海淀区 2019 年八年级学业发展水平评价 数 学 ·...
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海淀区 2019 年八年级学业发展水平评价
数 学
一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分)
在下列各题的四个选项中,只.有.一.个.是符合题意的.
1. 下列实数中,是方程 x2 4 0 的根的是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2019.7
2. 如图,在Rt△ABC 中,
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
C 90 °, BC 6 , AC 8 ,则 AB 的长度为
B
C A
3. 在下列条件中,能判定四边形为平行四边形的是
A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行且另一组对边相等
C. 两组邻边相等 D. 对角线互相垂直
4. 下列各曲线中,不表示 y 是x 的函数的是
y
x
A B C D
5. 数据 2, 6, 4, 5, 4, 3 的平均数和众数分别是
A.5 和4 B.4 和4 C.4.5 和4 D.4 和5
y
1
O 1 x
y
1
O 1 x
y
1
O 1 x
注
意
事
项
1. 本试卷共 7 页,5 道大题,25 道小题,满分 100 分, 考试时间 90 分钟。
2. 在答题纸上准确填写姓名、准考证号,并将条形码贴在指定区域。
3. 试题答案一律填涂或书写在答题纸上,在试卷上作答无效。
4. 在答题纸上,选择题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹的签字笔作答。
5. 考试结束,请将答题纸和草稿纸一并交回。
1
O 1
5
C
O
6. 一元二次方程 x2 8x 1 0 经过配方后可变形为
A. (x 4)2 15 B. (x 4)2 17
C. (x 4)2 15 D. (x 4)2 17
7.若点A(3, y1 ),B(1,y2 ) 都在直线 y x 2 上,则 y1 与y2 的大小关系是
A. y1<y2 B. y1=y2
C. y1>y2 D. 无法比较大小
8.如图,正方形 ABCD 的边长为
则 BE 的长度为
A.
B. 102
, 对角线 AC, BD 交于点 O, E 是 AC 延长线上一点, 且CE=CO.
E
D
C.
D. 2 A B
9.对于一次函数y kx b (k, b 为常数),下表中给出5 组自变量及其对应的函数值,其中恰好有一个函
数值计算有误,则这个错误的函数值是
A. 5
B. 8
C. 12
D. 14
10.博物馆作为征集、典藏、陈列和研究代表自然和人类文化遗产实物的场所,其存在的目的是为公众提
供知识、教育及欣赏服务. 近年来,人们到博物馆学习参观的热情越来越高. 2012-2018 年我国博物
馆参观人数统计如下:
2
3
5
x -1 0 1 2 3
y 2 5 8 12 14
博物馆参观人数:亿人次
2018年2017年2016年2015年2014年2013年2012年
4
2
0
5.6466.38
7.817.188
8.50
10.089.72
12
10
2012-2018年全国博物馆参观人数统计图
小明研究了这个统计图,得出四个结论:
① 2012 年到 2018 年,我国博物馆参观人数持续增长;
② 2019 年末我国博物馆参观人数估计将达到 10.82 亿人次;
③ 2012 年到 2018 年,我国博物馆参观人数年增幅最大的是 2017 年;
④ 2016 年到 2018 年,我国博物馆参观人数平均年增长率超过 10%.其
中正确的是
A.①③ B.①②③ C.①②④ D.①②③④
二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分)
11.如图,在□ABCD 中,∠B=110°,则∠D= °.
D C
A B
12. 八年级(1)班甲、乙两个小组的 10 名学生进行飞镖训练,某次训练成绩如下:
甲组成绩(环) 8 7 8 8 9
乙组成绩(环) 9 8 7 9 7
由上表可知,甲、乙两组成绩更稳定的是 组.
13. 若关于x 的一元二次方程x2 6x m 0有实数根, 且所有实数根均为整数,请写出一个符合条件
的常数m 的值:m= .
14. 如图,某港口 P 位于南北延伸的海岸线上,东面是大海.“远洋”号、“长
峰”号两艘轮船同时离开港口P,各自沿固定方向航行,“远洋”号每小
时航行12 n mile,“长峰”号每小时航行16 n mile,它们离开港口1 小
时后,分别到达A,B 两个位置,且AB=20 n mile,已知“远洋”号沿着
北偏东 60°方向航行,那么“长峰”号航行的方向是 .
15. 若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积,则称这样的矩
形为“优美矩形”.某公园在绿化时,工作人员想利用如图所示的直角墙
角(两边足够长)和长为38 m 的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花
园ABCD,,其中边AB, AD 为篱笆,且AB 大于AD. 设AD 为x m, 依题
意可列方程为 .
16. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y kx 3 与x,y 轴分别交于点 A,B,若将该直线向右平移 5 个
单位,线段AB 扫过区域的边界恰好为菱形,则k 的值为 .
三、解答题(本题共 26 分,第 17 题 8 分,第 18,20 题各 5 分,第 19,21 题各 4 分)
17. 解方程:
(1)x2 2x 3 0 ; (2)2x2 3x 1 0 .
18. 在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=kx+b 的图象与直线 y=2x 平行,且经过点 A(1,6).
(1) 求一次函数 y=kx+b 的解析式;
(2) 求一次函数 y=kx+b 的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
19. 下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程.已
知:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC =90°,O 为AC 的中点.
求作:四边形 ABCD,使得四边形 ABCD 为矩形.
作法:①作射线 BO,在线段 BO 的延长线上取点 D,使得 DO=BO;
②连接 AD,CD,则四边形 ABCD 为矩形.
根据小丁设计的尺规作图过程. C
(1) 使用直尺和圆规,在图中补全图形(保留作图痕迹);
(2) 完成下面的证明.B A
证明:∵点 O 为 AC 的中点,
∴ AO=CO.
又∵ DO=BO,
∴四边形ABCD 为平行四边形( )(填推理的依据).
O
北
A60°
P 东
B
D
A B
C
∵∠ABC =90°,
∴□ABCD 为矩形( )(填推理的依据).
20. 关于 x 的一元二次方程 x2 2x k 4 0 有实数根.
(1) 求k 的取值范围;
(2) 若k 是该方程的一个根,求2k2 6k 5的值.
21. 小东和小明要测量校园里的一块四边形场地 ABCD(如图所示)的周长,其中边 CD 上有水池及建筑
遮挡,没有办法直接测量其长度.
小东经测量得知 AB=AD=5 m,∠A=60°,BC=12 m,∠ABC=150°.
小明说根据小东所得的数据可以求出 CD 的长度.
你同意小明的说法吗?若同意,请求出 CD 的长度;若不同意,请说明理由.
B C
A
D
四、解答题(本题共 13 分,第 22 题 7 分,第 23 题 6 分)
22. 三月底,某学校迎来了以“学海通识品墨韵,开卷有益览书山 ”为主题的学习节活动 .为了
让同学们更好的了解二十四节气的知识 , 本次学习节在沿袭以往经典项目的基础上,
增设了
“二十四节气之旅”项目,并开展了相关知识竞赛. 该学校七、八年级各有 400 名学生参加了这次
竞赛, 现从七、八年级各随机抽取 20 名学生的成绩进行抽样调查.
收集数据如下:
七年级:74 97 96 72 98 99 72 73 76 74
74 69 76 89 78 74 99 97 98 99
八年级:76 88 93 89 78 94 89 94 95 50
89 68 65 88 77 87 89 88 92 91
整理数据如下:
人数 成绩
年级50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100
七年级 0 1 10 1 a
八年级 1 2 3 8 6
分析数据如下:
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84. 2 77 74 138.56
八年级 84 b 89 129.7
根据以上信息,回答下列问题:
(1)a= ,b= ;
(2) 你认为哪个年级知识竞赛的总体成绩较好,说明理由(至少从两个不同的角度说明推断的合
理性);
(3) 学校对知识竞赛成绩不低于 80 分的学生颁发优胜奖,请你估计学校七、八年级所有学生中获得
优胜奖的大约有 人.
23. 如图,在□ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,过点B 作BE⊥CD 于点E,延长CD 到点F,使
DF=CE,连接 AF.(1) 求证:四边形 ABEF 是矩形;
(2) 连接OF,若AB=6,DE=2,∠ADF=45°,求OF 的长度.
A B
F D E C
五、解答题(本题共 13 分,第 24 题 6 分,第 25 题 7 分)
24. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y kx 7 与直线 y x 2 交于点 A3,m .
(1) 求 k,m 的值;
(2) 已知点P n,n ,过点 P 作垂直于 y 轴的直线与直线 y x 2 交于点M ,过点P 作垂直于 x 轴
的直线与直线 y kx 7 交于点 N (P 与N 不重合). 若PN 2PM ,结合图象,求n 的取值范
围.
y
1
O 1 x
O
25. 在Rt△ABC 中,BAC 90 ,点O 是△ABC 所在平面内一点,连接 OA,延长OA 到点E,使得
AE=OA,连接 OC,过点 B 作 BD 与 OC 平行,并使∠DBC=∠OCB,且 BD=OC,连接 DE.
(1) 如图一,当点 O 在Rt△ABC 内部时.
① 按题意补全图形;
② 猜想 DE 与BC 的数量关系,并证明.A
B C
图一
(2) 若AB = AC(如图二), 且 OCB 30,OBC 15 ,求AED 的大小.
A
B C
图二
A
B C
备用图
O
答案 第2页
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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C B D A C C B
二、填空题
11.110
12.甲
13.0(答案不唯一)
14.南偏东 30°
15. (38 x)2 38x (无需写成一般式)
16
.
3
(填对一个得 2 分,填对两个得 3 分,含有错误答案得 0 分)4
三、解答题
17. 解:
(1)x2 2x 3 0 ;
解法一: x2 2x 3 0
x2 2x 3
x2 2x 1 4
(x 1)2 4
x 1 2
…………………………………………………………………………1 分
………………………………………………………………………………2 分
………………………………………………………………………………3 分
x1 3,
x2 1 ………………………………………………………………………………4 分
解法二: x2 2x 3 0 (x 3)(x 1) 0
………………………………………………………………………………2 分
x1 3,
x2 1 ………………………………………………………………………………4 分
(2)2x2 3x 1 0 .
解:2x2 3x 1 0
a 2, b 3, c 1
9 4 2(1) 17 0
答案 第3页
……………………………………………………………………1 分
x 3 17
4………………………………………………………………………………3 分
x 3 1 4
17
,x 3 172 4
……………………………………………………………………4 分
注:若(1)中用公式法,请参考(2)中评分细则
答案 第4页
D
O
18. 解:
(1) 一次函数 y kx b 的图象为直线,且与直线 y 2x 平行,
k 2............................................................................................................................................ 1 分
又知其过点 A(1,6),
2 b 6 .
b 4 .
一次函数的解析式为y 2x 4........................................................................................2 分
(2)当 x 0 时, y 4 ,
可知直线y 2x 4 与y 轴的交点为 (0, 4)......................................................................3 分
当 y 0 时, x 2 ,
可知直线y 2x 4 与x 轴交点为 (2, 0).......................................................................4 分
可得该直角三角形的两条直角边长度分别为 4 和 2.
所以直线y 2x 4 与坐标轴围成的三角形的面积为1 4 2 4........................... 5 分
2
19. 解:
(1) 作图如图所示
C
B A...............................................................................................................................2 分
(2) 对角线互相平分的四边形是平行四边形............................................................................... 3 分
有一个角是直角的平行四边形是矩形.....................................................................................4 分
20. 解:
(1) x2 2x k 4 0 有实数根,
0.....................................................................................................................................................1 分
即22 4k 4 0 .
k 5.................................................................................................................................................. 2 分
(2) k 是方程x2 2x k 4 0 的一个根,
k2 2k k 4
0.
……………………………………………………………………………3 分
k2 3k 4.................................................................................................................................. 4 分
2k2 6k 5
2k 2 3k 5
3...........................................................................................................................................................5 分
答案 第5页
BD2 BC2 52 122
21. 解:
同意.....................................................................................................................................................1 分
连接 BD,如图.
∵AB=AD=5 (m),∠A=60°, B C
∴△ABD 是等边三角形................................................ 2 分
∴BD=AB=5 (m),∠ABD=60°. A
∵∠ABC=150°,
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=150°-60°=90°. ……3 分D
在 Rt△CBD 中,BD=5 (m),BC=12 (m),
∴CD= 13 (m).......................................................................................4 分
四、解答题
22. 解:
(1)8,88.5;.........................................................................................................................................2 分
(2)你认为 八 年级知识竞赛的总体成绩较好,
理由1:八年级成绩的中位数较高;
理由 2:八年级与七年级成绩的平均数接近且八年级方差较低,成绩更稳定.
或者
你认为 七 年级知识竞赛的总体成绩较好,
理由1:七年级的平均成绩较高;
理由 2:低分段人数较少 .
…………………………………………………………………………………5 分
(答案不唯一,合理即可)
(3)460..................................................................................................................................................7 分
23. (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB CD ,AB ∥CD .
∵ DF CE ,
∴DF DE CE ED ,
即: FE CD .
∵点 F、E 在直线 CD 上,
∴ AB FE AB∥FE .
∴四边形ABEF 是平行四边形...........................................................................................................1 分
又∵ BE CD ,垂足是 E,
∴BEF 90 .
∴四边形ABEF 是矩形.......................................................................................................................2 分
(2)解:∵四边形 ABEF 是矩形O ,
∴AFC 90 ,AB FE .
∵ AB 6, DE 2 ,
∴ FD 4 .
∵ FD CE ,
∴ CE 4 .
答案 第6页
AF 2 FC229
29
∴FC 10................................................................................................................................................. 3 分
在Rt△AFD 中, AFD 90 .
∵ADF 45 ,
∴AF FD 4.................................................................................................................................. 4 分
在Rt△AFC 中, AFC 90 .
∴AC 2 ........................................................................................................5 分
∵点 O 是平行四边形 ABCD 对角线的交点,
∴ O 为 AC 中点.
在Rt△AFC 中, AFC 90 . O 为 AC 中点.
∴OF 1AC .......................................................................................................................6 分
2
五、解答题
24. 解:
(1) ∵直线y=kx+7 与直线y=x﹣2 交于点A(3,m),
∴m=3k+3,m=1.................................................................................................................................1 分
∴k=﹣2...............................................................................................................................................2 分
(2) ∵点P(n,n),过点P 作垂直于y 轴的直线与直线y=x﹣2 交于点M,
∴M(n+2,n).
∴PM=2.................................................................................................................................................3 分
∵PN≤2PM,
∴PN≤4.
∵过点 P 作垂直于 x 轴的直线与直线 y=kx+7 交于点 N,k=﹣2,
∴N(n,﹣2n+7).
∴PN= 3n 7...........................................................................4 分
当 PN=4 时,如图,即 3n 7 =4,
∴n=1 或 n=11
.3
∵P 与 N 不重合,
∴ 3n 7 0 .
∴ n 7.
3
当 PN≤4(即 PN≤2PM)时,
n 的取值范围为:1≤n 7或
7 n ≤
11..................................................................................6 分
3 3 3
10 y
9
8
7
6
5 N
4
3
2
1P M
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 6 7 8x
–
1
答案 第7页
A
O
A
M
O
F
25. 解:E
(1) ①补全图形,如图一...................................................... 1 分
②猜想DE=BC...................................................................... 2 分
如图,连接 OD 交 BC 于点 F,连接 AF.
在△BDF 和△COF 中,
DBF OCF , B CDFB OFC, D
图 一DB OC,
∴△BDF≌△COF. E
∴DF=OF, BF=CF.................................................................3 分
∴F 分别为BC 和DO 的中点. A
∵∠BAC=90°, F 为 BC 的中点,
∴ AF 1BC . O
2
∵OA=AE, F 为 BC 的中点,
∴ AF 1
ED .2
∴DE=BC.............................................................................. 4分
(2) 如图二,连接 OD 交BC 于点F,连接 AF,延长 CO交 AF 于点 M,连接 BM.
由(1)中②可知,点 F 为 BC 的中点,
AF 为 Rt△ABC 斜边 BC 边中线,为△OED 的中位线,
∴AF 为 BC 边的垂直平分线.
∴MB=MC.∵∠OCB=30°,∠OBC=15°,
B F C
D
E
B C
D
答案 第8页
A
M
D O'
F
图二
∴∠MBC=∠MCB=30°.
∵∠BAC=90°,AB=AC, E
∴∠MBO=∠MBA=15°.
又可证∠BAM=∠BOM=45°.
∴△BMA≌△BMO.
∴AM=OM 且∠BMO=∠BMA=120°.
∴∠OMA=120°.
∴∠MAO=30°.
∵AF 为△OED 的中位线,
∴AF∥ED. B C
∴∠AED=30°.
类似的,如备用图可知,∠AED=15°. ………………7 分O
备用图
(提示:证明△ABO 为等边三角形,得到∠AED=15°.)
∴∠AED=30°或 15°.
注:各题中若有其他合理的解法请酌情给分.