Методи розв’язування задач з МатеМатики · 2021. 2. 21. ·...

ТЕРНОПІЛЬНАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН

О.С. Істер

Методи розв’язування задач з МатеМатикитеорія. Приклади. вправи

Книга 2

Прогресії �Текстові задачі �Початки аналізу �Планіметрія �Стереометрія �

Охороняється законом про авторське право. Жодна частина цього видання не може бути відтворена в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва

ISBN 978-966-10-3541-5 © Навчальнакнига–Богдан,2014

Упосібникувикладенометодирозв’язуваннязадачзішкільногокурсуматематики.Другакнигапосібникамістить36занять,якіохоплюютьтеми:«Прогресії»,«Тексто-

візадачі»,«Початкианалізу»,«Планіметрія»,«Стереометрія».Посібникміститьтеоретичнийматеріал(означення,основніматематичніфакти,тео

реми,формули,таблиці),прикладирозв’язуваннязавданьтавправидлясамостійногови-конання,щодозволяєвикористовуватийого,незвертаючисьдопідручників.

Дляучнівівчителівзагальноосвітніхкласів,класівташкілізпоглибленимвивчен-нямматематики.

УДК 512.1(075.3)ББК 22.1я72

Навчальне виданняІстер Олександр семенович

МетОди рОзв’язування задач з МатеМатики. теОрІя. Приклади. вПрави

книга 2Головний редактор Богдан Будний

редактор Володимир ДячунХудожник обкладинки Кравчук АндрійКомп’ютерна верстка Андрія Кравчука

Підписано до друку 18.11.2013. Формат 60×84/16. Папір офсетний. Гарнітура Century Schoolbook. Друк офсетний. Умовн. друк. арк. 34,2. Умовн. фарбо-відб. 34,2.

Видавництво«Навчальнакнига–Богдан»СвідоцтвопровнесеннядоДержавногореєструвидавців

ДК№370від21.03.2001р.Навчальнакнига–Богдан,а/с529,просп.С.Бандери,34а,м.Тернопіль,46008

тел./факс(0352)521966;520607;520548Еmail:[email protected],office@bohdanbooks.com

www.bohdanbooks.com

УДК 512.1(075.3)ББК 22.1я72 І89

Істер О.С.І-89 Методи розв’язування задач з математики. теорія. Приклади.

Вправи. Книга 2 / О.с. Істер. — тернопіль: Навчальна книга – Бог-дан, 2014. — 576 с.

ISBN 978-966-10-3541-5

Відповідно до закону України «Про авторські та суміжні права» задачі з книги «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы» за редакцією М. Сканаві використано як ілюстративний матеріал

Передмова

Упропонованомупосібникувикладеніметодирозв’язуванняза-дачзішкільногокурсуматематики.

Метапосібника—допомогтиучнямстаршихкласівтаабіту-рієнтамсистематизуватисвоїзнання,атакожознайомитисяздея-кимиметодамирозв’язуваннязадач,якимушколізтихчиіншихпричиннеприділяєтьсядостатньоуваги.Так,наприклад,набагатоширше,ніж у шкільних підручниках, викладено такі питання,якрозв´язуваннярівняньвищихстепенів,тригонометричнихталога-рифмічнихрівнянь,системрівнянь,задачінакомбінаціїпросторо-вихтілтабагатоіншихпитань.

Посібникбудекориснимякучнямзагальноосвітніхкласів,такіучнямкласівташкілізпоглибленимвивченнямматематики.За-вдяки набутим знанням наполегливий читач не тільки відмінноскладе державну підсумкову атестацію (ДПА) та зовнішнє неза-лежнеоцінювання(ЗНО),ай«закладефундамент»дляуспішногонавчанняувищомунавчальномузакладі.

Пропонованийпосібникстанеупригодівчителямякпідчасін-дивідуальних, так і підчас групових занять, дозволитьне тількипровестисистемнеповторенняшкільногоматеріалу,айрозгляну-ти,уразінеобхідності,окремітемичирозділи.

Посібникміститьтеоретичнийматеріал(означення,основніма-тематичніфакти,теореми,формули,таблиці),прикладирозв’язуваннязавданьтавправидлясамостійноговиконання.Такаструк-турапосібникадозволяєвикористовуватийого,незвертаючисьдопідручників.

4

Як працювати з посібникомПосібникскладаєтьсяіззанять,якіповністюохоплюютьтеми:

«Прогресії»,«Текстовізадачі»,«Початкианалізу»,«Планіметрія»,«Стереометрія».Цихзанять—36.Кожнезаняттямаєпідпункти.Укожномупідпунктідетальновикладеноодинзметодіврозв’язуванняпевногокласу або типу задач. Зазвичай,напочаткукожногопід-пунктуподанокороткийтеоретичнийматеріал(означення,основнітеоремиіформули),якийнеобхіднознатидлярозв’язуваннязадач.Потімнаведеноконкретніприкладизвикористаннямцьогомето-ду(формули,фактитощо).Весьзадачнийматеріалузятоізнайпо-пулярнішого протягом останніх сорока років збірника задач длявступниківдовищихнавчальнихзакладівзаредакцієюМ.І.Ска-наві(Київ,«Каннон»,1997р.).Томукожназадачамаєпотрійнуну-мерацію:першечислопозначаєномерзаняття,друге—порядко-вийномерзадачівцьомузанятті,трете(вдужках)—йогономерушостомувиданнізбірникаСканавіігрупускладності(А,БчиВ).Укожномузаняттіє10–15вправдлясамостійногорозв’язування,відповідідоякихподанонаприкінцікниги.

Працюючи з книгою, читачможе або вивчати увесьпропоно-ванийматеріал, абовивчатилишетірозділи, які вінуважаєнай-складнішими (наприклад, у випадкудефіцитучасунапідготовкудоДПАчиЗНО). * * *

Читачі, які використовують іншу систему підготовки (напри-клад, працюють з репетитором), можуть використовувати книгуякдовідковийпосібник.Дляцьогонаприкінцікнигиподанозмісткласифікатор,що дає змогу читачевішвидко знайтиметод, якиййогоцікавить.

Такожудодаткуподановідповідністьміжномерамирозв’язанихзадач(запринципом:ліворуч—номерузбірникуСканаві,право-руч—номеруційкнизі).

4 ßê ïðàöþâàòè ç ö³ºþ êíèæêîþ

ßê ïðàöþâàòè ç ö³ºþ êíèæêîþ

Êíèæêà ïîáóäîâàíà ó âèãëÿä³ çàíÿòü, ùî ïîâí³ñòþ îõîï-ëþþòü ïðîãðàìó äëÿ âñòóïíèê³â äî ÂÍÇ. Öèõ çàíÿòü – 36.Êîæíå çàíÿòòÿ ñêëàäàºòüñÿ ç ï³äïóíêò³â. Ó êîæíîìó ï³ä-ïóíêò³ äåòàëüíî âèêëàäåíî ìåòîä ðîçâ’ÿçóâàííÿ âèçíà÷åíîãîêëàñó àáî òèïó çàäà÷. ßê ïðàâèëî, íà ïî÷àòêó êîæíîãî ï³ä-ïóíêòó ïîäàíî êîðîòêèé òåîðåòè÷íèé ìàòåð³àë (âèçíà÷åííÿ,îñíîâí³ òåîðåìè ³ ôîðìóëè), çíàííÿ ÿêîãî íåîáõ³äíî äëÿðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷. Äàë³ íàâåäåíî êîíêðåòí³ ïðèêëàäè íàâèêîðèñòàííÿ äàíîãî ìåòîäó (ôîðìóëè, ôàêòè òîùî). Âåñüçàäàíèé ìàòåð³àë óçÿòî ³ç íàéïîïóëÿðí³øîãî îñòàíí³ 30 ðî-ê³â çá³ðíèêà çàäà÷ äëÿ âñòóïíèê³â ó ÂÍÇ çà ðåäàêö³ºþ Ñêà-íàâ³. Òîìó êîæíà çàäà÷à ìàº ïîòð³éíó íóìåðàö³þ: ïåðøå÷èñëî âêàçóº íîìåð çàíÿòòÿ, äðóãå – ïîðÿäêîâèé íîìåð çàäà÷³â öüîìó çàíÿòò³, òðåòº ( ó äóæêàõ) – éîãî íîìåð ó øîñòîìóâèäàíí³ Ñêàíàâ³ ³ ãðóïó ñêëàäíîñò³ (À, Á ÷è Â). Ó êîæíå çà-íÿòòÿ âêëþ÷åíî 10 – 15 âïðàâ äëÿ ñàìîñò³éíîãî ðîçâ’ÿçóâàí-íÿ, äî ÿêèõ íàïðèê³íö³ êíèæêè ïîäàíî â³äïîâ³ä³.

Ïðàöþþ÷è ç êíèæêîþ, àá³òóð³ºíò ìîæå àáî âèâ÷àòèïðîïîíîâàíèé ìàòåð³àë ó ïîðÿäêó éîãî ïîäàííÿ, àáîâèâ÷àòè ëèøå ò³ ðîçä³ëè, ùî çäàþòüñÿ éîìó íàéñêëàäí³øèìè(ó ðàç³ áðàêó ÷àñó íà ï³äãîòîâêó äî ³ñïèòó).

* * *×èòà÷³, ùî âèêîðèñòîâóþòü ³íøó ñèñòåìó ï³äãîòîâêè äî

³ñïèòó ( ÿê³ ïðàöþþòü ç ðåïåòèòîðàìè), ìîæóòü âèêîðèñòî-âóâàòè êíèæêó ÿê äîâ³äêîâèé ïîñ³áíèê (ðîçâ’ÿçíèê). Ç ö³ºþìåòîþ íàïðèê³íö³ êíèæêè, ó äîäàòêó, íàâåäåíî â³äïîâ³äí³ñòüì³æ íîìåðàìè ðîçâ’ÿçàíèõ çàäà÷ ( çà ïðèíöèïîì: ë³âî-ðó÷ – íîìåð ó çá³ðíèêó Ñêàíàâ³, ïðàâîðó÷ – íîìåð ó ö³éêíèæö³).

Íàïðèê³íö³ êíèæêè íàâåäåíî òàêîæ çì³ñò-êëàñèô³êàòîð, ùî

äàº çìîãó ÷èòà÷åâ³ øâèäêî çíàéòè ìåòîä, ÿêèé éîãî çàö³êàâèâ.

Ç à í ÿ ò ò ÿ 1

Àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ

Àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ – öå ïîñë³äîâí³ñòü, êîæíèé ÷ëåí

ÿêî¿, ïî÷èíàþ÷è ç äðóãîãî, äîð³âíþº ïîïåðåäíüîìó ÷ëåíó,

äîäàíîìó äî îäíîãî é òîãî ñàìîãî ÷èñëà (öå ÷èñëî íàçèâàºòüñÿ

ð³çíèöåþ àðèôìåòè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿).

Ïîçíà÷åííÿ

a1 – ïåðøèé ÷ëåí; d – ð³çíèöÿ; n – ÷èñëî ÷ëåí³â; an – n-é ÷ëåí;

S a a a an n� � � � �1 2 3 . . . – ñóìà ïåðøèõ n ÷ëåí³â.

Ôîðìóëè

a a d a a d a a dn n2 1 3 2 1� � � � � ��; ; ... ; ; d a an n� ��1

� �a a d nn � � �1 1 – ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà àðèôìåòè÷-íî¿ ïðîãðåñ³¿

aa a

n

n n�� 1 1

2.. . , ,. . . , ,. . . , , .a a an k

k

n n k

k

� �

êðîê³â êðîê³â

� ��

. .

aa a

k n

nn k n k�

�

�

� �

2,

äå

ßêùî

k m p q� � � ,

òî

a a a ak m p q� � �

Sa a

nnn�

��1

2

� �S

a d nnn �

� ��

2 1

2

1

Çâè÷àéíî ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³ çàäà÷ íà àðèôìåòè÷íó ïðî-

ãðåñ³þ âñ³ íåâ³äîì³ âèðàæàþòü ÷åðåç a1 ³ d ( ³ ïðè íåîáõ³äíîñò³ n).

Ñêëàâøè ð³âíÿííÿ (÷è ê³ëüêà ð³âíÿíü), çíàõîäèìî ö³ âåëè÷èíè,

à ïîò³ì òå, ùî íåîáõ³äíî çíàéòè â çàäà÷³.

Êîðèñíî çíàòè òàêå: ÿêùî ÷èñëà a, b ³ c º ïîñë³äîâíèìè

÷ëåíàìè àðèôìåòè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿, òî 2 b a c� � .

Ðîçä³ë 1. Ïðîãðåñ³¿

Ìàºìî:

AK AK AM AK1

1

4

2

3� �; ,

òîä³

MK AM AK AK AK AK1 1

2

3

1

4

5

12� � � � � ³

AM

MK

AK

AK1

2

35

12

8

5� � ;

àíàëîã³÷íîCM

MF1

8

5� . Òîáòî � AMC � K MF1 1 (äâ³ ñòîðîíè

ïðîïîðö³éí³ ³ îäíàêîâ³ êóòè ì³æ íèìè) ³

S

S

AMC

K MF

�

� 1 1

8

52 56

2

� �

�

�� , .

Àíàëîã³÷íîS

S

CMB

F ME

�

� 1 1

2 56� , ³S

S

BMA

E MK

�

� 1 1

2 56� , . Òîä³

S

S

S S S

S S S

ABC

KE F

AMC CMB BMA

K MF F ME E

�

�

� � �

� � �1 1 1 1 1 1 1

��

� �1 1MK

�

� ��

� �

� �

2 561 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

, S S S

S S S

K MF F ME E MK

K MF F ME E MK

� � �

� � � 1

2 56� , .

Â³äïîâ³äü: ó 2,56 ðàçó.

Âïðàâè

20.16 (10.086-À). Íà êîæí³é ìåä³àí³ òðèêóòíèêà âçÿòî òî÷êó,

ùî ä³ëèòü ìåä³àíó ó â³äíîøåíí³ 3:1, ïî÷èíàþ÷è â³ä âåðøèíè. Ó

ñê³ëüêè ðàç³â ïëîùà òðèêóòíèêà ç âåðøèíàìè ó öèõ òðüîõ

òî÷êàõ ìåíøà çà ïëîùó ïî÷àòêîâîãî òðèêóòíèêà?

20.17 (12.006-À). Ó ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó äàíî éîãî

ïëîùó S ³ ãîñòðèé êóò �. Çíàéòè â³äñòàíü â³ä òî÷êè ïåðåòèíó

ìåä³àí òðèêóòíèêà äî ã³ïîòåíóçè.

20.18 (12.019-À). Ïëîùà ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà äî-

ð³âíþº S, à ïðîòèëåæíèé îñíîâ³ êóò ì³æ ìåä³àíàìè, ïðîâåäå-

íèìè äî éîãî á³÷íèõ ñòîð³í, äîð³âíþº �� Çíàéòè îñíîâó.

20.19 (10.321-Á). Ìåä³àíè òðèêóòíèêà äîð³âíþþòü 3; 4 ³ 5 ñì.

Çíàéòè ïëîùó òðèêóòíèêà.

270 Ðîçä³ë 4

4. Êâàäðàò, ïðÿìîêóòíèê, ðîìá,âïèñàí³ ó òðèêóòíèê.

Çàäà÷à 20.20 (10.005-À).

Ó ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ç êàòåòàìè à ³ b âïèñàíî êâàäðàò,

ùî ìàº ç òðèêóòíèêîì ñï³ëüíèé ïðÿìèé êóò. Çíàéòè ïåðèìåòð

êâàäðàòà.

Ðîçâ’ÿçàííÿ.

Êâàäðàò CTKN âïèñàíî ó ïðÿìîêóòíèé

òðèêóòíèê ÀÑÂ ³ç êàòåòàìè ÀÑ = b; ÂÑ = à

(ðèñ. 130).

Ïîçíà÷èìî ÒÊ=ÒÑ=x. � ATK � ACB (çà

äâîìà êóòàìè). Òîä³

AT

AC

TK

CB

b x

b

x

ax

ab

a b�

��

�; ; .

Ïåðèìåòð êâàäðàòà 44

xab

a b�

�.

Â³äïîâ³äü:4 a b

a b�.

Çàäà÷à 20.21 (10.108-À).

Çíàéòè ïëîùó êâàäðàòà, âïèñàíîãî â ïðàâèëüíèé òðèêóòíèê

ç³ ñòîðîíîþ à.

Ðîçâ’ÿçàííÿ.

Êâàäðàò EFGH âïèñàíî ó ïðà-

âèëüíèé òðèêóòíèê ÀÂÑ ç³ ñòî-

ðîíîþ à (ðèñ. 131). Ïîçíà÷èìî

EF EH x� � .

Ìàºìî � AEF � ACB. Òoä³

AL

EF

AK

BC� .

AK �à 3

2– âèñîòà ïðàâèëüíîãî

òðèêóòíèêà ÀÂÑ . Ìàºìî

ax

x

a

ax

a

3

2

3

2 3

3 2

��

�; .

Çàíÿòòÿ 20 271

Ðèñ. 130

Ðèñ. 131

548 Äîäàòîê

� ��

��

��1 arcsin .

r

R r26.21. � �a

2

364 3 3� . 26.22.

5 6 3

18

�cì2.

26.23.S 3

24

2sin

.�

Çàíÿòòÿ 27.

27.4. 32

22

aQ�

�

��

�

��. 27.5.

3 2H ctg�

�sin. 27.11.

2

22

cos

sin

.�

�27.12.

� �2arctg cos .� 27.13.a

3 2

22

cos

sin

.�

�27.16.

3 3

10 5

3d

. 27.22. 2 23d .

27.23.a

2 3

2. 27.24. � �2 2 13

a � . 27.25. arctg5

2.

Çàíÿòòÿ 28.

28.6. � �� 1

4 lM N P M N P M P N P N M� � � � � � � � .

28.7.d

3 2 2

8

sin sin sin.

� � �28.8.

a3

8 2tg tg�

�. 28.9.

22

2 2

V

a

sin

sin sin

.

� �

� �

�

28.12.a

3

22sin .� �tg 28.18.

3

8

3a

. 28.19.a b

a b8

12 32 2� .

28.20. � �a b 2 1� . 28.23. � �a2 4 3� . 28.24.

abc

1 2 2� �ctg ctg� �.

Çàíÿòòÿ 29.

29.6. 4 3 ñì3. 29.7. arctg5 4

5 4

��

cos

cos.

��

29.8.

d2 2

2

4 2

2

cos

sin

.

�

�

��

��

29.9. 12 äì3. 29.17. � � � �2 3 2 2a b a b� � . 29.18.

� �

m n p d

m n p

3

23 � �.

29.19. 8 ì2. 29.20.24

65. 29.21. � � � �l

3sin sin cos cos .� � � � � ��

29.24. � �aa2

3

1 2 3 133

2� �

�

; . 29.25.abc

2.

Çàíÿòòÿ 30.

30.5.3 3

2

2h . 30.6.

a3 2

12. 30.7. 4 32

m . 30.19. � �a a3 3

24

3

41 2, .�

30.20.9 2

8cì3 . 30.21.

3 2

8

3l sin cos

.� �

30.22. arccos3

3. 30.23.

arcctg2

k2 1�

. 30.24. 6. 30.25. � �a a3 2

2

12 43 4 1

tgtg

��; .� 30.26.

sincos .

��

33S

Çàíÿòòÿ 31.

31.5.l3 3

12.31.6. 3

2

3

23

aa

; .31.7.6

6. 31.8.

a2 2

2

3

23

sin

sin

.

�

�

��

��

��

��

31.12.

3 3

2

2h

. 31.13.6 1833

47. 31.15.

4 3

2

4S

Ssin cos .� � 31.22.1

7.

31.23. 23 1

2arcsin .

�31.24. arcsin

cos; .

2

3 6 2

� � �

� 31.25.

arctg 5 1� . 31.26. � � � �k k, .1 0

Çàíÿòòÿ 32.

32.3. 2 2: . 32.6. 21 55 ñì3; 84 ñì2. 32.9. ��1 3 2

4

cos.

�32.12.

arccoscos

cos; arcsin

cos

cos.

�

�

�

�32.13.

l3

2

2

3 2 2

sin

sincos cos .

�

�

��

��

��

��

��

��

32.16. � �l l3 22

12 22 2; .� 32.17. � �a

2

1sin

cossin .

�

�� 32.21.

a2

12�

� �4 22 2b a , ÿêùî a b� 2 . 32.22.

c3

2

362 3 1sin cos .� �tg � 32.25.

� �m m2 3 4

22 2

2

6� ; . 32.26. 192 ñì2.

Çàíÿòòÿ 33.

33.5.c

3 3

48. 33.6. 108 ñì3. 33.7. arctg

tg�

�2 cos. 33.8.

a3

12. 33.10.

2 3 2h tg

3

� �sin. 33.14.

8

33 243 2

r r; . 33.15.1

6S Stg� �sin . 33.17.

Â³äïîâ³ä³ äî âïðàâ 549

550 Äîäàòîê

2048

27ì3. 33.19. � �3

12

3 3a b� . 33.23. 26 25, äì2. 33.24. � �2

6

3 3a b� .

33.25.� �

� �

ab a ab b

a b

2 2

3

� �

�.

Çàíÿòòÿ 34.

34.4. V=SC. 34.7. 2 arctg4 m

n, ÿêùî m n: �

4

³ 2 arctgn

m4,

ÿêùî m n: .�4

34.6.l

22� cos .� 34.15.

1

3r S. 34.16.

1

3153R .

34.17.

� �H

32 2

122sin sin . 34.18. SL . 34.19.

h3

24. 34.20.

arcsin sin sin .24 4 4

� ��

��

��

�

��

�

�� 34.22.

7

27

V. 34.25. sin cos .4

42

2

� ��

��

��

34.26. tg�

�4 2

S

sin.

Çàíÿòòÿ 35.

35.5. 4 Q. 35.6. 600 cì2; 1000 ñì3. 35.7.

� �c

3

62

4sin sin .��

��

��

35.10. 3 2 1: : . 35.14. 4 9 4 9: ; : . 35.15. 2 arctgk k k

kk

� ��

2 2

22, .

35.17.

�l3

3

122sin . 35.19.

� � r h

h

2 2

2

�. 35.23. arctg2 2 . 35.24.

� �

lr

l r2 2 22

3; .� 35.25. arcsin .

2

535.27.

� �arctg

2 4+ 6

5.

Çàíÿòòÿ 36.

36.2. � � � �H3

22

cos

sinsin sin .

�

�� 36.4.

�

�

a3 3

3

2 2

1284

sin

sin

.

��

��

36.6.

22

2�

�

l ctg

9 sin2. 36.9 .

27 2

8. 36.11.

3 2

44

2 2

2

l sin

sin

.�

��

��

��

36.13. � �2 arcsin .tg�

36.16.4

81

3h.36.17. 8

2 2

2 2 2a cos cos .�

� �ctg 36.20. S S kêóë³: : ;� 2

V Vkêóë³ : : .� 3 2 36.23. cos ;2� ïî÷èíàþ÷è â³ä îñíîâè. 36.24.

� �à 3 2

4 2

� cos

sin.

�

�36.30. 6 V. 36.31. � �a

3

227 2 22 3� .


¹ Òåìà Íîìåðè ç³ çá³ðíèêà

çàäà÷ Ñêàíàâ³

Ñòîð³íêà

Çàäà÷ Âïðàâ

Ïåðåäìîâà 3

Ðîçä³ë 1. Ïðîãðåñ³¿ 5

Çàíÿòòÿ 1. Àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ 5

1 Çíàõîäæåííÿ ÷ëåí³â

àðèôìåòè÷íî¿

ïðîãðåñ³¿, ¿¿ ð³çíèö³ d ³

÷èñëà ÷ëåí³â n.

4.004;

4.014;

4.031;

4.038;

4.070;4.075

4.007; 4.011;

4.021; 4.067

6

2 Îá÷èñëåííÿ ð³çíèõ ñóì. 4.015;

4.041;

4.071

4.002; 4.039;

4.042

9

3 Òåêñòîâ³ çàäà÷³. 4.001;

4.084

4.003; 4.006 11

4 Äîâåäåííÿ âëàñòèâî-ñòåé ³ òâåðäæåíü, ùîñòîñóþòüñÿ àðèôìå-òè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿.

4.037;

4.054;

4.057;

4.076

4.059; 4.074 13

5 Ïàðàìåòð ³àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ.

4.082 15

Çàíÿòòÿ 2. Ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿ 16

1 Çíàõîäæåííÿ ÷ëåí³â

ãåîìåòðè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿,

¿¿ çíàìåííèêà q ³ ÷èñëà

÷ëåí³â n.

4.008;

4.036;

4.056;

4.062;

4.063;

4.072;

4.077

4.016; 4.017;

4.018; 4.019;

4.020; 4.022;

4.028; 4.047

17

Çì³ñò-êëàñèô³êàòîðÇì³ñò-êëàñèô³êàòîð 553



Ñòîð³íêà


2 Îá÷èñëåííÿ ð³çíèõ ñóì

³ äîáóòê³â.

4.051;

4.080;

4.081

4.065; 4.066 23

3 Òåêñòîâ³ çàäà÷³. 13.373 26

4 Äîâåäåííÿ âëàñòèâî-ñòåé ³ òâåðäæåíü, ùîñòîñóþòüñÿ ãåîìåòðè÷-íî¿ ïðîãðåñ³¿.

4.048;

4.053;

4.083.

4.058 28

5 Îäíà ãåîìåòðè÷íàçàäà÷à.

4.085(10.251)

29

Çàíÿòòÿ 3. Íåñê³í÷åííà ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿïðè q� 1. Êîìá³íîâàí³ çàäà÷³

30

1 Íåñê³í÷åííà

ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿ

ïðè q� 1.

4.023;

4.043;

4.049;

4.052;

4.055

4.009; 4.010;

4.025; 4.030;

4.033

30

2 Êîìá³íîâàí³ çàäà÷³ íà

àðèôìåòè÷íó ³

ãåîìåòðè÷íó ïðîãðåñ³¿.

4.044;

4.046;

4.068;

4.069;

4.073;

4.078;

4.079

4.013; 4.040;

4.045; 4.064

35

Ðîçä³ë 2. Òåêñòîâ³ çàäà÷³ 42

Çàíÿòòÿ 4. Çàäà÷³ íà â³äñîòêè, êîíöåíòðàö³þ 42

1 Òðè âèäè íàéïðîñò³øèõ

çàäà÷ íà â³äñîòêè.

Ïðîñò³ çàäà÷³ íà

â³äñîòêè.

13.009;13.034;13.236;13.323

13.003;13.159 42

НомеризізбірниказадачзаредакцієюМ.І.Сканаві

554 Çì³ñò-êëàñèô³êàòîð



Ñòîð³íêà


2 Çàäà÷³ íà â³äñîòêîâèé

ïðèð³ñò ³ îá÷èñëåííÿ

“ñêëàäíèõ â³äñîòê³â”.

13.007;

13.219;

13.315;

13.316

13.011;

13.013;

13.318

45

3 Çàäà÷³ íà êîíöåíòðàö³þ ³

â³äñîòêîâèé âì³ñò.

13.002;

13.093;

13.247;

13.378;

13.413

13.008;

13.036;

13.041;

13.094;

13.309; 13.389

48

4 Ïåðåëèâàííÿ ³

â³äñîòêîâèé âì³ñò.

13.443 53

Çàíÿòòÿ 5 . Çàäà÷³ ç ÷èñëàìè, ö³ëî÷èñåëüíèìè

âåëè÷èíàìè

55

1 Çàäà÷³, ïîâ’ÿçàí³ ç

ïðîïîðö³ºþ,

ïðîïîðö³éí³ñòþ âåëè÷èí,

÷àñòèíàìè.

13.001;

13.018;

13.020;

13.028

13.015;13.016

; 13.048

55

2 Âèêîðèñòàííÿ

äåñÿòêîâîãî çàïèñó

÷èñëà.

13.086;

13.308;

13.358;

13.375;

13.377;

13.435

13.005;13.087;

13.100;13.338;

13.376

58

3 Ïîä³ëüí³ñòü ö³ëèõ

÷èñåë.

13.353;

13.434

13.305; 13.354 63

4 Çàäà÷³ ç

ö³ëî÷èñåëüíèìè

âåëè÷èíàìè.

13.238;

13.249

13.063;

13.17164

Çì³ñò-êëàñèô³êàòîð 555

¹ Òåìà Íîìåðè ç³ çá³ðíèêàçàäà÷ Ñêàíàâ³

Ñòîð³íêà


Çàíÿòòÿ 6. Çàäà÷³ íà ð³âíîì³ðíèé ðóõ áåçñòîðîíí³õ ñèë (òå÷³¿, â³òðó òîùî)

66

1 Ë³êâ³äàö³ÿ çàï³çíåííÿ

ò³ëîì, ùî ðóõàºòüñÿ.

13.111;

13.399

13.116 66

2 Ðóõ ³ç çóïèíêîþ. 13.106 13.117 68

3 Ðóõ äâîõ ò³ë íàîäíàêîâó â³äñòàíü çð³çíèìè øâèäêîñòÿìè.

13.216 13.085 69

4 Ðóõ îäíîãî ò³ëà íà ð³çí³â³äñòàí³ ç ð³çíèìèøâèäêîñòÿìè

13.026 13.078; 13.222 70

5 Ðóõ äâîõ ò³ë íà ð³çí³â³äñòàí³ ç ð³çíèìèøâèäêîñòÿìè.

13.221

13.263

13.103 71

6 Ðóõ äâîõ ò³ë íàçóñòð³÷îäèí îäíîìó äîìîìåíòó çóñòð³÷³.

13.391 13.311 73

7 Ðóõ äâîõ ò³ë íàçóñòð³÷îäèí îäíîìó äîìîìåíòó çóñòð³÷³ çïîäàëüøèìïðîäîâæåííÿì øëÿõóâ òîìó ñàìîìóíàïðÿìêó.

13.397 13.098 75

8 Ðóõ äâîõ ò³ë â îäíîìóíàïðÿìêó ³ íàçóñòð³÷îäèí îäíîìó.

13.418 13.167 76

9 Ðóõ äâîõ ò³ë â îäíîìóíàïðÿìêó, îäíå ç ÿêèõïîâåðòàºòüñÿ,íàçäîãíàâøè ³íøå.

13.220 13.257 78





Ñòîð³íêà


10 Ðóõ òðüîõ ò³ë â îäíîìó

íàïðÿìêó.

13.215;

13.267

13.254 80

11 Ðóõ â³äíîñíî

íåðóõîìîãî

ñïîñòåð³ãà÷à (îá’ºêòà).

13.419 13.284 82

Çàíÿòòÿ 7. Çàäà÷³ íà ðóõ84

1 Ð³âíîïðèñêîðåíèé ðóõ

îäíîãî ÷è äâîõ ò³ë.

13.262;

13.273

13.113;

13.356

84

2 Ðóõ ç óðàõóâàííÿì òå÷³¿

(â³òðó).

13.121;

13.130;

13.286;

13.387

13.128;

13.131; 13.223

86

3 Ðóõ ïî åñêàëàòîðó. 13.404 13.252 91

4 Çàäà÷³, ïîâ’ÿçàí³ ³ç

ñåðåäíüîþ øâèäê³ñòþ.13.277 13.089 93

5 Ðóõ ïî âçàºìíî

ïåðïåíäèêóëÿðíèõ

ïðÿìèõ.

13.382;

13.411

13.124 94

6 Ðóõ ò³ë ïî ñòîðîíàõ

òðèêóòíèêà.

13.365 96

7 Ðóõ ïî êîëó. 13.298;

13.432

13.127;

13.302

97


ê³ëüê³ñòþ îáåðò³â.

13.194 13.051 101


¹Òåìà Íîìåðè ç³ çá³ðíèêà

çàäà÷ Ñêàíàâ³Ñòîð³íêà


Çàíÿòòÿ 8. Çàäà÷³ íà ðîáîòó ³ ïðîäóêòèâí³ñòü

ïðàö³.

103

1 Çàäà÷³ íà êîíêðåòíó

ðîáîòó.

13.024;

13.037;

13.226;

13.250

13.023;13.055;

13.185;13.328

103

2 Çàäà÷³ íà àáñòðàêòíó

ðîáîòó.

13.021;

13.213;

13.288;

13.383;

13.384

13.019;13.135;

13.227;13.292

106

3 Çàäà÷³ íà

ïåðåêà÷óâàííÿ ð³äèí

íàñîñàìè.

13.010;

13.253;

13.290;

13.293;

13.426

13.070;13.132;

13.142;13.242

110

Çàíÿòòÿ 9. Òåêñòîâ³ çàäà÷³ åêîíîì³÷íîãî çì³ñòó 114

1 Çàðïëàòà ³

ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³.

13.012;

13.329

13.068 114


âàðò³ñòþ òîâàð³â.

13.158;

13.212;

13.248;

13.367;

13.372;

13.379;

13.380;

13.442

13.154;13.162;

13.164;13.200;

13.334

115




Ñòîð³íêà


3 Âàðò³ñòü òîâàðó ³ ïåðåâå-

çåííÿ.

13.276;

13.381;

13.433

13.091;13.161; 124

4 Çàäà÷³ íà âðîæàéí³ñòü. 13.042;

13.076

13.054;13.163 128

Çàíÿòòÿ 10. Ð³çí³ òåêñòîâ³ çàäà÷³ 130

1 Çàäà÷³ ç âåêòîðàìè. 13.057;

13.191

13.344 130

2 Òåêñòîâ³ çàäà÷³,

ïîâ’ÿçàí³ ç ãåîìåòð³ºþ.

13.201;

13.240;

13.244;

13.246;

13.251;

13.386;

13.440;

13.444

13.052;13.088;

13.148;13.152;

13.153;13.345

131

3 Çàäà÷³, ïîâ’ÿçàí³ çêâàäðàòíèì òðè÷ëåíîì.

13.343 13.189 139


ïåðåëèâàííÿìè.

13.327 13.243 139

5 Çàäà÷³, ó ÿêèõ ÷èñëî

íåâ³äîìèõ ïåðåâèùóº

÷èñëî ð³âíÿíü ñèñòåìè.

13.346;

13.403

13.341 141

6 Çàäà÷³, ùî ðîçâ’ÿçóþòü-

ñÿ çà äîïîìîãîþ

íåð³âíîñòåé.

13.361 13.370 142



Ñòîð³íêà


Ðîçä³ë 3. Ïî÷àòêè ìàòåìàòè÷íîãî àíàë³çó 144

Çàíÿòòÿ 11. Òåõí³êà äèôåðåíö³þâàííÿ. Äîòè÷íàäî ãðàô³êà. Ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿

144

1 Îá÷èñëåííÿ ïîõ³äíî¿. 15.019;15.021;15.024;15.032;15.034;15.035;15.065

15.022;15.026;

15.036;15.037

144

2 Îá÷èñëåííÿ ïîõ³äíî¿ â

çàäàí³é òî÷ö³.

15.039;15.046;15.047;15.055;15.068;15.070;

15.042;15.044;

15.053;15.057;

15.062

148

3 Îá÷èñëåííÿ äðóãî¿

ïîõ³äíî¿.

15.060 151

4 Äîòè÷íà äî ãðàô³êà

ôóíêö³¿. Ãåîìåòðè÷íèé

çì³ñò ïîõ³äíî¿.

15.063;15.072;15.087;15.088;15.091;15.098;15.106*

15.066;15.090;

15.092;15.093;

15.102

152

Çàíÿòòÿ 12. Ô³çè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿.Çàñòîñóâàííÿ ïîõ³äíî¿ äî çíàõîäæåííÿ ñóì,äîñë³äæåíü ôóíêö³é

156

1 Ô³çè÷íèé çì³ñò

ïîõ³äíî¿.

15.082;15.113;15.11415.116;15.119

15.112;15.117;15.118;15.120

156





Ñòîð³íêà


2 Çàñòîñóâàííÿ ïîõ³äíî¿äî çíàõîäæåííÿ ñóì.

15.085* 159

3 Äîñë³äæåííÿ ôóíêö³éíà ìîíîòîíí³ñòü ³åêñòðåìóìè

15.067;15.125;15.141;15.166;15.170*15.129;15.131;15.173;15.174;15.219

15.080;15.167;15.128;15.130;15.221;15.227

160

4 Ïîáóäîâà ãðàô³ê³âôóíêö³é.

15.203;15.212

15.204;15.211 166

Çàíÿòòÿ 13.Íàéá³ëüøå ³ íàéìåíøå çíà÷åííÿ

ôóíêö³¿. Ïàðàìåòð ³ ïîõ³äíà.

168

1 Íàéá³ëüøå ³ íàéìåíøå

çíà÷åííÿ ôóíêö³¿.

15.146;

15.151*;

15.152*;

15.159*;

15.161;

15.064;

15.168;

15.169;

15.201

15.147;15.149;

15.154;15.156;

15.162;15.165

168

2 Òåêñòîâ³ çàäà÷³ íà

íàéá³ëüøå ³ íàéìåíøå

çíà÷åííÿ.

15.177;15.187;15.179;15.181;15.184;15.18615.194;15.195

15.176;15.178;

15.183;15.185;

15.189;15.193;

15.197

176




Ñòîð³íêà


3 Ïîõ³äíà ³ ïàðàìåòð. 15.084;

15.138;

15.126

15.071 184

Çàíÿòòÿ 14. Ïåðâ³ñíà. ²íòåãðàë ³ éîãîçàñòîñóâàííÿ

186

1 Çàäà÷³ ç ïåðâ³ñíîþ. 15.076;

15.232;

15.234;

15.239

15.233;15.235;

15.236;15.238;

186

2 Âèçíà÷åíèé ³íòåãðàë.

Ôîðìóëà

Íüþòîíà-Ëåéáí³öà.

15.241;

15.242;

15.243;

15.244;

15.249;

15.251;

15.256;

15.257;

15.260;

15.261;

15.262

15.240;15.245

;15.247;15.25

0;15.254;15.2

58;15.259;15.

263;15.265

189

3 Îá÷èñëåííÿ ïëîù

ïëîñêèõ ô³ãóð çà

äîïîìîãîþ

âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà .

15.266;

15.269;

15.270;

15.273

15.267;15.268;

15.271;15.272

195

4 Çàñòîñóâàííÿ

âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà

ó ô³çèö³.

15.274 15.275 198




Ñòîð³íêà


Ðîçä³ë 4. Ïëàí³ìåòð³ÿ 200

Çàíÿòòÿ 15. Ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê 200

1 Òåîðåìà Ï³ôàãîðà 10.001;10.256;10.269

10.051;

10.173

200

2 Âëàñòèâ³ñòü êàòåòà, ùîëåæèòü ïðîòè êóòà 30� .Âëàñòèâ³ñòü ìåä³àíè,ïðîâåäåíî¿ äîã³ïîòåíóçè.

10.021 202

3 Êîë , âïèñàíå âïðÿìîêóòíèéòðèêóòíèê.

10.226;10.264;10.362

10.076;

10.252

203

4 Êîëî, îïèñàíå íàâêîëîïðÿìîêóòíîãîòðèêóòíèêà.

10.305 205

5 Êîëî, âïèñàíå âïðÿìîêóòíèéòðèêóòíèê, ³ êîëî,îïèñàíå íàâêîëî íüîãî.

10.060;

10.104

10.050;

10.265

206

6 Ïëîùà ïðÿìîêóòíîãîòðèêóòíèêà.

10.188;10.296

10.166 207

7 Ïëîùà ïðÿìîêóòíîãîòðèêóòíèêà ÿêäîïîì³æíèé åëåìåíò.

10.047;

10.223

10.262 208

8 Ð³çí³ çàäà÷³. 10.412 10.332; 10.352 210

Çàíÿòòÿ 16. Ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ñòîðîíàìè ³êóòàìè òðèêóòíèêà. Ð³âíîñòîðîíí³é òðèêóòíèê

211

1 Ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æñòîðîíàìè ³ êóòàìèïðÿìîêóòíîãîòðèêóòíèêà.

12.013;12.132;12.157;10.365

12.151;12.158;

12.171

211



Ñòîð³íêà


2 Òåîðåìà ñèíóñ³â.

Òåîðåìà êîñèíóñ³â.

12.011;

10.361

12.131;12.188 214

3 Çàëåæí³ñòü ì³æòðèãîíîìåòðè÷íèìèñï³ââ³äíîøåííÿìè âòðèêóòíèêó ³ âèäîìòðèêóòíèêà.

12.163 12.036 216

4 Ð³âíîñòîðîíí³é

òðèêóòíèê.

12.030;12.039;10.027;10.247;10.268;12.189;12.405

10.010;10.037;

10.043;10.065;

12.139

217

Çàíÿòòÿ 17. Ìåä³àíè ³ á³ñåêòðèñè òðèêóòíèêà224

1 Ìåä³àíè òðèêóòíèêà.

Ôîðìóëà ìåä³àíè.

10.011;

12.023;

12.144;

10.215;

10.272;

10.327

10.008;10.263;

10.270

224

2 Òî÷êà ïåðåòèíó ìåä³àí. 10.221 10.266 228

3 Á³ñåêòðèñà òðèêóòíèêà.

Ôîðìóëè äëÿ

îá÷èñëåííÿ á³ñåêòðèñè.

10.079;

12.022;

(12.192)

12.195

10.077;10.368 229

4 Âëàñòèâ³ñòü á³ñåêòðèñè


10.136;

10.235;

12.422

10.049;10.277 231

5 Òî÷êà ïåðåòèíóá³ñåêòðèñ.

10.201 10.202 233




Ñòîð³íêà


6 Ïåðåòèí á³ñåêòðèñè

òðèêóòíèêà ³ îïèñàíîãî

êîëà.

10.372 234

Çàíÿòòÿ 18. Ïëîùà òðèêóòíèêà 235

1 Çíàõîäæåííÿ ïëîù³


10.158;

12.142;

12.155;

12.393;

10.400;

10.407

10.106;10.175;

10.187;10.328;

10.343

235

2 Ïëîùà ÿê äîïîì³æíèé

åëåìåíò.

10.230;

12.180;

12.168;

10.227;

10.386

10.018;10.178;

12.035;10.258

240

3 Çíàõîäæåííÿ ë³í³éíèõ ³

êóòîâèõ åëåìåíò³â,

ÿêùî äàíî ïëîùó.

12.041;

12.165;

12.402

10.095;12.185 244

Çàíÿòòÿ 19. Âèñîòè òðèêóòíèêà 247

1 Âèñîòà é ³íø³ ë³í³éí³

åëåìåíòè òðèêóòíèêà.

12.001;

10.371;

10.377;

10.390;

12.409

12.140;12.150;

12.161

247

2 Âèñîòà ³ ïëîùà. 10.032;

10.274;

10.381;

(10.421)

10.406;

10.416

10.162;

10.271

252



Ñòîð³íêà


3 Âèñîòà, ïðîâåäåíà äî

ã³ïîòåíóçè

ïðÿìîêóòíîãî


10.054;

10.059;

10.062;

10.316;

10.403

10.066;10.074;

10.094;10.211

256

Çàíÿòòÿ 20. Ïîä³áí³ñòü òðèêóòíèê³â 260

1 Ïîä³áí³ñòü òðèêóòíèê³â

³ ë³í³éí³ åëåìåíòè.

10.224;

10.240;

10.245

10.261 260

2 Â³äíîøåííÿ ïëîù

ïîä³áíèõ òðèêóòíèê³â.

10.068;

10.282;

10.394;

10.409

10.098;10.135 263

3 Ìåä³àíè ³ ïëîùà 10.329;

10.320;

10.326;

10.325;

10.353

10.086;12.006;

12.019;10.321

266

4 Êâàäðàò, ïðÿìîêóòíèê,

ðîìá, âïèñàí³ ó

òðèêóòíèê.

10.005;

10.108;

10.193;

10.200

10.058;10.207;

12.179

271

Çàíÿòòÿ 21. Âïèñàíå é îïèñàíå êîëà 274

1 Êîëî, âïèñàíå â

òðèêóòíèê.

10.055;

10.214;

10.244

10.072;10.090;

10.260

274

2 Êîëî, îïèñàíå íàâêîëî


10.203;

10.204;

10.287;

12.411

10.089;10.092 276





Ñòîð³íêà


3 Âïèñàíå é îïèñàíå

êîëà.10.009;

10.163;

10.253;

12.002;

12.395;

12.154;

10.078;10.206;

12.141

279

4 Êîëî, äîòè÷íå äî äâîõ

ñòîð³í òðèêóòíèêà,

öåíòð ÿêîãî ëåæèòü íà

òðåò³é ñòîðîí³.

10.013;

10.213;

10.419

10.040;10.209 283

Çàíÿòòÿ 22. Ïàðàëåëîãðàì ³ éîãî âèäè 285

1 Ïàðàëåëîãðàì. 10.038;

10.229;

12.391;

12.396;

12.399;

12.401

10.041;10.157;

10.232

285

2 Ðîìá. 10.031;12.003;12.147;12.160

10.004;10.083;

10.311

292

3 Ïðÿìîêóòíèê. 12.017;

12.148

10.081;10.212 295

4 Êâàäðàò. 10.023;

10.107;

12.004;

10.356

12.031;10.195 297




Ñòîð³íêà


Çàíÿòòÿ 23. Òðàïåö³ÿ 300

1 Äîâ³ëüíà òðàïåö³ÿ. 10.024;

10.124;

10.238;

10.275;

12.136;

10.370;

10.376;

(10.318)

10.413

10.042;10.167;

10.184;10.198

301

2 Ïðÿìîêóòíà òðàïåö³ÿ. 10.191;

12.033

10.057;10.231 307

3 Ð³âíîá³÷íà òðàïåö³ÿ. 10.002;

(10.071)

12.038;

12.137;

12.138

10.003;10.323;

12.194

309

4 Ð³âíîá³÷íà òðàïåö³ÿ, óÿêó ìîæíà âïèñàòèêîëî.

10.007;12.010;10.199

12.018 312

5 Ð³âíîá³÷íà òðàïåö³ÿ,ä³àãîíàë³ ÿêî¿ïåðïåíäèêóëÿðí³.

10.319 10.134 314

Çàíÿòòÿ 24. ×îòèðèêóòíèêè. Ìíîãîêóòíèêè 315

1 Îïèñàí³÷îòèðèêóòíèêè.

12.024;12.152

12.027;10.180 315

2 Âïèñàí³

÷îòèðèêóòíèêè.

12.012;

10.243;

10.384;

10.418

10.217;12.197 318





Ñòîð³íêà


3 Ïëîùà ÷îòèðèêóòíèêà. 10.348;

12.400;

12.413

10.140 321

4 Ïëîùà íåïðàâèëüíîãîìíîãîêóòíèêà.

10.109;10.349;10.375

10.100 325

5 Ïðàâèëüíèé

ìíîãîêóòíèê.

10.110;

10.308

10.159 326

6 Ïðàâèëüíèéìíîãîêóòíèê ³ êîëî.

10.025;

10.36710.401

10.029;

10.112;

10.127

328

Çàíÿòòÿ 25. Ãåîìåòð³ÿ êîëà 331

1 Âïèñàíèé êóò. 10.219 331

2 Âåëè÷èíà êóòà, âåðøè-íà ÿêîãî ëåæèòü óñåðå-äèí³ êðóãà (ïîçà íèì).

10.379 332

3 Ä³àìåòð ³ õîðäà. 10.257 10.425 334

4 Âëàñòèâ³ñòü õîðä, ùîïåðåòèíàþòüñÿ.

10.014;10.254;12.181

10.017 335

5 Äîòè÷íà ³ ñ³÷íà ,ïðîâåäåí³ äî êîëà çîäí³º¿ òî÷êè

10.026;

10.307

10.012 338

6 Äâ³ äîòè÷í³, ïðîâåäåí³ç îäí³º¿ òî÷êè. Â³äñòàíüâ³ä âåðøèíèòðèêóòíèêà äî òî÷êèäîòèêó âïèñàíîãî êîëàç³ ñòîðîíîþ

10.363;

10.373;

10.405

10.034;

10.369

339




Ñòîð³íêà


7 Äîâæèíà êîëà ³ äóãè. 12.191 10.267 342

8 Ñï³ëüíà õîðäà äâîõ

ê³ë, ùî ïåðåòèíàþòüñÿ.

10.045 10.143 343

9 Äîòèê ê³ë. 10.391 10.259 344

10 Ñï³ëüíà çîâí³øíÿ äî-

òè÷íà äî äâîõ ê³ë, ùî

äîòèêàþòüñÿ çîâí³.

12.015;10.192;10.225;10.366

10.006;10.015;

10.222

346

Çàíÿòòÿ 26. Êîëî òà éîãî ÷àñòèíè 350

1 Ïëîùà êðóãà. 10.116;

10.299

10.168;

10.337

350

2 Ïëîùà ê³ëüöÿ. 10.150;

10.154

10.137 352

3 Ñåêòîð ³ éîãî ïëîùà. 12.175;

12.133;

10.338;

(10.138)

10.399;(10.300)

10.115;

12.199

354

4 Êîëî, âïèñàíå â ñåêòîð. 10.016;12.135

10.070;12.153 358

5 Ñåãìåíò ³ éîãî ïëîùà. 10.114;10.285;10.155;12.397

10.113;10.336

;12.020

359

6 Êîëà, âïèñàí³ âñåãìåíò.

12.394 363




Ñòîð³íêà


Ðîçä³ë 5. Ñòåðåîìåòð³ÿ 365

Çàíÿòòÿ 27. Ïðàâèëüíà ïðèçìà. Êóá 365

1 Ïðàâèëüíà òðèêóòíà

ïðèçìà.

11.049;

11.142;

12.080;

(12.320)

11.052;12.109;

12.101

366

2 Ïðàâèëüíà÷îòèðèêóòíà ïðèçìà.

11.022;11.060;12.204;12.338;12.442

12.066;12.082;

12.101

368

3 Ïðàâèëüíà øåñòèêóòíàïðèçìà.

11.045;11.067

11.034 372

4 Ïðàâèëüíàâîñüìèêóòíà ïðèçìà.

11.107 374

5 Êóá. 11.110;11.123;11.127;11.197

11.035;11.179;

11.207;12.464

375

Çàíÿòòÿ 28. Ïðÿìà ³ ïîõèëà ïðèçìè 378

1 Ïðÿìà òðèêóòíà

ïðèçìà.

12.051;11.116;11.124;11.144;11.198

11.059;12.057;

12.210;12.276

378

2 Ïðÿìà ÷îòèðèêóòíà

ïðèçìà.

12.061;

11.117

12.100;11.156 383

3 Ïîõèëà òðèêóòíà

ïðèçìà.

11.004;

11.125;

12.293;

12.446

11.048;11.131;

11.155

385



Ñòîð³íêà


4 Ïîõèëà ÷îòèðèêóòíàïðèçìà.

11.020;12.294

11.037;

12.303

390

Çàíÿòòÿ 29. Ïàðàëåëåï³ïåä 392

1 Ïðÿìèé ïàðàëåëåï³ïåä. 11.008;11.043;11.070;12.209;12.434

11.030;12.077;

12.124; 11.149

393

2 Ïðÿìîêóòíèé

ïàðàëåëåï³ïåä.

11.006;11.073;12.044;12.062;12.081;11.165;11.137

11.047;11.057;

11.102;12.287;

12.304

397

3 Ïîõèëèéïàðàëåëåï³ïåä.

11.113;11.151

11.118;11.166 403

Çàíÿòòÿ 30. Ï³ðàì³äà. Ïðàâèëüíà òðèêóòíàï³ðàì³äà. Ïðàâèëüíèé òåòðàåäð

406

1 Ïðàâèëüíèé òåòðàåäð. 11.002;11.007;11.202;12.450

11.053;11.066;11.141

406


ï³ðàì³äà.

11.005;11.015;11.017;11.019;12.053;11.119;11.120;11.134;11.136;12.206;12.422

11.003(11.029);11.051; 12.065;

12.070;12.104;

11.121(11.169);

12.203;12.224

410




Ñòîð³íêà


Çàíÿòòÿ 31 . Ïðàâèëüíà ï³ðàì³äà 420

1 Ïðàâèëüíà÷îòèðèêóòíà ï³ðàì³äà.

11.010;11.012;12.220;11.209

11.044;11.068;12.084;12.324

420

2 Ïðàâèëüíà øåñòèêóòíà

ï³ðàì³äà.

11.011;11.106;11.126

11.014;11.071 424

3 Ïðàâèëüíàäâàíàäöÿòèêóòíàï³ðàì³äà.

12.201 12.125 427

4 Ïðàâèëüíà ï‘ÿòèêóòíàï³ðàì³äà.

11.229 429

5 Ïðàâèëüíà n-êóòíàï³ðàì³äa.

12.083 431

6 Ôîðìóëè ïåðåõîäó ì³æêóòàìè ïðàâèëüíî¿ï³ðàì³äè.

12.344;11.109;12.290;12.207

12.050;12.049;12.068;12.235;12.279

432

Çàíÿòòÿ 32 . Îêòàåäð. Íåïðàâèëüíà ï³ðàì³äà 442

1 Îêòàåäð. 11.036;11.039

11.130 442

2 Òðèêóòíà ï³ðàì³äà, óÿê³é á³÷í³ ðåáðà (á³÷í³ãðàí³) âçàºìíîïåðïåíäèêóëÿðí³.

11.145;11.227

11.033 444

3 Òðèêóòíà ï³ðàì³äà, óÿêî¿ á³÷íà ãðàíü ïåðïåí-äèêóëÿðíà äî ïëîùèíèîñíîâè (âèñîòà ï³ðàì³äèíàëåæèòü á³÷í³é ãðàí³)÷è äâ³ á³÷í³ ãðàí³âçàºìíîïåðïåíäèêóëÿðí³.

11.133;11.161

12.444 446



Ñòîð³íêà


4 Òðèêóòíà ï³ðàì³äà, óÿêî¿ äâ³ á³÷í³ ãðàí³ïåðïåíäèêóëÿðí³ äîïëîùèíè îñíîâè (îäíåç á³÷íèõ ðåáåð ºâèñîòîþ ï³ðàì³äè).

12.266;

12.218

12.113;12.277 448

5 ×îòèðèêóòíà ï³ðàì³äà, óÿêî¿ äâ³ á³÷í³ ãðàí³ïåðïåíäèêóëÿðí³ äîïëîùèíè îñíîâè (îäíå çá³÷íèõ ðåáåð º âèñîòîþ).

11.160;

11.168

11.062;12.362 451

6 Øåñòèêóòíà ï³ðàì³äà, óÿêî¿ äâ³ á³÷í³ ãðàí³ïåðïåíäèêóëÿðí³ äîïëîùèíè îñíîâè (îäíå çá³÷íèõ ðåáåð º âèñîòîþ).

11.146 453

7 Íåïðàâèëüíà òðèêóòíàï³ðàì³äà.

11.210;11.215

11.162;12.384 455

8 Íåïðàâèëüíà÷îòèðèêóòíà ï³ðàì³äà.

11.147;12.415

11.112;11.138 457

Çàíÿòòÿ 33 . Íåïðàâèëüíà ï³ðàì³äà, âåðøèíà ÿêî¿ïðîåêòóºòüñÿ â öåíòð êîëà, îïèñàíîãî íàâêîëîîñíîâè ÷è âïèñàíîãî â íå¿. Çð³çàíà ï³ðàì³äà

461

1 Íåïðàâèëüíà òðèêóòíàï³ðàì³äà, âåðøèíà ÿêî¿ïðîåêòóºòüñÿ â öåíòðîïèñàíîãî êîëà.

11.018;

11.021;

11.158;

12.370

11.001;11.032;

12.286;11.201

462





Ñòîð³íêà


2 Íåïðàâèëüíà

÷îòèðèêóòíà ï³ðàì³äà,

âåðøèíà ÿêî¿

ïðîåêòóºòüñÿ â öåíòð

îïèñàíîãî êîëà.

11.132 12.063 466

3 Íåïðàâèëüíà òðèêóòíà

ï³ðàì³äà, âåðøèíà ÿêî¿


âïèñàíîãî êîëà.

11.040 467





âïèñàíîãî êîëà

12.223;

12.227

11.028;12.278 468

5 Çð³çàíà ï³ðàì³äà. 11.148 11.074 470


çð³çàíà ï³ðàì³äà

11.150 11.025 472

7 Ïðàâèëüíà

÷îòèðèêóòíà çð³çàíà

ï³ðàì³äà.

11.024;

11.122;

11.129

11.023;11.135;

11.157

473


âîñüìèêóòíà óñ³÷åíà

ï³ðàì³äà.

11.108 477

Çàíÿòòÿ 34 . Ò³ëà îáåðòàííÿ 478

1 Öèë³íäð. 12.058;

12.069;

12.269

11.078;12.075;

12.271

478




Ñòîð³íêà


2 Êîíóñ. 11.076;

12.045;

12.048;

12.216;

12.230;

12.246;

12.267;

12.369

11.077;11.089;

(11.195);12.054;

11.177;11.186;

12.261

482

3 Çð³çàíèé êîíóñ. 12.047 11.100 491

4 Êóëÿ ³ ¿¿ ÷àñòèíè. 12.092*12.310

12.236*;12.332* 492

Çàíÿòòÿ 35 . Ò³ëà îáåðòàííÿ. Êîìá³íàö³¿ ò³ë 496

1 Ò³ëà îáåðòàííÿ. 11.092;12.056;11.178;12.355*

11.090;11.091;

12.237

496

2 Â³äíîøåííÿ ïîâåðõîíü³ îá‘ºì³â ò³ë îáåðòàííÿ.

11.103;

11.184

11.088 500

3 Êóëÿ, âïèñàíà â êîíóñ. 11.086;

11.221;

12.239

11.094;12.245 502

4 Ï³âêóëÿ, âïèñàíà âêîíóñ.

11.082 12.096 504

5 Êîíóñ, âïèñàíèé óêóëþ.

11.223 11.096 505

6 Êóëÿ, âïèñàíà âçð³çàíèé êîíóñ.

12.238;11.220

12.425

12.107;11.188;12.217

506

7 Öèë³íäð, âïèñàíèé óêîíóñ.

12.253 12.351 509


зрізана




Ñòîð³íêà






îïèñàíîãî êîëà.

11.132 12.063 466

3 Íåïðàâèëüíà òðèêóòíà

ï³ðàì³äà, âåðøèíà ÿêî¿


âïèñàíîãî êîëà.

11.040 467





âïèñàíîãî êîëà

12.223;

12.227

11.028;12.278 468

5 Çð³çàíà ï³ðàì³äà. 11.148 11.074 470


çð³çàíà ï³ðàì³äà

11.150 11.025 472


÷îòèðèêóòíà çð³çàíà

ï³ðàì³äà.

11.024;

11.122;

11.129

11.023;11.135;

11.157

473


âîñüìèêóòíà óñ³÷åíà

ï³ðàì³äà.

11.108 477

Çàíÿòòÿ 34 . Ò³ëà îáåðòàííÿ 478

1 Öèë³íäð. 12.058;

12.069;

12.269

11.078;12.075;

12.271

478




Ñòîð³íêà


2 Êîíóñ. 11.076;

12.045;

12.048;

12.216;

12.230;

12.246;

12.267;

12.369

11.077;11.089;

(11.195);12.054;

11.177;11.186;

12.261

482

3 Çð³çàíèé êîíóñ. 12.047 11.100 491

4 Êóëÿ ³ ¿¿ ÷àñòèíè. 12.092*12.310

12.236*;12.332* 492

Çàíÿòòÿ 35 . Ò³ëà îáåðòàííÿ. Êîìá³íàö³¿ ò³ë 496

1 Ò³ëà îáåðòàííÿ. 11.092;12.056;11.178;12.355*

11.090;11.091;

12.237

496

2 Â³äíîøåííÿ ïîâåðõîíü³ îá‘ºì³â ò³ë îáåðòàííÿ.

11.103;

11.184

11.088 500

3 Êóëÿ, âïèñàíà â êîíóñ. 11.086;

11.221;

12.239

11.094;12.245 502

4 Ï³âêóëÿ, âïèñàíà âêîíóñ.

11.082 12.096 504

5 Êîíóñ, âïèñàíèé óêóëþ.

11.223 11.096 505

6 Êóëÿ, âïèñàíà âçð³çàíèé êîíóñ.

12.238;11.220

12.425

12.107;11.188;12.217

506

7 Öèë³íäð, âïèñàíèé óêîíóñ.

12.253 12.351 509




Ñòîð³íêà


Çàíÿòòÿ 36 . Êîìá³íàö³¿ ìíîãîãðàííèê³â ³ ò³ëîáåðòàííÿ

510

1 Êîìá³íàö³ÿ öèë³íäðà ³ïðèçìè.

12.231 12.268 510

2 Êîìá³íàö³ÿ öèë³íäðà ³ï³ðàì³äè.

12.387 12.321 511

3 Ï³ðàì³äà, îïèñàíàíàâêîëî êîíóñà.

12.363 12.367 512

4 Ï³ðàì³äà, âïèñàíà âêîíóñ.

12.085;12.232

11.172 513

5 Êîìá³íàö³ÿ ïðèçìè ³êîíóñà.

12.274 12.128 515

6 Êóëÿ, âïèñàíà â ïðèçìó. 12.295 12.248 516

7 Êóëÿ, âïèñàíà âï³ðàì³äó.

11.187;12.211

11.083;12.334 518

8 Êóëÿ, âïèñàíà â çð³çàíóï³ðàì³äó.

11.191 520

9 Ïðèçìà, âïèñàíà âêóëþ.

11.095 11.093 522

10 Ï³ðàì³äà, âïèñàíà âêóëþ.

11.176;12.350

12.093;12.234 523

11 Çð³çàíà ï³ðàì³äà,âïèñàíà â êóëþ.

11.174 526

12 Êîìá³íàö³¿ êóë³ çìíîãîãðàííèêîì.

11.228;12.420

527

13 Êîìá³íàö³¿ìíîãîãðàííèê³â.

12.200;12.233

11.009;11.143 529

Äîäàòîê. Â³äïîâ³äí³ñòü ì³æ íîìåðàìèðîçâ’ÿçàíèõ çàäà÷

533



Методи розв’язування задач з МатеМатики · 2021. 2. 21. ·...

Documents

Transcript of Методи розв’язування задач з МатеМатики · 2021. 2. 21. ·...