GEOMETRIOleh :

Ni Wayan Ratna Kirani (33)X MS 7

SMA Negeri 1 UBUD

Om Swastyastu

Peta konsep

Masalah Otentik

Titik Sudut

Sudut

Sisi

Bidang Sudut

Titik SudutRusuk

Bidang

Diagonal Bidang

Diagonal Ruang

OBJEK GEOMETRI

Jarak dan Sudut antar Titik, Garis,

Bidang

Bangun Datar

Jarak dan Sudut antar Titik, Garis,

Bidang

Bangun Ruang

Dimensi 2 Dimensi 3

UnsurUnsur

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang

Titik merupakan sesuatu yang mempunyai kedudukan, namun tidak mempunyai ukuran. Namun pada hal ini, titik diberi nama dengan menggunakan huruf kapital

seperti A, B, atau C, dan seterusnya.

Garis adalah himpunan titik-titik yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah titik. garis diberi nama dengan menggunakan huruf kecil seperti g, h, k, dan seterusnya, atau dua buah huruf kapital

seperti AB, AC, BC, dan seterusnya.

Bidang adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis. Bidang

mempunyai ukuran panjang dan lebar serta diberi nama dengan menyebutkan titik-titik sudut dari bidang

tersebut (memakai huruf α, β, γ , dan seterusnya).

a. Kedudukan Titik terhadap Garis

Gambar 1. Garis dan titik

Gambar 2. Titik pada garis

Gambar di samping merupakan gambar titik dan garis. Pada gambar ini, titik C berada di luar garis h. Jadi, garis h tidak

melalui titik C.

Gambar 2 yaitu terdapat gambar titik pada garis. Pada gambar di samping,

titik B terletak pada garis g. Jadi, garis g melalui titik B.

b. Kedudukan Titik terhadap Bidang

Gambar 3. Bidang dan titik

Gambar 4. Titik pada bidang

Gambar di samping merupakan gambar titik dan bidang. Pada gambar ini, titik D berada di luar bidang α. Jadi, titik D

tidak berada di dalam bidang α.

Gambar 4 yaitu terdapat gambar titik pada bidang. Pada gambar di samping, titik A dan titik B terletak pada garis g

dan berada di dalam bidang α.

c. Kedudukan Garis terhadap Garis Lain

Ket :(a) Garis g dan h terletak

pada bidang α, tetapi kedua garis hanya mempunyai satu titik persekutuan, yaitu titik A.

(b) Garis g dan h terletak pada bidang α, tetapi kedua garis tersebut tidak mempunyai titik persekutuan.(c) Garis g dan h terletak pada bidang α, tetapi kedua garis tersebut

tidak mempunyai titik persekutuan dan saling berhimpitan. (d) Garis s terletak pada bidang α dan garis h menembus bidang α,

kedua garis tidak mempunyai titik persekutuan.

d. Kedudukan Garis terhadap Bidang

Ket :(a) Garis pada bidang

Garis g terletak pada bidang α. Dengan kata lain, bidang α memuat garis g.

(b) Garis sejajar dengan bidang

Garis g pada luar bidang α sejajar dengan bidang α.(c) Garis memotong atau menembus bidang

Garis g dan garis h memotong dan menembusberturut-turut bidang α di titik A.

e. Kedudukan Bidang terhadap Bidang Lain.

Ket :(a) Dua bidang sejajar

Bidang α dan bidang β sejajar dan tidak memiliki garis persekutuan.

(b) Dua bidang berpotongan Bidang α dan bidang β mempunyai satu garis

persekutuan, yaitu garis AB. Garis persekutuan itu disebut garis perpotangan bidang α dan bidang β.

A. Menemukan Konsep Jarak Titik, Garis, dan Bidang

1. Jarak Antara Titik dan Titik

2. Jarak Antara Titik dan Garis

Jarak antara titik A dan titik B sama dengan panjang ruas garis AB.

Jarak antara titik A dan garis g sama dengan panjang ruas garis AP

dengan titik P pada garis g sehingga tegak lurus dengan garis g.

A. Menemukan Konsep Jarak Titik, Garis, dan Bidang

3. Jarak Antara Titik dan Bidang

4. Jarak Antara Dua Garis Sejajar

Ruas Garis AA tegak lurus terhadap bidang α, yang artinya

ruas garis AA tegak lurus terhadap semua garis pada bidang α yang

melalui titik A.

Jarak antara garis g dan garis h yang sejajar sama dengan panjang

ruas garis TT’ yang tegak lurus dengan garis g dan h.

A. Menemukan Konsep Jarak Titik, Garis, dan Bidang

5. Jarak Antara Garis dan Bidang

6. Jarak Antara Dua Bidang Sejajar

Jarak antara garis k dan bidang α sama dengan panjang ruas AB yang tegak lurus

dengan garis k dan bidang α. Cara menentukan jarak pada gambar

disamping yaitu dengan memilih titik A sembarang pada garis k.

Jarak antara bidang β dan bidang α sama dengan panjang ruas garis AB yang tegak

lurus dengan bidang β dan bidang α. Jarak pada bidang ini ditentukan dengan

memilih titik A sembarang pada bidang β.

C. Sudut

Sudut adalah suatu besaran yang dibangun oleh sinar yang diputar dengan pusat perputaran suatu titik tertentu dari suatu posisi awal ke suatu posisi terminal. Sudut merupakan bagian penting dari suatu bangun ruang (trigonometri) dan hampir semua trigonometri memiliki sudut keduali lingkaran.

Satuan besar sudut yang lain adalah sebagai berikut:1. 1 derajat = 60’ atau 1’=1/60 derajat2. 1’=60” atau 1”= (1/60)’3. 1 derajat = 3.600” atau 1” = 1/3.600 derajat

Jenis-Jenis Sudut

a. Sudut 0 derajat adalah jika kaki-kakinya berimpit dengan jarak putar 0 derajat.

b. Sudut lancip adalah suatu sudut yang dibangun oleh perputaran yang kurang dari seperempat lingkaran tetapi tidak sama dengan nol, sehingga besar sudut lancip berkisar 0 derajat dan 90 derajat

c. Sudut siku-siku adalah suatu sudut yang dibangun oleh perputaran sebesar seperempat lingkaran, sehingga besar sudut siku-siku adalah 90 derajat.

d. Sudut lurus adalah suatu sudut yang dibangun oleh perputaran sebesar setengah lingkaran, sehingga sudut lurus besarnya 180 derajat.

e. Sudut tumpul adalah suatu sudut yang dibangun oleh perputaran diantara seperempat lingkaran dan setengah lingkaran, sehingga sudut tumpul besarnya berkisar antara 90 derajat dan 180 derajat.

f. Sudut refleks adalah suatu sudut yang dibangun oleh perputaran di antara setengah lingkaran dan satu lingkaran, sehingga sudut refleks besarnya

g. Sudut 360 derajat, jika kaki-kakinya kembali berimpit setelah jarak putarnya satu putaran penuh.

a. Sudut Antara Dua Garis

Perhatikan gambar di atas. Sudut antara garis g dan garis h yang berpotongan dengan sudut lancipyang dibentuk berpotongan denfan garis g dan garis h. Pada gambar di

samping, (g, h) = ABC

b. Sudut Antara Garis dan Bidang

Perhatikan gambar di atas. Garis g tegak lurus dengan bidang V, sudut antara garis g dan bidang V adalah sudut tumpul yang dibentuk oleh garis g dengan proyeksi garis

g pada bidang V. (g, V) = (g, g’) = θ

c. Sudut Antara Dua Bidang

Perhatikan gambar di atas. Bidang V dan bidang W berpotongan di garis VW. Sudut antara bidang V dan

bidang W adalah sudut yang terbentuk oleh garis g pada bidang R dan garis h pada bidang S yang keduanya tegak

lurus pada garis VW.

Contoh 1Soal :

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak antara titik H ke garis diagonal sisi AC?

Pembahasan :Titik H dengan garis AC tegak lurus  di titik O (titik tengah diagonal sisi AC). Jadi, jarak H  ke garis AC = panjang HO.

Perhatikan gambar di samping untuk pembahasannya.

Jadi, jarak antara titik H ke garis diagonal sisi AC adalah 4√6 cm.

Contoh 2Soal :

Perhatikan ganmar di samping. Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak titik X ke bidang RSTU

Pembahasan :Perhatikan gambar di bawah ini.

Titik X ke bidang RSTU merupakan panjang garis dari titik X ke titik Z (garis XZ) yang tegak lurus dengan bidang RSTU. XZ = ½ PW =4√2 cm

Contoh 3Soal :

Pembahasan :Perhatikan gambar berikut.Letak garis AD, AH dan sudut yang terbentuk adalah sebagai berikut.Selanjutnya ambil segitiga ADH dengan siku-sikunya di titik D.

tan α = sisi depan : sisi samping = DH : ADtan α = 8 cm : 8 cm = 1Sudut dengan nilai tan sama dengan satu adalah 45°

Contoh 4Soal :

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk √3 cm dan T pada AD dengan panjang AT = 1 cm. Tentukanlah jarak A pada BT.

Pembahasan :

Contoh 5Soal :

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Berapakah nilai sin α ?

Pembahasan :Posisi AE dan bidang AFH pada kubus sebagai berikut .Selanjutnya ambil segitiga AEP dengan siku di titik E.

Panjang EP adalah setengah dari panjang diagonal sisi yaitu 2 √2 cm. Panjang AP

Sinus sudut α dengan demikian adalah

Latihan Soal

1. Pada kubus atau balok, berapa jumlah :a. Titik sudut (T)b. Bidang/sisi (S)c. Rusuk (R)d. Selidiki apakah berlaku rumus Euler : S + T = R + 2

2. Pada kubus ABCD.EFGH, sebutkan :a. Diagonal bidangb. Diagonal ruangc. Bidang diagonal

3. Gambarlah kubus ABCD.EFGH yang rusuknya 4 cm. Bidang ABFE frontal, AB horizontal, sudut sudut dan perbandingan proyeksi 1/2

Latihan Soal

4. Diketahui limas tegak M.PQRS, alas PQRS berbentuk persegi panjang dengan PQ = 8 dan QR = 6, MM’ tegak lurus

bidang alas, M’ pusat bidang alas dan MP = 13. Hitung :a. Volumeb. Luas permukaan

5. Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. α adalah sudut antara garis AD dengan garis diagonal ruang HB. Tentukan nilai tan α, sin α dan cos α

Om Santih, Santih, Santih, Om

Terima kasih