מרחב לכל שמצומצמת {T1, T2, ...} הקבוצה שבו בסיס ונקבל סופי) הממד

סימולטנית.הטרנספורמציות שבהם העצמיים המרחבים של הבסיסים שאיחוד לב לשים נותר כעתומכיוון ,Ti של ו"ע הוא שהתקבל בבסיס איבר כל כי ,V ל- בסיס הוא סימולטנית לכסינות

� .V ל- ו"ע של בסיס שזה הרי שלהם, ישר סכום הוא V ש-

83

(מהתרגול) חיוביות טרנספורמציות 38

מתקיים: אם חיובית, נקראת T : V → V ט"ל סופי. מממד ממ"פ V יהי הגדרה:לעצמה צמודה T א.

.(Tv, v) ≥ 0 מתקיים v ∈ V לכל ב.הראשון) לתנאי (בהתאם לעצמה צמודה היא אמ"מ חיובית כלשהי שטרנספורמציה לב נשים

אי־שליליים. שלה הע"ע כל וגםחיובי. שורש T ל- קיים אזי חיובית, T אם טענה:

.S2 = T ש- כך לעצמה, וצמודה חיובית S טרנספורמציה קיימת כלומר,המשפט לפי לכן ואי־שליליים. ממשיים הע"ע וכן נורמלית, ובפרט לעצמה צמודה T הוכחה:

.T של ו"ע של ε1, ..., εn שנסמן V של מלכסן אורתונורמלי בסיס קיים הספקטרלי.λi ≥ 0 כאשר Tεi = λiεi כי נובע T של מהחיוביות

שמתקיים: לראות וקל ,Sεi =√λiεi להיות S חדשה טרנספורמציה נגדיר

S2εi =√λi√λiεi = λiεi = Tεi

היא: ε1, ..., εn הבסיס לפי S את שמייצגת שהמטריצה לראות קל כמו־כן√λ1

. . . √λn

לעצמה. צמודה S שגם ומכאן

84

נורמלית ט"ל של פולארי פירוק 38.1

שמתקיים: כך S,U ט"ל קיימות אמ"מ נורמלית, ט"ל T

אי־שליליים. S של הע"ע וכל (סימטרית/הרמיטית) S = S∗ .1

(אורתוגונלית/אוניטרית) U−1 = U∗ .2

T = SU = US .3

ש- כך θ קיים z ∈ C מספר לכל מרוכבים: מספרים של לפירוק דומה זה פירוק הערה.z = |z| eiθ = reiθ

הוכחה

אלכסונית. [T ] אליו שביחס אורתונורמלי בסיס נמצא נורמלית. ט"ל T כי נניחונגדיר: ,λk = rke

iθk לצורה באלכסון λk כל נפרק

[T ] =

λ1. . .

λk

[S] =

r1. . .

rk

[U ] =

eiθ1

. . .

eiθk

� מתקיימים. הסעיפים ששלוש לראות קל

85

V חלק

בילינאריות תבניות

בילינארית תבנית 39

.z כלשהו שדה מעל מ"ו V,W יהיומהצורה: פונקציה היא עליהם בילינארית תבנית

B : V ×W → z

המשתנים: בשני והומוגניות לינאריות המקיימת

B (a1u1 + a2u2, v) = a1B (u1, v) + a2B (u2, v)

B (u, b1v1 + b2v2) = b1B (u, v1) + b2B (u, v2)

B (u, v) = אם סימטרית נקראת B כי נאמר ,V = W שבו במקרה סימטריות/התחלפות:.B (u, v) = −B (v, u) אם מתחלפת ונקראת ,B (v, u)

דוגמאות

טריוויאלית. דוגמה היא B ≡ 0

מכפלה מרחב מעל מוגדרת B (u, v) = (u, v) בילינארית תבנית ונגדיר z = R .1בגלל המשתנים בשני לינאריות מתקיימת הפנימית. המכפלה באמצעות פנימית

.R מעל המשתנים בשני פנימית מכפלה של הלינאריות

:λ ∈ V ו-∗ v ∈ V עבור בילינארית תבנית ונגדיר ,V ו-∗ V מרחבים שני נגדיר .2

B (v, λ) = λ (v) ≡ 〈v, λ〉

והלינאריות לינארי, פונקציונאל הוא λ-ש מכך נובעת הראשון במשתנה הלינאריותפונקציונאלים בין בסקלאר וכפל חיבור מוגדרים V ∗ שבמרחב מכך נובעת השני במשתנה

לינארי. באופן

B : V ×V → בילינארית תבנית נגדיר פ"ל. α, β ∈ V ∗ ויהיו וקטורי מרחב V כי נניח .3הבא: באופן z

B (u, v) = α (u)β (v)

(דטרמיננטה): נפח כפונקציית בילינארית תבנית ונגדיר V = zn כי נניח .4

∆ : V × V × ...× V︸ ︷︷ ︸n times

→ z

86

הכללי שהאיבר A ∈ Mm×n (z) תהי .W = zn ,V = zm כי נניח כללית: דוגמה .5.A = (aij) הוא שלה

בילינארית: תבנית v ∈ V ,u ∈W עבור נגדיר

B (v, u) = vt︸︷︷︸1×m

A︸︷︷︸m×n

u︸︷︷︸n×1

שמתקיים: לב נשים

B (v, u) = vtAu =

m∑i=1

n∑j=1

viaijuj

הבילינאריות התבניות קבוצת 39.1

גם: אזי ,V ×W על בילינאריות תבניות B1, B2 כי נניח

B (u, v) = a1B1 (u, v) + a2B2 (u, v)

.V ×W מעל בילינאריות תבנית היא.B (V,W : z) שיסומן ,z מעל וקטורי מרחב היא הבילינאריות התבניות קבוצת זו, הגדרה תחת

ומטריצות בילינאריות תבניות בין איזומורפיזמים 39.2

.dimW = n ,dimV = m-ש כך ,z מעל ממדיים סוף מרחבים V,W יהיוהמטריצה A = (aij) ותהי ,W של בסיס f1, ..., fn וכי V של בסיס e1, ..., em כי נניח

שבה:

aij = B (ei, fj)

אזי:

מתקיים: אז סקלארים) vi, uj (כאשר u =

n∑j=1

ujfj ,v =

m∑i=1

viei אם .1

B (v, u) =

m∑i=1

n∑j=1

viaijuj

בין איזומורפיזם היא [B] = A שנסמן המטריצה את B עבור שמתאימה ההתאמה .2.Mm×n (z) המטריצות מרחב לבין B (V,W : z) הבילינאריות התבניות מרחב

הבסיס. בבחירת תלוי אלא טבעי, אינו זה איזומורפיזם הערה

נחשב: (1) הוכחה

B (v, u) = B

m∑i=1

viei,

n∑j=1

ujfJ

=

m∑i=1

n∑j=1

viujB (ei, fj)

87

ועל. חח"ע לינארית, היא B 7−→ [B] שההעתקה להראות צריך (2) הוכחהיתקיים: שנציב איבר שלכל לראות קל לינאריות:

[a1B1 + a2B2] = a1 [B1] + a2 [B2]

.0 את רק מכיל שלה שהגרעין להראות מספיק חח"ע היא שט"ל להראות כדי חח"ע:ה-0 מטריצת את מחזירה B 7−→ [B] ההעתקה כלומר ,i, j לכל aij = 0 כי נניחזהותית, B = 0 כי נובע המשפט של 1 מחלק אזי כלשהי, בילינארית תבנית עבור

כמבוקש.על־ידיה מוגדרת כי נובע המשפט של 1 מחלק אזי ,(aij) כלשהי מטריצה תהי על:

שלה. המטריצה שזו בילינארית תבנית קיימת כלומר, בילינארית. תבנית

�

בסיס מעבר מטריצת 39.3

מטריצות) בין שקילות (יחס מרחבים שני על בילינארית תבנית של המקרה

.dimW = n ,dimV = m-ש כך ,z מעל ממדיים סוף מרחבים V,W יהיובסיסים קיימים כי נניח כן כמו ,W של בסיס f1, ..., fn וכי V של בסיס e1, ..., em כי נניח

.W של בסיס f′

1, ..., f′

n וכי V של בסיס e′

1, ..., e′

m אחרים,הבא: באופן הבסיסים בין המעבר מטריצת את נסמן

e′

j =

m∑i=1

pijei

f′

l =

n∑k=1

qklfk

A′המטריצה אזי המקוריים, בבסיסים בילינארית תבנית שמייצגת מטריצה A כי נניח

היא: החדשים בבסיסים הבילינארית התבנית את שמייצגת

A′

= P tAQ

:A′במטריצה jl-ה האיבר את נחשב הוכחה

a′jl = B(e′

j , f′

l

)= B

(m∑i=1

pijei,

n∑k=1

qklfk

)=

m∑i=1

n∑k=1

pijqklB (ei, fk) =

=

m∑i=1

n∑k=1

pijqklaik =

m∑i=1

n∑k=1

pijaikqkl = (P tAQ)jl

�

88

מטריצות) בין חפיפה (יחס אחד מרחב על בילינארית תבנית של המקרה

התבנית את לייצג כדי בסיס באותו נשתמש הנוחות לצורך תמיד אז V = W כי נניחשמתקיים: כך ,e1, ..., en שנסמן ,B (v, u)

A = [B] , aij = B (ei, ej)

המעבר, מטריצת P ו- ,aij = B(e′

i, e′

j

)שמתקיים כך V של אחר בסיס e

′

1, ..., e′

n כי נניחאזי:

A′

= P tAP

מטריצות בין יחסים 40

הפיכה מטריצה קיימת שבו מצב הוא An×n, A′

n×n ריבועיות מטריצות בין דמיון יחס •שמתקיים: כך Pn×n

A′

= P−1AP

לינארית טרנספורמציה אותה את מייצגות המטריצות שתי אמ"מ קיים כזה יחסשונים. בבסיסים V → V

הפיכה מטריצה קיימת שבו מצב הוא An×n, A′

n×n ריבועיות מטריצות בין חפיפה יחס •שמתקיים: כך Pn×n

A′

= P tAP

V ×V → z בילינארית תבנית אותה את מייצגות המטריצות שתי אמ"מ קיים כזה יחסשונים. בבסיסים

הפיכות מטריצות קיימות שבו מצב הוא Am×n, A′

m×n מטריצות בין שקילות יחס •שמתקיים: כך Pn×n, Qm×m

A′

= P tAQ

הקודמים.] היחסים שני של הכללה הוא השקילות [יחס

.∼ מסומן שקילות יחס(קומוטטיביות) .A

′ ∼ A אז A ∼ A′ אם כי מתקיים מטריצות שתי בין שקילות יחס לכל(טרנזיטיביות) .A ∼ A′′ אז A

′ ∼ A′′ וגם A ∼ A′ אם כי מתקיים כן כמו

מטריצה של ודרגה שקילות יחס בין הקשר 40.1

.rankA = dim ImA ומסומנת מוגדרת A מטריצה של דרגה תזכורתלינארית. בלתי־תלויות שהן A של העמודות מספר כלומר,

89

rankA = rank (QA) = אזי הפיכה, מטריצה Qn×n ותהי מטריצה An×m תהי טענה.rank (AQ)

לפי מתקיים ,Qn×n : zn → zn ,An×m : zn → zm מטריצות שעבור לב נשים הסברההגדרה:

rankA = dim ImA rank (AQ) = dim Im (AQ)

span {Qv|v ∈ zn} = כי מתקיים ולפיכך ריבועית, היא הפיכה שמטריצה לב נשיםמתקיים: המרחב, איברי כל על המטריצה של הפעולה את (zn)-ב נסמן אם ולכן ,zn

Im (AQ) = Im (AQ (zn)) = Im (A (Q (zn))) = Im (A (zn)) = ImA

שוות. המטריצות דרגות כלומר שווים. שהממדים כמובן נובע המרחבים ומשוויון

.rankA = rankB אמ"מ שקולות A,B ∈Mm×n (z) מטריצות משפט

הוכחה

הפיכות מטריצות קיימות כלומר שקולות, המטריצות שאם הקודם בסמסטר הוכחנו .1שווה. דרגתן בהכרח אזי ,A = P tBQ-ש כך P,Q

שקולות שהמטריצות להראות ניתן שווה, שהדרגה נתון שבו ההפוך הכיוון בהוכחת גםאלמנטריות. פעולות סדרת המייצגות הפוכות מטריצות בניית באמצעות

בילינאריות. תבניות באמצעות אחר, באופן נוכיח

מהצורה: בלוקים למטריצת שקולה rankAm×n = r מטריצה שכל להראות מספיק .2

Dr =

([Ir×r]

[0r×(n−r)

][0(m−r)×r

] [0(m−r)×(n−r)

] )B ∼ Dr וגם A ∼ Dr אם כי להסיק נוכל טרנזיטיבי, הוא שקילות שיחס מכיוון כי

.A ∼ B אזי

A באמצעות נגדיר .dimW = n ,dimV = m המקיימים מרחבים V,W כי נניח .3המקיימת: הסטנדרטיים, בבסיסים B : V ×W → z מהצורה בילינארית תבנית

B (u, v) = utAv

,V,W למרחבים אחרים בסיסים למצוא נצטרך ,Dr-ל שקולה A-ש להראות כדי.Dr ע"י תיוצג הבילינארית התבנית שבהן

שרצינו: מה מתקיים הבסיסים, בין המעבר מטריצות הן P,Q שאם מכך נסיק

Dr = P tAQ

.m+ n על באינדוקציה הטענה את נוכיח .4.r = 0 כי להוכיח מה אין B ≡ 0 אם

שעבורם כלשהם, f′

1 ∈ W ,e′

1 ∈ V וקטורים שקיימים כך ,B 6= 0 כי נניח

כך המקורי, 1c · e

′

1 להיות e′

1 את מחדש נבחר הנוחות לצורך .B(e′

1, f′

1

)= c 6= 0

90

.B(e′

1, f′

1

)= 1 שיתקיים

בבסיסים הבילינארית התבנית את שמייצגת במטריצה הראשונה הכניסה כלומר,.1 היא החדשים

f′

1 כי פונקציונאל זה .λ (v) = B(v, f

′

1

)שמוגדר V על לינארי בפונקציונאל נתבונן

הבילינארית. התבנית מתכונות הראשון במשתנה לינאריות ומתקיימת קבוע,

נסמן .dimKerλ = m − 1 ולכן ,λ(e′

1

)= B

(e′

1, f′

1

)= 1 6= 0 כי מתקיים

.e′

1 /∈ V1 כי ,V = span{e′

1

}⊕ V1 שמתקיים ונקבל ,V1 = Kerλ

.W = span{f′

1

}⊕W1 המקיים W1 תת־מרחב ונמצא W ל- התהליך על נחזור

התבנית שעבור מ-m+nנובע קטן ממדיהם שסכום מרחבים עבור האינדוקציה מהנחתf′

2, ..., f′

n ,e′

2, ..., e′

m בסיסים קיימים ,V1 ,W1 למרחבים שמצומצמת הבילינארית.A ∼ Dr שבהם

ש: ומכיוון ,W של f′

1, f′

2, ..., f′

n וכן V של e′

1, e′

2, ..., e′

m בסיסים נגדיר

V = span{e′

1

}⊕ span

{e′

2, ..., e′

m

}, W = span

{f′

1

}⊕ span

{f′

2, ..., f′

n

}המעבר: מטריצות עבור מתקיים

P tAQ =

f ′1 f ′2 . . . f ′n

e′1

e′2

...

e′m

[1] 0 . . . 0

0

1. . .

1

. . .

0. . .

0

...

. . .

0

0. . .

0

. . .

1. . .

1

= Dr

�

וטרנספורמציות בילינאריות תבניות בין איזומורפיזם 41

בילינארית. תבנית B : V ×W → z וכי ,z מעל וקטוריים מרחבים V,W כי נניחלהיות: שמוגדר ,Tw ∈ V ∗ פונקציונאל נסמן קבוע, w ∈W לכל

Twv = B (v, w)

קבוע. w ∈W עבור מוגדר כלשהו Tw שפונקציונאל לב נשים.Tw הפונקציונאל את w ∈W לכל שמתאימה T : W → V ∗ בטרנספורמציה נתבונן

לינארית: טרנספורמציה היא עצמה T ש- לב נשים

T(a1w1+a2w2) (v) = B (v, a1w1 + a2w2) =

= a1B (v, w1) + a2B (v, w2) = a1Tw1v + a2Tw2

v

91

הבסיס את ונבחר ,W של בסיס f1, ..., fn וכן ,V של בסיס e1, ..., em כי נניח טענה.V ∗ של בסיס להיות e∗1, ..., e

∗m הדואלי

הבילינארית התבנית את מייצגת aij = B (ei, fj) ,A = (aij) המטריצה אם,e∗1, ..., e

∗m בבסיסים T את גם מייצגת A מטריצה אותה אזי הללו, בבסיסים

.f1, ..., fn

.v ∈ V לכל ,Tfj (v) =

(m∑i=1

aije∗i

)(v) מתקיים j שלכל להוכיח צריך הוכחה

:V של e1, ..., em בבסיס וקטור לכל השוויון את נראה

Tfj (ek) = B (ek.fj) = akj(m∑i=1

aije∗i

)(ek) =

m∑i=1

aij(e∗i , ek)︸ ︷︷ ︸=δik

= akj

הפונקציונאל את w ∈W לכל Wשמתאימה → V ∗ הטרנספורמציה את TB-ב נסמן מסקנהנתונה. B בילינארית תבנית עבור ,Tw

הטרנספורמציה את בילינארית תבנית לכל שמתאימה ,B 7→ TB הטרנספורמציה אזיהבילינאריות התבניות מרחב בין תלוי־בסיס) (שאינו קנוני איזומורפיזם היא ,TB

.Hom (W,V ∗) הטרנספורמציות למרחב B (V,W : z)

Mm×n (z) המטריצות למרחב איזומורפי הללו מהמרחבים אחד שכל כבר הוכחנו הוכחה� כתרגיל. ניתנה בבסיס תלוי אינו זה שאיזומורפיזם הטענה

בילינארית תבנית של דרגה 41.1

אותה המייצגת המטריצה של הדרגה היא B בילינארית תבנית של הדרגה כי נאמר הגדרהכלשהו. בבסיס

כי התבנית, את מייצגת היא שבו בבסיס תלויה אינה המטריצה שדרגת לב נשיםשקולות. הן שונים, בבסיסים תבנית אותה את שמייצגות מטריצות זוג שכל הוכחנו

והוכחנו ומשמאל, מימין הפיכה במטריצה כפל כדי עד שוויון ביניהן מתקיים משמעמשמאל. או מימין הפיכה במטריצה כפל בגלל משתנה אינה שדרגה לעיל

rankB = rankTB טענה

.TB ואת B את מייצגת מטריצה שאותה נובע קודמת מטענה הוכחה

92

(מהתרגול) בילינארית תבנית של פשוטה ייצוג מטריצת מציאת 42

ובסיס V של v1, ..., vm בסיס קיים אזי בילינארית, תבנית B : V ×W → z תהי טענה:מהצורה: היא אלה בבסיסים B של הייצוג שמטריצת כך W של w1, ..., wn

Dr =

1. . .

1

r 0

0

0. . .

0

מתקיים: w =

∑nj=1 yiwi ,v =

∑mi=1 xivi עבור כלומר,

B(v,w) = (x1,...,xm)Dr

y1...

yn

הללו: הבסיסים למציאת האלגוריתםכך ,Q ∈ Mn (z) ,P ∈ Mm (z) הפיכות מטריצות ומחפשים ,A ∈ Mm×n (z) נתונה

.Dr = PAQ:שמתקייםכאשר הפיכות, מטריצות באמצעות מיוצגות מטריצות בדירוג אלמנטריות פעולות [תזכורת:באמצעות מיוצג עמודות ודירוג משמאל, הפיכה במטריצה כפל באמצעות מיוצג שורות דירוג

מימין.] הפיכה במטריצה כפלסיימנו. A = 0 אם .1

לקיים כדי אלמנטריות בפעולות להשתמש כן, אם .a11 = 0 האם לבדוק ,A 6= 0 אם .2.a11 6= 0

.a11 = 1 לנרמל בסקלאר שורה כפל באמצעות .3וכן ,a11 שתחת הראשונה העמודה איברי כל את לאפס האלמנטריות הפעולות באמצעות .4

.a11-ל שמימין הראשונה השורה איברי כל את לאפסהמטריצה. תת עבור התהליך על ולחזור הראשונה, ומהשורה הראשונה מהעמודה להתעלם .5

.rankDr = r המקיימת Dr של מהצורה מטריצה מתקבלת התהליך בסוףהמטריצה על שביצענו האלמנטריות הפעולות כל של ההרכבה היא P המטריצה כמו-כן,על שביצענו האלמנטריות הפעולות כל של ההרכבה היא Q והמטריצה (השורות), משמאל

(העמודות). מימין המטריצה

של ריבועיים בלוקים למטריצה להוסיף היא האלגוריתם, לביצוע נוחה טכניקה חשוב: טיפמלמטה. Im×m-ו מימין In×n היחידה מטריצת

את נבצע In×n הבלוק ועל השורות, על שמבצעים הפעולות את נבצע Im×m הבלוק עלהעמודות. על שמבצעים הפעולות

על האלמנטריות הפעולות הרכבת את מייצג P הימני שהבלוק נקבל האלגוריתם בסיוםש: כך העמודות, על האלמנטריות הפעולות הרכבת את מייצג Q התחתון והבלוק השורות,

PAQ = Dr

(V ל- (בסיס P של השורות הם Dr ע"י התבנית מיוצגת שבהם החדשים הבסיסים כאשר.(W ל- (בסיס Q של 93והעמודות

V × V→ z בילינאריות תבניות 43

כלשהו. e1, ..., en בסיס עם ,V נתון וקטורי מרחב בתוך בילינאריות בתבניות נדון.(aij) = B (ei, ej) שמתקיים כך A = [B] היא התבנית את שמייצגת המטריצה

כלומר חופפות. הן A′ו- A אזי אחר, בבסיס התבנית את מייצגת A

′שהמטריצה נניח אם

שמתקיים: כך Pn×n הפיכה מטריצה קיימת

A′

= P tAP

מונחים

סימטריות: א.

B (v, w) = B (w, v)

אנטי־סימטריות: ב.

B (v, w) = −B (w, v)

התחלפות: ג.

B (v, v) = 0

אנטי־סימטרית. היא מתחלפת בילינארית תבנית כל טענה

ולכן: מתחלפת, B כי נתון הוכחה

0 = B (v + w, v + w) = B (v, v)︸ ︷︷ ︸=0

+B (v, w) +B (w, v) +B (w,w)︸ ︷︷ ︸=0

= B (v, w) +B (w, v)

⇓0 = B (v, w) +B (w, v)

⇓B (v, w) = −B (w, v)

היא אנטי־סימטרית, בילינארית תבנית כל ,charz 6= 2 המקיים z שדה מעל טענהמתחלפת.

בפרט אזי אנטי־סימטרית, B כי נניח ב-2. לחלק שניתן נובע charz 6= 2 מהנתון הוכחהמתקיים:

B (v, v) = −B (v, v)⇓

2B (v, v) = 0⇓

B (v, v) = 0

94

שקולים: הבאים התנאים משפטסימטרית B א.

A = At סימטרית מטריצה [B] כי מתקיים בסיס בכל ב.A = At סימטרית מטריצה [B] כי מתקיים שבו בסיס קיים ג.

ב) ⇐ (א הוכחה

aij = B (ei, ej) = B (ej , ei) = aji

טריוויאלי ג) ⇐ (במתקיים: מסויים בסיס שעבור נניח א) ⇐ (ג

B (ei, ej) = B (ej , ei)⇓

aij = aji

מתקיים: הנ"ל בבסיס שלהם הייצוג עבור v, u ∈ V וקטורים זוג שלכל נסיק אזי

B (u, v) = B

m∑i=1

xiei,

m∑j=1

yjej

=

m∑i=1

m∑j=1

xiyjB (ei, ej) =

m∑i,j=1

xiaijyj =

=

m∑i,j=1

xiajiyj =

m∑i=1

m∑j=1

xiyjB (ej , ei) = B

m∑j=1

yjej ,

m∑i=1

xiei

= B (v, u)

�

לאנטי־ מתייחסים סימטריות במקום כאשר גם אופן באותו בדיוק נכון המשפט הערהסימטריות.

של כסכום לייצוג ניתנת בילינארית תבנית כל charz 6= 2 המקיים z שדה מעל טענהאנטי־סימטרית. בילינארית ותבנית סימטרית בילינארית תבנית

אנטי־סימטרית: והשנייה סימטרית הראשונה בילינאריות, תבניות שתי נגדיר הוכחה

B+ (v, w) =B (v, w) +B (w, v)

2

B− (v, w) =B (v, w)−B (w, v)

2⇓

B (v, w) = B+ (v, w) +B− (v, w)

אי־זוגית, פונקציה עם זוגית פונקציה של סכום היא פונקציה שכל מתקיים כללי באופן הערהבהוכחה. שהגדרנו באופן והאי־זוגית הזוגית הפונקציה את מגדירים כאשר

95

סימטריות בילינאריות תבניות 43.1

.rankB = r ,dimV = n נסמן

.r = n כי מתקיים אם מנוונת אינה B כי נאמר הגדרה

שקולים: הבאים התנאים משפטמנוונת. אינה B א.

.V ל-∗ V בין איזומורפיזם היא TB ב..w = 0 אזי ,v ∈ V לכל B (v, w) = 0 אם כלשהו. w ∈ V יהי ג.

כך w ∈ V קיים λ ∈ V ∗ לינארי פונקציונאל לכל ריס:] של ההצגה [משפט ד..λ = TB (w) שקול: באופן או .B (v, w) = λ (v)-ש

לכל (v, w) = 0 אם כי מנוונת, אינה כלשהי B בילינארית תבנית ממשי בממ"פ דוגמה0 זהותית המ"פ ולכן (v, v) = 0 גם בפרט מתקיים נתון, w ∈ V עבור v ∈ V

ג. תנאי ומתקיים

הוכחה

rankB = r = nm

rankTB = nm

TB is isomorphism

mKerTB = {0} (Injective)

mTB (w) (v) = B (v, w)

mImTB = V ∗

ולכן rankB = dim ImTB = r ומתקיים 23,TB : V → V ∗ כי לב נשים� .dimKerTB = n− r

מהצורה: בילינארית תבנית נגדיר כלשהו, 1 ≤ r < n ועבור Rn המרחב עבור דוגמה

B

x1

...

xn

,

y1...

yn

=

r∑i=1

xiyi

.r היא שלה המטריצה ודרגת דרגתה ולכן סימטרית, בילינארית תבנית זו

בתבניות עוסקים כעת .TB :W → V ∗ ולכן ,B : V ×W → z מהצורה בילינאריות בתבניות עסקנו 23לעיל

.TB : V → V ∗ ולכן ,B : V × V → z מהצורה בילינאריות

96

מהצורה: היא שלה המטריצה

1. . .

1

r 0

0

0. . .

0

KerTB = span {er+1, ..., en}-ש כך ,TB (ei) = 0 מתקיים r + 1 ≤ i ≤ n ולכל

.dimKerTB = n− r כלומר

לתת־מרחב ניצב 43.1.1

תמ"ו. W ⊆ V ויהי בילינארית, תבנית B : V × V → z ותהי מ"ו V יהיהבא: באופן W ל- הניצב את מגדירים

W⊥ = {v ∈ V |∀w ∈W B (v, w) = 0}

בעצמו. תת־מרחב הוא הניצב

,B (v, w) = B (w, v) כי ההגדרה לפי מתקיים סימטרית, בילינארית תבנית B כאשר הערה.B (w, v) שקול באופן לכתוב ניתן הניצב בהגדרת ולכן

W ⊆ V תמ"ו עבור אז מנוונת, לא סימטרית בילינארית תבנית B : V ×V → z אם משפטמתקיים:

dimV = dimW + dimW⊥

שמתקיים ייתכן כי ,V = W ⊕W⊥ שמתקיים להסיק ניתן לא זה שבמקרה לב נשים הערה.W ∩W⊥ 6= 0

היא: שלה הייצוג שמטריצת התבנית עם R2 המרחב את ניקח למשל כך

A =

(0 11 0

)

שמתקיים: וברור לעצמו, ניצב span

{(x0

)}התת־מרחב

R2 6= R(x0

)+ R

(x0

)

.U = TB (W ) ⊆ V ∗ ונסמן כלשהו תמ"ו W כי נניח ראשונה) (הוכחה המשפט הוכחתלינאריים. פונקציונאלים הם שלו שהווקטורים תמ"ו הוא U כי לב נשים

97

:U ⊆ V תמ"ו של מאפס תת־מרחב שהגדרנו נזכור 1 למה

U0 = {λ ∈ V ∗|∀u ∈ U λ (u) = 0}

שמתקיים: והוכחנו

dimU + dimU0 = dimV

dimU = dimW 2 למה

שהוכחנו כפי איזומורפיזם, היא TB-ש שקול באופן נובע מנוונת לא B-ש מהנתון הוכחהלעיל.

W⊥ = TB (W )0 3 למה

שקולות: הבאות שהטענות לב נשים הוכחה

v ∈W⊥m

∀w ∈W B (v, w) = 0m

∀w ∈W TB (w) (v) = 0m

v ∈ TB (W )0

שמתקיים: מהלמות נסיק

dimW⊥ = dimTB (W )0

= dimV − dimTB (W ) = dimV − dimW

� .2 מלמה והשלישי 1 מלמה השני ,3 מלמה נובע הראשון השוויון

הוא הבסיס W ⊆ V התמ"ו שעבור ונניח ,V של בסיס e1, ..., en כי נניח נוספת הוכחה.k ≤ n ,e1, ..., ek

זה. בבסיס B הבילינארית התבנית של הייצוג מטריצת היא A = (aij) כי נניחבלתי־תלויות המטריצה עמודות שכל נובע ,n היא ודרגתה מנוונת אינה B-ש מההנחה

הפיכה. A ולכןהניצב: התמ"ו את נסמן

W⊥ =

{v =

n∑i=1

xiei|∀w ∈W B (v, w) = 0

}B (ej , v) = 0 כי לטענה שקולה v ∈W⊥ מקיים כלשהו v ∈ V כי שהטענה לב ונשים

.j = 1, ..., k לכלונסיק: v =

∑ni=1 xiei נסמן

0 = B (ej , v) = B

(ej ,

n∑i=1

xiei

)=

n∑i=1

xiB (ej , ei) =

n∑i=1

aijxi

מרחב לממד שווה W⊥ ממד ולכן נעלמים, n-ב בלתי־תלויות משוואות k התקבלו� .n− k שהוא הפתרונות

98

סימטרית בילינארית לתבנית מצורפת ריבועית תבנית 43.1.2

נקראת QB (v) = B (v, v) הפונקציה סימטרית. בילינארית תבנית B : V × V → z תהי.B של הריבועית התבנית

מאופיינית בילינארית תבנית שכל מתקיים ,charz 6= 2 המקיים z שדה כל מעל טענהשלה. הריבועית התבנית באמצעות מלא באופן

הוכחה

QB (v + w) = B (v + w, v + w) = B (v, v) +B (v, w) +B (w, v) +B (w,w) =

= B (v, v) + 2B (v, w) +B (w,w) = QB (v) + 2B (v, w) +QB (w)

⇓

B (v, w) = 12 (QB (v + w)−QB (v)−QB (w))

�

QB ≡ 0⇔ B ≡ 0 מתקיים המשפט בתנאי מסקנה

סימטרית בילינארית תבנית לכסון 43.1.3

.charz 6= 2 המקיים z שדה מעל סימטרית בילינארית תבנית B : V × V → z תהיאלכסונית. B של הייצוג מטריצת אליו שביחס בסיס קיים אזי

שביחס בסיס קיים B : V ×W → z מהצורה בילינארית תבנית שלכל הוכחנו לעיל הערה.Dr אפילו אלא אלכסונית סתם לא היא הייצוג מטריצת אליו

להיות המשתנים שני מיוצגים שבו הבסיס את בחרנו הנוכחי שבמקרה הוא ההבדל.B : V × V → z מהצורה בתבניות עוסקים כי התאפשר וזה בסיס, אותו

מתקיים: v =∑ni=1 xiei הכללית מהצורה וקטור כל עבור זה בבסיס מסקנה

B (v, v) = B

n∑i=1

xiei,

n∑j=1

xjej

=

n∑i=1

n∑j=1

xixjB (ei, ej) =

n∑i=1

aiix2i

.i 6= j לכל xixj = 0 ולכן ,0 כולם הם לאלכסון שמחוץ האיברים כלומר,

(באינדוקציה) הוכחהטריוויאלי. באופן לכסינה המטריצה B ≡ 0 אם

כלשהו וקטור e1 ∈ V קיים ולכן ,QB 6= 0 גם כי נובע הקודמת מהטענה ,B 6= 0 אם.QB (e1) = a1 6= 0 המקיים

.W ל- הניצב W⊥ ויהי ,e1 הווקטור ע"י שנפרש הישר W יהיλ (e1) 6= 0 כי מתקיים כמו־כן .W⊥ = Kerλ-ש לב ונשים ,λ = TB (e1) נסמן

.λ 6= 0 ולכןמכך: נסיק

dimW⊥ = dimKerλ = n− 1

99

כי e1 /∈ W⊥ כי לב נשים .W ∩W⊥ = {0} כי נסיק W = ze1 שהגדרנו מכיווןנסיק: ממדים משיקולי ולכן ,e1 /∈ Kerλ

V = W︸︷︷︸dim=1

⊕ W⊥︸︷︷︸dim=n−1

n − 1 < n מגודל שהוא W⊥ של הבסיס עבור כי מתקיים האינדוקציה הנחת לפיאלכסונית. B|W⊥ של המטריצה אליו שביחס בסיס קיים

a1 כאשר אלכסונית, V כל על B של שהמטריצה נסיק ישר בסכום שמדובר מכיוון� .W⊥ של הבסיס איברי הוא האלכסון ושאר השמאלי־עליון, האיבר הוא

הפיכה מטריצה קיימת A סימטרית מטריצה לכל ,charz 6= 2 המקיים z שדה מעל מסקנהש: כך ,D אלכסונית ומטריצה P

D = P tAP

ביחס A היא שלה הייצוג שמטריצת V = zn על B בילינארית בתבנית נתבונן הוכחה.e1, ..., en הסטנדרטי לבסיס

ונסמן אלכסונית, A אליו שביחס e′

1, ..., e′

n בסיס שקיים נובע שהוכחנו מהמשפט.D אותה

� המבוקש. את ונקבל D-ל A בין המעבר־בסיס מטריצת להיות P את נסמן

כמייצגת A-ב שימוש באמצעות z = R עבור המסקנה את להוכיח היה ניתן הערהשקובע הספקטרלי במשפט ולהשתמש בילינארית, תבנית ולא לינארית טרנספורמציה

לכסינה. המטריצה אליו שביחס בסיס שקייםש: כך D אלכסונית ומטריצה P הפיכה אוניטרית מטריצה שקיימת לקבל נוכל מכאן

D = P−1AP

כמבוקש. ,P−1 = P t כי נסיק P של מהאוניטריות

,ci 6= 0 עבור ciei = e′

i שמוגדר בבסיס המלכסן, e1, ..., en הבסיס את נחליף אם הערהמתקיים: אליו שביחס חדש בסיס נקבל

B(e′

i, e′

j

)= B (ciei, cjej) =

{c2i ai i = j

0 i 6= j

חופפות. A′

=(c2i aij

)והמטריצה A = (aij) שהמטריצה ומכאן

אלגברית סגורים שדות מעל לכסון 43.1.4

וכן ,charz 6= 2 המקיים z שדה מעל סימטרית בילינארית תבנית B : V × V → z תהיריבועי). שורש יש איבר לכל שבו שדה יותר, כללי באופן (או אלגברית סגור שדה z

או 1 הם האלכסון איברי וכל אלכסונית, B של הייצוג מטריצת אליו שביחס בסיס קיים אזי.0

100

אלכסונית. המטריצה אליו שביחס בסיס שקיים נסיק הלכסון ממשפט הוכחההמקיימים: קבועים ci ונבחר A = (aij) המטריצה את נסמן

c2i ai =

{0 ai = 0

1 ai 6= 0

c2i ai = 1 המקיימים ci קבועים קיימים בהכרח אלגברית, סגור בשדה שמדובר מכיוון� שלילי. ai עבור גם

(מהתרגול) חפיפה על־ידי סימטרית מטריצה ללכסון אלגוריתם 43.2

.charz 6= 2 המקיימים בשדות רק נדון.n× n סימטרית מטריצה A = (aij) נתונה .0

(בגלל .0 שאינו (i) שלו בשורה אחר איבר קיים שעבורו הראשון, aii באיבר להתחיל .1.(i-ה השורה לאיברי שווים i-ה העמודה איברי הסימטריות

הבאות: מהפעולות אחת באמצעות 0 שאינו לאיבר אותו נהפוך aii = 0 אם .2החלפת באמצעות ii-ה למקום אותו נעביר ,ajj 6= 0 המקיים האלכסון על איבר קיים אם א.

ועמודות. שורות(בגלל מ-0. ששונה i-ה העמודה על כלשהו איבר קיים בהכרח כנ"ל, איבר קיים לא אם ב.

.ii-ה למקום אותו נעביר ואז ,(i-ה השורה על גם כזה קיים הסימטריותוהעמודה בשורה האיברים כל את לאפס כדי aii-ב נשתמש אלמנטריות, פעולות באמצעות .3

שלו..i-ה והעמודה i-ה השורה ממחיקת המתקבלת המטריצה תת על התהליך אותו את נבצע .4אלכסונית, D = PAP t המטריצה אז השורות, על הפעולות הרכבת של המטריצה היא P אם

.P משורות המתקבל הבסיס באמצעות התבנית את ומייצגת

סילבסטר של ההתמדה משפט 43.3

.R מעל סימטרית בילינארית תבנית B : V × V → z תהיאזי:

,1 הם האלכסון איברי וכל אלכסונית, B של הייצוג מטריצת אליו שביחס בסיס קיים .1.0 או −1

מהצורה: אלכסונית היא זה לבסיס ביחס התבנית של המטריצה כלומר,

1. . .

1

p

−1. . .

−1

q

0. . .

0

s

.p+ q + s = dimV כאשר

101

ה-1− מספר ,p יהיה ה-1 מספר הזו, מהצורה היא המטריצה שבו אחר בסיס בכל .2.s יהיה ה-0 ומספר q יהיה

אליו שביחס e1, ..., en בסיס למצוא שניתן נובע הלכסון ממשפט (1 טענה (של הוכחהאלכסונית. B של הייצוג מטריצת

ap+1, ..., aq < ,a1, ..., ap > 0 יתקיים ai = B (ei, ei) שעבור כך הזה הבסיס את נסדר.aq+1, ..., an = ו-0 ,0

.e′

i = ei√|ai|

ב- ei את נחליף i = 1, ..., p+ q לכל

הבאה: מהצורה הוא המטריצה של הכללי שהאיבר נקבל

B(e′

i, e′

i

)=

1 1 < i ≤ p−1 p < i ≤ p+ q

0 p+ q < i

�

.e1, ..., en המלכסן הבסיס בבחירת תלויים אינם p, q, s-ש נוכיח (2 טענה (של הוכחהקבוע. s ולכן הייצוג, בבסיס תלות ללא rank [B] = p+ q מתקיים ראשית

אם בהחלט" "חיובי להיות W ⊆ V תת־מרחב נגדיר קבועים, p, q-ש להראות כדימתקיים:

∀06=w∈W B|W (w,w) > 0

האחרונה האקסיומה גם שתתקיים דרישה וזו בילינאריות, בתבניות היה עתה עד [הדיוןפנימית.] מכפלה שמקיימת

בהחלט. חיובי שהוא V של המקסימלי המרחב תת ממד הוא p למה:בהחלט חיובי ת"מ קיים וכן ,dimW ≤ p אזי בהחלט, חיובי ת"מ W אם כלומר,

.p שממדו

.W2 = span {ep+1, ..., en} ,W1 = span {e1, ..., ep} נסמן נימוק:מתקיים: v =

∑pi=1 xiei המקיים 0 6= v ∈W1 וקטור שעבור לב נשים

Q(v) = B (v, v) =

p∑i=1

x2i · 1 > 0

מתקיים: v =∑ni=p+1 xiei המקיים 0 6= v ∈W2 וקטור ועבור

Q (v) = B (v, v) =

n∑i=p+1

x2i · (−1) < 0

כנדרש. ת"מ קיים ולכן בהחלט, חיובית Q (v) שעליו p מממד ת"מ הוא W1-ש מכאןגדול ושממדו ,Q (v) > 0 כלומר בהחלט, חיובי W ⊆ V ת"מ שקיים בשלילה נניח

.p-מW ∩W2 שהחיתוך ומכאן dimW+dimW2 > n ולכן dimW2 = n−p כי לב נשים

ריק. אינוQ (v) > 0 הריבועית שהתבנית אחד מצד מתקיים 0 6= v ∈ W ∩W2 שעבור נקבל

סתירה. וזו ,v ∈W2 כי Q (v) < 0 שני ומצד v ∈W כי� .dimW ≤ p כי מתקיים בהחלט חיובי W ת"מ שאם מכאן

102

.q מממד שלילי ת"מ ובהתאמה p מקסימלי מממד בהחלט חיובי ת"מ קיים שתמיד מכאן,1,−1, 0 של אלכסונית מצורה היא התבנית של [B]

′ הייצוג מטריצת אחר שבבסיס נניח כעתקבוע). s-ש (ברור s הוא ה-0 ומספר q′ הוא ה-1− מספר ,p′ הוא ה-1 מספר כי ונניח

מקסימלי. חיובי תת־מרחב קיום לגבי הלמה לפי p′ ≤ p כי מתקיים בהכרחחיובי ת"מ קיים שלא [B]

′ המטריצה על הלמה מהפעלת נקבל ממש, p′ < p כי נניח אם�.p שקיים לכך בסתירה ,p′-מ גדול מממד ממש

מספר חד־משמעי באופן מוגדרים R מעל סימטרית בילינארית שלתבנית הוכחנו סיגנטורהמלכסן. בסיס לפי הייצוג במטריצת (q) ה-1− ומספר (p) ה-1

של הסיגנטורה נקרא והוא ,(p, q) זוג מוגדר כזאת תבנית של מטריצה שלכל מכאןהמטריצה.

.p+ q = n-ש לטענה שקולה מנוונת אינה B-ש הטענה כי לב נשים הערהB אז q = n ואם פנימית, מכפלה היא B-ו בהחלט חיובית B אז p = n אם כמו־כן,

פנימית. מכפלה היא −B-ו בהחלט, שלילית

103

VI חלק

ז'ורדן של הקנונית הצורה.dimV = n <∞ כאשר T : V → V ט"ל כלשהו, z בשדה נדון

.T (W ) ⊆W ,T (U) ⊆ U כלומר .V של T־אינווריאנטיים ת"מ U,W כי נניח תזכורתהיא T של המטריצה ,W ו- U של הבסיסים איחוד שהוא V של בסיס בכל אזי

מהצורה:

[T ] =

([TU ] 0

0 [TW ]

)

n קיימים אז חד־ממדיים, ת"מ n של ישר לסכום V את לפרק מצליחים אם נשים־לבאלכסונית. המטריצה ולכן עצמיים וקטורים

ז'ורדן בלוק 44

הבאה: מהצורה מטריצה על־ידי נתונה כלשהו e1, ..., en שבבסיס ט"ל T כי נניח

A =

λ1 λ

1. . .

. . .. . .

1 λ

.λ ערך־עצמי עם n מגודל ז'ורדן בלוק היא A אז

היא: e1, ..., en הבסיס וקטורי על A של שהפעולה לב נשים

Tei = λei + ei+1 i = 1, ..., n− 1

Ten = λen

סטנדרטי.] בסיס שזהו הנוחות לצורך [הנחנו

עצמיים ערכים

fA (x) = |xI −A| =

x− λ−1 x− λ

−1. . .

. . .. . .

−1 x− λ

= (x− λ)n

.n מריבוי λ הוא A של היחיד העצמי שהערך ומכאן

104

עצמיים וקטורים

.λ הע"ע של העצמי המרחב את נחפששמתקיים: לב נשים

(A− λI)

x1...

xn

=

01 0

1. . .

. . .. . .

1 0

x1x2x3...

xn

=

0x1x2...

xn−1

(A− λI)2

x1...

xn

= (A− λI)

0x1x2...

xn−1

=

00x1...

xn−2

•

•

•

(A− λI)n

x1...

xn

=

000...

0

105

מתקיים: עצמי, וקטור הוא כלשהו וקטור שאם מכאן

A

x1x2x3...

xn

= λ

x1x2x3...

xn

⇓

(A− λI)

x1x2x3...

xn

= 0

⇓0x1x2...

xn−1

= 0

Vλ = Span {en}-ש ומכאן ,x1 = x2 = ... = xn−1 = 0 כי מתקיים בהכרח ולכן

רק יש זה במקרה ואילו ו"ע, n של בסיס דרוש ללכסון כי מלכסון, "רחוק" מצב זה הערהאחד.

1 הוא שלה הגאומטרי והריבוי (מקסימלי), n הוא λ של האלגברי שהריבוי לב נשים(מינימלי).

ז'ורדן צורת 45

ז'ורדן. בלוק הוא בלוק כל שבה בלוקים מטריצת היא ז'ורדן בצורת מטריצה.0 נמצא הבלוקים ובין שונה, ע"ע להיות יכול בלוק בכל

ז'ורדן: צורת בעלת היא הבאה המטריצה למשל

[−11 −1

]0

0

21 2

1 2

r עם ז'ורדן צורת עם מטריצה באמצעות מיוצגת T : V → V ט"ל אם כי לב נשים הערההוא מהם אחד שכל תתי־מרחבים, r של ישר לסכום מתפרק V המרחב אז בלוקים,

T־אינווריאנטי.

106

ז'ורדן משפט 46

בצורה: לינאריים לגורמים מתפרק fT שלה האופייני שהפולינום ט"ל T : V → V כי נניח

fT (x) = (x− λ1)m1 · (x− λ2)

m2 · ... · (x− λr)mr

ז'ורדן. בצורת נתונה T אליו שביחס V של בסיס קיים אזי ,i 6= j לכל λi 6= λj כאשרבהתאמה. mi הוא שלהם הריבוי כאשר ,λi הע"ע מופיעים בבלוקים

שהמטריצה T־אינווריאנטיים, לת"מ V של פירוק שקיים לכך שקולה הטענה 1 הערהז'ורדן. בלוק היא מהת"מ אחד כל שמייצגת המצומצמת

של התנאי ולכן לינאריים, לגורמים מתפרק פולינום כל אלגברית סגור שדה מעל 2 הערהתמיד. מתקיים ז'ורדן משפט

מטריצות עבור זאת להראות שמספיק נראה ראשית שלבים. בשני המשפט את נוכיחנילפוטנטיות. למטריצות הטענה את נוכיח ואחר־כך נילפוטנטיות,

נילפוטנטיות 46.0.1

למשל כך .0 זהותית היא שבה כלשהי k חזקה לה קיימת אם נילפוטנטית היא מטריצה,λ ע"ע עם n מגודל ז'ורדן בלוק היא A כאשר S = A − λI המטריצה כי לעיל הראינו

.Sn ≡ 0 כלומר .n מדרגה נילפוטנטית

מטריצה של האופייני הפולינום לכן .0 הם S נילפוטנטית מטריצה של µ הע"ע כל 1 טענה.fS (x) = xn מהצורה הוא S נילפוטנטית

הנילפוטנטיות דרגת שהיא k עבור אזי .Sv = µv מתקיים v 6= 0 ו"ע שעבור נניח הוכחהמתקיים:

0 = skv = µkv ⇒ µkv = 0⇒ µ = 0

מהגרעין. ו"ע עם S של ע"ע הוא 0 ולכן ,KerS 6= 0 אז נילפוטנטית S מטריצה אם 2 טענה

שווי־ מרחבים שני בין חח"ע ט"ל היא כי הפיכה, S אזי KerS = 0 שלו לב נשים הוכחהשהיא לכך בסתירה הפיכה, להיות צריכה הייתה היא שלה חזקה בכל גם ולכן ממד,

נילפוטנטית.

מוכללים ותמונה גרעין 46.0.2

.dimV = n <∞ כאשר ט"ל S : V → V תהיונגדיר: ,S ◦ S ◦ ... ◦ S = Sk בטרנספורמציה נתבונן

Uk = Ker(Sk)

Wk = Im(Sk)

שמתקיים: נובע הממדים ממשפט

dimUk + dimWk = n

107

.V = Uk ⊕Wk-ש בהכרח מכך להסיק ניתן שלא לב נשים אךתנאים: שני להתקיים צריכים ישר סכום שיהיה שכדי נזכור

Uk ∩Wk = {0} V = Uk +Wk

המרחבים תתי ממדי סכום שבו במקרה אולם בדרך־כלל, שקולים אינם הללו התנאים שנישקולים. הללו התנאים שני ,n הוא

מתקיים: כללי שבאופן [נזכור

dim (U +W ) = dimU + dimW − dim (U ∩W )

האחרונה.] הקביעה נובעת ומכאן

מתקיים: k לכל 1 למה

Uk ⊆ Uk+1 Wk ⊇Wk+1

כי: נסיק ,Skv = ש-0 כך כלשהו, v ∈ Uk יהי הוכחה

S(Skv

)= S (0) = 0⇒ Sk+1v = 0⇒ v ∈ Uk+1

כי: נסיק ,v = Sk+1u-ש כך v ∈Wk+1 יהי

v = Sk (Su)⇒ v ∈Wk

�

מתקיים: k > k0 שלכל כך k0 קיים 2 למה

Uk = Uk+1 Wk = Wk+1

.n על־ידי וחסום k-ב שעולה טבעי מספר הוא dimUk כי נובע 1 שמלמה לב נשים הוכחה.0 על־ידי וחסום k-ב שיורד טבעי מספר הוא dimWk כי נובע 1 מלמה כן כמו

dimWk = וכן ,dimUk = dimUk+1 מתקיים k > k0 שלכל כך k0 שקיים מכאן.dimWk+1

עבור המבוקש השוויון את נסיק 1 בלמה שהוכחנו ההכלות בצירוף הממדים משוויון� .Wk ועבור Uk

ולצורך ,Wk עבור וגם Uk עבור גם k0 מאותו מתחיל שהשוויון קובעת לא הלמה הערההתנאים. שני את שיקיים גדול מספיק k0 לבחור ניתן העניין

ולכן והתמונה, הגרעין ממד בין לינארי קשר קובע הממדים משפט ,n בהינתן זאת, עםישתנה. לא והאחר יגדל/יקטן מהם שאחד ייתכן לא

מתקיים: אזי ,W = Wk0 ,U = Uk0 נסמן 3 למה

V = U ⊕W

108

שמתקיים: לב נשים הוכחה

S (Wk) = Wk+1

כי:

Wk ={Skv|v ∈ V

}⇒ S (Wk) =

{Sk+1v|v ∈ V

}= Wk+1

S-ש הרי ,S (Wk) = Wk+1 וגם Wk = Wk+1-ש מכיוון ,W = Wk0 נסמן אם ולכןבכל הפיכה היא ולכן ועל, חח"ע העתקה S|W הט"ל משמע לעצמו. W את מעתיקה

שלה. חזקהובפרט ,Skv = 0 גם מתקיים (k > k0 (עבור v ∈ Uk ∩ Wk אם כי נסיק

.v = ש-0 בהכרח הפיכה, S-ש מכיוון אך ,(Sk|W

)(v) = 0

כי נסיק ,n הוא שלהם הממדים שסכום ומכיוון ,Uk ∩Wk = {0} כי מכאן נסיק� .V = U ⊕W

ומתקיים: ,S של המוכללת" "התמונה ו-Wk0נקרא ,S של המוכלל" "הגרעין Uk0נקרא מסקנה

Uk0 =⋃k≥1

Ker(Sk)

Wk0 =⋂k≥1

Im(Sk)

S|Uk0 כאשר S־אינווריאנטיים, תתי־מרחבים של ישר לסכום מתפרק V המרחב וכן.(3 למה של בהוכחה זאת (ראינו הפיכה S|Wk0

ו- נילפוטנטית

אינווריאנטיים ת"מ הם W = Wk0 המוכללת והתמונה U = Uk0 המוכלל הגרעין 4 למה.TS = ST המקיימת T כלומר, .S עם המתחלפת T ט"ל לכל

שמתקיים: נובע TS = ST שמהנתון לב נשים ראשית הוכחה

TSk = TSS...S = STS...S = ... = SS...ST = SkT

מתקיים: אזי ,u ∈ Uk כי נניח

Sk (Tu) = T(Sku

)= T (0) = 0

T־אינווריאנטי. הוא Uk-ש ומכאן ,Tu ∈ Uk גם ולכןשמתקיים: כך v ∈ V קיים אזי ,w ∈Wk כי נניח

Skv = w

נסיק:

Tw = T(Skv

)= Sk (Tv)

� T־אינווריאנטי. הוא Wk-ש ומכאן ,Tw ∈Wk ולכן

109

הנילפוטנטי למקרה רדוקציה - ז'ורדן משפט הוכחת 46.1

המטריצות. לכל נכונותה את גורר שזה ונראה נילפוטנטיות למטריצות נכונה שהטענה נניח.dimV = n על באינדוקציה זאת נוכיח

לגורמים מתפרק שלה האופייני שהפולינום ונניח כלשהי, ט"ל T : V → V כי נניח •מהצורה: שהוא כך לינאריים

fT (x) = (x− λ1)m1 · (x− λ2)

m2 · ... · (x− λr)mr

שמכיוון לב ונשים S = T − λI בטרנספורמציה נתבונן כלשהו, ע"ע λ = λ1 יהישמתקיים: הרי ,Tv = λv-ש כך v ∈ V שקיים

KerS = U1 6= 0

וממשפט ,(Uk ⊆ Uk+1-ש לעיל (הוכחנו U 6= 0 מקיים U המוכלל הגרעין שגם מכאן.dimW < dimV = n כי נסיק הממדים

מיוצגת S אליו שביחס U של בסיס קיים ההנחה לפי לכן נילפוטנטית. S|U כי הוכחנו •מטריצה של הע"ע שכל (הוכחנו 0 הם הע"ע בבלוקי־ז'ורדן כאשר ז'ורדן, בצורת

.(0 הם נילפוטנטית

T־אינווריאנטיים. ת"מ U,W ש- נובע קודמת מטענה לכן מתחלפות, T ו- S-ש לראות ניתן •

שבלוק מתקיים ,0 ע"ע עם ז'ורדן כמטריצת S|U של הבלוק מיוצג שבו בסיס באותו •T = S+λI ⇔ S ש-= לב נשים כי ,λ ע"ע עם ז'ורדן כמטריצת הוא T |U של הייצוג

.T − λI

מז'ורדן. W T־אינווריאנטי ה- הת"מ את שמייצג הימני־תחתון שהבלוק להראות נשאר •באינדוקציה. זאת נעשה

לגורמים מתפרק האופייני הפולינום כי נכון, ודאי זה אלגברית סגור שדה z אםבסיס קיים האינדוקציה מהנחת לכן .dimW < dimV = n כי ראינו וכן לינאריים,

ז'ורדן. כבלוק מיוצג הוא אליו שביחסמקיים: T של האופייני שהפולינום לב נשים אלגברית, סגור שדה אינו z אם

fT (x) = fT |U (x) · fT |W (x)

לינאריים, לגורמים מתפרק fT |W גם בהכרח לינאריים, לגורמים מתפרק fT אם ולכןמיוצג הוא אליו שביחס בסיס שקיים לגביו גם להניח נוכל האינדוקציה מהנחת ולכן

ז'ורדן.� כבלוק

מוכללת הגדרה - ופרישה לינארית אי־תלות 46.1.1

וקטורי. תת־מרחב V′ ⊆ V ויהי ,n ממד סוף־ממדי, וקטורי מרחב V יהי

אם ,V′מודולו לינארית בלתי־תלויה תיקרא {v1, ..., vm} ⊂ V וקטורים קבוצת הגדרה

הגרירה: מתקיימת

a1v1 + ...+ amvm ∈ V′⇒ ∀i ai = 0

110

ניתן v ∈ V כל אם ,V′מודולו פורשת תיקרא {v1, ..., vm} ⊂ V וקטורים קבוצת הגדרה

מהצורה: לייצוג

v = a1v1 + ...+ amvm + v′

.v′ ∈ V ′ עבור

בלתי־תלויה היא אם ,V′מודולו בסיס תיקרא {v1, ..., vm} ⊂ V

′וקטורים קבוצת הגדרה

.V′מודולו ופורשת V

′מודולו לינארית

אי־תלות של הקלאסיות ההגדרות את נקבל ,V′

= {0} מתקיים אם כי לב נשים 1 הערהופרישה.

אמ"מ V′מודולו בת"ל היא v1, ..., vm הקבוצה .V

′′= span {v1, ..., vm} נסמן 2 הערה

ומתקיים: V′′של בסיס v1, ..., vm

V′′∩ V

′= {0}

.V′מודולו בסיס v1, ..., vm אז ,V = V

′ ⊕ V ′′ מתקיים אם כלומר,

אזי: .V′של בסיס u1, ..., uk יהיו טענה

בת"ל קבוצה u1, ..., uk, v1, ..., vm אמ"מ V′מודולו בת"ל v1, ..., vm כלשהי קבוצה .1

.V ב-

קבוצה u1, ..., uk, v1, ..., vm אמ"מ V′מודולו פורשת v1, ..., vm כלשהי קבוצה .2

.V של פורשת

לבסיס. מקבילה טענה מספק הטענות שתי צירוף .3

u1, ..., uk, v1, ..., vm-ש להוכיח צריך .V′מודולו בת"ל v1, ..., vm-ש נניח אחד, בכיוון (1) הוכחה

בת"ל.נסיק: .

∑mi=1 aivi +

∑kj=1 bjuj = 0 כי נניח

m∑i=1

ai, vi = −k∑j=1

bjuj ∈ V′

bj = 0 כי נסיק בת"ל קבוצה u1, ..., uk-ש ומכיוון ,i לכל ai = 0 כי נובע מההנחהבת"ל. u1, ..., uk, v1, ..., vm ולכן ,j לכל

בת"ל v1, ..., vm כי להראות צריך בת"ל. u1, ..., uk, v1, ..., vm כי נניח שני, בכיוון.V′מודולו

ההפרש ולכן ,∑kj=1 bjuj מהצורה להצגה ניתן הוא אזי ,

∑mi=1 aivi ∈ V

′כי נניח

.0 הוא הללו הביטויים שני בין� .i לכל ai גם ובפרט ,0 הם המקדמים שכל נובע מההנחה

תרגיל (3+2) הוכחה

מסקנה

111

מודולו בסיס היא זו, לתכונה ביחס מקסימלית והיא V′מודולו בת"ל שהיא קבוצה .1

.V′

.V′מודולו לבסיס להשלים ניתן V

′מודולו בת"ל שהיא קבוצה .2

,V′של כלשהו בסיס להיות u1, ..., uk נבחר .V

′מודולו בת"ל v1, ..., vm כי נניח הוכחה

לבסיס. להשלמה ניתנת ולכן V ב- בת"ל הללו הקבוצות איחוד

סינון 46.1.2

מהצורה: תתי־מרחבים של עולה סדרה הוא ,V וקטורי מרחב של k מאורך סינון הגדרה

V0︸︷︷︸≡0

⊆ V1 ⊆ V2 ⊆ ... ⊆ Vk = V

מקיים: ,k מדרגה S נילפוטנטית ט"ל של שהגרעין ראינו דוגמה

Ker (I) ⊆ Ker (S) ⊆ Ker(S2)⊆ ... ⊆ Ker

(Sk)

= V

.V של סינון היא נילפוטנטית S של העולות החזקות של הגרעינים סדרת ולכן

(Vi) תתי־מרחבים של כלשהי סדרה ותהי ,

{vij |

1≤i≤k

1≤j≤si

}⊆ V הקבוצה תהי טענה

.vij ∈ Vi המקיימת ,V של סינון שמהווה

הקבוצה אזי ,Vi−1 מודולו Vi-ב בת"ל {vij}sij=1 מהצורה תת־קבוצה כל i לכל אם .1.V ב- בת"ל היא כולה {vij}

הקבוצה אזי ,Vi−1 מודולו Vi את פורשת {vij}sij=1 מהצורה תת־קבוצה כל i לכל אם .2.V את פורשת כולה {vij}

הקבוצה אזי ,Vi−1 מודולו Vi של בסיס {vij}sij=1 מהצורה תת־קבוצה כל i לכל אם .3.V של בסיס כולה {vij}

הוא: המוזכרת הקבוצה של נוח ייצוג

(i = 1, j = 1, ..., s1) v11, ..., v1s1

(i = 2, j = 1, ..., s2) v21, ..., v2s2

•••

(i = k, j = 1, ..., sk) vk1, ..., vksk

112

.Vi−1 מודולו Vi-ב בת"ל היא {vij}sij=1 מהצורה תת־קבוצה כל i שלכל נניח (1) הוכחהaij 6= 0 מקדמים קיימים כלומר לינארית. תלויה כולה {vij} שהקבוצה בשלילה נניח

ש: כך

k∑i=1

si∑j=1

aijvij = 0

מתקיים: אזי .ai0j 6= 0 קיים שעבורו המקסימלי האינדקס i0 יהי

si0∑j=1

ai0jvi0j +

i0−1∑i=1

si∑j=1

aijvij = 0

⇓si0∑j=1

ai0jvi0j = −i0−1∑i=1

si∑j=1

aijvij ∈ Vi0−1

כל בהכרח ולכן ,Vi−1 מודולו Vi-ב בת"ל {vi0j} הקבוצה שתת נובע מההנחה אבל� להנחה. בסתירה ,0 שווים המקדמים

.Vi−1 מודולו Vi את פורשת {vij}sij=1 מהצורה תת־קבוצה כל i שלכל נניח (2) הוכחהקבוצת על־ידי נפרשים Vl-ב הווקטורים שכל 1 ≤ l ≤ k על באינדוקציה נוכיח

.{vij} הווקטורים.V0 = {0} כי ,V0 את פורשת {v1j}s1j=1-ש נתון l = 1 עבור

כלשהו. v ∈ Vl ויהי ,{vij} ע"י נפרש Vl−1 כי נניחמתקבל v כי שמתקיים נסיק האינדוקציה), הנחת (לא ההוכחה מראשית ההנחה לפי

כלשהו. v′ ∈ Vl−1 עבור

∑ajvlj + v

′כצ"ל

של כצ"ל מתקבל v ולכן ,{vij} של כצ"ל מתקבל v′גם כי נסיק האינדוקציה מהנחת

� .{vij}

הנילפוטנטי המקרה - ז'ורדן משפט הוכחת 46.2

.k מדרגה נילפוטנטית T ש- נניחמהצורה: סינון לעיל בנינו

U1 ⊆ U2 ⊆ ... ⊆ Uk = V

.Ul = Ker(T l)מגדירים כאשר

Tv1, ..., T vm ∈ אזי ,Ui−1 מודולו בת"ל והם v1, ..., vm ∈ Ui אם כי מתקיים i ≥ 2 לכל למה.Ui−2 מודולו בת"ל הם Ui−1

מתקיים: j = 1, ...,m שלכל לב נשים הוכחה

T i−1 (Tvj) = T ivj = 0

.Tv ∈ Ui−1-ש ברור ולכןלהראות צריך ,

∑mj=1 ajTvj ∈ Ui−2 כי נניח .Ui−2 מודולו תלויים לא שהם נראה

113

.j לכל aj = ש-0שמתקיים: לב נשים

0 = T i−2

m∑j=1

ajTvj

= T i−1

m∑j=1

ajvj

ולכן ,Ui−1 מודולו בת"ל v1, ..., vm ∈ Ui-ש נתון אולם .

∑nj=1 ajvj ∈ Ui−1 ולכן

� .j לכל aj = 0

ז'ורדן. מטריצת תהיה הייצוג מטריצת שלפיו הבסיס את נבנה

מודולו בת"ל Jk = {ek1, ..., eksk} ⊂ Uk = V וקטורים של מקסימלית קבוצה נבחר •מקיימת: Jk כלומר, .Uk−1

V = Uk = span {Jk} ⊕ Uk−1

.Uk−1 מודולו V של בסיס Jk ולכן

מהצורה קבוצה ונקבל Jk על T את נפעיל •

{Tek1, ..., T eksk} ⊂ Uk−1

לבסיס אותה להשלים ניתן ולכן ,Uk−2 מודולו בת"ל זו שקבוצה נובע שהוכחנו מהלמה.Uk−1 של

שהתקבל: הבסיס את ונסמן Uk−1 של בסיס להיות אותה נשלים

Jk−1 ={Tek1, ..., T eksk , ek−1,1, ..., ek−1,sk−1

}מקיימת: Jk−1 כלומר,

Uk−1 = span {Jk−1} ⊕ Uk−2

.Uk−2 מודולו Uk−1 של בסיס Jk−1 ולכן

מהצורה קבוצה ונקבל Jk−1 על T את נפעיל •{T 2ek1, ..., T

2eksk , T ek−1,1, ..., T ek−1,sk−1

}לבסיס אותה להשלים ניתן ולכן ,Uk−3 מודולו בת"ל זו שקבוצה נובע שהוכחנו מהלמה

.Uk−2 שלשהתקבל: הבסיס את ונסמן Uk−2 של בסיס להיות אותה נשלים

Jk−2 ={T 2ek1, ..., T

2eksk , T ek−1,1, ..., T ek−1,sk−1, ek−2,1, ..., ek−2,sk−2

}מקיימת: Jk−2 כלומר,

Uk−2 = span {Jk−2} ⊕ Uk−3

.Uk−3 מודולו Uk−2 של בסיס Jk−2 ולכן

114

שהיא J1-ל שמגיעים עד ,1 ≤ l ≤ k על יורדת באינדוקציה הזו הבנייה את ממשיכים •רגילה). אי־תלות למעשה (וזו U0 = {0} מודולו U1 של בסיס

הבאות: התכונות את מקיימת Jl כלשהי שקבוצה נקבל

.Ul−1 מודולו Ul של בסיס והיא ,Jl ⊂ Ul .1

.T (Jl+1) ⊂ Jl מתקיים l לכל .2

הבא: באופן הבנייה במהלך שנאספו הווקטורים כל את נסכם •

(k) ek1 . . . eksk(k − 1) Tek1 . . . T eksk ek−1,1 . . . ek−1,sk−1

(k − 2) T 2ek1 . . . T 2eksk Tek−1,1 . . . T ek−1,sk−1. . .

......

. . ....

.... . .

.... . .

(1) T k−1ek1 . . . T k−1eksk T k−2ek−1,1 . . . T k−2ek−1,sk−1. . .

.V של בסיס הוא J = Jk ∪Jk−1 ∪ ...∪J1 הקבוצות שאיחוד נובע סינון על מהלמההוא: זה בבסיס האיברים שמספר לב נשים

dimV = n = |J | =k∑l=1

lsl

הבא: באופן עמודות לפי J הבסיס וקטורי כל את נסדרek1 Tek1 . . . T k−1ek1ek2 Tek2 . . . T k−1ek2...

.... . .

...

eksk Teksk . . . T k−1eksk

ek−1,1 Tek−1,1 . . . T k−2ek−1,1ek−1,2 Tek−1,2 . . . T k−2ek−1,2

......

. . ....

ek−1,sk Tek−1,sk . . . T k−2ek−1,sk

•

•

•

באופן ז'ורדן מבלוקי שמורכבת ז'ורדן מטריצת היא T של המטריצה הזה בבסיסהבא:

k בגודל ז'ורדן בלוקי sk -k − 1 בגודל ז'ורדן בלוקי sk−1 -

...

1 בגודל ז'ורדן בלוקי s1 -

�

115

אינווריאנטיים, תתי־מרחבים של ישר לסכום מרחב של פירוק בין הדוק קשר יש תזכורתאלכסונית. בלוקים במטריצת ט"ל של ייצוג לבין

Vi כי i לכל שמתקיים כך ט"ל, T : V → V כי ונניח V = V1 ⊕ ... ⊕ Vm כי נניח.T (Vi) ⊆ Vi כלומר T־אינווריאנטי. ת"מ

היא T של הייצוג מטריצת ,{Vi} של הבסיסים איחוד שמהווה V של בסיס בכל אזי.dimVi הוא בה בלוק כל של שגודלו בלוקים, מטריצת

צורת־ז'ורדן יחידות 46.3

מסודרים שהבלוקים ונניח ,λ1, ..., λs הע"ע את קיבלנו ז'ורדן צורת של הבנייה לאחר כי נניחהעצמיים. הערכים של זה לסדר בהתאם

כל של הבלוקים סך גודל ולכן הבסיס, בבחירת תלוי אינו עצמי ערך כל של האלגברי הריבויהאופייני. בפולינום mi שלו האלגברי הריבוי הוא λi ע"ע

U = KerS הוא שלו העצמי שהמרחב כך S = T − λI נסמן כלשהו, עצמי ערך λ יהי.λ של האלגברי הריבוי הוא שלו והממד

בלוקים sk קיימים λ של הבלוקים שבין ונניח ,S|U של הנילפוטנטיות דרגת את k-ב נסמןהלאה. וכן ,k − 1 בגודל בלוקים sk−1 ,k בגודל

צורת שבכל להסיק נוכל הבסיס, בבחירת תלויים אינם si שהמספרים להראות נוכל אםקבוע. λ הע"ע של מהבלוקים בלוק כל של גודלו המטריצה, של ז'ורדן

המקיימות: Ji וקטורים קבוצות הגדרנו המז'רדן הבסיס של הבנייה בתהליך

|Jk| = sk = dimUk − dimUk−1

|Jk−1| = sk + sk−1 = dimUk−1 − dimUk−2

...

|J1| = sk + sk−1 + ...+ s1 = dimU1

מוגדר si המספר i שלכל להסיק נוכל חד־משמעית, מוגדר dimUi הממד i שלכל מכיוון� חד־משמעית.

116