Notas adicionales sobre procesos estadísticos:

Propiedades de la distribución de Poisson

Jueves 14 de octubre de 2010

Prof. M. L. Calvo

Estadística de fotones:Distribución de Poisson

• Supondremos que los detectores son capaces de detectar fotonesindividuales.

• La luz tiene naturaleza dual: onda-corpúsculo.

• Existe una indeterminación sobre el número de fotones que pueden ser detectados en un intervalo de tiempofinito: T aun cuando el flujo medio de

P(N F ,T ) =FT( )N e−FT

N !

Distribución de la probabilidad

( ) φφφ

−

=( , )!

N TT eP N T

N

( ) φφφ

−

=( , )!

N TT eP N T

N

( ) ( ),!

N TT eP N T

N

φφφ

−

=

N: número de acontecimientos.

•Se define una distribución de la probabilidad paraN fotones que deben de ser detectados en un intervalo de detección T.

Propiedades de la distribuciónde Poisson

• Valor promedio= ΦT

• Desviaciónestándar = (ΦT)1/2

• Se aproxima a unadistribuciónGaussiana paravalores de N muyaltos.

Eje horizontal: ΦT

Comportamiento en el límite de unadistribución de Poisson

• Para < ΦT > muygrande, la distribución de Poisson se aproxima a unadistribuciónGaussiana.

• Las desviacionesestándar de procesos de Poisson y Gaussianos son sumables. Eje horizontal: ΦT

Caso particular: detección de una corriente de fotoelectrones

( ) ( ),

!

N TT eP N T

N

η φη φφ

−

=

• Donde: η es una constante que caracteriza la eficiencia del detector para una longitud de onda dada y un estado de polarización definido.

• Se supone que el proceso es ergódico y T en el límite.

• En el límite el proceso no es Gaussiano sino que permanece como proceso de Poisson.

• La razón de este comportamiento está en las fluctuaciones de la corriente de fotoelectrones.

Caso extremo: T muy pequeño

( ) ( ) ( )0,

!

N ITIT eP N I T P I dI

N

ηη −+∞= ∫

Donde: P(I) es la densidad de probabilidad de la intensidad luminosa I.

Permite considerar casos para los cuales P(I) se describe como una distribución de tipo Gaussiano.

Caso particular: Detección de las fluctuaciones de una corriente de

fotoelectrones

Proceso sub-poissoniano

Clásicamente:

g (2) (0) > g (2) (τ)

Conclusiones• En todos los procesos en los que

intervienen la correlación de campos electromagnéticos existe una jerarquía para su comportamiento estadístico.

• En general. Todos los procesos son aleatorios.

• En la correlación de campos clásicos, si el proceso es estacionario y ergódico se puede describir mediante una estadística gaussiana.

• Cuando se describe un proceso estadístico de correlación de fotones la descripción no es única.

• El comportamiento estadístico depende del valor tomado sobre el intervalo temporal de detección T y las características del detector.

• En general el proceso es de Poisson.• Solo en casos particulares para T se puede

asumir estadística gaussiana.• En los procesos de correlación de las

fluctuaciones de una corriente de fotoelectrones se pueden encontrar procesos que no son ni de Poisson ni gaussianos, indicando que estamos en descripción cuántica de la radiación (fuera del límite clásico, ejemplo: sub-poissoniano).