Transformada de Fourier (parte I) -...

Alejandro Cámara([email protected])

TRANSFORMADA DE FOURIER

(parte I)

• Transformada de Fourier– Definición intuitiva– Definición físico-matemática– Propiedades– Ejemplos (que aparecen hasta en la sopa)

• Problemas para casa– Problema 1– Problema 2– …– Problema N

¿De qué vamos a hablar hoy?



¿De qué vamos a hablar ahora?

Transformada para músicos

cos(2πv1t) cos(2πv2t)

Transformada para ópticos

Punto de observación


INTENSIDAD: en cada punto, cuánta energía pasa(no discrimina direcciones)


ESPECTRO: para cada dirección, cuánta energía pasa(no discrimina posiciones)

• INTENSIDAD:Energía que atraviesa un punto

• ESPECTRO DE POTENCIA:Energía que lleva una cierta dirección


• INTENSIDAD:Energía que atraviesa un punto

• ESPECTRO DE POTENCIA:Energía que lleva una cierta dirección


¡TRANSFORMADA DE FOURIER!

• Señal óptica (posiciones)

Transformada físico-matemática

( ) ( )exp[ ( )]f A iΦ=r r rAmplitudcompleja

2 2( ) ( ) ( )I f A≡ =r r rIntensidad

0 02

0 0( , ) ( , )I Ax y x y=

[ , ]tx y=r

• Señal óptica (frecuencias espaciales)


Transformada de Fourier

2( ) ( )P F≡p pEspectro depotencia

[ ( )]( ) ( ) d ( )exp( 2 )f F f i π≡ = − ⋅∫r p p r r p rF

[ , ]tx yp p=p

1[ ( )]( ) ( ) d ( )exp( 2 )F f F i π− ≡ = ⋅∫p r r p p p rF

[ ( )]( ) ( ) d ( )exp( 2 )f F f i π≡ = − ⋅∫r p p r r p rF


Transformada de Fourier directa

Transformada de Fourier inversa

• Coordenadas polares:


2

0 0

)

d d ( , )exp[ 2 cos( )]

[ ( , )]( ,

r r f r i

f r p

rpπ

θ φ

θ θ π θ φ∞

= − −∫ ∫

F

( ) ( , )f f r θ=r

• Coordenadas polares:


2

0 0

)

d d ( , )exp[ 2 cos( )]

[ ( , )]( ,

r r f r i

f r p

rpπ

θ φ

θ θ π θ φ∞

= − −∫ ∫

F

( ) ( , )f f r θ=r

Veamos algo más sencillo

• Coordenadas polares:(simetría radial)


( ) ( )f f r=r



( ) ( )f f r=r

2

0 0

00

)

d ( ) d exp[ 2 co

[ ( , )](

s( )]

d

,

) (2( 2 )

f r

r rf r i rp

r rf r J rp

pπ

θ φ

θ π θ φ

π π

∞

∞

= − −

=

∫ ∫

∫

F



00

) [ ( )]( ) 2 d ([ ( )] 2) ( )( f r p r rf r Jf r pp rπ π∞

≡ = ∫F B

( ) ( )f f r=r

Transformada de Bessel

• TRUCOS PARA BESSEL:


cos cos( )0

2 2

0 0

1 1( )2 2

iz izJ z d de eπ π

θ θ ϕθ θπ π

−= =∫ ∫

o2

s

0

c1( )2

iz immm e

iJ z d e

πθ θθ

π−= ∫

1d( ) ( )d

m mm mx J x x J x

x− =

• Ciclicidad:

• Conjugación compleja:

• Linealidad:

Propiedades

[ ]{ }( ) ( ) ( ) ( )f f′ ′= −r p p pF F

( ) ( ) ( )f F∗ ∗ = − r p pF

[ ]( ) ( ) ( ) [ ( )]( ) [ ( )]( )af bg a f b g+ = +r r p r p r pF F F

• Escala:

Propiedades

[ ] 1( , ) ( ) [ ( )] , yx ppf ax by fab a b

=

p rF F

• Desplazamiento:

Propiedades

[ ] ( ) ( )0 0( ) ( ) [ ( )] exp ·2f f i π− = −r r p r p p rF F

[ ] ( )10 0( ) ( ) ( )exp 2 ·F f i π− − =p r r pp rF

• Desplazamiento:

Propiedades


[ ] ( )10 0( ) ( ) ( )exp 2 ·F f i π− − =p r r pp rF

2 20[ ( )]( ) [ ( )]( )f f− =r r p r pF F

El módulo de la FT no contieneinformación de la posición

• Desplazamiento:

Propiedades


[ ] ( )10 0( ) ( ) ( )exp 2 ·F f i π− − =p r r pp rF

2 21 10[ ( )]( ) [ ( )]( )F F− −− =p p r p rF F

El módulo de la señal no contieneinformación de la dirección

• Derivación:

– Resolución ecuaciones diferenciales

– ¡Detección de bordes!

Propiedades

( )( ) ( ) 2 ( )k l

k l k lx yk lx y

f i p p Fπ+

+ =

∂∂ ∂

r p pF

• Derivación:– ¡Detección de bordes!

Propiedades

FTMódulo

Fase

( )4

2 22

4 12

( ) 16 ( )x yx yf p p Fπ −∂

= ∂ ∂

r p rF


Propiedades

FTFiltro de Fourier

( )4

2 22

4 12

( ) 16 ( )x yx yf p p Fπ −∂

= ∂ ∂

r p rF


Propiedades

FT

( )4

2 22

4 12

( ) 16 ( )x yx yf p p Fπ −∂

= ∂ ∂

r p rF


Propiedades

FT FT-1

( )4

2 22

4 12

( ) 16 ( )x yx yf p p Fπ −∂

= ∂ ∂

r p rF

• Teorema de Parseval:

(conservación de la energía)

Propiedades

22d ( ) d ( )f F E= =∫∫ ∫∫r r p p

d ( ) ( ) d ( ) ( )f g F G∗ ∗=∫∫ ∫∫r r r p p p

• Teorema de la convolución:

donde:

Propiedades

( )( ) ( ) ( ) ( )f g F G ∗ = r p p pF

( )( ) d ( ) ( )f g f g′ ′ ′∗ ≡ −∫∫r r r r r

• Teorema de la autocorrelación:

donde:

Propiedades

( )( ) ( ) 2( )f f F ⊗ = r p pF

( )( ) *d ( ) ( )f f f f′ ′ ′⊗ ≡ −∫∫r r r r r

( ) ( )( )2( )f F F = ⊗ r p pF

• Rectángulo:

• Sinc:

Funciones básicas

1, si 1/ 2rect( )

0, si 1/ 2

xx

x

≤= >

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sin(sinc )( )x

x xππ

=-4 -2 2 4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

• Rectángulo:

• Sinc:

Funciones básicas

1, si 1/ 2rect( )

0, si 1/ 2

xx

x

≤= >

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sin(sinc )( )x

x xππ

=-4 -2 2 4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[rect( )]( ) sinc( )x p p=F

-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1• Triángulo:

Funciones básicas

1 , si 1( )

0, si 1

x xx

x

− ≤Λ = >

2[ ( )]( ) sinc ( )x p p=ΛF

• Delta de Dirac:(infiltrada)

Funciones básicas

I Postulado

0 0( ) 0, si x x x xδ − = ≠

0

1, si d ( )

0, si D

x Dx x x

x Dδ

∈− = ∉

∫

0 0 )d ( ) ( ) (x f x x x f xδ − =∫


Funciones básicas

II Límite

2 2( ) lim e p )x (k

x k k xδ π→∞

= −

sin(( ) lim )k

kxxxπδπ→∞

=


Funciones básicas

III Propiedades

( ) ( )x xδ δ= −

0 01( ) /( )ax x x xa

aδ δ− = −

0 0( ) d exp[ 2 ( )]x x p i p x xδ π− = ± −∫

• FT de la delta de Dirac:

Funciones básicas

0 0

0

[ )]( ) d )exp( 2

exp

(

( 2

( · )

· )

i

i

δ δ π

π

= −

=

− −∫r r r r rp

r

r p

p

F

0 0

0

[ )]( ) d )exp( 2

exp

(

( 2

( · )

· )

i

i

δ δ π

π

= −

=

− −∫r r r r rp

r

r p

p

F


Funciones básicas

¡Contribución en todas direcciones!

Señal localizada en posiciones…


Funciones básicas

10 0[ )]( ) exp( · )( 2iδ π− = −−p p r prF

¡Contribución en todas las posiciones!

Señal con única dirección…

• Utilidad de la delta de Dirac:

Funciones básicas

[ ]{ }1 ( ) ( ) ( )

d d ( )ex · )exp(p( 2 2 · )

f

f i iπ π

−

′

′

= −∫ ∫r p r

p r pr r p r

F F


Funciones básicas

[ ]{ }1

· )exp( 2

( ) ( ) ( )

d d ( )exp( 2

d ( ) d exp[ 2

· )

( )]

f

f i

f i

iπ π

π

− ′

= −

=

′

−− ′

∫ ∫∫ ∫

r

r p r

p r r

r

p p r

p rr p r

F F


Funciones básicas

[ ]{ }1

· )ex

( ) ( ) ( )

d d ( )exp( 2

d ( ) d exp[ 2

d

p( 2 · )

( )]

) )( ( ()

f

f i

f i

i

ff

π π

π

δ

− ′

= −

= −

′

′=

′−

′− =

∫ ∫∫ ∫∫

r p p

r p r

p r r

r r p

r r

r

p r r

r r r

F F

• Gaussiana:

Funciones básicas

2( ) exp( )f π= − rr

• FT de la gaussiana:

Funciones básicas

2

2 2

( ) d exp( )exp( 2

d exp

· )

( 2 ) d exp( 2 )yxx xp y yp

F i

x i y i

π π

π π π π

= − −

= − − − −

∫∫ ∫

p r r pr


– ¡TRUCO!

Funciones básicas

2

2 2

2 2

2

exp( ex

d exp

p

( 2 )

) d { [

exp

] }

1( exp(

exp

d

)(

) )

x

x x

x

x

x xp

p x

x i

x i p

x

p

xp

π π

π π π

ππ

π

− − +

− −

−

− −

=

=

=

∫∫

∫


Funciones básicas

2

2 2

2 2

2

( ) d exp( )exp( 2

d exp( 2 ) d

· )

exp( exp(

ex

exp( 2 )

) )

p( )

x

x y

yx xp y yp

F

i

p

i

i

p

x y

π π

π π π π

π π

π

= − −

= − − − −

= − −

−=

∫∫ ∫

r r p

p

p r

¡ES AUTOFUNCIÓN DE LA FT!

• Demuestra las siguientes propiedades de la transformada de Fourier.– Ciclicidad– Linealidad– Escala– Desplazamiento– Derivación– Teorema de Parseval– Teorema de la convolución– Teorema de la autocorrelación

PROBLEMA 1

• Calcula la transformada de Fourier unidimensional de la siguiente señal temporal:

PROBLEMA 2

2 20( ) exp( / )cos( )f t A tt Tπ ω= −

• Considera la siguiente operación:

– Interpreta la expresión:

PROBLEMA 3

1 d ( )exp( 2[ )]( ) /( )a x f x ux i aa

f u xπ≡ −∫F

{ }[ ( )]( ) ( )b a f x u xF F

• Calcula la transformada de Bessel para:

–

–

PROBLEMA 4

0( ) ( )f r rδ= −r

1,0, en 1,

caso s

contrarioi

( )ra

f

≤ ≤= r

• Calcular la transformada de Fourier de:

– Función rectángulo

– Función triángulo

– Función doble rectángulo

¿qué pasa cuando ?

PROBLEMA 5

rect( )ax

( )axΛ

[ ] [ ]0 0rect ( ) +rect ( )a x x b x x− +a b=

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