(2) באנליזה יסוד מושגי

.

מנגובי דן פרופ' הרצאות על מבוסס(80601) "(2) באנליזה יסוד "מושגי בקורס2017 ב' סמסטר העברית, האוניברסיטהnachi.avraham@gmail.com להערות:

נחי

ותיקונים הערות ששלח למי תודה

1

עניינים תוכן

3 סובולב מרחבי I4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חלשה נגזרת 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סובולב מרחב 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מוטיבציה 2.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סובולב שוויוני אי 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גזירות) (לפונקציות סובולב שוויון אי 3.112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הולדר) (למרחבי מוריי שוויון אי 3.216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קירוב שיטות 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קונבולוציה 4.119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חלקות קירוב שיטות 4.221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציות למרחבי השיכון ומשפט כללית) (גרסה סובולב שוויון אי 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . רציפים למרחבים השיכון ומשפט כללית) (גרסה מוריי שוויון אי 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קומפקטיות 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דיריכלה ובעיית הלפלסיאן 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ללפלסיאן הספקטרלי המשפט 8.130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אליפטית רגולריות 8.230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . דיסקרטיות נגזרות 8.2.132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פנימית אליפטית רגולריות 8.2.235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גלובלית אליפטית רגולריות 8.2.3

36 בנך אלגבראות II38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ספקטרום 939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ספקטרלי רדיוס 9.141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קומוטטיביות בנך אלגבראות 1043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גלפנד טרנספורם 10.148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C∗ אלגבראות 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הרציף הפונקציונלי החשבון 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הפונקציונלי החשבון העתקת 12.153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . נורמליים לאופרטורים הספקטרלי המשפט 13

59 פונקציות מרחבי של הרמונית אנליזה III60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ריס של האינטרפולציה משפט 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קושי אינטגרל 1566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הילברט טרנספורם 1667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L2 על הילברט טרנספורם 16.168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סינגולרי כאינטגרל הילברט טרנספורם של הצגה 16.1.170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lp על הילברט טרנספורם הרחבת 16.275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 < p

I חלק

סובולב מרחביואת ,Ck (Ω) נסמן פעמים k שגזירות Ω → R הפונקציות מרחב את וקשירה), פתוחה קבוצה (כלומר Ω ⊂ Rn תחום עבור סימון:

.Ckc (Ω) נסמן קומפקטי תומך בעלות שהן Ck (Ω) פונקציות של המרחב תת

קומפקטית קבוצה לכל אם ,Ω–ב מקומית אינטגרבילית f כי נאמר מדידה. פונקציה f : Ω → R ותהי תחום Ω ⊂ Rn יהי הגדרה:.L1loc

(Ω) נסמן מקום, בכל כמעט שוויון מודולו מקומית האינטגרביליות הפונקציות מרחב את .�K|f | 0 עבור מולטי־אינדקס α := (k1, . . . , kn) יהי מדידה. f : Rn → R תהי הגדרה:נסמן, פעמים, מספיק גזירה

∂αf (x) :=∂|α|f (x)

∂k1x1, . . . , ∂knxn

,φ ∈ C∞c (Ω) ולכל u ∈ C1 (Ω) לכל �טענה:

Ω

(∂iu (x)) · φ (x) dx = −�

Ω

u (x) · (∂iφ) dx

.i–ה הקואורדינטה לפי הסטנדרטית הנגזרת היא ∂i כאשר

,Ω–ב ברציפות גזיר ~F וקטורי שדה עבור כי קובע הדיברגנץ משפט הוכחה:�

Ω

div~FdΩ =

�

∂Ω

〈~F , ~n

〉d∂Ω

3

.∂Ω של החיצוני הנורמל הוא ~n כאשר

,div~F = ∂(u·φ)∂xi = (∂iu)·φ+u·∂iφ כי מתקיים ,(i–ה בקואורדינטה u·φ (כאשר~F = (0, . . . , 0, u · φ, 0, . . . , 0) עבור בפרט

הכל, בסך ולכן ,φ |∂Ω≡ 0 נובע φ ∈ C∞c (Ω) מההנחה כי לב נשים .〈~F , ~n

〉= u · φ · ni כי וכן

�

Ω

((∂iu (x)) · φ (x) + u (x) · ∂iφ (x)) dx = 0

� המבוקש. השוויון מתקבל אגפים ובהעברת

,α אינדקס מולטי לכל כי נובע אינדוקטיבית בצורה מסקנה:�

Ω

(∂αu (x)) · φ (x) dx = (−1)|α|�u (x) · ∂αφ (x) dx

חלשה נגזרת 1

מתקיים, ,α אינדקס מולטי ולכל φ ∈ C∞c (Ω) לכל אם ,u של חלשה נגזרת היא v כי נאמר .u, v ∈ L1loc (Ω) יהיו �הגדרה:

Ω

v · φ = (−1)|α|�

Ω

u · ∂αφ

.v = ∂αwu נסמן כזה במקרה

מקום. בכל כמעט יחידה היא חלשה נגזרת למה:

.φ ∈ C∞c (Ω) לכל�

Ω(v1 (x)− v2 (x))·φ (x) dx = 0 מתקיים אז ,u ∈ L1loc (Ω) של חלשות נגזרות v1, v2 ∈ L

1loc

(Ω) אם הוכחה:� כתרגיל). (נשאיר כ"ת v1 = v2 כי מכך נובע

היא f של החלשה הנגזרת כי נראה .u (x) =

{x 0 < x ≤ 11 1 < x < 2

ובפונקציה ,Ω = (0, 2) ⊂ R בתחום נתבונן דוגמה:

כלשהי, φ ∈ C∞c (Ω) עבור נחשב .v (x) =

{1 0 < x ≤ 10 1 < x < 2

2�

0

uφ′dx =

1�

0

xφ′dx+

2�

1

φ′dx =

φ |10 − 1�0

φdx

+ φ (2)− φ (1)(φ(0)=φ(2)=0) = φ (1)− φ (0)−

1�

0

φdx+ φ (2)− φ (1) = −1�

0

φdx = −2�

0

vφdx

חלשה. נגזרת לה שאין נראה .u (x) =

{x 0 < x ≤ 12 1 < x < 2

ובפונקציה ,Ω = (0, 2) ⊂ R בתחום נתבונן דוגמה:

4

, φ ∈ C∞c (Ω) לכל להתקיים צריך אז v = ∂wu ∈ L1loc (Ω) הייתה אם

2�

0

vφdx = −2�

0

uφ′dx = −1�

0

uφ′dx−2�

1

uφ′dx = −1�

0

xφ′dx− 22�

1

φ′dx

= −

φ |10 − 1�0

φdx

− 2φ (2) + 2φ (1)= −φ (1) + φ (0) +

1�

0

φdx− 2φ (2) + 2φ (1) =1�

0

φdx+ φ (1)

מתקיים, φ ∈ C∞c ((0, 1)) כל עבור בפרט2�

0

vφdx =

1�

0

φdx

.v |(0,1)≡ 1 ולכןמתקיים, φ ∈ C∞c ((0, 2)) כל עבור בפרט

2�

0

vφdx =

1�

0

φdx = 0

.v |(1,2)≡ 0 ולכן

מתקיימת, לא הנדרשת הנוסחה עבורה אבל .v (x) =

{1 0 < x ≤ 10 1 < x < 2

היא האפשרית היחידה המועמדת כלומר

2�

0

vφdx =

1�

0

φdx 6=1�

0

φdx+ φ (1) = −2�

0

uφ′dx

חלשה. גזירות מבטיח אינו חלש, גזירה לפונקציה כ"ת שוויון כי נובע לעיל מהדוגמאות הערה:

סובולב מרחב 2

,k ∈ N ∪ {0} , 1 ≤ p ≤ ∞ לפרמטרים ביחס סובולב מרחב את נגדיר ,Ω ⊂ Rn עבור הגדרה:

Wk,p (Ω) := {f ∈ Lp (Ω) | ∀α ∈ Nn, |α| ≤ k, ∃ ∂αwf ∈ Lp (Ω)}

הבאה, בנורמה זה מרחב נצייד

‖f‖Wk,p(Ω) :=∑|α|≤k

‖∂αwf‖p

5

בנך. מרחב הוא סובולב מרחב משפט:

משלמות .α ∈ Nn לכל ,Lp (Ω) של קושי סדרת (∂αwum) כלומר .Wk,p (Ω) של קושי סדרת (um) ⊂ Wk,p (Ω) תהי הוכחה:גבול יש α = (0, . . . , 0) עבור בפרט .∂αwum

Lp−−−−→m→∞

uα ∈ Lp (Ω) גבול יש כזאת סדרה לכל כי נובע Lp (Ω) מרחבי

.umLp−−−−→

m→∞u ∈ Lp (Ω)

,φ ∈ C∞c (Ω) לכל נחשב .α ∈ Nn לכל uα = ∂αwu כי להראות יש כלומר ,umWk,p(Ω)−−−−−−→m→∞

u כי להראות נותר

�

Ω

u · ∂αφ = limm→∞

�

Ω

um · ∂αφ

= limm→∞

(−1)|α|�

Ω

(∂αwum) · φ = (−1)|α|

�

Ω

uαφ

הולדר, מאי־שוויון נובעת והאינטגרל הגבול החלפת כאשר

‖u∂αφ− um∂αφ‖1 ≤ ‖u− um‖p · ‖∂αφ‖ p

p−1−−−−→m→∞

0

‖uαφ− ∂αwumφ‖1 ≤ ‖uα − ∂αwum‖p · ‖φ‖ pp−1 −−−−→m→∞ 0

� כנדרש.

.u ∈W1,p (B1) מתקיים t ערכי לאלו נבדוק .t > 0 לפרמטר ביחס u (x) = 1‖x‖t בפונקציה נתבונן דוגמה:

.Br = {x | ‖x‖ < r} ⊂ Rn ,r ברדיוס הכדור את r > 0 לכל נסמן

עם קורה מה לבדוק נותר .pt < n אם ורק אם u ∈ Lp (B1) ולכן 1,s < n אם ורק אם�B1

1‖x‖s dx −1 אם ורק אם סופי זה וביטוי

6

מתקיים, שכן ,vi /∈ Lp (Ω) אז p (t+ 1) ≥ n אם –

�

B1

‖x‖−p(t+2) |xi|p =1�

0

�

∂Br

‖x‖−p(t+2) |xi|p dσrdr

=

1�

0

r−p(t+2) �∂Br

|xi|p dσr

dr(y:= xr ) =

1�

0

r−p(t+2) �∂B1

rp |yi|p rn−1dσ1

dr=

1�

0

r−p(t+2)+p+n−1 �∂B1

|yi|p dσ1

dr=

�∂B1

|yi|p dσ1

· 1�

0

r−p(t+2)+p+n−1dr

אינסופי. ביטוי זהו p (t+ 1) ≥ n במקרה לכן .p (t+ 1) < n–ל שקול −p (t+ 2) + p+n− 1 > −1 כי לב נשים

,φ ∈ C∞c (Rn\ {0}) לכל כי לב נשים אחד, מצד .vi ∈ Lp (Ω) כי נראה p (t+ 1) < n אם –�

B1

u · ∂iφ =�

B1

1

‖x‖t∂iφ (x) dx = lim

�↓0

�

B1\B�

1

‖x‖t∂iφ (x) dx

.u · ∂φi ∈ L1 השולטת הפונקציה עבור הנשלטת, ההתכנסות משפט ידי עלסטנדרטית, גזירות ידי על ,� > 0 לכל שני, מצד

�

B1\B�

1

‖x‖t∂iφ (x) dx = −

�

B1\B�

φ (x) · −txi‖x‖t+2

dx−�

∂B�

1

‖x‖tφ (x) dσ�

= −�

B1\B�

φ (x) · −txi‖x‖t+2

dx−�

∂B�

1

�tφ (�x) �n−1dσ1

השני והמחובר הנשלטת), ההתכנסות משפט ידי על (שוב B1 כל על לאינטגרל מתכנס הראשון המחובר ,� ↓ 0 כאשר,y = x� משתנה שינוי ידי על �מקיים,

∂B�

1

�tφ (�x) �n−1dσ1 =

�

∂B1

u (�y)φ (�y) �n−1dσ1

= �n−1−t ·

�∂B1

u (�y)φ (�y) dσ1

−−→�↓0

0

.φ ∈ C∞c (Rn\B�) וכי n− 1− t > 0 כי הוא האחרון הגבול כאשר

7

השוויון, את נקבל הכל בסך �לכן

B1

u · ∂iφ = lim�↓0−

�

B1\B�

φ (x) · ∂iudx = −�

B1

φ · ∂iud

כנדרש.

מוטיבציה 2.1

רושמים הזו המשוואה את לפתור כדי רועד). (מיתר

{u′′ = −λu

u (0) = u (π) = 0המקיימות ,[0, π] הקטע על u הפונקציות בכל נתבונן

,λ > 0 עבור השפה), תנאי (בלי כללי פתרון תחילה

u (x) = a sin√λx+ b cos

√λx

אוסף לכן .λ = k2 כלומר ,k ∈ Z לאיזה√λπ = kπ כי נובע u (π) = 0 השפה ומתנאי ,b = 0 כי נובע u (0) = 0 השפה מתנאי

.uk (x) = sin kx הוא לבעיה העצמיות הפונקציות,k 6= ±l עבור כי לב נשים

〈uk, ul〉 =π�

0

ukul =

π�

0

sin kx · sin lxdx =π�

0

1

2(cos (k − l)x− cos (k + l)x) dx

=1

2

[1

k − lsin (k − l)x− 1

k + lsin (k + l)x

]π0

= 0

אורתונורמלית, מערכת לקבל כדי ננרמל

‖sin kx‖22 =π�

0

sin2 kxdx =

π�

0

1− cos 2kx2

dx =

[1

2x− 1

4ksin 2kx

]π0

=π

2

,L2 [0, π] בתוך האורתונורמלית מערכת מתקבלת ולכן

uk (x) =

√2

πsin kx

.L2 [0, π] של שלמה מערכת זו פוריה: משפט

מתקבל היה מחזוריים שפה תנאי דורשים היינו (אם .sin 2kx, cos 2kx הן הבסיס פונקציות הידוע פוריה בבסיס כי לב נשים הוכחה:הידוע). פורייה בסיס

זוגי, אי באופן [−π, π] לקטע cos את משכפלים הבא: באופן הנתון הבסיס ידי על נפרשת cosx שהפונקציה לראות ניתן� כנדרש. ,sin–ה רכיבי עם ונשארים זוגיות, מאי מתאפסים cos–ה רכיבי הידוע. פורייה בסיס ידי על זאת ופורשים

הלפלסיאן. אופרטור של עצמית פונקציה הוא זו לבעיה פתרון .

{∆u = −λuu |∂Ω= 0

הבעיה עם תחום Ω ⊂ Rn יהי הספקטרלי: המשפט

המהוות מתאימות, עצמיות פונקציות עם לאינסוף, השואפים 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . עצמיים ערכים של דיסקרטי אוסף קיים אזי.L2 (Ω) של אורתונורמלי בסיס

עם u (x) = ae√−λx + be−

√−λx הוא u′′ = −λu של הפתרון אז λ < 0 אם חיוביים: הע"ע כי לב נשים הערה:.λ = 0 נובע u (π) = 0 ומהתנאי ,u (x) = e

√−λx − e−

√−λx לכן ,u (0) = a+ b = 0

8

סובולב שוויוני אי 3

גזירות) (לפונקציות סובולב שוויון אי 3.1

.p∗ = npn−p > p כי לב נשים .1p∗ =

1p −

1n ידי על p

∗ נגדיר .1 ≤ p < n יהי סימון:

,u ∈ C1c (Rn) לכל מתקיים ,cp,n :=p(n−1)n−p > 0 הקבוע עבור ,1 ≤ p < n לכל משפט:

‖u‖p∗ ≤ cp,n · ‖|∇u|‖p

.Rn של כלשהי נורמה היא |∇u| כאשר

ואכן, ,p∗ =∞ כי p = n = 1 עבור מתקיים, 1 בממד הערה:

|u (x)| ≤�

R

|u′ (y)| dy

במשפט. השוויון אי ייתכן שעבורו יחיד הוא p∗ כי לב נשים כללי, באופן

.‖u‖q ≤ c ‖|∇u|‖p מתקיים u ∈ C1c (Rn) לכל אם נבדוק פיזיקלי: טיעון ידי על תחילה זו נראה הן, שמאל אגף של היחידות כי לב לב �)נשים

|u (x)|q dx)1/q

= [u] · ln/q

הן, שמאל אגף של היחידות �)ומנגד|∇u (x)|p dx

)1/p= [u]/l · ln/p = [u] · ln/p−1

להתקיים, צריך לכן האורך). יחידות חלקי u יחידות הן הנגזרת של (יחידות

n

q=n

p− 1

ולכן,

1

q=

1

p− 1n

מתקיים, .λ > 0 לאיזה v (x) = u (λx) ∈ C1c (Rn) נגדיר מתמטית: זאת נצדיק

‖v‖q =(�|u (λx)|q

)1/q(y=λx, dy=λndx) =

(�|u (y)|q λ−ndy

)1/q= λ−

n/q · ‖u‖q

מקיימת, הנגזרת כן כמו

(∂iv) (x) = λ (∂iu) (λx)

9

ומכאן,

|∇v (x)| = λ · |∇u (λx)|

ולכן,

‖∇v‖p =(�|∇v (x)|p dx

)1/p= λ

(�|∇u (λx)|p dx

)1/p(y=λx) =

(�|∇u (y)|p λ−ndy

)1/p= λ1−

n/p · ‖|∇u|‖p

הוא, המבוקש השוויון אי ולכן

λ−n/q · ‖u‖q ≤ λ

1−n/p · c · ‖|∇u|‖p

כלומר,

‖u‖q ≤ λ1−n/p+n/q · c · ‖|∇u|‖p

כי נקבל המקרים ובשני ,λ → 0 נשאיף חיובי המעריך בשלילה ואם λ → ∞ נשאיף שלילי המעריך בשלילה אם.(p < n אילוץ כאן יש (בפרט 1− np +

nq = 0 לכן סתירה. ,‖u‖Lq = 0

,f1, . . . , fr לכל אז , 1p1 + · · ·+1pr

= 1 אם המוכלל) הולדר שוויון (אי תרגיל:

�

Rn

|f1 · · · · · fr| ≤r∏i=1

‖fi‖pi

הוכחה:

,1 ≤ i ≤ n שלכל לב נשים .p∗ = nn−1 זה במקרה .p = 1 עבור נראה תחילה

u (x1, . . . , xn) =

xi�

−∞

∂iu (x1, . . . , xi−1, yi, xi+1, . . . , xn) dyi

כי, ונובע

|u (x1, . . . , xn)| ≤�|∂iu (x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn)| dxi

⇓|u (x1, . . . , xn)|

nn−1 ≤

∏ni=1

(�|∂iu (x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn)| dxi

)1/n−1המוכלל, הולדר שוויון ומאי ,dx1 אינטגרציה נבצע

�|u (x1, . . . , xn)|

nn−1 dx1 ≤

(�|∂1u (x1, x2, . . . , . . . , xn)| dx1

)1/n−1·n∏i=2

(� �|∂iu (x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn)| dxidx1

)1/n−1

10

המוכלל, הולדר שוויון ומאי פוביני, במשפט נשתמש ,dx2 אינטגרציה נבצע

� �|u (x1, . . . , xn)|

nn−1 dx1dx2 ≤

(� �|∂1u (x1, x2, . . . , . . . , xn)| dx1dx2

)1/n−1·(� �

|∂2u (x1, x2, . . . , xn)| dx1dx2)1/n−1

·n∏i=3

(� �|∂iu (x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn)| dxidx1

)1/n−1נקבל, n–ה ובשלב בתהליך, נמשיך

‖u‖p∗

p∗ =

�|u|

nn−1 ≤

(�. . .

�|∂1u (x1, . . . , . . . , xn)| dx1 . . . dxn

)1/n−1· · · · ·

(�. . .

�|∂2u (x1, . . . , xn)| dx1 . . . dxn

)1/n−1=

n∏i=1

(�|∂iu|

)1/n−1≤

n∏i=1

(�|∇u|

)1/n−1=

(�|∇u|

)n/n−1= ‖|∇u|‖p

∗

1

.p = 1 עבור כנדרש חסם ונקבל p∗ שורש נוציא

בפונקציה, נתבונן ,u ∈ C1c (Rn) בהינתן .p > 1 עבור נראה כעת

v = |u|p∗·n−1n = |u|

npn−p ·

n−1n = |u|p·

n−1n−p

ומקיימת, ברציפות), גזירה |x|1+δ הפונקציה δ > 0 (לכל ברציפות גזירה v ולכן ,p · n−1n−p ≥ p > 1 כי לב נשים

∇v = p · n− 1n− p

· ∇u · |u|p·n−1n−p−1 · sign = p · n− 1

n− p· ∇u · |u|n·

p−1n−p · sign

כי, ונקבל

|∇v| = p · n− 1n− p

|∇u| · |u|n·p−1n−p

כי, נובע ,1∗ = nn−1 עבורו ,p = 1 מהמקרה סובולב שוויון אי ידי על

‖u‖p∗·n−1np∗ =

(�|u|p

∗)n−1/n

=∥∥∥|u|p∗·n−1n ∥∥∥

nn−1

= ‖v‖ nn−1≤ c ‖|∇v|‖1

= c · p · n− 1n− p

·∥∥∥|∇u| · |u|n· p−1n−p ∥∥∥

1

(Holder) ≤ c · p · n− 1n− p

· ‖|∇u|‖p ·∥∥∥|u|n· p−1n−p ∥∥∥

pp−1

= c · p · n− 1n− p

· ‖|∇u|‖p ·(�|u|p

∗)p−1/p

= c · p · n− 1n− p

· ‖|∇u|‖p · ‖u‖p∗· p−1pp∗

11

נקבל, אגפים בהעברת

‖u‖p∗ = ‖u‖p∗·n−1n −p

∗· p−1pp∗ ≤ c · p ·

n− 1n− p

· ‖|∇u|‖p

� כנדרש.

הולדר) (למרחבי מוריי שוויון אי 3.2

שעבורו c > 0 קבוע קיים אם α־הולדר, היא f כי אומרים 0 ≤ α ≤ 1 עבור .f : Ω → R ותהי תחום Ω ⊂ Rn יהי הגדרה:שווה. במידה רציפה היא α־הולדר פונקציית כל בפרט .x, y ∈ Ω לכל |f (x)− f (y)| ≤ c ‖x− y‖α

נגדיר, α־הולדר f עבור

[f ]α := supx,y∈Ω

|f (x)− f (y)|‖x− y‖α

.f עבור למצוא שניתן קטן הכי c הולדר קבוע הוא [f ]α כלומר

מרחב .‖f‖C0,αB := ‖f‖∞ + [f ]α בנורמה זה מרחב נצייד2.Ω על החסומות α־הולדר הפונקציות מרחב C0,αB (Ω) יהי

בנך. מרחב הוא זה

,u ∈ C1c (Rn) שלכל כך cp,n > 0 קבוע קיים ,p =∞ כולל ,p > n עבור משפט:

.1

‖u‖∞ ≤ cp,n · ‖u‖W1,p(Rn)

,α = 1− n/p עבור .2

[u]α ≤ cp,n · ‖∇u‖p

ונגדיר, Br = Br (x0) נסמן .x0 ∈ Rn יהי הוכחה:

uBr =1

|Br|·�

Br

u

לכתוב, שניתן לב נשים

u (x0)− uB =1

|Br|

�

Br

(u (x)− u (x0)) dx

לפונקציה להרחבה וניתנת ,Ω–ב שווה במידה רציפה היא כי מאליה, חסומה f אז חסום Ω–ש במקרה חסום. לא תחום Ω כאשר רק היא לחסימות 2הדרישה

קומפקטי. לתחום שווה במידה רציפה

12

כי, ונקבל

|u (x0)− uB | ≤1

|Br|

�

Br

|u (x)− u (x0)| dx

,g : [0, 1]→ R נגדיר

g (t) = u (x0 + t (x− x0))

השרשרת, כלל ידי על ונקבל ,g (1) = u (1) , g (0) = u (x0) ואז

u (x)− u (x0) = g (1)− g (0) =1�

0

g′ (t) dt

=

1�

0

〈∇u (x0 + t (x− x0)) , x− x0〉 dt

שוורץ, קושי שוויון אי ידי על ומכאן

|u (x)− u (x0)| ≤1�

0

|〈∇u (x0 + t (x− x0)) , x− x0〉| dt

≤1�

0

|∇u| (x0 + t (x− x0)) · ‖x− x0‖ dt

≤ r ·1�

0

|∇u| (x0 + t (x− x0)) dt

13

נובע, ומכאן

1

|Br|

�

Br

|u (x)− u (x0)| dx ≤r

|Br|

�

Br

1�

0

|∇u| (x0 + t (x− x0)) dtdx

(Fubini

)=

r

|Br|

1�

0

�

Br

|∇u| (x0 + t (x− x0)) dxdt

(y:=x0+t(x−x0), dy=tndx) =

r

|Br|

1�

0

�

Btr(x0)

|∇u| (y) t−ndydt = r|Br|

1�

0

t−n�

Btr(x0)

|∇u| (y) dydt

(Hölder Inequality

)≤ r|Br|

1�

0

t−n

�Btr(x0)

|∇u|p (y) dy

1/p

· |Btr|1−1/p

dt

(|Br|=|B1|·rn) =

r1+n(1−1/p)

|Br||B1|1−

1/p

1�

0

t−n+n(1−1/p)

�Btr(x0)

|∇u|p (y) dy

1/p

dt

(−n+n(1−1/p)=−n/p) =r1+n(1−1/p)

|Br||B1|1−

1/p

1�

0

t−n/p

�Btr(x0)

|∇u|p (y) dy

1/p

dt

=rn+1−n/p

|Br||B1|1−

1/p

1�0

t−n/pdt

�Br

|∇u|p (y) dy

1/p

(|Br|=|B1|·r

n and �10 t−n/pdt= 1

1−n/p

)= |B1|−

1/p · 11− n/p

· r1−n/p ·

�Br

|∇u|p (y) dy

1/p

הכל, בסך ונקבל

(∗) 1|Br|

�

Br

|u (x)− u (x0)| dx ≤ |B1|−1/p · 1

1− n/p· r1−n/p ·

�Br

|∇u|p (y) dy

1/p

שבמשפט. החסמים שני את מכך נסיק

,r > 0 לכל .1

u (x0) = uBr(x0) +(u (x0)− uBr(x0)

)

14

,r = 1 עבור בפרט הראשון, המחובר עבור

|uB1 | ≤1

|B1|

�

B1

|u|

≤

1|B1|

�

B1

|u|p1/p ≤ |B1|−1/p · ‖u‖Lp(Rn)

הממוצעים). שוויון אי (מעין הולדר שוויון מאי הוא השני השוויון אי כאשרהשני, המחובר עבור

|u (x)− uB1 | ≤1

|B1|

�

B1

|u (x0)− u (x) dx|

≤ cn,p · ‖|∇u|‖Lp(Rn)

הכל, בסך הקודם. בחלק שהראינו מה הוא השני השוויון אי כאשר

|u (x0)| ≤ c′n,p · ‖u‖W1,p(Rn)

,x, y ∈ Ω לכל כי להראות צריך .2

|u (x)− u (y)|‖x− y‖α

≤ cn,p · ‖∇u‖Lp(Rn)

אגפים, ובהעברת

|u (x)− u (y)| ≤ cn,p · ‖x− y‖1−n/p · ‖|∇u|‖Lp(Rn)

,z ∈Wr := Br (x) ∩Br (y) לכל .r = ‖x− y‖ נכתוב

|u (x)− u (y)| ≤ |u (x)− u (z)|+ |u (z)− u (y)|

הקודם, בחלק שהראינו מה לפי שוב כי לב נשים

1

|Wr|·�

Wr

|u (x)− u (z)| dz ≤ |Br (x)||Wr|

· 1|Br (x)|

·�

Br(x)

|u (x)− u (z)| dz

≤ |Br (x)||Wr|

· cn,p ‖x− y‖1−n/p · ‖|∇u|‖Lp(Rn)

לעיל השוויון אי של אינטגרציה נבצע אם לכן .|u (z)− u (y)| של אינטגרציה עבור גם תקף זה שוויון אי סימטרי ובאופןנקבל, Wr התחום על

|u (x)− u (y)| ≤ 1|Wr|

·�

Wr

|u (x)− u (z)| dz + 1|Wr|

·�

Wr

|u (y)− u (z)| dz

≤ 2 · |Br (x)||Wr|

· cn,p ‖x− y‖1−n/p · ‖|∇u|‖Lp(Rn)

15

הכל, בסך ולכן ,r–ב ולא n–ב רק התלוי קבוע הוא cn :=|Br(x)||Wr| כי לב נשים

|u (x)− u (y)| ≤ cn · cn,p · ‖x− y‖1−n/p · ‖|∇u|‖Lp(Rn)

� כנדרש.

קירוב שיטות 4

קונבולוציה 4.1

שלהן, הקונבולוציה את נגדיר ,g ∈ Lp (Rn) ותהי f ∈ L1 (Rn) תהי .1 ≤ p ≤ ∞ יהי הגדרה:

f ∗ g (x) :=�

Rn

f (y) g (x− y) dy

על הניתנים מקדמים עם ,g של הזזות של לינארי צירוף זהו .f ∗ g (x) =∑ni=1 f (yi) g (x− yi) בפונקציה נתבונן הערה:

.f ידי

הנשמרת g של תכונה כל יורשת שקונבולוציה להבין ניתן זו, פונקציה של רציפה הכללה כעל קונבולוציה על נחשוב אם.∂α (f ∗ g) = f ∗ ∂αg ומתקיים f ∗ g ∈ Ck אז g ∈ Ck אם כן כמו ,f ∗ g ∈ Lp אז g ∈ Lp אם למשל הזזות. ידי על

.∂β+γ (f ∗ g) = ∂βf ∗ ∂γg ומתקיים f ∗ g ∈ Ck+l אז f ∈ Ck, g ∈ Cl אם מזו, יתרה

.f ∗ g ∈ L1 (Rn)∩Lp (Rn) ובפרט ,‖f ∗ g‖p ≤ ‖f‖1 · ‖g‖p מתקיים מזו, יתרה תמיד. כמעט מוגדר f ∗ g יאנג) שוויון (אי טענה:

כי, לב נשים .1 ≤ p ב–∞> נתבונן בנפרד. לבדוק יש p =∞ המקרה את הוכחה:

‖f ∗ g‖pp =� ∣∣∣∣∣∣

�

Rn

f (y) g (x− y) dy

∣∣∣∣∣∣p

dx ≤� ∣∣∣∣� |f (y)|α · |f (y)|1−α · |g (x− y)| dy∣∣∣∣p dx

(∗) ≤� (�

|f (y)|α·pp−1 dy

)p−1·(�|f (y)|(1−α)·p · |g (x− y)|p dy

)dx

(α= p−1p ) =

(�|f (y)| dy

)p−1·� (�

|f (y)| · |g (x− y)|p dy)dx

(Fubini) = ‖f‖p−11 ·�|f (y)|

(�|g (x− y)|p dx

)dy = ‖f‖p−11 ·

�|f (y)| dy · ‖g‖pp = ‖f‖

p1 · ‖g‖

pp

� הנדרש. את ונקבל p שורש נוציא .1 = p−1p +1p עבור הולדר שוויון מאי הוא (∗) שוויון אי כאשר

הבא, הביטוי את נחסום .1 ≤ p ב–∞> נתבונן בנפרד. לבדוק יש p =∞ המקרה את (נוספת) הוכחה:� (�

|f (y)| |g (x− y)| dy)p

dx

חדשה, מידה נגדיר

dµ (y) = |f (y)| dy

16

זו, למידה ביחס הולדר שוויון אי את נפעיל .f ∈ L1 כי סופית מידה וזו� (�

|f (y)| |g (x− y)| dy)p

dx =

� (�|g (x− y)| dµ (y)

)pdx

(Holder

)≤

� �|g (x− y)|p dµ (y) dx ·

(�1

pp−1 dµ (y)

)p−1=

� �|g (x− y)|p dµ (y) dx · ‖f‖p−11

(Fubini

)=

� �|g (x− y)|p dxdµ (y) · ‖f‖p−11

(Lebesque measure is invariant

)=

� �|g (x)|p dxdµ (y) · ‖f‖p−11 = ‖g‖

pp · ‖f‖1 · ‖f‖

p−11 = ‖g‖

pp · ‖f‖

p1

� כנדרש.

(f ∗ g) ∗ h = אסוציאטיביות מתקיימת אזי קומפקטי, תומך בעלות מהן שתיים לפחות כאשר f, g, h ∈ L1loc

(Rn) אם טענה:.f ∗ (g ∗ h)

נחשב, הוכחה:

(f ∗ g) ∗ h (x) =�

(f ∗ g) (y)h (x− y) dy

=

� (�f (z) g (y − z) dz

)h (x− y) dy

(Fubini) =

�f (z)

�g (y − z)h (x− y) dydz =

�g (y)h (y − x+ z) dy

=

�f (z) (g ∗ h) (x− z) dz = f ∗ (g ∗ h) (x)

,Fx (y, z) := f (z) g (y − z)h (x− y) המוגדרת Fx : Rn×Rn → Rn הפונקציה כי היא פוביני במשפט לשימוש ההצדקה כאשרקומפקטי תומך לה יש כלומר ,SuppFx ⊂ Suppf × Supph (x− ·) אז קומפקטי, תומך בעלות f, h כי למשל נאמר אם

� .Fx ∈ L1 (Rn × Rn) ולכן המכפלה, במרחב

ומתקיים, f ∗ g ∈ Ck (Rn) אזי .g ∈ Lp (Rn) ותהי f ∈ Ckc (Rn) תהי משפט:

∂α (f ∗ g) = (∂αf) ∗ g

.τhf (x) := f (x+ h) כאשר ,Rn–ב שווה במידה τhf −−−→h→0

f אזי ,f ∈ C0c (Rn) אם :1 למה

,x ∈ Rn לכל אז |h| < δ שאם כך δ > 0 יש � > 0 לכל אז שווה, במידה רציפה f מהיות הוכחה:

|τhf (x)− f (x)| = |f (x+ h)− f (x)| < �

N שווה). במידה רציפה f–ש בכך רק (השתמשנו

τheif (x) = כאשר ,1 ≤ i ≤ n לכל Rn–ב שווה במידה 1h (τheif − f) −−−→h→0 ∂if אזי ,f ∈ C1c (Rn) אם :2 למה

.i–ה הסטנדרטי היחידה וקטור ei עבור f (x+ hei)

17

שמתקיים, כך |tx,h| < |h| קיים לגראנז' משפט ידי על τheif∣∣∣∣הוכחה: (x)− f (x)h − ∂if (x)∣∣∣∣ = ∣∣∣∣f (x+ hei)− f (x)h − ∂if (x)

∣∣∣∣= |∂if (x+ tx,h)− ∂if (x)|

N .x–ב תלות ללא כרצוננו קטן זה ביטוי כי נובע שווה, במידה רציפה ∂if מהיות

נחשב, רציפה. שהקונבולוציה להראות כלומר ,k = 0 במקרה נתחיל הוכחה:

|f ∗ g (x+ h)− f ∗ g (x)| = |τh (f ∗ g) (x)− f ∗ g (x)|(Excersice

)= |(τhf) ∗ g (x)− f ∗ g (x)| = |(τhf − f) ∗ g (x)|(

Supp(τhf−f)⊂K:=Suppf+B1(0))≤ |(τhf − f) ∗ (g (x) · χK (x))|(

Yang inequality)≤ ‖τhf − f‖∞ · ‖g |K‖1

.1 למה לפי ,h→ 0 כאשר כרצוננו קטן שהתקבל והביטוינחשב, .∂i (f ∗ g) = (∂if) ∗ g וכי f ∗ g ∈ C1 להראות נרצה .k = 1 במקרה f∣∣∣∣נדון ∗ g (x+ hei)− f ∗ g (x)h − (∂if) ∗ g (x)

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣τhei (f ∗ g) (x)− f ∗ g (x)h − (∂if) ∗ g (x)∣∣∣∣

(Excersice

)=

∣∣∣∣(τheif − fh − ∂if)∗ g (x)

∣∣∣∣(Supp(τhf−f)⊂K:=Suppf+B1(0)

)≤

∥∥∥∥τheif − fh − ∂if∥∥∥∥∞· ‖1Kg‖1

.2 למה לפי כרצוננו קטן שהתקבל והביטוי

,|β| = k, |γ| = 1 אינדקסים מולטי עבור α = β + γ נכתוב k + 1 עבור כלומר באינדוקציה. להמשיך ניתן k > 1 עבורהאינדוקציה, מהנחת ונקבל

∂α (f ∗ g) = ∂α∂β (f ∗ g) = ∂γ((∂βf

)∗ g)

=(∂γ∂βf

)∗ g = (∂αf) ∗ g

� כנדרש.

החלשה, הנגזרת עבור ומתקיים ,f ∗ g ∈W1,p (Rn) אזי .g ∈W1,p (Rn) ותהי f ∈ Cc (Rn) תהי משפט:

∂iw (f ∗ g) = f ∗ ∂iwg

�u (y) v (y) dy = זהותית שמתקיים לב ונשים ,φ̌ (x) := φ (−x) כללי באופן נסמן כלשהי. φ ∈ C∞c (Rn) תהי הוכחה:

18

נקבל, מכאן .�u (y) v̌ (0− y) = u ∗ v̌ (0)�

f ∗(∂iwg

)· φ =

(f ∗(∂iwg

))∗ φ̌ (0)

(associativity) = f ∗((∂iwg

)∗ φ̌)

(0) = f ∗(�

∂iwg (y) φ̌ (0− y) dy)

(0)

= f ∗(�

∂iwg (y)φ (y) dy

)(0)

= −f ∗(�

g (y) ∂iφ (y) dy

)(0) = −f ∗ ((g ∗ ∂iφ) (0)) (0)

= − (f ∗ g) ∗ ∂iφ (0) = −�f ∗ g · ∂iφ

� .∂iw (f ∗ g) = f ∗ (∂ig) החלשה, הנגזרת מהגדדרת ולכן

חלקות קירוב שיטות 4.2

,� > 0 לכל נגדיר .�φ = 1 וכי φ ≥ 0 כי נניח היחידה. כדור B1 (0) ⊂ Rn עבור φ ∈ C∞c (B1 (0)) תהי הגדרה:

φ� (x) := �−n · φ(x�

).�φ� = 1 וכן ,Suppφ� ⊂ B� (0) כי לב נשים

משפט:

שווה. במידה φ� ∗ u −−−→�→0

u מתקיים φ ∈ C∞c (B1 (0)) לכל אז ,u ∈ Cc (Rn) אם .1

.φ� ∗ u Lp

−−−→�→0

u מתקיים φ ∈ C∞c (B1 (0)) לכל אז ,u ∈ Lp (Rn) אם .2

הוכחה:

נחשב, .1

|φ� ∗ u (x)− u (x)| =∣∣∣∣� φ� (y)u (x− y) dy − u (x)∣∣∣∣

(�φ�=1) =

∣∣∣∣� φ� (y) (u (x− y)− u (x)) dy∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣�

B�(0)

φ� (y) (u (x− y)− u (x)) dy

∣∣∣∣∣∣∣≤ supy∈B�(0)

|u (x− y)− u (x)| ·�φ� (y) dy = sup

y∈B�(0)|u (x− y)− u (x)|

.x–ב תלות ללא כרצוננו קטן זה ביטוי ,u של שווה במידה ומרציפות

המשפט, של 1 מסעיף כעת .‖u− u0‖p < �0/2 שמתקיים כך u0 ∈ Cc (Rn) קיימת �0 > 0 לכל לוסין: במשפט נשתמש .2

‖φ� ∗ u− u‖p =≤ ‖φ� ∗ (u− u0)‖p + ‖φ

� ∗ u0 − u0‖p + ‖u0 − u‖p(Young) ≤ ‖φ�‖1 · ‖u− u0‖p + ‖φ

� ∗ u0 − u0‖p + ‖u− u0‖p< �0 + ‖φ� ∗ u0 − u0‖

� כנדרש. שרירותי, �0 > 0 לכל זה אבל .lim sup�→0 ‖φ� ∗ u− u‖ < �0 כי נובע 1 מחלק

19

.φ� ∗ u Wk,p()−−−−−→�→0

u מתקיים φ ∈ C∞c (B1 (0)) לכל אז ,u ∈Wk,p (Rn) אם מסקנה:

מתקיים, ואכן .|α| ≤ k לכל ∂αw (φ� ∗ u)Lp−−−→�→0

∂αwu כי להראות צריך הוכחה:

∂αw (φ� ∗ u) = φ� ∗ (∂αwu)

Lp−−−→�→0

∂αwu

� הקודם. מהמשפט הוא השני והשוויון קונבולוציה, של תכונה הוא הראשון השוויון כאשר

גם יהווה זה שקירוב מבטיחה לא Lp–ב חלק קירוב של בחירה עקרונית הקונבולוציה. של הכוח ביטוי לידי בא כאן הערה:בנגזרות. התכנסות גם משמרת הקונבולוציה אך בנגזרות, קירוב

ומתקיים, χ · u ∈Wk,p (Rn) אזי .χ ∈ C∞c (Rn) ותהי u ∈Wk,p (Rn) תהי חלשה) לנגזרת לייבניץ (כלל משפט:

∂1w (χu) = (∂χ) · u+ χ ·(∂1wu

),|α| ≤ k לכל יותר, גבוה מסדר נגזרות עבור דומה, באופן

∂αw (χ · u) =∑|β|≤|α|

(α

β

)∂βwχ · ∂α−βw u

.α! := α1! · α2! · · · · · αn! כאשר

נחשב, .φ ∈ C∞c (Rn) תהי .k = 1 עבור נראה �הוכחה: ((∂1χ) · u+ χ ·

(∂1wu

))· φ (x) dx =

�((∂iχ) · u · φ− u · ∂1 (χ · φ)) dx

=

�u · ((∂iχ) · φ− ∂i (χ · φ)) dx

= −�u · χ ·

(∂1wu

)dx

לייבניץ מכלל הוא האחרון והשוויון קומפקטי, תומך בעלת χ–ש בכך ושימוש בחלקים מאינטגרציה הוא הראשון השוויון כאשרהרגיל.

מהמקרה נובע .1 ≤ i ≤ n לכל ∂iwu ∈W1,p (Rn) גם וכן u ∈W2,p (Rn) ⊂W1,p (Rn) מתקיים .k = 2 עבור נראה,k = 1

∂iw (χ · u) = (∂1χ) · u+ χ ·(∂1wu

).χ · u ∈W2,p (Rn) ולכן ,∂iw (χu) ∈W1,p (Rn) גם כי מכאן .χ · u ∈W1,p (Rn) כן וכמו

� .k > 2 לכל גם זאת להראות ניתן דומה באופן

.χ� · uWk,p()−−−−−→�→0

u אזי .χ� = χ (�x) נגדיר אפס, בסביבת χ ≡ ש–1 כך χ ∈ C∞c (B1 (0)) לכל .u ∈Wk,p (Rn) תהי משפט:

כי, לב נשים .|α| ≤ k לכל ∂αw (χ�u)Lp−−−→�→0

∂αwu כי נראה הוכחה:

∂αw (χ� · u) = χ� · ∂αwu+∑

1≤|β|≤|α|

(α

β

)∂βχ� · ∂α−βw u

20

מתכנס השני המחובר כי לראות קל לכן .∂βχ� (x) = �|β| · ∂βχ (�x) ולכן ∂iχ� (x) = � · ∂iχ (�x) מתקיים כי לב נשים.�→ 0 כאשר Lp–ב לאפס

משפט ידי על כך אם .χ� −−−→�→0

1 ולכן אפס בסביבת χ ≡ 1 כי לב נשים אבל .χ� · ∂αwuLp−−−→�→0

∂αwu כי להראות נותר כך אם

� המבוקשת. ההתכנסות נובעת (‖χ� · ∂αwu‖p ≤ ∞) הנשלטת ההתכנסות

.Wk,p (Rn) סובולב מרחב בתוך צפוף C∞c (Rn) המרחב הצפיפות: משפט

שאינה חסום קטע על חלקה פונקציה של שקירוב להבין ניתן אינטואיטיבית .Ω ⊂ Rn תחום לכל נכון אינו המשפט הערה:מידי חד שיפוע בגלל הנגזרות את לקרב יכול לא קומפקטי, תומך בעלות חלקות פונקציות ידי על בקצוות מתאפסת

בקצוות.

δ0 > 0 יש הקודם המשפט לפי אפס, בסביבת χ ≡ 1 עם χ ∈ C∞c (B1 (0)) איזו עבור .u ∈ Wk,p (Rn) תהי הוכחה:עם δ1 > 0 יש קודם משפט לפי ,

�φ = 1 עם φ ∈ C∞c (B1 (0)) איזו עבור .‖χδ0 · u− u‖Wk,p() < �/2 עם

.∥∥u− φδ1 ∗ (χδ0 · u)∥∥Wk,p() < � נקבל הכל בסך .∥∥φδ1 ∗ (χδ0 · u)− χδ0 · u∥∥Wk,p() < �/2

� .φδ1 ∗ (χδ0 · u) ∈ C∞ וכי ,Suppφδ1 ∗ (χδ0 · u) ⊂ Bδ1+1/δ0 (0) כי המבוקשת, מהצורה קירוב אכן זה כי לב נשים

פונקציות למרחבי השיכון ומשפט כללית) (גרסה סובולב שוויון אי 5

‖u‖Wk,p() = סובולב, לנורמת ביחס C∞c (Ω) של ההשלמה מרחב להיות Wk,p,0 (Ω) את נגדיר תחום. Ω ⊂ Rn יהי הגדרה:.∑|α|≤k ‖∂αu‖p

.Wk,p,0 (Rn) = Wk,p (Rn) כי אומר הצפיפות משפט ,Ω = Rn עבור הערה:

,u ∈W1,p,0 (Ω) שלכל כך cp,n > 0 קבוע יש אז . 1p∗ =1p −

1n נסמן .1 ≤ p < n יהי סובולב) שוויון (אי משפט:

‖u‖p∗ ≤ cp,n · ‖|∇u|‖p

.Lp של קושי סדרת היא (∇u�)�>0 כלומר ,W1,p,0 (Ω) של קושי סדרת היא (u�)�>0 אז .C∞c (Ω) 3 u�W1,p()−−−−→�→0

u נקרב הוכחה:

.u�Lp∗

−−−→�→0

v יהי אז ,Lp∗של קושי סדרת (u�)�>0 כי נובע הראשון סובולב שוויון אי ידי על

בהכרח ולכן ,u�Lp(K)−−−−→�→0

u גם אבל .u�Lp(K)−−−−→�→0

v נובע הולדר שוויון ומאי u�Lp∗

(K)−−−−−→�→0

v מתקיים קומפקטית K ⊂ Ω לכלמקום. בכל כמעט u = v ולכן ,K לכל נכון זה מקום. בכל כמעט u |K= v |K

נשאיף ואם ,‖u�‖p∗ ≤ c · ‖|∇u�|‖p כי הראשון סובולב שוויון מאי ידוע .∇u�Lp−−−→�→0

∇u וכי u� Lp∗

−−−→�→0

u כי נובע כך אם

� המבוקש. החסם את נקבל �→ 0

.Wk,p,0 (Ω) ↪→ Lp∗k (Ω) רציף שיכון קיים אזי . 1p∗k =1p −

kn נסמן .kp < n שמקיים k ∈ N ויהי p ≥ 1 יהי השיכון: משפט

.Wk,p,0 (Ω) ↪→ Lp∗k (Ω) כי k עבור באינדוקציה נניח לעיל. שהראינו סובולב שוויון אי הוא k = 1 המקרה הוכחה:כי נובע ולכן ,u, ∂iu ∈Wk,p,0 (Ω) ↪→ Lp

∗k (Ω) מתקיים האינדוקציה מהנחת .(k + 1) p < n עבור u ∈Wk+1,p,0 (Ω) תהי

(המוגזם), החסם את נקבל סובולב שוויון מאי כך אם .u ∈W1,p∗k,0 (Ω)

‖u‖p∗k ≤ cpk,n · ‖u‖Wk,p()

21

‖∂iu‖p∗k ≤ cpk,n · ‖∂iu‖Wk,p()כי, נובע ומכך

‖u‖W1,p

∗k ()≤ cpk,n · ‖u‖Wk+1,p()

,(p∗k)∗

= p∗k+1 כי לב נשים

1

(p∗k)∗ =

1

p∗k− 1n

=1

p− kn− 1n

=1

p− k + 1

n

(המוגזם), החסם את סובולב שוויון מאי נקבל ולכן

‖u‖p∗k+1 = ‖u‖(p∗k)∗ ≤ c · ‖u‖W1,p∗k ()≤ c · cpk,n · ‖u‖Wk+1,p()

� כנדרש.

רציפים למרחבים השיכון ומשפט כללית) (גרסה מוריי שוויון אי 6

ומתקיים, ,u של ũ ∈W1,p,0 (Ω) רציף נציג יש אז .u ∈W1,p,0 (Ω) תהי .n < p 0 אז .C∞c (Ω) 3 u�

W1,p()−−−−→�→0

u נקרב הוכחה:

רציפה. ũ ולכן שווה, במידה התכנסות יש בפרט .u�C0,1−

n/p

−−−−−−→�→0

ũ גבול לה יש ולכן ,C0,1−n/p של גם קושי סדרת (u�)�>0

ובפרט מקום, בכל כמעט u = ũ כי נובע לעיל דומה מטיעון ולכן ,∇u� Lp

−−−→�→0

∇u וכן u� Lp

−−−→�→0

u מתקיים מההנחה אבל

.u� ∈W1,p,0 (Ω)השוויונים אי את נקבל � → 0 נשאיף אם ,‖u�‖∞ ≤ c · ‖u�‖W1,p() , [u�]0,1−n/p ≤ c · ‖|∇u�|‖p השוויונים מאי כעת

� הנדרשים.

חסומות, שהנגזרות כך ,Ω בתוך פעמים k ברציפות הגזירות הפונקציות מרחב את Ck,αB (Ω)–ב נסמן ,Ω ⊂ Rn תחום עבור סימון:α־הולדר. היא נגזרת כל וכן

Wk,p,0 (Ω) ↪→ Cbk−n/pc,{k−n/p}B (Ω) רציף שיכון יש אזי שלם. אינו k−np כי עוד נניח .kp > n ויהי 1 ≤ p

כי לב נשים .u ∈Wk+1,p (Ω) תהי .‖u‖Cbk−n/pc,{k−n/p}B

≤ c · ‖u‖Wk,p() כלשהו, k עבור הטענה את באינדוקציה נניח הוכחה:מקרים: לשני נחלק כך אם .kp < n ייתכן אבל ,(k + 1) p > n מניחים

נקבל, הולדר למרחבי מוריי שוויון מאי ,kp > n אם .1

‖u‖C

[k−n/p],{k−n/p}B

≤ c · ‖u‖Wk,p()

‖∂iu‖C[k−n/p],{k−n/p}B ≤ c · ‖∂iu‖Wk,p()

כי, נובע ולכן

‖u‖C

[k+1−n/p],{k+1−n/p}B

≤ c · ‖u‖Wk+1,p()

1 − np∗k = 1 − n(

1p −

kn

)= כן כמו .

⌊k + 1− np

⌋=⌊kp−n+1

p

⌋= 0 ולכן kp − n < 0 כי לב נשים ,kp < n אם .2

כי, להראות יש כך אם .k + 1− np

‖u‖C

0,1−n/p∗kB

≤ c · ‖u‖Wk+1,p()

גזירות, לפונקציות סובולב שוויון מאי

‖u‖p∗k ≤ c · ‖u‖Wk,p()

‖∂iu‖p∗k ≤ c · ‖∂iu‖Wk,p()כי,3 נובע ולכן

‖u‖W1,p

∗k ()≤ c · ‖u‖Wk+1,p()

השוויון אי ומכאן ,‖u‖C

0,1−n/p∗kB

≤ ‖u‖W1,p

∗k ()

הולדר למרחבי מוריי שוויון מאי ולכן p∗k =pn

n−pk > n כי לב נשים

� הנדרש.

קומפקטיות 7

השיכונים, את יש ,1 ≤ q ≤ p∗ כל ועבור 1 ≤ p < n כל עבור כי לב נשים חסום. תחום Ω ⊂ Rn יהי הערה:

W1,p,0 (Ω) ↪→ Lp∗

(Ω) ↪→ Lq (Ω)

.(Ω (מחסימות הולדר מאי־שוויון הוא והשני סובולב, שיכון הוא הראשון כאשר

לכל קומפקטי הוא W1,p,0 (Ω) ↪→ Lq (Ω) השיכון אזי חסום. תחום Ω ⊂ Rn יהי וקונדרכוב: רליך של הקומפקטיות משפט.1 ≤ q < p∗

.u ∈ C1 (Ω) אז ,∂iwu ∈ C0 (Ω) וגם u ∈ C0 (Ω) מקיימת u : Ω→ R אם הבאה: בטענה נעזרים אנו 3כאןגבול היא פונקציה אם כללי, ובאופן שווה. במידה ∂i (ψ� ∗ u) = ψ� ∗ ∂iwu −−−→

�→0∂iwu, ψ

� ∗ u −−−→�→0

u לקרב ניתן קומפקטית קבוצה כל שעל מכך נובע זה

גזירה. היא אז מתכנסת, הנגזרות סדרת גם שבמקרה גזירות, פונקציות של שווה במידה

23

קומפקטי. בהכרח אינו W1,p,0 (Ω) ↪→ Lp∗ (Ω) השיכון כלומר נכון. אינו המשפט q = p∗ עבור הערה:.C1B (Ω) ↪→ C0B (Ω) השיכון קומפקטיות את שקובע אסקולי, ארזלה למשפט אנלוגי זה משפט הערה:

.Lq–ב מתכנסת סדרה תת לה למצוא נרצה חסומה. סדרה (um) ⊂W1,p,0 (Ω) תהי הוכחה:

כלומר: ,m–ב שווה במידה היא זו התכנסות כי נראה לעיל.4 שהראינו כפי ,ψδ ∗umLq−−−→δ→0

um ההחלקות בסדרת נתבונן .1

.m לכל∥∥ψδ ∗ um∥∥q < � מתקיים ,δ < δ0 שלכל כך ,δ0 > 0 קיים � > 0 לכל

.q = 1 עבור תחילה נדון

,(u ∈ C1c (Ω) כי להניח די גם למעשה (או u ∈ C∞c (Ω) חלקה פונקציה עבור כי לב נשים –

ψδ ∗ u (x)− u (x) =�ψδ (y) (u (x− y)− u (x)) dy

(g(t):=u(x−ty)) =

�ψδ (y) ·

1�0

g′ (t) dt

dy = � ψδ (y) · 1�0

〈∇u (x− ty) ,−y〉 dtdy

= −δ−n ·�ψ(yδ

)·

1�

0

〈∇u (x− ty) , y〉 dtdy

(y′:= yδ , dy′= 1δn dy) = −δ−n ·

�ψ (y′) ·

1�

0

〈∇u (x− tδy′) , δy′〉 dtδndy′

(Supp⊂B1(0)

)= −δ ·

�

B1(0)

ψ (y) ·1�

0

〈∇u (x− tδy) , y〉 dtdy

מוגדרת. הקונבולוציה כך אפס. ידי על מורחבת ,Lq (Rn) של פונקציה כל um על חושבים 4כאשר

24

כי, ונקבל ,Ω̃ := Supp(ψδ ∗ u

)⊂ Ω +B1 (0) כי לב ψδ∥∥נשים ∗ u− u∥∥

1=

�

Ω̃

∣∣ψδ ∗ u (x)− u (x)∣∣ dx≤ δ ·

�

Ω̃

�

B1(0)

ψ (y) ·1�

0

|〈∇u (x− tδy) , y〉| dtdydx

(‖y‖≤1) ≤ δ ·�

Ω̃

�

B1(0)

ψ (y) ·1�

0

‖|∇u (x− tδy)|‖ dtdydx

(Fubini

)= δ ·

�

B1(0)

ψ (y) ·1�

0

�

Ω̃

‖|∇u (x− tδy)|‖ dxdtdy

(x′:=x−tδy) = δ ·�

B1(0)

ψ (y) ·1�

0

�

Ω̃−tδy

‖|∇u (x′)|‖ dx′dtdy

(Suppu⊂Ω

)= δ ·

�

B1(0)

ψ (y) ·1�

0

�

Ω

‖|∇u (x′)|‖ dx′dtdy

≤ δ · ‖|∇u|‖L1

מספיק δ > 0 עבור כרצוננו קטן זה ביטוי כי נובע ,W1,p (Ω)–ב חסומה חלקות פונקציות סדרת (um) אם לכן.m–ב תלות ללא קטן

כלומר .C∞c (Ω) 3 ukW1,p()−−−−→k→∞

u סדרה נקבע חלקה, דווקא לאו כלשהי, u ∈ W1,p,0 (Ω) עבור כעת –

.L1–ב גם זהות התכנסויות מתקבלות כי נובע חסום תחום Ω מהיות .∇ukLp−−−−→

k→∞∇u וגם uk

Lp−−−−→k→∞

u

גם וכן ,(∥∥ψδ ∗ (uk − u)∥∥1 ≤ ∥∥ψδ∥∥1 · ‖uk − u‖1 יאנג, שוויון (מאי ψδ ∗ uk L1−−−→δ→0 ψδ ∗ u כי נובע לכן

גם מתקיים לעיל השוויון אי כי ונקבל k →∞ נשאיף כך אם זהה). (מנימוק ∇(ψδ ∗ uk

) L1−−−→δ→0

∇(ψδ ∗ u

).u ∈W1,p,0 (Ω) לכל

כי, לב נשים תחילה כללי, 1 ≤ q < p∗ עבור ∥∥ψδ ∗ u− u∥∥1≤ δ · ‖|∇u|‖1 ≤ δ ·m (Ω)

1−1/p · ‖|∇u|‖p,q = αp2 + (1− α) p2 כל שעבור נובע הולדר שוויון מאי כי לב נשים

‖f‖qq ≤ ‖f‖αp1p1· ‖f‖(1−α)p2p2

q = מתקיים p1 = 1, p2 = p∗ שעבור כך 0 < α ≤ 1 למצוא ניתן ,1 ≤ q < p∗–ש היות שלנו במקרה,αp1 + (1− α) p2 = α+ (1− α) p∥∥ψδ ∗ u− u∥∥

q≤

∥∥ψδ ∗ u− u∥∥α1·∥∥ψδ ∗ u− u∥∥1−α

p∗

≤[δ ·m (Ω)1−1/p · ‖|∇u|‖p

]α·[∥∥∣∣∇ (ψδ ∗ u− u)∣∣∥∥

p

]1−α25

שוויון באי שימוש הוא השני בנכפל השוויון ואי לעיל, שהראינו השוויון אי הוא הראשון בנכפל השוויון אי כאשרסובולב. משיכון סובולב,

נובע, ולכן ∂i(ψδ ∗ u

)= ψδ ∗ ∂iu כי ∇∣∣∥∥נזכור (ψδ ∗ u)∣∣∥∥

p=∥∥∣∣ψδ ∗ ∇u∣∣∥∥

p≤∥∥ψδ∥∥

1· ‖∇u‖p = ‖∇u‖p

ידי, על חסום השני הנכפל הכל ∇∣∣∥∥ובסך (ψδ ∗ u− u)∣∣∥∥1−αp≤ 21−α · ‖∇u‖1−αp

.m–ב שווה במידה היא ψδ ∗ umLq−−−→δ→0

um ההתכנסות חסומה, (um) ⊂W1,p (Ω) שאם נקבל כך ואם

במידה ורציפה חסומה אסקולי: ארזלה משפט בתנאי עומדת(ψδ ? um

)m⊂ C

(Ω̃)

הסדרה δ > 0 שלכל נראה .2אחידה.

חסומה: היא כי נראה ∥∥ψδ ∗ um∥∥∞ ≤ ∥∥ψδ∥∥∞ · ‖um‖1≤

∥∥ψδ∥∥∞ ·m (Ω)1−1/p · ‖um‖pאחידה: במידה חסומה הנגזרת כי שנראה כך ידי על אחידה, במידה רציפה היא כי נראה ∥∥∂i (ψδ ∗ um)∥∥∞ = ∥∥(∂iψδ) ∗ um∥∥∞ ≤ ∥∥∂iψδ∥∥1 · c ·m (Ω)1−1/p

,δk = 1/k נסמן .(ψδ ∗ umj

)jשווה במידה מתכנסת סדרה תת יש אסקולי ארזלה משפט ידי על ,δ > 0 לכל כך אם

.k לכל(ψδk ∗ umj

)jשווה במידה מתכנסת סדרה תת שיש נקבל אלכסון טיעון ידי ועל

החסם, מתקבל k שלכל לב נשים נסיים. ובזאת ,Lq–ב קושי סדרת(umj

)כי נראה .3∥∥umj1 − umj2∥∥q ≤ ∥∥umj1 − ψδk ∗ umj1∥∥q + ∥∥ψδk ∗ umj1 − ψδk ∗ umj2∥∥q + ∥∥ψδk ∗ umj2 − umj2∥∥q

כרצוננו קטנים והשלישי הראשון המחובר ולכן ,m–ב שווה במידה ψδ ∗ umq−−−→

δ→0um התכנסות שיש 1 בשלב הראינו

,L∞ בנורמת קושי סדרת זו ולכן ,mj–ב שווה במידה ψδk ∗ umj של התכנסות יש כנ"ל, k עבור גדול. מספיק k עבור� גדולים. מספיק j1, j2 עבור כרצוננו קטן השני המחובר גם כלומר ,Lq בנורמת גם קושי סדרת זו Ω התחום ומחסימות

דיריכלה ובעיית הלפלסיאן 8

עבור דיריכלה בעיית .∆u := ∂2u∂x21

+ · · ·+ ∂2u∂x2n

ידי על הלפלסיאן את נסמן ,u ∈ C2 (Ω) עבור חסום. תחום Ω ⊂ Rn יהי הגדרה:מהצורה, בעיה היא קבועה f ∈ L2 (Ω)

D (f) :

{−∆u = fu |∂Ω= 0

; u ∈ C2 (Ω) ∩ C0(Ω)

26

מוארק. מוליך בתוך f מטען מצפיפות שנוצר החשמלי השדה של הפוטנציאל את מתארת זו בעיה הערה:

‖u‖Wk,2() = הנורמה עם L2–ב פעמיים חלש הגזירות הפונקציות של Hk := Wk,2 (Ω) סובולב במרחב נתבונן ,k ≥ 1 עבור הגדרה:.Wk,2 (Ω) בתוך C∞c (Ω) של הסגור להיות H

k0 (Ω) := W

k,2,0 (Ω) נסמן .∑|α|≤k ‖∂αwu‖2

הפנימית, למכפלה ביחס הילברט מרחב הוא H10 (Ω) כי לראות ניתן

〈u, v〉H10 := 〈u, v〉2 +�〈∇wu,∇wv〉2

.∇w :=(∂1w, . . . , ∂

nw

)כאשר

הבאים: הדברים מתקיימים אם דיריכלה, לבעיית חלש פתרון היא u ∈ L2 (Ω) כי נאמר הגדרה:

u ∈ H10 (Ω) .1.�

Ω〈∇u,∇ϕ〉 =

�Ωf · ϕ מתקיים ϕ ∈ C∞c (Ω) לכל .2

ידי על שנובע כפי ,2 תנאי את מקיים קלאסי פתרון גם כי שלה, קלאסי פתרון מכליל דיריכלה לבעיית חלש פתרון הערה:,u |∂Ω= ש–0 ומכך בחלקים �אינטגרציה

Ω

fϕ = −�

Ω

(∆u)ϕ =

�

Ω

〈∇u,∇ϕ〉

,ϕ ∈ H10 (Ω) לכל זאת דורשים אם או ϕ ∈ C∞c (Ω) לכל זאת דורשים אם בין הבדל אין ,2 בתנאי כי לב נשים הערה:

באופן זה במצב .∇ϕnL2−−−−→

n→∞∇ϕ וגם ϕn

L2−−−−→n→∞

ϕ אז ,C∞c (Ω) 3 ϕnH10−−−−→n→∞

ϕ ∈ H10 (Ω) אם קירוב: משיקולישמאל וצד

�Ωf · ϕ–ל שואף ימין צד ,

�Ω〈∇u,∇ϕn〉 =

�Ωf · ϕn בשוויון כך אם .

�ϕn −−−−→

n→∞

�ϕ כי נובע כללי

.�

Ω〈∇u,∇ϕ〉–ל שואף

מתקיים, u ∈ H10 (Ω) שלכל כך cΩ > 0 קבוע קיים חסום. תחום Ω ⊂ Rn יהי פואנקרה) שוויון (אי משפט:

‖u‖2 ≤ cΩ · ‖∇wu‖2

קונסטרוקטיביות. יותר הוכחות גם קיימות קונסטרוקטיבית. לא היא כאן שנציג ההוכחה הערה:

כנ"ל. קבוע cΩ קיים שלא בשלילה נניח הוכחה:

כי ונקבל ,vn :=un‖un‖ ננרמל .‖un‖2 > n ‖|∇wun|‖2 שמתקיים כך ,(un) ⊂ H

10 (Ω) סדרה שיש נובע מההנחה

(vn) ⊂ H10 (Ω) ולכן יחד, גם ‖∇wvn‖2 ועל ‖vn‖2 על שווה במידה חסם מצאנו .1 = ‖vn‖2 > n ‖∇wvn‖2 מתקייםחסומה. סדרה

vnjL2−−−→j→∞

v ∈ מתכנסת סדרה תת יש ולכן ,(2 < 2∗ (כי קומפקטי H10 (Ω) ↪→ L2 (Ω) השיכון הקומפקטיות ממשפט

.∂iwvnjL2−−−→j→∞

0 כי גם לב נשים .L2 (Ω)

,ϕ ∈ C∞c (Ω) שלכל לב נשים –

−� (

∂iwv)· ϕ =

�v · ∂iϕ = lim

j→∞

�vnj · ∂iϕ = − lim

j→∞

� (∂iwvnj

)· ϕ L

2

−−−→j→∞

0

.v ∈ H10 (Ω) גם ובפרט כ"ת, ∂iwv = 0 ולכן

27

בהחלקה להתבונן נוכל לכן .Rn\Ω בכל אפס להיות ההגדרה הרחבת ידי על H10 (Ω) ↪→ H10 (Rn) כי לב נשים –מתקיים, שעבורה ψ� ∗ v

∂i (ψ� ∗ v) = ψ� ∗

(∂iwv

)= 0

,ψ�∗v L2

−−−→�→0

v התכנסות יש אבל .ψ�∗v ≡ 0 כי נובע ולכן ,(Ω בתוך התומך (כי ψ�∗v ∈ C∞c (Rn) מתקיים בנוסףכ"ת. v = 0 כי נובע ולכן

� כ"ת. v = ש–0 לכך בסתירה ,∥∥vnj − v∥∥2 −−−−→nj→∞ 0 וכי ∥∥vnj∥∥2 = 1 כי לב נשים אבל

,B (u, v) =�〈∇wu,∇wv〉 ידי על המוגדרת B : H10 (Ω)×H10 (Ω)→ R הבילינארית התבנית ,Ω ⊂ Rn חסום תחום עבור מסקנה:

שלמה. היא ולפיכך ,B̃ (·, ·) = 〈·, ·〉H10 הפנימית מהמכפלה שמושרית לנורמה שקולה נורמה משרה

,u, v ∈ H10 (Ω) שלכל להראות צריך הוכחה:

B̃ (u, u) ≤ c · B (u, u) ≤ B̃ (u, u)

פואנקרה, שוויון מאי נובע השמאלי השוויון אי ברור. הימני השוויון אי

B̃ (u, u) = ‖u‖2H10 = ‖u‖22 + ‖∇wu‖

22 ≤ (cΩ + 1) ‖∇wu‖

22 = (cΩ + 1) B (u, u)

� כנדרש.

.D (f) דיריכלה לבעיית יחיד חלש פתרון קיים f ∈ L2 (Ω) לכל משפט:

,H10 על B (u, v) =�〈∇wu,∇wv〉 הפנימית במכפלה נתבונן .αfϕ = 〈f, ϕ〉 הלינארי הפונקציונל αf : H10 (Ω)→ R יהי הוכחה:

רציף לינארי פונקציונל זהו פואנקרה שוויון מאי כי לב נשים שלמה. היא ולכן ,H10 של הפנימית למכפלה שקולה שהיא שהראינוזו, פנימית למכפלה ביחס H10 (Ω) של

|αf (ϕ)| ≤ ‖f‖2 · ‖ϕ‖2 ≤ cΩ · ‖f‖2 · ‖∇ϕ‖2

כלומר ,〈f, ϕ〉 = αf (ϕ) = B (uf , ϕ) שעבורו uf ∈ H10 (Ω) ויחיד קיים ריס של ההצגה ממשפט הילברט, המרחב מהיות� דיריכלה. לבעיית יחיד חלש פתרון uf ולכן ,

�fϕ =

�〈∇uf ,∇ϕ〉2

ללפלסיאן הספקטרלי המשפט 8.1

רציף. אופרטור K̃ אז .K̃ : f 7→ uf דיריכלה, לבעיית החלש הפתרון אופרטור K̃ : L2 (Ω)→ H10 (Ω) יהי טענה:

,v = uf עבור בפרט .v ∈ H10 (Ω) לכל 〈f, v〉 = 〈uf , v〉H10 מתקיים חלש פתרון מהגדרת K̃f∥∥∥2∥∥∥הוכחה:H10

= ‖uf‖2H10 = 〈uf , uf 〉H10 = 〈f, uf 〉 ≤ ‖f‖2 · ‖uf‖2

≤ cΩ · ‖f‖2 · ‖uf‖H10 = cΩ · ‖f‖2 ·∥∥∥K̃f∥∥∥

H10

� החסימות. את ונקבל∥∥∥K̃f∥∥∥

H10

ב– נחלק

28

סימטרי קומפקטי, אופרטור K אז .(K = ∆−1 מסמנים (לעתים K : L2 (Ω)K̃−→ H10 (Ω) ↪→ L2 (Ω) באופרטור נתבונן טענה:

וחיובי. לעצמו) (צמוד

הוכחה:

קומפקטי. K ולכן הקומפקטיות), משפט (לפי קומפקטי H10 (Ω) ↪→ L2 (Ω) והשיכון רציף K̃ קומפקטיות: סימטריות:

〈Kf, g〉 = 〈uf , g〉 =�

Ω

ufg

(i) =

�

Ω

〈∇uf ,∇ug〉

(ii) =

�

Ω

fug = 〈f, ug〉 = 〈f,Kg〉

לבעיית חלש פתרון uf מהיות הוא (ii) והשוויון ,g–ב דיריכלה לבעיית חלש פתרון ug מהיות הוא (i) השוויון כאשר.f–ב דיריכלה

הקודם, בחלק שחישבנו כפי חיוביות:

〈Kf, f〉 = 〈uf , f〉 = 〈uf , uf 〉H10 ≥ 0

בכל כמעט f = 0 ולכן ,v ∈ H10 לכל 〈f, v〉 = 〈uf , v〉H10 = 0 כלומר מקום, בכל כמעט uf = 0 אם מתקבל ושוויון� מקום.

ומקיימת ,u ∈ H10 (Ω) כלומר .

{−∆u = λuu |∂Ω= 0

(D) מהצורה דיריכלה לבעיית חלש פתרון u ותהי λ ∈ R יהי הגדרה:

נקרא λ–ו ,−∆ הלפלסיאן אופרטור של עצמית פונקציה נקראת u אז .ϕ ∈ C∞c (Ω) לכל�〈∇u,∇ϕ〉 = −λ

�uϕ

.u של העצמי הערך

חסום. תחום Ω ⊂ Rn יהי הספקטרלי: המשפט

חיובי. הוא −∆ של עצמי ערך כל .1.λj →∞ עם 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . לסידור וניתנת מניה בת היא −∆ של העצמיים הערכים משפחת .2

עצמיות פונקציות של סופי מספר יש k לכל (כלומר סופי הוא λj כל של והריבוי חסומה, לא הסדרה דברים: שני אומר זה.(λj–ל המתאימות

הם להן המתאימים העצמיים שהערכים ,−∆ של עצמיות מפונקציות המורכב L2 (Ω) של אורתונורמלי בסיס קיים .3.λ1, λ2, . . .

וחיוביים, סימטריים קומפקטיים, לינאריים לאופרטורים הספקטרלי מהמשפט .K : L2 (Ω) → L2 (Ω) באופרטור נתבונן הוכחה:עצמיות פונקציות עם ,µj → 0 המקיימת µ1 ≥ µ2 ≥ · · · > 0 סופי ריבוי בעלי K של עצמיים ערכים של סדרה קיימת

.L2 (Ω) של אורתונורמלי בסיס המהוות v1, v2, . . . מתאימות

29

דיריכלה, לבעיית כפתרון K מהגדרת נובע .vj ∈ H10 (Ω) ולכן µjvj = Kvj ∈ H10 (Ω) כי יודעים�

Ω

vj · ϕ =�

Ω

〈∇Kvj ,∇ϕ〉 =�

Ω

〈∇µjvj ,∇ϕ〉

= µj ·�

Ω

〈∇vj ,∇ϕ〉 = µj ·�

Ω

(−∆vj) · ϕ

,µj–ב נחלק ואם

1

µj

�

Ω

vj · ϕ =�

Ω

(−∆vj) · ϕ

� .λj := 1/µj העצמי לערך ביחס ,−∆ של עצמית פונקציה היא vj כלומר

אליפטית רגולריות 8.2

.C∞ היא −∆ של עצמית פונקציה שכל להראות גם נרצה קלאסי. פתרון הוא דיריכלה לבעיית החלש הפתרון כי להראות נרצה

למשל, שלילית. לכך התשובה ?u ∈ C3(R2)כי מכך נובע האם .u ∈ C2

(R2)עבור uxx − uyy = 0 במשוואה נתבונן דוגמה:

אם לכן .uxx = f ′′ (x+ y) = uyy כי הנ"ל, המשוואה את פותרת u (x, y) = f (x+ y) מהצורה פונקציה שכל כי לב נשים.u /∈ C3

(R2)גם אז f /∈ C3 (R)

זה ודבר חיובית, לכך התשובה ?u ∈ C3(R2)כי מכך נובע האם .u ∈ C2

(R2)עבור uxx + uyy = 0 במשוואה נתבונן דוגמה:

נעוצה לכך הסיבה כי נראה בהמשך .u ∈ C∞(R2)אפילו כי להראות ניתן למעשה אליפטית. רגולריות של מהתופעה נובע

הבאה, בטענה

.∆u = uxx + uyy בעזרת רק u ∈ C∞c של השניות הנגזרות את להעריך ניתן טענה:

נובע, קומפקטי התומך ומהיות כפולה בחלקים אינטגרציה ידי על .u ∈ C∞c(R2)כי הפשטות לצורך נניח הוכחה:

‖uxy‖22 =�uxyuxydxdy = (−1) (−1)

�uxxuyydxdy =

�uxxuyydxdy

ההערכה, מתקבלת ולכן ,a, b ≥ 0 לכל ab ≤ (a+b)2

2 כללי באופן

‖uxy‖22 ≤�|uxx| |uyy| dxdy ≤

1

2

�(uxx + uyy)

2dxdy =

1

2‖∆u‖22

� כנדרש.

דיסקרטיות נגזרות 8.2.1

להיות, h לפרמטר ביחס שלה הדיסקרטית הנגזרת את נגדיר .u ∈ L1loc

(Rn) תהי הגדרה:

Dhi u (x) :=u (x+ hei)− u (x)

h

קיימת). היא אם ,Diu (x) לנגזרת מתכנסת הדיסקרטית הנגזרת h→ 0 (כאשר

30

,u ∈W1,p (Rn) לכל Dhi∥∥משפט: u∥∥p ≤ ‖|∇wu|‖pהוכחה:

,g (t) := u (x+ thei) נגדיר .u ∈ C∞ (Rn) כי תחילה נניח

u (x+ hei)− u (x) =1�

0

g′ (t) dt =

1�

0

〈∇u (x+ thei) , hei〉 dt

= h ·1�

0

〈∇u (x+ thei) , ei〉 dt

הולדר, שוויון מאי נובע ולכן

|u (x+ hei)− u (x)| ≤ h1�

0

|∇u (x+ thei)| dt = h ‖∇u (x+ ·hei)‖1

≤ h ‖∇u (x+ ·hei)‖p · |1− 0| = h

1�0

|∇u (x+ thei)|p1/p

(מחיוביות), פוביני במשפט ושימוש dx אינטגרציה ידי ועל ,p בחזקת המשוואה את ונעלה h–ב נחלק

∥∥Dhi u∥∥pp = �Rn

∣∣Dhi u (x)∣∣p dx ≤ �Rn

1�

0

|∇u (x+ thei)|p dtdx

(y:=x+thei) =

1�

0

�

Rn

|∇u (x+ thei)|p dxdt =1�

0

�

Rn

|∇u (y)|p dydt = ‖|∇u|‖pp

unLp−−−−→

n→∞u, un (·+ hei)

Lp−−−−→n→∞

כי נובע מהנתון .C∞c (Rn) 3 unW1,p()−−−−→n→∞

u סדרה נבחר כלשהי, u ∈W1,p (Rn) עבור

אי נובע ולכן ,∥∥Dhi un∥∥p ≤ ‖|∇un|‖p מתקיים n לכל כי נובע הקודם מהחלק .Dhi un Lp−−−−→n→∞ Dhi u ולכן ,u (·+ hei)

� כנדרש. ,n→∞ בגבול גם השוויון

אזי .∥∥Dhi u∥∥p ≤ c מתקיים |h| < 1 שלכל כך c > 0 שיש ונניח ,u ∈ Lp (Rn) תהי .1 < p < ∞ יהי נירנברג: משפט

.∥∥∂iwu∥∥p ≤ c גם ומתקיים u ∈W1,p (Rn)

של היחידה כדור אלאוגלו בנך ממשפט .Lp–ב חסומה{D

1/ni u | n ∈ N

}הפונקציות שמשפחת נובע מההנחה כי לב נשים הוכחה:

מתכנסת עצמה הסדרה כי הכלליות הגבלת ללא נניח חלש, מתכנסת סדרה תת קיימת ולכן החלשה, בטופולוגיה קומפקטי Lp

ϕ ∈ Lq שלכל כך ,v ∈ Lp = (Lq)∗ שיש נובע כלומר ,(p > 1 (כי 1p +1q = 1 עבור L

p ∼= (Lq)∗ לזיהוי לב נשים חלש..�D

1/ni u · ϕ −−−−→n→∞

�v · ϕ מתקיים

31

,ϕ ∈ C∞c (Rn) שלכל להראות יש כלומר .u ∈W1,p (Rn) כי ינבע ובפרט ,v = ∂iwu כי נראה �vϕ = −

�u · (∂iϕ)

משתנה, שינוי ידי על ואכן� (

D1/ni u

)· ϕ =

�u(x+ 1nei

)− u (x)

1/n· ϕ (x)

=

�u (x) ·

ϕ(x− 1nei

)− ϕ (x)

1/n−−−−→n→∞

−�u · (∂iϕ)

הנשלטת). ההתכנסות ממשפט ישירות (או קונבולוציה על בפרק לעיל שהראינו 2 מלמה הוא האחרון הגבול כאשר

הדואלי, במרחב הנורמה שמהגדרת לב נשים שבמשפט, החסם את לקבל כדי ∥∥∂iwu∥∥p = ‖v‖p = sup‖ϕ‖q=1

{∣∣∣∣� vϕ∣∣∣∣},‖ϕ‖q = 1 לכל הולדר, שוויון מאי שנובע כפי �∣∣∣∣אבל vϕ∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣� D1/ni u · ϕ∣∣∣∣ ≤ ∥∥∥D1/ni u∥∥∥p· ‖ϕ‖q =

∥∥∥D1/ni u∥∥∥p≤ c

� הנדרש. החסם את וקיבלנו

פנימית אליפטית רגולריות 8.2.2

ϕ ∈ C∞c (Rn) לכל אם ,−∆u = f למשוואה חלש פתרון היא u ∈ H1 (Rn) = W1,2 (Rn) כי אומרים .f ∈ L2 (Rn) תהי תזכורת:.�〈∇u,∇ϕ〉 =

�fϕ מתקיים

.Ω′ b Ω ידי על ,Ω של קומפקטית קבוצה תת איזו בתוך המוכל Ω′ ⊂ Ω תחום תת נסמן ,Ω ⊂ Rn תחום עבור סימון:

וקיים ,u ∈ H2 (Ω′) כי מתקיים Ω′ b Ω לכל אזי .−∆u = f למשוואה חלש פתרון u ∈ H1 (Ω) ותהי ,f ∈ L2 (Rn) תהי משפט:שמתקיים, כך c = cΩ′,Ω > 0 קבוע

‖u‖H2(Ω′) ≤ c · (‖u‖2 + ‖f‖2)

u ∈ כי מתקיים Ω′ b Ω לכל אזי .−∆u = f למשוואה חלש פתרון u ∈ H1 (Ω) ותהי ,f ∈ Hm (Ω) תהי מסקנה:שמתקיים, כך c = cΩ′,Ω > 0 קבוע וקיים ,Hm+2 (Ω′)

‖u‖Hm+2(Ω′) ≤ c · (‖u‖2 + ‖f‖Hm)

המשוואה של חלש פתרון u מהיות כי לב נשים כללי. m עבור באינדוקציה נניח המשפט. הוא m = 0 המקרה הוכחה:בחלקים, מאינטגרציה מתקיים כי ,−∆v = ∂if ∈ Hm−1 (Ω) המשוואה של חלש פתרון v := ∂iwu כי נובע −∆u = f� 〈

∇∂iwu,∇ϕ〉

= −�〈∇u,∇∂iϕ〉

= −�f · ∂iϕ =

�(∂if) · ϕ

32

.u ∈ Hm+2 (Ω′) כלומר ,∂iwu = v ∈ H(m−1)+2 (Ω′) = Hm+1 (Ω′) כי נובע m עבור האינדוקציה מהנחת לכןקבוע m עבור האינדוקציה מהנחת ונקבל Ω′ b Ω′′ b Ω נבחר כלשהו Ω′ b Ω בהינתן המבוקש, החסם את לקבל כדי

שמתקיים, כך c′ > 0∥∥∂iwu∥∥Hm+1(Ω′) ≤ c′ · (∥∥∂iwu∥∥L2(Ω′′) + ∥∥∂iwf∥∥Hm−1(Ω′′))≤ c′ ·

(‖u‖H2(Ω′′) + ‖f‖Hm(Ω)

)(∗) ≤ c′ · c′′ · (‖u‖2 + ‖f‖2) + c

′ · ‖f‖Hm(Ω)

N .m = 0 מהמקרה מתקבל (∗) השוויון באי c′′ הקבוע כאשר.u ∈ C∞ (Ω) אזי .−∆u = f למשוואה חלש פתרון u ∈ H1 (Ω) ותהי ,f ∈ C∞ (Ω) תהי מסקנה:

f ∈ Hm (Ω′′) בפרט כלשהו. Ω′ b Ω′′ b Ω ונקבע ,Ω′ b Ω יהי .Ω′ b Ω לכל u ∈ C∞ (Ω′) כי להראות מספיק הוכחה:.m לכל u ∈ Hm+2

loc(Ω′′) קודמת ממסקנה ולכן ,m לכל

ממשפט כך אם (תרגיל). m לכל χ · u ∈ Hm+20 (Ω′′) כי מתקיים .χ |Ω′≡ 1 וכן 0 ≤ χ ≤ 1 עם χ ∈ C∞c (Ω′′) תהיכי ומכאן ,χ · u ∈ C∞ (Ω′′) לכן .m לכל χ · u ∈ C [m+2−n/2],{m+2−n/2} (Ω′′) כי נובע רציפים למרחבים השיכון

N (תרגיל). u ∈ C∞ (Ω′).u ∈ C∞ (Ω) אזי כלשהו. λ ∈ C עבור −∆u = λu של חלש פתרון u ∈ H1 (Ω) יהי מסקנה:

באורך Ω′ = Ωm b · · · b Ω1 b Ω0 = Ω שרשרת נקבע .k לכל u ∈ Ck (Ω′) כי ונראה כלשהו, Ω′ b Ω נקבע הוכחה:כי נובע הראשונה מהמסקנה .−∆u = f ∈ H1 (Ω0) המשוואה של חלש פתרון u אז ,f = λu נסמן כלשהו. mניתן .u ∈ H5

loc(Ω3) נובע סיבה מאותה ולכן f ∈ H3 (Ω1) אז אבל .u ∈ H1+2loc (Ω0) = H

3loc

(Ω0) ⊂ H3loc (Ω1).m לכל u ∈ H2m+1

loc(Ωm) = H

2m+1 (Ω′) כי ולקבל באינדוקציה להמשיך

2m+ 1− עבור בפרט ,m לכל וזאת ,W2m+1,p (Ω′) ↪→ C [2m+1−n/p],{2m+1,n/p} (Ω′) שיכון יש מוריי סובולב משיכוןN כנדרש. ,u ∈ Ck (Ω′) כי נובע ולכן n/2 > k

דיסקרטית, נגזרת עבור הביטוי את להעריך נרצה אז שניות, נגזרות קיום על מראש יודעים לא אנחנו הוכחה:� (

Dhi ∂ju)2

=

�Dhi ∂ju ·Dhi ∂ju ≈

�(∂ju) ·D−hi D

hi ∂ju

מתקיים, χ |Ω′≡ 1 המקיימת ,0 ≤ χ ≤ 1 עם χ ∈ C∞c (Ω) כל עבור �

Ω′

∣∣Dhi ∂ju∣∣2 ≤ �Ω

χ2 ·(Dhi ∂ju

)2=

�

Ω

χ2 ·(Dhi ∂ju

)·(Dhi ∂ju

)(i) =

�

Ω

∂j(χ2Dhi u

)·(∂jD

hi u)−�

Ω

(∂jχ

2)·(Dhi u

)·(∂jD

hi u)

(ii) = −�

Ω

∂j(D−hi

(χ2 ·Dhi u

))· ∂ju− 2

�

Ω

χ · (∂jχ) ·(Dhi u

)·(∂jD

hi u)

:= −Aj −Bj

בחלקים. מאינטגרציה הוא (ii) והשוויון לייבניץ, מכלל הוא (i) השוויון כאשר

33

ϕ ∈ לכל∑j

�Ω

(∂ju) (∂jϕ) =�

Ωfϕ כי נובע −∆u = f מהשוויון כי לב נשים .

∑j Aj האיבר את נעריך –

.ϕ ∈ H10 (Ω) כל עבור גם נובע זה שוויון כי נובע קירוב משיקולי .C∞c (Ω)Dhi u ∈ שגם ברור ולכן u ∈ H10 (Ω) שנתון היות זו פונקציה להציב ניתן .ϕ = D

−hi

(χ2 ·Dhi u

)את להציב נרצה

,χ ·Dhi u ∈ H10 (Ω′′) ⊂ H10 (Ω′) גם ולכן ,Dhi u ∈ H10 (Ω′′) בפרט אז ,Ω′′ = Suppχ כל עבור כך ואם ,H10 (Ω)ונקבל, נציב אז .D−hi

(χ2 ·Dhi u

)∈ H10 (Ω′) גם כך ∣∣∣∣∣∣ולכן

∑j

Aj

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣�

Ω

f ·D−hi(χ2 ·Dhi u

)∣∣∣∣∣∣(i) ≤

∥∥D−hi (χ2 ·Dhi u)∥∥2 · ‖f‖2≤

∥∥∣∣∇ (χ2Dhi u)∣∣∥∥2 · ‖f‖2(ii) ≤

(∥∥χ · ∣∣∇Dhi u∣∣∥∥2 + 2 ∥∥(∇χ) ·Dhi u∥∥2) · ‖f‖2(∀a,b. ∀�>0, ab=(�a)( b� )≤ �

2

2a2+ 1

2�2b2)≤ �

2

2

∥∥χ · ∣∣∇Dhi u∣∣∥∥22 + 12�2 ‖f‖22 + c�22 · 2 ‖|∇u|‖22 + 12�2 ‖f‖22=

�2

2

∥∥χ · ∣∣∇Dhi u∣∣∥∥22 + c�2 ‖|∇u|‖22 + 12�2 ‖f‖22לייבניץ. מכלל הוא (ii) שוויון ואי הולדר, שוויון מאי הוא (i) שוויון אי כאשר

.∑j Bj האיבר את נעריך –∣∣∣∣∣∣

∑j

Bj

∣∣∣∣∣∣ = 2∣∣∣∣∣∣∑j

�

Ω

χ · (∂jχ) ·(Dhi u

)·(Dhi ∂ju

)∣∣∣∣∣∣= 2

∣∣∣∣∣∣�

Ω

〈(Dhi u

)· ∇χ, χ · ∇Dhi u

〉∣∣∣∣∣∣(i) ≤ 2

∥∥Dhi u · |∇χ|∥∥2 · ∥∥χ · ∣∣∇Dhi u∣∣∥∥2(ii) ≤ �2 ·

∥∥χ · ∣∣∇Dhi u∣∣∥∥22 + c�2 ‖|∇u|‖22הקודם. בחישוב כמו הוא (ii) שוויון ואי שוורץ, קושי שוויון מאי הוא (i) שוויון אי כאשר

נקבל, הכל בסך

∥∥χ · ∣∣∇Dhi u∣∣∥∥2L2(Ω) ≤ 3�22 ∥∥χ · ∣∣∇Dhi u∣∣∥∥22 + c�2 ‖|∇u|‖22 + 12�2 ‖f‖22הנדרש. החסם את נקבל מתאים � > 0 ובחירת אגפים העברת ידי ועל

החסם, ומתקבל קיימת, u של השנייה שהנגזרת נובע דיסקרטיות לנגזרות נירנברג משפט ידי על כעת

‖∂i∂ju‖2L2(Ω′) ≤ cΩ′ ·(‖f‖2L2(Ω) + ‖|∇u|‖

2L2(Ω)

)

ביניים מסדר נגזרות הערכת כלומר באינטרפולציה, ניעזר (‖|∇u|‖ במקום ‖u‖ (עם שבמשפט החסם את לקבל כדי

34

,ζ |Ω′′≡ 1 המקיימת 0 ≤ ζ ≤ 1 עם ζ ∈ C∞c (Ω) לכל ,Ω′ b Ω′′ b Ω כל עבור קיצוניים. מסדרים הנגזרות באמצעות

‖|∇u|‖2 =�

Ω′′

|∇u|2 ≤�

Ω

ζ2 |∇u|2 ≤∑j

�

Ω

ζ2 · (∂ju) · (∂ju)

=∑j

�

Ω

∂j(ζ2u)· ∂ju−

∑j

�

Ω

(∂jζ

2)· u · ∂ju

= −�fζ2u− 2

�

Ω

〈ζ · ∇u, u · ∇ζ〉

≤ ‖f‖2 · ‖u‖2 + 2 ‖ζ · |∇u|‖ · ‖u · |∇ζ|‖

≤ 12‖f‖22 +

1

2‖u‖22 + �

2 · ‖ζ · |∇u|‖22 +c

�2‖u‖22

� סיימנו. ובזאת ,‖|∇u|‖2 ≤ c(‖u‖22 + ‖f‖

22

)מהצורה חסם נקבל מתאים � > 0 בחירת ידי ועל

גלובלית אליפטית רגולריות 8.2.3

עבור

{−∆u = f Ωu = 0 ∂Ω

השפה בעיית של חלש פתרון u ∈ H10 (Ω) תהי .∂Ω ∈ C2 עם חסום תחום Ω ⊂ Rn יהי משפט:

,c > 0 יש וכן ,u ∈ H2 (Ω) אזי .f ∈ L2 (Ω)

‖u‖H2(Ω) ≤ c · ‖f‖L2(Ω)

כאן. זה משפט נוכיח לא

35

II חלק

בנך אלגבראותהבאים: הדברים שמתקיימים כך בנך, אלגברת נקראת (A,+, ·, ‖·‖) רביעייה הגדרה:

.C מעל אסוציאטיבית אלגברה (A,+, ·) .1בנך. מרחב (A,+, ‖·‖) .2

.x, y ∈ A לכל ‖x · y‖ ≤ ‖x‖ · ‖y‖ .3.‖e‖ = 1 כי נדרוש ,e ∈ A יחידה איבר יש אם .4

רציפה. העתקה היא ,(x, y) 7→ x · y ,A×A→ A ההעתקה כי אומר 3 תנאי הערה:

דוגמאות:

היא C (K) := {f : K → C | f is continuous} הרציפות הפונקציות מרחב אז קומפקטי, האוסדורף מרחב K אם .1הקבועה הפונקציה יחידה, איבר גם בה יש הסופרימום. ונורמת הנקודתיים, והכפל לחיבור ביחס (אבלית) בנך אלגברת

.1ממדי. סוף וקטורי מרחב C (K) = C|K| אז סופית, קבוצה K אם בפרט

B (X) := {T : X → X | T is bounded linear operator} החסומים הלינאריים האופרטורים מרחב אז בנך, מרחב X אם .2כי, מתקיים 3 תנאי האופרטורית. הנורמה ועם ולהרכבה, נקודתי לחיבור ביחס בנך אלגברת היא

‖(TS)x‖ = ‖T (Sx)‖ ≤ ‖T‖ · ‖Sx‖ ≤ ‖T‖ · ‖S‖ · ‖x‖

בנך. אלגברת היא A ⊂ B (X) סגורה אלגברה תת כל גם כן כמואינטגרל כי לעיל והראינו ,f ∗g (x) :=

�Rn f (x− y) g (y) dy כלומר (קונבולוציה), f ·g := f ∗g לכפל ביחס L

1 (Rn) .3.3 תנאי למעשה הוא ‖f ∗ g‖1 ≤ ‖f‖1 · ‖g‖1 יאנג שוויון ואי מקום, בכל כמעט מוגדר זה

”δ0∗g (x) =�δ0 (x− y) g (y) dy = דלתא, פונקציית להיות צריכה הייתה היחידה יחידה; אין זו בנך באלגברת כי לב נשים

.δ0 /∈ L1 (Rn) אבל ,g (x) ”

הכפל ידי על בנך כאלגברת A × C–ב נתבונן הבאה: בצורה יחידה לה להוסיף ניתן יחידה, ללא בנך אלגברת A אם הערה:,3 תנאי מתקיים שאכן לב נשים .‖(x, λ)‖ = ‖x‖+ |λ| הנורמה ועם (x, λ1) · (y, λ2) = (xy + λ2x+ λ1y, λ1λ2)

‖(x, λ1) · (y, λ2)‖ = ‖xy + λ2x+ λ1y‖+ |λ1λ2|≤ ‖xy‖+ |λ2| ‖x‖+ |λ1| ‖y‖+ |λ1λ2|≤ ‖x‖ · ‖y‖+ |λ2| ‖x‖+ |λ1| ‖y‖+ |λ1λ2|= (‖x‖+ |λ1|) · (‖y‖+ |λ2|) = ‖(x, λ1)‖ · ‖(y, λ2)‖

.(0, 1) היא היחידה ואז ,x 7→ (x, 0) ידי על A ↪→ A× C נשכן לבסוף,

אם משמאל, הפיך או ,xy = e שמתקיים כך y ∈ A יש אם מימין, הפיך x ∈ A כי נאמר .e יחידה עם בנך אלגברת A תהי הגדרה:.xy = yx = e שמתקיים כך y ∈ A יש אם הפיך, נקרא x ∈ A איבר .yx = e שמתקיים כך y ∈ A יש

שווים, הם אז xy1 = y2x = e מקיימים y1, y2 ∈ A אם כי הפיך, הוא ומשמאל מימין הפיך איבר הערה:

y1 = y1e = y1 (xy2) = (y1x) y2 = ey2 = y2

36

y−1 ·x−1 ידי על הפיך x ·y אז הפיכים, x, y ∈ A אם כי לכפל, ביחס חבורה זו .G (A) נסמן A של ההפיכים אוסף את הערה:.x ידי על הפיך x−1 וכן (מאסוציאטיביות),

הפיך. e− x כי מתקיים ,‖x‖ < 1 המקיים x ∈ A לכל יחידה, עם בנך באלגברת למה:

,p < q כל עבור כי קושי, סדרת yn כי לב נשים .yn = e+ x+ x2 + · · ·+ xn נגדיר הוכחה:

‖yp − yq‖ =

∥∥∥∥∥∥q∑

k=p+1

xk

∥∥∥∥∥∥ ≤q∑

k=p+1

∥∥xk∥∥(‖x‖

ספקטרום 9

,x של הספקטרום את נגדיר .x ∈ A יהי .e ∈ A יחידה עם בנך אלגברת A תהי הגדרה:

σ (x) = {λ ∈ C | λe− x is not invertible} ⊂ C

T ∈ A אז .(V → V הלינאריים האופרטורים (אוסף A = EndV בנך באלגברת נתבונן סופי, מממד וקטורי מרחב V עבור דוגמה:לכן .kerT 6= {0} אם ורק אם הפיך לא T ∈ A כלומר על. לא הוא אם ורק אם חח"ע לא הוא אם ורק אם הפיך אינובמקרה כלומר .T של עצמי ערך λ ואז ,Tv = λv עם 0 6= v ∈ V יש כלומר ,ker (λI − T ) 6= {0} אם ורק אם λ ∈ σ (T )

שלו. העצמיים הערכים אוסף הוא T של הספקטרום זה

ריקה. ולא סגורה חסומה, קבוצה הוא σ (x) ⊂ C הספקטרום ,x ∈ A לכל יחידה. עם בנך אלגברת A תהי לספקטרום: גלפנד משפט

הוכחה:

λ > ‖x‖ לכל ואכן, .‖x‖ ברדיוס הדיסק D‖x‖ ⊂ C עבור σ (x) ⊂ D‖x‖ כי שנראה כך ידי על החסימות את נראה הפיך. λe− x ולכן הפיך, e− 1λx ולכן

∥∥ 1λx∥∥ < 1 אבל λe− x = λ (e− 1λx) מתקיים

כי ונראה הפיך, λe − x כלומר ,λ ∈ C\σ (x) יהי פתוחה. קבוצה C\σ (x) כי שנראה כך ידי על הסגירות את נראה ,λ′ ∈ B1/‖(λe−x)−1‖ (λ) יהי .B1/‖(λe−x)−1‖ (λ) ⊂ C\σ (x)

‖(λ′e− x)− (λe− x)‖ = ‖λe− λ′e‖ = |λ− λ′| < 1/‖(λe−x)−1‖

.λ′ ∈ C\σ (x) כלומר הפיך, λ′e− x כי נובע קודמת ומטענההרזולוונט), (פונקציית F : rx → A ונגדיר הרזולוונט) (קבוצת rx := C\σ (x) נסמן ריק. אינו הספקטרום כי נראה

F (λ) = (λe− x)−1

.λ המרוכב במשתנה גזירה היא כלומר הולומורפית. פונקציה F טענה:כלשהו, λ ∈ ρx נקבע הוכחה:

F (λ− h)− F (λ)−h

=((λ− h) e− x)−1 − (λe− x)−1

−h

=((λe− x)− he)−1 − (λe− x)−1

−h

=

(λe− x)−1[(e− h (λe− x)−1

)−1− e]

−h

= (λe− x)−1 ·∑∞k=0 h

k (λe− x)−k − e−h

= (λe− x)−1 ·∑∞k=1 h

k (λe− x)−k

−h= − (λe− x)−1 ·

∞∑k=1

hk−1 (λe− x)−k

= − (λe− x)−2 ·∞∑k=0

hk (λe− x)−k = − (λe− x)−2 ·(e− h (λe− x)−1

)−1−−−→h→0

− (λe− x)−2

38

של הגבול כי מצאנו כלומר רציפה. inv : x 7→ x−1 לפיה קודמת מטענה הוא האחרון הגבול כי,כאשר לב נשיםN .(F ′ (λ) = − (λe− x)−2 הנוסחה מתקיימת (ואף קיים הנגזרת

המרוכב). המישור כל על (הולומורפית שלמה פונקציה היא Fx לכן .rx = C כלומר ,σ (x) = ∅ כי בשלילה נניח כעת,λ 6= 0 לכל כי לב נשים

Fx (λ) = (λe− x)−1 = λ−1(e− 1

λx

)−1.∥∥∥(e− 1λx)−1∥∥∥ < ‖e‖+ 1 = 2 אז |λ| > R שאם כך R > 0 קיים ולכן ,‖e‖ = 1 וכן (e− 1λx)−1 −−−−→λ→∞ e מתקיים

נובע, לכן

|Fx (λ)| =∣∣λ−1∣∣ ∥∥∥∥∥

(e− 1

λx

)−1∥∥∥∥∥ −−−−→λ→∞ 0תלויה אינה Fx (λ) = (λe− x)−1 כלומר קבועה, Fx כי נובע ליוביל ממשפט המרוכב. המישור כל על חסומה Fx כלומר

� סתירה. וזו ,λ לכל λe− x = −x כלומר ,Fx (0) = (−x)−1 אבל .λ–ב

ספקטרלי רדיוס 9.1

,x של הספקטרלי הרדיוס את נגדיר .x ∈ A ויהי בנך, אלגברת A תהי הגדרה:

ρ (x) := max {|λ| | λ ∈ σ (x)}

.ρ (x) ≤ ‖x‖ כלומר ,σ (x) ⊂ D‖x‖ כי גלפנד במשפט לעיל ראינו הערה:

כי, מתקיים ספקטרלי: לרדיוס גלפנד משפט

ρ (x) = limn→∞

‖xn‖1/n = inf{‖xn‖1/n | n ∈ N

}קיים. זה גבול ובפרט

הוכחה:

הבאה, בזהות נשתמש .λn ∈ σ (xn) מתקיים λ ∈ σ (x) שלכל נראה תחילה .n ∈ N לכל ρ (x) ≤ ‖xn‖1/n כי נראה קומוטטיבית, לא האלגברה אם גם שמתקיימת

λne− xn = (λe− x)(λn−1e+ λn−2x+ λn−3x2 + · · ·+ λxn−2 + xn−1

)=

(λn�