2. Математические модели теории нелинейных волн

1. Метод характеристик Рассмотрим уравнение колебания на бесконечной прямой

решение которого имеет вид:

2 , , 0 (1)tt xxu a u x t

(1) (1) (1)

10 , ( , ) ( ) (3)t xu au u x t f x at

и рассмотрим два уравнения в частных производных первого

порядка, решения которых имеют вид (3) и (4):

1 2( , ) ( ) ( ), (2)u x t f x at f x at

(2) (2) (2)

20 , ( , ) ( ) (4)t xu au u x t f x at

Уравнения (3) и (4) называются линейными уравнениями переноса.

Их решения (функции и ) переносят начальные

профили и вдоль оси с постоянной скоростью в

положительном и отрицательном направлениях.

Если решение уравнений переноса является дважды непрерывно

дифференцируемой функцией своего аргумента, то оно

удовлетворяет и уравнению колебаний (1).

При распространении волны не происходит искажения ее профиля

по времени, то есть отсутствует эффект дисперсии волны. Это

связано с постоянством скорости распространения волны, которое

определяется постоянством параметров среды.

Однако во многих физических задачах приходится учитывать

изменение свойств среды под действием распространяющихся в ней

волн, что приводит к зависимости скорости распространения волн от

решения. В этом случае необходимо рассматривать квазилинейное

уравнение переноса:

1f x at 2f x at

1f x 2f x x a

0. (5)t xu F u u

0

0 , , 0,

( ,0) ( ), ,

t xu uu x t

u x u x x

(6)

Рассмотрим задачу Коши на бесконечной прямой

Решение ищем в виде

Тогда

и получаем

(7)

( , ) ( ( , ) ).u x t f x u x t t

(1 ) ( ) ,.

( ) ( )

x x

t t

u u t fx ut

u u u t f

( ) ( ) 0,t xt u uu f

где - любая дифференцируемая функция. ( )f

Решение задачи (6), (7) определяется из неявного уравнения

(8) 0( , ) ( ( , ) )u x t u x u x t t

( , )1 ( , )

dt dx dxu x t

u x t dt (9)

Рассмотрим на плоскости (x,t) кривую, определяемую уравнением (9) –

характеристику уравнения (6):

Если - решение уравнения (9), то

( )( ( ), ) 0t x t x x x t

d dxu x t t u u u uu

dt dt

0( ( ), ) ( (0),0) ( (0)),u x t t u x u x

определяемым начальной функцией u0(ξ) , ξ=x(0).

( )x x t

и является константой на кривой и, следовательно, ( ( ), )u x t t ( )x x t

прямая линия на плоскости с наклоном ( )x x t ( , )x t

Мы получили однопараметрическое семейство прямых,

зависящих от параметра ξ , на которых решение u(x,t)

уравнения (6) оказывается постоянным. Это позволяет по

начальной функции u0(ξ) определить функцию u(x,t) в любой

момент времени t. Покажем, как это можно сделать

практически.

0

0

1 ( )

t xx u t

u

Уравнение для этой прямой имеет вид:

Выберем точку

,k a b

и построим

соответствующую ей

характеристику

0 0

1 k

k k

t xu u

с углом наклона

01 ( ).ktg u

Всюду на характеристике

0 ( ).k

ku u

Точка (xk ,t1) – точка

пересечения прямой t=t1

c характеристикой Гξк.

:к

Г

Скорость переноса начального значения вдоль

характеристики зависит от решения, профиль u0(x)

искажается – дисперсия бегущей волны. При

характеристики пересекаются, профиль неоднозначный –

опрокидывание волн.

0 ( )ku

k

pt t

Причина явления опрокидывания волны заключается

в том, что, согласно формуле (8)

чем выше амплитуда точки, тем с большей скоростью

волна распространяется. Поэтому точки вершины волны

обгоняют в своем движении точки ее подошвы.

Замечание. Возникновение неоднозначного профиля

решения достаточно часто оказывается противоречащим

сути физической модели, описываемой уравнением (6)

согласно которой функция U(x,t) является однозначной

функцией.

(6)0, t xu uu

0 (8), , u x t u x u x t t

Например, при рассмотрении волн в сплошных средах в

одной точке физические параметры не могут иметь

различные значения.

Для того. чтобы исключить неоднозначные решения

необходимо расширить понятие решения уравнения (6)

и вместо непрерывно дифференцируемых решения

рассматривать разрывные.

При этом нужно придать новый смысл выражению

«функция удовлетворяет уравнению (6)».

Естественным является введение обобщенных

решений так, как они вводятся в теории обобщенных

функций.

(6)0 t xu uu

,u x t

2. Обобщенное решение . Условие на разрыве

Определение. Функция u(x,t) удовлетворяет уравнению (6)

в обобщенном смысле, если для любого прямоугольника

и любой бесконечно дифференцированной и финитной в

функции справедливо интегральной тождество:

1 2 1 2( , ) : , 0xt x t x x x t t t

210.

2xt

t xu u dxdt

(10)

Замечание. Если , то обобщенное решение

(10) удовлетворяет уравнению (6) в обычном смысле:

проинтегрируем (10) по частям

(1)u C

0.

xt

t xu uu dxdt

(11)

В силу произвольности и из (11) получим (6).

xt ( , )x t

xt

Замечание. Для получения формулы (10) запишем

уравнение (6) в следующем виде:

Умножим это уравнение на функцию и

проинтегрируем по прямоугольнику по частям,

учитывая финитность функции :

2

0.2

t x t

x

uu uu u

,x t

22

, ,

10.

2 2t t x

xx t x t

uu dxdt u u dxdt

Пусть u(x,t) – разрывное решение, имеющее единственный

разрыв на кривой .

Пусть при

S .

(1)( , )u x t C ( )

,( , ) , 1,2x tx t

Функция u(x,t) в областях удовлетворяет

уравнению (6) в классическом смысле.

( )

, , 1,2x t

( , ) : ( ) .x t x s t S

Проинтегрируем (10) по частям в области : (1)

,x t

(1)

2

2

1 2

cos( ) 1 2 cos( )( )

xt

t xu u dxdt

nt u nx u ds

S

(12)

где - предельные значения u(x,t) на кривой

S при стремлении к ней справа и слева.

cos( ),cos( ) , ,n nx nt u u

и в области : (2)

,x t

(13)

( 2)

2

2

1 2

cos( ) 1 2 cos( )( ) ,

xt

t xu u dxdt

nt u nx u ds

S

Замечание. При получении формул (12) и (13) была

использована формула интегрирования по частям:

где - область с гладкой (или хотя бы кусочно-

гладкой границей) Г, угол между

осью и внешней нормалью к поверхности Г.

Формула справедлива для функций

cos ,k

k kD D

uu dx u ds dx

x x

Г

mD R

1 2, ,..., , m kx x x x

O kx 1

, .u C D

Сложим (12) и (13):

2

cos( ) cos( ) 0,2

unt u nx ds

S

(14)

где . В силу произвольности из (14) => u u u ( , )x y

2

cos( ) cos( ) 0.2

S

unt u nx

(15)

Так как

2 2

( ) 1cos( ) , cos( ) ,

1 ( ) 1 ( )

s tnt nx

s t s t

(16)

то (15), (16) =>

Формула (17) называется формулой Гюгонио – Ренкина или

формулой условий на разрыве.

Формула (17) позволяет определить скорость

распространения разрыва по значениям , но не дает

ответа на вопрос о положении разрыва x=s(t).

( ) ,2

u us t

(17)

где - скорость распространения разрыва. ( )pV s t

u

2

02

uu

t x

Уравнение (6), записанное в виде

одномерного уравнения неразрывности или или закона

сохранения. Интегрируя по х, получим:

00 , ( , ) ( ) ,d

udx I u x t dx u x dxdt

предполагая, что при . 0u x

Площадь I под кривой u=u(x,t) оказывается

инвариантной во времени, то есть является интегралом

движения.

Основная идея при проведении разрыва состоит в том,

чтобы при построении разрыва сохранить этот итеграл

движения для разрывного решения.

Разрыв нужно провести так, чтобы интеграл

, отвечающий разрывному решению, был

равен интегралу для начальной функции.

Разрыв проводится таким образом, чтобы

площади и заштрихованных на рисунке областей

совпадали.

В результате из непрерывного неоднозначного решения

получается разрывное, но уже однозначное решение,

являющееся обобщенным решением уравнения (6).

Условие на разрыве (17) выполняется при этом

автоматически.

x s t

I u

0I u

x s t

1S2

s

Разрыв x=s(t) нужно построить так, чтобы I(u), отвечающий

разрывному решению, был равен I(u0) для начальной

функции u0 .

3. Уравнение Кортевега – де Фриза и законы сохранения

Функция , описывающая процесс распространения

длинных волн на поверхности воды, приближенно

удовлетворяет уравнению 2

00 0

0

31 0 ,

2 6t x xxx

hc c

h

(18а)

( , )x t

где - глубина жидкости, - скорость длинных волн на мелкой

воде. 0h

0 0c gh

Уравнение (18а) называется уравнением Кортевега - де

Фриза. Из (18а) с помощью линейной замены переменных получим:

6 0 ,t x xxxu uu u (18б)

(18б) – канонический вид уравнениея Кортевега - де Фриза.

Уравнение (18б) обладает бесконечным числом интегралов

движения (законов сохранения):

2

0 2( , ) , ( , ) ,I u x t dx I u x t dx

и т.д. Это означает, что данное уравнение обладает глубокой

внутренней симметрией, которая выделяет его среди других

нелинейных уравнений и позволяет построить чрезвычайно

изящный метод построения точного решения, основанный на

обратной задаче рассеяния для одномерного стационарного

уравнения Шредингера.

4. Схема метода обратной задачи

1) Прямая и обратная задачи рассеяния

Определение. Функция f(x,t) называется быстроубывающей,

если

(19) 0max 1 ( , ) .

t Tx f x t dx

С уравнением Кортевега–де Фриза тесно связано

стационарное уравнение Шредингера (20):

(20) ( ( , )) 0xx u x t

с потенциалом u(x,t), зависящим от t как от параметра.

Рассмотрим для уравнения (20) две задачи:

а) Нахождение квантовомеханических уровней энергии

связанных состояний. Найти такие значения , при которых уравнение (20) имеет

нетривиальные решения . Здесь

-нормированные на единицу волновые функции.

x

1

2( , ) ( )x t L ( , )x t

Эта задача имеет решение только при . 0

При решения имеют асимптотику:

( , ) ( ) ,mx

m mx t C t eæ

где - собственная функция, нормированная на 1,

собственное значение,

( , )m x t 2

mm æ

(21) æ

( ) lim ( , ) mx

m mx

C t x t e

б) Задача рассеяния плоской волны единичной амплитуды на

потенциале u(x,t).

Найти при ограниченные решения уравнения (20) с заданным

характером асимптотического поведения при x→±∞ (временная

зависимость волна движется справа налево):

0

( , ) ( , ) , ,ikxx t a k t e x

где , а подлежащие определению функции и -

коэффициенты прохождения и отражения, причем

2k ( , )a k t

2 2( , ) ( , ) 1.a k t b k t

( , ) ( , ) , ,ikx ikxx t e b k t e x

( , )b k t

Совокупность решений задач а) и б)

называются данными рассеяния.

æ , , ( , ), ( , )m mC a k t b k t

i te

Прямая задача рассеяния: определение для заданного

потенциала данных рассеяния.

Обратная задача рассеяния: определение по заданным

данным рассеяния соответствующего потенциала.

Данных рассеяния достаточно для однозначного определения

потенциала.

Схема решения обратной задачи рассеяния.

а) По данным рассеяния строится функция B(x;t)– ядро урав-

нения Гельфанда – Левитана:

(22) æ2

1

1( ; ) ( ) ( , )

2m

nx ikx

m

m

B x t C t e b k t e dk

б) Ищется решение линейного интегрального уравнения

Гельфанда – Левитана:

(23) ( , ; ) ( ; ) ( ; ) ( , ; ) 0

x

K x y t B x y t B y z t K x z t dz

в) Решив уравнение (23) и найдя K(x,y;t), по формуле (24)

(24) ( , ) 2 ( , ; )d

u x t K x x tdx

определяем функцию u(x,t), которая и является искомым

потенциалом, то есть решением обратной задачи рассеяния.

2) Решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши:

(25) ,

0

6 0, , 0

( ,0) ( )

t x xxxu uu u x t

u x u x

Решение u(x,t) задачи Коши (25) назовём

быстроубывающим, если функция u(x,t) и все её

производные по x до третьего порядка являются

быстроубывающими функциями.

Теорема1

Если потенциал u(x,t) в (20) является быстроубывающим

решением уравнения Кортевега – де Фриза, то собственные

значения не зависят от времени t. 2æmm

Теорема 2

Если потенциал u(x,t) в (20) является быстроубывающим

решением уравнения Кортевега – де Фриза, то данные

рассеяния и зависят от времени

следующим образом:

0 ( ) ( ,0)u x u x Зная данные рассеяния для , можно по

формулам (26) найти данные рассеяния для u(x,t) и затем,

построив и решив уравнение Гельфанда – Левитана,

определить функцию u(x,t).

( ), ( , )mC t b k t ( , )a k t

(26)

3 2

3 2

( ) (0) exp (4 æ ) , æ ,

( , ) ( ,0) exp ( 8 ) , 0 ,

( , ) ( ,0)

m m m m mC t C t

b k t b k i k t k

a k t a k

Схема построения быстроубывающих решений задачи Коши:

а) Рассматриваем стационарное уравнение Шредингера с

потенциалом u0(x):

(27) 0( ( )) 0xx u x

и определяем данные рассеяния и . ( ,0), ( ,0)a k b k æ , (0)m mC

б) По формулам (26) определяем и и строим ядро

уравнения Гельфанда - Левитана (23):

(28)

2 3 3

m

1

1( ; ) (0)exp(8æ æ ) ( ,0)exp( 8 )

2

n

m m

m

B x t C t x b k i k t ikx dk

( )mC t ( , )b k t

в) Решив уравнение Гельфанда – Левитана (23) с ядром (28),

по формуле (24) определяем решение u(x,t) задачи Коши (25)

для уравнения Кортевега – де Фриза.

5. Солитонные решения

Рассмотрим решение задачи Коши (25) при

2

20

xx ch x

(30)

Данные рассеяния для уравнения (20) с потенциалом (29)

имеют вид: b(k,0)=0, существует только одно собственное

значение . 2

1 1 11 æ , (0) 2C

8( ; ) 2 t xB x t e (31)

Ядро уравнения Гельфанда – Левитана имеет вид

0 2

2( )u x

ch x (29)

Рассмотрим уравнение Гельфанда – Левитана с ядром (31):

( , ; ) ( ; ) .y

K x y t L x t e

(33)

и будем искать его решение в виде

2( ; )

2 81

xeL x t

x te

(34)

Получим

8 2( , ; ) 2 2 ( , ; ) 0

x

t x y t y zK x y t e e K x z t e dz

(32)

2( , ; )

2 81

x ye

K x y tx te

(35)

Следовательно,

и по формуле (24) получим решение задачи Коши (25) с

начальной функцией (29):

2

2 2( , ) 2 .

2 8 ( 4 )1

du x t

x tdx ch x te

(36)

0

1 12( , ) ,32 12 ( )

2 2

u x t

ch x x t

(37)

Решение (36) является частным случаем более общего

решения уравнения Кортевега – де Фриза

соответствующее значение параметров . 02, 0x

Решения уравнения Кортевега – де Фриза вида (37) получили

название солитонов. Они описывают бегущие волны

неизменной формы, имеющие скорость, прямо

пропорциональную амплитуде решения.

Пусть имеется два решения

вида (37), находящиеся на большом расстоянии друг от

друга (то есть разность велика) и пусть

Тогда эти решения практически не взаимодействуют и

распространяются независимо друг от друга. Однако со

временем солитон , имеющий большую скорость

распространения, догонит солитон и произойдет их

нелинейное взаимодействие.

Замечательным оказывается то, что после этого

взаимодействия солитоны и разойдутся («пройдя

через друг друга»), не изменив своей формы, причем

теперь солитон будет двигаться впереди солитона

Единственным результатом взаимодействия будет то, что

солитоны приобретают «скачки фаз»: величины

получают приращение причем , а

0, , , , 1, 2,j j ju x t x j

02 01x x1 2.

1u

2u1

1u

1u 2.u

0 jx

0 ,jx 1 0x 2 0.x

1u

2u

Тем самым солитон «прыгает» вперед (вправо) на

, а солитон получает «отдачу» назад (влево) на

величину

Эти частицеподобные свойства, проявляющиеся во

взаимодействии, обусловили название солитонов и тот

огромный интерес, который проявляется к их изучению.

Можно дать следующее определение солитонов, как

решений нелинейных уравнений:

Определение. Будем называть солитонами такие

решения нелинейных уравнений , которые имеют вид

бегущих уединенных волн, взаимодействующих таким

образом, что после взаимодействия они сохраняют

неизменной свою форму, получая лишь приращения в

фазах.

1u

01x2u

02.x