Nguyˆ˜enV˘anMinh - ĐHSPHN · II Lò.inói d¯ˆàu Trong khi...

PHU.O.NG TRINH VI PHAN

THU.O.NG

Nguyen Van Minh

Lo.i noi dau

Phu.o.ng trınh vi phan thu.o.ng la lınh vu.. c lau do.i cu’a Toan ho.c.Noi nhu. va.y khong co nghıa la no “cu ky”, khong con phat trie’ndu.o.. c nu.a, ma trai la. i day la lınh vu.. c phat trie’n rat soi do.ng cu’aToan Ho.c trong suot nhieu tha.p ky’ qua. D- ieu nay co the’ hie’u du.o.. cvı day la chiec cau noi cu’a Toan ho.c vo

.i cac lınh vu.. c khoa ho.c u.ng

du.ng khac cung nhu. la no.i hoa nha.p cu’a nhieu lınh vu.. c rat khacnhau cu’a chınh Toan ho.c. Hie.n nay o.’ nu.o.c ta co xu hu.o.ng thugo.n ten go. i “phu

.o.ng trınh vi phan thu.o.ng” thanh “phu.o.ng trınhvi phan”. Cach lam nhu. va.y se gay nhieu nham lan, nhat la chocac sinh vien. Can pha’i phan bie.t rang thua. t ngu. “phu.o.ng trınhvi phan” bao ham khong chı’ phu.o.ng trınh vi phan thu.o.ng ma conca’ phu.o.ng trınh vi phan da. o ham rieng, mo. t lınh vu.. c gan gui vo.iphu.o.ng trınh vi phan thu.o.ng (va con ro. ng lo.n ho.n rat nhieu!).

Ta.p bai gia’ng nay toi bien soa.n va gia’ng cho sinh vien he. cu.’

nhan khoa ho. c tai nang cu’a D- a. i ho. c Khoa ho. c Tu.. nhien, D- a. i ho. cQuoc gia Ha no. i, vo

.i tham vo.ng khiem ton la cung cap cho sinhvien, trong mo.t tho

.i gian ha.n che (45 tiet ho. c), mo. t hınh dung naodo ve lınh vu.. c nay. D- a.c bie.t, toi muon nhan ma.nh den cac cong cu.dang dung ro.ng rai trong nghien cu.u hie.n nay. Tat nhien vo.i mo. tkhong gian ha.n che chung ta chı’ co the’ chat lo.c nhu.ng y tu.o.’ ngquan tro.ng nhat va pha’i trınh bay du.o.. c mo. t cach xuc tıch, do.ngia’n nhat co the’ du.o.. c. So vo.i cac giao trınh ve phu.o.ng trınh viphan da va dang du.o.. c su.’ du.ng o.’ Vie.t Nam hie.n nay, toi da du.avao ta.p cac bai gia’ng nay nhu.ng chu’ de mo.i sau day:

1. D- i.nh ly Perron ve da. c tru.ng he. hyperbolic, dieu kie.n ton ta. inghie.m tuan hoan, gio.i no. i,

2. D- a ta.p bat bien va u.ng du.ng trong nghien cu.u o’n di.nh,

3. Cach dung phan mem Maple de’ tıch phan phu.o.ng trınh viphan.

I

II Lo.i noi dau

Trong khi toi kha hai long vo.i cach trınh bay do.n gia’n hai van dedau tien thı van de thu. ba con rat lung tung. D- ieu nay de hie’uvı kinh nghie.m con chu.a nhieu, trong khi “su.c ep” cu’a “Tho.i da. imay tınh” la. i qua lo.n. Toi tin rang rat nhieu ngu.o.i trong cac ba.nco the’ lam tot vie.c nay. D- ieu duy nhat toi lu.u y cac ba.n la canpha’i hie’u du.o.. c gio.i ha.n cu’a cac phan mem va pha’i hie’u du.o.. c ta. isao.

Toi hy vo.ng vie.c danh may la. i toan van bai gia’ng vo.i mo. t sobo’ sung bang phan mem soa.n tha’o van ba’n LaTeX nay se giupcac sinh vien, ho. c vien cao ho. c va cac can bo. nghien cu.u co themtai lie.u tham kha’o, nhat la trong tınh hınh thieu sach vo.’ hie.n nay.Theo toi cac bai gia’ng nay co the’ dung de’ da.y mo.t chuyen deve phu.o.ng trınh vi phan thu.o.ng “nang cao” cho cac lo.p cao ho.cchuyen ve phu.o.ng trınh vi phan va tıch phan.

Do tho.i gian co ha.n, ma.c dau da rat co gang va da nha. n du.o.. csu.. giup do. cu’a nhieu sinh vien trong tho.i gian gia’ng da.y, giao trınhchac con nhieu thieu sot can bo’ sung trong tho.i gian to.i. Toi mongnha.n du.o.. c nhieu y kien phe bınh cu’a cac do. c gia’ xa gan.

Ha No. i 2002 Nguyen Van Minh

D- a. i ho. c Khoa ho. c Tu.. nhien

D- a. i ho. c Quoc gia Ha no. i

E-mail: [email protected]

MU. C LU. C

1 Ly thuyet to’ng quat 71.1. Phu.o.ng trınh vi phan va cac di.nh ly ton ta. i va duy

nhat nghie.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1. Mo.t so vı du. ve cac mo hınh toan ho.c su

.’ du. ngphu.o.ng trınh vi phan . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2. Cac di.nh ly ton ta. i duy nhat nghie.m . . . . 101.1.3. D- i.nh ly Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.4. D- i.nh ly ve thac trie’n nghie.m . . . . . . . . 15

1.2. Phu.o.ng trınh tuyen tınh to’ng quat . . . . . . . . . 171.2.1. He. phu

.o.ng trınh ba.c nhat . . . . . . . . . . 171.2.2. He. phu

.o.ng trınh khong thuan nhat va congthu.c bien thien hang so . . . . . . . . . . . 22

1.3. He. phu.o.ng trınh co he. so hang so va tuan hoan . . 23

1.3.1. Ham ma tra.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.2. Phu.o.ng trınh co he. so hang so . . . . . . . 261.3.3. Phu.o.ng trınh co he. so tuan hoan . . . . . . 30

1.4. Nghie.m gio.i no. i cu’a phu.o.ng trınh khong thuan nhat 311.4.1. Nghie.m tuan hoan . . . . . . . . . . . . . . 311.4.2. Nghie.m gio.i no. i . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.3. Cac khong gian ham chap nha.n du.o.

.c . . . . 351.4.4. Nghie.m gio.i no. i tren nu.’ a tru. c . . . . . . . . 35

1.5. Bai toan bien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.1. Bai toan bien thuan nhat . . . . . . . . . . 361.5.2. Phu.o.ng trınh khong thuan nhat . . . . . . . 38

1.6. Phu.o.ng trınh tuyen tınh ba.c cao . . . . . . . . . . 391.7. Su.

. phu. thuo.c lien tu. c theo dieu kie.n ban dau va theotham so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Cac phu.o.ng phap di.nh lu.o..ng 44

2.1. Mo. t so phu.o.ng phap tıch phan cac phu.o.ng trınh viphan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

III

IV MU. C LU. C

2.1.1. Cac phu.o.ng phap tıch phan cac lo.p phu.o.ngtrınh thu.o.ng ga. p . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.2. Phu.o.ng trınh thuan nhat va phu.o.ng trınhdu.a ve du.o.

.c da.ng nay . . . . . . . . . . . . 472.1.3. Phu.o.ng trınh tuyen tınh . . . . . . . . . . . 492.1.4. Phu.o.ng trınh du.a du.o.

.c ve da.ng phu.o.ngtrınh tuyen tınh . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.1.5. Phu.o.ng trınh Ricati . . . . . . . . . . . . . 522.1.6. Phu.o.ng trınh vi phan hoan chı’nh . . . . . . 542.1.7. Phu.o.ng phap dung phan mem toan ho. c . . 56

2.2. Phu.o.ng phap tham so be . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Ly thuyet di.nh tınh 623.1. Ly thuyet o’n di.nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.1. Khai nie.m o’n di.nh theo nghıa Lyapunov . . 623.1.2. Phu.o.ng phap thu. nhat Lyapunov . . . . . . 643.1.3. Phu.o.ng phap thu. hai Lyapunov . . . . . . . 67

3.2. D- a ta.p bat bien va su.. mat o’n di.nh . . . . . . . . . 70

3.2.1. Su.. ton ta. i cu’a da ta.p bat bien . . . . . . . . 70

3.2.2. Tınh bat bien cu’a cac da ta.p . . . . . . . . 743.2.3. D- a ta.p khong o’n di.nh va su.

. mat o’n di.nhnghie.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.4. Nguyen ly o’n di.nh thu go.n . . . . . . . . . . 75

4 Phu. Lu. c 77

5 Bai ta.p 83

6 D- e thi va dap an 96

Chu.o.ng 1

LY THUYET TO’NG QUAT

1.1. PHU.O.NG TRINH VI PHAN VA CAC D- I.NH LY

TON TA. I VA DUY NHAT NGHIE. M

1.1.1. Mo. t so vı du. ve cac mo hınh toan ho.c su.’ du.ngphu.o.ng trınh vi phan

Nhieu bai toan cu’a Va. t ly , Co. ho. c, Sinh ho. c, ... dan den vie.cgia’i cac phu.o.ng trınh ham co chu.a vi phan cu’a ham pha’i tım. D- e’

minh ho.a chung ta xet mo. t so vı du. quen biet sau day:

Con lac toan ho.c

Vı du. 1.1 Xet dao do. ng cu’a mo. t chat die’m co khoi lu.o.. ng mdu.o.i tac du. ng cu’a lu

.. c hut.

Chuye’n do.ng cu’a con lac se xa’y ra trong ma.t pha’ ng tha’ ngdu.ng. Go. i l la do. dai cu’a con lac, φ(t) la goc le.ch cu’a con lac sovo.i vi. trı tha’ ng du.ng ta. i tho

.i die’m t. Khi do theo cac di.nh lua. tcu’a co. ho. c ta co phu.o.ng trınh

mlφ′′(t) +mg sinφ(t) = 0.

Hay la trong da.ng rut go.n

lφ′′(t) + g sinφ(t) = 0. (1.1)

Neu da. t x = φ va y = φ, thı trong ma.t pha’ ng (x, y) ta du.o.. c tru.o.ng

vec to. sau:

7

8 Chu.o.ng 1. Ly thuyet to’ng quat

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

y

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

Con lac

D- i.nh lua.t Malthus ve quan the’

Gia’ su.’ quan the’ du.o.. c phan bo deu trong khong gian, tat ca’

cac ca the’ nhu. nhau va cac the he. ke tiep. Go. i N(t) la so lu.o.. ngcu’a chung ta. i tho

.i die’m t. Khi do D- i.nh lua. t Malthus noi rang

dN(t)

dt= (B −D)N(t), ∀t ≥ 0, (1.2)

trong do B la ty’ le. sinh, D la ty’ le. chet tu.. nhien.

Mo hınh toan ho.c cu’a quan the’ va.t san-moi

Gia’ su.’ quan the’ dang xet gom hai loai, trong do mo. t loai lado.ng va. t an moi, con loai kia la moi cho no. Go. i x(t), y(t) tu

.o.ngu.ng la so lu.o.. ng con moi, va. t san ta. i tho

.i die’m t. Khi do mo hınhVolterra cu’a quan the’ se du.o.. c bie’u dien nhu. sau:

x = αx− βxy,y = kβxy−my,

(1.3)

trong do α la ty’ le. tang tu.. nhien cu’a x(t) khi khong co ke’ san moi,tu.c la khi y(t) = 0, con m la ty’ le. chet tu.. nhien cu’a va. t san khikhong co moi. β > 0 la he. so “tu.o.ng tac” giu.a hai loai cu’a quanthe’. D- e’ minh ho.a chung ta xet he. sau:

x(t) = x(t)(1− y(t)),y(t) = 0, 3y(t)(x(t)− 1).

Chu.o.ng 1. Ly thuyet to’ng quat 9

Ta co the’ ve tru.o.ng vec to. u.ng vo.i he. tren tren ma.t pha’ ng (x, y)nhu. sau (dung phan mem Maple):

0

0.5

1

1.5

2

y

0.5 1 1.5 2x

Lotka-Volterra model

Trong cac mo hınh toan ho. c tren chung ta deu thay su.. tham giacu’a vi phan cac cap cu’a ham a’n φ(t), N(t), x(t), y(t) trong phu.o.ngtrınh mo pho’ng cac qua trınh thu.. c te. Phu.o.ng trınh ham trongdo co chu.a ca’ cac vi phan cu’a ham pha’i tım du.o.. c go. i la phu.o.ngtrınh vi phan thu.o.ng. Can chu y phan bie.t phu

.o.ng trınh vi phanthu.o.ng vo.i phu.o.ng trınh vi phan da. o ham rieng. Phu.o.ng trınh viphan da.o ham rieng la phu.o.ng trınh ham nhieu bien, co chu.a da.oham rieng cu’a ham pha’i tım. Vie.c nghien cu.u phu.o.ng trınh da.oham rieng vı the se kho khan gap bo. i va doi ho’i pha’i co nhu.ngphu.o.ng phap phu.c ta.p ho.n nhieu. Nhu. va.y mo.t phu.o.ng trınh viphan thu.o.ng se co da.ng

F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0, (1.4)

trong do y(x) la ham cu’a doi so thu.. c x. Da.ng do.n gia’n ho.n sauday

dy(x)

dx= f(x, y(x)), (1.5)

se du.o.. c go. i la phu.o.ng trınh da gia’i ra doi vo.i da. o ham. Do mo.tnguyen nhan la nhieu phu.o.ng phap va ket qua’ kinh die’n cu’aphu.o.ng trınh vi phan thu.o.ng xuat xu. tu. co. ho. c co’ die’n, nen theotruyen thong ngu.o.i ta hay ky hie.u bien thu.. c x la t, am chı’ do latho.i die’m t, con y = y(t) la tra.ng thai ta. i tho

.i die’m nay. D- e’ cho


go.n trong phu.o.ng trınh ngu.o.i ta se viet y thay cho y(t) neu hie’ungam ham pha’i tım y la ham cu’a t.

Mo. t doi ho’i tu.. nhien khi nghien cu.u cac mo hınh toan ho.c la su..

pha’n anh trung thanh cu’a chung cac qua trınh thu.. c tien. Cha’ ngha.n, qua trınh tien hoa chı’ chuye’n tu. mo. t tra.ng thai x0 va tho.idie’m t0 den mo. t tra.ng thai x(t) duy nhat vao tho.i die’m t. Ho.nnu.a, neu x1 kha gan x0 ta. i tho

.i die’m t0 thı qua trınh se chuye’ntra.ng thai nay den y(t) ta. i tho

.i die’m t kha gan vo.i x(t). Nhu.ng doiho’i tren du.o.. c go. i la su.. ton ta. i duy nhat nghie.m va su.. phu. thuo.clien tu. c theo dieu kie.n ban dau. Nhu.ng dieu kie.n nay con du.o.. c go. ivan tat la su.. thiet la.p dung dan cu’a phu.o.ng trınh, hay mo hınhdang xet.

1.1.2. Cac di.nh ly ton ta. i duy nhat nghie.m

Xet phu.o.ng trınh vi phan

dx

dt= f(t, x) (1.6)

trong do f xac di.nh va lien tu. c tren mien G := (a, b)× y ∈ Rn :‖y − y0‖ ≤ r. Cung vo.i phu.o.ng trınh (1.6) ta xet phu.o.ng trınh

x = f(t, x),x(t0) = x0,

(1.7)

go. i la Bai toan Cauchy ket ho.. p vo.i phu.o.ng trınh (1.6).

Nha.n xet. Trong bai toan Cauchy (1.7) chung ta khong xac di.nhro trong phu.o.ng trınh dau khoa’ng xac di.nh cu’a ham pha’i tımx = x(t). Nhu. se thay du.o.i day, su.. ton ta. i nghie.m x(t) vo.i t tronglan ca.n (hai phıa) cu’a t0 se du.o.. c chu.ng minh. D- ieu nay the’ hie.n“nguyen ly” : biet hie.n ta. i xac di.nh du.o.. c tu

.o.ng lai va tai ta. o du.o.. cqua khu.. Trong rat nhieu bai toan khac da.ng trıu tu.o.. ng, nguyenly tren khong dung. “Biet hie.n ta. i chı’ co the’ xac di.nh du.o.. c tu.o.nglai ma thoi”. Vı va.y, bai toan Cauchy tu.o.ng u.ng nhat thiet doi ho’it > t0 trong phu.o.ng trınh dau.

D- i.nh ly Ton ta. i D- i.a phu.o.ng

D- i.nh ly 1.1 Gia’ su.’ f la anh xa. lien tu. c tu. G sang Rn tho’a man

cac dieu kie.n sau vo.i mo. i t ∈ (a, b), x, y ∈ Bη(x0) := x ∈ Rn :

‖x− x0‖ ≤ η:


‖f(t, x)‖ ≤ M1; (1.8)

‖f(t, x)− f(t, y)‖ ≤ M2‖x− y‖, (1.9)

trong do M1,M2 la cac hang so khong phu. thuo. c vao t, x, y. Khido ton ta. i so δ > 0 (δ = minη/M1, 1/M2) sao cho vo.i mo. it0 ∈ (a, b), trong khoa’ng (t0 − δ, t0 + δ) ∩ (a, b) bai toan Cauchy(1.7) co dung mo. t nghie.m x = φ(t) tho’a man ‖φ(t)− x0‖ ≤ η.

Chu.ng minh. Xet phu.o.ng trınh tıch phan

x(t) = x0 +

∫ t

t0

f(τ, x(τ ))dτ. (1.10)

De thay rang su.. ton ta. i nghie.m lien tu. c cu’a bai toan (1.7) tu.o.ngdu.o.ng vo.i su.. ton ta. i nghie.m cu’a phu.o.ng trınh tıch phan tren.Xet khong gian C([t0− δ1, t0 + δ1],R

n) gom cac anh xa. lien tu. c tu.

[t0−δ1, t0+δ1] vao Rn (δ1 < δ) vo.i chua’n ‖f‖ = supt ‖f(t)‖, va hınhcau dong Sη(x0) := u ∈ C([t0−δ1, t0+δ1],R

n) : supt ‖u(t)−x0‖ ≤η. Xet toan tu.’

[Sx(·)](t) := y(t) = x0 +

∫ t

t0

f(τ, x(τ ))dτ, ∀x(·) ∈ Sη(x0). (1.11)

Ta se chu.ng minh S la toan tu.’ tac do. ng trong Sη(x0). Tha. t va.y, anhxa. y(·) lien tu. c vı f lien tu. c theo t, tho’a man dieu kie.n Lipschitztheo x. Ho.n nu.a,

sup|t−t0|≤δ1

‖y(t)− x0‖ = sup|t−t0|≤δ1

‖∫ t

t0

f(τ, x(τ ))dτ‖≤ M1δ1

≤ η.

Ngoai ra,

‖Su− Sv‖ = sup|t−t0|≤δ1

‖∫ t

t0

f(τ, u(τ ))− f(τ, v(τ ))dτ‖

≤ δ1M2‖u− v‖, ∀u, v ∈ Sη(x0). (1.12)

Vı δ1 < δ nen δ1M2 < 1, va do do S la anh xa. co trong khonggian metric day du’ Sη(x0). Theo nguyen ly die’m bat do.ng Banach,trong Sη(x0) ton ta. i duy nhat mo. t die’m bat do.ng x(·) cu’a toan tu.’

S. D- o chınh la nghie.m cu’a phu.o.ng trınh tıch phan (1.10). D- i.nh lydu.o.. c chu.ng minh.


D- i.nh ly Ton ta. i Toan cu. c

Trong di.nh ly ton ta. i di.a phu.o.ng chung ta chı’ kha’ ng di.nh su.. tonta. i nghie.m x(·) trong mo.t lan ca.n cu’a t0. Noi chung khong suy radu.o.. c su.. ton ta. i tren toan khoa’ng (a, b). D- e’ minh ho.a dieu nay, taxet vı du. sau:

Vı du. 1.2 Xet phu.o.ng trınh

dx

dt= x2, t ∈ R, x ∈ R. (1.13)

Trong tru.o.ng ho.. p nay ro rang a = −∞, b = +∞ va ∀C ∈ R hamso x(t) = 1

C−tla nghie.m. Cha’ ng ha.n xet bai toan Cauchy ket ho.. p

vo.i phu.o.ng trınh tren vo.i x0 = 1, t0 = 0. Khi do x(t) = 11−t

la

nghie.m (di.a phu.o.ng) cu’a bai toan nay. Ro rang rang nghie.m naykhong the’ thac trie’n ra toan tru. c du.o.. c, cha’ ng ha.n khong the’ quadie’m t = 1. Nguyen nhan cu’a hie.n tu.o.. ng tren la vı nghie.m bi. “no’

” (ra vo ha.n) khi t tie.m ca.n den 1. Neu them mo.t so dieu kie.n nu.achung ta se co the’ chu.ng minh du.o.. c su.. ton ta. i nghie.m tren toancu.c.

D- i.nh ly 1.2 Gia’ su.’ f : (a, b) × Rn → Rn lien tu. c va tho’a mancac dieu kie.n sau (dieu kie. n Lipschitz):

‖f(t, x)‖ ≤ M1 +M0‖x‖, ∀t ∈ (a, b); x ∈ Rn (1.14)

‖f(t, x)− f(t, y)‖ ≤ M2‖x− y‖, ∀t ∈ (a, b); x, y ∈ Rn. (1.15)

Khi do vo.i bat ky die’m x0 ∈ Rn, t0 ∈ (a, b) ton ta. i duy nhat mo. tnghie.m x = φ(t) cu’a bai toan Cauchy ket ho.. p vo

.i phu.o.ng trınh(1.6) tren toan khoa’ng (a, b).

Chu.ng minh. Tru.o.c het xet tru.o.ng ho.. p −∞ < a < b < ∞.Xet khong gian ham Y := C((a, b),Rn) gom cac anh xa. lien tu. c vagio.i no. i tu

. (a, b) vao Rn. Trong Y xet toan tu.’

(Tx)(t) := y(t) = x0 +

∫ t

t0

f(τ, x(τ ))dτ, ∀t ∈ (a, b); x(·) ∈ Y.

(1.16)Ta se chu.ng minh T thu.. c su.. la mo. t toan tu.’ tac do.ng trong Y .Tha. t va.y, ta co bat da’ ng thu.c sau:

supt∈(a,b)

‖y(t)‖ ≤ ‖x0‖+ M1 +M2‖x(·)‖(b− a) (1.17)


suy ra y(·) gio.i no. i. Ngoai ra,

‖(Tu)(t)− (Tv)(t)‖ ≤∫ t

t0

‖f(τ, u(τ ))− f(τ, v(τ ))‖dτ

≤ M2

∫ t

t0

‖u(τ )− v(τ )‖dτ≤ M2|t− t0|‖u− v‖. (1.18)

Tiep theo, gia’ su.’ t ≥ t0

‖(T 2u)(t)− (T 2v)(t)‖ ≤ M2

∫ t

t0

‖(Tu)(τ )− (Tv)(τ )‖dτ

≤ M22‖u− v‖

∫ t

t0

(τ − t0)dτ

=[M2(t− t0)]

2

2!‖u− v‖, ∀u, v ∈ Y. (1.19)

Tu.o.ng tu.. doi vo.i t < t0, ta cuoi cung thu du.o.. c

‖(T 2u)(t)−(T 2v)(t)‖ ≤ [M2|t− t0|]22!

‖u−v‖, ∀t ∈ (a, b), u, v ∈ Y.

(1.20)Tiep tu. c qua trınh danh gia nay ta thu du.o.. c ∀n ∈ N

‖(T nu)(t)− (T nv)(t)‖ ≤ [M2|t− t0|]nn!

‖u− v‖, t ∈ (a, b), u, v ∈ Y.

(1.21)

Do a, b hu.u ha.n, con day [M2|t−t0|]nn!

→ 0 khi n→∞, vo.i n0 du’ lo.nT n0 se la toan tu.’ co trong khong gian Y . Do do ton ta. i duy nhatmo. t die’m bat do.ng cu’a toan tu.’ T n0. De dang suy ra du.o.. c die’mbat do.ng nay cung la die’m bat do.ng duy nhat cu’a T . Nhu. va.yphep chu.ng minh vo.i tru.o.ng ho.. p a, b hu.u ha.n da ket thuc.

Tru.o.ng ho.. p a hoa. c b vo ha.n. Theo ket qua’ da chu.ng minh o.’

tren thı vo.i mo. i a′, b′ hu.u ha.n sao cho a < a′ < b′ < b tren khoa’ng

(a′, b′) luon ton ta. i va duy nhat nghie.m. Va.y thı bai toan Cauchyket ho.. p vo.i (1.6) luon co nghie.m duy nhat tren (a′, b′). De thaynghie.m nay co the’ thac trie’n du.o.. c ra vo ha.n vı a′, b′ tuy y . Phepchu.ng minh di.nh ly ket thuc.

D- ieu kie.n Lipschitz (1.15) la rat quan tro.ng. Vı du. du.o.i daychu.ng to’ dieu do



dx

dt= x2/3, x ∈ R. (1.22)

Gan die’m t0 = 0, x0 = 0 ta co hai nghie.m, x(t) ≡ 0 va x(t) = t3.Nhu. va.y tınh duy nhat nghie.m bi. pha vo. . Nguyen nhan la gan 0,ve pha’i khong tho’a man dieu kie.n Lipschitz.

1.1.3. D- i.nh ly Peano

Mu.c nay se trınh bay mo.t di.nh ly co’ die’n ve su.. ton ta. i (noichung khong duy nhat) nghie.m trong tru.o.ng ho.. p ve pha’i phu.o.ngtrınh khong tho’a man dieu kie.n Lipschitz.

D- i.nh ly 1.3 (D- i.nh ly Peano) Gia’ su.’ f : G := [t0, t0 + a] ×

B(b; y0) ⊂ R× Rn → Rn la anh xa. lien tu. c vo.i

sup(t,x)∈G

‖f(t, x)‖ ≤M ; α := min(a, b/M).

Khi do Bai toan Cauchy lien ket vo.i phu.o.ng trınh (1.6) co trendoa. n [t0, t0 + α] ıt nhat mo. t nghie.m x = x(t).

Chu.ng minh. Ta cho.n δ > 0 va ky hie.u y0(t) la anh xa. lo.p C1

tu. doa.n [t0 − δ, t0] vao Rn tho’a man cac dieu kie.n:

y0(t0) = x0,

y′0(t) = f(t0, x0)

‖y′0(t)‖ ≤ M,

‖y0(t)− x0‖ ≤ b.

Ta di.nh nghıa tren doa.n [t0−δ, t0+α] anh xa. yε(t), 0 < ε ≤ δ bangcach da. t yε(t) := y0(t) tren doa.n [t0 − δ, t0] va

yε(t) = y0 +

∫ t

t0

f(s, yε(s− ε))ds, (1.23)

tren doa.n [t0, t0+α]. Bang cong thu.c nay y0(·) du.o.. c thac trie’n len[t0, t0 + α1], trong do α1 := min(α, ε), sao cho yε ∈ C1 tren doa.n[t0 − δ, t0 + α1], va tren do

‖yε(t)− x0‖ ≤ b. (1.24)


Cong thu.c (1.23) se du.o.. c dung de’ thac trie’n anh xa. yε len doa.n[t0 − δ, t0 + α2], trong do α2 := min(α, 2ε). Cu. tiep tu. c qua trınhnay ta se thac trie’n du.o.. c anh xa. yε len doa.n [t0− δ, t0+α] sao chono luon thuo.c lo.p C1.

Vı ‖y′ε(t)‖ ≤ M , ho. cac anh xa. yε, 0 < ε ≤ δ, la ho. cac anh xa.lien tu. c deu dong ba.c, gio

.i no. i deu. The thı theo D- i.nh ly Arcela-Ascoli tım du.o.. c mo. t day cac so εn∞n=1: εn ↓ 0 sao cho

y(t) = limn→∞

yεn(t) (1.25)

ho. i tu. deu tren [t0− δ, t0 + α]. Tu. do suy ra cac ket lua.n sau day:day f(t, yεn(t − εn)) ho. i tu. deu to.i f(t, y(t)) khi n → ∞. Va.y thıqua gio.i ha.n trong (1.23) se cho ta nghie.m y(t) cu’a bai toan Cauchyvo.i cac dieu kie.n ban dau y(t0) = x0.

Mo. t he. qua’ quan tro.ng cu’a D- i.nh ly Peano la kha’ ng di.ng sau:

He. qua’ 1.1 Gia’ su.’ f : G ⊂ R × Rn → Rn lien tu. c, trong do Gla ta. p mo

.’ chu.a mo. t ta. p con compact K. Khi do ton ta. i hang soα > 0 chı’ phu. thuo. c vao G,K,M sao cho neu (t0, x0) ∈ K thı baitoan Cauchy lien ket vo.i (1.6) la gia’i du.o.. c va moi nghie.m cu’a noxac di.nh tren doa. n |t− t0| ≤ α.

Chu.ng minh. Tha. t va.y, ta cho.n chua’n (t, x) ∈ R × Rn nhu.

sau: ‖(t, x)‖ := max|t|, ‖x‖, co nghıa la hınh cau mo.’ la hınh ho.pmo.’ . Khong mat to’ng quat co the’ coi G la ta.p mo.’ gio.i no. i. Neu da. ta := dist(K, ∂G), trong do ∂G la bien cu’a G, thı α := min(a, a/M).Vı K compact nen a luon ton ta. i hu

.u ha.n.

1.1.4. D- i.nh ly ve thac trie’n nghie.m

Nhu. chung ta da thay o.’ mu.c tru.o.c, su.. ton ta. i nghie.m cu’a baitoan Cauchy noi chung co the’ chı’ la di.a phu.o.ng. Gia’ su.’ ta dangxet phu.o.ng trınh vi phan

dx

dt= f(t, x), x ∈ R

n (1.26)

trong do f : G ⊂ R × Rn → Rn lien tu. c, G mo.’ , va x(·) la mo. tnghie.m xac di.nh trong lan ca.n cu’a t0 ∈ R. Cau ho’i da. t ra la khinao x(·) co the’ thac trie’n du.o.. c len khoa’ng lo.n ho.n nu.a. Vı G lamo. t ta.p mo.’ trong R × Rn va f lien tu. c, nen theo D- i.nh ly Peanoneu x(·) xac di.nh tren mo.t khoa’ng J = [α, β) hay J = (α, β] thı cothe’ thac trie’n x(·) qua dau mut α hoa. c β. Do do, khong mat to’ngquat ta coi x(·) da cho xac di.nh tren khoa’ng mo.’ (α, β) nao do.


D- i.nh nghıa 1.1 Khoa’ng mo.’ J du.o.. c go. i la khoa’ng ton ta. i cu.. c da. i

ve phıa pha’i cu’a x(·) neu khong ton ta. i mo. t khoa’ng mo.’ J ′ = (α′, β ′)vo.i α′ ≤ α va β < β ′ tren do x(·) co the’ thac trie’n len du.o.. c. Tu.o.ngtu.. di.nh nghıa khoa’ng ton ta. i cu

.. c da. i ve phıa trai. Khoa’ng ton ta. i

du.o.. c go. i la cu.. c da. i neu no la cu

.. c da. i dong tho

.i ve hai phıa.

D- i.nh ly 1.4 D- ieu kie. n can va du’ de’ J = [α, β) cu’a nghie.mx(·) cu’a (1.26) khong la cu.. c da. i ve ben pha’i la ton ta. i gio.i ha. nlimt↑β x(t) = η va (β, η) ∈ G.

Chu.ng minh. Can. Ro rang.D- u’ : Neu ton ta. i gio

.i ha.n limt↑β x(t) = η va (β, η) ∈ G thı ta cothe’ ap du.ng D- i.nh ly Peano de’ kha’ ng di.nh rang ton ta. i nghie.m φ(t)xac di.nh tren khoa’ng I la lan ca.n cu’a β cu’a phu.o.ng trınh (1.26)sao cho φ(β) = η. The thı

ψ(t) :=

x(t), t < βφ(t), t ≥ β

cho ta mo.t thac trie’n ve ben pha’i cu’a β.

D- i.nh ly 1.5 Gia’ su.’ f lien tu. c tren ta. p mo.’ G ⊂ R× Rn vao Rn

va x(·) la mo. t nghie.m cu’a phu.o.ng trınh (1.26). Khi do x(·) co the’thac trie’n du.o.. c len khoa’ng ton ta. i cu

.. c da. i (ω−, ω+). Ho

.n nu.a, neu(ω−, ω+) la khoa’ng ton ta. i cu

.. c da. i cu’a x(·) thı x(t) se tien to.i bien

∂G cu’a G khi t tien to.i ω− hoa. c ω+.

Thac trie’n cu’a x(·) noi chung khong duy nhat. Vı va.y ω± phu. thuo.cvao cach cho.n thac trie’n. Kha’ ng di.nh “x(t) tien to.i bien ∂G khit → ω+” co nghıa la hoa. c la ω+ = +∞, hoa. c la ω+ < +∞ va khit tien den ω+ con cac die’m (t, x(t)) khong bi. chu

.a trong mo.t ta.pcon compact nao cu’a G.

Chu.ng minh. Theo nha.n xet tren, ta chı’ xet thac trie’n φ xacdi.nh tren cac khoa’ng mo.’ . Ta dung Bo’ de Zorn de’ chu.ng minh.Tru.o.c het gia’ su.’ x(·) xac di.nh tren (αx, βx). Ta di.nh nghıa ta.p ho.. pA gom cac thac trie’n φ cu’a x(·), tu.c la cac nghie.m φ xac di.nh trenkhoa’ng mo.’ (αφ, βφ) sao cho (αx, βx) ⊂ (αφ, βφ) va φ|(αx, βx) = x(·)Ta du.a ra quan he. thu

. tu.. trong A nhu. sau: φ ≤ ψ neu va chı’ neu ψla thac trie’n cu’a φ. Ro rang moi day chuyen C, gom φ ≤ ψ ≤ · · · cophan tu.’ lo.n nhat. Tha. t va.y ta co the’ di.nh nghıa J = ∪φ∈C(αφ, βφ)va µ(t) = φ(t) neu t ∈ (αφ, βφ). D- i.nh nghıa nay cho ta ca.n tren cu’a


day chuyen C. Va.y trong A pha’i ton ta. i phan tu.’ cu.. c da. i. D- o chınhla dieu pha’i chu.ng minh.

Tiep theo, ta gia’ su.’ rang (ω−, ω+) la khoa’ng ton ta. i cu.. c da. i cu’a

nghie.m x(·). Ta se chu.ng minh rang x(t) khong the’ bi. chu.a trong

mo.t ta. p compact con cu’a G vo.i mo. i t du’ gan vo.i ω+. Tha. t va.y, gia’

su.’ ngu.o.. c la. i ton ta. i compactK ⊂ G de’ (t, x(t)) ∈ K, ∀t ∈ [δ, ω+).Nhu. va.y thı co the’ trıch ra mo.t day con (tk, x(tk)), k ∈ N, tk →ω+ ho. i tu. to.i mo. t die’m (ω−, η) ∈ K. Ta chu.ng minh gio.i ha.nlimt→ω+ x(t) = η va khi do theo D- i.nh ly tren suy ra mau thuan.Tha. t va.y, go. i

N := sup(t,x)∈K

‖f(t, x)‖

Do tınh lien tu. c cu’a f so N thu.. c su.. hu.u ha.n. Ta co

‖x(t)− x(tk)‖ ≤ supξ∈(δ,ω+)

‖x(ξ)‖|t− tk| (1.27)

= supξ∈(δ,ω+)

‖f(ξ, x(ξ))‖|t − tk| (1.28)

≤ N |t− tk| (1.29)

vo.i mo. i t, tk ∈ [δ, ω+). De dang chu.ng minh du.o.. c theo tieu chua’nCauchy thı limt→ω+ x(t) ton ta. i va bang η.

1.2. PHU.O.NG TRINH TUYEN TINH TO’NG QUAT

1.2.1. He. phu.o.ng trınh ba.c nhat

Trong mu.c nay ta luon gia’ thiet rang A : (a, b) → Rn×n va f :(a, b) → Rn la cac anh xa. lien tu. c, trong do Rn×n ky hie.u khonggian tat ca’ cac ma tra.n n× n vo.i chua’n

‖B‖ := sup‖x‖≤1

‖Bx‖, ∀B ∈ Rn×n.


dx

dt= A(t)x+ f(t), x ∈ R

n. (1.30)

Phu.o.ng trınh (1.30) du.o.. c go. i la phu.o.ng trınh vi phan tuyen tınh

khong thuan nhat. Phu.o.ng trınh sau day du.o.. c go. i la phu.o.ng trınh

vi phan tuyen tınh thuan nhat


dx

dt= A(t)x, x ∈ R

n. (1.31)

Ap du.ng D- i.nh ly ton ta. i duy nhat nghie.m toan cu. c cho phu.o.ngtrınh (1.30) ta se du.o.. c:

D- i.nh ly 1.6 Gia’ su.’ A, f lien tu. c tren (a, b) thı vo.i mo. i t0 ∈(a, b), x0 ∈ Rn bai toan Cauchy

x = A(t)x+ f(t)x(t0) = x0

(1.32)

co duy nhat mo. t nghie.m xac di.nh tren toan khoa’ng (a, b).

Chu.ng minh. Lay [α, β] ⊂ (a, b) bat ky . Khi do do A, f lientu. c, cac da. i lu

.o.. ng sau la ton ta. i va hu.u ha.n

maxα≤t≤β

‖A(t)‖, maxα≤t≤β

‖f(t)‖.

Va.y tren [α, β] anh xa. F (t, x) := A(t)x+ f(t) tho’a man cac dieukie.n cu’a D- i.nh ly ton ta. i duy nhat nghie.m toan cu. c. Do do bai toanCauchy (1.32) se co nghie.m tren toan [α, β] va tren do chı’ co dungmo.t nghie.m nay. Do tınh tuy y cu’a α, β nen ta co the’ “mo.’ ro.ng”nghie.m nay len toan (a, b) bang cach mo.’ ro.ng doa.n [α, β]. D- i.nh lydu.o.. c chu.ng minh.

Nha.n xet 1.1 Tu. D- i.nh ly tren ta thay doi vo.i phu.o.ng trınh tuyen

tınh co the’ chı’ noi den nghie.m xac di.nh tren toan khoa’ng (a, b).Du.o.i day chung ta quy u.o.c khi noi ve nghie.m cu’a phu.o.ng trınhtuyen tınh tu.c la noi ve cac nghie.m xac di.nh tren khoa’ng cu

.. c da. i

(a, b) neu cac dieu kie. n cu’a D- i.nh ly tren tho’a man.

Phu.o.ng trınh vi phan tuyen tınh thuan nhat

Bay gio. chung ta nghien cu.u cac tınh chat cu’a cac nghie.m phu.o.ngtrınh thuan nhat.

D- i.nh ly 1.7 Gia’ su.’ A lien tu. c. Khi do ta. p ho.. p tat ca’ cac nghie.m

cu’a phu.o.ng trınh thuan nhat la. p nen mo. t khong gian tuyen tınh nchieu tren tru.o.ng so thu.. c R.

Chu.ng minh. Go. i N la ta.p ho.. p tat ca’ cac nghie.m cu’a phu.o.ngtrınh (1.31). Gia’ su.’ φ, ψ ∈ N , α, β ∈ R. Khi do


αφ(t) = αA(t)φ(t)

= A(t)αφ(t)

βψ(t) = βA(t)ψ(t)

= A(t)βψ(t).

Do do ham η(t) := αφ(t) + βψ(t) se la nghie.m cu’a phu.o.ngtrınh thuan nhat, tu.c la N la khong gian tuyen tınh tren tru.o.ngso thu.. c R. Bay gio. ta chu.ng minh kha’ ng di.nh sau: Neu φk ∈N , k = 1, · · · , m la he. m nghie.m cu’a (1.31). Khi do he. nay do. cla. p tuyen tınh khi va chı’ khi ton ta. i t0 ∈ (a, b) sao cho he. cacvecto. φk(t0),∈ Rn, k = 1, · · · , m la do. c la. p trong Rn. Tha. t va.y, neuφk, k = 1, · · · , m la he. cac vec to. phu. thuo.c tuyen tınh trong N ,thı ro rang tu. di.nh nghıa suy ra vo.i mo. i t0 ∈ (a, b) he. cac vec to.

φk(t0), k = 1, · · · , m la he. cac vec to. phu. thuo.c tuyen tınh trongRn. Ta chu.ng minh dieu kie.n du’ bang cach chı’ ra rang neu ton ta. it0 ∈ (a, b) va cac so αk, k = 1, · · · , m khong dong nhat bang khongsao cho

∑mk=1 αkφ(t0) = 0 thı

∑mk=1 αkφ = 0. Nhu.ng dieu nay suy

ra tu. di.nh ly ton ta. i duy nhat bang cach xet bai toan Cauchy ketho.. p vo.i (1.31), tu.o.ng u.ng vo.i cac dieu kie.n ban dau t0, x0 = 0. Tu.

kha’ ng di.nh tren noi rieng suy ra rang dimN = n.

D- i.nh nghıa 1.2 Gia’ su.’ φk, k = 1, · · · , n la he. n nghie.m do. c la. ptuyen tınh cu’a phu.o.ng trınh (1.31). Khi do ma tra. n vuong co cacco. t la. p bo

.’ i cac vec to. φk cu’a Rn du.o.. c go. i la mo. t ma tra. n co. ba’n

cu’a phu.o.ng trınh khong thuan nhat (1.31).

De dang thay rang ma tra. n co. ba’n X(t) bat ky tho’a man phu.o.ngtrınh vi phan sau day trong khong gian Rn×n

dY

dt= A(t)Y (t), Y ∈ R

n×n. (1.33)

Ngu.o.. c la. i mo. t nghie.m bat ky Y (t) cu’a phu.o.ng trınh ma tra.n (1.33)u.ng vo.i mo. t he. n nghie.m cu’a (1.31). D- e’ Y (t) la ma tra.n co. ba’n thıdieu kie.n can va du’ la detY (t) = 0. Co the’ co nhieu ma tra.n co. ba’n.Chung ta se xet ho. cac ma tra. n co. ba’n sau day (X(t, s))t,s∈(a,b) du

.o.. cdi.nh nghıa nhu. sau: X(t, s) = X(t)X−1(s), trong do X(t) la mo. tma tra.n co. ba’n nao do. Ta se chu.ng minh rang ho. (X(t, s))t,s∈(a,b)

khong phu. thuo.c vao ma tra.n co. ba’n X(t) bang cach chu.ng minhme.nh de sau:

Me.nh de 1.1 Ma tra. n Y (t) := X(t, s) la nghie.m cu’a bai toanCauchy


Y = A(t)YY (s) = I.

(1.34)

Nhu. da nha. n xet o.’ tren Y (t) la mo. t nghie.m cu’a (1.33). Ro rangY (s) = X(s, s) = X(s)X−1(s) = I .

D- i.nh nghıa 1.3 Ho. cac ma tra. n (X(t, s))t,s∈(a,b) du.o.. c go. i la cac

ma tra. n Cauchy lien ket vo.i phu.o.ng trınh thuan nhat (1.31).

Tu. di.nh nghıa va la.p lua.n o.’ tren ta co

Me.nh de 1.2 Ton ta. i duy nhat ho. hai tham so cac ma tra. nkhong suy bien (X(t, s))t,s∈(a,b) lien ket vo

.i phu.o.ng trınh thuan nhat(1.31) tho’a man cac dieu kie. n sau:

1. X(t, t) = I, ∀t ∈ (a, b);

2. X(t, s)X(s, r) = X(t, r), ∀t, s, r;3. Mo. t nghie.m x(t) bat ky cu’a phu.o.ng trınh thuan nhat (1.31)tho’a man

x(t) = X(t, t0)x(t0), ∀t, t0 ∈ (a, b).

Cong thu.c Liouville

Gia’ su.’ X(t) la ma tra. n la.p bo.’ i he. n nghie.m bat ky. Trong chu.ngminh tren ta da chu.ng minh du.o.. c rang detX(t) = 0 ∀t ∈ (a, b) khiva chı’ khi ton ta. i t0 ∈ (a, b) sao cho detX(t0) = 0. Thu.. c ra kha’ ngdi.nh nay co the’ lam ma.nh len nhieu bang di.nh ly sau:

D- i.nh ly 1.8 (Cong thu.c Liouville) Gia’ su.’ φ1, · · · , φn la he. nnghie.m cu’a (1.31). Khi do ma tra. n X(t) co cac co. t la cac vec to

.

φ1(t), · · · , φn(t) tho’a man

detX(t) = detX(t0)e∫ t

t0

∑nj=1 ajj(ξ)dξ, (1.35)

trong do A(t) = (aij(t)), t0 ∈ (a, b).

Chu.ng minh. Gia’ su.’ φk(t) = (φ1k(t), · · · , φnk) va Xik la phanbu da. i so cu’a phan tu.’ φik trong khai trie’n di.nh thu.c detX(t) theoco. t thu

. k. Khi do theo tınh chat cu’a di.nh thu.c ta co

detX(t) =n∑

i=1

Xik(t)φik(t) (1.36)


va.y∂

∂φikdetX = Xik.

Ta se su.’ du.ng cong thu.c vi phan ham ho.. p sau:

z(t) :=g(y1(t), · · · , ym(t))

dt=

m∑k=1

∂

∂ykg(y1(t), · · · , ym(t))yk(t).

Ro rang det : Rn×n → Rn. Do do

detX(t)

dt=

det(φij(t))

dt

=∑i,j

∂det

∂φij

φij(t)

=∑i,j

Xij(t)φij(t)

=∑i,j

Xij(t)

n∑k=1

aik(t)φkj(t)

=∑i,k

aik(t)n∑

j=1

Xij(t)φkj(t).

Theo tınh chat cu’a di.nh thu.c

n∑j=1

Xij(t)φkj(t) =

detX(t), neu i = k= 0, neu i = k

Va.y thı

d

dtdetX(t) =

∑i

aii(t)detX(t), ∀t ∈ (a, b). (1.37)

De thay detX(t) tho’a man

y(t) =

∑i aii(t)y(t), ∀t ∈ (a, b)

y(t0) = detX(t0).

Dung tınh duy nhat nghie.m, ta thay y(t) la ham sau

detX(t) = y(t) = detX(t0)e∫ tt0

∑i aii(s)ds.


1.2.2. He. phu.o.ng trınh khong thuan nhat va cong thu.cbien thien hang so

Gia’ su.’ φ0 la mo. t nghie.m nao do cu’a phu.o.ng trınh khong thuannhat (1.30). Khi do ta co di.nh ly sau:

D- i.nh ly 1.9 Mo. t nghie.m bat ky khac cu’a (1.30) la to’ng cu’a φ0

va mo. t nghie.m nao do cu’a phu.o.ng trınh thuan nhat (1.31).

Chu.ng minh. Gia’ su.’ φ(t) la nghie.m bat ky cu’a (1.30). D- a. tψ(t) = φ(t)− φ0(t). Bang cach the tru.. c tiep de thay rang ψ(t) langhie.m cu’a (1.30).

Va.y thı de’ tım du.o.. c tat ca’ cac nghie.m cu’a phu.o.ng trınh khongthuan nhat, ta chı’ can tım mo.t nghie.m rieng nao do va sau do baitoan quy ve vie.c tım nghie.m cu’a phu.o.ng trınh thuan nhat. Mo.ttrong cac cach tım nghie.m rieng cu’a (1.30) la su.’ du.ng cong thu.csau:

Cong thu.c bien thien hang so

Nhu. ta da biet mo. t nghie.m bat ky cu’a phu.o.ng trınh thuan nhatdeu co the’ tım du.o.. c neu biet mo. t nghie.m co. ba’n X(t). Tha. t va.y,nghie.m bat ky co da.ng x(t) = X(t)C , trong do C ∈ Rn la mo. t vecto. hang nao do. Ngu.o.i ta co the’ bat tru.o.c cach tım nghie.m cu’aphu.o.ng trınh khong thuan nhat bang cach coi hang so C = C(t),tu.c la “bien thien hang so C” the nao do de’ y(t) = X(t)C(t) se langhie.m cu’a phu.o.ng trınh khong thuan nhat. D- e’ lam dieu nay tavi phan y(t) va the vao phu.o.ng trınh thı du.o.. c

y(t) = X(t)C(t) +X(t)C(t)

= A(t)X(t)C(t) +X(t)C(t)

= A(t)y(t) +X(t)C(t)

= A(t)y(t) + f(t).

Do do X(t)C(t) = f(t). Va.y thı C(t) = C1 +∫ t

t0X−1(s)f(s)ds.

Thay vao bie’u thu.c tım y(t) ta co

y(t) = X(t)(C1 +

∫ t

t0

X−1(s)f(s)ds),

trong do C1 la hang so. Neu co them dieu kie.n nao do thı hang sonay hoan toan xac di.nh. Cha’ ng ha.n, neu X(t0) = I thı C1 = y(t0).Va.y thı ta co


D- i.nh ly 1.10 Mo. t nghie.m bat ky cu’a phu.o.ng trınh khong thuannhat y(t) luon tho’a man cong thu.c bien thien hang so sau day:

y(t) = X(t, t0)y(t0) +

∫ t

t0

X(t, s)f(s)ds, ∀t, t0 ∈ (a, b). (1.38)

1.3. HE. PHU.O.NG TRINH CO HE. SO HANG SO VA

TUAN HOAN

1.3.1. Ham ma tra.n

D- e’ nghien cu.u cac phu.o.ng trınh vi phan tuyen tınh co he. sohang so ta se di.nh nghıa va nghien cu.u mo. t so ham ma tra.n, trongdo da. c bie.t quan tro.ng la ham eA va LnA.

Chuoi ma tra.n

Xet day cac ma tra.n Ak ∈ Rn×n, k = 1, 2, · · · va chuoi matra.n

∑∞k=1 Ak. Chuoi du

.o.. c go. i la ho. i tu. tuye.t doi neu chuoi so∑∞k=1 ‖Ak‖ < ∞. Tru.o.ng ho.. p da. c bie.t khi Ak = akA

k, trong doak ∈ C va A ∈ Rn×n ta co the’ ap du.ng cac tieu chua’n ho. i tu. cu’achuoi luy thu.a de’ du.o.. c cac dieu kie.n du’ cho su.. ho. i tu. tuye.t doi.Gia’ su.’ ham so f(z) la mo. t ham bien phu.c la to’ng cu’a chuoi luythu.a ho. i tu. tuye.t doi vo

.i ban kınh ho. i tu. r =∞, tu.c la co da.ng

f(z) =∞∑k=0

akzk, (1.39)

trong do chuoi ben pha’i ho. i tu. tuye.t doi vo.i ban kınh ho. i tu. r =∞.

Khi do ta di.nh nghıa ham f(A) nhu. sau:

f(A) :=

∞∑k=0

akAk. (1.40)

Vı ban kınh ho. i tu. cu’a chuoi ban dau r = ∞ nen di.nh nghıa cu’ata la ho.. p ly, va f(A) la to’ng cu’a chuoi ho. i tu. tuye.t doi.

Vı du. 1.4 Vı ez =∑∞

k=0zk

k!co ban kınh ho. i tu. r = ∞, vo.i ma

tra. n A ∈ Rn×n bat ky ham eA luon du.o.. c di.nh nghıa, va cho bangcong thu.c

eA =∞∑k=0

Ak

k!.


De dang chu.ng minh du.o.. c:

Bo’ de 1.1 Cac kha’ ng di.nh sau dung:

1. Neu f(A), g(A) la cac ham ma tra. n di.nh nghıa theo cach trenthı

f(A)g(A) = g(A)f(A);

2. Gia’ su.’ A = SJS−1, trong do S la ma tra. n khong suy bien.Khi do

f(A) = Sf(J)S−1.

Nha.n xet 1.2 Vie. c mo.’ ro. ng di.nh nghıa ham f(A) cho cac lo.p

ham f(z) co da. ng to’ng quat ho.n se cho phep nghien cu.u nhieu van

de thu vi. cu’a phu.o.ng trınh vi phan noi chung. Cha’ ng ha. n, neu

f(z) chı’nh hınh trong mien chu.a ta. p cac gia tri. rieng cu’a A thıf(A) co the’ di.nh nghıa bang cong thu

.c

f(A) =1

2πi

∫γ

f(λ)(λI − A)−1dλ, (1.41)

trong do γ la chu tuyen dong do.n, di.nh hu.o.ng du.o.ng trong mien

dang xet bao quanh ta. p cac gia tri. rieng cu’a A. Nhac la. i rang hamf : Ω z → (f1(z), · · · , fN(z)) ∈ CN du.o.. c go. i la chı’nh hınh neucac ham to. a do. fk(z) la chı’nh hınh. Ham ρ(A) λ→ (λI−A)−1 ∈Cn×n co the’ chu.ng minh du.o.. c la chı’nh hınh theo λ. Do do tıch phan(1.42), du.o.. c hie’u nhu

. la tıch phan cu’a da. ng vi phan ba. c nhat theochu tuyen dong γ se khong phu. thuo. c vao cach cho. n cu. the’ chutuyen γ.

Bo’ de 1.2 Neu A,B la hai ma tra. n giao hoan, thı eA+B = eAeB.

Chu.ng minh. Theo di.nh nghıa ta co

eA+B =∞∑k=0

(A +B)k

k!.

Ma.t khac do tınh ho. i tu. tuye.t doi nen

eAeB =

∞∑k=0

Ak

k!

∞∑j=0

Bj

j!

=∞∑n=0

∑j+k=n

Ak

k!

Bj

j!


=∞∑n=0

1

n!

∑j+k=n

n!

k!j!AkBj

=

∞∑n=0

(A +B)n

n!

= eA+B .

Do do vo.i mo. i A ∈ Rn×n ho. (etA)t∈R la mo. t nhom cac phep biendo’i tuyen tınh trong R

n.

Gia’ su.’ A ∈ Rn×n. Ma tra.n Ln A ∈ Rn×n du.o.. c di.nh nghıa lama tra.n sao cho eB = A. Ngay ca’ tru.o.ng ho.. p do.n gia’n nhat chungta cung thay su.’ ton ta. i cu’a Ln A la khong duy nhat. Tuy nhien tase chı’ quan tam den su.. ton ta. i cu’a ıt nhat mo. t ma tra.n nhu. the.

Me.nh de 1.3 Neu A khong suy bien thı ton ta. i Ln A.

Chu.ng minh. Co hai cach chu.ng minh. Cach thu. nhat du.. a trenvie.c du.a ve da.ng chua’n Jordan. Bai toan quy ve vie.c chu.ng minhmo.t o Jordan co du.o.ng cheo la cac phan tu.’ khac 0 luon co loga-rithm. Gia’ su.’ J = λEr + Z, trong do Er la ma tra. n do.n vi. r × r,Z la ma tra.n luy linh Zk = 0, ∀k ≥ r. Khi do co the’ chı’ ra

Ln J = Ln λ ·Er +∞∑k=1

(−1)k+1 1

k

Zk

λ.

Cach khac dung tıch phan phu.c nhu. sau: Cho.n chu tuyen Jordandong di.nh hu.o.ng du.o.ng bao quanh ta.p cac gia tri. rieng cu’a Anhu.ng khong bao quanh goc to.a do. . Khi do

Ln A =1

2πi

∫γ

Ln λ · (λI − A)−1dλ, (1.42)

trong do Ln z = ln |z| + iarg z + 2kπi, k ∈ Z. Neu ma tra. n Akhong suy bien thı ham du.o.i dau tıch phan (1.42) chı’nh hınh trongmien gio.i ha.n bo.’ i chu tuyen dong γ.

D- i.nh ly 1.11 (D- i.nh ly Anh xa. pho’) Gia’ su.’ f(z) la ham chı’nhhınh tren mo. t ta. p ho

.. p mo

.’ Ω chu.a σ(A) cu’a ma. t pha’ ng phu.c va

f(A) du.o.. c di.nh nghıa nhu. trong (1.41). Khi do

σ(f(A)) = f(σ(A)). (1.43)


Chu.ng minh. Gia’ su.’ λ ∈ σ(A). D- oi vo.i ζ ∈ Ω da. t

g(ζ) =

f(ζ)−f(λ)ζ−λ

, neu ζ = λ

f ′(λ), neu ζ = λ.

Khi do g chı’nh hınh tren Ω va f(A)− f(λ)I = g(A)(A− λI). Neuf(λ) ∈ ρ(f(A)) (trong do ρ(f(A)) := z ∈ C : z ∈ σ(A)), thıf(A)− f(λ)I co ngu.o.. c lien tu. c, va do do (A− λI) cung va.y. D- ieunay mau thuan vo.i gia’ thiet λ ∈ σ(A). Va.y thı f(λ) ∈ σ(f(A)).

Bay gio. gia’ su.’ λ ∈ σ(f(A)). Neu λ ∈ f(σ(A)), thı h(ζ) =(f(ζ)− λ)−1 la ham chı’nh hınh tren mo.t lan ca.n nao do cu’a σ(A),cha’ ng ha.n Ω′. Ap du.ng cac ket qua’ tren cho cac ham chı’nh hınhtren Ω′ ta co h(A)(f(A) − λI) = I . D- ieu nay mau thuan vo.i gia’

thiet λ ∈ σ(f(A)). Va.y thı λ ∈ f(σ(A)).

Vı du. 1.5 Neu f(z) = ez ta co σ(eA) = eσ(A).

Chung ta se thay quan he. tren co vai tro nhu. the nao khi nghiencu.u dang die.u tie.m ca.n cu’a nghie.m trong cac mu.c cuoi.

1.3.2. Phu.o.ng trınh co he. so hang so

Ta xet phu.o.ng trınh vi phan tuyen tınh co he. so hang so sau

dx

dt= Ax+ f(t), (1.44)

trong do f la ham lien tu. c tren (a, b). Tru.o.c het ta xet phu.o.ngtrınh thuan nhat

dx

dt= Ax. (1.45)

D- i.nh ly 1.12 x(t) = e(t−t0)Ax0 la nghie.m duy nhat cu’a bai toanCauchy

x = Axx(t0) = x0

Chu.ng minh. Ta chı’ can chu.ng minh cho tru.o.ng ho.. p t0 = 0.Tha.y va. y, Ta co

lim∆t→0

e∆tA − I

∆t= lim

∆t→0

1

∆t

∞∑k=1

[∆tA]k

k!

= A.


Do do

lim∆t→0

e(t+∆t)A − etA

∆t= etA lim

∆t→0

e∆tA − I

∆t= AetA.

The thı x(t) = etAx0 la nghie.m phu.o.ng trınh x(t) = Ax, va x(0) =x0.

Nhu. va.y ta vu.a chu.ng minh etA la ma tra. n co. ba’n. De thay mo. ima tra. n co. ba’n khac deu nha.n du.o.. c tu. ma tra.n nay. Ta di nghiencu.u chi tiet ho.n cau truc cu’a ma tra.n co. ba’n.

D- i.nh ly 1.13 Gia’ su.’ A = SJS−1 la da. ng Jordan cu’a ma tra. nA phu.c, trong do J = diag(J0, J1, · · · , Jq), trong do Jk co kıch co.rk × k vo.i phan tu.’ tren du.o.ng cheo chınh la λp+k. Khi do

etJk =

etλp+k tetλp+k · · · trk−1

(rk−1)!etλp+k

0 etλp+k · · · trk−2

(rk−2)!etλp+k

......

......

0 0 · · · etλp+k

.

Chu.ng minh. Neu

J =

λ 1 0 · · · 00 λ 1 · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · 10 0 0 · · · λ

= λE + Z

thı

(tJ)m = (tλE + tZ)m =m∑

k=0

Ckm(tλE)k(tZ)m−k.

Chu y den tınh luy linh cu’a ma tra.n Z ta se thu du.o.. c cong thu.ctrong di.nh ly.


(xy

)=

(4 −15 2

)(xy

),

(xy

)∈ R

2.


Phu.o.ng trınh da. c tru.ng cu’a cac he. so co da.ng:

det

(4− λ −15 2− λ

)= λ2 − 6λ + 13.

Phu.o.ng trınh nay co co nghie.m λ1 = 3 + 2i, λ2 = 3− 2i. D- e’ tieptu. c, ta can coi phu.o.ng trınh du.o.. c xet trong C2. Vı cac so riengdo.n nen ton ta. i mo. t co

. so.’ cu’a C2 gom toan cac vec to. rieng s1, s2

de’ ma tra.n he. so co da.ng Jordan. Theo bie’u dien tren cu’a ham eJ ,trong tru.o.ng ho.. p nay

etA = SetJS−1 =

(e(3+2i)t 0

0 e(3−2i)t

)S−1

trong do S la ma tra.n co cac co. t la s1, s2. Bay gio. ta di tım s1, s2.Theo di.nh nghıa

(4 −15 2

) (s11

s21

)= (3 + 2i)

(s11

s21

),

trong do

s1 =

(s11

s21

).

Ta se tım du.o.. c mo. t nghie.m cu’a phu.o.ng trınh tren, u.ng vo.i mo. tvec to. rieng la

s1 =

(1

1− 2i

).

Neu bai toan du.o.. c xet trong C2 thı ta tiep tu. c tım s2 va cuoi cungtım du.o.. c he. nghie.m co. ba’n la

φ1(t) =

(e(3+2i)t

(1− 2i)e(3+2i)t

), φ2(t) =

(s12e

(3−2i)t

s22e(3−2i)t

).

Tuy nhien, bai toan xuat phat cu’a ta la. i la tım nghie.m trong R2.

D- e’ lam dieu nay, ta tach cac phan thu.. c va a’o cu’a φ1 thı du.o.. c

φ1(t) = ψ1(t)+iψ2(t) =

(e3tcos 2t

e3t(cos 2t+ 2sin 2t)

)+i

(e3tsin 2t

e3t(sin 2t − 2cos 2t)

).

Ro rang

φ1(t) = Aφ1(t)

ψ1(t) + iψ2(t) = Aψ1(t) + iAψ2(t).


Do do ψ1(t), ψ2(t) la hai nghie.m thu.. c. Hai nghie.m nay do. c la.ptuyen tınh vo.i nhau vı de thay s2 = s1 la vec to. rieng cu’a A.Them nu.a φ1(t) va φ2(t) = φ1(t) la.p thanh he. nghie.m co. ba’n,tu.c la chung do. c la.p vo.i nhau. Do do ψ1(t) = (φ1(t) + φ2(t))/2 vaψ2(t) = (φ1(t)− φ2(t))/2i la cac ham do.c la.p tuyen tınh.

Va.y thı nghie.m to’ng quat cu’a phu.o.ng trınh dang xet la

(x(t)y(t)

)=

(e3t(C1cos 2t+ C2sin 2t)

e3t[(C1 − 2C2)cos 2t + (2C1 + C2)sin 2t]

),

trong do C1, C2 la cac hang so thu.. c.


(xy

)=

(2 1−1 4

)(xy

),

(xy

)∈ R

2.

Gia’i phu.o.ng trınh da. c tru.ng ta du.o.. c nghie.m bo. i λ1,2 = 3. Ta cantiep tu. c tım cac vec to. da. c tru.ng. Neu co du’ hai vec to. da. c tru.ngdo. c la.p tuyen tınh thı ro rang ma tra. n A du.a du.o.. c ve da.ng du.o.ngcheo. Khi do tien hanh nhu. vı du. tren. Tuy nhien gia’i phu.o.ng trınhtım vec to. rieng ta co

(2− λ1 1−1 4− λ1

) (xy

)⇐⇒ x = y

Tu. day suy ra chı’ co the’ co nhieu nhat mo. t vec to. rieng do. c la.ptuyen tınh, cha’ ng ha.n ta cho.n s1 = (1, 1)T . D- ieu nay cho thayA co da.ng chua’n tac Jordan vo.i mo. t o Jordan kıch co. lo.n ho.n1. D- e’ tım co. so.’ rieng trong do A co da.ng o Jordan ta pha’i tımthem mo.t vec to

. nu.a s2, do. c la.p tuyen tınh vo.i s1 tu. phu.o.ng trınh

As2 = λ1s2 + s1. Gia’i phu.o.ng trınh nay ta du.o.. c s2 = (0, 1)T . Vıtrong co. so.’ s1, s2 A co da.ng o Jordan nen ta du.o.. c mo. t he. nghie.mco. ba’n

φ1(t) = e3t

(11

), φ2(t) = te3t

(11

)+ e3t

(01

),

va nghie.m to’ng quat

(x(t)y(t)

)=

(C1e

3t + C2te3t

C1e3t + C2te

3t + C2e3t

).


1.3.3. Phu.o.ng trınh co he. so tuan hoan

Trong mu.c nay ta xet phu.o.ng trınh

x(t) = A(t)x(t), x ∈ Cn, (1.46)

vay(t) = B(t)y(t), y ∈ R

n, (1.47)

trong doA(t), B(t) la cac ma tra.n phu.c (thu.. c) lien tu. c va tuan hoantheo t chu ky ω, tu.c la A(t+ω) = A(t);B(t+ω) = B(t), ∀t ∈ R.

Ma tra.n co. ba’n

D- i.nh ly 1.14 (Bie’u dien Floquet) Moi ma tra. n co. ba’n Φ(t) cu’a

phu.o.ng trınh (1.46) co the’ bie’u dien du.o.. c du.o.i da. ng

Φ(t) = G(t)etR, ∀t ∈ R, (1.48)

trong do G : R → Cn×n la kha’ vi, tuan hoan chu ky ω, R ∈ Cn×n

la ma tra. n hang.

Chu.ng minh. Xet ma tra.n X(t) := Φ(t+ ω). Theo gia’ thiet, vı

Φ(t+ ω) = A(t+ ω)Φ(t+ ω), ∀t ∈ R

= A(t)Φ(t+ ω)

nen X(t) cung la nghie.m co. ba’n cu’a (1.46). Do do ton ta. i ma tra.nkhong suy bien B sao cho Φ(t+ ω) := X(t) = Φ(t)B. Do B la matra.n khong suy bien phu.c nen ton ta. i ma tra. n ωR = Ln B, sao choeωR = B. D- a. t G(t) = Φ(t)e−tR, ta co

G(t+ ω) = Φ(t+ ω)e−(t+ω)R

= Φ(t)Be−tRe−ωR,

= Φ(t)e−tR, vı Be−tRe−ωR = Be−ωRe−tR

= G(t).

Ro rang G(t) kha’ vi theo t va Φ(t) = G(t)etR.

Mo. t he. qua’ quan tro.ng la ket qua’ sau.

He. qua’ 1.2 Phu.o.ng trınh co he. so tuan hoan (1.46) luon co the’

dan ve phu.o.ng trınh co he. so hang so y = Ry bang phep do’i bienx(t) = G(t)y(t).


Chu.ng minh. Tha. t va.y, vı Φ(t) = G(t)etR, nen x(t) := Φ(t)x0

la nghie.m cu’a phu.o.ng trınh xuat phat. Con y(t) := etRx0 la nghie.mcu’a he. co he. so hang so y = Ry. Neu dung cach vi phan hınh thu.cta co x(t) := G(t)y(t). Va.y thı

A(t)x(t) = x(t)

= G(t)y(t) +G(t)y(t)

= [Φ(t)e−tR − Φ(t)e−tRR]y(t)G(t)y(t)

= A(t)G(t)y(t)−G(t)Ry(t) +G(t)y(t).

Va.y thı G(t)y(t)− G(t)Ry(t) = 0. Nhu.ng vı G(t) khong suy biennen y(t) = Ry(t).

Gia’ su.’ Φ(t, s) la ma tra. n Cauchy cu’a (1.46). Ngu.o.i ta go. i M :=Φ(ω, 0) la ma tra. n monodromy cu’a (1.46). Tru.o.ng ho.. p phu.o.ngtrınh trong Rn co phu.c ta.p ho.n. Noi chung khong kha’ ng di.nh du.o.. csu.. ton ta. i R thu.. c de’ M = eR vo.i mo. i ma tra.n thu.c khong suy biencho tru.o.c M , cha’ ng ha.n khi M < 0 trong tru.o.ng ho.. p mo.t chieu.Tuy va.y ngu.o.i ta chu.ng minh du.o.. c rang neu B la ma tra.n thu.. ckhong suy bien thı bao gio. cung ton ta. i R thu.. c R sao cho eR = B2.Do va.y thay vı xet su.. ton ta. i ma tra.n G(t) tuan hoan chu ky ωnhu. doi vo.i phu.o.ng trınh phu.c ta xet ma tra.n H(t) tuan hoan chuky T = 2ω. Khi do M2 la ma tra.n monodromy cu’a phu.o.ng trınhnay. Chung toi danh cho do. c gia’ phat bie’u he. qua’ tren cho tru.o.ngho.. p nay.

1.4. NGHIE. M GIO.I NO. I CU’ A PHU

.O.NG TRINH KHONG

THUAN NHAT

Trong mu.c nay ta se xet su.. ton ta. i nghie.m gio.i no. i cu’a phu.o.ngtrınh

dx

dt= Ax+ f(t), t ∈ R, (1.49)

trong do f la ham lien tu. c va gio.i no. i tren R. Tru.o.c het ta xet su..ton ta. i nghie.m tuan hoan chu ky ω neu biet tru.o.c f tuan hoan vo.ichu ky ω.

1.4.1. Nghie.m tuan hoan

Ta xet dieu kie.n can va du’ de’ (1.49) co duy nhat nghie.m tuanhoan.


D- i.nh ly 1.15 D- ieu kie. n can va du’ de’ (1.49) co duy nhat mo. tnghie.m tuan hoan chu ky ω vo

.i moi ham f lien tu. c, tuan hoan chuky ω la 1 ∈ σ(eωA), hay tu.o.ng du.o.ng, 2πiZ/ω ∩ σ(A) = .Chu.ng minh. Can: gia’ su.’ (1.49) co duy nhat nghie.m tuan hoanchu ky ω x(t) vo.i moi f lien tu. c, tuan hoan chu ky ω cho tru.o.c. Tase chu.ng minh 1 ∈ σ(eωA). D- e’ lam dieu do ta chı’ can chu.ng minhrang vo.i moi y ∈ Cn cho tru.o.c ton ta. i ıt nhat mo. t nghie.m x ∈ Cn

sao cho x − eωAx = y. D- a. t f(t) := α(t)e(t−ω)Ay, trong do α(t) laham lien tu. c nao do tren [0, ω] tho’a man

α(0) = α(ω) = 0;

∫ ω

0

α(ξ)dξ = 1.

Khi do f co the’ thac trie’n thanh mo.t ham lien tu. c tuan hoan chuky ω tren toan R. Theo gia’ thiet se ton ta. i duy nhat nghie.m tuanhoan x(t) vo.i chu ky ω. Theo cong thu.c bien thien hang so

x(0) = x(ω)

= eωAx(0) +

∫ ω

0

e(ω−ξ)Af(ξ)dξ.

Do do

(I − eωA)x(0) =

∫ ω

0

e(ω−ξ)Af(ξ)dξ

=

∫ ω

0

e(ω−ξ)Ae(ξ−ω)Aα(ξ)ydξ

= y.

Va.y 1 ∈ σ(eωA). Theo di.nh ly anh xa. pho’ dieu kie.n nay tu.o.ngdu.o.ng vo.i 2πiZ/ω ∩ σ(A) = .D- u’: Gia’ su.’ ngu.o.. c la. i 1 ∈ σ(eωA). Khi do gia’ su.’ f lien tu. c va

tuan hoan chu ky ω bat ky. Ta da. t

x0 = (I − eωA)−1

∫ ω

0


Xet ham so

x(t) := etAx0 +

∫ t

0

e(t−ξ)Af(ξ)dξ, t ∈ [0, ω] (1.50)

D- ay la mo. t nghie.m cu’a (1.49) tren [0, ω], co tınh chat x(ω) =x(0) = x0. D- a.t y(t) = x(t+ ω). Khi do


y(t) = x(t+ ω)

= Ax(t+ ω) + f(t+ ω)

= Ay(t) + f(t).

Ho.n nu.a, y(0) = x(ω) = x(0). Do tınh duy nhat nghie.m cu’a baitoan Cauchy

z(t) = Az(t) + f(t)z(0) = x0

ta suy ra y(t) = x(t), tu.c la x(t + ω) = x(t), ∀t. De thay doi vo.imoi nghie.m tuan hoan y(t) vo.i chu ky ω thı

(I − eωA)y(0) =

∫ ω

0


Va.y y(0) = x(0) = x. Do tınh duy nhat nghie.m cu’a bai toanCauchy, y(t) = x(t), tu.c la co duy nhat nghie.m tuan hoan chu kyω.

Chung ta da xet phu.o.ng trınh trong Cn. Bai toan tu.o.ng tu.. chophu.o.ng trınh trong Rn co the’ du.o.. c xet. Khi do dieu kie.n 1 ∈ σ(eωA)thay bang tınh kha’ ngu.o.. c cu’a ma tra.n thu.. c I−eωA. D- oi vo.i phu.o.ngtrınh co he. so tuan hoan, neu phu.o.ng trınh trong Cn thı bang cachdu.a ve phu.o.ng trınh co he. so hang so ta du.o.. c dieu kie.n can va du’

la 1 ∈ σ(M), trong do M la toan tu.’ monodromy. D- oi vo.i phu.o.ngtrınh thu.. c co he. so tuan hoan, cach du.a ve phu.o.ng trınh co he. sohang so se lam rac roi them vı chı’ biet ton ta. i phep dan tuan hoanchu ky 2ω. Tuy nhien co the’ du.. a theo cach ly lua.n tren de’ chu.ngminh rang dieu kie.n can va du’ la ma tra. n thu.. c I −M kha’ ngu.o.. c,trong do M la ma tra.n monodromy.

1.4.2. Nghie.m gio.i no. i

D- e’ nghien cu.u dieu kie.n Perron tru.o.c het ta xet mo. t ket qua’

bo’ tro.. sau day.

D- i.nh nghıa 1.4 Phu.o.ng trınh thuan nhat

x(t) = Ax(t), x(t) ∈ Cn (1.51)

du.o.. c go. i la hyperbolic neu iR ∩ σ(A) = .


Me.nh de 1.4 Neu phu.o.ng trınh thuan nhat (1.51) hyperbolic,thı ton ta. i mo. t phep chieu P : Cn → Cn va cac hang so du.o.ngK,α sao cho

‖PetAP‖ ≤ Ke−αt, ∀t ≥ 0; ‖(I−P )esA(I−P )‖ ≤ Keαs, ∀s ≤ 0.(1.52)

Chu.ng minh. Theo D- i.nh ly Anh Xa. Pho’ ta thay σ(eA) khongchu.a vong tron do.n vi. va do do nhu. da biet trong D- a. i so tuyen tınhco the’ chı’ ra phep chieu P : Cn → Cn sao cho Cn = ImP ⊕KerP ,PeA = eAP va σ(PeAP ) chınh la phan pho’ cu’a eA trong hınh trondo.n vi. con σ((I−P )eA(I−P )) la phan cu’a σ(eA) nam ngoai vongtron do.n vi.

1.

D- i.nh ly 1.16 (D- i.nh ly Perron) D- ieu kie. n can va du’ de’ phu.o.ng

trınh khong thuan nhat (1.49) co nghie.m duy nhat gio.i no. i trentoan tru. c vo

.i moi f gio.i no. i cho tru.o.c la iR ∩ σ(A) = .

Chu.ng minh. Can: Gia’ su.’ xf la nghie.m gio.i no. i duy nhat vo.imoi f gio.i no. i cho tru.o.c. Gia’ su.’ f la ω tuan hoan. Khi do ta sechu.ng minh nghie.m duy nhat xf cung ω-tuan hoan. Tha. t va.y, da. ty(t) = xf (t+ ω). Ta co

y(t) = x(t+ ω)

= Ax(t+ ω) + f(t+ ω)

= Ay(t) + f(t).

Va.y y(t) cung la mo. t nghie.m gio.i no. i cu’a phu.o.ng trınh khongthuan nhat (1.49). Do gia’ thuyet ve tınh duy nhat nghie.m gio.i no. ivo.i f cho tru.o.c nen y(t) = xf (t), hay la xf (t+ ω) = xf (t), ∀t, tu.cla xf la ω-tuan hoan. Va.y thı theo D- i.nh ly tren 2πiZ/ω∩σ(A) = .Do ω tuy y nen suy ra iR ∩ σ(A) = .D- u’: Vo.i moi ham f cho tru.o.c ta la.p ham Gf nhu. sau:

Gf(t) =

∫ t

−∞Pe(t−ξ)APf(ξ)dξ−

∫ +∞

t

(I−P )e(t−ξ)A(I−P )f(ξ)dξ, t ∈ R.

(1.53)

1Phep chieu P nay co the’ nha.n du.o.. c nho. cong thu.c tıch phan Riesz sauday: P = 1

2πi

∫γ(λI − eA)−1dλ, trong do γ chınh la du.o.ng tron do.n vi. di.nh

hu.o.ng du.o.ng. Tıch phan nay tu.o.ng u.ng vo.i χ(A) trong do χ(z) la ham da.ctru.ng cu’a hınh tron do.n vi..


Theo me.nh de tren su.. ho. i tu. cu’a tıch phan trong bie’u thu.c la rorang. Ngoai ra vi phan tru.. c tiep ta co Gf(·) la mo. t nghie.m gio.ino. i. Tınh duy nhat co the’ chu.ng minh du.o.. c de dang bang cachchı’ ra phu.o.ng trınh thuan nhat chı’ co duy nhat nghie.m gio.i no. i langhie.m tam thu.o.ng.

Nha.n xet 1.3 Ta co cac nha. n xet sau day:

1. Toan tu.’ G u.ng moi ham f gio.i no. i vo.i nghie.m gio.i no. i Gf

du.o.. c go. i la toan tu.’ Green.

2. D- oi vo.i phu.o.ng trınh co he. so tuan hoan chu ky τ , chungta co the’ phat bie’u mo. t dieu kie. n tu

.o.ng tu.. cho toan tu.’

monodromy (tu.c la anh xa. tuyen tınh xac di.nh bo.’ i ma tra. n

Cauchy X(τ, 0)). Khi do dieu kie. n se la σ(X(τ, 0))∩z ∈ C :|z| = 1 = .

3. Co the’ chı’ ra pha’n vı du. chu.ng to’ rang doi vo.i phu.o.ng trınh

co he. so tuan hoan cac gia tri. rieng cu’a ma tra. n A(t), ∀t ∈ R

khong dong vai tro gı trong su.. ton ta. i nghie.m gio.i no. i cu’aphu.o.ng trınh khong thuan nhat, cung nhu. tınh o’n di.nh cu’ahe. thuan nhat.

1.4.3. Cac khong gian ham chap nha.n du.o.. c

Trong u.ng du.ng phu.o.ng trınh thuan nhat thu.o.ng mo ta’ he.thong, con f da. c tru

.ng cho ngoa. i lu.. c, thu

.o.ng go. i la so ha.ng cu.o.ngche (forcing term), hay “dau vao” (input). Mo.t bai toan quan tro.ngsau day la no. i dung chınh cu’a ly thuyet cac khong gian ham chapnha.n du.o.. c.

Bai toan: Gia’ su.’ cho tru.o.c mo. t khong gian hamM. Vo.i dieu kie. nnao da. t len A de’ vo.i moi f ∈ M ton ta. i duy nhat mo. t nghie.m xfcu’a phu.o.ng trınh khong thuan nhat (1.49) ?

1.4.4. Nghie.m gio.i no. i tren nu.’ a tru. c

Co the’ da. c tru.ng tınh hyperbolic cu’a he. tuyen tınh thuan nhatqua su.. ton ta. i (khong duy nhat) nghie.m gio.i no. i tren nu.’ a tru. cdu.o.ng vo.i moi ham cu.o.ng bach (forcing term) f cho tru.o.c trennu.’ a tru. c. Tuy nhien, vie.c chu

.ng minh da. c tru.ng nay kha phu.c ta.p

so vo.i chu.ng minh di.nh ly Perron o.’ tren. Gia’ su.’ σ(A) ∩ iR = .Khi do ton ta. i phep chieu P : Rn → Rn sao cho PA = AP , va


σ(A|ImP ) = λ ∈ σ(A) : Reλ < 0,σ(A|KerP = λ ∈ σ(A) : Reλ > 0.

Ta nhac la.i rang BC(R+,Rn) := g : [0,+∞)→ Rn lien tu. c va gio.i no. i.

D- i.nh ly 1.17 Vo.i gia’ thiet va ky hie. u tren, vo.i mo. i f ∈ BC(R+,R

n)cac kha’ ng di.nh sau day la dung:

1. Phu.o.ng trınh (1.49) co ıt nhat mo. t nghie.m gio.i no. i tren nu

.’ atru. c, cho bo

.’ i cong thu.c:

xf(t) =

∫ t

0

e(t−ξ)APf(ξ)dξ−∫ +∞

t

e(t−ξ)A(I−P )f(ξ)dξ, ∀t ∈ R+,

(1.54)

2. Mo. i nghie.m y(t), t ∈ R+, gio.i no. i tren nu

.’ a tru. c R+, deu coda. ng

y(t) = etAy0 + xf(t), y0 ∈ ImP, ∀t ∈ R+. (1.55)

Chu.ng minh. (1) Du.. a vao danh gia

‖etAPx‖ ≤ Ne−αt, ∀t ≥ 0, ‖esA(I − P )‖ ≤ Ne−αs, ∀s ≤ 0

vo.i hai so du.o.ng N,α nao do xac di.nh tu. A, ta co the’ chı’ ra ngayxf la ham gio.i no. i. Thu

.’ tru.. c tiep suy ra ngay xf la nghie.m cu’a(1.49).(2) Dung nguyen ly chong chat nghie.m suy ra hie.u y(t)− xf(t) =z(t) la mo. t nghie.m gio.i no. i cu’a phu.o.ng trınh thuan nhat tu.o.ngu.ng. Va.y thı z(t) pha’i co da.ng z(t) = etA(Pz(0) + (I − P )z(0)).Neu (I−P )z(0) = 0 thı nghie.m z(t) khong the’ gio.i no. i du

.o.. c. Va.yta du.o.. c dieu can chu.ng minh.

1.5. BAI TOAN BIEN

1.5.1. Bai toan bien thuan nhat

Xet phu.o.ng trınh tuyen tınh

x = P (t)x, (1.56)

trong do P : (a, b)→ Cn×n la ham gia tri. ma tra.n lien tu. c. Ta xetbai toan sau: Tım nghie.m x(t) cu’a phu.o.ng trınh (1.56) tho’a mandieu kie.n bien sau day:


Ax(α) +Bx(β) = 0, (1.57)

trong do A,B ∈ Rn×n la hai ma tra.n, va α, β ∈ (a, b) la hai so thu.. ccho tru.o.c.

Gia’ su.’ Φ(t) la ma tra.n co. ba’n chua’n hoa (tu.c la Φ(0) = I , matra.n do.n vi.) cu’a phu.o.ng trınh (1.56). Ta se tım nghie.m trong da.ngsau

x(t) = Φ(t)C, C ∈ Cn. (1.58)

Tu. dieu kie.n bien suy ra

[A +BΦ(β)]C = 0.

Do do bai toan bien (1.56) va (1.57) co nghie.m khong tam thu.o.ngkhi va chı’ khi

∆ := det[A +BΦ(β)] = 0.

Gia’ su.’

Q = (t, s) : α ≤ t ≤ β;α ≤ s ≤ β, s = t.D- i.nh nghıa 1.5 Anh xa. G : Q → Cn×n du.o.. c go. i la ham Greencu’a bai toan bien (1.56) va (1.57) neu no tho’a man cac dieu kie. nsau:

1.dG

dt= P (t)G, ∀t ∈ [α, s), t ∈ (s, β]

2. AG(α, s) +BG(β, s) = 0,

3. G(s + 0, s)−G(s− 0, s) = I , (I la toan tu.’ do.n vi.).

Tu. ly thuyet he. phu.o.ng trınh tuyen tınh ta co the’ bie’u dien G(t, s)

du.o.i da.ng sau:

G(t, s) =

Φ(t)S(s), α ≤ t < s,Φ(t)T (s), s < t ≤ β.

Theo cac dieu kie.n cu’a ham Green ta co

AS +BΦ(β)T = 0, Φ(S − T ) = I.

Do do

S − T = −Φ−1

S(s) = −[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)Φ−1(s),

T (s) = I − [A+BΦ(β)]−1BΦ(β)Φ−1(s).


Va.y thı G(t, s) xac di.nh mo.t cach do.n tri. tu. cong thu.c

G(t, s) =

−Φ(t)[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)Φ−1(s), α ≤ t < s,

Φ(t)I − [A+BΦ(β)]−1BΦ(β)Φ−1(s), s < t ≤ β.(1.59)

Tu. (1.59) va da’ ng thu.c

dΦ−1

dt= −Φ−1P

ta codG

ds= −GP (s),

G(t, t− 0)−G(t, t+ 0) = I.

1.5.2. Phu.o.ng trınh khong thuan nhat

Xet bai toan bien khong thuan nhat sau:

x = P (t)x+ q(t), t ∈ (a, b) (1.60)

0 = Ax(α) +Bx(β), (1.61)

trong do q : (a, b)→ Cn la ham lien tu. c cho tru.o.c.

D- i.nh ly 1.18 Neu ∆ = 0 thı bai toan bien khong thuan nhat(1.60) va (1.61) co nghie.m duy nhat xac di.nh bang cong thu

.c

x(t) =

∫ β

α

G(t, s)q(s)ds, (1.62)

trong do G(t, s) la ham Green cu’a phu.o.ng trınh thuan nhat (1.56)va (1.57).

Chu.ng minh. D- e’ chı’ ra ham x(t) la nghie.m cu’a phu.o.ng trınh(1.60) ta bie’u dien ham nay du.o.i da.ng

x(t) =

∫ t

α

G(t, s)q(s)ds+

∫ β

t

G(t, s)q(s)ds,

tu. do suy ra

x(t) = G(t, t− 0)q(t) +

∫ t

α

P (t)G(t, s)q(s)ds−G(t, t− 0)q(t)

+

∫ β

t

P (t)G(t, s)q(s)ds

= P (t)x(t) + q(t).


Tiep theo ta co

Ax(α) +Bx(β) =

∫ β

α

AG(α, s)q(s)ds+

∫ β

α

BG(β, s)q(s)ds

=

∫ β

α

[AG(α, s) +BG(β, s)]q(s)ds

= 0.

The thı ta da chu.ng minh du.o.. c (1.62) la nghie.m cu’a (1.60).

Bay gio. ta chu.ng minh tınh duy nhat. Gia’ su.’ ta co hai nghie.mx1(t) va x2(t) cu’a phu.o.ng trınh (1.60) va (1.61). Khi do ϕ(t) :=x1(t) − x2(t) la nghie.m cu’a phu.o.ng trınh thuan nhat (1.56) va(1.57). Theo dieu kie.n ∆ = 0 ta co ϕ(t) = 0, ∀t ∈ (a, b).

Nha.n xet 1.4 D- i.nh ly tren cho dieu kie. n du’ to’ng quat ho.n dieu

kie. n du’ cho su.. ton ta. i nghie.m tuan hoan trong D- i.nh ly 1.15 da biet

trong mu. c tru.o.c.

1.6. PHU.O.NG TRINH TUYEN TINH BA. C CAO


x(n) + p1(t)x(n−1) + · · ·+ pn(t)x = q(t), (1.63)

trong do x = x(t) la ham vo hu.o.ng, pk(t), q(t) la ham lien tu. c trenkhoa’ng (a, b) ⊂ R. Phu.o.ng trınh tren du.o.. c go. i la phu

.o.ng trınh viphan tuyen tınh cap n.

D- a. t

z1(t) = x(t), z2(t) = x2(t), · · · , zn(t) = x(n−1)(t)

ta co

z(t) = A(t)z(t) +Q(t), t ∈ (a, b), (1.64)

trong do

A :=

0 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0...

......

......

...0 0 0 · · · 0 1p1 p2 p3 · · · pn−1 pn

, Q :=

00...0q

, (1.65)


Ma tra. n da.ng tren cu’a A du.o.. c go. i la ma tra.n Sylvester. Bang cachdu.a phu.o.ng trınh cap cao ve he. phu

.o.ng trınh ba.c nhat, ve nguyentac thı ro rang vie.c gia’i phu

.o.ng trınh ba.c cao hoan toan thu.. c hie.ndu.o.. c. Tuy va.y doi vo.i he. phu

.o.ng trınh ba.c nhat co ma tra. n he. soda.ng Sylvester, vie.c tım he. nghie.m co. ba’n co thua.n lo.. i ho

.n. D- ocung chınh la mu. c dıch cu’a mu.c nay.

Bo’ de 1.3 He. cac ham tkjeλjt, j = 1, 2, · · · , N, trong do kj ∈N, λj ∈ C la he. cac ham do. c la. p tuyen tınh tren R khi va chı’ khi(kj, λj) = (km, λm) vo

.i mo. i j = m.

Chu.ng minh. Tru.o.c het ta chu.ng minh kha’ ng di.nh: neu

N∑j=1

Pj(t)eλjt = 0, ∀t,

trong do Pj(t) la cac da thu.c theo t, thı Pj(t) = 0, ∀t, ∀j. Ta sechu.ng minh bang quy na.p. gia’ su

.’ vo.i N − 1 cong thu.c tren dung.Ta chia hai ve cho eλN t va du.o.. c

N−1∑j=1

Pj(t)e(λj−λN )t + PN (t) ≡ 0.

D- a.o ham theo t mo.t so lan thıch ho.. p (bang ba.c cu’a PN ) ta co

N−1∑j=1

Qj(t)e(λj−λN )t ≡ 0

trong do Qj co ba.c bang ba.c cu’a Pj. Theo gia’ thiet quy na.p thıQj(t) ≡ 0. Do do Pj(t) ≡ 0.

Ap du.ng kha’ ng di.nh nay vao chu.ng minh bo’ de thı ta du.o.. cngay dieu can chu.ng minh.

Bay gio. ta xet tru.o.ng ho.. p phu.o.ng trınh co he. so hang so tu.cla pj(t) ≡ const. D- a.t

f(λ) = λn + p1λn−1 + · · ·+ pn−1λ + pn.

D- a thu.c f(λ) du.o.. c go. i la da thu.c da. c tru.ng, con phu.o.ng trınhf(λ) = 0 du.o.. c go. i la phu.o.ng trınh da. c tru.ng. Cac nghie.m cu’aphu.o.ng trınh da. c tru.ng du.o.. c go. i la nghie.m da.c tru.ng.


Bo’ de 1.4 Gia’ su.’ λ1 la mo. t nghie.m da. c tru.ng bo. i k cu’a phu

.o.ngtrınh vi phan tuyen tınh ba. c n co he. so hang so (1.63). Khi dohe. eλ1t, teλ1t, · · · , tk−1eλ1t la he. k nghie.m do. c la. p tuyen tınh cu’aphu.o.ng trınh (1.63).

Chu.ng minh. D- a. t Lu := u(n) + p1u(n−1) + · · ·+ pnu. Khi do de

dang chu.ng minh du.o.. c

L(tmeλ1t) =m∑ν=1

Cνmf

(ν)(λ1)tm−νeλ1t, 0 ≤ m ≤ k − 1.

Vı λ1 la nghie.m bo. i k nen f(λ) = f ′(λ) = · · · = f (k−1)(λ1) = 0. Do0 ≤ m ≤ k− 1 nen L(tmeλ1t) ≡ 0. Ap du.ng bo’ de tren ta thu du.o.. ctınh do. c la.p tuyen tınh cu’a he. nay.

He. qua’ tru.. c tiep cu’a hai bo’ de tren la di.nh ly sau day:

D- i.nh ly 1.19 Gia’ su.’ phu.o.ng trınh da. c tru.ng co cac nghie.m

λ1, · · · , λl vo.i cac bo. i tu.o.ng u.ng la m1, · · · , ml. Khi do he. cacham eλjt, teλjt, · · · , tmj−1eλjt, j = 1, · · · , l la he. nghie.m co. ba’ncu’a phu.o.ng trınh (1.63).

Nha.n xet 1.5 Tru.o.ng ho.. p cac he. so thu.. c ta co the’ tım he. nghie.m

co. ba’n thu.. c nhu. sau: trong di.nh ly tren thay vı cho. n cac ham phu

.ctkeλt, tkeλt ta lay ca. p ham thu.. c sau t

keReλt cos(λt), tkeReλt sin(λt).

1.7. SU.

. PHU. THUO. C LIEN TU. C THEO D- IEU KIE. N

BAN D- AU VA THEO THAM SO

Trong mu.c nay ta gia’ su.’ bai toan Cauchy u.ng vo.i phu.o.ng trınh

dx

dt= f(t, x, µ), µ ∈ Λ,

trong do Λ la mo. t ta. p con mo.’ cu’a khong gian Rm nao do, gia’i du.o.. ctren toan khoa’ng (a, b) vo.i moi µ ∈ Λ. D- e’ co dieu nay ta gia’ thietnhu. trong D- i.nh ly Ton ta. i Toan cu. c, tu

.c la :

1. f : (a, b)×Rn → Rn lien tu. c theo t, x, µ va Dxf , Dµf ton ta. iva lien tu. c;


2. Co cac hang so M0,M1,M2 sao cho:

‖f(t, x, µ)‖ ≤ M1 +M0‖x‖, ∀t ∈ (a, b); x ∈ Rn;µ ∈ Λ

‖f(t, x, µ)− f(t, y, µ)‖ ≤ M2‖x− y‖, ∀t ∈ (a, b); x, y ∈ Rn;µ ∈ Λ.

Ta se ky hie.u x = x(t, t0, x0, µ) la nghie.m cu’a bai toan Cauchyx(t) = f(t, x, µ), t ∈ (a, b)x(t0) = x0.

(1.66)

Bai toan da. t ra o.’ day la vo.i cac dieu kie.n gı nghie.m x(t, t0, x0, µ)se phu. thuo. c lien tu. c va kha’ vi theo x0, µ.

Bo’ de 1.5 Gia’ su.’ X va Y la hai khong gian Banach, U la ta. p conmo.’ trong X va J la khoa’ng compac trong R. Neu F : J × U → Yla anh xa. lien tu. c, anh xa. ho

.. p thanh x → F (·, x(·)) : C(J, U) →

C(J, U) la lien tu. c. Neu (t, x) → ∂∂xkF (t, x) lien tu. c tren J ×U vo.i

k = 0, 1, . . . , r, thı anh xa. ho.. p thanh thuo. c lo

.p Ck.

Chu.ng minh. Neu xn, x ∈ C(J, U) va xn(t) → x(t) deu tren Jkhi n → ∞ nhu.ng ‖F (·, xn(·)) − F (·, x(·))‖C(J,U ) ≥ ε > 0, se tonta. i tn ∈ J vo.i ‖F (tn, xn(tn)) − F (tn, x(tn))‖ ≥ ε/2 vo.i n du’ lo.n.Do J compac, ton ta. i day con tnk

ho. i tu. to.i t∗ ∈ J . D- ieu nay mauthuan vo.i gia’ thiet ve tınh lien tu. c cu’a F .

D- oi vo.i 1 ≤ k ≤ r, ham ∂k

∂xkF tho’a man cac dieu kie.n cu’a tru.o.ngho.. p r = 0, va lien tu. c deu tren ta.p (t, x(t)), t ∈ J neu x ∈ C(J, U).Dung khai trie’n Taylor cu’a F co the’ chı’ ra ham ho.. p thuo.c lo

.p Cr.

D- i.nh ly 1.20 Vo.i nhu.ng gia’ thiet lie. t ke tren doi vo.i ham f , neu

ky hie.u x(t, τ, ξ, µ) la nghie.m cu’a bai toan Cauchyx = f(t, x, µ)x(τ ) = ξ,

(1.67)

thı vo.i moi t ∈ J ⊂ (a, b) anh xa.

Rm × Λ (ξ, µ) → x(t, τ, ξ, µ) ∈ R

n (1.68)

kha’ vi lien tu. c. Cac da. o ham u(t) = Dξx(t) va v(t) = Dµx(t) lacac nghie.m cu’a phu.o.ng trınh

u(t) = Dxf(t, x(t), µ)u(t),u(τ ) = I,

(1.69)

v(t) = Dxf(t, x(t), µ)v(t) +Dµf(t, x(t), µ),v(τ ) = 0.

(1.70)


Chu.ng minh. Theo chu.ng minh cu’a D- i.nh ly Ton ta. i Toan cu. c,nghie.m x(t, τ, ξ, µ) la die’m bat do.ng cu’a toan tu.’

G(x, ξ, µ)(t) = ξ +

∫ t

τ

f(s, x(s), µ)ds, t ∈ J. (1.71)

G la anh xa. co deu. Anh xa. (x, µ) → f(·, x(·), µ) kha’ vi lien tu. c, vıva.y G thuo.c lo.p C1. Do do die’m bat do. ng cung thuo.c lo.p C1.

Chu.o.ng 2

CAC PHU.O.NG PHAP D- I.NH LU

.O.

. NG

2.1. MO. T SO PHU.O.NG PHAP TICH PHAN CAC

PHU.O.NG TRINH VI PHAN

2.1.1. Cac phu.o.ng phap tıch phan cac lo.p phu.o.ng trınhthu.o.ng ga.p

Mo.t so khai nie.m co. ba’n

Xet phu.o.ng trınh vi phan da.ng

y′ = f(x, y), (2.1)

trong do f : G ⊂ R2 → R la ham lien tu. c cho tru.o.c.

D- i.nh nghıa 2.1 Vo.i cac ky hie.u tren ta co cac di.nh nghıa sauday:

1. Gia’ su.’ trong mo. t mien G cu’a ma. t pha’ ng (x, y) nghie.m cu’abai toan Cauchy doi vo.i phu.o.ng trınh (2.1) ton ta. i va duynhat. Ham so y = φ(x, C) du.o.. c go. i la nghie.m to’ng quat cu’a(2.1) trong G neu trong mien bien thien cu’a x, C ham so nayco da. o ham rieng lien tu. c theo x va tho’a man cac dieu kie. nsau:

(a) ∂φ∂C= 0.

(b) Ham φ(x, C) tho’a man (2.1).

2. Nghie.m rieng la mo. t nghie.m cu’a phu.o.ng trınh ta. i moi die’mcu’a no D- i.nh ly Ton ta. i va Duy nhat Nghie.m tho’a man.

3. Nghie.m ky di. la nghie.m ma ta. i moi die’m cu’a no mat tınhduy nhat nghie.m.

Phu.o.ng trınh co bien so phan ly

Phu.o.ng trınh khong chu.a ham pha’i tım. D- o la phu.o.ng trınhda.ng

dy

dx= f(x),

44

Chu.o.ng 2. Cac phu.o.ng phap di.nh lu.o..ng 45

trong do f la ham lien tu. c trong mo.t khoa’ng (a, b) nao do. Ro rangtrong tru.o.ng ho.. p nay

y(x) =

∫f(ξ)dξ

la nghie.m to’ng quat cu’a phu.o.ng trınh dang xet. Neu (x0, y0) ∈G := a < x < b;−∞ < y <∞ thı nghie.m cu’a phu.o.ng trınh trenqua die’m (x0, y0) la

y =

∫ x

x0

f(τ )dτ + y0.

Vı du. 2.1 Xet phu.o.ng trınh:

dy

dx= 3x2. (2.2)

Ham so

y =

∫3x2dx+ C = x3 + C

la nghie.m to’ng quat cu’a phu.o.ng trınh dang xet trong mien

−∞ < x <∞,−∞ < y <∞.

Phu.o.ng trınh khong co nghie.m ky di. va nghie.m tho’a man dieukie.n ban dau y(x0) = y0 la

y = y0 + x3 − x30.

Phu.o.ng trınh khong chu.a bien do. c la. p. D- o la phu.o.ng trınh co da.ng

dy

dx= f(y).

Nghie.m to’ng quat cu’a phu.o.ng trınh nay co da.ng

x =

∫1

f(y)dy.


dy

dx= 1 + y2, (2.3)

46 Chu.o.ng 2. Cac phu.o.ng phap di.nh lu.o..ng

trong do f(y) xac di.nh va lien tu. c vo.i mo. i y va luon du.o.ng. Nghie.m

tho’a man dieu kie.n ban dau y(x0) = y0 la

x− x0 =

∫ y

y0

du

1 + u2.

Hay laarctg y − arctg y0 = x− x0.

trong tru.o.ng ho.. p rieng, neu x0 = y0 = 0 thı nghie.m rieng tu.o.ngu.ng se la

arctg y = x⇐⇒ y = tg x, −π2< x <

π

2.

Phu.o.ng trınh vo.i bien so phan ly. D- o la phu.o.ng trınh co da.ng

X(x)dx+ Y (y)dy = 0.

Phu.o.ng trınh nay co tıch phan to’ng quat da.ng∫X(x)dx+

∫Y (y)dy = C.

Vı du. 2.3 Tım tıch phan to’ng quat va tu. do tım du.o.ng congtıch phan di qua (0, 0) cu’a phu.o.ng trınh

xdx+ (y + 1)dy = 0.

Tıch phan to’ng quat co da.ng∫xdx+

∫(y + 1)dy = C.

Thay x = 0, y = 0 vao bie’u thu.c ta du.o.. c C = 0. Va.y du.o.ng congtıch phan di qua goc to.a do. la

x2 + y2 + 2y = 0.

Phu.o.ng trınh vo.i bien so phan ly du.o.. c. D- o la cac phu.o.ng trınh coda.ng

m1(x)n1(y)dx+m2(x)n2(y)dy = 0.

D- a. t X(x) = m1(x)/m2(x);n1(y)/n2(y) ta du.a ve du.o.. c da.ng da xeto.’ tren.



x(1 + y2)dx+ y(1 + x2)dy = 0.

Phan ly bien so ta co

xdx

1 + x2+

ydy

1 + y2= 0.

Tıch phan to’ng quat co da.ng

(1 + x2)(1 + y2) = C2.

Ta. i goc to.a do. hu.o.ng tru.o.ng khong xac di.nh. Khong co du.o.ngcong tıch phan di qua do hoa. c gan to.i do.

2.1.2. Phu.o.ng trınh thuan nhat va phu.o.ng trınh du.a vedu.o.. c da.ng nay

Phu.o.ng trınh thuan nhat

Ham f(x, y) du.o.. c go. i la thuan nhat cap m neu vo.i mo. i t

f(tx, ty) = tmf(x, y).

Neu dong nhat thu.c tren chı’ dung vo.i t > 0 ta noi f la ham thuannhat du.o.ng. Tu.o.ng tu.. ta di.nh nghıa ham thuan nhat am. Phu.o.ngtrınh

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

du.o.. c go. i la phu.o.ng trınh thuan nhat neu M,N la cac ham thuannhat cung ba. c. Phu

.o.ng trınh nay co the’ du.a ve da.ng

dy

dx= φ(

y

x).

Dung phep the bien y = xz ta co the’ du.a no ve da.ng phu.o.ng trınhco bien phan ly.

Vı du. 2.5 Tıch phan phu.o.ng trınh

(x2 + 2xy − y2)dx+ (y2 + 2xy − x2)dy = 0,

va tım du.o.ng cong tıch phan di qua die’m (2, 2).D- a. t y = zx thı ta co


dy = zdx+ xdz.

The vao phu.o.ng trınh tren ta du.o.. c

(x2 + 2zx2 − z2x2)dx+ (z2x2 + 2xz − x2)(zdx+ xdz) = 0.

Hay laz3 + z2 + z + 1)dx+ (z2 + 2z − 1)xdz = 0.

Tıch phan phu.o.ng trınh vo.i bien phan ly nay ta du.o.. c

ln |x| − ln |z + 1|+ ln |z2 + 1| = ln |C1|.Hay la

x(z2 + 1)

z + 1= C.

Quay la. i bie’u thu.c cu ta du.o.. c

x2 + y2

x+ y= C.

D- ay la ho. du.o.ng tron. Nghie.m tho’a man y(2) = 2 la

(x− 1)2 + (y − 1)2 = 0.

Phu.o.ng trınh do.n gia’n du.a du.o.. c ve phu.o.ng trınh thuannhat

Xet phu.o.ng trınh

dy

dx= f(

a1x+ b1y + c1a2x+ b2y + c2

).

Neu

det

(a1 b1a2 b2

)= 0

thı bang phep the x = u+ αy = v + β

trong do u, v la cac bien mo.i, α, β xac di.nh tu. he. phu.o.ng trınh da. i

so a1α+ b1β + c1 = 0a2α+ b2β + c2 = 0

ta du.a du.o.. c ve phu.o.ng trınh thuan nhat

dv

du= f(

a1u+ b1v

a2u+ b2v).



(x+ y − 2)dx+ (x− y + 4)dy = 0.

Phu.o.ng trınh tren co the’ viet la. i nhu. sau:

dy

dx= −x+ y − 2

x− y + 4.

Ap du.ng phep the

x = u+ α

y = v + β

trong do α, β du.o.. c xac di.nh tu. he. phu.o.ng trınh

α+ β − 2 = 0α− β + 4 = 0.

(2.4)

Gia’i phu.o.ng trınh nay ta du.o.. c

α = −1, β = 3.

Nhu. va.y vo.i bien mo.i u, v ta co phu.o.ng trınh

du

dv= −u+ v

u− v.

Hay la(u+ v)du+ (u− v)dv = 0.

Gia’i phu.o.ng trınh thuan nhat nay ta co

u2 + 2uv − v2 = C.

Thay la. i bie’u dien u, v qua x, y ta du.o.. c tıch phan to’ng quat

x2 + 2xy − y2 − 4x + 8y = C.

2.1.3. Phu.o.ng trınh tuyen tınh

Xet phu.o.ng trınh

y′ + p(x)y = q(x).

Da.ng phu.o.ng trınh nay chung ta da xet kha ky trong phan ly

thuyet phıa tren. O.’ day chung ta chı’ nhan ma.nh rang tru.o.ng ho.. p

mo.t chieu co the’ tıch phan du.o.. c du.o.i da.ng

y = e− ∫ x

x0p(τ )dτ

(y0 +

∫ x

x0

q(τ )e∫ xx0

p(s)ds

).


Vı du. 2.7 Tım nghie.m to’ng quat cu’a phu.o.ng trınh

dy

dx− 2x

1 + x2y = 0,

va du.o.ng cong tıch phan di qua die’m (1, 2). Theo cong thu.c trenta co nghie.m to’ng quat cu’a phu.o.ng trınh la

y = Cexp(

∫2xdx

1 + x2) = Cexp(ln(1 + x2)) = C(1 + x2).

Do do nghie.m di qua die’m (1, 2) la

y = 2exp(

∫ x

1

2τdτ

1 + τ 2) = 1 + x2.

2.1.4. Phu.o.ng trınh du.a du.o.. c ve da.ng phu.o.ng trınhtuyen tınh

Phu.o.ng trınh Becnuli

D- o la phu.o.ng trınh co da.ng sau:

y′ + p(x)y = q(x)yα, (2.5)

trong do p(x), q(x) la cac ham lien tu. c tren khoa’ng (a, b) va α lacac so thu.. c bat ky khac 0 va 1 (vı neu α = 1 thı (2.5) tro.’ thanhphu.o.ng trınh co bien so phan ly, con neu α = 0 thı phu.o.ng trınh(2.5) tro.’ thanh phu.o.ng trınh tuyen tınh). Phu.o.ng trınh (2.5) du.adu.o.. c ve phu.o.ng trınh tuyen tınh bang phep the bien y−α+1 = z,trong do z la ham pha’i tım. Neu α > 0 thı phu.o.ng trınh (2.5) conghie.m y(x) ≡ 0. D- ay la nghie.m rieng neu α > 1, va la nghie.m kydi. neu 0 < α < 1.

Vı du. 2.8 Tıch phan phu.o.ng trınh sau:

y′ +x

1− x2y = x

√y.

D- ay la phu.o.ng trınh Becnuli vo.i α = 1/2. Bang cach da. t

z = y1−α =√y

ta du.o.. c

z′ +x

2(1− x2)z =

1

2x.


Tıch phan phu.o.ng trınh tuyen tınh nay ta du.o.. c

z = C4√1− x2 − 1

3(1− x2).

Va.y ta co√y = C

4√1− x2 − 1

3(1− x2)

la tıch phan to’ng quat cu’a phu.o.ng trınh xuat phat.

Phu.o.ng trınh D- acbu

D- o la phu.o.ng trınh da.ng

M(x, y)dx+N(x, y)dy + P (x, y)(xdy − ydx) = 0, (2.6)

trong do M,N la cac ham thuan nhat cap m, con P la ham thuan

nhat cap l (l = m − 1). O.’ day mo.t trong hai ham M,N co the’

dong nhat bang khong. Neu N ≡ 0, bang phep the bien

y = zx

ta du.a du.o.. c phu.o.ng trınh D- acbu ve phu.o.ng trınh Becnuli vo.i ham

pha’i tım x va bien do. c la.p z.

Vı du. 2.9 Tıch phan phu.o.ng trınh sau:

xdx+ ydy + x(xdy − ydx) = 0.

D- ay la phu.o.ng trınh D- acbu. D- a. t y = zx, ta du.a phu.o.ng trınh trenve da.ng

(1 + z2)dx+ (xz + x2)dz = 0.

Hay ladx

dz+

z

1 + z2x = − 1

1 + z2x2.

D- ay la phu.o.ng trınh Becnuli vo.i α = 2. Tıch phan to’ng quat cu’ano co da.ng

1

x= C

√1 + z2 + z.

Thay z = y/x ta du.o.. c tıch phan to’ng quat cu’a phu.o.ng trınh bandau la

C√x2 + y2 + y − 1 = 0.


2.1.5. Phu.o.ng trınh Ricati

Phu.o.ng trınh co da.ng

dy

dx= P (x)y2 +Q(x)y +R(x)

du.o.. c go. i la phu.o.ng trınh Ricati. Ta se gia’ thiet P,Q,R xac di.nhva lien tu. c trong khoa’ng (a, b). Noi chung khong pha’i nghie.m naocu’a phu.o.ng trınh nay cung thac trie’n du.o.. c len toan khoa’ng (a, b).Phu.o.ng trınh Ricati noi chung khong tıch phan du.o.. c bang cauphu.o.ng. Tuy nhien neu biet du.o.. c mo. t nghie.m y1 ta co the’ dungphep the

y = y1 +1

z

de’ du.a phu.o.ng trınh nay ve da.ng tuyen tınh.

Du.o.i day la mo. t so da.ng da. c bie.t cu’a phu.o.ng trınh Ricati mata co the’ tım du.o.. c mo. t so nghie.m rieng.

Neu phu.o.ng trınh co da.ng

y′ = Ay2 +B

xy +

C

x2,

trong do A,B,C la cac hang so va (B + 1)2 > 4AC , thı no conghie.m rieng

y1 =a

x,

trong do hang so a du.o.. c xac di.nh bang cach thay vao phu.o.ng trınhxuat phat. Do do bang phep the tiep theo y = z/x ta du.a du.o.. cphu.o.ng trınh ve da.ng phu.o.ng trınh vo.i bien so phan ly.

D- oi vo.i phu.o.ng trınh Ricati da.ng

y′ =ay2

x+

y

2x+ c

ta du.a ve da.ng phu.o.ng trınh vo.i bien so phan ly bang phep thebien

y = z√x,

va do do co the’ tıch phan du.o.. c bang cau phu.o.ng.

Vı du. 2.10 Tım nghie.m to’ng quat cu’a phu.o.ng trınh

y′ = −y2 + x2 + 1.


De thay y1 = x la nghie.m rieng cu’a phu.o.ng trınh. D- a. t

y = x+1

z

ta du.a phu.o.ng trınh ve da.ng

z′ − 2xz = 1.

Do do co tıch phan to’ng quat

z = ex2

(C +

∫e−x2

dx).

Tro.’ la. i bien cu ta du.o.. c

y = x+e−x2

C +∫e−x2dx

.


y′ =1

2y2 +

1

2x2.

Ta tım nghie.m rieng du.o.i da.ng

y1 =a

x.

Thay vao phu.o.ng trınh de’ tım a ta du.o.. c

a2 + 2a + 1 = 0.

Gia’i ra ta du.o.. c a = −1. Ap du.ng phep the

y = −1

x+

1

z

ta du.a du.o.. c phu.o.ng trınh ve da.ng tuyen tınh

z′ − 1

z= −1

2.

Gia’i phu.o.ng trınh tuyen tınh nay ta du.o.. c

z =x

2(C − ln |x|).

Tro.’ la. i bien cu ta co

y = −1

x+

2

x(C − ln |x|).


2.1.6. Phu.o.ng trınh vi phan hoan chı’nh

Phu.o.ng trınh vi phan hoan chı’nh

Xet phu.o.ng trınh

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

tren mien G ⊂ R2 du.o.. c go. i la phu.o.ng trınh vi phan hoan chı’nhneu ton ta. i mo. t ham so U kha’ vi tren G sao cho

dU(x, y) =M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0.

Neu G la mien do.n lien thı dieu kie.n can va du’ de’ co ham U tho’aman da’ ng thu.c tren la

∂M

∂y=

∂N

∂x. (2.7)

Co the’ xay du.. ng tıch phan to’ng quat tu. tıch phan da.ng sau day(noi chung se phu. thuo.c vao mien G)

∫ x

x0

M(x, y)dx+

∫ y

y0

N(x0, y)dy = C

hoa. c ∫ x

x0

M(x, y0)dx+

∫ y

y0

N(x, y)dy = C.

Thu.a so tıch phan

Neu (2.7) khong tho’a man ta co the’ tım mo.t ham so µ(x, y)sao cho nhan no vo.i hai ve ta du.o.. c mo. t phu.o.ng trınh vi phanhoan chı’nh. Ham so nhu. the du.o.. c go. i la thu.a so tıch phan. Nhu.ngtru.o.ng ho.. p da. c bie.t sau day vie.c tım thu.a so tıch phan co the’ chı’

ra de dang. Neu

∂M∂y− ∂N

∂x

N= ψ(x) ⇒ µ(x) = e

∫φ(x)dx,

∂M∂y− ∂N

∂x

−M = ψ(y) ⇒ µ(y) = e∫φ(y)dy.



(3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y + 4y3)dy = 0.

Ta co∂M

∂y=

∂N

∂x= 12xy.

Do do ap du. ng ly lua.n tren ta co tım tıch phan to’ng quat bang

x3 + 3x2y2 + y4 = C.

Vı du. 2.13 Cho phu.o.ng trınh

[1

x− y2

(x− y)2]dx+ [

x2

(x− y)2− 1

y]dy = 0.

De thay day la phu.o.ng trınh vi phan hoan chı’nh. Ap du.ng ly lua.ntren vo.i (x0, y0) = (1, 2) ta co∫ x

1

[1

x− y2

(x− y)2]dx+

∫ y

2

[x2

(x− y)2− 1

y]dy = C

la tıch phan to’ng quat cu’a phu.o.ng trınh. D- o.n gia’n bie’u thu.c bangcach tınh cac tıch phan tren ta du.o.. c

lnx

y+

xy

x− y= C.


(1− x2y)dx+ x2(y − x)dy = 0.

Tınh cac da. o ham rieng tu.o.ng u.ng ta co

∂M

∂y= −x2,

∂N

∂x= 2xy − 3x2.

Ro rang day khong pha’i la phu.o.ng trınh vi phan hoan chı’nh. Xet∂M∂y− ∂N

∂x

N=−x2 − 2xy + 3x2

x2(y − x)= −2

x:= ϕ(x).

Va.y ta co thu.a so tıch phan sau

µ(x) = exp(

∫ϕ(x)dx) =

1

x2.

Nhan vao hai ve thu.a so tıch phan tren ta se tım du.o.. c tıch phanto’ng quat cu’a phu.o.ng trınh la

−1

x− xy +

y2

2= C.

Ngoai ra phu.o.ng trınh tren co nghie.m rieng x = 0.


2.1.7. Phu.o.ng phap dung phan mem toan ho.c

Phu.o.ng phap nay ngay nay rat du.o.. c u.a chuo.ng vı no tiet kie.mtho.i gian. Maple va Mathematica la cac phan mem hie.n nay du.o.. csu.’ du.ng ro.ng rai. Du.o.i day chung ta lam quen vo.i phan mem toanho.c Maple V. Ve nguyen tac no xay du.. ng tren cac phu.o.ng phaptıch phan da xet o.’ tren. Dung phan mem nay cho phep ta tıchphan khong nhu.ng cac phu.o.ng trınh thong thu.o.ng o.’ tren bang soma con co the’ bang bie’u thu.c toan ho. c, ve tru

.o.ng cac hu.o.ng, bu.ctranh pha cu’a cac he. 2 va 3 chieu. Phan thu.. c hanh nay doi ho’ichung ta pha’i co them nhieu vı du. va do.c them cach su.’ du.ng phanmem.

Vı du. 2.15 Ta xet vı du. sau: Tım nghie.m cu’a phu.o.ng trınh:

y′′(x) + 5y′(x) + 6y(x) = 0, vo.i dieu kie.n y(0) = 0; y′(0) = 1.

> restart;

> with(DEtools);

[DEnormal , DEplot , DEplot3d , Dchangevar , PDEchangecoords ,PDEplot , autonomous , convertAlg , convertsys , dfieldplot ,indicialeq , phaseportrait, reduceOrder , regularsp,translate, untranslate , varparam]

> diff_eq1 := D(D(y))(x) + 5*D(y)(x) + 6*y(x) = 0;

diff eq1 := (D(2))(y)(x) + 5D(y)(x) + 6y(x) = 0

> init_con := y(0)=0, D(y)(0)=1;

init con := y(0) = 0, D(y)(0) = 1

> dsolve( diff_eq1, init_con , y(x) );

y(x) = −e(−3 x) + e(−2 x)

Neu muon ve do thi. nghie.m phu.o.ng trınh tren ta co the’ lamnhu. sau:

> restart;

> with(DEtools);


[DEnormal , DEplot , DEplot3d , Dchangevar , PDEchangecoords,PDEplot , autonomous , convertAlg , convertsys, dfieldplot ,indicialeq , phaseportrait, reduceOrder , regularsp,translate, untranslate , varparam]

> diff_eq1 := D(D(y))(x) + 5*D(y)(x) + 6*y(x) = 0;

diff eq1 := (D(2))(y)(x) + 5D(y)(x) + 6y(x) = 0

> init_con := y(0)=0, D(y)(0)=1;

init con := y(0) = 0, D(y)(0) = 1

> dsolve( diff_eq1, init_con , y(x) );

y(x) = −e(−3x) + e(−2x)

> solution := dsolve( diff_eq1, init_con, y(x) );

solution := y(x) = −e(−3x) + e(−2x)

> expr := subs(solution, y(x));

expr := −e(−3x) + e(−2x)

> plot( expr, x=0..5, axes=BOXED, title=‘Graph‘ );

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

1 2 3 4 5x

Graph of the solution

D- e’ ve tru.o.ng cac hu.o.ng cu’a mo.t phu.o.ng trınh vi phan y′′ = y2

ta co the’ lam nhu. sau:


> dfieldplot(diff(y(x),x)=(y(x))^2,y(x), x=-3..3,y=-3..2,\

title=‘truong huong‘,color=(y(x))^2);

-3

-2

-1

0

1

2

y(x)

-3 -2 -1 1 2 3x

truong huong

Vı du. 2.16 Ve chan dung pha cu’a phu.o.ng trınh sau day:

y′ = −y − x2

> with(DEtools):

phaseportrait(diff(y(x),x)=-y(x)-x^2,y(x),x=-1..2.5,

[[y(0)=0],[y(0)=1],[y(0)=-1]],\

title=‘Asymptotic solution‘,colour=magenta,

linecolor=[black,black,black]);

-3

-2

-1

0

1

2

3

y(x)

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5x

Asymptotic solution


Nha.n xet 2.1 Nhın chung vo.i phan mem Maple, vie. c tıch phancac phu.o.ng trınh vi phan tro.’ nen nhe. nhang ho

.n rat nhieu. Tuynhien cung can lu.u y rang nhu. the khong co nghıa la vie. c ho. c cachtıch phan theo nghıa “co’ die’n” la khong can thiet. D- ieu nay da. cbie. t co y nghıa khi chung ta pha’i xu

.’ ly nhu.ng bai toan ma phanmem nay cho lo.i gia’i khong tho’a man lam. Cha’ ng ha. n, khi xetphu.o.ng trınh

x+ 2x = sin t, t ∈ R, (2.8)

ap du. ng phu.o.ng phap he. so bat di.nh ta co the’ tım mo. t nghie.m

rieng mo. t cach de dang x1(t) = sin t. Va do do nghie.m to’ng quatse la

x(t) = C1 sin√2t+ C2 cos

√2t+ sin t.

Chi tiet xem phan dap an de thi (6.1). Trong khi do neu ta dungMaple V de’ tıch phan, cha’ ng ha. n

> dsolve(diff(x(t),t$2)+2*x(t)= sin (t), x(t));

x(t) = −1

2cos(

√2 t) sin((

√2− 1) t)

− 1

4cos(

√2 t) sin((

√2− 1) t)

√2

+1

2cos(

√2 t) sin((

√2 + 1) t)

− 1

4cos(

√2 t) sin((

√2 + 1) t)

√2

− 1

2sin(

√2 t) cos((

√2 + 1) t)

+1

4sin(

√2 t) cos((

√2 + 1) t)

√2

+1

2sin(

√2 t) cos((

√2− 1) t)

+1

4sin(

√2 t) cos((

√2− 1) t)

√2

+ C1 cos(√2 t) + C2 sin(

√2 t)

Nha.n xet 2.2 D- e’ gia’i cac phu.o.ng trınh vi phan da. ng khong chınhtac ta can pha’i du.a chung ve da. ng chınh tac. Vı du. tım nghie.mto’ng quat cu’a phu.o.ng trınh

xdx− (y + x)dx = 0.


> dsolve(diff(y(x),x)=1+(y(x)/x),y(x));y(x) = x ln(x) + x C1

Vı du. 2.17 Tım nghie.m to’ng quat cu’a he.y′ = −y − 2zz′ = 3y + 4z.

(2.9)

Gia’i:

> sys := diff(y(x),x)=-y(x)-2*z(x),

diff(z(x),x)=3*y(x)+4*z(x): fcns := y(x), z(x):

dsolve(sys, fcns);

y(x) = 3 C1 ex − 2 C1 e(2x) − 2 C2 e(2x)

+ 2 C2 ex, z(x) = 3 C1 e(2x) − 3 C1 ex

− 2 C2 ex + 3 C2 e(2x)Ket qua’

y(x) = (3C1 + 2C2)ex − 2(C1 + C2)e

(2x),z(x) = −(3C1 + 2C2)e

x + 3(C2 + C1)e(2x)

D- a. t C′1 := 3C1 + 2C2; C

′2 = C1 + C2 ta du.o.. c

y(x) = C ′

1ex + 2C ′

2e2x,

z(x) = −C ′1e

x + 3C ′2e

2x.

D- e’ tım nghie.m cu’a (2.9) vo.i dieu kie.n ban dau y(0) = −1, z(0) =1, ta gia’i nhu. sau.

> sys := diff(y(x),x)=-y(x)-2*z(x),

diff(z(x),x)=3*y(x)+4*z(x): fcns := y(x), z(x):

dsolve(sys,y(0)=-1,z(0)=1, fcns);

Ket qua’ z(x) = ex,y(x) = −ex


2.2. PHU.O.NG PHAP THAM SO BE

Xet phu.o.ng trınh

dx

dt= f(t, x, µ), x ∈ R

n, µ ∈ Λ ⊂ Rk (2.10)

Gia’ su.’ phu.o.ng trınh tren tho’a man cac dieu kie.n cu’a D- i.nh ly tonta. i duy nhat nghie.m toan cu.c tren mo.t mien (t, x) ∈ [a, b]× Ω ⊂R × Rn. Neu f phu. thuo.c tro.n cap k theo (x, µ) thı x(t, x0, µ) sephu. thuo.c tro.n cap k theo µ. Neu f phu. thuo.c gia’i tıch theo (x, µ)thı x(t, x0, µ) se phu. thuo.c gia’i tıch theo µ. Xet bie’u dien

x(t, µ) = v0(t) + µv1(t) + µ2v2(t) + · · · ,trong do ta gia’ thiet 0 < |µ| < ε kha be µ ∈ R. Thay bie’u thu.cnay vao phu.o.ng trınh ta lan lu.o.. t gia’i va tınh du.o.. c v0, v1, v2, · · ·.Vı du. 2.18 Khai trie’n nghie.m x(t, µ) cu’a phu.o.ng trınh sau day:

x = x2 + 2µ1

t, x(1) = −1.

Gia’i. D- a. t x(t, µ) = v0(t) + µv1(t) + µ2v2(t) + · · ·. Ta cov0 = v2

0, v0(1) = −1v1 = 2v0v1 +

2t, v(1) = 0

v2 = 2v0v2 + v21, v2(1) = 0.

Gia’i he. tren ta du.o.. cv0(t) = −1

t

v1(t) = 1− 1t2

v2(t) =t3− 2

t+ 8

3t2− 1

t3.

Va.y

x(t, µ) = −1

t+ µ(1− 1

t2) + µ2(

t

3− 2

t+

8

3t2− 1

t3) + o(µ2)

Vı du. 2.19 Tınh xap xı’ den o(µ2) nghie.m cu’a phu.o.ng trınh x+3x = 2 sin t+ µx2.

Gia’i. D- a. t x(t, µ) = v0(t) + µv1(t) + µ2v2(t) + · · ·. Ta cov0(t) = sin tv1 + 3v1 = cos2t⇒ v1(t) =

16− 1

2cos2t

v2 + 3v2 = 2cost sin 2t = sin t+ sin 3t⇒ v2(t) =12sin t− 1

6sin 3t.

Va.y

x(t, µ) = sin t+ µ(1

6− 1

2cos2t) + µ2(

1

2sin t− 1

6sin 3t) + o(µ2).

Chu.o.ng 3

LY THUYET D- I.NH TINH

3.1. LY THUYET O’N D- I.NH

3.1.1. Khai nie.m o’n di.nh theo nghıa Lyapunov

Tru.o.c het ta di.nh nghıa tınh o’n di.nh cu’a mo.t nghie.m x(t) xacdi.nh tren [t0,+∞) cu’a phu.o.ng trınh

x(t) = f(t, x). (3.1)

Noi chung cac he. du.o.. c xet sau nay chı’ du.o.. c gia’ thiet lien tu. c va

co da.o ham noi chung khong gio.i no. i. Vı va.y, su.. ton ta. i nghie.m

tren toan cu.c la van de pha’i xem xet doi vo.i tu.ng bai toan cu. the’.

D- i.nh nghıa 3.1 Nghie.m x(t) du.o.. c go. i la o’n di.nh tren khoa’ng[t0,∞) neu

1. Vo.i moi ε > 0 ton ta. i δ = δ(ε) > 0 sao cho bat ky nghie.mx(t) cu’a (3.1) tho’a man bat da’ ng thu.c ‖x(t0) − x(t0)‖ < δton ta. i tren [t0,∞) va tho’a man ‖x(t)− x(t)‖ < ε, ∀t > t0.

2. Neu ngoai ra nghie.m x(t) tho’a man limt→∞ ‖x(t)−x(t)‖ = 0thı ta noi x(t) o’n di.nh tie.m ca. n.

Vı du. 3.1 1. Xet phu.o.ng trınh x = 0. Nghie.m x(t) ≡ 0 la o’ndi.nh nhu

.ng khong o’n di.nh tie.m ca. n.

2. Nghie.m x(t) ≡ 0 cu’a phu.o.ng trınh x = −x o’n di.nh tie.m ca. n.Tha. t va. y, mo. t nghie.m bat ky khac deu co da. ng x(t) = x(0)e−t.Do do de dang chı’ ra du.o.. c su

.. o’n di.nh cu’a nghie.m 0.

3. Nghie.m x(t) ≡ 0 cu’a phu.o.ng trınh x = x2 khong o’n di.nh.D- ieu nay suy ra tu. nha. n xet sau: vo

.i mo. i c > 0, x(t) =c/(1− ct) la nghie.m cu’a phu

.o.ng trınh tren vo.i dieu kie.n bandau x(0) = c. Tuy nhien nghie.m tren khong the’ thac trie’nqua t = 1/c du.o.. c vı no tien ra vo ha. n ta. i day.

62

Chu.o.ng 3. Ly thuyet di.nh tınh 63

Tru.o.ng ho.. p phu.o.ng trınh tuyen tınh ta co da. c tru.ng sau day.Xet phu.o.ng trınh

x = A(t)x, (3.2)

trong do A(t) la ham gia tri. ma tra. n lien tu. c theo t ∈ [t0,∞). Theodieu kie.n ton ta. i duy nhat nghie.m cu’a phu.o.ng trınh tuyen tınh,mo. i nghie.m cu’a phu.o.ng trınh nay luon thac trie’n du.o.. c mo. t cachduy nhat len toan [t0,∞).

D- i.nh ly 3.1 Vo.i cac gia’ thiet va ky hie.u o.’ tren cac kha’ ng di.nh

sau day dung:

1. Nghie.m bat ky x(t) cu’a (3.2) o’n di.nh (o’n di.nh tie.m ca. n) khiva chı’ khi nghie.m x(t) ≡ 0 o’n di.nh (o’n di.nh tie.m ca. n);

2. Nghie.m x(t) ≡ 0 cu’a (3.2) o’n di.nh khi va chı’ khi ma tra. n co.

ba’n X(t) bat ky deu gio.i no. i tren [t0,∞);

3. Nghie.m x(t) ≡ 0 cu’a (3.2) o’n di.nh tie.m ca. n khi va chı’ khidoi vo.i ma tra. n co

. ba’n bat ky X(t) thı

limt→∞

X(t) = 0. (3.3)

Chu.ng minh. (i). Ro rang neu x(t), x(t) la hai nghie.m cu’a (3.2)thı x(t) − x(t) = y(t) cung la nghie.m cu’a phu.o.ng trınh nay. Dethay tu. day su.. tu

.o.ng du.o.ng cu’a cac khai nie.m o’n di.nh cu’a nghie.mbat ky vo.i nghie.m khong.

(ii) Neu co ma tra.n nghie.m co. ba’n gio.i no. i thı suy ra ngay tınho’n di.nh. Vı va.y ta chı’ chu.ng minh dieu ngu.o.. c la. i. Neu nghie.mkhong o’n di.nh thı co mo. t ma tra.n nghie.m co. ba’n o’n di.nh. Theo gia’

thiet ton ta. i δ > 0 sao cho neu ‖x(t0)‖ < δ thı ‖x(t)‖ ≤ 1, ∀t > t0.Va.y thı vo.i ma tra.n nghie.m co. ba’n X(t) sao cho X(0) = I ta co

‖X(t)‖ = sup‖x‖≤1

‖X(t)x‖

=1

δsup‖x‖≤δ

‖X(t)x‖

≤ 1

δ.

Tu. di.nh nghıa cu’a ma tra.n co. ba’n suy ra ma tra. n co. ba’n bat kycung gio.i no. i.

(iii) Neu (3.3) dung thı de suy ra ngay tınh o’n di.nh tie.m ca.n.Ta chı’ chu.ng minh dieu ngu.o.. c la. i. Gia’ su.’ ma tra.n co. ba’n X(t)

64 Chu.o.ng 3. Ly thuyet di.nh tınh

la.p bo.’ i n nghiem do. c la.p tuyen tınh x1(t), · · · , xn(t). Khi do khongmat to’ng quat coi xk(t0) du’ nho’ de’ vo.i mo. i ε > 0 cho tru.o.c tonta. i T > 0 sao cho ∀t > T, k = 1, · · · , n, ‖xk(t)‖ < ε. Tu. day suy ralimt→∞X(t) = 0. Mo. i ma tra.n co. ba’n khac co the’ nha.n du.o.. c tu.

X(t) bang mo.t phep nhan vo.i mo. t ma tra. n hang khong suy bien,nen cung co tınh tu.o.ng tu.. .

Nha.n xet 3.1 D- oi vo.i he. tuyen tınh nhu. ta da thay su.. o’n di.nh

cu’a nghie.m bat ky tu.o.ng du.o.ng su.. o’n di.nh cu’a nghie.m khong. Do

do doi vo.i he. tuyen tınh doi khi ngu.o.i ta noi den su.. o’n di.nh chung

ma khong noi den nghie.m cu. the’ nao.

3.1.2. Phu.o.ng phap thu. nhat Lyapunov

Bay gio. ta xet tınh o’n di.nh cu’a nghie.m x(t) cu’a phu.o.ng trınh

x = f(x), x ∈ U ⊂ Rn, (3.4)

trong do U la ta.p mo.’ nao do cu’a Rn. Phu.o.ng phap thu. nhatLyapunov la phu.o.ng phap nghien cu.u tınh o’n di.nh cu’a x(t) du.. avao cac thong tin so mu Lyapunov cu’a he. tuyen tınh hoa do. c theonghie.m x(t) cho tru.o.c de’ nghien cu.u tınh o’n di.nh cu’a chınh he.ban dau. Khai nie.m so mu Lyapunov, trong tru.o.ng ho.. p do.n gia’nnhat, du.o.. c xay du.. ng nhu. sau (tat nhien doi vo.i nhu.ng he. to’ngquat ho.n di.nh nghıa se pha’i mo.’ ro.ng ho.n nhieu).

D- i.nh nghıa 3.2 So mu Lyapunov cu’a he.

x = Ax, x ∈ Rn (3.5)

du.o.. c di.nh nghıa la cac phan thu.. c cu’a cac so rieng cu’a ma tra. n A.

Nhu. va.y, neu tınh ca’ bo. i thı he. co he. so hang so trong Rn co ca’

tha’y n so mu Lyapunov. Y nghıa cu’a so mu Lyapunov the’ hie.ntrong di.nh ly sau:

D- i.nh ly 3.2 Cac kha’ ng di.nh sau day dung:

1. He. (3.5) o’n di.nh khi va chı’ khi tat ca’ cac so mu Lyapunovcu’a he. khong du

.o.ng va doi vo.i cac so mu Lyapunov bangkhong cac so rieng tu.o.ng u.ng co cac o Jordan da. ng do

.n, tu.cla cac o Jordan co kıch co. 1× 1 ma thoi;

2. He. (3.5) o’n di.nh tie.m ca. n khi va chı’ khi tat ca’ cac so muLyapunov cu’a he. am.


Chu.ng minh. D- i.nh ly du.o.. c suy ra tu. di.nh ly tren va cau truccu’a ma tra.n co. ba’n etA khi biet da.ng Jordan J cu’a A. Tha. t va.y,ta co the’ xet tru.o.c het he. phu

.c, tu.c la he. (3.5) vo.i x ∈ Cn. Khi do

ton ta. i ma tra.n khong suy bien P sao cho PAP−1 = J . Do do tınhgio.i no. i cu’a etA (hay limt→∞ etA = 0) tu.o.ng du.o.ng vo.i tınh gio.ino. i cu’a etJ (hay limt→∞ etJ = 0). Tu. day ta nha.n du.o.. c cac tieuchua’n neu tren. Neu A la ma tra.n thu.. c va x ∈ Rn ta xet phu.o.ngtrınh phu.c z = Az, z ∈ Cn. Ta chı’ can chu.ng minh tınh tu.o.ngdu.o.ng cu’a khai nie.m o’n di.nh doi vo.i hai phu.o.ng trınh theo x va zla du.o.. c. Tru

.o.c het ta chu.ng minh rang neu he. thu.. c (theo x ∈ Rn)

o’n di.nh hoa. c o’n di.nh tie.m ca.n thı he. theo z ∈ Cn cung va. y. D- ieu

nay hie’n nhien vı he. cac nghie.m thu.. c do. c la.p tuyen tınh tren R

cung do. c la.p tuyen tınh tren C. Do do neu he. thu.. c o’n di.nh (o’ndi.nh tie.m ca.n) thı he. phu.c cung va.y. Ngu.o.. c la. i, he. nghie.m thu.. ccung la cac nghie.m rieng cu’a he. phu

.c nen neu he. phu.c o’n di.nh thı

tat nhien cac nghie.m thu.. c cung va. y.

D- oi vo.i phu.o.ng trınh (3.4) ta noi x0 la die’m ky di. neu f(x0) = 0.

D- i.nh ly 3.3 (Linearized Stability Principle) Gia’ su.’ f(·) kha’ vilien tu. c trong mo. t lan ca. n nao do cu’a die’m ky di. x0 ∈ U ⊂ R

n

sao cho Df(x0) co cac phan thu.. c am. Khi do die’m ky di. nay la o’n

di.nh theo Lyapunov.

Tru.o.c het ta chu.ng minh cho tru.o.ng ho.. p sau:

D- i.nh ly 3.4 Gia’ su.’ f(·) ta. i die’m ky di. 0 ∈ Rn tho’a man f(x) =Ax + g(x), trong do A co cac phan thu.. c am va g tho’a man dieukie. n Lipschitz toan cu. c theo x tu

.c la

‖g(x)− g(y)‖ ≤ ε‖x− y‖ , ∀x, y ∈ Rn,

vo.i he. so ε du’ nho’. Khi do die’m ky di. nay la o’n di.nh theo Lya-punov.

Chu.ng minh. Tru.o.c het ta thay he. tren luon tho’a man cac dieukie.n ton ta. i va duy nhat nghie.m tren toan cu. c va mo. t nghie.m batky luon thac trie’n du.o.. c len R mo.t cach duy nhat. Gia’ su.’ x(t) lamo. t nghie.m nao do. Du.. a vao cau truc ma tra. n mu etA co the’ chı’

ra cac hang so du.o.ng N, , α sao cho ‖e(t−s)A‖ ≤ Ne−α(t−s), ∀t ≥ s.D- a. t h(t) = g(x(t)). Ap du. ng cong thu.c bien thien hang so ta co

x(t) = e(t−s)Ax(s) +

∫ t

s

e(t−ξ)Ah(ξ)dξ, ∀t ≥ s.


Va.y thı

‖x(t)‖ ≤ Ne−(α(t−s)‖x(s)‖+∫ t

s

εNe−α(t−ξ)‖x(ξ)‖dξ, ∀t ≥ s.

D- a. t v(t) = eαt‖x(t)‖ ta co v(t) ≥ 0 tho’a man bat da’ ng thu.c sau

v(t) ≤ C +K

∫ t

s

v(ξ)dξ, ∀t ≥ s. (3.6)

Va.y thı theo bat da’ ng thu.c Gronwall

v(t) ≤ CeK(t−s). (3.7)

Tu. day ta co

eαt‖x(t)‖ ≤ Neαs‖x(s)‖eεN(t−s), ∀t ≥ s

‖x(t)‖ ≤ Ne(α−εN)(t−s)‖x(s)‖, ∀t ≥ s.

Tiep theo, tınh o’n di.nh tie.m ca.n cu’a nghie.m x(t) ≡ 0 de dang suyra khi ta cho.n ε < α/N .

Bay gio. ta chu.ng minh D- i.nh ly 3.3. Tru.o.c het khong mat to’ngquat ta coi x0 = 0. D- e’ lam dieu nay ta da. t

f0(x) :=

f(x)−Df(0)x, neu ‖x‖ ≤ rf(r x

‖x‖)−Df(0)(r x‖x‖), neu ‖x‖ > r,

(3.8)

trong do r > 0 la mo. t hang so du’ nho’ cho tru.o.c ma ta se cho.n sau.Ta se cho.n r > 0 du’ nho’ de’ f kha’ vi trong lan ca. n ‖x‖ < r cu’adie’m ky di. 0. Them nu.a, vı cac so mu Lyapunov cu’a Df(0) amnen ton ta. i cac so du.o.ng N,α sao cho ‖etA‖ ≤ Ne−α(t−s), ∀t ≥ s.Do tınh lien tu. c cu’a Df(x) ta. i mo. t lan ca.n cu’a 0, co the’ cho.n r du’

nho’ de’

ε := sup‖x‖≤2r

‖Df(x)−Df(0)‖ < α/N. (3.9)

Vo.i cach di.nh nghıa cu’a f0 ta co the’ chu.ng minh rang

‖f0(x)− f0(y)‖ ≤ ε‖x− y‖, ∀x, y ∈ Rn. (3.10)

Tha. t va. y, neu x, y cung nam trong hınh cau B(0, r) hoa. c cung namngoai thı dieu nay hie’n nhien theo D- i.nh ly so gia gio.i no. i. Tru

.o.ngho.. p, con la. i gia’ su.’ x ∈ B(0, r) va y ∈ B(0, r). Khi do co the’ tımdu.o.. c die’m z tren doa.n tha’ ng noi x vo.i y de’ ‖y‖ = r. Chu y rang


‖x− y‖ = ‖x− z‖+ ‖z − y‖. Bay gıo. ap du.ng D- i.nh ly so gia gio.ino. i cho f ta. i x, z, y ta thu du.o.. c danh gia tren. Xet phu.o.ng trınh

x = Df(0)x + f0(x) (3.11)

Ro rang phu.o.ng trınh nay tho’a man cac dieu kie.n cu’a D- i.nh ly 3.4.Ho.n nu.a, neu x(t) la nghie.m cu’a (3.11) sao cho x(t) ∈ B(0, r), ∀t ≥0 thı x(t) cung la nghie.m cu’a (3.4). Do tınh o’n di.nh tie.m ca.n cu’anghie.m khong cu’a (3.11) nghie.m bat ky xuat phat trong mo.t lanca.n du’ nho’ cu’a 0 deu lu.u la. i va dan den 0 do do no cung la nghie.mcu’a (3.4). Nhu. va.y ta da chı’ ra rang mo. i nghie.m cu’a (3.4) xuatphat tu. lan ca.n du’ be cu’a 0 se co thac trie’n duy nhat len toankhoa’ng [0,∞) va ho. i tu. to.i 0 vo.i cap so mu. Noi rieng, nghie.m 0cu’a (3.4) o’n di.nh tie.m ca.n.

Nha.n xet 3.2 D- oi vo.i he. phu.o.ng trınh khong otonom x = A(t)x,

t ≥ t0 ta du.a vao khai nie.m o’n di.nh mu nhu

. sau: He. dang xetdu.o.. c go. i la o’n di.nh mu neu ton ta. i cac so du

.o.ng N,α sao cho neuX(t, s) la ma tra. n Cauchy cu’a he. nay thı bat da’ ng thu

.c sau daydung:

‖X(t, s)‖ ≤ Ne−α(t−s), ∀t ≥ s ≥ t0.

Vie. c xet tınh o’n di.nh cu’a nghie.m bat ky x(t) cu’a phu.o.ng trınh

(3.4) dan den vie. c xet phu.o.ng trınh y(t) = Df(x(t))y(t). Chung

toi danh cho do. c gia’ tu.. phat bie’u va chu

.ng minh nguyen ly tuyentınh hoa o’n di.nh cu’a phu

.o.ng trınh (3.4) doi vo.i nghie.m x(t), su.’

du. ng khai nie.m o’n di.nh mu va tınh Lipschitz cu’a phan du.. Nhu.

va. y ngay mo. t bai toan otonom cung dan den xet tınh o’n di.nh cu’ahe. khong otonom. D- oi vo

.i cac he. khong otonom co nhieu khai nie.mo’n di.nh khac nhau va da. c bie. t khong co cac lien he. giu

.a tınh o’ndi.nh vo

.i cac so rieng cu’a cac ma tra. n A(t). D- ieu nay lam cho vie. cnghien cu.u cac he. khong otonom thu.. c su

.. tro

.’ nen kho khan ho.nnhieu. Trong phan phu. lu. c chung ta co the’ tham kha’o mo. t thua. ttoan de’ xet xem khi nao mo. t da thu

.c co cac phan thu.. c am.

3.1.3. Phu.o.ng phap thu. hai Lyapunov

Mo.t phu.o.ng phap khac nghien cu.u o’n di.nh khong kem phanly thu xuat phat tu. nhu.ng bai toan thu.. c te cu’a co. ho. c, va. t ly vasinh ho.c,.... Phu

.o.ng phap nay con du.o.. c go. i la phu.o.ng phap hamLyapunov. Chung ta se di.nh nghıa khai nie.m nay nhu. sau. Chophu.o.ng trınh

x = f(x), x ∈ W ⊂ Rn, t ∈ [t0,∞), (3.12)


trong do W la ta.p mo.’ nao do cu’a Rn con f kha’ vi lien tu. c trenmien nay. Gia’ su.’ cho tru.o.c ham V : W → R kha’ vi tren W . Tadi.nh nghıa ham V : W → R bang cong thu.c

V (x) = DV (x)f(x), ∀x ∈W. (3.13)

V du.o.. c go. i la da. o ham cu’a V do. c theo hu.o.ng cu’a tru.o.ng vec to.

f(x). Y tu.o.’ ng chınh cu’a phu.o.ng phap thu. hai Lyapunov du.o.. c the’

hie.n trong di.nh ly sau:

D- i.nh ly 3.5 Gia’ su.’ x0 ∈ W la mo. t die’m can bang cu’a tru.o.ngvec to. f(x), tu.c la f(x0) = 0. Gia’ su.’ tiep theo V : W → R la hamlien tu. c tren lan ca. n U cu’a x0 va kha’ vi tren U\x0 sao cho:1. V (x0) = 0, va V (x) > 0 vo.i x = x0 ∈ U ;

2. V (x) ≤ 0 vo.i x ∈ U\x0.Khi do x(t) ≡ x0 la nghie.m o’n di.nh. Ngoai ra neu

3. V (x) < 0 vo.i mo. i x ∈ U\x0thı x(t) ≡ x0 la die’m can bang o’n di.nh tie.m ca. n.

Chu.ng minh. Ta gia’ su.’ co ham V tho’a man cac dieu kie.n 1., 2.,ta se chu.ng minh x0 la die’m can bang o’n di.nh. Gia’ su.’ δ la mo. t sodu.o.ng du’ be sao cho hınh cau dong B(x0, δ) ⊂ U . Ro rang ma.t cauS(x0, δ) := x ∈ U : ‖x‖ = δ la ta. p compact. Ta go. i α la gia tri.cu.. c tie’u cu’a V tren S(x0, δ). Do dieu kie.n 1. ta co α > 0. Ta di.nhnghıa U1 := x ∈ B(x0, δ) : V (x) < α. Khi do khong co nghie.mnao xuat phat tu. mo. t die’m trong U1 la. i co the’ ga. p S(x0, δ) vı hamV khong tang tren cac du.o.ng cong nghie.m. Tha. t va. y, neu x(t) lamo. t nghie.m thı

dV (x(t))

dt= DV (x(t))

dx(t)

dt= DV (x(t))f(x(t)

= V (x(t)) ≤ 0.

Va.y moi nghie.m xuat phat tu. mo. t die’m trong U1 pha’i thac trie’ndu.o.. c len toan nu.’ a tru. c theo D- i.nh ly Thac trie’n nghie.m. D- ieu trencon chu.ng to’ mo. i nghie.m xuat phat trong U1 khong bao gio. ro.ikho’i B(x0, δ), tu

.c la tra.ng thai can bang la o’n di.nh.

Gia’ su.’ tiep theo ham V tho’a man them dieu kie.n 3. ta se chu.ngminh x(t) ≡ x0 la tra.ng thai can bang o’n di.nh tie.m ca.n. Xet


mo.t nghie.m bat ky x(t) xuat phat tu. U1\x0. Ta se chu.ng minhlimt→∞ x(t) = x0. Gia’ su.’ trai la. i, khi do se ton ta. i day tn →∞ saocho x(tn) → z0 = x0. Go. i z(t) la nghie.m xuat phat tu. z0. Khi doV (z(t)) < V (z0) vo.i mo. i t > 0. Co di.nh mo.t t > 0. Tu. tınh phu.thuo.c lien tu. c theo dieu kie.n ban dau, neu y0 kha gan z0 thı nghie.my(t) xuat phat tu. y0 co tınh chat V (y(t)) < V (z0). Neu cho.n n du’

lo.n thı x(tn) := y0 se du’ gan z0 va khi do nghie.m y(t) xuat phattu. x(tn) se co tınh chat neu tren. Bay gio. su.’ du.ng tınh otonom cu’aphu.o.ng trınh va tınh duy nhat nghie.m ta co y(t) = x(tn+t), ∀t > 0.Va.y thı V (x(tn+ t)) < V (z0). Do tınh gia’m thu.. c su

.. cu’a ham V do. c

cac quy da.o moi nghie.m dieu nay mau thuan vı V (z0) < V (x(t)).Va.y limt→∞ x(t) = x0.

D- i.nh nghıa 3.3 Cac ham so tho’a man cac dieu kie.n 1., 2., va 3.,trong di.nh ly tren du

.o.. c go. i la cac ham Lyapunov.

Vı du. 3.2 Xet mo hınh toan ho. c cu’a con lac dao do. ng du.o.i tac

du. ng cu’a tro. ng lu.. c vo

.i ma sat:

θ′′ = −klθ′ − 1

lsinθ (3.14)

Ta go. i E la nang lu.o.. ng toan phan cu’a he. . Khi do

E = do.ng nang + the nang = ml(1

2lω2 + 1− cosθ),

trong do ω := θ′. Tınh da.o ham cu’a E do. c theo tru.o.ng vec to. taco E = −kl2ω2. Va.y E ≤ 0 va E = 0 ta. i goc to.a do. cu’a ma.t pha’ ngpha (θ, ω) nen day la ham Lyapunov cu’a he. u

.ng vo.i die’m canbang la goc to.a do. . Ho.n nu.a die’m goc to.a do. la o’n di.nh tie.m ca.n.


3.2. D- a ta.p bat bien va su.. mat o’n di.nh

Chung ta la. i xet phu.o.ng trınh

x = f(x), f : W → Rn (3.15)

vo.i gia’ thiet f kha’ vi lien tu. c. Nhu. da xet o.’ mu. c tru.o.c tınh o’ndi.nh cu’a he. ta. i lan ca.n cu’a x0 du.o.. c xac di.nh bo.’ i cac tınh chatcu’a phan tuyen tınh ta. i die’m nay. Trong mu.c nay ta se xem xettru.o.ng ho.. p khi cac dieu kie.n ve tınh am cu’a cac so mu da. c tru.ngLyapunov cu’a he. tuyen tınh ta. i mo. t die’m can bang x0 bi. pha vo..D- e’ nghien cu.u chi tiet dang die.u cu’a he. trong tru.o.ng ho.. p nay,tru.o.c het ta can du.a vao mo.t loa. t cac khai nie.m mo.i. Chung ta sechı’ xet khai nie.m cac da ta.p lo.p Ck trong Rn vo.i mo. t so tınh chatnhat di.nh ma khong nghien cu.u tru.o.ng ho.. p to’ng quat. Va.y thı taco di.nh nghıa sau day:

D- i.nh nghıa 3.4 Mo. t ta. p ho.. p M ⊂ Rn du.o.. c go. i la mo. t da ta. p m

chieu lo.p Ck neu ta. i moi die’m x0 ∈ M ton ta. i mo. t lan ca. n mo.’

U(x0) trong Rn va mo. t vi phoi φ ∈ Ck tu. U(x0) len Rm × Rn−m

sao cho φ(U(x0) ∩M) = Rm × 0. (Chınh xac ho.n ta noi M lada ta. p con m chieu cu’a Rn)

Vı du. 3.3 - Ma. t cau Sn−1 := x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn :∑nk=1 x

2k = 1 la mo. t da ta. p n− 1 chieu lo.p C∞.

- Gia’ su.’ ψ : Rm → Rn−m la anh xa. lo.p Ck. Xet

Γ(ψ) := (x, y) ∈ Rn : y = ψ(x).

Tha. t va. y ta xet anh xa. φ : Rn → Rn di.nh nghıa nhu. sau:

(x, y) → φ(x, y) = (x, ψ(x) − y). De thay φ la song anh vaφ ∈ Ck. Ap du. ng di.nh ly ham ngu.o.. c cho anh xa. lo

.p Ck tadu.o.. c tınh tro

.n lo.p Ck cu’a anh xa. ngu.o.. c φ

−1, tu.c la φ la viphoi lo.p Ck. D- a. c bie. t φ

−1(Γ(ψ)) = Rm × 0.

3.2.1. Su.. ton ta. i cu’a da ta.p bat bien

Trong mu.c nay chung ta se chu.ng minh su.. ton ta. i da ta.p batbien, co the’ bie’u dien du.o.i da.ng do thi. cu’a cac ham so tho’a mandieu kie.n Lipschitz.

D- e’ cho tie.n ta gia’ su.’ f(0) = 0 va Df(0) := A co cac so rieng cophan thu.. c khac khong, cha’ ng ha.n m so rieng co phan thu.. c du.o.ng


(tınh ca’ bo. i) va n −m so rieng co phan thu.. c am. Khi do co mo. tphep chieu (thu.. c) P : Rn → Rn sao cho AP = PA va σ(A|ImP) =σ(A) ∩ z ∈ C : Rez < 0, σ(A|KerP) = σ(A) ∩ z ∈ C : Rez > 0.Ho.n nu.a ton ta. i cac so du.o.ng K,α sao cho

‖etAPx‖ ≤ Ke−αt‖Px‖, ∀t ≥ 0, x ∈ Rn, (3.16)

‖etA(I − P )x‖ ≤ Keαt‖(I − P )x‖, ∀t ≤ 0, x ∈ Rn. (3.17)

D- i.nh nghıa 3.5 Vo.i η ∈ R ta di.nh nghıa cac khong gian di.nhchua’n sau day

BC(R+,Rn) = f ∈ C(R+,R

n)| supt∈R+

‖f(t)‖ <∞, ‖f‖ = supt∈R+

‖f(t)‖,BC(R−,Rn) = f ∈ C(R−,Rn)| sup

t∈R−‖f(t)‖ <∞, ‖f‖ = sup

t∈R−‖f(t)‖,

BCη(R+,Rn) = f ∈ C(R+,R

n)| supt∈R+

e−ηt‖f(t)‖ <∞, ‖f‖η = supt∈R+

e−ηt‖f(t)‖,

BCη(R−,Rn) = f ∈ C(R−,Rn)| supt∈R−

e−ηt‖f(t)‖ <∞, ‖f‖η = supt∈R−

e−ηt‖f(t)‖.

Co the’ de dang kie’m tra du.o.. c cac khong gian tren la cac khonggian day du’, hay noi cach khac do la cac khong gian Banach.

Ta se xet cac toan tu.’ sau day tac do.ng trong cac khong gianneu tren.

(Ksf)(t) =

∫ t

0

e(t−ξ)APf(ξ)dξ −∫ +∞

t

e(t−ξ)A(I − P )f(ξ)dξ,(3.18)

(Kuf)(t) =

∫ t

0

e(t−ξ)A(I − P )f(ξ)dξ +

∫ t

−∞e(t−ξ)APf(ξ)dξ. (3.19)

Ta co bo’ de sau

Bo’ de 3.1 Vo.i cac gia’ thiet va ky hie.u tren, cac kha’ ng di.nh saula dung:

1. Vo.i mo. i η ∈ (−α, α) (3.18) xac di.nh mo. t toan tu.’ tuyen tınhgio.i no. i trong BC

η(R+,Rn), f → Ksf . Ksf la nghie.m duy

nhat cu’a phu.o.ng trınh (1.49) vo.i dieu kie.n P ((Ksf)(0)) = 0.

2. Vo.i mo. i η ∈ (−α, α) (3.19) xac di.nh mo. t toan tu.’ tuyen tınhgio.i no. i trong BC

η(R−,Rn), f → Kuf . Kuf la nghie.m duynhat cu’a phu.o.ng trınh (1.49) vo.i dieu kie. n (I−P )((Kuf)(0))= 0.


Chu.ng minh. Chung ta se chu.ng minh kha’ ng di.nh thu. hai.Kha’ ng di.nh thu. nhat du.o.. c chu.ng minh tu.o.ng tu.. . Ta co

‖e−ηt(Kuf)(t)‖ ≤ e−ηt(‖∫ t

0

e(t−ξ)A(I − P )f(ξ)dξ

+‖∫ t

−∞e(t−ξ)APf(ξ)dξ‖)

≤ K‖f‖η(−∫ t

0

e(−α−η)(t−ξ)dξ +

∫ t

−∞e(α−η)(t−ξ)dξ

≤ K‖f‖η( 1

α+ η+

1

α− η).

Tu. day suy ra Ku la toan tu.’ tuyen tınh gio.i no. i, va da. c bie.t

‖Ku‖η ≤ K

α+ η+

K

α− η. (3.20)

Xet phu.o.ng trınh vi phan sau

x = Ax+ r(x), (3.21)

trong do ngoai gia’ thiet ve A nhu. tren, ta gia’ su.’ r tho’a man:

supx∈Rn

‖r(x)‖ < ε

Lip(r) < ε,

trong do Lip(r) la he. so Lipschitz cu’a r, di.nh nghıa nhu. sau:

Lip(r) = infL ≥ 0|‖r(x)− r(y)‖ ≤ L‖x− y‖, ∀x, y ∈ Rn.

Ta di.nh nghıa toan tu.’ (thu.o.ng du.o.. c go. i la toan tu.’ Nemystky)R : BC(R−,Rn) → BC(R−,Rn), w → Rw sao cho R(w)(t) =r(w(t)), ∀t ∈ R−. Tiep theo ta du.a vao toan tu.’ G : BC(R−,Rn)×KerP → BC(R−,Rn) di.nh nghıa nhu. sau:

G(w, φ)(t) = etAφ+Ku(R(w))(t), (3.22)

vo.i mo. i t ∈ R−, w ∈ BC(R−,Rn), φ ∈ KerP .

D- i.nh ly 3.6 (D- a ta.p khong o’n di.nh lien tu. c Lipschitz). Vo.i cacky hie.u va gia’ thiet tren, neu ε du’ be (xem (3.26)), vo.i mo. i φ ∈KerP ton ta. i duy nhat wφ ∈ BC(R−,Rn) sao cho

G(wφ, φ) = wφ. (3.23)

Ho.n nu.a wφ lien tu. c Lipschitz theo φ.


Chu.ng minh. Tha.t va.y, ta chı’ can kie’m tra dieu kie.n anh xa.co doi vo.i toan tu.’ G(·, φ). Ta co

supt∈R−

‖G(v, φ)(t)− G(w, φ)(t)‖ ≤ ‖Ku‖(‖R(v)− R(w)‖ (3.24)

≤ ε(K

α+K

α)‖v −w‖, (3.25)

vo.i mo. i v, w ∈ BC(R−,Rn). Do do neu

q := 2ε(K

α) < 1, (3.26)

thı G(·, φ) la anh xa. co trong BC(R−,Rn). Theo D- i.nh ly D- ie’m BatD- o.ng Banach, ton ta. i duy nhat wφ sao cho G(wφ, φ) = wφ. Bay gio.

ta di chu.ng minh su.. lien tu. c Lipschitz cu’a wφ theo φ. Tha. t va. y

‖wφ −wψ‖ = ‖G(wφ, φ)− G(wψ, ψ)‖≤ ε‖Ku‖‖wφ − wψ‖+K‖φ− ψ‖.

Va.y thı

‖wφ − wψ‖ ≤ K

1− q‖φ− ψ‖, ∀φ, ψ ∈ KerP, (3.27)

tu.c la wφ lien tu. c Lipschitz theo φ.

D- i.nh nghıa 3.6 D- o thi. cu’a anh xa. U : KerP → ImP , φ →P (wφ(0)) du

.o.. c go. i la da ta. p khong o’n di.nh cu’a phu.o.ng trınh

(3.21), va du.o.. c ky hie.u la Wu.

Vı anh xa. φ → wφ lien tu. c Lipschitz, ro rang U cung lien tu. cLipschitz. Tu. bie’u thu.c di.nh nghıa wφ ta thay ngay

wφ(0) = φ+

∫ 0

−∞eξAPR(wφ)(ξ)dξ. (3.28)

Va.y nen

Pwφ(0) =

∫ 0

−∞eξAPR(wφ)(ξ)dξ.

Do do da ta.p o’n di.nh thu.. c chat la

Wu = wφ(0), φ ∈ KerP. (3.29)


3.2.2. Tınh bat bien cu’a cac da ta.p

Vo.i cac gia’ thiet neu tren doi vo.i phu.o.ng trınh (3.21) cac dieukie.n cu’a D- i.nh ly ton ta. i nghie.m tren toan cu. c du.o.. c tho’a man. D- a. tS(t)x la nghie.m bai toan Cauchy

x(t) = Ax(t) + r(x(t))x(0) = x, x ∈ Rn.

(3.30)

Khi do do cac he. so A, r cu’a phu.o.ng trınh khong phu. thuo. c vaot, ta co the’ chu.ng minh de dang tınh chat nhom sau day cu’a ho.(S(t))t∈R, S(t)S(s) = S(t+ s), ∀t, s ∈ R. Ho.n nu.a, tu. di.nh ly tonta. i duy nhat nghie.m va su.. phu. thuo.c lien tu. c theo dieu kie.n bandau suy ra vo.i mo. i t ∈ R anh xa. S(t) : Rn → Rn la dong phoi(tu.c la S(t) va anh xa. ngu.o.. c S

−1(t) lien tu. c). Tom la. i ta co mo. tnhom mo. t tham so cac dong phoi (S(t))t∈R. Neu r thuo.c lo.p Ck,theo D- i.nh ly ve su.. thuo.c kha’ vi theo dieu kie.n ban dau, (S(t))t∈R

se la nhom mo.t tham so cac vi phoi lo.p Ck. Theo truyen thong,moi nhom mo.t tham so cac vi phoi lo.p Ck du.o.. c go. i la mo. t he. do. nglu.. c lo.p Ck.

D- i.nh nghıa 3.7 D- a ta. p M du.o.. c go. i la bat bien doi vo.i he. do. ng

lu.. c (S(t))t∈R neu S(t)M = M, ∀t ∈ R.

D- i.nh ly 3.7 D- a ta. p khong o’n di.nh Wu bat bien doi vo.i he. do. nglu.. c (S(t))t∈R.

Chu.ng minh. Vo.i cac ky hie.u tren ro rang wφ la nghie.m cu’aphu.o.ng trınh (3.21) tren (−∞, 0]. Tu. Bo’ D- e 3.1 co the’ chı’ ra rangmo.t nghie.m bat ky x(t) cu’a (3.21) gio.i no. i tren (−∞, 0] tu.o.ng u.ngvoi wψ, trong do

ψ = etA(I − P )x(0) +

∫ 0

−∞e−ηAPr(x(η))dη. (3.31)

Do do co the’ di.nh nghıa Wu nhu. la ta.p ho.. p cac gia tri. ban daux(0) cu’a cac nghie.m gio.i no. i tren (−∞, 0]. Gia’ su.’ τ ∈ R cho tru.o.cbat ky. Chu y rang vo.i gia’ thiet cu’a di.nh ly D- i.nh ly Ton Ta. i ToanCu. c co the’ ap du.ng du.o.. c cho phu.o.ng trınh dang xet. Do do cothe’ coi Wu nhu. la ta. p ho.. p cac gia tri. ban dau x(0) cu’a tat ca’ cacnghie.m x(·) gio.i no. i tren (−∞, 2|τ |]. Gia’ su.’ x0 ∈ Wu va x0 = x(0),trong do x(·) la nghie.m (duy nhat) gio.i no. i tren (−∞, 2|τ |]. Dophu.o.ng trınh dang xet la otonom, de thay y(·) := x(τ + ·) cung


la nghie.m cu’a phu.o.ng trınh dang xet gio.i no. i tren (−∞, 0]. Theodi.nh nghıa ta co S(τ )x0 = x(τ ) = y(0), do do cung la mo. t die’mtren Wu. Tu. do suy ra S(τ )Wu ⊂ Wu. Tu.o.ng tu.. doi vo.i τ ′ = −τta co S(−τ )Wu ⊂ Wu. Va.y thı S(τ )Wu =Wu, ∀τ ∈ R.

Tu.o.ng tu.. ta co the’ chu.ng minh su.. ton ta. i cu’a da ta.p o’n di.nhva tınh bat bien cu’a no. Chi tiet danh cho do. c gia’. Ngoai ra, chungtoi cung danh cho do. c gia’ tu.. phat bie’u da.ng di.a phu.o.ng cu’a data.p bat bien, dung ky thua. t cat dan tru.o.ng vec to. ta. i lan ca.n mo.tdie’m ky di. nhu

. chung ta da lam trong mu.c o’n di.nh theo Lyapunov.

3.2.3. D- a ta.p khong o’n di.nh va su.. mat o’n di.nh nghie.m

D- a ta.p bat bien co rat nhieu u.ng du.ng trong vie.c nghien cu. cache. phi tuyen. Du.o.i day chung ta se lam quen vo.i mo. t u.ng du.ngdo.n gia’n cu’a da ta.p khong o’n di.nh.

D- i.nh ly 3.8 Vo.i cac gia’ thiet nhu. mu. c tru.o.c doi vo.i phu.o.ng

trınh (3.21). Ho.n nu.a gia’ su.’ KerP = 0 va ε kha be. Khi dodie’m can bang 0 la khong o’n di.nh theo Lyapunov.

Chu.ng minh. Ro rang Wu ton ta. i va khac trong. Khi ε > 0du’ be thı Wu du.o.. c bie’u dien nhu. la do thi. cu’a mo.t ham h :KerP → ImP lien tu. c Lipschitz vo.i he. so Lipschitz δ du’ nho’.Gia’ su.’ Wu x0 = (φ, h(φ) va x(t) la nghie.m cu’a (3.21) sao chox(0) = x0. Do tınh bat bien cu’a Wu, ta co x(t) = (I − P )x(t) +h((I − P )x(t)), ∀t ∈ R.

D- a. t y(t) = (I − P )x(t) ta co phu.o.ng trınh theo y nhu. sau:

y(t) = Ay + (I − P )r(y + h(y)). (3.32)

Vo.i ε > 0 du’ be thı he. so Lipschitz cu’a ham (I −P )r(y+ h(y)) du’

be theo y. Va.y theo tieu chua’n da biet nghie.m y se tien ra vo ha.nkhi t→ +∞. Do do x(t) khong the’ tien to.i 0 khi t→ +∞.

3.2.4. Nguyen ly o’n di.nh thu go.n

Ta xet phu.o.ng trınh (3.21) trong tru.o.ng ho.. p to’ng quat khi phantuyen tınh khong hyperbolic. Khi do ta.p cac gia tri. rieng σ(A) cothe’ tach thanh ho.. p ro.i nhau cu’a hai ta.p ho.. p σ1 va σ2 nhu. sau:

σ1 := λ ∈ σ(A) : %λ < 0, σ2 := λ ∈ σ(A) : %λ ≥ 0.Go. i Q la phep chieu Rn → Rn giao hoan vo.i A sao cho σ(A|ImQ) =σ1, σ(A|KerQ = σ2.Vı day la cac ta. p ho.. p hu.u ha.n nen max%λ, λ ∈σ1 = δ1 < 0. Cho.n η = δ1 ta co the’ chu.ng minh di.nh ly sau:


D- i.nh ly 3.9 (D- a ta.p tam-khong o’n di.nh). Vo.i cac ky hie.u va

gia’ thiet tren, neu ε du’ be , vo.i mo. i φ ∈ KerQ ton ta. i duy nhatwφ ∈ BCη(R−,Rn) sao cho

G(wφ, φ) = wφ. (3.33)

Ho.n nu.a wφ lien tu. c Lipschitz theo φ.

Phu.o.ng phap chu.ng minh nhu. phu.o.ng phap chu.ng minh D- i.nhly 3.6.

D- i.nh nghıa 3.8 Ta. p ho.. p Wcu := wφ(0), φ ∈ KerQ du.o.. c go. i

la da ta. p tam-khong o’n di.nh cu’a phu.o.ng trınh (3.21).

D- ieu khac nhau duy nhat la ta thu du.o.. c da ta.pWcu gom cac die’mban dau cu’a tat ca’ nghie.m x(t) sao cho sup

t∈R

e−ηt‖x(t)‖. Nhu. va.y,

mo. t nghie.m xuat phat trenWcu khi t→ −∞ co the’ ra vo cung vacung co the’ gio.i no. i. Nguyen ly thu go.n o’n di.nh phat bie’u rangtınh o’n di.nh cu’a phu.o.ng trınh du.o.. c quyet di.nh bo.’ i tınh o’n di.nhcu’a cac nghie.m tren da ta.p Wcu. Cu. the’ ta co di.nh ly sau:

D- i.nh ly 3.10 Vo.i cac gia’ thiet nhu. trong D- i.nh ly 3.9, die’m 0 ladie’m can bang o’n di.nh tie.m ca. n cu’a he. (3.21) khi va chı’ khi die’m0 la die’m can bang o’n di.nh tie.m ca. n cu’a he.

y = Ay + (I −Q)r(y + g(y)), y ∈ KerQ, (3.34)

trong do Wcu = gr(g), g : KerQ → ImQ la anh xa. lien tu. c Lips-chitz.

Chu.ng minh. Thu.. c ra chı’ can chu.ng minh dieu kie.n du’. Tieptheo ta se chı’ chu.ng minh limt→+∞ x(t) = 0. Do tınh bat bien cu’aWcu, neu da. t z = Qx, y = (I−Q)x va da ta.p o’n di.nhWs = gr(h),trong do h : ImQ → KerQ co he. so Lipschitz du’ nho’ ta co the’

chu.ng minh rang

limt→+∞

‖x(t)‖ = 0⇐⇒

limt→+∞

[Qx(t) + h(Qx(t))] = 0

limt→+∞

[(I −Q)x(t) + g((I −Q)x(t))] = 0.

D- a. t y(t) = (I −Q)x(t) va z(t) = Qx(t). Ro rang z = Az +Qr(z +h(z)) va y tho’a man phu.o.ng trınh (3.34). Do he. so Lipschitz cu’a rdu’ nho’ va σ(A|ImQ) = σ1 nen z(t) o’n di.nh mu. Tu. do suy ra tınho’n di.nh cu’a x(t) tu.o.ng du.o.ng vo.i tınh o’n di.nh cu’a y.

Chu.o.ng 4

PHU. LU. C

Bat da’ ng thu.c Gronwall

D- i.nh ly 4.1 Cho ham so lien tu. c khong am u : [a, b] → R tho’aman

u(t) ≤ C +

∫ t

a

Ku(ξ)dξ, ∀t ∈ [a, b],

trong do C,K ≥ 0. Chu.ng minh rang

u(t) ≤ CeK(t−a), ∀t ∈ [a, b], (bat da’ ng thu.c Gronwall)

Chu.ng minh. Gia’ su.’ C > 0. D- a. t

V (t) := C +

∫ t

a

Ku(ξ)dξ, t ∈ [a, b].

Khi do ta ta co

u(t) ≤ V (t), 0 < C ≤ V (t) ∀t ∈ [a, b].

Tiep theo ta co

V ′(t) = Ku(t) ≤ KV (t) ∀t ∈ [a, b].

Do do, vı V (t) > 0, V ′(t)/V (t) ≤ K va V (a) = 0,

V (t) ≤ Ce∫ taKdξ = CeK(t−a), ∀t ∈ [a, b].

Su.’ du.ng u(t) ≤ V (t) ta thu du.o.. c bat da’ ng thu.c Gronwall.

Neu C = 0 thı du.. a vao chu.ng minh tren ta co the’ chı’ ra

0 ≤ u(t) ≤ C ′eK(t−a), ∀t ∈ [a, b],

trong do C ′ > 0 bat ky. Cho C ′ dan den 0 ta suy ra du.o.. c u(t) ≡ 0vo.i mo. i t ∈ [a, b].

77

78 Chu.o.ng 4. Phu. Lu. c

D- i.nh ly Banach ve die’m bat do. ng

Khong gian me-tric day du’ va anh xa. co.

D- i.nh nghıa 4.1 Mo. t ca. p (X, d) gom mo. t ta. p ho.. p X va mo. t anh

xa. d : X ×X → [0,+∞) tho’a man cac dieu kie.n sau:

1. d(x, y) = 0 neu va chı’ neu x = y,

2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X,

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X,

du.o.. c go. i la mo. t khong gian me tric.

Cac ca.p sau day la cac khong gian me tric thu.o.ng ga. p

1. (Rn, d1) vo.i d1(x, y) :=√∑n

k=1(xk − yk)2, trong do x =(x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn);

2. (C([a, b],Rn), d2), vo.i d2(f, g) := supt∈[a,b] ‖f(t)− g(t)‖;

D- i.nh nghıa 4.2 Khong gian me tric (X, d) du.o.. c go. i la day du’

neu mo. t day Cauchy xn ⊂ X luon chu.a mo. t day con ho. i tu. to.i

mo. t phan tu.’ x ∈ X.

Cac khong gian me tric neu tren deu la cac khong gian me tric daydu’ vo.i cac chua’n tu.o.ng u.ng.

D- i.nh nghıa 4.3 Anh xa. T : X → X, trong do (X, d) la mo. t khonggian me tric cho tru.o.c, du.o.. c go. i la anh xa. co, neu ton ta. i hang soq ∈ (0, 1) sao d(Tx, T y) ≤ d(x, y), ∀x, y ∈ X.

D- i.nh ly 4.2 (D- i.nh ly Banach ve D- ıe’m bat do. ng cu’a Anh xa. co)Moi anh xa. co T trong mo. t khong gian me tric day du’ (X, d) codung mo. t die’m bat do. ng, tu

.c la ton ta. i duy nhat x0 ∈ X sao choTx0 = x0.

D- i.nh ly Arcela-Ascoli

Ho. cac ham so fα ∈ C([a, b],Rn), α ∈ I du.o.. c go. i la gio.i no. i deu neuton ta. i so 0 < M < +∞ sao cho ‖fα(t)‖ ≤ M, ∀α ∈ I, t ∈ [a, b].Ho. fα, α ∈ I du.o.. c go. i la lien tu. c deu dong ba. c neu mo. i ε > 0deu ton ta. i δ > 0 (chı’ phu. thuo.c vao ε) sao cho neu |t − t′| < δ,t, t′ ∈ [a, b], thı ‖fα(t)− fα(t

′)‖ < ε, ∀α ∈ I .

D- i.nh ly 4.3 (D- i.nh ly Arcela-Ascoli) D- ieu kie.n can va du’ de’ ho.cac ham fα, α ∈ I la compact tu.o.ng doi trong (C([a, b],Rn), d2)la ho. nay gio

.i no. i deu va lien tu. c deu dong ba. c.

Chu.o.ng 4. Phu. Lu. c 79

Bai toan Routh-Hurwitz

Nhu. da biet mo. t phu.o.ng trınh vi phan tuyen tınh ba.c n

a0x(n) + a1x

(n−1) + · · ·+ anx = 0, (4.1)

hoa. c mo. t he. tuyen tınhx = Ax, (4.2)

o’n di.nh tie.m ca.n khi va chı’ khi tat ca’ cac nghie.m cu’a da thu.c da. ctru.ng

f(z) = a0zn + a1z

n−1 + · · ·+ an, (4.3)

hayf(z) = det(A− zI), (4.4)

co cac phan thu.. c am. Nhu. va. y da. t ra mo.t bai toan la xac di.nhxem co bao nhieu khong die’m cu’a mo.t da thu.c cho tru.o.c co cacphan thu.. c am.

Du.o.i day chung ta se xet mo. t phu.o.ng phap do Routh va Hurwitz

phat trie’n.

Chı’ so cu’a mo. t ham hu.u ty’

Gia’ su.’ R(x) la ham thu.. c hu.u ty’. Chı’ so cu’a ham R(x) tren mo.tkhoa’ng mo.’ (a, b), du.o.. c ky hie.u bang IbaR(x), la hie.u cu’a so lanR(x) nha’y tu. −∞ len +∞ vo.i so lan no nha’y tu. +∞ den −∞ khix tang tu. a den b.

Cha’ ng ha.n, neu P (x) la mo. t da thu.c thu.. c va P ′(x) la da. o hamcu’a no, khi do Iba[P

′(x)/P (x)] bang so cac khong die’m phan bie.tcu’a da thu.c P (x) giu.a a va b bo.’ i vı ta. i mo. t khong die’m thu.. c batky cu’a P (x), thu.o.ng P ′(x)/P (x) nha’y tu. −∞ len +∞.

Ro rang neu a < c < b thı

IbaR(x) = IcaR(x) + IbcR(x) + µc, (4.5)

trong do

µc =

1, neu R(x) nha’y tu. −∞ len +∞−1, neu R(x) nha’y tu. +∞ xuong −∞0, trong cac tru.o.ng ho.. p con la. i.

Neu ham hu.u ty’ S(x) khong co khong die’m va cung cha’ ng co cu.. cdie’m trong khoa’ng (a, b), thı


IbaR(x)S(x) = sgna<x<bS(x).IbaR(x). (4.6)

Ngoai ra ta co

IbaR(x) + Iba[1/R(x)] =1

2[sgnR(b − 0) − sgnR(a + 0)]. (4.7)

Chı’ so cu’a mo.t ham hu.u ty’ tren mo.t khoa’ng bat ky co the’ du.o.. ctınh toan bang mo.t so hu.u ha.n cac phep toan hu.u ty’ nho. D- i.nh lySturm. Mo.t day P0, · · · , Ps cac da thu.c thu.. c du.o.. c go. i la mo. t daySturm tren doa.n dong [a, b] neu

1. Pi(ξ) = 0 keo theo Pi−1(ξ)Pi+1(ξ) ≤ 0 va Pi−1(ξ)Pi(ξ) = 0keo theo Pi+1(ξ) = 0 vo.i a ≤ ξ ≤ b,

2. Ps khac khong tren [a, b].

D- i.nh ly 4.4 (D- i.nh ly Sturm) If P0, · · · , Ps la mo. t day Sturm tren[a, b] va neu ca’ a lan b deu khong pha’i la cac khong die’m cu’a P0,thı

Iba[P1(x)/P0(x)] = v(a)− v(b), (4.8)

trong do v(x) la so lan do’i dau trong day P0(x), · · · , Ps sau khi bo’

di tat ca’ cac so ha. ng suy bien trong day.

Neu ta ky hie.u V [λ0, λ1, · · · , λs] la so lan do’i dau trong dayλ0, · · · , λs, ta du.o.. c

D- i.nh ly 4.5 Gia’ su.’ P0(x), P1(x) la cac da thu.c thu.. c vo

.i ∂(P1) ≤∂(P0) (∂(P ) ky hie.u ba. c cu’a da thu

.c P ) va gia’ su.’

Pk(x) = Rkxnk + · · · (Rk = 0; k = 0, 1, · · · , s)

la cac da thu.c nha. n du.o.. c bang cach ap du. ng thua. t toan Euclid doi

vo.i u.o.c chung lo.n nhat cu’a P0 va P1, vo.i phan du. am. Khi do

I+∞−∞ [P1(x)/P0(x)] = V [(−1)n0R0, · · · , (−1)nsRs]− V [R0, · · · , Rs].

Cac tieu chua’n o’n di.nh doi vo.i da thu.c phu.c

Gia’ su.’

f(z) = a0zn + · · · + an (a0 = 0) (4.9)

la mo. t da thu.c vo.i cac he. so phu.c. Ta se xac di.nh xem co baonhieu khong die’m cu’a f(z) nam trong ma.t pha’ ng %z < 0.

Chu.o.ng 4. Phu. Lu. c 81

Gia’ su.’ rang f(z) khong co cac nghie.m thuan a’o va

f(z) = a0(z − ζ1)(z − ζ2) · · · (z − ζn) (4.10)

la phan tıch thanh nhan tu.’ tuyen tınh cu’a f(z). Khi z chuye’n do.ngdo. c tru. c a’o tu.−i∞ den i∞, arg(z−ζk) tang hoa.c gia’m mo. t lu

.o.. ngbang π tuy thuo. c vao ζk nam trong ma.t pha’ ng trai hay pha’i. Dodo do. tang thu.. c su.. ∆ cu’a argf(z) du.o.. c cho bo.’ i

∆ = (p− q)π,

trong do p va q ky hie.u so khong die’m cu’a f(z) trong cac nu’a ma.tpha’ ng trai va pha’i tu.o.ng u.ng, nghie.m bo. i du

.o.. c tınh theo bo. i cu’achung. Vı n = p + q ta co q = (n − ∆/π)/2. Do do ket qua’ saudung

D- i.nh ly 4.6 (Nguyen ly argument) Gia’ su.’ f(z) la mo. t da thu.c

ba. c n khong co nghie.m thuan a’o, va gia’ su.’ ∆ ky hie. u do. gia tangcu’a argf(z) khi z chuye’n do. ng do. c theo tru. c a’o tu

. −i∞ den i∞.Khi do so khong die’m cu’a f(z) trong nu.’ a ma. t pha’ ng pha’i la (n−∆/π)/2.

D- a. tinf(−z) = P0(z) + iP1(z),

trong do P0(z) va P1(z) la cac da thu.c thu.. c du.o.. c xac di.nh mo.tcach duy nhat. It nhat mo. t trong hai da thu.c co ba. c bang n.

D- i.nh ly 4.7 Gia’ su.’ f(z) la mo. t da thu.c he. so phu

.c ba. c n co he.so khong thuan a’o va gia’ su.’ P0(z), P1(z) la cac da thu

.c thu.. c di.nhnghıa nhu. tren. Neu f(z) khong co nghie.m thuan a’o, khi do so cacnghie.m cu’a no trong nu.’ a ma. t pha’ ng pha’i la

1

2(n− I+∞

−∞ [P0/P1]).

Cac tieu chua’n o’n di.nh doi vo.i da thu.c thu.. c

Xet da thu.c thu.. c

f(z) = a0zn + · · ·+ an (a0 = 0). (4.11)

Khi do

P0(z) = a0zn − a2z

n−2 + · · · ,P1(z) = a1z

n−1 − a3zn−3 + · · · .


Cac da thu.c Pk(z) luan phien chan roi le’ . Cac he. so cu’a cac dathu.c Pk(z) du

.o.. c xac di.nh bo.’ i thua. t toan sau:

Ta viet ra cac he. so cu’a cac luy thu.a le’ va chan cu’a x thanh cachang khac nhau:

a0 a2 a4 · · ·a1 a3 a5 · · · .

La.p dong thu. ba bang cach “nhan cheo”:

a2 − (a0/a1)a3, a4 − (a0/a1)a5, a6 − (a0/a1)a7, · · · .

La.p hang thu. tu. bang cach thu.. c hie.n phep tınh tu.o.ng tu.. doi vo.ihai dong cuoi va cu. tiep tu. c nhu

. the. Qua trınh nay co the’ tiep tu. cchu.ng nao so ha.ng cao nhat trong hang tru.o.c khac khong. Ba’ngcac he. so la.p nhu. tren du.o.. c go. i la so. do Routh. Mo.t so

. do Routhday du’ gom n+ 1 hang. Cac phan tu.’

R0 = a0, R1 = a1, R2 = a2 − (a0/a1)a3 · · ·

trong co. t dau tien cu’a so. do nay la cac so ha.ng cao nhat cu’a cacda thu.c P0(z), P1(z), P2(z), · · ·. Do do ta co

D- i.nh ly 4.8 Tat ca’ cac nghie.m cu’a f(z) co phan thu.. c am neuva chı’ neu so. do Routh day du’ ton ta. i va cac phan tu

.’ tren co. t thu.

nhat co cung mo. t dau.

D- i.nh ly 4.9 Neu so. do Routh day du’ ton ta. i, khi do f(z) khongco nghie.m thuan a’o va so cac nghie.m nam trong nu.’ a ma. t pha’ ngpha’i bang so lan do’i dau trong day cac phan tu.’ tren co. t thu

. nhat.

Chu.o.ng 5

BAI TA. P

Phu.o.ng trınh co bien so phan ly

Tıch phan cac phu.o.ng trınh sau day:1. y′ = 1

1+√x.

2. y′ =√1− x2.

3. y′ = x2ex.

4. y′ = x cosx.

5. y′ = 2ex cos x.

6. y′ = sh x.

7. y′ = sinx cos 3x.

8. y′ = 1x2−1

.

9. y′ = lnxx.

10. y′ = ex

x.

11. y′ = ey.

12. y′ = y2(1 + y2)2.

13. y′ = e−y.

14. y′ = y + 1.

15. y′ = cos2 y.

16. y′ = sin y.

17. y′ = kyn.

18. y′ = y3 + 1.

19. y′ = 1 + 1y2 .

83

84 Chu.o.ng 5. Bai ta. p

20. y′ = cotg y.

21. y′ = y√y.

22. y′ = (x+ y)2.

23. y′ = x+ y + 1.

24. y′ = ln y.

25. y′ = (4x + y − 1)2.

Tıch phan cac phu.o.ng trınh sau day va tım du.o.ng cong tıch phandi qua die’m M(x0, y0) tu

.o.ng u.ng cho tru.o.c neu co:

1. y′ = 2xe−x2; M(0, 1).

2. y′ = − 1x2 ; M(1, 1),M(−1, 1).

3. y′ = 12√x−1

; M(1, 1).

4. y′ = e−x2; M(0, 0).

5. y′ = −y2; M(0, 1).

6. y′ = y − 1; M(1, 1).

7. y′ =√

4y2 − 1; M(0, 12).

Nghien cu.u tru.o.ng cac hu.o.ng cu’a cac phu.o.ng trınh vi phan tu.o.ngu.ng.

1. y′ = −y.2. y′ = y2.

3. y′ = 1 + y2.

4. y′ = 1y.

5. y′ = 2√y.

6. y′ = 2√|y|.

7. y′ = 3y23 .

8. y′ = ey.

Chu.o.ng 5. Bai ta. p 85

9. y′ = −y2 − 2xy − x2.

Tım nghie.m cu’a cac phu.o.ng trınh tıch phan sau day:

1. x+ 2x3)dx+ y + 2y3)dy = 0.

2. dx√1−x2 + dy√

1−y2.

3. 2x2yy′ + y2 = 2.

4. y′ = ex−y.

5. y′ =√y

x.

6. y′ = cos(y − x).

Phu.o.ng trınh thuan nhatGia’i cac phu.o.ng trınh sau:

1. (x− y)dx+ (x+ y)dy = 0.

2. (y2 − 2xy)dx+ x2dy = 0.

3. y2 + x2y′ = xyy′.

4. xy′ − y = xtg yx.

5. (y +√xy)dx = xdy.

6. (2x− 4y + 6)dx + (x+ y − 3)dy = 0.

7. (x+ 4y)y′ = 2x+ 3y − 5.

8. x3(y′ − x) = y2.

9. 2xy′ + y = y2√x− x2y2.

10. 2x3y′ = y(2x3 − y2).

11. xy′ = y − xey/x.

12. Vo.i nhu.ng α, β nao phu.o.ng trınh y′ = axα + byβ dan du.o.. cve da.ng phu.o.ng trınh thuan nhat nho. phep the bien y = zm

?

13. Gia’ su.’ k0 la nghie.m phu.o.ng trınh f(k) = k. Hay chı’ ra rang


(a) Neu f ′(k0) < 1, thı khong mo.t nghie.m nao cu’a phu.o.ngtrınh y′ = f(y/x) tiep xuc vo.i du.o.ng tha’ ng y = k0x ta. igoc to. a do. ;

(b) Neu f ′(k0) > 1, thı du.o.ng tha’ ng nay tiep xuc vo.i voha.n cac nghie.m.

Phu.o.ng trınh ba.c nhat

Gia’i cac phu.o.ng trınh sau:

1. xy′ − 2y = 2x4.

2. 2x(x2 + y)dx = dy.

3. (sin2 y + x cotg y)y′ = 1.

4. (2x+ y)dy = ydx+ 4 ln ydy.

5. y′ = y/(3x − y2).

6. y′ + 2y = y2ex.

7. (2x+ 1)y′ = 4x+ 2y.

8. (xy + ex)dx − xdy = 0.

9. y = x(y′ − x cosx).

10. (xy′ − 1)lnx = 2y.

11. (2ey − x)y′ = 1.

12. (1− 2xy)y′ = y(y − 1).

13. (x+ 1)(y′ + y2) = −y.14. xy2y′ = x2 + y3.

Bang phep the bien hoa. c vi phan, hay dan cac phu.o.ng trınh sauday ve da.ng tuyen tınh

1. xdx = (x2 − 2y + 1)dy.

2. (x+ 1)(yy′ − 1) = y2.

3. x(ey − y′) = 2.


4. y(x) =∫ x

0y(t)dt+ x+ 1.

5.∫ x

0(x− t)y(t)dt = 2x+

∫ x

0y(t)dt.

6. (x2 − 1)y′ sin y + 2x cos y = 2x− 2x3.

Bang cach cho.n nghie.m rieng, hay du.a cac phu.o.ng trınh Riccatidu.o.i day ve da.ng phu.o.ng trınh Bernoulli va gia’i chung

1. x2y′ + xy + x2y2 = 4.

2. xy′ − (2x+ 1)y + y2 = −x2.

3. y′ − 2xy + y2 = 5− x2.

4. Tım quy da.o tru.. c giao vo.i ho. du.o.ng cong y = Cex + x+ 1.

Cac bai ta.p ly thuyet khac

1. Tım cac nghie.m cu’a phu.o.ng trınh

y′ sin 2x = 2(y + cosx)

gio.i no. i khi x→ π/2.

2. Tım nghie.m tuan hoan cu’a phu.o.ng trınh

y′ = 2y cos2 x− sinx.

3. Gia’ su.’ trong phu.o.ng trınh vi phan

dx

dt+ a(t)x = f(t), t ∈ [0,+∞),

ham so a(t) tho’a man a(t) ≥ c > 0, ∀t ∈ [0,+∞) valimt→+∞ f(t) = 0. Chu.ng minh rang mo. i nghie.m cu’a phu.o.ngtrınh nay deu tien to.i 0 khi t→∞.

Phu.o.ng trınh vi phan hoan chı’nh

Hay thu.’ xem cac phu.o.ng trınh du.o.i day la cac phu.o.ng trınh viphan hoan chı’nh khong.

1. 2xydx+ (x2 − y2)dy = 0.

2. (2− 9xy2)xdx+ (4y2 − 6x3)ydy = 0.


3. e−ydx − (2y + xe−y)dy = 0.

4. 3x2(1 + lny)dx = (2y − y3

x)dy.

Gia’i cac phu.o.ng trınh sau bang phu.o.ng phap nhan tu.’ tıch phanhoa. c the bien

1. (x2 + y2 + x)dx+ ydy = 0.

2. x2 + y2 + y)dy − xdx = 0.

3. ydy = (xdy + ydx)√

1 + y2.

4. y2dx+ (ex − y)dy = 0.

5. x(lny + 2 ln x− 1)dy = 2ydx.

6. 2x3y2 − y)dx+ (2x2y3 − x)dy = 0.

7. ydx− xdy = 2x3 tg yxdx.

Su.. ton ta. i va duy nhat nghie.m

Hay chı’ ra mo.t khoa’ng tren do nghie.m vo.i cac dieu kie.n bandau sau day ton ta. i:

1. y′ = x+ y2, y(0) = 0.

2. y′ = 2y2 − x, y(1) = 1.

3. dxdt

= y2, dydt

= x2, x(0) = 1, y(0) = 2.

Su.’ du. ng dieu kie.n du’ ve tınh duy nhat nghie.m hay tım tren ma.tpha’ ng x, y mien, tren do qua moi die’m co duy nhat mo. t nghie.mcu’a phu.o.ng trınh du.o.i day di qua.

1. y′ = 2xy + y2.

2. (x− 2)y′ =√y − x.

3. (y − x)y′ = y lnx.

4. y′ = 1 + tg y.

5. xy′ = y +√y2 − x2.

Vo.i nhu.ng gia tri. ban dau nao ton ta. i duy nhat nghie.m cac phu.o.ngtrınh sau:


1. y′ = (y − 1)√y3.

2. (x+ 1)y′′ = y +√y.

3. dxdt

= y3 + ln(t+ 1),

xdydt

= (y − t)1/3.

Cac bai ta.p ly thuyet khac.

1. Gia’ su.’ f(x, y) lien tu. c theo (x, y) va vo.i moi x co di.nh f(x, y)khong tang khi y tang. Chu.ng minh rang neu hai nghie.m cu’aphu.o.ng trınh y′ = f(x, y) tho’a man cung mo.t dieu kie.n bandau y(x0) = y0, thı chung trung nhau.

2. D- oi vo.i cac phu.o.ng trınh sau chu.ng minh rang nghie.m vo.idieu kie.n ban dau y(x0) = y0 ton ta. i tren [x0,+∞):

(a) y′ = x3 − y3.

(b) y′ = xy + e−y.

3. Gia’ su.’ tren toan ma.t pha’ ng (x, y) ham f(x, y) va f ′y(x, y) lien

tu. c va f ′y(x, y) ≤ k(x), trong do ham k(x) la ham lien tu. c.

Chu.ng minh rang nghie.m phu.o.ng trınh y′ = f(x, y) vo.i dieukie.n ban dau y(x0) = y0 ton ta. i tren toan khoa’ng [x0,+∞).

Phu.o.ng trınh tuyen tınh co he. so hang so

Gia’i cac phu.o.ng trınh sau day:

1. y′′′− 6y′′ + 9y′ = xe3x + e3x cos 2x.

2. y′′ + y′ − 2y = 0.

3. y′′ − 2y′ = 0.

4. y′′ − 4y′ + 5y = 0.

5. 4y′′ + y′ + y = 0.

6. y′′′− 3y′ + 2y = 0.

7. y′′ − 2y′ − 3y = e4x.

8. y′′ − 3y′ + 2y = sinx.


9. y′′ + 3y′ − 4y = e−4x + xe−x.

10. y′′− 4y′ + 8y = e2x + sin 2x.

11. y′′− 9y = e3x cos x.

12. y′′ + y = xsinx.

13. y′′− 5y′ = 3x2 + sin 5x.

14. y(5) + 8y′′′ + 16y′ = 0.

15. y(4) + 4y′′ + 3y = 0.

16. y′′ + y = xex.

17. y′′− 3y′ + 2y = xcosx.

Hay tım nghie.m rieng cu’a cac phu.o.ng trınh sau day:

1. y′′− 2y′ + 2y = ex + x cos x.

2. y′′− 8y′ + 20y = 5xe4x sin 2x.

3. y′′ + 7y′ + 10y = xe−2x cos 5x.

4. y′′− 2y′ + y = 2xex ++ex sin 2x.

5. y′′′− 4y′′ + 3y′ = x2 + xe2x.

6. y′′− 4y′ + 5y = e2x sin2 x.

7. y′′ + 3y′ + 2y = (x+ ex) sinx.

8. y′′ + 4y = sh x. sin2x.

Hay tım nghie.m cu’a cac phu.o.ng trınh sau day tho’a man cac dieukie.n ban dau tu.o.ng u.ng:

1. y′′− 2y′ + y = 0; y(2) = 1, y′(2) = −2.2. y′′ + y = 4ex, y(0) = 4, y′(0) = −3.3. y′′− 2y′ = 2ex, y(1) = −1, y′(1) = 0.

4. y′′′− y′ = 0, y(0) = 3, y′(0) = −1, y′′(0) = 1.

5. y(4) + y′′ = 2cosx, y(0) = −2, y′(0) = 1, y′′(0) = y′′′(0) = 0.


Cac bai ta.p ly thuyet khac

1. Vo.i nhu.ng a, b nao tat ca’ cac nghie.m cu’a phu.o.ng trınh y′′+ay′ + by = 0 gio.i no. i tren toan tru. c so ?

2. Vo.i nhu.ng a, b nao tat ca’ cac nghie.m cu’a phu.o.ng trınh y′′+ay′ + by = 0 tien to.i 0 khi x→ +∞ ?

3. Vo.i nhu.ng a, b nao co ıt nhat mo. t nghie.m cu’a nghie.m cu’aphu.o.ng trınh y′′ + ay′ + by = 0 tien to.i 0 khi x→ +∞ ?

4. vo.i nhu.ng k, ω nao phu.o.ng trınh y′′ + k2y = sinωt co ıt nhatmo. t nghie.m tuan hoan ?

5. Cho phu.o.ng trınh

y′′ + ay′ + by = f(t),

ho.n nu.a |f(t)| ≤ m, ∀t ∈ (−∞,+∞), con cac nghie.m cu’aphu.o.ng trınh da. c tru.ng λ2 < λ1 < 0. Tım nghie.m gio.i no. itren toan tru. c. Hay chı’ ra rang tat ca’ cac nghie.m con la. i tie.mca.n den nghie.m nay khi t→ +∞. Chu.ng to’ rang neu ngoaira f tuan hoan, thı nghie.m gio.i no. i duy nhat noi tren cungtuan hoan.

Phu.o.ng trınh tuyen tınh co he. so bien thien

Trong cac bai toan du.o.i day hay tım nghie.m to’ng quat cu’a cacphu.o.ng trınh da cho khi biet cac nghie.m rieng cu’a chung. Trongcac bai ta.p cac nghie.m rieng khong du.o.. c chı’ ra co the’ tım chungtrong da.ng y1 = eax, hoa.c da.ng y1 = xn + axn−1 + bxn−2 + . . . .

1. (2x+ 1)y′′ + 4xy′ − 4y = 0.

2. x2y(x+ 1)y′′ − 2y = 0; y1 = 1 + 1x.

3. xy′′ − (2x + 1)y′ + (x+ 1)y = 0.

4. xy′′ + 2y′ − xy = 0; y1 = ex

x.

5. x(x− 1)y′′ − xy′ + y = 0.

6. (ex + 1)y′′ − 2y′ − exy = 0; y1 = ex − 1.

7. x2y′′ lnx− xy′ + y = 0.


8. y′′− y′ tg x+ 2y = 0; y1 = sinx.

9. (x2 − 1)y′′ + (x− 3)y′ − y = 0.

10. xy′′− (x+ 1)y′ − 2(x− 1)y = 0.

11. y′′ + 4xy′ + (4x2 + 2)y = 0; y1 = eax2.

12. (x2 + 1)y′′ − 2y = 0.

13. xy′′′− y′′− xy′ + y = 0; y1 = x, y2 = ex.

Trong cac phu.o.ng trınh du.o.i day bang phep the bien tuyen tınhham pha’i tım y = a(x)z hay khu.’ cac so ha.ng da. o ham ba.c nhat.

1. x2y′′ − 2xy′ + (x2 + 2)y = 0.

2. x2y′′ − 4xy′ + (6− x2)y = 0.

3. (1 + x2)y′′ + 4xy′ + 2y = 0.

4. x2y′′ + 2x2y′ + (x2 − 2)y = 0.

5. xy′′ + y′ + xy = 0.

Cac bai toan ly thuyet khac

1. Chu.ng minh rang tı’ so cu’a hai nghie.m do.c la.p tuyen tınhbat kı cu’a phu.o.ng trınh y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (vo.i cac he.so bien thien) khong the’ co cac die’m cu.. c da. i di.a phu.o.ng.

2. Chu.ng minh rang trong tru.o.ng ho.. p q(x) > 0 doi vo.i nghie.mbat ky cu’a phu.o.ng trınh y′′ + q(x)y = 0 ty’ so y′(x)/y(x) lagia’m khi x tang trong khoa’ng, ma tren do y(x) = 0.

3. Chu.ng minh rang trong tru.o.ng ho.. p q(x) ≤ 0 tat ca’ cacnghie.m cu’a phu.o.ng trınh y′′ + q(x)y = 0 vo.i cac dieu kie.nban dau du.o.ng y(x0) > 0, y′(x0) > 0 se van con du.o.ng vo.imo. i x > x0.

4. Chu.ng minh rang nghie.m cu’a phu.o.ng trınh y′′−x2y = 0 vo.idieu kie.n ban dau y(0) = 1, y′(0) = 0 la ham chan du.o.ng.

He. phu.o.ng trınh tuyen tınh co he. so hang soTıch phan cac phu.o.ng trınh sau day va dung Maple kie’m tra

ket qua’ :


1. (xy

)=

(−3 2−2 1

) (xy

).

2. (xy

)=

(1 −1−4 1

) (xy

).

3. (xy

)=

(2 13 4

) (xy

).

4. (xy

)=

(1 13 −2

) (xy

).

5. (xy

)=

(3 −14 −1

) (xy

).

6. xyz

=

1 −1 1

1 1 −12 −1 0

xyz

.

7. xyz

=

2 1 0

1 3 −1−1 2 3

xyz

.

8. xyz

=

4 −1 −1

1 2 −11 −1 2

xyz

.

9. xyz

=

2 −1 −1

2 −1 −2−1 1 2

xyz

.

Gia’i cac he. phu.o.ng trınh khong thuan nhat sau day:

1. x = y + 2et

y = x+ t3.


2. x = 4x+ y − e2t

y = y − 2x.

3. x = x+ 2yy = x− 5 sin t

.

4. x = x− y + 2 sin ty = 2x− y

.

5. x = y − 5 cos ty = 2x+ y

.

6. x = 2x− yy = 2y − x− 5et sin t

.

O’n di.nh

Nghien cu.u tınh o’n di.nh cu’a nghie.m khong cu’a cac phu.o.ngtrınh du.o.i day bang phu.o.ng phap thu. nhat Lyapunov

1. x = 2xy − x+ yy = 5x4 + y3 + 2x − 3y

.

2. x = x2 + y2 − 2xy = 3x2 − x+ 3y

.

3. x = ln(4y + e−3x

y = 2y − 1 + 3√

(1− 6x).

4. x = ln 3ey − 2 cos x)y = 2ex − 3

√8 + 12y

.

Tım tat ca’ cac tra.ng thai can bang va nghien cu.u tınh o’n di.nh cu’achung

1. x = y − x2 − xy = 3x− x2 − y

.


2. x = yy = sin(x+ y)

.

3. x = ey − ex

y =√

3x+ y2 − 2.

Chu.o.ng 6

D- E THI VA D- AP AN

D- e thi phu.o.ng trınh vi phan thu.o.ng

Bai So 1:

1. Hay phat bie’u va chu.ng minh di.nh ly ton ta. i duy nhat nghie.mtren toan cu. c cu’a phu.o.ng trınh vi phan thu.o.ng x = f(t, x),trong do f : (a, b)× Rn → Rn.

2. Hay phat bie’u di.nh ly Peano (khong can chu.ng minh) ve su..ton ta. i nghie.m cu’a phu.o.ng trınh vi phan thu.o.ng x = f(t, x).

Bai so 2:

1. Tıch phan phu.o.ng trınh sau:

(x2 + 2xy − y2)dx+ (y2 + 2xy − x2)dy = 0;

2. Chu.ng minh rang phu.o.ng trınh sau day co duy nhat mo. tnghie.m tuan hoan chu ky 2π va hay tım nghie.m tuan hoannay:

x+ 2x = sin t, x ∈ R;

3. Chu.ng to’ rang phu.o.ng trınh du.o.i day khong co nghie.m tuanhoan:

x+ x = sin t x ∈ R.

Bai so 3:

1. Hay phat bie’u va chu.ng minh nguyen ly tuyen tınh hoa o’ndi.nh cu’a phu.o.ng phap thu. nhat cu’a Lyapunov nghien cu.uo’n di.nh.

2. Hay xet xem nghie.m x(t) ≡ 0 cu’a phu.o.ng trınh saux =

√1 + 4y − ex+y

y = sin x+ ln (1− 4y)

co o’n di.nh theo Lyapunov hay khong.

96

Chu.o.ng 6. D- e thi va dap an 97

D- ap an D- e thi phu.o.ng trınh vi phan

Bai so 1: 2,5 die’m

Bai so 2: 4,5 die’m

1. Tıch phan phu.o.ng trınh sau:

(x2 + 2xy − y2)dx+ (y2 + 2xy − x2)dy = 0;

Gia’i:D- a. t y = zx sau do the vao phu.o.ng trınh de’ gia’i: 1 die’m.Tım ra ket qua’ chınh xac: 0,5 die’m.

2. Chu.ng minh rang phu.o.ng trınh sau day co duy nhat mo. tnghie.m tuan hoan chu ky 2π va hay tım nghie.m tuan hoannay:

x+ 2x = sint, x ∈ R; (6.1)

Gia’i:Xet phu.o.ng trınh da. c tru.ng λ2 + 2 = 0 suy ra co 2 nghie.mda.c tru.ng λ1 = i

√2, λ2 = −i√2. Ap du.ng di.nh ly ve su.. ton

ta. i nghie.m tuan hoan suy ra co duy nhat nghie.m tuan hoanchu ky 2π vı i√2,−i√2 ∩ iZ = : 1 die’m .D- a. t x(t) = acost+bsint thay vao phu.o.ng trınh de’ tım nghie.mtuan hoan ta se du.o.. c x(t) = sint. Phan nay: 0,5 die’m.

3. Chu.ng to’ rang phu.o.ng trınh du.o.i day khong co nghie.m tuanhoan:

x+ x = sin t x ∈ R.

Gia’i:Chı’ ra rang phu.o.ng trınh co nghie.m rieng x(t) = −1

2t.cos t :

0,5 die’mChı’ ra rang phu.o.ng trınh thuan nhat gom toan cac ham gio.ino. i nen nghie.m bat ky cu’a phu.o.ng trınh khong thuan nhatkhong gio.i no. i: 1 die’m.

Bai so 3: 3,0 die’m.

1. Hay phat bie’u va chu.ng minh nguyen ly tuyen tınh hoa o’ndi.nh cu’a phu.o.ng phap thu. nhat cu’a Lyapunov nghien cu.uo’n di.nh. Gia’i:

98 Chu.o.ng 6. D- e thi va dap an

D- i.nh ly 6.1 Gia’ su.’ f(·) kha’ vi lien tu. c trong mo. t lan ca. nnao do cu’a die’m ky di. x0 ∈ U ⊂ Rn sao cho Df(x0) cocac phan thu.. c am. Khi do die’m ky di. nay la o’n di.nh theoLyapunov.

Phat bie’u dung: 0,5 die’m.Tru.o.c het chu.ng minh cho tru.o.ng ho.. p sau: 1 die’m:

D- i.nh ly 6.2 Gia’ su.’ f(·) ta. i die’m ky di. 0 ∈ Rn tho’a manf(x) = Ax+ g(x), trong do A co cac phan thu.. c am va g tho’aman dieu kie. n Lipschitz toan cu. c theo x tu

.c la

‖g(x)− g(y)‖ ≤ ε‖x− y‖ , ∀x, y ∈ Rn,

vo.i he. so ε du’ nho’. Khi do die’m ky di. nay la o’n di.nh theoLyapunov.

Ap du.ng de’ chu.ng minh di.nh ly xuat phat: 0,5 die’m.

2. Hay xet xem nghie.m (x(t), y(t)) ≡ 0 cu’a phu.o.ng trınh sau

x =

√1 + 4y − ex+y

y = sin x+ ln (1− 4y)

co o’n di.nh theo Lyapunov hay khong.Gia’i:Tınh du.o.. c nghie.m da.c tru.ng: 0,5 die’mXac di.nh du.o.. c nghie.m khong la nghie.m o’n di.nh tie.m ca.n: 1die’m.

Tai lie.u tham kha’o

1. Yu. N. Bibikov: Giao trınh phu.o.ng trınh vi phan thu.o.ng. Nha xuatba’n “Vishaya Skola”. Matsco.va 1991. (Tieng Nga).

2. W.A. Coppel: Dichotomies in Stability Theory, Lecture Notes inMath. vol. 629. Springer- Verlag. Berlin - New York 1978.

3. O. Diekmann, S. van Gils, S.M. Verduyn Lunel, H-O. Walther: DelayEquations. Springer-Verlag. Berlin - New York 1995.

4. Hoang Hu.u D- u.o.ng, Vo D- u.c Ton, Nguyen The Hoan : Phu.o.ng trınhvi phan, Ta.p I,II. Nha xuat ba’n D- a. i ho.c va Trung ho.c Chuyen nghie.p.Ha No. i 1970.

5. K.J. Engel, R. Nagel: One-parameter semigroups for linear evolutionequations. Springer, Berlin, 1999.

6. J.K. Hale, S.M. Verduyn Lunel: Introduction to Functional Differen-tial Equations. Springer-Verlag. Berlin - New York 1993.

7. Ph. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Wiley and Sons.New York-London-Sydney 1964.

8. Y. Hino, T. Naito, Nguyen Van Minh, J.S. Shin: Almost periodic so-lutions of differential equations in Banach spaces. Taylor and Francis.London - New York 2002.

9. M.W. Hirsch, S. Smale: Differential equations, dynamical systems,and linear algebra. Pure and Applied Mathematics, Vol. 60. Aca-demic Press. New York-London, 1974.

10. Nguyen The Hoan, Tran Van Nhung: Bai ta.p phu.o.ng trınh vi phan.Nha xuat ba’n D- a. i ho.c va Trung ho.c Chuyen nghie.p. Ha No. i 1979.

11. S. Murakami: Mo.’ dau gia’ i tıch vo ha.n chieu. Khoa Toan u.ng du. ng,D- a. i ho.c Khoa Ho.c Okayama. Okayama 2002. (Tieng Nha. t).

12. I.G. Petrovskii: Cac bai gia’ng ve ly thuyet phu.o.ng trınh vi phanthu.o.ng. Nha xuat ba’n “Nauka”. Matsco.va 1970. (Tieng Nga).

99

100 Tai lie.u tham kha’o

13. J. Pruss: Evolutionary integral equations and applications.Birkhauser. Basel, 1993.

14. J. Wu: Theory and Applications of Partial Functional DifferentialEquations. Applied Math. Sci. 119. Springer-Verlag. Berlin- NewYork, 1996.

Nguyˆ˜enV˘anMinh - ĐHSPHN · II Lò.inói d¯ˆàu Trong khi...

Documents

Transcript of Nguyˆ˜enV˘anMinh - ĐHSPHN · II Lò.inói d¯ˆàu Trong khi...